INTEGROINNIN SOVELLUKSIA TIEDONSIIRTOTEKNIIKASSA. Taustaa. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka
|
|
- Sofia Karvonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 1 INTEGROINNIN SOVELLUKSIA TIEDONSIIRTOTEKNIIKASSA Taustaa IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 2 Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka jukka.talvitie@tut.fi, toni.levanen@tut.fi, mikko.e.valkama@tut.fi Tässä oleva esitys pohjautuu mm. ao. kurssien sisältöön: TLT-5400 Digitaalinen siirtotekniikka TLT-5906 Digitaalisen siirtotekniikan jatkokurssi Tarkoituksena on antaa esimerkkejä integraalifunktioiden merkityksestä modernissa tietoliikennetekniikassa. Integraalilaskennan merkitys tietoliikennetekniikalle on merkittävä. Vaikka modernit tietoliikennejärjestelmät tukeutuvatkin pääosin diskreettiä informaatiota kuljettavaan digitaalitekniikkaan, itse tiedonsiirtoon käytetyt signaalit ovat yhä jatkuva-aikaisia. Langattomassa tietoliikenteessä tällaiset tiedonsiirtosignaalit ovat tunnetusti sähkömagneettisia (radio)aaltoja. Huomaa, että puhtaasti diskreetin signaalin luominen on fysiikan lakien mukaan mahdotonta, sillä se vaatii äärettömän nopeita muutoksia signaalin vasteessa. Tämän vuoksi digitaalisessa siirtotekniikassa pyritäänkin vain muokkaamaan/painottamaan tiettyä jatkuva-aikaista aaltomuotoa etukäteen määritetyillä, siirrettävistä biteistä johdetuilla, diskreeteillä arvoilla (symboli). Jatkuva-aikaisuudesta johtuen tiedonsiirtojärjestelmää joudutaan mallintamaan integraalien avulla. Eräitä yleisiä tietoliikennetekniikassa esiintyviä integraalifunktioita ovat konvoluutio, Fourier-muunnos ja korrelaatio. Näistä konvoluutio toimii perustana kaikkien lineaaristen järjestelmien vasteanalyysissä, Fourier-muunnos mahdollistaa signaalin tarkastelun taajuustasossa ja korrelaatio mittaa kahden vertailtavan signaalien samankaltaisuutta. Yleisesti ottaen saattaa vaikuttaa, että näiden integraalien merkitys jää pelkästään teorian tasolle. Tämä intuitio on kuitenkin kauttaaltaan väärä. Kaikki mainitut integraalifunktiot toimivat tärkeässä osassa moderneissa tietoliikennejärjestelmissä ja luovat perustan niiden toiminnalle ja analyysille. Esimerkiksi korrelaatio on erittäin olennaisessa osassa GPS-paikannuksessa, 3-3.5Gmatkapuhelinverkoissa sekä erilaisissa militäärisovelluksissa (kts. kurssi Spread Spectrum Techniques TLT-5606). Fourier-muunnosta taas voi käyttää puhtaan taajuustason analyysin sijasta myös esimerkiksi vähentämään tarvittavien laskutoimitusten määrää. Monessa tapauksessa laskutoimituksen tekeminen taajuustasossa voi olla merkittävästi yksinkertaisempaa kuin aikatasossa.
2 Fourier-muunnos IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / luvun alussa ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Joseph Fourier ( ) tutki niin kutsuttua lämmönsiirtymisilmiötä. Tutkimuksen keskipisteenä oli kappaleen lämpöjakaumaa kuvaava lämpöyhtälö. Tähän osittaisdifferentiaaliyhtälöön ei ennen Fourierin panosta ollut löydetty yleistä ratkaisua. Erikoisratkaisuja oli kyllä esitetty mutta vain tapauksille, joissa lämmönlähde toimi tietyllä tavalla tuottaen tarkalleen sinimuotoista aaltoa. Fourierin ydinideana oli tällöin jakaa lämmönlähteen monimutkainen malli (funktio) yksinkertaisten sini- ja kosinifunktioiden summaksi. Näin ollen myös yhtälön yleinen ratkaisu saataisiin näiden sinifunktioiden tuottamien erikoisratkaisujen summana. Kyseinen Fourierin kehittämä sinifunktioiden summa tunnetaan nykyään yleisesti nimellä Fourier-sarja. Vaikka Fourierin julkaisu ( Théorie analytique de la chaleur, v. 1822, kts. esim. Google books) ei alun perin ollutkaan täysin matemaattisesti täsmällinen, sen merkitys tiedeyhteisölle oli mullistava. Ratkoessaan kyseistä lämmönsiirtymisongelmaa, Fourier avasi ovet lukemattomien eri tieteenhaarojen uudenlaiseen analyysin. Tuskin hän osasi itsekään ennustaa, että tämä kyseinen lämpöyhtälön ratkaisu olisi hyödynnettynä miltei 200 vuotta myöhemmin lähes kaikessa modernissa 2000-luvun kulutuselektroniikassa. Fourier-analyysin laajaalainen suosio perustuukin sen sisältämään taajuustason käsitteeseen, joka on merkittävä työkalu mm. äänen- ja kuvankäsittelyssä, sekä erityisesti tietoliikenteessä, jossa taajuustaso ilmenee myös tärkeänä tiedonsiirtoresurssina. Hyödyntäen Fourier-sarjaa ja tuttua Eulerin kaavaa (e jθ =cos(θ)+jsin(θ)), määritellään Fourier-muunnos (spektri) V(f) funktiolle v(t) seuraavasti: IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 4 taajuuden f funktiona. On myös syytä huomata, että Fourier-muunnos (spektri) on kompleksinen funktio, jossa V(f) on amplitudispektri ja arg(v(f)) on vaihespektri. Usein puhuttaessa pelkästä spektristä, viitataan nimenomaan amplitudispektriin, sillä se ilmaisee tietyllä taajuusalueella sijaitsevan energian määrän. Vaihespektri ei useinkaan ole kovin kiinnostava niillä taajuusalueilla, joilla signaalienergiaa ei esiinny. Jos signaalin spektri V(f) on tiedossa ja halutaan selvittää vastaava aikatason signaali v(t), voidaan käyttää käänteistä Fourier-muunnosta: -1 2 v( t) [ V( f) ] V( f) e j p = F = ft df - Tästä voidaan suoraan päätellä Fourier-muunnoksen yksikäsitteisyys eli, että tietyllä funktiolla v(t) on yksikäsitteinen spektri V(f) ja päinvastoin. Otetaan seuraavaksi tarkasteluun yksinkertainen esimerkkitapaus ja lasketaan suorakaidepulssin v(t) Fourier-muunnos. Pulssi v(t) on määritelty seuraavasti (ks. seuraavat kuvat): ì A t < t /2 vt () = ï í ï 0 t > t /2 ïî Sijoitetaan nyt v(t) suoraan Fourier-muunnoksen määritelmään, jolloin integroimalla saadaan spektri V(f): () F é ë () ù û () -j2pft - V f vt vte dt Vaikka kyseinen muunnoskaava saattaakin vaikuttaa ensikertalaiselle hatusta vedetyltä, sille löytyy varsin intuitiivinen selitys esimerkiksi korrelaation käsitteestä (kts. s.11). Olennaista on kuitenkin ymmärtää, että muunnos V(f) esittää funktion v(t) spektriä (taajuussisältöä)
3 V( f) = vte () IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 5 -j2pft dt - t /2 t /2 -j2pft é 1 -j2pft ù Ae dt A e ê j2pf -t /2 ë úû- t /2 = = - 1 ( -jpft jpft =-A e -e ) j2pf 1 ( -jpft jpft =-A e -e ) j2pf jz - A At e - e = sin pft = sin pft sin z = pf pft 2j sin() z = Atsinc ft sinc( z) = z Funktio v(t) ja sen periaatteellinen amplitudispektri V(f) on esitetty alla olevassa kuvassa. jz Korrelaatio IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 6 Korrelaation käsitteen avulla voidaan yksinkertaisesti vertailla kahden eri funktion/signaalin samankaltaisuutta. MOT Kielitoimiston sanakirja 2.0:n käännös sanalle korrelaatio: vastaavuus(suhde); mat. kahden suureen välinen riippuvuus Korrelaation käsitettä käytetään lukuisissa eri tietoliikennesovelluksissa, kuten esimerkiksi 3-3.5G-matkapuhelinverkoissa (UMTS+HSPDA). Toisin kuin vanhemmissa 1-2G matkapuhelinstandardeissa (NMT, GSM, kts. esim. aiempi Sitikka-materiaali Lineaarialgebra ja moniantennitekniikat ), joissa eri käyttäjien radiosignaalit lähetetään eri aikaan eri taajuuksilla, 3-3.5G- standardit toimivat asynkronisesti samalla taajuudella. Tämä tarkoittaa periaatteessa sitä, että yksi käyttäjä havaitsee kaikkien käyttäjien signaalit päällekkäin omassa vastaanottimessaan. Jotta eri käyttäjät ja tukiasemat voitaisiin tässä tapauksessa erotella toisistaan, käytetään tietynlaisia ennalta valittuja signaaliin sisällytettyjä käyttäjä- ja tukiasemakohtaisia koodirakenteita. Toisin sanoen, jos esimerkiksi halutaan vastaanottaa dataa jostain tietystä lähteestä, yritetään löytää vastaanotetusta signaalista samankaltaisuutta kyseisen lähteen käyttämän koodirakenteen kanssa (eli koodin korrelaatio vastaanotetun signaalin kanssa). Jos haettu rakenne löytyy, signaali voidaan monen välivaiheen jälkeen lopulta purkaa alkuperäiseksi lähetetyksi dataksi. Korrelaation merkitys on lisäksi erityisen merkittävää GPSpaikannuksessa, sillä satelliitista lähetetyn signaalin ns. korrelaatioominaisuudet määräävät pitkälti järjestelmän paikannustarkkuuden ja - nopeuden. Tähän aiheeseen liittyen annetaan esimerkki hieman myöhemmin, kunhan korrelaation määritelmä on ensin tullut tutuksi. Kuten luvun alussa ollut sanakirjakäännös jo hieman vihjaakin, korrelaatiota käytetään samankaltaisuuden ilmaisemisen lisäksi myös tilastollisen riippuvuuden ilmaisuun. Korrelaatiota riippuvuuden mittarina käytetään esimerkiksi tilastollisissa tutkimuksissa etsimään riippuvuuksia eri muuttujien välille (huom. eri asia kuin syy-seuraus suhde). Tässä esityksessä nojaudutaan kuitenkin tietoliikennetekniikan sovelluksiin, jossa korrelaatiota hyödynnetään enemmän nimenomaan
4 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 7 samankaltaisuuden mittarina. Toisaalta, koska korrelaatio on selvästikin mitta-arvo jollain mitta-asteikolla, herää kysymys: Miten tällaista samankaltaisuutta/korrelaatiota voidaan mitata? Millainen on se asteikko, jonka avulla perustellaan kahden signaalin olevan samankaltaisia? Intuitiivinen lähestymistapa yksikäsitteisen korrelaation mitta-asteikon muodostamiseksi liittyy vahvasti signaalin energian käsitteeseen. Signaalin z(t) energia E z voidaan kätevästi määritellä aikaintegraalina (jälleen yksi integraali ), jossa signaalin amplitudin neliö integroidaan koko signaalin ajallisen keston yli: 2 * E z = zt () dt= ztz () () tdt - - Tässä yläindeksi * viittaa kompleksikonjugaattiin. Pyritään seuraavaksi määrittelemään korrelaation käsite tarkastelemalla mielivaltaisia kompleksitason signaaleita v(t) ja w(t). Jos oletetaan, että kyseiset signaalit samankaltaisia, niin silloinhan niiden välisen erotuksen z(t)=v(t)-w(t), tai oikeastaan erotuksen energian, tulisi olla pieni. Käytetään nyt energian määritelmää ja tutkitaan mikä on kyseisen erotussignaalin energian suuruus: energian määritelmä * * * Ez = z( t) z ( tdt ) = év( t) w( t) ùév ( t) w ( t) ù ë - ûë - ûdt - - * * * * = vtv () () t -vtw () () t - wtv () () t + wtw () () tdt - * * * = vtv () () t - v() t w () t - w() t v () t dt + w() t w () t dt E v * é ù = Ev + Ew -2Re v( t) w* ( tdt ) êë- úû E w IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 8 Yhtälön viimeinen rivi pohjautuu tutulle kompleksilukujen laskusäännölle: z+z*=2re[z]. Yhtälöstä nähdään suoraan, että jos viimeisen rivin integraalin arvo on suuri, niin signaaleiden erotuksen energia on pieni ja signaalit ovat täten samankaltaisia (ainakin tässä mielessä). Huomaa myös, että signaalien energioiden arvoilla E v ja E w ei ole samankaltaisuuden osalta merkitystä, sillä ne riippuvat vain signaaleista itsestään. Yritetään nyt siis käyttää kyseistä integraalia samankaltaisuuden mittana ja määritellään (risti)korrelaatio signaalien v(t) ja w(t) välille seuraavasti: Rvw( t) = v( t) w ( t -t) dt - * Huomaa, että korrelaation määritelmä on funktio viiveparametrin τ suhteen. Toisin sanoen, korrelaatio mittaa samankaltaisuutta signaalin v(t) ja signaalin w(t) viivästettyjen versioiden välillä. Tämä on erityisen olennaista monessa tietoliikennesovelluksessa, sillä lähetetyn signaalin vaihetta/viivettä ei aina vastaanottimessa tunneta (viivehän riippuu mm. lähettimen ja vastaanottimen välisestä etäisyydestä). Mikäli korrelaatio lasketaan signaalin itsensä kanssa, puhutaan autokorrelaatiosta. Tämä määritellään täsmälleen samalla tavalla kuin ristikorrelaatio mutta siten, että korreloitavat signaalit ovat samat: R () t = R () t = v() t v ( t -t) dt v vv - * Erityisesti autokorrelaation määritelmässä viiveen τ merkitys on perusteltua. Muutenhan, pelkästään määrittelemällä τ=0, laskettaisiin yksinkertaisesti vain signaalin energiaa. Kuten jo aiemmin mainittiin, GPS-paikannuksessa korrelaatio on olennaisessa osassa järjestelmän suorituskyvyn kannalta. Satelliittipaikannus perustuu signaalin saapumisajan mittaamiseen (Time-of-Arrival). Jos tiedetään satelliitin sijainti, signaalin lähetysaika, signaalin etenemisnopeus ja signaalin vastaanottoaika, satelliitin ja
5 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 9 GPS-vastaanottimen välinen etäisyys saadaan laskettua. Edelleen jos tiedetään etäisyys useampaan satelliittiin, saadaan määritettyä paikkakoordinaatit pituus-, leveys- ja korkeussuunnassa. Täydellisesti synkronisen järjestelmän tapauksessa (kaikki satelliittien ja GPSvastaanottimien kellot täsmälleen samassa ajassa) paikannusongelman ratkaisu olisi melko suoraviivainen. Tämänkaltaisen synkronisuuden saavuttaminen on kuitenkin käytännöllisesti katsoen mahdotonta. Huomaa, että jo yhden mikrosekunnin virhe kellossa aiheuttaa noin 300m:n etäisyysvirheen (mikrosekunti kertaa valonnopeus). Edellä mainittujen seikkojen vuoksi jokaisen satelliitin signaalin on sisällytetty ajalliselta kestoltaan 1ms pituinen satelliittikohtainen 1023 merkkiä pitkä binäärinen koodi. Tämä koodi rakennetaan ns. chipeistä (1μs/chip), jotka saavat arvoja -1 ja 1. Kun GPS-paikannin kytketään päälle, se alkaa korreloida (etsiä) järjestelmän radiotaajuuksilta signaaleita, joista löytyy vastaavaa rakennetta tunnettujen satelliittien koodien kanssa. Koska lähetetyn signaalin vaihetta ei tunneta, etsintä täytyy suorittaa koodin eri vaiheiden kanssa, aivan kuten korrelaation määritelmässä oleva viivetermi τ osoittaa. Mikäli korrelaation arvo vastaanotetun signaalin ja jonkin satelliitin viivästetyn koodin välillä kasvaa tarpeeksi suureksi, satelliitti ja sen lähettämän signaalin viive voidaan olettaa löydetyksi. Tässä vaiheessa viive löydetään vain suhteessa millisekuntiin (koodin pituus 1ms). Vielä ei kuitenkaan tiedetä mikä millisekunti on kyseessä. Satelliittien koodit on suunniteltu siten, että niiden autokorrelaatiofunktiot ovat impulssimaisia (piikki nollaviiveellä mutta muuten lähellä nollaa). Lisäksi, jotta eri satelliittien signaalit eivät häiritsisi toisiaan, koodien (risti)korrelaatio saa suhteellisen pieniä arvoja kaikilla viiveillä. Seuraavissa kuvissa on esitelty oikeiden GPSsatelliittien koodien välisiä korrelaatiofunktioita (huom. viive [chip] on käytännössä sama kuin korrelaatiokaavoissa esiintyvä τ). IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 10 Satelliitin #1 autokorrelaatiofunktio (vas.) ja korrelaatiofunktio saman signaalin ja sen viivästyneen (155 chippiä) version välillä (oik.) Normalisoitu autokorrelaatiofunktion arvo viive [chip] Normalisoitu ristikorrelaatiofunktion arvo viive [chip] Ristikorrelaatio satelliittien #1 ja #2 koodien välillä Normalisoitu ristikorrelaatiofunktion arvo viive [chip] Kuten moni GPS-järjestelmää käyttänyt on varmastikin huomannut, satelliittien haku laitteen käynnistyessä saattaa joskus viedä turhauttavan kauan aikaa. Tämä johtuu juuri siitä, että satelliittien signaaleita joudutaan etsimään kaikilla eri koodeilla ja niiden eri vaiheilla (n. 30 satelliittia saman verran eri koodeja). Tämän lisäksi, johtuen taajuusvirheistä, signaaleita joudutaan etsimään myös eri taajuuksilta. Käynnistysvaihetta helpottamaan onkin luotu ns. avustava GPS (A-GPS), jossa vastaanotin hakee etukäteen mobiiliverkon kautta lähellä olevalta tukiasemalta tietoja satelliittien sijainneista ja muista parametreista. Tämä taas on intuitiivisesti järkevää, sillä tukiaseman ja vastaanottimen havaitsevat signaalit ole läheisestä sijainnista (verraten valonnopeuteen ja etäisyyteen) johtuen melko samanlaisia - korreloivia.
6 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 11 Paluu Fourier-muunnokseen korrelaatiotulkinta Palataan vielä taaksepäin ja tarkastellaan uudestaan Fouriermuunnoksen määritelmää: () F é ë () ù û () -j2 p ft - V f vt vte dt Verrataan tätä nyt korrelaation määritelmään: Rvw( t) = v( t) w ( t -t) dt - * Huomataan, että Fourier-muunnos voidaan tulkita taajuudella f värähtelevän eksponenttivärähtelijän (viive nolla) ja muunnettavan signaalin väliseksi korrelaatioksi. Näin ollen voidaankin ajatella, että signaalin spektri lasketaan etsimällä signaalista vastaavanlaisuuksia jokaiselle taajuusakselilla sijaitsevalle värähtelijälle. Toisin sanoen, taajuudella f värähtelevä eksponenttifunktio poimii signaalista kyseisellä taajuudella olevan energian. R vg (0) = vte () IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 12 2p -j t t dt - t /2 2p 2pt t /2 -j t é t -j ù Ae t dt A e t ê j2p ú -t /2 ë û-t /2 2pt 2pt t -j j 2t 2t = = - =-A ( e - e ) = j2p t -jp jp t =-A ( e - e ) =-A (-1-(-1)) j2p j2p = 0 Arvoksi tulee nolla, joten suorakaidepulssi ei korreloi (ei ole lainkaan samankaltainen) tällaisen taajuudella värähtelevän eksponenttifunktion kanssa. Nyt on hyvä palata katsomaan jo aiemmin määritettyä suorakaidepulssin spektriä (s.5). Mikä onkaan spektrin arvo taajuudella 1/τ? Entä mitä tapahtuu jos korreloit suorakaidepulssia nollataajuisella eksponenttivärähtelijällä? Mikä on tällöin korrelaation arvo (helppo laskea: integroidaan vain vakiota) ja miten se näkyy spektrissä? Lasketaan esimerkin vuoksi taajuudella f c =1/τ värähtelevän eksponenttifunktion (kuva yllä) korrelaatio tutun suorakaidepulssin kanssa (kts. s. 5). Suoraan määritelmän mukaan korrelaatioksi nollaviiveellä saadaan:
7 Konvoluutio IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 13 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 14 Konvoluutio on tärkeä työkalu kaikenlaisten lineaaristen järjestelmien vasteanalyysissä, eli toisin sanoen tutkittaessa järjestelmän sisäänmenon ja ulostulon suhdetta. Tietoliikennetekniikassa lineaarisia järjestelmämalleja voidaan käyttää mm. kuvaamaan tietoliikennekanavan vastetta. Esimerkiksi langattomassa ympäristössä kanava muuttuu toistuvasti ajan funktiona aiheuttaen lähetetylle signaalille sekä amplitudi- että vaihevääristymää. Tämän huomioiminen vastaanottimessa, tavalla tai toisella, on tietysti olennaisen tärkeää ja se vaatiikin tarkkaa vasteanalyysia. sisäänmeno x(t) Lineaarinen järjestelmä ulostulo y(t) Vasteanalyysi perustuu ns. impulssivasteen h(t) käsitteeseen, joka kuvaa järjestelmän ulostulon, kun sisäänmenoksi asetetaan impulssi (ajan hetkellä nolla impulssi saa arvon yksi, muuten nolla). Tällöin ulostulo y(t) mielivaltaiselle signaalille x(t) voidaan määrittää impulssivasteen h(t) avulla konvoluutiona seuraavasti: yt () = ht ()* xt () = h( l)( xt-l) dl - Konvoluution voi kätevästi visualisoida kiinnittämällä jommankumman funktion paikoilleen ja sitten liu uttamalla toisen funktion tämän ylitse. Seuraavassa kuvassa tämä on havainnollistettu tutulle suorakaidepulssille (s.5), jolle lasketaan konvoluutio itsensä kanssa. Huomaa, että konvoluution arvo tietyllä ajan hetkellä saadaan suoraan laskemalla kertolaskun tuottaman funktion pinta-ala (kuvassa oranssi). Yksinkertaista lukiomatematiikkaa Tarkastellaan seuraavaksi käytännön esimerkkiä konvoluution hyödyntämisestä: käytännöllinen ja yksinkertainen sarjaankytketty RCpiiriä (vastus ja kondensaattori):
8 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 15 Piirianalyysin periaatteiden avulla järjestelmän impulssivasteeksi saadaan: IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 16 1 ìï 1 t ³ 0 -t/ RC ht () = e ut (), missä ut () = ï í RC ï0 t < 0 ïî Käytetään jälleen kerran hyväksi tuttua suorakaide pulssia (s.5) ja syötetään se sisäänmenojännitteeksi tarkasteltavaan piiriin. Ulostulo y(t) saadaan nyt määritettyä konvoluution avulla: yt () = ht ()* xt () = h( l) x( t -l) dl - (osaatko laskea itse...) ìï 0 t < 0 -t/ RC = ï í A(1 - e ) 0 < t < t ï -t/ RC -( t-t)/ RC A(1 - e ) e t > t ïî Seuraavissa kuvissa on havainnollistettu sisäänmenon ja ulostulon suhdetta kolmessa eri tapauksessa. Tässä sisäänmenopulssin kestoa muutetaan suhteessa piirin ns. aikavakioon RC. Kuvista nähdään, että piiri käyttäytyy pulssin keston τ mukaan aivan kuten ulostulon paloiteltu funktio antaa ymmärtää. Nyt on selvää, että impulssivasteen avulla voidaan tutkia järjestelmän aikakäyttäytymistä. Kun impulssivasteesta otetaankin Fourier-muunnos, tuloksena syntyy järjestelmän ns. taajuusvaste, josta nähdään suoraan miten järjestelmä vaikuttaa eri sisäänmenon taajuuksiin: () = () -j2pft - H f h t e dt Konvoluutioteoreeman avulla saadaan nyt johdettua merkittävä tulos sisäänmenon ja ulostulon väliselle yhteydelle myös taajuustasossa. Jos merkitään sisäänmenon Fourier-muunnosta X(f) ja taajuusvastetta H(f), ulostulon Fourier-muunnos saadaan suoraan kertolaskulla: Y() f = H() f X() f
9 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 17 Tämän yhtälön vuoksi taajuusvastetta H(f) kutsutaan usein myös siirtofunktioksi. Koska kyseessä on yksinkertainen kertolasku, sisäänmenon spektri painottuu pisteittäin taajuusvasteen mukaan. Esimerkin vuoksi hahmotellaan edellisen RC-piirin taajuusvaste: Kuvasta nähdään, että matalat taajuudet säilyvät vähemmän vaimennettuina kuin korkeat. Tällaista järjestelmää kutsutaankin alipäästösuodattimeksi (jos esim. halutaan nostaa bassotaajuuksien voimakkuutta audiolaitteissa, tarvitaan jokin tämänkaltaisen taajuusvasteen omaava systeemi). Tietoliikennetekniikassa suodattimia käytetään erityisesti kohinan vaimentamisessa ja muokkauksessa, tietoliikennekanavan mallintamisessa sekä sen vaikutusten kompensoimisessa (ekvalisointi). Lisäksi suodattimilla erotellaan (taajuuskaistalla) toisistaan eri järjestelmät, käyttäjät, kanavat jne. Periaatteessa siis kaikki edellä mainittu saavutetaan juuri integraalilaskennan avulla. IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 18 Sigma-delta(ΣΔ)-analogia-digitaalimuunnin Kustannustehokkuus on nykypäivän trendi lähes kaikilla talouden ja tekniikan aloilla. Langattomassa tietoliikenteessä kustannustehokkuutta saavutetaan erityisesti joustavilla radiolähetin-vastaanotinrakenteilla. Tällä tarkoitetaan karkeasti laitteen kykyä toimia erilaisissa järjestelmissä ja radiorajapinnoissa. Lisäksi erityisesti kannettavissa laitteissa myös virrankulutuksen sekä fyysisen koon minimointi ovat tärkeissä rooleissa. Näiden tavoitteiden saavuttamisessa yhdeksi merkittäväksi tekijäksi on viime aikoina noussut digitaaliset signaalinkäsittelymenetelmät, jotka mahdollistavat erittäin joustavien ja kustannustehokkaiden päätelaitteiden toteuttamisen. Käytännön tasolla moderneissa päätelaitteissa pyritäänkin usein vähentämään laitteiston analogisten komponenttien määrää ja korvaamaan näiden toimintaa nimenomaan digitaalisin menetelmin. Yksi merkittävimpiä rajoittavia tekijöitä tässä lähestymistavassa on kuitenkin kustannustehokkaan analogia-digitaalimuuntimen (AD-muunnin) toteuttaminen /8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1 Sisäänmeno: analoginen jännitesignaali Yllä olevassa kuvassa on esitetty 3-bittisen AD-muuntimen sisäänmenon ja ulostulon välinen funktio (sisäänmeno normalisoitu välille [0,1]). Johtuen rajallisesta näyteresoluutiosta, eli lukujoukosta, johon näytteet pyöristetään, AD-muuntimessa syntyy aina ns. kvantisointikohinaa. Jos kvantisointikohinan tehon annetaan kasvaa liian suureksi, digitaalisista signaalinkäsittelymenetelmistä saatava hyöty menetetään. Tällaisessa tapauksessa voidaan ajatella, että
10 IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 19 analogisesta signaalista näytteistetty (digitaalinen) lukujono ei enää yksikäsitteisesti vastaakaan alkuperäistä signaalia. Tästä syystä ADmuuntimien suunnittelussa onkin perinteisesti päädytty jonkinlaiseen kompromissiin kustannustehokkaan ja laadukkaan muuntimen välillä. IMA-3 Excursio: Integroinnin sovelluksia tiedonsiirtotekniikassa / 20 Eräs kirjallisuudessa ehdotettu ratkaisu edellä mainittuun ongelmaan on sigma-delta(σδ)-analogia-digitaalimuunnin, jonka periaatteellinen lohkokaavio on esitetty alla (tässä f s on näitteistystaajuus ja K on vakio). Analoginen sisäänmeno 1-bit DAmuunnin Näytteistyskello K*f s Digitaalinen suodatin Digitaalinen ulostulo Amplitudispektri Analoginen signaali Digitaalinen signaali ΣΔ-muuntimessa oleellista osaa esittää myötähaaran integraattori, joka on tässä nimenomaan osa rakenteen toiminnallisuutta, ei pelkkä analysointityökalu. ΣΔ-muuntimen takaisinkytkentähaara on pelkkä yksinkertainen 1-bitin digitaali-analogiamuunnin, jonka resoluutio riittää ainoastaan ilmaisemaan ylinäytteistetyn signaalin etumerkin. ΣΔmuuntimesta saatava hyöty perustuu sisäänmenon ja takaisinkytkentähaaran erotussignaalin integrointiin, minkä avulla kvantisointikohinan spektriä voidaan muokata toteutuksen kannalta edullisempaan suuntaan. Yllä olevan kuvan ΣΔ-muunnin on ns. alipäästötyyppiä, jossa kohinateho vaimenee siirryttäessä kohti nollataajuutta. ΣΔ-muunnin voidaan kuitenkin suunnitella muokkaamaan kohinaspektriä myös muilla tavoilla. Tämä on melko suoraviivaista, sillä järjestelmän kokonaissiirtofunktio voidaan jakaa erikseen hyötysignaalin ja kohinan siirtofunktioihin. Tällä tavoin vaikuttamalla kohinan siirtofunktion nollakohtiin, saadaan kohinaspektrin muoto halutunlaiseksi. Esimerkiksi yllä olevan kuvan ΣΔ-muuntimen kohinan siirtofunktiolla on nollakohta taajuudella f=0. Ns. näytteistysteoreeman mukaan myös pelkästään ylinäytteistetyllä AD-muuntimella saadaan parempia tuloksia. Tämä johtuu siitä, että kvantisointikohina jakautuu eri taajuuksille tasaisesti. Tällöin, käyttämällä AD-muuntimessa datasignaaliin verrattuna K-kertaista näytetaajuutta, voidaan datasignaalin ulkopuolinen kohina poistaa jälkeenpäin perinteisellä digitaalisella suodattimella. Ero pelkän ylinäytteistetyn AD-muuntimen ja varsinaisen ΣΔ-muuntimen ja välillä on se, että kohinateho saadaan ΣΔ-muuntimessa painottumaan hyötykaistan ulkopuolelle. Ilmiötä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
LisätiedotELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
Lisätiedot6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4
Datamuuntimet 1 Pekka antala 19.11.2012 Datamuuntimet 6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 7. AD-muuntimet 5 7.1 Analoginen
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
LisätiedotSuccessive approximation AD-muunnin
AD-muunnin Koostuu neljästä osasta: näytteenotto- ja pitopiiristä, (sample and hold S/H) komparaattorista, digitaali-analogiamuuntimesta (DAC) ja siirtorekisteristä. (successive approximation register
Lisätiedot1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.
1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät
dsfsdfs S-72.1110 Työ 2 Ryhmä 123: Tiina Teekkari EST 12345A Teemu Teekkari TLT 56789B Selostus laadittu 1.1.2007 Laboratoriotyön suoritusaika 31.12.2007 klo 08:15 11:00 Esiselostuksen laadintaohje Täytä
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille? KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman
LisätiedotSignaalien datamuunnokset
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan
LisätiedotSignaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 09/02/2009 Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan edut Tarkoituksena
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotFYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET
FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä
LisätiedotSpektri- ja signaalianalysaattorit
Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden
LisätiedotLOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi
LOPPURAPORTTI 19.11.2007 Lämpötilahälytin 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET... 3 JOHDANTO... 4 1. ESISELOSTUS... 5 1.1 Diodi anturina... 5 1.2 Lämpötilan ilmaisu...
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
LisätiedotVirheen kasautumislaki
Virheen kasautumislaki Yleensä tutkittava suure f saadaan välillisesti mitattavista parametreistä. Tällöin kokonaisvirhe f määräytyy mitattujen parametrien virheiden perusteella virheen kasautumislain
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLuento 8. Suodattimien käyttötarkoitus
Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely
Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotMatlab-tietokoneharjoitus
Matlab-tietokoneharjoitus Tämän harjoituksen tavoitteena on: Opettaa yksinkertaisia piirikaavio- ja yksikkömuunnoslaskuja. Opettaa Matlabin perustyökaluja mittausten analysoimiseen. Havainnollistaa näytteenottotaajuuden,
LisätiedotMuuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset
Muuntavat analogisen signaalin digitaaliseksi Vertaa sisääntulevaa signaalia referenssijännitteeseen Sarja- tai rinnakkaismuotoinen Tyypilliset valintakriteerit resoluutio ja nopeus Yleisimmät A/D-muunnintyypit:
LisätiedotFlash AD-muunnin. Ominaisuudet. +nopea -> voidaan käyttää korkeataajuuksisen signaalin muuntamiseen (GHz) +yksinkertainen
Flash AD-muunnin Koostuu vastusverkosta ja komparaattoreista. Komparaattorit vertailevat vastuksien jännitteitä referenssiin. Tilanteesta riippuen kompraattori antaa ykkösen tai nollan ja näistä kootaan
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan? SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen
LisätiedotAlias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen
Prosessiorientoituneet mallit Todellista hybridijärjestelmää ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 12: Näytteenottoteoreema ja jatkuvien säätimien diskreetit approksimaatiot Prosessiorientoituneet mallit katsotaan
LisätiedotSuodatus ja näytteistys, kertaus
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6;
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotMitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn
Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa
LisätiedotS-108.180 Elektroniset mittaukset ja elektroniikan häiriökysymykset. Vanhoja tenttitehtäviä
S-18.18 Elektroniset mittaukset ja elektroniikan häiriökysymykset 1. Vastaa lyhyesti: a) Mitä on kohina (yleisesti)? b) Miten määritellään kohinaluku? c) Miten / missä syntyy raekohinaa? Vanhoja tenttitehtäviä
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotS-108.3020 Elektroniikan häiriökysymykset. Laboratoriotyö, kevät 2010
1/7 S-108.3020 Elektroniikan häiriökysymykset Laboratoriotyö, kevät 2010 Häiriöiden kytkeytyminen yhteisen impedanssin kautta lämpötilasäätimessä Viimeksi päivitetty 25.2.2010 / MO 2/7 Johdanto Sähköisiä
LisätiedotA/D-muuntimia. Flash ADC
A/D-muuntimia A/D-muuntimen valintakriteerit: - bittien lukumäärä instrumentointi 6 16 audio/video/kommunikointi/ym. 16 18 erikoissovellukset 20 22 - Tarvittava nopeus hidas > 100 μs (
LisätiedotLuento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a. Kuvaa diskreetin ajan signaaliavaruussymbolit jatkuvaan aikaan
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 5: Kantataajuusvastaanotin AWGNkanavassa I: Suodatus ja näytteistys a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.1-10.6.3]
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014
Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotOperaatiovahvistimen vahvistus voidaan säätää halutun suuruiseksi käyttämällä takaisinkytkentävastusta.
TYÖ 11. Operaatiovahvistin Operaatiovahvistin on mikropiiri ( koostuu useista transistoreista, vastuksista ja kondensaattoreista juotettuna pienelle piipalaselle ), jota voidaan käyttää useisiin eri kytkentöihin.
LisätiedotKapeakaistainen signaali
Tiedonsiirrossa sellaiset signaalit ovat tyypillisiä, joilla informaatio jakautuu kapealle taajuusalueelle jonkun keskitaajuuden ympäristöön. Tällaisia signaaleja kutustaan kapeakaistaisiksi signaaleiksi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotLABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS
LABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS 2-1 2. A/D-muunnos Työn tarkoitus Tässä työssä demotaan A/D-muunnoksen ominaisuuksia ja ongelmia. Tarkoitus on osoittaa käytännössä, miten bittimäärä ja näytteenottotaajuus
LisätiedotLABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS
LABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS Päivitetty: 23/01/2009 TP 2-1 2. A/D-muunnos Työn tarkoitus Tässä työssä demotaan A/D-muunnoksen ominaisuuksia ja ongelmia. Tarkoitus on osoittaa käytännössä, miten bittimäärä
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedotspektri taajuus f c f c W f c f c + W
Kaistanpäästösignaalit Monet digitaaliset tiedonsiirtosignaalit ovat keskittyneet jonkin tietyn kantoaaltotaajuuden f c ympäristöön siten, että signaali omaa merkittäviä taajuuskomponetteja vain kaistalla
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotIdentifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Datan käsittely ja tallentaminen Käytännössä kaikkien mittalaitteiden ensisijainen signaali on analoginen Jotta tämä
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotKäytännön radiotekniikkaa: Epälineaarinen komponentti ja signaalien siirtely taajuusalueessa (+ laboratoriotyön 2 esittely)
Käytännön radiotekniikkaa: Epälineaarinen komponentti ja signaalien siirtely taajuusalueessa (+ laboratoriotyön 2 esittely) ELEC-C5070 Elektroniikkapaja, 21.9.2015 Huom: Kurssissa on myöhemmin erikseen
LisätiedotELEC-C5070 Elektroniikkapaja (5 op)
(5 op) Luento 5 A/D- ja D/A-muunnokset ja niiden vaikutus signaaleihin Signaalin A/D-muunnos Analogia-digitaalimuunnin (A/D-muunnin) muuttaa analogisen signaalin digitaaliseen muotoon, joka voidaan lukea
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotKondensaattorin läpi kulkeva virta saadaan derivoimalla yhtälöä (2), jolloin saadaan
VAIHTOVIRTAPIIRI 1 Johdanto Vaihtovirtapiirien käsittely perustuu kolmen peruskomponentin, vastuksen (resistanssi R), kelan (induktanssi L) ja kondensaattorin (kapasitanssi C) toimintaan. Tarkastellaan
LisätiedotPuheenkoodaus. Olivatpa kerran iloiset serkukset. PCM, DPCM ja ADPCM
Puheenkoodaus Olivatpa kerran iloiset serkukset PCM, DPCM ja ADPCM PCM eli pulssikoodimodulaatio Koodaa jokaisen signaalinäytteen binääriseksi (eli vain ykkösiä ja nollia sisältäväksi) luvuksi kvantisointitasolle,
Lisätiedot1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:
Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotSignaalien datamuunnokset. Näytteenotto ja pito -piirit
Signaalien datamuunnokset Muunnoskomponentit Näytteenotto ja pitopiirit Multiplekserit A/D-muuntimet Jännitereferenssit D/A-muuntimet Petri Kärhä 26/02/2008 Signaalien datamuunnokset 1 Näytteenotto ja
LisätiedotMediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin
Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät / systeemitekniikka Jan 019
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedotjärjestelmät Luento 8
DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot
LisätiedotSatelliittipaikannus
Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotFlash AD-muunnin. suurin kaistanleveys muista muuntimista (gigahertsejä) pieni resoluutio (max 8) kalliita
Flash AD-muunnin Flash AD-muunnin koostuu monesta peräkkäisestä komparaattorista, joista jokainen vertaa muunnettavaa signaalia omaan referenssijännitteeseensä. Referenssijännite aikaansaadaan jännitteenjaolla:
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotRadioamatöörikurssi 2015
Radioamatöörikurssi 2015 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 5.11.2015 Tatu Peltola, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus,
LisätiedotRadioamatöörikurssi 2014
Radioamatöörikurssi 2014 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 4.11.2014 Tatu, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus, db Jännitevahvistus
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLuento 7. LTI-järjestelmät
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () =
LisätiedotTuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin
1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.
LisätiedotOrganization of (Simultaneous) Spectral Components
Organization of (Simultaneous) Spectral Components ihmiskuulo yrittää ryhmitellä ja yhdistää samasta fyysisestä lähteestä tulevat akustiset komponentit yhdistelyä tapahtuu sekä eri- että samanaikaisille
LisätiedotKohina. Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N)
Kohina Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N) N on suoraan verrannollinen integraatioaikaan t ja havaittuun taajuusväliin
LisätiedotSignaalimallit: sisältö
Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotT L 9 0 8 Z S I G N A A L I T E O R I A O S A I V: E N E R G I A - J A T E H O T I H E Y S
L 9 8 Z S I G N L I E O R I O S I V: E N E R G I - J E H O I H E Y S 4 Spektrin eneria- ja tehotiheys 57 4. Spektrin eneriatiheys 57 4.. Parsevalin teoreema 57 4.. Spektrin eneriatiheyden ominaisuuksia
Lisätiedot5. OSITTAISINTEGROINTI
5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotHelsinki University of Technology
Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.11 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications ( ov) Syksy 1997. Luento: Pulssinmuokkaussuodatus
Lisätiedot