|
|
- Ville-Veikko Toivonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Marko Tapani Sysi-Aho 485P Pääaine: Systeemi- ja operaatiotutkimus Mat-2.18 Sovelletun matematiikan erikoistyöt (2/2) Osaketuottojen tyylitellyt faktat ja Minority Game Espoo
2 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Tyylitellyt faktat havaintoaineistossa Data Leptokurtisuus Autokorrelaatiot Minority Game pelit Standardi MG MG ja tyylitellyt faktat MG modikaatioehdotus Pohdinnat ja yhteenveto 15 1
3 1 Johdanto Nykyisen rahoitusteorian juuret ulottuvat viime vuosisadan alkuun, 19-luvulle. Tuolloin ranskalainen matemaatikko Bachelier [11] kehitti satunnaiskävelyprosessin tutkiessaan osaketuottoja. Hänen alkuperäisessä mallisaan oletettiin prosessissa olevat satunnaismuuttujat riippumattomiksi, ja normaalijakautuneiksi. Myöhemmin havaittiin, että kumpikaan näistä oletuksista ei ollut alkuperäiseen tarkoitukseensa, osaketuottojen kuvaukseen erityisen hyvä [1, 2, 1, 3]. Käynnistyi laaja ja perusteellinen tilastollinen tutkimus, jonka tarkoituksena oli selvittää miltä osin tuotot poikkesivat Bachelierin perusolettamuksista, ja mitkä ovat tuottojen todelliset tilastolliset piirteet. Tätä tutkimusta tekivät lukujen aikana monen eri alan tieteiden harjoittajat, ja tutkimukset kohdistuivat lukuisiin indekseihin ja osakkeisiin [13, 12, 6, 14, 4, 16]. Kohteiden laajasta kirjosta huolimatta kaikissa tapauksissa tuloksissa esiintyi yhteisiä piirteitä, ns. tyyliteltyjä faktoja. Päällimmäisinä näistä nousevat esille tuottojakauman leptokurtisuus,varianssin klusteroituminen, ja tuottojen itseisarvojen huomattavan pitkälle ulottuvat autokorrelaatiot vastakohtana itse tuottojen lyhyille autokorrelaatioille. Vaikka tyylitellyt faktat ovat olleet kauan tiedossa, on selityksiä niiden syntymekanismille yritetty ratkoa vakavasti vasta viime aikoina. Aiemmin valtaosa tutkimuksesta ja mallien kehittelystä lähti liikkeelle teorian käytännön sovelluksista [14, 4]. Esimerkiksi tuottojakauman oikealla muodolla sinänsä on monia sovelluksia hinnoittelussa ja riskienhallinnassa; tieto siitä miksi muoto on sellainen kuin on, ei näissä sovelluksissa ole keskeisellä sijalla. Tiettyä valaistusta tyyliteltyjen faktojen syntyyn antoivat leptokurtisia jakaumia synnyttävät stokastiset prosessit, kuten levy lento tai erilaiset geometrisen brownin liikkeen yleistykset. Näissä brownin liikkeen stokastiseen dierentiaaliyhtälöön lisättiin termejä tai sallittiin parametrien aika- ja paikkariippuvuus [18, 17]. Stokastisia malleja paremmin tyyliteltyjen faktojen syntyyn voidaan kuitenkin pureutua agenttipohjaisten mallien avulla. Näiden mallien lähtökohtana on luoda markkinoilla toimiville agenteille toimintastrategia tiettyjen yleisesti sopivina pidettyjen sääntöjen pohjalta. Klassiset agenttimallit perustuvat oletukseen tehokkaista markkinoista: agentit ovat rationaalisia, ne pystyvät hyödyntämään kaiken markkinoille saapuvan informaation ja kuvaamaan tämän informaation hintoihin. Agenttien toiminta on virheetöntä, ja kaikki ovat yhtä eteviä; kun agentit kohtaavat hinnoitteluongelman tai sijoituspäätöksen ei synny arbitraasi mahdollisuuksia. Agenttien toimintaa ohjaavat hyötyfunktiot, jokainen toimii siten että oma hyöty maksimoituu. Peliteoreettisissa malleissa agentit voivat maksimoida hyötyä ottamalla huomioon kaikkien markkinoilla vaikuttavien pelaajien toimet. Yksinkertaisemmissa malleissa 2
4 pelaajat ottavat huomioon vain omat toimintansa. Klassisten mallien suuri puute on teorian irrallisuus todellisuudesta. Markkinoilla toimivat agentit ovat sijoituspäätöksiä tehdessään kaikkea muuta kuin samanarvoisia. Rationaalista hintaa ei ole, tai ainakaan sitä ei kukaan osaa laskea. Kaikkea markkinoille saapuvaa informaatiota ei kyetä täydellisesti hyödyntämään eikä siirtämään hintoihin. Spekulanttien markkinoilla tekemien päätösten vaikutusta ei niin ikään voida ennustaa. Lähes kaikki mallin pohjana olevat oletukset kaatuvat kritiikin edessä. Muun muassa edellä mainittujen ongelmien vuoksi on hiljattain alettu kehittää vaihtoehtoisia agenttipohjaisia malleja. Tunne siitä että yksittäisen toimijan avulla voidaan selittää aggregaattisuureiden käytöstä on vahva, ja syntyvä teoria antaa puutteellisenakin markkinoiden toiminnasta muita lähestymistapoja syvällisemmän kuvan. Erityisen mielenkiintoisen vaihtoehdon agenttipohjaisiin malleihin tarjoaa Minority Game (MG), joka pohjimmiltaan on karkea peliteorreettisten mallien erikoistapaus. Minority Game sai alkunsa vuonna 1997, kun fyysikot Challet ja Zhang [7] pelkistivät Arthurin kuuluisaa El Farol baari ongelmaa [19]. Alkuperäisessä ongelmassa satapäisellä joukolla Santa Fe'n tutkijoita oli tapana työpäivän päätteeksi mennä El Farol nimiseen baariin, jossa oli ainoastaan 6 istumapaikkaa. Kaikki halusivat mieluiten baariin, mutta olivat ennemmin kotona kuin seisoivat baarissa. Näin tutkijoiden keskuuteen syntyi pulma, jossa etukäteen pyrittiin laatimaan oikea strategia päivän päätteeksi. MG alkuperäisessä muodossaan muunti ongelman siten että päätöksentekijä kunakin hetkenä valitsee toisen kahdesta vaihtoehdosta, ja ne jotka lopuksi kuuluvat vähemmistöön voittavat. Myöhemmin MG periaatetta on yleistetty, ja luotavan mallin tavoiteena on usein osaketuottojen tyyliteltyjen faktojen selittäminen. Hieman yllättäen työtä tällä saralla ovat pääasiassa tehneet fyysikot, jotka ovat hyödyntäneet monia analogioita spinglass teorian ja MG:n välillä. Selkeänä tavoitteena on ollut pyrkimys teoriaan, joka pysyy analyyttisesti hallittavissa. Tässä erikoistyössä havainnollistetaan Standard and Poors 5 (SP) osake indeksissä esiintyviä tyyliteltyjä faktoja, ja perehdytään MG:n perusversioihin. Tarkoituksena on saada yleiskuva MG tutkimuksen tämän hetkisestä tilasta ja selvittää voidaanko peliin pohjautuvilla malleilla tuottaa tyyliteltyjä faktoja. Konkreettisemmin asiaan pureudutaan kehittämällä simulointi ohjelma, jolla voidaan tarkastella yksinkertaista MG peliä. Lisäksi ehdotetaan uutta MG pohjaista mallia koodaukseen riittävällä tarkkuudella. 3
5 2 Tyylitellyt faktat havaintoaineistossa Tämän kappaleen tarkoituksena on havainnollistaa tyyliteltyjä faktoja havaintoaineiston kautta. Kuten johdannossa mainittiin, nousevat tyylitellyistä faktoista päällimmäisinä esiin volatiliteetin klusteroituminen, tuottojen itseisarvojen ja neliöiden pitkälle ulottuvat autokorrelaatiot, itse tuottojen lyhyet autokorrelaatiot ja tuottojakauman leptokurtisuus. Nämä piirteet voidaan löytää lähes poikkeuksetta jokaisen osakkeen tai indeksin historiasta. Edellä mainittujen ominaisuuksien lisäksi käsiteellä tyylitellyt faktat viitataan alan tutkimuksissa lähes mihin tahansa poikkeamaan normaalisuudesta ja klassisesta brownin liikkeestä. Käsite ei ole tarkasti rajattu: se viittaa keskimäärin havainnoista tehtyihin yleisiin tuottoja kuvaaviin piirteisiin, joihin päällimmäisinä esiin nousevat aina kuuluvat. 2.1 Data 15 SP indeksi ajalta SP indeksin logaritmiset tuotot Kuva 1:SP indeksin kehitys ja logaritmiset tuotot ajalta Havaintoaineiston muodostaa SP indeksin korkean frekvenssin data 1 ajalta Tästä datasta on laskettu logaritmiset tuotot: kun indeksin arvo hetkellä t on P t,onlogaritminen tuotto r t = ln(p t =P t,1) (1) Kuvassa 1 vasemmalla näkyy SP indeksin päivittäisten arvojen kehitys kyseiseltä ajanjaksolta. Kuva oikealla esittää indeksistä laskettua tuottosarjaa. Vaikka kuvassa olevat tuotot edustavat ainoastaan kolmen vuoden jaksoa, voidaan havaita volatiliteetiltaan poikkeavia periodeja. Indeksissä esiintyvät notkahdukset 1 Korkean frekvenssin data käsitteen sijasta käytetään laajemmin nimeä tick data. Nimi viittaa osakkeen myyntihinnan kijaukseen jokaisen kontraktin jälkeen (tick by tick). Indeksin kohdalla nimi on hieman harhaan johtava, sillä indeksin arvot kirjataan n. 2s tasaisin väliajoin. 4
6 heijastavat sijoittajien epävarmuutta, joka hinnoittelun kautta ilmenee tuottojen keskimääräistä suurempana hajontana. 2.2 Leptokurtisuus Taulukossa 1 on havaintoaineistoa kuvaavia tunnuslukuja. Koko havaintoaineiston lisäksi on tutkittu erikseen 9 ensimmäistä havaintoa, jotka on jaettu järjestyksessä kolmeen samanpituiseen ryhmään. Sekä keskiarvon poikkeaminen mediaanista että suuret huipukkuuden arvot antavat vahvan viitteen siitä, että tuottojen kohdalla kyse ei ole normaalijakautuneesta satunnaismuuttujasta. Tarkemmin normaalisuutta on tutkittu Jarque-Bera testin avulla. Nollahypoteesi on, että havaintoaineisto noudattaa normaalijakaumaa. Testisuure JB =(N=6), S 2 +(K, 3) 2 =4 (2) noudattaa 2 -jakaumaa kahdella vapausasteella. Kaavassa esiintyvät vinous S = E[X, ] 3 = 3 ja huipukkuus 2 K = E[X, ] 3 = 4. Testin riskitasoksi on valittu =:5, ja tätä arvoa vastaava kriittinen raja on JB c =5:99. Oletus normaalisuudesta hylätään kaikissa tapauksissa. Havaintoaineistoissa oleva vinous on vähäistä, mutta huipukkuus selvää. Kuvassa 2 jakauman leptokurtisuus ilmenee selvästi. Yhtenäinen viiva kuvaa tuottojen tiheysfunktion estimaattia, ja katkoviiva dataan momenttimenetelmällä sovitettua normaalijakaumaa. Tiheysfunktio on estimoitu ydintiheys menetelmällä [5] normaalijakauma ytimellä. Data N mean med std kurt skew JB hylkää SP tick e-3 7.5e e13 kyllä SP t e e7 kyllä SP t e-3 8.7e e12 kyllä SP t3 3 8.e-3 7.5e e8 kyllä Taulukko 1: Tunnuslukuja. Kaikissa tapauksissa saadaan vahvaa näyttöä normaalisuutta vastaan. JB testin kriittinen raja JB c = 5:99. Kolmen jakson volatiliteetit poikkeavat selvästi toisistaan 2.3 Autokorrelaatiot Kuvaan 3 on piirretty SP indeksin päivittäisten tuottojen, ja näiden itseisarvojen autokorrelaatiot. Kuvasta havaitaan, kuinka itse tuottojen autokorrelaatio putoaa 2 Engl. skewness, kurtosis 5
