2.4 Normaalimuoto, pohja ja laskentajärjestys 2.4. NORMAALIMUOTO, POHJA JA LASKENTAJÄRJESTYS 13
|
|
- Kirsi Jurkka
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2.4. NORMAALIMUOTO, POHJA JA LASKENTAJÄRJESTYS 13 Toisinaan voi olla syytä kirjoittaa α- tai β-kirjain yhtäsuuruusmerkin yläpuolelle kertomaan, mitä muunnosta käytetään. Esimerkki 4 1. (λx.x)y β = y 2. (λx.λy.xy)y α = (λx.λz.xz)y β = λz.yz. (Jos kiellosta huolimatta olisi tehty β-muunnos saman tien, olisi tulokseksi tullut λy.yy.) Edellä esitetty λ-laskento on ns. puhdas λ-laskento. Käytännössä λ-laskennossa käytetään myös δ-muunnosta. Siihen liittyen lausekkeiden määritelmään lisätään aritmeettiset ynnä muut sellaiset lausekkeet. Delta-reduktio sanoo, että mikä tahansa δ-redex eli sellainen lauseke, joka sopii jonkin annetun määritelmäyhtälön (kuten ne, jotka yllä aiemmin annettiin) vasemmaksi puoleksi, voidaan korvata ko. yhtälön oikealla puolella. Jos useampi yhtälö sopii, niistä valitaan se, jonka vasen puoli on spesifein. Delta-abstraktio on sama prosessi toiseen suuntaan; δ-muunnoksella tarkoitetaan näitä molempia. Delta-muunnos siis käytännössä mahdollistaa perinteisen aritmeettisen laskennan: Esimerkki 5 1. (λx.x + 1) 3 β = δ = (λx.λy.x + y) 3 4 β = (λy.3 + y) 4 β = δ = 7. Tässä vaiheessa ehkä huomaakin jo, mistä λ-laskennossa on kyse: se on funktiolaskentaa puhtaimmillaan. Applikaatiolauseke edustaa funktion käyttöä (funktion kutsua ), kun taas abstraktio luo nimettömän funktion. Itse asiassa kaikki aiemmin asetetut määritelmät voitaisiin kirjoittaa uusiksi, jos niin haluttaisiin: voidaan kirjoittaa myös nelio x = x x nelio = λx.x x 2.4 Normaalimuoto, pohja ja laskentajärjestys Lausekkeen normaalimuodolla tarkoitetaan sellaista muotoa, johon ei voi soveltaa β-reduktiota eikä δ-reduktiota. Kun laskennossa pyritään saamaan pelkkä luku vastaukseksi, λ-laskennossa pyritään löytämään normaalimuoto. Valitettavasti kaikilla lausekkeilla ei ole normaalimuotoa.
2 14 LUKU 2. OHJELMOINTI LASKENTANA Esimerkki 6 Lausekkeella (λx.xxx)(λx.xxx) ei ole normaalimuotoa, sillä (λx.xxx)(λx.xxx) β = (λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx). Otetaan käyttöön uusi lauseketyyppi, (luetaan: pohja). Merkitään sillä sellaisen laskun tulosta, joka ei koskaan päädy normaalimuotoon. Toisin sanoen edustaa päättymätöntä laskua. Sitä käytetään myös merkitsemään virheellisen laskun, esimerkiksi nollalla jakamisen, tulosta. Funktiot on tapana jakaa kahteen luokkaan sen mukaan, miten ne käyttäytyvät pohjan suhteen. Jos f = pätee, f on tiukka (strict) funktio. Jos f pätee, f on väljä (non-strict) funktio. Funktion väljyyden tai tiukkuuden usein määrää se, missä järjestyksessä laskut tehdään. Esimerkiksi lausekkeella (λx.y)((λx.xxx)(λx.xxx)) on normaalimuoto y, mutta se, että saavutetaanko se, riippuu siitä, missä järjestyksessä muunnokset suoritetaan. Kaksi järjestystä vaativat erityisen huomion: Normaalijärjestyksessä valitaan uloin, vasemmanpuolisin β- tai δ-redex ja sovelletaan siihen β- tai δ-reduktiota. Applikaatiivisessa järjestyksessä valitaan sisin, vasemmanpuolisin β- tai δ- redex ja sovelletaan siihen β- tai δ-reduktiota. Applikatiivisen järjestyksen perusominaisuus on se, että siinä funktion argumentit lasketaan ennen kuin funktion arvoa aletaan selvittämään. Tällöin, jos argumentti on, koko funktion arvoksi muodostuu. Normaalijärjestys puolestaan laskee argumentit mahdollisimman myöhään, jolloin funktio, joka ei käytä argumenttiaan, voi saada muunkin arvon kuin, vaikka argumenttina olisikin. Itse asiassa normaalijärjestys löytää normaalimuodon, jos sellainen on olemassa. 2.5 Ydin-Haskell Rakennetaanpa nyt yllä kerättyjen ideoiden pohjalta uusi kieli, jota sanomme Ydin-Haskelliksi. Se on Haskell-ohjelmointikielen osa siinä mielessä, että sillä kirjoitetut pätkät ovat laillista Haskellia, mutta se on varsinaista Haskellia yksinkertaisempi ja käsinlaskettavaksi sopivampi. Varsinainen Haskell määritellään tavallisesti Ydin-Haskellin kaltaisen kernelin ympärille yksinkertaisin muunnossäännöin. Merkitsemme Ydin-Haskellin lausekkeiden redusointia kaksoisnuolella ( ). Ydin-Haskellilla laskettaessa noudatetaan normaalijärjestystä.
3 2.5. YDIN-HASKELL Lausekkeet Ydin-Haskellissa on monta lauseketyyppiä. Käsitellään niistä kukin erikseen. Lausekkeissa sulkeita käytetään tavanomaiseen tapaan ilmaisemaan niiden rakennetta. Peruslausekkeet Peruslausekkeita ovat seuraavat: Eksplisiittisesti tyypitetty lauseke kirjoitetaan e :: t, missä e on lauseke ja t on tyyppilauseke. Tämä voidaan redusoida lausekkeeksi e. Pohja on. Sitä ei koneelle koskaan kirjoiteta eikä kone sitä koskaan tunnista, mutta käsin laskiessa se on hyödyllinen. Muuttujat alkavat pienellä kirjaimella ja voivat sisältää numeroita, kirjaimia, alaviivoja ja heittomerkkejä ( ). Muuttujia ovat esimerkiksi pi, count ja n. Operaattoreita ovat muuttujat takahipsujen sisään kirjoitettuna (esim. lisaa ) sekä symbolijonot (esimerkiksi + tai ++), jotka eivät ala kaksoispisteellä. Lausekkeina operaattoreita voidaan käyttää kirjoittamalla ne sulkeisiin. Koostimet alkavat isolla kirjaimella ja voivat sisältää numeroita, kirjaimia, alaviivoja ja heittomerkkejä ( ). Koostimia ovat esimerkiksi Cons, True ja EmptyTree. Koostinoperaattoreita ovat koostimet takahipsujen sisään kirjoitettuna (esim. Cons ) sekä kaksoispisteellä alkavat symbolijonot (esimerkiksi : tai : +). Lausekkeina koostinoperaattoreita voidaan käyttää kirjoittamalla ne sulkeisiin. Literaaleja ovat näkyviin kirjoitetut luvut ja merkkijonot, kuten 52, 99.2 ja "Roope Ankka". Abstraktio ja applikaatiot Lambda-abstraktiot ovat muotoa λx E, missä x on jokin muuttuja ja E on jokin Ydin-Haskellin lauseke. Koneelle kirjoitettaessa λ-kirjain esitetään kenoviivana (\) ja nuoli muodossa ->. Applikaatio on lauseke, jossa kaksi Ydin-Haskellin lauseketta kirjoitetaan peräkkäin. Applikaatio assosioi vasemmalle, joten E F G tarkoittaa (E F) G. Operaattoriapplikaatio on lauseke, jossa kaksi Ydin-Haskellin lauseketta erotetaan operaattorilla tai koostinoperaattorilla. Presedenssi ja assosiointi riippuvat käytetystä operaattorista.
4 16 LUKU 2. OHJELMOINTI LASKENTANA Let-lausekkeet Let-lausekkeet ovat muotoa let {x 1 = e 1 ; x 2 = e 2 ;... ; x n = e n } in e 0, missä x i ovat muuttujia ja e i ovat lausekkeita. Tapauksessa n = 1 let-lauseke let {x 1 = e 1 } in e 0 tarkoittaa samaa kuin lauseke (λx 1 e 0 ) e 1. Yleisemmin let-lauseke pitää ymmärtää joukoksi lausekkeessa e 0 voimassa olevia δ- muunnossääntöjä, jolloin lausekkeessa e 0 muuttujat x i ovat δ-redeksejä. Tämä mahdollistaa rekursiivisten määritelmien tekemisen. Esimerkki 7 let {lisaa = λx λy x + y} in lisaa Koneelle kirjoitettaessa aaltosulut ja puolipisteet voidaan korvata sisennyksillä ja rivinvaihdoilla. Sisennysohjeet on luettavissa seuraavasta kuvauksesta, joka kertoo, kuinka aaltosulkeet ja puolipisteet lisätään sellaiseen, josta ne puuttuvat: Jos let-avainsanan jälkeen ei tule aukeavaa aaltosuljetta, avainsanan jälkeen tulevan sanasen (numero, kirjain, välimerkki tms, mutta ei tyhjämerkit eikä rivinvaihdot) sisennys muistetaan ja aukeava aaltosulje lisätään avainsanan perään. Tyhjät rivit jätetään huomiotta. Jos seuraavaa riviä on sisennetty saman verran, puolipiste lisätään sen alkuun. Jos sitä on sisennetty vähemmän, loppusulje lisätään ja tämä let-lausekkeen käsittely päättyy. Samoin käy, jos seuraavaa sanasta ei voida tulkita kuuluvan letlauseen in-avainsanaa edeltävään osaan. Esimerkki 8 Lauseke let x = 4 y = 5 z = 7 in x + y + z tarkoittaa samaa kuin let {x = 4; y = 5; z = 7} in x + y + z. Case-lauseke Case-lausekkeen tarkoituksena on valita jonkin lausekkeen e arvon rakenteen ja ominaisuuksien perusteella laskettava lauseke. Case-lauseke on muotoa case e of {p 1 m 1 ; p 2 m 2 ;... ; p n m n }, missä p i ovat hahmoja ja m i ovat muotoa g i1 e i1 g i2 e i2 g ik e ik. Arvon rakenne kuvataan hahmolla (pattern). Hahmoja on seuraavanlaisia:
5 2.5. YDIN-HASKELL 17 Jokerihahmo (_) on hahmo. Muuttuja on hahmo. Koostinhahmo muodostuu joko koostimesta ja nollasta tai useammasta sen perään kirjoitetusta hahmosta tai kahdesta hahmosta, joiden väliin on kirjoitettu koostinoperaattori. Literaali on hahmo. Väljä hahmo on tilde, jota seuraa hahmo. Hahmossa kukin muuttuja saa esiintyä enintään kerran. Kuten lausekkeissa, myös hahmoissa sulkeita käytetään ilmaisemaan hahmon rakenne. Esimerkki 9 Joitakin hahmoja: 1. x 2. Cons Cons x (Cons 4 y) 4. 2 : 3 : 4 : x Case-lauseke lasketaan (redusoidaan) seuraavasti: 1. Ensin redusoidaan e normaalimuotoon tai :ksi. 2. Sitten katsotaan, mitkä hahmot p i sopivat e:hen. Hahmo sopii lausekkeeseen, jos niillä on sama rakenne eli jos molemmissa samat koostimet, koostinoperaattorit ja literaalit ovat samoissa paikoissa. Väljä hahmo, muuttujahahmo ja jokerihahmo sopivat mihin tahansa lausekkeeseen, myös :aan. 3. Sen jälkeen hylätään kaikki ne p i m i -parit, joissa hahmo p i ei sovi lausekkeeseen e. Jos yhtään paria ei jää jäljelle, koko lauseke redusoidaan :ksi. 4. Kussakin jäljelläolevassa m i :ssä jokainen p i :ssä esiintyvä muuttuja korvataan sitä vastaavalla e:n alilausekkeella. 5. Seuraavaksi tehdään seuraava järjestyksessä kullekin vartioimelle (guard) g ij : (a) Vartioin g ij redusoidaan. Jos tulokseksi tulee, koko lauseke redusoidaan :ksi. (b) Jos tulokseksi tulee True, koko case-lauseke redusoidaan vastaavaksi e ij :ksi. Myös case-lausekkeessa voidaan käyttää let-lausekkeesta tuttua sisennystekniikkaa. Esimerkki 10 Lasketaan yksi case-lauseke:
6 18 LUKU 2. OHJELMOINTI LASKENTANA case Cons (3 + 4) (5 2) of Cons x 6 x > 2 -> x + 2 True -> x + 3 Nil True -> 99 Cons x y x > 5 -> x + y y > 5 -> x - y case Cons 7 10 of Cons x 6 x > 2 -> x + 2 True -> x + 3 Nil True -> 99 Cons x y x > 5 -> x + y y > 5 -> x - y case Cons 7 10 of Cons x y x > 5 -> x + y y > 5 -> x - y case Cons 7 10 of Cons > 5 -> > 5-> Tyypit Ydin-Haskell vaatii, että jokaisella lausekkeella on tyyppi, joka ilmaisee lausekkeen normaalimuodon rakennetyypin. Ydin-Haskellin tyypit ilmaistaan seuraavin tyyppilausekkein: () on tyyppilauseke. Tyyppikoostimet alkavat isolla kirjaimella ja voivat sisältää numeroita, kirjaimia, alaviivoja ja heittomerkkejä ( ). Tyyppikoostimia ovat esimerkiksi List, Bool ja BinaryTree. Tyyppimuuttujat alkavat pienellä kirjaimella ja voivat sisältää numeroita, kirjaimia, alaviivoja ja heittomerkkejä ( ). Tyyppimuuttujia merki-
7 2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella ->. Nuoli assosioi oikealle, joten A B C tarkoittaa A (B C). Jos A on tyyppikoostin ja Γ 1,..., Γ n ovat tyyppilausekkeita, niin A Γ 1... Γ n on tyyppilauseke. Tyyppilausekkeidenkin rakenne ilmaistaan sulutuksella tavanomaiseen tapaan. Tyypit voivat olla monomorfisia tai polymorfisia. Polymorfisia ne ovat silloin, kun niissä esiintyy yksikin tyyppimuuttuja, monomorfisia muulloin. Monomorfiset tyypit ovat samoja, jos niillä on sama rakenne (samat tyyppikoostimet ja nuolet samoissa paikoissa). Polymorfiset tyypit (tai monomorfinen tyyppi ja polymorfinen tyyppi) voidaan samastaa, jos kumpikin voidaan muuttaa monomorfiseksi korvaamalla siinä esiintyvät tyyppimuuttujat tyyppilausekkeilla ja jos niistä tulee näin samat. Lausekkeen tyyppi on pääteltävä ja tarkastettava ennen kuin mitään redusointia tehdään. Tämä tapahtuu seuraavien sääntöjen avulla lukemalla lauseketta sisältä ulospäin: Lausekkeen e :: t tyyppi on t. Jos e:n tyyppi ei ole t, on tapahtunut tyyppivirhe ja lauseke hylätään. Lausekkeen tyyppi on α. Muuttujan tyyppi on α. Operaattorin, koostimen ja koostinoperaattorin tyyppi riippuu sen määritelmästä. Jos sitä ei ole määritelty, kyseessä on tyyppivirhe ja lauseke hylätään. Literaalin tyyppi riippuu literaalista (tässä vaiheessa voidaan olettaa kokonaislukujen tyypiksi Integer, liukulukujen tyypiksi Double ja merkkijonojen tyypiksi String). Olkoon lausekkeen e tyyppi u, ja olkoon siinä esiintyvän muuttujan x tyyppi t (päätelty e:tä tutkimalla). Tällöin abstraktion λx e tyyppi on t u.
tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla
2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella
LisätiedotLuku 2. Ohjelmointi laskentana. 2.1 Laskento
Luku 2 Ohjelmointi laskentana Funktio-ohjelmoinnin, olio-ohjelmoinnin ja käskyohjelmoinnin ero on löydettävissä niiden pohjalla olevista laskennan mallista. Automaattisen tietojenkäsittelyn yksi historiallinen
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA34 Funktio-ohjelmointi, kevät 2008 Luento 3 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 2. tammikuuta 2008 Ydin-Haskell: Syntaksi Lausekkeita (e) ovat: nimettömät funktiot: \x
LisätiedotDemo 7 ( ) Antti-Juhani Kaijanaho. 9. joulukuuta 2005
Demo 7 (14.12.2005) Antti-Juhani Kaijanaho 9. joulukuuta 2005 Liitteenä muutama esimerkki Ydin-Haskell-laskuista. Seuraavassa on enemmän kuin 12 nimellistä tehtävää; ylimääräiset ovat bonustehtäviä, joilla
LisätiedotAlgebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Algebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Tällä luennolla Algebralliset tietotyypit Hahmonsovitus (pattern matching) Primitiivirekursio Esimerkkinä binäärinen hakupuu Muistattehan...
LisätiedotLaajennetaan vielä Ydin-Haskellia ymmärtämään vakiomäärittelyt. Määrittely on muotoa
2.6. TIETOKONE LASKIMENA 23 Edellä esitetty Ydin-Haskell on hyvin lähellä sitä kieltä, jota GHCi (Glasgow Haskell Compiler, Interactive) sekä muut Haskell-järjestelmät suostuvat ymmärtämään. Esimerkiksi:
LisätiedotGeneeriset tyypit. TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
Geneeriset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 6. maaliskuuta 2007 Kysymys Mitä yhteistä on seuraavilla funktioilla?
LisätiedotYdin-Haskell Tiivismoniste
Ydin-Haskell Tiivismoniste Antti-Juhani Kaijanaho 8. joulukuuta 2005 1 Abstrakti syntaksi Päätesymbolit: Muuttujat a, b, c,..., x, y, z,... Tyyppimuuttujat α, β, γ,... Koostimet (data- ja tyyppi-) C, D,...,
LisätiedotLisää laskentoa. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Lisää laskentoa TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Kertausta: Laajennettu aritmetiikka Lasketaan rationaaliluvuilla vakiot yhteen, vähennys, kerto ja jakolasku Laajennetaan sitä määrittelyillä: vakio
LisätiedotUusi näkökulma. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Uusi näkökulma TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Aloitetaan alusta... Otetaan uusi näkökulma Haskelliin ohjelmointi laskentana kertausta toisaalta, uusia käsitteitä toisaalta helpottanee sitten
LisätiedotYksinkertaiset tyypit
Yksinkertaiset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 13. helmikuuta 2007 Tyypitön puhdas λ-laskento E ::= I E 1 E 2
LisätiedotTIES542 kevät 2009 Aliohjelmien formalisointia lambda-kieli
TIES542 kevät 2009 Aliohjelmien formalisointia lambda-kieli Antti-Juhani Kaijanaho 3. helmikuuta 2009 Lambda-kielen taustalla on 1900-luvun alkuvuosikymmenien matematiikan perusteiden tutkimus ja siihen
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 4 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 17. tammikuuta 2008 Modulin viimeistelyä module Shape ( Shape ( Rectangle, E l l i p
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen
LisätiedotTIES542 kevät 2009 Rekursiiviset tyypit
TIES542 kevät 2009 Rekursiiviset tyypit Antti-Juhani Kaijanaho 17. helmikuuta 2009 Edellisessä monisteessa esitetyt tietue- ja varianttityypit eivät yksinään riitä kovin mielenkiintoisten tietorakenteiden
LisätiedotRekursiiviset tyypit
Rekursiiviset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 20. helmikuuta 2007 Hiloista Kiintopisteet (Ko)rekursio Rekursiiviset
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 10 Todistamisesta Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Samuuden todistaminen usein onnistuu ihan laskemalla
LisätiedotJava-kielen perusteet
Java-kielen perusteet Tunnus, varattu sana, kommentti Muuttuja, alkeistietotyyppi, merkkijono, literaalivakio, nimetty vakio Tiedon merkkipohjainen tulostaminen 1 Tunnus Java tunnus Java-kirjain Java-numero
LisätiedotS BAB ABA A aas bba B bbs c
T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 12. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Äärellisiä automaatteja PUSH ON PUSH OFF Q T Q J C C H S C,Q C,Q 0 50s 1e
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 26. kesäkuuta 2013
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. kesäkuuta 2013 Sisällys ja ja on yksi vanhimmista tavoista yrittää mallittaa mekaanista laskentaa. Kurt
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotTyyppejä ja vähän muutakin. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Tyyppejä ja vähän muutakin TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Viime luennolla... Haskellin alkeita pääasiassa Hello World!... ja muita tutunoloisia ohjelmia Haskellilla Haskellin voima on kuitenkin
Lisätiedot14.1 Rekursio tyypitetyssä lambda-kielessä
Luku 14 Rekursiiviset tyypit Edellisessä luvussa esitetyt tietue- ja varianttityypit eivät yksinään riitä kovin mielenkiintoisten tietorakenteiden toteuttamiseen. Useimmissa ohjelmissa tarvitaan erilaisia
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
LisätiedotTaas laskin. TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006
Taas laskin TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006 Rakennepuutyyppi data Term = C Rational T F V String Term :+: Term Term : : Term Term :*: Term Term :/: Term Term :==: Term Term :/=: Term Term :
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 9 Kombinaattoreista Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Currying Haskell-funktio ottaa aina vain yhden
LisätiedotLaiska laskenta, korekursio ja äärettömyys. TIEA341 Funktio ohjelmointi Syksy 2005
Laiska laskenta, korekursio ja äärettömyys TIEA341 Funktio ohjelmointi Syksy 2005 Muistatko graafinsievennyksen? DAG esitys ja graafinsievennys DAG esitys Lausekkeen rakennepuu, jossa yhteiset alilausekkeet
LisätiedotLuku 3. Listankäsittelyä. 3.1 Listat
Luku 3 Listankäsittelyä Funktio-ohjelmoinnin tärkein yksittäinen tietorakenne on lista. Listankäsittely on paitsi käytännöllisesti oleellinen aihe, se myös valaisee funktio-ohjelmoinnin ideaa. 3.1 Listat
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut
T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama
Lisätiedot9.5. Turingin kone. Turingin koneen ohjeet. Turingin kone on järjestetty seitsikko
9.5. Turingin kone Turingin kone on järjestetty seitsikko TM = (S, I, Γ, O, B, s 0, H), missä S on tilojen joukko, I on syöttöaakkosto, Γ on nauha-aakkosto, I Γ, O on äärellinen ohjeiden joukko, O S Γ
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 21.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 21.1.2009 1 / 32 Tyypeistä Monissa muissa ohjelmointikielissä (esim. Java ja C) muuttujat on määriteltävä ennen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op)
ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op) Tentaattori: Antti-Jussi Lakanen 7. huhtikuuta 2017 Vastaa kaikkiin tehtäviin. Tee jokainen tehtävä erilliselle konseptiarkille. Kirjoittamasi luokat, funktiot ja aliohjelmat
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotM =(K, Σ, Γ,, s, F ) Σ ={a, b} Γ ={c, d} = {( (s, a, e), (s, cd) ), ( (s, e, e), (f, e) ), (f, e, d), (f, e)
Tik-79.148 Kevät 2001 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Laskuharjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 1. Pinoautomaatti M = K Σ Γ s F missä K Σ s ja F on määritelty samalla tavalla kuin tilakoneellekin.
Lisätiedotjäsennyksestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 29. syyskuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS Kontekstittomien kielioppien
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. syyskuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 29.9.2016 klo 8:41 (lähes kaikki kommentoitu) passed
LisätiedotOhjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 20.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 20.1.2010 1 / 40 Arvon pyytäminen käyttäjältä Käyttäjän antaman arvon voi lukea raw_input-käskyllä. Käskyn sulkujen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 9 3.11.009 alkavalle viikolle Ratkaisuedoituksia Rami Luisto Sivuja: 5 Näissä arjoituksissa saa käyttää kaikkia koulusta tuttuja koulusta tuttujen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotOhjelmassa henkilön etunimi ja sukunimi luetaan kahteen muuttujaan seuraavasti:
1 (7) Tiedon lukeminen näppäimistöltä Scanner-luokan avulla Miten ohjelma saa käyttöönsä käyttäjän kirjoittamaa tekstiä? Järjestelmässä on olemassa ns. syöttöpuskuri näppäimistöä varten. Syöttöpuskuri
LisätiedotJava-kielen perusteet
Java-kielen perusteet Tunnus, varattu sana, kommentti Muuttuja, alkeistietotyyppi, merkkijono, Vakio Tiedon merkkipohjainen tulostaminen Ohjelmointi (ict1tx006) Tunnus (5.3) Javan tunnus Java-kirjain Java-numero
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedotjäsentäminen TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 26. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. marraskuuta 2015 Sisällys Tunnistamis- ja jäsennysongelma Olkoon G = (N, Σ, P, S) kontekstiton kielioppi ja
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
Lisätiedot14. Hyvä ohjelmointitapa 14.1
14. Hyvä ohjelmointitapa 14.1 Yleistä Ohjelman elinkaari ei tyypillisesti pääty sen toteuttamiseen; ohjelmaa voidaan käyttää ja ylläpitää jopa vuosikymmeniä. Jotta koodin muuttaminen on mahdollista, sen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 11 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Listakomprehensio Uusi tapa luoda (ja muokata) listoja: [ lauseke
Lisätiedot5.5 Jäsenninkombinaattoreista
5.5. JÄSENNINKOMBINAATTOREISTA 67 type Env α = FiniteMap String α data EnvT m α = MkE (Env Integer m (Env Integer, α)) instance Transformer EnvT where promote mp = MkE $ λenv mp λr return $(env, r) instance
LisätiedotEsimerkki: Laskin (alkua) TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Esimerkki: Laskin (alkua) TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Esimerkki: Laskin Liukulukulaskentaa Yhteen, vähennys, kerto ja jakolaskut Syötteenä laskutehtävä, tulosteena tulos tai virheilmoitus
LisätiedotSäännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet
Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Osoitamme nyt, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen, konkatenaation ja tähtioperaation suhteen. Toisin sanoen jos A ja B ovat säännöllisiä,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/
Lisätiedotc) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. toukokuuta 2011 Sisällys engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen)
LisätiedotHaskell ohjelmointikielen tyyppijärjestelmä
Haskell ohjelmointikielen tyyppijärjestelmä Sakari Jokinen Helsinki 19. huhtikuuta 2004 Ohjelmointikielten perusteet - seminaarityö HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos 1 Johdanto 1 Tyyppien
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. lokakuuta 2016 Sisällys ja ja Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/
LisätiedotTämän vuoksi kannattaa ottaa käytännöksi aina kirjoittaa uuden funktion tyyppi näkyviin, ennen kuin alkaa sen määritemää kirjoittamaan.
3.1. LISTAT 35 destaan pisteittäisesti: init :: [α] [α] init (x : []) = [] init (x : xs) = x : init xs Varuskirjastoon kuuluu myös funktiot take ja drop, jotka ottavat tai tiputtavat pois, funktiosta riippuen,
LisätiedotTyyppiluokat II konstruktoriluokat, funktionaaliset riippuvuudet. TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006
Tyyppiluokat II konstruktoriluokat, funktionaaliset riippuvuudet TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006 Alkuperäislähteitä Philip Wadler & Stephen Blott: How to make ad-hoc polymorphism less ad-hoc,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
LisätiedotAS-0.1103 C-ohjelmoinnin peruskurssi 2013: C-kieli käytännössä ja erot Pythoniin
AS-0.1103 C-ohjelmoinnin peruskurssi 2013: C-kieli käytännössä ja erot Pythoniin Raimo Nikkilä Aalto-yliopiston sähkötekniikan korkeakoulu - Automaation tietotekniikan tutkimusryhmä 17. tammikuuta 2013
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, kesä 3 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. toukokuuta 3 Sisällys Äärellisiä automaatteja ON PUSH PUSH OFF Q T J Q C C H S C,Q C,Q 0 40 60 80 00, 70 90 Deterministinen
LisätiedotPERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä /+^2 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen / +^2 Kopioi molemmat matematiikka-alueet ja liiku alueen sisällä
LisätiedotM = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )
6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.
LisätiedotRajoittamattomat kieliopit
Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet
LisätiedotKesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
LisätiedotVeRan laboratoriotietojen siirtoformaatti
FCG Finnish Consulting Group Oy VERA TOIMINTAOHJEET Rev./pvm 1.03 Hyväksytty 30.4.2010 Sisältö Käyttö Vastuuhenkilö VeRan tiedonsiirtoformaatti Laboratoriot, jotka toimittavat tulokset suoraan VeRaan.
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 13.9.2017 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 13.9.2017 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotDatatähti 2019 alku. task type time limit memory limit. A Kolikot standard 1.00 s 512 MB. B Leimasin standard 1.00 s 512 MB
Datatähti 2019 alku task type time limit memory limit A Kolikot standard 1.00 s 512 MB B Leimasin standard 1.00 s 512 MB C Taulukko standard 1.00 s 512 MB D Ruudukko standard 1.00 s 512 MB E Sanalista
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 14.9.2016 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 14.9.2016 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotPERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2 3
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä 3/+^ 3 Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti :n jälkeen 3/ +^ 3 Liiku matematiikka alueella nuolinäppäimin. Kokeile
LisätiedotT Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut
T-79.1001 Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut Lemma (Säännöllisten kielten pumppauslemma). Olkoon A säännöllinen kieli. Tällöin on olemassa n 1
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 10. kesäkuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 etenevä Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. kesäkuuta 2013 Sisällys etenevä etenevä Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1)
LisätiedotTäydentäviä muistiinpanoja kontekstittomien kielioppien jäsentämisestä
Täydentäviä muistiinpanoja kontekstittomien kielioppien jäsentämisestä Antti-Juhani Kaijanaho 30. marraskuuta 2015 1 Yksiselitteiset operaattorikieliopit 1.1 Aritmeettiset lausekkeet Tällä kurssilla on
LisätiedotPinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. kesäkuuta 2013 Sisällys Aikataulumuutos Tämänpäiväinen demotilaisuus on siirretty maanantaille klo 14:15 (Ag Delta).
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotLuku 4. Tietorakenteet funktio-ohjelmoinnissa. 4.1 Äärelliset kuvaukset
Luku 4 Tietorakenteet funktio-ohjelmoinnissa Koska funktio-ohjelmoinnissa ei käytetä tuhoavaa päivitystä (sijoituslausetta ja sen johdannaisia), eivät läheskään kaikki valtavirtaohjelmoinnista tutut tietorakenteet
LisätiedotPinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino
LisätiedotSisällys. 3. Muuttujat ja operaatiot. Muuttujat ja operaatiot. Muuttujat. Operaatiot. Imperatiivinen laskenta. Muuttujat. Esimerkkejä: Operaattorit.
3. Muuttujat ja operaatiot Sisällys Imperatiivinen laskenta. Muuttujat. Nimi ja arvo. Muuttujan nimeäminen. Muuttujan tyyppi.. Operandit. Arvon sijoitus muuttujaan. Aritmeettiset operaattorit. Arvojen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotKaulaketju. Syöte. Tuloste. Esimerkki 1. Esimerkki 2
A Kaulaketju Kaulaketjussa on sinisiä ja punaisia helmiä tietyssä järjestyksessä. Helmien järjestys voidaan esittää merkkijonona, jossa S vastaa sinistä helmeä ja P punaista helmeä. Esimerkiksi ketjussa
Lisätiedot3. Muuttujat ja operaatiot 3.1
3. Muuttujat ja operaatiot 3.1 Sisällys Imperatiivinen laskenta. Muuttujat. Nimi ja arvo. Muuttujan nimeäminen. Muuttujan tyyppi. Operaattorit. Operandit. Arvon sijoitus muuttujaan. Aritmeettiset operaattorit.
LisätiedotPERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +5^2
PERUSLASKUJA Matemaattisten lausekkeiden syöttäminen: Kirjoita ilman välilyöntejä 3/4+^2 3 4+ 2 Kirjoita muuten sama, mutta ota KAKSI välilyöntiä (SEURAA ALUEMERKINTÄÄ) 4:n jälkeen 3/4 +^2 3 + 4 2 Kopioi
LisätiedotITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op)
ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op) Tentaattori: Antti-Jussi Lakanen 20. huhtikuuta 2018 Vastaa kaikkiin tehtäviin. Tee kukin tehtävä omalle konseptiarkille. Noudata ohjelmointitehtävissä kurssin koodauskäytänteitä.
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssi Y1
Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CS-A1111 12.9.2018 CS-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 12.9.2018 1 / 19 Oppimistavoitteet: tämän luennon jälkeen osaat kirjoittaa Python-ohjelman, joka pyytää käyttäjältä lukuja,
Lisätiedot