6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu samalla suoralla perääin olevista sauvoista, uten uvassa on esitetty. Asiaalisella raenteella ei ole äytännössä suurta sovellusarvoa, mutta elementtimenetelmän teoria on tässä tapausessa ysinertaisimmillaan, joten sitä annattaa äsitellä ensimmäisesi. ASIAALINEN ELEMENTTI JA SEN JÄYYYSMATRIISI uvan veto/puristussauvan uormitusen f ja pituudenmuutosen u välinen yhteys on tunnetusti L, E, A u f EA f u () L missä L on sauvan lepopituus, A poiileiausen uva. Sauvan jäyyys. ala ja E immomoduuli. Veto/puristussauva voidaan siis tulita jousesi, jona jäyyysvaio on EA/L. un vetopuristussauva on raenteen osana eli elementtiveron yhtenä elementtinä, voivat sen molemmat päät siirtyä, uten uvassa on esitetty. Yleistetään seuraavasi jäyyyden äsite osemaan myös tätä tilannetta. Elementin asiaalisesta tasapainosta seuraa yhtälö f f () e u L, E, A f f uva. Sauvaelementti. u Toisaalta sauvan pituuden muutoselle on voimassa f L f L u u EA () josta seuraa tulos f + u u () aavojen () ja () perusteella on siis voimassa
6/ f f u u u + u f f u u (5) tai lyhyemmin irjoitettuna {} f [ ]{ u} jossa { f } { f f } on elementin solmuvoimavetori ja { } { u u } u sen solmusiirtymävetori seä (6) EA [ ] L (7) asiaalisen sauvaelementin jäyyysmatriisi. Solmuvoimavetorin omponenteista saadaan normaalivoima elementin päissä, sillä f N ja f N. Normaalivoimaa ei annata suoraan äyttää solmusuureena, sillä systemaattiseen äsittelyyn pääsemisesi elementtimenetelmässä on järevintä valita aiien suureiden positiivinen suunta samalla tavalla, jolloin tässä oiealle oleva solmuvoima on positiivinen ummassain solmussa. Elementtimenetelmässä on elementin jäyyysmatriisin tunteminen aivan eseinen asia, joten jäyyysmatriisien määrityseen tarvitaan mahdollisimman tehoaita menetelmiä. Edellä tultiin toimeen peruslujuusopilla, mutta se ei aina riitä. Muutaman erran voidaan hyö- uvassa on esitetty asiaaliselle sauvaelementille ysinertaistettu solmumittauspiirros, y jolloin elementti on piirretty lepotilannetta vastaavaan asemaan. uvaan on meritty solmut e x ja, jota ovat elementin alusolmu ja loppusolmu. Ne määräävät myös elementin paiallisoordinaatiston eli loaalioordinaatiston L, E, A siten, että origo on solmussa, x-aseli suunnassa - ja y-aseli oieaätisesti ylöspäin. uva. Asiaalinen elementti. Lisäsi uvaan on meritty nuolisymboleilla solmumittauseen äytetyt suureet eli elementin vapausasteet. Ne ilmaisevat solmumittauseen äytetyt voima- ja siirtymäsuureet seä näiden positiiviset suunnat. Edellä johdetut sauvaelementin solmuvoimavetori, solmusiirtymävetori ja jäyyysmatriisi liittyvät juuri uvan solmumittausjärjestelmään. L, E, A Jos solmumittaus valitaan toisin, voivat yseiset suureetin muuttua. u u uva 5. Yössiirtymä.
6/ dyntää ns. yössiirtymämenetelmää, joten tutustutaan siihen tässä vaiheessa johtamalla uudestaan jäyyysmatriisin lausee (7). Oletetaan alusi, että elementille paotetaan u uvan 5 muaisesti. Tähän tarvitaan solmuvoimat, solmusiirtymävetorisi { } { } jota voidaan rataista elementin perusyhtälöstä (6). un meritään tuntemattomia jäyyysmatriisin alioita ij, i, j,, saadaan tulos f f (8) jona muaan tarvittava solmuvoimavetori on jäyyysmatriisin ensimmäinen sarae. uvan 5 perusteella on EA / L. Paottamalla solmusiirtymisi { u } { } saadaan jäyyysmatriisin toinen sarae tähän tarvittavista solmuvoimaomponenteista. Jäyyysmatriisilla (7) on aiille jäyyysmatriiseille tyypilliset ominaisuudet o jäyyysmatriisi on symmetrinen eli [ ] [ ] T o lävistäjäaliot ovat aidosti positiivisia eli ii >, i, o jos elementillä on sille annetuilla vapausasteilla jäyän appaleen liiemahdollisuusia, on jäyyysmatriisi singulaarinen, jolloin det [ ] ja siis [ ] olemassa. uvan elementin asiaalista jäyän appaleen liiettä vastaava tasapainoehto on f ei ole + f (9) uvan 5 perustella jäyyysmatriisin ensimmäinen sarae toteuttaa yhtälön (9). Vastaavasti nähdään, että myös jäyyysmatriisin toinen sarae toteuttaa sen. Jäyyysmatriisin symmetriasta seuraa, että myös sen vaaarivit toteuttavat jäyän appaleen liiemahdollisuutta vastaavan tasapainoyhtälön (9). Edellä esitetty on myös yleisesti voimassa, eli minä tahansa elementin jäyyysmatriisin rivit ja saraeet toteuttavat yseisen elementin jäyän appaleen liiemahdollisuusia vastaavat tasapainoehdot. SIJOITTELSMMAS Tarastellaan uvan 6 (a) muaista raennetta. uvassa 6 (b) on sen elementtivero. Elementtiveron uvaan on meritty solmujen vapausasteet. Verossa on olme elementtiä ja neljä solmua, joiden globaalit solmunumerot on meritty uvaan. Meritään elementtien jäyyysertoimia E A /L, i,,. uvan 6 (b) elementtiveron perusyhtälö on [ ]{ } { } i i i i () missä { } on elementtiveron solmusiirtymävetori ja { } solmuuormitusvetori seä [ ] näitä vastaava elementtiveron jäyyysmatriisi. osa elementtiverolla on neljä vapausastetta, on yhtälö () aui irjoitettuna muotoa
6/ (a) L, A, E L, A, E L, A, E (b) uva 6. Asiaalinen raenne ja sen elementtivero. () Elementtiveron jäyyysmatriisin [ ] määrityseen ei vielä ole yössiirtymämenetelmää tehoaampaa einoa, joten äytetään sitä matriisin [ ] määrityseen. uvassa 7 on raenteelle paotettu siirtymävetori { } { }, jolloin tähän tarvittava solmuuormitusvetori on { } { }. osa solmut, ja eivät liiu, pysyvät elementtien ja pituudet ennallaan, joten niiden normaalivoimat ovat nollia. Tästä seuraa, että tuireatiot ja ovat nollia. Lisäsi on ja tasapainon perusteella. Jäyyysmatriisin [ ] ensimmäinen sarae on siis { }. uva 7. Yössiirtymä { } { }, johon tarvitaan solmuuormi-. osa elementin pituus ei muutu, on sen nor- uvassa 8 raenteella on siirtymävetori { } { } tusvetori { } { }. maalivoima nolla, mistä seuraa, että. uvan 8 (b) perusteella on +, ja, joten jäyyysmatriisin [ ] toinen sarae on
6/5 (a) Solmu (b) { + } ovat { + } ja { }. Jäyyysmatriisisi [ ] uva 8. Yössiirtymä { } { }.. Samalla periaatteella saadaan olmas ja neljäs sarae ja ne tulee siis [ ] + + () Jäyyysmatriisissa () näyy selvästi unin elementin, ja vaiutuset globaalisolmunumeroidensa muaisilla alueilla. Tulos on tulittavissa elementtien jäyyysmatriisien sijoittelusummausesi. Tämä taroittaa sitä, että unin elementin jäyyysmatriisin aliot sijoitetaan oonaisjäyyysmatriisiin [ ] elementin globaalisolmunumeroiden muaisiin paioihin lasien samaan paiaan tulevat aliot yhteen. Globaalinumerot Loaalinumerot [ ] Globaalinumerot uva 9. Jäyyysmatriisin [ ] sijoittelusummaus. Esimerisi elementin jäyyysmatriisin aliot sijoittelusummataan oonaisjäyyysmatriisiin [ ] uvan 9 muaisesti. un elementin jäyyysmatriisi on irjoitettu, globaalinume-
6/6 rot meritään sen ala- ja oiealle puolelle uvassa 9 esitetyllä tavalla. Silloin unin alion osoite oonaisjäyyysmatriisissa on välittömästi nähtävissä, vaaarivin numero alion ohdalta oiealta ja pystyrivin numero alion ohdalta alhaalta. Sijoittelusummausta voidaan soveltaa yleisesti aien tyyppisille elementeille veron jäyyysmatriisia muodostettaessa. Soveltamisen edellytysenä on uitenin, että elementin loaalin ja elementtiveron globaalin solmumittausien suunnat ovat samat. Jos näin ei ole, on elementin jäyyysmatriisiin sovellettava vielä oordinaatiston iertoa. Sijoittelusummausen symbolina äytetään merintää " ", joten lausee M [ ] " " [ ] e e () taroittaa sitä, että elementtiveron jäyyysmatriisi muodostetaan sijoittelusummaamalla M appaletta elementtien jäyyysmatriiseja. Tulosesta () näyy, että saatu jäyyysmatriisi on symmetrinen ja sen päälävistäjäaliot ovat positiivisia. Matriisi [ ] on lisäsi singulaarinen, sillä uvan 6 (b) solmumittausjärjestelmään sisältyy asiaalinen jäyän appaleen liiemahdollisuus, jota vastaava tasapainoyhtälö on + + + () Matriisin () saraeet ja rivit toteuttavat tämän yhtälön. Elementtiveron perusyhtälössä () on oiealla puolella solmuuormitusvetori { }, joa sisältää solmuihin vaiuttavat uormituset ja tuntemattomat tuireatiot. Tässä tapausessa on uvan 6 (a) perusteella { } { } (5) missä ja tunnetaan tuiomponentit ja. Ne ovat nollia, jos tuet ovat siirtymättömiä tai annetun suuruisia paosiirtymiä eli inemaattisia uormitusia. Perusyhtälö () on siis aui irjoitettuna ovat tuntemattomia tuireatioita. Solmusiirtymävetorista { } + + (6) Yhtälössä (6) on solmusiirtymä- ja solmuuormitusvetorissa tunnetut omponentit lihavoitu. Ryhmää (6) ei voi rataista ääntämällä erroinmatriisi, sillä se on singulaarinen. Lisäsi tuntemattomia esiintyy myös yhtälöryhmän oiealla puolella. Rataisu saadaan esimerisi niin, että otetaan ryhmästä (6) vapaita solmusiirtymiä ja vastaavat yhtälöt, jolloin saadaan yhtälöpari
6/7 + ( + ( + + ) ) (7) eli matriisimuodossa irjoitettuna + + + + (8) joa voidaan rataista ääntämällä erroinmatriisi. un ja on rataistu, saadaan tuireatiot ja ryhmän (6) ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä eli + (9) Edellä esitetty jäyyysyhtälön rataisumenetelmä on tehoton ja hanala ohjelmoida, joten ohjelmistoissa se on orvattu tehoaammilla menetelmillä. VAPAAT SOLMSIIRTYMÄT VERON VAPASASTEINA Vaia elementtimenetelmää ei varsinaisesti ole ajateltuaan äsilasumenetelmäsi, on teorian havainnollistamisesi syytä äsitellä pieniä malleja myös ilman tietoonetta. Tuisiirtymien ollessa nollia voidaan lasentatyötä jonin verran vähentää jättämällä tuivapausasteet lasennan aluvaiheessa pois elementtiveron solmumittausesta, jolloin sijoittelusummaus johtaa suoraan vapaiden solmusiirtymien yhtälöryhmään. Tuntemattomat tuireatiot voidaan siirtymien rataisemisen jäleen lasea elementin perusyhtälön avulla. uva. Vapaat solmusiirtymät. uvassa on esitetty edellä tarasteltu asiaalisen raenteen elementtivero, jossa solmusiirtymät solmuissa ja on varustettu vapausastenumeroilla ja seä iinteisi oletetuissa tuisolmuissa ja on yhteinen vapausastenumero merinä siitä, että nämä vapausasteet jätetään aluvaiheessa lasennasta pois. Tuivapausasteiden pois jättäminen pienentää tässä tapausessa ahdella veron jäyyysmatriisin ja solmusiirtymäja solmuuormitusvetorin dimensioita. uvan veron jäyyysyhtälö voidaan muodostaa tavanomaisesti sijoittelusummausella elementtien jäyyysmatriiseista jättäen uitenin huomioonottamatta ne aliot, joiden osoitteessa esiintyy vapausastenumero. Muo-
6/8 dostetaan alusi elementtien jäyyysmatriisit ja varustetaan ne alioiden osoitenumeroilla, jolloin saadaan tulosesi seuraavat matriisit [ ] [ ] [ ] () Elementtien jäyyysmatriiseissa on sijoittelusummauseen osallistuvat aliot lihavoitu. un sijoittelusummaus suoritetaan näillä alioilla, saadaan elementtiveron perusyhtälösi + + () josta näyy, että yhtälöön (8) päästään tällä teniialla suoraan (huomaa merintäero vapausastenumeroinnissa). Yhtälöön (8) päästään myös, un ryhmästä (6) pyyhitään pois tuettuja solmumittausia ja vastaavat rivit ja saraeet. orostetaan vielä, että pelien vapaiden solmusiirtymien äyttö vapausasteina onnistuu vain, un tuisiirtymät ovat nollia. Nollasta poieavien inemaattisten uormitusten äsittely edellyttää niihin liittyvien vapausasteiden ottamista muaan solmumittauseen. A EA EA 7 5 L L A N 8 N mm mm mm A mm A mm E GPa A ESIMERI ES6E Tarastellaan uvan muaista ahden pistevoiman uormittamaa raennetta. Elementtiverossa on olme elementtiä ja neljä solmua, joissa on ysi vapausaste. Solmuissa mitattavat suureet ovat vaaasuuntainen siirtymä ja voima, joiden positiivinen suunta on oiealle. Lasuissa äytetään ysiöitä N ja mm, mutta laatuja ei tulosia luuun ottamatta meritä näyviin. Elementtien jäyyysvaiot ja jäyyysmatriisit ovat [ ] 7 7 7 7 [ ] 5 5 5 5 [ ] 7 7 7 7
Elementtiveron perusyhtälösi [ ]{ } { } 6/9 tulee sijoittelusummausella seä ottamalla huomioon siirtymien reunaehdot seä uormituset 7 7 7 75 5 5 75 7 7 7 8 Tuntemattomat solmusiirtymät ja saadaan rataistua jäyyysyhtälöryhmän toisesta ja olmannesta yhtälöstä, jota ovat 75 5 5 + 75 8 Edellä olevan yhtälöparin rataisu on,69mm,7857mm Tuntemattomien tuireatioiden arvot ja selviävät nyt jäyyysyhtälön ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä, joista seuraa tuloset 7,5N 7,5N Raenteen vapaaappaleuvasta nähdään asiaalisen voimatasapainon toteutuvan saaduilla tuireatioiden arvoilla.,5 N N 8 N,5 N Rataistaan seuraavasi elementtien solmuvoimavetorit äyttämällä elementin perusyhtä- f u. Tulosesi saadaan vetorit löä { } [ ]{ } f f 7 7 7,5 N 7,69,5 f f 5 5 5,69 6,75 N 5,7857 6,75
6/ f f 7 7 7,7857,5 N 7,5 Seuraavassa uvassa ovat elementtien ja solmujen vapaaappaleuvat, joista voidaan todeta aiien solmujen ja elementtien olevan tasapainossa. 6,75 6,75,5,5,5,5,5,5,5 6,75 6,75,5,5,5 8 Elementtien vapaaappaleuvien perusteella saadaan oheinen normaalivoimauva.,5 N + - 6,75 N,5 N Tarastellaan toisena uormitustapausena tilannetta, jossa pistevoimien sijasta uormitusena on vasemmanpuoleisen tuen siirtymä δ mm vasemmalle. Elementtiveron perusyhtälössä [ ]{ } { } jäyyysmatriisi [ ] riippuu raenteen geometriasta ja siinä olevien materiaalien ominaisuusista, mutta ei sisällä mitään tietoja tuennasta tai uormitusista. Saman raenteen eri uormitustapausia voidaan siis äsitellä saman jäyyysmatriisin avulla. ineettiset uormituset sijoittuvat solmuuormitusvetoriin { } ja inemaattiset uormituset solmusiirtymävetoriin { }. Elementtiveron perusyhtälö on tässä tapausessa + 7 7 7 75 5 5 75 7 7 7 jona toisesta ja olmannesta yhtälöstä saadaan tuntemattomien solmusiirtymien ja rataisemiseen yhtälöpari 7 ( ) + 75 5 + 75 5,65mm,75 mm Perusyhtälön ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä voidaan lasea tuireatiot
6/ 7 ( ) 7 6,5 N 7 6,5 N On ilmeistä, että tähän uormitustapauseen liittyvät muut lasut voidaan tehdä ensimmäisen uormitustapausen yhteydessä esitetyllä tavalla, joten ei jateta tämän tapausen tutimista pitemmälle. HARJOITS ES6H Muodosta uvan muaisen tasapasun asiaalisen raenteen elementtiveron jäyyysmatriisi sijoittelusummausella. irjoita vastaava elementtiveron perusyhtälö ja rataise se. Raenteen poiileiausen pinta-ala on A mm ja materiaalin immomoduuli on E GPa. Rataise elementtien 5 N N perusyhtälöistä solmuvoimavetorit ja piirrä 5 mm 5 mm raenteen normaalivoimauva. Vast. (5 / )mm ( / )mm 5N Vihjeet: HARJOITS ES6H A A B C D L L uvan raenne oostuu sauvoista BC ja CD. Sauvan CD poiipinta-ala on asinertainen sauvan BC poiipinta-alaan verrattuna. Sauvoilla on sama pituus L ja immomoduuli E. uormitusena on tuen D siirtyminen määrällä oiealle. Määritä asiaalista sauvaelementtiä äyttäen ohdan C vaaasiirtymä, tuireatiot ohdissa B ja D seä sauvojen normaalijännityset. Vast. E A L E A L Vihjeet: