Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen."

Transkriptio

1 Luku 1 Matematiikka Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. Matematiikan opetustilanteet järjestetään siten, että ne herättävät opiskelijan tekemään havaintojensa pohjalta kysymyksiä, oletuksia ja päätelmiä sekä perustelemaan niitä. Erityisesti opiskelijaa ohjataan hahmottamaan matemaattisten käsitteiden merkityksiä ja tunnistamaan, kuinka ne liittyvät laajempiin kokonaisuuksiin. Opiskelijaa myös kannustetaan kehittämään luovia ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. Opetuksessa tutkitaan matematiikan ja arkielämän välisiä yhteyksiä sekä tietoisesti käytetään eteen tulevia mahdollisuuksia opiskelijan persoonallisuuden kehittämiseen, mikä tarkoittaa muun muassa hänen kiinnostuksensa ohjaamista, kokeiluihin kannustamista sekä tiedonhankintaprosessien kehittämistä. Kurssikuvausten väljyyttä voidaan käyttää resurssien salliessa keskeisten sisältöjen syventämiseen ja eheyttävien kokonaisuuksien muodostamiseen. Työtapoina käytetään opettajajohtoista, itsenäistä ja ryhmätyöskentelyä. Tieto-

2 LUKU 1. MATEMATIIKKA 2 tekniikkaa ja laskimia hyödynnetään soveltuvin osin. Kansainvälisiä yhteistyöprojekteja voidaan hyödyntää matematiikan opetuksessa. Yhteistyöstä sovitaan yksityiskohtaisemmin koulukohtaisissa suunnitelmissa vuosittain. Yhteistyöprojektien tavoitteena on myös muiden oppiaineiden integrointi. 1.1 Arviointi Matematiikan opetuksessa arvioinnin tulee kehittää opiskelijan kykyä esittää ratkaisuja, tukea opiskelijaa matemaattisten käsitteiden muodostamisprosessissa ja arvioida kirjallista esitystä sekä opettaa opiskelijalle oman työnsä arvioimista. Osaamisen arvioinnissa kiinnitetään huomio laskutaitoon, menetelmien valintaan ja päätelmien täsmälliseen ja johdonmukaiseen perustelemiseen. Arviointiin vaikuttavat pääsääntöisesti tuntiaktiivisuus, harrastuneisuus ja kurssikoe. Kurssikokeen lisäksi tai asemasta arviointi voi perustua myös muuhun kurssin aikana esitettyyn näyttöön. Kurssin itsenäisestä suorituksesta neuvotellaan erikseen kurssikohtaisesti. 1.2 Oppimäärän vaihtaminen Matematiikan oppimäärää vaihdettaessa pitkästä lyhyeen suositellaan hyväksi lukemisessa seuraavia vastaavuuksia: MAA1 MAB1, MAA3 MAB2, MAA6 MAB5, MAA7 MAB4 ja MAA8 MAB3. Opetussuunnitelmassa voidaan määrätä myös lisänäyttöjä etenkin kurssin arvosanaa uudelleen arvioitaessa.

3 Luku 2 Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa. 2.1 Opetuksen tavoitteet Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn ja oppii sitä kautta luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa, rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen arviointiin, ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustele-

4 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4 maan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä, oppii ratkaisujen ja todistusten täsmällisen esitystavan, oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena ja ymmärtämään kokonaisuuksia, kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan, harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä, harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita, osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, teknisiä apuvälineitä ja tietolähteitä, saavuttaa jatko-opinnoissa (erityisesti teknisillä aloilla) tarvittavat valmiudet.

5 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Pakolliset kurssit Pakolliset kurssit tulee pääsääntöisesti suorittaa numerojärjestyksessä Funktiot ja yhtälöt (MAA1) vahvistaa yhtälön ratkaisemisen ja prosenttilaskennan taitojaan, syventää verrannollisuuden, neliöjuuren ja potenssin käsitteiden ymmärtämistään, tottuu käyttämään neliöjuuren ja potenssin laskusääntöjä, syventää funktiokäsitteen ymmärtämiseen tutkimalla potenssi- ja eksponenttifunktioita, oppii ratkaisemaan potenssiyhtälöitä, oppii laskimen peruskäytön. Potenssifunktio, potenssiyhtälön ratkaiseminen, juuret ja murtopotenssi, eksponenttifunktio Muita mahdollisia sisältöjä Lukujoukot, prosentti, lineaarisen yhtälön ratkaisu, verranto

6 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Polynomifunktiot (MAA2) harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita, oppii ratkaisemaan toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkimaan ratkaisujen lukumäärää, oppii ratkaisemaan korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua, oppii ratkaisemaan yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä, oppii soveltamaan käytäntöön polynomiyhtälöitä ja -epäyhtälöitä. Polynomien tulo ja binomikaavat, polynomifunktio, toisen ja korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, toisen asteen yhtälön juurten lukumäärän tutkiminen, toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin, polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

7 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Geometria (MAA3) harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa, harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita, ratkaisee geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa. Kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus, mittakaava, sini- ja kosinilause, ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria, kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien ja pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen Muita mahdollisia sisältöjä Geometrinen todistaminen

