Laskennallisia näkökulmia proteiinien laskostumisongelmaan

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennallisia näkökulmia proteiinien laskostumisongelmaan"

Transkriptio

1 Laskennallisia näkökulmia proteiinien laskostumisongelmaan Leo Lahti N leo.lahti@hut.fi 1. Johdanto 2. Ongelman esittely 3. Menetelmiä ja haasteita 3.1 Optimointialgoritmit 3.2 Oppivat menetelmät 3.3 Laskennallinen kompleksisuus 3.4 Threading 3.5 Topologiset tarkastelut 4. Katsaus tulevaisuuteen 5. Lähdeluettelo 1. Johdanto Proteiinit ovat tärkeä komponentti elävissä organismeissa. Ne toimivat entsyymeinä elimistömme kemiallisissa reaktioissa, eikä DNA kykene toimimaan ilman niitä. Proteiinien tutkimuksella on tärkeä osa ihmiskehon toiminnan ymmärtämisessä ja taistelussa useita tappavia tauteja vastaan. Proteiinin rakennuspalikoina ovat n. 20 erilaista aminohappoa, jotka liittyvät ketjuiksi eli sekvensseiksi peptisidoksin. Aminohappojen järjestystä, aminohapposekvenssiä, kutsutaan proteiinin primaarirakenteeksi. Aminohappoketju laskostuu fysikaalisten vuorovaikutusten seurauksena kolmiulotteiseksi rakenteeksi. Siitä voidaan erottaa sekundaarirakenne, joka kuvaa aminohappoketjun paikallisia kiertymiä, taittumisia ja vyyhtejä. Tertiaarirakenne kuvaa sitä, miten proteiini on kokonaisuudessaan laskostunut ja määrää proteiinin toiminnan. Rakennetta, jossa proteiini toteuttaa tehtäväänsä kutsutaan natiiviksi tilaksi. Tila voi palautua spontaanisti jopa denaturoinnin jälkeen ilman proteiinin ulkopuolista informaatiota. Tämän viittaa siihen, että natiivi tila on yksikäsitteinen ja määräytyy aminohappojärjestyksestä. Proteiinin laskostumisongelma käsittelee sitä, miten aminohappojärjestyksestä edetään lopulliseen kolmiulotteiseen rakenteeseen. Kyseessä on yksi tämänhetkisen biokemian kiehtovimmista ongelmista. Laskostumisongelman laskennallinen tarkastelu vaatii erilaisia tekniikoita ominaisarvojen laskennasta haastaviin differentiaaliyhtälöihin, optimointiin, epälineaarisiin menetelmiin, funktioiden moniulotteiseen approksimointiin ja moderneihin tietojenkäsittelymenetelmiin. Jopa topologisista konsepteista ja solmuteorian muunnelmista (Jones polynomials) on keskusteltu tässä yhteydessä [1]. Proteiinin aminohappojärjestyksen selvittäminen on huomattavasti edullisempaa ja nopeampaa kuin sen kolmiulotteisen rakenteen tutkiminen. Menetelmä, joka ennustaisi proteiinin kolmiulotteisen rakenteen aminohapposekvenssistä käsin, merkitsisi läpimurtoa proteiinien toiminnan ymmärtämisessä ja niiden synteettisessä valmistamisessa. 1

2 Luon seuraavassa katsauksen erilaisiin laskennallisiin menetelmiin proteiinien kolmiulotteisen rakenteen ennustamiseksi aminohapposekvenssistä käsin. En pureudu yksityiskohtiin, mutta olen pyrkinyt sisällyttämään tekstiin riittävän määrän viitteitä tarkempaa perehtymistä varten. 2. Ongelman esittely Proteiinin rakenne voidaan poikkeustapauksia lukuun ottamatta esittää yksikäsitteisesti muutaman parametrin avulla, joita ovat sidosten pituudet, sidoskulmat, kulmat sidosten määräämien tasojen välillä, sekä erilaiset kiertymät. Mallintamisen näkökulmasta ongelmia ovat mm. sopivan proteiinia kuvaavan potentiaalienergiafunktion valinta, parametrien estimointi tunnetun datan perusteella ja potentiaalin optimointi [1]. Anfinsenin hypoteesin mukaan natiivit konformaatiot vastaavat potentiaalienergiafunktion minimiä. Molekyylin sisäiset vuorovaikutukset ovat monimutkaisia. Energiafunktion muodostamista varten on yritetty selvittää dominoivaa vuorovaikutusta. Ehdokkaita ovat olleet mm. vetysidokset, hydrofobia, sivuketjujen pakkaus ja proteiinin stabiilius. Nämä kaikki ovat laskostumisprosessiin voimakkaasti vaikuttavia tekijöitä, jotka jokaisen realistisen mallin tulisi huomioida. Energiafunktion muodostaminen on oma ongelmansa, jota en lähde tässä käsittelemään perusteellisemmin. Lisää sen muodostamiseen vaikuttavia tekijöitä on kirjattu esimerkiksi tutkimuksessa [1]. Energiafunktion muodostamisen jälkeen se on optimoitava. Optimointi keskittyy vapaan energian minimointiin standardimenetelmillä, kunhan malli on pelkistetty riittävän yksinkertaiseksi. Erilaisilla menetelmillä on omat hyvät ja huonot puolensa, ja parhaisiin tuloksiin päästään luultavasti yhdistelemällä erilaisia malleja laskostumisen erilaisissa vaiheissa. On ehdotettu, että ensin voitaisiin vastata yksinkertaisilla energiafunktiolla kysymykseen siitä, miksi proteiini laskostuu tietyllä tavalla. Tarkkoja energiamalleja tarvittaisiin vasta selittämään, miten proteiini pysyy tuossa rakenteessa [16]. On viitteitä, että yksinkertaisten mallien sijasta realistisemmilla malleilla voi olla vähemmän lokaaleja minimejä, jolloin optimointiongelma helpottuu mallin monimutkaistumisen kustannuksella [9]. Mahdollisten laskostumisreittien ja laskostuneen proteiinin stabiiliuden tutkimiseksi tarvitaan tavanomaisia tai stokastisia differentiaaliyhtälöitä. Proteiinien perusrakenteen geometria näyttää olevan optimoitu siihen, että se aiheuttaa mahdollisten välitilojen joukosta laajan "valuma-altaan" natiiviin tilaan. Valumaaltaalla viittaan niiden välitilojen joukkoon, joista laskos luontevasti etenee oikeaa konformaatiota fysikaalisten vuorovaikutusten suorana seurauksena. Joissakin tutkimuksissa on löydetty viitteitä siitä, että laskostuminen etenisi vaiheittain. Tutkimus [17] esittelee yhden laskostumisongelman, jonka ratkaisu etenee kolmivaiheisesti siten, että konfiguraatiosta saavutaan nopeasti tilaan, jossa on vain konfiguraatiota. Tämä tila pelkistyy edelleen nopeasti 10 3 mahdollisen tilan joukoksi, josta natiivi konformaatio on nopeasti löydettävissä. Tämän kaltainen käytös 2

3 toteutuu vain osalla sekvensseistä. Laskostuvat sekvenssit osoittautuivat tutkimuksessa sellaisiksi, joiden natiivin konformaation ja muiden mahdollisten tilojen välillä oli suuri energiavalli. Laskostumattomilla proteiineilla tätä eroa ei ollut. Tämän mukaan olennaista olisi keskittyä etsintäproseduurien sijasta mahdollisimman hyvän energiafunktion löytämiseen. Proteiinien suunnittelun kannalta on kuitenkin tärkeää tutkia myös laskennallista laskostumismekanismia. Sen avulla voidaan ennustaa synteettisen sekvenssin laskostuvuuden lisäksi laskoksen kolmiulotteinen rakenne. Voidaan myös kysyä, miten olemassa olevaa tietopankkia sekvensseistä ja niitä vastaavista laskoksista voidaan hyödyntää laskostumisen tutkimisessa. Tähän ongelmaan vastaavat oppivat mallit, threading-menetelmä ja topologiset tarkastelut. Tietyn sekvenssin yksikäsitteinen laskostuminen on oleellisesti kuvaus sekvenssiltä rakenteeksi. Tämä viittaa siihen, että matematiikassa esiintyviä topologisia konsepteja voitaisiin kenties soveltaa myös proteiinien tutkimukseen. Lähestymistapaa on menestyksellisesti käytetty RNA:n tutkimisessa. 3. Menetelmiä ja haasteita 3.1 Optimointialgoritmit Tehokkaiden algoritmien suunnittelussa on tärkeää huomioida proteiinimallin ja energiafunktioiden erityispiirteet. Approksimatiiviset algoritmit voivat olla hyödyksi hyvien aloituskonfiguraatioiden etsimiselle ennen perinteisten optimointimenetelmien hyödyntämistä. Energia on monimuuttujafunktio, jonka käsittelyyn on olemassa standardimenetelmiä (esim. steepest descent method). Proteiinin kolmiulotteisessa rakenteessa vapausasteiden määrä on suunnaton. Energiafunktion lokaaleja minimejä löytyy jopa eksponentiaalisesti verrattuna aminohappojen määrään [1]. Globaalia minimiä on vaikea löytää näiden joukosta perinteisillä menetelmillä, koska niillä on taipumus jumiutua lokaaleihin minimeihin. On myös mahdollista, että globaaleja minimejä on useampia kuin yksi. Tällöin samankaltaisten, mutta erillisten matalan energian konformaatioiden perhe muodostaisi proteiinien toiminnallisen tilan [10]. Eräitä algoritmeissa käytettäviä menetelmiä ovat jäädytys (frozing) ja silottaminen (smoothing). Jäädytyksessä osa proteiinilaskoksen rakenteesta kiinnitetään useiden iteraatioden ( ) ajaksi. Laskenta-aikaa säästyy, mutta toisaalta mallin realistisuus kärsii. Silotusalgoritmeissa "silotetaan" optimoitavaa funktiota. Hienojakoisemmat yksityiskohdat unohdetaan aluksi ja keskitytään etsimään funktion muotoa vastaavaa optimialuetta. Kun jonkinlainen optimi on saavutettu, yksityiskohtia lisätään ja optimia tarkennetaan. Menetelmää voisi verrata suunnistamiseen laakson pohjalle. Kauempaa nähdään pohjan paikka vain likimääräisesti, pohjalla nähdään yksityiskohtaisemmin minimikohtien sijainti [12]. Avuksi globaalin minimin etsintään lokaalien minimien heinäsuovasta tulevat geneettiset algoritmit ja Monte Carlo-simulointi. Menetelmät sisältävät konfiguraatioavaruudessa tapahtuvaa satunnaisetsintää sekä hyppyjä globaalin minimin löytämiseksi. On kuitenkin hankalaa osoittaa, että ne varmasti löytävät globaalin minimin, ja jos löytävät, tekevät sen kohtuullisessa ajassa. 3

4 Geneettiset algoritmit sallivat mutaatiot ja kandidaattien risteytykset, joiden avulla saatetaan löytää yhä parempia optimeita. Tämä on etu, mikäli parempien kandidaattien löytäminen näillä menetelmillä on tilastollisesti todennäköistä. Menetelmät vaativat tarkkaa sovitusta ongelmaan ollakseen tehokkaita. Toisaalta ne ovat helppoja ymmärtää ja implementoida. Ne myös tarjoavat alkeellisestikin sovitettuina hyviä ratkaisuehdokkaita silloin, kun muita menetelmiä ei ole helposti käytettävissä. Jokaisella askeleella käsitellään yhden ratkaisuyritteen sijasta useampia kandidaatteja. Kandidaatteja yhdistellään uusien tuottamiseksi. Vanhoja ratkaisukandidaatteja karsitaan todennäköisemmin, mikäli ne sopivat huonosti optimointikriteereihin tai muistuttavat uudempia. Kandidaattiehdokkaissa on mukana parempia ja huonompia kandidaatteja, mutta huonompiin voidaan liittää rankaisutermi ja niitä voidaan korjata vertaamalla toimivampiin samankaltaisiin. Ratkaisuihin voidaan tehdä lieviä satunnaismuutoksia (mutaatio-operaattorit). Optimointikriteerien nojalla parhaat ratkaisut valitaan jatkokäsittelyyn. Samat perusteet pätevät yleisesti populaatiodynamiikkaan. Evolutionaaristen algoritmien käyttöä proteiinien laskotumisen mallintamisessa käsitellään esimerkiksi tutkimuksessa [15]. Monte Carlo-menetelmää käytetään löytämään hyviä minimoijia, jotka muistuttavat todellista laskostettua geometriaa. Proteiinidatapankkia tutkimalla voidaan löytää laskoksessa esiintyville kulmille ja muille parametreille rajoituksia. Yhdistämällä nämä voitaisiin mahdollisesti luoda nykyisiä menetelmiä realistisempi lähestymistapa laskostumisongelman tarkasteluun. 3.2 Laskennallinen kompleksisuus Proteiinit eivät tarvitse laskostumiseensa eksponentiaalista aikaa, vaikka yleinen laskostumisongelma on osoitettu NP-täydelliseksi useissa tutkimuksissa viimeisten parinkymmenen vuoden aikana [15]. NP-täydellisyys tarkoittaa laskennallisen kompleksisuuden käsitteenä polynomiajassa ratkeavaa ongelmaa. Joko luonto kykenee ratkaisemaan NP-täydellisiä ongelmia polynomiajassa, tai sitten sen ei tarvitse ratkaista koko yleistä laskostumisongelmaa. Jälkimmäistä puoltavat muun muassa seuraavat seikat. NP-täydellisyys edellyttää, että haetaan nimenomaan globaalia minimiä, mutta globaalin minimin ja natiivin konformaation yhtenevyys on kuitenkin pelkkä hypoteesi. NP-täydellisyys on lisäksi asymptoottinen omnaisuus, kun luonto taas vaikuttaa äärelliseltä. On löydetty viitteitä siitä, että suuret proteiinimolekyylit jakautuisivat pienempiin yksiköihin, jotka laskostuvat itsenäisesti. NP-täydellisyys liittyy yleensä pahimpaan mahdolliseen laskennalliseen tapaukseen tietyssä ongelmajoukossa, kun taas useimmat joukkoon kuuluvat yksittäistapaukset voivat ratketa polynomiajassa. Kenties luonto on valinnut juuri ne proteiinit, joille laskostumisongelma voidaan ratkaista helposti. Tämä johtaisi meidät keskittymään tutkimuksessa yleisen laskostumisongelman sijasta niihin ongelmiin, joita esiintyy "helppojen" proteiinien laskostumisessa. Sekin on mahdollista, että laskostumismekanismi on tuntemattomalla tavalla koodattu amonihappojärjestykseen. Tässä tapauksessa laskostuminen ei ole etsintäprosessi, eikä laskennallisesta kompleksisuudesta ole edes mielekästä puhua. 4

5 3.3 Oppivat menetelmät Perinteisten menetelmien soveltaminen proteiiniperheisiin yksittäisten sekvenssien sijasta on osoittautunut selvästi tarkemmaksi keskeisten sekundaarirakenteen elementtien tarkastelussa. Sekundaarirakennetta on yritetty ennustaa suoraan aminohapposekvensseistä käsin erilaisilla hahmontunnistusmenetelmillä, kuten ennestään tunnetun rakenteen omaavien proteiinien avulla harjoitetuilla neuroverkoilla [24]. Menetelmien implementoinnissa on suuria eroja. Toiset menetelmät suorittavat luokittelun aminohappojen samankaltaisuuksien perusteella, toiset taas esimerkiksi aposteriorisesti syntyvien sekundaarirakenteiden avulla. Toistaiseksi parhaat menetelmät ennustavat vain noin 70 prosenttia konfiguraatioista oikein [25]. On ehdotettu [6], että sekvenssit, joilla on yli 30 prosentin homologia, synnyttäisivät samanlaisen rakenteen. Siten 70 prosentin raja johtuisi homologisten proteiinien sekundaarirakenteen vaihtelusta. Joidenkin tutkimusten mukaan [13] 30 prosentin virhemarginaali ehkäisee karkeankin rakenne-ennusteen laatimisen. Toistaiseksi sekundaarirakenteen ennusteita on tehty lähinnä vain lokaalien, aminohapon ketjujen nojalla. Jos malleja tehtäisiin suurempien kokonaisuuksien perusteella, voitaisiin ehkä päästä parempiin tuloksiin [1]. Piilotetut Markovin mallit toimivat niin, että jokainen tila tuottaa jonkin tuloksen tietyllä todennäköisyydellä. Myös eteneminen tilojen välillä on satunnaisprosessi. Tutkimalla saatua tulosketjua voidaan päätellä, minkälaiset polut tuottavat kyseisen tulosketjun todennäköisimmin, mutta varsinainen polku pysyy piilossa. Menetelmää on yritetty soveltaa myös proteiinien rakenteen ennustamiseen [14]. Piilotettuja Markovin ketjuja on käytetty etupäässä yksittäisten sekvenssien laskostumisen tutkimiseen etsimällä säännönmukaisuuksia harjoittamalla niitä tunnetun datan avulla. Koska laskostumisen säännönmukaisuuksia etsitään oppivissa malleissa tunnetun proteiinijoukon perusteella, ne ovat yhteen sekvenssiin liittyvien säännöllisyyksien ja erilaisten sekvenssien vertailun välisellä rajapinnalla. 3.4 Threading Bryantin [22] ja Lathropin [23] ehdottama "threading"-metodi lähestyy laskostumisongelmaa seuraavasti. Tunnetun rakenteen omaavien proteiinien datapankista voidaan usein löytää sellainen, jonka rakenne vastaa tutkittavaa proteiinia. Ennustusalgoritmi vertaa tutkittavan proteiinin aminohapposekvenssiä tunnettujen ja vastaavia rakenteita omaavien proteiinien aminohapposekvensseihin. Energiafunktio luokittelee todennäköisyyksiä, joilla tietty sekvenssi muodostaa tietyn rakenteen. Tarkoituksena on etsiä paras vastaavuus tutkittavan ja ennestään tunnettujen rakenteiden välille. Useita tällaisia algoritmeja on tutkittu ja tulokset ovat olleet rohkaisevia. Hyvä puoli on sekin, että rakenteen ennustamisen lisäksi datapankista löydetään samankaltaisia proteiineja ja siten voidaan samalla ennustaa tutkittavan proteiinin ominaisuuksia. 5

6 Neumaier esittää tutkimuksessaan [1] pitkän listan viitteitä threading-metodia sivuavista tutkimuksista. Metodiikka näyttää tällä hetkeltä yhdeltä toimivimmista lähestymistavoista ja lisäksi sen luotettavuus kasvaa jatkuvasti datapankin täydentämisen myötä. Chou ja Fastman [21] analysoivat aminohappojen distribuutiota sekundaarirakenteissa jakaen ne puoltaviin, ehkäiseviin ja indifferentteihin suhteessa mahdollisiin sekundaarirakenne-elementteihin. Tällä tavoin useiden aminohappojen ryhmiä on kyetty yhdistämään tiettyihin sekundaarirakenteisiin [2]. Kun proteiini pakotetaan laskostumaan tunnettujen tapausten mukaisesti, on virheen mahdollisuus kuitenkin olemassa. Sen vuoksi myös muiden menetelmien kehittely jatkuu ja voi antaa paljon lisävaloa ongelman tutkimisessa. 3.5 Topologiset tarkastelumallit Laskostumisongelmaa on pyritty käsittelemään selvittämällä yksittäisen sekvenssin kuvautumista tietyksi kolmiulotteiseksi rakenteeksi. Monet uuden molekyylibiologian ja bioteknologian [19] ongelmat herättävät kysymyksiä, joihin ei voida vastata tyydyttävästi tästä lähtökohdasta käsin. Laskostumisfunktio kuvaa kaikkien mahdollisten sekvenssien avaruuden kaikkien mahdollisten rakenteiden avaruuteen. Laskostumisfunktion ominaisuudet ovat tiiviisti sidoksissa sekvenssiavaruuden ja laskosavaruuden ominaisuuksiin. Tämän lähestymistavan mukaan on tutkittava laskostumisfunktion globaaleja ominaisuuksia. Kenties tässä häämöttää ripaus Jouko Seppäsen kaipaamaa systeemitunnelmaa. Toistaiseksi topologisia tarkasteluja on sovellettu menestyksellisesti RNA:n laskostumisen tutkimuksessa, mutta viime aikoina samaa lähestymistapaa on sovellettu myös proteiineihin. Näyttää siltä, että monet ominaisuuksista ovat yhteisiä yleiselle sekvenssi-rakenne-kuvaukselle, koska niitä on havaittu laskennallisissa tutkimuksissa nukleiinihappojen lisäksi myös polypeptidimalleille [4, 5]. Käänteinen laskostumisongelma kysyy, mikä on niiden sekvenssien joukko, joka tuottaa tarkasteltavan kolmiulotteisen rakenteen. Samaksi rakenteeksi laskostuvien sekvenssien kokoelmaa sanotaan neutraalijoukoksi. Neutraalipolku muodostuu sekvenssijonosta, joka muodostuu kahden sekvenssin välille, kun ensimmäisestä edetään toiseen muuttamalla yhtä sekvenssielementtiä (proteiineissa aminohappoa) kerrallaan. Yhtenäinen neutraalijoukko on neutraaliverkko. Yhtenäisyydellä tarkoitetaan, että verkon kahden sekvenssin välillä on neutraalipolku, jonka kaikki alkiot kuuluvat verkkoon. Samankaltaiset rakenteet vastaavat usein samankaltaisia toimintoja. Samanlaisia rakenteita vastaavien sekvenssien jakautuminen sekvenssiavaruudessa vaikuttaa tutkimusten nojalla satunnaiselta, eikä klusterointia ei ole havaittavissa. Toisaalta on mahdollista, että on olemassa hienojakoisempaa klusterointia, jota emme ole pystyneet vielä tunnettujen laskostumisfunktion osien nojalla jäljittämään [4]. Neutraalijoukon epätasaisen jakautumisen seurauksena on vain harvoja useille sekvensseille yhteisiä rakenteita, mutta lukuisia harvinaisia rakenteita ja neutraaliverkkojen koko vaihtelee suuresti. Sekvenssit, jotka laskostuvat samanlaisiksi rakenteiksi, muodostavat sekvenssiavaruudessa yhtenäisiä neutraaliverkkoja ainakin RNA:n tapauksessa [20]. Keskimääräinen etäisyys satunnaisesta sekvenssistä 6

7 sellaiseen, joka laskostuu halutuksi rakenteeksi, on sekvenssiavaruuden maksimietäisyyteen nähden yleensä lyhyt. Neutraalipolkujen näkökulmasta proteiinin laskostumisessa näyttäisi olevan hyvin samantapaisia ilmiöitä kuin RNA:n tapauksessa. On olemassa viitteitä siitä, että sekvenssiavaruus olisi peittynyt neutraalipolkuihin. Neutraaliverkkojen satunnaisgraafimallit ennustavat, että erilaisia rakenteita vastaavat neutraaliverkot tulisivat aina lähelle toisiaan ainakin jossakin sekvenssiavaruuden osassa [18]. Uudet teoreettiset näkökulmat hyödyntävät neutraalipolkuihin perustuvia ideoita tarkastellen tilastollisia ominaisuuksia, erottaen nopeasti ja yksikäsitteisesti laskostuvat sekvenssit niistä, jotka eivät sitä tee. Sekvenssien ja laskosten avaruuteen ja niiden välisiin kuvauksiin voidaan liittää sekvenssien fysikaalisista, kemiallisista tai biologisista ominaisuuksista riippumattomia topologisia käsitteitä. Luonnollisia kysymyksiä ovat ainakin neutraalijoukkojen levittäytyminen sekvenssiavaruuteen ja erillisten neutraalijoukkojen sijoittuminen toisiinsa nähden. Sopivien topologisten rakenteiden määrittelyn jälkeen voidaan tutkia minkälaisia ilmiöitä avaruudessa voi esiintyä. Rajoitusehdot sisältyvät tässä tapauksessa implisiittisesti itse avaruuden rakenteeseen. Topologisia ominaisuuksia ovat esimerkiksi sekvenssien välinen "etäisyys", tietyn sekvenssin "ympäristö", joka muodostuu etäisyysfunktion mielessä läheisistä sekvensseistä, sekvenssijoukon "reuna", joka joko kuuluu tai ei kuulu joukkoon, sekä samanlaisiksi rakenteiksi laskostuvien sekvenssien "ekvivalenssiluokat". Laskostumisfunktion kohdalla voidaan puhua myös esimerkiksi jatkuvuudesta. Etäisyyden määritteleminen sekvenssien välille kolmiulotteisen rakenteen kautta on mielekästä, koska rakenne määrää proteiinin toiminnan. Etäisyys sekvenssien välillä voitaisiin esimerkiksi määritellä etäisyydeksi niiden neutraaliverkkojen välillä, joihin sekvenssit kuuluvat. Tämä tietysti edellyttää, että neutraaliverkkojen välille on määritelty etäisyys. Sekvenssiavaruuden "saavutettavuustopologia" määräisi pitkälle sitä, minkälaisia rajoituksia, homologiaa ja palautumattomuutta sekvenssiavaruus sisältää. Rajoitusehtojen valossa on mahdollista, että tietystä laskoksesta A on helpompaa saavuttaa toinen laskos B sekvenssitasolla tapahtuvan muuntelun kautta, kuin edetä B:stä A:han. Tällöin ainakin metriikan vaatima symmetria rikkoutuu eikä kyseessä ole metrinen avaruus. Euklidinen tai Hammingin metriikka ovat luultavasti riittämättömiä rakenteita laskostumiskuvauksen matemaattiseen tarkasteluun. Jos sekvenssiavaruuden rakenne aiotaan määritellä neutraalipolkujen ja erilaisten rakenteiden saavutettavuuden kautta, tarvitaan topologiaa heikompia ja tavanomaista eksoottisempia avaruusrakenteita [8, 11]. Eräs ehdotus tällaiseksi on myöa esitopologisten ja ns. suodatinavaruuksien matemaattinen teoria [3] Tilastollisen topologian käytön on perustuttava kunnollisiin tilastollisiin määritelmiin ympäristöstä ja läheisyydestä. Probabilistiset kovergenssiavaruudet ja sumeat topologiat [26] saattaisivat tarjota erään lähestymistavan. On huomattava, että evoluutio ei pelkästään ohjaudu tämän kuvauksen mukaisesti, vaan myös jatkuvasti muokkaa sitä. 7

8 4. Katsaus tulevaisuuteen Ennustuskyvyn mittarina on se, miten hyvin menetelmä kykenee ennustamaan jo olemassa olevan tiedon. Parhaita ennustustekniikoita kilpailutetaan kahden vuoden välein Asilomarissa (Kalifornia, USA). Viimeksi on järjestetty "Second meeting on the Critical Assessment of Techniques for Protein Structure Prediction" Parhaillaan fyysikot tutkivat kvanttimekaniikan avaamia mahdollisuuksia uudentyyppisten kvanttilaskentaan perustuvien tietokoneiden rakentamisessa. Toteutuessaan kvanttilaskenta mullistaisi kaiken muun ohella myös proteiinien laskostumisen tutkimisen. Sen avulla voitaisiin laskea muutamissa sekunneissa ongelmia, joiden ratkaiseminen on nykyisin käytännössä mahdotonta. Esimerkkinä mainittakoon tietokoneiden nykyisten alkulukuihin nojaavien salausmenetelmien purku. Proteiinien laskostumisongelman merkittävyys, lukuisat avoimet kysymykset, mallintamisen kiehtovuus ja haastavat laskennalliset näkökulmat tekevät tutkimusalueesta paratiisin myös sovelletuille matemaatikoille ja numeerisen analyysin asiantuntijoille. Lupaavia uusia lähestymistapoja ovat proteiiniperheiden tarkastelu yksittäisten proteiinien sijasta, threading-metodi, sekä topologiset konseptit. Lainaan tähän loppuun J. Neumaierin lausumaa elämästä, tutkimuksesta ja Jumalasta: "Molecular biology is mankind's attempt to figure out how God engineered His greatest invention - life. As with all great inventions, details are top secret; however, even top secrets may become known. I find it a great privilege to live in a time where God allows us to gain some insight into His construction plans, only a short step away from giving us the power to control life processes genetically. I hope it will be to the benefit of mankind, and not to its destruction" [1]. 5. Lähdeluettelo [1] J. Neumaier: Molecular modeling of proteins and mathematical prediction of protein structure. SIAM Rev., , [2] A. Krogh et al. : Hidden Markov Models in computational biology: Applications to protein modeling. J. Mol. Biol. 235: , [3] B. M. R. Stadler et al. : The topology of the possible: Formal spaces underlying patterns of evolutionary change. J. Theor. Biol., [4] A. Babajide et al. : Neutral networks in protein space: A computational study based on knowledge-based potentials of mean force. Folding & Design, 2: , [5] E. G. Bornberg-Bauer: How are model protein structures distributed in sequence space? Biophys. J. 73: , [6] C. Sander and R. Schneider: Database of homology-derived protein structures and the structural meaning of sequence alignment. Proteins, 9: 56-68,

9 [7] M. R. Stadler et al.: Recombination spaces, metrics and pretopologies. ( [8] J. Cupal, S. Kopp and P.F. Stadler: RNA shape space topology. Artificial Life, 6: 3-23, [9] M. R. Hoare and J. A. McInnes: Morphology and statistical statics of simple microclusters, Adv. Phys., 32: , [10] Q. X. Hua, M. Kochoyan and M. A. Weiss: Structure and dynamics of despentapeptide-insulin in solution: the molten globule hypothesis, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 89: , [11] W. Fontana and P. Schuster: Shaping space: The possible and the attainable in RNA genotype-phenotype mapping. J. Theor. Biol., 194: , [12] K. A. Dill, A. T. Phillips and J. B. Rosen: Molecular structure prediction by global optimization (Manuscript), [13] J. Garnier: Protein structure prediction. Biochimie, 72: , [14] E. L. L. Sonnhammer, G. von Heijne and A. Krogh: A hidden Markov model for predicting transmembrane helices on protein sequences. In proceedings of the 6th International Conference on Intelligent Systems for Molecular Biology (ISMB), , [15] R. Unger and J. Moult: Genetic algorithms for protein folding simulations. J. Mol. Biol., 231: 75-81, [16] E. E. Lattman and G. D. Rose: Protein folding - what is the question? Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 90: , [17] A. Sali, E. Shakhnovich and M. Karplus: How does a protein fold? Nature, 369: , [18] C. M. Reidys, P. F. Stadler and P. Schuster: Generic properties of combinatory maps: Neural networks of RNA secondary structures. Bull. Math. Biol., 59: , [19] P. Schuster: How to search for RNA structures. Theoretical concepts in evolutionary biotechnology. J. Biotechnology, 41: , [20] P. Schuster, P. F. Stadler and A. Renner: RNA structures and folding: From conventional to new issues in structure predictions. Curr. Opinions Structural Biol., 7: , [21] P. Y. Chou and G. D. Fasman: Biochemistry, 13: , [22] S. H. Bryant and C. E. Lawrence: An empirical energy function for threading protein sequence through folding motif. Proteins, 16: ,

10 [23] R. H. Lathrop: The protein threading problem with sequence amino acid interaction preference is NP-complete. Protein engineering, 7(9): , [24] L. Holley and M. Karplus, Protein secondary structure prediction with a neural network. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 86: , [25] G. D. Rose and T. P. Creamer: Protein folding: predicting predicting. Proteins Struct. Funct. Gen. 19: 1-3, [26] J. N. Mordeson and P. S. Nair. Fuzzy Mathematics: An introduction for Engineers and Scientists. Physica Verlag, Heidelberg, New York

S-114.2500 Basics for Biosystems of the Cell Harjoitustyö. Proteiinirakenteen mallintaminen. Niina Sandholm 62938M Antti Niinikoski 60348E

S-114.2500 Basics for Biosystems of the Cell Harjoitustyö. Proteiinirakenteen mallintaminen. Niina Sandholm 62938M Antti Niinikoski 60348E S-114.2500 Basics for Biosystems of the Cell Harjoitustyö Proteiinirakenteen mallintaminen Niina Sandholm 62938M Antti Niinikoski 60348E Sisällysluettelo Johdanto... 3 Luonnontieteellinen perusta... 3

Lisätiedot

DNA, RNA ja proteiinirakenteen ennustaminen

DNA, RNA ja proteiinirakenteen ennustaminen S-114.500 Solubiosysteemien perusteet Harjoitustyö Syksy 2003 DNA, RNA ja proteiinirakenteen ennustaminen Ilpo Tertsonen, 58152p Jaakko Niemi, 55114s Sisällysluettelo 1. Alkusanat... 3 2. Johdanto... 4

Lisätiedot

Proteiinien kontaktiresidyjen ennustaminen. Tuomo Hartonen Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari

Proteiinien kontaktiresidyjen ennustaminen. Tuomo Hartonen Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari Proteiinien kontaktiresidyjen ennustaminen Tuomo Hartonen Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari 13.12.12 Terminologiaa Aminohappo = proteiinien rakennuspalikka, luonto käyttää 20 erilaista

Lisätiedot

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu

Lisätiedot

Viral DNA as a model for coil to globule transition

Viral DNA as a model for coil to globule transition Viral DNA as a model for coil to globule transition Marina Rossi Lab. of complex fluids and molecular biophysics LITA (Segrate) UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MILANO - PhD Workshop October 14 th, 2013 Temperature

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 12 To Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 12 To 3.5.2018 Timo Männikkö Luento 12 Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento 12 To 3.5.2018 2/35 Algoritmien

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten merkkijonoja voidaan hakea tehokkaasti? Millaisia hakuongelmia liittyy bioinformatiikkaan?

Ongelma(t): Miten merkkijonoja voidaan hakea tehokkaasti? Millaisia hakuongelmia liittyy bioinformatiikkaan? Ongelma(t): Miten merkkijonoja voidaan hakea tehokkaasti? Millaisia hakuongelmia liittyy bioinformatiikkaan? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ihmisen, eläinten ja kasvien hyvinvoinnin kannalta nykyaikaiset mittaus-,

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla

Lisätiedot

Aukkoja sekvensseissä. Tuomo Hartonen Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari

Aukkoja sekvensseissä. Tuomo Hartonen Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari Aukkoja sekvensseissä Tuomo Hartonen Teoreettisen fysiikan syventävien opintojen seminaari 25.04.13 Terminologiaa Aminohappo = proteiinien rakennuspalikka, proteiinit rakentuvat 22:sta erilaisesta, 20

Lisätiedot

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin

Lisätiedot

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä 5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa

Lisätiedot

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman

Lisätiedot

Biopolymeerit. Biopolymeerit ovat kasveissa ja eläimissä esiintyviä polymeerejä.

Biopolymeerit. Biopolymeerit ovat kasveissa ja eläimissä esiintyviä polymeerejä. Biopolymeerit Biopolymeerit ovat kasveissa ja eläimissä esiintyviä polymeerejä. Tärkeimpiä biopolymeerejä ovat hiilihydraatit, proteiinit ja nukleiinihapot. 1 Hiilihydraatit Hiilihydraatit jaetaan mono

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit

Lisätiedot

Kaikkiin kysymyksiin vastataan kysymys paperille pyri pitämään vastaukset lyhyinä, voit jatkaa paperien kääntöpuolille tarvittaessa.

Kaikkiin kysymyksiin vastataan kysymys paperille pyri pitämään vastaukset lyhyinä, voit jatkaa paperien kääntöpuolille tarvittaessa. NIMI: OPPILASNUMERO: ALLEKIRJOITUS: tehtävä 1 2 3 4 yht pisteet max 25 25 25 25 100 arvosana Kaikkiin kysymyksiin vastataan kysymys paperille pyri pitämään vastaukset lyhyinä, voit jatkaa paperien kääntöpuolille

Lisätiedot

PROTEIINIEN MUOKKAUS JA KULJETUS

PROTEIINIEN MUOKKAUS JA KULJETUS PROTEIINIEN MUOKKAUS JA KULJETUS 1.1 Endoplasmakalvosto Endoplasmakalvosto on organelli joka sijaitsee tumakalvossa kiinni. Se on topologisesti siis yhtä tumakotelon kanssa. Se koostuu kahdesta osasta:

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019

Lisätiedot

Joonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen

Joonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Määrittelydokumentti

Määrittelydokumentti Määrittelydokumentti Aineopintojen harjoitustyö: Tietorakenteet ja algoritmit (alkukesä) Sami Korhonen 014021868 sami.korhonen@helsinki. Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin yliopisto 23. kesäkuuta

Lisätiedot

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN Matematiikka ja matematiikan soveltaminen, 4 osp Pakollinen tutkinnon osa osaa tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja soveltaa talousmatematiikkaa

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea. Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella

Lisätiedot

Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus. Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi 2010 01 18

Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus. Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi 2010 01 18 Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi 2010 01 18 Sisältö Tutkimusmenetelmät: Laskennallinen materiaalitutkimus teoreettisen kemian menetelmillä Esimerkki

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Molekyyli- ja solubiologia ELEC-2210 Proteiinit

Molekyyli- ja solubiologia ELEC-2210 Proteiinit Molekyyli- ja solubiologia ELEC-2210 Proteiinit Vuento & Heino: Biokemian ja solubiologian perusteet, ss. 51-66 Alberts et al. Essential Cell Biology, 4. p, luku 4 Dos. Tuomas Haltia, HY, Biotieteiden

Lisätiedot

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))

f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n)) Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 NSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA) Ehkä tunnetuin EMO-menetelmä

Lisätiedot

Mitä elämä on? Astrobiologian luento 15.9.2015 Kirsi

Mitä elämä on? Astrobiologian luento 15.9.2015 Kirsi Mitä elämä on? Astrobiologian luento 15.9.2015 Kirsi Määritelmän etsimistä Lukemisto: Origins of Life and Evolution of the Biosphere, 2010, issue 2., selaile kokonaan Perintteisesti: vaikeasti määriteltävä

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä

Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä Juuso Meriläinen 27.11.2015 Juuso Meriläinen Tiedonsiirron kokonaisoptimointi erilaisten tietoverkkojen yhteiskäytössä 1 / 11 Johdanto

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI 2008-2009 Muutokset on hyväksytty teknillisen tiedekunnan tiedekuntaneuvostossa 13.2.2008 ja 19.3.2008. POISTUVAT OPINTOJAKSOT:

Lisätiedot

Computing Curricula 2001 -raportin vertailu kolmeen suomalaiseen koulutusohjelmaan

Computing Curricula 2001 -raportin vertailu kolmeen suomalaiseen koulutusohjelmaan Computing Curricula 2001 -raportin vertailu kolmeen suomalaiseen koulutusohjelmaan CC1991:n ja CC2001:n vertailu Tutkintovaatimukset (degree requirements) Kahden ensimmäisen vuoden opinnot Ohjelmistotekniikan

Lisätiedot

Harjoitus 7 -- Ratkaisut

Harjoitus 7 -- Ratkaisut Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,

Lisätiedot

Hunajakakku menossa lingottavaksi

Hunajakakku menossa lingottavaksi POHDIN projekti Hunajakenno Mehiläispesän rakentuminen alkaa kennoista. Kenno on mehiläisvahasta valmistettu kuusikulmainen lieriö, joka jokaiselta sivultaan rajoittuu toisiin kennoihin. Hunajakennot muodostavat

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Perusvuorovaikutukset. Tapio Hansson

Perusvuorovaikutukset. Tapio Hansson Perusvuorovaikutukset Tapio Hansson Perusvuorovaikutukset Vuorovaikutukset on perinteisesti jaettu neljään: Gravitaatio Sähkömagneettinen vuorovaikutus Heikko vuorovaikutus Vahva vuorovaikutus Sähköheikkoteoria

Lisätiedot

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1) Harjoitustehtäviä (erä 1) 1 1. Käytetään yksinkertaisesti Bayesin kaavaa: P (A B) = P (A)P (B A). P (B) Tapauksessa B = 1 saadaan P (A = 0 B = 1) = P (A = 1 B = 1) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (A = 1)P

Lisätiedot

matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki 16.02.2015 Matematiikan ja tilastotieteen laitos

matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki 16.02.2015 Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Leipätyönä sovellettu matematiikka Tapio Helin Nuorten akatemiaklubi Helsinki 16.02.2015 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tapio Helin

Lisätiedot

Pentapeptidirakenteiden yleisimmät yhtäläisyydet

Pentapeptidirakenteiden yleisimmät yhtäläisyydet Pro gradu -tutkielma Fysiikan suuntautumisvaihtoehto Pentapeptidirakenteiden yleisimmät yhtäläisyydet Ilja Honkonen Huhtikuu 2008 Ohjaaja: prof. Arto Annila Tarkastajat: prof. Arto Annila prof. Ritva Serimaa

Lisätiedot

Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu

Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu (Valmiin työn esittely) 11.4.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Työn tavoite Tutkia evoluutioalgoritmia (Lee

Lisätiedot

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.

Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea. Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

Tietokoneohjelmien käyttö laadullisen aineiston analyysin apuna

Tietokoneohjelmien käyttö laadullisen aineiston analyysin apuna Tietokoneohjelmien käyttö laadullisen aineiston analyysin apuna Laadullinen, verbaalinen, tulkinnallinen aineisto kootaan esimerkiksi haastattelemalla, videoimalla, ääneenpuhumalla nauhalle, yms. keinoin.

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen 08.09.2014 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Erkki Heikkola Numerola Oy, Jyväskylä Laskennallisten tieteiden päivä 29.9.2010, Itä-Suomen yliopisto, Kuopio Putkistojen äänenvaimentimien suunnittelu

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Trichoderma reesein geenisäätelyverkoston ennustaminen Oskari Vinko

Trichoderma reesein geenisäätelyverkoston ennustaminen Oskari Vinko Trichoderma reesein geenisäätelyverkoston ennustaminen Oskari Vinko 04.11.2013 Ohjaaja: Merja Oja Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta

Lisätiedot

Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus

Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus Informaation leviäminen väkijoukossa matemaattinen mallinnus Tony Nysten 11.4.2011 Ohjaaja: DI Simo Heliövaara Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Väkijoukon toiminta evakuointitilanteessa Uhkaavan tilanteen huomanneen

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien

Lisätiedot

Lentotiedustelutietoon perustuva tykistön tulenkäytön optimointi (valmiin työn esittely)

Lentotiedustelutietoon perustuva tykistön tulenkäytön optimointi (valmiin työn esittely) Lentotiedustelutietoon perustuva tykistön tulenkäytön optimointi (valmiin työn esittely) Tuukka Stewen 1.9.2017 Ohjaaja: DI Juho Roponen Valvoja: prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Introduction to Machine Learning

Introduction to Machine Learning Introduction to Machine Learning Aki Koivu 27.10.2016 HUMAN HEALT H ENVIRONMENTAL HEALT H 2016 PerkinElmer Miten tietokone oppii ennustamaan tai tekemään päätöksiä? Historia tiivistettynä Machine Learning

Lisätiedot

Simulation model to compare opportunistic maintenance policies

Simulation model to compare opportunistic maintenance policies Simulation model to compare opportunistic maintenance policies Noora Torpo 31.08.18 Ohjaaja/Valvoja: Antti Punkka Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 1 Ti 14.3.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin valinta Algoritmin analysointi Algoritmin suoritusaika Peruskertaluokkia Kertaluokkamerkinnät Kertaluokkien ominaisuuksia

Lisätiedot

MS-C2111 Stokastiset prosessit

MS-C2111 Stokastiset prosessit Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos toimisto: Y241, vastaanotto: pe 13:30-14:30 2017, periodi I KURSSIN JÄRJESTELYT Kurssin järjestelyt Luennot ja harjoitusryhmät Luennot tiistaisin

Lisätiedot

Geneettiset algoritmit

Geneettiset algoritmit Geneettiset algoritmit Evoluution piirteitä laskennassa Optimoinnin perusteet - Kevät 2002 / 1 Sisältö Geneettisten algoritmien sovelluskenttä Peruskäsitteitä Esimerkkejä funktion ääriarvon etsintä vangin

Lisätiedot

Vastaa lyhyesti selkeällä käsialalla. Vain vastausruudun sisällä olevat tekstit, kuvat jne huomioidaan

Vastaa lyhyesti selkeällä käsialalla. Vain vastausruudun sisällä olevat tekstit, kuvat jne huomioidaan 1 1) Tunnista molekyylit (1 piste) ja täytä seuraava taulukko (2 pistettä) a) b) c) d) a) Syklinen AMP (camp) (0.25) b) Beta-karoteeni (0.25 p) c) Sakkaroosi (0.25 p) d) -D-Glukopyranoosi (0.25 p) 2 Taulukko.

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa

Lisätiedot

Vesivoimaketjun optimointi mehiläisalgoritmilla (Valmiin työn esittely)

Vesivoimaketjun optimointi mehiläisalgoritmilla (Valmiin työn esittely) Vesivoimaketjun optimointi mehiläisalgoritmilla (Valmiin työn esittely) Sakke Rantala 2.12.2013 Ohjaaja: DI Hannu Korva Valvoja: Professori Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia)

ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia) ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia) Elämän edellytykset: Solun täytyy pystyä (a) replikoitumaan (B) katalysoimaan tarvitsemiaan reaktioita tehokkaasti ja selektiivisesti eli sillä on oltava

Lisätiedot

Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1.

Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1. Master's Programme in Life Science Technologies (LifeTech) Prof. Juho Rousu Director of the Life Science Technologies programme 3.1.2017 Life Science Technologies Where Life Sciences meet with Technology

Lisätiedot

Avainsanojen poimiminen Eeva Ahonen

Avainsanojen poimiminen Eeva Ahonen Avainsanojen poimiminen 5.10.2004 Eeva Ahonen Sisältö Avainsanat Menetelmät C4.5 päätöspuut GenEx algoritmi Bayes malli Testit Tulokset Avainsanat Tiivistä tietoa dokumentin sisällöstä ihmislukijalle hakukoneelle

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

Gap-filling methods for CH 4 data

Gap-filling methods for CH 4 data Gap-filling methods for CH 4 data Sigrid Dengel University of Helsinki Outline - Ecosystems known for CH 4 emissions; - Why is gap-filling of CH 4 data not as easy and straight forward as CO 2 ; - Gap-filling

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Lakkautetut vastavat opintojaksot: Mat Matematiikan peruskurssi P2-IV (5 op) Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (5 op)

Lakkautetut vastavat opintojaksot: Mat Matematiikan peruskurssi P2-IV (5 op) Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (5 op) KORVAVUUSLISTA 31.10.2005/RR 1 KURSSIT, jotka luennoidaan 2005-2006 : Lakkautetut vastavat opintojaksot: Mat-1.1010 Matematiikan peruskurssi L 1 (10 op) Mat-1.401 Mat-1.1020 Matematiikan peruskurssi L

Lisätiedot

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 01: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. 0/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 0: Johdanto. Elementtiverkko. Solmusuureet. JOHDANTO Lujuuslaskentatehtävässä on tavoitteena ratkaista annetuista kuormituksista aiheutuvat rakenteen siirtmätilakenttä,

Lisätiedot

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:

Lisätiedot

Paavo Kyyrönen & Janne Raassina

Paavo Kyyrönen & Janne Raassina Paavo Kyyrönen & Janne Raassina 1. Johdanto 2. Historia 3. David Deutsch 4. Kvanttilaskenta ja superpositio 5. Ongelmat 6. Tutkimus 7. Esimerkkejä käyttökohteista 8. Mistä näitä saa? 9. Potentiaali 10.

Lisätiedot

Ohjelmistojen mallintaminen, mallintaminen ja UML

Ohjelmistojen mallintaminen, mallintaminen ja UML 582104 Ohjelmistojen mallintaminen, mallintaminen ja UML 1 Mallintaminen ja UML Ohjelmistojen mallintamisesta ja kuvaamisesta Oliomallinnus ja UML Käyttötapauskaaviot Luokkakaaviot Sekvenssikaaviot 2 Yleisesti

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

Kysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa

Kysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa make connections share ideas be inspired Kysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa Nina Survo ja Antti Leskinen SAS Institute Mitä on kysynnän ennustaminen? Ennakoiva lähestymistapa, jolla pyritään

Lisätiedot

Etsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen

Etsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen 12.12.2007 Webin lyhyt historia http://info.cern.ch/proposal.html http://browser.arachne.cz/screen/

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

ti 27.8. 9-12 Tfy-0.3131 Termodynamiikka tentinvalvonta PHYS K215 Tfy-99.2261 Fysiologia Tfy-99.4275 Signal Processing in Biomedical Engineering

ti 27.8. 9-12 Tfy-0.3131 Termodynamiikka tentinvalvonta PHYS K215 Tfy-99.2261 Fysiologia Tfy-99.4275 Signal Processing in Biomedical Engineering Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu versio 1 Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma tbh 30.5.2013 F- ja LL-LAITOSTEN SYVENTÄVIEN KURSSIEN TENTTIJÄRJESTYS 2013-2014 TENTIT JÄRJESTETÄÄN

Lisätiedot