Sirontaluento 8 3-D, Säteilynkulkua. Monte Carlo. Karkeat pinnat. Keskiviikko 16.3.2011, kello 10-12
Sisältöä 1. karkeat pinnat gaussinen pinta, bivariantti jakauma kallistusjakauma ehdollinen kallistusjakauma säteen tulokulmariippuvuudella etenemistodennäköisyyden lauseke säteilynkulkuyhtälö satunnaispinnan sironnalle (karkea) ensimmäinen ja toinen kulmariippuvuusapproksimaatio generoivat menetelmät tarkempi kulmariippuvuus ja oppositiomallinnus 2. satunnaiskappale formulaatiot pallolle ja ellipsoidille jray.
Karkeat pinnat, Gaussinen jakauma Gaussinen (normaalijakautunut) pinta z(x, y): f (z) = 1 2πσ e (z Z) 2 /2σ 2 missä Z on keskipinta ja σ keskihajonta. Sovitaan yksinkertaisuuden vuoksi toistaiseksi, että Z = 0, mutta helppo aina siirtää haluttuun korkeuteen. Määritetään vielä kertymä F (z) = z dz f (z ) Gaussinen korkeusjakauma yleensä varsin hyvin toimiva useimmissa sovellutuksissa, ei ensimmäinen korjattava asia (muuta tekemistä riittää kyllä tarpeeksi).
Bivariantti jakauma Kahdelle mielivaltaiselle pisteelle z 1 = z(x 1, y 1 ) ja z 2 = z(x 2, y 2 ): f 2 (z 1, z 2 )dz 1 dz 2 = dz 1 dz 2 2πσ 2 1 C 2 e [z2 1 +z2 2 2Cz 1 z 2 ]/2σ2 (1 C 2), missä C on pinnan autokorrelaatiofunktio. Mielellään oletetaan, että C = C(s), missä s = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. (tässä jo mennään heti heikoille, mutta kelpaa opetukseen.)
Autokorrelaatiofunktiosta Pinnan muoto ja karkeus määräytyy korkeusjakauman lisäksi pitkälti autokorrelaatiofunktiosta. Jos lähes joka pinnan korkeus gaussisesti jakautuukin, niin mitään yhtä yleistä ei voi korrelaatiofunktiosta sanoa. Triviaaliominaisuuksia C(0) = 1 1 C 1 lisäksi usein ainakin malleissa C (0) = 0 Luonnonpinnoille tyypillistä myös laaja moniskaalaisuus submm superkm.
Autokorrelaatiofunktioita Helpoin (ja huonoin) oletus autokorrelaation muodolle on gaussinen C(s) = e s2 /2l 2 c, joka on aivan liian yksiskaalainen juuri mihinkään. Pidemmillä etäisyyksillä parempia ovat exponentiaali C(s) = e s/lc, tai varsinkin erilaiset potenssilait (power law) C(s) (s/l c ) u, joissa pitää yleensä pienet arvot käsitellä eri tavoilla. Lopullinen ratkaisu on vielä löytämättä, hyviä ideoita otetaan vastaan!
Kallistusjakauma Määritetään pinnan kaltevuus t x = (z 2 z 1 )/(x 2 x 1 ) ja t y = (z 2 z 1 )/(y 2 y 1 ), jolloin t = tx 2 + ty 2. Tarkastellaan aluksi x-suuntaista karkeutta. Olkoon z = 1 2 (z 1 + z 2 ), jolloin z 1 = z + 1 2 t x(x 2 x 1 ) ja z 2 = z 1 2 t x(x 2 x 1 ). Sijoitetaan bivarianttiyhtälöön: f 2 (z 1, z 2 )dz 1 dz 2 = dz 1 dz 2 2πσ 2 1 C 2 e [z2 1 +z2 2 +2Cz 1 z 2 ]/2σ2 (1 C 2), e [(z+ 1 2 tx (x 2 x 1 )) 2 +(z 1 2 tx (x 2 x 1 )) 2 +2C(z+ 1 2 tx (x 2 x 1 ))(z 1 2 tx (x 2 x 1 ))]/2σ 2 (1 C ja järjestellään e [z2 (2 2C)+t 2 x (x 2 x 1 ) 2 ]/2σ 2 (1 C 2 )
e [z2 (2 2C)+t 2 x (x 2 x 1 ) 2 ]/2σ 2 (1 C 2 ) Tarkastellaan rajaa x 2 x 1. Kehitetään C(s) 1 1 2 C s 2. e [z2 (2 2+C s 2 )+t 2 x (x 2 x 1 ) 2 ]/2σ 2 (1 1+C 2 s 2 ) e z2 /2σ 2 +t 2 x /2σ2 C Nyt, kun määritellään vielä σ 2 C = ρ 2, niin saamme: f 2 (z, t x ) = f (z; σ)f (t x ; ρ), ja jos lasketaan t y kin mukaan, niin f 3 (z, t x, t y ) = f (z; σ)f (t x ; ρ)f (t y ; ρ). Tässä siis kulma ja korkeus separoituvat erillisiksi riippumattomiksi jakaumiksi, ja erityisesti kaikki noudattavat Gaussista jakaumaa.
