AUTOMATYKA 2009 Tom 13 Zeszyt 3 Marcin Janaszewski*, **, Laurent Babout*, Micha³ Postolski*, **, ukasz Jopek*, ** Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 1. Wprowadzenie W niniejszym artykule rozwa amy pojêcie otworu z punktu widzenia topologii dyskretnej i geometrii dyskretnej. Wa ne jest aby zaznaczyæ ró nicê pomiêdzy otworem, wklês³oœci¹ i pustk¹. Wklês³oœæ (concavity) jest wklês³ym fragmentem obiektu, pustka natomiast to po³¹czony komponent t³a ograniczony przez obiekt (patrz rys. 1a). Otwór natomiast nie jest pojêciem prostym do zdefiniowania i wizualizacji. Zgodnie z definicj¹ zaproponowan¹ w [7] w obiekcie X wystêpuje otwór lub otwory wtedy, gdy istnieje pêtla wokseli nale ¹cych do X, któr¹ nie mo na iteracyjnie transformowaæ wewn¹trz X, z wykorzystaniem elementarnych lokalnych transformacji, do jednego punktu nale ¹cego do X. Przyk³adowo w dyskretnej przestrzeni 2D ³atwo dokonaæ detekcji i zamykania otworu, poniewa ka dy otwór jest jednoczeœnie pustk¹, wiêc prosta operacja etykietowania po³¹czonych komponentów t³a pozwala na zlokalizowanie otworów. W przestrzeni 3D zadanie detekcji i zamykania otworów nie jest ju takie ³atwe. Powy ej przytoczona koncepcja detekcji otworów nie jest ³atwa do zastosowania w praktyce. Pozwala jedynie stwierdziæ, czy obiekt nie posiada otworów lub posiada przynajmniej jeden otwór. Ponadto w przestrzeni 3D nie ka dy otwór jest jednoczeœnie pustk¹. Przyk³adowo kula nie posiada otworu ani pustki, pusta w œrodku kula posiada jedn¹ pustkê, ale nie posiada otworu, torus posiada jeden otwór, pusty torus posiada jedn¹ pustkê i dwa otwory. Rysunek 1b pokazuje pusty torus wraz z dwoma ró nymi pêtlami, których nie mo na iteracyjnie transformowaæ do jednego punktu zawartego w tym torusie. Nale y podkreœliæ, e w analizie obrazów tomografii komputerowej w medycynie i nauce o materia³ach istnieje potrzeba realizacji zamykania otworów w obiektach wolumetrycznych. W medycynie zrekonstruowane obiekty na obrazach 3D rentgenowskiej tomografii komputerowej posiadaj¹ otwory powsta³e w wyniku niedoskona³oœci procesu akwizycji. Szczególnie cienkie obiekty posiadaj¹ otwory, które komplikuj¹ proces analizy tego * Katedra Informatyki Stosowanej, Politechnika ódzka ** Katedra Systemów Ekspertowych i Sztucznej Inteligencji, Wy sza Szko³a Informatyki w odzi 865
866 Marcin Janaszewski, Laurent Babout, Micha³ Postolski, ukasz Jopek typu obrazów. Taka sytuacja ma miejsce podczas obrazowania oskrzeli. Zwykle po rekonstrukcji otrzymujemy obraz 3D reprezentuj¹cy, miêdzy innymi, drzewo oskrzelowe posiadaj¹ce niewielkie otwory w swoich œciankach (patrz rys. 2), które istotnie komplikuj¹ proces segmentacji tego drzewa [9]. Znane s¹ w literaturze bardzo skomplikowane algorytmy segmentacji drzewa oskrzelowego, np. [6, 10]. Natomiast zastosowanie algorytmu zamykania otworów, jako jednego z pierwszych etapów przetwarzania tego typu obrazów, prowadzi do znacznie szybszych i prostszych rozwi¹zañ [9]. Rys. 1. Ilustracja pojêæ otworu, wklês³oœci i pustki: a) przyk³ad obiektu 2D; b) pusty torus wraz z dwoma ró nymi pêtlami, determinuj¹cymi wystêpowanie dwóch otworów Rys. 2. Wizualizacja izopowierzchni wysegmentowanego fragmentu tchawicy fragment drzewa oskrzelowego. W œcianach tchawicy wystêpuj¹ trzy otwory spowodowane niedoskona³oœci¹ techniki akwizycji obrazu Inne potencjalne zastosowanie to segmentacja mostów w mikrotomograficznych obrazach 3D propagacji szczeliny korozyjno-naprê eniowej w stali nierdzewnej [2]. Mosty definiuje siê jako niewielkie obszary materia³u na granicy krystalitów wykazuj¹ce podwy -
Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 867 szon¹ odpornoœæ na pêkniêcia. Je eli szczelina napotka taki obszar, nie rozrywa go, ale otacza, jak rw¹ca fala powodziowa otacza wzniesienie, które napotyka na swojej drodze. St¹d w obiekcie reprezentuj¹cym szczelinê 3D mosty reprezentowane s¹ przez otwory. Segmentacja tych otworów umo liwi³aby iloœciowy opis w³aœciwoœci geometrycznych mostów, co ma istotne znaczenie w badaniach nad wytrzyma³oœci¹ korozyjno-naprê eniow¹ stali nierdzewnej. Na rysunku 3a zaprezentowano izpowierzchniê fragmentu szczeliny korozyjno naprê eniowej powsta³ej w próbce stali nierdzewnej podczas eksperymentów przeprowadzonych w Europejskim Synchrotronie w Grenoble [2]. Wczesne etapy propagacji szczeliny rejestrowano z wykorzystaniem mikrotomografii rentgenowskiej. Na rysunku 3c widaæ obiekt 3D reprezentuj¹cy szczelinê oraz trzy mosty oznaczone M1, M2 i M3, które reprezentowane s¹ przez otwory w tej szczelinie. Rys. 3. Izopowierzchnia fragmentu szczeliny korozyjno-naprê eniowej w próbce stali nierdzewnej, w skali mikro: 1 piksel obrazu odpowiada 0,343 μm 3 : a) izopowierzchnia szczeliny wraz z zaznaczonymi otworami reprezentuj¹cymi mosty; b) wizualizacja powiêkszonego mostu M3 2. Podstawowe pojêcia topologii dyskretnej W tym rozdziale zaprezentujemy wybrane podstawowe pojêcia topologii dyskretnej w zastosowaniu do przetwarzania obrazów binarnych, które s¹ niezbêdne do zrozumienia dalszej czêœci artyku³u. Dok³adniejsz¹ prezentacjê tych zagadnieñ mo na znaleÿæ w [8]. Oznaczmy przez Z zbiór liczb ca³kowitych, przez N zbiór nieujemnych liczb ca³kowitych, przez N + zbiór dodatnich liczb ca³kowitych, przez R + dodatnich liczb rzeczywistych. Ponadto, niech E = Z 3. Niech X E, przez X oznaczamy dope³nienie zbioru X, czyli X = E\ X. Punkt x E jest zdefiniowany przez (x 1, x 2, x 3 ), gdzie x i Z. Dla dowolnego x E rozwa amy trzy typy s¹siedztwa N 6, N 18, N 26 zdefiniowane nastêpuj¹co:
868 Marcin Janaszewski, Laurent Babout, Micha³ Postolski, ukasz Jopek { } N ( x) = y E: x y + x y + x y 1, 6 1 1 2 2 3 3 { } N26 ( x) = y E:max x1 y1, x2 y2, x3 y3 1, { } N ( x) = y E: x y + x y + x y 2 N ( x) 18 1 1 2 2 3 3 26 Zbiór N n (x) nazywany jest n-s¹siedztwem punktu x. Ponadto definiujemy * Nn ( x ) = Nn ( x )\{ x }, * dla n = 6, 18, 26. Ka dy punkt y Nn ( x ) nazywany jest n-przyleg³y (n = 6, 18, 26) do x lub mówmy równie, e y jest n-s¹siadem x. n-œcie ka s jest (istnieje mo liwoœæ, e pust¹) sekwencj¹ punktów x 1,... x k, gdzie * xi Nn( xi 1), dla i = 1, 2,..., k. Je eli s jest niepusta, to d³ugoœæ s jest równa k. Je eli x 1 = x k, to s jest zamkniêta. Obiekt X E jest n-po³¹czony je eli dla ka dej pary punktów z X, istnieje n-œcie ka miêdzy tymi punktami, zawarta w X. Klasami równowa noœci tej relacji s¹ n-po³¹czone komponenty X. Je eli X jest zbiorem skoñczonym, to nieskoñczony po³¹czony komponent X jest nazywany t³em, inne po³¹czone komponenty X nazywane s¹ pustkami. Zbiór z³o ony ze wszystkich n-po³aczonych komponentów X oznaczamy C n (X). Ponadto, je eli u ywamy 6-po³¹czeniowoœci dla X, to musimy u yæ innej m-po³¹czeniowoœci dla X (i odwrotnie). Jest to konieczne aby unikn¹æ paradoksów po³¹czeniowoœci [8]. Dalej w celu skrócenia zapisu wprowadzimy symbol 6 +, który oznacza 6-po³¹czeniowoœæ powi¹zan¹ z 18-po³¹czeniowoœci¹. St¹d dopuszczalne konfiguracje po³¹czeniowoœci s¹ nastêpuj¹ce: (n, m) = (6, 26), (26, 6), (6 +, 18), (18, 6 + ), gdzie n oznacza typ po³¹czeniowoœci miêdzy wokselami obiektu X, natomiast m typ po³¹czeniowoœci miêdzy wokselami X oraz miêdzy wokselami obiektu i wokselami jego dope³nienia. Teraz zostan¹ zaprezentowane definicje, które umo liwi¹ prezentacjê iloœciowej charakterystyki topologicznej punku przestrzeni E. Geodezyjne n-s¹siedztwo punktu x wewn¹trz k zbioru X E stopnia k jest oznaczane przez Nn ( x, X ) i definiowane rekurencyjnie przez: 1 * k * k 1 Nn( x, X) = Nn( x) X i Nn( x, X) = { Nn( y) N26( x) X, y Nn ( x, X) }. Innymi k * s³owy, Nn ( x, X ) jest zbiorem z³o onym z punktów y N 26 ( x) X takich, e istnieje n-œcie ka s od x do y o d³ugoœci mniejszej lub równej k, wszystkie punkty s z wyj¹tkiem x * nale ¹ do N 26 ( x, X) X. Geodezyjne s¹siedztwo G (x, X) definiowane jest nastêpuj¹co: n 2 3 G6( x, X) = N6( x, X), G (, ) 6 x X N 6 (, x X 2 1 + = ), G18( x, X) = N18 ( x, X) i G26( x, X) = N26( x, X). Teraz na bazie wprowadzonej terminologii zostanie podana definicja liczb topologicznych [3]: Niech X E i x X liczby topologiczne T n (x, X) i T ( x, X) zdefiniowane s¹ nastêpuj¹co: [ ] m Tn( x, X) = # Cn Gn( x, X) Tm( x, X) = # Cm Gm( x, X) gdzie #X oznacza liczbê elementów zbioru X. (1)
Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 869 Na bazie liczb topologicznych mo na realizowaæ topologiczn¹ charakterystykê punktu. W szczególnoœci powy sze liczby pozwalaj¹ ustaliæ czy punkt jest prosty. Nieformalne, punktem prostym p dyskretnego obiektu X E nazywamy punkt, który nie ma wp³ywu na topologiê X, tzn. mo na usun¹æ taki punkt i topologia obiektu X siê nie zmieni. Pojecie punktów prostych jest kluczowe dla budowy transformacji zachowuj¹cych topologiê w przestrzeniach dyskretnych [3, 8]. Bertrand udowodni³, e x X E jest n-punktem prostym wtedy i tylko wtedy, gdy T n (x, X) = 1 i Tm ( x, X ) = 1. Liczby topologiczne pozwalaj¹ równie na detekcjê innych rodzajów punktów. Punkt x X dla którego T n (x, X) = 0 jest punktem izolowanym. Je eli Tm ( x, X ) = 0 to x jest punktem wewnêtrznym, a gdy Tm ( x, X) 0, to x jest punktem granicznym. Je eli ze zbioru X skasujemy punkt x, dla którego T n (x, X) 2 to lokalnie roz³¹czymy X. Taki punkt nazywany jest przesmykiem 1D (ang. 1D isthmus). Analogicznie je eli Tm ( x, X ) 2, to x nazywany jest przesmykiem 2D (ang. 2D isthmus), poniewa jego skasowanie lokalnie ³¹czy po³¹czone komponenty X. Kontynuuj¹c, punkt, dla którego T n (x, X) = 2 i Tm ( x, X ) = 1, nazywany jest prostym przesmykiem 1D (ang. simple 1D isthmus). Je eli T n (x, X) = 1 i Tm ( x, X ) = 2, to mamy prosty przesmyk 2D (ang. simple 2D isthmus). Niech X bêdzie skoñczonym podzbiorem E. Zbiór Y X jest homotopologicznym pocienianiem (ang. homotopic thinning) zbioru X, je eli Y mo na uzyskaæ poprzez iteracyjne usuwanie punktów prostych. Ponadto, Y jest ostatecznym homotopologicznym szkieletem (ang. ultimate homotopic skeleton) X, je eli Y jest homotopologicznym pocienianiem X i Y nie zawiera punktów prostych. Mówimy, e Y jest ostatecznym homotopologicznym szkieletem X ograniczonym przez zbiór C, je eli C Y, Y jest homotopologicznym pocienianiem X i zbiór Y\C nie zawiera punktów prostych. Zbiór C zwany jest zbiorem ograniczaj¹cym tak wygenerowanego szkieletu. 3. Koncepcja otworu w obiekcie wolumetrycznym W niniejszym rozdziale zostanie formalnie zaprezentowane pojêcie otworu [8] zbudowane na bazie topologii dyskretnej w zastosowaniu do analizy wolumetrycznych obrazów 3D. Zgodnie z t¹ definicj¹, je eli w obiekcie X istnieje zamkniêta œcie ka wokseli, któr¹ nie mo na transformowaæ wewn¹trz X, z wykorzystaniem lokalnych, elementarnych transformacji zachowuj¹cych topologiê, do jednego punktu zawartego w X, to w X istnieje przynajmniej jeden otwór. Formalna definicja lokalnych, elementarnych transformacji zachowuj¹cych topologiê wprowadzona w [8] jest nastêpuj¹ca: niech X E i p X bêdzie dalej nazywany punktem bazowym (ang. base point). Niech γ i γ' bêd¹ dwoma zamkniêtymi œcie kami zawartymi w X, których punktem pocz¹tkowym jest p. Mówimy, e γ' jest elementarn¹ n-deformacj¹ γ i oznaczamy γ ~ γ', je eli istniej¹ dwie n-œcie ki π 1, π 2 i dwie niepuste n-œcie ki π, π' takie,
870 Marcin Janaszewski, Laurent Babout, Micha³ Postolski, ukasz Jopek e γ i γ' mo na przedstawiæ w nastêpuj¹cej formie: γ=πππ 1 2 i γ ' =ππ 1 ' π 2 oraz wszystkie punkty π i π' zawieraj¹ siê w ma³ym wycinku P E: dla n = 6, P jest kwadratem o d³ugoœci boku równym 2, dla n = 26, P jest szeœcianem o boku równym 2. Mówimy, e γ' jest n-deformacj¹ γ, co oznaczamy: γ ; γ' je eli wystêpuje sekwencja n-œcie ek zamkniêtych γ0 K γk takich, e γ=γ0, γ ' =γ k i γi 1 ~ γ i dla i = 1,... k. Niech γ= px0 K xi p i γ= px0 K x j p bêd¹ dwoma zamkniêtymi œcie kami, których punkty nale ¹ do X. Iloczynem γ i γ' nazywamy zamkniêt¹ n-œcie kê px0kxipx0 Kxi p powsta³¹ przez po³¹czenie γ i γ'. Rozwa my klasy równowa noœci zamkniêtych n-œcie ek z punktem pocz¹tkowym p wzglêdem relacji ;. Mo na zdefiniowaæ iloczyn dwóch takich klas jako klasê równowa - noœci iloczynu dwóch zamkniêtych n-œcie ek reprezentuj¹cych te klasy. Klasy równowa - noœci wzglêdem tak zdefiniowanej operacji iloczynu tworz¹ grupê Π n (p, X), która jest fundamentaln¹ n-grup¹ z punktem bazowym p. Tak jak dla przestrzeni ci¹g³ych równie w przestrzeniach dyskretnych, grupa fundamentalna odzwierciedla strukturê otworów. Przyk³adow¹ grupa fundamentalna dla pustego torusa jest grupa abelowa wolna, któr¹ tworz¹ dwa generatory dwie pêtle (patrz rys. 1b). 4. Algorytm zamykania otworów W niniejszym rozdziale zaprezentujemy zasadê dzia³ania oraz w³aœciwoœci oryginalnego algorytmu zamykania otworów dla obiektów wolumetrycznych zaprezentowanego w [1]. Pierwszym krokiem algorytmu jest wyznaczenie wype³nionego prostopad³oœcianu Y, który jest minimalnym prostopad³oœcianem zawieraj¹cym obiekt wejœciowy X. Nastêpnie algorytm iteracyjnie kasuje punkty ze zbioru Y \ X, które s¹ punktami granicznymi i jednoczeœnie nie s¹ przesmykami 2D (patrz podrozdz. 2). Je eli punkt jest przesmykiem 2D, to mo e byæ usuniêty tylko wtedy, gdy jego odleg³oœæ od zbioru X jest wiêksza ni a priori zdefiniowana wartoœæ r reprezentuj¹ca promieñ (rozmiar) zamykanego otworu. Ostatni warunek prowadzi do tego, e tylko otwory o rozmiarze mniejszym lub równym r zostan¹ zamkniête. Selekcja punktów do kasowania jest sterowana przez odleg³oœæ punktu x Y \ X od zbioru X oznaczan¹ d(x, X). St¹d najpierw s¹ kasowane punkty najdalej oddalone od X. Dziêki temu ³aty zamykaj¹ce otwory dla prostych geometrycznie obiektów znajduj¹ siê w ich centrum. Pseudokod procedury zamykania otworów mo e byæ przedstawiony nastêpuj¹co: AZO (Wejœcie X, r, Wyjœcie Y ) Generacja prostopad³oœcianu Y zawieraj¹cego X Powtarzaj do momentu, gdy brak punktu do skasowania: Wybierz punkt p z Y \ X taki, e: Tm ( p, X ) = 1 lub taki, e: Tm ( p, X ) = 2 i d(p, X) > r, który jest w najwiêkszej odleg³oœci od X Y := Y \ p Rezultat: Y
Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 871 Przyk³ad zastosowania AZO pokazano na rysunku 4, gdzie mo na zaobserwowaæ, e AZO generuje dla ka dego otworu ³atê o gruboœci jednego woksela, która zamyka ten otwór i jest w centrum obiektu. Parametr r zastosowany w algorytmie ma istotne znaczenie praktyczne, gdy umo liwia zamykanie tylko tych otworów, dla których maksymalna odleg³oœæ pikseli ³aty zamykaj¹cej od pikseli obiektu wejœciowego jest mniejsza lub równa r. Zwykle niepo ¹dane otwory w obiektach wolumetrycznych powsta³e w wyniku szumów s¹ niewielkich rozmiarów. Oprócz takich otworów obiekt mo e jeszcze posiadaæ otwory, które s¹ jego naturaln¹ cech¹ i nie powinny byæ zamykane. Takie otwory zwykle s¹ wiêksze od tych powsta³ych w wyniku zaszumienia. Odpowiednie ustawienie parametru r w AZO, umo liwia zamkniecie tylko niepo ¹danych otworów, przy pozostawieniu otworów wiêkszych bêd¹cych istotnymi cechami badanego obiektu. Sytuacja taka zosta³a zaprezentowana na rysunku 5. c) d) Rys. 4. Ilustracja dzia³ania AZO: a) Wizualizacja obiektu wolumetrycznego, który mo e byæ interpretowany jako fragment ³añcucha, którego ogniwa maj¹ zmienna gruboœæ. Najcieñszy fragment ogniwa ma gruboœæ 1 woksela. Obiekt posiada trzy otwory. b) Wynik zastosowania AZO (ciemny odcieñ szaroœci) na tle obiektu wejœciowego (jasny odcieñ szaroœci). c) Obiekt wejœciowy z wype³nionymi otworami obrócony, wzglêdem obiektu z rysunku b), o 180 o wokó³ pionowej osi obiektu. Widaæ, e wszystkie otwory zosta³y zamkniête. d) Przekrój przez wynik zamykania otworów, który pokazuje, e gruboœæ ³at zamykaj¹cych otwory jest równa jednemu pikselowi niezale nie od gruboœci obiektu wejœciowego (widaæ, e w tym przyk³adzie gruboœæ ³at jest równa gruboœci najcieñszego fragmentu ³añcucha) Niestety AZO posiada kilka wad ograniczaj¹cych jego zastosowanie. Pierwsza polega na tym, e algorytm oprócz otworów zamyka równie pustki i niektóre wklêœniêcia. Przyk³ady takich sytuacji pokazano na rysunku 6. St¹d nie nadaje siê on do detekcji otworów w obiektach wolumetrycznych.
872 Marcin Janaszewski, Laurent Babout, Micha³ Postolski, ukasz Jopek Rys. 5. Wizualizacja wyniku zastosowania AZO dla tchawicy z rysunku 2: a) Wynik dzia³ania AZO zamykaj¹cego wszystkie otwory. aty zamykaj¹ce otwory zaznaczono ciemnym odcieniem szaroœci na tle pó³przezroczystej jasnej tchawicy. Widaæ, e AZO zamkn¹³ nie tylko niepo ¹dane otwory w œcianie tchawicy, ale równie przeœwit tchawicy, co jest dzia³aniem niepo ¹danym. b) Wynik dzia³ania AZO przy ustalonym parametrze r = 5. Niepo ¹dane otwory zosta³y zamkniête. Przeœwit tchawicy pozosta³ otwarty Rys. 6. Wizualizacja pó³przezroczystej izopowierzchni obiektu zawieraj¹cego jeden otwór i jedn¹ pustkê. Pustka znajduje siê wewn¹trz szeœcianu (a). Wynik zastosowania AZO (ciemny odcieñ szaroœci) na³o ony na obiekt wejœciowy (jasny odcieñ szaroœci). Widaæ, e AZO nie tylko zamkn¹³ otwór, ale tak e wype³ni³ pustkê (b) Kolejny problem polega na tym, e na kszta³t ³aty zamykaj¹cej otwór, maj¹ istotny wp³yw ga³êzie obiektu znajduj¹ce siê w pobli u otworu. Sytuacja taka jest zaprezentowana na rysunku 7c, gdzie ³ata zamykaj¹ca otwór, reprezentowana z wykorzystaniem ciemnego szarego koloru, skierowana jest ku górze ³¹cz¹c siê z ga³êzi¹ usytuowan¹ nad otworem. St¹d obiekt zamykaj¹cy otwór nie pasuje do geometrii tego otworu. Ostatnia wada AZO
Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 873 istotnie ogranicza jego zastosowanie do tych zadañ, gdzie geometria ³aty zamykaj¹cej otwór nie ma istotnego znaczenia. W zaprezentowanych w rozdziale 1 zastosowaniach zamykania otworów kszta³t ³aty zamykaj¹cej powinien pasowaæ do geometrii obiektu w pobli u otworu. St¹d autorzy opracowali now¹ koncepcjê algorytmu zamykania otworów, który nie posiada opisanych wad AZO. Algorytm ten zosta³ zaprezentowany w nastêpnym rozdziale. c) d) e) f ) g) Rys. 7. Przyk³adowe rezultaty kolejnych etapów AZO+: a) Izopowierzchnia obiektu wejœciowego. b) Szkielet obiektu wejœciowego (SOW). c) Rezultat zastosowania AZO (ciemny odcieñ szaroœci) na tle SOW. ata zamykaj¹ca otwór ³¹czy siê z ga³êzi¹ usytuowan¹ nad SOW. d) Rezultat jednej iteracji geodezyjnej dylacji ³aty zamykaj¹cej otwór do wnêtrza SOW. Przeciêcie powiêkszonej ³aty z SOW, które nazwano konturem otworu oznaczono kolorem bia³ym. e) Wizualizacja konturu otworu. f) Rezultat zastosowania OHS na konturze otworu. Ga³¹Ÿ zosta³a skasowana a topologia konturu zosta³a zachowana. g) Rezultat zastosowania AZO na szkielecie konturu obiektu (ciemny odcieñ szaroœci) wraz z SOW (jaœniejszy odcieñ szaroœci)
874 Marcin Janaszewski, Laurent Babout, Micha³ Postolski, ukasz Jopek 5. Zmodyfikowany algorytm zamykania otworów W niniejszym rozdziale zostanie opisana nowa koncepcja algorytmu zamykania otworów AZO+ zbudowana na bazie opisanego w poprzednim rozdziale algorytmu zaproponowanego w [1]. Problem dotycz¹cy wype³niania pustek opisany w poprzednim rozdziale mo e byæ rozwi¹zany poprzez zastosowanie na pierwszym etapie klasycznej procedury wype³niania pustek dla obiektu wejœciowego, a nastêpnie przeprowadzenie zamykania otworów dla obiektu z wype³nionymi pustkami. Pierwszy etap tej procedury to powiêkszenie obrazu wejœciowego X o 1 woksel w ka dym kierunku i przypisanie nowym wokselom wartoœci 0. W ten sposób otrzymujemy obraz X'. Kolejny krok to zastosowanie geodezyjnej dylacji X, startuj¹c z woksela (0, 0, 0) do wnêtrza X, a nastêpnie dokonanie inwersji wyniku. Ostatni krok to pomniejszenie obrazu o 1 woksel w ka dym kierunku. Algorytm rozwi¹zuj¹cy drugi problem, opisany w poprzednim rozdziale, dotycz¹cy zak³óceñ geometrii ³at zamykaj¹cych otwory przez ga³êzie obiektu wejœciowego, znajduj¹ce siê w pobli u otworu, zostanie zaprezentowany na podstawie przyk³adu. Na rysunku 7a zaprezentowano obiekt, który posiada jeden du y otwór i ga³¹ÿ nad otworem. Pierwszym etapem jest generacja szkieletu obiektu wejœciowego w celu uzyskania cienkiej reprezentacji obiektu (gruboœæ jednego woksela) po³o onej w centrum obiektu i zachowuj¹cej topologiê. Ga³êzie obiektu wejœciowego w szkielecie reprezentowane s¹ w postaci œcie ek o gruboœci jednego woksela (patrz rys. 7b). W niniejszym podejœciu autorzy zastosowali algorytm generacji euklidesowego, filtrowanego szkieletu [5]. Drugi etap polega na zastosowaniu AZO, w wyniku czego otrzymujemy ³atê zniekszta³con¹ przez ga³êzie zlokalizowane w pobli u otworu (patrz rys. 7c). Nastêpnie algorytm, w trzecim etapie, realizuje tylko jedn¹ iteracjê geodezyjnej dylacji ³aty zamykaj¹cej otwór do wnêtrza obiektu wejœciowego. Przyk³ad rezultatu takiej dylacji pokazano na rysunku 7d, gdzie przeciêcie ³aty po dylacji z obiektem wejœciowym zaprezentowano cieniowanym, bia³ym kolorem. Obiekt ten bêdzie dalej nazywany konturem otworu. Czwarty etap polega na zastosowaniu algorytmu generacji ostatecznego homotopologicznego szkieletu (OHS) [4] dla konturu otworu (patrz rys. 7f). W wyniku otrzymujemy kontur otworu pozbawiony wszelkich ga³êzi, gdy algorytm OHS usuwa wszystkie fragmenty obiektu niemaj¹ce wp³ywu na jego topologiê miêdzy innymi wszystkie ga³êzie nietworz¹ce pêtli. Ostatni pi¹ty etap polega na ponownym zastosowaniu AZO teraz na wygenerowanym w poprzednim etapie szkielecie konturu. Szkielet ten nie posiada ga³êzi, st¹d otrzymujemy ³atê zamykaj¹c¹, która odpowiada geometrii otworu (patrz rys. 7g). Podsumowuj¹c, zaprezentowany w niniejszym rozdziale algorytm mo na przedstawiæ w postaci nastêpuj¹cego pseudokodu: AZO+ (Wejœcie X, Wyjœcie Z) 01. X wp Wype³nianiePustek(X) 02. S Xwp Szkieletyzacja(X wp ) 03. Y AZO(S Xwp ) 04. Y dyl GeodezyjnaDylacja(Y; X) 05. K Y dyl X 06. S K OHS(K) 07. Z AZO(S K )
Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 875 Zaproponowany algorytm posiada prawie liniow¹ z³o onoœæ obliczeniow¹, poniewa algorytm OHS posiada prawie-liniow¹ z³o onoœæ obliczeniow¹ i wszystkie pozosta³e etapy posiadaj¹ liniow¹ z³o onoœæ obliczeniow¹ [1, 4]. AZO+ zosta³ przetestowany na skomplikowanych obrazach reprezentuj¹cych szczelinê powsta³¹ w stali nierdzewnej w wyniku silnego dzia³ania korozji i si³ rozci¹gaj¹cych. Szczeliny korozyjno-naprê eniowe s¹ obiektami geometrycznie i topologicznie skomplikowanymi, gdy posiadaj¹ wiele otworów i ga³êzi. Niektóre z tych ga³êzi znajduj¹ siê nad otworami. Przyk³ad takiej sytuacji pokazano na rysunku 8, gdzie ga³¹ÿ szczeliny znajduje siê bardzo blisko otworu. Wynik zastosowania AZO+ dla obiektu z rysunku 8a pokazano na rysunkach 8g, h. Widaæ, e ³ata zamykaj¹ca otwór odzwierciedla geometriê obiektu wokó³ otworu, a ga³¹ÿ wystêpuj¹ca tu nad otworem nie ma wp³ywu na wynik. 6. Wnioski W niniejszym artykule autorzy zaprezentowali wydajny algorytm zamykania otworów AZO+ w obiektach wolumetrycznych, oparty na dobrze zdefiniowanych pojêciach matematycznych. AZO+ zbudowano na bazie AZO zaprezentowanego w [1], dokonuj¹c istotnych zmian, które eliminuj¹ wady AZO ograniczaj¹ce istotnie jego zastosowanie. AZO+ zosta³ przetestowany na sztucznie skonstruowanych obrazach, jak i obrazach reprezentuj¹cych propagacje szczeliny korozyjno-naprê eniowej wewn¹trz stali nierdzewnej, poniewa detekcja i aproksymacja kszta³tu wi¹zade³ mostowych wystêpuj¹cych podczas pêkniêæ korozyjno-naprê eniowych w stali nierdzewnej jest g³ównym zastosowaniem zaprezentowanego algorytmu. Przeprowadzone testy pokaza³y, e AZO+ zamyka tylko otwory (nie wype³nia pustek), co ma istotne znaczenie w zadaniach detekcji otworów. Ponadto ga³êzie obiektu wejœciowego znajduj¹ce siê w pobli u otworów nie maj¹ wp³ywu na geometriê ³at zamykaj¹cych te otwory. Podziêkowania Prace opisane w niniejszym artykule s¹ sponsorowane przez Uniê Europejsk¹, Szósty Program Ramowy, Marie Curie Transfer of Knowledge Action (DENIDIA, contract No.: MTKD-CT-2006-039546). Opublikowane prace prezentuj¹ punkt widzenia autorów i Spo- ³ecznoœæ Europejska nie jest odpowiedzialna za skutki, jakie mo e przynieœæ wykorzystanie wiedzy zawartej w niniejszym artykule. Autorzy pragn¹ podziêkowaæ James Marrow z Materials Performance Centre, Schools of Materials, University of Manchester, UK, za udostêpnienie obrazów 3D propagacji szczeliny w stali nierdzewnej do testów.
876 Marcin Janaszewski, Laurent Babout, Micha³ Postolski, ukasz Jopek c) d) e) f ) g) h) Rys. 8. Wizualizacja przyk³adowych wyników AZO+ dla obrazu reprezentuj¹cego szczelinê: a) Izopowierzchnia fragmentu szczeliny, która zawiera otwór z grub¹ ga³êzi¹ nad otworem. b) Przybli enie otworu wraz z ga³êzi¹ w celu lepszego pokazania, e ga³¹ÿ znajduje siê tu nad otworem; c) wizualizacja szkieletu szczeliny z obrazu a). d) Szkielet szczeliny widziany z perspektywy pokazuj¹cej, e ga³¹ÿ nad otworem jest w szkielecie reprezentowana za pomoc¹ œcie ki o gruboœci jednego woksela, która równie znajduje siê nad otworem. e) Wynik zamykania otworu w szkielecie. ata zamakaj¹ca jest p³aska (ciemny odcieñ szaroœci). Ga³¹Ÿ nie ma wp³ywu na geometriê tej ³aty. f) Perspektywa lepiej pokazuj¹ca, e ga³¹ÿ nad otworem nie wp³ywa na geometriê ³aty zamykaj¹cej ten otwór. g) ata zamykaj¹ca otwór na tle szczeliny. h) Zbli enie pokazuj¹ce, e ³ata znajduje siê pod ga³êzi¹
Zamykanie otworów w trójwymiarowych obiektach wolumetrycznych 877 Literatura [1] Aktouf Z., Bertrand G., Perroton L., A three-dimensional holes closing algorithm. Pattern Recognition Letters, 23, 2002, 523 31. [2] Babout L., Marrow T.J., Engelberg D., Withers P.J., X-ray microtomographic observation of intergranular stress corrosion cracking in sensitised austenitic stainless steel. Materials Science and Technology, 22, 2006, 1068 1075. [3] Bertrand G., Simple points, topological numbers and geodesic neighborhoods in cubic grids. Pattern Recognition Letters, 15, 1994, 1003 1011. [4] Bertrand G., Couprie M., Transformations topologiques discretes. Géométrie discrete et images numériques. D. Coeurjolly, A. Montanvert, J.-M. Chassery, Hermes, 2007, 187 209. [5] Couprie M., Coeurjolly D., Zrour R., Discrete bisector function and Euclidean skeleton in 2D and 3D. Image Vision Comput., 25, 2007, 1543 1556. [6] Graham M., Gibbs J., Higgins W., Robust system for human airway-tree segmentation. SPIE Conf. on Medical Imaging 2008: Image Processing, 6914, 2008, 69141J 69141J 18. [7] Kong T.Y., A digital fundamental group. Computer Graphics, 13, 1989, 159 166. [8] Kong T.Y., Rosenfeld A., Digital topology: Introduction and survey. Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 48, 1989, 357 393. [9] Postolski M., Janaszewski M., Fabijañska A., Babout L., Couprie M., Jêdrzejczyk M., Stefañczyk L.: Reliable Airway Tree Segmentation Based on Hole Closing in Bronchial Walls. Computer Recognition Systems 3, Springer, 2009, w druku. [10] Tschirren J., Hoffman E., Mclennan G., Sonka M., Intrathoracic airway trees: segmentation and airway morphology analysis from low-dose CT scans. IEEE Trans. Med. Imaging, 24, 2005, 1529 1539.