Sähkömagnetismia. 11. huhtikuuta 2005

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sähkömagnetismia. 11. huhtikuuta 2005"

Transkriptio

1 Sähkömagnetismia 11. huhtikuuta

2 Sisältö 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa Maxwellin yhtälöt Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat Tarvittavia käsitteitä Minkowskin avaruus R 3, Sähkömagneettiset potentiaalit Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Aika-avaruuden tasokentät Tasokenttien yleinen muoto Säteilykentät Sovelluksia

3 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa 1700-luku oli kiistatta klassisen fysiikan aikakausi, jonka ehdoton johtohahmo oli Sir Isaac Newton. Yhtälailla voidaan 1800-lukua kutsua sähkön läpimurtokaudeksi. Ennen Maxwellia sähköä ja magnetismia oli tutkinut ahkerasti suuri joukko kuuluisia fyysikkoja, kuten Charles Coulomb ( ), Hans Christian Örsted ( ), André Marie Ampère ( ), Georg Ohm ( ) ja Michael Faraday ( ). Maxwellin jälkeen työtä jatkoivat mm. Heinrich Hertz ( ) ja Oliver Heaviside ( ). Hänen teorioitaan sovelsi myöhemmin mm. Guglielmo Marconi ( ), josta tuli radion keksijä. Yksi merkittävimmistä sähkömagneettisista läpimurroista tapahtui 1820, kun Örsted osoitti kokeellaan sähkön ja magnetismin olevan toisistaan riippuvia ilmiöitä. Lisäksi sähkön ja magnetismin luonne herätti huomiota. Tuohon saakka oli sähköoppia tutkittu Newtonin veto- ja poistovoimien kaukovaikutusteorian pohjalta ja magnetismin ja sähköstatiikan tiedettiin noudattavan samoja matemaattisia riippuvuuksia (voiman suuruus kääntäen verrannollinen etäisyyden toiseen potenssiin) kuten painovoimakin. Nyt tilanne muuttui, sillä Örstedin koe osoitti virran aiheuttaman magneettivoiman olevan kohtisuorassa virtajohdon ja magneettineulan yhdysjanaa vastaan. Tämän jälkeen Ampère loi sähkömagnetismin peruslait ja matemaattiset käsitteet, jotka antoivat matemaattisen mallin myös Örstedin kokeelle. Sähkömagneettisen induktion keksi Faraday (häntä kutsutaan myös nimellä "Father of Electricity", mikä kuvaa hyvin hänen merkitystään sähkön kehityksessä) On kuitenkin huomattava, että Faraday keksi muuttuvan magneettikentän aiheuttaman sähkökentän, päinvastainen ilmiö todettiin myöhemmin. Faraday kehitti myös kenttäkäsitteen, jonka mukaan avaruus oli täynnä magneettiviivoja, jotka yhdistivät magneetin navat toisiinsa. Tämä oli selvästi ristiriidassa Newtonin kaukovaikutusteorian kanssa, jossa kenttäviivat olivat lähde- ja kenttäpisteen yhdysjanan suuntaisia. Faradayn kenttäkäsitteessä magneettivoimalla oli myös poikittainen komponentti. Tuolloin oli selkeä tarve teorialle, joka selittäisi kaikki tuolloin tiedossa olevat ilmiöt. Itseasiassa Maxwell ei ollut tässä asiassa ensimmäinen. Ensimmäisen teorian esitti saksalainen fyysikko Wilhelm Weber ( ). Hän yhdisti Ampèren lain sähköstatiikan lakeihin ja johti seuraavan kaavan kahden liikkuvan varauksen voiman lausekkeeksi F = QQ r 2 {1 1 c 2 ((r ) 2 2rr )} 3

4 , jossa yläindeksit merkitsevät derivaattaa ajan suhteen, Q ja Q varauksien suuruutta, r varauksien etäisyyttä ja c on vakio, jolla on nopeuden yksikkö. Kaavan analysointi on helppoa. Ajatellaan ensin paikallaan olevia varauksia. Tällöin sekä ensimmäinen että toinen derivaatta ovat nollia, jolloin kaavasta tulee Coulombin laki. Vakionopeudella liikkuville varauksille kaava antaa Ampèren lain. Kaava ei kuitenkaan osoittautunut oikeaksi, sillä se ei ennusta sähkömagneettista säteilyä, jota syntyy kiihtyvässä liikkeestä olevasta varauksesta. Tätä ei tuolloin kuitenkaan osattu ennakoida. Tästä huolimatta Weberin teoria sai 1850-luvun lopulla sähkömagnetiikan alalla paljon kannatusta. James Clerk Maxwell syntyi Edinburghissa, Skotlannissa Maxwell vietti lapsuutensa alkuvuodet vanhempiensa tilalla Urr Waterissa, joka sijaitsee 15 mailia Dumfriesistä länteen. Hänen äitinsä Frances Kayn kuoltua 1841, hänen isänsä John Clerk Maxwell lähetti hänet sisarensa (joka oli myös jäänyt leskeksi) luokse Edinburghiin. Lomat Maxwell vietti maalla ja hänen isänsä vieraili mahdollisimman usein Edinburghissa. Maxwell kirjoittautui Edinburghin yliopistoon 1847 opiskellakseen matematiikkaa, losoaa ja fysiikkaa. Hän löysi opintojensa ohella paljon aikaa myös itsenäiselle lukemiselle ja tutkimustyölle. Maxwell jatkoi opintojaan 1850 Cambridgen Trinity Collegessa, koska hän ajatteli saavansa sieltä helpommin jatko-opiskelupaikan. Maxwell opiskeli mm. Sir William Hamiltonin (irlantilainen matemaatikko ) eli kvarternioiden keksijän ja James D Forbesin alaisuudessa. Forbes oli erittäin uudistusmielinen opettaja, mutta Hamilton luotti edelleen vanhoihin opetusmenetelmiin. Maxwell onnistui taitavasti hyödyntämään molempien parhaat puolet. Hän opiskeli luonnonlosoaa ja matematiikkaa Forbesin ja logiikkaa ja etiikkaa Hamiltonin alaisuudessa. Maxwell oppi Cambridgessakin paljon muodollisen koulutuksen ulkopuolelta. Maxwell teki ensimmäisen julkaisunsa jo Se käsitteli ovaalin muotoisen käyrän piirtämistä langan, kahden neulan ja kynän avulla ja se julkaistiin Edinburgh Royal Societyn Proceedings julkaisussa. Vuonna 1855 Maxwell pääsi jatko-opiskelijaksi Cambridgeen ja 1856 hänet nimitettiin luonnontieteiden professoriksi Marischal Collegeen, Aberdeeniin. Cambridgen yliopisto palkitsi hänet 1856 Adamsin palkinnolla hänen tutkimuksestaan Saturnuksen renkaiden stabiiliudesta. Maxwell meni naimisiin Marischal Collegen dekaanin tyttären, Katherine Mary Dewardin kanssa 4 Heinäkuuta Heiltä ei jäänyt lapsia. Maxwell sai 1860 luonnontieteiden ja astronomian professorin viran King's Collegesta, Lontoosta, jossa hän teki uransa tärkeimmät tutkimukset. Maxwellin tutkimustöiden perustana oli 4

5 Michael Faradayn kirjoittama kirja Experimental Researches in Electricity. Vuonna 1856 Maxwell julkaisi ensimmäisen merkittävän sähkömagnetismia koskevan teoksensa On Faraday's Lines of Force. Teoksessaan hän sovelsi hydrodynamiikan analogiaa (hän vertaili sähkö- ja magneettikentän voimaviivoja puristumattoman nesteen virtaukseen) sähkö- ja magneettikenttien kuvaamiseen. Vuosina julkaistuissa kirjoituksissa On Physical Lines of Force Maxwell esitti täydellisen mallin sähkömagneettisesta ilmiöstä Michael Faradayn kenttäkäsitteen pohjalta, jonka oikeellisuudesta hän oli tullut täysin vakuuttuneeksi muutamaa vuotta aikaisemmin. Maxwellin sähkömagneettisen kenttäteorian syntymävuotena pidetään vuotta 1864, jolloin hän esitti kenttäyhtälönsä teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Vuonna 1865 hän erosi virastaan ja vetäytyi kotitilalleen omistaen aikansa tutkimuksilleen ja kuuluisan teoksensa Treatise on Electricity and magnetism kirjoittamiselle. Hänet nimitettiin kokeellisen fysiikan professoriksi Cambridgeen 1871, jossa hänen päätehtävänään oli Cavendish-laboratorion perustaminen, josta on sittemmin tullut monta kuuluisaa tiedemiestä. Maxwellin jälkeisiä Cavendish-professoreja ovat olleet mm. seuraavat nobelistit: Lordi Rayleigh (Fysiikan nobel-palkinnon voittaja vuonna 1904), elektronin keksijä J.J. thomson (fysiikka 1906), Ernest Rutherford (kemia 1908), Sir Bragg (fysiikka 1915) ja N.F.Mott (fysiikka 1977). Maxwell julkaisi teoksensa Treatise on Electricity and magnetism Kenttäyhtälöt, jotka esiintyivät muuttumattomana jo hänen aikaisemmassa teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, oltiin muotoiltu Maxwellin aikaisemmin kuvaileman mallin perusteella. Yhtälöitä oli peräti 20 kappaletta, koska hän esitti ne komponenttimuodossa (hän ei tuntenut nykyaikaista vektorilaskentaa, eikä siten myöskään esim. nabla-operaattoria). Kyseessä oli yksi maailman merkittävimmistä teoreettisen fysiikan saavutuksista. Teoksesta tuli pitkäksi aikaa kaiken sähkömagnetismin perusta. Maxwell käytti lyhyen elämänsä loppuvuosina paljon aikaa Cavendishin sähköä koskevien tutkimuksien julkaisemiseen. Kirja Electrical Researches of Henry Cavendish ilmestyi Maxwell kuoli samana vuonna vain 48 vuotiaana mahasyöpään. 5

6 1.1 Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt nykyaikaisen vektorilaskennan merkinnöin dierentiaalimuodossa ovat: D = ρ, (1) B = 0, (2) E = B, (3) H = J + D, (4) joissa E on sähkökenttä, D on sähkövuon tiheys, ρ on varaustiheys, H on magneettikenttä, B on magneettivuon tiheys ja J on virtatiheys. Yhtälöissä yläviiva merkitsee tietenkin vektorisuuretta. On hyvä tietää, että Maxwellin kirjoittamasta kirjasta: A Treatise on Electricity and Magnetism, ei yhtälöitä yllä mainitussa muodossa löydy, koska niissä on käytetty nykyaikaisen vektorilaskennan merkintöjä. Suurin kunnia nykyaikaisen vektorilaskennan kehittämisestä kuuluu Josiah W. Gibbsille (amerikkalainen kemisti ). Maxwell itse käytti skalaarikomponentteja sekä kvarternioita, jotka ovat eräänlaisia neliulotteisia kompleksilukuja. On myös huomattava, että ensimmäinen yhtälö on Gaussin laki, kolmas yhtälö on Faradayn laki ja neljäs yhtälö on Ampèren laki ja Maxwellin lisäys (siirrosvirta). Maxwellin yhtälöt nykymuodossakaan kaavoina esitettyinä eivät välttämättä kerro kaikkea sähkön ja magnetismin ominaisuuksista ainakaan ensisilmäyksellä. Mikäli haluaa ymmärtää Maxwellin ajatuksenjuoksua, kannattaa yhtälöitä ja niiden historiallista taustaa miettiä ennemmin matemaattis-sanallisessa muodossa: I) Sähkövuo suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin kokonaisvaraus pinnan sisällä. II) Magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla. III) Sähkökentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen aikaderivaatta. IV) Magneettikentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan kokonaisvirran ja sähkövuon aikaderivaatan summa. 6

7 ... tai vielä havainnollisemmin kvalitatiivisesti sanallisessa muodossa (huomaa varsinkin neljännen lain loppuosa): I) Sähköisten varauksien jakauma määrää sähkökentän. II) Magneettivuoviivat ovat suljettuja, eli magneettisia varauksia (monopoleja) ei ole olemassa. III) Muuttuva magneettivuo synnyttää sähkökentän, tai ts. pinnan läpi kulkevan magneettivuon muutos aiheuttaa sähkömotorisen voiman. IV) Sekä liikkuva varaus (virta) että muuttuva sähkövuo synnyttävät magneettikentän. 7

8 2 Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat 2.1 Tarvittavia käsitteitä Otetaan käyttöön tarvittavia käsitteitä Cliordin algebrojen teoriasta. Koska vektoriavaruuden R 3 ja bivektoriavaruuden 3 R 3 dimensio on 3, ovat ne lineaarisesti isomorsia. Isomorsmia (bijektiota) avaruuksien välillä sanotaan Hodgen duaaliksi, joka määritellään : R 3 2 R 3 : a a = ae 123. (5) Vastaavasti toiseen suuntaan : 2 R 3 R 3 : A A = Ae 123. (6) Käyttämällä Hodgen duaalia saadaan risritulojen ja ulkotulojen välille kätevät kaavat x y = (x y)e 123, (7) x y = (x y)e 123. (8) Rajoitutaan seuraavassa tarkastelemaan Cliordin algebraa Cl 3. Cliordin tulo kahden vektorin a ja b voidaan hajottaa skallaariosan a b ja bivektoriosan a b summaksi ab = a b + a b. Yleistetään hajotelma vektorin x ja mielivaltaisen elementin u Cl 3 Cliffordin tulolle. Määritellään vasen kontraktio x u siten, että se toteuttaa xu = x u + x u. (9) Vastaavasti määritellään oikea kontraktio u x siten, että ux = u x + u x. (10) Kun u on k-vektori, niin saadaan näppärät laskukaavat x u = 1 2 (xu ( 1)k ux) x u = 1 2 (xu + ( 1)k ux) k 1 R 3, (11) k+1 R 3. (12) 8

9 Ulkotulo ja vasen kontraktio ovat näin ollen binäärioperaattoreita, jotka kohottavat tai alentavat astetta siten, että a b i+j j i R3 ja a b R 3 (13) kun a i R 3 ja b j R 3. Vasen kontraktio voidaan antaa ulkotulon avulla u v = [u (ve 123 )]e 1 123, (14) eli vasen kontraktio on ulkotulon duaali. On helppo osoittaa, että vasen kontraktio totteutaa seuraavat identiteetit: jossa x, y R 3 ja u, v, w Cl 3. x y = x y (15) x (u v) = (x u) v + û (x v) (16) (u v) w = u (v w), (17) 2.2 Minkowskin avaruus R 3,1 Sähkömagnetismin suureet riippuvat ajasta t R ja asemasta x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 R 3. Asema ja aika voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena muodossa x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + cte 4, (18) siis 4-uloteisen vektoriavaruuden R 4 = R 3 R alkiona. Tässä lineaariavariidessa voimme määritellä neliömuodon Q(x) = x x x 2 3 c 2 t 2. Yhdessä neliömuoto ja vektoriavaruus muodostavat kvadraattisen avaruuden jota kutsutaan Minkowskin aika-avaruudeksi R 3,1. Minkowskin aika-avaruudessa on tavanmukaista asettaa x 1 = x 1, x 2 = x 2, x 3 = x 3 ja x 4 = ct = x 4 (nyt yläindeksi ei ole siis potenssi). Tämän merkinnän avulla saadaan neliömuoto muotoon Q(x) = x x x 2 3 x 2 4 = x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 + x 4 x 4 = x α x α, jossa viimeinen merkintä tarkoittaa summaussääntöä. 9

10 Esimerkkejä neliömuodoista Minkowskin aika-avaruudessa 1. Kaksi tiheyttä ρ ja J voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena J = J + cρe 4 R 3,1 (19) jolloin neljä komponenttia J 1, J 2, J 3,J 4 = cρ = J 4 ja neliömuoto J J J 2 3 J Kaksi potentiaalia V ja A (katso seuraava kappale) voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena jossa neljä komponenttia A 1, A 2, A 4, A 4 = 1 c V = A 4, aika-avaruus vektori A = A + 1 c V e 4 R 3,1 (20) ja neliömuoto A A A 2 3 A Sähkömagneettiset potentiaalit Sähkökenttä ja magneettivuontiheys voidaan antaa myös skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla, jota tässä kappaleessa esitellään lyhyesti. Koska B = 0, voidaan magneettivuontiheys esittää vektoripotentiaalin A roottorina B = A. (21) Sijoitetaan tämä yhtälö Faradayn lakiin E = B E = ( A) ( E + A ) = 0. jolloin saamme Siis vektorikenttä E+ A on pyörteetön ja näin ollen voidaan esittää skalaaripotentiaalin avulla muodossa E + A Nyt siis E ja B voidaan esittää potentiaalien avulla = V. (22) E = V A ja B = A. 10

11 Nämä tulokset ovat voimassa "perinteisessä"teoriassa avaruudessa R 3. Kuten jo edellisen kappaleen esimerkissä todettiin, Minkowskin aika-avaruudessa potentiaalit voidaan yhdistää yhdeksi potentiaaliksi A = A + 1 c V e 4 R 3,1. (23) Potentiaalit eivät ole yksikäsitteisiä. Muita potentiaalija saadaan suorittamalla ns. mittamuunnos, siis potentiaaleiksi kelpaavat myös A = A + Φ ja V = V Φ, (24) jossa Φ on mielivaltainen skalaarifunktio. Puhutaan seuraavaksi ns. Lorenzin ehdoista potentiaaleille. Potentiaalithan saatiin esiin käyttämällä vain kahta Maxwellin yhtälöä. Kahdesta jäljellä olevasta yhtälöstä voidaan johtaa (Lorenzin) ehto potentiaalien välille joka on muotoa A + 1 V = 0. (25) c 2 Tämä ehto voidaan antaa Minkowskin aika-avaruudessa seuraavalla tavalla. Siis olkoon operaattori 1 = e 4 (26) c jolloin ehto voidaan antaa tämän ja potentiaalin A pistetulona muodossa A = 0. (27) Yllä olevalla operaattorilla on tulevassa esityksessä keskeinen merkitys. 2.4 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3 Lähdetään muodostamaan sähkömagnetismin teoriaa Cliordin algebrojen avulla. Muotoillaan Maxwellin yhtälöt ensin avaruudessa R 3 käyttäen Cliffordin algebraa Cl 3 ja seuraavassa kappaleessa siirrytään Minkowskin avaruuteen R 3,1 ja Cliordin algebraan Cl 3,1. Johdetaan ensin nippu suureita jotka sijoitetaan lopuksi yhtöihin. Tarkoituksena on siis päästä ristituloista eroon ja saada aikaan neljä yhtälöä joilla on kaikilla eri aste (grade). 11

12 Merkitään ensinnä B = Be 123, joka on siis bivektorimuotoinen magneettivuontiheys. Hodgen duaalin mukaan ristitulolla ja ulkotulolla on yhteys E = e 123 ( E). Siis E = E + E = E + e 123 ( E). Pseudoskalaari e 123 nimensämukaisesti kommutoi kaikkien suureiden kanssa, ja näin ollen laskemalla e 123 ( B) = ( Be 123 ) e 123 ( B) + e 123 ( B) = ( Be 123 ) + ( Be 123 ). Jotta yhtälöt olisivat voimassa, on saman asteisten osien oltava samat, jolloin ottamalla tämä huomioon ja lisäämällä bivektori muotoinen magneettivuontiheys saamme Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ovat siis B = e 123 ( B), B = e 123 ( B) = B. E = ρ, E B = J, B + E = 0, B = 0. Kerrotaan kaksi alinta yhtälöä pseudoskalaarilla e 123 ja sijoitetaan yllä johdetut identiteetit yhtälöihin. Tämän jälkeen Maxwellin yhtälöt saavat seuraavan esityksen, jossa perässä suluissa on kunkin yhtälön asete: E = ρ (0), (28) E + B = J (1), (29) B + E = 0 (2), (30) B = 0 (3). (31) 12

13 Koska yhtälöt ovat kaikki eri astetta voimme summata ne kylmän rauhallisesti E + E + B + B + E + B = ρ J johon sijoittamalla E = E + E ja B = B + B sekä termejä järjestelemällä saamme ( E + B) + E + B = ρ J ( + )( E + B) = ρ J. Näin olemme kirjoitteneet Maxwellin yhtälöt yhdeksi yhtälöksi Cliordin algebrassa Cl 3. Katsotaan vielä miten potentiaalit V ja A suhtautuvat tähän esitykseen. Ajatellaan potentiaaleja yhtenä paravektorina V + A ja derivoidaan tätä vasemmalta operaattorilla +, siis ( + )(V + A) = V + A + V + A = V E + A + A = V + A E + B = E + B. (32) Yllä viimeiseen muotoon päästäksemme käytettiin duaalia A = ( A)e 123 = B ja Lorenzin ehtoa potentiaaleille. Näin saatiin yhteys kenttien ja potentiaalien välille Cliordin algebrassa Cl 3. Siirrytään seuraavaksi abstraktiotasolla askel ylöspäin, Minkowskin avaruuteen jossa Cliordin algebrojen käyttö selkeyttää kalkyyliä huomattavasti. 2.5 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Olkoon sähkömagneettinen bivektori F = 1 c Ee 4 B 2 R 3,1 (33) ja jo edellä ollut aika-avaruuden tiheysvektori J = J + cρe 4 R 3,1. 13

14 Jos tiedämme bivektorin F, voimme laskea sähkökentänvoimakkuuden kaavalla E = ce 4 F. Merkitään vielä magneettikentänvoimakkuuden ja sähkövuontiheyden avulla saatavaa elementtiä G = c De 4 He 123. (34) Potentiaalien kohdalla esittelimme ensimmäisen kerran dierentiaalioperaattorin = e 4 1 c Olkoon funktio f : R 3,1 Cl 3,1 jatkuvasti osittaisderivoituva. Tällöin f = f + f. Tällöin termiä f sanotaan laskevaksi dierentiaaliksi ja f nostavaksi dierentiaaliksi. Lasketaan nostava dierentiaali F = ( e 4 1 c. ) (1 Ee c 4 B) = 1 c ( E)e 4 B + e 4 e 4 1 c = 1 c e 123( E)e 4 e 123 ( B) e c = 1 c e 1234( E + B ) e 123( B) = 0 Vastaavalla tavalla menee seuraava laskeva dierentiaali G = ( e 4 1 c ) (c De 4 He 123 ) = c( D)e 4 + H D = cρe 4 + J = J. Edellä tarvittiin yhtälöitä D = ρ ja H D maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa siis E (e 1 4 c ) B B = J. Edellisen nojalla G = J, (35) F = 0. (36) 14

15 Suureiden välillä on yhteydet D = ɛ E ja B = µ H. Tyhjiössä ɛ = µ = 1, eli G = F ja Maxwellin yhtälöt kutistuvat yhdeksi yhtälöksi F = J. (37) Helpolla laskulla voi osoittaa, että A = F, jossa A on edellä esillä ollut potentiaali. Lorenzin ehto puolestaan sanoo A = 0. Näin ollen A = F. (38) 15

16 3 Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Sähkömagneettiset tasokentät ovat Maxwellin yhtälöiden homogeeniosan ratkaisuja. Tasokenttäratkaisut (lyhyesti tasokentät, engl. Plane eld solutions) riippuvat lineaarisesti ajasta ja paikasta. Kuten yleisesti on tiedossa, yhtälön F = J ratkaisut ovat muotoa F = F H + F P. Tässä kappaleessa esitämme siis erään ratkaisutyypin yhtälölle F = 0. (39) 3.1 Aika-avaruuden tasokentät Olkoon u aika-tyyppinen vektori Minkowskin avaruudessa R 3,1, siis u 2 = 1. Valitaan vektori n siten, että u ja n ovat ortogonaaliset ja n 2 = 1. Tällöin yhtälöllä (39) on seuraavat bivektoriarvoiset ratkaisut: F (x) = x(x)nm ja F (x) = x(x)um (40) jossa x(x) = x u + (x n)un. Jotta näkisimme, että ratkaisut todella toteuttavat yhtälön (39), otetaan käyttöön muutamia käsitteitä. Olkoon (e ν ) kanta. Kantaa vastaava käänteiskanta (e µ ) määritellään siten, että ehto e µ e ν = δ µν toteutuu. Kirjoitetaan nyt operaattori muodossa = e ν (e ν ), jolloin F (x) = e ν (e ν )F (x) = e ν (e ν u + (e ν n)un)nm = (u + nun)nm = (u u)nm = 0. Kuten nähdaan ei-homogeenin kerroin x(x) on myös ratkaisu. Identtisellä tavalla voidaan todeta F (x) ratkaisuksi. Tärkeää jatkon kannalta on seuraava tulos: Lemma Jos x(x) = 0, niin myös x(x) m = 0 kun m N. 16

17 Todistus: Todistus induktiolla. Siis m = 1 on tosi. Leibnizin säännön nojalla (uv) = ( u)v + û( v) 2(û ) v, jossa u, v Cl p,q ja piste kertoo mihin alkioon operaattori operoi. Olkoon u = x(x) ja v = x(x). Nyt u = v = 0, saadaan sääntö muotoon ((un) )ẋ(x) = 1 (( un)x(x) + un( x(x)) (unx(x))). 2 Kaikki oikealla puolella olevat termit menevät nolliksi, koska x(x) kommutoi. Jäljelle jää ((un) )ẋ(x) = 0 josta seuraa, että (x(x)x(x)) = 0. Oletetaan, että x(x) m 1 = 0, jolloin x(x) m = x(x)x(x) m 1 = ( x(x))x(x) m 1 + ˆx(x)( x(x) m 1 m 1 ) 2(ˆx(x) )ẋ(x) = 0. Siis x(x) m = Tasokenttien yleinen muoto Edellisen Lemman avulla voimme konstruoida funktion x(x) potensseista yleisen tasokenttäratkaisun yhtälölle (39) joka muotoa m=0 a m x(x) m b, (41) jossa kerroin a m = (α m + βun + γ m unj + δ m j) kun α m, β m, γ m, δ m R ja lyhennysmerkintänä pseudoskalaarille j = e Alkio b voidaan valita parillisten elementtien joukosta Cilordin algebrasta Cl 3,1 seuraavasti: Olkoon b 0, b 4 R, S 2 R 4, b = b 0 + S + b 4 j ja f i : R 3,1 R. Termi a m x(x) m voidaan kirjoittaa muotoon ja niin ollen f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j, a m x(x) m b = (f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j)(b 0 + S + b 4 j) = (f 1 (x)b 0 + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S f 4 (x)b 4 ) + (f 1 (x)b 4 j + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S + f 4 (x)b 0 j) + Bivektoriosa. 17

18 Jotta yllä oleva hirvitys kuuluisi bivektorialgebraan 2 R 4 on skalaari ja pseudoskalaariosien mentävä nolliksi. Asetetaan siis b 0 = b 4 = 0 jolloin jäljelle jää b = S ja lisäksi seuraavien ehtojen (un) S = 0 ja (un) S = 0. (42) tulee toteutua. Ja näin muodoin meillä on seuraavanalainen tulos: Potenssisarja F (x) = m=0 a m x(x) m S (43) on yhtälön (39) ratkaisu kunhan ehdot (42) toteutuvat. Ehdot (42) voidaan kutistaa yhdeksi ehdoksi muotoon: (un)s = S(un). (44) Tämä bivektoriterminen konvergoi normin S = S 0 suhteen. Ongelmaksi jää näin ollen ainostaam bivektorin S valinta. 3.3 Säteilykentät Säiteilykentät ovat lyhyesti sanottuna kenttiä jotka kuljettavat energiaa maksimi nopeudella tyhjiössä. Tutkitaan nyt miten tällaisissa tapauksissa bivektori S tulisi valita. Voidaan osoittaa, että tasokentille ns. säteilyehto on F 2 = 0 F F = 0 ja F F = 0. (45) Nämä ehdot johtavat mittavan pyörityksen jälkeen seuraavanlaiseen ehtoon bivektorille: S 2 = 0 (46) Näin muodoin bivektoriksi S voidaan valita joko S = (u + n)m tai S = (u n)m, (47) jossa m on ortogonaalinen vektorien u ja n kanssa. 3.4 Sovelluksia Olkoon P = 1 (1 + un). Tällöin P ja 1 P ovat idempotentteja. Näitä 2 idempotentteja voidaan käyttää pulmallisen kentän pilkkomiseen yksinkertaisemmiksi osiksi. Katsotaan tästä esimerkki. Olkoon S bivektori joka ei ole muotoa (47). Kuitenkin kenttä voidaan esittää muodossa F (x) = exp(j(x u + (x n)un))s. 18

19 Esitetään nyt idempotenttien avulla kenttä muodossa jossa ehto (46) toteutuu. Merkitään k + = u + n ja k = u n ja kerrotaan kenttää termillä P + (1 P ), siis F (x) = exp(j(x u + (x n)un))(p + (1 P ))S = exp(j(x u + (x n)un))p S + exp(j(x u + (x n)un))(1 P )S = e j(x k +) P S + e j(x k ) (1 P )S Merkitään nyt S + = P S ja S = (1 P )S. Nämä puolestaan toteuttavat ehdon (46) S + 2 = S 2 = 0. Näin muodoin voimme lausua lausekkeen kahden säteilyehdon toteuttavan termin summana muodossa F (x) = e j(x k +) S + + e j(x k ) S. LÄHTEET: Kappaleessa 1. on lähteenä nettisivu: smaisnie/finnish/maxwell/rstpage.html Kappaleessa 2. on lähteenä: Lounesto:Cliord Algebras and Spinors kpl. 8 Kappaleessa 3. on lähteenä: Eriksson, Sirkka-Liisa Cliord algebras and potential theory : Proceedings of the Summer School held in Mekrijärvi, June 24-28, 2002 JoY. Department of Mathematics. Report series 19

Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa Katja Palomäki. Tervetuloa!

Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa Katja Palomäki. Tervetuloa! Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa 6.4.2009 Katja Palomäki Tervetuloa! 1 Johdanto Esityksen tavoitteena on luoda yleiskatsaus tärkeimpiin sähkömagnetismin ymmärtämiseen vaikuttaneihin asioihin

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/ 8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN 766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä: FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen

Lisätiedot

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO

4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 4. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO Magneettivuo Magneettivuo Φ määritellään vastaavalla tavalla kuin sähkövuo Ψ Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alan A pistetulo Φ= B A= BAcosθ

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Epäeuklidista geometriaa

Epäeuklidista geometriaa Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Passiiviset piirikomponentit Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet vastus käämi kondensaattori puolijohdekomponentit Tarkoitus on esitellä piiriteorian

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Perusvuorovaikutukset

Perusvuorovaikutukset Perusvuorovaikutukset Mikko Mustonen Mika Kainulainen CERN tutkielma Nurmeksen lukio Syksy 2009 Sisältö 1 Johdanto... 3 2 Perusvuorovaikutusten historia... 3 3 Teoria... 6 3.1 Gravitaatio... 6 3.2 Sähkömagneettinen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Matematikka ja maailmankuva Matemaattis-luonnontieteellisten alojen akateemiset MAL 13.12.2013 Tapio Markkanen

Matematikka ja maailmankuva Matemaattis-luonnontieteellisten alojen akateemiset MAL 13.12.2013 Tapio Markkanen Matematikka ja maailmankuva Matemaattis-luonnontieteellisten alojen akateemiset MAL 13.12.2013 Tapio Markkanen Maa on pallo Sacrobosco, 1550 Maan muodon vaikutus varjon muotoon kuunpimennyksessä Kuva Petrus

Lisätiedot

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta.

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta. Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Mikko Marsch Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

Magneettikentät ja niiden määrittäminen

Magneettikentät ja niiden määrittäminen Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Toistaiseksi on tarkasteltu vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään, mikä puolustaisi

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Luku 7 Sähkömagneettinen induktio Oppimateriaali RMC luku 11 ja CL 8.1; esitiedot KSII luku 5. Toistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voi mainiosti kuvitella kenttäviivojen

Lisätiedot

Johdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä

Johdanto. 1 Teoriaa. 1.1 Sähkönjohtimen aiheuttama magneettikenttä FYSP105 / K2 HELMHOLTZIN KELAT Johdanto Työssä mitataan ympyränmuotoisten johdinkelojen tuottamaa magneettikenttää kelojen läheisyydessä sekä sähkövirran että etäisyyden funtiona. Sähkömagnetismia ja työssä

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden

+ 0, (29.20) 32 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) i c+ ε 0 dφ E / dt ja silmukan kohdalla vaikuttavan magneettivuon tiheyden 5 3 SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT (Electromagnetic Waves) Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valo on luonteeltaan kaksijakoinen eli dualistinen. Valoa

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

1.1 Magneettinen vuorovaikutus

1.1 Magneettinen vuorovaikutus 1.1 Magneettinen vuorovaikutus Magneettien välillä on niiden asennosta riippuen veto-, hylkimis- ja vääntövaikutuksia. Magneettinen vuorovaikutus on etävuorovaikutus Magneeti pohjoiseen kääntyvää päätä

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Sähkötekniikan historia ja innovaatiot: Essee 3

Sähkötekniikan historia ja innovaatiot: Essee 3 Sähkötekniikan historia ja innovaatiot: Essee 3 Tommi Rimpiläinen 1.4.2016, S4 Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770 1831) Saksalainen filosofi dealisti Seurasi mmanuel Kantin jalanjäljissä Teleologinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic field than to understand invisible angels. R. P.

It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic field than to understand invisible angels. R. P. Luku 1 Johdanto It requires a much higher degree of imagination to understand the electromagnetic field than to understand invisible angels. R. P. Feynman 1.1 Mikä tämä kurssi on Edessä on kuuden opintoviikon

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633. Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jouko Esko n85748 Juho Jaakkola n86633 Dynaaminen Kenttäteoria GENERAATTORI Sivumäärä: 10 Jätetty tarkastettavaksi: 06.03.2008 Työn tarkastaja Maarit

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot