Praesent feugiat sapien aliquet odio. Integer vitae justo. Aliquam vestibulum fringilla lorem. Sed neque lectus, consectetuer at, consectetuer sed,

Abstract Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. Duis eget orci sit amet orci dignissim rutrum. Nam dui ligula, fringilla a, euismod sodales, sollicitudin vel, wisi. Morbi auctor lorem non justo. Nam lacus libero, pretium at, lobortis vitae, ultricies et, tellus. Donec aliquet, tortor sed accumsan bibendum, erat ligula aliquet magna, vitae ornare odio metus a mi. Morbi ac orci et nisl hendrerit mollis. Suspendisse ut massa. Cras nec ante. Pellentesque a nulla. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Aliquam tincidunt urna. Nulla ullamcorper vestibulum turpis. Pellentesque cursus luctus mauris. Nulla malesuada porttitor diam. Donec felis erat, congue non, volutpat at, tincidunt tristique, libero. Vivamus viverra fermentum felis. Donec nonummy pellentesque ante. Phasellus adipiscing semper elit. Proin fermentum massa ac quam. Sed diam turpis, molestie vitae, placerat a, molestie nec, leo. Maecenas lacinia. Nam ipsum ligula, eleifend at, accumsan nec, suscipit a, ipsum. Morbi blandit ligula feugiat magna. Nunc eleifend consequat lorem. Sed lacinia nulla vitae enim. Pellentesque tincidunt purus vel magna. Integer non enim. Praesent euismod nunc eu purus. Donec bibendum quam in tellus. Nullam cursus pulvinar lectus. Donec et mi. Nam vulputate metus eu enim. Vestibulum pellentesque felis eu massa. Abstract Tässä työssä positroniannihilaatiospektroskopiaa käytettiin periodisten rakenteiden pistevirheiden tutkimiseen merkittävissä ydinteknillisissä materiaaleissa. Lisäksi tutkittiin ilmaisinten vaikutusta tuloksiin sekä elinaika- että Dopplerlevenemäspektroskopiassa. Ilmaisimilla on merkittävä vaikutus elinaika- ja Doppler-levenemäspektroskopioiden suorituskykyyn ja saatavien tulosten laatuun. Elinaikaspektroskopia on hyvin herkkä mitattavien näytteiden ylimääräiselle säteilylle, mikä rajoittaa sen käyttöä ydinteknillisten materiaalien tutkimuksessa. Ainoa tapa lisätä mittauslaitteiston säteilytoleranssia on ottaa käyttöön kolmas koinsidenssi-ilmaisin. Doppler-levenemälaitteistossa säteilyilmaisimen energiaresoluutio vaikuttaa suo- 1

raan mittaustuloksiin. Kahden ilmaisimen elinaikaspektroskopian herkkyyttä väärille koinsidenssitapahtumille tutkittiin lisäämällä koboltti-60 -lähde tutkittavien piinäytteiden viereen. Säteilytoleranssin kasvua kolmen ilmaisimen elinaikaspektroskopiassa arvioitiin yksinkertaisilla teoreettisilla malleilla. Doppler-levenemäspektroskopiassa tutkittiin energiaresoluutiota liittämällä natrium-22 -positronilähde suoraan tutkittaviin näytteisiin, jolloin pystyttiin samanaikaisesti mittaamaan sekä Doppler-levenämäspektriä että yksienergistä fotoabsorptiospektriä. Tässä työssä tutkittiin lähde-ilmaisin -geometrian vaikutuksia tuloksiin ja keskustellaan muuttuvien tulosten syistä perustuen systemaattisiin kokeisiin ja Monte Carlo -simulaatioihin. Mikroskooppisilla virheillä on merkittävä vaikutus ydinmateriaalien ominaisuuksiin, kuten korroosioon ja säteilykestävyyteen. Zircaloy-4 on yksi eniten käytetyistä polttoaineen suojakuoriseoksista ydinvoimalaitoksissa, mutta sen hapettuminen reaktoriolosuhteissa on monimutkainen prosessi, johon kuuluu hapettumisnopeuden periodisuus. Fuusiovoimalaitoksissa plasmaa lähellä olevat materiaalit joutuvat äärimmäisen ankariin olosuhteisiin, joissa korostuvat korkea lämpötila ja suuret hiukkassäteilyannokset. Volframia pidetään lupaavana materiaalikandidaattina tähän tarkoitukseen. Zirkoniumoksidin perustavanlaatuisia ominaisuuksia tarkasteltiin perustuen mikroskooppisten hilavirheiden muuttumiseen tutkittavissa Zircaloy-4 -näytteissä, joita oli hapetettu painevesireaktoria vastaavissa olosuhteissa. Dopplerlevenemäspektroskopiaa ja teoreettista mallinnusta sovellettiin hapettumiskerrosten hilavirheiden tutkimiseen. Positronien elinaikaspektrokopiaa käytettiin toivutettujen ja protonisäteilytykselle altistettujen volframinäytteiden monovakanssien tutkimiseen. Välisija-atomien ja monovakanssien migraatioenergiarajat pystyttiin havaitsemaan suoraan elinaikaspektrometrilla, joka oli yhdistetty kylmäsäteilytyslaitteistoon. Abstract Sed commodo posuere pede. Mauris ut est. Ut quis purus. Sed ac odio. Sed vehicula hendrerit sem. Duis non odio. Morbi ut dui. Sed accumsan risus eget odio. In hac habitasse platea dictumst. Pellentesque non elit. Fusce sed justo eu urna porta tincidunt. Mauris felis odio, sollicitudin sed, volutpat a, ornare ac, erat. Morbi quis dolor. Donec pellentesque, erat ac sagittis semper, nunc dui lobortis purus, quis congue purus metus ultricies tellus. Proin et quam. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos hymenaeos. Praesent sapien turpis, fermentum vel, eleifend faucibus, vehicula eu, lacus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Donec odio elit, dictum in, hendrerit sit amet, egestas sed, leo. 2

Praesent feugiat sapien aliquet odio. Integer vitae justo. Aliquam vestibulum fringilla lorem. Sed neque lectus, consectetuer at, consectetuer sed, eleifend ac, lectus. Nulla facilisi. Pellentesque eget lectus. Proin eu metus. Sed porttitor. In hac habitasse platea dictumst. Suspendisse eu lectus. Ut mi mi, lacinia sit amet, placerat et, mollis vitae, dui. Sed ante tellus, tristique ut, iaculis eu, malesuada ac, dui. Mauris nibh leo, facilisis non, adipiscing quis, ultrices a, dui. Morbi luctus, wisi viverra faucibus pretium, nibh est placerat odio, nec commodo wisi enim eget quam. Quisque libero justo, consectetuer a, feugiat vitae, porttitor eu, libero. Suspendisse sed mauris vitae elit sollicitudin malesuada. Maecenas ultricies eros sit amet ante. Ut venenatis velit. Maecenas sed mi eget dui varius euismod. Phasellus aliquet volutpat odio. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; Pellentesque sit amet pede ac sem eleifend consectetuer. Nullam elementum, urna vel imperdiet sodales, elit ipsum pharetra ligula, ac pretium ante justo a nulla. Curabitur tristique arcu eu metus. Vestibulum lectus. Proin mauris. Proin eu nunc eu urna hendrerit faucibus. Aliquam auctor, pede consequat laoreet varius, eros tellus scelerisque quam, pellentesque hendrerit ipsum dolor sed augue. Nulla nec lacus. 3

