Sähkömagnetismia. 11. huhtikuuta 2005

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sähkömagnetismia. 11. huhtikuuta 2005"

Transkriptio

1 Sähkömagnetismia 11. huhtikuuta

2 Sisältö 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa Maxwellin yhtälöt Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat Tarvittavia käsitteitä Minkowskin avaruus R 3, Sähkömagneettiset potentiaalit Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Aika-avaruuden tasokentät Tasokenttien yleinen muoto Säteilykentät Sovelluksia

3 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa 1700-luku oli kiistatta klassisen fysiikan aikakausi, jonka ehdoton johtohahmo oli Sir Isaac Newton. Yhtälailla voidaan 1800-lukua kutsua sähkön läpimurtokaudeksi. Ennen Maxwellia sähköä ja magnetismia oli tutkinut ahkerasti suuri joukko kuuluisia fyysikkoja, kuten Charles Coulomb ( ), Hans Christian Örsted ( ), André Marie Ampère ( ), Georg Ohm ( ) ja Michael Faraday ( ). Maxwellin jälkeen työtä jatkoivat mm. Heinrich Hertz ( ) ja Oliver Heaviside ( ). Hänen teorioitaan sovelsi myöhemmin mm. Guglielmo Marconi ( ), josta tuli radion keksijä. Yksi merkittävimmistä sähkömagneettisista läpimurroista tapahtui 1820, kun Örsted osoitti kokeellaan sähkön ja magnetismin olevan toisistaan riippuvia ilmiöitä. Lisäksi sähkön ja magnetismin luonne herätti huomiota. Tuohon saakka oli sähköoppia tutkittu Newtonin veto- ja poistovoimien kaukovaikutusteorian pohjalta ja magnetismin ja sähköstatiikan tiedettiin noudattavan samoja matemaattisia riippuvuuksia (voiman suuruus kääntäen verrannollinen etäisyyden toiseen potenssiin) kuten painovoimakin. Nyt tilanne muuttui, sillä Örstedin koe osoitti virran aiheuttaman magneettivoiman olevan kohtisuorassa virtajohdon ja magneettineulan yhdysjanaa vastaan. Tämän jälkeen Ampère loi sähkömagnetismin peruslait ja matemaattiset käsitteet, jotka antoivat matemaattisen mallin myös Örstedin kokeelle. Sähkömagneettisen induktion keksi Faraday (häntä kutsutaan myös nimellä "Father of Electricity", mikä kuvaa hyvin hänen merkitystään sähkön kehityksessä) On kuitenkin huomattava, että Faraday keksi muuttuvan magneettikentän aiheuttaman sähkökentän, päinvastainen ilmiö todettiin myöhemmin. Faraday kehitti myös kenttäkäsitteen, jonka mukaan avaruus oli täynnä magneettiviivoja, jotka yhdistivät magneetin navat toisiinsa. Tämä oli selvästi ristiriidassa Newtonin kaukovaikutusteorian kanssa, jossa kenttäviivat olivat lähde- ja kenttäpisteen yhdysjanan suuntaisia. Faradayn kenttäkäsitteessä magneettivoimalla oli myös poikittainen komponentti. Tuolloin oli selkeä tarve teorialle, joka selittäisi kaikki tuolloin tiedossa olevat ilmiöt. Itseasiassa Maxwell ei ollut tässä asiassa ensimmäinen. Ensimmäisen teorian esitti saksalainen fyysikko Wilhelm Weber ( ). Hän yhdisti Ampèren lain sähköstatiikan lakeihin ja johti seuraavan kaavan kahden liikkuvan varauksen voiman lausekkeeksi F = QQ r 2 {1 1 c 2 ((r ) 2 2rr )} 3

4 , jossa yläindeksit merkitsevät derivaattaa ajan suhteen, Q ja Q varauksien suuruutta, r varauksien etäisyyttä ja c on vakio, jolla on nopeuden yksikkö. Kaavan analysointi on helppoa. Ajatellaan ensin paikallaan olevia varauksia. Tällöin sekä ensimmäinen että toinen derivaatta ovat nollia, jolloin kaavasta tulee Coulombin laki. Vakionopeudella liikkuville varauksille kaava antaa Ampèren lain. Kaava ei kuitenkaan osoittautunut oikeaksi, sillä se ei ennusta sähkömagneettista säteilyä, jota syntyy kiihtyvässä liikkeestä olevasta varauksesta. Tätä ei tuolloin kuitenkaan osattu ennakoida. Tästä huolimatta Weberin teoria sai 1850-luvun lopulla sähkömagnetiikan alalla paljon kannatusta. James Clerk Maxwell syntyi Edinburghissa, Skotlannissa Maxwell vietti lapsuutensa alkuvuodet vanhempiensa tilalla Urr Waterissa, joka sijaitsee 15 mailia Dumfriesistä länteen. Hänen äitinsä Frances Kayn kuoltua 1841, hänen isänsä John Clerk Maxwell lähetti hänet sisarensa (joka oli myös jäänyt leskeksi) luokse Edinburghiin. Lomat Maxwell vietti maalla ja hänen isänsä vieraili mahdollisimman usein Edinburghissa. Maxwell kirjoittautui Edinburghin yliopistoon 1847 opiskellakseen matematiikkaa, losoaa ja fysiikkaa. Hän löysi opintojensa ohella paljon aikaa myös itsenäiselle lukemiselle ja tutkimustyölle. Maxwell jatkoi opintojaan 1850 Cambridgen Trinity Collegessa, koska hän ajatteli saavansa sieltä helpommin jatko-opiskelupaikan. Maxwell opiskeli mm. Sir William Hamiltonin (irlantilainen matemaatikko ) eli kvarternioiden keksijän ja James D Forbesin alaisuudessa. Forbes oli erittäin uudistusmielinen opettaja, mutta Hamilton luotti edelleen vanhoihin opetusmenetelmiin. Maxwell onnistui taitavasti hyödyntämään molempien parhaat puolet. Hän opiskeli luonnonlosoaa ja matematiikkaa Forbesin ja logiikkaa ja etiikkaa Hamiltonin alaisuudessa. Maxwell oppi Cambridgessakin paljon muodollisen koulutuksen ulkopuolelta. Maxwell teki ensimmäisen julkaisunsa jo Se käsitteli ovaalin muotoisen käyrän piirtämistä langan, kahden neulan ja kynän avulla ja se julkaistiin Edinburgh Royal Societyn Proceedings julkaisussa. Vuonna 1855 Maxwell pääsi jatko-opiskelijaksi Cambridgeen ja 1856 hänet nimitettiin luonnontieteiden professoriksi Marischal Collegeen, Aberdeeniin. Cambridgen yliopisto palkitsi hänet 1856 Adamsin palkinnolla hänen tutkimuksestaan Saturnuksen renkaiden stabiiliudesta. Maxwell meni naimisiin Marischal Collegen dekaanin tyttären, Katherine Mary Dewardin kanssa 4 Heinäkuuta Heiltä ei jäänyt lapsia. Maxwell sai 1860 luonnontieteiden ja astronomian professorin viran King's Collegesta, Lontoosta, jossa hän teki uransa tärkeimmät tutkimukset. Maxwellin tutkimustöiden perustana oli 4

