ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalsi Lueto.ppt S-38.45 - Liikeeteoria perusteet - Kevät 005 Mitä simuloiti o? Vaihtoehto, mutta mille? Simuloiti o liikeeteoria kaalta eräs tilastollie meetelmä tarkasteltava järjestelmä suorituskv arvioimiseksi Se sisältää eljä eri vaihetta: Järjestelmä olemassa oleva tai kuvitteellise mallius daamisea ajassa kehittvää stokastisea prosessia Prosessi reaalisaatioide tuottamie todellisuude havaioiti tällaista reaalisaatiota kutsutaa usei simuloitiajoksi simulatio ru Tietoje keruu mittaus Kerättje tietoje tilastollie aalsi ja johtopäätöste teko Aiemmi olemme jo tutustueet toisee suorituskv arvioitimeetelmää, imittäi matemaattisee aalsii Käsittelimme kaksi vaihetta Järjestelmä mallius ajassa kehittvää stokastisea prosessia tässä kurssissa rajoituimme stmä-kuolema-prosesseihi Malli aalttie ratkaisu Järjestelmä malliusvaihe o kummalleki hteie Tosi malli tarkkuudella voi olla suuriaki eroja: toisi kui simuloiti, matemaattie aalsi edellttää leesä hviki rajoittavie oletuste tekoa 3 4

Liikeeteoreettise järjestelmä suorituskv arvioiti Aalsi vs. simuloiti Todellie järjestelmä mallius Matemaattie malli stokastisea prosessia Suorituskv arvioiti malli validioiti Matemaattise aalsi edut: Tuloste tuottamie opeaa aalsi l. htälöide jälkee Tulokset tarkkoja Ataa äkemstä Optimoiti usei mahdollista vaikkaki saattaa olla vaikeaa Matemaattise aalsi haitat: Asettaa rajoittavia ehtoja malliuksee malli leesä liia ksikertaie esim. vai tasapaiotila huomioitu moimutkaiste järjestelmie suorituskv arvioiti lähes mahdotota Rajoittavie ehtojeki vallitessa aalsi itsessää leesä vaikeaa Matemaattie aalsi Simuloiti 5 6 Aalsi vs. simuloiti Stokastise prosessi simuloii vaiheet Simuloii edut: Ei rajoittavia ehtoja malliusvaiheessa mahdollistaa moimutkaisteki järjestelmie suorituskv arvioii Mallius leesä hvi suoraviivaista Simuloii haitat: Tuloste tuottamie leesä tölästä simuloitiajot vaativat paljo prosessoriaikaa Tulokset epätarkkoja tosi tarketuvia: mitä eemmä ajoja, sitä tarkemmat tulokset Kokoaisäkemkse saamie vaikeampaa Optimoiti mahdollista vai hvi rajoitetusti esim. muutama erilaise parametrikombiaatio tai ohjausperiaattee vertailu 7 Järjestelmä mallius ajassa kehittvää stokastisea prosessia tästä o jo puhuttu kurssi aiemmilla lueoilla jatkossa otamme lähtökohdaksi aetu malli so. stokastise prosessi lisäksi rajoitamme tarkastelu tällä lueolla ksikertaisii liikeeteoreettisii malleihi vrt. aiemmat lueot Prosessi reaalisaatioide tuottamie satuaislukuje geeroiti tapahtumaohjattu simuloiti usei simuloiilla tarkoitetaa pelkästää tätä vaihetta liikeeteoria kaalta se o kuiteki simuloitia suppeammassa mielessä Tietoje keruu trasietti vaihe vs. tasapaiotila Tilastollie aalsi ja johtopäätökset piste-estimaattorit luottamusvälit 8

