Sirontaluento 5 Säteilynkulkua Keskiviikko 16.2.2011, kello 10-12
Sisältöä Monisironta Säteilynkulkuteoria 1-ulotteiset tasoaineet, plane-parallel Lommel-seeliger joistakin approksimaatioista Discrete order menetelmä DISORT-koodi
Monisironta, mitä se on? Partikulaarisessa aineessa intuitiivisesti selvä: valo etenee aineeseen, siroaa ensimmäisesti kappaleesta, etenee ympäriinsä, osuu toiseen kappaleeseen ja siroaa, ja jälleen etenee ja siroaa. Toisissa tapauksissa, esim. sironta karkeasta pinnasta, erittely yksinkertaiseen ja moninkertaiseen sirontaan on osin mielivaltainen, käytetystä mallista ja menetelmästä riippuva. Myös erilaisissa aggrekaatti-kappaleissa (ryppäissä), voidaan asiaa tarkastella monelta tasolta, ja usein monimutkaisemmissa väliaineissa ongelmaa voidaan ratkaista monella tasolla: alin yksittäinen sirottaja - monisironta aggregaatin sisällä - aggrekaatti uusi yksinkertainen sirottaja - monisironta aggregaattien välillä. Esim. sironta neulasen sisällä, neulasten välillä versossa, versojen välillä oksassa, oksien välillä puussa, puiden välillä.
Säteilynkulkuteoriaan Rajoitetaan tarkastelua. Oletetaan aluksi tuleva kenttä on sirottajan ympärillä tasoaaltomainen, aallonpituus säilyy, ajalliset muutokset hitaita, yksittäinen sironta voidaan makroskooppisesti lokalisoida yhteen pisteeseen, ja kuvata sironta vaikutusalalla, albedolla ja sirontavaihematriisilla, I s = σ ϖ 0P(θ) I 0 sirottajat ovat sen verran kaukana toisistaan, että lähikentät (1/R 2 ja 1/R 3 -termit) voidaan unohtaa, sirottajat ovet sen verran satunnaisesti sijoittuneita (ja iso näyte), että interferenssit nollautuvat ( E 1 + E 2 2 = E 1 2 + E 2 2 + E 1 E 2 + E 1 E 2 = E 1 2 + E 2 ), ja voidaan käyttää sädeoptiikan lakeja, sirottajat täysin toisistaan riippumattomia. Näiden vahvuutta voi miettiä, ja kaikkiin vielä palataan.
Eteneminen Oletetaan laatikko, pituus x, pohjan ala A. Sinne 1 hiukkanen, vaikutusala σ. Valaistaan kohtisuoraan pohjan läpi. Läpi pääsee nyt V = (A σ)/a = 1 σ/a osa valosta. Laitetaan toinen hiukkanen. Nyt pääsee V = (1 σ/a)(1 σ/a) osuus valoa. Ja N:lle hiukkaselle sitten pätee V = (1 σ/a) N. Määritellään hiukkastiheys ρ = N/Ax, eli A = N/ρx, jolloin vaimenema on V = (1 σ/a) N = (1 σρx/n) N. Otetaan raja, kun N, saadaan V = exp( σρx), eli tuttu exponentiaalinen vaimennus. Usein määritellään vielä ekstinktiokerroin β = σρ, yksikkö [1/m]. Mikäli aineessa on tiheysvaihtelua, kaava yleistyy suoraviivaisesti V = exp( dlβ(r(l))), missä integraaali menee etenemisviivaa (sädettä) pitkin.
Yhtälö Jos nyt oletetaan, että valaisemme ainetta valokimpulla I 0 paikoista r 0 voimme kirjoittaa havaitulle valolle kohdassa r, suuntaan k: ˆ ˆ I(r, k) = V (r, r 0 )I 0 (r 0, k)+ dlv (r, r ) d 2 k ϖ 0P(k, k ) β(r )I(r, k ), (1) missä r = r lk, ja V (r, r 0 ) = exp( dl β(r (l))).