5 Michael Faradayn kirjoittama kirja Experimental Researches in Electricity. Vuonna 1856 Maxwell julkaisi ensimmäisen merkittävän sähkömagnetismia koskevan teoksensa On Faraday's Lines of Force. Teoksessaan hän sovelsi hydrodynamiikan analogiaa (hän vertaili sähkö- ja magneettikentän voimaviivoja puristumattoman nesteen virtaukseen) sähkö- ja magneettikenttien kuvaamiseen. Vuosina julkaistuissa kirjoituksissa On Physical Lines of Force Maxwell esitti täydellisen mallin sähkömagneettisesta ilmiöstä Michael Faradayn kenttäkäsitteen pohjalta, jonka oikeellisuudesta hän oli tullut täysin vakuuttuneeksi muutamaa vuotta aikaisemmin. Maxwellin sähkömagneettisen kenttäteorian syntymävuotena pidetään vuotta 1864, jolloin hän esitti kenttäyhtälönsä teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Vuonna 1865 hän erosi virastaan ja vetäytyi kotitilalleen omistaen aikansa tutkimuksilleen ja kuuluisan teoksensa Treatise on Electricity and magnetism kirjoittamiselle. Hänet nimitettiin kokeellisen fysiikan professoriksi Cambridgeen 1871, jossa hänen päätehtävänään oli Cavendish-laboratorion perustaminen, josta on sittemmin tullut monta kuuluisaa tiedemiestä. Maxwellin jälkeisiä Cavendish-professoreja ovat olleet mm. seuraavat nobelistit: Lordi Rayleigh (Fysiikan nobel-palkinnon voittaja vuonna 1904), elektronin keksijä J.J. thomson (fysiikka 1906), Ernest Rutherford (kemia 1908), Sir Bragg (fysiikka 1915) ja N.F.Mott (fysiikka 1977). Maxwell julkaisi teoksensa Treatise on Electricity and magnetism Kenttäyhtälöt, jotka esiintyivät muuttumattomana jo hänen aikaisemmassa teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, oltiin muotoiltu Maxwellin aikaisemmin kuvaileman mallin perusteella. Yhtälöitä oli peräti 20 kappaletta, koska hän esitti ne komponenttimuodossa (hän ei tuntenut nykyaikaista vektorilaskentaa, eikä siten myöskään esim. nabla-operaattoria). Kyseessä oli yksi maailman merkittävimmistä teoreettisen fysiikan saavutuksista. Teoksesta tuli pitkäksi aikaa kaiken sähkömagnetismin perusta. Maxwell käytti lyhyen elämänsä loppuvuosina paljon aikaa Cavendishin sähköä koskevien tutkimuksien julkaisemiseen. Kirja Electrical Researches of Henry Cavendish ilmestyi Maxwell kuoli samana vuonna vain 48 vuotiaana mahasyöpään. 5

6 1.1 Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt nykyaikaisen vektorilaskennan merkinnöin dierentiaalimuodossa ovat: D = ρ, (1) B = 0, (2) E = B, (3) H = J + D, (4) joissa E on sähkökenttä, D on sähkövuon tiheys, ρ on varaustiheys, H on magneettikenttä, B on magneettivuon tiheys ja J on virtatiheys. Yhtälöissä yläviiva merkitsee tietenkin vektorisuuretta. On hyvä tietää, että Maxwellin kirjoittamasta kirjasta: A Treatise on Electricity and Magnetism, ei yhtälöitä yllä mainitussa muodossa löydy, koska niissä on käytetty nykyaikaisen vektorilaskennan merkintöjä. Suurin kunnia nykyaikaisen vektorilaskennan kehittämisestä kuuluu Josiah W. Gibbsille (amerikkalainen kemisti ). Maxwell itse käytti skalaarikomponentteja sekä kvarternioita, jotka ovat eräänlaisia neliulotteisia kompleksilukuja. On myös huomattava, että ensimmäinen yhtälö on Gaussin laki, kolmas yhtälö on Faradayn laki ja neljäs yhtälö on Ampèren laki ja Maxwellin lisäys (siirrosvirta). Maxwellin yhtälöt nykymuodossakaan kaavoina esitettyinä eivät välttämättä kerro kaikkea sähkön ja magnetismin ominaisuuksista ainakaan ensisilmäyksellä. Mikäli haluaa ymmärtää Maxwellin ajatuksenjuoksua, kannattaa yhtälöitä ja niiden historiallista taustaa miettiä ennemmin matemaattis-sanallisessa muodossa: I) Sähkövuo suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin kokonaisvaraus pinnan sisällä. II) Magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla. III) Sähkökentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen aikaderivaatta. IV) Magneettikentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan kokonaisvirran ja sähkövuon aikaderivaatan summa. 6

7 ... tai vielä havainnollisemmin kvalitatiivisesti sanallisessa muodossa (huomaa varsinkin neljännen lain loppuosa): I) Sähköisten varauksien jakauma määrää sähkökentän. II) Magneettivuoviivat ovat suljettuja, eli magneettisia varauksia (monopoleja) ei ole olemassa. III) Muuttuva magneettivuo synnyttää sähkökentän, tai ts. pinnan läpi kulkevan magneettivuon muutos aiheuttaa sähkömotorisen voiman. IV) Sekä liikkuva varaus (virta) että muuttuva sähkövuo synnyttävät magneettikentän. 7