Ehdollinen kallistusjakauma Oletaan, että valonsäde on jo osunut pintaan kohdassa x, y, z zeniitti kulmassa ι. Tällöin tiedämme ainakin, että tulovektorin tasossa tangentti voi saada arvoja vain välillä [ cot ι, ], jolloin ehdollinen jakauma normalisoituisi f (t x cot ι) = f (t x )/F (cot ι). Tähän tulee kuitenkin vielä lisää...
Karkean pinnan säteilynkulkuongelmasta Satunnaispinnan [moni]sirontaongelma voidaan käsitellä myös säteilynkulkuyhtälön avulla ˆ di(z, µ)dz = β(z, µ)i(z, µ)+ dµ 0 dφp(µ, µ 0, φ)β(z, Ω)I(z, µ ), missä nyt täytyy määrärätä törmäystodennäköisyys β ja pintaelementin sironta P.
Sironta pintaelementistä Olkoon meillä kallistuva pintaelementti, jolla heijastusfunktio R e (µ, µ 0, φ ). Huomattava, että globaalit (µ, µ 0, φ) ja lokaalit (µ, µ 0, φ ) koordinaatit nyt eri (vaihekulma α on kyllä vakio). Sironta saadaan integraalista kaikkien sallittujen kallistusten yli: P(µ, µ 0, φ) = ˆ µ,µ 0 >0 f (t x )f (t y ) dt x dt y R e (µ, µ Q(µ 0 ) 0, φ )µ 0 1 + tx 2 + ty 2 missä Q ehdollisen jakauman normalisointitekijä ja loppuosa tulee pintaelementtien todellisen koon ja säteen näkemän projektion suhteista. (Eri lähteissä vähän erinäköisiä kaavoja, ja joka kerta laskettaessakin tulee eri tulos)
Törmäystodennäköisyyksistä Olkoon säde matkalla x-akselin suuntaisesti zeniittikulmalla θ. Todennäköisyys, että säde törmää pintaan matkalla dx on sama, että pinta on säteen yläpuolella matkan dx päästä, kun se oli alapuolella ennen. βdl = ˆz dz 1 ˆ z+cot θdx kulmakoordinaattiin muutettuna ˆ = dtf (t) ˆ z+dx cot θ z dxt x dz 2 f (z 1, z 2 )/F (z) dz 1 f (z 1)/F (z), rajalla dx 0 (dl = dx cos θ), ˆ = dtf (t)dl(sin θt x + cos θ)f (z)/f (z)
... ˆ = dtf (t)dl(sin θt x + cos θ)f (z)/f (z) josta integroimalla missä β = f (z)/f (z)q(cot θ) Q(ξ) = ρ? f (ξ)/ξ F (ξ) Jo tutun kumulanttiharjoitelman avulla voimme osoittaa, että tämä approksimaatio toimii hyvin karkeuksille, jotka ovat paljon keskimääräistä vapaata matkaa pienempiä. Eli oikeasti ei pitäisi toimia juuri missään, mutta antaa kuitenkin usein juuri ja juuri riittävän korjauksen
Karkean pinnan säteilynkulkuyhtälö Voimme siis kirjoittaa säteilynkulkuyhtälön karkealle pinnalle ˆ di (τ, µ)/dτ = Q(µ)I (τ, µ) + dµ dφ P(m, m 0 )QI (τ, µ ), missä τ = ln(f (z)). Tämäkin voidaan ratkaista esim. adding - menetelmällä Tämä sopii karkeisiin laskuihin, mutta oleellisena puutteena oppositio.
Yksinkertainen sironta, riippuvat etenemiset Katsotaan yksinkertaista sirontaa hieman tarkemmin. Voidaan kirjoittaa ratkaisu ˆ R 1 (µ, µ 0, φ) = ˆ d z f (z) dt x dt y f (t x )f (t y ) R e (µ, µ 0, φ )w(µ, µ 0, φ, z) µ µ 0 1 + tx µµ 2 + ty 2, 0 missä w on todennäköisyys, että pintaelementti on valaistu ja näkyvä. Kun ylläesitetyn säteilynkulkumallin mukaan w ei riipu t:stä (tosi uskottavaa?) ja kallistus z:stä, saadaan ˆ R 1 (µ, µ 0, φ) = ( d z f (z)w(µ, µ 0, φ, z)) tai ˆ ( dt x dt y f (t x )f (t y )R e (µ, µ 0, φ ) µ µ 0 µµ 0 1 + t 2 x + t 2 y ). R 1 (µ, µ 0, φ) = W R missä W on integroitu varjostusfunktio ja
atsimuuttiriippuvuus Kun säteet ovat riippumattomia voidaan W :lle ratkaista W = 1 1 + Q(µ) + Q(µ 0 ), (Älkää vielä uskoko liikaa) Tulo- ja lähtösätellä on kuitenkin ilmeinen riippuvuus. Kun säteet kulkevat päällekkäin, varmaankin pätee Näiden välillä sitten? W = 1 1 + Q(min(ι, ɛ)).
atsimuuttiriippuvuus 2 Erilaisia semiempiirisiä korjauksia on tehty historiassa monia. Viimekädessä parhaaksi on iteroitunut simulaatioiden jäljiltä W = (1 s) min(v, V 0 ) + svv 0, missä s = sin(φ/2), V = 1/(1 + Q) ja V 0 = 1/(1 + Q 0 ). Lausekkeen muodossa ei enää sen syvällisempää fysiikkaa ole, eri termejä on korjailtu sinne tänne, kunnes saatu sopimaan simulaatiodataan. (tarkista ennen käyttöä, onko Q tai kulmat tässä toisin määritelty) Eikä ole takeita, että sopisi siltikään toisentyyppisiin pintoihin. Huomioitava, ettei tämä näytä ääriatsimuuteillakaan riippumattomalta (vrt. edellisen sivun kaava!).
... Jo pienellä pohdinnalla ymmärtää, että ainakin sirontakohdan ympärillä on pakko olla riippuvuus tulo- ja lähtösäteen välillä kaikissa suunnissa. Ja ehkä tuo varjostuksen ja pintaelementin kallistuksen riippumattomuus on hieman kyseenalaista. Koska varjostukset kuitenkin ylipäänsä koskevat vain suuria zeniittikulmia, niin useimmissa sovellutuksissa pärjätään näillä. Voisi yhden korjaustekijän vielä laittaa panemalla varjostuslaskussa kulmajakauman riipuvaksi sirontakohdasta ja laskemalla toisen kumulantin numeerisesti, mutta parannus on rajallinen.
Monte Carlo ratkaisut Koska perussäteilynkulkumenetelmä yleistyy huonosti korkeampiin korjauksiin, ja luonnonpinnat ovat oikeasti vielä paljon monimutkaisempia, niin tarkempiin laskuihin ei oikeastaan muuta menetelmää, kuin Monte Carlo simulaatiot satunnaispintoja generoimalla ja sitten säteitä seurailemalla. Kuten todettua, yksinkertainen sironta yleensä dominoivaa. Pinnan karkeudesta ja tummuudesta riippuen moninkertainen voidaan joko kokonaan unohtaa, tai laskea alhaisimmat kertaluvut tarkoituksenmukaisella tarkkuudella.
1. kertaluku Generoi pinta pisteittäin kullakin atsimuutilla erikseen tulo- ja lähtösäteen alta, ja laske normaali sirontakohdassa. Multivariaattijakauma f (z) = 1 (2π) N/2 Det(Σ) e 1 2 zσ 1z, missä Σ on korrelaatiomatriisi, Σ ij = C(s ij ). NAG, MATLAB, yms. kirjastoissa valmiit multivariaattigaussiset generaattorit. Yleensä noin 100 pistettä riittää hyvin, halutessa tiheämmässä sirontakohdan lähellä. Lievästi aliarvioi varjostusta. Tarkista pistetiheyttä muuttamalla, onko oleellista.
Laskuaika riippuu pisteiden määrästä, joten kannattaa optimoida. Huomaa, että generaattori ensin kolmioi korrelaatiomatriisin, sitten luo pisteet, ja useamman pistejoukon luominen tapahtuu pienellä lisävaivalla. Sitten tarvitsee hakea alin kulma, jolla säde pääsee kulkemaan. Sopivalla järjestyksellä tätäkin voi optimoida (ei yleensä kriittisin). Menetelmä on tehokas, koska mitään ylimääräistä ei generoida, (vai generoidaanko, mitä voisi vielä optimoida?).
2. kertaluvut Koska nyt säteen kulkua ei voi etukäteen määrätä, pisteittäinen täsmägenerointi on tehoton. Fourier-muunnoksen kautta voi myös. z(x, y) = kl a kl e i2πz(k+l)/l, missä L on joku valittu laatikon koko. Tämän kun sijoittaa multivariaattijakaumaan 1 f (z) = (2π) N/2 Det(Σ) e 1 2 zσ 1z, josta puljaamalla saamme jakauman kertoimille ja lopulta f (a) e 1 2 ij f (a) = kl a kl e i2πz i (k+l)/l (Σ 1 ) ij kl a kl e i2πz j (k+l)/l, 1 (2π) N/2 Det(Γ) e 1 2 aγ 1a, missä vielä symmetrisessä ainessa Γ diagonalisoituu ja Γ ii C ii eli
Moninkertainen sironta voidaan nyt laskea generoidussa pinnassa perusmontecarlolla. Fourier-muuntamalla yhden skaalan pinta on nopea generoida, ja saadaan jatkuva kaikkialla määritetty. Kun skaaloja on monta, tarvittava kehityskertaluku kasvaa huomattavan suureksi ja lasku tulee raskaaksi. Kannattaa pohtia vaihtoehtoja, esim. suuri skaala Fourier-generoinnilla, pieni skaala jollakin lähimenetelmällä tai etenemistodennäköisyysmallilla.
Karkea hiukkanen Sama menetelmä yleistyy suurten karkeiden hiukkasten käsittelyyn. Oletetaan, että säteen logaritmi ln r noudattaa normaalijakaumaa, eli säde log-normaalijakaumaa f l (r)dr = dr r 2π ln(1 + ς 2 ) e (ln(r/b)+ 1 2 ln(1+ς2 )) 2 /2 ln(1+ς 2 ) missä b on keskisäde ja ς suhteellinen standardipoikkeama. Pinnan kaltevuus noudattaa edelleen tavallista normaalijakaumaa, jos vain voidaan olettaa kulmariippuva korrelaatiofunktio C 1 1 ɛ 2 2 pienillä kulmilla ɛ. η 2 Kallistuksen standardipoikkeamaksi tulee silloin ρ = 2ς/η 1 + ς 2.
Sirontakertoimeksi ulkoa samme myös, kuten edellä β(r, k) = f l(r) F l (r) (ρ2 f (cot ψ) + cot ψf (cot ψ)) sin ψ, missä ψ = ˆr k on valonsäteen ja pallosäteen välinen kulma. Sisällä vastaavasti β(r, k) = f l(r) 1 F l (r) (ρ2 f (cot ψ) cot ψf ( cot ψ)) sin ψ,
Algoritmi 1. ammu säde 2. etene b + 3ς ulkopallon sisään 3. laske numerisesti portaittain etenemistä, olettaen lokaali tasogeometria 4. osumakohdassa arvo pinnan normaali 5. laske taipumissuunta Snellin lailla 6. laske Fresnelin kertoimilla heijastus/transmissiosuhde, valitse tämän avulla satunnaisesti jompikumpi 7. laske normalisoidulla Fresnelin matriisilla (T/T 11 ) polarisaatiomuutokset (muista kierrot) 8. jatka seuraavaan suuntaan, kunnes ulkona aineesta
Parannuksia Oleta keskimuodoksi ellipsoidi pallon sisään. Vielä lähes yhtä yksinkertaiset kaavat ja laskut. Ellipsimuotoa voi myös satunnaisesti varioida. Parantaa jo paljon. Absoprptio ja pienet taitekertoimen spektririippuvuudet kuvataan edellisen luennon tapaan vektoroimalla. Kun kohtuullista satunnaisuutta pinnassa, niin ei matalilla kertaluvuilla niin helposti räjähtele.
Kun halutaan tarkemmin muotoriippuvuutta mallittaa, kannattaa jo generoida koko kappale, ja korkeintaan häiriöluonteisesti panna vielä pienen lisäsatunnaisuuden etenemismallilla (siitä on silti hyötyä esim. vektoroinnissa). Kun kuvataan muoto palloharmonisilla b(θ, φ) = c m l P m l (θ)e mφ, niin yllättäen nämäkin kertoimet noudattavat log-normaalijakaumaa. Kovin monimutkaisille kapaleille ei enää hyvä. Laskenta tyypillisesti hieman etenemismallia hitaampi. Eri kidemuodoille ja satunnaistuksille tehtyjä ray-tracereita lukuisia.
Ryppäät, pakattu aine Menetelmää on helppo yleistää yksittäisestä hiukkasesta klustereihin, ja tiiviistipakattuun aineeseen. Tiiviistipakattuun aineeseen voi yhdistää [gaussisen] satunnaisrajapinnan leikkaamalla kaikki pinnan yläpuoliset kapaleet pois.
jray