Simuloii toteutus Muita simuloititapoja Simuloiti toteutetaa leesä tietokoeohjelmaa Simuloitiohjelma sisältää leesä kaikki edellä maiitut vaiheet malliusta ja johtopäätöksiä lukuuottamatta, ts. järjestelmä malliksi valitu stokastise prosessi reaalisaatioide tuottamise, tietoje keruu sekä kerättje tietoje tilastollise aalsi Simuloitiohjelma voidaa toteuttaa kokoaisuudessaa jollaki leiskättöisellä ohjelmoitikielellä esim. C tai C++ joustavaa mutta tölästä ja riskialtista mahdollisille ohjelmoitivirheille kättäe hväksi joitaki simuloitii erikoistueita ohjelmakirjastoja esim. CNCL eritisesti simuloiteja varte kehitetillä simuloitiohjelmistoilla esim. OPNET, BONeS, NS osittai perustuu o-kirjastoihi opeaa ja luotettavaa ohjelma laadusta riippue mutta jäkkää 9 Edellä kuvattu diskreetti tapahtumapohjaie simuloiti kseessä diskreetti, daamie ja stokastie simuloiti eli mite simuloidaa tarkasteltavaa järjestelmää kuvaava matemaattise malli diskreettitilaise stokastise prosessi kehitstä ajassa tavoittea saada jotai tietoa ko. ssteemi kättätmisestä jatkossa rajoitumme tällaisee simuloitii Muita simuloititapoja: jatkuvassa simuloiissa tila-avaruus o jatkuva tilamuuttujie riippuvuudet aetaa leesä differetiaalihtälössteemiä, esim. letokoee letorada simuloiti staattisessa simuloiissa josta kätetää mös imeä Mote-Carlotppie simuloiti aja kulumisella ei ole merkitstä ei ole olemassa prosessia, jota luoehtisi erilaiset tapahtumat, esim. moiulotteiste itegraalie umeerie itegroiti s. Mote-Carlo-meetelmällä determiistie simuloiti ei taas sisällä ollekaa satuaisia kompoetteja esim. esimmäie esimerkki llä 0 Sisältö Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalsi Oletetaa, että olemme mallitaeet tarkasteltava järjestelmä stokastisea prosessia Seuraavaa tehtävää o prosessi reaalisaatioide tuottamie Se koostuu kahdesta osasta: kaikille prosessi kulkuu vaikuttaville satuaismuuttujille o arvottava arvot leesä reaaliluku satuaisesti ko. sm: jakaumasta sm:ie väliset riippuvuudet tietsti huomioide äi saaduilla arvoilla kostruoidaa prosessi reaalisaatio ts. se kehittmie ajassa Nämä kaksi osaa eivät suikaa tapahdu peräkkäi eri vaiheissa, vaa imeomaa limittäi tai vuorotelle Satuaismuuttujie arvoje arvota perustuu s. pseudosatuaislukuje geeroitii radom umber geeratio Prosessi reaalisaatio kostruoiti tehdää leesä tapahtumapohjaisesti discrete evet simulatio

Tapahtumapohjaie simuloiti Tapahtumapohjaie simuloiti Idea: simuloiti eteee tapahtumasta tapahtumaa jos jollaki aikavälillä ei tapahdu mitää, voimme hpätä ko. aikaväli li Perustapahtumat vastaa leesä aia ssteemi tila muuttumista esim. ksikertaisessa liikeeteoreettisessa mallissa asiakkaide saapumiset ja poistumiset ssteemistä Extratapahtumat esim. prosessi reaalisaatio geeroii lopetus tai tietoje keruu Tapahtuma karakterisoidaa kahdella parametrilla tapahtumahetki so. milloi tapahtuma käsitellää ja tapahtuma tppi so. mite tapahtuma käsitellää Tapahtumat orgaisoidaa leesä tapahtumahetke mukaa järjestetksi tapahtumalistaksi evet list kärjessä o seuraavaksi sattuva tapahtuma siis aikaisi tapahtumahetki Listaa kädää läpi tapahtuma tapahtumalta geeroide samalla uusia tapahtumia lista loppupäähä Ku tapahtuma o käsitelt, se poistetaa listalta. Simuloitikello simulatio clock kertoo, mikä o käsiteltävää oleva tapahtuma hetki se siis eteee hppäksittäi Ssteemi tila sstem state kertoo ssteemi kise tila 3 4 Tapahtumapohjaie simuloiti 3 Esimerkki Algoritmi hde simuloitiajo suorittamiseksi tapahtumapohjaisesti: Iitialisoiti aseta simuloitikello ollaksi aseta ssteemi tila valittuu alkuarvoosa geeroi kuki tapahtumatpi seuraava tapahtuma mikäli mahdollista liitä äi saadut tapahtumat tapahtumalistaa Tapahtuma käsittel aseta simuloitiajaksi tapahtumalista kärjessä oleva seuraava tapahtuma tapahtumahetki käsittele tapahtuma ja geeroi samalla uusia tapahtumia ja liitä e tapahtumalistaa päivitä ssteemi tila poista käsitelt tapahtuma tapahtumalistalta 3 Lopetusehdo testaus jos voimassa, lopeta tapahtumie geeroiti; muutoi palaa kohtaa 5 Tehtävä: Simuloidaa MM-joo joopituude kehitstä ajassa hetkestä 0 hetkee T olettae, että ssteemi o thjä hetkellä 0 Ssteemi tila hetkellä t joopituus t alkuarvo: 0 0 Perustapahtumat: asiakkaa saapumie ssteemii asiakkaa poistumie ssteemistä Muut tapahtumat: simuloii lopetus hetkellä T Huom. Tietoje keruuta ei ole sisälltett tähä esimerkkii 6

