luento0.ppt S-38.45 Liikenneteorin perusteet Kevät 006
Sisältö Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus onoverkkon
Piirikytkentäisen verkon mlli () Trkstelln piirikytkentäistä verkko (esim. puhelinverkko) Liikenne: Asikkit ovt spuvt yhteyspyynnöt. Liikenne muodostuu ärestelmään päässeistä kutsuist (puheluist), otk vrvt yhden knvn per linkki. Järestelmä: päätelitteet (puhelimet) niitä verkkoon yhdistävät linkit (tilohdot) verkon solmut (keskukset) niiden väliset linkit (keskusten väliset yhdysohdot) A 3
Piirikytkentäisen verkon mlli () Plvelun ltu: Plvelun ltu kuv tn, oll hluttu yhteyttä ei pystytä muodostmn (verkon rllisist resursseist ohtuen). Tätä snotn päästä-päähän estoksi (end-to-end blocking). Mlliss oletetn, että kikki verkon solmut koko liityntäverkko ovt estottomi Näin ollen, kutsu estyy täsmälleen silloin, kun kutsun spuess vähintään yksi kutsun reittiin kuuluv runkoverkon linkki on täysi (so. kikki knvt vrttuin) A 4
Linkit =,,J Mlliss oletetn, että kikki linkit ovt kksisuuntisi (miksi?) Merk. J:llä runkoverkon linkkien lkm:ää, indeksoidn niitä :llä: =,, J kuvss: J = 6 A 6 3 Merk. n :llä linkin kpsiteetti (rinnkkisten knvien lkm) 5 4 n = (n,,n J ) Yksittäiset linkit mllinnetn puhtin menetysärestelminä 5
Reitit r =,,R Määritellään reitti oukoksi peräkkäisiä linkkeä, otk yhdistävät kksi runkoverkon solmu toisiins. b Merk. R:llä eri reittien lkm:ää, indeksoidn niitä r:llä: r =,, R Kuvss: R = + 0 + 7 + 3 = 3 A 5 6 4 3 solmuen b välillä on kolme eri reittiä: {,}, {6,3}, {5,4,3} Merk. d r =, os linkki kuuluu reitille r (muuten d r = 0) D = (d r =,, J; r =,,R) 6
Yhteysluokt Hvinto: Kikki sm reittiä noudttvt yhteydet kokevt smn päästäpäähän eston Reitti siis määrää yhteyspyynnön luokn (clss) kuvss oikell käyttäien A välinen yhteys kuuluu reittiä {6,3} vstvn luokkn Merkitään x r :llä reittiä r noudttvien yhteyksien lkm:ää A 5 6 b 4 3 x = (x,,x R ) Vektori x kutsutn verkon tilksi (stte) 7
Til-vruus Reitillä olevien linkkien kpsiteetti sett seurvn ylärn yhtikisten yhteyksien lkm:lle: R r= d Sm vektorimuodoss: r x Mhdollisten tiloen oukko eli til-vruus S (stte spce) on siten Huom. Til-vruus on R-ulotteinen äärellinen (miksi?) r n D x n kikill S = { x 0 D x n} 8
Esimerkki 3 linkkiä kpsiteetein: linkki -c: 3 knv linkki b-c: 3 knv linkki c-d: 4 knv reittiä: reitti -c-d reitti b-c-d muut 4 reittiä (mitkä?) sivuutetn tässä esimerkissä Til-vruus: S = {(0,0),(0,),(0,),(0,3), (,0),(,),(,),(,3), (,0),(,),(,), (3,0),(3,)} b x x 4 3 0 3 3 c 0 3 4 0 x 0 x 4 d S 9
Luokkkohtiset estottomt tilt S r Trkstelln luokkn r kuuluv (so. reitille r trottu) yhteyspyyntöä Se ei esty, os kikill ko. reitin vrrell olevill linkeillä on inkin yksi vp knv: R r' = d Sm vektorimuodoss (e r on yksikkövektori suuntn r): Luokn r estottomien tiloen oukko S r (non-blocking sttes) on siten S r r' x r' n kikill r D x + e ) n ( r = r { x 0 D ( x + e ) n} 0
Luokkkohtiset estotilt S r Luokn r estotiloen oukko S r (blocking sttes) on selvästikin: r S = S \ Jos siis systeemi on osskin näistä estotiloist uuden, luokkn r kuuluvn yhteyspyynnön spuess, ko. yhteyspyyntö estyy eikä yhteyttä synny. Esimerkki (tko): Luokn (siis reittiä -c-d käyttävien) kutsuen estotilt S on merkitty kuvn. S r b x 4 3 0 c 0 3 4 x d S = { (,3),(,),(3,),(3,0)}
