Tietorakenteet ja algoritmit Rekursio Rekursion käyttötapauksia Rekursio määritelmissä Rekursio ongelmanratkaisussa ja ohjelmointitekniikkana Esimerkkejä taulukolla Esimerkkejä linkatulla listalla Hanoin tornit 1
Rekursio Rekursio tarkoittaa palauttamista itseensä. Rekursiota käytetään Määritelmissä Ongelmanratkaisussa Ohjelmointitekniikkana (toisto) Funktio, joka kutsuu itseään on rekursiivinen 2
Rekursio määritelmissä Asioita voidaan määritellä rekursiivisesti. Esimerkiksi lista, binääripuu ja kertoma (n!) voidaan määritellä rekursiivisesti. Esimerkkinä kertoman rekursiivinen määrittely. Matemaattinen käsite kertoma määritellään näin n! = 1, kun n= 0 (rekursion kanta) n*(n-1)!, kun n>0 (rekursiivinen osa) Seuraavalla sivulla sovelletaan kertoman määritelmää käytäntöön. 3
Kertoman määritelmän käyttö Käytetään edellisen sivun kertoman määritelmää ja selvitetään, mitä on 5! 5! = 5*(5-1)! = 5*4! Pienennetään probleemaa = 5*(4*(4-1)!) = 5*(4*3!) = 5*(4*(3*(3-1)!)) = 5*(4*(3*2!)) = 5*(4*(3*(2*(2-1)!))) = 5*(4*(3*(2*1!))) = 5*(4*(3*(2*(1*(1-1)!)))) = 5*(4*(3*(2*(1*0!)))) = 5*(4*(3*(2*(1*1)))) = 5*(4*(3*(2*1))) = 5*(4*(3*2)) = 5*(4*6) = 5*24 = 120 Palataan takaperin ratkaisuun Kanta eli yksinkertainen tapaus löytynyt 4
Rekursio ohjelmointitekniikkana Rekursiivinen funktio kutsuu itse itseään. Esimerkki. Kertoman laskenta // Rekursiivinen funktio, joka laskee kertoman int factorial(int number) { if (number == 0) return 1; if (number > 0) return number*factorial(number-1); void main (void) { printf("\nthe factorial of 4 is %d", factorial(4)); Iteratiivinen olisi tässä parempi. Esimerkki annettu periaatteen oppimisen tarkoituksessa. 5
Rekursio ongelmanratkaisussa Periaate 1. Etsitään yksinkertainen tapaus (ns.rekursion kanta) 2. Palautetaan ongelma itseensä, mutta kooltaan pienennettynä 3. Toistetaan kohtaa 2, kunnes päästään yksinkertaiseen tapauksen (kantaan) 4. Paluu "takaperin" lopulliseen ratkaisuun Esimerkkejä Seuraavaksi käsitellään erilaisia esimerkkejä, kuinka rekursiota käytetään ongelmanratkaisussa ja ohjelmoitaessa ongelman ratkaisevaa funktiota. Esimerkit ovat 1. Taulukon alkioiden tulostus käänteisessä järjestyksessä 2. Taulukon alkioiden järjestyksen kääntö 3. Linkatun listan alkioiden tulostus käänteisessä järjestyksessä 4. Linkatun listan loppuun lisääminen 5. Hanoin tornit 6
Taulukon alkioiden tulostus käänteisessä järjestyksessä 1 Ajattelutapa Oletetaan, että taulukossa on n alkiota. Yksinkertainen tapaus: Taulukko on tyhjä eli siinä on 0 alkiota. Ratkaisu on yksinkertainen, koska ei tarvitse tulostaa tai tehdä mitään. Probleeman pienentäminen: Jos taulukko ei ole tyhjä eli n > 0. Tulostetaan käänteisessä järjestyksessä yhtä alkiota pienempi taulukko, joka seuraa ensimmäistä alkiota. Tämän jälkeen tulostetaan alkuperäisen taulukon ensimmäinen alkio. Sama alkuperäinen ongelma mutta pienempänä Asia ohjelmana seuraavalla sivulla. 7
Taulukon alkioiden tulostus käänteisessä järjestyksessä 2 void print_array(const int* arr, int n); void print_in_reverse_order(const int* arr, int n); void main(void) { int array[10] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ; print_array(array, 10); print_in_reverse_order(array, 10); void print_in_reverse_order(const int* arr, int n) { if ( n == 0) { //printf("\n"); Tulee alkuun return; else { print_in_reverse_order(arr + 1, n - 1); printf("%d ", *arr); Tarkastellaan, miten prosessori suorittaa tämän funktion. void print_array(const int* arr, int n) { const int *p; for (p = arr; p < arr + n; p++) printf("%d ", *p); printf("\n"); 8
Taulukon alkioiden järjestyksen kääntö 1 Ajattelutapa Oletetaan, että taulukossa on n alkiota. Yksinkertainen tapaus: Taulukko on tyhjä eli siinä on 0 alkiota. Ratkaisu on yksinkertainen, koska ei tarvitse tehdä mitään. Probleeman pienentäminen: Jos taulukko ei ole tyhjä eli n > 0. Käännetään alkioiden järjestys yhtä alkiota pienemmässä taulukossa, joka seuraa ensimmäistä alkiota. Sitten laitetaan talteen alkuperäisen taulukon ensimmäinen alkio. Seuraavaksi siirretään käännetty pienempi taulukko askel taaksepäin alkuperäisessä taulukossa. Lopuksi viedään talteen laitettu alkuperäisen taulukon ensimmäinen alkio taulukon viimeiseksi. Asia ohjelmana seuraavalla sivulla. Sama alkuperäinen ongelma mutta pienempänä 9