Esimerkki Esimerkki 3 Iitialisoiti: asetetaa 0 0 arvotaa esimmäise asiakkaa saapumishetki Expλ-jakaumasta Tapahtuma käsittel uude asiakkaa saapuessa hetkellä t ssteemi tilaa eli joopituutta kasvatetaa hdellä: t t + jos ssteemi oli thjä asiakkaa saapuessa, geeroidaa ko. asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o arvottu Expµ-jakaumasta geeroidaa seuraava asiakkaa saapumishetki t + I, missä I o arvottu Expλ-jakaumasta Tapahtuma käsittel asiakkaa poistuessa hetkellä t ssteemi tilaa eli joopituutta väheetää hdellä: t t jos ssteemii jäi asiakkaita, geeroidaa seuraavaksi palveltava asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o arvottu Expµ-jakaumasta 4 3 0 tapahtumie geeroiti asiakkaide saapumis-ja poistumishetket joopituus aika aika 0 T Lopetusehto: t > T 7 8 Sisältö Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalsi Pohjaa s. pseudosatuaislukuje geeroiti Esimmäie askel Tuottaa riippumattomia välillä 0 ja tasajakautueita eli U0,- jakautueita satuais-muuttujia kättäe satuaisluku geeraattoria Haluttuu jakaumaa päästää U0,-jakaumasta esimerkiksi jollaki seuraavista meetelmistä: uudelleeskaalaaus Ua,b diskretoiti Beroullip, Bi,p, Poissoa, Geomp kertmäfuktio kääös Expλ muut muuokset N0, Nµ, hväksmis-hlkäs-meetelmä ku kseessä rajoitetulla välillä määritelt jatkuva jakaumaa, jolla rajoitettu tihesfuktio tarvitaa kaksi riippumatota U0,-jakaumaa oudattavaa sm:aa 9 0

Satuaislukuje geeroiti Satuaislukugeeraattoreita Satuaislukugeeraattorilla radom umber geerator tarkoitetaa algoritmia, joka tuottaa sarja äeäisesti satuaisia kokoaislukuja Z i jollaki välillä 0,,,m tuotettu sarja o aia jaksollie tavoitteea mahdollisimma pitkä jakso geeroidut luvut eivät tiukasti ottae ole ollekaa satuaisia vaa täsi ealta arvattavissa tästä imits pseudosatuaie jos satuaislukugeeraattori o huolellisesti suuiteltu ja toteutettu, ii se tuottamat pseudosatuaiset luvut kuiteki ättävät ikää kui riippumattomilta ja samoi jakautueilta IID oudattae tasaista jakaumaa joukossa {0,,,m} Satuaislukugeeraattori geeroimie satuaislukuje satuaisuus o testattava tilastollisi testei saadu empiirise jakauma tasaisuus joukossa {0,,,m} geeroituje satuaislukuje välie riippumattomuus kätäössä korreloimattomuus Lieaariset kogruetiaaliset geeraattorit liear cogruetial geerator. Yksikertaisi uusi satuaisluku määrät algoritmisesti edellisestä, Z i+ fz i jakso voi olla korkeitaa m Näistä erikoistapauksea saadaa s. multiplikatiiviset kogruetiaaliset geeraattorit multiplicative cogruetial geerator. Muita meetelmiä: additive cogruetial geerators shufflig,... Liear cogruetial geerator LCG Multiplicative cogruetial geerator MCG Lieaarie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,,,m} kaavalla: Zi + azi + c mod m Multiplikatiivie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,,,m} kaavalla: Zi + azi mod m parametrit a, c ja m ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja a < m, c < m lisäksi tarvitaa s. siemeluku seed Z 0 < m Huom. Parametrit o valittava huolella; muutoi tuloksea kaikkea muuta kui satuaisia lukuja. Tieti edelltksi jaksoksi saadaa maksimiarvo m esim. ku m muotoa b, c parito ja a muotoa 4k + b usei 48 3 parametrit a ja m ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja a < m lisäksi tarvitaa siemeluku Z 0 < m Huom. Kseessä o siis LCG: erikoistapaus valialla c 0. Parametrit o tässäki tapauksessa valittava huolella Mikää parametrikombiaatio ei tuota maksimaalista jaksoa m esim. jos m muotoa b, ii jakso o korkeitaa b Kuiteki, jos m o alkuluku, jakso m o mahdollie PMMLCG prime modulus multiplicative LCG esim. m 3 ja a 6,807 tai a 630,360,06 4

U0,-jakautuee sm: geeroiti Tasajakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo Z joki satuaislukugeeraattori tuottama pseudosatuaie kokoaisluku välillä {0,,,m} Tällöi approksimatiivisesti U Z m U0, Olkoo U U0, Tällöi a + b a U U a, b Tätä saotaa uudelleeskaalausmeetelmäksi rescalig method 5 6 Diskreeti sm: geeroiti Kertmäfuktio kääös -meetelmä Olkoo U U0, Oletetaa lisäksi, että Y o diskreetti sm arvojoukolla S {0,,,} tai S {0,,, } Merkitää Fx P{Y x}. Tällöi mi{ x S F x U} Y Tätä saotaa diskretoitimeetelmäksi discretizatio method Itse asiassa kseessä o s. kertmäfuktio kääös -meetelmä eräs muoto Esim. Beroullip-jakauma: 0,, josu p Beroulli p josu > p 7 Olkoo U U0, Oletetaa, että Y o sellaie jatkuva sm, jolle kertmäfuktio Fx P{Y x} o aidosti kasvava Merkitää F :llä kertmäfuktio Fx kääteisfuktiota. Tällöi F U Y Tätä saotaa kertmäfuktio kääös -meetelmäksi iverse trasform method Tod. Koska P{U u} u kaikilla u 0,, pätee P { x} P{ F U x} P{ U F x} F x 8

Ekspoettijakaumaa oudattava sm: geeroiti Normeerattua ormaalijakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo U U0, seuraus: U U0, Olkoo Y Expλ kffx P{Y x} e λx o selvästiki aidosti kasvava kf: kääteisfuktio o F λ log Näi olle kertmäfuktio kääös -meetelmä mukaa F U log U Exp λ λ Olkoot U ja U riippumattomia ja samoi jakautueita oudattae U0,-jakaumaa Tällöi, s. Box-Müller-meetelmä mukaa, alla aetut sm:t ja ovat möski riippumattomia ja samoi jakautueita oudattae N0,-jakaumaa: log U siπu N0, log U cosπu N0, 9 30 Normaalijakaumaa oudattava sm: geeroiti Sisältö Olkoo N0, Uudelleeskaalausmeetelmällä saamme Y µ + N µ, Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalsi 3 3

Tilastotietoje keruu Trasiettie piirteide simuloiti Johdaossa otettii lähtökohdaksi, että simuloii tavoitteea o tarkasteltava järjestelmä suorituskv arvioiti. Simuloimalla siis pritää arvioimaa joki suorituskk liittvä parametri arvo α. Tämä parametri voi liittä joko järjestelmä trasiettii kättätmisee tai sitte s. tasapaiotilaa stead state Esim. ja trasietti kättätmie k: esimmäise asiakkaa keskimääräie odotusaika MM-joossa olettae, että ssteemi o aluksi thjä keskimääräie joopituus MM-joossa aikavälillä [0,T] olettae, että ssteemi o aluksi thjä Esim. 3 tasapaiotilae keskimääräie odotusaika MM-joossa tasapaiotilateessa Yksittäie simuloitiajo tuottaa hde havaio, jokajollakilailla kuvaa arvioitavaa parametria Tilastolliste päätelmie tekemiseksi tarvitsemme kuiteki useita havaitoja,, mielellää IID 33 Esimerkki Tarkastellaa k: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa MM-joossa olettae, että ssteemi o aluksi thjä Simuloitia jatketaa, kues viimeieki äistä k asiakkasta o saapuut ja päässt palveluu Yksittäisestä simuloitiajosta saatava havaito o tässä tapauksessa äide k asiakkaa odotusaikoje W i keskiarvo ko. simuloitiajossa: k W k i i Riippumattomia ja samoi jakautueita IID havaitoja,, voidaa tuottaa s. riippumattomie toistoje -meetelmällä idepedet replicatios ts. tekemällä useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla 34 Trasiettie piirteide simuloiti Tasapaiotilaa liittvie piirteide simuloiti Esimerkki. Tarkastellaa keskimääräistä joopituutta MM-joossa aikavälillä [0,T] olettae, että ssteemi o aluksi thjä Simuloitia jatketaa ealta määrätt hetkee T asti Yksittäisestä simuloitiajosta saatava havaito o tässä tapauksessa joopituude Qt aikakeskiarvo li väli [0,T] ko. simuloitiajossa: T T Q t dt 0 Huom. Ko. itegraali o helposti laskettavissa, koska joopituus ei muutu tapahtumie välillä Riippumattomia ja samoi jakautueita IID havaitoja,, voidaa jällee tuottaa riippumattomie toistoje -meetelmällä 35 Tilastotietoje keruu ksittäisestä simuloiista tapahtuu periaatteessa samalla tavalla kui trasietteja piirteitä simuloitaessa. Simuloii alussa o kuiteki tpillisesti s. lämmittelvaihe warm-up phase, ee kui ssteemi o likimai tasapaiossa, mikä aiheuttaa overheadia turhaa simuloitia harhaisuutta estimaattii tarpee määritellä, kuika pitkä lämmittelvaihe tarvitaa Riippumattomie ja samoi jakautueide IID havaitoje,, tuottamiseksi aiaki likimai o kaksi eri tapaa: riippumattomat toistot idepedet replicatios ja s. batch meas -meetelmä 36

Tasapaiotilaa liittvie piirteide simuloiti Sisältö Riippumattomie toistoje meetelmä: tehdää useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja so. sama ssteemi simuloitia samasta lähtötilasta mutta toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla kussaki ajossa tilastotietoje keruu aloitetaa vasta lämmittelvaihee jälkee kute saottu, oma ogelmasa o tämä lämmittelvaihee pituude määräämie havaiot IID Batch meas -meetelmä: ksi erittäi pitkä simuloitiajo, joka lämmittelvaihee jälkeiseltä osalta keiotekoisesti jaetaa :ää htä pitkää jaksoo, joita tietoje keruu kaalta käsitellää omia simuloitiajoiaa tarvitaa vai ksi lämmittelvaihe mutta havaiot eivät ole eää täsi riippumattomia eivätkä tarkkaa ottae täsi samoi jakautueitakaa mitä pitempi jakso eli pieempi, sitä riippumattomammat havaiot Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalsi 37 38 Parametrie estimoiti Esimerkki Kute edellisessä kohdassa todettii, simuloiilla pritää arvioimaa joki suorituskk liittvä parametri arvo α Yksittäie simuloitiajo tuottaa kseisestä parametrista havaio i, joka siis o satuaismuuttuja Havaitoa i saotaa harhattomaksi ubiased, jos E[ i ] α Olet. että havaiot i ovat IID keskiarvolla α ja variassilla Tällöiotoskeskiarvo sample mea : i i o parametri α harhato ja tarketuva estimaattori, sillä E[ ] i E[ i ] α D [ ] i D [ i ] 0 ku Primme arvioimaa simuloimalla 5: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa MM-joossa kuormalla ρ0.9, ku ssteemi hetkellä 0 o thjä. Teoreettie arvo: α. ei triviaali Havaiot i kmmeestä simuloitiajosta 0:.05, 6.44,.65, 0.80,.5, 0.55,.8,.8, 0.4,.3 Näi olle parametri α piste-estimaatti o i i.05 + 6.44 + K+.3 0 39 38 40.98

4 Estimaattori luottamusväli Määr. Väliä, + saotaa parametri α luottamusväliksi cofidece iterval luottamustasolla cofidece level, jos Tulkita: parametri α kuuluu ko. välille t:llä Oletetaa sitte, että havaiot i, i,,, ovat IID tutemattomalla keskiarvolla α mutta tuetulla variassilla Keskeise raja-arvolausee mukaa kts. Lueto 5, kalvo 48, aiaki suurilla : arvoilla pätee N0, : Z α α } { P 4 Estimaattori luottamusväli Merk. z p :llä N0,-jakauma p-fraktiilia ts. P{Z z p } p, missä Z N0, esim. 5% eli 95% z z 0.975.96.0 Väite. Parametri α luottamusväli luottamustasolla o Tod. Määritelmä mukaa pitää osoittaa, että z ± α } { z P 43 α } { P z z x x x Z P x P P α α Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ] [ }] { : [ } { } { 44 Estimaattori luottamusväli 3 Yleesä odotusarvo α lisäksi mös variassi o tutemato Tällöi se pitää estimoida otosvariassista sample variace Voidaa osoittaa, että IID havaioille otosvariassi o todellise variassi harhato ja tarketuva estimaattori: : i i i i S ku 0 ] [ ] [ S D S E

Estimaattori luottamusväli 4 Esimerkki jatkoa Oletetaa t, että havaiot i, i,,, ovat IID oudattae Nα, -jakaumaa tutemattomalla keskiarvolla α ja tutemattolla variassilla. Tällöi voidaa osoittaa, että T : α Studet S Merk. t,p :llä Studet-jakauma p-fraktiilia ts. P{T t,p } p, missä T Studet esim. : 0 ja 5% t, t 9,0.975.6.3 esim. : 00 ja 5% t, t 99,0.975.98.0 Näi olle otoskeskiarvo luottamusväli luottamustasolla o S ± t, Primme arvioimaa simuloimalla 5: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa MM-joossa kuormalla ρ0.9, ku ssteemi hetkellä 0 o thjä. Teoreettie arvo: α. Havaiot i kmmeestä simuloitiajosta 0:.05, 6.44,.65, 0.80,.5, 0.55,.8,.8, 0.4,.3 Otoskeskiarvo o.98 ja otoshajota eli otosvariassi eliöjuuri o S.05.98 + K+.3.98.78 9 Näi olle parametri α luottamusväli 95%: luottamustasolla o ± t, S.98 ±.6.78.98 ±.7 0.7,3.5 0 45 46 Havaitoja Kirjallisuutta Simuloitikokee tulos tarketuu so. piste-estimaati luottamusväli kapeee, ku simuloititoistoje eli riippumattomie havaitoje lukumäärää kasvatetaa, tai ksittäise havaio variassia pieeetää esim. ajamalla pitempiä ksittäisiä simuloitiajoja muilla s. variassi reduktio -meetelmillä Jos aettua o haluttu simuloitituloste suhteellie tarkkuus so. otoskeskiarvo hajoa ja odotusarvo välie suhde, voidaa daamisesti päättää, kuika mota riippumatota simuloititoistoa o tehtävä ko. tavoitteesee pääsemiseksi I. Mitrai 98 Simulatio techiques for discrete evet sstems Cambridge Uiversit Press, Cambridge A.M. Law ad W. D. Kelto 98, 99 Simulatio modelig ad aalsis McGraw-Hill, New York 47 48