8 2 Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat 2.1 Tarvittavia käsitteitä Otetaan käyttöön tarvittavia käsitteitä Cliordin algebrojen teoriasta. Koska vektoriavaruuden R 3 ja bivektoriavaruuden 3 R 3 dimensio on 3, ovat ne lineaarisesti isomorsia. Isomorsmia (bijektiota) avaruuksien välillä sanotaan Hodgen duaaliksi, joka määritellään : R 3 2 R 3 : a a = ae 123. (5) Vastaavasti toiseen suuntaan : 2 R 3 R 3 : A A = Ae 123. (6) Käyttämällä Hodgen duaalia saadaan risritulojen ja ulkotulojen välille kätevät kaavat x y = (x y)e 123, (7) x y = (x y)e 123. (8) Rajoitutaan seuraavassa tarkastelemaan Cliordin algebraa Cl 3. Cliordin tulo kahden vektorin a ja b voidaan hajottaa skallaariosan a b ja bivektoriosan a b summaksi ab = a b + a b. Yleistetään hajotelma vektorin x ja mielivaltaisen elementin u Cl 3 Cliffordin tulolle. Määritellään vasen kontraktio x u siten, että se toteuttaa xu = x u + x u. (9) Vastaavasti määritellään oikea kontraktio u x siten, että ux = u x + u x. (10) Kun u on k-vektori, niin saadaan näppärät laskukaavat x u = 1 2 (xu ( 1)k ux) x u = 1 2 (xu + ( 1)k ux) k 1 R 3, (11) k+1 R 3. (12) 8

9 Ulkotulo ja vasen kontraktio ovat näin ollen binäärioperaattoreita, jotka kohottavat tai alentavat astetta siten, että a b i+j j i R3 ja a b R 3 (13) kun a i R 3 ja b j R 3. Vasen kontraktio voidaan antaa ulkotulon avulla u v = [u (ve 123 )]e 1 123, (14) eli vasen kontraktio on ulkotulon duaali. On helppo osoittaa, että vasen kontraktio totteutaa seuraavat identiteetit: jossa x, y R 3 ja u, v, w Cl 3. x y = x y (15) x (u v) = (x u) v + û (x v) (16) (u v) w = u (v w), (17) 2.2 Minkowskin avaruus R 3,1 Sähkömagnetismin suureet riippuvat ajasta t R ja asemasta x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 R 3. Asema ja aika voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena muodossa x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + cte 4, (18) siis 4-uloteisen vektoriavaruuden R 4 = R 3 R alkiona. Tässä lineaariavariidessa voimme määritellä neliömuodon Q(x) = x x x 2 3 c 2 t 2. Yhdessä neliömuoto ja vektoriavaruus muodostavat kvadraattisen avaruuden jota kutsutaan Minkowskin aika-avaruudeksi R 3,1. Minkowskin aika-avaruudessa on tavanmukaista asettaa x 1 = x 1, x 2 = x 2, x 3 = x 3 ja x 4 = ct = x 4 (nyt yläindeksi ei ole siis potenssi). Tämän merkinnän avulla saadaan neliömuoto muotoon Q(x) = x x x 2 3 x 2 4 = x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 + x 4 x 4 = x α x α, jossa viimeinen merkintä tarkoittaa summaussääntöä. 9

10 Esimerkkejä neliömuodoista Minkowskin aika-avaruudessa 1. Kaksi tiheyttä ρ ja J voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena J = J + cρe 4 R 3,1 (19) jolloin neljä komponenttia J 1, J 2, J 3,J 4 = cρ = J 4 ja neliömuoto J J J 2 3 J Kaksi potentiaalia V ja A (katso seuraava kappale) voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena jossa neljä komponenttia A 1, A 2, A 4, A 4 = 1 c V = A 4, aika-avaruus vektori A = A + 1 c V e 4 R 3,1 (20) ja neliömuoto A A A 2 3 A Sähkömagneettiset potentiaalit Sähkökenttä ja magneettivuontiheys voidaan antaa myös skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla, jota tässä kappaleessa esitellään lyhyesti. Koska B = 0, voidaan magneettivuontiheys esittää vektoripotentiaalin A roottorina B = A. (21) Sijoitetaan tämä yhtälö Faradayn lakiin E = B E = ( A) ( E + A ) = 0. jolloin saamme Siis vektorikenttä E+ A on pyörteetön ja näin ollen voidaan esittää skalaaripotentiaalin avulla muodossa E + A Nyt siis E ja B voidaan esittää potentiaalien avulla = V. (22) E = V A ja B = A. 10

