Sähkömagnetismia. 11. huhtikuuta 2005
|
|
- Elisabet Ahola
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sähkömagnetismia 11. huhtikuuta
2 Sisältö 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa Maxwellin yhtälöt Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat Tarvittavia käsitteitä Minkowskin avaruus R 3, Sähkömagneettiset potentiaalit Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Aika-avaruuden tasokentät Tasokenttien yleinen muoto Säteilykentät Sovelluksia
3 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa 1700-luku oli kiistatta klassisen fysiikan aikakausi, jonka ehdoton johtohahmo oli Sir Isaac Newton. Yhtälailla voidaan 1800-lukua kutsua sähkön läpimurtokaudeksi. Ennen Maxwellia sähköä ja magnetismia oli tutkinut ahkerasti suuri joukko kuuluisia fyysikkoja, kuten Charles Coulomb ( ), Hans Christian Örsted ( ), André Marie Ampère ( ), Georg Ohm ( ) ja Michael Faraday ( ). Maxwellin jälkeen työtä jatkoivat mm. Heinrich Hertz ( ) ja Oliver Heaviside ( ). Hänen teorioitaan sovelsi myöhemmin mm. Guglielmo Marconi ( ), josta tuli radion keksijä. Yksi merkittävimmistä sähkömagneettisista läpimurroista tapahtui 1820, kun Örsted osoitti kokeellaan sähkön ja magnetismin olevan toisistaan riippuvia ilmiöitä. Lisäksi sähkön ja magnetismin luonne herätti huomiota. Tuohon saakka oli sähköoppia tutkittu Newtonin veto- ja poistovoimien kaukovaikutusteorian pohjalta ja magnetismin ja sähköstatiikan tiedettiin noudattavan samoja matemaattisia riippuvuuksia (voiman suuruus kääntäen verrannollinen etäisyyden toiseen potenssiin) kuten painovoimakin. Nyt tilanne muuttui, sillä Örstedin koe osoitti virran aiheuttaman magneettivoiman olevan kohtisuorassa virtajohdon ja magneettineulan yhdysjanaa vastaan. Tämän jälkeen Ampère loi sähkömagnetismin peruslait ja matemaattiset käsitteet, jotka antoivat matemaattisen mallin myös Örstedin kokeelle. Sähkömagneettisen induktion keksi Faraday (häntä kutsutaan myös nimellä "Father of Electricity", mikä kuvaa hyvin hänen merkitystään sähkön kehityksessä) On kuitenkin huomattava, että Faraday keksi muuttuvan magneettikentän aiheuttaman sähkökentän, päinvastainen ilmiö todettiin myöhemmin. Faraday kehitti myös kenttäkäsitteen, jonka mukaan avaruus oli täynnä magneettiviivoja, jotka yhdistivät magneetin navat toisiinsa. Tämä oli selvästi ristiriidassa Newtonin kaukovaikutusteorian kanssa, jossa kenttäviivat olivat lähde- ja kenttäpisteen yhdysjanan suuntaisia. Faradayn kenttäkäsitteessä magneettivoimalla oli myös poikittainen komponentti. Tuolloin oli selkeä tarve teorialle, joka selittäisi kaikki tuolloin tiedossa olevat ilmiöt. Itseasiassa Maxwell ei ollut tässä asiassa ensimmäinen. Ensimmäisen teorian esitti saksalainen fyysikko Wilhelm Weber ( ). Hän yhdisti Ampèren lain sähköstatiikan lakeihin ja johti seuraavan kaavan kahden liikkuvan varauksen voiman lausekkeeksi F = QQ r 2 {1 1 c 2 ((r ) 2 2rr )} 3
4 , jossa yläindeksit merkitsevät derivaattaa ajan suhteen, Q ja Q varauksien suuruutta, r varauksien etäisyyttä ja c on vakio, jolla on nopeuden yksikkö. Kaavan analysointi on helppoa. Ajatellaan ensin paikallaan olevia varauksia. Tällöin sekä ensimmäinen että toinen derivaatta ovat nollia, jolloin kaavasta tulee Coulombin laki. Vakionopeudella liikkuville varauksille kaava antaa Ampèren lain. Kaava ei kuitenkaan osoittautunut oikeaksi, sillä se ei ennusta sähkömagneettista säteilyä, jota syntyy kiihtyvässä liikkeestä olevasta varauksesta. Tätä ei tuolloin kuitenkaan osattu ennakoida. Tästä huolimatta Weberin teoria sai 1850-luvun lopulla sähkömagnetiikan alalla paljon kannatusta. James Clerk Maxwell syntyi Edinburghissa, Skotlannissa Maxwell vietti lapsuutensa alkuvuodet vanhempiensa tilalla Urr Waterissa, joka sijaitsee 15 mailia Dumfriesistä länteen. Hänen äitinsä Frances Kayn kuoltua 1841, hänen isänsä John Clerk Maxwell lähetti hänet sisarensa (joka oli myös jäänyt leskeksi) luokse Edinburghiin. Lomat Maxwell vietti maalla ja hänen isänsä vieraili mahdollisimman usein Edinburghissa. Maxwell kirjoittautui Edinburghin yliopistoon 1847 opiskellakseen matematiikkaa, losoaa ja fysiikkaa. Hän löysi opintojensa ohella paljon aikaa myös itsenäiselle lukemiselle ja tutkimustyölle. Maxwell jatkoi opintojaan 1850 Cambridgen Trinity Collegessa, koska hän ajatteli saavansa sieltä helpommin jatko-opiskelupaikan. Maxwell opiskeli mm. Sir William Hamiltonin (irlantilainen matemaatikko ) eli kvarternioiden keksijän ja James D Forbesin alaisuudessa. Forbes oli erittäin uudistusmielinen opettaja, mutta Hamilton luotti edelleen vanhoihin opetusmenetelmiin. Maxwell onnistui taitavasti hyödyntämään molempien parhaat puolet. Hän opiskeli luonnonlosoaa ja matematiikkaa Forbesin ja logiikkaa ja etiikkaa Hamiltonin alaisuudessa. Maxwell oppi Cambridgessakin paljon muodollisen koulutuksen ulkopuolelta. Maxwell teki ensimmäisen julkaisunsa jo Se käsitteli ovaalin muotoisen käyrän piirtämistä langan, kahden neulan ja kynän avulla ja se julkaistiin Edinburgh Royal Societyn Proceedings julkaisussa. Vuonna 1855 Maxwell pääsi jatko-opiskelijaksi Cambridgeen ja 1856 hänet nimitettiin luonnontieteiden professoriksi Marischal Collegeen, Aberdeeniin. Cambridgen yliopisto palkitsi hänet 1856 Adamsin palkinnolla hänen tutkimuksestaan Saturnuksen renkaiden stabiiliudesta. Maxwell meni naimisiin Marischal Collegen dekaanin tyttären, Katherine Mary Dewardin kanssa 4 Heinäkuuta Heiltä ei jäänyt lapsia. Maxwell sai 1860 luonnontieteiden ja astronomian professorin viran King's Collegesta, Lontoosta, jossa hän teki uransa tärkeimmät tutkimukset. Maxwellin tutkimustöiden perustana oli 4
5 Michael Faradayn kirjoittama kirja Experimental Researches in Electricity. Vuonna 1856 Maxwell julkaisi ensimmäisen merkittävän sähkömagnetismia koskevan teoksensa On Faraday's Lines of Force. Teoksessaan hän sovelsi hydrodynamiikan analogiaa (hän vertaili sähkö- ja magneettikentän voimaviivoja puristumattoman nesteen virtaukseen) sähkö- ja magneettikenttien kuvaamiseen. Vuosina julkaistuissa kirjoituksissa On Physical Lines of Force Maxwell esitti täydellisen mallin sähkömagneettisesta ilmiöstä Michael Faradayn kenttäkäsitteen pohjalta, jonka oikeellisuudesta hän oli tullut täysin vakuuttuneeksi muutamaa vuotta aikaisemmin. Maxwellin sähkömagneettisen kenttäteorian syntymävuotena pidetään vuotta 1864, jolloin hän esitti kenttäyhtälönsä teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Vuonna 1865 hän erosi virastaan ja vetäytyi kotitilalleen omistaen aikansa tutkimuksilleen ja kuuluisan teoksensa Treatise on Electricity and magnetism kirjoittamiselle. Hänet nimitettiin kokeellisen fysiikan professoriksi Cambridgeen 1871, jossa hänen päätehtävänään oli Cavendish-laboratorion perustaminen, josta on sittemmin tullut monta kuuluisaa tiedemiestä. Maxwellin jälkeisiä Cavendish-professoreja ovat olleet mm. seuraavat nobelistit: Lordi Rayleigh (Fysiikan nobel-palkinnon voittaja vuonna 1904), elektronin keksijä J.J. thomson (fysiikka 1906), Ernest Rutherford (kemia 1908), Sir Bragg (fysiikka 1915) ja N.F.Mott (fysiikka 1977). Maxwell julkaisi teoksensa Treatise on Electricity and magnetism Kenttäyhtälöt, jotka esiintyivät muuttumattomana jo hänen aikaisemmassa teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, oltiin muotoiltu Maxwellin aikaisemmin kuvaileman mallin perusteella. Yhtälöitä oli peräti 20 kappaletta, koska hän esitti ne komponenttimuodossa (hän ei tuntenut nykyaikaista vektorilaskentaa, eikä siten myöskään esim. nabla-operaattoria). Kyseessä oli yksi maailman merkittävimmistä teoreettisen fysiikan saavutuksista. Teoksesta tuli pitkäksi aikaa kaiken sähkömagnetismin perusta. Maxwell käytti lyhyen elämänsä loppuvuosina paljon aikaa Cavendishin sähköä koskevien tutkimuksien julkaisemiseen. Kirja Electrical Researches of Henry Cavendish ilmestyi Maxwell kuoli samana vuonna vain 48 vuotiaana mahasyöpään. 5
6 1.1 Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt nykyaikaisen vektorilaskennan merkinnöin dierentiaalimuodossa ovat: D = ρ, (1) B = 0, (2) E = B, (3) H = J + D, (4) joissa E on sähkökenttä, D on sähkövuon tiheys, ρ on varaustiheys, H on magneettikenttä, B on magneettivuon tiheys ja J on virtatiheys. Yhtälöissä yläviiva merkitsee tietenkin vektorisuuretta. On hyvä tietää, että Maxwellin kirjoittamasta kirjasta: A Treatise on Electricity and Magnetism, ei yhtälöitä yllä mainitussa muodossa löydy, koska niissä on käytetty nykyaikaisen vektorilaskennan merkintöjä. Suurin kunnia nykyaikaisen vektorilaskennan kehittämisestä kuuluu Josiah W. Gibbsille (amerikkalainen kemisti ). Maxwell itse käytti skalaarikomponentteja sekä kvarternioita, jotka ovat eräänlaisia neliulotteisia kompleksilukuja. On myös huomattava, että ensimmäinen yhtälö on Gaussin laki, kolmas yhtälö on Faradayn laki ja neljäs yhtälö on Ampèren laki ja Maxwellin lisäys (siirrosvirta). Maxwellin yhtälöt nykymuodossakaan kaavoina esitettyinä eivät välttämättä kerro kaikkea sähkön ja magnetismin ominaisuuksista ainakaan ensisilmäyksellä. Mikäli haluaa ymmärtää Maxwellin ajatuksenjuoksua, kannattaa yhtälöitä ja niiden historiallista taustaa miettiä ennemmin matemaattis-sanallisessa muodossa: I) Sähkövuo suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin kokonaisvaraus pinnan sisällä. II) Magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla. III) Sähkökentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen aikaderivaatta. IV) Magneettikentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan kokonaisvirran ja sähkövuon aikaderivaatan summa. 6
7 ... tai vielä havainnollisemmin kvalitatiivisesti sanallisessa muodossa (huomaa varsinkin neljännen lain loppuosa): I) Sähköisten varauksien jakauma määrää sähkökentän. II) Magneettivuoviivat ovat suljettuja, eli magneettisia varauksia (monopoleja) ei ole olemassa. III) Muuttuva magneettivuo synnyttää sähkökentän, tai ts. pinnan läpi kulkevan magneettivuon muutos aiheuttaa sähkömotorisen voiman. IV) Sekä liikkuva varaus (virta) että muuttuva sähkövuo synnyttävät magneettikentän. 7
8 2 Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat 2.1 Tarvittavia käsitteitä Otetaan käyttöön tarvittavia käsitteitä Cliordin algebrojen teoriasta. Koska vektoriavaruuden R 3 ja bivektoriavaruuden 3 R 3 dimensio on 3, ovat ne lineaarisesti isomorsia. Isomorsmia (bijektiota) avaruuksien välillä sanotaan Hodgen duaaliksi, joka määritellään : R 3 2 R 3 : a a = ae 123. (5) Vastaavasti toiseen suuntaan : 2 R 3 R 3 : A A = Ae 123. (6) Käyttämällä Hodgen duaalia saadaan risritulojen ja ulkotulojen välille kätevät kaavat x y = (x y)e 123, (7) x y = (x y)e 123. (8) Rajoitutaan seuraavassa tarkastelemaan Cliordin algebraa Cl 3. Cliordin tulo kahden vektorin a ja b voidaan hajottaa skallaariosan a b ja bivektoriosan a b summaksi ab = a b + a b. Yleistetään hajotelma vektorin x ja mielivaltaisen elementin u Cl 3 Cliffordin tulolle. Määritellään vasen kontraktio x u siten, että se toteuttaa xu = x u + x u. (9) Vastaavasti määritellään oikea kontraktio u x siten, että ux = u x + u x. (10) Kun u on k-vektori, niin saadaan näppärät laskukaavat x u = 1 2 (xu ( 1)k ux) x u = 1 2 (xu + ( 1)k ux) k 1 R 3, (11) k+1 R 3. (12) 8
9 Ulkotulo ja vasen kontraktio ovat näin ollen binäärioperaattoreita, jotka kohottavat tai alentavat astetta siten, että a b i+j j i R3 ja a b R 3 (13) kun a i R 3 ja b j R 3. Vasen kontraktio voidaan antaa ulkotulon avulla u v = [u (ve 123 )]e 1 123, (14) eli vasen kontraktio on ulkotulon duaali. On helppo osoittaa, että vasen kontraktio totteutaa seuraavat identiteetit: jossa x, y R 3 ja u, v, w Cl 3. x y = x y (15) x (u v) = (x u) v + û (x v) (16) (u v) w = u (v w), (17) 2.2 Minkowskin avaruus R 3,1 Sähkömagnetismin suureet riippuvat ajasta t R ja asemasta x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 R 3. Asema ja aika voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena muodossa x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + cte 4, (18) siis 4-uloteisen vektoriavaruuden R 4 = R 3 R alkiona. Tässä lineaariavariidessa voimme määritellä neliömuodon Q(x) = x x x 2 3 c 2 t 2. Yhdessä neliömuoto ja vektoriavaruus muodostavat kvadraattisen avaruuden jota kutsutaan Minkowskin aika-avaruudeksi R 3,1. Minkowskin aika-avaruudessa on tavanmukaista asettaa x 1 = x 1, x 2 = x 2, x 3 = x 3 ja x 4 = ct = x 4 (nyt yläindeksi ei ole siis potenssi). Tämän merkinnän avulla saadaan neliömuoto muotoon Q(x) = x x x 2 3 x 2 4 = x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 + x 4 x 4 = x α x α, jossa viimeinen merkintä tarkoittaa summaussääntöä. 9
10 Esimerkkejä neliömuodoista Minkowskin aika-avaruudessa 1. Kaksi tiheyttä ρ ja J voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena J = J + cρe 4 R 3,1 (19) jolloin neljä komponenttia J 1, J 2, J 3,J 4 = cρ = J 4 ja neliömuoto J J J 2 3 J Kaksi potentiaalia V ja A (katso seuraava kappale) voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena jossa neljä komponenttia A 1, A 2, A 4, A 4 = 1 c V = A 4, aika-avaruus vektori A = A + 1 c V e 4 R 3,1 (20) ja neliömuoto A A A 2 3 A Sähkömagneettiset potentiaalit Sähkökenttä ja magneettivuontiheys voidaan antaa myös skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla, jota tässä kappaleessa esitellään lyhyesti. Koska B = 0, voidaan magneettivuontiheys esittää vektoripotentiaalin A roottorina B = A. (21) Sijoitetaan tämä yhtälö Faradayn lakiin E = B E = ( A) ( E + A ) = 0. jolloin saamme Siis vektorikenttä E+ A on pyörteetön ja näin ollen voidaan esittää skalaaripotentiaalin avulla muodossa E + A Nyt siis E ja B voidaan esittää potentiaalien avulla = V. (22) E = V A ja B = A. 10
11 Nämä tulokset ovat voimassa "perinteisessä"teoriassa avaruudessa R 3. Kuten jo edellisen kappaleen esimerkissä todettiin, Minkowskin aika-avaruudessa potentiaalit voidaan yhdistää yhdeksi potentiaaliksi A = A + 1 c V e 4 R 3,1. (23) Potentiaalit eivät ole yksikäsitteisiä. Muita potentiaalija saadaan suorittamalla ns. mittamuunnos, siis potentiaaleiksi kelpaavat myös A = A + Φ ja V = V Φ, (24) jossa Φ on mielivaltainen skalaarifunktio. Puhutaan seuraavaksi ns. Lorenzin ehdoista potentiaaleille. Potentiaalithan saatiin esiin käyttämällä vain kahta Maxwellin yhtälöä. Kahdesta jäljellä olevasta yhtälöstä voidaan johtaa (Lorenzin) ehto potentiaalien välille joka on muotoa A + 1 V = 0. (25) c 2 Tämä ehto voidaan antaa Minkowskin aika-avaruudessa seuraavalla tavalla. Siis olkoon operaattori 1 = e 4 (26) c jolloin ehto voidaan antaa tämän ja potentiaalin A pistetulona muodossa A = 0. (27) Yllä olevalla operaattorilla on tulevassa esityksessä keskeinen merkitys. 2.4 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3 Lähdetään muodostamaan sähkömagnetismin teoriaa Cliordin algebrojen avulla. Muotoillaan Maxwellin yhtälöt ensin avaruudessa R 3 käyttäen Cliffordin algebraa Cl 3 ja seuraavassa kappaleessa siirrytään Minkowskin avaruuteen R 3,1 ja Cliordin algebraan Cl 3,1. Johdetaan ensin nippu suureita jotka sijoitetaan lopuksi yhtöihin. Tarkoituksena on siis päästä ristituloista eroon ja saada aikaan neljä yhtälöä joilla on kaikilla eri aste (grade). 11
12 Merkitään ensinnä B = Be 123, joka on siis bivektorimuotoinen magneettivuontiheys. Hodgen duaalin mukaan ristitulolla ja ulkotulolla on yhteys E = e 123 ( E). Siis E = E + E = E + e 123 ( E). Pseudoskalaari e 123 nimensämukaisesti kommutoi kaikkien suureiden kanssa, ja näin ollen laskemalla e 123 ( B) = ( Be 123 ) e 123 ( B) + e 123 ( B) = ( Be 123 ) + ( Be 123 ). Jotta yhtälöt olisivat voimassa, on saman asteisten osien oltava samat, jolloin ottamalla tämä huomioon ja lisäämällä bivektori muotoinen magneettivuontiheys saamme Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ovat siis B = e 123 ( B), B = e 123 ( B) = B. E = ρ, E B = J, B + E = 0, B = 0. Kerrotaan kaksi alinta yhtälöä pseudoskalaarilla e 123 ja sijoitetaan yllä johdetut identiteetit yhtälöihin. Tämän jälkeen Maxwellin yhtälöt saavat seuraavan esityksen, jossa perässä suluissa on kunkin yhtälön asete: E = ρ (0), (28) E + B = J (1), (29) B + E = 0 (2), (30) B = 0 (3). (31) 12
13 Koska yhtälöt ovat kaikki eri astetta voimme summata ne kylmän rauhallisesti E + E + B + B + E + B = ρ J johon sijoittamalla E = E + E ja B = B + B sekä termejä järjestelemällä saamme ( E + B) + E + B = ρ J ( + )( E + B) = ρ J. Näin olemme kirjoitteneet Maxwellin yhtälöt yhdeksi yhtälöksi Cliordin algebrassa Cl 3. Katsotaan vielä miten potentiaalit V ja A suhtautuvat tähän esitykseen. Ajatellaan potentiaaleja yhtenä paravektorina V + A ja derivoidaan tätä vasemmalta operaattorilla +, siis ( + )(V + A) = V + A + V + A = V E + A + A = V + A E + B = E + B. (32) Yllä viimeiseen muotoon päästäksemme käytettiin duaalia A = ( A)e 123 = B ja Lorenzin ehtoa potentiaaleille. Näin saatiin yhteys kenttien ja potentiaalien välille Cliordin algebrassa Cl 3. Siirrytään seuraavaksi abstraktiotasolla askel ylöspäin, Minkowskin avaruuteen jossa Cliordin algebrojen käyttö selkeyttää kalkyyliä huomattavasti. 2.5 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Olkoon sähkömagneettinen bivektori F = 1 c Ee 4 B 2 R 3,1 (33) ja jo edellä ollut aika-avaruuden tiheysvektori J = J + cρe 4 R 3,1. 13
14 Jos tiedämme bivektorin F, voimme laskea sähkökentänvoimakkuuden kaavalla E = ce 4 F. Merkitään vielä magneettikentänvoimakkuuden ja sähkövuontiheyden avulla saatavaa elementtiä G = c De 4 He 123. (34) Potentiaalien kohdalla esittelimme ensimmäisen kerran dierentiaalioperaattorin = e 4 1 c Olkoon funktio f : R 3,1 Cl 3,1 jatkuvasti osittaisderivoituva. Tällöin f = f + f. Tällöin termiä f sanotaan laskevaksi dierentiaaliksi ja f nostavaksi dierentiaaliksi. Lasketaan nostava dierentiaali F = ( e 4 1 c. ) (1 Ee c 4 B) = 1 c ( E)e 4 B + e 4 e 4 1 c = 1 c e 123( E)e 4 e 123 ( B) e c = 1 c e 1234( E + B ) e 123( B) = 0 Vastaavalla tavalla menee seuraava laskeva dierentiaali G = ( e 4 1 c ) (c De 4 He 123 ) = c( D)e 4 + H D = cρe 4 + J = J. Edellä tarvittiin yhtälöitä D = ρ ja H D maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa siis E (e 1 4 c ) B B = J. Edellisen nojalla G = J, (35) F = 0. (36) 14
15 Suureiden välillä on yhteydet D = ɛ E ja B = µ H. Tyhjiössä ɛ = µ = 1, eli G = F ja Maxwellin yhtälöt kutistuvat yhdeksi yhtälöksi F = J. (37) Helpolla laskulla voi osoittaa, että A = F, jossa A on edellä esillä ollut potentiaali. Lorenzin ehto puolestaan sanoo A = 0. Näin ollen A = F. (38) 15
16 3 Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Sähkömagneettiset tasokentät ovat Maxwellin yhtälöiden homogeeniosan ratkaisuja. Tasokenttäratkaisut (lyhyesti tasokentät, engl. Plane eld solutions) riippuvat lineaarisesti ajasta ja paikasta. Kuten yleisesti on tiedossa, yhtälön F = J ratkaisut ovat muotoa F = F H + F P. Tässä kappaleessa esitämme siis erään ratkaisutyypin yhtälölle F = 0. (39) 3.1 Aika-avaruuden tasokentät Olkoon u aika-tyyppinen vektori Minkowskin avaruudessa R 3,1, siis u 2 = 1. Valitaan vektori n siten, että u ja n ovat ortogonaaliset ja n 2 = 1. Tällöin yhtälöllä (39) on seuraavat bivektoriarvoiset ratkaisut: F (x) = x(x)nm ja F (x) = x(x)um (40) jossa x(x) = x u + (x n)un. Jotta näkisimme, että ratkaisut todella toteuttavat yhtälön (39), otetaan käyttöön muutamia käsitteitä. Olkoon (e ν ) kanta. Kantaa vastaava käänteiskanta (e µ ) määritellään siten, että ehto e µ e ν = δ µν toteutuu. Kirjoitetaan nyt operaattori muodossa = e ν (e ν ), jolloin F (x) = e ν (e ν )F (x) = e ν (e ν u + (e ν n)un)nm = (u + nun)nm = (u u)nm = 0. Kuten nähdaan ei-homogeenin kerroin x(x) on myös ratkaisu. Identtisellä tavalla voidaan todeta F (x) ratkaisuksi. Tärkeää jatkon kannalta on seuraava tulos: Lemma Jos x(x) = 0, niin myös x(x) m = 0 kun m N. 16
17 Todistus: Todistus induktiolla. Siis m = 1 on tosi. Leibnizin säännön nojalla (uv) = ( u)v + û( v) 2(û ) v, jossa u, v Cl p,q ja piste kertoo mihin alkioon operaattori operoi. Olkoon u = x(x) ja v = x(x). Nyt u = v = 0, saadaan sääntö muotoon ((un) )ẋ(x) = 1 (( un)x(x) + un( x(x)) (unx(x))). 2 Kaikki oikealla puolella olevat termit menevät nolliksi, koska x(x) kommutoi. Jäljelle jää ((un) )ẋ(x) = 0 josta seuraa, että (x(x)x(x)) = 0. Oletetaan, että x(x) m 1 = 0, jolloin x(x) m = x(x)x(x) m 1 = ( x(x))x(x) m 1 + ˆx(x)( x(x) m 1 m 1 ) 2(ˆx(x) )ẋ(x) = 0. Siis x(x) m = Tasokenttien yleinen muoto Edellisen Lemman avulla voimme konstruoida funktion x(x) potensseista yleisen tasokenttäratkaisun yhtälölle (39) joka muotoa m=0 a m x(x) m b, (41) jossa kerroin a m = (α m + βun + γ m unj + δ m j) kun α m, β m, γ m, δ m R ja lyhennysmerkintänä pseudoskalaarille j = e Alkio b voidaan valita parillisten elementtien joukosta Cilordin algebrasta Cl 3,1 seuraavasti: Olkoon b 0, b 4 R, S 2 R 4, b = b 0 + S + b 4 j ja f i : R 3,1 R. Termi a m x(x) m voidaan kirjoittaa muotoon ja niin ollen f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j, a m x(x) m b = (f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j)(b 0 + S + b 4 j) = (f 1 (x)b 0 + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S f 4 (x)b 4 ) + (f 1 (x)b 4 j + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S + f 4 (x)b 0 j) + Bivektoriosa. 17
18 Jotta yllä oleva hirvitys kuuluisi bivektorialgebraan 2 R 4 on skalaari ja pseudoskalaariosien mentävä nolliksi. Asetetaan siis b 0 = b 4 = 0 jolloin jäljelle jää b = S ja lisäksi seuraavien ehtojen (un) S = 0 ja (un) S = 0. (42) tulee toteutua. Ja näin muodoin meillä on seuraavanalainen tulos: Potenssisarja F (x) = m=0 a m x(x) m S (43) on yhtälön (39) ratkaisu kunhan ehdot (42) toteutuvat. Ehdot (42) voidaan kutistaa yhdeksi ehdoksi muotoon: (un)s = S(un). (44) Tämä bivektoriterminen konvergoi normin S = S 0 suhteen. Ongelmaksi jää näin ollen ainostaam bivektorin S valinta. 3.3 Säteilykentät Säiteilykentät ovat lyhyesti sanottuna kenttiä jotka kuljettavat energiaa maksimi nopeudella tyhjiössä. Tutkitaan nyt miten tällaisissa tapauksissa bivektori S tulisi valita. Voidaan osoittaa, että tasokentille ns. säteilyehto on F 2 = 0 F F = 0 ja F F = 0. (45) Nämä ehdot johtavat mittavan pyörityksen jälkeen seuraavanlaiseen ehtoon bivektorille: S 2 = 0 (46) Näin muodoin bivektoriksi S voidaan valita joko S = (u + n)m tai S = (u n)m, (47) jossa m on ortogonaalinen vektorien u ja n kanssa. 3.4 Sovelluksia Olkoon P = 1 (1 + un). Tällöin P ja 1 P ovat idempotentteja. Näitä 2 idempotentteja voidaan käyttää pulmallisen kentän pilkkomiseen yksinkertaisemmiksi osiksi. Katsotaan tästä esimerkki. Olkoon S bivektori joka ei ole muotoa (47). Kuitenkin kenttä voidaan esittää muodossa F (x) = exp(j(x u + (x n)un))s. 18
19 Esitetään nyt idempotenttien avulla kenttä muodossa jossa ehto (46) toteutuu. Merkitään k + = u + n ja k = u n ja kerrotaan kenttää termillä P + (1 P ), siis F (x) = exp(j(x u + (x n)un))(p + (1 P ))S = exp(j(x u + (x n)un))p S + exp(j(x u + (x n)un))(1 P )S = e j(x k +) P S + e j(x k ) (1 P )S Merkitään nyt S + = P S ja S = (1 P )S. Nämä puolestaan toteuttavat ehdon (46) S + 2 = S 2 = 0. Näin muodoin voimme lausua lausekkeen kahden säteilyehdon toteuttavan termin summana muodossa F (x) = e j(x k +) S + + e j(x k ) S. LÄHTEET: Kappaleessa 1. on lähteenä nettisivu: smaisnie/finnish/maxwell/rstpage.html Kappaleessa 2. on lähteenä: Lounesto:Cliord Algebras and Spinors kpl. 8 Kappaleessa 3. on lähteenä: Eriksson, Sirkka-Liisa Cliord algebras and potential theory : Proceedings of the Summer School held in Mekrijärvi, June 24-28, 2002 JoY. Department of Mathematics. Report series 19
Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa Katja Palomäki. Tervetuloa!
Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa 6.4.2009 Katja Palomäki Tervetuloa! 1 Johdanto Esityksen tavoitteena on luoda yleiskatsaus tärkeimpiin sähkömagnetismin ymmärtämiseen vaikuttaneihin asioihin
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotMagneettikenttä ja sähkökenttä
Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon
Lisätiedot1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n :
1 Cli ordin algebra Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : Joukossa R voidaan määritellä summa ja tulo. Myöskin
LisätiedotVEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT
VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme
. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme William Kingdon Cliord (1845-1879) esitteli geometrisen algebransa 1800- luvulla. Cliord yhdisti sisä- ja ulkotulot yhdeksi tuloksi, geometriseksi tuloksi.
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotExcursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006
Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta 2006 1 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotF x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään
31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotDiracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0
Diracin spinorit. Määritelmiä Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on γ µ (i µ ea µ ψ = mψ, ψ C 4, missä matriisit γ µ ovat ( γ = γ = I I, γ k = γ k = ( σ k σ k missä edelleen I on 2
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotKuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/
8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotPotentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus. kun asetetaan V( ) = 0
Potentiaali ja sähkökenttä: pistevaraus kun asetetaan V( ) = 0 Potentiaali ja sähkökenttä: tasaisesti varautut levyt Tiedämme edeltä: sähkökenttä E on vakio A B Huomaa yksiköt: Potentiaalin muutos pituusyksikköä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Johdanto (Ulaby 1.2 1.3) Merkinnät ja yksiköt Kenttä- ja lähdesuureet Maxwellin yhtälöt ja väliaineyhtälöt Vektorit ja koordinaatistot
LisätiedotMaxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?
Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen aaltoliike Ajasta riippuvat
LisätiedotElektrodynamiikka, kevät 2008
Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotMagnetismi Mitä tiedämme magnetismista?
Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
LisätiedotMaxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?
Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotFysiikka 7. Sähkömagnetismi
Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla
LisätiedotJatkoa lineaarialgebrasta
Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT
VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotJohdatusta CLIFFORD-paketin käyttöön Maplessa
Johdatusta CLIFFORD-paketin käyttöön Maplessa Heikki Orelma 4. maaliskuuta 2008 Sisältö 1 Lähtöasetelma 1 2 Perusteita 1 3 Cliordin algebrojen rakenteen tutkiminen 3 4 Cliordin tulo cmulnum-algoritmilla
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotDEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
Lisätiedot