8 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Analyyttinen geometria (MAA4) ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille, ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja, syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä f(x) = a tai f(x) = g(x), vahvistaa yhtälöryhmän ratkaisemisen taitojaan. Pistejoukon yhtälö, suoran, ympyrän, ja paraabelin yhtälö, itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen, yhtälöpari ja sen sovelluksia, yhtälöryhmän ratkaiseminen, pisteen etäisyys suorasta Muita mahdollisia sisältöjä Kahden muuttujan epäyhtälön ja epäyhtälöryhmän ratkaisu, optimointi

9 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Vektorit (MAA5) ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin, oppii tutkimaan kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla, tutkii kaksi- ja kolmiulotteisten koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla. Vektorien perusominaisuudet, kantavektorit, vektorien yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla, koordinaatiston vektoreiden, skalaaritulo, vektorien välinen kulma, suorat ja tasot avaruudessa Muita mahdollisia sisältöjä Geometriset ja fysiikan sovelluksia

10 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) oppii havainnollistamaan diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia, arvioimaan tilastoja kriittisesti sekä määrittämään ja tulkitsemaan jakaumien tunnuslukuja, perehtyy kombinatorisiin menetelmiin, harjaantuu käyttämään laskimen tilastollisia ominaisuuksia, ymmärtää tilastojen merkityksen ilmiöiden kuvaamisessa ja sattuman vaikutuksen tapahtumiin, perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon sekä soveltamaan sitä, ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon sekä soveltamaan sitä, perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa. Diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma, jakauman tunnusluvut, klassinen ja tilastollinen todennäköisyys, kombinatoriikka, todennäköisyyksien laskusäännöt, diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma, diskreetin jakauman odotusarvo, normaalijakauma

11 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Derivaatta (MAA7) osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä, omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta, määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat, osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot, osaa määrittää rationaalifunktion suurimman ja pienimmän arvon sovellusongelmien yhteydessä, oppii soveltamaan derivaattaa käytäntöön. Rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö, funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta, polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen, polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen Muita mahdollisia sisältöjä Rationaalifunktioiden määrittely- ja arvojoukot, suoran kulmakertoimen ja nopeuden yhteys derivaattaan, korkeamman asteen derivaatat

12 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä, tutkii juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla, oppii yhdistetyn funktion derivaatan, tutkii aidosti monotonisen funktion käänteisfunktioita. Juurifunktiot ja -yhtälöt, eksponenttifunktiot ja -yhtälöt, logaritmifunktiot ja - yhtälöt, yhdistetyn funktion derivaatta, käänteisfunktio ja sen derivaatta, juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatta

13 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) oppii tutkimaan trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla, oppii ratkaisemaan sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sinf(x) = a tai sinf(x) = sing(x), osaa trigonometristen funktioiden yhteydet sin 2 x+cos 2 x = 1 ja tanx = sinx cosx, tutkii trigonometrisia funktioita derivaatan avulla, ymmärtää lukujonon käsitteen, oppii määrittelemään lukujonoja palautuskaavojen avulla, osaa ratkaista käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla. Suunnattu kulma ja radiaani, trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen, trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, trigonometristen funktioiden derivaatat, lukujono, rekursiivinen lukujono, aritmeettinen jono ja summa, geometrinen jono, summa Muita mahdollisia sisältöjä Yksinkertaisia trigonometrisia laskukaavoja, matemaattinen induktio

14 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Integraalilaskenta (MAA10) ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita, ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan, oppii määrittämään pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla, perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin. Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integraalifunktiot, määrätty integraali, pintaalan ja tilavuuden laskeminen Muita mahdollisia sisältöjä Tiheysfunktio ja kertymäfunktio

15 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Valtakunnalliset syventävät kurssit Lukuteoria ja logiikka (MAA11) Edellyttää kurssien MAA1 ja MAA2 sisältöjen hallintaa. oppii formalisoimaan väitelauseita ja tutkimaan niiden totuusarvoja totuustaulujen avulla, ymmärtää avoimen lauseen käsitteen ja oppii käyttämään kvanttoreita, oppii todistusperiaatteita ja harjoittelee todistamista, oppii lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin, osaa, tutkia kokonaislukujen jaollisuutta jakoyhtälön ja kokonaislukujen kongruenssin avulla osaa määrittää kokonaislukujen suurimman yhteisen tekijän Eukleideen algoritmilla. Lauseen formalisoiminen, lauseen totuusarvot, avoin lause, kvanttorit, suora, käänteinen ja ristiriitatodistus, kokonaislukujen jaollisuus ja jakoyhtälö, Eukleideen algoritmi, alkuluvut, aritmetiikan peruslause, kokonaislukujen kongruenssi

16 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 16 Muita mahdollisia sisältöjä Lukujärjestelmät

17 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä (MAA12) Edellyttää kurssin MAA7 sisältöjen hallintaa. oppii ymmärtämään absoluuttisen ja suhteellisen virheen käsitteet ja niiden avulla likiarvolaskujen tarkkuutta koskevat säännöt peruslaskutoimitusten tapauksessa, ymmärtää iteroinnin käsitteen ja oppii ratkaisemaan yhtälöitä numeerisesti, oppii tutkimaan polynomien jaollisuutta ja määrittämään polynomin tekijät, oppii algoritmista ajattelua, harjaantuu käyttämään nykyaikaisia matemaattisia välineitä, oppii määrittämään numeerisesti muutosnopeutta ja pinta-alaa. Absoluuttinen ja suhteellinen virhe, Newtonin menetelmä ja iterointi, polynomien jakoalgoritmi, polynomien jakoyhtälö, muutosnopeus ja pinta-ala

18 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi (MAA13) Edellyttää kaikkien pakollisten kurssien sisältöjen hallintaa. syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan, täydentää integraalilaskennan taitojaan ja soveltaa niitä muun muassa jatkuvien todennä-köisyysjakaumien tutkimiseen, tutkii lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia. Funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen, jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia, funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä, epäoleelliset integraalit Muita mahdollisia sisältöjä Murtofunktioiden asymptootit, kuvaajia, yksinkertaisia differentiaaliyhtälöitä

19 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Koulukohtaiset syventävät kurssit Kohti ylioppilaskirjoituksia 1 (MAA14) kertaa pakollisten kurssien keskeiset sisällöt, saa kokonaiskuvan pakollisten kurssien tarjoamista matemaattisista menetelmistä, saavuttaa menetelmällisen varmuuden erityyppisten ongelmien ratkaisemiseksi. Pakollisten kurssien ydinkohtien kertaus, vanhojen ylioppilastehtävien ratkaiseminen

20 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Talousmatematiikka (MAA16) Kurssi on sama kuin MAB7. oppii ymmärtämään talouselämässä käytettyjä käsitteitä, saa matemaattisia valmiuksia oman taloutensa suunnitteluun, saa laskennallisen pohjan yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun, soveltaa tilastollisia menetelmiä aineistojen käsittelyyn. Indeksi-, kustannus-, rahaliikenne-, laina-, verotus- ja muita laskelmia, taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja lukujonojen ja summien avulla Muita mahdollisia sisältöjä Prosenttikäsitteen syventäminen

21 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kompleksiluvut ja differentiaaliyhtälöt (MAA21) omaksuu kompleksilukujen algebralliset ominaisuudet, oppii käsittelemään kompleksilukulausekkeita, osaa ratkaista erityyppisiä yhtälöitä kompleksitasossa, oppii ratkaisemaan separoituvia ja 1. kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, osaa ratkaista differentiaaliyhtälöihin johtavia käytännön ongelmia, perehtyy vektorituloon ja skalaarikolmituloon, oppii käyttämään vektori- ja skalaarikolmituloa mm. pinta-alojen ja tilavuuksien määrityksissä. Kompleksiluvut tason pisteinä ja vektoreina, kompleksilukujen laskutoimitukset, liittoluku, yhtälöiden ratkaiseminen kompleksitasossa, separoituvat differentiaaliyhtälöt, 1. kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt, vektoritulo, skalaarikolmitulo

22 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Avaruusgeometria (MAA22) oppii määrittämään avaruuskulmia, tuntee tavanmukaiset kappaleet ja osaa määrittää niiden osien pituuksia, pinta-aloja ja tilavuuksia, perehtyy katkaistuun kartioon, pallosektoriin, pallosegmenttiin, kalottiin, vyöhykkeeseen ja Platonin monitahokkaisiin ja hallitsee niiden osien pituuksien, alojen ja tilavuuksien määrityksen, oppii ratkaisemaan avaruusgeometrisia ääriarvo-ongelmia. Kulma avaruudessa, katkaistu kartio, pallosektori ja -segmentti, kalotti ja vyöhyke, Platonin monitahokkaat, ääriarvotehtäviä avaruudessa

23 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Lineaarialgebra (MAA23) tuntee matriisin käytön numeerisen aineiston esitysmuotona, oppii matriisien peruslaskutoimitukset, hallitsee käänteismatriisin määrityksen, oppii ratkaisemaan yhtälöryhmiä Gaussin ja Gaussin-Jordanin menetelmillä, perehtyy vektoriavaruuden ja aliavaruuden käsitteisiin. Matriisien peruslaskutoimitukset, käänteismatriisi, Gaussin eliminointimenetelmä, Gaussin-Jordanin eliminointimenetelmä, vektoriavaruus ja aliavaruus

24 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Topologia (MAA24) Kurssi on tarkoitettu vain matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille. tutustuu reaalilukujen ja tason topologisiin perussuureisiin, omaksuu avoimen ja suljetun joukon sekä ympäristön käsitteet, oppii määrittämään reaaliluku- ja tason joukkojen sisä-, ulko- ja reunapisteitä sekä sulkeumia, sisäistää topologisen avaruuden yleistyksen, oppii topologisten perussuureiden määritelmät yleisissä topologisissa avaruuksissa. Topologinen avaruus, avoimet ja suljetut joukot, ympäristö, sisä-, ulko- ja reunapiste, sulkeuma, reaalilukujen topologiaa, tason topologiaa

25 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Algebra (MAA25) Kurssi on tarkoitettu vain matemaattis-luonnontieteellisen linjan opiskelijoille syventää funktio-käsitteen tuntemustaan algebrallisesta näkökulmasta relaatiokäsitteestä lähtien oppii tunnistamaan erityyppisiä funktioita (surjektio, injektio, bijektio) oppii vertaamaan äärettömien joukkojen kokoja omaksuu ryhmän ja renkaan käsitteet Relaatio, ekvivalenssirelaatio, funktio, surjektio, injektio, bijektio, mahtavuus, ryhmä, rengas

26 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Soveltavat kurssit Laskuharjoituskurssi 1 (MAA18) Pituus on puoli kurssia (kymmenen 75 minuutin oppituntia), toteutus kuukauden intensiivikurssina 1. jakson puolivälistä eteenpäin. Arvostellaan suoritusmerkinnällä. Kurssi on tarkoitettu lähinnä niille, joiden peruskoulun matematiikan arvosana on korkeintaan kahdeksan. kertaa keskeisiä peruskoulun matematiikan sisältöjä, saa paremmat valmiudet aloittaa lukion pitkän matematiikan opiskelu. Murtoluvut, potenssilaskenta, polynomit, muistikaavat, 1. asteen yhtälöt, prosenttilaskentaa

27 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Laskuharjoituskurssi 2 (MAA19) Kurssista annetaan suoritusmerkintä saa mahdollisuuden ohjattuun lisäharjoitteluun, kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitoaan harjaantuu käyttämään ja soveltamaan meneillään olevalla kurssilla esitettyjä matemaattisia menetelmiä Kursseihin Todennäköisyys ja tilastot, Derivaatta, Juuri- ja logaritmifunktiot, Trigonometriset funktiot ja lukujonot ja Integraalilaskenta liittyvien tehtävien ratkaiseminen

28 LUKU 2. MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Laskuharjoituskurssi 3 (MAA20) Kurssista annetaan suoritusmerkintä kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitoaan, perehtyy ylioppilastehtäviin, oppii käyttämään joustavasti erilaisia menetelmiä ongelmien ratkaisussa, kertaa ja saa kokonaiskuvan pakollisten kurssien sisältämistä menetelmistä. aikaisempien vuosien ylioppilastehtävien ratkaiseminen

29 Luku 3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa ja jatko-opinnoissa. 3.1 Opetuksen tavoitteet Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija osaa käyttää matematiikkaa jokapäiväisen elämän ja yhteiskunnallisen toiminnan apuvälineenä, saa myönteisiä oppimiskokemuksia matematiikan parissa työskennellessään ja oppii luottamaan omiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa, rohkaistuu kokeilevaan, tutkivaan ja keksivään oppimiseen, oppii yhteistyöhön muiden opiskelijoiden kanssa sekä itsenäiseen työskentelyyn, hankkii sellaisia matemaattisia tietoja, taitoja ja valmiuksia, jotka antavat riittävän pohjan jatko-opinnoille,

30 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ 30 oppii laskemisen perusrutiineja, sisäistää matematiikan merkityksen välineenä, jolla ilmiöitä voidaan kuvata, selittää ja mallintaa ja jota voidaan käyttää johtopäätösten tekemisessä, saa käsityksen matemaattisen tiedon luonteesta ja sen loogisesta rakenteesta, harjaantuu vastaanottamaan ja analysoimaan viestimien matemaattisessa muodossa tarjoamaa informaatioita ja arvioimaan sen luotettavuutta, oppii laskimen peruskäytön, tutustuu matematiikan merkitykseen kulttuurin kehityksessä, osaa hahmottaa tehtävän annosta ratkaisun kannalta olennaiset seikat, oppii käyttämään kuvioita, kaavioita ja malleja ajattelun apuna, sekä esittämään tehtävän ratkaisun.

31 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Pakolliset kurssit Lausekkeet ja yhtälöt (MAB1) harjaantuu käyttämään matematiikkaa jokapäiväisen elämän ongelmien ratkaisemisessa ja oppii luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, ymmärtää lineaarisen riippuvuuden, verrannollisuuden ja toisen asteen polynomifunktion käsitteet, vahvistaa yhtälöiden ratkaisemisen taitojaan ja oppii ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Suureiden välinen lineaarinen riippuvuus ja verrannollisuus, ongelmien muotoileminen yhtälöiksi, yhtälöiden graafinen ja algebrallinen ratkaiseminen, ratkaisujen tulkinta ja arvioiminen, toisen asteen polynomifunktio ja toisen asteen yhtälön ratkaiseminen Muita mahdollisia sisältöjä Prosenttilaskentaa, polynomien peruslaskutoimitukset, murtoluvut, potenssit

32 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Geometria (MAB2) harjaantuu tekemään havaintoja ja päätelmiä kuvioiden ja kappaleiden geometrisista ominaisuuksista, vahvistaa tasokuvioiden ja kolmiulotteisten kappaleiden kuvien piirtämisen taitojaan, osaa ratkaista käytännön ongelmia geometriaa hyväksi käyttäen. Kuvioiden yhdenmuotoisuus, mittakaava, suorakulmaisen kolmion trigonometria, Pythagoraan lause, kuvioiden ja kappaleiden pinta-alan ja tilavuuden määrittäminen, menetelmien käyttö geometrian koordinaatistossa Muita mahdollisia sisältöjä Yksikkömuunnoksia, taitojen soveltaminen käytännön ongelmissa

33 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Matemaattisia malleja I (MAB3) näkee reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaa niitä matemaattisilla malleilla, tottuu arvioimaan mallien hyvyyttä ja käyttökelpoisuutta. Lineaarisen ja eksponentiaalisen mallin soveltaminen sekä mallien kuvaajat, potenssiyhtälön ratkaiseminen, eksponenttiyhtälön ratkaiseminen logaritmin avulla Muita mahdollisia sisältöjä Suoran kulmakerroin ja yhtälö, epäyhtälö, yhtälöpari

34 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Matemaattinen analyysi (MAB4) tutkii funktion muutosnopeutta graafisin ja numeerisin menetelmin, ymmärtää derivaatan käsitteen muutosnopeuden mittana, osaa tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla, oppii sovellusten yhteydessä määrittämään polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon. Polynomifunktion derivaatta, polynomifunktion merkin ja kulun tutkiminen, paraabeli, polynomifunktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen, graafisia ja numeerisia menetelmiä Muita mahdollisia sisältöjä Tangentin kulmakerroin, kuvaajien tulkintaa, soveltavia tehtäviä

35 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Tilastot ja todennäköisyys (MAB5) harjaantuu käsittelemään ja tulkitsemaan tilastollisia aineistoja, tutustuu laskinten ja tietokoneiden käyttöön tilastotehtävissä, perehtyy todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Jatkuvien ja diskreettien tilastollisten jakaumien tunnuslukujen määrittäminen, diagrammit, normaalijakauma ja jakauman normittaminen, kombinatoriikkaa, todennäköisyyden käsite, todennäköisyyden laskulakien ja niitä havainnollistavien mallien käyttöä Muita mahdollisia sisältöjä Tilastollisen aineiston kokoaminen, käsitteleminen ja tulkitseminen, binomitodennäköisyys, laskimen käyttö

36 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Matemaattisia malleja II (MAB6) varmentaa ja täydentää yhtälöiden ratkaisutaitojaan, osaa ratkaista käytännön tilanteisiin liittyviä lineaarisia optimointitehtäviä, ymmärtää lukujonon käsitteen, ratkaisee käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja summan avulla. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt, lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen, kahden muuttujan epäyhtälön graafinen ratkaiseminen, lineaarinen optimointi, lukujono, aritmeettinen ja geometrinen jono ja summa Muita mahdollisia sisältöjä Yhtälöryhmät, soveltavat tehtävät

37 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Valtakunnalliset syventävät kurssit Talousmatematiikka (MAB7) oppii ymmärtämään talouselämässä käytettyjä käsitteitä, saa matemaattisia valmiuksia oman taloutensa suunnitteluun, saa laskennallisen pohjan yrittäjyyden ja taloustiedon opiskeluun, soveltaa tilastollisia menetelmiä aineistojen käsittelyyn. Indeksi-, kustannus-, rahaliikenne-, laina-, verotus- ja muita laskelmia, taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja lukujonojen ja summien avulla Muita mahdollisia sisältöjä Prosenttikäsitteen syventäminen

38 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Matemaattisia malleja III (MAB8) laajentaa käsitystään teknologisoituvassa yhteiskunnassa tarvittavasta matematiikasta, saa apuneuvoja jaksollisten ilmiöiden matemaattiseen käsittelyyn. Trigonometristen funktioiden määrittely yksikköympyrän avulla, radiaani, tyyppiä sinf(x) = a olevien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, muotoa f(x) = Asin(bx) olevien funktioiden kuvaajat jaksollisten ilmiöiden mallintajina, vektorin käsite ja vektoreiden peruslaskutoimitusten periaatteet, koordinaatiston vektoreiden komponenttiesitys ja skalaaritulo, kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteiden ja kulmien tutkiminen vektoreiden avulla Muita mahdollisia sisältöjä Sini- ja kosinilause

39 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Koulukohtaiset syventävät kurssit Kertauskurssi (MAB9) kertaa pakollisten kurssien keskeiset sisällöt, saa kokonaiskuvan kusseista ja matemaattisista menetelmistä, harjaantuu yo-kirjoituksiin. Prosenttilaskenta, yhtälöt ja epäyhtälöt, taso- ja avaruusgeometria, lineaarinen ja eksponentiaalinen malli, derivaatta ja sen sovellukset, lukujonot ja niiden sovellukset, tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan menetelmät

40 LUKU 3. MATEMATIIKAN LYHYT OPPIMÄÄRÄ Laskuharjoituskurssi (MAB10) Kurssista annetaan suoritusmerkintä saa mahdollisuuden ohjattuun lisäharjoitteluun, kehittää lasku- ja ongelmanratkaisutaitojaan. Kurssien ydinkohdat

MATEMATIIKKA. MAA Matematiikan pitkä oppimäärä

MATEMATIIKKA. MAA Matematiikan pitkä oppimäärä MATEMATIIKKA Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen

Lisätiedot

PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit

PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit 13 PITKÄ MATEMATIIKKA Suoritusohje: Pakolliset kurssit suoritetaan numerojärjestyksessä, poikkeuksena kurssi MAA6, jonka voi suorittaa jo kurssin MAA2 jälkeen. Syventävien kurssien suoritusjärjestys mainitaan

Lisätiedot

Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija

Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija 1 7.4. Matematiikka 7.4.1. Matematiikka, lyhyt oppimäärä Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen

Lisätiedot

Kurssit MAA1 MAA14 ja MAB1- MAB9 arvostellaan numeroarvosanalla Soveltava kurssi MAA 15 arvostellaan suoritettu / hylätty.

Kurssit MAA1 MAA14 ja MAB1- MAB9 arvostellaan numeroarvosanalla Soveltava kurssi MAA 15 arvostellaan suoritettu / hylätty. MATEMATIIKKA Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa.

MATEMATIIKKA Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. MATEMATIIKKA Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija matemaattisen

Lisätiedot

3. Lausekkeet ja yhtälöt (ma3) Keskeiset sisällöt polynomin käsite, polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolasku

3. Lausekkeet ja yhtälöt (ma3) Keskeiset sisällöt polynomin käsite, polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolasku 5.6 Matematiikka Perusopetus Opetuksen tavoitteet Matematiikan opetuksen tavoitteena on, että aikuisopiskelija oppii ymmärtämään matemaattisten käsitteiden ja sääntöjen merkityksen sekä oppii näkemään

Lisätiedot

3.6 Matematiikka. Esimerkkien ja sovellustehtävien avulla kestävän kehityksen näkökulma tulee esille kursseissa MAA6 ja MAA8 sekä MAB3 ja MAB5.

3.6 Matematiikka. Esimerkkien ja sovellustehtävien avulla kestävän kehityksen näkökulma tulee esille kursseissa MAA6 ja MAA8 sekä MAB3 ja MAB5. 3.6 Matematiikka Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa. Nykyisen huipputeknologian saavuttamisessa ja kehittämisessä

Lisätiedot

Matematiikka. Matematiikan pitkä oppimäärä. Pakolliset kurssit

Matematiikka. Matematiikan pitkä oppimäärä. Pakolliset kurssit Matematiikka Matematiikan pitkä oppimäärä Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa.

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

Matemaattis-luonnontieteellinen linja

Matemaattis-luonnontieteellinen linja Luku 1 Matemaattis-luonnontieteellinen linja Erikoislukiolinja on tarkoitettu lähinnä niille, joiden jatkosuunnitelmat edellyttävät matemaattis-luonnontieteellistä tietoa ja osaamista. Erikoislinjalla

Lisätiedot

Opiskelijan käsitys kielestä, teksteistä ja niiden tulkinnasta syvenee, ja hänen taitonsa lukea tekstejä

Opiskelijan käsitys kielestä, teksteistä ja niiden tulkinnasta syvenee, ja hänen taitonsa lukea tekstejä ÄIDINKIELI JA KIRJALLISUUS PAKOLLISET KURSSIT ÄI1 Kieli, tekstit ja vuorovaikutus Opiskelijan käsitys kielestä, teksteistä ja niiden tulkinnasta syvenee, ja hänen taitonsa lukea tekstejä kehittyy. Hän

Lisätiedot

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen 1 FYSIIKKA Fysiikan päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Merkitys, arvot ja asenteet T1 kannustaa ja innostaa oppilasta fysiikan opiskeluun T2 ohjata

Lisätiedot

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen

TUKIMATERIAALI: Arvosanan kahdeksan alle jäävä osaaminen KEMIA Kemian päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 ja niitä täydentävä tukimateriaali Opetuksen tavoite Merkitys, arvot ja asenteet T1 kannustaa ja innostaa oppilasta kemian opiskeluun T2 ohjata ja

Lisätiedot

MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9

MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 Oppiaineen tehtävä vuosiluokilla 7-9 Vuosiluokkien 7 9 matema ikan opetuksen tehtävänä on vahvistaa matemaa sta yleissivistystä. Opetuksessa syvennetään matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

Opetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille:

Opetusperiodi:I, suunnattu hakukohteille: Kurssin nimi ja koodi Muut kommentit MS-A0001 Matriisilaskenta 5 op (Matrisräkning, Kuvaus: kurssi Teknillinen fysiikka ja matematiikka käsittelee lineaarisia yhtälöryhmiä sekä vektoreita ja matriiseja

Lisätiedot

Luonnos pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi. Pitkän matematiikan pakollinen oppimäärä

Luonnos pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi. Pitkän matematiikan pakollinen oppimäärä Luonnos pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi 2016 Kaikille lukiolaisille yhteisen johdantokurssin sisältö on luonnoksessa määritelty varsin yksityiskohtaisesti. Kurssin on annettava realistinen kuva

Lisätiedot

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

arvioinnin kohde

arvioinnin kohde KEMIA 9-lk Merkitys, arvot ja asenteet T2 Oppilas tunnistaa omaa kemian osaamistaan, asettaa tavoitteita omalle työskentelylleen sekä työskentelee pitkäjänteisesti T3 Oppilas ymmärtää kemian osaamisen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 matemaattisissa aineissa Opetusneuvos Tiina Tähkä

Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 matemaattisissa aineissa Opetusneuvos Tiina Tähkä Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 matemaattisissa aineissa 14.11.2015 Opetusneuvos Tiina Tähkä MAHDOLLINEN KOULUKOHTAINEN OPS ja sen varaan rakentuva vuosisuunnitelma PAIKALLINEN OPETUSSUUNNITELMA

Lisätiedot

Ehdotus vuonna 2016 voimaan astuvaksi pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi

Ehdotus vuonna 2016 voimaan astuvaksi pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi Ehdotus vuonna 2016 voimaan astuvaksi pitkän matematiikan opetussuunnitelmaksi Yhteisen johdantokurssin on annettava realistinen kuva pitkän matematiikan sisältöjen käsitteellisyystasosta. Myös lyhyen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Lukiolaisen opas Sallan lukio (75 kurssia = lukiotutkinto)

Lukiolaisen opas Sallan lukio (75 kurssia = lukiotutkinto) Lukiolaisen opas Sallan lukio (75 kurssia = lukiotutkinto) Kurssien nimet 2016 2017 uusi OPS ÄIDINKIELI JA KIRJALLISUUS Äidinkieli ja kirjallisuus, suomi äidinkielenä 1. Tekstit ja vuorovaikutus (ÄI01)

Lisätiedot

arvioinnin kohde

arvioinnin kohde KEMIA 8-lk Merkitys, arvot ja asenteet T2 Oppilas asettaa itselleen tavoitteita sekä työskentelee pitkäjänteisesti. Oppilas kuvaamaan omaa osaamistaan. T3 Oppilas ymmärtää alkuaineiden ja niistä muodostuvien

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty )

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty ) MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 1-2 (päivitetty 16.12.2015) Merkitys, arvot ja asenteet T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

HYVÄ KALAJOEN LUKIOON AIKOVA

HYVÄ KALAJOEN LUKIOON AIKOVA 1 HYVÄ KALAJOEN LUKIOON AIKOVA Kalajoki on reilun 9000 asukkaan hiekkarantojen merikaupunki. Lukiossamme on noin 250 opiskelijaa Kalajoelta ja ympäristökunnista. Kalajoen lukio on turvallinen yleislukio,

Lisätiedot

Laaja-alaiseen osaamiseen liittyvät painotukset matematiikassa vuosiluokilla 1-9

Laaja-alaiseen osaamiseen liittyvät painotukset matematiikassa vuosiluokilla 1-9 Matematiikan tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle

Lisätiedot

LAHDEN RUDOLF STEINER KOULUN LUKION KURSSISISÄLLÖT

LAHDEN RUDOLF STEINER KOULUN LUKION KURSSISISÄLLÖT LAHDEN RUDOLF STEINER KOULUN LUKION KURSSISISÄLLÖT Äidinkieli Englanti A1 kieli Ruotsi B1 kieli Saksa B2 kieli Matematiikka Fysiikka Kemia Biologia Maantieto Uskonto Evankelis-luterilainen uskonto Ortodoksinen

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Matematiikka. Aineen kuvaus

Matematiikka. Aineen kuvaus Matematiikka Aineen kuvaus Matematiikkaa lähestytään peruskäsitteistä: määrä, muoto ja jatkuva muutos. Matematiikka sovelluksineen palvelee lähes kaikkia eri oppiaineita ja eri elämän- alueita. Matematiikan

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

7.6 Matematiikka. ympäristöään ja pohtii havaintojensa välisiä suhteita. Monet käytännön ongelmat ratkaistaan matemaattisesti.

7.6 Matematiikka. ympäristöään ja pohtii havaintojensa välisiä suhteita. Monet käytännön ongelmat ratkaistaan matemaattisesti. 7.6 Matematiikka M atematiikan opetuksen tehtävänä on tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden sekä yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimiseen.

Lisätiedot

Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma 2016 Kemia vuosiluokat 7-9

Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma 2016 Kemia vuosiluokat 7-9 2016 Kemia vuosiluokat 7-9 Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma Kemia vuosiluokat 7-9 Rauman normaalikoulun kemian opetuksen pohjana ovat perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden kemian opetuksen

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI

LUKUVUODEN E-KURSSI 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös

Lisätiedot

(KU) KUVATAIDE. Arviointi Numeroarviointi Erityistä Materiaalimaksu, pakollisten kurssien jälkeen. KU 4 Taiteen kuvista omiin kuviin

(KU) KUVATAIDE. Arviointi Numeroarviointi Erityistä Materiaalimaksu, pakollisten kurssien jälkeen. KU 4 Taiteen kuvista omiin kuviin (KU) KUVATAIDE KU 1 Minä, kuva ja kulttuuri pa vuositaso 1 Tavoitteet Opiskelija oppii ilmaisemaan itseään kuvataiteen keinoin ja tekemään omakohtaisia ratkaisuja työskentelyssään. Värin, tilan, muodon

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin.

OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin. Hyväksymismerkinnät 1 (6) OSAAMISEN ARVIOINTI ARVIOINTIKOHTEET JA OSAAMISTAVOITTEET OSAAMISEN HANKKIMINEN Arvioidaan suhteutettuna opiskelijan yksilöllisiin tavoitteisiin. Viestintä- ja vuorovaikutusosaaminen

Lisätiedot

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä MATEMATIIKKA JOENSUUN SEUDUN OPETUSSUUNNITELMASSA Merkitys, arvot ja asenteet Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen

Lisätiedot

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24

1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 SISÄLTÖ 1 MATEMAATTISIA VÄLINEITÄ TALOUSELÄMÄN ONGELMIIN 7 1.1 Algebran perusteita 8 Potenssit Juuret 15 Tuntematon ja muuttuja 20 Lausekkeen käsittely 24 1.2 Yhtälöitä 29 Epäyhtälö 30 Yhtälöpari 32 Toisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä 14.4.4 MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 7-9

MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 7-9 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 7-9 Oppiaineen tehtävä vuosiluokilla 7-9 Vuosiluokkien 7 9 matematiikan opetuksen tehtävänä on vahvistaa matemaattista yleissivistystä. Opetuksessa syvennetään matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa

Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tiina Karjalainen Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa Informaatiotieteiden yksikkö

Lisätiedot

SONKAJÄRVEN LUKIO LUKUVUOSI 2015-2016 OPPIKIRJAT. Kurssi Kirjan nimi Kust. ISBN

SONKAJÄRVEN LUKIO LUKUVUOSI 2015-2016 OPPIKIRJAT. Kurssi Kirjan nimi Kust. ISBN SONKAJÄRVEN LUKIO LUKUVUOSI 2015-2016 OPPIKIRJAT Kurssi Kirjan nimi Kust. ISBN ÄIDINKIELI Kurssit 1-10 Särmä: Suomen kieli ja kirj. Kielenhuolto O 978-951-1265863 Kurssit 1-10 Särmä: Suomen kieli ja kirjallisuus,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma 2016 Fysiikka vuosiluokat 7-9 KUVA PUUTTUU

Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma 2016 Fysiikka vuosiluokat 7-9 KUVA PUUTTUU 2016 Fysiikka vuosiluokat 7-9 KUVA PUUTTUU Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma Fysiikka vuosiluokat 7-9 Rauman normaalikoulun fysiikan opetuksen pohjana ovat perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

OPS-MUUTOSINFO

OPS-MUUTOSINFO 1 OPS-MUUTOSINFO 3.9.201 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma MUUTOKSEN TAUSTALLA 2 Oulun yliopiston strategia- ja rakennemuutokset Oulun yliopiston opetussuunnitelmatyön periaatteet o Opintojaksojen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

KURSSIVALINTAOPAS (UUSI OPS 2016)

KURSSIVALINTAOPAS (UUSI OPS 2016) RAUTJÄRVEN LUKIO KURSSIVALINTAOPAS (UUSI OPS 2016) TUNTIJAKO JA KURSSIKUVAUKSET ARVIOINTI- JA SUORITUSOHJEISTO LV. 2016-2017 L1 1 2 3 4 5 6 1. OPPIAINEEN LYHENNE 2. KURSSINUMERO 3. KURSSIN NIMI 4. PAKOLLINEN/SYVENTÄVÄ

Lisätiedot

Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma 2016 Matematiikka vuosiluokat 1-9

Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma 2016 Matematiikka vuosiluokat 1-9 2016 Matematiikka vuosiluokat 1-9 Rauman normaalikoulun opetussuunnitelma Matematiikka vuosiluokat 1-2 Rauman normaalikoulun matematiikan opetuksen pohjana ovat perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden

Lisätiedot

VANHA OPS. valtakunnalliset pakolliset ja syventävät. Hyvinvointi ja ihmissuhteet

VANHA OPS. valtakunnalliset pakolliset ja syventävät. Hyvinvointi ja ihmissuhteet ÄIDINKIELI JA KIRJALLISUUS ENGLANTI RUOTSI B3-KIELET kurssit: ÄIa8 + ÄIa1 osittain ÄaI5 osittain ÄIa2 ÄI1 Tekstit ja vuorovaikutus ENAa1 ENA1 ÄI2 ÄI3 Kieli, kulttuuri ja identiteetti Kirjallisuuden keinoja

Lisätiedot

Matematiikan opetuksen keskeiset tavoitteet yläkouluikäisten valmistavassa opetuksessa

Matematiikan opetuksen keskeiset tavoitteet yläkouluikäisten valmistavassa opetuksessa Matematiikan opetuksen keskeiset tavoitteet yläkouluikäisten valmistavassa opetuksessa Olemme valinneet opetussuunnitelman perusteiden 2014 tavoitteiden, sisältöjen ja hyvän osaamisen kuvausten pohjalta

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Tervolan lukio. Opinto-opas 2016 SÄILYTETTÄVÄ LUKIO-OPINTOJEN AJAN

Tervolan lukio. Opinto-opas 2016 SÄILYTETTÄVÄ LUKIO-OPINTOJEN AJAN Tervolan lukio Opinto-opas 2016 SÄILYTETTÄVÄ LUKIO-OPINTOJEN AJAN 1 1 YHTEYSTIEDOT... 4 2 TOIMINTA-AJATUS... 4 3 LUKIO-OPISKELU... 4 4 OPINTO-OHJELMA... 5 5 OPETUKSEEN OSALLISTUMINEN... 5 6 POISSAOLON

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

KURSSIVALINTAOPAS (UUSI OPS 2016)

KURSSIVALINTAOPAS (UUSI OPS 2016) RAUTJÄRVEN LUKIO KURSSIVALINTAOPAS (UUSI OPS 2016) TUNTIJAKO JA KURSSIKUVAUKSET ARVIOINTI- JA SUORITUSOHJEISTO LV. 2017-2018 L1-2 1 2 3 4 5 6 1. OPPIAINEEN LYHENNE 2. KURSSINUMERO 3. KURSSIN NIMI 4. PAKOLLINEN/SYVENTÄVÄ

Lisätiedot