Sirontaluento 6 Säteilynkulkua, adding-doubling, polarisaatio, spektrit. Keskiviikko , kello 10-12

Transkriptio

1 Sirontaluento 6 Säteilynkulkua, adding-doubling, polarisaatio, spektrit Keskiviikko , kello 10-12

2 Sisältöä

3 Adding/doubling periaatteeltaan yksinkertainen ja intuitiivinen raa an voiman menetelmä alustetaan yksinkertaisella sironnalla (tms.) hyvin ohut lähtökerros (R, T ) monistetaan tämä kahdeksi lasketaan kaikki moninkertaisen sironnan vuorovaikutukset näiden välillä jatketaan iteraatiota monistamalla tämä jälleen kahdeksi

4 Alustus Tyypillisesti käytetään ohuen kerroksen analyytistä ratkaisua: R m (µ, µ 0 ) = 1 τ e µ τ µ 0 ϖ 0 P µ + µ 0 4π τ (l m)! ϖ l (2l+1) µµ 0 (l + m)! l pl m (µ)pl m (µ 0 ), 4π (1) τ T m (µ, µ 0 ) = e µ 0 e τ µ ϖ 0 P µ µ 0 4π τ (l m)! pl m (µ)pl m (µ 0 ) ϖ l (2l+1), µµ 0 (l + m)! 4π kun µ µ 0 ja τ T m (µ, µ) = τe µ ϖ 0 P µ 2 4π τ (l m)! µ 2 ϖ l (2l+1) (l + m)! l l (2) pl m (µ)pl m (µ), µ = µ 0 4π missä oletettu Fourier muunnos, τ = hβ, h kerroksen paksuus, p i Legendren polynomi. (3)

5 Matriisimuotoilu Tässäkin menetelmässä diskretoidaan µ-kulma, yleensä samalla kaksoisgaussilla kuin diskreetti ordinaatta -menetelmässäkin. Menetelmässä esiintyy usein intergraaleja dµµr(µ 1, µ)r(µ, µ 0 ), jotka diskretoituu w i µ i R(µ 1, µ i )R(µ i, µ 0 ). (4) Kun määritellään ad-matriisit i R ij = w i µ i R(µ i, µ j ) w j µ j, (5) T ij = w i µ i T (µ i, µ j ) w j µ j, (6) voidaan integraalit kirjoittaa matriisitulona RR.

6 Tuplaus, välikenttä Olkoon siis kaksi ainekerrosta (a ja y), joiden heijastus ja läpäisy tunnetaan. Kun valaistaan ylhäältä, voidaan välikerroksessa ylös ja alas menevä säteilykerroin kirjoittaa ja U = (R a + R a R y R a + R a (R y R a ) )T y (7) D = (1 + R y R a + (R y R a ) )T y. (8) vastaavasti tietenkin alhaaltatulevalle säteilylle. Määritellään matriisi Q = R a + R a R y R a + R a (R y R a ) , jolloin yllä olevat yhtälöt voidaan kirjoittaa U = QT y (9) ja D = (1 + R y Q)T y (10)

7 Tuplaus, ulostuleva kenttä Kaksoiskerroksesta heijastunut ja läpimennyt kenttä voidaan siten kirjoittaa: R = R y + T y U (11) ja T = T a D (12)

8 Q:n matrsiisiyhtälö Q:lle voidaan johtaa yhtälö. Aluksi Q = R a + R a R y R a + R a (R y R a ) (13) kerrotaan R a R y R a R y Q = R a R y R a + R a (R y R a ) (14) ja vähennetään Q R a R y Q = R a, (15) kun korkeammat termit kumoutuvat.

9 Ratkaisua Saatu yhtälö Q R a R y Q = R a, (16) voidaan ratkaista monella tavalla lineaarialgebran kirjastorutiinilla, ovat nykyään yleensä hyviä, suoralla sarjakehityksellä (mistä lähdimmekin) q (R 1R 2 ) q, tulokehitelmällä (1 + (R 1 R 2 ))(1 + (R 1 R 2 ) 2 )(1 + (R 1 R 2 ) 4 ). Ohuehkoille kerroksille ja m > 0 Fourier-kertaluvuille kehitelmät suppenevat varsin nopeasti. Paksuilla absorboimattomilla kerroksilla tekee tiukempaa saada tarkkuus pidettyä. Jos kerrankin albedo pyöristyy > 1, niin se loppu siihen.

10 Ylimääräinen absorptiotermi Voidaan myös määritellä ja samalla vaivalla laskea absorptiotermi, joka alustuu ja tuplaantuu Tälle pätee, että ˆ B + B m (µ 0 ) = 1 e τ/µ 0 µ 0 (1 ϖ 0 ), (17) B = B y + B y D + B a U. (18) dωµ(t (µ, µ 0, φ) + R(µ, µ 0, φ)) = 1, (19) mikä on hyvä keino tarkuuden arviointiin tai epästabiilimpien korkeimpien sirontatermien vakauttamiseen renormalisaatiolla. Mitkä nämä renormalisoitavat termit sitten kuuluu olla, on ihan hyvä iltapohdiskelun aihe.

11 Kerroksittainen aine Nämä kerrosten yhdistysyhtälöt yleistyvät täysin suoraviivaisesti myös tapaukseen, kun kerrokset ovat erilaisia. Yleensä epähomogeenista ainetta kuvataan äärellisellä määrällä homogeenisia kerroksia, jotka kukin ensiksi ratkaistaan doubling-menetelmällä, ja sitten yhdistetään keskenään (adding). Sisäiset kentät näiden kerrosten rajapinnoissa voidaan tarvittaessa laskea vähällä lisävaivalla, varsinkin, jos vain yksipuolinen valaisu. Myös ylös-alas asymmetria voidaan helposti huomioida, mutta atsimuuttiansiotropia johtaa Fourier separoinnin rikkoutumiseen, ja epätehokkuuteen.

12 Polarisaatio Polarisaatio huomioituu tässä lähes itsestään, kun vain kirjoitetaan heijastus- ja läpäisymatriisit Müllerin matriiseina missä p tarkoittaa Stokesin matriisin indeksiä. R ip1 ;jp 2 Kaikki matriisitulot yleistyvät suoraviivaisesti (RR) 1p1 ;2p 2 = i p R 1,p 1 ;i,pr i,p;2,p2. Pitää aina muistaa Stokesin vektorin määrittelysuunta. Mittaustaso, sirontataso, vai kuvataso? Selkeyden vuoksi kiertomatriisia ei ole eksplisiittisesti näihin yhtälöihin kirjoitettu, mutta oikeasti joka ikinen kerta, kun Müllerin matriiseja kerrotaan, pitää kierrot tehdä tai ainakin tarkistaa, että ollaan varmasti oikeassa tasossa.

13 Polarisaatio 2 Menetelmä hidastuu polarisaation myötä pahimillaan noin 4 3 = 64 kertaisesti. Jotakin temppuja lähtien siitä, että voimakkain polarisaatio tapahtuu matalimmilla kertaluvuilla voi yrittää. Ympyräpolarisaation perusteltu pudottaminen tuo jo 27/64 tekijän säästön. Voisiko jotenkin ovelasti, ehkä kiertojen kautta, pärjätä yhdellä lineaaripolarisaatiolla joillakin kertaluvuilla? Tai ehkä sittenkin kokonaan ilman polarisaatiota ainakin syvemmällä aineessa? Virhe harvoin yli 10%.

14 Lopputulokset Lopulliset heijastus ja sirontamatriisit saadaan tässäkin suoraan jakamalla lisätekijät pois ja käänteis-fourier muunnoksella. Sisäisen kentän kaikkien kerrosten välillä voi laskea yhdellä nopealla lisäsilmukalla.

15 Adding/doubling-menetelmän ominaisuuksia suoraviivaisena helppo itsekin koodata selvästi hitaampi kuin diskreetti ordinaatta, mutta nopeampi kuin Monte Carlo tarkkuus yleensä varsin hyvä sopii kaikenmuotoiseen sirontaan polarisaatio täydellisesti huomioitavissa sisäinen emissio myös suoraviivaisesti lisättävissä paksuilla kerroksilla ( 10) epästabiilisuuksia (?)