Preface Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. Duis eget orci sit amet orci dignissim rutrum. Nam dui ligula, fringilla a, euismod sodales, sollicitudin vel, wisi. Morbi auctor lorem non justo. Nam lacus libero, pretium at, lobortis vitae, ultricies et, tellus. Donec aliquet, tortor sed accumsan bibendum, erat ligula aliquet magna, vitae ornare odio metus a mi. Morbi ac orci et nisl hendrerit mollis. Suspendisse ut massa. Cras nec ante. Pellentesque a nulla. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Aliquam tincidunt urna. Nulla ullamcorper vestibulum turpis. Pellentesque cursus luctus mauris. Nulla malesuada porttitor diam. Donec felis erat, congue non, volutpat at, tincidunt tristique, libero. Vivamus viverra fermentum felis. Donec nonummy pellentesque ante. Phasellus adipiscing semper elit. Proin fermentum massa ac quam. Sed diam turpis, molestie vitae, placerat a, molestie nec, leo. Maecenas lacinia. Nam ipsum ligula, eleifend at, accumsan nec, suscipit a, ipsum. Morbi blandit ligula feugiat magna. Nunc eleifend consequat lorem. Sed lacinia nulla vitae enim. Pellentesque tincidunt purus vel magna. Integer non enim. Praesent euismod nunc eu purus. Donec bibendum quam in tellus. Nullam cursus pulvinar lectus. Donec et mi. Nam vulputate metus eu enim. Vestibulum pellentesque felis eu massa. Quisque ullamcorper placerat ipsum. Cras nibh. Morbi vel justo vitae lacus tincidunt ultrices. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. In hac habitasse platea dictumst. Integer tempus convallis augue. Etiam facilisis. Nunc elementum fermentum wisi. Aenean placerat. Ut imperdiet, enim sed 5

Preface gravida sollicitudin, felis odio placerat quam, ac pulvinar elit purus eget enim. Nunc vitae tortor. Proin tempus nibh sit amet nisl. Vivamus quis tortor vitae risus porta vehicula. Optional location (if not defined, Helsinki), August 6, 2018, Author 6

Contents Preface 5 Contents 7 List of Publications 9 Author s Contribution 11 1. Chapter Heading 13 1.1 Section Heading............................ 13 1.2 Section Heading............................ 14 1.2.1 Subsection Heading.................... 15 1.2.2 Subsection Heading.................... 15 1.3 Section Heading............................ 16 2. Chapter Heading 2 17 2.1 Sample Mathematics......................... 17 2.1.1 Bold versions of special symbols............. 21 2.1.2 Poor man s bold...................... 21 2.1.3 Multiple integral signs.................. 21 2.1.4 Over and under arrows.................. 22 2.1.5 Accents in math...................... 22 2.1.6 \overset, \underset, and \sideset............ 22 2.1.7 Operator names...................... 22 2.1.8 Continued fractions.................... 23 2.1.9 The cases environment.................. 23 2.1.10 Matrix............................ 23 2.1.11 The \substack command.................. 24 2.1.12 Split............................. 24 2.1.13 Multline........................... 25 2.1.14 Blackboard and Calligraphic math........... 26 2.2 Section Heading............................ 26 7

Contents 2.3 Section Heading............................ 27 2.3.1 Subsection Heading.................... 27 2.3.2 Subsection Heading.................... 28 2.4 Section Heading............................ 28 3. Short Chapter Heading 31 3.1 Section Heading............................ 31 3.2 Section Heading............................ 32 3.2.1 Subsection Heading.................... 32 3.2.2 Subsection Heading.................... 33 3.3 Section Heading............................ 33 References 37 Errata 39 Publications 41 8

List of Publications This thesis consists of an overview and of the following publications which are referred to in the text by their Roman numerals. I Journal Paper Authors. Journal Paper Title. Journal Name, Volume, issue, pages, and other detailed information, Month Year. II Conference Paper Authors. Conference Paper Title. In Conference Name, Location, pages, and other detailed information, Month Year. III Journal Paper 2 Authors. Journal Paper 2 Title. Accepted for publication in Journal Name 2, Month Year. IV Journal Paper 3 Authors. Journal Paper 3 Title. Submitted to Journal Name 3, Submission date Year. 9

Author s Contribution Publication I: Journal Paper Title The author did this and that Publication II: Conference Paper Title The author did also this and that Publication III: Journal Paper 2 Title The author did everything Publication IV: Journal Paper 3 Title The author did everything Language check The language of my dissertation has been checked by the Institute of Language Checks. I have personally examined and accepted/rejected the results of the language check one by one. This has not affected the scientific content of my dissertation. 11

1. Chapter Heading 1.1 Section Heading F = Gm 1 m 2 x 2 x 1 x 2 x 1 3 Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. Duis eget orci sit amet orci dignissim rutrum. Nam dui ligula, fringilla a, euismod sodales, sollicitudin vel, wisi. Morbi auctor lorem non justo. Nam lacus libero, pretium at, lobortis vitae, ultricies et, tellus. Donec aliquet, tortor sed accumsan bibendum, erat ligula aliquet magna, vitae ornare odio metus a mi. Morbi ac orci et nisl hendrerit mollis. Suspendisse ut massa. Cras nec ante. Pellentesque a nulla. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Aliquam tincidunt urna. Nulla ullamcorper vestibulum turpis. Pellentesque cursus luctus mauris. Kirjallisuusviite: [1] Lause jossa on sans-serif ja kirjoituskone sanoja. Jääkauden aikana noin 3 km paksu jäävuori peitti alleen koko Skandinavian ja osan Keski-Eurooppaa. Jää painoi maanpintaa alas. Kun jää alkoi sulaa noin 12 000 vuotta sitten, maa nousi takaisin, ja nousu jatkuu yhä. Se on 30 100 cm sadassa vuodessa. Suurimmillaan se on Merenkurkussa; Pohjois- Pohjanmaan rannikolla se on 88 cm, sisämaassa vähemmän, mistä syystä jokien lasku mereen on vaikeutunut ja maa soistunut. Tämä ilmiö on ongelma, joka 13

Chapter Heading jatkuu edelleen. Toisaalta sen ansiosta Pohjois-Pohjanmaan maa-alue kasvaa muita maakuntia nopeammin. Maannoususta runoilija Sakari Topelius sanoi 1800-luvulla, että ihmiset saavat Pohjanmaalla uutta maata ruhtinaskunnan verran sadassa vuodessa. Täällä, jossa me nyt asumme, on siis muinoin ollut pauhaava meri, ja vieläkin löytyy monin paikoin meriraakun kuoria maasta. Mutta se oli Jumalan tahto, että tämän maan piti kohiaman ylös merestä niin ihmeellisellä tavalla, kuin harvat muut maat, paitsi Pohjois-Ruotsia. What an extraordinary situation is that of us mortals! Each of us is here for a brief sojourn; for what purpose he knows not, though he sometimes thinks he feels it. But from the point of view of daily life, without going deeper, we exist for our fellow-men in the first place for those on whose smiles and welfare all our happiness depends, and next for all those unknown to us personally with whose destinies we are bound up by the tie of sympathy. A hundred times every day I remind myself that my inner and outer life depend on the labours of other men, living and dead, and that I must exert myself in order to give in the same measure as I have received and am still receiving. I am strongly drawn to the simple life and am often oppressed by the feeling that I am engrossing an unnecessary amount of the labour of my fellow-men. I regard class differences as contrary to justice and, in the last resort, based on force. I also consider that plain living is good for everybody, physically and mentally. 1.2 Section Heading E = mc 2 Fusce mauris. Vestibulum luctus nibh at lectus. Sed bibendum, nulla a faucibus semper, leo velit ultricies tellus, ac venenatis arcu wisi vel nisl. Vestibulum diam. Aliquam pellentesque, augue quis sagittis posuere, turpis lacus congue quam, in hendrerit risus eros eget felis. Maecenas eget erat in sapien mattis porttitor. Vestibulum porttitor. Nulla facilisi. Sed a turpis eu lacus commodo facilisis. Morbi fringilla, wisi in dignissim interdum, justo lectus sagittis dui, et vehicula libero dui cursus dui. Mauris tempor ligula sed lacus. Duis cursus enim ut augue. Cras ac magna. Cras nulla. Nulla egestas. Curabitur a leo. Quisque egestas wisi eget nunc. Nam feugiat lacus vel est. Curabitur consectetuer. Suspendisse vel felis. Ut lorem lorem, interdum eu, tincidunt sit amet, laoreet vitae, arcu. Aenean faucibus pede eu ante. Praesent enim elit, rutrum at, molestie non, nonummy vel, nisl. Ut lectus eros, malesuada sit amet, fermentum eu, sodales cursus, magna. Donec eu purus. Quisque vehicula, urna sed ultricies auctor, pede lorem egestas dui, et convallis elit erat sed nulla. Donec luctus. Curabitur et nunc. Aliquam dolor odio, commodo pretium, ultricies non, pharetra in, velit. Integer arcu est, nonummy in, fermentum faucibus, egestas vel, odio. 14

Chapter Heading Sample source code listing to test monospace font. begin { do nothing } end; Write( Case insensitive ); Write( Pascal keywords. ); [2] 1.2.1 Subsection Heading x p ħ Sed commodo posuere pede. Mauris ut est. Ut quis purus. Sed ac odio. Sed vehicula hendrerit sem. Duis non odio. Morbi ut dui. Sed accumsan risus eget odio. In hac habitasse platea dictumst. Pellentesque non elit. Fusce sed justo eu urna porta tincidunt. Mauris felis odio, sollicitudin sed, volutpat a, ornare ac, erat. Morbi quis dolor. Donec pellentesque, erat ac sagittis semper, nunc dui lobortis purus, quis congue purus metus ultricies tellus. Proin et quam. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos hymenaeos. Praesent sapien turpis, fermentum vel, eleifend faucibus, vehicula eu, lacus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Donec odio elit, dictum in, hendrerit sit amet, egestas sed, leo. Praesent feugiat sapien aliquet odio. Integer vitae justo. Aliquam vestibulum fringilla lorem. Sed neque lectus, consectetuer at, consectetuer sed, eleifend ac, lectus. Nulla facilisi. Pellentesque eget lectus. Proin eu metus. Sed porttitor. In hac habitasse platea dictumst. Suspendisse eu lectus. Ut mi mi, lacinia sit amet, placerat et, mollis vitae, dui. Sed ante tellus, tristique ut, iaculis eu, malesuada ac, dui. Mauris nibh leo, facilisis non, adipiscing quis, ultrices a, dui. 1.2.2 Subsection Heading Morbi luctus, wisi viverra faucibus pretium, nibh est placerat odio, nec commodo wisi enim eget quam. Quisque libero justo, consectetuer a, feugiat vitae, porttitor eu, libero. Suspendisse sed mauris vitae elit sollicitudin malesuada. Maecenas ultricies eros sit amet ante. Ut venenatis velit. Maecenas sed mi eget dui varius euismod. Phasellus aliquet volutpat odio. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; Pellentesque sit amet pede ac sem eleifend consectetuer. Nullam elementum, urna vel imperdiet sodales, elit ipsum pharetra ligula, ac pretium ante justo a nulla. Curabitur tristique arcu eu metus. Vestibulum lectus. Proin mauris. Proin eu nunc eu urna hendrerit faucibus. Aliquam auctor, pede consequat laoreet varius, eros tellus scelerisque quam, pellentesque hendrerit ipsum dolor sed augue. Nulla nec lacus. Suspendisse vitae elit. Aliquam arcu neque, ornare in, ullamcorper quis, 15

Chapter Heading commodo eu, libero. Fusce sagittis erat at erat tristique mollis. Maecenas sapien libero, molestie et, lobortis in, sodales eget, dui. Morbi ultrices rutrum lorem. Nam elementum ullamcorper leo. Morbi dui. Aliquam sagittis. Nunc placerat. Pellentesque tristique sodales est. Maecenas imperdiet lacinia velit. Cras non urna. Morbi eros pede, suscipit ac, varius vel, egestas non, eros. Praesent malesuada, diam id pretium elementum, eros sem dictum tortor, vel consectetuer odio sem sed wisi. 1.3 Section Heading Sed feugiat. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Ut pellentesque augue sed urna. Vestibulum diam eros, fringilla et, consectetuer eu, nonummy id, sapien. Nullam at lectus. In sagittis ultrices mauris. Curabitur malesuada erat sit amet massa. Fusce blandit. Aliquam erat volutpat. Aliquam euismod. Aenean vel lectus. Nunc imperdiet justo nec dolor. Etiam euismod. Fusce facilisis lacinia dui. Suspendisse potenti. In mi erat, cursus id, nonummy sed, ullamcorper eget, sapien. Praesent pretium, magna in eleifend egestas, pede pede pretium lorem, quis consectetuer tortor sapien facilisis magna. Mauris quis magna varius nulla scelerisque imperdiet. Aliquam non quam. Aliquam porttitor quam a lacus. Praesent vel arcu ut tortor cursus volutpat. In vitae pede quis diam bibendum placerat. Fusce elementum convallis neque. Sed dolor orci, scelerisque ac, dapibus nec, ultricies ut, mi. Duis nec dui quis leo sagittis commodo. Publication I & PI & I & 41 & Publication I Publication II, p. 2 & PII, Sec. 1 & II, pp. 1 2 & 45 & Publication II 16

2. Chapter Heading 2 2.1 Sample Mathematics Let A = (a i j ) be the adjacency matrix of graph G. The corresponding Kirchhoff matrix K = (k i j ) is obtained from A by replacing in A each diagonal entry by the degree of its corresponding vertex; i.e., the ith diagonal entry is identified with the degree of the ith vertex. It is well known that detk(i i) = the number of spanning trees of G, i = 1,..., n (2.1) where K(i i) is the ith principal submatrix of K. Let C i( j) be the set of graphs obtained from G by attaching edge (v i v j ) to each spanning tree of G. Denote by C i = j C i( j). It is obvious that the collection of Hamiltonian cycles is a subset of C i. Note that the cardinality of C i is k ii detk(i i). Let ˆX = { ˆx1,..., ˆx n }. Define multiplication for the elements of ˆX by ˆx i ˆx j = ˆx j ˆx i, ˆx 2 i = 0, i, j = 1,..., n. (2.2) Let ˆk i j = k i j ˆx j and ˆk i j = j i ˆk i j. Then the number of Hamiltonian cycles H c is given by the relation ( n j=1 ) ˆx j H c = 1 ˆk i j det ˆK(i i), i = 1,..., n. (2.3) 2 The task here is to express (2.3) in a form free of any ˆx i, i = 1,..., n. The result also leads to the resolution of enumeration of Hamiltonian paths in a graph. The resulting formula also involves the determinant and permanent, but it can easily be applied to K n and K n1 n 2. In addition, we eliminate the permanent from H c and show that H c can be represented by a determinantal function of multivariables, each variable with domain {0,1}. Furthermore, we show that H c can be written by number of spanning trees of subgraphs. Finally, we apply the formulas to a complete multigraph K n1...n p. The conditions a i j = a ji, i, j = 1,..., n, are not required in this paper. All formulas can be extended to a digraph simply by multiplying H c by 2. 17

Chapter Heading 2 Notation. For p, q P and n ω we write (q, n) (p, n) if q p and A q,n = A p,n. Let B = (b i j ) be an n n matrix. Let n = {1,..., n}. Using the properties of (2.2), it is readily seen that Lemma 2.1.1. ( ) ( b i j ˆx i = ˆx i )perb (2.4) i n j n where perb is the permanent of B. Let Ŷ = {ŷ 1,..., ŷ n }. Define multiplication for the elements of Ŷ by i n ŷ i ŷ j + ŷ j ŷ i = 0, i, j = 1,..., n. (2.5) Theorem 2.1.2. n detb = (b ii λ i )detb (λ) (I l I l ), (2.6) i I l l=0 I l n where I l = {i 1,..., i l } and B (λ) (I l I l ) is the principal submatrix obtained from B (λ) by deleting its i 1,..., i l rows and columns. Remark 2.1.1. Let M be an n n matrix. The convention M(n n) = 1 has been used in (2.6) and hereafter. Corollary 2.1.3. Write det(b xi) = n l=0 ( 1)l b l x l. Then b l = detb(i l I l ). (2.7) I l n Let where Set D 1 t a 12 t 2... a 1n t n a 21 t 1 D 2 t... a 2n t n K(t, t 1,..., t n ) =, (2.8)....................... a n1 t 1 a n2 t 2... D n t D i = a i j t j, i = 1,..., n. (2.9) j n D(t 1,..., t n ) = δ δt detk(t, t 1,..., t n ) t=1. Then D(t 1,..., t n ) = D i detk(t = 1, t 1,..., t n ; i i), (2.10) i n where K(t = 1, t 1,..., t n ; i i) is the ith principal submatrix of K(t = 1, t 1,..., t n ). Theorem 2.1.2 leads to detk(t 1, t 1,..., t n ) = I n( 1) I t n I t i (D j + λ j t j )deta (λt) (I I). (2.11) i I j I 18

Chapter Heading 2 Note that detk(t = 1, t 1,..., t n ) = I n( 1) I t i (D j + λ j t j )deta (λ) (I I) = 0. (2.12) i I j I Let t i = ˆx i, i = 1,..., n. Lemma 2.1.1 yields ( a l i x i )detk(t = 1, x 1,..., x n ; l l) i n We have ( = Proposition 2.1.4. where i n ˆx i ) D l = I l n I n {l} ( 1) I pera (λ) (I I)detA (λ) (I {l} I {l}). (2.13) H c = 1 2n n ( 1) l D l, (2.14) l=0 D(t 1,..., t n )2 0, if i Il (2.15) ti ={, i=1,...,n. 1, otherwise We consider here the applications of Theorems to a complete multipartite graph K n1...n p. It can be shown that the number of spanning trees of K n1...n p may be written p T = n p 2 (n n i ) n i 1 (2.16) where i=1 n = n 1 + + n p. (2.17) It follows from Theorems that H c = 1 2n n ( 1) l (n l) p 2 l=0 p l 1 + +l p =l i=1 [ [(n l) (n i l i )] n i l i (n l) 2 ( ni l i ) p (n i l i ) ]. 2 j=1 (2.18) and H c = 1 n 1 ( 1) l (n l) p 2 2 l=0 [(n l) (n i l i )] n i l i ( p l 1 + +l p =l i=1 1 l p n p ) ( ni l i ) [(n l) (n p l p )]. (2.19) The enumeration of H c in a K n1 n p graph can also be carried out by Theorem together with the algebraic method of (2.2). Some elegant representations may 19

Chapter Heading 2 be obtained. For example, H c in a K n1 n 2 n 3 graph may be written H c = n 1! n 2! n 3! [( )( )( ) n1 n 2 n 3 n 1 + n 2 + n 3 i n 3 n 1 + i n 3 n 2 + i + ( )( n1 1 n2 1 i i n 3 n 1 + i )( n3 1 n 3 n 2 + i )]. (2.20) Definition 2.1.1. A function H : R n R n is said to be B-differentiable at the point z if (i) H is Lipschitz continuous in a neighborhood of z, and (ii) there exists a positive homogeneous function BH(z): R n R n, called the B-derivative of H at z, such that H(z + v) H(z) BH(z)v lim = 0. v 0 v The function H is B-differentiable in set S if it is B-differentiable at every point in S. The B-derivative BH(z) is said to be strong if H(z + v) H(z + v ) BH(z)(v v ) lim (v,v ) (0,0) v v = 0. Lemma 2.1.5. There exists a smooth function ψ 0 (z) defined for z > 1 2a satisfying the following properties: (i) ψ 0 (z) is bounded above and below by positive constants c 1 ψ 0 (z) c 2. (ii) If z > 1, then ψ 0 (z) = 1. (iii) For all z in the domain of ψ 0, 0 lnψ 0 0. (iv) If 1 2a < z < 1 a, then 0 lnψ 0 c 3 > 0. Let t R be such that Du ([t, s[) > 0 for every s > t and assume that the limits in (2.19) exist. By (2.20) we get ˆv(s) ˆv(t) Du ([t, s[) = f (û(s)) f (û(t)) Du ([t, s[) = f (û(s)) f (û(t) + Du (t) Du ([t, s[)) Du Du ([t, s[) + f (û(t) + Du Du (t) Du ([t, s[)) f (û(t)) Du ([t, s[) 20

Chapter Heading 2 for every s > t. Using the Lipschitz condition on f we find f (û(t) + ˆv(s) ˆv(t) Du ([t, s[) Du Du (t) Du ([t, s[)) f (û(t)) Du ([t, s[) û(s) û(t) K Du (t) Du ([t, s[) Du. 2.1.1 Bold versions of special symbols In the amsmath package \boldsymbol is used for getting individual bold math symbols and bold Greek letters everything in math except for letters of the Latin alphabet, where you d use \mathbf. For example, looks like this: A + πa 0 A + πa 0 2.1.2 Poor man s bold If a bold version of a particular symbol doesn t exist in the available fonts, then \boldsymbol can t be used to make that symbol bold. At the present time, this means that \boldsymbol can t be used with symbols from the msam and msbm fonts, among others. In some cases, poor man s bold (\pmb) can be used instead of \boldsymbol: x y y z So-called large operator symbols such as and require an additional command, \mathop, to produce proper spacing and limits when \pmb is used. For further details see The TEXbook. κf(r i ) i<b i odd κ κ(r i ) i<b i odd κ 2.1.3 Multiple integral signs \iint, \iiint, and \iiiint give multiple integral signs with the spacing between them nicely adjusted, in both text and display style. \idotsint gives two integral signs with dots between them. f (x, y) dx d y f (x, y, z) dx d y dz (2.21) A A f (w, x, y, z) dw dx d y dz f (x 1,..., x k ) (2.22) A A 21

Chapter Heading 2 2.1.4 Over and under arrows Some extra over and under arrow operations are provided in the amsmath package. (Basic LATEX provides \overrightarrow and \overleftarrow). ψ δ (t)e t h = ψ δ (t)e t h ψ δ (t)e t h = ψ δ (t)e t h ψ δ (t)e t h = ψ δ (t)e t h These all scale properly in subscript sizes: ax dx AB 2.1.5 Accents in math Double accents: Ĥ Č T Á `G Ḋ D B B V This double accent operation is complicated and tends to slow down the processing of a LATEX file. 2.1.6 \overset, \underset, and \sideset Examples: X X a Xb The command \sideset is for a rather special purpose: putting symbols at the subscript and superscript corners of a large operator symbol such as or, without affecting the placement of limits. Examples: k 0 i m E i βx 2.1.7 Operator names The more common math functions such as log, sin, and lim have predefined control sequences: \log, \sin, \lim. The amsmath package provides \DeclareMathOperator and \DeclareMathOperator* for producing new function names that will have the same typographical treatment. Examples: f = esssup x R n f (x) meas 1 {u R 1 + : f (u) > α} = meas n {x R n : f (x) α} α > 0. 22

Chapter Heading 2 \esssup and \meas would be defined in the document preamble as The following special operator names are predefined in the amsmath package: \varlimsup, \varliminf, \varinjlim, and \varprojlim. Here s what they look like in use: lim Q(u n, u n u # ) 0 (2.23) n lim a n+1 / a n = 0 (2.24) n lim (mλ i ) 0 (2.25) lim A p 0 (2.26) p S(A) 2.1.8 Continued fractions The continued fraction 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + (2.27) can be obtained by typing 2.1.9 The cases environment Cases constructions like the following can be produced using the cases environment. P r j = { 0 if r j is odd, (r j)/2 r!( 1) if Notice the use of \text and the embedded math. 2.1.10 Matrix r j is even. (2.28) Here are samples of the matrix environments, \matrix, \pmatrix, \bmatrix, \Bmatrix, \vmatrix and \Vmatrix: ϑ ϕ ϱ ϖ ( ϑ ϕ ϱ ϖ ) [ ϑ ϕ ϱ ϖ ] { ϑ ϕ } ϱ ϑ ϖ ϕ ϱ ϖ ϑ ϕ ϱ ϖ (2.29) To produce a small matrix suitable for use in text, use the smallmatrix environment. 23

Chapter Heading 2 To show the effect of the matrix on the surrounding lines of a paragraph, we put it here: ( a b c d ) and follow it with enough text to ensure that there will be at least one full line below the matrix. \hdotsfor{number} produces a row of dots in a matrix spanning the given number of columns: ϕ 0... 0 (ϕ 1,ε 1 ) ϕk n2 ϕ... 0 W(Φ) = (ϕ 2,ε 1 ) (ϕ 2,ε 2 ).............................................. ϕk n1 ϕk n2 ϕk n n 1 ϕ... (ϕ n,ε 1 ) (ϕ n,ε 2 ) (ϕ n,ε n 1 ) (ϕ n,ε n ) The spacing of the dots can be varied through use of a square-bracket option, for example, \hdotsfor[1.5]{3}. The number in square brackets will be used as a multiplier; the normal value is 1. 2.1.11 The \substack command The \substack command can be used to produce a multiline subscript or superscript: for example produces a two-line subscript underneath the sum: P(i, j) (2.30) 0 i m 0< j<n A slightly more generalized form is the subarray environment which allows you to specify that each line should be left-aligned instead of centered, as here: P(i, j) (2.31) 0 i m 0< j<n 2.1.12 Split The split environment is not an independent environment but should be used inside something else such as equation or align. If there is not enough room for it, the equation number for a split will be shifted to the previous line, when equation numbers are on the left; the number 24

Chapter Heading 2 shifts down to the next line when numbers are on the right. tε f h,ε (x, y) = εe x,y L x,yε (εu)ϕ(x) du = h 0 L x,z ϕ(x)ρ x (dz) [ 1 tε + h (E y L x,y x (s)ϕ(x) ds t ε tε 0 + 1 ( tε tε E y L x,y t x (s)ϕ(x) ds E x,y ε 0 ) L x,z ϕ(x)ρ x (dz) 0 )] L x,yε (εs)ϕ(x) ds (2.32) = hˆlx ϕ(x) + hθ ε (x, y), Some text after to test the below-display spacing. Use of split within align: I 1 = gru dω Ω C 3 [ Ω ( x 2 g(ξ, t) dξ) dω a ]1/2 [ { u 2 x + 1 ( x ) 2 } ]1/2 cu t dξ cω Ω k a C 4 f S 1,0 a, W 2(Ω,Γ l ) u W Ã 2 (Ω;Γ r, T). T { a I 2 = dθ θ } ψ(t) u(a, t) c(ξ)u t (ξ, t) dξ dt 0 γ(t) k(θ, t) a C 6 f S 1,0 a, W 2(Ω,Γ l ) u W Ã2 (Ω;Γ r, T). Ω (2.33) (2.34) Some text after to test the below-display spacing. 2.1.13 Multline Numbered version: b a { b a } [f (x) 2 g(y) 2 + f (y) 2 g(x) 2 ] 2f (x)g(x)f (y)g(y) dx d y = b a b b {g(y) 2 f 2 + f (y) 2 a a b } g 2 2f (y)g(y) f g d y (2.35) a To test the use of \label and \ref, we refer to the number of this equation here: (2.35). 25

Chapter Heading 2 The * -ed form of gather with the non- * -ed form of align. ϕ(x, z) = z γ 10 x γ mn x m z n = z Mr 1 x Mr (m+n) x m z n ζ 0 = (ξ 0 ) 2, (2.36) ζ 1 = ξ 0 ξ 1, (2.37) ζ 2 = (ξ 1 ) 2, (2.38) Some text after to test the below-display spacing. 2.1.14 Blackboard and Calligraphic math Ẑ 2.2 Section Heading Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. Duis eget orci sit amet orci dignissim rutrum. Nam dui ligula, fringilla a, euismod sodales, sollicitudin vel, wisi. Morbi auctor lorem non justo. Nam lacus libero, pretium at, lobortis vitae, ultricies et, tellus. Donec aliquet, tortor sed accumsan bibendum, erat ligula aliquet magna, vitae ornare odio metus a mi. Morbi ac orci et nisl hendrerit mollis. Suspendisse ut massa. Cras nec ante. Pellentesque a nulla. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Aliquam tincidunt urna. Nulla ullamcorper vestibulum turpis. Pellentesque cursus luctus mauris. Nulla malesuada porttitor diam. Donec felis erat, congue non, volutpat at, tincidunt tristique, libero. Vivamus viverra fermentum felis. Donec nonummy pellentesque ante. Phasellus adipiscing semper elit. Proin fermentum massa ac quam. Sed diam turpis, molestie vitae, placerat a, molestie nec, leo. Maecenas lacinia. Nam ipsum ligula, eleifend at, accumsan nec, suscipit a, ipsum. Morbi blandit ligula feugiat magna. Nunc eleifend consequat lorem. Sed lacinia nulla vitae enim. Pellentesque tincidunt purus vel magna. Integer non enim. Praesent euismod nunc eu purus. Donec bibendum quam in tellus. Nullam 26

Chapter Heading 2 cursus pulvinar lectus. Donec et mi. Nam vulputate metus eu enim. Vestibulum pellentesque felis eu massa. Quisque ullamcorper placerat ipsum. Cras nibh. Morbi vel justo vitae lacus tincidunt ultrices. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. In hac habitasse platea dictumst. Integer tempus convallis augue. Etiam facilisis. Nunc elementum fermentum wisi. Aenean placerat. Ut imperdiet, enim sed gravida sollicitudin, felis odio placerat quam, ac pulvinar elit purus eget enim. Nunc vitae tortor. Proin tempus nibh sit amet nisl. Vivamus quis tortor vitae risus porta vehicula. 2.3 Section Heading Fusce mauris. Vestibulum luctus nibh at lectus. Sed bibendum, nulla a faucibus semper, leo velit ultricies tellus, ac venenatis arcu wisi vel nisl. Vestibulum diam. Aliquam pellentesque, augue quis sagittis posuere, turpis lacus congue quam, in hendrerit risus eros eget felis. Maecenas eget erat in sapien mattis porttitor. Vestibulum porttitor. Nulla facilisi. Sed a turpis eu lacus commodo facilisis. Morbi fringilla, wisi in dignissim interdum, justo lectus sagittis dui, et vehicula libero dui cursus dui. Mauris tempor ligula sed lacus. Duis cursus enim ut augue. Cras ac magna. Cras nulla. Nulla egestas. Curabitur a leo. Quisque egestas wisi eget nunc. Nam feugiat lacus vel est. Curabitur consectetuer. Suspendisse vel felis. Ut lorem lorem, interdum eu, tincidunt sit amet, laoreet vitae, arcu. Aenean faucibus pede eu ante. Praesent enim elit, rutrum at, molestie non, nonummy vel, nisl. Ut lectus eros, malesuada sit amet, fermentum eu, sodales cursus, magna. Donec eu purus. Quisque vehicula, urna sed ultricies auctor, pede lorem egestas dui, et convallis elit erat sed nulla. Donec luctus. Curabitur et nunc. Aliquam dolor odio, commodo pretium, ultricies non, pharetra in, velit. Integer arcu est, nonummy in, fermentum faucibus, egestas vel, odio. 2.3.1 Subsection Heading Sed commodo posuere pede. Mauris ut est. Ut quis purus. Sed ac odio. Sed vehicula hendrerit sem. Duis non odio. Morbi ut dui. Sed accumsan risus eget odio. In hac habitasse platea dictumst. Pellentesque non elit. Fusce sed justo eu urna porta tincidunt. Mauris felis odio, sollicitudin sed, volutpat a, ornare ac, erat. Morbi quis dolor. Donec pellentesque, erat ac sagittis semper, nunc dui lobortis purus, quis congue purus metus ultricies tellus. Proin et quam. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos hymenaeos. Praesent sapien turpis, fermentum vel, eleifend faucibus, vehicula eu, lacus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Donec odio elit, dictum in, hendrerit sit amet, egestas sed, leo. Praesent feugiat sapien aliquet odio. Integer vitae justo. Aliquam vestibulum 27

Chapter Heading 2 fringilla lorem. Sed neque lectus, consectetuer at, consectetuer sed, eleifend ac, lectus. Nulla facilisi. Pellentesque eget lectus. Proin eu metus. Sed porttitor. In hac habitasse platea dictumst. Suspendisse eu lectus. Ut mi mi, lacinia sit amet, placerat et, mollis vitae, dui. Sed ante tellus, tristique ut, iaculis eu, malesuada ac, dui. Mauris nibh leo, facilisis non, adipiscing quis, ultrices a, dui. 2.3.2 Subsection Heading Morbi luctus, wisi viverra faucibus pretium, nibh est placerat odio, nec commodo wisi enim eget quam. Quisque libero justo, consectetuer a, feugiat vitae, porttitor eu, libero. Suspendisse sed mauris vitae elit sollicitudin malesuada. Maecenas ultricies eros sit amet ante. Ut venenatis velit. Maecenas sed mi eget dui varius euismod. Phasellus aliquet volutpat odio. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; Pellentesque sit amet pede ac sem eleifend consectetuer. Nullam elementum, urna vel imperdiet sodales, elit ipsum pharetra ligula, ac pretium ante justo a nulla. Curabitur tristique arcu eu metus. Vestibulum lectus. Proin mauris. Proin eu nunc eu urna hendrerit faucibus. Aliquam auctor, pede consequat laoreet varius, eros tellus scelerisque quam, pellentesque hendrerit ipsum dolor sed augue. Nulla nec lacus. Suspendisse vitae elit. Aliquam arcu neque, ornare in, ullamcorper quis, commodo eu, libero. Fusce sagittis erat at erat tristique mollis. Maecenas sapien libero, molestie et, lobortis in, sodales eget, dui. Morbi ultrices rutrum lorem. Nam elementum ullamcorper leo. Morbi dui. Aliquam sagittis. Nunc placerat. Pellentesque tristique sodales est. Maecenas imperdiet lacinia velit. Cras non urna. Morbi eros pede, suscipit ac, varius vel, egestas non, eros. Praesent malesuada, diam id pretium elementum, eros sem dictum tortor, vel consectetuer odio sem sed wisi. 2.4 Section Heading Sed feugiat. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Ut pellentesque augue sed urna. Vestibulum diam eros, fringilla et, consectetuer eu, nonummy id, sapien. Nullam at lectus. In sagittis ultrices mauris. Curabitur malesuada erat sit amet massa. Fusce blandit. Aliquam erat volutpat. Aliquam euismod. Aenean vel lectus. Nunc imperdiet justo nec dolor. Etiam euismod. Fusce facilisis lacinia dui. Suspendisse potenti. In mi erat, cursus id, nonummy sed, ullamcorper eget, sapien. Praesent pretium, magna in eleifend egestas, pede pede pretium lorem, quis consectetuer tortor sapien facilisis magna. Mauris quis magna varius nulla scelerisque imperdiet. Aliquam non quam. Aliquam porttitor quam a lacus. Praesent vel arcu ut tortor cursus volutpat. In vitae pede quis diam bibendum placerat. Fusce elementum convallis 28

Chapter Heading 2 neque. Sed dolor orci, scelerisque ac, dapibus nec, ultricies ut, mi. Duis nec dui quis leo sagittis commodo. 29

3. Chapter Heading 3 3.1 Section Heading Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Ut purus elit, vestibulum ut, placerat ac, adipiscing vitae, felis. Curabitur dictum gravida mauris. Nam arcu libero, nonummy eget, consectetuer id, vulputate a, magna. Donec vehicula augue eu neque. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Mauris ut leo. Cras viverra metus rhoncus sem. Nulla et lectus vestibulum urna fringilla ultrices. Phasellus eu tellus sit amet tortor gravida placerat. Integer sapien est, iaculis in, pretium quis, viverra ac, nunc. Praesent eget sem vel leo ultrices bibendum. Aenean faucibus. Morbi dolor nulla, malesuada eu, pulvinar at, mollis ac, nulla. Curabitur auctor semper nulla. Donec varius orci eget risus. Duis nibh mi, congue eu, accumsan eleifend, sagittis quis, diam. Duis eget orci sit amet orci dignissim rutrum. Nam dui ligula, fringilla a, euismod sodales, sollicitudin vel, wisi. Morbi auctor lorem non justo. Nam lacus libero, pretium at, lobortis vitae, ultricies et, tellus. Donec aliquet, tortor sed accumsan bibendum, erat ligula aliquet magna, vitae ornare odio metus a mi. Morbi ac orci et nisl hendrerit mollis. Suspendisse ut massa. Cras nec ante. Pellentesque a nulla. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Aliquam tincidunt urna. Nulla ullamcorper vestibulum turpis. Pellentesque cursus luctus mauris. Nulla malesuada porttitor diam. Donec felis erat, congue non, volutpat at, tincidunt tristique, libero. Vivamus viverra fermentum felis. Donec nonummy pellentesque ante. Phasellus adipiscing semper elit. Proin fermentum massa ac quam. Sed diam turpis, molestie vitae, placerat a, molestie nec, leo. Maecenas lacinia. Nam ipsum ligula, eleifend at, accumsan nec, suscipit a, ipsum. Morbi blandit ligula feugiat magna. Nunc eleifend consequat lorem. Sed lacinia nulla vitae enim. Pellentesque tincidunt purus vel magna. Integer non enim. Praesent euismod nunc eu purus. Donec bibendum quam in tellus. Nullam cursus pulvinar lectus. Donec et mi. Nam vulputate metus eu enim. Vestibulum pellentesque felis eu massa. 31

Short Chapter Heading Quisque ullamcorper placerat ipsum. Cras nibh. Morbi vel justo vitae lacus tincidunt ultrices. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. In hac habitasse platea dictumst. Integer tempus convallis augue. Etiam facilisis. Nunc elementum fermentum wisi. Aenean placerat. Ut imperdiet, enim sed gravida sollicitudin, felis odio placerat quam, ac pulvinar elit purus eget enim. Nunc vitae tortor. Proin tempus nibh sit amet nisl. Vivamus quis tortor vitae risus porta vehicula. 3.2 Section Heading Fusce mauris. Vestibulum luctus nibh at lectus. Sed bibendum, nulla a faucibus semper, leo velit ultricies tellus, ac venenatis arcu wisi vel nisl. Vestibulum diam. Aliquam pellentesque, augue quis sagittis posuere, turpis lacus congue quam, in hendrerit risus eros eget felis. Maecenas eget erat in sapien mattis porttitor. Vestibulum porttitor. Nulla facilisi. Sed a turpis eu lacus commodo facilisis. Morbi fringilla, wisi in dignissim interdum, justo lectus sagittis dui, et vehicula libero dui cursus dui. Mauris tempor ligula sed lacus. Duis cursus enim ut augue. Cras ac magna. Cras nulla. Nulla egestas. Curabitur a leo. Quisque egestas wisi eget nunc. Nam feugiat lacus vel est. Curabitur consectetuer. Suspendisse vel felis. Ut lorem lorem, interdum eu, tincidunt sit amet, laoreet vitae, arcu. Aenean faucibus pede eu ante. Praesent enim elit, rutrum at, molestie non, nonummy vel, nisl. Ut lectus eros, malesuada sit amet, fermentum eu, sodales cursus, magna. Donec eu purus. Quisque vehicula, urna sed ultricies auctor, pede lorem egestas dui, et convallis elit erat sed nulla. Donec luctus. Curabitur et nunc. Aliquam dolor odio, commodo pretium, ultricies non, pharetra in, velit. Integer arcu est, nonummy in, fermentum faucibus, egestas vel, odio. 3.2.1 Subsection Heading Sed commodo posuere pede. Mauris ut est. Ut quis purus. Sed ac odio. Sed vehicula hendrerit sem. Duis non odio. Morbi ut dui. Sed accumsan risus eget odio. In hac habitasse platea dictumst. Pellentesque non elit. Fusce sed justo eu urna porta tincidunt. Mauris felis odio, sollicitudin sed, volutpat a, ornare ac, erat. Morbi quis dolor. Donec pellentesque, erat ac sagittis semper, nunc dui lobortis purus, quis congue purus metus ultricies tellus. Proin et quam. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos hymenaeos. Praesent sapien turpis, fermentum vel, eleifend faucibus, vehicula eu, lacus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Donec odio elit, dictum in, hendrerit sit amet, egestas sed, leo. Praesent feugiat sapien aliquet odio. Integer vitae justo. Aliquam vestibulum fringilla lorem. Sed neque lectus, consectetuer at, consectetuer sed, eleifend ac, lectus. Nulla facilisi. Pellentesque eget lectus. Proin eu metus. Sed porttitor. In 32

Short Chapter Heading hac habitasse platea dictumst. Suspendisse eu lectus. Ut mi mi, lacinia sit amet, placerat et, mollis vitae, dui. Sed ante tellus, tristique ut, iaculis eu, malesuada ac, dui. Mauris nibh leo, facilisis non, adipiscing quis, ultrices a, dui. 3.2.2 Subsection Heading Morbi luctus, wisi viverra faucibus pretium, nibh est placerat odio, nec commodo wisi enim eget quam. Quisque libero justo, consectetuer a, feugiat vitae, porttitor eu, libero. Suspendisse sed mauris vitae elit sollicitudin malesuada. Maecenas ultricies eros sit amet ante. Ut venenatis velit. Maecenas sed mi eget dui varius euismod. Phasellus aliquet volutpat odio. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; Pellentesque sit amet pede ac sem eleifend consectetuer. Nullam elementum, urna vel imperdiet sodales, elit ipsum pharetra ligula, ac pretium ante justo a nulla. Curabitur tristique arcu eu metus. Vestibulum lectus. Proin mauris. Proin eu nunc eu urna hendrerit faucibus. Aliquam auctor, pede consequat laoreet varius, eros tellus scelerisque quam, pellentesque hendrerit ipsum dolor sed augue. Nulla nec lacus. Suspendisse vitae elit. Aliquam arcu neque, ornare in, ullamcorper quis, commodo eu, libero. Fusce sagittis erat at erat tristique mollis. Maecenas sapien libero, molestie et, lobortis in, sodales eget, dui. Morbi ultrices rutrum lorem. Nam elementum ullamcorper leo. Morbi dui. Aliquam sagittis. Nunc placerat. Pellentesque tristique sodales est. Maecenas imperdiet lacinia velit. Cras non urna. Morbi eros pede, suscipit ac, varius vel, egestas non, eros. Praesent malesuada, diam id pretium elementum, eros sem dictum tortor, vel consectetuer odio sem sed wisi. 3.3 Section Heading Sed feugiat. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Ut pellentesque augue sed urna. Vestibulum diam eros, fringilla et, consectetuer eu, nonummy id, sapien. Nullam at lectus. In sagittis ultrices mauris. Curabitur malesuada erat sit amet massa. Fusce blandit. Aliquam erat volutpat. Aliquam euismod. Aenean vel lectus. Nunc imperdiet justo nec dolor. Etiam euismod. Fusce facilisis lacinia dui. Suspendisse potenti. In mi erat, cursus id, nonummy sed, ullamcorper eget, sapien. Praesent pretium, magna in eleifend egestas, pede pede pretium lorem, quis consectetuer tortor sapien facilisis magna. Mauris quis magna varius nulla scelerisque imperdiet. Aliquam non quam. Aliquam porttitor quam a lacus. Praesent vel arcu ut tortor cursus volutpat. In vitae pede quis diam bibendum placerat. Fusce elementum convallis neque. Sed dolor orci, scelerisque ac, dapibus nec, ultricies ut, mi. Duis nec dui quis leo sagittis commodo. 33

Short Chapter Heading Aliquam lectus. Vivamus leo. Quisque ornare tellus ullamcorper nulla. Mauris porttitor pharetra tortor. Sed fringilla justo sed mauris. Mauris tellus. Sed non leo. Nullam elementum, magna in cursus sodales, augue est scelerisque sapien, venenatis congue nulla arcu et pede. Ut suscipit enim vel sapien. Donec congue. Maecenas urna mi, suscipit in, placerat ut, vestibulum ut, massa. Fusce ultrices nulla et nisl. Etiam ac leo a risus tristique nonummy. Donec dignissim tincidunt nulla. Vestibulum rhoncus molestie odio. Sed lobortis, justo et pretium lobortis, mauris turpis condimentum augue, nec ultricies nibh arcu pretium enim. Nunc purus neque, placerat id, imperdiet sed, pellentesque nec, nisl. Vestibulum imperdiet neque non sem accumsan laoreet. In hac habitasse platea dictumst. Etiam condimentum facilisis libero. Suspendisse in elit quis nisl aliquam dapibus. Pellentesque auctor sapien. Sed egestas sapien nec lectus. Pellentesque vel dui vel neque bibendum viverra. Aliquam porttitor nisl nec pede. Proin mattis libero vel turpis. Donec rutrum mauris et libero. Proin euismod porta felis. Nam lobortis, metus quis elementum commodo, nunc lectus elementum mauris, eget vulputate ligula tellus eu neque. Vivamus eu dolor. Nulla in ipsum. Praesent eros nulla, congue vitae, euismod ut, commodo a, wisi. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Aenean nonummy magna non leo. Sed felis erat, ullamcorper in, dictum non, ultricies ut, lectus. Proin vel arcu a odio lobortis euismod. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; Proin ut est. Aliquam odio. Pellentesque massa turpis, cursus eu, euismod nec, tempor congue, nulla. Duis viverra gravida mauris. Cras tincidunt. Curabitur eros ligula, varius ut, pulvinar in, cursus faucibus, augue. Nulla mattis luctus nulla. Duis commodo velit at leo. Aliquam vulputate magna et leo. Nam vestibulum ullamcorper leo. Vestibulum condimentum rutrum mauris. Donec id mauris. Morbi molestie justo et pede. Vivamus eget turpis sed nisl cursus tempor. Curabitur mollis sapien condimentum nunc. In wisi nisl, malesuada at, dignissim sit amet, lobortis in, odio. Aenean consequat arcu a ante. Pellentesque porta elit sit amet orci. Etiam at turpis nec elit ultricies imperdiet. Nulla facilisi. In hac habitasse platea dictumst. Suspendisse viverra aliquam risus. Nullam pede justo, molestie nonummy, scelerisque eu, facilisis vel, arcu. Curabitur tellus magna, porttitor a, commodo a, commodo in, tortor. Donec interdum. Praesent scelerisque. Maecenas posuere sodales odio. Vivamus metus lacus, varius quis, imperdiet quis, rhoncus a, turpis. Etiam ligula arcu, elementum a, venenatis quis, sollicitudin sed, metus. Donec nunc pede, tincidunt in, venenatis vitae, faucibus vel, nibh. Pellentesque wisi. Nullam malesuada. Morbi ut tellus ut pede tincidunt porta. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Etiam congue neque id dolor. Donec et nisl at wisi luctus bibendum. Nam interdum tellus ac libero. Sed sem justo, laoreet vitae, fringilla at, adipiscing ut, nibh. Maecenas non sem 34