OSA 3. KESKEISIMPIÄ MATEMAATTISIA KÄSITTEITÄ, TOIMINTAKAAVOJA JA APUVÄLINEITÄ

Transkriptio

1 OSA 3. KESKEISIMPIÄ MATEMAATTISIA KÄSITTEITÄ, TOIMINTAKAAVOJA JA APUVÄLINEITÄ 109

2 Laskimen käyttö peruslakutoimitusten ja erilaisten lausekkeiden laskemisessa 2 = SQR 2 = Nykyisin mekaaniset laskutoimitukset tehdään usein laskimella. Tämä ei kuitenkaan merkitse sitä, etteikö päässälasku- ja paperilla laskemisen taitoa tarvittaisi. Työssäsi ja muussakin arkielämässäsi sinun on erittäin tärkeää * tietää, missä järjestyksessä laskutoimitukset tehdään * osata arvioida laskutulosten suuruusluokka ja oikeellisuus * osata laskea laskimella ainakin tavallisimpia laskutoimituksia Desimaalilukujen tarkkuuksia ja pyöristyksiä käsitellään luvussa 2.2. Tässä luvussa tarakstelemme tärkeimpien laskutoimitusten mekaanista suorittamista laskimella.tehtävänäsi ei ole vastausten kirjaaminen, vaan laskimen käytön harjoittelu joten tee huolella tehtävät! Laskimesi mekaanisen käytön lisäksi - opit ongelman ratkaisua: joudut kokeilemaan, miten laskimesi toimii niin, että saat mallivastauksen. Jos epäilet toimiiko laskin ajattelemallasi tavalla, kokeile helpoilla luvuilla. Jos et pääse tulokseen n. 5 minuutissa, kysy neuvoa opettajalta. -opit laskurutiinia: laskimella harjoittelu vähentää virheitä. Tehtäviä kannattaa kerrata esimerkiksi kesäloman jälkeen, jos laskurutiini on päässyt huonontumaan. -tutustut erinlaisiin laskimiin: koska voit joutua laskemaan muillakin kuin omalla laskimellasi, on hyvä tutustua niidenkin toimintaperiaatteisiin.

3 Laskimet voidaan jakaa 3 ryhmään: 111 * nelilaskimissa on vain muisti ja neliöjuuri. Sinun on itse huolehdittava laskujärjestyksestä. * funktiolaskimissa on sulut, trigonometriset funktiot, potenssit juuret ym. Laskin huolehtii lukujärjestyksestä. * ohjelmoitavat laskimet toimivat tietokoneen tavoin, mutta niitä voidaan käyttää myös kuten funktiolaskimia Peruslaskutoimitukset Tavallisesti lasku näppäillään kuten se on kirjoitettu matemaattisesti. Poikkeuksena ovat ns. käänteisen puolalaisen logiikan laskimet, joissa luku syötetään koneeseen ENTER -näppäimellä. Jos joudut laskemaan sellaisella, tutustu laskimen käyttöohjeeseen. Tehtävissä on desimaalipilkun paikalla käytetty desimaalipistettä. Tehtävissä on yleensä valmis vastaus ja näppäin on kirjoitettu vahvennettuna, esim. + valmiin vastauksen erotat kursivoidusta muotoilusta, esim Harjoitustehtäviä = X = *.0575 = : : 2.80 =

4 : = x : 45 = : x 256 = = = x = x 5 = x : 3 = Huomioita laskujärjestyksestä Funktiolaskimeen voit yleensä kirjoittaa laskut merkityssä järjestyksessä. Saatat kuitenkin jotua seuraavanlaisen pulman eteen. Miten näppäilet x 8.50? Jos sait vastauksen , et ottanut huomioon sopimuksia laskujärjestyksestä! Kun jakomerkkinä käytetään kaksoispistettä ( : ), on lasku merkittävä jommalla kummalla seuraavalla tavalla: 355 : (10.3 x 8.50) 355 : 10.3 : 8.50 On suositeltavaa merkitä jaettava ja jakaja sulkuihin ja kirjoitaa ne myös esimerkkiin näkyviin. Näin osaat näppäillä oikein! Harjoitustehtäviä x 0.65 = ( ) = =

5 Jos unohdit sulut ja näppäilit =, laskit vahingossa laskun x = 1, * (30 x ) = Tottunut funktiolaskimen käyttäjä osaa näppäillä edellä olevan kaltaisia laskuja useallakin eri tavalla. Tehtävä 4 voidaan näppäillä esimerkiksi 30 * = * 6 = Laskimissa on riittävästi sisäkkäisiä sulkuja mutkikkaitakin laskuja varten. Ne saadaan käyttöön painamalla samaa sulkunäppäintä [(.. tai..)] peräkkäin riittävän monta kertaa. Nelilaskimissa sulkujen sisältö on laskettava ensin ja otettava muistiin. On suositeltavaa laskea paperille välituloksia: 5. 3 x ( ) + ( 4-1 ) : 2 = = ( ) = Nelilaskin vaatii hieman laskujärjestyksen suunnittelua: x 5 = ( ) - = Huom. Ei ole syytä merkitä esim. 12 : 3 x 4, vaan käyttää joko sulkuja tai jakoviivaa, jolloin sekaannuksen vaaraa ei ole. Totea laskimella erot!

6 Virheen korjaus Virran katkaisu saattaa laskimen perustilaan ja muistit nollautuvat. Automaattikatkaisu yleensä säilyttää muistin, jolloin esim. valuuttakurssisuhde pysyy ulkomaanmatkoilla muistissa. Koko laskutila tyhjennetään näppäimestä C (lear) tai AC (all lear) AC Näppäimillä CE, C (lear entry) tai CI (lear input) väärä luku poistuu edelliseen laskumerkkiin saakka. Uusimmissa laskimissa on myös viimeisen numeron korjaus <- tai -> (bak spae). Väärä laskutoimitus muuttuu toiseksi uudella laskutoimitusnäppäimen painalluksella. Esimerkiksi jos laskutoimituksessa 35 x 1.8 väärin näppäilty luku 2.8 halutaan korjata luvuksi 1.8, voidaan näppäillä seuraavasti: 35 * 2.8 CE 1.8 =. Huomaa, että vain yksi toiminto voidaan peruuttaa numeron syötön jälkeen. Laskutoimitus ei vaihdu Suuret ja pienet luvut kymmenen potenssien avulla Tieteislaskin pystyy käsittelemään myös lukuja joiden suuruus ylittää näyttöön mahtuvat 8 numeroa. Tämä tapahtuu kymmenen potenssien avulla ns. liukulukuina siten, että näytössä näkyy ns. mantissaosa (6 tai 8 numeroa) ja exponenttiosa eli suuruusluokan ilmoittava 10:n potenssi (2 numeroa). Esimerkki: = 27 x 10 5, joka näkyy näytössä seuraavasti: tai Samansuuruinen on myös luku tai Vaikka et itse käyttäisikään tätä ominaisuutta, laskin muuttaa tulostuksen tähän muotoon. Merkintä on siis syytä hallita, joten kokeilepa saatko seuraavasta laskutoimituksesta tulokseksi nollan: EXP EE EXP 6 = 0. EE 6 = 0.

7 Harjoitustehtäviä Laske laskimella: 0.65 x 10 5 x 22 x 10-3 = Laske laskimella: 163 x 10-3 : 748 x 10 6 = Kirjoita desimaalilukuina 1,75 x 10 5 ja 15 x Kirjoita liukulukuina luvut 0, ja Joissakin laskimissa on näppäin ENG, joka muuttaa 10 potenssin kolmella jaolliseksi (vrt. mittayksikön K, M, G, m, µ jne kertoimet fysiikassa) Muistin käyttäminen Jotta luku ei muuttuisi näppäilyvirheen ansiosta tai ettei laskutarkkuus heikkenisi lyhennetyn luvun takia, kannattaa opetella läyttämään laskimen muistia. Eri laskinmalleissa on eroja muistin (memory) merkinnässä. Keräilymuisti M+ lisää näytössä olevan luvun muistissa olevaan lukuun. Vastaavasti M- vähentää näytössä olevan luvun muistissa olevasta luvusta. Seuraavassa muutamia tavallisimpia näppäimiä ja niiden toimintoja: MR RM MC CM R/CM RCL (Read Memory): muistissa oleva luku tulee näyttöön (Clear Memory): Muistin tyhjennys RCL ovat edellisten yhdistelmä, jossa yksi painallus lukee muistia ja toinen tyhjentää sen. Jos erillistä muistin nollausnäppäintä ei ole, saadaan muisti poistetuksi syöttämällä muistiin luku nolla. Näppäimet x->m Min STO STO (storage) tyhjentävät muistin ja sijoittavat sinne näytössä olevan luvun, jolla voidaan laskea edelleen. Näppäimet x<->m EXC vaihtavat näytön ja muistin keskenään. Toinen painallus palauttaa tilanteen ennalleen. Mikään luku ei häviä.

8 116 Harjoitustehtäviä 1. Harjoittele ymmärtämään laskimesi muistin toimintaa seuraavasti. (i) Näppäile laskimeen luku 100 ja sen jälkeen X->M. Tällöin näyttöön ilmestyy muistia kuvaava merkki (totea!). (ii) Näppäile 3 x 4 =. Mikä luku ilmestyy näyttöön ja miksi? Vastaus:... (iii) Tyhjää näyttö painikkeella C ja paina sitten painiketta RM. Miksi luku 100 tulee näyttöön? Vastaus ja johtopäätöksesi: (iv) Kirjoita nyt näyttöön luku 13 ja paina painiketta M+. Mitä muistin sisällölle tapahtui ja miksi? Vastaus ja johtopäätöksesi: (v) Vähennä muistista luku 50 kirjoittamalla 50 +/- M+. Kun painat painiketta RM, niin mitä tapahtuu ja miksi? Vastaus ja johtopäätöksesi: (vi) Kirjoita sitten näyttöön luku 1000 ja paina painiketta X->M. Kun nyt tyhjennät näytön painikkeella C ja palautat näkyviin muistin sisällön painikkeella RM, niin mikä luku muistissa on nyt? Mitä näppäin X->M aiheutti muistin sisällölle? Vastaus ja johtopäätöksesi: (vii) Tyhjennä nyt näyttö ja suorita muistin tyhjennys seuraavasti: Paina painiketta X->M. Mitä se aiheuttaa ja miksi? Vastaus ja johtopäätöksesi: Tarkista tämä vastauksesi ja johtopäätöksesi paikkansapitävyys painamalla painiketta RM. Miksi näyttöön tuli nolla? Vastaus ja johtopäätöksesi:...

9 117 Katso edellisen aukeaman tiedoista, miten muuten olisit voinut tyhjentää muistin sisällön. Vastaus: Laske muistia käyttäen seuraavat tehtävät (muistin oltava tyhjä alussa). 5 * = M+ 7 * = M+ 14 * = M+ 19 * = M+ 2 * = M = M+ RM RM z z z z Mitä laskin laski? Vastaus: Laske muistia käytäen alla olevan taulukon puuttuvat arvot. liha maito juusto voi leipä salaatti määrä (kg) 5,18 6,40 2,15 1,25 5,82 3,17 yksikköhinta (mk / kg) 92,40 4,45 42,80 38,90 26,30 18,65 kokonaishinta ( mk ) YHTEENSÄ

10 Funktionäppäimet Funktionäppäimen painallus muuttaa näytössä olevan luvun x siihen vaikuttavan funktion arvoksi f(x). Muita laskutoimituksia ei tapahdu. Funktio f(x) voi olla potenssi, neliöjuuri, trigonometrinen funktio jne. Funktionäppäimillä on yleensä myös toinen toiminto. Tämä näppäimen yläpuolella oleva toiminto saadaan käyttöön painamalla ensin ns. vaihtonäppäintä Toimintanäppäimen ja vaihtonäppäimen symboleilla on sama väri (esim. musta tai ruskea). Tällaisia näppäimiä ovat 2nd (seond) vaihtonäppäin, toinen toiminto INV (inversio) eli toiminnan käänteistoiminta, so. peräkkäin toteutettuina f(x) ja INV f(x) jättävät luvun ennalleen. Esimerkkejä toistensa käänteistoiminnoista ovat mm. x y y x a x potenssi ja x 1/y x y juuri x 2 neliö ja x neliöjuuri sin os tan sin -1 os -1 tan -1 Tärkeitä toimintoja ovat myös +/- etumerkin vaihto 1/x käänteisluku +/- 1/x x<->y tan trigonometriset funktiot ja -1 arusfunktiot laskujärjestyksen vaihto (x:y ---> y:x ja x-y --->y-x) Esim. Rinnan kytkettyjen 50, 30 ja 20 ohmin vastusten aiheuttama yhteisvastus x lasketaan kaa- valla = x Tällöin x kannattaa laskea näppäilemällä 50 1/x /x /x = 1/x

11 Harjoitustehtäviä 119 Kokeile em. funktioiden toimivuutta helpoilla luvuilla = = = = = 5 Huom. potenssi ja juuri voi olla myös murto tai desimaalilukuja: 6. 2 x y x y 3 = x y ( 3 : 2 ) = / 4 4 1/x = = = / /132 = sin 30 o (*) Painamalla = -näppäintä toisen kerran, laskin toistaa edellisen laskutoimituksen. Esimerkiksi = = = 7. Yleensä jälkimmäinen kirjoittamasi luku jää jatkuvasti laskettavaksi. Jos et saa laskimellasi yllä olevaa tulosta, on = -näppäin luultavasti varmistettu (virhepainalluksen tai näppäimen huonon kosketuksen varalta). Tutustu tällöin koneen käyttöohjeisiin koneen saattamiseksi kestolaskutilaan. Harjoittele tällaista ns. jatkuvan laskemistavan käyttöä tutuilla laskutoimituksilla ja pienillä luvuilla. (*) (Huom. merkitty lauseke ilmoittaa jyvien määrän legendaarisessa shakkipelin keksijän palkkaprobleemassa tai yhtä legendaarisessa Hanoin-torni-probleemassa. Pohdi tulosta!)

12 Desimaalilukujen tarkkuus ja laadunmuunnokset Työssä ja muussakin arkielämässä desimaaliluvut esiintyvät mittaamisen yhteydessä. Mittaamiseen taas liittyy oleellisesti tarkkuus ja tuloksen ilmoittamisen mielekkyys. Seuraavilla tehtävillä voit testata aluksi sitä, kuinka hyvin hallitset ennestään nämä desimaalilukuihin liittyvät perusasiat. Tehtävä 1. Mittaa tavallisen A4-paperiarkin pidempi sivu seuraavilla mitoilla a) 1 metrin mitalla, jossa ei ole lainkaan asteikkoa b) 1.0 metrin mitalla, jossa on asteikko desimetrin välein ) 1.00 metrin mitalla, jossa on asteikko senttimetrin välein d) metrin mitalla, jossa on asteikko millimetrin välein. Täydennä seuraava taulukko: mitta mittaustulos mitassa oleva tarkkuus muita huomioita 1 m 1.0 m 1.00 m m

13 121 Tehtävä 2. Jos arkin lyhyempi sivu on mitattu ainoastaan 1 metrin mitalla, niin mikä on pitemmän ja lyhemmän sivun erotus? Tehtävä 3. Mittaa pulpettisi tai työpöytäsi kansi vastaavilla mitoilla ja ilmoita mittaustulokset. Mikäli vastasit tehtäviin väärin, on sinun syytä opiskella huolella tässä kappaleessa esitetyt asiat, sillä ammatissasi on hallittava mittaamiseen ja mittaustarkkuuteen liittyvät kysymykset. Huomioi seuraavat tärkeät seikat: 1. Mieti, millaiseen mittaustarkkuuteen on järkevää pyrkiä 2. Valitse mitta ja ota huomioon, millä tarkkuudella voit lukea tuloksen 3. Voit lukea mitasta vain mitassa ilmoitetulla tarkkuudella! 4. Mieti, millaista laatua käytetään tulosta ilmoitettaessa Mittauksen tuloksena on lähes aina desimaaliluku, johon liittyymitattavaa suuretta kuvaava laatu. Nykyisin on syytä pyrkiä käyttämään ns. SI-järjestelmän yksiköitä. Opettele huolella käyttämään seuraavan taulukon kaikkia lyhenteitä ja opettele ilmoittamaan mahdollisimman monella eri tavalla kaikki taulukossa esiintyvä tieto! Voit käyttää joko desimaalipilkkua tai -pistettä. MEGA mitassa on yhden millimetrin tarkkuus mitassa on yhden senttimetrin tarkkuus KILO mitassa on yhden desimetrin tarkkuus 0.3 m 0.30 m m tai tai tai 3 dm 30 m 297 mm mitassa on vain yhden metrin tarkkuus! mitassa oleva tarkkuus mittaustulos 0 m Perusyks. desi enti milli Tehtävän 2 vastaus: nolla, koska molempien pituus on metrin tarkkuudella sama! Tehtävän 1 vastaus ohessa. mikro M k d m µ m 1.0 m 1.00 m m mitta

14 122 Esimerkiksi metallimies käyttää yleisimmin millimetrejä ja erittäin pienissä mitoissa mikrometrejä. Kymmenen potenssit ovat käteviä! Olet ehkä kuullut puhuttavan merkitsevistä ja merkitsemättömistä numeroista. Näitä hankalia käsitteitä tarvitset vasta desimaalilukujen kerto- ja jakolaskuissa, kuten tämän kappaleen lopuksi näet. Opettele sen sijaan seuraava tärkeä ja yksinkertainen periaate: Jokainen numero merkitsee luvussa täsmälleen sitä, mitä sen on määritelmän mukaisesti sovittu merkitsevän kussakin paikassa! Opettele seuraavat rutiinit luvun tarkkuuden ilmoittamiseksi (esim. 15,682): Tapaus 1. Jos on ilmoitettava paljaan desimaaliluvun tarkkuus, onluontevinta käyttää seuraavia tapoja: a) luku 15,862 on esitetty kolmen desimaalin tarkkuudella b) luku 15,862 on esitetty tuhannesosien tarkkuudella ) luku 15,862 on esitetty millien tarkkuudella Tapaus 2. Jos on ilmoitettava mittaustuloksen 15,862 tarkkuus, on siihen ilman muuta liitettävä myös laatu. Tällöin seuraavat ilmaukset ovat luontevimpia: a) 15,862 m on esitetty millimetrien tarkkuudella b) 15,862 m on esitetty tuhannesosametrien tarkkuudella Emme edes houkuttele merkitsevien numeroiden käyttämiseen! ONGELMA 1 (yleismalli). Millaisen tarkkuuden ilmoitat, mikäli joudun laskemaan eri tarkkuudella ilmoitetuilla luvuilla? Ongelman analyysi (yleismalli): Oletko mitannut itse vai onko mitat annettu valmiina? Onko mittavälineet ja laadut valittu oikein? Esiintyykö siitä huolimatta erilaisia tarkkuuksia? Millaisia tarkkuuksia laskimeen tai tietokoneeseen on syytä syöttää? Millaisella tarkkuudella laskimen tai tietokoneen antama tulos on luotettava? Miten arvioin tuloksen suuruusluokan ja järkevyyden? Onko pelkkä arviointi järkevin tapa ratkaista ongelma? Ratkaisu (yleismalli): 1. Arvioi, mittaustapa ja mahdolliset tarkkuudet 2. Arvioi, käytettävät laskutoimitukset ja laskukoneen antaman tuloksen suuruusluokka ( käytä 10:n potensseja!) 3. Arvioi, miten tarkkoja lukuja syötät koneeseen

15 4. Tee laskutoimitukset Ota tulokseesi mukaan vain se tarkkuus, joka on epätarkimmassa suureessa 6. Vertaa koneen antamaa tulosta kohdan 2. arviointitulokseen 7. Palaa epäselvässä tapauksessa uudelleen kohtaan 1. ONGELMA 2. Missä käytännön elämään tai työhön liittyvässä tilanteessa voisi esiintyä laskutoimitus 3 + 0,12 + 0,065? Ongelman analyysi: Lukujen tarkkuudet vaihtelevat nollasta desimaalista kolmeen desimaaliin. Jos jotain on mitattu, on se tapahtunut erittäin huolimattomasti tai suurempaa tarkkuutta ei jostain syystä ole voitu käyttää. Tilanne vastaa sitä, että kilometrin tarkkuudella mitattuun koulumatkaan lisättäisiin kymmenen metrin tarkkuudella mitattu 120 m:n sekä metrin tarkkuudella mitattu 65 m:n matka. Tai toinen esimerkki: noin kolmen metrin mittaisen maton päähän asetetaan 12 m:n pituinen kynä ja 65 mm:n pituinen viivotin. Ratkaisu: Ei ole syytä laskea yhteen, sillä tulos joka tapauksessa on noin kolme metriä! Ratkaisun tulkinta : Onko siis peruskoulun matematiikan kirjoissa laskettu vääränlaisia tehtäviä ja opittu tarkkuuskäsite väärin? Edellä esitetty tehtävä on järkevässä muodossa 3, , ,065. Tällöin myös vastaus (3,185) on ilmoitettavissa kolmen desimaalin tarkkuudella. Tehtävässä olisi toki syytä olla myös laadut! ONGELMA 3. Voiko 1 km:n pituisen matkan ilmoittaa metreinä? Ongelman analyysi: Ilmauksessa 1 km on selvästikin vain 1 kilometrin tarkkuus. Tarkkuutta ei voi itse lisätä, joten ratkaisu on: Ei voi! 1 km on noin 1000 m (huomaa, että ei ole mielekästä kirjoittaa: 1 km = n m, sillä se tulisi lukea on yhtä suuri kuin noin 1000 m!) Ratkaisun tulkinta: Jotta vastaus ongelman kysymykseen olisi myönteinen, jo ongelmanasettelussa olisi oltava 1 metrin tarkkuus. Ongelma kuuluisi tällöin: " Voiko 1,000 km:n pituisen matkan ilmoittaa metrinä?" Mittaukseen ja tarkkuuteen liittyviä kysymyksiä käsitellään kirjan osassa 2 varsinaisten ammattialan ongelmien yhteydessä. Tee kuitenkin seuraavat harjoitustehtävät.

16 124 Harjoitustehtäviä Tehtävä 1. Yhdistä samaa lukua tarkoittavat eri ilmaukset. kuvallisesti sanallisesti lukuna 42,5 5,0 0,425 nolla kokonaista neljä kymmenesosaa neljä kokonaista kaksi kymmenesosaa neljäkymmentäkaksi sadasosaa neljäkymmentäkaksi kokonaista neljäkymmentäkaksi kokoinaista seitsemän kymmenesosaa neljäsataa kaksikymmentäseitsemän tuhannesosaa 4,2 0,427 0,4 0,42 42,7 42,0 42,0 5,0 0,40 0,30 0,20 0,10 0,420 neljä kokonaista kaksikymmentä sadasosaa neljä kymmenesosaa nolla kokonaista neljäsataakaksikymmentäseitsemän tuhannesosaa neljä kokonaista kaksikymmentäseitsemän sadasosaa luvussa on kymmenesosien tarkkuus luvussa on sadasosien tarkkuus 4,27 4,20 n. 4 / 10 n. 42 / 100 n. 427 / 100 n. 427 / 1000 luvussa on tuhannesosien tarkkuus

17 Tehtävä 2. Täydennä taulukkoon luvut ja sanalliset ilmaukset. 125 kuvallisesti sanallisesti lukuna 0,30 0,20 0,10 37,0 35,0 33,0 0,365 5,0 4,0 3,0 2,0 0,360 1,0

18 126 Tehtävä 3. Ilmaise kukin sanallinen ilmaisu eri tavalla, kirjoita se lukuna ja ilmoita vielä luvun tarkkuus. sanallisesti sanallisesti lukuna tarkkuus (d, vai m?) kaksikymmentäviisi senttiä neljä milliä seitsemäntoista senttiä kuusi kokonaista yhdeksän tuhannesosaa viisi kokonaista kaksitoista sadasosaa kaksi kokonaista kuusi desiä kolme senttiä kaksikymmentäkolme milliä kahdeksan kokonaista kuusi sadasosaa luvussa on senttejä neljä, desejä yksi ja millejä kuusi kaksikymmentä desiä kuusisataa senttiä viisituhatta milliä

19 127 Tehtävä 4. Ratkaise, kumpi taulukon luvuista A ja B on suurempi ja laske erotus. A B suurempi erotus 0,3 0,8 0,07 0,05 0,004 0,009 0,36 0,31 0,937 0,973 0,369 0,362 0,9 1,0 0,60 0,608 0,4 0,41 ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi! 0,3 0,07 0,9 1 0,059 0,06 ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi! Tehtävä 5. Laske lukujen A ja B summat. A B summa 0,3 0,8 0,07 0,05 0,004 0,009 0,36 0,31 0,937 0,973 0,369 0,362 0,9 1,0 0,60 0,608 0,4 0,41 0,3 0,07 0,9 1 0,059 0,06 ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi! ei voi laskea tarkasti! Arvioi!

20 128 Tehtävä 6. Esitä luvut vaaditulla tarkkuudella. Ellei se ole mielestäsi mahdollista, kirjoita X. kokonaisosien tarkkuus desien tarkkuus senttien tarkkuus millien tarkkuus 0,9 3,98 0,608 seitsemäntoista sadasosaa 15,099 0,369 kaksikymmentäviisi tuhannesosaa 0, ,987 viisisataakolmekymmentäkaksi tuhannesosaa 0,059 neljäkymmentäyhdeksän

21 129 Tehtävä 7. Pohdi yhdessä oppilastoveriesi ja opettajasi kanssa, millaisella mitalla ja kuinka tarkasti mikin kohde on tarkoituksenmukaisinta mitata. Täydennä taulukko. Mitattava kohde Mittaväline Millaiseen tarkkuuteen pyrit? Kommentit pulpettisi tai työpöytäsi kansi teräksinen tiskipöydän kansi sorvattavan kappaleen halkaisija kirjan sivulla olevan rivin leveys tiskipöydän kannen paino metalliruuvin halkaisija harjaterästangon pituus maalattavan peltikaton mitat hitsauspullon tilavuus kirjan paksuus galvanikerroksen paksuus yskänlääkkeen annostus

22 130 Tehtävä 8. Kirjoita taulukossa oleva mittaustulos vaadittua etuliitettä käyttäen. Jos se ei ole mahdollista, niin kirjoita X (ks. esimerkki!). Kiloina deseinä sentteinä milleinä sopivin tapa 620 m X 3,570 m 0, m seitsemäntoista senttilitraa km 62.0 dm 620 m 6,20 m 15,099 kg km tuhatkuusitoista senttimetriä 0,987 1 m mm viisisataakolmetoista tuhannesosagrammaa 17536, 210 mg sataneljätoista senttilitraa

23 Tehtävä a) Päättele alla olevan kaavion mukaisesti se, miten desimaaliluku kerrotaan desimaaliluvulla. b) Päättele tämä laskusääntä myös seuraavalla sivulla olevan kuvion avulla. Lasken laskimella: 1.4 x x 1.2 =? Kerron allekkain: (pilkuista aluksi välittämättä) Lasken murtolukujen avulla: 1.4 x 1.2 = = X = Tulos: Tulos: Muunnan desimaaliluvuksi: Päätelmäni: Voin kertoa desimaaliluvun desimaaliluvulla seuraavasti: Ensin: Sitten: Kerron ensin...välittämättä Erotan sitten luvun lopusta yhtä monta... kuin kerrottavissa luvuissa on... Harjoituksia: a) 0,6 x 0,1 b) 0,5 x 0,07 ) 0,4 x 0,25 d) 0,3 x 0,009 e) 0,2 x 0,025 f) 0,6 x 0,150 g) 0,1 x 0,1 h) 0,01 x 0,1 i) 0,001 x 0,1

24 132 Kertominen mallikuvan avulla: 1.4 = = 1.2 kokonaisosia 1 kpl kymmenesosia 2 kpl sadasosia 8 kpl YHTEENSÄ: kymenesosia 4 kpl Ilmoitamme kuitenkin vastaukseksi 1,7. Tämä näkyy kuviosta seuraavasti: 1. Molemmissa kerrottavassa luvussa on ainoastaan yhden kymmenesosan tarkkuus 2. Tulos voidaan tulkita pinta-alana, jossa on yhden sadasosan tarkkuus 3. Päättelemme mallikuvasta, että näin suuri tarkkuus pinta-alassa on täysin luonnoton 4. Kuvion perusteella on luontevaa pyöristää pinta-ala samaan tarkkuuteen kuin kerrottavat luvut, siis yhden kymmenesosan tarkkuuteen

25 133 Tehtävä 10. Aseta alla olevat desimaaliluvut suuruusjärjestykseen ja kirjoita kunkin luvun alle vastaava kirjain. Jos kahden luvun suuruusjärjestystä ei voi päätellä, kirjoita molempien lukujen alle sama kirjain. Keksi jokin luku, joka sopii pienimmäksi tai toiseksi pienimmäksi luvuksi ja mieti, mikä on siihen liittyvä kirjain! 0,8 A 0,5 S 1,6 M 0,69 I 0,44 1 K 0,08 U 0,74 L Suurin luku Pienin luku Tehtävä 11. Ihmisellä on päässään keskimäärin hiusta. Jos hius kasvaa keskimäärin 3 mm viikossa, niin kuinka paljon hiusta yhteensä kasvaa keskimäärin ihmisen päässä yhden päivän aikana? Arvioi tuloksesi tarkkuutta!

26 134 Tehtävä 12. Öljytankkerista valui mereen kuutiota raakaöljyä, joka muodosti n. 40 km pitkän ja 15 km leveän öljylautan. Kuinka paksu öljylautta oli? Tehtävä 13. SECURITY CODE Autoradion turvakoodi toimii siten, että mikäli varas syöttää väärän turvakoodin, kestää 1,20 minuuttia ennen kuin hän voi yrittää uutta koodia. Jokaisen väärän yrityksen jälkeen tämä aika kaksinkertaistuu. Montakokertaa hän voi yrittää yhden vuorokauden aikana? Kuinka kauan hän tarvitsisi löytääkseen varmasti oikean 4-numeroisen koodin? Tehtävä 14. Shakkipelin keksi eräs matemaatikko maansa hallitsijan toivomuksesta. Tarun mukaan hallitsija oli peliin niin tyytyväinen, että hän antoi keksijälle vapaat kädet määrätä palkkionsa. Keksijä määräsi ilmoitti hallitsijalle: "Haluan sellaisen jyvämäärän vehnänjyviä kuin tulee laskettaessa yhteen ensimmäiseltä shakkipelin ruudulta yksi jyvä, toiselta kaksi, kolmannelta neljä, neljänneltä kahdeksan, jne. kunnes viimeisen 64. ruudun jyvämääräkin on laskettu yhteen." Hallitsija nauroi keksijän palkkion vähäpätöisyyttä ja antoi alaisilleen määräyksen ryhtyä toteuttamaan keksijän toivomusta. Kun jyvämäärää ryhdyttiin laskemaan, niin koettiin melkoinen yllätys! Totea tämä menettelemällä seuraavasti: 1. Päättele alla olevan taulukon avulla 64. ruudulta tulevien jyvien määrä. 2. Laske sitten tämä jyvämäärä laskimellasi. 3. Päättele taulukosta kaikkien jyvien yhteismäärä ja laske sekin laskimellasi. 4. Arvioi, montako jyvää menee yhteen desilitraan ja arvioi sitten laskemasi jyvämäärä sopivaksi katsomaasi tilavuusyksikköä käyttäen. 5. Kuinka korkea tasainen jyväkasa muodostuisi Suomen kokoiselle alueelle? ruutu jyvien määrä kertolaskuna jyvien määrä potensseina jyviä (kpl) jyvien määrä "tähän mennessä" 5 6 N 64

27 Voit suoritta seuraavan testin ennen jakson opiskelua (diagnostisena) tai opiskeltuasi ensin jakson (formatiivisena) 1. Yhdistä samaa tarkoittavat viivalla. 0,016 0,16 0, Yhdistä samaa tarkoittavat viivalla. 3. Yhdistä samaa tarkoittavat viivalla. kolmekymmentäviisi tuhannesosaa kokonaisten määrä on nolla ja sadasosien määrä kuusitoista nolla kokonaista kuusi sadasosaa ja yksi tuhannesosa nolla kokonaista, kuusitoista tuhannesosaa kokonaisia on nolla ja kymmenesosia on kuusitoista nolla kokonaista satakuusikymmentä sadasosaa sadasosien määrä on kolmekymmentäviisi sadasosien määrä on kolme ja tuhannesosien määrä viisi 0,060 0,06 0,6 kolme kymmenesosaa ja viisi sadasosaa kolme kokonaista ja viisi sadasosaa tuhannesosia on viisi kappaletta ja sadasosia kolme kappaletta kolmekymmentäviisi kappaletta kymmenesosia kolme kymmenesosaa ja viisi sadasosaa 0

28 0 4. Yhdistä samaa tarkoittavat viivalla. 0,07 7,0 0,7 0,70 0,700 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 5. Yhdistä mittarit, joissa on sama desimaaliluku ja tarkkuus. 2,70 2,50 0,20 2,90 3,00 0,25 0,30 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,260 0,270 0,280 0,290 0,300 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 2,2 2,1 2,0 3,0 2,9 2,

29 0 6. Yhdistä samaa tarkoittavat viivalla. 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 0,010 0,011 1,0 2,0 5,0 sata viisikymmentä tuhannesosaa kokonaisia on yksi ja kymmenesosia viisi viisitoista tuhannesosaa yksi kokonainen ja viisi sadasosaa kokonaisten lukumäärä on nolla ja kymmenesosien viisitoista 7. Kirjoita mittarissa oleva luku niin monella eri tavalla kuin osaat. 1,00 1,10 1,50 1. tapa 2. tapa 3. tapa 4. tapa 5.tapa 8. Piirrä mittariin viisari, joka osoittaa samaa lukemaa kuin viivain. 0,25 0,10 0,50 0,20 0,30

30 0 9. Merkitse mittarin osoittama lukema desimaalilukuna. 1,00 1,10 1,50 Vastaus: 10. Kirjoita 0,537 sanallisesti niin monella eri tavalla kuin osaat. 1. tapa 2. tapa 3. tapa 4. tapa 5. tapa 11. Väritä mittariin desimaaliluku 0,36. 0,00 0, Kirjoita sanallisesti niin monella eri tavalla kuin osaat yksi kokonainen yhdeksäntoista tuhannesosaa. 1. tapa 2. tapa 3. tapa 4. tapa 5. tapa

31 13. Valitse oikea mitta ja väritä siitä nolla kokonaista kaksikymmentäyksi sadasosaa" 0 1,0 2,0 3,0 4,0 0,10 0,20 0,30 0, Kirjoita (numeroin) seuraavat desimaaliluvut: a) nolla kokonaista viisitoista sadasosaa : 5,0 0,50 0,000 0,100 0,500 b) kokonaisten määrä on kaksi ja kymmenesosien määrä neljä : ) kokonaisia on nolla ja tuhannesosia kuusikymmentäkolme : d) sadasosien määrä on kaksitoista : 15. a) Muuta seuraavat desimaaliluvut murtoluvuiksi 0,05 = 0,4 = 0,072 = b) Muuta seuraavat murtoluvut desimaaliluvuiksi = = 7 10 =

32 0 16. Aseta luvut 0,170, 0,07 ja 0,7 suuruusjärjestykseen. < < PIENIN SUURIN Perustelusi: 17. Oheisilla viivoittimilla mitattiin saman kansion leveys ja saatiin mittaustulokset 0,4m ja 0,37m. Onko jompikumpi mittaustuloksista suurempi? 0,1 0,2 0,3 0,4 0,10 0,20 0,30 0,40 0,5 0,50 Vastaus: 18. Jaanan kaulakorussa oli 5,16 g kultaa ja 1,29 g hopeaa. a) Paljonko Jaanan koru painoi? b) Paljonko siinä oli kultaa enemmän kuin hopeaa? 19. Pururadan pituus on 1,250 km. Pekka juoksi sen tällä viikolla 6 kertaa. Kuinka paljon hän juoksi yhteensä?

33 20. Kuusi tyttöä tasasi keskenään 26,52 markkaa. Kuinka paljon kukin sai? Sami osti jauhelihaa 1,2 kg. Jauheliha maksoi 39,70 mk/kg. Kuinka paljon tämä liha maksoi? 22. Anne osti appelsiineja 4,5 kg ja maksoi niistä yhteensä 14,40 mk. Mikä oli appelsiinien kilohinta? 23. Millä tarkkuudella seuraavat desimaaliluvut on ilmoitettu? LUKU Mikä on tarkkuus? 0,709 0,079 0,79 7, Millä tarkkuudella seuraavat mittaustulokset on ilmoitettu? Mittaus Mikä on tarkkuus? 0,206 m 0,026 m 0,26 m 2,6 m 26 m

34 0 25. Ilmoita annetut luvut sillä tarkkuudella, joka on taulukkoon merkitty. Ellei se ole mielestäsi mahdollista, niin kirjoita rasti (X). Esitä tämä luku vaaditulla tarkkuudella. Jos et voi, kirjoita X kokonaisosien tarkkuus kymmenesosien tarkkuus sadasosien tarkkuus tuhannesosien tarkkuus 0,9 3,98 0,608 seitsemäntoista sadasosaa kaksikymmentäviisi tuhannesosaa Ilmoita alla olevat mittaustulokset vaadittua yksikköä käyttäen. Ellei se ole mielestäsi mahdollista, niin kirjoita rasti (X). Esitä tämä luku vaaditulla tarkkuudella. Jos et voi, kirjoita X metreinä millimetreinä senttimetreinä desimetreinä 1,218 m 3,190 km 3 km 482 mm 2 m 27. Masa käytti säästöistään kolme neljäsosaa. Merkitse käytetty osa a) murtolukuna b) desimaalilukuna ) prosentteina

35 28. Alla on lueteltu muutamia mittaustuloksia, jotka eivät vaikuta tilanteeseen sopivilta. Voisitko ilmoittaa kunkin tuloksen sopivammalla mittayksiköllä ja tarkkuudella? a) ruuvimeisselin pituus 183,9mm. Ehdotuksesi: b) talon pituus 2738m. Ehdotuksesi: ) Jannen koulumatka 2349m. Ehdotuksesi: d) kärpäsen pituus 0,0053m. Ehdotuksesi: 29. Laske a) 5,16 + 1,29 = 0 b) 5,16-1,29 = ) 1,250 x 12 = d) 26,52 : 6 = e) 1,2 x 39,70 = f) 15 : 4,7 = Jaksatko vielä vastata seuraaviin kysymyksiin? Keskustele testistä opettajasi ja oppilastoveriesi kanssa! LAITA RASTI RUUTUUN! Testi oli rasittava Tunsin osanneeni hyvin vähän jonkin verran ei lainkaan paljon hyvin paljon Testi oli miellyttävä Koulussa on käsitelty näitä asioita Olen aina pitänyt näistä asioista

36 Prosentti ja siihen liittyvät toimintakaavat Prosenttikäsite on tärkeä kaikille jo arkielämässä, saati sitten ammatissa.on hyvin yleistä, että prosenttilaskujen laskeminen tuntuu epävarmalta. Syy on todennäköisesti siinä, että koulussa prosentti opetettiin uutena asiana. Se on kuitenkin vain eräs tapa ilmoittaa sadasosien määrä murto- tai desimaaliluvussa. Jos ymmärrät perusteellisesti murtoluku- ja desimaalilukukäsitteet, on prosenttilaskenta helppoa. Toisaalta taas prosenttilaskujen ymmärtäminen edellyttää varsinkin murtolukukäsitteen perinpohjaista ymmärtämistä. Opit prosenttikäsitteen perusteet, kun ratkaiset seuraavan orientoitumisongelman. Mikäli jo osaat prosenttikäsitteen hyvin, tehtävä on sinulle helppo. 13% 3/100 3/100 0,13 ONGELMA 1. Jääkiekko-ottelusta tehtiin oheinen tilasto. Miten asettaisit maalivahdit paremmuusjärjestykseen? Ongelman analyysi: Ilmeisesti maalivahtien paremmuus määräytyy siitä, kuinka suuren osan laukauksista he ovat torjuneet. Ne näkyvät suoraan murtolukuina. Mutta miten voit parhaiten verrata näitä murtolukuja.laskimella? Laventamalla? Ratkaisu: 1. tapa: Muunna kaikki murtoluvut laskimella desimaaliluvuiksi ja vertaa niitä toisiinsa (täytä taulukko) 2. tapa: Lavenna kaikki murtoluvut samannimisiksi, jotta voit verrata niiden suuruuksia (täytä taulukko)

37 Kenellä on paras torjuntaprosentti? 145 MURTO- LUKUNA SADAS- OSINA DESIM. LUKUNA PROSENT- TEINA TAMMI LINDFORS HASEK MYLNIKOV MYSHKIN Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Prosenttiluvut ovat käteviä verrattaessa osuuksien suuruuksia keskenään. Prosenttilaskujen perusrutiinit opit ratkaisemalla seuraavat ongelmat Jos ne ovat sinulle pelkkää rutiinia, osaat prosenttilaskennan perusteet hyvin! ONGELMA 2. Miten lasket, montako prosenttia 8 on luvusta 25? Ongelman analyysi: Kaikkiaan 25 kappaletta muodostavat tietyn kokonaisuuden (esimerkiksi oppilasjoukon). Tästä otetaan 8 kappaletta (esimerkiksi poikien määrä). Sen osuus on suoraan murtoluvun määritelmän mukaan 8 / 25. Kuinka paljon tämä on sadasosina? Ratkaisu: 1. tapa: Laske laskimella 8 / 25, jolloin saat näyttöön C = / * Saat sadasosien eli prosenttien määräksi.

38 tapa: Muunna 8 / 25 sadasosiksi laventamalla: 8 25 = 100 = % Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Voit yleistää menettelyn mihin tahansa ongelmaan kuinka monta prosenttia A on B:stä. Mitään kaavaa ei kannata opetella ulkoa, koska yllä esitetty päättely sujuu nopeasti (Esimerkin ongelma voidaan laskea päässälaskuna vielä monella muullakin tavalla) ONGELMA 3. Miten lasket 16 % luvusta 25? Ongelman analyysi: Ongelma tarkoittaa täsmälleen samaa kuin miten lasket 16 / 100 luvusta 25? Tämäkin on pelkkä murtolukuihin liittyvä perusrutiini, josta selviydytään useillakin eri tavoilla: Ratkaisu: 1. tapa: luvusta 25 on x =. 2. tapa: 1 sadasosa luvusta 25 on =. Siis 16 sadasosaa siitä on x =.

39 147 Ratkaisun tulkinta: Voit yleistää menettelyn mihin tahansa ongelmaan paljonko on p % A:sta?. Koska yllä esitellyt päättelyt sujuvat nopeasti, ei mitään kaavaa kannata opetella ulkoa. Muita kuin edellä esitettyjä ratkaisutapoja ei kannata miettiä, vaikka esimerkin ongelma voidaankin laskea päässälaskuna vielä monella muullakin tavalla). ONGELMA 4. Montako prosenttia luku 4 on suurempi kuin luku 3? Ongelman analyysi: Ensin on selvitettävä kuinka paljon 4 on suurempi kuin 3. Sitten on selvitettävä, montako prosenttia tämä erotus on alkuperäisestä luvusta, eli luvusta 3. Tämän voi ratkaista, kuten ongelmassa 1. Voit myös piirtää tilanteesta kuvan ja päätellä siitä! Ratkaisu: Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Oleellista on se, mihin lukuun verrataan -siis alkuperäinen luku. Tähän on olemassa erinomainen muistisääntö: kuin- sanan jälkeinen luku on se, johon verrataan. Se tulee siis aina nimittäjään! ONGELMA 5. Kuinka monta prosenttia 3 on pienempi kuin 4? Ongelman analyysi: Ensin on selvitettävä, kuinka paljon 3 on pienempi kuin 4. Sitten on selvitettävä, montako prosenttia tämä erotus on alkuperäisestä luvusta -tämä luku on nyt 4! Lopusta selviydytkin kuten ongelmassa 1. Ratkaisu: Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Ota huomioon, että Ongelmassa kuinka paljon A on suurempi kuin B? erotusta verrataan lukuun B ja ongelmassa kuinka paljon B on pienempi kuin A? erotusta verrataan lukuun A.

40 148 ONGELMA 6. Jos lukuun tehdään prosentuaalinen lisäys (korotus) tai prosentuaalinen vähennys (alennus), niin miten lasketaan kätevimmin uuden luvun suuruus? Ongelman analyysi: Valitse yksinkertaisuuden vuoksi aluksi jokin erikoistapaus. Yleistä sitten tulos. Olkoon alkuperäinen luku vaikkapa 100. Tehdään siihen 15% lisäys tai vähennys. Ratkaisu 15%:n lisäykseen: 1. Laske ensin, paljonko lisäyksen suuruus on. Se on 15% luvusta 100 eli sii 2. Lisää tämän alkuperäiseen lukuun 100,jolloin saat tulokseksi Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Voit yleistää saman menettelyn missä tahansa vastaavassa tilanteessa. Huomaa lisäksi, mitä alkuperäiselle luvulle 100 tapahtui: luku 100 tulee 15 %:n lisäyksen jälkeen 1,15-kertaiseksi: Yleistetään tulos toimintakaavaksi: Jos alkuperäinen luku on A ja siihen tehdään esimerkiksi 47 %:n lisäys, on uuden luvun suuruus ( ) x A. Opettele tämä nopea rutiini! luku A tulee 47 %:n lisäyksen jälkeen 1,47-kertaiseksi: A 1,47 x A

41 Ratkaisu 15 %:n vähennykseen: Laske ensin, paljonko vähennyksen suuruus on. Se on 15% luvusta100 eli siis 2. Vähennä tämäalkuperäisestä luvusta 100, jolloin saat tulokseksi Ratkaisun tulkinta ja hyväksikäyttö: Voit yleistää saman menettelyn missä tahansa vastaavassa tilanteessa. Huomaa lisäksi, mitä alkuperäiselle luvulle 100 tapahtui: luku 100 tulee 15 %:n vähennyksen jälkeen 0,85-kertaiseksi: Yleistetään tulos toimintakaavaksi: Jos alkuperäinen luku on A ja siihen tehdään esimerkiksi 47 %:n v ähennys, on uuden luvun suuruus ( ) * A. Opettele tämä nopea rutiini! Kaikki edellä esitetyt rutiinit on koottu seuraavan sivun kaavioihin x 260 = 260 oo C = / * ALE %

42 150 YHTEENVETO PROSENTTILAS- Miten lasken 5/8 luvusta 32? Yksi kahdeksasosa luvusta 32 on 32/8 = 4 Viisi kahdeksasosaa on siis 5 x 4 = 20 Kerron suoraan 32 luvulla 5/8 Murtolukuna Desimaalilukuna 5 8 x 5 x = = 20 Etuja: kätevä ilman kätevä laskimella laskinta 5 8 x 32 = x 32 = x 24 = 4.08 Paljonko on 17 % 24:stä? 0.17 x 24 = x 17 = 4.08 Montako % 17 on 24:stä? 17 = = % =70.8 %= 71% Montako % suurempi on 1) erotus on 17 luku 31 kuin luku 24? 2) montako % 17 on 24:stä? Montako % pienempi on luku 7 kuin luku 24?

43 Harjoitustehtäviä Täydennä alla olevaan taulukkoon puuttuvat ilmaukset Desimaalilukuna Prosenttilukuna 500% Kuvallinen ilmaus Sanallinen ilmaus sata prosenttiayhden prosentin tarkkuudella kaksi kymmenesosaprosenttia % 0.20%

44 Täydennä seuraava taulukko. % desimaali- vastaava supistettu luku murtoluku murtoluku , /100 2/100 1/100 1/ Kuinka monta prosenttia 24 on luvusta 25? 4. Kun m:n juoksija on juossut yhden kierroksen eli 400 metriä, niin montako prosenttia hän on juossut koko matkasta? 5. Eräs kansalainen nukkuu 9 tuntia, on töissä 8 tuntia, ulkoilee 0.5 tuntia ja katsoo televisiota 2.5 tuntia vuorokaudessa. Kuinka monta prosenttia vuorokaudesta hän käyttää kuhunkin? Millainen osuus häneltä jää vielä käytettäväksi muuhun? Arvioi työparisi kanssa, miten itse käytät aikaasi!

45 6. Mikä on maalivahdin torjuntaprosentti, kun hän torjui 24 laukauksesta 21? 7. Selvitä, miksi Kanada voitti Suomen jääkiekkomaaottelussa, josta tehtiin oheinen tilasto Kumpi seuraavista vaihtoehdoista on kannattavampaa: a) ansaita kesätöissä mk ja maksaa siitä veroa 30 % b) saada pienempää palkkaa yhteensä 9500 mk tarvitsematta maksaa tästä lainkaan veroa? 9. Henkilöllä A on verotettavaa tuloa kunnallisverotuksessa mk ja valtionverotuksessa mk. Laske hänen kunnallis- ja valtionveronsa määrä v. 1990, kun veroäyrin hinta on 17 p. Tuloveroasteikko v Verotettava tulo (mk) Vero alarajan kohdalla 50 Vero alarajan ylittävästä tulo osasta Jos henkilöllä B on 25% suuremmat verotettavat tulot, niin montako prosenttia enemmän hän maksaa a) kunnallisveroa, b) valtionveroa ) kokonaisveroa?

46 Jos elät 80 vuotiaaksi, niin kuinka monta prosenttia elämästäsi olet tähän mennessä elänyt? 12. Yhdessä limonaadilitrassa on sokeria 1 dl. Paljonko sokerin osuus on prosentteina? Entä kuinka paljon sokeria on yhdessä limonaadilasillisessa, joka on 1 / 5 litraa? 13. Jos 150 g painavassa hampurilaisessa on rasvaa 12 g, niin kuinka paljon tämä rasvan osuus on prosentteina? 14. Ihminen juoksee nopeimmillaan noin 40 km /h, strutsi noin 100 km /h ja gepardi noin 120 km /h. Montako prosenttia ihmisen juoksuvauhti on a) strutsin juoksuvauhdista? b) gepardin juoksuvauhdista? Kuinka monta prosenttia strutsin juoksuvauhti on gepardin vauhdista? 15. Mopedi kulkee 40 km/h, auto 320 km/h ja ääni 1080 km/h. Kuinka monta prosenttia a) mopedin nopeus? b) auton nopeus? on äänen nopeudesta?

47 Ale Tavaratalo ilmoitti ensin, että asuste myydään 40%:n alennuksella. Viikon päästä se ilmoitti, että jo 30%:n alennukseen annetaan 40 %:n lisäalennus? 30 % + 40 % a)miksi arvelet osaston täyttyneen hetkessä innokkaista ostajista? b)millaisen pettymyksen arvelelet monen asiakkaan kokeneen maksaessaan ostoksiaan kassalla? )Miten kertolasku 0.6 x 0.7 liittyy tehtävään? 17. Paljonko on bruttopalkkasi, jos saat käteen 6200 mk ja veroprosentti on 32,5 %? 18. Kirjan hinta oli 15 %:n alennuksen jälkeen 78 mk. Mikä oli kirjan alentamaton hinta? 19. Mistä maitomäärästä saadaan päivittäinen tarve ( n. 60 g) valkuaista? Maidon valkuaisainepitoisuus on noin 3,5 %. 20. Montako prosenttia tuloista pidätetään veroa, kun 5400 mk:n palkasta jää käteen 3250 mk? 21. Arvioi, kuinka monta prosenttia kukin osuus on kuviosta. 22. Kauppias oli ostanut tavaran 1,66 mk/kg. Myyntihinnaksi hän ilmoitti 2,04 mk/kg. Kuinka suuri olisi kauppiaan katetuotto ollut mainituilla hinnoilla? 23. Kauppias myi asiakkaalle paidan 20% voitolla ja housut 20 % tappiolla. Asiakas maksoi molemmista saman verran. Tuottiko tämä asiakas kauppiaalle voittoa vai tappiota? Löydät seuraavan aukeaman jälkeen helppoja lisätehtäviä.

48 Tee alla oleva ja seuraavalla sivulla oleva tunnistustehtävä YHDISTÄ SAMAA TARKOITTAVAT A B C D E F VÄHEN- NYSTÄ 1/4 LISÄYSTÄ 1/1 VÄHEN- NYSTÄ 1/2 3/4 LISÄYSTÄ 3/4 LISÄYSTÄ 1/5 g h i j k m 50% VÄHEN- NYSTÄ VÄHEN- NYSTÄ VÄHEN- NYSTÄ 75% LISÄYSTÄ 100% 25% LISÄYSTÄ 300% LISÄYSTÄ 20% α β γ δ ε λ B ON 75 % PIENEMPI KUIN A B ON 100% VÄHEN- NYSTÄ SUUREM- PI KUIN A B ON 25% B ON 20% SUUREMPI KUIN A B ON 50% PIENEMPI KUIN A B ON 300% PIENEM- PI KUIN A SUUREM- PI KUIN A

49 Verbaalisesti Kuvallisesti Symboolein jäännös 25 prosentin vähennyksen jälkeen viiden prosenttiyksikön lisäys vähennystä tapahtuu 25 prosenttia 35 prosenttiyksikön vähennys hinta 35 prosentin alennuksen jälkeen viiden sadasosan korotus jäljellä 95 prosenttia alkuperäisestä alennettu määrä 1/20 alennuksen jälkeen eräs tapa ilmaista 5 prosentin alennus lisäystä kahdeskymmenesosa jäljellä 75 prosenttia alkuperäisestä jäljelle jäävä osa 35 % vähenn. jälk. 1 mk 100 mk 1.00 m 5 m 95 kpl 1000 L 1 kg 50 g 1 m 100 ml 5 mk L 1 kg 5 ml 95 p 1 5 m 100 henk. 65 henk A - K - A - A A 0.65 K A 35 K 100 K K 0.95 A A A 25 A A 4 1 A A K A K

50 158 Lisätehtäviä l = 10 dl a) 1/2 l = dl b) 1/4 l = dl ) 3/4 l = dl m = 100 m a) 1/2 m = m b) 1/4 m = m ) 3/4 m = m min = 60 s a) 1/2 min = s b) 1/3 min = s ) 2/3 min = s d) 1/4 min = s e) 3/4 min = s f) 1/6 min = s g) 5/6 min = s h) 1/10 min = s 28. Kokki painoi 100 kg. Tuskastuneena ylipainoonsa hän laihdutti 1/5 :n painostaan. Paljonko kokki painoi laihtuneena? Montako prosenttia hän laihtui? 29. Virvokepulloon mahtuu 1/3 litraa. Korissa on 24 täyttä pulloa. Kuinka monta litraa juotavaa on korillisessa? 30. Liisalla on 2 1/2 litran mehukannu. Kuinka monta pulloa hän saa täyteen, jos pullot ovat a) puolen litran pulloja b) neljänneslitran pulloja ) kolmasosalitran pulloja 31. Ottelu kestää 1 1/4 tuntia. Siinä on 3 yhtä pitkää erää. Kuinka monta minuuttia yksi erä kestää?

51 Paljonko on a) 35 % luvusta 175 b) 70 % 115 mk:sta? 33. Mistä luvusta a) 30 b) 120 on 15 %? 34. Tuotteen, joka maksaa 73, 20 mk, hintaa alennetaan 8 %. Määritä alennettu hinta. 35. Esineen, joka maksaa 175 mk hintaa alennetaan 15 mk. Määritä alennusprosentti. 36. Television hintaa alennettiin 18 %. Määritä hinta enne alennusta, kun alennettu hinta on 1350 mk. 37. Asunnon, joka maksaa mk, hinta nousee 6,5 %. Määritä asunnon uusi hinta. 38. Täydennä seuraava taulukko. % desimaali- vastaava supistettu luku murtoluku murtoluku 7,2 1/ ,0 64, ,07 0,004 28/100 46/ ,9

52 Suoraan verrannollisuus eli lineaarinen riippuvuus

53 161

54 162 ONGELMA 1. Mitä erilaisia tapoja keksit ilmoittaa näiden kattojen jyrkkyydet a) sanallisesti? b) laskennallisesti (lukuna)? Ongelman analyysi: Mikä vaikuttaa katon jyrkkyyteen? Millä laskutoimituksella tätä riippuvuutta voidaan kuvata? Mieti aluksi mahdollisimman monta omaa sanallista tulkintaasi! Ratkaisu: a) sanallisesti:... A B C b) laskennallisesti: Voit nyt testata, onko keksimäsi määritelmä sama kuin yleisesti sovittu. ONGELMA 2. Katon B jyrkkyys on 3/2. Minkä periaatteen mukaan se on laskettu? V oiko katon jyrkkyyden laskea mistä kohtaa tahansa? Ratkaisu ja pohdinnan tulos:

55 163 Seuraavaksi opit huomaamaan, miten eri mittayksiköt on otettava huomioon jyrkkyyttä määritettäessä. ONGELMA 3. Ilmoita näiden mäkien jyrkkyydet saman periaatteen mukaisesti kuin edellä määrittelit katon jyrkkyyden. Huomaa, että kuviot ovat ainoastaan malleja, joissa mittasuhteita ei voi päätellä pelkästään visuaalisesti! Kirjoita ratkaisusi kunkin kuvion viereen. y b ONGELMA 4. Miten ilmoitat kirjainsymbolien avulla oheisten mäkien jyrkkyyydet? Ratkaisu: x mäen A jyrkkyys on a mäen B jyrkkyys on Nyt sinulla on tilaisuus itse määritellä suoran jyrkkyys, joka on erittäin tärkeä käsite useimpia riippuvuuksia tutkittaessa. Kun ymmärrät hyvin tämän käsitteen voit ratkaista monia käytännön ongelmia ilman yhtälön muodostamista. Tällaisia tilanteita ovat kaikki ongelmat, joissa johdutaan tarkastelemaan suoraan verrannollista riippuvuutta. Suoraan verrannollisuus tarkoittaa sitä, että kahden toisistaan riippuvan suureen (muuttujan) suhde pysyy samana (vakiona). Tätä riippuvuutta kuvaa aina origon kautta kulkeva suora! Riippuvuus on siis suoraviivaista eli lineaarista.

56 164 Edellä siis katon jyrkkyys voitiin määritellä, koska katon korkeuden ja leveyden suhde pysyi aina vakiona. Aivan vastaavalla tavalla voidaan määritellä koordinaatistoon piirretyn suoran jyrkkyys. Opit tämän helposti, kun ratkaiset seuraavan ongelman: ONGELMA 5. Miten määrittelisit tämän suoran jyrkkyyden a) sanallisesti? b) laskutoimituksena? Ongelman analyysi: Ongelma muistuttaa katon jyrkkyyden määrittämistä, joten määritelmästä tulee ilmeisesti samankaltainen. Ratkaisusi: a)sanallisesti: b) laskutoimituksen avulla: Suoran jyrkkyyden lukuarvo on... Ellet osaa lukea jyrkkyyttä suoraan kuvasta, menettele seuraavasti: 1. Liikuta kynän kärkeä suoraa pitkin ja pysähdy sellaiseen pisteeseen, jonka x- ja y-koordinaatti on kokonaisluku. 2. Laske suhteen y/x arvo. On kätevää tehdä vaikkapa seuraavan sivun taulukko menettelemällä näin: 1. Anna x:lle mitä tahansa arvoja (jatka saraketta). 2. Lue suoralta vastaava y:n arvo ja kirjoita se y:n kohdalle. 3. Laske suhde y/x ja kirjoita se vastaavalle kohdalle.

57 x y y/x Taulukon perusteella voit todeta: Otatpa minkä tahansa suoran pitseen (x,y), pysyy suhde y/x koko ajan samana ( y/x=2) Ehto y x = 2 on täsmälleen sama kuin ehto y = 2x Kumpi tahansa näistä ehdoista määrittelee yksiselitteisesti edellä esitetyn suoran. Tämän vuoksi niitä nimitetään suoran yhtälöiksi. Rakentajan on osattava tehdä harjakatto, jonka kaltevuus on annettu. Suosituin kattotyyppi omakotitaloissa on 1:3. Pohdi tarkasti seuraavaa ongelmaa: ONGELMA 6. Voiko suoran jyrkkyyden laskea piirtämättä suoraa? Ongelman analyysi: Vertaa edellä esitettyä suoran jyrkkyyden määritelmää ja suoran yhtälöä keskenään. Mitä huomaat? Ratkaisu: purkin koko (l) purkin hinta (mk) hinta koko ONGELMA 7. Tutki oheisesta taulukosta, onko purkin hinta suoraan verrannollinen pullon kokoon. Ongelman analyysi: Ongelman kysymys tarkoittaa täsmälleen samaa kuin pysyykö pullon hinnan ja koon suhde samana? Voit tutkia tätä suhdetta päässä laskien tai laskimella, voit jopa piirtää tilanteesta kuvan. Pisteiden tulisi sijaita samalla origon kautta kulkevalla suoralla! Pidä laadut mukana!

58 166 Ratkaisu: 1. tapa: laskemalla kussakin tapauksessa hinnan ja määrän suhteet todetaan, että Siis hinta... purkin kokoon. 2. tapa: Kun pisteet sijoitetaan koordinaatistoon (tee vihkoosi!), todetaan että ne... samalla origon kautta kulkevalla suoralla. Siis hinta... purkin kokoon ONGELMA 8. Jos autoa tankattaessa tyhjän 60 litran tankin sai täyteen 252 markalla, niin kuinka paljon bensiiniä sai 100 markalla? Analyysi: Tankatun bensiinin hinta on suoraan verrannollinen sen määrään, joten ongelma voidaan ratkaista selvittämällä ensin litrahinta. Huom. alkuarvoissa on ainoastaan litran tarkkuus! Ratkaisu: 1. tapa: Koska 60 l maksoi 252 mk, oli bensiinin litrahinta Tällöin 100 markalla sai bensiiniä = = Vastaus: Sadalla markalla sai bensiiniä...(huomaa vain litran tarkkuus!)

59 tapa: Voit piirtää kuvan, joka esittää tankatun bensiinin hinnan riippuvuutta bensiinin määrästä: hinta (mk) Kuviosta voi lukea helposti, että 100 mk:lla sai bensiiniä n.... Piirtämäsi suoran jyrkkyys on sama kuin bensiinin tapa: Koska riippuvuus on suoraan verrannollista, voin kirjoittaa tehtävästä myös verrannon. Se on aina muotoa a b = d määrä (L) Näistä yksi luku on yleensä tuntematon, joka ratkaistaan tästä yhtälöstä.

60 168 Tehtävästämme voit kirjoittaa aluksi seuraavat vastaavuudet: 60 l vastaa 252 mk x l vastaa 100 mk. Näistä voit kirjoittaa verrannon "Kertomalla ristiin" saat yhtälön 60 L 252 mk = x 100 mk =, josta x =. Ratkaisun tulkinta: Tämänkaltaiset tehtävät voit ratkaista usealla eri tavalla. Ainakin silloin, kun tehtävässä on puhe hinnan ja määrän riippuvuudesta, kannattaa laskea ensin yksikköhinta. Pidä laadut mukana, jotta laskisit jakolaskun oikein päin! Kuvaajan piirtäminen pääpiirtein auttaa Sinua ajattelemaan riippuvuuden oikealla tavalla. Kuvaajaa ei suinkaan tarvitse piirtää tarkasti, ellet aio lukea siitä vastausta. Tästä tehtävästä kannattaa esimerkiksi piirtää heti aluksi vaikkapa tällainen karkea kuva. Tästä sinun on helppo nähdä riippuvuuden lineaarisuus sekä se, miten päin suhteet on laskettava. hinta 252 mk määrä 60 L

61 169 Huomaa, että jos valitset ratkaisutavaksi verrannon kirjoittamisen on sinun hallittava ns. tekijäyhtälön ratkaiseminen. Se on aina jotain seuraavaa tyyppiä: a x = b, a b = x, a x b x =, = a jne... Yhtälössä esiintyy siis vain kaksi tuloa. Tuntematon x on toisen tekijänä, mistä myös yhtälön nimitys johtuu. Seuraavat peruskoulusta tutut rutiinit ovat käyttökelpoisia verrantomuotoisen tekijäyhtälön ratkaisemiseksi: 1. Kerro verrannon luvut ristiin, jolloin saat tulomuotoisen yhtälön ax = b. 2. Jaa yhtälö puolittain x:n kertoimella a, jolloin saat ratkaisun. b Kirjan tekijä suosittelee, että totuttelisit ratkaisemaan edellä kuvatun kaltaisia ongelmia ilman verrantoja ja ilman yhtälöitä. Kun käytät yksinkertaista päättelyä kuten ratkaisutavoissa 1 ja 2, vältyt matemaattisten symbolien kapulakieleltä ("x-maniasta"). Tekijäyhtälön ratkaiseminen voi olla jostain syystä sinulle vaikeaa ja myös tuloksen järkevyyden arvioiminen on vaarassa unohtua! PIIRRÄN KUVAN! KIRJOITAN VERRANNON LASKEN ENSIN YKSIKKÖHINNAN! a b x =