Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 48 Rl to R2 to R3 rl 12-14 t4-16 8-10 F104 F345 F345 (1.t2.) (1.12.) (2e.tt.) 1. Kolmen tuotteen þsyntäfunktiot ovat pr : 10.000-0.200q1-0.010q2-0.020q3 pz : 15.000-0.010q1-0.100q2* 0.00543 h : 20.000-0.020q1 -l 0.005q2-0.250q3 Tuotannon kustannukset ovat ' Cv(qù :3.00qt -0.020q21 Cz(qz) : 4.ooqz - 0.0o5ql Ct(qù:8.ooqr -0.010q! Maksimoidaan voitto. Kirjoita voiton maksimin välttämätön ehto. Ottje: Välttämättömän ehdon saa helposti Lagrangen menetelmällä. Toisaalta voit käyttää myös periaatetta f (qt,qz,qz):{e +nrd <+ maksimin välr. ehto: d '2-- -!f 2. Muutetaan tehtävän 1 problematiikkaa seuraavasti: Kolmas tuote on kilpailijan valmistama. 'Meidän firma' valmistaa tuotteita ja 2. Muodosta 'Meidän firman' tavoitefunktio P(qt,qz) ja kirjoita sen maksimin välttämätön ehto. Miten päätösmuuttujien q1 ja q2 optimiarvot riippuvat kilpailijan tuotantomäärästä? 3. a) Määritä jonon (an) raja-arvo limna*a', kt)n an:,r(i t ), ',n : 1,2,... () +n - l.) b) Mä irirä jonon (å,) raja-arvo lim,'*bn,kun bn: ø*.?)',n: 1,2,... c) Määritä jonon (c") raja-arvo lim -1- c, kun cn : sup{br,b2,..., år}, missä å, on sama kuin b-kohdassa. 4. Osoita majoranttiperiaatteella, että sarj a A:Lar k:l E k:r (2k _ L) suppenee. (Ohje: Majoranttiperiaate, lause 4.4.1 sivu 107. ) 5. Suppenevatko seuraavat sarjat? Ð EW Ðåry ÐË (Ohje: Suhdetesti,lause 4.4.4 sivu 108.) (le + t) --F-
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 48 Rl to R2 to R3 rl tz-t4 t4-16 8-10 Fl04 F345 F345 (t.t2.) (t.t2.) (2e.tt.) 1. Kolmen tuotteen þsyntäfunkfiot ovat Tuotannon kustannukset ovat pr : 10.000-0.200q1-0.ol0q2-0.020q3 pz : 15.000-0.010q1-0.100q2* 0.00543 h : 2O.O0O - O.020qy -l 0.OO5q2 - O.250q3 C {qt) : 3.ooq t - o.o2oq21 Cz(qz) : 4'0oqz - 0.005q Cz(qù:8.00q -o-oloql Maksimoidaan voitto. Kirjoita voiton maksimin välttämätön ehto. Ohje: Välttämättömän ehdon saa helposti Lagrangen menetelmällä. Toisaalta voit käyttää myös periaatetta f (qt,qz,%):{ld+f d ê maksimin vält. ehro: d: -}l_ln { te,,\",4= } * (,1, * (*n4r* fln?: -' ( c,ko} *(*(q,} * (ufçu = ( o - O,r7,, - Qot "1- - Ð,Õ. q*)2, t( Ë-öuð14t- o,,1,. *9*fz\4^ *_,.o * 0,0?t, * Ò,ñÇ?.- ô,rtq*) qr 3 ]t* 6,oz"Lro - lq* * ÒptÇq=, * 8Q* + olõ!?g? : ì1, * /lx - *{z?" - Ò,tg 1,*- a,önç' { - o,rrr4 * üj?- 4,?u - u,ôq,q= * o, o e" 1: Ð Va til-; ^oq^ -&^{r, { träfi i-) { Z - toaå 4. - 0,ûq4* - Ò,ort1r : O d, r 1,, Qr'tg ^ o,ozc*-, ô,tq?., * o,*t?t = O,lt o q- 12-- Ò 0r{a + fiôl \<- - o,4g 1,1,: ô éå i : L q., Ò,02.42 * a,öltgt *? 1 ",o- a' r 0),1\,. - o,o, 4= ' lt lò,ölra, -O,ôt 4z+ O,^Oq, = tz
) ) l=.' $ ^--'t'{q {a*.,a-z a-u) - (q, 4* %.u) "ç J"' ( Yr-*r 91,*r /-. v,/ 6Íb û,ð? o,0ll u ç{ *"^' 1 dp{."-,' t [+ t{,l\ a T A4 -i t - o,t8 - o,o t -ô,o7 *A,oøf - o,ol orooç -o,az o,wç -ÒîL )( *T /1 lq \E :L 1) \/ )2t r lz clt -fl 4z Xz 2 rsri *; * ê> *2Aq = Ç \ ô,öz ôr r r, s,,t? -atöl -qû Ût hy* ){ z A 4' q.'e Ei 4a-*o^.,,^ (Å*"L t*; *&/* &r &k:44 r la,\ ti?, V uç,, 2. Muutetaan tehtävåin 1 problematiikkaa seuraavasti: Kolmas tuote on kilpailijan vahiltama. 'Meidän firma' valmistaa tuotteita ja2. Muodosta 'Meidän firman tavoitefunktio P(qt,qz) ja kirjoita sen maksimin välttämätön ehto. Miten päätösmuuttujien 41 ja q2 optimiarvot riippuvat kilpailijan tuotantomäåirästä?
( 2Lot o {3ç6- t, t þ + l.t 1t \> 1"-b {'u = \'b (J ( ßff1 îl (f)l b i'o ',J/ e Zo'e )Lto / =(;r ) <) tð s*'o * ll a lì,/ -r-z7oa- L = zlolotte r tb *o'o tl -o'o 'Þ A,Q (Ð 9: (): z't, t",', -,\.o,o - 'þ,2ouü - 'hqs,tç - lb srcro r' r.tzo,o * L_ 1.T qã -..L O=- a b /} :21 T-P *'n \4\,4 u*v:yy/ ï) O
3. a) Mäåiritä jonon (an) ruja-arvo limn- *an,kvn an: #*,,n : 1,2,... b) Mä iritä jonon (år) raja-arvo limza*bn,kun b, ' (-l)n,n: L,2,... c) Määritäjonon (cn) raja-arvo l\mn-- *cn, kun cn: sup{år,b2,...,bn}, missäå,, on sama kuin b-kohdassa.? l*/ /;"^ Vt 4.>* â þ'l.:ù"pç1 t -t Lc+ r +'[=l *t= L. l *t l** J. AL l/, + +?k*-l i..'...+ -L Yr l." +{,c 'l.l-lmt k* + tl^-,)(t^", ) (k",j l,-,ã t [<?. ' L þ.â" U. ---- *?r*,. k(u*, ) Lfut kf[c"r\ 2. f L þ( b**rr-h*l>,,7,1*n*, [*þf(] -à C a,o^ "Lr- Ç* [s f@e û"ì'( otu{a ä' n&(n*.,o*^\l"f,r^ -à l*^ o rnn 5o fl d"* ),) Cv'r: ôurn, c^ f:^ cn h lab,.1, )u* n tr "u;/r.u t^ { bh-r,l^ vt l-*r^ L.^ (r^\ ç-ù,ü,*.'.* f C L^ V^ r.l k,(;* -t:l l -sa,
4. Osoita majoranttiperiaatteella, että sarj a A:Ë oo:l-+ k:t fr:l \' ') suppenee. (Ohje: Majoranttþeriaate,lause 4.4.1 sivu 107. ) êì Z.l^-' { Z{z &L-t ê < 'z**' Ò ç le, ^ kze l 6,o{.o* k :1^ 6lot tutwtrû'v{t- A *'$n,..,. ak k-ç * t) Í, tu E b, *þ',,j[ff* w,<.[a tn*ulá' o"( q*"**('**-n'31' L ), /,-<-<,L '*Y- '-f l=,ã (*ù tr^'" t4 1 "/"1ã* ëu'vtn o Ça r"*-^-n CQ \J A L zk* 11= + w (^ 4n- K: L/*r ) fe l\, _ &, K, ) ø* V: $ +t æ! ---N* t 1 Zt r, J_ '(. ñ 4 é. (r-å) :. 2N -1 2-t\t Zñ+z (t-à) v 2N+r : rv7 V^lÅL-* N : '6 6ìf Z 2k-t - t kal. z - l )-( = tu'>jl'.. J- +l-* l- f + a 1 tç ÔtôTraí þ' = *=fivo,úovël ir 6t t;*/ô'/gy 0 ltçúlt7dt r ô,cni?xt ^ A < t,fq<v L A L l,lzz,á.+= t,6to lo,õl
V.o,{^'l-^"-- N = ll l1 : -L { l- *-.!-* J*.Ì-Lrt 2 o zç9 ) *J.--* Çt\ r +v*t r j +l* Ì' ç 6f, tzì! ôa\ '"* ' 2o4Z 4 ô qî V. lt't YY = L 2-tz tn ( 60 64Ço4qz -*2 O 6-Õ-0 t glg z y = ô, otr < z?öa lt &açqç 4 gffið,zz ë- A- { t, éaaq Ç{. + Qroo t-t gy 5. Suppenevatko seuraavat sarjat? a) _L_ry Ðå (Ohje: Suhdetesti, lause 4.4.4 sivu 108.) @+t)2 ---t-.)ery a,u ^ +/)ê,t; âh*r k:.- þt +7" a t"t k Vnn' (n*t t4qþ?,1 +. --> ç*'lo 4^ Y f -ü'u"e*? "*ol b1 / z (2r + ( l+z) -vl,(;^,(,*i* Zvr/ff f Pr+r y7 4Þ 4..\ z ^ otr, --\ g"q,r{a u* -(*va il tr ) Í--*, Ø+r 1* 4n*t. n+? h+\ gn A"n v'tþ&? n4r /h+z\ n+z\\ {"_)tñ/ àæ> --lr+ \--.\/,æ 'ilìn =.N &; V +Qvr + Q /-\._ tt 9ê. 2v2+4n =å + t L /Å* h **éh^i.ler,ú +"**,-
) Á l vior. #-^,o.n^ /'vf 1.Y^ Ç "t. ( r V - L'l^'C-( t*+*t.*t,j+{^*".= + x-' + >r--+ x.-1 -'t Y-\ = -x-z -L{\ -3x-*- ttf\' Q D-t-rtà ft,n +ttj æ '-t t *2+2 Lt Yz,. >< K.+;{"t ãt.t. Y x-t Z4lêt + rr' f.t Y.L X)aax -L,3 (x - t)z (x 5 r lzç t t{+t nll ZL (z-r z -_l /r*' z -l -l 3 ç",t\.f i r^ Ç ç' vt't [e1 "4 a..-(øaut {cav -t^ +" + U d, a(v l'( -Xa ) Y =Z.) f *{"t*"**" -t >- -r k-?-, )r-3å. -.. * [, x-' - Z' Y'-. -a'x-\-.. - l' \- - ' k'*t-.l').*n*.,. t2 ><-u +f {3 t f x-kt-...2l X * X rb + ao çr" t+tæ Yz y1 +'.. g 't z ì, S ( k*r \" 7 t-' -t x-s k-r 5 -t (\*r z- = -)< t*' t rx -.)- -4 nz / tu,/- ^L <- al* lr = \ '*' )t Å_ x ('z-r7a -.\ z- (x-r \ XH f x*,)\ "F XQ - )<? (y--,)\ 4>. \ ll X o( d.y, yt- k.l