16 Parannuksia Suoraviivaisuutensa takia menetelmää on helppo laajentaa ja omia parannelmia kehittää ja tyhmiä ideoita testata. Erottamalla 0. ja 1.kertaluku T = T 0 + T 1 + T M voidaan nämä laskea analyyttisesti joka vaiheessa tai käsitellä ongelmakohtia kuten etusironta, halot ja sateenkaaret vähän tarkemmin koko laskua rasittamatta. Samalla voi lisätä esim. pienen skaalan epähomogeenisuuksia tai pakkausilmiöitä (lisää myöhemmin). Menetelmää voi myös helposti yhdistää muihin. Esim. voi alustaa vaikka Monte Carlo-menetelmällä pakatulle aineelle tai laittaa pohjalle empiirisen heijastuksen tai syvin osa käsitellä diskreetillä ordinaatalla. Ylimääräisiä kulmia, joille tulokset lasketaan, mutta joita ei raskaimmassa laskussa käytetä, voidaan lisätä, esim. annetun suunnan havaintolaitteelle tai kiinteäksi vertailukulmaksi laskutarkkuuta analysoitaessa muuttamalla kvadratuurin astetta.

17 Muita 1-D menetelmiä Palloharmonismenetelmä: Poikkeaa diskretti-ordinaatta (DO) menetelmästä siinä, että kulmadiskretaation sijaan kehitetään palloharmonisilla kenttä, siis vielä zeniitti riippuvuus Legendren polynomilla. Elementtimenetelmä: Jaetaan ohuisiin kerroksiin, ja kehitetään kenttä näissä jollakin kantafunktiojoukolla (lineaarinen, exponentiaalinen, tms.) ja näin atkaistaan koko kenttä. On energian säilyvyydessä DO:ta parempi, ja kestää hyvinkin epäsymmetrisiä vaihefunktioita. matriisioperaattorimenetelmä: ilmeisesti = adding/doubling

18 Spektreistä Tähän asti käsitelty vain yhden aallonpituuden tapausta. Oikeasti valo koostuu jatkuvasta spektrijakaumasta. Useita menetelmiä huomioimiseksi. Oletuksena, että tiedetään parametrien aallonpituusriippuvuus β(λ), ϖ 0 (λ), P(λ).

19 Line-by-line Lasketaan erikseen kunkin molekyylin absorptioviivan kohdalta ja vierestä. Käytössä yli miljoonan viivan tietokantoja. Esim. Hitran, Ilmakehäspektroskopiaan tarkin, laajakaistahavainnoille raskas.

20 band-by-band Jaetaan aallonpituusalue noin tasalevyisiin kaistoihin ja lasketaan kukin erikseen. Kiintosirottajille - maa, lumi, metsät - joissa harvemmin yksittäisiä absorbtiopiikkejä, vaan tasaisempi aallonpituuskäytös, sopivin. Kaistojen määrä riippuu halutusta tarkkudesta ja menetelmästä. Voidaan halutessa hienosäätää kaistoitusta aineen spektriominaisuuksien mukaan.

21 by distributions jos esim. tapaus, että sironta aallonpituusriippumatonta, mutta kaasuabsorptiota väliaineessa, tai vain ϖ 0 vaihtelee, mutta P vakiohko. lasketaan jakauma g(l) säteen kulkemalle matkalle väliaineessa (tai sirontojen määrälle). sitten tämän jakauman avulla voi skaalata tulokset eri absorptioille, sekä aallonpittuusriippuvasti, että konsentraatioriippuvasti, tyyliin ˆ I (λ) = dlg(l)e β absl (20) eri versioita on Joskus vähän hankala ja virhealtis, helposti ajautuu ulos pätevyysalueelta. isoja taulukoita varsinkin inversio-ongelmissa voi tuoda etuja. Monte Carlolla helposti toteutettavissa!

22 ... usein erilaisia yhdistelmiä ylläolevista tässäkin voi miettiä laskeako kaiken tarkasti ja polarisaatiolla, vai käyttäisikö vaikka polarisoitumatonta nopeaa menetelmää interpolatiivisesti väliarvoille? kun spektraalisesti rupeaa laskemaan, yleensä sitten kannattaa samantien laskea riittävän kattavasti, karkeampaan päin pystyy aina skaalaamaan, tiheämpään ei, ja kumminkin kysymyksiä herää, jos mitään mielenkiintoista näkee.

23 ... kaasujen spektriominaisuudet tunnetaan yleensä erittäin hyvin, veden ja jään ja muutaman muun kiinteän tai nestemäisen myös, mutta useimpien kiinteiden aineiden ja aerosolien osalta varsin summittaisesti, varsinkin, kun useimmat luonnonaineet ovat vaihteleva sekoitus ties mistä jäälläkin on heikosti tunnettuja kiderakenteita pienillä hiukkasilla on sitten myös koosta ja geometriasta riippuvaa aallonpituusriippuvuutta, alkaen λ 4 Rayleig n laista.

24 Spektrien integroinnista Tiuhasta spektristä voi aina integroida karkeampaan, tai eri sensoreiden (herkkyys f (λ)) näkemään: ˆ I obs = dλf (λ)i (λ) (21) Huomaa ero ˆ I obs = dλf (λ)r(λ)i 0 (λ) (22) ja (ˆ I obs = ) (ˆ dλf (λ)r(λ) ) dλi 0 (λ) (23) sekä polarisaatioasteille ˆ P = ja P = Mikä on oikeampi mihinki, ja miksi? dλf (λ) Q(λ) I (λ) (24) dλf (λ)q(λ) dλf (λ)i (λ). (25)

25 Partikulaari aine Ensimmäinen virhe, joka 1-ulotteisissakin menetelmissä huomataan maassa, metsissä ja pilvissäkin, on sirottajien reaalisesta fyysisestä koosta johtuva takasironnan varjostusilmiö: perussäteilynkulkuteoria olettaa aina saman eksponentiaalisen etenemisen, meni mihin suuntaan vaan, mutta tasan takaisin sirotessaanhan se sama polku on nyt sirottajista vapaa, ja valoa pääsee siis taaksepäin enemmän kuin malli ennustaa. Yksinkertaisessa sironnassa pistesirottajasta tasan kaksi kertaa enemmän (Mikä ristiriita tässä on?).

26 Putkiteoria Yksi intuitiivinen, joskin varsin rajoitettu, varjostusmallitus on kaksi leikkaavaa putkea. Oletetaan tasakokoiset satunnaisorientoituneet sirottajat, vaikutussäde a. Kun hiukkasen keskipiste on a-säteisessä sylinterissä valonsäteen ympärillä, se varjostaa valon säteen etenemisen. Polun optinen pituus τ = β = ρπa 2 l = ρv p, missä V p on putken tilavuus. Kun hiukkanen siroaa pieneen kulmaan α, tulevan ja sironneen säteen putket leikkaavat toisiaan. Vaimenema on siten e ρ(v 1+V 2 V 12 ), missä V 12 on yhteisen osan tilavuus. Tälle on joitakin yksinkertaistettuja kaavoja johdettu ks. esim Seeliger, Bowell, Irvine, Lumme, Hapke, joksin vähän joutuu mutkia oikomaan.

27 Pakattu aine Tähän asti oletettu harva aine, hiukkaset toisistaan riippumattomia. Kun tarpeeksi tiivistetään, alkaa kappaleiden kovuus ja koko vaikuttaa. Oikeasti ne eivät voi olla päällekäin. Korjataan vähän teoriaa. Kun tilaan V pannaan ensimmäinen hiukkanen, sillä on käytettävissään koko tilavuus V. Seuraava hiukkanen voi kuitenkin asettua vain tilavuuteen V V 1, ja N:s hiukkanen V NV 1. (Tässä oletettu aika elastiset hiukkaset.) Saadaan (harjoitus) τ = β 0 l ln(1 D) D, missä D = ρv 1 on tilavuustiheys. Tämän pidemmälle ei analyyttisesti pääse, vaan joutuu numeerisiin menetelmiin. Usein pakkauskorjaukset tehdään vain yksinkertaiselle sironnalle, joskin adding/doubling-menetelmään on mahdollista jonkinsortin korjaus moninkertaiseenkin sirontaan saada, ja Monte Carlolla päästäänkin paljon vapaampaan käsittelyyn.