Matematiikka Mathematics

Matematiikka Mathematics Matematiikassa on seuraavat linjat: yleinen linja opettajalinja. Matematiikassa voi suorittaa seuraavat tutkinnot: Luonnontieteiden kandidaatin tutkinto (LuK) Bachelor of Science (B.Sc.), kandidat i naturvetenskaper (NaK) Filosofian maisterin tutkinto (FM) Master of Science (M.Sc.), filosofie magister (FM) Uuden 1.8.2005 voimaan astuvan tutkintojärjestelmän tutkinnot ovat erillisiä. Vanhassa järjestelmässä luonnontieteiden kandidaatin tutkinto sisältyi filosofian maisterin tutkintoon. Filosofian maisterin tutkinnon suorittamisen jälkeen opiskelija voi jatkotutkintona suorittaa filosofian lisensiaatin ja filosofian tohtorin tutkinnot. Jatkotutkintoja on esitelty tarkemmin tämän oppaan kohdassa Jatkotutkinnot. Opintojen luonne Matematiikan opintojaksot pyritään esittämään kokonaisuudessaan luentokursseilla, joiden seuraamiseen on varattava riittävästi aikaa. Luennoitaviin kursseihin liittyvät olennaisena osana harjoitukset. Aktiiviseen matematiikan taitoon kuuluu harjoitustehtävien käsittelytekniikka, johon voi riittävästi perehtyä ainoastaan omakohtaisella työskentelyllä. Harjoitustehtävien ratkaiseminen valaisee opetettuja teorioita ja luo harjaannusta matemaattiseen ajattelutapaan, jonka oppimiseen koko opiskelu tähtää. Jokaisen opiskelijan on etsittävä oma, henkilökohtainen opiskelutapansa. Esitettyihin asioihin on tarkoin tutustuttava ja selvitettävä itselleen kaikki vaikeatkin kohdat. Jos jokin seikka tuntuu erityisen vaikealta, on siihen perehdyttävä sitäkin huolellisemmin. Hyvän oppimistuloksen saavuttamiseksi kannattaa käyttää kirjallisuutta luentojen tukena. Matematiikan opintojen suorittamista koskevat ohjeet Matematiikan opintosuoritusten arvostelussa käytetään asteikkoa hyväksytty, hylätty tai asteikkoa 0-5 (5=erinomainen, 4=kiitettävä, 3=hyvä, 2=tyydyttävä, 1=välttävä, 0=hylätty). Tutkintotodistukseen merkittävä matematiikan kokonaisarvosana määräytyy opintosuorituksista saatujen arvosanojen opintopisteillä painotettuna keskiarvona. Rajatapauksissa tutkielman arvosana tai pakollisissa opinnoissa keskiarvoa parempi opintomenestys voidaan huomioida arvosanaa korottavasti. Tutkielman aiheesta voi sopia matematiikan professorin kanssa, jolta saa myös tarkemmat ohjeet näiden töiden tekemistä varten. 33

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala Matematiikan opintojaksot suoritetaan yleensä välikokeilla tai loppukokeella; suoritetut viikkoharjoitukset voivat vaikuttaa arvosteluun. Joillakin opintojaksoilla edellytetään myös harjoitustyön tekemistä. Jotkut opintojaksot voidaan suorittaa myös pelkillä harjoitustöillä. Loppukokeet pidetään matematiikan omina tenttipäivinä, joiden ajankohdat selviävät laitoksen kotisivuilta ja matematiikan ilmoitustaululta. Tentteihin on ilmoittauduttava vähintään 7 päivää aikaisemmin NettiOpsun kautta, http://www.uta. fi/nettiopsu/. Näissä tenteissä voi osallistua pääsääntöisesti vain yhden kurssin kuulusteluun kerrallaan. Opintojakso tentitään yleensä sille opettajalle, joka sen on viimeksi luennoinut. Muiden kuin ilmoitettujen opintojaksojen suorittamisesta on sovittava asianomaisen opettajan kanssa hyvissä ajoin. Matematiikan kokonaismerkintöjen antaminen tutkintotodistukseen Matematiikan opinnot on ryhmitetty kolmeksi opintokokonaisuudeksi: perusopinnot, aineopinnot ja syventävät opinnot. Kokonaismerkinnän 25 opintopisteen (15 opintoviikon) matematiikan opinnoista saa, kun on suorittanut perusopinnot ja kokonaismerkinnän vähintään 60 opintopisteen (35 opintoviikon) matematiikan opinnoista saa suoritettuaan aineopinnot. Vähintään 60 opintopisteen syventävistä opinnoista saa myös kokonaismerkinnän. Mikäli opiskelijalla on suoritettuna matematiikan opintojaksoja, joiden voidaan katsoa olevan epätarkoituksenmukaisia matematiikan hallinnan syventämisen kannalta, sijoitetaan ne tutkintotodistuksessa otsakkeen Muut opinnot alle. Epäselvissä tapauksissa opinnoista on syytä neuvotella etukäteen matematiikan professorin kanssa. Siirtymävaiheen säännöt Seuraavassa esitettäviä luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon tai filosofian maisterin tutkinnon vaatimuksia noudattavat kaikki matematiikan uudet opiskelijat. Ennen syksyä 2005 opiskelunsa aloittaneet opiskelijat saavat kuitenkin halutessaan noudattaa jotakin opiskeluaikanaan voimassa ollutta opetussuunnitelmaa. Tämä mahdollisuus on olemassa kuitenkin vain 31.7.2008 asti, jonka jälkeen opiskelija siirtyy jatkamaan opintojaan uuden tutkintojärjestelmän mukaan. Epäselvissä tapauksissa on syytä sopia kokonaissuunnitelmasta matematiikan professorin kanssa. 34

Yleinen linja Matematiikka Matematiikka on yliopistollisena oppiaineena luonteeltaan itsenäinen, mutta se on myös välttämätön tukiaine monille muille tieteille. Matematiikan merkitys on viime vuosikymmenien aikana ratkaisevasti laajentunut eri tieteiden piirissä, ja kehittyneessä tietoyhteiskunnassa matemaattisen tiedon tarve on suuri. Matemaattisen tiedon hankkiminen edellyttää keskimääräistä suurempaa keskittymiskykyä ja kärsivällisyyttä tehdä itselleen selviksi uudet käsitteet, suoritetut päättelyt ja saavutetut tulokset. Matematiikan opiskelussa ei riitä, että suuri joukko asioita osataan ulkoa, vaan on tajuttava asioiden keskinäiset suhteet ja tätä kautta pystyttävä käyttämään niitä hyväkseen eri tilanteissa. Kerran hyvin ymmärrettynä asia ei myöskään ole samalla tavalla muistin varassa kuin monissa muissa aineissa. Työtehtävät ja sijoittumismahdollisuudet Filosofian maisterilla matematiikka pääaineenaan on mahdollisuus sijoittua esimerkiksi tutkimuksen, elinkeinoelämän tai korkeakouluopetuksen palvelukseen. Yliopistosektorin ulkopuolella sijoittuminen ja työtehtävät riippuvat usein myös valituista sivuaineista, sillä matematiikan antamat valmiudet ovat hyödyllisiä lähes kaikkien alojen tutkimus- ja suunnittelutyössä. Lisäksi tulevat kysymykseen eri oppilaitosten matematiikan lehtorin virat. Opettajalinjan lisäksi voidaan myös yleisellä linjalla pätevöityä aineenopettajan tehtäviin suorittamalla erilliset pedagogiset opinnot. Aineenopettajan erillisiin kasvatustieteellisiin opintoihin valittavien henkilöiden lukumäärä saattaa riippua kulloinkin vallitsevasta työmarkkinatilanteesta. Matematiikan pääaineopiskelijat ovat löytäneet yleensä hyvin työpaikan viime aikoina usein aloilta, joissa on edellytetty tietotekniikan hallintaa. Tälläkin hetkellä matematiikan opettajien työmarkkinatilanne on hyvä ja lähitulevaisuudessa on ennustettu muodostuvan suoranaista työvoimapulaa matematiikan opettajista. Sivuaineopinnoista Matematiikan opiskelijalle sopivia sivuaineita ovat esimerkiksi tietojenkäsittelyoppi ja tilastotiede sekä hypermedia, filosofia, informaatiotutkimus, taloustieteet (esim. kansantaloustiede ja laskentatoimi), vakuutustiede ja vuorovaikutteinen teknologia. Opettajalle aikovaksi suositellaan myös sivuaineeksi fysiikkaa ja/tai kemiaa, jotka voi suorittaa Tampereen teknillisessä yliopistossa. Jälkimmäiset sivuaineet on esitelty tarkemmin myös tässä opinto-oppaassa. Sivuaineeksi voi valita myös muita TTY:n oppiaineita, esim. signaalinkäsittelyn. Opiskelijan, joka aikoo suorittaa opintojaksoja TTY:ssä, tulee hakea ns. vierailevaksi opiskelijaksi JOO-sopimuksen puitteissa. 35

