Algoritmit 1 Demot 1 25.-26.1.2017 Timo Männikkö
Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka laskee kahden kokonaisluvun välisen jakojäännöksen käyttämättä lainkaan jakolaskuja Jaettava m, jakaja n Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena Jäljelle jää jakojäännös Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 2/27
Tehtävä 1 (a) jatkuu int m, n; // oletetaan, että molemmat > 0 while (m >= n) { m = m - n; return m; // jakojäännös nyt muuttujassa m Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 3/27
Tehtävä 1 (b) Algoritmi, joka tutkii onko merkkijonossa jossain kohtaa kaksi samaa merkkiä peräkkäin Kaksi osoitinta c ja d Aluksi c merkkijonon alkuun Jos sitä seuraava merkki d on sama on Muuten siirrytään yksi askel eteenpäin ja tehdään uusi vertailu Jos c siirtyy merkkijonon loppuun ei ole Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 4/27
Tehtävä 1 (b) jatkuu string mjono; // oletetaan, että pituus > 0 c = ensimmainen(mjono); while (c!= viimeinen(mjono)) { d = seuraava(c); if (c == d) return true; // samat merkit peräkkäin c = d; return false; // ei löytynyt Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 5/27
Tehtävä 2 (a) Taulukossa on lukuja satunnaisessa järjestyksessä Algoritmi, joka laskee kuinka moni luvuista on suurempi kuin kaikkien lukujen keskiarvo Käydään taulukko läpi ja lasketaan keskiarvo Käydään taulukko läpi toisen kerran, verrataan jokaista lukua keskiarvoon ja lisätään tarvittaessa laskurin arvoa Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 6/27
Tehtävä 2 (a) jatkuu // taulukko t, koko n > 0 summa = 0; for (i = 0; i < n; i++) { summa = summa + t[i]; keskiarvo = summa/n; lkm = 0; for (i = 0; i < n; i++) { if (t[i] > keskiarvo) { lkm++; return lkm; // Suoritusaika: // silmukka n kertaa // joka kierroksella // silmukka n kertaa // joka kierroksella // vain tarvittaessa Suoritusaika muotoa T (n) = n t 1 + t 2 = O(n) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 7/27
Tehtävä 2 (b) Taulukossa on lukuja suuruusjärjestyksessä Algoritmi, joka pakkaa taulukon siten, että kutakin eri lukua jää taulukkoon vain yksi kappale Muuttuja j osoittaa viimeisimpään eri lukuun Muuttuja i käy läpi taulukon loput luvut Jos i ja j osoittavat samansuuruiseen lukuun, j ei muutu Muuten j kasvaa yhdellä ja i:n kohdalla oleva luku kopioidaan j:n kohdalle Näin duplikaatit korvautuvat uusilla luvuilla Lopulta pakattu taulukko koostuu alkuperäisen taulukon alkuosasta Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 8/27
Tehtävä 2 (b) jatkuu // taulukko t, koko n > 0 j = 0; for (i = 1; i < n; i++) { if (t[i]!= t[j]) { j++; if (i!= j) t[j] = t[i]; n = j + 1; // uusi koko // Suoritusaika: // silmukka n-1 kertaa // joka kierroksella // vain tarvittaessa // vain tarvittaessa Suoritusaika muotoa T (n) = n t 1 + t 2 = O(n) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 9/27
Tehtävä 3 Funktioiden asymptoottiset ylärajat: Kertaluokan määrää termi, joka kasvaa nopeimmin kun n kasvaa Joidenkin peruskertaluokkien suuruusjärjestys on log 2 n, n, n log 2 n, n 2, n 3, 2 n Yleisesti, n k kasvaa sitä nopeammin mitä suurempi k on Pätee myös kun k ei ole kokonaisluku, toisin sanoen n = n 1/2 on kertaluokaltaan pienempi kuin n Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 10/27
Tehtävä 3 jatkuu Tarkempi perustelu laskemalla raja-arvot: Tiedetään, että f (n) ja g(n) ovat samaa kertaluokkaa, jos lim n f (n) g(n) = C 0 Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 11/27
Tehtävä 3 (a) f (n) = 4n 5 + 8n 3 + 16n lim n 4n 5 + 8n 3 + 16n n 5 = lim n ( 4 + 8 n + 16 ) 2 n 4 = 4 f (n) = O(n 5 ) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 12/27
Tehtävä 3 (b) f (n) = 1000 + 10 n + n lim n 1000 + 10 n + n n = lim n ( 1000 n + 10 ) + 1 n = 1 f (n) = O(n) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 13/27
Tehtävä 3 (c) f (n) = n 3 + 2 n lim n n 3 + 2 n 2 n = lim n ( ) n 3 2 + 1 n = 1 f (n) = O(2 n ) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 14/27
Tehtävä 3 (d) f (n) = 2 log 2 n + 5n lim n 2 log 2 n + 5n n = lim n ( 2 log 2 n n ) + 5 = 5 f (n) = O(n) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 15/27
Tehtävä 3 (e) f (n) = 2n log 2 n + 5n lim n 2n log 2 n + 5n n log 2 n = lim n ( 2 + 5 ) log 2 n = 2 f (n) = O(n log 2 n) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 16/27
Tehtävä 3 (f) f (n) = 2n/ log 2 n + 5n lim n 2n/ log 2 n + 5n n = lim n ( ) 2 log 2 n + 5 = 5 f (n) = O(n) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 17/27
Tehtävä 4 Neljä algoritmia, joiden laskutoimitusten lukumäärät: 50n, 1 2 n2, 4n 3, 2 n (a) (b) Yksi laskutoimitus kestää 1 ms (= 10 3 s) Minkä kokoinen tehtävä minuutissa? Tietyssä ajassa tehtävä, jonka koko 10 000 Nopeus kasvaa 10-kertaiseksi Minkä kokoinen tehtävä samassa ajassa? Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 18/27
Tehtävä 4 (a) Minuutti = 60 000 ms N = 60 000 kpl 50n = N n = N/50 = 1 200 1 200 1 2 n2 = N n = 2N 346.4 346 4n 3 = N n = 3 N/4 24.7 24 2 n = N n = log 2 N = ln N/ ln 2 15.9 15 Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 19/27
Tehtävä 4 (b) Laskutoimitusten lkm kasvaa 10-kertaiseksi Merkitään n old = m = 10 000 50n = 10 50m n = 10m = 100 000 100 000 1 2 n2 = 10 1 2 m2 n = 10m 31 622.8 31 622 4n 3 = 10 4m 3 n = 3 10m 21 544.3 21 544 2 n = 10 2 m n = log 2 10 + m 10 003.3 10 003 Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 20/27
Tehtävä 5 (a) for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { c[i][j] = 0; for (k = 0; k < n; k++) { c[i][j] += a[i][k]*b[k][j]; // silmukka n kertaa // silmukka n kertaa // silmukka n kertaa // Sisimmän silmukan sisältö n n n kertaa O(n 3 ) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 21/27
Tehtävä 5 (b) for (i = 1; i < n; i++) { for (j = n-2; j >= i-1; j--) { if (t[j+1] < t[j]) { swap(t[j], t[j+1]); Sisemmän silmukan sisältö suoritetaan n 1 (n 1)n (n i) = (n 1)n 2 i=1 kertaa O(n 2 ) // silmukka n-1 kertaa // silmukka n-i kertaa // tod.näk. vakio = 1 2 n2 1 2 n Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 22/27
Tehtävä 5 (b) jatkuu for (i = 1; i < n; i++) { for (j = n-2; j >= i-1; j--) { if (t[j+1] < t[j]) { swap(t[j], t[j+1]); // silmukka n-1 kertaa // silmukka n-i kertaa // tod.näk. vakio Aliohjelmakutsu on sisemmässä silmukassa Suoritetaan pahimmassa tapauksessa 1 2 n2 1 2 n = O(n2 ) kertaa Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 23/27
Tehtävä 5 (c) for (i = 0; i < n-1; i++) { k = i; for (j = i+1; j < n; j++) { if (t[j] < t[k]) k = j; if (k!= i) swap(t[i], t[k]); // silmukka n-1 kertaa // silmukka n-1-i kertaa // tod.näk. vakio // Sisemmän silmukan sisältö suoritetaan n 2 (n 1 i) = (n 1) 2 (n 2)(n 1) 2 i=0 kertaa O(n 2 ) = 1 2 n2 1 2 n Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 24/27
Tehtävä 5 (c) jatkuu for (i = 0; i < n-1; i++) { k = i; for (j = i+1; j < n; j++) { if (t[j] < t[k]) k = j; if (k!= i) swap(t[i], t[k]); // silmukka n-1 kertaa // silmukka n-1-i kertaa // tod.näk. vakio // Aliohjelmakutsu on ulommassa silmukassa Suoritetaan pahimmassakin tapauksessa vain n 1 = O(n) kertaa Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 25/27
Tehtävä 5 (d) for (i = 0; i < n; i++) { if (i%2!= 0) { for (j = i; j < n; j++) a = a + 5; for (j = 0; j <= i; j++) b = b - 20; // silmukka n kertaa // silmukka n-i kertaa // silmukka i+1 kertaa // (j-silmukat vain // jos i pariton) Molemmat j-silmukat suoritetaan vain jos i on pariton, ts. vain joka toisella i-silmukan kierroksella Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 26/27
Tehtävä 5 (d) jatkuu Sisempien silmukoiden sisällöt suoritetaan tai n 2 (n i + i + 1) = 1 2 n2 + 1 n (jos n parillinen) 2 n 1 2 (n i + i + 1) = 1 2 n2 1 2 kertaa O(n 2 ) (jos n pariton) Algoritmit 1 Kevät 2017 Demot 1 25.-26.1.2017 27/27