Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta
|
|
- Timo Karjalainen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 STUK-YTO-TR 57 Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta Kari Ikonen HEINÄKUU 1993 /.-.' % '.:,:%m # * tmcr^m \ SÄTEILYTURVAKESKUS I Strölsäkerhetscentralen rsc jnnrir? Finnish Centre for Radiation and ölmjl\ Nuclear Safety
2 ISBN ISSN Painatuskeskus Oy Helsinki 1993
3 STUK-YTO-TR 57 HEINÄKUU 1993 Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta Kari Ikonen Valtion teknillinen tutkimuskeskus Ydinvoimatekniikan laboratrio Tutkimuksen johto Säteilyturvakeskuksessa Rainer RaDtala Tutkimus on tehty Säteilyturvakeskuksen tilauksesta. SÄTEILYTURVAKESKUS PL HELSINKI Puh. (90) 70821
4 STUK-YTO-TR 57 SÄTEILYTURVAKESKUS IKONEN, Kari (VTT). Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspauän kokeesta. STUK-YTO TR 57. Helsinki s + liitteet 2 s. ISBN ISSN Avainsanat: elastis-plastinen murtumismekaniikka, elastis-plastinen jännitysanalyysi, murtumismekaaninen testaus, reaktoripaineastian iujuus, constraint-efekti, kolmepistetaivutuspalkki TIIVISTELMÄ Raportissa kuvataan työ, jolla on luotu valmius laskea dimensiotekijöiden ja kuormitusolosuhteiden vaikutus murtumissitkeyteen. Raportissa kuvataan tarkoitukseen kehitetyt kaksi- ja kolmiulotteiset tietokoneohjelmistot ja sovelletut laskentaperiaatteet. Erityisesti tavoitteen on kyetä muuntamaan pienellä kolmepistetaivutuspalkilla mitattava sitkeysarvo syvän särön tasovenymätilan arvoksi eli ns. SSY-arvoksi. Analysoidaan koekappaleen paksuusefektiä ja särön mataluusefektiä erikseen. Tutkitaan pienen kolmepistetaivutuspalkin käyttäytymistä, mitä varten laskenta automatisoitiin pitkälle. Simuloidaan sivu-urallisen ja sivu-urattoman kolmepistetaivutuspalkin kokeita ottaen särörintaman kaarevuus ja avauman mittaista varten tehdyn loven vaikutus huomioon,./-integraali lasketaan särörintamaa pitkin sekä voiman ja sen aiheuttaman palkin taipuman avulla. Arvioidaan kolmepistetaivutuspalkin mittauskapasiteettia. 3
5 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR 57 IKONEN, Kari (Technical Research Centre of Finland). Conversion of fracture toughness testing values from small scale three point bending test specimens to s,nall scale yielding state (SSY) by elastic-plastic stress analysis. STUK-YTO-TR 57. Helsinki pp + Apps 2 pp. ISBN ISSN Index terms: elastic-plastic fracture mechanics, elastic-plastic stress analysis, fracture mechanics testing, reactor pressure vessel integrity, constraint-effect, three point bending test specimen ABSTRACT This report describee Ae work performed for achieving readiness to calculate fracture toughness dependence on dimension effects and loading conditions in fracture test specimens and real structures. In the report two- and three-dimensional computer codes developed and calculation^ methods applied are described. One of the main goals is to converse fracture toughness from small scale three point bending test specimens to case of a depth crack in plane strain i.e. to small scale yielding state (SSY) by numerical elastic-plastic stress analysis. Thickness effect of a test specimens and effect of a crack depth are separately investigated, ''"ests of three point bending specimens with and without sidegrooves and curved crack front are numerically simulated and experimental and computed results are compared, /-integral is calculated along crack front and also from force-deflection dependence of the beam. For the analyses the computing system was thoroughly automatized. Measuring capacity of three point bending test specimens was tried to evaluate. 4
6 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS ALKUSANAT Tämä tutkimus on tehty VTT:n ydinvoimatekniikan laboratoriossa säteilyturvakeskuksen rahoituksella. Työn ohjaajana ja valvojana on toiminut ylitarkastaja Rainer Rantala säteilyturvakeskuksesta. Erikoistutkija Heikki Raiko ydinvoimatekniikan laboratoriosta on tarkistanut kirjoituksen, antanut työasemien ja supertietokoneen käyttöön liittyvää apua sekä piirtänyt liitteiden kuvat Erikoistutkija Matti Valo VTT:n reaktorilaboratoriosta on tehnyt kolmepistetaivutuspalkkikokf itaja näihin liittyviä vetokokeita ja antanut näiden ja aiempien kokeiden tuloksia käyttöön. Työn edistymisen kannalta hyödyllisiin keskusteluihin on edellä mainittujen lisäksi osallistunut myös tutkimusprofessori Kim Wallin VTT:n metallilaboratoriosta. Esitän kiitokseni edellä mainituille. Tekijä 5
7 SÄTEILYTURVAKESKUS STLK-YTO-TR57 LUETTELO KÄYTETYISTÄ TERMEISTÄ CMOD CTOD EPFM Crack Mouth Opening Displacement, särön avauma. jonka mittaamisia varten kolniepistetaivuluspalkinotsapintaan koneistetaan lovi Crack Tip Opening Displacement, särön kärjen avauma Elastic-Plastic Fracture Mechanics, elastis-plasiinen murtumismckaniikka murlumissilkcydcn määrittämiseen käytetty säröllincn päistään nivelcl- liscsti tuettu keskeltä pakkosiirtymällä kuormitetun koepalkki FEM FFA3 ja FFA6 HRR-kenttä y-intcgraali Jännitys-venymäriippuvuus (-käyrä ) Kolmepistetaivutuspalkki LEFM Ramberg-Osgoodin malli Sivu-ura SSY-kenttä TVT Ydinympyrä Finite Element Method, elementtimenetelmä IAEA:n tutkimusohjelmassa CRP-3 tehtyjen kokeiden tunnuksia analyyttinen ratkaisu jännitystilalle syvän särön kärjen ympäristössä (HUTCHINSON. RICE ja ROSENGREN, 1%8), kun jännitys-venymä- riippuvuus on Ramberg-Osgoodin potenssifunktion mukainen ja aine käyttäytyy epälineaarisesti kimmoisesti särön kuormittumista kuvaava munumisparamctri suoran sauvan aksiaalisella vctokokeella määritettävä jännityksen voi- (ma/poikkipinta-ala) ja venymän (siirtymä/sauvan pituus) välinen riippuvuus Linear-Elastic Fracture Mechanics, lineaaris-elastinen murtumismekaniikka jännilys-venymäkäyrän potenssini uotoincn soviicfunktio kolmepistelaivutuspalkin sivuille särön kohdalla työstelly ura Small Scale Yielding -kenllä, särön ympäristön kaksiulotteisella lincaaris-elaslisella analyysillä saatava teoreettinen jännitystila, joka syntyy, kun särö on äärettömän syvi ja suoran säröriniaman suunnassa muodonmuutokset on estettyjä vaihucc tasovcnymätila (TVT) tasovcnymätila, joka syntyy, kun levymäisen kappaleen kummallakin pinnalla pintaa vastaan kohtisuora siirtymä ja venymä on estetty, jolloin kaikki suureet syvyyssuunnassa kappaleen pinnoista lukien ovat vakioita FEM-Iaskentamallissa pienehkö ympyräaluc, jonka keskipiste on särön kärjessä ja joka on jaettu radiaalisälcillä ja ympyrän kaarilla elementteihin ft
8 STUK-YTO-TR57 SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ ABSTRACT ALKUSANAT SÄTEILYTURVAKESKUS Sivu LUETTELO KÄYTETYISTÄ TERMEISTÄ 1 JOHDANTO Tehtävän tavoite ja rajaus 8 2 TIETOKONEOHJELMISTOJEN KUVAUS Kaksiulotteisen laskennan ohjelmisto Kolmeulotteisen laskennan ohjelmisto /-integraalin laskentamenetelmät 11 3 LASKENTAPERIAATE Säröä sulkevan jännityksen ja /-integraalin välinen yhteys Syv än särön analysointi Säröä sulkevan jännityksen laskenta Särön kärkialueen mallintaminen ja avauman laskenta Särön kärkielementin kokovaatimus 15 4 KOLMEPISTETAIVUTUSPALKIN MALLINTAMINEN Särön avaaman mittausta varten tehdyn loven mallintaminen Kaarevan särörintaman mallintaminen Sivu-uran mallintaminen /-integraalin laskeminen voima-siirtymäriippuvuudesta Jännitys-venymäriippuvuus 23 5 LEVYN PAKSUUDEN VAIKUTUS MURTUMISSITKEYTEEN Laskentaperiaate Tulokset 26 6 SÄRÖN MATALUUDEN VAIKUTUS MURTUMISSITKEYTEEN Laskentaperiaate Tulokset Levyn tasoa vastaan kohtisuoran muodonmuutoksen vaikutus 35 7 SIVU-URATON KOLMEPISTETAIVUTUSPALKKI Analyysien tulokse' ja vertailu koetuloksiin 38 8 SIVU-URALLINEN KOLMEPISTFTAIVUTUSPALKKI Analyysien tulokset ja vertailu koetuloksiin 46 9 VÄSYTYSSÄRÖJEN TARKASTELUJA YHTEENVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSET 56 LÄHDELUETTELO 58 Liite 1: Sivu-urattoman kolmepistetaivutuspalkin muodonmuutokset särörintaman lähellä 59 Liite 2: Sivu-urallisen kolmepistetaivutuspalkin neljänneksen elementtiverkko 60 7
9 SÄTEILYTURVAKESKUS SRJK-YTO-TR57 1 JOHDANTO Viimeaikainen tietokoneiden ja laskentamenetelmien kehitys on johtamassa tilanteeseen, jossa säröjen murtumis käyttäytymisiä voidaan tutkia laskennallisesti entistä yksityiskohtaisemmin ja tarkemmin. Näin on mahdollista saada sellaista dimensiotekijöihin ja kuormitusolosuhteisiin liittyvää informaatiota, jota on vaikea muuten saada selville. Yksi sovelluskohde on määrittää staattisesti kuormitetun pienen sarallisen taivu'uspalkin murtumisvoiman avulla koekappaleen murtumissitkeys ja muuntaa se laskennallisesti muihin olosuhteisiin. Tärkeä menetelmän sovelluskohde olisi reaktoripaineastian hätäjäähdytystilanteen aiheuttaman kuormitustilanteen analysointi, joka poikkeaa olennaisesti dimensiotekijöidenja kuormitusolosuhteiden osalta esimerkiksi pienen koepalkin murtumiskokcesta. Tarkastelut, jotka supertietokoneen sijasta voidaan yhä useammin tehdä työasemilla, edellyttävät tarkkaa särörintaman lähialueen epälineaarisen jännitystilan määrittämistä elementtimenetelmällä ja kolmeuloilcisella malleilla. 1.1 Tehtävän tavoite ja rajaus Rcaktoripaincastioidcn haurasmurtumavaaran selvittämistä varten tarvitaan tarkennettua tietoa säteilytetyn perusaineen ja hitsien sitkeysominaisuuksista. Vanhoista ja mahdollisesti otettavista uusista ja pienistä koekappaleista saatavat sitkcysarvot joudutaan muuntamaan haurasmurtuma-analyysejä varten todelliseen rcakloripaineastiamiiiakaavaan. Yleisesti tämän tehtävän tavoite on selvittää, miten pienellä koekappaleella tehtävästä murtumiskokccsta saatava informaatio siirretään todellisessa rakenteessa (reaktoripaincastia) olevan särön murtumisanalyysiin. Peruserot olosuhteissa pie nessä koekappaleessa ja todellisessa rakenteessa aiheutuvat dimensio- ja reunaehtoeroista sekä kuormituksesta (koekappaleessa yleensä mekaaninen kuormitus, reaktroiipaineastiassa myös lämpökuormitus). Koska edellä kuvattua tavoitetta ci tämän selvityksen yhteydessä voida saavuttaa täydellisesti, on tavoitetta rajattava ja asetettava sopivia erillistavoiltciia. Yksi olennainen rajaus on, että tarkasteluihin ei sisällytetä stabiilia särönkasvua, vaikka se varsinkin kocpalkm sitkeässä murtumisessa voi olla merkittävä ilmiö. Rajaus merkitsee tarkastelujen rajoittamista suhteellisen hauraisiin tapauksiin, joissa stabiilia särönkasvuu ci juurikaan tapahdu. Yksi olennainen rajaus on myös, ctlä mitään tilastollisia efektejä ei oteta huomioon tarkastelujen ollessa puhtaasta deterministisiä. Tämä tarkoittaa, että koekappaleen materiaali on ajateltava kaikilta lujuus- ja murtumisominaisuuksiltaan homogeeniseksi (tasalaatuiseksi), jolloin murtuminen tapahtuu kahdessa identtisessä kokeessa samalla tavalla. Tämän tutkimuksen yksi tarkoitus on pyrkiä tekemään murtumiseen liittyvät kontinuumimckaaniset ilmiöt niin selviksi, että lopulla tiedetään, mitkä tekijät aiheutuvat kontinuumimckaanisista ja mitkä tilastollisista tekijöistä. Yksi olennainen rajaus tulee laskentamenetelmästä, jossa oletetaan jatkuva aine (ci onkaloidcn muodostumista särön kärjen eteen), pienet siirtymät, pienet venymät, von Miscs'n myöiöchto ja siihen liittyvä assosiatiivinen myötösääntö sekä isotrooppinen lujittuminen. Yksityiskohtaisemmin esittäen tavoite on saada vastauksia seuraavanlaisiin kysymyksiin: Kun 8
10 STUK-YTO-TR 57 SÄTEILYTURVAKESKUS koekappaleen säröriniaman jokin konia saavuttaa kriiuisen tilan eli saavutetaan J c ja särön kasvu alkaa niin, mikä on vastaava syvär särön K/ C l Särö rintaman jonkin kohdan kriittisellä tilalla tarkoitetaan nyt sitä, että säröä vastaan kohtisuora jännitys etäisyydellä neljästä kahdeksaan kertaa särön kärjen avauma saavuttaa kriittisen arvonsa ja teräs murtuu lohkomurtumismckanismilla. Erillistavoitteita ovat seuraavat: Mikä on särön syvyysvaikutus ja koekappaleen paksuusvaikutus ja miten nämä kytkey tyvät tosiinsa? Mikä on sivu-urien ja särön avauman (CMOD) mittausta varten tehdyn loven vaikutus tuloksiin? Mikä vaikutus on koekappaleeseen väsyttämällä tehdyn alkusärön kaarevuudella tuloksiin? Miten vaikuttaa kaltevilla tasoilla olevien rullien kitkasta aiheutuva, aksiaalinen puristava voima koekappaleeseen? Yksi olennainen tavoite on myös selvittää, miten särörintamaa pilkin laskettu paikallinen J- arvo ja siitä laskettu keskimääräinen tai efektiivinen J -arvo suhtautuu A STM-standardin mukaisesti kokeellisesta voima-siirtymäkäyrästä laskettuun J- arvoon? Tärkeä tehtävä on ollut myös itse laskentajärjestelmän kehittäminen edellä kuvattujen ilmiöiden selvittämiseksi. Tärkeänä tehtävänä on pidetty myös mittauksiin perustuvien koetulosten analysointia. Kokonaisuutena ottaen tehtävässä on pyritty Loviisan ykkösvoimalan reaktori paineastian haurasmurtumavaaran selvittämisessä varmistaviin ja tarkentaviin tuloksiin. Kehitettyjä valmiuksia voidaan lisäksi soveltaa suon an myös muihin rakenteisiin, joissa murtuminen on ongelma. 9
11 SÄTEILYTURVAKESKUS STLK-YTO-TR57 2 TIETOKONEOHJELMISTOJEN KUVAUS Valtion teknillisen tutkimuskeskuksen \dinvoimatekniikan laboratoriossa kehitetyillä elementtimenetelmään perustuvilla kaksi- ja kolmculotteisilla elastis-plastisilla ohjelmilla EPFMlDyi EPFM1D voidaan laskea yhdistettyjä mekaanisia ja termisiä kuonnitusi:'.pauksia. Ohjelmat ovat yleispäteviä ominaisuuksiltaan ja ne toimivat tehokkaasti nykyaikaisissa työasemissa. Ohjelmiin on kehitetty automaattisia verkon generointiruliineja, joilla voidaan mallintaa erilaisia geometrioita. Säröllisi.. rakenteita varten on tehty erikoisgenerointeja. Ohjelmissa sovelletaan von Misesn maieriaalimalliaja siihen liittyvää assosiatiivista myötösääntöä Aksiaalisen velokokeen jännitysvenymäkäyrä voidaan antaa joko multi lineaansenatai Rambcrg-Osgoodin sovittcena. Ohjelmiin on kehitelty ratkaisujärjestelmä, joka pystyy samaan monipuoliseen toimintaan kuin kaupallisten FEM-ohjelmicn vastaavat ratkaisijat. Menetelmä perustuu Choleskyn dekompositiumenetelmään, optimaaliseen jäykkyysmatriisin talletukseen yksiulotteisena vektorina ja tehokkaaseen yhtälöryhmän ratkaisutekniikkaan. Suuria systeemejä varten ohjelmissa on jäykkyysmairiisin blokitus. Reunaehtojen huomioonottaminen on tehty monipuoliseksi siten, että mm. vapausasteiden sitominen toisiinsa on mahdollista. Jäykkyysmalriisin päivitystekniikka nopeuttaa ratkaisevasti epälineaarista analysointia ja siinä tarvittavaa iteroimia. Ohjelmat EPFM2D& EPFM.W ratkaisevat isoparamctrisia elementtejä käyttäen erittäin hienojakoisella clcmcnttivcrkolla jännitystilan säröriniaman edessä. Tästä edelleen ohjelmat laskevat./-integraalin. Saatavan jännitystilan perusteella lasketaan vastaavan syvän särön cli HRR-kcntänsilkcysarvo. Ohjelmien toiminta on automatisoitu ko. ongelmaan erityisen hyvin soveltuvaksi. Myös pinnoitteellisien palkkien analysointi on mahdollista. 3D-analyysillä voidaan ottaa huomioon koekappaleen alkusärön muoto (epätarkkuudet), sivu-urat sekä I. :>ekappalcen mahdollinen poikkeaminen standardin mukaisesta muodosta tai koosta. Särön kärjen jännitystilan ratkaiseminen on vaativimpia elastis-plastisten analyysien sovelluskohteita. Laskeniaparametrit vaikuttavat herkästi analyysin tuloksena saatavaan jännitystilaan. "Suljettua" ohjelmapakettia käyttämällä ei voida tietää tarkasti ohjelman toimintaa eikä lisätä siihen tarvittavia erityispiirteitä. On tunnettava perusteellisesti laskentamenetelmät, koska lopputulos on herkkä pienillekin virheellisyyksille. Nyt esillä olevassa ongelmassa on monta erikoispiirrettä kuten sivu-urien, kaareva särörinlamna, CMOD.n mittaukseen käytetyn loven mallinnus jne. Laskennassa tarvitaan paljon tcstausajoja. koska tuloksiin vaikuttavia mm. laskentatarkkuutta sääteleviä parametreja on noin 20. Ongelman ratkaiseminen käytännössä on mahdollista vain integroidulla crikoisjärjestclmällä, jossa toiminnot on pitkälle automatisoitu. Monimutkaisien ohjelmien toiminta ja taustalla oleva teoria on kuvailu muissa yhteyksissä aika siihen puututa tässä lähemmin. 2.1 Kaksiulotteisen laskennan ohjelmisto Laskentajärjestelmään liitlyy kaksiulotteinen (mm. keväällä 1992 matalien säröjen tutkimuksen yhteydessä kehitelty ja vuoden 1993 aikana edelleen kehitetty) tasojännitys-, tasovenymä- ja pyörähdysjäiiniiyslilan laskeva ohjelmisto EPFM2D (noin 6000 FORTRANin
12 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS lausetta». Nyt esillä olevaa sovelluskohdetta ajatellen ohjelmassa on mm. seuraavia erityispiirteitä: kolmepisieiaivutuspalkin elementtiverkon automaallimen mallinnus, jossa CStODloven mallinnus tasovenymätila-analyysejä varten särön kärjen avauman laskeminen särötasoa vastaan kohtisuoran normaalijännitysjakauman!a.1tas r elut särön kärjen edessä /-integraalin ja vastaavan Ä/-arvon laskeminen viiva- ja alueiniegraalina. 2.2 Kolmiulotteisen laskennan ohjelmisto Vuosina 1992 ja 1993 kehitetyllä koimculotteisella ohjelmalla EPFM3D (noin 6000 FORTRAN-lausetta) voidaan mallintaa mikä tahansa geometria 20-solmuisiUa isoparametrisilla elementeillä. Nyt esillä olev; a sovelluskohdetta ajatellen ohjelmassa on mm. seuraavia erityispiirteitä: kolmepistctaivutuspalkir. elementtiverkon automaattimer. mallinnus, jossa CMODlovcn ja sivu-urien mallinnusmahdollisuus paksuusefektin tutkimista varten SSY-tilan pakl.osiirtymät kolmeulotteisen kiekkomaisen mallin ulkokehälle särötasoa vastaan kohtisuorien siirtymien estäminen (symmetriarcunaehio) kannasalueella myös kaarevan särörintaman tapauksessa auiomaattisesti särön kärjen avauman laskeminen särörintamaa piikin särötasoa vastaan kohtisuoran normaalijännitysjakauman tarkastelut särörintaman edessä /-integraalin ja vastaavan K r arvon laskeminen paitsi säröri nt am aa (alue integraali) pitkin myös voiman ja sen aiheuttaman kolmepisteivuiuspalkin taipuman avulla standardin ASTM 81 D mukaan. lisessa kasvussa säröpinnoilta poistuvien jännitysten tekemää työtä eli kappaleen potenöaalinenergian muutosta. Toisaalta se hallitsee jännityskenttää särön kärjen lähialueella. J- integraali on alunperin tasotapauksen murumisparametn. mutta sangen yksinkertaisesti laajentaen todetaan sen paikallinen pätevyys myös kolmeulotteisen tapauksen särörintamassa. /-integraali lasketaan viivaintegraalina ja/tai alueiniegraalina. Luvussa 4.4 tarkastellaan taivutuspalkin /-integraalin laskemista voiman ja sen aiheuttaman taipuman avulla. Tasotapauksessa viivaintegraali on ; = I ( w 8u - a t/ u,.i ) n, ds + (aa u T.i) da Jr -'<«ja vastaava alueintegraali (domain integral) (1) J-\ [(a v uj.i-w Si,)lu +aout.\ q\]da, ia (2) joissa K- on muodonmuutosenergiatiheys, S Kroneckerin 5-fjnktio, u. siirtymäkomponentti.u,i sen derivaatta särön kärjestä ehyeescen aineeseen päin säröpinnan tasossa eli x- akselin suunnassa, a,, jännitystensori, n. integrointipolusta ulospäin osoittavan yksikxönormaalivektorin komponentti, ds integrointipolun kaarialkio, T x lämpötilan derivaatta x-akselin suuntaan, integrointipolun Tsisälle jäävä pinta-alkio, a lämpöpitenemiskerroin ja q alueintegraalin paino funktio. 2.3 /-integraalin laskentamenetelmät /-integraali on sangen yleispätevä murtumismekaaninen parametri. Sillä on dualistinen merkitys. Ensinnäkin se kuvaa särön virtuaa Kuva 1. Integrointipolku rsärön kärjen ympäri. 11
13 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR57 3 LASKENTAPERIAATE Särön kuormitustilan vaarallisuutta kuvaava murtumisparametti, kuten./-integraali tai jännitysintcnsiteettikerroin K/, ei kuvaa murtumista yleensä yksikäsitteisesti, koska se ei ota huomioon särörintaman suuntaista jännitystä, johon ainespaksuus, särön mataluus, kannaksen mataluus tai kuormitustapa vaikuttavat. Murlumisparametrin sijaan toinen mahdollisuus on tarka. i.ella jännitystilaa lähellä särön kärkeä ('local approach") clastis-plastisilla menetelmillä erittäin hienojakoista elcmcnttivcrkkoa käyttäen. Munumiskriteerinä käytetään tällöin särön kärjen edessä särö tasoa vastaan kohtisuoran normaalijännityksen maksimi. Itse asiassa kyseessä on lujuushypoteeseista vanhimpiin kuuluvan maksimipiuijännityshypoieesin (RANKINE, LAME, CLAPEYRON ja MAX WELL) soveltamisesta. Sen mukaan aine murtuu, kun suurin pääjännitys saavuttaa kriittisen arvonsa. Jännityksen a y maksimi ci ole särön kärjessä, koska siinä särön lylpistymiscn, kaksiulotteisen jännitystilan ja myöiämisen lakia jännitys jää myötörajan tasolle (kuva 2). Idcaaliplasusessa tapauksessa tascvenymätilassa särölasoa vastaan kohtisuoran normaalijännityksen a y maksimi suuruudeltaan noin kolme kertaa myöiöraja on noin kahden särön kärjen avauman CTOD päässä särön kärjestä. Tarkastelupiste voisi olla tämä, mutta näin lähellä särön kärkeä jännityksen laskeminen on epätarkkaa. Tietyllä jännitys- vcnymäriippuvuudella kuormitukscn, särön syvyyden tms. muuttuessa (Ty-jännitysjakauma siirtyy y- akseli n suunnassa muotonsa säilyttäen. Tämän vuoksi ci ole tarpeen pyrkiä määrittämään ^-jännityksen maksimia, vaan a y -jännitystä voidaan tarkastella hieman kauempana, tyypillisesti etäisyydellä (4... W)CTOD kärjestä. Tarkasielukohdan pi?net vaihtelut eivät vaikuta tuloksiin, kunhan vertailtaessa eri tapauksia toisiinsa tarkastclukohdat ovat samat. Käytännössä a y - jännitykselle lasketaan integroitu arvo o y esimerkiksi välillä (4...1O)CT0D, jolloin elementtimenetelmän numeeriset epätarkkuudet suodattuvat osittain pois ja laskenta stabiloituu. HRR-kentän jännitys 2 CTOD Kuva 2. Jännitys a y [ylpistyneen särön edessä x -akselilla. 3.1 Säröä sulkevan jännityksen ja /-integraalin välinen yhteys Säröä sulkevan a -jännityksen ja./-integraalin väliseen yhteyteen tasovenymälilassa päästään kuvaamalla jännitys-venymäriippuvuus Rambcrg-Osgoodin soviticclla E E (3) Parametreista a, a 0 ja n vain kahden ollessa toisistaan riippumatonta valitaan yleensä a =1. Syvään säröön liittyvä o y -jännitys on EJ Q>=CK> aa&l oewfl), (4) jossa / on Rambcrg-Osgoodin soviltccn parametristä n riippuva vakio, joka lasovcnymäti- 12
14 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS lassa pienillä n:n arvoilla on noin 6,0 ja suurilla noin 4,5 (Anderson, 1991). Parametrista n ja kulmasta e riippuva "äe(d,n) saa tasovenymätilassa A-akselilla (0= 0)mm. arvoja ~oe {6-0,n = 3) = 1,9 ja o 6 (0 = 0, n = 13) = 2,6 (Anderson, 1991). Kaavan (4) mukaan on voimassa verrannollisuus joka kuvaa jännitystilaa vain kauempana särön kärjestä. jossa on sovelleta yhteyttä r T (5) Ku- EJ (6) Kaava (5) kuvaa jännitystä lähellä särön kärjeä, multa ei liian lähellä, ko:,ka a y ei voi kasvaa rajatta etäisyyden r pienentyessä. Jos n on suuri (tyypillisesti n > 10), a y -jännitys kasvaa kaavan (5) mukaan kuormitusta lisättäessä huomattavasti hitaammin kuin J-integraali. Pientä muutosta o y -jännityksessä vastaa suuri muutos J- integraalissa. Tästä seuraa, että CL-jännitys on laskettava tarkasti. Jos esimerkiksi n = 10 ja K t j-arvon määrittämisessä asetetaan nyt sopivaksi katsottava virhetaso 2 %, o.-jännityksen laskennassa saa olla kaavan (5) akulla arvioiden vain 0,36 %:n virhe. Matalan särön tapauksessa kaava (4) ei ole voimassa. Sen sijaan riippuvuus (5) ei muutu niin olennaisesti, etteikö sitä voitaisi käyttää suuruusluokka-arvioihin. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi siten, että jos FEM-analyysissä ulkoisen kuormituksen pienuuden takia ei saavuteta kriittistä a yc - arvoa, kaarasta (5) voidaan arvioida tarvittava lisäkuormitus. Kuva 3 esittää tasovenymätilassa x-akselilla a y -jännitystä syvän särön kärjen edessä eri tavoin laskettuna kuormitustason ollessa K lc = 70 MPaVm. Jännitys-venymäriippuvuutena on käytetty jäljempänä kuvassa 13 esitetyn käyrän Rambeg-Osgoodin sovitetta, jolle cr 0 = 419 MPaja n = 12,8. HRR-kentän ratkaisu on laskettu kaavasta (4), kun E = 110 GPa, a = 1, / =4,5 ja ae {6 = 0, n = 12,8) = 2,6. Lineaarisessa tapauksessa n = 1 ja kaavasta (5) saadaan tunne tu c v -jännityksen lauseke, Kuva 3. Jännitys a y särön kärjen edessä. FEM-ratkaisu on laskettu kuvan 4 mallilla PFM2D-ohjelmalla. Kuvasta 3 todetaan, että FEM-ratkaisu yhtyy HRR-ratkaisuun lähellä särön kärkeä ja LEFM-ratkaisuun kauempana särön kärjestä. FEM- ja HRR-ratkaisun poikkeaminen loisistaan aiheutuu mm. siitä, että HRR-ratkaisussa Ramberg-Osgoodin sovi tteessa (3) ei ole mukana lineaarista venymää a/e. Särön kärjen lähialueella HRR-ratkaisu (5) ja FEM:n pienten venymien ratkaisu kuvaavat jännitystilan oikein alueella, johon särön kärjen tylpistyminen ei vaikuta. 3.2 Syvän särön analysointi Syvän särön laskentamallilla (kuva 4) synnytetään ns. pienen mittakaavan myötävän alueen tapaus (SSY, Small Scale Yielding). Laskenta tapahtuu kaksiulotteisen laskennan ohjelmalla EPFM2D tasovenymätilassa. Ympyrän ulkoreuna pakotetaan siirtymään tasovenymätilan siirtymien (Ikonen & Kantola 1991) Ut = U + v)* - / i j n Uy = (i + v)ki jjn» 2 (3 _ 4v_ (3 _ 4 V - COS0) cos(0/2) CQsff) sin(g/2) o, =-&- vt/rt (7) (8) 13
15 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR57 avulla sen verran, että plaslisokuvu alue särön kärjessä on enintään luokkaa 1/10-osa säteestä R. Kuva 4. Ydinympyrässä elementtejä tyypillisesti noin 10 sektorissa ja 30 renkaassa. Renkaiden leveys radiaalisuunnassa kasvaa geometrisen sarjan mukaisesti. 3.3 Säröä sulkevan jännityksen laskenta Analyyseissä on käytetty larkasteluväliä (4...8) CTOD, jolla lasketaan Oj-jännityksen integroitu keskiurvo ö v. Tämän ohjelmat EPFM2D ja EPFM3D laskevat asettamalla x-akselia lähinnä olevien vähintään neljän integrointipistecn (kuva 5) kautia pienimmän neliösumman menetelmällä kolmannen asteen polynomin, mikä iniegrointipistciden a v -arvojen avulla tapahtuu seuraavasti. Integrointipisteitä, jotka ovat lähempänä särön kärkeä kuin 4-CTOD ei niiden jännitysarvojen epätarkkuuden takia oteta huomioon. Jos välillä (4...8)CT0D ei löydy neljää imegiointipistcttä, puuttuvat lisäpisteet oietaan etäisyyttä 8 CTOD kauempaa. Jos välillä (4...8)CTOD on yli neljä integrointipistettä, otetaan kaikki huomioon. Vähintään neljän pisteen kautta asetetaan pienimmän neliösumman menetelmällä kolmannen asteen polynomi, minkä jälkeen integroidaan välillä (4...8)- CTOD ja laaetaan keskimääräinen ö y - jännitys. Pyörähdyssymmetrisessä tapauksessa jännityksiä painotetaan säteellä. Käytännössä ö -jännitys ekstrapoloidaan x-akselille sitä lähinnä olevan integrointipisteen ja tähän nähden särön kärjestä samalla säteellä olevan lähimmän integrointipisteen avulla. CTOD S CTOD Kuva S. Normaalijännityksen c y keskiarvon a, laskeminen x-akselia lähinnä olevien vähintään neljän integrointipisteen avulla. 14
16 STUK-YTOTR Särön kärkialueen mallintaminen ja avauman laskenta Särön kärkialueen kuvaaminen ympyrämäisellä verkolla (kuva 6) on luonnollista ja siitä on etua mm. alueintegraalin t/-funktion valinnassa. CTOD:n laskentaa on kuvattu lähteessä (Shih, 1981). Ennen kuormitusta särön kärjen solmupisteet ovat origossa. Deförmoituneessa tilassa pisteiden koordinaateista vähcrnetään ensin kärkipisteen koordinaatit, jolloin kärkipiste tulee origoon. Kohdassa, jossa 45 :een SÄTEILYTURVAKESKUS CTODr = -t-ä-, (11) m O) jossa m saa tasovenymätilassa arvoja välillä 1,16...5,2, kun n saa arvoja n = 3... (Shih, 1981). Olkoon kärkielementin pituus radiaalisuunnassa Ar^ ja perättäisten elementtien piku'massa oleva suora x = -y leikkaa särön kyljen, kolmen lähimmän pisteer. kautta asetetaan särön suuntaan aukeava kylkeä kuvaava parabcli x(y)-ay 2 + by + c. (9) Särön kärjen avauma CTOD - 2y on C/-OD = fc±v < 1 + *> 2-4flC. (10) a ennen kuormitusta kuormituksen jälkeen Kuva 6. Särön kärjen avauma CTOD kohdassa Särön kärkielementin kokovaatimus Epälineaarinen laskenta sujuu numeerisesti sitä paremmin, mitä suurempi kärkielementti on. Toisaalta, jos kärkielementin sivun pituus radiaalisuunnassa on liian suuri, arviointivälillä (4...8) CTOD c o^-jännitys joudutaan ekstrapoloimaan kauempana olevien integrointipisteiden avulla tarkkuutta heikentävästi. Mitä suurempaan K IJc - arvoon tähdätään, sitä suurempi kärkielementti voi olla. Arvioidaan tarvittavan kärkielemeniin kokoa. Särön kärjen avauma on (Shih, 1981) tuuksien suhde q. Jännityksen ö y laskentatarkkuutta ajatellen tarkoituksenmukainen vaatimus on, että ensimmäisen elementin, jonka jännitysarvoja voidaan pitää särön kärjen läheisyyden takia epätarkkoina, ei osu tarkastelualueelle eli Ar : < 4CTOD c. Toiseksi tarkastelualueelle olisi hyvä saada parin elementin integrointipisteet. Tästä saadaan ehto qar^ + q 2 Ar { < (8-4)CTOD c = 4CTOD c. Tyypillisesti peräkkäisten elementtien sivujen pituuksien suhde on q = 1,5, joten vaatimus on Ar x < CTOD c. Yhtälö (11) huomioonottaen tulee 4r,<J.4t s ±L=-ldM. (12) m on m a> Jos esimerkiksi K Uc = 70 MPaVm, E = 210 GPa, v = 0,3, <7 0 = 420 MPa ja m <= 2, kun n = 10, on Ar t, 0,025 mm. Käytännössä kärkielementin sopiva koko selviää varmimmin kokeilemalla käyttämällä kaavasta (12) laskettua arvoa lähtökohtana. 15
17 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR57 KOLMEPISTETAIVUTUSPALKIN MALLINTAMINEN Tutkimuksessa keskitytään kuvassa 7 esitetyn kolmcpistctaivutuspalkin (lujuusopillisesti oikeampi nimitys ko!mcpisteiaivutus.,auvailc on kolmcpistctaivutuspalkki) analysointiin, koska esimerkiksi Loviisan paineastian haurastumista tutkitaan tämän tyyppisillä kappaleilla <mm.vtt:n reaktorilaboratoriossa). Palkit ovat ulkomitoiltaan samoja kuin Charpy V - koekappaleet. Koekappaleissa on puoliväliin {a = 5 mmj väsytetty alkusärö. Jännitys-venymäriippuv uutena käytetään mitattua jännitysvenymäkäyrää. Kokeessa mitataan voiman vaikutuskohdan taipumaa ja särön avaumaa CMGD, Lisäksi voima-siirtymäkäyrästä lasketaan./-integraali. 10 ast. -<r 10 mm 10 mm 7,5 mm CMOD: n mittaus 10 mm i 1 J y X vasvtvssaru E Vt Vt 40 mm a = 5 mm «1 mm Kuva 7. Knlmepistetaivutuspalkin geometria ja koejärjestely. 16
18 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS 4.1 Särön avauman mittausta varten tehdyn loven mallintaminen Tavanomaista jännitysanalyysiä värien särön avauman mittaamista varten tehdyn 4 mm pituisen ja 1 mm syvän ns. CMOD-loven lähes jännityksetön alue voidaan laskentamallissa jättää umpinaiseksi. Tarkasteltaessa matalan särön efektiä lovi saattaa vaikuttaa kuitenkin särön kärjen ympäristön jännitystilaan. Sen jälkeen, kun 2D-vcrkko on generoitu, siitä poistetaan yksi elementti ja koime solmupistettä (kuva 8), jolloin yhdeksän solmua joudutaan siirtämään uusin asemiin ja numeroimaan elementtejä uudelleen. Operaatiot on automatisoitu. Jolta eri tapausten vertailu tulisi tehdyksi mahdollisimman tarkasti, elementtiverkkojenon oltava mahdollisuuksien mukaan identtiset jännitysten ja J- integraalien tarkastelualueella. Myös integrointiasteiden (2x2x2 tai 3x3x3) tulee olla samat. IELEM=(JAK01+KPL-1)*JAK02+1 (uusi numero) N5+4 (-3) poistettavat solmut poiste: elementti ln.'.(jak01+kpl-2)*(3*jak02+2)+l N2=N1+2*JAK02+1 N3=N2+JAK02+1 N4=N3+2*JAK02+1 (vanha numero) N5=N4+JAK02+1 (vanha numero) a) b) % siirrettävät solmut o paikallaan pysyvät solmut Kuva 8. CMOD-loven aiheuttama elemeniin poisto, (a) verkko ennen elementin poistoa ja (b) verkko poiston jälkeen (loven tilavuus 22,886 mm 3 ). 17
19 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR Kaarevan särörintaman mailintaminen Väsyttämällä tehty särörintama on kaareva siten, että särörintaman keskellä särö on syvempi. Särörintaman kaarevuuden ollessa merkittävää se on syytä ottaa FEM-an;>lyyseissä huomioon. Särörintaman siirroksen määrä annetaan särörintamassa olevien solmupisteiden kohdalle. Ydinympyrän alueelle osuvien solmupisteiden ^-koordinaatit siirretään sellaisenaan särörinta- taman paikallista siirrosta kuvaavan Ax:n verran x-akselin suunnassa. Ydinympyrän ulkopuolisen alueen solmupisteet siirretään x-akselin suunnassa kertomalla kärjen siirtymä Ax kertoimella cicc-dljd ja lisäämällä näin saatu siirtymä solmupisteen x- koordinaattiin. Ydinympyrän ulkopuoliselle alueella olevien elementtien sivujen puolivälissä olevat solmut siirtyvät muunnoksessa puolivälistä niin vähän, ettei sila tarvitse ottaa huomioon. Alueen ulkoreunat eivät siirry (ohjelmat jättävät myös CMOD-mittausloven muodoltaan ennalleen). A: dd Ax n CMOD-ura A Ax Ax Kuva 9. Poikkileikkaustasossa AA olevan elcmenttiverkon siirtäminen särön palkallista syvyyttä vastaavaksi (ydinympyrän translaatio, muun alueen lineaarinen siirto). Jännitystilan cv tarkaslcluun liittyen todetaan seuraavaa. Ydinympyrän säde on yleensä niin suuri ja <r. -jännityksen tarkastelualue toisaalta niin pieni, että tarkastelualue jää ydinympyrän alueelle. Koska ydinympyröitä siirretään muotonsa ja kokonsa säilyttäen x-akselin suunnassa, elementin mitta Ar (kuva 10) radiaalisuunnassa ci muulu z-akselin suunnassa. Sivu-urat vääristävät verkkoa särörintaman lähellä hyvin vähän z-aksciin suunnassa, koska tarkasteltavien solmu- ja inlcgrointipisteidcn y- koordinaatit ovat luokkaa 0,02 mm ollen sivuuran pohjan pyöristyssätccstä 0,25 mm vain noin kymmenesosa (ks. kuva 11). Solmupiste- ja integrointipistctasot tarkastelualueella säilyvät sivu-urista aiheutuvassa koordinaatistomuunnoksessa z-aksclia vastaan kohtisuorina tasoina. 18
20 STUK-YTO-TR 57 SÄTEILYTURVAKESKUS o tarkasteltava elementti RINT x(sk -» ' A x(nk+l) x(ifront-l) x(lfront) x(lfront-hl) _fc. Z Kuva 10. xz-tasoon ympyrän kaaria pitkin projisoidut integrotntipisteet. Integrointipisteen oikein määritetty etäisyys särörintamasta olisi kohtisuora etäisyys särörintamasta. Nyt kuitenkin särörimaman ollessa vain lievästi kaareva integrointipisteen etäisyys särörintamasta (R/NT kuvassa 10) määritetään merkittävää virhettä tekemättä z-aksplia vastaan kohtisuorassa suunnassa, ^-tasossa tämä on sama kuin etäisyys *-akselin suunnassa. Särörintaman *-koordinaatin toisen asteen interpolaatiofunktiollc on helposti johdettavissa kaava x - x(lfront) + x(lfront,\)-x[ifront-\) 2 + [AtFRONT-lfrxVFRONT+l) _ x{lfr0nt)]f ± x(lfront* 1) - x{ifront-1) 2VT f tai Gaussin 3-integroinnin pisteet ( =±V0,6) saadaan i=0,l[x(lfront-l) + x(ifront+\)\ + QAxilFRONT) + x(!front+l) -x{lfront-\)fq,j 5) 2 Keskimmäisen integrointipisteen kohdalla = 0 eli x = X(IFRONT). Kaavoja (14) ja (15) vastaavista kaavoista lasketaan elementin särmän (pisteet N K-1, A'/C, NK+] kuvassa 10)x-koordinaatti integrointipisteen kohdalla. Integrointipisteen etäisyys (13) särmästä määräytyy Gaussin integrointipisteiden sijainnin mukaan, oy-jännitys ekstrapo Sijoittamalla kaavaan (13) Gaussin 2-integroinnin pisteet <( = \/f5) saadaan loidaan lineaarisesti xz-tasoon tarkasteltavana MI FRONT- I) + 4 xii FRONT) + x(!front+v) olevan integrointipisteen ja samalla ympyrän (14) kaarella olevan lähimmän (kauempana «-tasosta olevan) integrointipisteen a y -jännityksen avulla. 19
Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM
Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM LEFM Rajoituksia K on validi, kun plastisuus rajoittuu pienelle alueelle särön kärkeen mitattavat TMMT-tilassa Hauraille materiaaleille Validiteetti Standardin kokeellinen
Lisätiedot10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat
TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö.
05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,
LisätiedotSISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa
SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia
LisätiedotHarjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotPUHDAS, SUORA TAIVUTUS
PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso
LisätiedotMateriaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.
JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotLaskuharjoitus 2 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.
LisätiedotNumeerinen integrointi
Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotRatkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotMUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:
MUODONMUUTOKSET Lähtöotaksumat:. Materiaali on isotrooppista ja homogeenista. Hooken laki on voimassa (fysikaalinen lineaarisuus) 3. Bernoullin hypoteesi on voimassa (tekninen taivutusteoria) 4. Muodonmuutokset
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.
7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotAnalysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus
TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotOhjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin
Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotPALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v
PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotLAATTATEORIAA. Yleistä. Kuva 1.
LAATTATEORIAA Yleistä Kuva 1. Laatta on kahden pinnan rajoittama rakenneosa, jonka paksuus on pieni muihin mittoihin verrattuna. Pintojen puolivälissä oleva keskipinta on taso ennen laatan kuormittamista.
Lisätiedot3. SUUNNITTELUPERUSTEET
3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen
LisätiedotVaatimukset. Rakenne. Materiaalit ja niiden ominaisuudet. Timo Kiesi
Vaurioituminen I Vaatimukset Rakenne Materiaalit ja niiden ominaisuudet Timo Kiesi 18.9.2013 2 Vaurioituminen Miksi materiaalit murtuvat? Miten materiaalit murtuvat? Timo Kiesi 18.9.2013 3 Miksi insinöörin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotFunktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotPANK-2206. Menetelmä soveltuu ainoastaan kairasydännäytteille, joiden halkaisija on 32-62 mm.
PANK-2206 KIVIAINES, PISTEKUORMITUSINDEKSI sivu 1/6 PANK Kiviainekset, lujuus- ja muoto-ominaisuudet PISTEKUORMITUSINDEKSI PANK-2206 PÄÄLLYSTEALAN NEUVOTTELUKUNTA 1. MENETELMÄN TARKOITUS Hyväksytty: Korvaa
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotKUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA
KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET 18.12.2008 ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA 1 Johdanto Muovauksen vaikutuksesta metallien lujuus usein kasvaa ja venymä pienenee.
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotExam III 10 Mar 2014 Solutions
TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions. Compute the dection at right end o the y,v / F structure using the potential
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotLUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ
LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ Lujuushypoteesin tarkoitus: Vastataan kysymykseen kestääkö materiaali tietyn yleisen jännitystilan ( x, y, z, τxy, τxz, τyz ) vaurioitumatta. Tyypillisiä materiaalivaurioita ovat
LisätiedotKuparikapselin pitkäaikaiskestävyys
Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys Juhani Rantala, Pertti Auerkari, Stefan Holmström & Jorma Salonen VTT, Espoo Tapio Saukkonen TKK Materiaalitekniikan laboratorio, Espoo KYT2010 Puoliväliseminaari 26.9.2008,
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
LisätiedotTAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat
TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotKuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo.
KUORMAAJAN OHJAAMON ÄÄNIKENTÄN MALLINNUS KYTKETYLLÄ ME- NETELMÄLLÄ Ari Saarinen, Seppo Uosukainen VTT, Äänenhallintajärjestelmät PL 1000, 0044 VTT Ari.Saarinen@vtt.fi, Seppo.Uosukainen@vtt.fi 1 JOHDANTO
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotRYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN
ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotSuorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
Lisätiedotnormaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät
TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotTuulen nopeuden mittaaminen
KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMääritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja
TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti
LisätiedotVauriomekanismi: Väsyminen
Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Lisätiedot