7 Kuva 2: Yhtenäinen viiva kuvaa päivittäisten tuottojen ydintiheysestimaattia, ja katkoviiva datasta estimoitua normaalijakaumaa. Todellisella jakaumalla on korkeampi huippu ja paksummat hännät. nopeasti lähelle nollaa. Sen sijaan itseisarvojen autokorrelaatiot ovat suurillakin lageilla nollasta poikkeavia. Tuottojen neliöiden autokorrelaatiot ovat käytökseltään samanlaisia kuin itseisarvojen. Tämä havainto osaltaan vahvistaa käsitystä, jonka mukaan tuottoja ei synnytä ainakaan sellainen satunnaiskävelyprosessi, jossa satunnaismuuttujat ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Jos näin olisi, tulisi tuottojen autokorrelaatioiden lisäksi myös itseisarvojen autokorrelaatioiden pudota nollaan. 1.2 Tuottojen autokorrelaatio 1 Itseisarvojen autokorrelaatio Kuva 3: Vasemmalla tuottojen ja oikealla niiden itseisarvojen autokorrelaatio.tuottojen tapauksessa korrelaatio putoaa alas jo yhden lagin jälkeen. Itseisarvoilla putoaminen on hidasta ja vaikuttaa lineaariselta. Tikc datasta on edelleen laskettu kuinka nopeasti tuottojen autokorrelaatiot todellisuudessa putoavat nollaan tai puolittuvat. Yksi lagi vastaa tässä tapauksessa n. 2 sekuntia. Kuvaan 4 on piirretty autokorrelaatiot koko tick data aineistolle, ja erikseen kolmelle jaksolle. Ensimmäinen kolmannes edustaa suhteellisen rauhallista ajanjaksoa, toisessa on markkinoiden romahduksia ja nousuja; tällaisiin ilmiöihin 6
8 liittyy suuri volatiliteetti, ja kolmas on voimakasta uuden teknologian kehityksen aikaa. Kuvasta voidaan havaita kuinka toisen jakson suuret heilahtelut dominoivat koko ajanjaksolta laskettua autokorrelaatiota: koko jaksolta laskettu estimaatti on yhdenmukainen toiselta kolmannekselta lasketun estimaatin kanssa. Sen sijaan ensimmäisen ja viimeisen jakson kohdalla voidaan havaita eksponentiaalinen putoaminen, joka viimeisellä jaksolla vaikuttaa ensimmäistä nopeammalta: viimeisessä arvot näyttävät putoavan nollaan jo 1 lagin (n. 2s) jälkeen, kun taas ensimmäisessä putoaminen kestää 2 (n. 4s) lagia. Tick datan autokorrelaatio, kaikki havainnot.4.4 Tick datan autokorrelaatio, 1. kolmannes korrelaatio korrelaatio lagi lagi.6 Tick datan autokorrelaatio, 2. kolmannes Tick datan autokorrelaatio, viimeinen kolmannes.4 korrelaatio korrelaatio lagi lagi Kuva 4: Tick datasta lasketut autokorrelaatiot kaikille havainnoille ja erikseen, kun koko aikasarja on jaettu kolmeen osaan. Toisessa kolmanneksessa esiintyvä poikkeuksellisen voimakas heilunta dominoi koko sarjan korrelaatiota. Tämä näkyy toisen kolmanneksen ja koko sarjan autokorrelaatioiden selkeänä yhdenmukaisuutena. Ensimmäisessä ja viimeisessä kolmanneksessa havaitaan autokorrelaation eksponentiaalinen putoaminen Kuvassa 5 on tarkemmin nähtävissä, että ensimmäisen ja viimeisen jakson autokorrelaatiot todella vaimenevat eksponentiaalisesti. Pystyakselilla on korrelaation logaritmi ja vaaka-akselilla lagi. Pienimmän neliösumman menetelmällä havaintoihin sovitettujen suorien kulmakertoimet implikoivat, että viimeisessä jaksossa karakteristinen aika on noin puolet lyhyempi kuin ensimmäisessä jaksossa. Karakteristinen aika kertoo, kuinka nopeasti korrelaatio puolittuu tietystä arvosta. Tämä arvio on 7
9 nähtävissä silmämääräisesti suoraan kuvasta 4. Eksponentiaalinen muoto antaa viitettä siitä, että prosessia voisi kuvata yksinkertaisella ARMA(1,1) prosessilla [15]. Toisistaan poikkeavat karakteristiset ajat ovat ainakin osittain selitettävissä jaksojen erilaisilla volatiliteeteilla: viimeiseen jaksoon liittyvä voimakas uuden teknologian kasvu heijastuu suurempana epävarmuutena. Hinnoittelussa arviot eivät perustu historiallisiin faktoihin, vaan tulevaisuuden odotuksiin. Epävarmuuden keskellä yhdenkin vuosineljänneksen tuloksella on suuri vaikutus kaukaa tulevaisuudesta diskontattaviin kassavirtoihin, ja vakavaraisuudeltaan hennot, kasvuun panostavat uuden teknologian yritykset ovat hinnoiteltaessa erittäin herkkiä saapuvalle informaatiolle. Tämä epävarmuus vilkastuttaa kaupantekoa ja kasvattaa volatiliteettia: markkinat toimivat aktiivisemmin, ja sen seurauksena autokorrelaatio katoaa nopeammin kolmannes 1 Viimeinen kolmannes y=.15x.7 y=.3x ln(corr) ln(corr) lagi lagi Kuva 5: Kuvassa 4 olevista 1. ja viimeisestä kolmanneksesta laskettujen autokorrelaatioiden logaritmit putoavat selvästi suorien y =,:15x, :7 ja y =,:3x, :7 ympärille. Karakteristinen aika on ensimmäisessä kolmanneksessa kahden ja kolmannessa yhden minuutin suuruusluokkaa. (y = ax + b =) =t=a). 3 Minority Game pelit Viime aikoina on yhä enemmän alettu tutkia agenttipohjaisia malleja. Monet näistä sisältävät sellaisia yksityiskohtaisia kuvauksia ja oletuksia, joita todellisuudessa ei voida havaita tai ole olemassa. MG pelit ovat siitä poikkeuksellisia malleja, että niissä on onnistuttu luopumaan monista epärealistisista oletuksista. Jäljelle jääviä oletuksia on vähän, ja ne mahdollistavat joustavan tulkinnan. MG mallit kuvaavat pohjimmiltaan agenttien ja informaation vuorovaikutusta kehittyvässä ympäristössä. Agenteille sallitaan tietty heterogeenisuus dynaamisessa maailmassa; on tyhmiä ja viisaampia, oppivia ja oppimattomia pelaajia. Mallin voidaan sallia jäljittelevän tietyin varauksin luonnollista evoluutiota: pelaajan älykkyys voi kasvaa, ja heikot kuolevat kilpailussa vahvempien tieltä. Systeemin sisälle muodostuu keskinäistä vuorovaikutusta, vaikka agentit itsessään ovat kiinnostuneita vain omasta hyödystään. 8
10 historia s 1 s 2 s Taulukko 2: Kun pelaajan muisti M = 3, voi esiintyä 2 M kaikkiaan 2 2M = 256 eri strategiaa. = 8 eri historiaa, ja Lisäksi MG on iältään nuori; tutkimusta ei ole saatu vielä valmiiksi ja uusille innovaatioille on runsaasti tilaa. 3.1 Standardi MG Pelkistetyin Minority Game [7] on agenttipohjainen malli, jossa N (pariton) pelaajaa valitsee kunakin ajanhetkenä toisen vaihtoehdoista A tai B. Vähemmistöön kuuluvat pelaajat voittavat. Perusmuodossaan malli sisältää kolme parametria: pelaajien lukumäärä N, pelaajan strategioiden määrän S, ja pelaajan muistin M. Edellisten M vaiheen informaatiohistoria eli tieto siitä kumpi valinta, A vai B on johtanut voittoon, on jokaisen pelaajan saatavilla. Pelaajan muisti määrää kuinka monen askelen takaa tätä informaatiota voidaan käsitellä. Strategia puolestaan on sääntö, joka liittää jokaiseen pelaajan kohtaamaan tilanteeseen toiminnan, siis valinnan A tai B. Pelaaja tekee valinnan strategioidensa kesken sen perusteella, kuinka hyvin kukin niistä on tai olisi aiemmin toiminut. Ainoa asia jonka pelaaja saa tietoonsa, on tieto voitosta tai tappiosta; pelaaja ei tiedä esim. kuinka moni on valinnut A:n. Systeemin historia voidaan esittää binäärijonona, 1 merkitsee A:n voittoa ja B:n. Taulukossa 2 on havainnollistettu strategian käsitettä. Tässä tapauksessa pelaajan muisti M =3, jolloin hän voi muistinsa rajoissa kohdata 2 3 =8 eri historiaa. Kuhunkin historiaan liitetään toiminta, jolloin strategioiden kokonaislukumääräksi tulee 2 2M = 2 8 = 256. Strategioiden kokonaismäärä kasvaa nopeasti, kun pelaajan muisti lisääntyy: valinnoilla M = 2; 3; 4; 5 tämä määrä on vastaavasti 16; 256; 65536; Useat strategiat johtavat kuitenkin pitkälle samoihin toimintoihin. Ajatellaan kahta strategiaa, jotka eroavat toisistaan ainoastaan yhden bitin osalta, ja siten niiden määräämät valinnat poikkeavat ainoastaan yhden historian kohdal- 9
11 la. Nämä strategiat eivät silloin ole kovinkaan erilaisia. Strategioiden erilaisuutta pyritään kuvaamaan iskuetäisyydellä, joka on määritelty 2 M dimensioisessa hyperkuutiossa H M. Kahden strategian s; t 2 H M d M (s; t) =D M (s; t)=2 M = 1 välinen iskuetäisyys on 2 M 2 MX js(i), t(i)j (3) i=1 Esimerkiksi taulukossa 2 olevien strategioiden s 1 ;s 2 2 H 3 välinen etäisyys on d 3 (s 1 ;s 2 )= 5=8. Kun historia valitaan satunnaisesti, on todennäköisyys sille, että strategiat t ja s johtavat eri toimiin P (s#t) =1, d M (s; t). Nyt voidaan kysyä kuinka moni strategia poikkeaa oleellisesti annetusta strategiasta s? Selvästi on olemassa yksi täysin vastakkainen strategia s(i) = 1, s(i);i = 1;::: ;2 M, mutta tämän lisäksi voidaan tarkastella myös kaikkia 1=2 etäisyydellä olevia strategioita, joita kutsutaan s:n kanssa korreloimattomiksi tai riippumattomiksi. Kun annetaan satunnainen historia, on korreloimattomilla strategioille mahdollisuus samoihin ja eri toimiin yhtäläinen, eli todennäköisyys P (s#t) =1=2. Pelin kannalta mielenkiintoisia ovat juuri nämä korreloimattomat strategiat. Kun annetaan jokin strategia, voidaan osoittaa, että kokoelma strategioita, johon annettu strategia kuuluu, voi sisältää korkeintaan 2 M keskenään korreloimatonta strategiaa [8]. Kullekin pelaajalle arvotaan satunnaisesti S strategiaa, joista osa voi olla sattumalta samoja. Pelin edetessä jokainen strategia saa virtuaalipisteitä, jotka ilmoittavat kuinka monta kertaa kukin strategia on onnistunut ennustamaan voittavan puolen oikein. Pelaaja käyttää omista strategioistaan aina sitä, jolla on korkeimmat virtuaalipisteet, tai tasapisteissä valitsee satunnaisesti jonkun parhaista. Jos valittu strategia johtaa oikeaan päätökseen eli vähemmistöön seuraavassa toistossa, saa itse pelaaja pisteen. Kullakin kierroksella voidaan kaikkien pelaajien yhdessä saavuttaman hyödyn ajatella heijastavan yhteisön tehokkuutta. Esimerkiksi tilanne jossa on N = 11 pelaajaa, joista yksi valitsee A:n ja loput B:n tuottaa yhteisölle ainoastaan yhden pisteen. Sen sijaan tilanteessa, jossa 5 pelaajaa valitsee A:n ja 51 B:n tuottaa yhteisölle 5 pistettä, ja tällainen tilanne on siten toivottavampi; agentit ovat onnistuneet hyödyntämään maksimaalisesti systeemistä saatavan hyödyn. Systeemin keskimääräistä tehokkuutta voidaan kuvata toisen puolen valitsevien agenttien määrän varianssilla. Mitä pienempi varianssi sitä tehokkaammin pysytään lähellä optimaalista tilaa. Varianssi riippuu läheisesti mallin parametreista. Kuvassa 6 on havainnollistettu varianssin riippuvuutta pelaajan muistista ja strategioiden lukukmäärästä. Simuloitaessa mukaan on otettu vain riippumattomat strate- 1
12 giat. Vasemman sarakkeen kuviin on piirretty puolen A valitsevien pelaajien määrä, kun mukana on 11 pelaajaa, joista kullakin on 5 strategiaa. Ylimmässä kuvassa pelaajan muisti on 6, keskimmäisessä 8, ja alimmassa 1. Muistin kasvaessa varianssi pienenee huomattavasti: suuremmat aivot omaavat pelaajat osaavat hyödyntää systeemiä tehokkaammin. Tämä ei ole aivan selvää, kun ottaa huomioon, että pelaajat pelaavat ainoastaan omaa peliään tietämättä muiden valintoja. Näennäisen riippumattomuuden seassa ilmenee järjestäytyneisyyttä. Suuren muistin kääntöpuolena oikean strategian oppiminen kestää kauemmin. Voidaan osoittaa, että on olemassa tietty kriittinen raja, jossa tapahtuu vaihetransitio, jonka jälkeeen varianssi alkaa hiljalleen kasvaa konvergoiden kohti satunnais-strategialla pelaavien agenttien varianssia [8]. Satunnais-strategia tarkoittaa harhattoman kolikon heittoa, kruunalla valitaan A ja klaavalla B. Oikean sarakkeen kuvissa on muutettu pelaajan saamien strategioiden lukumäärää, ja pidetty muut parametrit vakioina. Pelaajia on edelleen 11, heidän muistinsa M =6, strategioiden määrä on ylimmässä kuvassa 3 ja lisääntyy aina viidellä alaspäin tultaessa. Voidaan havaita, että strategioiden lisääminen kasvattaa varianssia. Tämä johtuu siitä, että pelaaja ei pysty helposti päättämään mikä strategia on paras. Seurauksena on strategioiden tiheä vaihtelu. Epävarmuus päätöksissä heijastuu suurempana volatiliteettina; markkinat ovat levottomat. 1 [N,M,S]=[11,6,5], Var=943 1 [N,M,S]=[11,6,3], Var= [N,M,S]=[11,8,5], Var= [N,M,S]=[11,6,8], Var= [N,M,S]=[11,1,5], Var= [N,M,S]=[11,6,13], Var= Kuva 6: Muistin kasvattaminen (vasen sarake ylimmästä alimpaan M=6,8,1) pienentää varianssia. Suuremmat aivot hyödyntävät systeemiä tehokkaammin. Strategioiden lisääminen kasvattaa (oikea sarake ylimmästä alimpaan S=3,8,13) varianssia. Agentit ovat epävarmoja. 11
13 Standardi versioon voidaan lisätä luonnollisen evoluution piirteitä. Esimerkiksi jokaisessa vaiheessa voidaan pelistä pudottaa huonoiten menestynyt pelaaja, ja korvata tämä parhaan pelaajan kloonilla. Kloonattu pelaaja perii parhaan pelaajan strategiat, mutta ei muistia eli tietoa strategioiden menestyksestä. Näin ollen klooni on kuin älykkääksi syntynyt vauva: edellytykset menestykseen ovat hyvät, mutta sattuma ohjaa kehitystä. Kloonauksen lisäksi voidaan määritellä jokin pieni todennäköisyys, jolla pelaajien muistit joko kasvavat tai laskevat yksikön verran. Kun tällaista evolutionaarista peliä simuloidaan, voidaan havaita, että pelaajien muistit eivät kasva rajatta, vaan konvergoivat tiettyyn pisteeseen [7]. 3.2 MG ja tyylitellyt faktat Edellisessä kappaleessa kuvattu standardi MG vaikuttaa hieman irralliselta todellisesta kaupankäynnistä. Malli on kuitenkin joustava, ja perusideaa soveltaen siihen voidaan helposti lisätä piirteitä, joita oikeilla markkinoilla esiintyy. Näitä modioituja versioita on tutkittu viime vuosina laajasti, ja niissä on yhä paljon tutkittavaa. Tutkimuksissa esiintyvät mallit ovat edelleen yksinkertaisia, mutta toisaalta myös tarkasti tutkittuja. Hyvällä systeemien tuntemuksella ja näkemyksellä oikeiden markkinoiden mekanismiin voidaan tällä saralla saada aikaan mielenkiintoisia tuloksia. Tässä kappaleessa esitetään Challet'n, Marsilin, ja Zhangin vuonna 21 julkaisema malli [9], joka tuottaa tyyliteltyjä faktoja. Perusajatuksena on tarkastella kahdenlaisia agentteja, tuottajia ja spekulantteja. Tuottajat vaihtavat markkinoilla hyödykkeitä, ja heidän päätöksensä perustuvat taloudellisen aktiviteetin synnyttämiin ulkopuolisiin mahdollisuuksiin, ei itse markkina dynamiikkaan. Kun tunnetaan historia, on näiden agenttien toiminta ennustettavaa, ja siten ne produsoivat informaatiota markkinoille; ikään kuin yritykset sijoittajille. Tuottajat edustavat taloudelista aktiviteettia, he ovat fundamentalisteja. Jos markkinoilla ei ole muunlaisia agentteja, hinnat noudattavat satunnaiskävelyä. Spekulantit ovat kehittyviä agentteja, joiden älykkyys on rajallinen. He tutkivat saapuvan informaation vaikutusta markkinoiden toimintaan ja pyrkivät ennustamaan markkinoiden liikkeitä. Näiden agenttien tavoitteena on hyötyä markkinoiden heilahtelusta. He takaavat tuottajille likviditeetin ja toisaalta muuttavat tuottajien ja saapuvan informaation produsoimaa valkoista kohinaa mutkikkaammaksi. Mallin vapautta ja rationaalisuutta lisätään antamalla spekulanteille mahdollisuus 'passata' silloin kun markkinoilla ei esiinny riittävän hyviä arbitraasimahdollisuuksia. Spekulantit ovat vastuussa tyyliteltyjen faktojen syntymisestä. Jokaisena hetkenä t =1; 2;::: ;T kukin agentti valitsee toiminnan a i (t), joka onreaaliluku. Valinnat voidaan tulkita siten, että a i (t) > merkitsee ostamista ja a i (t) < 12
14 myymistä. Agenttien hyötyfunktio g i (t)esitetään kysynnän A(t) = PN i=1 a i(t) avulla: g i (t) =,a i (t)a(t) (4) Näin ollen vähemmistöön kuuluvat agentit hyötyvät; jos ostajia on enemmän kuin myyjiä, voivat myyjät nostaa hintoja ja päinvastoin. Hintadynamiikkaa voidaan kuvata esim. seuraavasti log p(t + 1) = log p(t) +r(t) = log p(t) +A(t)= (5) missä on vapaasti valittava parametri. Hintadynamiikan lisäksi markkinoita kuvaa uutisten saapumisprosessi (t), joka arvotaan satunnaisesti kokonaislukujen 1;::: ;P joukosta. Tuottajat käyttäytyvät deterministisesti kohdatessaan uutisen (t): toiminta a i (t) = (t). Jokaiselle tuottajalle arvotaan kiinteästä jakaumasta, joka yksinkertaisimmillaan on bimodaalinen jakauma = 1 yhtäläisin todennäköisyyksin. i i i Spekulanteilla on S + 1 strategiaa, joista tietyn s 2 fs ;::: ;s S g käyttö johtaa toimintaan a i (t) = (t). Kaikki strategiat s> ovat aktiivisia ja niihin liittyvä s;i s;i arvotaan samoin kuin tuottajille. Sen sijaan nollastrategia tarkoittaa passausta ja siihen liittyvä valinta on = kaikilla. Spekulantit vertailevat strategioitaan ;i samaan tapaan kuin standardi MG pelissä. Kullekin strategialle annetaan pisteitä U i;s, ja näistä valitaan parhaiten menestynyt. Pisteet päivitetään säännöllä U i;s (t +1)=U i;s, a (t) i;s A(t) + si(t);: (6) Agentti siis käyttää aktiivista strategiaa vain silloin kun se tuottaa suuremman hyödyn kuin, joka voidaan tulkita markkinoiden riskittömäksi koroksi. Kun systeemin otetaan sopiva määrä edellä kuvattuja agentteja, syntyy hintamekanismi, jolla on kaikki päällimmäisinä esiin nousevat tyyliteltyjen faktojen ominaisuudet [9]. Mitä enemmän systeemissä on tuottajia sitä ennustettavampaa on markkinoiden toiminta. Ennustettavuutta kuvaa suure H = 1 P PX E[Aj] 2 : (7) =1 Spekulanttien lisääminen puolestaan vähentää systeemin ennustettavuutta, ja voidaan osoittaa, että tietylla tuottajien ja spekulanttien suhteellisella määrällä saavutetaan kriittinen raja, jonka jälkeen markkinat toimivat tehokkaasti ns. symmet- 13
15 risessä tilassa (H = ) [9]. Kun spekulanttien määrää kasvatetaan yli kriittisessä rajassa olevan, muuttuu osa heistä passiivisiksi. 3.3 MG modikaatioehdotus Tässä kapaaleessa esitetään pääpiirteissään idea MG peliin pohjautuvasta mallista, jonka sain perehtyessäni alan tutkimukseen. Vastaavaa ei ainakaan toistaiseksi ole löytynyt julkaisuista. Mallin pohjaksi valitaan evolutiivinen standardi MG, jonka pelaajat (N y kpl) edustavat markkinoilla toimivia yrityksiä. Kunakin hetkenä pelistä pudotetaan huonoiten menestynyt yritys ja tilalle luodaan klooni jostakin n parhaiten menestyneestä yrityksestä. Todennäköisyys, jolla kloonattava yritys n:stä mahdollisesta valitaan on verrannollinen menestykseen. Siis, jos kaikkien yritysten todellisten pisteiden summa on U = PNy i=1 u i, tulee yritys valituksi todennäköisyydellä p i = u i =U. Yritysten lisäksi muodostetaan erillinen sijoittajien peli. Sijoittajilla on aluksi pääoma C,jahetekevät investointipäätöksen jokaisen T aikayksikön (simulointi replikan) välein. Sijoitus kohdistuu yrityksiin niiden menestyksen perusteella. Jokaisena päätöshetkenä sijoittaja voi ostaa m eri yrityksen osakkeita. Todennäköisyys, jolla yritys tulee valituksi on verrannollinen sen hallussaan pitämien strategioiden virtuaalipisteiden summaan. Jos kaikkien yritysten virtuaalipisteiden summa V = PNy i=1 v i, tulee yritys valituksi todennäköisyydellä w i = v i =V. Näin sijoitukset keskimäärin kohdistuvat menestyviin tai potentiaalisesti menestyviin yrityksiin. Kuten standardi pelin yhteydestä on käynyt ilmi, jokaiseen yrityksen strategiaan liitetään virtuaalipisteet, ja siten valinta riippuu yrityksen kaikista strategioista. Sijoitus ilmenee siten, että sijoittaja ottaa seurattavakseen valitsemansa yritykset, ja tarkkailee näiden tekemiä valintoja eli saa yritykseltä historian omaan päätöksen tekoon. Jos valittu yritys seuraavien T jaksojen aikana onnistuu ennustamaan voittavan osapuolen oikein T o T kertaa, saa sijoittaja tuoton, joka on verrannollinen suhteeseen T o =T. Valinta voisi olla esim r Ti päätöksenteko hetkenä C Ti = (1 + T o =T ), ja pääoma seuraavana = r Ti C Ti,1. Jokainen sijoitus myös kuluttaa pääomaa määrän C, ja jos pääoma putoaa alle rajan C c, on sijoittajan poistuttava markkinoilta. Poistetun pelaajan tilalle luodaan uusi suurinta pääomaa hallussaan pitävän sijoittajan klooni. Jos toisaalta jonkun sijoittajan pääoma kasvaa yli rajan C u, ostaa kyseinen sijoittaja tarkkailemistaan yrityksistä parhaiten menestyneen itselleen. Oston seurauksena sijoittajan pääoma putoaa jälleen tasolle C o, mutta palkkiona ainoastaan ostajalla on mahdollisuus seurata yrityksensä kehitystä; muut joutuvat vaihtamaan huonommin menestyneeseen kohteeseen. Tarkasteltava suure on pelaajien pääoma, joiden summasta muodostetaan sijoitus- 14
16 hetkinä indeksi. Indeksin käytöstä voisi verrata oikeiden markkinaindeksien käytökseen. Indeksin lisäksi voidaan tarkastella pelaajien pääoman jakaumaa. Pareton kauan sitten tekemien tutkimusten mukaan yksityishenkilöiden ansiot noudattavat stabiileja pareto-jakaumia. Tätä taustaa vasten olisi mielenkiintoista tutkia miten pääomat pelissä jakautuisivat. 4 Pohdinnat ja yhteenveto Tässä erikoistyössä demonstroitiin SP indeksissä esiintyviä tyyliteltyjä faktoja ja esiteltiin yksinkertaisia MG pelejä. Tulokset osoittavat, että tuottojen jakauma on leptokurtinen, tuottojen itseisarvoilla on pitkälle ulottuvat autokorrelaatiot ja itse tuotoilla lyhyet autokorrelaatiot. Standardi MG pelistä on simuloitu toisen puolen valitsevien agenttien määrää, kun käytetään riippumattomia strategioita. Systeemin tehokkuutta kuvaa toisen puolen valitsevien agenttien varianssi, joka saavuttaa tietyillä parametrien valinnoilla minimin [8]. Tyyliteltyjen faktojen muodostamiseen riittävät pienet standardi pelin modikaatiot. MG pelit tarjoavat mielenkiintoisen tulkinnan markkinoiden toiminnalle. Intensiivisestä työstä huolimatta alalla tehtävä tutkimus on vielä keskeneräistä, ja perusajatusta soveltamalla on helppo luoda realistisempia malleja. Tutkimuksessa esiintyvissä yleistyksissä on rajoituttu tapauksiin, joissa yhteen peliin sisällytetään erityyppisiä agentteja, tai tarkastellaan tilannetta, jossa päätöksentekijällä on enemmän kuin kaksi vaihtoehtoa. Usean päätöksen vaihtoehdoissa ajaudutaan neuroverkko tai verkko malleihin, ja niissä oletetaan, että kaikki agentit saavat informaation toistensa toimista. Tämä ei ole realistinen oletus: markkinoilla toimivat sijoittavat tietävät harvoin toistensa tekemisiä. Lisäksi oletus tekee mallista tarpeettoman kompleksisen. Oikeilla markkinoilla on satojatuhansia agentteja, tilannetta on täydellisen tiedon oletuksella mahdoton hallita. Kaikissa esiintulleissa malleissa tarkastellaan lisäksi vain yhteen osakkeeseen tai investointiin kohdistuvia päätöksiä. Eräs vaihtoehto mallin yleistämiseksi olisi konstruoida useammasta eri pelistä koostuva systeemi. Eri pelien välille voitaisiin luoda vuorovaikutus-suhteita markkinanäkemyksen pohjalta. Tähän useamman sijoituskohteen sisällyttämiseen ja vuorovaikutuksen luontiin esitän yksinkertaisen vaihtoehdon. Ideaa on helppo jalostaa paremmin todellisuutta kuvaavaksi; keskinäisiä pelejä voidaan luoda useampia kuin kaksi, ja kunkin niistä sisälle voidaan kehittää kilpailua. Vaikka ehdotettu versio on karkea, sisältää se oleellisen markkinoita kuvaavan piirteen: sijoittajien tavan tehdä investointipäätöksiä. Täydellisempään versioon on so- 15
17 vitettava vielä jokin mitta riskille, sijoittajien välinen keskinäinen kilpailu, ja sijoittajien vaikutus yritysten toimintaan. Lisäksi voidaan ottaa käyttöön hyötyfunktioita ja luoda yrityksen menestystä kuvaava indeksi ja markkinaindeksi. Näiden ongelmien ratkaisuun on olemassa lukuisia tapoja. 16
18 Viitteet [1] B.Mandelbrot. New method in statistical economics. Journal of Political Economy, (71):42144, October [2] B.Mandelbrot. The variation of certain speculative prices. Journal of Business, (36):394419, October [3] B.Mandelbrot. The variation of some other speculative prices. Journal of Business, 4:393413, October [4] Michael Sorensen Bo Martin Bibby. A hyperbolic diusion model for stock prices. Finance and Stochastics, 1:2541, [5] B.W.Silverman. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman and Hall, [6] D.A.Hsieh. Chaos and nonlinear dynamics: Application to nancial markets. Journal of Finance, 46(5): , December [7] Y.C.Zhang D.Challet. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game. Physica A, 246:47, [8] Y.C.Zhang D.Challet. On the minority game: Analytical and numerical studies. Physica A, 256:514, [9] Y.C.Zhang D.Challet, M.Marsili. Stylized facts on nancial markets and market crashes in minority games. preprint arxiv.cond-mat/11326, 21. [1] E.F.Fama. The behavior of stock market prices. Journal of Business, 38:3415, January [11] L.Bachelier. Theorie de la speculation. Paris:Gauthier Villars, 19. [12] M.F.M.Osborne. Brownian motion in the stock market. Operations Research, 7(2):145173, [13] R.C.Blattberg and N.J.Gonedes. The comparison of the stable and student distribution as statistical models for stock prices. Journal of Business, 47:244 28, April [14] R.C.Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous [15] D.L.Rubinfeld R.S.Pindyck. Econometric models and econometric forecasts. McGraw-Hill, [16] S.J.Kon. Models of stock returns-a comparison. The Journal of Finance, 39(1):147165, [17] S.J.Taylor. Modelling stochastic volatility: A review and comparative study. Mathematical Finance. 17
19 [18] S.J.Taylor. Modelling Financial Time Series [19] W.B.Arthur. Inductive reasoning and bounded rationality. American Economic Assosiation. 18
Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotArvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotHAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT
HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)
Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotNollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita
LisätiedotBayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LisätiedotLuento 8. June 3, 2014
June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotYhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen
Lisätiedotb) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.
2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotSEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotOdotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen:
Odotukset ja Rationaalinen Käyttäytyminen: Laumat Rahoitusmarkkinoilla Hannu Salonen Turun yliopisto 2007 Esimerkkejä tapaus Treacy - Wiersema markkinoiden romahdukset osto- tai myyntiryntäykset ovatko
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
Lisätiedot12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotNäistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =
LisätiedotDiskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma
Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,
LisätiedotHarjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus 28.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
LisätiedotMS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
Lisätiedot2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...
!" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...
LisätiedotPeliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi
Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö
LisätiedotAineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin
Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotBlack ja Scholes ilman Gaussia
Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)
1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise
LisätiedotTiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotUusien keksintöjen hyödyntäminen
Uusien keksintöjen hyödyntäminen Otso Ojanen 9.4.2003 Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Sisältö Käyttöönoton viiveet Ulkoisvaikutukset ja standardointi Teknologiaodotusten koordinointimalli Lisensiointi
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Lisätiedot