DY Sama differentiaalimuodossa: ˆ di(r, k) = j(r, k) β(r)i(r, k) + dl d 2 k ϖ 0P(k, k ) β(r)i(r, k ), (2) missä l-derivaatta on k:n suuntaan, eli di dl = k I ja j emissiotermi (yleensä emme tällä kurssilla välitä paljoa sisäisestä emissiosta). Eräissä ratkaisumenetelmissä on edullista sijoittaa tuleva kenttä differentiaaliyhtälönkin sisään lähdetermiksi reunaehdon sijaan: di(r, k) dl ˆ = β(r)i(r, k) + d 2 k ϖ 0P(k, k ) β(r)i(r, k ) + q(r)β(r) (3) q = ϖ 0P(k, k 0 ) V I 0, (4)
1-ulotteinen tapaus Yksinkertaistetaan lisää. Oletataan 1-ulotteinen väliaine, β = β(z), ja valaisu ulkoa äärettömästi (=vain z-reunaehto, ei sisäistä emissiota), eli kaikki xy-suunnissa äärettömiä. Määritellään µ = cos ɛ eli zeniittikulman kosini, ja optinen syvyys τ = 0 z dz β(z ) (dτ/dz = β). Nyt voimme kirjoittaa ˆ di(τ, µ, φ) µ = I(τ, µ, φ)+ dτ dµ dφ ϖ 0P(µ, µ, φ, φ, τ) I(τ, µ, φ )+q, (5) Usein vielä oletaan, että sironta riippuu vain vaihekulmasta P(µ, µ, φ, φ ) = P(α), jolloin ˆ di(τ, µ, φ) µ = I(τ, µ, φ)+ dµ dφ ϖ 0P(α, τ) I(τ, µ, φ )+q, (6) dτ Tämä on kaikkein tavallisin ja yleisimmin käytetty muoto säteilynkulkuyhtälöstä, ja useimmat ilmakehän, kasvuston, regoliitin, lumen ja merien mallitukset lähevät tästä, kaikkine rajallisuuksineen.
1-ulotteisia laskusuureita BRF BRDF BTF albedo ˆ A(µ 0 ) = dµdφµr(µ, µ 0, φ) (7)
Yksinkertainen sironta Yhtälö voidaan analyyttisesti ratkaista yksinkertaiselle sironnalle. Olkoon meillä puoliääretön homogeeninen väliaine pinnan z = 0 alla, ja katsotaan suunnasta µ, φ, ja valaistaan µ 0, φ 0 ˆ I s (µ) = dτ/µ exp( τ/µ) ϖ 0P(α) exp( τ/µ 0 )I 0 (µ 0, φ 0 ) (8) vähän järjestellen ja helposti integroituu eli = ϖ 0P(α) ˆ = ϖ 0P(α) = ϖ 0P(α) R(µ, µ 0, φ, φ 0 ) = ϖ 0P(α) dτ exp( τ µ + µ 0 µµ 0 )I 0 (9) 1 µµ 0 I 0 (10) µ µ + µ 0 1 µ 0 I 0, (11) µ + µ 0 1. (12) µ + µ 0
Moninkertainen sironta, kertalukumenetelmä Tästä voidaan jatkaa laskemalla toinen, joskus usempikin kertaluku raaalla integroinnilla: ˆ R 2 = dz 1 dz 2 dxdyv 2 β ϖ 0P(α 2 ) V 1 β ϖ 0P(α 1 ) 1 V 0. (13) µµ 0 On sinänsä suoraviivaisesti numeerisesti integroitavissa, mutta nykyään harvemmin käytetty menetelmä. Pientä arvonpalautusta joissakin tilanteissa voisi kuitenkin miettiä, missä tällä voi käyttää tarkempaa laksua, kuin yleisemmissä moninkertaisen sironnan menetelmissä.
Moninkertainen sironta, isotrooppinen Kun sironta isotrooppista ja polarisoitumatona, P = P = 1, voidaan kirjoittaa di (z, µ, φ) µ dτ = I (τ, µ, φ) + ϖ ˆ 0 dµ dφ I (τ, µ, φ ). (14) Tälle on olemassa analyyttinen ratkaisu, tai ainakin melkein (Chandrasekhar, Sobolev, etc.). Yksinkertaistettua muotoa käytetään mm. Hapken ja Lumpeen-Bowellin heijastusmalleissa missä R ϖ 0 1 H(µ)H(µ 0 ), (15) µ + µ 0 H(µ) 1 + 2µ 1 + 2µ 1 ϖ 0. (16) Pätee n. 4% tarkkuudella. Tätä käytetään usein yhdessä Lommel-Seeliger lain kanssa siten, että yksinkertaisessa sironnassa huomioidaan tarkempi anisotropia (P = P(α)), ja mahdollisesti muitakin korjauksia.
Moninkertainen sironta, muita approksimaatioita Lisäksi on olemassa erilaisia semianalyyttisiä approksimaatioita eri käyttöön. Esim. hyvin voimakkaalle etu- tai takasironnalle. Hyvin syvällä aineen sisällä, missä valo on jo lähes isotrooppista, voidaa käyttää diffuusioapproksimaatiota. Jatkamme kuitenkin numeerisiin menetelmiin.
Atsimuutti Tehdään Fourier-muunnos, I (φ) = m eimφ I m ˆ di (τ, µ, φ) µ = βi (z, µ, φ) + dµ dφ ϖ 0P(α) I (τ, µ, φ ), (17) dτ µ d m eimφ I m dτ josta = m ˆ e imφ I m + dµ dφ ϖ 0P(α) e imφ I m, (18) µ di ˆ m dτ = I m + dµ dφ ϖ 0P m (µ, µ 0 ) I m, (19) missä P m (µ, µ 0 ) = dφe imφ P(µ, µ 0, φ). Eli kun atsimuuttisiotrooppinen väliaine, niin atsimuutin Fourier-kertaluvut separoituu, ja voidaan kukin ratkaista erikseen. (Laita jonnekin tarpeen mukaan vielä 2π?) Jatkossa oletetaan, että koko ajan ratkaistaan Fourier-kertoimia, vaikkei välttämättä indeksiä esitetäkään, ellei eksplisiittisesti muuta sanota. m
Sirontamatriisikehitelmästä Pieni sivuhyppy. Äsken saimme P m (µ, µ 0 ) = dφe imφ P(µ, µ 0, φ). Jos oletamme, että kehitämme vaihefunktion Legendren sarjana P(α) = l ϖ l(2l + 1)P l (α), missä P l edustaa Legendren polynomeja, voimme soveltaa tunnettua kaavaa P l (α) = l (l m)! m= l (l+m)! Pm l (µ) (l m)! (l+m)! Pm l (µ 0 )e imφ, missä Pl m on Legendgren liittopolynomi. Jolloin vaihefunktion Fourier muunnos P m (µ, µ 0 ) = l (l m)! ϖ l (2l + 1) (l + m)! Pm l (µ)pl m (µ 0 ) (20) Saman voi kirjoittaa koko Mullerin matriisille, joskin joillekin elementeille on edullista kirjoittaa hieman rajoitetummassa muodossa näiden lineaarikombinaatioita, jolloin tietyt symmetriat tulee eksplisiittisemmin esille, esim. kun α = 0 ja α = π.
Discrete ordinate Lyhyt yleiskuva menetelmästä. Polarisoimaton väliaine. di (τ, µ) µ dτ ˆ+1 = I (τ, µ) + dµ ϖ 0P(µ, µ ) I (τ, µ ) + q(τ, µ), (21) 1 Diskretoidaan kulma-integraali: µ i di i (z) dτ = I i (τ) + 2N j ϖ 0 P(µ i, µ j ) w j I j (τ) + q i (τ), (22) missä I i = I (µ i ), ja w j on kvadratuurin paino. Yleensä käytetään Gauss-Legendre-integrointia ylä- ja alapuolelle erikseen.
N=1, two stream Alkuverryttelynä yksinkertaisin tapaus, vain µ = µ 1 ja µ = µ 1, merkataan indekseillä + ja -: µ 1 di + (τ) dτ µ 1 di (τ) dτ tai µ 1 d dτ [ I + (τ) I (τ) = I + (τ)+w 1 ϖ 0 P(µ 1, µ 1 ) = I (τ)+w 1 ϖ 0 P( µ 1, µ 1 ) ] [ α β = β α ] [ I + (τ) I (τ) I + ϖ 0 P(µ 1, µ 1 ) (τ)+w 1 I (τ)+q +, (23) I + ϖ 0 P( µ 1, µ 1 ) (τ)+w 1 ] [ q + + q ] (24) (25) I (τ)+
DY ratkaisua On siis differentiaaliyhtälöryhmä. Ratkaisu koostuu homogeenisen yhtälön ratkaisuista + erityisratkaisusta + reunaehdoista. Homogeninen yhtälö siis lähdetermitön (q).
Homogeeninen yhtälö [ d I µ + (τ) 1 dτ I (τ) ] [ α β = β α ] [ I + (τ) I (τ) Kokeillaan yritettä I ± = G ± e kτ, jossa k ominaisarvo ja G ± ominaisvektori, jolloin saadaan yhtälöryhmä [ ] [ ] [ ] G + α β G + µ 1 k G = β α G ] (26) (27)
H 2 tästä voidaan sitten ratkaista muutaman vaiheen jälkeen, että G ± = 1 [ 1 ± α + β ], (28) 2 k ja k + = k = α 2 β 2 =... (29) jolloin homogeeniset rakaisut voidaan kirjoittaa I = C + G + e k+τ + C G e k τ = j=+ C j G j e k j τ (30)
Erityisratkaisu Lähdetermille muotoa q(τ, µ) = X 0 (τ, µ)e τ/µ 0 kannattaa kokeilla erityisratkaisua I i = Z 0 (µ i )e τ/µ 0 (Miksi??). Saadaan yhtälöryhmä N j= N, 0 (( 1 + µ ) ) j δ ij w j D(µ i, µ j ) Z 0 (µ j ) = X 0 (µ i ) (31) µ 0 josta Z 0 (µ i ) saadaan ratkaistua numeerisesti.
Yleinen ratkaisu Nyt voidaan yleinen ratkaisu kirjoittaa I = N j= N C j G j e k j τ, (32) kun sovitaan, että k 0 = 1/µ 0 ja C 0 G 0 = Z 0. Kertoimet C määritellään sitten reunaehdoista, ihan kohtuullisen vaivan jälkeen. Kuten arvata saattaa tämä yhtälö yleistyy 2-streamista mielivaltaiselle N:lle, joskin johdossa on vähän enemmän tavaraa.
Kerrostunut aine Discrete ordinate menetelmä ei sovellu yleiseen β = β(z) tapaukseen, mutta paloittain kerrostuneeseen plane-parallel-väliaineeseen sopii mainiosti. Tällöin kehitetään joka kerrokselle ylläoleva ratkaisu, ja asetetaan jakuvuusreunaehto kerrosten välille.
Parannuksia Etupiikittynyt aine tarvitsee paljon kulmia hyvään tarkkuuteen mikä hidastaa suoritusta: Nakajima-korjaus, jaetaan sironta yleisdiffuusiin ja etupiikkiin, pärjätään vähemmillä kulmilla. Lopputulos haluttaisiin hyvin suurella kulmatarkkuudella, mutta vaatii aikaa: lasketaan ensiksi maltillisella kulmatarkkuudella, sitten säteilynkulkuyhtälön avulla interpoloidaan kaikki välikulmat halutulla resoluutiolla. Yksittäinen sironta voidaan laskea erikseen, joskus lisäkorjaus myös kaksinkertaiselle.
Ominaisuuksia laskentanopeus riippuu kulmien määrästä N 3 ja kerrosten määrästä lineaarisesti, mutta ei kerrosten paksuudesta, tarkkuus yleensä kohtuuhyvä, ϖ 0 = 1 rajalla vähän tiukkaa, yleensä vaatii hyvät matriisinkäsittelyohjelmat, terminen emissio helposti sisällytettävissä, ei osaa huomioida polarisaatiota.
DISORT Vapaasti saatavilla oleva erittäin paljon käytetty koodi on DISORT. ftp://climate1.gsfc.nasa.gov/wiscombe/multiple_scatt/ Aika moni muukin säteilypaketti käyttää tätä osana. Erittäin hyvin testattu ja asemansa vakiinnuttanut, ja aika vapaassa käytössä. Eipä kannata lähteä itse koodailemaan.