TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 15. joulukuuta 2015
Sisällys
Loppukurssin aikataulu tiistai 15.12.2015 viimeiset demot keskiviikko 16.12.2015 viimeiset demot torstai 17.12.2015 viimeinen luento (kertaus) perjantai 18.12.2015 viimeinen ryhmäohjaus maanantai 21.12.2015 ensimmäinen tenttitilaisuus (muista ilmoittautua) tiistai 22.12.2015 Kaijanaho tavattavissa HYVÄÄ JOULUA tiistai 29.12.2015 Kaijanaho tavattavissa keskiviikko 30.12.2015 Kaijanaho tavattavissa torstai 31.12.2015 Kaijanaho tavattavissa HYVÄÄ UUTTA VUOTTA maanantai 4.1.2016 klo 12 harjoitustyön deadline (siirrettävissä etukäteen hyvästä syystä)
While-kieli Määritelmä While-kielen ohjelmat noudattavat seuraavaa kontekstitonta kielioppia: S ε S S S x := E; x := read; write E; S if B {S} while B {S} B E = E E E E < E E E E > E B B B B B (B) E E + E E E c x (E) missä x on mielivaltaista muuttujannimeä ja c mielivaltaista kokonaislukuvakiota edustava päätemerkki.
Semanttisia huomioita Sivuutetaan tässä tarkka merkitysopin määrittely. Muuttujat sisältävät kokonaislukuja; lukualue ei ole rajattu. read lukee syötteestä yhden merkin, ja tallettaa sen koodin muuttujaan. Nolla tarkoittaa syötteen loppua write kirjoittaa tulosteeseen yhden merkin sen, jonka koodi on lausekkeen arvo. Jos lausekkeen arvo ei ole minkään merkin koodi, lause ei tee mitään. Ohjelma pysähtyy, kun ohjelman viimeinen lause on tullut loppuun suoritettua. Ohjelma tunnistimena: tulostetaan Y tai N ja pysähdytään. 1 1 Y ja N voisivat olla mikä tahansa muukin merkkipari. Olennaista on, että sovitaan, mitkä merkit tarkoittavat mitäkin.
While-ohjelmat ja Turingin koneet Huomaa Mikä tahansa tietokoneohjelma, joka laskee matemaattisen funktion, on periaatteessa esitettävissä myös while-kielellä. Lause Jokaiselle Turingin koneelle on olemassa while-kielinen ohjelma, joka tunnistaa saman kielen ja pysähtyy samoilla syötteillä. Vastaavasti jokaiselle while-kieliselle ohjelmalle on olemassa Turingin kone, joka tunnistaa saman kielen ja pysähtyy samoilla syötteillä. Todistus Tarkastellaan ideatasolla taululla, tarkka todistus sivuutetaan.
For-kieli Jos while-kielestä poistetaan while-lause ja sen tilalle laitetaan rajoitettu for-silmukka S for E {S} jonka toistokertojen määrä luetaan (silmukan suorituksen alkaessa) lausekkeen arvosta, saadaan for-kieli. Jokainen for-kielinen ohjelma voidaan muuntaa while-kieliseksi ohjelmaksi. On olemassa while-kielisiä ohjelmia, joita ei voi esittää for-kielellä!
on yksi vanhimmista tavoista yrittää mallittaa mekaanista laskentaa. Kurt Gödel käytti sen pääpointteja kuuluisan epätäydellisyyslauseensa todistuksessa. Edeltää olennaisilta osin Turingin konetta ja muita kurssilla käsiteltyjä malleja. Church muotoili oman teesinsä myös rekursioteorian kielellä, mutta juuri kukaan muu ei siihen uskonut ennen Turingin koneita. Päälähde Soaren Computability and Recursion 2 ; lisäksi Stanford Encyclopedia of Philosophyn artikkeli Recursive Functions 3. 2 http://www.jstor.org/stable/420992 3 http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/ entries/recursive-functions/
Primitiivirekursio, osa 1 Määritelmä Perusfunktioita ovat kaikki vakiofunktiot c n k : Nn N, c n k (x 1..., x n ) = k seuraajafunktio s : N N, s(x) = x + 1 kaikki projektiofunktiot p n i : N n N, p n i (x 1..., x i,..., x n ) = x i Määritelmä Olkoot g 1,..., g m : N n N ja h : N m N osittaisfunktioita. Niiden yhdiste h (g 1,..., g m ) : N n N, määritellään seuraavasti: 4 (h (g 1,..., g m ))(x 1,..., x n ) = h(g 1 (x 1,..., x n ),..., g m (x 1,..., x n )) 4 Tässä a = b on tosi silloin, kun sekä a että b ovat määriteltyjä ja samanarvoisia, sekä silloin, kun sekä a että b ovat määrittelemättömiä.
Primitiivirekursio, osa 2 5 Määritelmä Olkoot g : N n+1 N ja h : N n 1 N osittaisfunktioita. Niiden primitiivirekursio ϱ(h, g) : N n N määritellään paloittain rekursiivisesti seuraavasti: ϱ(h, g)(0, y 2,..., y n ) = h(y 2,..., y n ) ϱ(h, g)(x + 1, y 2,..., y n ) = g(x, ϱ(h, g)(x, y 2,..., y n ), y 2,..., y n ) Määritelmä Osittaisfunktio on primitiivirekursiivinen, jos se voidaan muodostaa perusfunktioista yhdistettä ja primitiivirekursiota tarpeellisen monta kertaa soveltaen. 5 Luennon jälkeiset korjaukset merkitty punaisella.
Lause Primitiivirekursiiviset osittaisfunktiot ovat täydellisiä funktioita. Lause Yhteenlasku on primitiivirekursiivinen. Lause For-kieliset ohjelmat laskevat täsmälleen kaikki primitiivirekursiiviset funktiot.
µ-rekursio Määritelmä Olkoon f : N n+1 N osittaisfunktio. Sen minimisaatio µf : N n N määritellään seuraavasti: (µf )(x 1,..., x n ) = min{ k N f (k, x 1,..., x n ) = 0 } Näin saatava kieli on µ-rekursion laskennon kieli. Määritelmä Osittaisfunktio f : N N on µ-rekursiivinen, jos se voidaan rakentaa perusfunktioista yhdistettä, primitiivirekursiota ja minimisaatiota tarpeellisen monta kertaa soveltaen.
Kleenen normaalimuotolause Lause (Kleene) Jokaiselle µ-rekursiiviselle osittaisfunktiolle f : N n N on primitiivirekursiiviset funktiot g : N n+1 N ja h : N N, joille pätee f = h µg Todistus Sivuutetaan.
Yhteys laskettaviin kieliin 7 Määritelmä Olkoon merkistö Σ = {0,..., n 1}. Tällöin voidaan esittää mielivaltainen merkkijono c 0... c m Σ yksikäsitteisesti ei-negatiivisena kokonaislukuna 6 [c 0... c m ] = m i=0 (c i + 1)(n + 1) i. Kielen A Σ (Gödel-numeroitu) karakteristinen funktio on kuvaus f : N {0, 1}, jolle A = { w Σ f ([w]) = 1 }. 6 Tämä on merkkijonojen eräs Gödel-numerointi. 7 Luennon jälkeiset korjaukset merkitty punaisella.
Määritelmä jatkuu Kieli A Σ on primitiivirekursiivinen, jos sen karakteristinen funktio on primitiivirekursiivinen. Kieli A Σ on µ-rekursiivinen, jos sen karakteristinen funktio (joka ei ole osittaisfunktio) on µ-rekursiivinen. Kieli A Σ + on µ-rekursiivisesti lueteltava jos ja vain jos se on tyhjä tai on olemassa µ-rekursiivinen funktio f : N N, jolle A = { w Σ k N: f (n) = [w] } pätee. Lause 1. Kieli on µ-rekursiivinen jos ja vain jos se on laskettava. 2. Kieli on µ-rekursiivisesti lueteltava jos ja vain jos se on laskettavasti lueteltava.
Alun perin Alonzo Churchin malli mekaaniselle laskennalle, nykyisin käyttössä ohjelmointikielten teoriassa. Kieli laskentasääntöineen, joka kuvaa funktioiden rakentamista ja kutsumista eikä mitään muuta. λx E tarkoittaa lauseketta E tulkittuna x:n funktioksi. λx x on identiteettifunktio λx c on vakiofunktio, jonka arvo on aina c fx tarkoittaa funktion f kutsua argumentilla x (λx x) c saa arvokseen c Puhtaassa lambda-laskennossa ei ole mitään muuta, käytännössä yleensä laajennetaan esim. aritmetiikalla
Lambdakieli Määritelmä Lambdakieli määritellään seuraavalla moniselitteisellä kontekstittomalla kieliopilla: T x T λx T T T T T (U) abstraktio applikaatio Välikemerkin T merkkijonot ovat termejä määritellään T = { w T w}. Päätemerkkejä ovat x (joka edustaa muuttujia) sekä λ, ( ja ). Operaattorit on lueteltu yllä laskevassa presedenssijärjestyksessä. Applikaatio assosioi vasemmalle, abstraktio oikealle.
Vapaat ja sidotut muuttujat Abstraktio λx t sitoo (engl. binds) muuttujan x. Muuttujaa, joka on jonkin abstraktion sitoma, sanotaan sidotuksi muuttujaksi (engl. bound variable). Muuttuja esiintyy vapaana (engl. occurs free) lambdatermissä, jos ainakin sen yksi esiintymä ei ole sitä sitovan abstraktion sisällä. Vapaana esiintyvää muuttujaa sanotaan myös vapaaksi muuttujaksi (engl. free variable) 8. Termin t vapaiden muuttujien joukkoa merkitään FV(t). 8 I am not a number, I am a free variable!
Korvaus Määritellään korvausoperaattori t[x := u], missä t, u T ja x X, siten, että tuloksena on t muutettuna niin, että jokainen x:n vapaa esiintymä korvataan u:lla. Täsmällinen määritelmä: x[x := u] = u x[y := u] = x (t v)[x := u] = t[x := u] v[x := u] (λx t)[x := u] = λx t (λx t)[y := u] = λx t[y := u] x FV(u) missä y = x.
α- ja β-ekvivalenssit t ja u ovat α-ekvivalentit, jos ne eroavat vain sidottujen muuttujien nimissä. Jatkossa samastetaan α-ekvivalentit termit toisiinsa. Termi, joka on muotoa (λx t) u on β-redeksi. Määritellään β-sievennys operaatioksi, jossa termiin sisältyvä β-redeksi (λx t) u muutetaan muotoon t[x := u]. Kaksi termiä ovat β-ekvivalentit, jos kummastakin voidaan päästä (mahdollisesti tyhjällä) jonolla β-sievennyksiä samaan (α-ekvivalenttiin) termiin. Merkitään β-ekvivalenssia = β.
Church Rosser Määritelmä Lambdatermi on normaalimuodossa, jos se ei sisällä yhtään β-redeksiä. Lause (Church Rosser) Jos t = β u ja t = β u pätevät, niin on olemassa termi v jolle pätee u = β v ja u = β v. u β t β u β v β
Esimerkkejä 0 λf λxx s λnλf λx(f (nfx)) p n i λx 1 λx n x i Y = λf (λx(f (xx)))(λx(f (xx)))
Suhde Turingin koneisiin Lause (Turing) 1. On olemassa normaalimuotoiset lambdatermit t y ja t n, joille pätee: Jokaiselle standardimalliselle Turingin koneelle M ja sen syötteelle w on olemassa lambdakielinen termi t M,w, jolle pätee t M,w = β t y jos ja vain jos M hyväksyy w:n ja t M,w = β t n jos ja vain jos M hylkää w:n. 2. On olemassa Turingin kone, joka saatuaan syötteenä lambdatermin t pysähtyy niin, että nauhalla on normaalimuotoinen lambdatermi u, jos ja vain jos t = β u pätee. Todistus Sivuutetaan.
Kirjallisuutta Stephen Cole Kleene: Introduction to Metamathematics. Groningen: Wolthers Noordhoff & North-Holland, 1971. H. P. Barendregt: The Lambda Calculus: Its Syntax and Semantics. Revised edition. Amsterdam: Elsevier, 1984.
9 engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen) tietokoneen teoreettinen malli Hajasaantikone koostuu muistipaikoista, joilla kullakin on osoite muistipaikka tallentaa mielivaltaisen kokonaisluvun kiinteästä ohjelmasta, joka on jono käskyjä Kullakin käskyllä on järjestysnumero, ensimmäinen on 0. Käskyt koostuvat neljästä kentästä, joista ensimmäinen on operaattori ja kolme muuta ovat operandeja. Operandien tulkinta vaihtelee operaattoreittain; kaikkia operandeja ei aina käytetä. Hajasaantikone kykenee lisäksi lukemaan syötettä ja kirjoittamaan tulostetta. 9 Ei ehditty käsitellä luennolla.
Hajasaantikoneen käskyt READ r lukee syötteestä seuraavan merkin ja tallettaa sen muistipaikkaan r WRITE r kirjoittaa tulosteeseen merkin, joka löytyy muistipaikasta r JGT l r hyppää käskyyn numero l, jos muistipaikan r sisältö on suurempi kuin nolla CONST r 1 c kirjoittaa muistipaikkaan r 1 kokonaislukuvakion c LOAD r 1 r 2 kirjoittaa muistipaikkaan r 1 sen muistipaikan sisällön, jonka osoite löytyy muistipaikasta r 2 STORE r 1 r 2 kirjoittaa muistipaikan r 1 sisällön siihen muistipaikkaan, jonka osoite löytyy muistipaikasta r 2 ADD r 1 r 2 r 3 laskee muistipaikkojen r 2 ja r 3 sisältöjen summan ja tallettaa tuloksen muistipaikkaan r 1 SUB r 1 r 2 r 3 laskee muistipaikkojen r 2 ja r 3 sisältöjen erotuksen ja tallettaa tuloksen muistipaikkaan r 1
Hajasaantikoneen toiminta Lähtötilanteessa syötettä ei ole luettu lainkaan tulostetta ei ole kirjoitettu lainkaan kaikki muistipaikat on alustettu nolliksi suoritettavaksi tulee käsky numero 0 Kone siirtyy käskyn suorituksen jälkeen järjestysnumeroltaan seuraavaan käskyyn, jos käsky ei aiheuta hyppyä. Kone pysähtyy jos käskyjonon viimeinen käsky ei aiheuta hyppyä JGT yrittää hypätä käskyyn, jota ei ole LOAD tai STORE löytää muistipaikaista osoitteen, joka ei vastaa mitään muistipaikkaa
RAM tunnistimena RAM hyväksyy syötemerkkijonon, jos se tulostaa Y ja pysähtyy. RAM hylkää syötemerkkijonon, jos se tulostaa N ja pysähtyy. RAM M tunnistaa kielen L(M) = { v Σ M hyväksyy v:n } Jos RAM M tunnistaa kielen A ja jokaiselle syötemerkkijonolle joko hyväksyy tai hylkää sen, niin M ratkaisee kielen A.
RAM:n ilmaisuvoima Lause 1. Jokaiselle Turingin koneelle on olemassa RAM, joka tunnistaa saman kielen ja pysähtyy samoilla syötteillä. 2. Jokaiselle RAM:lle on olemassa Turingin kone, joka tunnistaa saman kielen ja pysähtyy samoilla syötteillä. Todistus Sivuutetaan.