Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0 + Δx) f(x 0 ) + f (x 0 )Δx Nyt tarkasteltavana on funktio f(x) = x, pisteen x 0 = 25 ympäristössä, jolloin f (x 0 ) = lineaarinen approksimaatio saadaan auki kirjoitettuna: f(25 + Δx) 25 + 2 25 Δx = 5 + Δx 0 2 x 0 ja Likiarvo luvulle 26: Nyt siis Δx = ja lineaarisella approksimaatiolla saadaan: 26 = f(26) 5 + 0 = 5, joka on hyvin lähellä tarkkaa arvoa 26 = 5,0990 Vastaavasti luvulle 33: Nyt Δx = 8 ja lineaarisella approksimaatiolla saadaan: 33 = f(33) 5 + 8 0 = 5,8 joka on edelleen melko lähellä tarkkaa arvoa 33 = 5,74456, mutta selvästikin approksimaation laatu on heikentynyt Δx:n kasvaessa.
2. Etsi funktion f(x) = x, x R ääriarvot. Ovatko ne minimejä vai maksimeja? Ratkaisu: Funktiolle löytyy maksimi pisteessä x = 2. x 2 Halutaan siis tutkia funktion käyttäytymistä sen ääriarvoissa. Funktion ääriarvoja voi löytyä. Derivaatan nollakohdissa, 2. Määrittelyalueen reunoissa ja 3. g(x)/h(x) -tapauksissa h(x):n nollakohdissa. ) Derivaatan nollakohdat Tarkastellaan ensin funktion derivaatan nollakohtia. Muistetaan tässä osamäärän derivoinnin kaava: ( ) f = f g fg g g 2. Nyt, derivoidaan funktiotamme: d dx f(x) = d ( ) x dx x 2 d dx = (x ) x2 ( d (x ) dx (x2 ) ) (x 2 ) 2 = x2 ((x ) 2x) x 4 = x2 2x 2 + 2x x 4 x( x + 2) = x 4 = 2 x x 3. Missä derivaatan nollakohdat sijaitsevat? 2 x x 3 = 0 x = 2 Nollakohtia ja ääriarvopisteitä löytyi derivaatan nollakohtia tutkailemalla siis yksi, x = 2.
2) Määrittelyalueen reunat Huomataan, että funktiomme on määritelty kaikilla x R \ {0}. Tutkitaan määrittelemätöntä pistettä x = 0 seuraavassa kohdassa, ja tutkitaan nyt funktion käyttäytymistä, kun x ja x. Koska sekä osoittaja että nimittäjä ovat derivoituvia funktioita, käytetään l Hospitalin (LH) sääntöä raja-arvojen löytämiseksi: x lim x lim x x 2 x x 2 (LH) = lim x (LH) = lim x 2x = = 0 2x = = 0 Huomataan kuitenkin, että funktio saa esimerkiksi arvot f( ) = ( ) 2 = 2 < 0 ja f(2) = 2 2 2 = 4 > 0. Siis, funktio saa sekä suurempia että pienempiä arvoja kuin 0, joten määrittelyalueen rajoista ei löydy ääriarvopisteitä. 3) Nimittäjän nollakohdat Kuten aiemmin huomattiin, funktio f(x) ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa x = 0. Selvitetään tämän kohdan käyttäytymistä tutkimalla funktion kuvaajaa. Kuva : Funktion f(x) kuvaaja. Huomataan, että lähestyttäessä pistettä x = 0 kummalta tahansa puolelta, funktio lähenee negatiivista äärettömyyttä (sitä kuitenkaan saavuttamatta). Tällä perusteella voidaan todeta, että funktiolla ei ole myöskään määrittelemättömässä pisteessä ääriarvoa. Tarkemmin, funktiolla ei ole globaalia minimiä, mutta sopivalla rajoitusvälillä funktiolta voisi löytyä lokaaleja minimikohtia. 2
Löysimme siis funktiolle yhden ääriarvon, pisteessä x = 2. Miten saamme nyt selvitettyä onko kyseinen arvo maksimi vai minimi? Tähän löytyy muutamia eri tapoja: Tapa : Kuvaajan tarkasteleminen Edellisellä sivulla etsimme funktion f(x) kuvaajan. Tätä tarkastelemalla voimme suoraan huomata, että löytämämme ääriarvopiste x = 2 on maksimikohta. Periaatteessa kuvatun alueen ulkopuolelta voisi jonkun funktion tapauksessa löytyä suuremman arvon saava piikki, mutta tämän perusteella voidaan sanoa, että funktiolla on pisteessä x = 2 lokaali maksimi f(2) = 4. Tapa 2: Ääriarvotesti (extremum test) Luentoprujuissa todettiin, että ääriarvon luonne voidaan selvittää tutkimalla funktion toista derivaattaa. Tarkemmin, jos f (x 0 ) < 0 on kyseessä maksimi, ja jos f (x 0 ) > 0 on kyseessä minimi. Jos tarkastelemme korkeampien potenssien funktioita, tämä yleistyy korkeampiin derivaattoihin. Tutkitaan kuitenkin nyt funktion f(x) toista derivaattaa löytämässämme ääriarvopisteessä x = 2: f(x) = x x 2 d dx f(x) = 2 x x 3 d 2 2x 6 f(x) = dx2 x 4 d 2 dx 2 f(2) = 2 2 6 (2) 4 = 8. Nyt, koska f (2) = 8 < 0, voidaan luentoprujujen perusteella sanoa, että kyseinen ääriarvo on maksimi. Tapa 3: Funktion arvojen tutkiminen Yksi tapa tutkia ääriarvon luonnetta on valita arvoja ääriarvopisteen molemmilta puolilta, ja tutkia funktion arvoja näissä pisteissä. Olkoon nyt tarkastelemamme pisteet esimerkiksi x = ja x = 3. Syöttämällä arvot funktioon (vertauskohtana ääriarvokohta x = 2), saadaan arvoja f(2) = 2 2 2 = 4 f() = 2 = 0 f(3) = 3 3 2 = 2 9 Nyt, koska f(2) > f() ja f(2) > f(3), huomataan että kyseessä on maksimi. 3
H3 Malliratkaisut - Tehtävä 3 Eelis Mielonen 9. syyskuuta 207 Tehtävässä annetaan hiukkasen sijainti ajanhetkellä t = 0 ja sen nopeus vektorimuodossa. Voimme muodostaa niistä vektoriyhtälön: r(t) = r 0 + vt Jossa r on hiukkasen sijainti kahdessa ulottuvuudessa. Tämän voi vielä kirjoittaa auki komponenttimuodossa: ( ) ( ) ( ) x(t) x0 vx = + t y(t) y 0 v y Nyt voimme vastata kysymykseen. Millä ajanhetkillä r(t) = (0, 0) tai (5, 5) (jos hiukkanen menee näiden pisteiden läpi)? Etsimme siis kahdelle yhtälöparille ratkaisuja annetuilla vektoreilla v ja r 0. Ensimmäinen niistä on: ( ) ( ) ( ) 5 3t 0 + = 5 t 0 jolle selvästi löytyy ratkaisu t = 5: ( 5 r(5) = 5 ) + ( ) 3 5 = 5 ( ) 0 0 joten hiukkanen ainakin menee pisteen (0, 0) läpi ajanhetkellä t = 5 (ratkaisun saa myös ratkaisemalla yllä-olevat yhtälöt yksi kerrallaan). Entäs se toinen piste? ( ) 5 + 5 ( ) 3t = t ( ) 5 5 kun hieman tuijotamme yllä olevaa yhtälöparia, huomaamme että se ei ikinä toteudu. Ajanhetkellä t = 0 hiukkasen sijainnin y komponentti on 5 kuten pitääkin, mutta sen x sijainti ei täsmää. Ajan kuluessa hiukkanen liikkuu positiivisen x akselin suuntaisesti mutta myös ylöspäin y n suuntaan. Piste (5, 5) ei siis voi kuulua hiukkasen rataan. Samat johtopäätökset voidaan tietenkin tehdä täysin geometrisesti, mutta tästä tulee hankalempaa kun ulottuvuuksia on enemmän kuin 2. Luota vektoreihin!
Tehtävä 4: Tehtävänannossa annettiin vektorit: a) A = (,, 0), B = (, 0, ), C = A + q B () Etsitään q:n arvo jolla vektorin C pituus saa miniminsä. Suorittamalla komponenttien yhteenlasku saadaan vektoriksi C = ( + q,, q). Vektorin C pituus on: C = ( + q) 2 + + 2 + q 2 = 2 + 2q + q 2 + 2 + q 2 = 2q 2 + 2q + 2. (2) Pituus saa pienimmän arvonsa kun neliöjuuren sisällä oleva lauseke saa pienimmän arvonsa. Etsitään q:n arvo jolla lauseke saa miniminsä etsimällä lausekkeen derivaatan nollakohta. d dq (2q2 + 2q + 2) = 4q + 2 (3) 4q + 2 = 0 (4) q = 2 (5) Vaihtoehtoisesti voidaan derivoida koko pituuden lauseketta: d C dq = 2 (4q + 2). (6) 2q 2 + 2q + 2 Nähdään että derivaatan nollakohta on edelleen q = 2. Mutta onko derivaatan nollakohta minimi vai maksimi? Koska 2q 2 + 2q + 2 on ylöspäin aukeava paraabeli, on derivaatan nollakohdan pakko olla minimi. Voidaan myös laskea toinen derivaatta. d 2 dq 2 (2q2 + 2q + 2) = 4. (7) Koska toinen derivaatta on positiivinen on derivaatan nollakohta minimi. b) Etsitään vektorin A 2 B suuntainen yksikkövektori. Käytetään merkintää u = A 2 B. u = A 2 B = (,, 2). (8) Vektorin suuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori pituudellaan.
û = u u = (,, 2) = ( ) 2 + () 2 + ( 2) 2 Joten û = ( 6, 6, 2 6 ). (,, 2) 6. (9) 2
Tehtävä 5 a) Uudet kantavektorit ovat siis â = 2î + 2ĵ ja â 2 = 2î 2ĵ () Vektori ˆr = 8î + 4ĵ halutaan esittää muodossa ˆr = Qâ + W â 2, eli haluamme selvittää kertoimet Q ja W. Merkitään ˆr:n kaksi eri esitystapaa yhtä suuriksi 8î + 4ĵ = Qâ + W â 2 Sijoitetaan tähän yhtälön mukaiset uudet kantavektorit 8î + 4ĵ = Q(2î + 2ĵ) + W (2î 2ĵ) 8î + 4ĵ = 2Qî + 2Qĵ + 2W î 2W ĵ 8î + 4ĵ = (2Q + 2W )î + (2Q 2W )ĵ Yhtälö voi päteä vain jos î:n ja ĵ:n kertoimet ovat yhtä suuret. Saadaan siis yhtälöpari 8 = 2Q + 2W () 4 = 2Q 2W (2) Yhtälöstä () voidaan ratkaista Q Sijoitetaan tämä yhtälöön (2) 8 = 2Q + 2W 2Q = 8 2W Q = 4 W 4 = 2Q 2W 4 = 2(4 W ) 2W W = Sijoittamalla tämä takaisin Q:n yhtälöön saadaan Q = 4 Q = 3 Nyt voimme esittää ˆr:n uusien kantavektorien avulla ˆr = 3â + â 2
b) Vektori ˆR on muotoa ˆR = â â 2 Sijoitetaan tähän yhtälön mukaiset uudet kantavektorit Vastaus on siis ˆR = 2î + 2ĵ (2î 2ĵ) = 2î + 2ĵ 2î + 2ĵ = 4ĵ ˆR = 4ĵ 2
Tehtävä S Etsi yhtälön cos x = x ratkaisun likiarvo Newton-Raphson menetelmällä 3 desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu: Newton-Raphson menetelmä (tai monelle tutummin Newtonin menetelmä) on numeerinen menetelmä funktion nollakohtien likiarvojen löytämiseksi. Menetelmällä voidaan siis etsiä ratkaisua yhtalölle: f(x) = 0 () Menetelmä perustuu alkuarvaukseen x 0 funktion juuresta, ja arvausta tarkennetaan laskemalla sille uusi arvo: x = x 0 f(x 0) f (2) (x 0 ) Juuren arvoa voidaan edelleen tarkentaa iteraatioilla eli laskemalla edellisestä tuloksesta aina uusi arvo: x n+ = x n f(x n) f (3) (x n ) Ratkaistavana on nyt yhtälö cos x = x, jonka ratkaisut ovat funktion f(x) = cos x x nollakohtia. Funktion derivaatta on f (x) = sin x, joten uusi juuren arvo voidaan laskea: x n+ = x n + cos(x n) x n sin(x n ) + Alkuarvauksen tekemiseksi on useampi yhtä hyvä menetelmä. Yksi tapa on laskea funktiolle muutama arvo ja valita alkuarvaus väliltä, jolla funktion arvo vaihtaa merkkiä. Esimerkiksi f(0) = ja f(π/2) = π/2, joten sopiva alkuarvaus olisi jokin luku väliltä [0, π/2]. Toinen tapa on plotata tai hahmotella funktion kuvaajaa ja valita arvo silmämääräisesti kohdalta, jossa kuvaaja leikkaa x-akselin:
0 f(x) = cos(x) - x 5 f(x) 0-5 -0-0 -5 0 5 0 x Valitaan nyt alkuarvaukseksi x 0 = : x = + cos() sin() + 0,75036 cos(0,75036) 0,75036 x 2 = 0,75036 + 0,739 sin(0,75036) + cos(0,739) 0,739 x 3 = 0,739 + 0,73909 sin(0,739) + Tulos haluttiin kolmen desimaalin tarkkuudella, joten iteraatioita on suoritettu riittävästi, kun kahden peräkkäisen tuloksen kolme ensimmäistä desimaalia ovat samat. Vastaus on siis x 0,739. 2
Mapu I Laskuharjoitus 3, tehtävä s2 Erään xy-tason suljetun käyrän määrittelee yhtälö F (x, y) = x 2 xy + y 2 = 3 Ota yhtälöstä implisiittinen derivaatta ja ratkaise missä pisteissä käyrän tangentti on vaakasuora? Ratkaisu: Ajatellaan y(x):n funktiona Derivoidaan funktio x:n suhteen: F (x, y) = x 2 xy(x) + y(x) 2 = 3 d dx xy(x) = y(x) + xy (x) (Tulon derivoimissääntö!) d dx y(x)2 = 2y(x) y (x) (Yhdistetyn funktion ketjusääntö!) Jolloin saadaan: F (x, y) = 2x y(x) xy (x) + 2y(x) y (x) Tästä voidaan ratkaista y (x) y (x)(2y(x) x) = y(x) 2x y y(x) 2x (x) = 2y(x) x Lähdetään tutkimaan tilannetta, jossa y (x) = 0 Riittää että tarkastellaan osoittajaa, sillä nimittäjä ei saa olla nolla. Nyt saadaan, että y(x) 2x = 0 y(x) = 2x Sijoitetaan tämä alkuperäiseen lausekkeeseen x 2 2x 2 + 4x 2 = 3 3x 2 3 = 0 Saadaan x= tai -, jolloin y= 2 tai -2. Vastaus: pisteissä (,2) ja (-,-2)