11 Nämä tulokset ovat voimassa "perinteisessä"teoriassa avaruudessa R 3. Kuten jo edellisen kappaleen esimerkissä todettiin, Minkowskin aika-avaruudessa potentiaalit voidaan yhdistää yhdeksi potentiaaliksi A = A + 1 c V e 4 R 3,1. (23) Potentiaalit eivät ole yksikäsitteisiä. Muita potentiaalija saadaan suorittamalla ns. mittamuunnos, siis potentiaaleiksi kelpaavat myös A = A + Φ ja V = V Φ, (24) jossa Φ on mielivaltainen skalaarifunktio. Puhutaan seuraavaksi ns. Lorenzin ehdoista potentiaaleille. Potentiaalithan saatiin esiin käyttämällä vain kahta Maxwellin yhtälöä. Kahdesta jäljellä olevasta yhtälöstä voidaan johtaa (Lorenzin) ehto potentiaalien välille joka on muotoa A + 1 V = 0. (25) c 2 Tämä ehto voidaan antaa Minkowskin aika-avaruudessa seuraavalla tavalla. Siis olkoon operaattori 1 = e 4 (26) c jolloin ehto voidaan antaa tämän ja potentiaalin A pistetulona muodossa A = 0. (27) Yllä olevalla operaattorilla on tulevassa esityksessä keskeinen merkitys. 2.4 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3 Lähdetään muodostamaan sähkömagnetismin teoriaa Cliordin algebrojen avulla. Muotoillaan Maxwellin yhtälöt ensin avaruudessa R 3 käyttäen Cliffordin algebraa Cl 3 ja seuraavassa kappaleessa siirrytään Minkowskin avaruuteen R 3,1 ja Cliordin algebraan Cl 3,1. Johdetaan ensin nippu suureita jotka sijoitetaan lopuksi yhtöihin. Tarkoituksena on siis päästä ristituloista eroon ja saada aikaan neljä yhtälöä joilla on kaikilla eri aste (grade). 11

12 Merkitään ensinnä B = Be 123, joka on siis bivektorimuotoinen magneettivuontiheys. Hodgen duaalin mukaan ristitulolla ja ulkotulolla on yhteys E = e 123 ( E). Siis E = E + E = E + e 123 ( E). Pseudoskalaari e 123 nimensämukaisesti kommutoi kaikkien suureiden kanssa, ja näin ollen laskemalla e 123 ( B) = ( Be 123 ) e 123 ( B) + e 123 ( B) = ( Be 123 ) + ( Be 123 ). Jotta yhtälöt olisivat voimassa, on saman asteisten osien oltava samat, jolloin ottamalla tämä huomioon ja lisäämällä bivektori muotoinen magneettivuontiheys saamme Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ovat siis B = e 123 ( B), B = e 123 ( B) = B. E = ρ, E B = J, B + E = 0, B = 0. Kerrotaan kaksi alinta yhtälöä pseudoskalaarilla e 123 ja sijoitetaan yllä johdetut identiteetit yhtälöihin. Tämän jälkeen Maxwellin yhtälöt saavat seuraavan esityksen, jossa perässä suluissa on kunkin yhtälön asete: E = ρ (0), (28) E + B = J (1), (29) B + E = 0 (2), (30) B = 0 (3). (31) 12

13 Koska yhtälöt ovat kaikki eri astetta voimme summata ne kylmän rauhallisesti E + E + B + B + E + B = ρ J johon sijoittamalla E = E + E ja B = B + B sekä termejä järjestelemällä saamme ( E + B) + E + B = ρ J ( + )( E + B) = ρ J. Näin olemme kirjoitteneet Maxwellin yhtälöt yhdeksi yhtälöksi Cliordin algebrassa Cl 3. Katsotaan vielä miten potentiaalit V ja A suhtautuvat tähän esitykseen. Ajatellaan potentiaaleja yhtenä paravektorina V + A ja derivoidaan tätä vasemmalta operaattorilla +, siis ( + )(V + A) = V + A + V + A = V E + A + A = V + A E + B = E + B. (32) Yllä viimeiseen muotoon päästäksemme käytettiin duaalia A = ( A)e 123 = B ja Lorenzin ehtoa potentiaaleille. Näin saatiin yhteys kenttien ja potentiaalien välille Cliordin algebrassa Cl 3. Siirrytään seuraavaksi abstraktiotasolla askel ylöspäin, Minkowskin avaruuteen jossa Cliordin algebrojen käyttö selkeyttää kalkyyliä huomattavasti. 2.5 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Olkoon sähkömagneettinen bivektori F = 1 c Ee 4 B 2 R 3,1 (33) ja jo edellä ollut aika-avaruuden tiheysvektori J = J + cρe 4 R 3,1. 13

14 Jos tiedämme bivektorin F, voimme laskea sähkökentänvoimakkuuden kaavalla E = ce 4 F. Merkitään vielä magneettikentänvoimakkuuden ja sähkövuontiheyden avulla saatavaa elementtiä G = c De 4 He 123. (34) Potentiaalien kohdalla esittelimme ensimmäisen kerran dierentiaalioperaattorin = e 4 1 c Olkoon funktio f : R 3,1 Cl 3,1 jatkuvasti osittaisderivoituva. Tällöin f = f + f. Tällöin termiä f sanotaan laskevaksi dierentiaaliksi ja f nostavaksi dierentiaaliksi. Lasketaan nostava dierentiaali F = ( e 4 1 c. ) (1 Ee c 4 B) = 1 c ( E)e 4 B + e 4 e 4 1 c = 1 c e 123( E)e 4 e 123 ( B) e c = 1 c e 1234( E + B ) e 123( B) = 0 Vastaavalla tavalla menee seuraava laskeva dierentiaali G = ( e 4 1 c ) (c De 4 He 123 ) = c( D)e 4 + H D = cρe 4 + J = J. Edellä tarvittiin yhtälöitä D = ρ ja H D maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa siis E (e 1 4 c ) B B = J. Edellisen nojalla G = J, (35) F = 0. (36) 14

15 Suureiden välillä on yhteydet D = ɛ E ja B = µ H. Tyhjiössä ɛ = µ = 1, eli G = F ja Maxwellin yhtälöt kutistuvat yhdeksi yhtälöksi F = J. (37) Helpolla laskulla voi osoittaa, että A = F, jossa A on edellä esillä ollut potentiaali. Lorenzin ehto puolestaan sanoo A = 0. Näin ollen A = F. (38) 15

16 3 Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Sähkömagneettiset tasokentät ovat Maxwellin yhtälöiden homogeeniosan ratkaisuja. Tasokenttäratkaisut (lyhyesti tasokentät, engl. Plane eld solutions) riippuvat lineaarisesti ajasta ja paikasta. Kuten yleisesti on tiedossa, yhtälön F = J ratkaisut ovat muotoa F = F H + F P. Tässä kappaleessa esitämme siis erään ratkaisutyypin yhtälölle F = 0. (39) 3.1 Aika-avaruuden tasokentät Olkoon u aika-tyyppinen vektori Minkowskin avaruudessa R 3,1, siis u 2 = 1. Valitaan vektori n siten, että u ja n ovat ortogonaaliset ja n 2 = 1. Tällöin yhtälöllä (39) on seuraavat bivektoriarvoiset ratkaisut: F (x) = x(x)nm ja F (x) = x(x)um (40) jossa x(x) = x u + (x n)un. Jotta näkisimme, että ratkaisut todella toteuttavat yhtälön (39), otetaan käyttöön muutamia käsitteitä. Olkoon (e ν ) kanta. Kantaa vastaava käänteiskanta (e µ ) määritellään siten, että ehto e µ e ν = δ µν toteutuu. Kirjoitetaan nyt operaattori muodossa = e ν (e ν ), jolloin F (x) = e ν (e ν )F (x) = e ν (e ν u + (e ν n)un)nm = (u + nun)nm = (u u)nm = 0. Kuten nähdaan ei-homogeenin kerroin x(x) on myös ratkaisu. Identtisellä tavalla voidaan todeta F (x) ratkaisuksi. Tärkeää jatkon kannalta on seuraava tulos: Lemma Jos x(x) = 0, niin myös x(x) m = 0 kun m N. 16

17 Todistus: Todistus induktiolla. Siis m = 1 on tosi. Leibnizin säännön nojalla (uv) = ( u)v + û( v) 2(û ) v, jossa u, v Cl p,q ja piste kertoo mihin alkioon operaattori operoi. Olkoon u = x(x) ja v = x(x). Nyt u = v = 0, saadaan sääntö muotoon ((un) )ẋ(x) = 1 (( un)x(x) + un( x(x)) (unx(x))). 2 Kaikki oikealla puolella olevat termit menevät nolliksi, koska x(x) kommutoi. Jäljelle jää ((un) )ẋ(x) = 0 josta seuraa, että (x(x)x(x)) = 0. Oletetaan, että x(x) m 1 = 0, jolloin x(x) m = x(x)x(x) m 1 = ( x(x))x(x) m 1 + ˆx(x)( x(x) m 1 m 1 ) 2(ˆx(x) )ẋ(x) = 0. Siis x(x) m = Tasokenttien yleinen muoto Edellisen Lemman avulla voimme konstruoida funktion x(x) potensseista yleisen tasokenttäratkaisun yhtälölle (39) joka muotoa m=0 a m x(x) m b, (41) jossa kerroin a m = (α m + βun + γ m unj + δ m j) kun α m, β m, γ m, δ m R ja lyhennysmerkintänä pseudoskalaarille j = e Alkio b voidaan valita parillisten elementtien joukosta Cilordin algebrasta Cl 3,1 seuraavasti: Olkoon b 0, b 4 R, S 2 R 4, b = b 0 + S + b 4 j ja f i : R 3,1 R. Termi a m x(x) m voidaan kirjoittaa muotoon ja niin ollen f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j, a m x(x) m b = (f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j)(b 0 + S + b 4 j) = (f 1 (x)b 0 + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S f 4 (x)b 4 ) + (f 1 (x)b 4 j + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S + f 4 (x)b 0 j) + Bivektoriosa. 17

18 Jotta yllä oleva hirvitys kuuluisi bivektorialgebraan 2 R 4 on skalaari ja pseudoskalaariosien mentävä nolliksi. Asetetaan siis b 0 = b 4 = 0 jolloin jäljelle jää b = S ja lisäksi seuraavien ehtojen (un) S = 0 ja (un) S = 0. (42) tulee toteutua. Ja näin muodoin meillä on seuraavanalainen tulos: Potenssisarja F (x) = m=0 a m x(x) m S (43) on yhtälön (39) ratkaisu kunhan ehdot (42) toteutuvat. Ehdot (42) voidaan kutistaa yhdeksi ehdoksi muotoon: (un)s = S(un). (44) Tämä bivektoriterminen konvergoi normin S = S 0 suhteen. Ongelmaksi jää näin ollen ainostaam bivektorin S valinta. 3.3 Säteilykentät Säiteilykentät ovat lyhyesti sanottuna kenttiä jotka kuljettavat energiaa maksimi nopeudella tyhjiössä. Tutkitaan nyt miten tällaisissa tapauksissa bivektori S tulisi valita. Voidaan osoittaa, että tasokentille ns. säteilyehto on F 2 = 0 F F = 0 ja F F = 0. (45) Nämä ehdot johtavat mittavan pyörityksen jälkeen seuraavanlaiseen ehtoon bivektorille: S 2 = 0 (46) Näin muodoin bivektoriksi S voidaan valita joko S = (u + n)m tai S = (u n)m, (47) jossa m on ortogonaalinen vektorien u ja n kanssa. 3.4 Sovelluksia Olkoon P = 1 (1 + un). Tällöin P ja 1 P ovat idempotentteja. Näitä 2 idempotentteja voidaan käyttää pulmallisen kentän pilkkomiseen yksinkertaisemmiksi osiksi. Katsotaan tästä esimerkki. Olkoon S bivektori joka ei ole muotoa (47). Kuitenkin kenttä voidaan esittää muodossa F (x) = exp(j(x u + (x n)un))s. 18

19 Esitetään nyt idempotenttien avulla kenttä muodossa jossa ehto (46) toteutuu. Merkitään k + = u + n ja k = u n ja kerrotaan kenttää termillä P + (1 P ), siis F (x) = exp(j(x u + (x n)un))(p + (1 P ))S = exp(j(x u + (x n)un))p S + exp(j(x u + (x n)un))(1 P )S = e j(x k +) P S + e j(x k ) (1 P )S Merkitään nyt S + = P S ja S = (1 P )S. Nämä puolestaan toteuttavat ehdon (46) S + 2 = S 2 = 0. Näin muodoin voimme lausua lausekkeen kahden säteilyehdon toteuttavan termin summana muodossa F (x) = e j(x k +) S + + e j(x k ) S. LÄHTEET: Kappaleessa 1. on lähteenä nettisivu: smaisnie/finnish/maxwell/rstpage.html Kappaleessa 2. on lähteenä: Lounesto:Cliord Algebras and Spinors kpl. 8 Kappaleessa 3. on lähteenä: Eriksson, Sirkka-Liisa Cliord algebras and potential theory : Proceedings of the Summer School held in Mekrijärvi, June 24-28, 2002 JoY. Department of Mathematics. Report series 19

Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa Katja Palomäki. Tervetuloa!

Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa Katja Palomäki. Tervetuloa! Sähkömagnetismin ymmärryksen kehityshistoriaa 6.4.2009 Katja Palomäki Tervetuloa! 1 Johdanto Esityksen tavoitteena on luoda yleiskatsaus tärkeimpiin sähkömagnetismin ymmärtämiseen vaikuttaneihin asioihin

Lisätiedot

4. Gaussin laki. (15.4)

4. Gaussin laki. (15.4) Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n :

1 Cli ordin algebra. Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : 1 Cli ordin algebra Cli ordin algebron tai geometristen algebrojen tarkoitus on määritellä geometrinen tulo vektoriavaruudessa esim avaruudessa R n : Joukossa R voidaan määritellä summa ja tulo. Myöskin

Lisätiedot

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio Sähkömagneettinen induktio Vuonna 1831 Michael Faraday huomasi jotakin, joka muuttaisi maailmaa: sähkömagneettisen induktion. ( Magneto-electricity ) M. Faraday (1791-1867) M.Faraday: Experimental researches

Lisätiedot

2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme

2. Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme . Geometrinen algebra dimensioissa kaksi ja kolme William Kingdon Cliord (1845-1879) esitteli geometrisen algebransa 1800- luvulla. Cliord yhdisti sisä- ja ulkotulot yhdeksi tuloksi, geometriseksi tuloksi.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Excursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006

Excursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006 Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta 2006 1 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään

F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään 31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen

Jakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/

Kuva 8.1 Suoran virrallisen johtimen magneettikenttä (A on tarkastelupiste). /1/ 8 SÄHKÖMAGNETISMI 8.1 Yleistä Magneettisuus on eräs luonnon ilmiö, joka on tunnettu jo kauan, ja varmasti jokaisella on omia kokemuksia magneeteista ja magneettisuudesta. Uudempi havainto (1820, Christian

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän

Magneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän 3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista?

Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? Magnetismi Mitä tiedämme magnetismista? 1. Magneettista monopolia ei ole. 2. Sähkövirta aiheuttaa magneettikentän. 3. Magneettikenttä kohdistaa voiman johtimeen, jossa kulkee sähkövirta. Magnetismi Miten

Lisätiedot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit

9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit 9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Johdatusta CLIFFORD-paketin käyttöön Maplessa

Johdatusta CLIFFORD-paketin käyttöön Maplessa Johdatusta CLIFFORD-paketin käyttöön Maplessa Heikki Orelma 4. maaliskuuta 2008 Sisältö 1 Lähtöasetelma 1 2 Perusteita 1 3 Cliordin algebrojen rakenteen tutkiminen 3 4 Cliordin tulo cmulnum-algoritmilla

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi

Fysiikka 7. Sähkömagnetismi Fysiikka 7 Sähkömagnetismi Magneetti Aineen magneettiset ominaisuudet ovat seurausta atomiydintä kiertävistä elektroneista (ytimen kiertäminen ja spin). Magneettinen vuorovaikutus Etävuorovaikutus Magneetilla

Lisätiedot

Jatkoa lineaarialgebrasta

Jatkoa lineaarialgebrasta Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN 766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio

Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Sähköstatiikka ja magnetismi Sähkömagneetinen induktio Antti Haarto.05.013 Magneettivuo Magneettivuo Φ on magneettivuon tiheyden B ja sen läpäisemän pinta-alavektorin A pistetulo Φ B A BAcosθ missä θ on

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA

ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA

Lisätiedot

Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama

Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama ESY Q16.2/2006/5 16.11.2006 Espoo Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 16.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot