Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta"

Transkriptio

1 STUK-YTO-TR 57 Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta Kari Ikonen HEINÄKUU 1993 /.-.' % '.:,:%m # * tmcr^m \ SÄTEILYTURVAKESKUS I Strölsäkerhetscentralen rsc jnnrir? Finnish Centre for Radiation and ölmjl\ Nuclear Safety

2 ISBN ISSN Painatuskeskus Oy Helsinki 1993

3 STUK-YTO-TR 57 HEINÄKUU 1993 Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspalkin kokeesta Kari Ikonen Valtion teknillinen tutkimuskeskus Ydinvoimatekniikan laboratrio Tutkimuksen johto Säteilyturvakeskuksessa Rainer RaDtala Tutkimus on tehty Säteilyturvakeskuksen tilauksesta. SÄTEILYTURVAKESKUS PL HELSINKI Puh. (90) 70821

4 STUK-YTO-TR 57 SÄTEILYTURVAKESKUS IKONEN, Kari (VTT). Murtumissitkeyden laskeminen pienen taivutuspauän kokeesta. STUK-YTO TR 57. Helsinki s + liitteet 2 s. ISBN ISSN Avainsanat: elastis-plastinen murtumismekaniikka, elastis-plastinen jännitysanalyysi, murtumismekaaninen testaus, reaktoripaineastian iujuus, constraint-efekti, kolmepistetaivutuspalkki TIIVISTELMÄ Raportissa kuvataan työ, jolla on luotu valmius laskea dimensiotekijöiden ja kuormitusolosuhteiden vaikutus murtumissitkeyteen. Raportissa kuvataan tarkoitukseen kehitetyt kaksi- ja kolmiulotteiset tietokoneohjelmistot ja sovelletut laskentaperiaatteet. Erityisesti tavoitteen on kyetä muuntamaan pienellä kolmepistetaivutuspalkilla mitattava sitkeysarvo syvän särön tasovenymätilan arvoksi eli ns. SSY-arvoksi. Analysoidaan koekappaleen paksuusefektiä ja särön mataluusefektiä erikseen. Tutkitaan pienen kolmepistetaivutuspalkin käyttäytymistä, mitä varten laskenta automatisoitiin pitkälle. Simuloidaan sivu-urallisen ja sivu-urattoman kolmepistetaivutuspalkin kokeita ottaen särörintaman kaarevuus ja avauman mittaista varten tehdyn loven vaikutus huomioon,./-integraali lasketaan särörintamaa pitkin sekä voiman ja sen aiheuttaman palkin taipuman avulla. Arvioidaan kolmepistetaivutuspalkin mittauskapasiteettia. 3

5 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR 57 IKONEN, Kari (Technical Research Centre of Finland). Conversion of fracture toughness testing values from small scale three point bending test specimens to s,nall scale yielding state (SSY) by elastic-plastic stress analysis. STUK-YTO-TR 57. Helsinki pp + Apps 2 pp. ISBN ISSN Index terms: elastic-plastic fracture mechanics, elastic-plastic stress analysis, fracture mechanics testing, reactor pressure vessel integrity, constraint-effect, three point bending test specimen ABSTRACT This report describee Ae work performed for achieving readiness to calculate fracture toughness dependence on dimension effects and loading conditions in fracture test specimens and real structures. In the report two- and three-dimensional computer codes developed and calculation^ methods applied are described. One of the main goals is to converse fracture toughness from small scale three point bending test specimens to case of a depth crack in plane strain i.e. to small scale yielding state (SSY) by numerical elastic-plastic stress analysis. Thickness effect of a test specimens and effect of a crack depth are separately investigated, ''"ests of three point bending specimens with and without sidegrooves and curved crack front are numerically simulated and experimental and computed results are compared, /-integral is calculated along crack front and also from force-deflection dependence of the beam. For the analyses the computing system was thoroughly automatized. Measuring capacity of three point bending test specimens was tried to evaluate. 4

6 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS ALKUSANAT Tämä tutkimus on tehty VTT:n ydinvoimatekniikan laboratoriossa säteilyturvakeskuksen rahoituksella. Työn ohjaajana ja valvojana on toiminut ylitarkastaja Rainer Rantala säteilyturvakeskuksesta. Erikoistutkija Heikki Raiko ydinvoimatekniikan laboratoriosta on tarkistanut kirjoituksen, antanut työasemien ja supertietokoneen käyttöön liittyvää apua sekä piirtänyt liitteiden kuvat Erikoistutkija Matti Valo VTT:n reaktorilaboratoriosta on tehnyt kolmepistetaivutuspalkkikokf itaja näihin liittyviä vetokokeita ja antanut näiden ja aiempien kokeiden tuloksia käyttöön. Työn edistymisen kannalta hyödyllisiin keskusteluihin on edellä mainittujen lisäksi osallistunut myös tutkimusprofessori Kim Wallin VTT:n metallilaboratoriosta. Esitän kiitokseni edellä mainituille. Tekijä 5

7 SÄTEILYTURVAKESKUS STLK-YTO-TR57 LUETTELO KÄYTETYISTÄ TERMEISTÄ CMOD CTOD EPFM Crack Mouth Opening Displacement, särön avauma. jonka mittaamisia varten kolniepistetaivuluspalkinotsapintaan koneistetaan lovi Crack Tip Opening Displacement, särön kärjen avauma Elastic-Plastic Fracture Mechanics, elastis-plasiinen murtumismckaniikka murlumissilkcydcn määrittämiseen käytetty säröllincn päistään nivelcl- liscsti tuettu keskeltä pakkosiirtymällä kuormitetun koepalkki FEM FFA3 ja FFA6 HRR-kenttä y-intcgraali Jännitys-venymäriippuvuus (-käyrä ) Kolmepistetaivutuspalkki LEFM Ramberg-Osgoodin malli Sivu-ura SSY-kenttä TVT Ydinympyrä Finite Element Method, elementtimenetelmä IAEA:n tutkimusohjelmassa CRP-3 tehtyjen kokeiden tunnuksia analyyttinen ratkaisu jännitystilalle syvän särön kärjen ympäristössä (HUTCHINSON. RICE ja ROSENGREN, 1%8), kun jännitys-venymä- riippuvuus on Ramberg-Osgoodin potenssifunktion mukainen ja aine käyttäytyy epälineaarisesti kimmoisesti särön kuormittumista kuvaava munumisparamctri suoran sauvan aksiaalisella vctokokeella määritettävä jännityksen voi- (ma/poikkipinta-ala) ja venymän (siirtymä/sauvan pituus) välinen riippuvuus Linear-Elastic Fracture Mechanics, lineaaris-elastinen murtumismekaniikka jännilys-venymäkäyrän potenssini uotoincn soviicfunktio kolmepistelaivutuspalkin sivuille särön kohdalla työstelly ura Small Scale Yielding -kenllä, särön ympäristön kaksiulotteisella lincaaris-elaslisella analyysillä saatava teoreettinen jännitystila, joka syntyy, kun särö on äärettömän syvi ja suoran säröriniaman suunnassa muodonmuutokset on estettyjä vaihucc tasovcnymätila (TVT) tasovcnymätila, joka syntyy, kun levymäisen kappaleen kummallakin pinnalla pintaa vastaan kohtisuora siirtymä ja venymä on estetty, jolloin kaikki suureet syvyyssuunnassa kappaleen pinnoista lukien ovat vakioita FEM-Iaskentamallissa pienehkö ympyräaluc, jonka keskipiste on särön kärjessä ja joka on jaettu radiaalisälcillä ja ympyrän kaarilla elementteihin ft

8 STUK-YTO-TR57 SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ ABSTRACT ALKUSANAT SÄTEILYTURVAKESKUS Sivu LUETTELO KÄYTETYISTÄ TERMEISTÄ 1 JOHDANTO Tehtävän tavoite ja rajaus 8 2 TIETOKONEOHJELMISTOJEN KUVAUS Kaksiulotteisen laskennan ohjelmisto Kolmeulotteisen laskennan ohjelmisto /-integraalin laskentamenetelmät 11 3 LASKENTAPERIAATE Säröä sulkevan jännityksen ja /-integraalin välinen yhteys Syv än särön analysointi Säröä sulkevan jännityksen laskenta Särön kärkialueen mallintaminen ja avauman laskenta Särön kärkielementin kokovaatimus 15 4 KOLMEPISTETAIVUTUSPALKIN MALLINTAMINEN Särön avaaman mittausta varten tehdyn loven mallintaminen Kaarevan särörintaman mallintaminen Sivu-uran mallintaminen /-integraalin laskeminen voima-siirtymäriippuvuudesta Jännitys-venymäriippuvuus 23 5 LEVYN PAKSUUDEN VAIKUTUS MURTUMISSITKEYTEEN Laskentaperiaate Tulokset 26 6 SÄRÖN MATALUUDEN VAIKUTUS MURTUMISSITKEYTEEN Laskentaperiaate Tulokset Levyn tasoa vastaan kohtisuoran muodonmuutoksen vaikutus 35 7 SIVU-URATON KOLMEPISTETAIVUTUSPALKKI Analyysien tulokse' ja vertailu koetuloksiin 38 8 SIVU-URALLINEN KOLMEPISTFTAIVUTUSPALKKI Analyysien tulokset ja vertailu koetuloksiin 46 9 VÄSYTYSSÄRÖJEN TARKASTELUJA YHTEENVETO JA JOHTOPÄÄTÖKSET 56 LÄHDELUETTELO 58 Liite 1: Sivu-urattoman kolmepistetaivutuspalkin muodonmuutokset särörintaman lähellä 59 Liite 2: Sivu-urallisen kolmepistetaivutuspalkin neljänneksen elementtiverkko 60 7

9 SÄTEILYTURVAKESKUS SRJK-YTO-TR57 1 JOHDANTO Viimeaikainen tietokoneiden ja laskentamenetelmien kehitys on johtamassa tilanteeseen, jossa säröjen murtumis käyttäytymisiä voidaan tutkia laskennallisesti entistä yksityiskohtaisemmin ja tarkemmin. Näin on mahdollista saada sellaista dimensiotekijöihin ja kuormitusolosuhteisiin liittyvää informaatiota, jota on vaikea muuten saada selville. Yksi sovelluskohde on määrittää staattisesti kuormitetun pienen sarallisen taivu'uspalkin murtumisvoiman avulla koekappaleen murtumissitkeys ja muuntaa se laskennallisesti muihin olosuhteisiin. Tärkeä menetelmän sovelluskohde olisi reaktoripaineastian hätäjäähdytystilanteen aiheuttaman kuormitustilanteen analysointi, joka poikkeaa olennaisesti dimensiotekijöidenja kuormitusolosuhteiden osalta esimerkiksi pienen koepalkin murtumiskokcesta. Tarkastelut, jotka supertietokoneen sijasta voidaan yhä useammin tehdä työasemilla, edellyttävät tarkkaa särörintaman lähialueen epälineaarisen jännitystilan määrittämistä elementtimenetelmällä ja kolmeuloilcisella malleilla. 1.1 Tehtävän tavoite ja rajaus Rcaktoripaincastioidcn haurasmurtumavaaran selvittämistä varten tarvitaan tarkennettua tietoa säteilytetyn perusaineen ja hitsien sitkeysominaisuuksista. Vanhoista ja mahdollisesti otettavista uusista ja pienistä koekappaleista saatavat sitkcysarvot joudutaan muuntamaan haurasmurtuma-analyysejä varten todelliseen rcakloripaineastiamiiiakaavaan. Yleisesti tämän tehtävän tavoite on selvittää, miten pienellä koekappaleella tehtävästä murtumiskokccsta saatava informaatio siirretään todellisessa rakenteessa (reaktoripaincastia) olevan särön murtumisanalyysiin. Peruserot olosuhteissa pie nessä koekappaleessa ja todellisessa rakenteessa aiheutuvat dimensio- ja reunaehtoeroista sekä kuormituksesta (koekappaleessa yleensä mekaaninen kuormitus, reaktroiipaineastiassa myös lämpökuormitus). Koska edellä kuvattua tavoitetta ci tämän selvityksen yhteydessä voida saavuttaa täydellisesti, on tavoitetta rajattava ja asetettava sopivia erillistavoiltciia. Yksi olennainen rajaus on, että tarkasteluihin ei sisällytetä stabiilia särönkasvua, vaikka se varsinkin kocpalkm sitkeässä murtumisessa voi olla merkittävä ilmiö. Rajaus merkitsee tarkastelujen rajoittamista suhteellisen hauraisiin tapauksiin, joissa stabiilia särönkasvuu ci juurikaan tapahdu. Yksi olennainen rajaus on myös, ctlä mitään tilastollisia efektejä ei oteta huomioon tarkastelujen ollessa puhtaasta deterministisiä. Tämä tarkoittaa, että koekappaleen materiaali on ajateltava kaikilta lujuus- ja murtumisominaisuuksiltaan homogeeniseksi (tasalaatuiseksi), jolloin murtuminen tapahtuu kahdessa identtisessä kokeessa samalla tavalla. Tämän tutkimuksen yksi tarkoitus on pyrkiä tekemään murtumiseen liittyvät kontinuumimckaaniset ilmiöt niin selviksi, että lopulla tiedetään, mitkä tekijät aiheutuvat kontinuumimckaanisista ja mitkä tilastollisista tekijöistä. Yksi olennainen rajaus tulee laskentamenetelmästä, jossa oletetaan jatkuva aine (ci onkaloidcn muodostumista särön kärjen eteen), pienet siirtymät, pienet venymät, von Miscs'n myöiöchto ja siihen liittyvä assosiatiivinen myötösääntö sekä isotrooppinen lujittuminen. Yksityiskohtaisemmin esittäen tavoite on saada vastauksia seuraavanlaisiin kysymyksiin: Kun 8

10 STUK-YTO-TR 57 SÄTEILYTURVAKESKUS koekappaleen säröriniaman jokin konia saavuttaa kriiuisen tilan eli saavutetaan J c ja särön kasvu alkaa niin, mikä on vastaava syvär särön K/ C l Särö rintaman jonkin kohdan kriittisellä tilalla tarkoitetaan nyt sitä, että säröä vastaan kohtisuora jännitys etäisyydellä neljästä kahdeksaan kertaa särön kärjen avauma saavuttaa kriittisen arvonsa ja teräs murtuu lohkomurtumismckanismilla. Erillistavoitteita ovat seuraavat: Mikä on särön syvyysvaikutus ja koekappaleen paksuusvaikutus ja miten nämä kytkey tyvät tosiinsa? Mikä on sivu-urien ja särön avauman (CMOD) mittausta varten tehdyn loven vaikutus tuloksiin? Mikä vaikutus on koekappaleeseen väsyttämällä tehdyn alkusärön kaarevuudella tuloksiin? Miten vaikuttaa kaltevilla tasoilla olevien rullien kitkasta aiheutuva, aksiaalinen puristava voima koekappaleeseen? Yksi olennainen tavoite on myös selvittää, miten särörintamaa pilkin laskettu paikallinen J- arvo ja siitä laskettu keskimääräinen tai efektiivinen J -arvo suhtautuu A STM-standardin mukaisesti kokeellisesta voima-siirtymäkäyrästä laskettuun J- arvoon? Tärkeä tehtävä on ollut myös itse laskentajärjestelmän kehittäminen edellä kuvattujen ilmiöiden selvittämiseksi. Tärkeänä tehtävänä on pidetty myös mittauksiin perustuvien koetulosten analysointia. Kokonaisuutena ottaen tehtävässä on pyritty Loviisan ykkösvoimalan reaktori paineastian haurasmurtumavaaran selvittämisessä varmistaviin ja tarkentaviin tuloksiin. Kehitettyjä valmiuksia voidaan lisäksi soveltaa suon an myös muihin rakenteisiin, joissa murtuminen on ongelma. 9

11 SÄTEILYTURVAKESKUS STLK-YTO-TR57 2 TIETOKONEOHJELMISTOJEN KUVAUS Valtion teknillisen tutkimuskeskuksen \dinvoimatekniikan laboratoriossa kehitetyillä elementtimenetelmään perustuvilla kaksi- ja kolmculotteisilla elastis-plastisilla ohjelmilla EPFMlDyi EPFM1D voidaan laskea yhdistettyjä mekaanisia ja termisiä kuonnitusi:'.pauksia. Ohjelmat ovat yleispäteviä ominaisuuksiltaan ja ne toimivat tehokkaasti nykyaikaisissa työasemissa. Ohjelmiin on kehitetty automaattisia verkon generointiruliineja, joilla voidaan mallintaa erilaisia geometrioita. Säröllisi.. rakenteita varten on tehty erikoisgenerointeja. Ohjelmissa sovelletaan von Misesn maieriaalimalliaja siihen liittyvää assosiatiivista myötösääntöä Aksiaalisen velokokeen jännitysvenymäkäyrä voidaan antaa joko multi lineaansenatai Rambcrg-Osgoodin sovittcena. Ohjelmiin on kehitelty ratkaisujärjestelmä, joka pystyy samaan monipuoliseen toimintaan kuin kaupallisten FEM-ohjelmicn vastaavat ratkaisijat. Menetelmä perustuu Choleskyn dekompositiumenetelmään, optimaaliseen jäykkyysmatriisin talletukseen yksiulotteisena vektorina ja tehokkaaseen yhtälöryhmän ratkaisutekniikkaan. Suuria systeemejä varten ohjelmissa on jäykkyysmairiisin blokitus. Reunaehtojen huomioonottaminen on tehty monipuoliseksi siten, että mm. vapausasteiden sitominen toisiinsa on mahdollista. Jäykkyysmalriisin päivitystekniikka nopeuttaa ratkaisevasti epälineaarista analysointia ja siinä tarvittavaa iteroimia. Ohjelmat EPFM2D& EPFM.W ratkaisevat isoparamctrisia elementtejä käyttäen erittäin hienojakoisella clcmcnttivcrkolla jännitystilan säröriniaman edessä. Tästä edelleen ohjelmat laskevat./-integraalin. Saatavan jännitystilan perusteella lasketaan vastaavan syvän särön cli HRR-kcntänsilkcysarvo. Ohjelmien toiminta on automatisoitu ko. ongelmaan erityisen hyvin soveltuvaksi. Myös pinnoitteellisien palkkien analysointi on mahdollista. 3D-analyysillä voidaan ottaa huomioon koekappaleen alkusärön muoto (epätarkkuudet), sivu-urat sekä I. :>ekappalcen mahdollinen poikkeaminen standardin mukaisesta muodosta tai koosta. Särön kärjen jännitystilan ratkaiseminen on vaativimpia elastis-plastisten analyysien sovelluskohteita. Laskeniaparametrit vaikuttavat herkästi analyysin tuloksena saatavaan jännitystilaan. "Suljettua" ohjelmapakettia käyttämällä ei voida tietää tarkasti ohjelman toimintaa eikä lisätä siihen tarvittavia erityispiirteitä. On tunnettava perusteellisesti laskentamenetelmät, koska lopputulos on herkkä pienillekin virheellisyyksille. Nyt esillä olevassa ongelmassa on monta erikoispiirrettä kuten sivu-urien, kaareva särörinlamna, CMOD.n mittaukseen käytetyn loven mallinnus jne. Laskennassa tarvitaan paljon tcstausajoja. koska tuloksiin vaikuttavia mm. laskentatarkkuutta sääteleviä parametreja on noin 20. Ongelman ratkaiseminen käytännössä on mahdollista vain integroidulla crikoisjärjestclmällä, jossa toiminnot on pitkälle automatisoitu. Monimutkaisien ohjelmien toiminta ja taustalla oleva teoria on kuvailu muissa yhteyksissä aika siihen puututa tässä lähemmin. 2.1 Kaksiulotteisen laskennan ohjelmisto Laskentajärjestelmään liitlyy kaksiulotteinen (mm. keväällä 1992 matalien säröjen tutkimuksen yhteydessä kehitelty ja vuoden 1993 aikana edelleen kehitetty) tasojännitys-, tasovenymä- ja pyörähdysjäiiniiyslilan laskeva ohjelmisto EPFM2D (noin 6000 FORTRANin

12 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS lausetta». Nyt esillä olevaa sovelluskohdetta ajatellen ohjelmassa on mm. seuraavia erityispiirteitä: kolmepisieiaivutuspalkin elementtiverkon automaallimen mallinnus, jossa CStODloven mallinnus tasovenymätila-analyysejä varten särön kärjen avauman laskeminen särötasoa vastaan kohtisuoran normaalijännitysjakauman!a.1tas r elut särön kärjen edessä /-integraalin ja vastaavan Ä/-arvon laskeminen viiva- ja alueiniegraalina. 2.2 Kolmiulotteisen laskennan ohjelmisto Vuosina 1992 ja 1993 kehitetyllä koimculotteisella ohjelmalla EPFM3D (noin 6000 FORTRAN-lausetta) voidaan mallintaa mikä tahansa geometria 20-solmuisiUa isoparametrisilla elementeillä. Nyt esillä olev; a sovelluskohdetta ajatellen ohjelmassa on mm. seuraavia erityispiirteitä: kolmepistctaivutuspalkir. elementtiverkon automaattimer. mallinnus, jossa CMODlovcn ja sivu-urien mallinnusmahdollisuus paksuusefektin tutkimista varten SSY-tilan pakl.osiirtymät kolmeulotteisen kiekkomaisen mallin ulkokehälle särötasoa vastaan kohtisuorien siirtymien estäminen (symmetriarcunaehio) kannasalueella myös kaarevan särörintaman tapauksessa auiomaattisesti särön kärjen avauman laskeminen särörintamaa piikin särötasoa vastaan kohtisuoran normaalijännitysjakauman tarkastelut särörintaman edessä /-integraalin ja vastaavan K r arvon laskeminen paitsi säröri nt am aa (alue integraali) pitkin myös voiman ja sen aiheuttaman kolmepisteivuiuspalkin taipuman avulla standardin ASTM 81 D mukaan. lisessa kasvussa säröpinnoilta poistuvien jännitysten tekemää työtä eli kappaleen potenöaalinenergian muutosta. Toisaalta se hallitsee jännityskenttää särön kärjen lähialueella. J- integraali on alunperin tasotapauksen murumisparametn. mutta sangen yksinkertaisesti laajentaen todetaan sen paikallinen pätevyys myös kolmeulotteisen tapauksen särörintamassa. /-integraali lasketaan viivaintegraalina ja/tai alueiniegraalina. Luvussa 4.4 tarkastellaan taivutuspalkin /-integraalin laskemista voiman ja sen aiheuttaman taipuman avulla. Tasotapauksessa viivaintegraali on ; = I ( w 8u - a t/ u,.i ) n, ds + (aa u T.i) da Jr -'<«ja vastaava alueintegraali (domain integral) (1) J-\ [(a v uj.i-w Si,)lu +aout.\ q\]da, ia (2) joissa K- on muodonmuutosenergiatiheys, S Kroneckerin 5-fjnktio, u. siirtymäkomponentti.u,i sen derivaatta särön kärjestä ehyeescen aineeseen päin säröpinnan tasossa eli x- akselin suunnassa, a,, jännitystensori, n. integrointipolusta ulospäin osoittavan yksikxönormaalivektorin komponentti, ds integrointipolun kaarialkio, T x lämpötilan derivaatta x-akselin suuntaan, integrointipolun Tsisälle jäävä pinta-alkio, a lämpöpitenemiskerroin ja q alueintegraalin paino funktio. 2.3 /-integraalin laskentamenetelmät /-integraali on sangen yleispätevä murtumismekaaninen parametri. Sillä on dualistinen merkitys. Ensinnäkin se kuvaa särön virtuaa Kuva 1. Integrointipolku rsärön kärjen ympäri. 11

13 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR57 3 LASKENTAPERIAATE Särön kuormitustilan vaarallisuutta kuvaava murtumisparametti, kuten./-integraali tai jännitysintcnsiteettikerroin K/, ei kuvaa murtumista yleensä yksikäsitteisesti, koska se ei ota huomioon särörintaman suuntaista jännitystä, johon ainespaksuus, särön mataluus, kannaksen mataluus tai kuormitustapa vaikuttavat. Murlumisparametrin sijaan toinen mahdollisuus on tarka. i.ella jännitystilaa lähellä särön kärkeä ('local approach") clastis-plastisilla menetelmillä erittäin hienojakoista elcmcnttivcrkkoa käyttäen. Munumiskriteerinä käytetään tällöin särön kärjen edessä särö tasoa vastaan kohtisuoran normaalijännityksen maksimi. Itse asiassa kyseessä on lujuushypoteeseista vanhimpiin kuuluvan maksimipiuijännityshypoieesin (RANKINE, LAME, CLAPEYRON ja MAX WELL) soveltamisesta. Sen mukaan aine murtuu, kun suurin pääjännitys saavuttaa kriittisen arvonsa. Jännityksen a y maksimi ci ole särön kärjessä, koska siinä särön lylpistymiscn, kaksiulotteisen jännitystilan ja myöiämisen lakia jännitys jää myötörajan tasolle (kuva 2). Idcaaliplasusessa tapauksessa tascvenymätilassa särölasoa vastaan kohtisuoran normaalijännityksen a y maksimi suuruudeltaan noin kolme kertaa myöiöraja on noin kahden särön kärjen avauman CTOD päässä särön kärjestä. Tarkastelupiste voisi olla tämä, mutta näin lähellä särön kärkeä jännityksen laskeminen on epätarkkaa. Tietyllä jännitys- vcnymäriippuvuudella kuormitukscn, särön syvyyden tms. muuttuessa (Ty-jännitysjakauma siirtyy y- akseli n suunnassa muotonsa säilyttäen. Tämän vuoksi ci ole tarpeen pyrkiä määrittämään ^-jännityksen maksimia, vaan a y -jännitystä voidaan tarkastella hieman kauempana, tyypillisesti etäisyydellä (4... W)CTOD kärjestä. Tarkasielukohdan pi?net vaihtelut eivät vaikuta tuloksiin, kunhan vertailtaessa eri tapauksia toisiinsa tarkastclukohdat ovat samat. Käytännössä a y - jännitykselle lasketaan integroitu arvo o y esimerkiksi välillä (4...1O)CT0D, jolloin elementtimenetelmän numeeriset epätarkkuudet suodattuvat osittain pois ja laskenta stabiloituu. HRR-kentän jännitys 2 CTOD Kuva 2. Jännitys a y [ylpistyneen särön edessä x -akselilla. 3.1 Säröä sulkevan jännityksen ja /-integraalin välinen yhteys Säröä sulkevan a -jännityksen ja./-integraalin väliseen yhteyteen tasovenymälilassa päästään kuvaamalla jännitys-venymäriippuvuus Rambcrg-Osgoodin soviticclla E E (3) Parametreista a, a 0 ja n vain kahden ollessa toisistaan riippumatonta valitaan yleensä a =1. Syvään säröön liittyvä o y -jännitys on EJ Q>=CK> aa&l oewfl), (4) jossa / on Rambcrg-Osgoodin soviltccn parametristä n riippuva vakio, joka lasovcnymäti- 12

14 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS lassa pienillä n:n arvoilla on noin 6,0 ja suurilla noin 4,5 (Anderson, 1991). Parametrista n ja kulmasta e riippuva "äe(d,n) saa tasovenymätilassa A-akselilla (0= 0)mm. arvoja ~oe {6-0,n = 3) = 1,9 ja o 6 (0 = 0, n = 13) = 2,6 (Anderson, 1991). Kaavan (4) mukaan on voimassa verrannollisuus joka kuvaa jännitystilaa vain kauempana särön kärjestä. jossa on sovelleta yhteyttä r T (5) Ku- EJ (6) Kaava (5) kuvaa jännitystä lähellä särön kärjeä, multa ei liian lähellä, ko:,ka a y ei voi kasvaa rajatta etäisyyden r pienentyessä. Jos n on suuri (tyypillisesti n > 10), a y -jännitys kasvaa kaavan (5) mukaan kuormitusta lisättäessä huomattavasti hitaammin kuin J-integraali. Pientä muutosta o y -jännityksessä vastaa suuri muutos J- integraalissa. Tästä seuraa, että CL-jännitys on laskettava tarkasti. Jos esimerkiksi n = 10 ja K t j-arvon määrittämisessä asetetaan nyt sopivaksi katsottava virhetaso 2 %, o.-jännityksen laskennassa saa olla kaavan (5) akulla arvioiden vain 0,36 %:n virhe. Matalan särön tapauksessa kaava (4) ei ole voimassa. Sen sijaan riippuvuus (5) ei muutu niin olennaisesti, etteikö sitä voitaisi käyttää suuruusluokka-arvioihin. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi siten, että jos FEM-analyysissä ulkoisen kuormituksen pienuuden takia ei saavuteta kriittistä a yc - arvoa, kaarasta (5) voidaan arvioida tarvittava lisäkuormitus. Kuva 3 esittää tasovenymätilassa x-akselilla a y -jännitystä syvän särön kärjen edessä eri tavoin laskettuna kuormitustason ollessa K lc = 70 MPaVm. Jännitys-venymäriippuvuutena on käytetty jäljempänä kuvassa 13 esitetyn käyrän Rambeg-Osgoodin sovitetta, jolle cr 0 = 419 MPaja n = 12,8. HRR-kentän ratkaisu on laskettu kaavasta (4), kun E = 110 GPa, a = 1, / =4,5 ja ae {6 = 0, n = 12,8) = 2,6. Lineaarisessa tapauksessa n = 1 ja kaavasta (5) saadaan tunne tu c v -jännityksen lauseke, Kuva 3. Jännitys a y särön kärjen edessä. FEM-ratkaisu on laskettu kuvan 4 mallilla PFM2D-ohjelmalla. Kuvasta 3 todetaan, että FEM-ratkaisu yhtyy HRR-ratkaisuun lähellä särön kärkeä ja LEFM-ratkaisuun kauempana särön kärjestä. FEM- ja HRR-ratkaisun poikkeaminen loisistaan aiheutuu mm. siitä, että HRR-ratkaisussa Ramberg-Osgoodin sovi tteessa (3) ei ole mukana lineaarista venymää a/e. Särön kärjen lähialueella HRR-ratkaisu (5) ja FEM:n pienten venymien ratkaisu kuvaavat jännitystilan oikein alueella, johon särön kärjen tylpistyminen ei vaikuta. 3.2 Syvän särön analysointi Syvän särön laskentamallilla (kuva 4) synnytetään ns. pienen mittakaavan myötävän alueen tapaus (SSY, Small Scale Yielding). Laskenta tapahtuu kaksiulotteisen laskennan ohjelmalla EPFM2D tasovenymätilassa. Ympyrän ulkoreuna pakotetaan siirtymään tasovenymätilan siirtymien (Ikonen & Kantola 1991) Ut = U + v)* - / i j n Uy = (i + v)ki jjn» 2 (3 _ 4v_ (3 _ 4 V - COS0) cos(0/2) CQsff) sin(g/2) o, =-&- vt/rt (7) (8) 13

15 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR57 avulla sen verran, että plaslisokuvu alue särön kärjessä on enintään luokkaa 1/10-osa säteestä R. Kuva 4. Ydinympyrässä elementtejä tyypillisesti noin 10 sektorissa ja 30 renkaassa. Renkaiden leveys radiaalisuunnassa kasvaa geometrisen sarjan mukaisesti. 3.3 Säröä sulkevan jännityksen laskenta Analyyseissä on käytetty larkasteluväliä (4...8) CTOD, jolla lasketaan Oj-jännityksen integroitu keskiurvo ö v. Tämän ohjelmat EPFM2D ja EPFM3D laskevat asettamalla x-akselia lähinnä olevien vähintään neljän integrointipistecn (kuva 5) kautia pienimmän neliösumman menetelmällä kolmannen asteen polynomin, mikä iniegrointipistciden a v -arvojen avulla tapahtuu seuraavasti. Integrointipisteitä, jotka ovat lähempänä särön kärkeä kuin 4-CTOD ei niiden jännitysarvojen epätarkkuuden takia oteta huomioon. Jos välillä (4...8)CT0D ei löydy neljää imegiointipistcttä, puuttuvat lisäpisteet oietaan etäisyyttä 8 CTOD kauempaa. Jos välillä (4...8)CTOD on yli neljä integrointipistettä, otetaan kaikki huomioon. Vähintään neljän pisteen kautta asetetaan pienimmän neliösumman menetelmällä kolmannen asteen polynomi, minkä jälkeen integroidaan välillä (4...8)- CTOD ja laaetaan keskimääräinen ö y - jännitys. Pyörähdyssymmetrisessä tapauksessa jännityksiä painotetaan säteellä. Käytännössä ö -jännitys ekstrapoloidaan x-akselille sitä lähinnä olevan integrointipisteen ja tähän nähden särön kärjestä samalla säteellä olevan lähimmän integrointipisteen avulla. CTOD S CTOD Kuva S. Normaalijännityksen c y keskiarvon a, laskeminen x-akselia lähinnä olevien vähintään neljän integrointipisteen avulla. 14

16 STUK-YTOTR Särön kärkialueen mallintaminen ja avauman laskenta Särön kärkialueen kuvaaminen ympyrämäisellä verkolla (kuva 6) on luonnollista ja siitä on etua mm. alueintegraalin t/-funktion valinnassa. CTOD:n laskentaa on kuvattu lähteessä (Shih, 1981). Ennen kuormitusta särön kärjen solmupisteet ovat origossa. Deförmoituneessa tilassa pisteiden koordinaateista vähcrnetään ensin kärkipisteen koordinaatit, jolloin kärkipiste tulee origoon. Kohdassa, jossa 45 :een SÄTEILYTURVAKESKUS CTODr = -t-ä-, (11) m O) jossa m saa tasovenymätilassa arvoja välillä 1,16...5,2, kun n saa arvoja n = 3... (Shih, 1981). Olkoon kärkielementin pituus radiaalisuunnassa Ar^ ja perättäisten elementtien piku'massa oleva suora x = -y leikkaa särön kyljen, kolmen lähimmän pisteer. kautta asetetaan särön suuntaan aukeava kylkeä kuvaava parabcli x(y)-ay 2 + by + c. (9) Särön kärjen avauma CTOD - 2y on C/-OD = fc±v < 1 + *> 2-4flC. (10) a ennen kuormitusta kuormituksen jälkeen Kuva 6. Särön kärjen avauma CTOD kohdassa Särön kärkielementin kokovaatimus Epälineaarinen laskenta sujuu numeerisesti sitä paremmin, mitä suurempi kärkielementti on. Toisaalta, jos kärkielementin sivun pituus radiaalisuunnassa on liian suuri, arviointivälillä (4...8) CTOD c o^-jännitys joudutaan ekstrapoloimaan kauempana olevien integrointipisteiden avulla tarkkuutta heikentävästi. Mitä suurempaan K IJc - arvoon tähdätään, sitä suurempi kärkielementti voi olla. Arvioidaan tarvittavan kärkielemeniin kokoa. Särön kärjen avauma on (Shih, 1981) tuuksien suhde q. Jännityksen ö y laskentatarkkuutta ajatellen tarkoituksenmukainen vaatimus on, että ensimmäisen elementin, jonka jännitysarvoja voidaan pitää särön kärjen läheisyyden takia epätarkkoina, ei osu tarkastelualueelle eli Ar : < 4CTOD c. Toiseksi tarkastelualueelle olisi hyvä saada parin elementin integrointipisteet. Tästä saadaan ehto qar^ + q 2 Ar { < (8-4)CTOD c = 4CTOD c. Tyypillisesti peräkkäisten elementtien sivujen pituuksien suhde on q = 1,5, joten vaatimus on Ar x < CTOD c. Yhtälö (11) huomioonottaen tulee 4r,<J.4t s ±L=-ldM. (12) m on m a> Jos esimerkiksi K Uc = 70 MPaVm, E = 210 GPa, v = 0,3, <7 0 = 420 MPa ja m <= 2, kun n = 10, on Ar t, 0,025 mm. Käytännössä kärkielementin sopiva koko selviää varmimmin kokeilemalla käyttämällä kaavasta (12) laskettua arvoa lähtökohtana. 15

17 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR57 KOLMEPISTETAIVUTUSPALKIN MALLINTAMINEN Tutkimuksessa keskitytään kuvassa 7 esitetyn kolmcpistctaivutuspalkin (lujuusopillisesti oikeampi nimitys ko!mcpisteiaivutus.,auvailc on kolmcpistctaivutuspalkki) analysointiin, koska esimerkiksi Loviisan paineastian haurastumista tutkitaan tämän tyyppisillä kappaleilla <mm.vtt:n reaktorilaboratoriossa). Palkit ovat ulkomitoiltaan samoja kuin Charpy V - koekappaleet. Koekappaleissa on puoliväliin {a = 5 mmj väsytetty alkusärö. Jännitys-venymäriippuv uutena käytetään mitattua jännitysvenymäkäyrää. Kokeessa mitataan voiman vaikutuskohdan taipumaa ja särön avaumaa CMGD, Lisäksi voima-siirtymäkäyrästä lasketaan./-integraali. 10 ast. -<r 10 mm 10 mm 7,5 mm CMOD: n mittaus 10 mm i 1 J y X vasvtvssaru E Vt Vt 40 mm a = 5 mm «1 mm Kuva 7. Knlmepistetaivutuspalkin geometria ja koejärjestely. 16

18 STUK-YTO-TR57 SÄTEILYTURVAKESKUS 4.1 Särön avauman mittausta varten tehdyn loven mallintaminen Tavanomaista jännitysanalyysiä värien särön avauman mittaamista varten tehdyn 4 mm pituisen ja 1 mm syvän ns. CMOD-loven lähes jännityksetön alue voidaan laskentamallissa jättää umpinaiseksi. Tarkasteltaessa matalan särön efektiä lovi saattaa vaikuttaa kuitenkin särön kärjen ympäristön jännitystilaan. Sen jälkeen, kun 2D-vcrkko on generoitu, siitä poistetaan yksi elementti ja koime solmupistettä (kuva 8), jolloin yhdeksän solmua joudutaan siirtämään uusin asemiin ja numeroimaan elementtejä uudelleen. Operaatiot on automatisoitu. Jolta eri tapausten vertailu tulisi tehdyksi mahdollisimman tarkasti, elementtiverkkojenon oltava mahdollisuuksien mukaan identtiset jännitysten ja J- integraalien tarkastelualueella. Myös integrointiasteiden (2x2x2 tai 3x3x3) tulee olla samat. IELEM=(JAK01+KPL-1)*JAK02+1 (uusi numero) N5+4 (-3) poistettavat solmut poiste: elementti ln.'.(jak01+kpl-2)*(3*jak02+2)+l N2=N1+2*JAK02+1 N3=N2+JAK02+1 N4=N3+2*JAK02+1 (vanha numero) N5=N4+JAK02+1 (vanha numero) a) b) % siirrettävät solmut o paikallaan pysyvät solmut Kuva 8. CMOD-loven aiheuttama elemeniin poisto, (a) verkko ennen elementin poistoa ja (b) verkko poiston jälkeen (loven tilavuus 22,886 mm 3 ). 17

19 SÄTEILYTURVAKESKUS STUK-YTO-TR Kaarevan särörintaman mailintaminen Väsyttämällä tehty särörintama on kaareva siten, että särörintaman keskellä särö on syvempi. Särörintaman kaarevuuden ollessa merkittävää se on syytä ottaa FEM-an;>lyyseissä huomioon. Särörintaman siirroksen määrä annetaan särörintamassa olevien solmupisteiden kohdalle. Ydinympyrän alueelle osuvien solmupisteiden ^-koordinaatit siirretään sellaisenaan särörinta- taman paikallista siirrosta kuvaavan Ax:n verran x-akselin suunnassa. Ydinympyrän ulkopuolisen alueen solmupisteet siirretään x-akselin suunnassa kertomalla kärjen siirtymä Ax kertoimella cicc-dljd ja lisäämällä näin saatu siirtymä solmupisteen x- koordinaattiin. Ydinympyrän ulkopuoliselle alueella olevien elementtien sivujen puolivälissä olevat solmut siirtyvät muunnoksessa puolivälistä niin vähän, ettei sila tarvitse ottaa huomioon. Alueen ulkoreunat eivät siirry (ohjelmat jättävät myös CMOD-mittausloven muodoltaan ennalleen). A: dd Ax n CMOD-ura A Ax Ax Kuva 9. Poikkileikkaustasossa AA olevan elcmenttiverkon siirtäminen särön palkallista syvyyttä vastaavaksi (ydinympyrän translaatio, muun alueen lineaarinen siirto). Jännitystilan cv tarkaslcluun liittyen todetaan seuraavaa. Ydinympyrän säde on yleensä niin suuri ja <r. -jännityksen tarkastelualue toisaalta niin pieni, että tarkastelualue jää ydinympyrän alueelle. Koska ydinympyröitä siirretään muotonsa ja kokonsa säilyttäen x-akselin suunnassa, elementin mitta Ar (kuva 10) radiaalisuunnassa ci muulu z-akselin suunnassa. Sivu-urat vääristävät verkkoa särörintaman lähellä hyvin vähän z-aksciin suunnassa, koska tarkasteltavien solmu- ja inlcgrointipisteidcn y- koordinaatit ovat luokkaa 0,02 mm ollen sivuuran pohjan pyöristyssätccstä 0,25 mm vain noin kymmenesosa (ks. kuva 11). Solmupiste- ja integrointipistctasot tarkastelualueella säilyvät sivu-urista aiheutuvassa koordinaatistomuunnoksessa z-aksclia vastaan kohtisuorina tasoina. 18

20 STUK-YTO-TR 57 SÄTEILYTURVAKESKUS o tarkasteltava elementti RINT x(sk -» ' A x(nk+l) x(ifront-l) x(lfront) x(lfront-hl) _fc. Z Kuva 10. xz-tasoon ympyrän kaaria pitkin projisoidut integrotntipisteet. Integrointipisteen oikein määritetty etäisyys särörintamasta olisi kohtisuora etäisyys särörintamasta. Nyt kuitenkin särörimaman ollessa vain lievästi kaareva integrointipisteen etäisyys särörintamasta (R/NT kuvassa 10) määritetään merkittävää virhettä tekemättä z-aksplia vastaan kohtisuorassa suunnassa, ^-tasossa tämä on sama kuin etäisyys *-akselin suunnassa. Särörintaman *-koordinaatin toisen asteen interpolaatiofunktiollc on helposti johdettavissa kaava x - x(lfront) + x(lfront,\)-x[ifront-\) 2 + [AtFRONT-lfrxVFRONT+l) _ x{lfr0nt)]f ± x(lfront* 1) - x{ifront-1) 2VT f tai Gaussin 3-integroinnin pisteet ( =±V0,6) saadaan i=0,l[x(lfront-l) + x(ifront+\)\ + QAxilFRONT) + x(!front+l) -x{lfront-\)fq,j 5) 2 Keskimmäisen integrointipisteen kohdalla = 0 eli x = X(IFRONT). Kaavoja (14) ja (15) vastaavista kaavoista lasketaan elementin särmän (pisteet N K-1, A'/C, NK+] kuvassa 10)x-koordinaatti integrointipisteen kohdalla. Integrointipisteen etäisyys (13) särmästä määräytyy Gaussin integrointipisteiden sijainnin mukaan, oy-jännitys ekstrapo Sijoittamalla kaavaan (13) Gaussin 2-integroinnin pisteet <( = \/f5) saadaan loidaan lineaarisesti xz-tasoon tarkasteltavana MI FRONT- I) + 4 xii FRONT) + x(!front+v) olevan integrointipisteen ja samalla ympyrän (14) kaarella olevan lähimmän (kauempana «-tasosta olevan) integrointipisteen a y -jännityksen avulla. 19

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM

Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM Murtumismekaniikka III LEFM => EPFM LEFM Rajoituksia K on validi, kun plastisuus rajoittuu pienelle alueelle särön kärkeen mitattavat TMMT-tilassa Hauraille materiaaleille Validiteetti Standardin kokeellinen

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. 05/1 ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 05: FEM-analyysista saatavat tulokset ja niiden käyttö. YLEISTÄ Laskentamallin luonnin ja varsinaisen laskennan lisäksi FEM-analyysi sisältää myös tulosten tarkastelun

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus

Analysoidaan lämpöjännitysten, jännityskeskittymien, plastisten muodonmuutosten ja jäännösjännityksien vaikutus TAVOITTEET Määritetään aksiaalisesti kuormitetun sauvan muodonmuutos Esitetään menetelmä, jolla ratkaistaan tukireaktiot tapauksessa, jossa statiikan tasapainoehdot eivät riitä Analysoidaan lämpöjännitysten,

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo.

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo. KUORMAAJAN OHJAAMON ÄÄNIKENTÄN MALLINNUS KYTKETYLLÄ ME- NETELMÄLLÄ Ari Saarinen, Seppo Uosukainen VTT, Äänenhallintajärjestelmät PL 1000, 0044 VTT Ari.Saarinen@vtt.fi, Seppo.Uosukainen@vtt.fi 1 JOHDANTO

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA

KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA KUPARISAUVOJEN KOVUUS-, VETO-, JA VÄSYTYSKOKEET 18.12.2008 ANU VÄISÄNEN, JARMO MÄKIKANGAS, MARKKU KESKITALO, JARI OJALA 1 Johdanto Muovauksen vaikutuksesta metallien lujuus usein kasvaa ja venymä pienenee.

Lisätiedot

Tuulen nopeuden mittaaminen

Tuulen nopeuden mittaaminen KON C3004 Kone ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma / ryhmä K Tuulen nopeuden mittaaminen Matias Kidron 429542 Toni Kokkonen 429678 Sakke Juvonen 429270 Kansikuva: http://www.stevennoble.com/main.php?g2_view=core.downloaditem&g2_itemid=12317&g2_serialnumber=2

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ

LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ LUJUUSHYPOTEESIT, YLEISTÄ Lujuushypoteesin tarkoitus: Vastataan kysymykseen kestääkö materiaali tietyn yleisen jännitystilan ( x, y, z, τxy, τxz, τyz ) vaurioitumatta. Tyypillisiä materiaalivaurioita ovat

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

PANK-2206. Menetelmä soveltuu ainoastaan kairasydännäytteille, joiden halkaisija on 32-62 mm.

PANK-2206. Menetelmä soveltuu ainoastaan kairasydännäytteille, joiden halkaisija on 32-62 mm. PANK-2206 KIVIAINES, PISTEKUORMITUSINDEKSI sivu 1/6 PANK Kiviainekset, lujuus- ja muoto-ominaisuudet PISTEKUORMITUSINDEKSI PANK-2206 PÄÄLLYSTEALAN NEUVOTTELUKUNTA 1. MENETELMÄN TARKOITUS Hyväksytty: Korvaa

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Vastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS

Vastaanottaja Helsingin kaupunki. Asiakirjatyyppi Selvitys. Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Vastaanottaja Helsingin kaupunki Asiakirjatyyppi Selvitys Päivämäärä 30.10.2014 VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS VUOSAAREN SILTA KANTAVUUSSELVITYS Päivämäärä 30/10/2014 Laatija Tarkastaja Kuvaus Heini

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys

Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys Kuparikapselin pitkäaikaiskestävyys Juhani Rantala, Pertti Auerkari, Stefan Holmström & Jorma Salonen VTT, Espoo Tapio Saukkonen TKK Materiaalitekniikan laboratorio, Espoo KYT2010 Puoliväliseminaari 26.9.2008,

Lisätiedot

Vauriomekanismi: Väsyminen

Vauriomekanismi: Väsyminen Vauriomekanismi: Väsyminen Väsyminen Väsyminen on vaihtelevan kuormituksen aiheuttamaa vähittäistä vaurioitumista. Erään arvion mukaan 90% vaurioista on väsymisen aiheuttamaa. Väsymisikää voidaan kuvata

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Epäeuklidista geometriaa

Epäeuklidista geometriaa Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

TESTAUSSELOSTE Nro VTT S 10713 08 8.12.2008. JOKKE parvekelasien tuulenpaineen, pysty ja vaakasuoran pistekuorman sekä iskunkestävyyden määrittäminen

TESTAUSSELOSTE Nro VTT S 10713 08 8.12.2008. JOKKE parvekelasien tuulenpaineen, pysty ja vaakasuoran pistekuorman sekä iskunkestävyyden määrittäminen TESTAUSSELOSTE Nro VTT S 10713 08 8.12.2008 JOKKE parvekelasien tuulenpaineen, pysty ja vaakasuoran pistekuorman sekä iskunkestävyyden määrittäminen Tilaaja: Kelosta Oy TESTAUSSELOSTE NRO VTT S 10713 08

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Kävelyn aiheuttamien ilmanliikkeiden todentaminen laminaatin alla käytettäessä PROVENT alustaa (parketinalusta)

Kävelyn aiheuttamien ilmanliikkeiden todentaminen laminaatin alla käytettäessä PROVENT alustaa (parketinalusta) TUTKIMUSSELOSTUS Nro VTT-S-02441-07 Korvaa selostuksen Nro VTT-S-00671-07 7.3.2007 n aiheuttamien ilmanliikkeiden todentaminen laminaatin alla käytettäessä PROVENT alustaa (parketinalusta) Tilaaja: SIA

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset

Lisätiedot

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien

Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien TUTKIMUSSELOSTUS Nro RTE3261/4 8..4 Tartuntakierteiden veto- ja leikkauskapasiteettien mittausarvojen määritys Tilaaja: Salon Tukituote Oy VTT RAKENNUS- JA YHDYSKUNTATEKNIIKKA TUTKIMUSSELOSTUS NRO RTE3261/4

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen

SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten ja hauraitten materiaalien jännitysvenymäkäyttäytyminen TAVOITTEET Jännitysten ja venymien yhteys kokeellisin menetelmin: jännitysvenymäpiirros Teknisten materiaalien jännitys-venymäpiirros 1 SISÄLTÖ 1. Veto-puristuskoe 2. Jännitys-venymäpiirros 3. Sitkeitten

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot