Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
LYHYT KEVÄT, 23.4. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 20.3.2013 1 MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. 1. a) Ratkaise yhtälö 2( x 4) 3( x 3) 0. b) Laske lukujen 3 4 ja 6 käänteislukujen keskiarvo. 5 c) Sievennä lauseke 3 a 6 a 3 a 2. 2. a) Millä muuttujan x arvoilla 4 x 17 on suurempi kuin 2 x? 2 b) Ratkaise yhtälö x 14 x 49. c) Suora kulkee origon ja pisteen (2, 3) kautta. Kulkeeko se myös pisteen (48, 75) kautta? 3. a) Laske derivaatta f '(1), kun f ( x ) x ( x 2) 5. 3x 1 x 3 x 1 b) Ratkaise yhtälö 5 25 2. 4. Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää 21,90, Sannan jäädessä 28,20 ja matkan loppusumma on 33,50. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan? 5. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma maanpinnan tasosta katsottuna? 39 m α α 26 m 50 m
2 6. Tennispalloja myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa, johon mahtuu neljä palloa tiiviisti päällekkäin pakattuna. Tennispallon halkaisija on 6,68 cm. Kuinka monta prosenttia pakkauksen tilavuudesta pallot täyttävät? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. Lähde: http://www.fruugo.fi/wilson tour davis cup official tennis balls 12 dozen/p 1431131 (Luettu <http://www.fruugo.fi/wilson-tour-davis-cup-official-tennis-balls-12-dozen/p-1431131>. 5.3.2012) Luettu 5.3.2012. 7. Mitä arvoja funktio 3 2 f ( x) 2x 2x 10x 5 saa välillä [0, 2]? 8. Vuonna 2005 yksityishenkilöiden maksuhäiriöiden lukumäärä Suomessa oli 422 500, ja vuonna 2011 se oli 1 460 500. a) Kuinka monta prosenttia maksuhäiriöiden lukumäärä kasvoi tällä aikavälillä? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. b) Vuonna 2011 ministeriö asetti tavoitteeksi vähentää maksuhäiriöiden määrän neljässä vuodessa takaisin vuoden 2005 tasolle. Kuinka monta prosenttia määrä vähenee vuodessa, kun vuotuinen vähenemisprosentti on sama? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. 1 800 000 1 600 000 1 400 000 1 200 000 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000 0 Uudet maksuhäiriöt 2005 2011 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Henkilöille Yrityksille Lähde: <http://www.asiakastieto.fi/asiakastieto/tilastot/maksuhairiot/>. Luettu 5.3.2012. (Luettu 5.3.2012) 9. Neliön piiri on yhtä pitkä kuin ympyrän kehä. a) Kuinka monta prosenttia neliön pinta ala on pienempi kuin ympyrän pinta ala? b) Kuinka monta prosenttia ympyrän pinta ala on suurempi kuin neliön pinta ala? Anna vastaukset prosentin kymmenesosan tarkkuudella.
3 10. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä a) silmälukujen summa on vähintään kahdeksan? b) silmälukujen summa on suurempi kuin niiden tulo? 12 11. Lukujonossa ( a n ) on a 1 2 ja a 2. Määritä jonon sadan ensimmäisen termin summa, 5 kun jono on a) aritmeettinen b) geometrinen. Anna tämän kohdan vastaus miljoonan tarkkuudella. 12. Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 52 millilitraa ja keskihajonta on 1,25 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa? 13. Mikropiirin transistoreiden lukumäärä N N( t ) on kasvanut alla olevan kuvan mukaisesti. Ajanhetkellä t 0 (vuosi 1971) lukumäärä oli 2 300, ja hetkellä t 40 (vuosi 2011) se oli 2 600 000 000. Lukumäärä noudattaa mallia N( t) N(0) e. a) Määritä vakion a kaksidesimaalinen likiarvo näiden tietojen perusteella. b) Perustele a kohdan avulla niin sanottu Mooren laki, jonka mukaan transistoreiden lukumäärä kaksinkertaistuu noin kahden vuoden välein. at lkm 2 600 000 000 1 000 000 000 lkm 2 600 000 000 100 1 000 000 000 000 000 10 Core Xeon Westmere EX 10 Core 10 Core Xeon Westmere EX Westmere EX 10 000 100 000 000 000 1 000 10 000 000 000 1001000 000 000 Pentium Pentium 10 000 100 000 2 300 10 000 Intel 4004 2 300 1971 1980 Intel 40041990 2000 2011 vuosi 1971 1980 1990 2000 2011 vuosi
4 14. Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat 12,30 kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat 98 000 euroa. Koteloita myydään aluksi 17,99 eurolla, mutta viimeiset 25 % myydään varaston tyhjentämiseksi 14,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta. a) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän x avulla lausuttuna. b) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän x avulla lausuttuna. c) Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla? 15. Alla on funktion f ( x) Asin( bx ) kuvaaja välillä x [ 720, 720 ]. Määritä kuvaajan perusteella a) vakion A arvo b) vakion b arvo c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L 0 ja f ( x L) f ( x ) kaikilla x. y
&'()(*'((+(**7,,39238-.882 /8 397 7633 &>?@A'**)(+*B879C7,263!6372899 823 28,63 H7 827,92381,733133-6,,1,331 I(JK+*J+)5 2,97733 LLLMNOPQROSNTUUVWMPX1/754 7851Y 2238-337937 59:36372899 Y77,730389077 98-98=LLLMNOPQROSNTUUVWMPX 32,=XUPZ[NOPQROSNTUUVWMPX 28879=\#]^$_`#%$a$ E77 EFG36372899 E5,3 E3- E34598378 3822898-983673228 33159,9,29987076,39,2830393.8 6372899-832281;7963-23228!872376873228,98903127,239944-596,29891.882/8 39037,99,988189,28 8,63596,2989<5=9,2331,361896,18930392,923823 88887896372899 88-96372899 8903,2836389 89637289363-0336,7313359:36372899 -bfg36372899 89588581,= 8897-8731 4989,22238-337 39,28303936, 37633,315903.882,6328-398859:3 3 73 3 3 8!"#1$1"#%$ 5889 303-8887989 8898-77037585723823 892373889!0,9-8735227-6,1891;7272373 -b5,36372899 323733-7577778876723,95-51D37687323 7478,2 0001234563728991 637!272877 8998-983673 -8898, 333 9787,989,9,283 754491/,3 99,9873 3,9 338-333933 83,23,- 7233 7453 873 833
13 788!"6372899!#"9:;<=6372899!#"9:5$=6372899!#"9 8!"3#6$$9%&'(&)*+ 0001234563728991,-./ 0123 3 45250 5&6655 5 > @ AB @C > @ AD @C > @ AE @C > @ AO @C 665& > @ AF @C GHHIH JK@LJMKJMN
13 @22')6372899'&)*ABCD6372899'&)*A5%D6372899'&)* #$%&3'7'88()*8)+89,-./3,-.'3*30/%*898951*273%92%*%3 456!"" "0001234563728991 7723'8&%)95448 $%&3951*273%946 9*')*339*%*8*33'%()*8,:-.%&3951*2739;?3*3;$%&38)'7/8()*889,:-.'3*31 5 5 <8"8=: 8 > E G HI GJ I G HK GJ E G HL GJ E G HM GJ
13 6778963728998:9;<=>?63728998:9;<5@?63728998:9; 33 33.!"#$%&',/0 +/0/0 +/0/0/0 +/0/0 1+232444/0,-1+232444 /0("#$%)/0(&') + /00001234563728991 "#$%#,- 51 A C DE CF A C DG CF A C DH CF A C DI CF A C DJ CF "#$%*&' "#$%()&'
1893739933733839933731 %7&2333$$' )39932333$*$' -3723337&.87 /33%7&2333($ 06372899123463728991546372899 $$,! "+,.)3993+, " "($ *'#$ ($ #$ 3-37,(,,(, +, 0001234563728991 15 7 5 7 89 7: 5 7 8; 7:
17822979 8333339"!0123!45 (72)*+3),-635.8928%'/89639689. 68339%&'7#$! 892633723372337828672393 231!"# >6372899?@A =337(55585592281 :#$2!01! 6372899?5 :#1#!!012892! 1#!:#8;1#!23<5 "#$!%&' B D EH DGB D EI DG B DB D EF DG 0001234563728991 6372899 B D EK DG B D EJ DG
137893733898 33952%5&78&'93%352%5&989323!!"3 &8(") (")!!"#$ * 0001234563728991 379736+,-./"01 352%5&78&'9736+.2342506( 89555789")+,-./ I6372899&JKL86372899&J586372899& G33H3756*F736831 =!)!!" CDDD E*F +.23425")9:;< =!)>?0@A1 =!)(?0>B6>( 1* M O PQ OR M O PS OR M O PU OR Q O PT OR
19 %!!8% 18# :3833949 :!! <"896!7 =332333#6"$36!7!!949 633399"73"+*32, 6372899# 8 7!49!3 "9# "93#6"1 /034 6!7. --- % ;# 7!"786 >1?@6372899#,-.-,/0 7!&;'1 9$3% 3*8# "333 560-.- 3 50 57 93#6" 633399"73"+* /. 93#6"6!7 8.9 >5"@6372899# 3#6"6!7 7!&'1(87)556!6!7 0001234563728991 31 7!;1 A C DG CF A C DE CF A C DI CF E C DH CF 9
199323 D6372899EFG#6372899E5#6372899 -!,97688.9893378987/6083 3!"36#$9% A3333948/97388831 33%,36 33%,368986 2398//3468982.8915330339 339%3391,891' 99323 ' &4'(?@@*** &4'&( & '( $12' 3'&4( + $ )*** 0001234563728991 %3 16'136 32' 3':&;<=> 3'(?@@*** 4' 4+ 73289 (?$60831 ***87B&C K J LO JN K J LP JNK J LQ JN K J LM JN H J
1899879693733525987186939 992339987952598!"#$ "! 0001234563728991,25993373&-"( F6372899GHI6372899G56372899 %87993373&'9&'()"!*("(+( 3./55509&-1&' &-23"24(15678924( ;<!:?!:<@0 : 3"24(2 =>>> A./55509&-1&' D333.!:<@08982EA.!B<C0821 &'23"24(1567894(2 ;<!BC!>>>?!B<C0 :159 "1: J L MR LO J L MQ LO J L MP LO J L MN LO J L MS LO
18899333818918972737331 =6372899>?@A6372899>5A6372899 8339899:5593.2671 8339899:559*12'71 337833895872892333396331 &33393898958729 ;<!"#72789223982998971% 89372736339 89727371 3 +,!"#72789223699$% +,<-)..*')12*1//4445*12'7 -)./*')/.0)123.''44453.267 '(')*' 0001234563728991 B D EH DG B D EF DG B D EJ DG F D EI DG
1 )%%*6372899*>?@A6372899*>5A6372899* 8999828989898957898982923 3993288989898957898982923 )3*833999++182,!( 2%$&""" 433,5223967+1 '78989829 --.//(01!"#!"#$0001234563728991 228898922393!. 893--//.01 :; (/ 2%:& <1 =82898922393 ": ":# B D EH DG B D EI DG B D EF DG
+,,-.6372899-/.01236372899-/.0536372899-/.45 89 (33)*2239"%&'1 0001234563728991!"### 6 8 9: 8; $"%&' 6 8 9< 8;
18369 &''8''9(899')55 83939 "2833936#$ 7''637289989:;637289985;6372899< 43356(899')559 *+#,$ *+,!-*+#,$ 31 #!$! $ %-$.+ 1 $!! 2 %!01 3/0 %-=? @C?B 0001234563728991 =?=? @A?B
1 8898 B863728998;CDEF63728998;C5:F63728998;G 6"73833393839:9838783;39:;892;838988;31 3" =33>?37928339;39:;892;838988;39:9 83@836:8328:95@A6?::;8973983931 0001234563728991 &'()'$% #$%*+ 2/0((&,-... ((&,-...*/0 /01$% 3/0((&,-...*+ 3/0*+3!2/0 3&-... 34&5 (&<-<... 4&6:3!*/0 3*913&-...!*+! H J KO JM H J KL JM H J KN JM H J KP JMH J KQ JM
13372291 B6372899CDEF6372899C5F6372899G ()*+255,9-99373)""1.33,3392559 5!9399833,3393836967833999731 7>2?@5A58-,995A59A89633857A9963 58896-2221 33!8735556372336-99$##*39937831!93399863 *+255,9-99373/$$1.33,3392559 055995-889 93 1 3723998 /2"*4"#$$$&$!983998"#$$$ &)""$)*'/$$$*&2""* % &1 &2""*4'"#$$$ &/2"*4"#$$$ /2"*&"#$$$:;/2"* )""$)* /$$$* &'"#$$$ 3 4% &$##/#"<<< =$##*97 0001234563728991 H JK J LM JN K J LP JN K J LO JN K J LQ JN
136333988873993691 @55#6372899#ABCD6372899#A5D6372899#E 019#2 :6333395$%559*8575$593#*78 9=>()1?33<&=>()1 "21#$%33&!'()* 9#$%33&3()1459789 &(*#92&!'()16333316989973#$3 /3()&!'()673() +,-&.!'() ;< &!'() J H IN HK.& &./! &(89 &!1& F H IJ HKF H IL HK 0001234563728991 99369!1 F H IM HK