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala Yleisen linjan opintosuoritukset Luonnontieteiden kandidaatin tutkinto 180 op Pääaineopinnot vähintään 80 op Logiikka 1A Diskreetti matematiikka Lineaarialgebra 1A-B Algebra 1 Analyysi 1 Analyysi 2 Analyysi 3 Lineaarialgebra 2A Analyysin teoria A Kandidaattiseminaari ja kandidaatintutkielma (kypsyysnäyte) 2 op 6 op 4+ 10 op Vaihtoehtoisia matematiikan aineopintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 80 op. Kyseeseen tulevat mm. Muodolliset kielet Logiikka 1B Logiikka 2 Differentiaali- ja differenssiyhtälöt Graafiteoria Johdatus modaalilogiikkaan Geometria 1 Matemaattiset ohjelmistot 1 op 2-1- Joidenkin maisterin tutkintoon kuuluvien syventävien opintojen suorittaminen ennen LuK tutkinnon valmistumista on mahdollista. Sivuaineopinnot vähintään 1 60 op (1 35 ov) tai 2 25 op (2 15 ov) Sivuaineopintoja joko yhdestä sivuaineesta vähintään 60 opintopisteen laajuiset opinnot (aineopinnot) tai kahdesta sivuaineesta molemmista vähintään 25 opintopisteen laajuiset opinnot (perusopinnot). Kandidaatin tutkintojen yhteiset opinnot (5 ov) (ks. s. 17-18) Kieli- ja viestintäopinnot 11 op (7 ov) (ks. s. 17-18) Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 180 op. 36

Filosofian maisterin tutkinto 120 op Matematiikka Huom. Jos ei ole suorittanut yleisen linjan luonnontieteiden kandidaatin tutkintoa, on opintoja täydennettävä sen vaatimuksia vastaaviksi. Opettajalinjan luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon suorittaneella on tällä edellytyksellä aina oikeus suorittaa yleisen linjan filosofian maisterin tutkinto. Pääaineopinnot vähintään 80 op Analyysin teoria B Lineaarialgebra 2B Seminaari (korvaavuudesta voi sopia) Pro gradu tutkielma (kypsyysnäyte) 6 op 40 op Vaihtoehtoisia matematiikan syventäviä opintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 80 op. Tällaisia matematiikan erikoiskursseja ovat mm. Algebra 2 Geometria 2 Hilateoria Joukko-oppi Kompleksianalyysi Laskettavuuden teoria Lineaarialgebra 3 Lukuteoria 5 op Osan vaihtoehtoisista aineopintokursseista voi täydentää syventäviksi. Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 120 op. Opettajalinja Opettajalinjan tavoitteena on kouluttaa matematiikan ja tietotekniikan/fysiikan/kemian opettajia. Tällöin tutkinnon pääaineena (ensimmäisenä opetettavana aineena) on matematiikka. Sivuaineeksi (toiseksi opetettavaksi aineeksi) voi valita tietojenkäsittelyopin (tietotekniikan), fysiikan tai kemian. Näiden lisäksi suoritetaan opettajan pedagogiset opinnot. Opetettavalla aineella tarkoitetaan peruskoulun, lukion tai muun oppilaitoksen opetukseen kuuluvaa ainetta. Filosofian maisterilla, joka on suorittanut opettajalinjan, on mahdollisuus sijoittua mm. peruskoulun ja lukion lehtorin tehtäviin sekä ammatillisten ja muiden oppilaitosten vastaavien yleisten aineiden opettajan tehtäviin. Opettajalinja muodostuu pääasiassa matematiikan, tietotekniikan/fysiikan/kemian ja kasvatustieteen opinnoista. Tietotekniikka sisältyy Tampereen yliopistossa tietojenkäsittelyoppiin. Eri oppiaineiden ja niiden opiskelun luonteen selville saamiseksi opiskelijaa kehotetaan lukemaan myös yleisen linjan, tietojenkäsittelytieteiden koulutusohjel- 37

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala man, fysiikan ja kemian oppiaineiden sekä aineenopettajan pedagogisten opintojen (ks. kasvatustieteiden tiedekunnan opinto-opas) esittelyt. Fysiikan ja kemian opinnot suoritetaan Tampereen teknillisessä yliopistossa (TTY) Tampereen yliopiston informaatiotieteiden tiedekunnan tutkintovaatimusten mukaisesti (ks. fysiikan ja kemian oppiaineet sivut 66-69). Haku aineenopettajan pedagogisiin opintoihin Opettajan pedagogiset opinnot ovat opiskelijan tutkinnoissa sivuaineen asemassa. Opiskelijoiden valinnasta vastaa kasvatustieteiden tiedekunta. Valinta opettajan pedagogisiin opintoihin tapahtuu opettajankoulutuslaitoksen toimeenpaneman soveltuvuuskokeen perusteella. Soveltuvuuskokeeseen, joka toimeenpannaan aineittain tai aineryhmittäin, kuuluu ryhmäkeskustelu ja yksilöhaastattelu. Soveltuvuuskoe järjestetään vuosittain kevätlukukaudella. Matematiikassa edellytetään suoritetuksi 36 op. Soveltuvuuskokeeseen on syytä osallistua vain siinä tapauksessa, että on varautunut aloittamaan pedagogiset opinnot seuraavana lukuvuonna. Lisätietoja hakujärjestelyistä on laitoksen kotisivuilla ja matematiikan ilmoitustaululla. Opettajalinjan opintosuoritukset Luonnontieteiden kandidaatin tutkinto 180 op Pääaineopinnot vähintään 70 op Logiikka 1A Diskreetti matematiikka Lineaarialgebra 1A-B Algebra 1 Analyysi 1 Analyysi 2 Analyysi 3 Analyysin teoria A Kandidaattiseminaari ja kandidaatintutkielma (kypsyysnäyte) 2 op 6 op 4+ 10 op Vaihtoehtoisia matematiikan aineopintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 70 op. Kyseeseen tulevat mm. Muodolliset kielet Logiikka 1B Logiikka 2 Differentiaali- ja differenssiyhtälöt Graafiteoria Johdatus modaalilogiikkaan Lineaarialgebra 2A Geometria 1 Matemaattiset ohjelmistot 1 op 2-1- Joidenkin maisterin tutkintoon kuuluvien syventävien opintojen suorittaminen ennen LuK tutkinnon valmistumista on mahdollista. 38

Matematiikka Toinen opetettava aine (tietojenkäsittelyoppi, fysiikka tai kemia) (perus- ja aineopinnot) vähintään 60 op (35 ov) Opettajan pedagogiset opinnot (perusopinnot) 25 op (15 ov) Kandidaatin tutkintojen yhteiset opinnot (5 ov) (ks. s. 17-18) Kieli- ja viestintäopinnot 11 op (7 ov) (ks. s. 17-18) Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 180 op. Filosofian maisterin tutkinto 120 op Huom. Jos ei ole suorittanut opettajalinjan luonnontieteiden kandidaatin tutkintoa, on opintoja täydennettävä sen vaatimuksia vastaaviksi. Yleisen linjan luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon suorittaneella on tällä edellytyksellä aina oikeus suorittaa opettajalinjan filosofian maisterin tutkinto. Pääaineopinnot vähintään 60 op Analyysin teoria B 6 op Seminaari Pro gradu tutkielma (kypsyysnäyte) 25 op 40 op:n laajuinen tutkielma on mahdollinen, mutta ylimenevä 15 op ei korvaa muita syventäviä opintoja. Vaihtoehtoisia matematiikan syventäviä opintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 60 op. Tällaisia matematiikan erikoiskursseja ovat mm lineaarialgebra 2B ja kaikki yleisellä linjalla vastaavassa kohdin mainitut kurssit. Osan vaihtoehtoisista aineopintokursseista voi täydentää syventäviksi. Opettajan pedagogiset opinnot (aineopinnot, opetusharjoittelu) 35 op Vapaasti valittavia opintoja Vapaasti valittavia opintoja pääaineesta tai muista aineista niin, että opintosuoritusten kokonaislaajuus on vähintään 120 op. Koska useissa peruskoulun ja lukion lehtorin viroissa on edellytyksenä kolmenkin opetettavan aineen hallinta, suositellaan vapaasti valittavien opintojen käyttämistä jonkin kolmannen opetettavan aineen opintoihin. Tällöin kyseeseen tulee lähinnä tietojenkäsittelyoppi, fysiikka, kemia, mahdollisesti myös filosofia. Muita mahdollisia vapaasti valittavien opintojen käyttökohteita ovat esimerkiksi matematiikan, tietojenkäsittelyopin, tilastotieteen tai kasvatustieteen opintojen laajentaminen tai jonkin kokonaan uuden oppiaineen opiskelu. 39

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala Matematiikan opintokokonaisuudet Seuraavassa muunto opintoviikoiksi tapahtuu tarvittaessa laskemalla vaadittavien osasuoritusten opintoviikkomäärät yhteen. P Matematiikan perusopinnot 25 op Yhteensä seuraavista 25 op: Logiikka 1A Diskreetti matematiikka Muodolliset kielet Lineaarialgebra 1A-B Algebra 1 Analyysi 1 Analyysi 2 Analyysi 3 2 op 6 op 1 op 4+ A Matematiikan aineopinnot, yhdessä perusopintojen kanssa 60-80 op Perusopintojen lisäksi vaihtoehtoisia matematiikan aineopintoja siten, että opintojen kokonaismäärä on sivuaineopiskelijalla 60 op, opettajalinjan opiskelijalla 70 op ja yleisen linjan opiskelijalla 80 op (ks. ao. linja, luonnontieteiden kandidaatin tutkinnon vaatimukset). Erityisesti kahdella viimeksi mainitulla tähän on sisällyttävä kandidaattiseminaari ja kandidaatintutkielma. S Matematiikan syventävät opinnot 60-80 op Sivuaineopiskelijat: Analyysin teoria B (A suoritettuna) Sivuainetutkielma 6 op 25 op Vaihtoehtoisia matematiikan syventäviä opintoja siten, että kokonaismäärä on vähintään 60 op. Pääaineopiskelijat: ks. ao. linja, filosofian maisterin tutkinnon vaatimukset. Diskreetistä matematiikasta kiinnostuneille opiskelijoille suositellaan TTY:n matematiikan laitoksella järjestettäviä alueeseen liittyviä erikoiskursseja (ks. opintojaksokuvaukset s. 46). Erityisesti logiikkaan suuntautuville suositellaan kurssia Matemaattinen logiikka. Myös muita vaihtoehtoisia aine- ja syventäviä opintoja on mahdollista suorittaa TTY:ssä, mutta näiden kelpoisuudesta on syytä neuvotella oman laitoksen matematiikan professorin kanssa. Opiskelijan, joka aikoo suorittaa opintojaksoja TTY: ssä, tulee hakea ns. vierailevaksi opiskelijaksi JOO-sopimuksen puitteissa. 40

Opintojaksokuvaukset Matematiikka Kuvauksissa mainitut kirjallisuusviitteet on pääsääntöisesti tarkoitettu oheislukemistoksi. Kuulusteluissa vaadittavat tiedot saa selville opintojakson vastuuhenkilöltä (yleensä kurssin viimeksi luennoineelta opettajalta). Opintojaksosta vastaava laitos on matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos/matematiikka, ellei toisin ole ilmoitettu. Ajankohta viittaa ohjeelliseen etenemiseen kandidaatin tutkinnossa. Kandidaatin tutkintojen yhteiset opinnot Y1 Orientoivat opinnot 1 op (1 ov) Y2 Opintojen ohjattu suunnittelu (sis. henkilökohtainen opintosuunnitelma hops) 2 op (1 ov) ks. http://www.uta.fi/laitokset/mattiet/matematiikka Y3 Tiedonhankinnan perusteet 2 op (1 ov) Y4 Tietotekniikan peruskurssi 3 op ( 2 ov) Kieli- ja viestintäopinnot (Tieteellinen kirjoittaminen) 3 op (2 ov) Suullinen viestintä 2 op (1 ov) Ruotsin kielen kirjallinen ja suullinen viestintä 3 op (2 ov) Vieraan kielen taito 3 op (2 ov) (Ks. kielikeskuksen opinto-opas, informaatiotieteiden tiedekunnan kieliopinnot.) Matematiikan opintojaksot Perusopinnot A15A Logiikka 1A 2 op (1,5 ov) Logic 1A lause- ja predikaattilogiikan peruskäsitteitä. Ajankohta: 1. vuosi slk. Opetuksen määrä: 12 t luentoja, 6 t harjoituksia. 1 Merikoski Virtanen Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan 2 Rosen: Discrete Mathematics and its Applications. P0 Diskreetti matematiikka 6 op (3,5 ov) Discrete Mathematics Tavoite: Perehtyä alan peruskäsitteisiin ja -menetelmiin kiinnittäen erityistä huomiota matematiikan ja tietojenkäsittelyopin myöhemmän opiskelun vaatimuksiin. joukot ja funktiot relaatiot induktio, rekursio kombinatoriikkaa. Ajankohta: 1. vuosi slk. Opetuksen määrä: 40 t luentoja, 20 t harjoituksia. 1 Merikoski Virtanen Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan 2 Rosen: Discrete Mathematics and its Applications. P9 Muodolliset kielet 1 op (1 ov) Formal Languages säännölliset lausekkeet ja säännölliset kielet automaatit muodolliset kieliopit. Ajankohta: 1 vuosi slk. Opetuksen määrä: 6 t luentoja, 6 t harjoituksia. Merikoski Virtanen Koivisto: Johdatus diskreettiin matematiikkaan, luku 8. 41

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala P2A Lineaarialgebra 1A (2 ov) Linear Algebra 1A matriisin käsite, matriisien yhteenlasku ja matriisin kertominen skalaarilla, transponointi, matriisien kertolasku, potenssi, matriisin kääntyvyys lineaariset yhtälöryhmät, Gaussin eliminointimenetelmä, Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä vektoriavaruus R n ja sen aliavaruudet, kanta ja dimensio, euklidinen sisätulo ja normi R n :ssä, tason lineaarikuvaukset ominaisarvoprobleema pääasiassa 2 2 matriiseille. Ajankohta: 1. vuosi klk. Opetuksen määrä: 28 t luentoja, 14 t harjoituksia. Merikoski & al.: Matematiikan taito 15, Lineaarialgebra. P2B Lineaarialgebra 1B (3 ov) Linear Algebra 1B determinantti diagonalisointi lineaarikuvaukset R n R m neliömuodot. Ajankohta: 1. vuosi klk. Opetuksen määrä: 28 t luentoja, 14 t harjoituksia. 1 Edwards Penney: Elementary Linear Algebra 2 Nicholson: Elementary Linear Algebra 42 P3 Analyysi 1 (5 ov) Analysis 1 Tavoite: Analyysin kurssien 1, 2 ja 3 päätarkoituksena on tutustuttaa opiskelija reaali- ja vektorifunktioiden teoriaan sekä analyysin sovelluksissa tarvittavaan laskutekniikkaan. funktion raja-arvo ja jatkuvuus ns. tavalliset alkeisfunktiot differentiaalilaskentaa integraalilaskentaa lukujonoista sarjateorian alkeet potenssisarjoista. Ajankohta: 1. vuosi slk. Opetuksen määrä: 56 t luentoja, 28 t harjoituksia. 1 Salas Hille Anderson: Calculus: One and Several Variables 2 Apostol: Calculus vol. I 3 Strang: Calculus 4 Frennemo Löfström Obiasson: Elementär analys i flera dimensioner. Edeltävät opinnot: Lukion pitkä matematiikka. P4 Analyysi 2 (5 ov) Analysis 2 Tavoite ja sisältö: Ks. Analyysi 1. Ajankohta: 1. vuosi klk. Opetuksen määrä: 56 t luentoja, 28 t harjoituksia. Ks. Analyysi 1. Edeltävät opinnot: Analyysi 1. Aineopinnot A1 Analyysi 3 (5 ov) Analysis 3 Tavoite ja sisältö: ks. Analyysi 1. Ajankohta: 2. vuosi slk. Opetuksen määrä: 56 t luentoja, 28 t harjoituksia. Ks. Analyysi 1. Edeltävät opinnot: Analyysi 2. A7A Algebra 1 (3 ov) Algebra 1 lukuteoriaa ryhmäteoriaa renkaat ja kunnat. Ajankohta: 1. 2. vuosi. Opetuksen määrä: 32 t luentoja, 16 t harjoituksia. 1 Malik Mordeson Sen: Fundamentals of Abstract Algebra 2 Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications. Edeltävät opinnot: Diskreetti matematiikka. A34 Analyysin teoria A (2 ov) Theory of Analysis A Reaaliluvut. Lukujonon raja-arvo. Monotonisen jonon suppenemislause, sisäkkäisten välien lause, Bolzanon-Weierstrassin lause. Funktion raja-arvo

ja jatkuvuus. Jatkuvien funktioiden kolme peruslausetta. Ajankohta: 2. tai 3. vuosi klk. Opetuksen määrä: 24 t luentoja, 12 t harjoituksia. Merikoski Halmetoja Tossavainen: Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan. Edeltävät opinnot: Analyysi 1. A4A Lineaarialgebra 2A (2 ov) Linear Algebra 2A yleiset vektoriavaruudet lineaarikuvaukset V W ja näiden matriisiesitykset. Ajankohta: 2. vuosi slk. Opetuksen määrä: 24 t luentoja, 12 t harjoituksia. Friedberg Insel Spence: Linear Algebra. Edeltävät opinnot: Lineaarialgebra 1A+B. A15B Logiikka 1B 2- (2-3 ov) Logic 1B lause- ja predikaattilogiikkaa. Ajankohta: 1. 2. vuosi. 1. Rantala - Virtanen: Logiikan peruskurssi, http://mtl.uta.fi/modaalilogiikka/logpk2003. pdf 2 Suppes: Introduction to Logic. A12 Kandidaattiseminaari Bachelor s Seminar Tavoite: Antaa perusvalmiuksia matematiikan kirjalliseen esittämiseen sekä kandidaatintutkielman tekemiseen. Ajankohta: 3. vuosi slk. Opetus- ja työmuodot: Harjoituksia ja kandidaatintutkielman ohjausta. Opetuksen määrä: 10 20 t. Suoritustapa: Aktiivinen osallistuminen. Kandidaattiseminaari katsotaan osasuoritukseksi kandidaatintutkielmassa. Siksi kandidaattiseminaarista ei anneta erikseen opintoviikkoja. Edeltävät opinnot: Lähes kaikki matematiikan perus- ja aineopinnot. Matematiikka A3 Kandidaatintutkielma 10 op (5 ov) Bachelor s Thesis Tavoite: Antaa opiskelijalle valmiutta matemaattisen tiedon hallintaan ja kirjalliseen esittämiseen. Jokin täsmällisesti rajattu matemaattinen aihe. Ajankohta: 3. vuosi. Suoritustapa: Osallistuminen kandidaattiseminaariin, tutkielma ja kypsyysnäyte. Edeltävät opinnot: Lähes kaikki matematiikan perus- ja aineopinnot. Seuraavia opintojaksoja ei luennoida säännöllisesti joka vuosi. A32 Geometria 1 (2-5 ov) Geometry 1 Tavoite ja sisältö: Kerrata ja täydentää lukion geometrian oppimäärää. Kehittää geometristen ongelmien ratkaisukykyä, avaruudellista hahmotuskykyä ja piirtotekniikkaa. Opetuksen määrä: riippuu kursin laajuudesta. Y7 Matemaattiset ohjelmistot 1- (1-3 ov) Mathematical Software Tavoite ja sisältö: Tutustuttaa erilaisten valmisohjelmistojen käyttöön ja kehittää valmiuksia ratkaista matematiikan eri alueisiin liittyviä tehtäviä tietokonetta ja ohjelmistoja käyttäen. Suoritustapa: Osallistuminen ohjattuun opetukseen ja harjoitustyöt. Edeltävät opinnot: Analyysin ja lineaarialgebran perusteiden tuntemus, tietokoneen käytön perusvalmiudet. A6 Differentiaali- ja differenssiyhtälöt (2-5 ov) Differential and Difference Equations differentiaaliyhtälön käsite ja perusominaisuuksia eräiden 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen lineaariset differentiaaliyhtälöt 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden yleistä teoriaa differenssilaskentaa lineaariset differenssiyhtälöt. Ajankohta: 2. 3. vuosi. 1 Andrews: Ordinary Differential Equations 43

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala 2 Spiegel: Finite Differences and Difference Equations. Edeltävät opinnot: Analyysi 1 2, Lineaarialgebra 1A+B. A16 Logiikka 2 (2-5 ov) Logic 2 totuusfunktiot mallit ja Tarskin totuusmääritelmä semanttiset puut luonnollinen päättely predikaattilogiikan täydellisyyslause. Ajankohta: 2. 3. vuosi. 1. Ebbinghaus Flum Thomas: Mathematical Logic 2. Salminen Väänänen: Johdatus logiikkaan. Edeltävät opinnot: Diskreetti matematiikka, Logiikka 1A+B. A20 Johdatus modaalilogiikkaan (2-5 ov) Introduction to Modal Logic lyhyt lauselogiikan kertaus, relaatioista induktio kaavan pituuden suhteen todistusteoriaa modaalista lauselogiikkaa Kripke-semantiikkaa täydellisyystuloksia. Ajankohta: 2. 3. vuosi. 1 Rantala Virtanen: Johdatus modaalilogiikkaan 2 Chellas: Modal logic, an introduction 3 Hughes Cresswell: A New Introduction to Modal Logic 4 Hughes Londey: The Elements of Formal Logic. Edeltävät opinnot: Diskreetti matematiikka, Logiikka 1A+B. A33 Johdatus äärellisten mallien teoriaan (2-5 ov) Introduction to Finite Model Theory Ehrenfeucht-Fraisse peli ja helmipeli ensimmäisen kertaluvun logiikka FO äärellisen monen muuttujan logiikka FV FO:n ja FV:n pelikarakterisoinnit 44 määrittelemättömyystuloksia monadinen toisen kertaluvun logiikka ja Büchin lause. Ajankohta: 2. 3. vuosi. 1 Ebbinghaus Flum: Finite Model Theory 2 Libkin: Elements of Finite Model Theory. Edeltävät opinnot: Diskreetti matematiikka, Logiikka 2. Syventävät opinnot S1B Analyysin teoria B 6 op (3 ov) Theory of Analysis B Funktiojonon ja sarjan tasainen suppeneminen. Funktion tasainen jatkuvuus. Differentiaali- ja integraalilaskennan teoriaa. Ajankohta: 2. tai 3. vuosi klk. Opetuksen määrä: 32 t luentoja, 16 t harjoituksia. 1 Browder: Mathematical Analysis: An Introduction 2 Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta I-II 3 Rudin: Principles of Mathematical Analysis. Edeltävät opinnot: Analyysi 1-3, Analyysin teoria A. S42 Lineaarialgebra 2B (3 ov) Linear Algebra 2B yleiset sisätulo- ja normiavaruudet lineaarikuvauksen ominaisarvoprobleema sovelluksia. Ajankohta: 2. vuosi slk. Opetuksen määrä: 28 t luentoja, 14 t harjoituksia. Friedberg Insel Spence: Linear Algebra. Edeltävät opinnot: Lineaarialgebra 2A. S2 Seminaari 2 ov Seminar Tavoite: Antaa opiskelijalle valmiutta matematiikan esittämiseen sekä tutkielman tekemiseen. Jokin keskeinen alue matematiikassa. Ajankohta: 4. vuosi. Opetus- ja työmuodot: Suullisia ja kirjallisia harjoituksia, seminaarityöskentelyä.

Opetuksen määrä: 10 20 t. Suoritustapa: Aktiivinen osallistuminen seminaarityöskentelyyn sekä kirjallisia töitä. Edeltävät opinnot: Kandidaattiseminaari. S3 Pro gradu -tutkielma Master s Thesis Opettajalinja 25 tai 40 op (10 ov tai 20 ov). Tutkielma voi olla didaktisesti painottunut. Ohjeita saa matematiikan professorilta. Yleinen linja 40 op (20 ov). Tavoite: Antaa valmius matemaattisen tiedon itsenäiseen hallintaan ja kirjalliseen esittämiseen. Jokin täsmällisesti rajattu matemaattinen aihe. Ajankohta: 4. 5. vuosi. Suoritustapa: Tutkielma ja kypsyysnäyte. Edeltävät opinnot: Seminaari ja lähes kaikki muut matematiikan syventävät opinnot. Seuraavia opintojaksoja ei luennoida säännöllisesti joka vuosi: Näillä opintojaksoilla vaadittavista edeltävistä opinnoista ilmoitetaan kurssiilmoituksen yhteydessä. Myös muita kuin tässä mainittuja erikoiskursseja voidaan järjestää; niistä ilmoitetaan ilmoitustaululla. S5 Funktionaalianalyysi (3-5 ov) Functional Analysis ääretönulotteista lineaarialgebraa kompaktit operaattorit spektraaliteoriaa. DeVito: Functional Analysis and Linear Operator Theory. S6B Geometria 2 (3-5 ov) Geometry 2 geometrian historiaa analyyttista geometriaa aksiomaattista geometriaa. 1 Ryan: Euclidean and non-euclidean geometry: an analytic approach 2 Nevanlinna: Geometrian perusteet. Edeltävät opinnot: Algebra 1, Lineaarialgebra 1A+B. Matematiikka S7 Lineaarialgebra 3 (3-5 ov) Linear Algebra 3 Schurin kolmiointilause Jordanin perusmuoto variaatioperiaatteet normit. Horn Johnson: Matrix Analysis. Edeltävät opinnot: Lineaarialgebra 2B. S8 Kompleksianalyysi (3-5 ov) Complex Analysis analyyttinen funktio potenssisarjat transkendenttiset alkeisfunktiot kompleksinen integraali residylaskentaa integraalimuunnoksista. 1 Mathews Howell: Complex Analysis 2 Priestley: Introduction to Complex Analysis. S9 Hilateoria (3-5 ov) Lattice Theory osittain järjestetyt joukot hilat modulaariset ja distributiiviset hilat hilojen ideaalit. 1 Davey Priestley: Introduction to Lattices and Order 2 Eronen: Hilateoriaa. S10 Lukuteoria (3-5 ov) Number Theory kongruensseista primitiiviset juuret ja diskreetti logaritmi neliönjäännökset aritmeettiset funktiot. 1 Apostol: Introduction to Analytic Number Theory 2 Rosen: Elementary Number Theory. Edeltävät opinnot: Algebra 1. 45

Perustutkinnot luonnontieteellinen koulutusala S16 Laskettavuuden teoriaa (3-5 ov) Computability Theory URM-laskettavuus rekursio ja minimalisaatio Churchin teesi universaalifunktio ratkeavuus ja osittainen ratkeavuus lukuteorian epätäydellisyys vaativuusteoriaa. Opetuksen määrä: riippuu kursin laajuudesta. Cutland: Computability. An introduction to recursive function theory. Edeltävät opinnot: Diskreetti matematiikka. S17 Joukko-oppi (3-5 ov) Set Theory joukko-opin aksioomat ja kumulatiivinen hierarkia luonnolliset luvut kardinaaliluvut ordinaaliluvut transfiniittinen rekursio. Enderton: Elements of Set Theory. Edeltävät opinnot: Diskreetti matematiikka. S39 Algebra 2 5 op (3 ov) Algebra 2 ryhmäteoriaa polynomirenkaat tekijästruktuurit. Opetuksen määrä: riippuu kurssin lajuudesta. Malik Mordeson Sen: Fundamentals of Abstract Algebra Edeltävät opinnot: Algebra 1. Suositeltavia Tampereen teknillisessä yliopistossa järjestettäviä täydentäviä erikoiskursseja Ks. tarkemmin http://matriisi.ee.tut.fi/matematiikka/opetus/index.html MAT-31100 Numeerinen analyysi 1 Numerical Analysis 1 (5 op) MAT-41120 Matemaattinen optimointiteoria 1 Optimization Theory 1 (5 op) MAT-21240 Operaatiotutkimus Operation Research (3 op) MAT-41176 Automaattiteoria Theory of Automata (5 op) MAT-41180 Formaalit kielet Formal Languages (6 op) MAT-51216 Informaatioteoria Information Theory () MAT-53750 Johdatusta geometrisiin algebroihin ja niiden sovellutuksiin (5 op) MAT-51206 Koodausteoria Coding Theory 5 op) MAT-52600 Matemaattinen kryptologia Mathematical Cryptology (6 op) MAT-59056 Matemaattinen logiikka Mathematical Logic (7 op) MAT-51250 Matemaattinen optimointiteoria 2 Optimization Theory 2 () MAT-52800 Soft Computing Soft Computing () MAT-42100 Sovellettu logiikka Applied Logic (5 op) MAT-42650 Symbolinen laskenta Symbolic Calculation (7 op) MAT-55406 Äärelliset kunnat Finite Fields (). 46