Estoverkko Oletetn, että kullekin reitille r tulee uusi yhteyspyyntöä (muist reiteistä riippumttomn) Poisson-prosessin mukisesti intensiteetillä λ r kikkien yhteyksien pitot ovt riippumttomi smoin kutuneit keskirvonn h Merkitään r :llä luokn r liikenneintensiteettiä: r = λ r h
Tspinokum () Tällöin voidn osoitt, että tiln x S todennäköisyys π(x) on tspinotilnteess π (x) R = r= missä G on ns. normeerusvkio (normlizing constnt) R funktiot f r (x r ) määritellään kvll f r G f r ( x r ) G = f r ( x r ) x S r = ( x r ) = x xr r r! 3
Tspinokum () Tiltodennäköisyyttä π(x) snotn tulomuotoiseksi (product-form) Kyseessä ei kuitenkn ole eri luokkiin kuuluvien yhteyksien lkm:ien riippumttomuus, vn niitä sitoo normeerusvkio G (ok puolestn riippuu yhtik kikkien luokkien tiloist). Perimmäinen syy eri luokkien riippuvuuksille on äärellisten resurssien kminen. Jos resurssit olisivt äärettömät (ts. kikill linkeillä olisi riittävästi kpsiteetti), eri luokt olisivt toisistn riippumttomi. 4
PASTA Trkstelln, hetken n, mitä thns yksinkertist liikenneteoreettist mlli, ohon sikkt spuvt Poisson-prosessin mukisesti Niin snotun PASTA-ominisuuden (Poisson Arrivls See Time Averges) mukn, spuvt sikkt (otk siis noudttvt Poisson-prosessi) näkevät systeemin tspinotilnteess Tämä on tärkeä hvinto sovellettviss moness tilnteess Sitä voidn esimerkiksi käyttää päästä-päähän eston lskemiseen edellä esitetyssä piirikytkentäisen verkon mlliss, oss oletettiin uusien kutsuen spuvn Poisson-prosessin mukisesti 5
Päästä-päähän eston lskent: trkk kv Todennäköisyys, että systeemi on (tspinotilnteess) luokkn r liittyvässä estotilss on selvästikin Tällist tn:ttä snotn luokn r päästä-päähän ikestoksi (time blocking). PASTA-ominisuuden noll ts voidn päätellä, että x Sr π (x) luokkn r kuuluvien yhteyksien kokem päästä-päähän kutsuesto (cll blocking) sdn täsmälleen smll kvll: r = π (x) x S r Huom. Tässä tilnteess siis päästä-päähän ik- kutsuestot ovt smo, voidn lyhyesti puhu päästä-päähän estost. 6
Esimerkki Jtketn klvoill 9 esitetyn esimerkin trkstelu Luokn päästä-päähän estoksi tulee + = π (,3) + π (,) + π (3,0) + π (3,) =! +! + 3 3! +! 3!3! + +!!! +! + + 3 3! 3 3! + +!! +! +! + 3 3! +! 7
Likimääräisiä menetelmiä Käytännössä edellä esitetyn trkn kvn soveltminen on äärimmäisen vike, op mhdotont, sillä verkon ksvess til-vruus S suorstn räähtää selitys: okinen uusi reittivihtoehto tuo til-vruuteen uuden ulottuvuuden til-vruus ksv eksponentilist vuhti Sen vuoksi onkin kehitetty erilisi likimääräisiä menetelmiä päästäpäähän eston lskemiseksi, esim. yksinkertinen tulormenetelmä (product bound) monimutkisempi vähennetyn kuormn menetelmä (reduced lod pproximtion) eli kiintopistemenetelmä (Erlngfixed point pproximtion) Kummsskin menetelmässä pyritään ensin rvioimn linkkikohtiset estot (otk ovt smo kikille smss linkissä kulkeville yhteysluokille) sen älkeen päästä-päähän estot oletten, että yhteyden estyminen tphtuu eri linkeissä toisistn riippumtt. 8
Tulormenetelmä () Trkstelln ensin esto () yksittäisessä linkissä Merkitään R():llä niiden reittien r oukko, otk kulkevt linkin kutt Jos verkon kikkien muiden linkkien kpsiteetti olisi ääretön, ko. linkki voitisiin mllint puhtn estoärestelmänä, ohon spuu sikkit Poisson-prosessin mukisesti intensiteetillä λ(), missä Tässä tpuksess esto voitisiin lske Erlngin kvst: λ ( ) = λ r r R( ) ( ) Erl( n, r r R( ) ) Kyseessä on tosin pproksimtio, sillä todellisuudess linkille trottu liikenne tulee muiden linkkien iheuttmien estoen vuoksi olemn tätä pienempi (eikä edes Poisson-tyyppistä). 9
Tulormenetelmä () Arvioidn sitten luokn r kokem päästä-päähän esto r Merkitään J(r):llä niiden linkkien oukko, oitten kutt reitti r kulkee Huom. luokkn r kuuluv spuv kutsu estyy täsmälleen silloin, kun se estyy yhdessäkin linkissä J(r) Jos eri linkit iheuttisivt esto toisistn riippumtt (mikä myöskään ei inkn trkkn otten voi pitää pikkns), luokkn r kuuluv spuv kutsu estyisi todennäköisyydellä r r ) J ( ( ( )) Huom. Jos ():t ovt pieniä, voimme käyttää summkv: r J ( r ) ( ) 0
Sisältö Piirikytkentäisen verkon mllinnus estoverkkon Pkettikytkentäisen verkon mllinnus onoverkkon
Pkettikytkentäisen verkon mlli () Trkstelln pkettikytkentäistä verkko (esim. Internet-verkon otin os) pkettitsoll Liikenne: Liikenne muodostuu verkoss liikkuvist pketeist, oill on in lähtöpiste (kuvss: A) määränpää (kuvss: ). Pketit kilpilevt verkon resursseist onotusperitteell. A Järestelmä: päätelitteet (verkoss olevt työsemt plvelimet) niitä verkkoon yhdistävät linkit verkon solmut (reitittimet) niiden väliset linkit
Pkettikytkentäisen verkon mlli () Plvelun ltu: Plvelun ltu kuv pketin kokem keskimääräinen viive. Tätä snotn päästä-päähän viiveeksi (end-to-end dely). b Roitetn kuitenkin trkstelu runkoverkon iheuttmn viiveeseen A kuvss: pketin kokem viive mtkll reitittimen sisääntulost reitittimen b ulosmenoon implisiittisesti siis oletetn, että liityntäverkon iheuttm viive (ti oikemmin: viiveenvihtelu) on vähäinen 3
Päästä-päähän viiveen komponentit Runkoverkon iheuttm viive kntuu signlin etenemisviiveeksi (propgtion dely) linkeillä lähetysviiveeksi (trnsmission dely) linkeillä prosessointiviiveiksi (processing dely) solmuiss erilisiksi onotusviiveiksi (queueingdely) sekä ennen lähetystä että ennen prosessointi Huom. etenemis- lähetysviiveet ovt deterministisiä prosessointiviiveet ovt (tyypillisesti) stunnisi onotusviiveet ovt (in) stunnisi Seurvksi esitettävä liikenneteoreettinen mlli huomioi lähetysviiveet sekä lähetykseen liittyvät onotusviiveet mutt ättää huomioitt etenemisviiveet, prosessointiviiveet sekä prosessointiin liittyvät onotusviiveet (älkimmäisten viiveiden huomioonotto vtisi mllin lennuksen; mieti miten) 4
Linkit =,,J Mlliss oletetn (toisin kuin piirikytkentäisen verkon tpuksess), että kikki linkit ovt yksisuuntisi (miksi?) Merk. J:llä runkoverkon linkkien lkm:ää, indeksoidn niitä :llä: =,, J kuvss: J = Merk. C :llä linkin kpsiteetti (bps) A 3 4 0 9 8 b 5 6 7 5
Reitit r =,,R Määritellään reitti ärestetyksi oukoksi peräkkäisiä linkkeä, otk yhdistävät kksi runkoverkon solmu (lähteen määränpään) Merk. R:llä eri reittien lkm:ää, indeksoidn niitä r:llä: r =,, R Kuvss: R = ( + 0 + 7 + 3) = 64 solmust on kolme eri reittiä solmuun b: (,3), (,6), (0,8,6) näillä reiteillä: solmu on lähde solmu b on määränpää A 3 4 0 9 8 b 5 6 7 6
Yksittäisen linkin mlli Yksittäinen linkki mllinnetn yhden plvelin (n = ) puhtn onotusärestelmänä, oss on siis ääretön määrä odotuspikko (m = ) Merkitään λ = pkettien spumisintensiteetti linkkiä vstvn onoon (pketti/s) L = keskimääräinen pketin pituus (bitteinä) /µ = L/C = keskimääräinen pketin lähetysik linkillä (s) Stbiilisuusvtimus: λ <µ λ C /L 7
Pkettien spumisintensiteetit linkeille Oletetn tunnetuiksi: λ(r) = reittiä r noudttvien pkettien spumisintensiteetti (pketti/s) R() = linkin kutt kulkevien reittien oukko nämä reitit selviävät runkoverkon solmuen reititystuluist, otk kertovt (yleensä pelkästään määränpääosoitteen perusteell), mille linkille mikin pketti seurvksi reititetään Tällöin smme linkkikohtiset spumisintensiteetit kvll λ = r R( λ( r) ) 8
Liikenneluokt Reittiä r kulkevn pketin runkoverkoss kokem viive koostuu (yksinkertistetuss mllissmme) reitin vrrell olevien onoen iheuttmist onotus- lähetysviiveistä (niiden summn) Huom. Keskimääräinen päästä-päähän viive on sm kikille sm reittiä noudttville pketeille A 0 3 9 4 8 b 5 6 7 Reitti siis määrää pketin luokn 9
Til-vruus Merkitään x :llä onoss olevien pkettien lkm:ää (sisältäen mhdollisen lähetyksessä olevn pketin) x = (x,,x J ) Vektori x kutsutn systeemin tilksi (stte) Yksityskohtisemp tilkuvust (sisältäen pikk- luokktiedon kustkin onoss olevst pketist) ei älempänä tehtävien oletusten vuoksi trvit! Kosk x voi sd mitä thns ei-negtiivisi kokonislukurvo, til-vruudeksi S tulee Huom. Tässä tpuksess til-vruus on siis ääretön S = { x 0} 30
Esimerkki linkkiä: linkki -b linkki b-c 3 reittiä: reitti -b reitti b-c reitti -b-c Til-vruus: S = {(0,0), (,0),(0,), (,0),(,),(0,), (3,0),(,),(,),(0,3),...} x b c x 4 3 0 0 3 4 x x 0 0 S 3
Jonoverkko Oletetn, että kullekin reitille r generoituu (toisistn riippumtt) uusi pkette Poissonprosessin mukisesti intensiteetillä λ(r) kikkien pkettien pituudet ovt riippumttomi eksponentilisesti kutuneit keskirvonn L Tällöin uusi, linkin kutt lähettäviä pkette spuu Poisson-prosessin mukisesti intensiteetillä λ, missä λ = ko. pkettien lähetyst ovt riippumttomi eksponentilisesti kutuneit keskirvonn /µ = L/C r R( λ( r) ) 3
Tspinokum () Oletetn lisäksi, että systeemi on stbiili: λ <µ kikill pketin siirtyessä onost toiseen sen pituus rvotn riippumttomsti uudestn em. kumst ns. Kleinrockin riippumttomuusoletus (independence ssumption) Tällöin voidn osoitt, että tiln x S todennäköisyys π(x) on tspinotilnteess = J x π ( x) ( ρ ) ρ = missä ρ viitt linkin liikennekuormn: ρ = λ µ = λ C L < 33
Tspinokum () Tiltodennäköisyyttä π(x) snotn (älleen) tulomuotoiseksi Pkettien lkm:t eri onoiss ovt (op) toisistn riippumttomi (miksi?) Yksittäiset onot käyttäytyvät kuten M/M/ onosysteemit: pkettien lkm onoss noudtt geometrist kum keskirvoll X ρ = ρ 34
35 0. Verkkotson mlle = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r J r J r J T r T λ µ ρ µ Keskimääräinen päästä-päähän viive Trkstelln sitten reittiä r noudttvien pkettien kokem keskimääräistä päästä-päähän viivettä Merk. J(r):llä reittiin r kuuluvien linkkien oukko Littlen kvn noll keskimääräinen pketin kokem kokonisviive onoss (sisältäen sekä onotus- että lähetysviiveen) tulee olemn Reittiä r noudttvien pkettien kokemksi keskimääräiseksi päästäpäähän viiveeksi tulee siten X T λ µ ρ µ ρ ρ λ λ = = = =
THE END 36