Geneeriset tyypit. TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
|
|
- Antero Korpela
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Geneeriset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 6. maaliskuuta 2007
2 Kysymys Mitä yhteistä on seuraavilla funktioilla? isnilint = λx : µt. nil : (), cons : (int, t).case x of nil true, cons false isnilfloat = λx : µt. nil : (), cons : (float, t).case x of nil true, cons false Vastaus Ne ovat sama funktio, vain tyypit ovat tiellä! Kysymys Hylätäänkö tyypit? Vastaus Voisi niinkin tehdä, mutta katsotaan ensin, saadaanko tämä korjattua!
3 Idea! Otetaan tyyppi parametriksi! isnil = Λt 1.λx : µt 2. nil : (), cons : (t 1, t 2).case x of nil true, cons false isnilint = isnil[int] isnilfloat = isnil[float] Onnistuuko? No totta kai!
4 Systeemi F: (Abstrakti) syntaksi E ::= I (lauseke)muuttuja E 1 E 2 applikaatio λi : T.E abstraktio E[T ] tyyppiapplikaatio ΛI.E tyyppiabstraktio T ::= I tyyppimuuttuja T 1 T 2 funktiotyyppi I.T universaali tyyppi Γ := Γ, I : T Γ, I
5 Systeemi F: Tyypityssäännöt Γ, I : T I : T Γ E 1 : T 1 T 2 Γ E 2 : T 1 Γ E 1 E 2 : T 2 I Γ Γ, I : T 1 E : T 2 Γ λi : T 1.E : T 1 T 2 (I, T ) Γ Γ, I E : T (I, T ) Γ : I ei esiinny vapaana T :ssa Γ ΛI.E : I.T Γ E : ΛI.T 1 Γ E[T 2] : T 1[I := T 2]
6 Systeemi F: Laskentasäännöt Samat säännöt kuin yksinkertaisesti tyypitetyssä λ-laskennossa. Lisäksi seuraavat: E E E[T ] E [T ] (ΛI.E)[T ] E [I := T ]
7 Esimerkkejä 1. (ΛX.λx : X.x) : X.X X 2. (ΛX.λx : X.x)[Int] (λx : Int.x) 3. (λx : ( X : X X ).x[ X.X X ] x) : ( X.X X ) ( X.X X )
8 Määritelmä (Kumitus) Määritellään funktio erase Systeemi F:n lausekkeista tyypittömän λ-laskennon lausekkeille seuraavasti: erase(i ) = I erase(λi : T.E) = λi.e erase(e 1 E 2 ) = erase(e 1 ) erase(e 2 ) erase(λi.e) = λi. erase(e) erase(e[t ]) = erase(e) (λx.x) I uusi Tätä funktiota sanotaan tyyppien kumitukseksi (engl. type erasure, turkulaisittain tyyppitypistys).
9 Lause Olkoon ( F ) Systeemi F:n laskentarelaatio ja olkoon ( λ ) tyypittömän λ-laskennon laskentarelaatio. 1 Olkoot lisäksi E ja E Systeemi F:n lausekkeita. Tällöin, jos E F E niin erase(e) λ erase(e ). Todistus. Jääköön jokaisen itse mietittäväksi. Huomautus Kumitus voidaan muotoilla yksinkertaisillekin tyypeille siten, että vastaava lause pätee. Huomautus Kumitus osoittaa, että Systeemi F:n (ja yksinkertaisten tyyppien) laskenta on tyypeistä riippumatonta. 1 Näitä on toki molemmissa useita, mutta valitaan toisiaan vastaavat, esim. molemmissa normaalijärjestys tai molemmissa β-muunnos.)
10 Esimerkki Olkoon meillä tyyppi List t kaikilla tyypeillä t. Joitakin sen käsittelyssä hyödyllisiä funktioita ovat: empty : t.list t prepend : t.t List t List t isempty : t.list t Bool first : t.list t t rest : t.list t List t Näiden avulla voidaan kirjoittaa funktio map : t. u.(t u) List t List u seuraavasti: map = Λt.Λu.λf : (t u).λs : List t.fix(λm : (List t List u). if isempty[t] s then empty[u] else prepend[u](f (first[t] s))(m (rest[t] s)))
11 Kysymys List t ei ole Systeemi F:n tyyppi! Voiko tämän korjata? Vastaus List on tyyppitoimitus (engl. type operator), tyyppitasolla toimiva funktio (eli siis funktio tyypeiltä tyypeille. Lisäämällä Systeemi F:ään tyyppitoimitukset, saadaan Systeemi F ω.
12 Systeemi F ω lisätään tyyppeihin tuki abstraktiolle ja applikaatiolle List = λt.µs. nil : (), cons : (t, s) jotta tyyppijärjestelmä olisi ratkeava (engl. decidable), tulee tyypeillä olla tyypit engl. kinds, suomennetaan vaikka luonteet luonne : tavalliset tyypit luonne : yksinkertaiset tyyppitoimitukset tyyppilausekkeella T on luonne K merkitään T :: K List :: ns. korkean kertaluokan tyyppitoimitukset ovat varsin esoteerisia luonteiltaan esim. ( ) esim. Haskellin monadit nyt viimeistään on pakko tehdä tyyppiyhtäläisyydestä eksplisiittistä
13 Systeemi F ω : (Abstrakti) syntaksi E ::= I (lauseke)muuttuja E 1 E 2 applikaatio λi : T.E abstraktio E[T ] tyyppiapplikaatio ΛI :: K.E tyyppiabstraktio T ::= I tyyppimuuttuja T 1 T 2 funktiotyyppi I :: K.T universaali tyyppi T 1 T 2 tyyppitason applikaatio λi :: K.T tyyppitason abstraktio K ::= tavallisen tyypin luonne K 1 K 2 tyyppitoimitusluonne Γ := Γ, I : T Γ, I :: T
14 Systeemi F ω : Luonnehdintasäännöt Γ, I :: K I :: K Γ, I :: K 1 T :: K 2 Γ (λi :: K 1.T ) :: K 1 K 2 Γ T 1 :: K 1 K 2 Γ T 2 :: K 1 Γ T 1 T 2 :: K 2 Γ T 1 :: Γ T 2 :: Γ T 1 T 2 :: Γ, I :: K T :: Γ ( I :: K.T ) ::
15 Systeemi F ω : Tyyppiyhtäläisyys T T T 2 T 1 T 1 T 2 T 1 T 2 T 2 T 3 T 1 T 3 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 I : K.T 1 I : K.T 2 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 (λi :: K.T 1) T 2 T 1[I := T 2]
16 Systeemi F ω : Tyypityssäännöt Γ, I : T I : T Γ E 1 : T 1 T 2 Γ E 2 : T 1 Γ E 1 E 2 : T 2 (I, K) Γ Γ T 1 :: Γ, I : T 1 E : T 2 Γ λi : T 1.E : T 1 T 2 (I, T ) Γ Γ, I :: K E : T (I, T ) Γ : I ei esiinny vapaana T :ssa Γ ΛI :: K.E : I :: K.T Γ E : ΛI :: K.T 1 Γ T 2 :: K Γ E[T 2] : T 1[I := T 2] Γ E : T Γ T :: T T Γ E : T
17 Systeemi F ω : Laskentasäännöt Samat säännöt kuin yksinkertaisesti tyypitetyssä λ-laskennossa. Lisäksi seuraavat: E E E[T ] E [T ] (ΛI :: K.E)[T ] E [I := T ]
18 Once more unto the breach lisätään Systeemi F ω :aan alityypitys idea: tyyppikvantifiointi on rajoittunutta voidaan sanoa vaikkapa, että jokin funktio toimii geneerisesti vain tietyn tyypin alityypeillä periaatteessa voidaan rajoittaa myös tyyppitoimituksia, mutta jätetään se nyt väliin
19 Systeemi F ω <: (Abstrakti) syntaksi E ::= I (lauseke)muuttuja E 1 E 2 applikaatio λi : T.E abstraktio E[T ] tyyppiapplikaatio ΛI <: T.E tyyppiabstraktio T ::= I tyyppimuuttuja T 1 T 2 funktiotyyppi I <: K.T universaali tyyppi T 1 T 2 tyyppitason applikaatio λi :: K.T tyyppitason abstraktio Top kansityyppi K ::= tavallisen tyypin luonne K 1 K 2 tyyppitoimitusluonne Γ ::= Γ, I : T Γ, I <: T
20 Systeemi F ω <: Yleistetty Top Määritelmä Määritellään lyhennysmerkintä rekursiivisesti: Top[ ] = Top Top[K 1 K 2] = ΛI :: K 1.Top[K 2] I uusi Väite Γ T <: Top[K] jos ja vain jos Γ T :: K. Todistus. Induktiolla, sivuutetaan.
21 Systeemi F ω <: Luonnehdintasäännöt Γ T :: K Γ, I <: T I :: K Γ Top :: Γ, I <: Top[K 1] T :: K 2 Γ (λi :: K 1.T ) :: K 1 K 2 Γ T 1 :: K 1 K 2 Γ T 2 :: K 1 Γ T 1 T 2 :: K 2 Γ T 1 :: Γ T 2 :: Γ T 1 T 2 :: Γ, I <: T 1 T 2 :: Γ ( I <: T 1.T 2) ::
22 Systeemi F ω <: Tyyppiyhtäläisyys T T T 2 T 1 T 1 T 2 T 1 T 2 T 2 T 3 T 1 T 3 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 U 1 U 2 T 1 T 2 I <: U 1.T 1 I <: U 2.T 2 T 1 T 1 T 2 T 2 T 1 T 2 T 1 T 2 (λi :: K.T 1) T 2 T 1[I := T 2]
23 Systeemi F ω <: Alityypitys Γ T 1 <: T 2 Γ T 2 <: T 3 Γ T 1 <: T 3 Γ T :: Γ T 1 <: Top Γ T 1 <: T 1 Γ T 2 <: T 2 Γ T 1 T 2 <: T 1 T 2 Γ, I <: T I <: T Γ T 1 :: K Γ, I <: T 1 T 2 <: T 2 Γ ( I <: T 1.T 2) <: ( I <: T 1.T 2) Γ, I <: Top[K] T 1 <: T 2 Γ (λi :: K.T 1) <: (λi :: K.T 2) Γ T 1 <: T 2 Γ T 1 T 2 <: T 1 T 2 Γ T 1 :: K Γ T 2 :: K T 1 T 2 Γ T 1 <: T 2
24 Systeemi F ω <: Tyypityssäännöt Γ, I : T I : T Γ E 1 : T 1 T 2 Γ E 2 : T 1 Γ E 1 E 2 : T 2 (I, K) Γ Γ T 1 :: Γ, I : T 1 E : T 2 Γ λi : T 1.E : T 1 T 2 (I, T ) Γ Γ, I <: U E : T (I, T ) Γ : I ei esiinny vapaana T :ssa Γ ΛI <: U.E : I <: U.T Γ E : ΛI <: U.T 1 Γ T 2 <: U Γ E[T 2] : T 1[I := T 2] Γ E : T Γ T :: T <: T Γ E : T
25 Systeemi F ω <: Laskentasäännöt Samat säännöt kuin yksinkertaisesti tyypitetyssä λ-laskennossa. Lisäksi seuraavat: E E E[T ] E [T ] (ΛI <: U.E)[T ] E [I := T ]
Yksinkertaiset tyypit
Yksinkertaiset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 13. helmikuuta 2007 Tyypitön puhdas λ-laskento E ::= I E 1 E 2
LisätiedotRekursiiviset tyypit
Rekursiiviset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 20. helmikuuta 2007 Hiloista Kiintopisteet (Ko)rekursio Rekursiiviset
LisätiedotOliot ja tyypit. TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
Oliot ja tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 19. maaliskuuta 2007 Olion tyyppi? attribuutti on oikeastaan metodi,
LisätiedotAlityypitys. TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos
Alityypitys TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 5. maaliskuuta 2007 Muistatko tietueet? {I 1 = E 1,..., I n = E n } : {I
LisätiedotTIES542 kevät 2009 Rekursiiviset tyypit
TIES542 kevät 2009 Rekursiiviset tyypit Antti-Juhani Kaijanaho 17. helmikuuta 2009 Edellisessä monisteessa esitetyt tietue- ja varianttityypit eivät yksinään riitä kovin mielenkiintoisten tietorakenteiden
Lisätiedottään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla
2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 10 Todistamisesta Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Samuuden todistaminen usein onnistuu ihan laskemalla
Lisätiedot2.4 Normaalimuoto, pohja ja laskentajärjestys 2.4. NORMAALIMUOTO, POHJA JA LASKENTAJÄRJESTYS 13
2.4. NORMAALIMUOTO, POHJA JA LASKENTAJÄRJESTYS 13 Toisinaan voi olla syytä kirjoittaa α- tai β-kirjain yhtäsuuruusmerkin yläpuolelle kertomaan, mitä muunnosta käytetään. Esimerkki 4 1. (λx.x)y β = y 2.
LisätiedotLuku 15. Parametripolymorfismi Kumitus
Luku 15 Parametripolymorfismi Lähes kaikessa ohjelmoinnissa tarvitaan säilöjä (engl. containers) ja niitä käsitteleviä operaatioita. Aiemmissa monisteissa esiteltiin NumList, joka oli numeroita sisältävä
Lisätiedot14.1 Rekursio tyypitetyssä lambda-kielessä
Luku 14 Rekursiiviset tyypit Edellisessä luvussa esitetyt tietue- ja varianttityypit eivät yksinään riitä kovin mielenkiintoisten tietorakenteiden toteuttamiseen. Useimmissa ohjelmissa tarvitaan erilaisia
LisätiedotYdin-Haskell Tiivismoniste
Ydin-Haskell Tiivismoniste Antti-Juhani Kaijanaho 8. joulukuuta 2005 1 Abstrakti syntaksi Päätesymbolit: Muuttujat a, b, c,..., x, y, z,... Tyyppimuuttujat α, β, γ,... Koostimet (data- ja tyyppi-) C, D,...,
LisätiedotDemo 7 ( ) Antti-Juhani Kaijanaho. 9. joulukuuta 2005
Demo 7 (14.12.2005) Antti-Juhani Kaijanaho 9. joulukuuta 2005 Liitteenä muutama esimerkki Ydin-Haskell-laskuista. Seuraavassa on enemmän kuin 12 nimellistä tehtävää; ylimääräiset ovat bonustehtäviä, joilla
LisätiedotTyyppiluokat II konstruktoriluokat, funktionaaliset riippuvuudet. TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006
Tyyppiluokat II konstruktoriluokat, funktionaaliset riippuvuudet TIES341 Funktio-ohjelmointi 2 Kevät 2006 Alkuperäislähteitä Philip Wadler & Stephen Blott: How to make ad-hoc polymorphism less ad-hoc,
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 4 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 17. tammikuuta 2008 Modulin viimeistelyä module Shape ( Shape ( Rectangle, E l l i p
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 14: Monadit Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Tyyppien tyypit eli luonteet engl. kind tyyppinimet, kuten
LisätiedotAlgebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Algebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Tällä luennolla Algebralliset tietotyypit Hahmonsovitus (pattern matching) Primitiivirekursio Esimerkkinä binäärinen hakupuu Muistattehan...
LisätiedotTaas laskin. TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006
Taas laskin TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006 Rakennepuutyyppi data Term = C Rational T F V String Term :+: Term Term : : Term Term :*: Term Term :/: Term Term :==: Term Term :/=: Term Term :
LisätiedotLaajennetaan vielä Ydin-Haskellia ymmärtämään vakiomäärittelyt. Määrittely on muotoa
2.6. TIETOKONE LASKIMENA 23 Edellä esitetty Ydin-Haskell on hyvin lähellä sitä kieltä, jota GHCi (Glasgow Haskell Compiler, Interactive) sekä muut Haskell-järjestelmät suostuvat ymmärtämään. Esimerkiksi:
LisätiedotStaattinen tyyppijärjestelmä
Luku 12 Staattinen tyyppijärjestelmä [Staattinen t]yyppijärjestelmä on ratkeava, kieliopillinen menetelmä, jota käytetään todistamaan tiettyjen käytösten puuttuminen ohjelmasta luokittelemalla ilmaisuja
Lisätiedotjäsennyksestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 29. syyskuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS Kontekstittomien kielioppien
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. syyskuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 29.9.2016 klo 8:41 (lähes kaikki kommentoitu) passed
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotSäännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 24. toukokuuta 2013 Sisällys Formaalit kielet On tapana sanoa, että merkkijonojen joukko on (formaali) kieli. Hieman
LisätiedotLisää laskentoa. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Lisää laskentoa TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Kertausta: Laajennettu aritmetiikka Lasketaan rationaaliluvuilla vakiot yhteen, vähennys, kerto ja jakolasku Laajennetaan sitä määrittelyillä: vakio
LisätiedotTIES542 kevät 2009 Tyyppijärjestelmän laajennoksia
TIES542 kevät 2009 Tyyppijärjestelmän laajennoksia Antti-Juhani Kaijanaho 16. helmikuuta 2009 Tyypitetyt ohjelmointikielet sisältävät paljon muitakin konstruktioita kuin yksinkertaisesti tyypitetyn lambda-kielen,
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA34 Funktio-ohjelmointi, kevät 2008 Luento 3 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 2. tammikuuta 2008 Ydin-Haskell: Syntaksi Lausekkeita (e) ovat: nimettömät funktiot: \x
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 11 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Listakomprehensio Uusi tapa luoda (ja muokata) listoja: [ lauseke
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 26. kesäkuuta 2013
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. kesäkuuta 2013 Sisällys ja ja on yksi vanhimmista tavoista yrittää mallittaa mekaanista laskentaa. Kurt
LisätiedotAbstraktit tietotyypit. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005
Abstraktit tietotyypit TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Data abstraktio Abstraktio on ohjelmoinnin tärkein väline Data abstraktio abstrahoi dataa Abstrakti tietotyyppi Koostuu kolmesta asiasta:
LisätiedotSe mistä tilasta aloitetaan, merkitään tyhjästä tulevalla nuolella. Yllä olevassa esimerkissä aloitustila on A.
Tehtävä. Tämä tehtävä on aineistotehtävä, jossa esitetään ensin tehtävän teoria. Sen jälkeen esitetään neljä kysymystä, joissa tätä teoriaa pitää soveltaa. Mitään aikaisempaa tehtävän aihepiirin tuntemusta
LisätiedotTIES542 kevät 2009 Tyyppiteorian alkeet
TIES542 kevät 2009 Tyyppiteorian alkeet Antti-Juhani Kaijanaho 9. helmikuuta 2009 [Staattinen t]yyppijärjestelmä on ratkeava, kieliopillinen menetelmä, jota käytetään todistamaan tiettyjen käytösten puuttuminen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. toukokuuta 2011 Sisällys engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen)
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 2. helmikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 2. helmikuuta 2012 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti lueteltava
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. marraskuuta 2015 Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4 a 5 00 k 11 i
LisätiedotHaskell ohjelmointikielen tyyppijärjestelmä
Haskell ohjelmointikielen tyyppijärjestelmä Sakari Jokinen Helsinki 19. huhtikuuta 2004 Ohjelmointikielten perusteet - seminaarityö HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos 1 Johdanto 1 Tyyppien
LisätiedotLaiska laskenta, korekursio ja äärettömyys. TIEA341 Funktio ohjelmointi Syksy 2005
Laiska laskenta, korekursio ja äärettömyys TIEA341 Funktio ohjelmointi Syksy 2005 Muistatko graafinsievennyksen? DAG esitys ja graafinsievennys DAG esitys Lausekkeen rakennepuu, jossa yhteiset alilausekkeet
LisätiedotSamanaikaisuuden hallinta
Samanaikaisuuden hallinta TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 20. maaliskuuta 2007 Samanaikaisuus engl. concurrency useampaa
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/
LisätiedotLuku 2. Ohjelmointi laskentana. 2.1 Laskento
Luku 2 Ohjelmointi laskentana Funktio-ohjelmoinnin, olio-ohjelmoinnin ja käskyohjelmoinnin ero on löydettävissä niiden pohjalla olevista laskennan mallista. Automaattisen tietojenkäsittelyn yksi historiallinen
LisätiedotTämän vuoksi kannattaa ottaa käytännöksi aina kirjoittaa uuden funktion tyyppi näkyviin, ennen kuin alkaa sen määritemää kirjoittamaan.