Taulukon alkioiden järjestyksen kääntö 2 void invert_array(int *array, int n) { int aux; if (n == 0) return; Tarkastellaan, miten else { prosessori suorittaa tämän aux = *array; funktion. invert_array(array+1, n-1); move_one_step_backwards(array, n-1); *(array+n-1) = aux; void move_one_step_backwards(int *array, int n) { int i; for (i = 0; i < n; i++) array[i] = array[i+1]; 10
Rekursiivisia funktioita linkatulle listalle Linkatun listan alkioiden tulostus käänteisessä järjestyksessä Tässä rekursio sopii, koska osoittimet on laitettava joka tapauksessa jonnekin talteen. Linkattu merkkilista on määritelty muodossa typedef Tpointer Tlist; Seuraava funktio tulostaa listan käännetyssä järjestyksessä. void print_list_in_reverse (Tlist list) { if (list == NULL) printf("\nlist in reverse order :"); else { print_list_in_reverse (list->next); printf("%c ", list->item); kanta (triviaali tapaus) probleeman pienentäminen 11
Kuinka rekursiivinen funktio toimii Käydään läpi edellisen sivun funktion toiminta ja oletetaan että linkattu lista on muotoa: 1000 1000 a 2000 3000 c 2000 b 3000 NULL 3000 2000 1000 Luvut 1000, 2000 ja 3000 kuvaavat muistiosoitteita. Pinon sisältö kun rekursion kanta saavutetaan. 12
Muita rekursiivisia funktioita linkatulle listalle Linkatun listan loppuun lisääminen insert_to_list_end Rekursiivinen ratkaisu voi olla myös tehottomampi kuin iteratiivinen (pinon haaskaus ). Linkattu merkkilista on määritelty muodossa typedef Tpointer Tlist; Rekursiivinen funktio, jolla lisätään alkio listan loppuun. void insert_to_list_end(tlist *list, Titem data) { if (*list == NULL ) { *list = (Tpointer) malloc(sizeof(tnode)); (*list) -> item = data; (*list) -> next = NULL; else insert_to_list_end_1(&((*list)->next), data); 13
Rekursion oikea ja väärä käyttö Funktio print_list_in_reverse on esimerkki oikeasta tavasta käyttää rekursiota, koska siinä pinoon tallennettavaa historiaa todella tarvitaan. Rekursion oikeaa käyttöä ei ole toteuttaa sillä vain toisto, koska funktion parametrit ja mahdolliset paikalliset muuttujat viedään joka kutsukerralla uudelleen pinoon ja näin haaskataan pinomuistia. 14
Hanoin tornit Klassinen esimerkki rekursiosta probleemanratkaisussa: Hanoin tornit. Probleeman kuvaus: Kultalevyt sauvassa a on siirrettävä sauvaan c sauvaa b hyväksikäyttäen siten, että 1. Missään vaiheessa isompi levy ei ole pienemmän päällä missään sauvassa. 2. Vain yksi levy kerrallaan saa olla pois sauvoista. Käydään läpi ongelman rekursiivisen ratkaisun ajatteluperiaate alla olevan kuvan avulla. a b c Ratkaisun periaate: 1. siirretään n-1 levyä sääntöjä noudattaen tangosta a tankoon b käyttäen hyväksi tankoa c 2. siirretään tankoon a jäänyt suurin levy tankoon c 3. siirrettään n-1 levyä sääntöjä noudattaen tangosta b tankoon c käyttäen hyväksi tankoa a 15
Hanoin tornien ongelman ratkaiseva ohjelma #include <stdio.h> void siirra (int n, char tanko1, char tanko2, char tanko3) { // seuraavilla riveillä voitaisiin testata, montako kertaa funktiossa on käyty // static int kerta = 0; // printf( Kerta := %d n = %d\n", kerta++, n); if (n==1) printf("\n Siirrä tangosta %c tankoon %c ", tanko1, tanko3); else { siirra(n - 1, tanko1, tanko3, tanko2); printf("\n Siirrä tangosta %c tankoon %c ", tanko1, tanko3); siirra(n - 1, tanko2, tanko1, tanko3); void main (void) { int n; printf("\n Montako levyä :"); scanf("%d", &n); printf("\n Käytä seuraavia siirtoja "); siirra(n, 'a', 'b', 'c'); 16
Hanoin tornien kutsupuu. Hanoin tornien kutsupuu 17
Rekursion, pinon ja puiden yhteydet. Rekursio, pino ja puut ovat kiinteästi yhteen kietoutuneita. Rekursion toteuttamiseen käytetään pinoa. Rekursiivisen funktion, jossa funktio kutsuu itseään kaksi kertaa, kutsuista muodostuu ns. kutsupuu. Tietorakenne puu määritellään rekursiivisesti. Useimmat puita käsittelevät operaatiofunktiot toteutetaan rekursiivisesti. Puihin tutustutaan paremmin osassa 13 18
Lisää rekursiolle sopivia probleemoita Sivulla 6 mainittiin eräitä yksinkertaisia probleemoita, jotka voidaan ratkaista rekursiivisesti, vaikka niiden iteratiivinen ratkaisukin on melko suoraviivainen. Seuraavassa esimerkkejä, joissa rekursio yksinkertaistaa huomattavasti ratkaisua: Infix-lausekkeen muuntaminen postfix-muotoon Ruudukossa olevan mielivaltaisen yhtenäisen tahran koon laskeminen (labratehtävänä) Puumaisen hakemistorakenteen läpikäynti Reitin etsintä verkosta Monet binäärisen etsintäpuun operaatiofunktiot Jne Muista myös mitä sivulla 14 on sanottu 19