4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne, jossa tunnetaan vain yksi piste, mutta tiedetään suoran suunta, tavallisimmin kaltevuuskulman avulla. Asetellaanpa aluksi koordinaatistoon viivoitin, niin että sen syrjälle asetettu kynä käy pisteen Q = ( 0, y 0 ) kautta ja piirretään nouseva suora niin, että se muodostaa -akselin kanssa kulman α 90 0. Suoralta on kuvassa valittu mielivaltainen piste P = (,y) jonka kautta on piirretty y-akselin suuntainen suora, pisteen Q kautta - akselin suuntainen suora, ja näiden apupiirrosten avulla on saatu aikaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusan muodostaa pieni pätkä piirrettyä suoraa, ja jonka kateettien pituudet ovat 0 ja y y 0. Näin konstruoidusta kolmiosta saadaan yhtälö: y P = (, y) Q = ( 0, y 0 ) α y y 0 α 0 y y tanα = 0 y y0 = ( 0) tanα y y0 = k( 0), 0 (*) missä on merkitty k = tanα. Tässä tarvittaan geometrista tietoa samankohtaisten kulmien käsitteestä; yllä olevassa kuviossa on kaksi α:n suuruista kulmaa. Koska valittu piste P oli mielivaltainen suoran piste, niin mikä tahansa suoran piste, mutta ei yksikään suoralle kuulumaton piste, toteuttaa yhtälön (*).
Jos piirrettäisiin pisteen Q kautta kulkeva laskeva suora, jonka kaltevuuskulma -akselin kanssa on niin ikään α, otettaisiin tältä mielivaltainen piste P = (, y), ja kuvio täydennettäisiin taas suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka hypotenuusa olisi y y jana QP, niin tässä tapauksessa suhde 0 olisi negatiivinen, mutta kaikille 0 suoran pisteille vakio. Tätä suhdetta, lukua k sanotaan suoran kulmakertoimeksi, ja se määrää suoran "jyrkkyyden"! Mitä suurempi k on, sitä suurempi on myös suoran kaltevuuskulma α, ja sitä jyrkemmin suora nousee tai laskee. Pisteen ( 0, y 0 ) kautta kulkeva suora voi olla myös y-akselin suuntainen. Sen ja - akselin välinen kulma on suora, eikä sillä kulmalla ole tangenttia. Tämän vuoksi y- akselin suuntainen suora aina vaatii erityshuomiota. Näiden johdattelujen jälkeen voidaan kirjoittaa LAUSE 7: Yhtälön y y0 = k( 0) kuvaaja on aina pisteen ( 0, y 0 ) kautta kulkeva suora viiva, jonka kaltevuuskulma α -akseliin nähden toteuttaa yhtälön tanα = k Suoran pisteen y koordinaatti :n arvojen kasvaessa - kasvaa, jos k > 0 (suora on nouseva) - pienenee, jos k < 0 (suora on laskeva) - pysyy vakiona, jos k = 0 (vaakasuora). Trigonometrian taitajat käyttävät suoran piirtämisessä menetelmää, joka perustuu siihen, että sisäistää kulmakertoimen ja suoran suuntakulman välisen yhteyden. Jos esimerkiksi k =, ja kun k = tanα, niin siirtymällä pisteestä ( 0, y 0 ) yksi (pituusyksikkö) oikealle ja tästä pisteestä kaksi (pituusyksikköä) ylös, tullaan suoran pisteeseen. Jos taas k =, pisteestä ( 0, y 0 ) edetään ensin kolme oikealle, 3 sen jälkeen kaksi alas, ja taas ollaan suoran pisteessä.
Sievennetään yhtälöä y y0 = k( 0) poistamalla sulut ja siirtelemällä termejä: y y0 = k( 0) y = k + y0 k0 y = k + b, missä on merkitty b = y0 k0. Siten on oikeutettua sanoa, että ensimmäisen asteen polynomifunktio on yleistä muotoa y = k + b, johon origon kautta kulkeva suora y = k sisältyy erikoistapauksena b = 0. LAUSE 8: Funktion y = k + b kuvaaja on suora viiva, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0,b) ja jonka kaltevuuskulma α -akselin suhteen toteuttaa yhtälön tanα = k Suoran pisteen y koordinaatti :n arvojen kasvaessa - kasvaa, jos k > 0 (suora on nouseva) - pienenee, jos k < 0 (suora on laskeva) - pysyy vakiona, jos k = 0 (vaakasuora). Jos erikoistapauksena piste ( 0, y 0 ) on origo, niin origon kautta kulkevan suoran yhtälö on y = k
Esim. 1 Suora kulkee pisteen ( 1,3) kautta ja sen kulmakerroin on. Määrää sen yhtälö ja ne pisteet, joissa suora leikkaa a) y-akselin b) -akselin. Sijoitetaan tunnetut luvut yhtälöön y y0 = k( 0) : y 3 = ( ( 1)) y 3 = + y = + 5 Koordinaattiakseleilla oleville pisteille: y-akselin jokaisen pisteen -koordi on nolla -akselin jokaisen pisteen y-koordi on nolla. Suora leikkaa y-akselin: y = 0 + 5 = 5. Siis pisteessä (0,5). Suora leikkaa -akselin: 0 = + 5, josta = ½. Siis piste ( ½,0). Esim. Suoran yhtälö on 4y + 4 = 0. Määritä sen kulmakerroin ja suuntakulma (kaltevuuskulma). Kuten oli toisen asteen yhtälössä, ratkaisukaavan käyttö edellyttää yhtälön saattamista normaalimuotoon. Siten ei suoran kulmakerroin suoraan ole muuttujan kerroin, ellei suoran yhtälö ole muodossa y = k + b. Yhtälön normaaleja sievennyssääntöjä käyttäen tähän esitysmuotoon kyllä päästään: 4y + 4 = 0 4y = 4 : ( 4) y = + 6 Suoran kulmakerroin on siis ½, joten suora on lievästi nouseva. Suuntakulmalle on voimassa 1 1 1 0 0 tanα = α = tan ( ) = 6.56... 6.6.
Tarkastellaan nyt tapausta, jossa tunnetaan suoran kaksi pistettä. Katsellaan oheista kuvaa ja sen avulla suoran suuntakulman tangentin määräämistä. Kyseessä on siis kahden annetun pisteen, ( 1, y1 ) ja (, y ) kautta kulkeva suora. y y y 1 d P (1, y1) 1 = P = (, y) α 1 k = tanα = y y 1 1 Kun ennestään tunnetaan kaksikin pistettä, joiden kautta suora kulkee, niin saadaan lauseen 4.7 nojalla muodostettua ko. suoran yhtälö, siis nojautumalla tulokseen y y = k( ) o Tunnettuna pisteenä sopii käyttää kumpaa hyvänsä annetuista pisteistä, ei kuitenkaan niin, että valitsee -koordinaatin toisesta ja y-koordinaatin toisesta pisteestä. Mikäli annetuilla pisteillä on sama -koordinaatti, ko. suora on y-akselin suuntainen eikä sillä ole kulmakerrointa. o
Lause 9: Pisteiden ( 1, y1 ) ja (, y ) kautta kulkevan suoran yhtälö on tapauksessa y y y y = 1 1 ( 1) 1. Jos =, suora on y-akselin suuntainen = 1. 1 1 Esim. 3 Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteiden (1,) ja ( 1,4) kautta. Olkoon ( 1, y1) = (1,) ja (, y) = ( 1,4) y y 4 y y 1 1 = ( 1) eli y = ( 1) eli 1 1 1 y = ( 1) eli y = ( 1) eli y = + 1 y = + 3 taikka + y 3 = 0. eli Esim. 4 Kuinka suuri on sen kolmion ala, jonka koordinaattiakselit muodostavat pisteiden ( 1, 3) ja ( 5,) kautta kulkevan suoran kanssa. Valitaan ensin mainitun pisteen koordinaattien alaindekseiksi 1 ja jälkimmäisen. Suoran yhtälö tällöin y + 3 = + 3 5 ( + 1) eli y + 3 = ( + 1), 5 + 1 4 josta ( 4):llä kertomalla saadaan 4(y + 3) = 5( + 1) eli 4y 1 = 5 + 5 eli 5 + 4y + 17 = 0. Tämä suora leikkaa y-akselin, kun = 0 ts. 4y = 17 eli y = 17/4 ja toisaalta suora leikkaa -akselin, kun y = 0 ts. 5 = 17, josta = 17/5. Kolmion kanta ja korkeus ovat määritettyjen pisteiden nollasta eroavien 17 17 89 koordinaattien itseisarvot ja A = ½ = 4 5 40.
Huom.!! Saattamalla kahden annetun pisteen kautta kulkevan suoran yhtälön ratkaistuun muotoon näet heti suoran kulmakertoimen ja vakiotermin. Kun tiedät näiden merkityksen ja kun toisaalta voit ko. suoran piirtää annettujen pisteiden avulla, voit suhteellisen vaivattomasti tarkistaa, onko suoran yhtälön määritys mennyt oikein. Tehtävän arvoa ei millään lailla alenna, vaikka tällainen tarkistusmenettely ajatuskuvioineen näkyisi paperillakin. ON syytä todellakin pyrkiä ilmaisemaan ajatuksensa kirjallisesti, jopa kotitehtävien suorituksessa.