LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 1 MAT1LH001

HAAGA-HELIA ammattikorkeakoulu Liiketalous, Pasila LIIKE-ELÄMÄN MATEMATIIKKA 1 MAT1LH001 Katri Währn Syksy 2013

ESIPUHE Tämä luentorunko on tarkoitettu oppikirjan tueksi eikä suikaan korvaamaan sitä. suosittelen lukemaan rinnalla oppikirjaa: Pirjo Saaranen Elisa Kolttola Jarmo Pösö Liike-elämän matematiikka(a) Edita ISBN 978-951-37-3882-5 (vanhempi painos) ISBN 978-951-37-5605-5 (uudistettu painos) Vanhemmassa painoksessa on joitakin vanhentuneita verotustietoja ym. mutta prosentti- ja korkolasku ei ole muuttunut miksikään. Luentorungon olen kirjoittanut useana vuonna pitämieni luentojen pohjatta ja kiitänkin tässä yhteydessä kaikkia sitä kommentoineita opiskelijoita. Matematiikkaa oppii vain itse laskien eikä malliesimerkkejä selaamalla. Malleista voi kuitenkin olla hyötyä omien ratkaisujen löytämisessä. Katri Währn 2

1 PROSENTTILASKU Jos prosenttilasku on päässyt unohtumaan aikaisempien kouluvuosien jälkeen, niin oppikirjassa on luvussa 11 prosenttilaskun kertaus (siis kirjan lopussa). Tässä on kuitenkin keskeiset kohdat lyhyesti. Tällä kurssilla laskemme pääsääntöisesti tarkoilla arvoilla. (Tarkoittaa: Kun hinnaksi annetaan 2, niin sitä ei ole pyöristetty esimerkiksi 1,95 eurosta.) Näin ollen voimme itse päättää, millä tarkkuudella vastaukset annamme. Yhtä ainoata oikeaa tarkkuutta ei ole. Peruslaskutoimitukset Paljonko on p % a:sta? p b * a 100 Montako prosenttia b on a:sta? b p a *100 Esim.1.1 Tuotteen hintaa alennetaan 15 %. Mikä on alennettu hinta, kun alkuperäinen on 32? 15 * 32 = 4,80 100 32 4,80 = 27,20 tai 100 % -15 % = 85 % = 0,85 0,85 * 32 = 27,20 Esim. 1.2 Millä kertoimella saa hintaan 3,5 % lisää? 100 % + 3,5 % = 103,5 % = 1,035 Huom. Esim. 1.3 Arvonlisäveron perusteena on veroton myyntihinta. Hinnassa on 24 % arvonlisäveroa. a) Mikä on veroton hinta, kun verollinen on 37,20? b) Mikä on veroton ja verollinen hinta, kun arvonlisävero on 57,60? a) 1,24 x = 37,20 //:1,24 x = 30 b) 0,24 x = 57,60 x = 240 (veroton) 240 + 57,60 = 297,60 (verollinen) 3

Esim. 1.4 Esim. 1.5 Millä kertoimella arvonlisäveron saa a) verollisesta hinnasta pois ja b) verollisesta hinnasta? Hinnat on otettu edellisestä esimerkistä: a) 30 1 = 0,80645 tai = 0,80645 37,20 1,24 b) 7,20 37, 20 = 0,19355.tai 1 0,80645 = 0,19355 Tuotteen hintaa on alennettu 6 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 582,80? 0,94 x = 582,80 //:0,94 x = 620 Esim. 1.6 Hintaa alennetaan 25 % ja myöhemmin vielä 30 %. Laske lopullinen hinta, kun alkuperäinen on 18. 0,75 * 18 = 13,50 tai 0,75*0,7*18 = 9,45 0,7 *13,50 = 9,45 Koska 0,75*0,7=0,525, niin uusi hinta on vanhasta 52,5 % ja kokonaisalennusprosentti 47,5 %. Huom. Esim.1.7 Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan yksitellen (tai kertoimet kertomalla). Tuotteen hinta nousee 25 eurosta 30 euroon. Montako prosenttia hinta nousee? 30 25 *100 25 30 = 20 % tai 1, 2 20 % 25 Huom. Muutosprosentin perusarvo on aina lähtötilanne (esim. alkuperäinen hinta). Esim.1.8 A:n palkka on 1 000 ja B:n 2 500. a) Montako prosenttia B:n palkka on A:n palkasta? b) Montako prosenttia B:n palkka on suurempi kuin A:n palkka? c) Montako prosenttia A:n palkka on pienempi kuin B:n palkka? a) b) c) 2500 * 100 = 250 % 1000 2500 1000 * 100 = 150 % 1000 2500 1000 * 100 = 60 % 2500 4

Esim.1.9 Asunnon hinta on nousut kolmessa vuodessa 80 000 eurosta 110 000 euroon. Mikä on vuotuinen nousuprosentti? x 3 * 80000 = 110000 //:80000 x 3 = 1,375 // 3 x = 1,112 11,2 % Testaa tietosi perusprosenttilaskuista seuraavilla tehtävillä. Harj. 1.1 a) Laske 12 %:lla alennettu hinta, kun alkuperäinen on 89 euroa. b) Laske alkuperäinen hinta, kun 15 %:lla alennettu on 212,50 euroa. c) Laske alkuperäinen hinta, kun sitä on korotettu 10 % ja 15 %. Korotettu hinta on 63,25 euroa. Harj. 1.2 Sijoituksen arvo on nousut neljässä vuodessa 12 000 eurosta 13 000 euroon. a) Montako prosenttia sijoituksen arvo on noussut? b) Montako prosenttia sijoituksen arvo on keskimäärin noussut vuodessa? c) Montako prosenttia sijoituksen vanha arvo on uudesta? d) Montako prosenttia sijoituksen uusi arvo on suurempi kuin vanha? Esim.1.10 Valmistuskustannuksista raaka-aineen osuus on 30 %. Raaka-aineen hinta nousee 20 %. Montako prosenttia muita kustannuksia on karsittava, jotta valmistuskustannukset nousisivat vain 5 %? Jos lähtöluvut pelkkiä prosenttilukuja, täytyy avuksi ottaa joko mielivaltainen luku (merkitään esimerkiksi a) tai sitten vaan joku sopivan kokoinen luku (tässä tehtävässä 1000). Lukiossa ei saa valita mitään lukua, mutta meille on tärkeintä saada vastaus ja mieluimmin vielä mahdollisimman helposti. 5

Raaka-aine Muut Valmistuskust. 0,3 a 0,7 a a + 20 % + 5 % 0,36 a 0,69 a 1,05 a tai 0,7a 0,69a 0,7a * 100 = 1,4 % Raaka-aine Muut Valmistuskust. 300 700 1000 + 20 % + 5 % 360 690 1050 700 690 700 * 100 = 1,4 % Esim.1.11 78 000 euron myyntivoitto jaetaan osakkaiden kesken siten, että A saa 25 % vähemmän kuin C, joka puolestaan saa 30 % enemmän kuin B. Paljonko kukin saa? Ratkaistaan ensin suhteisjaolla. Tällöin kannattaa jonkun suhdeluvuksi valita esimerkiksi 100. Suhdeluvut on helpoin laskea, jos valitsee B:n suhdeluvun, koska se on vertailun viimeinen. B 100 C 130 (= 1,3*100) A 97,5 (= 0,75*130) Yhteensä 327,5 A:n osuus B:n osuus C:n osuus 78000 *97,5 23 221,37 327,5 78000 *100 23 816,79 327,5 78000 *130 30 961,83 327,5 Huom. Prosenttien kautta kiertäminen ja likiarvojen käyttö aiheuttaa pientä virhettä pyöristyksiin. Laskentatoimen opettajat haluavat sentitkin oikein. tai Saman tehtävän voi ratkaista myös yhtälön avulla. Tällöin muuttujaksi x kannattaa valita B:n osuus. 0,975x + x + 1,3x = 78000 3,275x = 78000 // : 3,275 x = 23 816,79 (B:n osuus) 0,975*23816,79 = 23 221,37 ( A:n osuus) 1,3* 23816,79 = 30 961,83 (C:n osuus) 6

Prosenttiyksikkö Esimerkkejä käytöstä - työttömyysprosenttien vertailu - puolueiden kannatuksen vertailu - korkokannan muutokset - veroprosentin muutokset Esim. 1.12 Lainan korko nousi 4,5 %:sta 5,2 %:iin. a) Montako prosenttia korko nousi? b) Montako prosenttiyksikköä korko nousi? a) valitaan 10 000 laina vuoden korko 4,5 % on 450 vuoden korko 5,2 % on 520 520 450 * 100 = 15,6 % 450 b) 0,7 %-yksikköä Esim.1.13 17 euron linja-autolipun arvonlisäveroprosentti on 6 %. Hintojen korotuksen jälkeen sama lippu maksaa 20, josta veron osuus on 1,48. Montako prosenttiyksikköä veron suhteellinen osuus muuttui? 1,48 18,52 * 100 = 8 % Verojen suhteellinen osuus nousi 2 %-yksiköllä. Harj.1.3 Henkilö maksoi 2 300 euron palkasta 17 % veroa. Hänen palkkaa korotettiin 4 % ja tällöin hän maksoi veroa 430,56 /kk. a) Montako prosenttia hänen nettopalkka muuttui? b) Montako prosenttiyksikköä verojen suhteellinen osuus palkasta muuttui? 7

Esim. 1.14 Lahjan saajat jaetaan kahteen veroluokkaan: I-veroluokka: I-veroluokkaan kuuluvat lahjanantajan aviopuoliso, lahjanantajaan suoraan ylenevässä tai alenevassa polvessa oleva sukulainen ja aviopuolison suoraan alenevassa polvessa oleva sukulainen. Aviopuolisona pidetään myös lahjanantajan kanssa avioliitonomaisissa olosuhteissa elävää henkilöä, joka on aikaisemmin ollut avioliitossa lahjanantajan kanssa tai jolla on tai on ollut yhteinen lapsi lahjanantajan kanssa. Ottolapset ja -vanhemmat ovat verotuksellisesti samassa asemassa biologisten sukulaisten kanssa. II-veroluokka: Muut sukulaiset ja vieraat. Lahjavero määräytyy verotettavan lahjan arvon ja sukulaisuussuhteen perusteella seuraavien asteikkojen mukaisesti: I-veroluokka 1.1.2013 alkaen: Verotettavan osuuden arvo euroina Veron vakioerä osuuden alarajan kohdalla euroina Veroprosentti ylimenevästä osasta 4 000-17 000 100 7 % 17 000-50 000 1 010 10 % 50 000-200 000 4 310 13 % 200 000-1 000 000 23 810 16 % 1 000 000-151 810 19 % II-veroluokka 1.1.2013 alkaen: Verotettavan osuuden arvo euroina Veron vakioerä osuuden alarajan kohdalla euroina Veroprosentti ylimenevästä osasta 4 000-17 000 100 20 % 17 000-50 000 2 700 26 % 50 000-1 000 000 11 280 32 % 1 000 000-315 280 35 % Laske lahjaveron määrä seuraavissa tapauksissa: a) Mervi saa isältään 30 000 asunnon säästöosuutta varten. b) Elviira lahjoittaa kodittomille kissoille 60 000. c) Äiti tukee Maijan opiskelua kevätlukukauden (tammi-toukokuu) ajan 500 eurolla kuukaudessa. Hän ei ole antanut tyttärelleen muuta lahjaa viimeisen kolmen vuoden aikana. a) 1010 + 0,1 * (30000 17000) = 2 310 b) 11280 + 0,32 * (60000 50000) = 14 480 c) 5 * 500 = 2500 Veroa ei tarvitse maksaa! 8

Prosenttilaskun sovelluksia Katetuottolaskelman malli on Myyntituotto (liikevaihto) - Muuttuvat kustannukset (mukut) = Katetuotto (myyntikate) - Kiinteät kustannukset (kikut) = Tulos Osa yrityksen kustannuksista riippuu valmistettavien ja myytävien tuotteiden määrästä. Jos nimittäin valmistus- ja myyntimäärät lisääntyvät, kustannuksia aiheutuu enemmän. Tuotannon ja myynnin laskiessa kustannusten määrä jää vastaavasti pienemmäksi. Tällaisia kustannuksia kutsutaan muuttuviksi kustannuksiksi. Muuttuvia kustannuksia ovat mm. o raaka-ainekustannukset, o palkkakustannukset ja henkilösivumenot, o valmistuksesta johtuvat energiamenot, o myytäviksi hankittujen tavaroiden ostohinnat, o rahdit, o pakkaustarvikkeet ja o muut tavaroiden hankintaan liittyvät kustannukset. Kustannuksia, joiden määrä ei suoraan riipu valmistettavien ja myytävien tuotteiden määrästä, nimitetään kiinteiksi kustannuksiksi. Kiinteitä kustannuksia ovat mm. o vuokrat, o poistot, o kuukausipalkat, o kiinteistä palkoista johtuvat henkilösivukustannukset, o mainonta ja o korot. Kiinteitä kustannuksia yritykselle syntyy, vaikkei mitään valmistettaisi tai myytäisi. Kun myyntituotoista vähennetään muuttuvat kustannukset, saadaan katetuotto. Kun katetuotosta vähennetään kiinteät kustannukset, saadaan tulos (voitto tai tappio). Katetuotto = myyntituotot muuttuvat kustannukset Tulos = katetuotto kiinteät kustannukset Toiminnan kannattavuutta mittaavia tunnuslukuja ovat katetuottoprosentti ja voittoprosentti. Katetuottoprosentti (KTP) ilmoittaa, montako prosenttia katetuotto on myyntituotoista: KTP = (katetuotto / myyntituotot) * 100 9

Voittoprosentti ilmoittaa, montako prosenttia voitto on myyntituotoista: Voittoprosentti = (voitto / myyntituotot) * 100 Kriittisellä myynnillä (KRM) eli kriittisellä pisteellä (KRP) tarkoitetaan sitä myynnin määrää, jolla saadaan kaikki kustannukset katetuksi mutta ei synny voittoa eikä tappiota. Tällöin katetuotto ja kiinteät kustannukset ovat yhtä suuret. Kriittinen myynti = (kiinteät kustannukset / katetuottoprosentti) * 100 Esim.1.14 Yritys valmistaa turkkeja. Tammikuun kustannukset olivat raaka-aine kustannukset 20 000,- ompelija työkustannukset sivukuluineen 3 700,- toimitilan vuokra 1 500,- sähkö 250,- koneiden poistot 800,- mainonta 300,- Lisäksi huomioitavaa yrittäjän työpanos 4 000,- yrittäjän sijoittaman pääoman korko 200,- Tammikuussa myytiin 12 turkkia hintaan 3 400 /kpl. a) Tee katetuottolaskelma. b) Laske katetuottoprosentti. c) Laske voittoprosentti. d) Mikä on kriittinen myynti? a) Tuotot myyntitulot 12 kappaletta a 3 400 40 800,- Muuttuvat kustannukset raaka-aineet 20 000,- ompelija 3 700,- 23 700,- Katetuotto 17 100,- Kiinteät kustannukset vuokra 1 500,- sähkö 250,- koneiden poistot 800,- mainonta 300,- yrittäjän työpanos 4 000,- oman pääoman korko 200,- 7 050,- Tulos 10 050,- 17100 b) *100 41,9 % 40800 10

c) 10050 *100 24,6 % 40800 d) 7050 *100 16 826 41,9 Esim. 1.15 Yritys valmistaa yhtä tuotetta, jonka muuttuvat kustannukset ovat 2,30 /kpl ja kiinteät kustannukset 700 /kk. Mikä pitää olla verottoman myyntihinnan, jos tulosta halutaan 20 % ja menekki on 900 kpl/kk? Myyntituotto 100 % Mukut (900*2,30) 2070,- Kikut 700,- Tulos 20 % 0,8* x 2770 x 3462,50 (myyntituotto) 3462,5 3,85 /kpl 900 tai 900* 2,30 700 3,08 (yksikkökustannukset) 900 0,8* x 3, 08 x 3,85 /kpl tai 900x 900*2,30 700 0,2* 900x 900x 180x 2770 720x 2770 x 3,85 /kpl Esim.1.16 Tuotteen veroton myyntihinta on 68 /kpl, muuttuvat kustannukset ovat 38 /kpl ja kiinteät kustannukset 7 000 /kk. Montako kappaletta kuukaudessa on myytävä, jotta toiminta olisi kannattavaa? 68 38 = 30 /kpl 7000 : 30 = 233,3 eli 234 kpl tai Kriittisen pisteen kaavalla: 30 *100 44,1% 68 7000 *100 15873,02 44,1 15873,02 : 68 = 234 kpl 11

Esim.1.17 Keittiötarvikeliikkeen tavoitemyynti on 19 000 /kk, muuttuvat kustannukset 10 000 /kk ja kiinteät kustannukset 3 500 /kk. Luvut ovat ilman 23 %:n arvonlisäveroa. a) Mikä on liikkeen katetuotto ja voitto kuukaudessa? b) Laske keskimääräinen katetuottoprosentti. c) Otetaan myyntiin uusi tuote, jonka veroton ostohinta on 34. Tuote hinnoitellaan liikkeen keskimääräisen katetuottoprosentin mukaisesti. Laske veroton ja verollinen myyntihinta. a) Myyntitulot 19 000,- Muuttuvat kustannukset 10 000,- Katetuotto 9 000,- Kiinteät kustannukset 3 500,- Voitto 5 500,- 9000 b) *100 47,4 % 19000 c) 0,526* x 34 x 64,64 1,23*64,64 79, 51 79,50 Jos hinnoitellaan kertoimella, niin ne ovat verottomalle hinnalle 64,64 100 100 1,901 tai 34 100 katetuottoprosentti 52, 6 ja verolliselle 79,51 100 2,339 tai *1,22 2,338 34 52,6 1,901 Esim. 1.18 Tuotteen hinta on 72 /kpl, jossa on katetta 38 %. Hintaa alennetaan 15 %. Montako prosenttia myyntiä pitäisi nostaa, jotta kannattavuus säilyisi? Kiinteitä kustannuksia ei huomioina. Myynti- Kate HKH Myynti- Kannattavuus hinta määrä 72 ( /kpl) 27,36( /kpl) 44,64( /kpl) 10 (kpl) 273,60 ( ) (=0,38*72) (=72-27,36) (valinta) (=10*27,36) - 15 % + 0 % 61,20 16,56 44,64 16,52 273,60 273,60 ) (=0,85*72) (=61,20-44,64) ( 16, 56 16,52 10 10 * 100 = 65,2 % Tämän tapainen tehtävä lähtee siitä, että tavara on jo ostettu (esimerkiksi varastoon) ja siitä on siis maksettu itse 44,64 euroa. Myyntitilanteessa annetaan 15 %:n alennus. Koko alennus lähtee katteesta! 12

Esim. 1.19 Tuotteen myyntikate on 30 %. Myyntiä pyritään kasvattamaan 20 %. Paljonko hintaa voi laskea, kun pyritään siihen, että kannattavuus paranee 10 %? Mikä on uusi kateprosentti? Kiinteitä kustannuksia ei huomioida. Myynti- Kate HKH Myynti- Kannattavuus hinta määrä 10 3 7 100 300 (valinta) (valinta) + 20 % + 10 % 9,75 2,75 7 120 330 330 ) 10 9,75 10 2,75 9,75 ( 120 * 100 = 2,5 % * 100 = 28,2 % 13

2 INDEKSIT Esim.2.1 Excel-taulukko on Moodlessa luentomateriaalin liitteenä. Kun hintaindeksin avulla muutetaan vanha hinta vastaamaan uutta rahanarvoa, on laskutoimitus inflatointi. Jos taas muutetaan vanhaan rahanarvoon, niin silloin deflatoidaan. Molemmilla voi yhtä hyvin laskea reaalihintojen muutoksia. Toisaalta yksittäisen reaalihinnan muutoksen voi laskea ilman taulukkoa. Esimerkiksi edellisen tehtävän e-kohta: Vuokra nousi 7,99 eurosta 10,74 euroon ja indeksi nousi 1539:stä 1812:ta. 1812 *7,99 9,41 Siis reaalihinta nousi 9,41eurosta 10,74 euroon! 1539 10,74 9,41 *100 14,1 % 9,41 14

http://myy.haaga- Lisää Excelistä esimerkiksi Aki Taanilan kotisivuilla osoitteessa helia.fi/~taaak/e. Esim.2.2 Kuluttajahintaindeksi 2005 = 100 2010 = 100 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2010 2011 Kokonaisindeksi 101,6 104,1 108,3 108,3 109,7 113,5 100,0 103,4 Elintarvikkeet ja alkoholittomat juomat 101,4 103,5 112,4 114,6 110,5 116,8 100,0 106,3 Alkoholijuomat ja tupakka 100,9 102,3 108,0 116,8 121,7 122,7 100,0 100,8 Vaatetus ja jalkineet 98,2 98,6 99,0 99,6 101,0 102,7 100,0 101,2 Asuminen, vesi, sähkö, kaasu ja muut polttoaineet 104,4 110,1 116,2 113,1 115,6 122,8 100,0 106,3 Kalusteet, kotitalouskoneet ja yleinen kodinhoito 100,6 101,9 103,7 105,7 107,8 109,9 100,0 102,3 Terveys 100,5 100,1 101,7 105,2 107,2 108,2 100,0 100,7 Liikenne 102,3 102,8 105,4 102,2 106,7 111,0 100,0 103,9 Viestintä 92,2 98,7 97,4 92,1 90,4 89,1 100,0 98,0 Kulttuuri ja vapaa-aika 99,8 99,8 101,2 102,8 103,8 104,1 100,0 99,7 Koulutus 101,8 105,6 109,1 113,1 118,4 121,8 100,0 103,2 Ravintolat ja hotellit 102,1 104,5 110,3 115,0 116,1 119,0 100,0 102,5 Muut tavarat ja palvelut 103,1 108,9 113,5 109,7 109,6 113,8 100,0 103,6 Lähde: Tilastokeskus, hintatilastot a) Mikä oli inflaatioprosentti vuosina 2006-2007? b) Lue taulukosta suoraan, mitkä olivat inflaatioprosentit 2009 ja 2006. c) Montako prosenttia reaaliansiot laskivat vuosina 2006-2007, jos palkkoja ei korotettu? d) Montako prosenttia euron ostovoima Suomessa heikkeni vuosina 2006-2007? e) Asunnon irtaimiston vakuutusarvo on sidottu kuluttajahintaindeksiin. Vuonna 2006 irtaimiston arvo oli 32 000 euroa. Mikä se on 2010? a) 101,6 104,1 104,1 101,6 104,1 * 100 = 2,5 % tai 1, 0246 2,5 % 101,6 101,6 b) c) Kun hinnat nousevat, rahan ostovoima heikkenee eli samalla palkalla saa vähemmän tavaraa kuin ennen eli reaaliansiot laskevat. Valitaan nettopalkaksi 1000. Palkka Hinnat Reaaliansiot 1000 ( ) 101,6 ( /kpl) 9,843(kpl) (valinta) (=1000:101,6) 1000 104,1 9,606 (=1000:104,1) 9,843 9,606 * 100 = 2,4 % 9,843 tai 15

104,1 101,6 104,1 1 * 100 = 2,4 % tai 0, 97598 1,0246... 0,97598 1 = -0,02402-2,4 % d) 2,4 % e) 101,6 109,7 109,7 * 32 000 = 34 551 101,6 Esim. 2.3 Vuonna 2007 asunto maksoi 123 000 euroa ja vuonna 2011 se maksoi 178 000 euroa. a) Montako prosenttia asunnon reaaliarvo on noussut? b) Montako prosenttia asunnon reaaliarvo on keskimäärin noussut vuodessa? Kuluttajahintaindeksi on nousut 104,1:stä 113,5:een. 113,5 *123000 134107 104,1 Jos asunto olisi myyty 134 107 eurolla, niin sen reaaliarvo olisi säilynyt. Reaaliarvo on noussut neljässä vuodessa 134107 eurosta 178 000 euroon. 178000 a) 1, 327 32,7 % 134107 b) x 4 *134107 178000 x 4 178000 134107 178000 x 4 1, 073 7,3 % 134107 Esim. 2.4 Vuonna 2008 asunto maksoi 176 000 euroa. Paljonko siitä olisi pitänyt myytäessä 2011 saada, jotta olisi saatu 4 % vuotuista reaalista tuottoa? 16

Esim. 2.5 Henkilön bruttopalkka oli 2 100 /kk, josta hän maksaa veroa 26 %. Myöhemmin hänen palkkaa korotetaan 4 % ja verotus kiristyy 0,5 %-yksiköllä. Samaan aikaan hintaindeksi nousee 103:sta 109:ään. Montako prosenttia reaaliansiot muuttuivat? Brutto Verot Netto Hinnat Reaaliansiot 2100 546 1554 103 15,09 (=0,26*2100) (=2100-546) (=1554:103) + 4 % 2184 578,76 1605,24 109 14,73 laskivat tai 15,09 14,73 15,09 * 100 = 2,4 % 109 * 1554 = 1644,52 (Jos palkka nousisi tähän, reaaliansiot säilyisivät.) 103 Reaalinen muutos 1644,52 1605,24 1644,52 1605,24 * 100 = 2,4 % laski 1644,52 Lisää indekseistä kirjassa. Suosittelen lämpimästi myös lukemaan. Esim. 2.6 Seuraavalla sivulla on vielä opettavainen esimerkki indeksisidonnaisista asioista! a) Alustavissa neuvotteluissa oli annettu ymmärtää, että vuokra olisi 12 /m 2. Montako prosenttia korkeampi on tämän tarjouksen lähtövuokra? b) Montako prosenttia vuokra vähintään nousisi seuraavien viiden vuoden aikana? 17

Esim. 2.6 Liikehuoneiston vuokraamisesta on saatu seuraava tarjous: 18

19

3 AIKASARJAT Tällä kurssilla aikasarjat opiskellaan Aki Taanilan verkkomateriaalin pohjalta. Se löytyy osoitteesta http://myy.haaga-helia.fi/~taaak/e/aikasarja.xlsx. 4 VALUUTAT Tätä kurssilistaa käytetään tämän kurssin kaikissa esimerkeissä ja harjoitustehtävissä. Kurssit ilmaisevat yhden euron arvon kyseisessä valuuttayksikössä. Vaihdettavat valuutat 2012-09-25 klo 17 Valuutta- Keski- Tilivaluutta Setelikurssit Maa yksikkö Koodi kurssi osto myynti osto myynti Arabiemiirikunnat dirham AED 4.7560 4.8069 4.7050 4.9829 4.5080 Australia dollari AUD 1.2393 1.2593 1.2193 1.2921 1.1864 Bulgaria lev BGN 1.9558 2.0058 1.9058 2.0358 1.8758 Etelä-Afrikka randi ZAR 10.5973 10.8773 10.3173 11.0283 10.0283 Etelä-Korea won KRW 1447.36001484.3600 1410.3600 1511.0600 1359.0600 Hongkong dollari HKD 10.0266 10.2266 9.8266 10.4016 9.5366 IMF SDR XDR 0.8302 0.8312 0.8292 Intia rupia INR 68.9470 73.4470 64.4470 Iso-Britannia punta GBP 0.7965 0.8075 0.7855 0.8143 0.7787 Israel sekeli ILS 5.0566 5.2566 4.8566 Japani jeni JPY 100.5700 102.5700 98.5700 104.0000 97.1400 Kanada dollari CAD 1.2677 1.2887 1.2467 1.2973 1.2381 Latvia lati LVL 0.6962 0.7061 0.6863 0.7182 0.6742 Liettua liti LTL 3.4528 3.4768 3.4288 3.5628 3.3428 Meksiko peso MXN 16.6079 17.3479 15.8679 17.3409 15.4659 Norja kruunu NOK 7.4000 7.5000 7.3000 7.5690 7.2310 Puola zloty PLN 4.1380 4.2380 4.0380 4.3167 3.9593 Romania leu RON 4.5105 4.6305 4.3905 Ruotsi kruunu SEK 8.4725 8.5825 8.3625 8.6645 8.2805 Saudi-Arabia rial SAR 4.8564 4.9284 4.7844 5.0834 4.6207 Serbia dinaari RSD 114.9800 118.9800 110.9800 Singapore dollari SGD 1.5860 1.6270 1.5450 1.6480 1.5100 Sveitsi frangi CHF 1.2092 1.2252 1.1932 1.2375 1.1809 Tanska kruunu DKK 7.4565 7.4925 7.4205 7.6145 7.2985 Thaimaa baht THB 39.9990 40.9990 38.9990 42.2050 37.7930 Tshekki koruna CZK 24.9210 25.4210 24.4210 26.0135 23.8285 Tunisia dinaari TND 2.0224 2.0324 2.0124 Turkki liira TRY 2.3194 2.4694 2.1694 2.4937 2.0947 Unkari forintti HUF 283.3300 287.3300 279.3300 293.4650 271.8660 USA dollari USD 1.2932 1.3082 1.2782 1.3209 1.2655 Uusi-Seelanti dollari NZD 1.5684 1.5984 1.5384 1.6284 1.4755 Venäjä rupla RUB 40.1090 42.6090 37.6090 43.1940 36.6170 Lähde: Nordea 20

Milloin mitäkin kurssia käytetään? 1) Setelikursseilla vaihdetaan vain käteistä rahaa. 2) Yritysten rahaliikenne kulkee tilisiirtoina eli aina käytetään tilikursseja. 3) Ostaminen ja myyminen pankinkannalta ja kauppaa käydään ulkomaan valuutalla. Esimerkiksi pankki ostaa matkalta ylijääneet Ruotsin kruunut setelin ostokurssilla ja pankki myy yritykselle USA:n dollareita, jotta se voi maksaa dollarimääräisen laskun, tilin myyntikurssilla. 4) Keskikurssia käytetään lähinnä vain sopimuksissa. Esim. 4.1 Matkailija vaihtaa 1 000 euroa USA:n dollareiksi. Paljonko hän saa dollareita, kun vaihtopalkkio on 3, yhteissumma ei saa ylittää 1 000 euroa ja pienin pankissa oleva seteli on 10 USD? Paljonko dollarit maksavat? 1000 3 = 997 (s.m.) 997 *1,2655 = 1261,70 1260 USD 1260 / 1,2655 + 3 = 998,65 Esim. 4.2 Yrityksellä on 3 000 NOK lasku ja saatavia 1 300 SEK. Laske nettovelka euroina. (t.m.) 3000 / 7,3000 = 410,96 (t.o.) 1300 / 8,5825 = 151,47 259,49 Esim.4.3 Laitetoimituksesta on tehty 25 000 euron tarjous. Hinta perustuu USD:n kurssiin 1,4. Tarjouksen hinnasta 80 % on sidottu muuttuviin valuuttakursseihin ja 20 % on kiinteää hintaa, johon kurssimuutokset eivät vaikuta. Valuuttakorjaus tehdään vain, mikäli tilauspäivän USD:n keskikurssi poikkeaa tarjouskurssista vähintään + 3 %. a) Millä välillä kurssi saa vaihdella, jotta valuuttakorjausta ei tarvitse tehdä? b) Mikä laitteen hinta on, jos tilauspäivän kurssi on kurssilistan mukainen? a) 0,97 * 1,4 kurssi 1,03 * 1,4 1,358 kurssi 1,442 b) 0,2 * 25000 + 0,8 * 25000 * 1,4 / 1,2932 = 5000 + 21651,72 = 26 651,72 Tarjouksen sitominen muuttuviin valuuttakursseihin on yksi tapa suojautua valuuttariskeiltä. 21

Toinen paljon käytetty tapa on termiinikurssit. Kauppalehden julkaisemia USD:n termiinikursseja(25.9.2012): Aika Myynti Osto spot 1.2802 1.3061 1 vko 1.2803 1.3062 2 vko 1.2804 1.3063 3 vko 1.2805 1.3063 1 kk 1.2806 1.3065 2 kk 1.2810 1.3069 3 kk 1.2814 1.3073 4 kk 1.2819 1.3078 5 kk 1.2823 1.3082 6 kk 1.2826 1.3086 9 kk 1.2839 1.3098 1 v 1.2853 1.3112 Lähde: Nordea Valuuttatermiini lukitsee tulevaisuuden valuuttakurssin Valuuttatermiinissä sovitaan tulevan valuuttakaupan kurssi eli termiinikurssi, ajankohta, ostettavan ja myytävän valuutan sekä vaihdettavan valuutan määrä. Termiinikurssi voi olla päivän valuuttakurssia eli spot-kurssia korkeampi tai matalampi. Termiinikurssi perustuu spot-kurssiin ja kahden valuutan väliseen korkoeroon. Edut yritykselle Termiini antaa täyden suojan epäsuotuisaa kurssiliikettä vastaan Tulevaisuudessa tapahtuvan valuuttakaupan kurssi ja valuuttakauppaan tarvittava/valuuttakaupasta saatava euromäärä tiedossa etukäteen Valuuttatermiinissä huomioitavaa Termiini antaa täyden suojan epäsuotuisaa kurssiliikettä vastaan, mutta toisaalta myöskään positiivisesta kurssiliikkeestä ei päästä hyötymään. Lähde: Nordea 22

Devalvaatiossa valuutan ulkoinen arvo alenee suhteessa muihin valuuttoihin. Revalvaatiossa valuutan ulkoinen arvo kasvaa suhteessa muihin valuuttoihin. Esim. 4.4 Seuraavassa taulukossa on Suomen pankin noteeraamat USA:n dollarin keskikurssit. Pvm Keskikurssi 20.1.2012 1,2902 20.2.2012 1,3266 20.3.2012 1,3198 20.4.2012 1,3192 21.5.2012 1,275 20.6.2012 1,2704 20.7.2012 1,22 20.8.2012 1,23 20.9.2012 1,2954 Etsi taulukosta kohtia, jossa dollari on heikentynyt ja vahvistunut. Vertaa 20.2.2012 ja 20.8.2012 keskikursseja toisiinsa ja laske montako prosenttia a) euron arvo muuttui suhteessa dollariin? b) dollarin arvo suhteessa euroon? 1 = 1,3266 USD 1 1 USD = = 0,7538 1,3266 1 = 1,23 USD 1 USD = 0,8130 Nämä ovat euron Nämä ovat dollarin ulkoisia arvoja. ulkoisia arvoja. a) Euro heikkeni eli devalvoitui b) Dollari vahvistui eli revalvoitui TAI 1,3266 1,23 0,8130 0,7538 *100 7,3 % *100 7,9 % 1,3266 0,7538 1,23 1,3266 0, 927 1-7,3 % 1, 0785 + 7,9 % 0,927... 23

Esim. 4.5 Alla Norjan kruunun (NOK) kurssihistoriaa Kauppalehdestä: Pvm Keskikurssi Tiliosto Tilimyynti Seteliosto Setelimyynti 10.1.13 7,2980 7,398 7,198 7,467 7,129 10.10.13 8,1900 8,315 8,065 8,4007 7,9207 Vertaa päiviä 10.1.2013 ja 10.10.2013. Samalla aikavälillä Suomessa oli elinkustannusindeksi nousut 1870:sta 1894:ään ja Norjan inflaatio oli noin 2,1 %. a) Montako prosenttia Suomesta Norjaan vietävän tavaran hinta muuttui norjalaisen ostajan kannalta? Käytä tilin ostokurssia, vaikka tosiasiassa pitäisi käyttää norjalaisten tekemiä noteerauksia, koska tavara maksetaan Norjassa. b) Montako prosenttia Norjasta Suomeen tuotavan tavaran hinta muuttui suomalaisen ostajan kannalta? a) Hinta Suomessa Hinta Norjassa 1870 13 834,26 NOK (=1870*7,398) 1894 15 748,61 NOK (=1894*8,315) Nousi 15748,61 13834,26 *100 13,8 % 13834,26 b) Hinta Suomessa Hinta Norjassa 13,89 100 NOK (=100/7,198) (valinta) + 2,1 % 12,66 102,1 NOK (=102,1/8,065) (=1,021*100) Laski 13,89 12,66 *100 13,89 8,9 % tai 1894 8,315 a) * 1, 1384 1870 7,398 1,1384 1 = +0,1384 +13,84 % b) 1,021 : 8,065 7,198 = 0,9112 0,9112 1 = - 0,0888-8,88 % Kertoimilla laskien laskutoimitukset ovat lyhyitä, mutta ymmärtää täytyy vähintään yhtä paljon kuin laveammin laskien. Arvaamaan ei kannata lähteä! 24

Harj. 4.1 Meidän kurssilistalla USA:n dollarin kurssi muuttui seuraavasti: Pvm Keskikurssi Tiliosto Tilimyynti Seteliosto Setelimyynti 29.04.2011 1.4860 1.5010 1.4710 1.5155 1.4565 30.09.2011 1.3503 1.3653 1.3353 1.3823 1.3183 Lähde:Kauppalehti a) Miten tämä vaikutti vientiteollisuutemme kilpailukykyyn? b) Samaan aikaan suomalaisen maahantuojan hankintahinta (dollareissa) nousi 5 %. Montako prosenttia ja mihin suuntaan hankintahinta euroissa muuttui? c) Kun edellisen kohdan tuotteen alkuperäiseen hankintahintaan lisättiin 35 % myyntipalkkiota, saatiin veroton myyntihinta. Montako prosenttiyksikköä kate muuttui, jos myyntihintaa ei muutettu? 25

5 KORKOLASKU Korko r = kit, missä r = korko ( ) k = pääoma ( ) i = korko(kanta) desimaalilukuna (annetaan tehtävissä %:na) t = aika murtolukuna Tällä kurssilla lasketaan alle vuoden korot saksalaisen korkolaskun mukaan. Jokaisessa kuukaudessa on siis 30 päivää. Tämä tarkoitta, että korkoaikaa allekkain laskettaessa täytyy jokainen 31 päivää muuttaa 30:ksi. Muille ei tarvitse tehdä mitään. Kirjassa on esitelty myös englantilainen ja ranskalainen korkolasku. Esim. 5.1 3 900 euron laskun eräpäivä olisi 2.10. mutta se maksetaan vasta 29.10. Paljonko pitää maksaa, kun viivästyskorko on 7,5 %? 27 3900 * 0,075 * 21,94 360 3900 + 21,94 = 3 921,94 Esim.5.2 60 000 euron lainan maksuaika on 5 vuotta ja maksuerät maksetaan neljännesvuosittain. Laske kolmannen maksuerän suuruus, kun lainaa lyhennetään aina saman verran ja lisäksi maksetaan korot. Korko on 6 %. 60000 : 20 = 3000 (lyhennys) 60000 2 * 3000 = 54000 (lainan pääoma kahden lyhennyksen jälkeen) 54000 * 0,06 * 4 1 = 810 (3. erän korko) 3000 + 810 = 3810 26

Esim. 5.3 Tilitapahtumat ja arvopäivät ovat korkoaika 30.12. korko 15.3.2005 pano 1 500,- 285 285 23,75 (=1500*0,02* 360 ) 18.9.2005 otto - 300,- 102-1,70 13.8.2006 pano 2 000,- 22,05 Laske tilin saldo10.9.2006, kun 2 %:n korko liitetään pääomaan vuoden vaihteessa ja lähdevero on 28 %. Korkoaika on laskettu arvopäivästä vuoden loppuun (saksalaisen korkolaskun mukaan 30.12.). Talletuksille on laskettu positiivista ja nostoille negatiivista korkoa. Vuoden 2006 korot liitetään pääomaan vasta sen vuoden lopussa. 0,28 * 22,05 = 6,17 1500 300 + 22,05 6,17 + 2000 = 3215,88 Lähdeveron pankki ottaa tililtä ja maksaa edelleen valtiolle aina saman aikaan, kun maksaa korotkin. Pankista ei mene verottajalle tietoa siitä, kenen veroja se maksaa. Näin säilyy pankkisalaisuus. Pankkikorkoja ei yksityishenkilön myöskään tarvitse ilmoittaa verottajalle. Oppikirjassa on koron kaavasta ratkaistu vuorotellen pääoma, korkokanta ja korkoaika. Näin on saatu kolme kaavaa lisää muistettavaksi. Jos käyttää koron kaava ja yhtälön ratkaisua, pääsee vähemmällä muistamisella. Seuraavat tehtävät on ratkaistu siten. Pääoma Esim.5.4 Mikä suuruisen lainan puolen vuoden korot voi maksaa 500 eurolla? Korko on 5,5 %. k*i*t = r 1 x * 0,055 * = 500 //*2 2 x * 0,055 = 500 * 2 //:0,055 500* 2 x = 0,055 x = 18181,82 18 180 27

Esim. 5.5 Mikä pääoma tuottaa kuukaudessa 1 000 euroa, kun korko on 5 % ja lähdevero 30 %? Lasketaan ensin nettokorko eli se korko, joka jää sijoittajalle. 0,70 * 5 % = 3,5 % x * 0,035 * 12 1 = 1000 Korkokanta x = 1000*12 0,035 = 342 857 Esim.5.6 Osakkeet ostettiin 10.3. hintaan 402 ja myytiin 16.8. samana vuonna 678 eurolla. Laske vuotuinen korkotuotto, kun myyntivoitosta maksetaan 30 % veroa. (678 402) * 0,7 = 193,20 156 402 * i * = 193,20 360 i = 193,20*360 402*156 i = 1,109 111 % Korkoaika Esim. 5.7 3 000 euron laina on nostettu 20.2. Milloin se on viimeistään maksettava, jotta 3 100 euroa riittäisi? Korko on 6,5 %. x 3000 * 0,065 * 360 = 100 x = 20.2. + 6 kk 4 pv = 24.8. 100*360 3000*0,065 x = 184,6 (pyöristys alaspäin, koska muuten 3 100 ei riitä) 184 päivää = 6 kk 4 pv Kasvanut ja alkuperäinen pääoma Kasvanut pääoma K = k + kit K = k (1+it) //:(1+it) Alkuperäinen pääoma k = K 1 it, missä K = kasvanut pääoma i = korko desimaalilukuja t = korkoaika murtolukuna 28

Esim. 5.8 20.5. tilille on talletettu 500. Paljonko sinne on lisäksi talletettava 5.9., jotta vuoden lopussa voitaisiin nostaa 1 500? Korko on 3 % ja lähdevero 30 %. 0,7 * 3 % = 2,1 % 220 500 * 0,021 * = 6,42 (500 euron korot vuoden lopussa) 360 1500 500 6,42 = 993,58 (lisätalletus vuoden lopussa) 993,58 986,96 1 0,021* 115 360 Esim. 5.9 Laskun maksuehto on 7 päivää 2 %, 14 päivää netto ja viivästyskorko 9,5 %. 3 500 euron lasku on päivätty 25.1.2009. a) Mikä on laskun eräpäivä? b) Paljonko täytyy maksaa, jos maksu tapahtuu vasta 9.3.2009? c) Minkä korkokannan mukaisen korkoedun laskun maksaja saa maksaessaan laskun viimeisenä käteisalennuspäivänä verrattuna eräpäivään? Laskujen viimeiset käteisalennuspäivät ja eräpäivät lasketaan kalenterin mukaan, mutta viivästyskoron korkopäivät korkolaskun mukaan. a) 25.1.2009 + 14 kalenteripäivää = 8.2.2009 b) korkoaika 8.2. 9.3. eli 31 päivää 31 3500 * 0,095* 28,63 360 3500 + 28,63 = 3528,63 c) Nyt vertaillaan laskun maksamista viimeisenä käteisalennuspäivänä 1.2. ja eräpäivänä 8.2. 0,02 * 3500 = 70,- (käteisalennus) 7 3430 * i * = 70 360 70*360 i = 1, 05 105 % 3430*7 29