3.1. LISTAT 35 destaan pisteittäisesti: init :: [α] [α] init (x : []) = [] init (x : xs) = x : init xs Varuskirjastoon kuuluu myös funktiot take ja drop, jotka ottavat tai tiputtavat pois, funktiosta riippuen,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotRekursiiviset tyypit - teoria
Rekursiiviset tyypit - teoria Samppa Saarela Helsinki 1999/04/14 Tyyppiteoria ja ohjelmointikielet - seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö i 1 Johdanto 1 2 Esimerkkkejä
Lisätiedotjäsentämisestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 27. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 27. marraskuuta 2015 Sisällys Rekursiivisesti etenevä engl. recursive descent parsing Tehdään kustakin välikesymbolista
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. syyskuuta 2016 Sisällys Neuvoja opintoihin tee joka päivä ainakin vähän uskalla mennä epämukavuusalueelle en
Lisätiedot5.5 Jäsenninkombinaattoreista
5.5. JÄSENNINKOMBINAATTOREISTA 67 type Env α = FiniteMap String α data EnvT m α = MkE (Env Integer m (Env Integer, α)) instance Transformer EnvT where promote mp = MkE $ λenv mp λr return $(env, r) instance
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssien laaja oppimäärä
Ohjelmoinnin peruskurssien laaja oppimäärä Luento 8: Pienen ohjelmointikielen tulkki (ohjelmoitava laskin) (mm. SICP 4-4.1.5 osin) Riku Saikkonen 15. 11. 2012 Sisältö 1 Nelilaskintulkki, globaalit muuttujat
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotLaskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.
LisätiedotLaskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. maaliskuuta 2012 Sisällys Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on
Lisätiedotvaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 13. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 13.10.2016 klo 9:42 passed waiting redo submitters
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 22. toukokuuta 2013
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, kesä 3 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. toukokuuta 3 Sisällys Äärellisiä automaatteja ON PUSH PUSH OFF Q T J Q C C H S C,Q C,Q 0 40 60 80 00, 70 90 Deterministinen
LisätiedotTuringin koneet. Sisällys. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi. Aluksi. Turingin koneet. Turingin teesi
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. kesäkuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja vähän muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen
LisätiedotTIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008
TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 9 Kombinaattoreista Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 Currying Haskell-funktio ottaa aina vain yhden
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 10. kesäkuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 etenevä Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. kesäkuuta 2013 Sisällys etenevä etenevä Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1)
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
LisätiedotTIES542 kevät 2009 Aliohjelmien formalisointia lambda-kieli
TIES542 kevät 2009 Aliohjelmien formalisointia lambda-kieli Antti-Juhani Kaijanaho 3. helmikuuta 2009 Lambda-kielen taustalla on 1900-luvun alkuvuosikymmenien matematiikan perusteiden tutkimus ja siihen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
LisätiedotLaskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. kesäkuuta 2013 Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on muotoa Onko
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4
LisätiedotLaskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 17.10.2016 klo 15:07 passed waiting redo submitters
Lisätiedot1.4 Funktioiden kertaluokat
1.4 Funktioiden kertaluokat f on kertaluokkaa O(g), merk. f = O(g), jos joillain c > 0, m N pätee f(n) cg(n) aina kun n m f on samaa kertaluokkaa kuin g, merk. f = Θ(g), jos joillain a, b > 0, m N pätee
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. tammikuuta 2012 Sisällys Luennon pähkinä Millä tavalla voidaan rakentaa tietokoneohjelma (tai kirjasto), joka
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotFunktionimien kuormitus. TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006
Funktionimien kuormitus TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006 Kertausta ongelma Mikä on (+) operaattorin tyyppi? Num a => a -> a -> a Mikä on (==) operaattorin tyyppi? Eq a => a -> a -> a Mikä on show
Lisätiedotjäsentäminen TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 26. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. marraskuuta 2015 Sisällys Tunnistamis- ja jäsennysongelma Olkoon G = (N, Σ, P, S) kontekstiton kielioppi ja
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
Lisätiedot815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset
815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotLuku 3. Listankäsittelyä. 3.1 Listat
Luku 3 Listankäsittelyä Funktio-ohjelmoinnin tärkein yksittäinen tietorakenne on lista. Listankäsittely on paitsi käytännöllisesti oleellinen aihe, se myös valaisee funktio-ohjelmoinnin ideaa. 3.1 Listat
Lisätiedot5/20: Algoritmirakenteita III
Ohjelmointi 1 / syksy 2007 5/20: Algoritmirakenteita III Paavo Nieminen nieminen@jyu.fi Tietotekniikan laitos Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto Ohjelmointi 1 / syksy 2007 p.1/17 Tämän
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. lokakuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. lokakuuta 2016 Sisällys Kontekstiton kielioppi Kontekstiton kielioppi koostuu joukosta päätemerkkejä (engl. terminal symbols),
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. lokakuuta 2016 Sisällys ja ja Vuosi on 1936, eikä tietokoneita ollut. Computer oli ammattinimike. http://www.nasa.gov/centers/dryden/
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015
ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotLisää pysähtymisaiheisia ongelmia
Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotVasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:
Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen
LisätiedotPinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. kesäkuuta 2013 Sisällys Aikataulumuutos Tämänpäiväinen demotilaisuus on siirretty maanantaille klo 14:15 (Ag Delta).
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotPinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino
LisätiedotDFA:n käyttäytyminen ja säännölliset kielet
säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2015 Sisällys toiminta formaalisti Olkoon M = (Q, Σ, δ, q 0, F) deterministinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotJatkeet. TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006
Jatkeet TIES341 Funktio ohjelmointi 2 Kevät 2006 Havainto: häntäkutsu (1) Funktiokutsun yleinen toimintaperiaate: (koskee vain täysiä kutsuja, ts. jotka eivät palauta funktiota) kutsuja kirjaa pinoon paluuosoitteen
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,
LisätiedotOhjelmoinnin peruskurssien laaja oppimäärä
Ohjelmoinnin peruskurssien laaja oppimäärä Luento 7: Funktionaalista ohjelmointia (mm. SICP 3.5) Riku Saikkonen 13. 11. 2012 Sisältö 1 Laiskaa laskentaa: delay ja force 2 Funktionaalinen I/O 3 Funktionaalista
LisätiedotTietotekniikan valintakoe
Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotPinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 6. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS
.. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. lokakuuta 2016 Sisällys. Harjoitustehtävätilastoja Tilanne 6.10.2016 klo 8:28 passed potential redo submitters
Lisätiedotsama tyyppi (joka vastaa kaikkien mahdollisten arvojen summa-aluetta). Esimerkiksi
3.5. TYYPIT 51 3.5.3 Kielitason tyypit Staattinen tyypitys Kielitasolla tyyppejä käytetään sulkemaan pois joitakin merkittäviä ja automaattisesti tunnistettavissa olevia merkitysopillisia virheitä (oliotason
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 5. marraskuuta 2015
TIEA24 Automaatit ja kieliopit, syksy 205 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 5. marraskuuta 205 Sisällys Käsiteanalyysiä Tarkastellaan koodilukkoa äärellisenä automaattina. Deterministinen äärellinen
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot