1.5 Tasaisesti kiihtyvä liike
|
|
- Jutta Korhonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jos pudotat lyijykuulan aanpinnan läheisyydessä, sen vauhti kasvaa joka sekunti noin 9,8 etrillä sekunnissa kunnes törää aahan. Tai jos suoritat autolla lukkojarrutuksen kuivalla asvaltilla jostain kohtuullisesta nopeudesta, auton vauhti vähenee vakioarvolla joka sekunti. Liikettä sanotaan tasaisesti kiihtyväksi, jos kappaleen nopeus uuttuu jollain vakioarvolla aikayksikköä kohti. Näin ollen yös hidastuva liike onkin fysiikassa kiihtyvää! Tasaisesti kiihtyvän liikkeen tapauksessa kuten yleensäkin liikettä käsiteltäessä tavoitteena on esittää liikkuvan kappaleen rata ajan funktiona. Tässä luvussa liike on aina suoraviivaista. Tasaisen kiihtyvyyden ääritelä ei häästytä. Se ilaisee vain kiihtyvyyden äärän aikayksikössä. Kiihtyvyyttä erkitään usein a:lla. Kiihtyvyys aikavälillä [t 2 ;t 1 ] on a= v t = v 2 v 1 t 2 t 1, issä nopeus on siis uuttunut v 2 :sta v 1 :een. Kiihtyvyyden ääritelän yhtälön osoittajassa on siis etrejä sekunnissa ja niittäjässä sekunteja, joten kiihtyvyyden yksikkö on s 2 eli etriä neliösekunnissa. Kuten ääritelästä huoaat, kyseessä on tarkein sanottuna keskikiihtyvyys tarkasteltavalla aikavälillä. Mitä tarkoittaa etriä neliösekunnissa? On uistettava, että eillä on käytössä tietyllä tavalla kehittynyt ja kehitetty kirjaaistyökalu. Se, itä e kirjoitae, on allin alli tai allista tehty alli. Käytössä oleva kirjaaistyökalu on aika hyvä, utta ei täydellinen. Tää alli tuottaa uun uassa neliösekunnin. Sitä ei ole pakko ottaa ihan todesta. Kun tutkija havaitsee jonkin iliön, hän kehittää ielessään idean siitä, istä tuossa iliössä on kysyys. Sitten hän tiivistää tuon iliön testattavaksi teoriaksi ja esittää sen edelleen ateaattisena allina. Tuon ateaattisen allin hän kirjoittaa yhtälöinä näkyviin. Metri neliösekunnissa on siis tuon kirjaaistavan tulos. Ei uuta. Itse todellisuus on sitten jossain kaukana, tutkijan ieleensä rakentaan käsityksen tuolla puolen. Metrin neliösekunnissa -kaltaiset asiat ovat tään ketjun tai hierarkian tässä eidän päässäe. Tarkastellaan kiihtyvän liikkeen ensiäisessä esierkissä linja-auton liikettä pysäkiltä toiselle. 1(11)
2 Seuraavan esierkin kole kuvaa esittävät sen nopeutta ajan funktiona. Vaaka-akselilla on aika lähdöstä sekunteina iloitettuna. Esierkki 9 2(11)
3 Hetkellä nolla sekuntia auto lähtee liikkeelle paikaltaan. Vihreä viiva, joka päättyy 12 sekunnin kohdalla, esittää auton kiihtyvyyttä nollasta 14 etriin sekunnissa eli nollasta noin viiteen kyppiin eli tietysti viiteen kyeneen kiloetriin tunnissa. Koska vihreä viiva on aivan suora, keskikiihtyvyyden laskeinen on ielekästä sikälikin, että kiihtyvyys on ollut saa koko 12 sekunnin ajan. Olisikohan tuossa autossa laadukkaat autoaattivaihteet! Kiihtyvyydeksi saan a 1 = v 14 t = s 0 s 12 s 0 s =1,2. s 2 Välillä 12 sekuntia 20 sekuntia vauhti kasvaa tuosta 14 etristä sekunnissa 20 etriin sekunnissa eli kiihtyvyys on a 2 = v 20 t = s 14 s 20 s 12 s =0,75. s 2 Tätä kuvaa turkoosi viiva, joka on taas hellittäättöän suora, joten kiihtyvyys on ollut aivan tasaista. Järjestyksessä keskiäisen kuvan tylsännäköinen ja epäääräisen värinen vaakaviiva erkitsee kiihtyvyyttä nolla: a 3 = v 20 t = s 20 s 200 s 20 s =0 s =0. 2 Viieisessä kuvassa, toinen vihreä viiva, kuljettaja jarruttaa esierkillisen tasaisesti nopeudesta noin 20 etriä sekunnissa paikalleen. Mahdollinen sivuttaisliike esierkiksi kaartainen 3(11)
4 pysäkille ei näy kuvassa kuten ei näkynyt yöskään lähtövaiheen kaartainen tielle. Kiihtyvyydeksi saan nyt Onko 1,2 kiihtyvyys on a 3 = v 0 t = s 20 s 230 s 200 s =0,67. s 2 s 2 suuri kiihtyvyys? Nopea auto kiihtyy nollasta sataan viidessä sekunnissa eli sen 28 s 0 s a 4 = 5s =5,6 s 2, kun joillekin oottoripyörille luvataan saa nopeus puolessa tuosta ajasta eli kaksinkertainen kiihtyvyys noin 11 s 2. Tää on jo nopeapaa kuin pienikokoisen, utta suuriassaisen esineen kiihtyvyys vetovoian vaikutuksesta aanpinnan lähellä, kun se putoaa vapaasti. Vapaasti putoavan kappaleen kiihtyvyys on g = 9,80665 s 2 silloin, kun ilanvastus tai ikään uukaan ei hidasta liikettä. Itse asiassa tuo ainittu oottoripyörän kiihtyvyys edellyttää, että kui sulaa kiinni asvalttiin, koska teoreettisesti suurin ahdollinen kiihtyvyys on tuo yhden g:n kiihtyvyys. Sitä suureat kiihtyvyydet edellyttävät kuuuudessa sulavaa kuia, rattaita, iukuppeja tai uuta vastaavaa keinoa takertua tiehen. Pelkän tien ja renkaan välisen kitkan varassa se ei onnistu. Maan vetovoian kiihtyvyys Maan pinnan lähellä on g =9,80665 s 2 Kiihtyvyys 1,2 ei siis ole erityisen suuri. Eri asia sitten on, itä asiasta arvelee s 2 ruuhkabussissa pystyssä taiteileva atkustaja. Jos kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä ja sen kiihtyvyys on a, niin niin ajan t kuluttua sen vauhti on uuttunut äärällä 4(11)
5 Nopeuden uutos kiihtyvyydellä a ajan t kuluttua on v=at Esierkki 10 Raketti lähtee paikaltaan kiihtyvyydellä 0,5 g jonka kiihtyvyyden se säilyttää uuttuattoana viiden sekunnin ajan, inkä jälkeen polttoaine loppuu. Laske raketin loppunopeus polttoaineen loppuishetkellä. Loppunopeus on v=v 0 at=0 0,5 9,80665 s 2 5 s 24,5 s, koska nyt alkunopeus v 0 on nolla. Vastaus: Raketin loppunopeus on noin 24,5 /s. Käytännössä raketin kiihtyvyys kasvaisi koko ajan koska sen assa pienenee sitä ukaa kuin sen polttoaine vähenee, utta työntövoia pysyy saana. Esierkki 11 Kaksivaiheinen säähavaintoraketti lähtee paikaltaan aan suhteen kiihtyvyydellä 1 g, joka kiihtyvyys kestää 40 sekuntia. Ensiäisen vaihe hylätään heti kun sen polttoaine on loppu, jolloin toinen vaihe käynnistetään. Toinen vaihe toiii 30 sekuntia ja antaa kiihtyvyyden 1,5 g. Laske raketin loppunopeus. Vakio g saadaan taulukkokirjasta tai laskiesta. Sen arvo on g=9,80665 s 2. Likiarvo 9,8 s 2 riittää usein. Koska raketti lähtee paikaltaan, v 0 = 0, niin ensiäisen vaiheen sauessa raketin vauhti on v 1 =v 0 at=9,80665 s 2 40 s=392 s. Raketin loppunopeus toisen vaiheen jälkeen on v=v 1 1,5 9,80665 s 2 30 s=835 s. Vastaus: Raketin loppunopeus on noin 835 etriä sekunnissa. 5(11)
6 Esierkki 12 Lennokki lähtee paikaltaan kiihtyvyydellä 3 s 2 ja lentää sitten vakionopeudella 185 k/h kaksi tuntia. Kahden tunnin lennon jälkeen lennokki laskeutuu täydellä atkanopeudellaan. Se tarvitsee 50 etriä pitkän kiitoradan ennen kuin pysähtyy. Laske atka, jonka lennokki lentää alun kiihdytysvaiheen aikana sekä laskeutuiskiihtyvyys. Aluksi kannattaa laskea aika, jonka lennokki tarvitsee alun kiihdytykseen. Koska lennokki lähtee paikaltaan, niin alkunopeus on taas nolla, joten voit ratkaista ajan yhtälöstä 185 v=at t= v a = 3,6 s 3 s 2 17,13 s. Koska kiihtyvyys on tasaista, se erkitsee uun uassa sitä, että keskivauhti kiihdytysjakson aikana on alkunopeuden ja loppunopeuden keskiarvo eli v keski = v v alku loppu = v v v = 0=0 1 alku loppu 2 v = 1 loppu at (1) 2 Koska toisaalta tiedetään, että keskinopeus on atkan pituuden ja atkaan käytetyn ajan osaäärä eli v keski = s t, josta s=v keski t, niin sijoittaalla keskinopeus yhtälöstä (1) saadaan s=v keski t= 1 2 at t= 1 2 at 2. Kun tähän kaavaan sijoitetaan a = 3 s 2 ja t 17 s, niin saadaan tulos, että lennokki lentää kiihdytysvaiheen aikana atkan s 440. Koska laskeutuessaan lennokki jarruttaa täydestä lentonopeudesta 185 k/h paikoilleen, niin sen keskinopeus laskeutuisvaiheen aikana on puolet tästä eli 92,5 k/h. Tästä saadaan pysähtyiseen tarvittava aika. Ratkaistaan yllä olevasta yhtälöstä a ja sijoitetaan kaavaan: s= 1 2 at2 a= 2s t 2 26 s 2 2,7 g. 6(11)
7 Vastaus: Lennokki lentää alun kiihdytysvaiheen aikana atkan 440 etriä. Laskeutuiskiihtyvyys on noin 26 s 2. Hiean yleisepi kaava, joka kytkee yhteen tasaisen kiihtyvyyden ja atkan, ottaa huoioon, että aina ei lähdetä liikkeelle paikalta eikä origosta. Jos atka alkaa hetkellä t = 0 etäisyydeltä s 0 alkuvauhdilla v 0, niin ajan hetkenä t Tasaisesti kiihtyvän kappaleen ajassa t kulkea atka s=s 0 v 0 t 1 2 a t 2 (1) Seuraavassa esierkissä valotan tasaisesti kiihtyvän liikkeen ja atkan yhteyttä vähän toisella tavalla. Esierkki 13 Kuuden kypin rajoitus vaihtuu liikennevaloissa suoraan 120:ksi ja oottoritie alkaa. Moottoripyöräilijä saa näissä valoissa niin sanotun lentävän lähdön eli valo vaihtuu vihreäksi juuri kun hän on tulossa kohtaan, jossa pitäisi jo jarruttaa. Hän kiihdyttää kuudesta kypistä sataan kahteen kyppiin 5,3 sekunnissa. Saavutettuaan nopeuden 120 k/h pyörän kuljettaja säilyttää sen seuraavat 18 inuuttia, inkä jälkeen hän kääntyy rapille hidastaatta vauhtiaan ja pysähtyy täydestä nopeudesta vasta rapin jälkeen tasaisesti jarruttaen 16 sekunnissa. Kuinka pitkän atkan hän ajoi laskettuna 120 k/h rajoituksen alusta? Kun kappale kulkee tasaisella vauhdilla 120 kiloetriä tunnissa, se etenee 18 inuutissa atkan s a=0 =v t=120 k h h=36 k. Entä tasaisesti kiihtyvä pyörä? Piirretään apukuva. Oletetaan, että oottoripyörä kykenee ylläpitäään saaa, tasaista kiihtyvyyttä 60:sta aina 120:aan, ihin se ei todellisuudessa tarkkaan ottaen pysty. Me siis approksioie eli arvioie sen liikettä tasaisella kiihtyvyydellä. Sen vauhti ajan funktiona näyttäisi siis seuraavalta. Sininen, nouseva viiva kuvaa pyörän nopeutta 7(11)
8 kiihdytyksen aikana ja vihreä vaakaviiva tasaisen nopeuden osuuden alkua. Lisään kuvaan vielä ustan katkoviivan kuvaaaan pyörän liikkeen pohjana ollutta kuuden kypin alkunopeutta. Tällöin jaan nopeuskäyrän alle jäävän alan kahteen osaan: kuuden kypin alkunopeuden osuus, joka on suorakulio ja siihen kiihdytyksen tuoaa lisää, joka on puolestaan kolio. Kuten tunnettua, jos pyörä jatkaisi tasaisella 60 kiloetrin nopeudella tunnissa, se kulkisi 6 sekunnissa atkan s 0 =60 k h 5,3 s=88. Kun katsot seuraavaa kuvaa, niin huoaat, että tää 88 etriä on yös kuvan sen suorakulion pinta-ala, joka jää sinisen pilkkuviivan eli suoran y = 60 k/h, nopeusakselin eli pystyakselin, aikaakselin eli vaaka-akselin sekä suoran x = 5,3 s väliin. v, [k/h] 8(11) t, [s]
9 Sovelletaan nyt tätä havaintoa kiihtyvyyden tuoaan lisään eli suorakulion yläpuolella olevaan kolioon. Sen ala on s 1 = 1 5,3 s 120 k/h 60 k/h =44 2 eli yhteensä 132 etriä. Saatuaan lentävän lähdön liikennevaloista oottoripyörä etenee kiihdytyksen aikana 132 etriä. Ajorupeaan lopuksi oottoripyörä tai ainakin sen kuljettaja! jarruttaa 120:sta paikalleen 16 sekunnissa. Kaaviokuvana se näyttää seuraavalta: Tään kolion ala on s jarrutus = k/h 16 s=267. Yhteensä atkaa kertyi siis 36 k = Vastaus: Moottoripyöräilijä ajoi yhteensä noin 36,4 kiloetriä. Huoaa, että kaavassa s jarrutus = k/h 16 s=267 tää s jarrutus on jarrutusvaiheen alku- ja loppunopeuksien keskiarvo sekä aika, joka jarrutukseen kului kuten yhtälössä (1) ja sen seurausyhtälöissä. 9(11)
10 Huoaa, että jos Esierkissä 13 kuvat olisivat ahtuneet kaikki rinnakkain järkevässä ittakaavassa esitettyinä, näkisit heti, että pyörän kulkea koko atka on sen alueen pinta-ala, joka jää nopeutta esittävän käyrän ja vaaka-akselin väliin. Ehkä kysyt: Mistä lähtien etri on ollut pinta-alan yksikkö? Minä vastaan: Siitä lähtien, kun atka on ollut keskinopeuden ja atkaan käytetyn ajan tulo. Esierkki 14 Laske Esierkki 13:n oottoripyörän keskivauhti. Keskivauhdin laskeiseen tarvitset aina atkan, joka on kuljettu sekä tähän atkaan käytetyn ajan. Tässä tapauksessa atka on etriä ja aika on 16 sekuntia + 5,3 sekuntia + 18 inuuttia eli aika on noin 1101 sekuntia. Keskinopeus v on siis v s 33 s 119 k h. Vastaus: Pyörän keskinopeus oli 119 kiloetriä tunnissa. Esierkki 15 Rautakuula lähtee nopeudella 500 Kuinka kaukana se on silloin lähtöpaikastaan laskettuna? s suoraan ylös. Kuinka kauan kestää, että se pysähtyy? Merkitään kuulan nopeutta kirjaiella v ja sen alkunopeutta kirjaiella v 0. Koska vetovoia hidastaa kuulan nopeutta joka sekunti noin 9,81 etrillä sekunnissa, saadaan yhtälö v=v 0 g t=500 s 9,81 s 2 t ja koska etsitään ajan t hetkeä, jona v = 0, niin 10(11)
11 500 s 9,81 s 2 t=0, josta t = 51 s. Etäisyys lähtöpaikasta eli tällä kertaa korkeus lähtökorkeuteen verrattuna on s= 1 2 a t 2 = 1 2 g t ,81 s 2 51 s 2 =12 758, koska nyt a = g ja g 9,81 s 2. Vastaus: Kuula pysähtyy 51 sekunnin kuluttua ja se nousee noin 13 kiloetrin korkeuteen. 11(11)
FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ
FYSIIKAN HARJOITUSTEHTÄVIÄ MEKANIIKKA Nopeus ja keskinopeus 6. Auto kulkee 114 km matkan tunnissa ja 13 minuutissa. Mikä on auton keskinopeus: a) Yksikössä km/h 1. Jauhemaalaamon kuljettimen nopeus on
LisätiedotKinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 2010 PARTIKKELI. Suoraviivainen liike
Kinematiikka -1- K09A,B&C Harjoitustehtäviä Kevät 010 PARTIKKELI Suoraviivainen liike 1. Suoraviivaisessa liikkeessä olevan partikkelin asema on (järjestelmä m, s) 3 x ( = t 15t + 36t 10. Laske a) partikkelin
LisätiedotLiikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa
Lisätiedot1.3 Kappaleen tasaisesta liikkeestä
Arkikielen sana vauhti (speed) tarkoittaa fysiikassa nopeuden (velocity) suuruutta (magnitude of velocity). Kun nopeus on fysiikassa vektorisuure, niin vauhti taas on vain luku skalaari johon liittyy yksikkö.
Lisätiedota) Huippukiihtyvyys luetaan kuvaajalta, n. 0,3 sekunnin kohdalla kiihtyvyys on a = 22,1 m/s 2 joka m 22,1
Perussarja 03 LUKION FYSIIKKAKILPAILU 5..03. Linnanäen huvipuistossa on Raketti-niinen laite (kuva), joka sinkoaa raketin lailla kyydissä istuvat 60 etrin korkeuteen. Yliästä aseasta laite pudottaa atkustajat
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotPietarsaaren lukio Vesa Maanselkä
Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotMEKANIIKAN TEHTÄVIÄ. Nostotyön suuruus ei riipu a) nopeudesta, jolla kappale nostetaan b) nostokorkeudesta c) nostettavan kappaleen massasta
MEKANIIKAN TEHTÄVIÄ Ympyröi oikea vaihtoehto. Normaali ilmanpaine on a) 1013 kpa b) 1013 mbar c) 1 Pa Kappaleen liike on tasaista, jos a) kappaleen paikka pysyy samana b) kappaleen nopeus pysyy samana
Lisätiedoton hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis
Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
LisätiedotAUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,
AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan
Lisätiedot2.5 Liikeyhtälö F 3 F 1 F 2
Tässä kappaleessa esittelen erilaisia tapoja, joilla voiat vaikuttavat kappaleen liikkeeseen. Varsinainen kappaleen pääteea on assan liikeyhtälön laatiinen, kun assaan vaikuttavat voiat tunnetaan. Sitä
LisätiedotHavainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!
Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin
LisätiedotFYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen
FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN
LisätiedotKuva 1: Etäisestä myrskystä tulee 100 metrisiä sekä 20 metrisiä aaltoja kohti rantaa.
Kuva : Etäisestä yrskystä tulee 00 etrisiä sekä 20 etrisiä aaltoja kohti rantaa. Myrskyn etäisyys Kuvan ukaisesti yrskystä tulee ensin pitkiä sataetrisiä aaltoja, joiden nopeus on v 00. 0 tuntia yöhein
LisätiedotFysiikan lisäkurssin tehtävät (kurssiin I liittyvät, syksy 2013, Kaukonen)
1. Ylöspäin liikkuvan hissin, jonka massa on 480 kg, nopeus riippuu ajasta oheisen kuvion mukaisesti. Laske kannatinvaijeria jännittävä voima liikkeen eri vaiheissa. (YO, S 84) 0-4s: 4,9 kn, 4..10s: 4,7
LisätiedotFYSIIKAN HARJOITUSKOE I Mekaniikka, 8. luokka
FYSIIKAN HARJOITUSKOE I Mekaniikka, 8. luokka Oppilaan nimi: Pisteet: / 77 p. Päiväys: Koealue: kpl 13-18, s. 91-130 1. SUUREET. Täydennä taulukon tiedot. suure suureen tunnus suureen yksikkö matka aika
LisätiedotFysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi
Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
LisätiedotLiike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä
Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan
Lisätiedotv = Δs 12,5 km 5,0 km Δt 1,0 h 0,2 h 0,8 h = 9,375 km h 9 km h kaava 1p, matkanmuutos 1p, ajanmuutos 1p, sijoitus 1p, vastaus ja tarkkuus 1p
2. Pyöräilijä lähti Pietarsaaresta kohti Kokkolaa, jonne on matkaa 33 km. Hän asetti tavoitteeksi ajaa edestakaisen matkan keskinopeudella 24 km/h. Vastatuulen takia hän joutui käyttämään menomatkaan aikaa
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotE 3.15: Maan pinnalla levossa olevassa avaruusaluksessa pallo vierii pois pöydän vaakasuoralta pinnalta ja osuu lattiaan D:n etäisyydellä pöydän
HARJOITUS 2 E 3.9: Fysiikan kirja luisuu pois pöydän vaakasuoralta pinnalta nopeudella 1,10 m/s. Kirja osuu lattiaan 0,350 sekunnin kuluttua. Jätä ilmanvastus huomiotta. Laske a) pöydän pinnan etäisyys
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
Lisätiedot1 Oikean painoisen kuulan valinta
Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40
Diskreetin ateatiikan perusteet Laskuharjoitus 4 / vko 40 Tuntitehtävät 31-32 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 35-36 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 33-34 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotRatkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet
197 Lausu logaritmeja käyttämättä jaksollisen desimaaliluvun (kymmenysluvun) 0,578703703 kuutiojuuri jaksollisena desimaalilukuna. [S3, pitempi kurssi] Ratkaisut 1917 197 1917 Tarkastelemme kolmiota ABC,
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
LisätiedotRATKAISUT: 7. Gravitaatiovoima ja heittoliike
Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotHarjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio
Harjoitustyö Hidastuva liike Biljardisimulaatio Tietotekniikka Ammattialan matemaattiset menetelmät Tommi Sukuvaara Nico Hätönen, Joni Toivonen, Tomi Poutiainen INTINU13A6 Arviointi Päiväys Arvosana Opettajan
LisätiedotMuunnokset ja mittayksiköt
Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotMAA2 POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT
MAA POLYNOMIFUNKTIOT JA YHTÄLÖT 17.11.017 Nimi: 1 3 Yhteensä Kokeessa on kolme osaa: A, B1 ja B. Aosa: Tehtävät tehdään ilman laskinta Tee kaikki neljä () tehtävää (jokainen max 6p) Kun palautat tämän
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotLuku 6 Kysyntä. > 0, eli kysyntä kasvaa, niin x 1. < 0, eli kysyntä laskee, niin x 1
40 Luku 6 Kysyntä Edellisessä luvussa näie, että ratkaisealla kuluttajan valintaongelan pitäällä paraetrit (p, p, ) yleisinä, saae eksplisiittisen kysyntäfunktion kuallekin hyödykkeelle. Ilaisie kysyntäfunktiot
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot1.4 Suhteellinen liike
Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan
Lisätiedot1 Laske ympyrän kehän pituus, kun
Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotMekaniikkan jatkokurssi
Mekaniikkan jatkokurssi Tapio Hansson 16. joulukuuta 2018 Mekaniikan jatkokurssi Tämä materiaali on suunnattu lukion koulukohtaisen syventävän mekaniikan kurssin materiaaliksi. Kurssilla kerrataan lukion
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotFysiikka 1. Dynamiikka. Voima tunnus = Liike ja sen muutosten selittäminen Physics. [F] = 1N (newton)
Dynamiikka Liike ja sen muutosten selittäminen Miksi esineet liikkuvat? Physics Miksi paikallaan oleva 1 esine lähtee liikkeelle? Miksi liikkuva esine hidastaa ja pysähtyy? Dynamiikka käsittelee liiketilan
Lisätiedota) Oletetaan, että happi on ideaalikaasu. Säiliön seinämiin osuvien hiukkasten lukumäärä saadaan molekyylivuon lausekkeesta = kaava (1p) dta n =
S-, ysiikka III (S) välikoe 7000 Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rs seuraaville 6 olekyylien nopeusjakauille: a) kaikkien vauhti 0 / s, b) kolen vauhti / s ja
LisätiedotGravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike
Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotSarake 1 Sarake 2 Sarake 3 Sarake 4. Vahvistumisen jälkeen tavaran hinta on 70. Uusi tilavuus on
AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE 1/5 TEHTÄVÄOSA / Ongelmanratkaisu 1.6. 2017 TEHTÄVÄOSA ONGELMANRATKAISU Vastaa kullekin tehtävälle varatulle ratkaisusivulle. Vastauksista tulee selvitä tehtävien
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!
Lisätiedot= 2 1,2 m/s 55 m 11 m/s. 18 m 72 m v v0
Kertaustehtävät. c) Loppunopeus on v = as =, /s 55 /s. 8 7 v v0 3,6 s 3,6 s. c) Kiihtyvyys on a = =,0. t 5 s s Kolessa sekunnissa kuljettu atka on 7 s3 = v0t + at = 3,0 s + (,0 /s ) (3,0 s) 55,5. 3,6 s
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotSekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.
KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotSovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 5 / vko 12
Diskreetin ateatiikan perusteet Esierkkiratkaisut 5 / vko 1 Tuntitehtävät 51-5 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 55-56 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 53-54 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotTKK, TTY, LTY, OY, ÅA, TY ja VY insinööriosastojen valintakuulustelujen fysiikan koe 1.6.2005, malliratkaisut.
1 Kuvaan 1 on piiretty kahden suoraviivaisesti samaan suuntaan liikkuvan auton ja B nopeudet ajan funktiona. utot ovat rinnakkain ajanhetkellä t = 0 s. a) Kuvaile auton liikettä ajan funktiona. Kumpi autoista
LisätiedotLaskun vaiheet ja matemaattiset mallit
Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 26. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 26. syyskuuta 2016 1 / 14 Hieman kertausta
LisätiedotLiikemäärä ja voima 1
Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
LisätiedotLue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.
MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
Lisätiedot2.11 Väliaineen vastus
Jokainen, joka on taistellut eteenpäin kohti kovaa vastatuulta tai yrittänyt juosta vedessä, tietää omasta kokemuksestaan, että väliaineella todellakin on vastus. Jos seisoo vain hiljaa paikoillaan vaikkapa
LisätiedotOhjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin
Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat
Lisätiedot2.2 Principia: Sir Isaac Newtonin 1. ja 2. laki
Voima se on joka jyllää!, sanottiin ennen. Fysiikassakin voimalla tarkoitetaan jokseenkin juuri sitä, mikä ennenkin jylläsi, joskin täytyy muistaa, että voima ja teho ovat kaksi eri asiaa. Fysiikan tutkimuksen
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
LisätiedotSyksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.
LisätiedotAMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE
AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE OHJEITA Valintakokeessa on kaksi osaa: TEHTÄVÄOSA: Ongelmanratkaisu VASTAUSOSA: Ongelmanratkaisu ja Tekstikoe HUOMIOI SEURAAVAA: 1. TEHTÄVÄOSAN tehtävään 7 ja
Lisätiedot2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
LisätiedotTALOUDELLINEN AJOTAPA. Ennakoiva ajotapa
TALOUDELLINEN AJOTAPA Ennakoiva ajotapa Mitä voi tehdä 10 sekunnin aikana? Ennakoiva autoilija ajattelee liikenteessä siten, että hän miettii omaa tilannettaan 10 sekunnin päähän. Mitä tapahtuu seuraavaksi?
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotFunktion kuvaaja ja sen tulkinta
Funktion kuvaaja ja sen tulkinta 165. Kuvaaja esittää Miiron kulkemaa matkaa kotoa kouluun. a) Kuinka pitkä on Miiron koulumatka? b) Kuinka kauan koulumatka kestää? c) Kuinka pitkän matkan Miiro on kulkenut
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
Lisätiedot766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
Lisätiedot