S Laskennallisen tieteen erikoiskurssi. Antti Kuronen Teknillinen korkeakoulu Laskennallisen tekniikan laboratorio PL TKK

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "S-114.250 Laskennallisen tieteen erikoiskurssi. Antti Kuronen Teknillinen korkeakoulu Laskennallisen tekniikan laboratorio PL 9400 02015 TKK"

Transkriptio

1 S Laskennallisen tieteen erikoiskurssi Antti Kuronen Teknillinen korkeakoulu Laskennallisen tekniikan laboratorio PL TKK maaliskuu 2000

2 i Esittely iii Materiaalia iii Esitiedot ja edellytykset iv Yleistä 1 Fysiikan tietokonesimulaatioista 1 Deterministiset ja stokastiset simulaatiomenetelmät 2 Monte Carlo -menetelmän historiasta 5 Esimerkkejä sovellutuksista 6 Statistista fysiikkaa 10 Faasiavaruus 10 Ensemblet 12 Makroskooppisten suureiden laskeminen 17 Todennäköisyyslaskentaa 20 Yleistä 20 Tärkeimmät todennäköisyysjakaumat 23 Ajasta riippuvat ilmiöt 25 Metropoliksen Monte Carlo 35 Monte Carlo -integrointi 35 Metropolis-algoritmi 38 Metropolis-algoritmin parannuksia 49 Monte Carlo -simulaatiot eri ensembleissä 57 Yleistä 57 Mikrokanoninen ensemble 57 Vakiopaine-ensemble 58 Suurkanoninen ensemble 63 Simulaatio-ohjelma käytännössä 71 Reunaehdot 71 Potentiaalienergian laskeminen 74 Pitkän kantaman potentiaalit 78 Alkuehdot 83 Tulosten analysoinnista 85 Satunnaisluvuista 91 Tasaisesti jakautuneiden satunnaislukujen generointi 91 Erilaiset sartunnaislukujakaumat 100 Atomien välisistä vuorovaikutuspotentiaaleista 105 Yleistä 105 Idealisoidut potentiaalit 106 Redusoidut yksiköt 109 Realistiset potentiaalit 110 Tasapainosimulaatioiden sovellutuksia 115 Tilanyhtälö ja faasitasapaino 115 Faasitasapainon simulointi 121 Ajasta riippuvien ilmiöiden simulointi 128 Yleistä 128 Säteilyn kulkeutumisen simulointi 129 Varaustenkuljettajien kulkeutuminen puolijohdemateriaaleissa 143

3 ii Kineettinen Monte Carlo 144 Yleistä 144 Pinnan kasvu ja pintadiffuusio 149 Van der Waalsin tilanyhtälö 167

4 iii Esittely Kurssi S Laskennallisen tieteen erikoiskurssi kuuluu laskennallisen tekniikan pää/sivuaineen vaihtoehtoisiin opintoihin Kurssin laajuus on 4opintoviikkoa ja suoritus koostuu harjoituksista (osuus loppuarvosanassa 40%) ja lopputyöstä (60%) Kevätlukukaudella 2000 luennoitsijana toimii tutkija Antti Kuronen Laskennallisen tekniikan laboratorio puh Lukujärjestys on seuraavanlainen: luennot: harjoitukset: ma klo sali H402 ke klo sali H402 pe klo sali S3 ma klo sali H402 Päämääränä on perehdyttää opiskelija stokastisiin ja jonkin verran myös deterministisiin simulointimenetelmiin ja niiden soveltamiseen fysikaalisten ilmiöiden tutkimisessa Materiaalia Tärkein materiaali on kurssin luentomoniste, jotka on käsissäsi Muuta materiaalia ja viitteitä löydät kurssin kotisivulta Kotisivulla on mm kurssin ilmoitustaulu Kirjoista voisi mainita seuraavat: 1 M P Allen, D J Tildesley: Computer Simulation of Liquids

5 Varsin kattava ja usein viitattu teos, joka käsittelee molekyylisysteemien siumlointia Monte Carlo - ja molekyylidynamiikkamenetelmillä (Viittauksissa nimellä Allen-Tildesley) 2 DWHeermann: Computer Simulation Methods in Theoretical Physics Kirja käsittelee sekä deterministisiä (molekyylidynamiikka) että stokastisia (Monte Carlo, Langevin) simulointimenetelmiä (Viittauksissa nimellä Heermann) 3 KBinder, DWHeermann: Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction Kirjassa käydään läpi Monte Carlo -menetelmän teoreettisia perusteita statistisen fysiikan sovellutusten kannalta (Viittauksissa nimellä Binder-Heermann) 4 DFrenkel, BSmit: Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications Kirja rajoittuu -kuten nimikin kertoo- molekyylisysteemien simulointiin Sekä molekyylidynamiikka että Monte Carlo -menetelmät käydään läpi Kirjaan liittyy esimerkkiohjelmia, jotka voi hakea kirjan kotisivulta osoitteesta frenkel_smit (Viittauksissa nimellä Frenkel-Smit) 5 AKersch, WJ Mokoroff: Transport Simulation in Microelectronics Kirja käsittelee Monte Carlo -menetelmän käyttöä mikroelektroniikan materiaalien prosessoinnin ja komponenttien varauksenkuljetuksen mallintamisessa (Viittauksissa nimellä Kersch-Mokoroff) iv Esitiedot ja edellytykset Statistisen fysiikan perusteet Jonkin ohjelmointikielen hallinta (C tai Fortran) - Kurssin laskuharjoituksissa ja varsinkin lopputyössä laaditaan ohjelmia, joten ohjelmointitaito on välttämätön Tietokoneen käyttömahdollisuus

6 1 1 Yleistä 11 Fysiikan tietokonesimulaatioista Simulaatioiden (tai laskennallisten menetelmien) asemaa fysiikassa voi parhaiten havainnollistaa seuraavalla kuvalla LUONTO MALLI MITTAUKSET SIMULAATIOT TEORIA KOETULOKSET EKSAKTEJA TULOKSIA MALLISTA TEOREETTISIA ENNUSTUKSIA VERTAILU VERTAILU MALLIN TESTAUS TEORIAN TESTAUS Kuva 11: Tietokonesimulaatioiden asema fysiikassa Simulaatioilla voidaan testata sekä teorioita että malleja Ne kaventavat kuilua teorian ja mittausten välillä Toisaalta tämä menetelmä on algoritminen lähestymistapa: lopputlokseen ei ole oikotietä Äärellisen laskentakapasiteetin vuoksi tutkittavan systeemin koko ja myös ilmiön mallintamisen aikaskaala ovat rajoitettuja Tämän vuoksi ns äärelliseen koon vaikutusten (finite size effects) osuutta simulaatiotuloksiin tulisi aina tutkia Lisäksi simulaatioiden statistisesta luonteesta johtuen tuloksissa on statistista epämääräisyyttä Simulaation suoritus voidaan jakaa eri vaiheisiin kuvan 12 mukaan

7 2 Malli voi olla hyvinkin ilmeinen (esim kiinteä aineatomit, jotka vuorovaikuttavat potentiaalin välityksellä) tai sitten ei Otetaan esimerkiksi ns Isingin malli Siinä systeemi koostuu spineistä S i, joilla voi olla arvot ± 1 Systeemin energia on Fysikaalinen ilmiö E J S i S j i, j, (11) Malli missä summa käy yli lähinaapuriparien Numeerinen algoritmi j i Simulointiohjelma Tietokonemittaus Kuva 13: Isingin malli Isingin mallilla voidaan jossain määrin kuvata ferromagneettisia aineita, mihin malli alunperin kehitettiinkin Mutta se soveltuu moneen muuhunkin ilmiöön Esimerkiksi kaksikomponenttista metalliseosta voidaan kuvata tällä mallilla A Kuva 12: Simulaation suorituksen vaiheet A B Numeerisen algoritmin avulla pystytään laskemaan mallin antamia tuloksia Se voi olla esim algoritmi, jolla kuljetetaan systeemiä ajassa eteenpäin ( liikeyhtälöt ) tai jolla käydään läpi systeemin faasiavaruutta Simulaatioissa ja kokeellisissa mittauksissa on samankaltaisia piirteitä (raakadatan käsittely, statistiset virheet tuloksissa,), joten usein simulaatioita kutsutaan tietokonemittauksiksi (computer experiments) A A B A A Kuva 14: Kaksikomponenttisen metalliseoksen Isingin malli, B 12 Deterministiset ja stokastiset simulaatiomenetelmät Simulaatiomenetelmät voidaan tietyllä tasolla jakaa deterministisiin ja stokastisiin Esimerkiksi laskettaessa monen vapausasteen systeemin tasapaino-ominaisuuksia jako on selkeä Olkoon systeemin Hamiltonin funktio (eli kokonaisenergia) H, ja tilan määrää vektori x

8 3 x ( x 1, x 2,, x n ), (12) missä n on vapausasteiden lukumäärä Monesti systeemi koostuu N:stä atomista tai molekyylistä, jolloin n 6N ja x ( r 1, r 2,, r N, p 1, p 2,, p N ) (13) Usein haluamme laskea tietyn suureen A odotusarvon A Z 1 A( x)f( H( x) ) dx Ω, (14) Z Ω f( H( x) ) dx (15) missä Ω on systeemin faasiavaruus ja f( H( x) ) on todennäköisyystiheysfunktio Tämä on ns ensemblekeskiarvo, jota ei suoraan voi laskea simuloimalla, koska koko faasiavaruutta ei voida käydä läpi On tyydyttävä enemmän tai vähemmän edustavaan otokseen Deterministinen tapa antaa systeemin oman dynamiikan (liikeyhtälöt) kuljettaa tilavektoria halki faasiavaruuden Ensemblekeskiarvo korvataan aikakeskiarvolla A t x t A t t 1 A( x() τ ) dτ 0 (16) Ergodisuus takaa, että A A Käytännössä on tyydyttävä siihen, että A A t Tätä menetelmää kutsutaan molekyylidynamiikaksi (MD) x ( m) Stokastisessa menetelmässä systeemin tiloja generoidaan satunnaisesti Markovin prosessilla Useimmiten ollaan kiinnostuneita vain x:n konfiguraatio-osasta eli koordinaateista r i Liikemäärä voidaan integroida erikseen Suureen A odotusarvo on nyt M A M 1 A( x ( m) ) k 1 (17) Tämä menetelmä on Monte Carlo -simulaatio (MC) Ongelmana on kehittää tehokas algoritmi, jolla käydään läpi faasiavaruuden niitä osia, jotka ovat merkittäviä suureen A laskemisen kannalta Yksi algoritmi on kanonisen ensemblen yhteydessä käytettävä Metropolisalgoritmi: 1 generoi uusi tila: x ( m) x ( m + 1) 2 laske energiaero E H( x ( m + 1) ) H( x ( m) ) 3 jos E < 0, hyväksy uusi tila todennäköisyydellä 1, muuten hyväksy se todennäköisyydellä exp( E kt)

9 4 Voidaan osoittaa (ja myöhemmin kurssilla osoitetaan), että algoritmi generoi tiloja, jotka noudattavat kanonista jakaumaa exp( H( x) kt) MD-menetelmän etuna on, että sillä voidaan tutkia ajasta riippuvia ilmiöitä; Metropolis- MC:llä taas ei Sen avulla toisaalta voidaan tutkia systeemeitä, joilla ei varsinaista sisäistä dynamiikkaa ole ollenkaan Esimerkkinä olkoon Ising-malli: H Ising J S i S j B S ; S (18) i i ± 1 i, j Lisäksi MC-menetelmän avulla voidaan systeemiin tuoda esimerkiksi kemiallisia vapausasteita: algoritmi voi muuttaa atomin tai molekyylin lajia Huomaa, että ylläolevassa esimerkissä ei itse systeemissä (tai sen mallissa) ollut mitään stokastista, satunnaista Integroitaessa faasiavaruuden yli MC-menetelmässä vain käytettiin satunnaisotantaa Itse systeemissä voi olla satunnaiselementtejä i Esimerkiksi gammasäteilyn etenemisessä väliaineessa vuorovaikutusten välimatka on satunnainen suure, joka noudattaa tiettyä todennäköisyysjakaumaa Satunnaisuus voi johtua myös puutteellisesta mallista: jotkut vapausasteet otetaan huomioon stokastisina elementteinä Esimerkkinä Brownin liike, jossa väliaineen vaikutus otetaan huomioon Langevinin liikeyhtälöllä dv m dt γv + Rt (), (19) missä γ on kitkavakio ja Rt () ajasta riippuva satunnaisvoima, jonka statistisista ominaisuuksista tiedämme jotain Langevinin liikeyhtälöitä voidaan käyttää kuvaamaan systeemiä ympäröivää lämpökylpyä (kanoninen ensemble) Termiä Monte Carlo käytetään varsin erilaisisten stokastisten simulaatiomenetelmien yhteydessä Karkeasti ottaen voisi sanoa, että Monte Carlo -menetelmiä ovat simulaatiot, joissa käytetään paljon satunnaislukuja

10 5 13 Monte Carlo -menetelmän historiasta Italialainen matemaatikko Lazzerini arvioi piin likiarvoa heittämällä 3407 kertaa neulan tasavälisten suorien päälle (Buffonin neula) Likiarvoksi tuli eli 7 numeron tarkkuudella oikea (sattumalta?) d P hit 2l πd W S Gossett ( Student ) arvioi -jakaumansa korrelaatiokertoimia otantakokeella Lordi Kelvinin assistentti generoi 5000 satunnaista rataa tutkiessaan hiukkasen ja kaarevan välisiä törmäyksiä l Kuva 15: Buffonin neula Varsinainen Metropolis-MC kehitettiin Los Alamosissa 50-luvulla Ensimmäinen julkaisu lienee N Metropolis, A W Rosenbluth, M N Rosenbluth, A H Teller, E Teller, Equation of State Calculations by Fast Computing Machines, J Chem Phys, 21 (1953) 1087 Julkaisussa tutkittiin kaksiulotteisten kovien kiekkojen tilanyhtälöä Kuva 16: Ensimmäinen MC-julkaisu

11 6 14 Esimerkkejä sovellutuksista Tasapainoilmiöiden simulaatioista otetaan esimerkiksi Lennard-Jones-systeemin (LJ-systeemin) tilanyhtälö LJ-systeemi koostuu atomeista, jotka vuorovaikuttavat LJ-potentiaalin välityksellä V LJ ( r ij ) 4ε σ σ 6 r ij r ij (110) Oheisessa kuvassa on esitetty eri simulaatiomenetelmillä lasketut tilanyhtälöt ρ( P) [F F Abraham Adv Phys 35 (1986) 1] Paineen ja tiheyden yksikköinä on käytetty LJ-systeemin redusoituja yksiköitä Kuvasta näkyvät selvästi eri olomuodot sekä kiteen ylkuumeneminen ja nesteen alijäähtyminen Faasitransitiosta olkoon esimerkkinä kaasun kondensoituminen ja sen klusterimalli [F F Abraham, J Vac Sci Technol B 2 (1984) 534] Kuva 17: Lennard-Jones -systeemin tilanyhtälö MCMonte Carlo, SD,CD,LVdynaamisia menetelmiä Kuva 18: Argonkaasun kondensoituminen

12 Esimerkkinä kuljetusilmiöstä on gamma- ja elektronisäteilyn eteneminen väliaineessa Analyyttisten ratkaisutapojen ongelmana on mm sekundäärihiukkasten synty: elektronigammakaskadi Ilmiön MC-simuloinnin periaate on seuraava: heijastuminen absorptio 7 läpäisy Seurataan hiukkasta väliaineessa vuorovaikutuksesta toiseen Kuva 19: Sätelilyn eteneminen väliaineessa Vuorovaikutusten välimatkan todennäköisyysjakauma on Ps () e s λ λ, missä hiukkasen keskimääräinen vapaa matka λ 1 σ ja on vuorovaikutuksen vaikutusala eli todennäköisyys σ Simuloinnissa generoidaan välimatkoja s ja jokaisen vuorovaikutuksen kohdalla arvotaan vuorovaikutusmekanismi (ks oheinen kuva) Hiukkasen uusi suunta ja energia saadaan ko vuorovaikutuksen differentiaalivaikutusalasta Myös mahdollisen sekundäärihiukkasen tiedot otetaan muistiin Kuvassa 111 on esitetty muutamia MC-menetelmällä simuloituja elektronien ja niiden synnyttämien fotonien ratoja 1 γ 1 γ 2 e - γ γ 1 γ 2 Ze e + e - e - e - γ Ze e -/+ γ 1 e + e - γ 2 e - Kuva 110: Gamma- ja elektronisäteilyn vuorovaikutusmekanismit 1 Elektronin energia lienee muutama sata kev

13 8 05 cm Kuva 111: Energeettisten (muutama sata kev) elektronien eteneminen vedessä Monte Carlo - simulaatiolla laskettuna Erilaisia kuljetus- ja kasvuilmiöitä voidaan mallintaa kineettisellä Monte Carlolla (KMC) Tärkeitä sovellutuksia ovat mm diffuusio kiinteässä aineessa, kiteen kasvu, säteilyvaurioiden kulkeutuminen KMC perustuu siihen, että kuvaamme systeemiä sellaisella tasolla, että voimme erottaa tietyn joukon diskreettejä tapahtumia E { e 1, e 2,, e N }, joissa systeemi siirtyy tilasta toiseen Lisäksi aikaskaala on sellainen, että mitkään tapahtumat eivät tapahdu samanaikaisesti Otetaan esimerkiksi kiteen kasvu kaasufaasista Tapahtumia ovat: adsorptio, desorptio ja atomin hypyt pinnalla erilaisissa geometrioissa adsorptio desorptio diffuusio diffuusio diffuusio

14 9 Kuva 112: Kiteen kasvatuksessa havaittavat tapahtumat Algoritmi tämän toteuttamiseksi voisi olla seuraavanlainen: i Generoi tasaisesti jakautunut satunnaisluku ξ [ 0, QC ( k )) ii Valitse tätä vastaava tapahtuma: valitse ensimmäinen indeksi s, jolle pätee s a 1 R a ( C k ) ξ iii Etene uuteen konfiguraatioon toteuttamalla tapahtuma C k + 1 s iv Päivitä niitä todennäköisyyksiä R a, jotka ovat muuttuneet tapahtuman s seurauksena Päivitä Q ja muut tarvittavat tietorakenteet Tässä C k on systeemin tila simulointiaskeleella k, Q( C k ) on kokonaistodennäköisyys aikayksikköä kohti, että systeemi siirtyy johonkin toiseen tilaan ja R a ( C k ) tapahtuman a todennäköisyys aikayksikköä kohti systeemin tilassa C k Lisäksi Monte Carlo -menetelmiä voidaan käyttää kvanttimekaanisten systeemien tutkimiseen (kvantti-monte Carlo, quantum Monte Carlo QMC)

15 10 2 Statistista fysiikkaa (lähteenä Allen-TIldesley) 21 Faasiavaruus Kertaamme seuraavassa lyhyesti kurssilla tarvittavia statistisen fysiikan käsitteitä Pitäydymme klassisessa statistisessa fysiikassa Statistisessa fysiikassa on viimekädessä kyse siitä, miten aineen mikroskooppisesta kuvauksesta saadaan makroskooppisia (termodynaamisia, mitattavia suureita): { qp, } (tai{ r, p} ) makroskooppiset suureet, missä q { q i } ovat systeemin koordinaatit ja p { p i } liikemäärät Systeemiä kuvaa Hamiltonin funktio (eli kokonaisenergia) H( qp, ) Atomisysteemeille Hamiltonin funktio on useimmiten muotoa H( qp, ) H( rp, ) N i 1 p i m i V ( q) (21) Systeemin dynamiikkaa (aikakehitystä) kuvaavat Hamiltonin liikeyhtälöt 1 q k H( qp, ) p k (22) ṗ k H( qp, ) q k (23) Yksinkertaisissa tapauksissa Hamiltonin yhtälöistä saadaan Newtonin liikeyhtälöt dr i dt v i dm (, i v i ) F( r (24) dt ij ) i j Jos meillä on N hiukkasta, koko systeemin tilaa voidaan kuvata pisteellä Γ 6N-ulotteisessa faasiavaruudessa Pisteen kulun määräävät liikeyhtälöt Olemme luonnollisesti kiinnostuneita jonkin suureen A A( Γ) arvosta Kokeellisesti pääsemme käsiksi keskiarvoon: A obs 1 A t A( Γ() t ) t lim A( Γ() t ) dt t obs t obs t obs 0 (25) 1 Kuten olemme jo todenneet, aina ei mallissa ole liikeyhtälöitä

16 11 Simulaatioissa tulisi pystyä laskemaan mikroskooppisesta mallista lähtien Statistisessa fysiikassa käytetään Gibbsin ensemblejä kuvaamaan systeemin todennäköisyyttä olla tietyssä faasiavaruuden pisteessä Tällä tavalla pystytään helpommin laskemaan erilaisia asioita verrattuna siihen, että integroisimme liikeyhtälöitä Olkoon meillä suuri määrä (ensemble) samanlaisia systeemejä (mutta erilaisissa mikroskooppissa tiloissa) Todennäköisyystiheys ρ ens ( Γ)dΓ on verrannollinen faasiavaruuden alkiossa dγ olevien systeemien lukumäärään Tiheys ρ ens on erilainen erilaisille ulkoisille olosuhteille Koska piste Γ on yhtä kuin systeemi, ρ ens ( Γ) riippuu ajasta ρ ens Tiheydelle pätevät säilymislait i ρ käyttäytyy kuten kokoonpuristumaton neste dρ ii Systeemejä ei häviä eikä synny: ens 0 dt ρ iii Tasapainossa ens 0 t A obs Näistä voidaan johtaa tiheydelle liikeyhtälö ρens ( Γ, t) ilρ t ens ( Γ, t), (26) missä Liouvillen operaattori L on il i r i ri + i p i pi (27) Statistisessa fysiikassa aikakeskiarvo siis korvataan ensemblekeskiarvolla A obs A ens A( Γ)ρ ens ( Γ) Γ (28) Eräs tärkeä ja kiistanalainenkin asia on ergodisuus Jos systeemi on ergodinen, tietystä alkutilasta lähdettäessä käydään läpi (liikeyhtälöiden mukaan) kaikki faasiavaruuden pisteet, joissa on nollasta poikkeava ρ ens Todennäköisyystiheydestä käytetään myös normittamatonta muotoa ρ ens ( Γ) w ens ( Γ) ; Q ens w ens ( Γ) (29) Q ens Γ

17 12 w ens ( Γ)A( Γ) Γ A ens w ens ( Γ) Γ (210) Tuo normitustekijä eli partitiofunktio Q ens riippuu systeemin makroskooppisista ominaisuuksista Yhteys termodynamiikkaan saadaan määrittelemällä Ψ ens lnq ens termodynaaminen potentiaali (211) Simuloinnin 1 tarkoitus on yleensä käydä läpi faasiavaruutta mahdollisimman tehokkaasti keskiarvojen laskemista varten A obs Kuten aikaisemmin mainittiin tähän tehtävään on kaksi lähestymistapaa i molekyylidynamiikka: A t ii Monte Carlo: A ens (importance sampling) Tärkeimmät ensemblet eli ulkoiset olosuhteen statistisessa fysiikassa ovat i mikrokanoninen: hiukkaslukumäärä, tilavuus ja sisäinen energia vakioita (NVE) ii kanoninen (NVT): kuten edellä, mutta energian sijasta lämpötila vakio iii isoterminen-isobaarinen (NPT): kuten edellä, mutta tilavuuden sijasta paine vakio iv suurkanoninen (µvt): kuten kanoninen ensemble, mutta hiukkaslukumäärän sijasta kemiallinen potentiaali vakio (Huom: Seuraavassa symbolilla V merkitään systeemin tilavuutta ja symbolilla U systeemin hiukkasten välistä vuorovaikutuspotentiaalia) 22 Ensemblet Miten saadaan nuo tiheysfunktiot erilaisille ulkoisille olosuhteille? 2 Gibbsin entropia määritellään ρ ens S k B ρ ens ( Γ) ln( C N ρ ens ( Γ) ) dγ, (212) missä on Boltzmannin vakio k B Mikrokanonisessa ensemblessä systeemin hiukkaslukumäärä, tilavuus ja kokonaisenergia ovat 1 Tarkemmin: tasapainosimulaation 2 Katso esimerkiksi L E Reichl, A Modern Course in Statistical Physics

18 vakioita (NVE-ensemble) Tasapainotilassa entropia on maksimissaan ja tiheysfunktion on oltava normitettu: 13 ρ ( NVE Γ ) dγ 1 H( Γ) E (213) Käytetään Lagrangen kerrointa etsittäessä tiheysfunktiota: α 0 δ ( α 0 ρ NVE ( Γ) k B ρ NVE ( Γ) ln( C N ρ NVE ( Γ) ) ) dγ 0 (214) H( Γ) E Tästä edelleen ( α 0 k B ln[ C N ρ NVE ( Γ) ] k )δρ ( Γ) dγ B 0 NVE H( Γ) E, (215) ja koska variaatio δρ NVE ( Γ) on mielivaltainen, on integrandin hävittävä: α 0 k B ln[ C N ρ NVE ( Γ) ] 0 k B (216) Saamme siis ρ NVE ( Γ) KH, ( Γ) E 0, muulloin (217) Normitusehdon huomioonottaen saadaan lopulta ρ NVE ( Γ) 1 Ω , ( E, V, N) H ( Γ ) E 0, muulloin (218) Kanonisen ensemblen tapauksessa energian sijasta lämpötila on vakio Mukaan tulee siten lisäehto, että sisäisen energian keskiarvo pysyy vakiona: E H( Γ)ρ NVT ( Γ) dγ (219) Variaatioyhtälö tulee nyt muotoon (uusi Lagrangen kerroin ): α E δ [ ( α 0 ρ NVE ( Γ) + α E H( Γ)ρ NVT ( Γ) k B ρ NVE ( Γ) ln[ C N ρ NVE ( Γ) ]) dγ] 0, (220)

19 14 josta edelleen Samaan tapaan saadaan muiden ensembleiden tiheydet Metropoliksen MC-algoritmi kehitettiin alunperin kanonista ensembleä varten, mutta on helposti yleistettävissä muihinkin ensembα 0 + α E H( Γ) k B ln[ C N ρ NVT ( Γ) ] k B 0 (221) ja ρ NVT ( Γ) exp C N α H( Γ) k B α E k B (222) Normalisaatiosta seuraa α 0 Q NVT exp k B exp C N α E H( Γ) dγ k B (223) Seuraavaksi määritämme kertoimen α E Kertomalla yhtälö (221) ρ NVT :llä ja integroimalla saadaan ( ) ρ NVT ( Γ) dγ + α E H( Γ)ρ NVT ( Γ) dγ ρ NVT ( Γ) ln[ C N ρ NVT ( Γ) ] dγ 0 α 0 k B k B, (224) jonka voimme kirjoittaa muotoon ln + α E E + S 0 k B Q NVT (225) Helmholtzin vapaa energia määritellään joten voimme tehdä seuraavat identifikaatiot missä partitiofunktio on nyt ja tiheysfunktio A U + ST 0, (226) 1 α E ---, A k, (227) T B TlnQ NVT 1 Q NVT e βh( Γ) d Γ ( β ( k B T ) 1 ) (228) C N ρ NVT ( Γ) C N e βh Γ Q NVT ( ) (229)

20 15 leihin Listataan lopuksi vielä eri ensembleiden tiheysfunktiot ja termodynaamiset potentiaalit 1 Mikrokanoninen ensemble: NVE vakioita (eristetty) ρ NVE ( Γ) δ( H( Γ) E) (230) Q NVE δ( H( Γ) E) Γ C N dr dpδ( H( r,p) E) (231) Termodynaaminen potentiaali on nyt entropia: S lnq k NVE B (232) Kanoninen ensemble : NVT vakioita (suljettu) ρ NVT ( Γ) exp( H( Γ) k B T ) (233) Q NVT exp( H( Γ) k B T ) Γ C N r d dpexp( H( r,p) k B T ) (234) Termodynaaminen potentiaali on Helmholtzin vapaa energia: A lnq k B T NVT (235) Isoterminen-isobaarinen ensemble: NPT vakioita ρ NPT ( Γ) exp( ( H( Γ) + PV) k B T ) (236) Q NPT Γ exp( ( H( Γ) + PV) k B T ) C N drdpexp( ( H( r,p) + PV) k V B T ) 0 (237) Termodynaaminen potentiaali on Gibbsin vapaa energia: G lnq k B T NPT (238) 1 Vakio C N h 3N erilaisille hiukkasille ja N!h 3N identtisille

21 16 Suurkanoninen ensemble: µvt vakioita ρ µvt ( Γ) exp( ( H( Γ) + µn ) k B T ) (239) Q µvt N Γ, N exp( ( H( Γ) + µn ) k B T ) exp( µ N k B T ) C N drdpexp( H( r,p) k B T ) (240) Termodynaaminen potentiaali on suuri potentiaali: Ω lnq k B T µvt (241) Jos systeemin Hamiltonin funk tio voidaan jakaa koordinaateista ja liikemääristä riippuviin osiin H( r,p) K( p) + U( r), (242) voimme integroida pois liikemääräosuuden: 1 Q NVT d pexp( K( p) k B T ) d rexp( U( r) k B T ) C N (243) Q NVT id ex Q NVT Q NVT, (244) Tässä ideaalikaasuosuus on id Q NVT V N h ; (245) N!Λ 3N Λ πmk B T ja hiukkasten vuorovaikutuksesta aiheutuva osuus on ex Q NVT d rexp( U( r) k B T ) V N (246) ex Q NVT Metropolis-MC:llä lasketaan vain koordinaateista riippuva osa (konfiguraatio-osa)

22 17 23 Makroskooppisten suureiden laskeminen Simulaatiossa on tarkoituksena siis laskea makroskooppisia (termodynaamisia) suureita systeemin mikroskooppisten ominaisuuksien avulla Seuraavassa on lyhyesti esitetty tärkeimpien suureiden laskeminen lähinnä atomeista koostuville systeemeille Systeemin sisäinen energia on sen kokonaisenergian keskiarvo E H K + U p i U( q) 2m i i (247) Lämpötila taas on kineettisen energian keskiarvo T 2 K Nk B N p i Nk B m i i 1 (248) Systeemin paine P taas saadaan ns viriaalin avulla PV Nk B T + W, (249) missä viriaali W on N W r i f i i 1, (250) f i ja on hiukkaseen i kohdistuva voima Ylläolevat yhtälöt voidaan johtaa ns yleistetystä ekvipartitioteoreemasta 1 H H p k k, (251) p B T q k k k q B T k Kuten myöhemmin tulemme huomaamaan, ei tasapainoilmiöiden Monte Carlo -simulaatioissa ole ollenkaan mukana hiukkasten liikemääriä, joten lämpötilaa ei voi laskea Toisaalta, jos tutkimme ensembleä, jossa lämpötila on vakio, on se ennalta annettu parametri; siis simulaation syöttötieto Erilaiset vastefunktiot kertovat, miten systeemi reagoi tietyn tilamuuttujan muutokseen Tärkein näistä lienee vakiotilavuuslämpökapasiteetti C V Sehän määritellään sisäisen energian lämpötiladerivaattana 1 Ks Allen-Tildesley kappale 24

23 18 C V ( T ) E T V (252) Simulaatioilla :n laskemisen voisi toteuttaa tekemällä useita ajoja eri lämpötiloilla ja integroimalla yhtälö (252) Toisaalta kanonisessa ensemblessä fluktuaatioilla ja vastefunktioilla on yhteys 1, josta voimme lämpökapasiteetin laskea missä C V δh 2 k B T 2 C V, (253) δh 2 H 2 H 2 (254) Tämän fluktuaatio-vastefunktio -yhteyden avulla voidaan monia muitakin vastefunktioita laskea; esimerkiksi lämpölaajenemiskerroin, isoterminen puristuvuus jne Termodynaamisten potentiaalien (eli vapaiden energioiden) laskemista tarvitaan monessa yhteydessä Esimerkiksi kiinteän aineen sulamispisteen saa selville, jos pystyy laskemaan kiteisen ja nestemäisen rakenteen Helmholtzin vapaat energiat Potentiaalien laskeminen ei ole kuitenkaan kovin helppoa Esimerkiksi Helmholtzin vapaan energian potentiaalienergiasta riippuva osa 2 voidaan lausua muodossa A ex exp k B T exp( U k B T ) Qex NVT (255) Toisaalta kanonisessa ensemblessä todennäköisimmät tilat ovat sellaisia, joille on suuri, joten suora keskiarvon lakeminen on tehotonta exp( U k B T ) Käyttökelpoinen tapa laskea energiaeroja on integrointi reversiibeliä reittiä pitkin Esimerkiksi A --- T 2 A --- T 1 T 2 E dt T 1 T 2 (256) tai A --- T 2 A --- T 1 V 2 P --- T d V V 1 (257) Toinen tapa on lähteä idealisoidusta mallista, jonka vapaa energia pystytään laskemaan eksaktisti Olkoon systeemin potentiaalienergia riippuvainen parametrista λ : U U( r, λ) Tällöin saamme seuraavan yhteyden 1 AT, kappale 25 2 A A id + A ex, ks kaavat (235) ja (245)

24 19 A λ k B T [ ln rexp( U( r,λ) k λ d B T )] U d r exp( U k λ B T ) d rexp( U k B T ) U λ (258) Vapaan energian absoluuttiarvo on laskettavissa, jos λ :n avulla voimme kuvata systeemiä, jonka A on laskettavissa (ideaalikaasu, harmoninen kide): A( λ) A( λ 0 ) λ U dλ λ (259) λ 0 Otetaan esimerkiksi harmoninen kide (Einsteinin malli) U( r, λ) U 0 ( r) + λ ( r i r i0 ) 2 N i 1 (260) Kun λ 0, systeemi on alkuperäinen, ja kun λ kasvaa lähestyy systeemi harmonista kidettä Vapaa energia saadaan integraalina A( λ 0) A( λ) λ 0 U dλ' λ (261) Helmholtzin vapaa energia suurella λ :n arvolla voidaan laskea tarkasti A( λ 0) 3Nhω Nk 2 B T 1 e hω k BT ln( ) + O( 1 λ) (262)

25 3 Todennäköisyyslaskentaa Yleistä Seuraavassa käydään läpi kurssiin liittyvää todennäköisyyslaskentaa Todennäköisyyden avulla voimme kuvata enemmän tai vähemmän kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman tai kokeen odotettavissa olevaa tulosta Jos tapahtuman A todennäköisyys on P( A), voimme odottaa, että N :n identtisen kokeen tuloksena saamme NP( A) kappaletta tapahtumia A Rajalla N, tapahtumien A osuus lähestyy arvoa P( A) Kokeen otosavaruus (sample space) S on kokeen mahdollisten tulosten joukko Siis jokainen kokeen tulos vastaa yhtä tai useampaa joukon alkiota (otosavaruuden pistettä) Koe tai tapahtuma on S :n osajoukko Todennäköisyys, että saadaan joko tulos A tai B on P( A B) P( A) + PB ( ) P( A B), (31) missä P( A B) on todennäköisyys, että saadaan sekä A että B Jos tapahtumat A 1, A 2,, A m ovat toisensa poissulkevia ja lisäksi A i :t jakavat S :n osiin: A 1 A 2 A m S, (32) niin pätee P( A 1 ) + P( A 2 ) + + P( A m ) 1 Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos P( A B) P( A)PB ( ) (33) Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys, että tapahtuma A toteutuu ehdolla, että myös tapahtuma B toteutuu Se määritellään PBA ( ) P( A B) PB ( ) (34) Koska P( A B) PB ( A) pätee myös P( A)P( A B) PB ( )PBA ( ) (35) Jos A ja B ovat riippumattomia 1 Lähteenä pääasiassa LEReichl: A Modern Course in Statistical Physics

26 21 PBA ( ) P( A) (36) Suure, jonka arvon määrää edelläesitellyn kokeen tulos on satunnaismuuttuja tai stokastinen muuttuja Otosavaruuden S satunnaismuuttuja X on funktio, joka kuvaa S:n alkiot reaalilukujoukolle Jokaisessa kokeessa muuttuja X voi saada jonkin arvon joukosta { } Pari esimerkkiä X :stä: a) kruunujen lukumäärä kolmen kolikon heiton jälkeen b) noppien silmälukujen maksimi, neljän nopan heiton jälkeen Olkoon X stokastinen muuttuja avaruudessa S Olkoot sallitut arvot X( S) { x 1, x 2, } Voimme tehdä X( S) :stä otosavaruuden antamalla jokaiselle x i :lle todennäköisyyden Nämä todennäköisyydet f( x i ) määrittelevät S :n todennäköisyysjakauman ja niille pätee x i f( x i ) 0 (37) f ( x ) i 1 i (38) Usein meillä on tietoa vain jakauman f momenteista: X n x n i f( x i ) i (39) Ensimmäinen momentti X on keskiarvo ja jakauman standardipoikkema on σ X ( X 2 X 2 ) 12 / (310) Stokastinen muuttuja X voi tietysti saada myös jatkuvia arvoja Esimerkiksi reaalilukuakselin väli a X b voi vastata yhtä tapahtumaa Todennäköisyysjakauma on sellainen paloittain jatkuva funktio, että tapahtuman a X b todennäköisyys on Pa ( X b) f X ( x) dx Lisäksi jakaumafunktio toteuttaa ehdot b a (311) f( x) ja f X ( x) 0 (312) a b Kuva 31: Todennäköisyysjakauma x f ( X x ) d x 1 (313)

27 22 Vastaavasti momentit määritellään x n f X ( x) dx X n (314) Jos tunnemme f X :n kaikki momentit, tunnemme jakauman täysin Tämä voidaan osoittaa ns karakteristisen funktion φ X ( k) avulla: φ X ( k) e ikx e ikx f X ( x) dx n 0 ( ik) n X n n! (315) Todennäköisyystiheys on karakteristisen funktion Fourier-muunnos: f X ( x) e 2π ikx φ X ( k) dk (316) Vastaavasti jakauman momentit saadaan karakteristisen funktion derivaattoina: X n 1 i --- n n d φx dk n ( k) k 0 (317) Stokastisia muuttujia voi olla useampiakin Olkoon meillä muuttujat X( S) { x 1, x 2, } ja Y( S) { y 1, y 2, } Näiden tulojoukko X( S) Y( S) {( x 1, y 1 ), ( x 1, y 2 ),, ( x i, y j ), } muodostaa nyt otosavaruuden, kun määrittelemme parin { x i, y j } todennäköisyydeksi PX ( x i, Y y j ) f( x i, y j ) (318) Muuttujien kovarianssi määritellään cov( X, Y) ( x X )( y Y )f( x, y) dxdy xyf ( x, y) dxdy X Y XY X Y (319) ja korrelaatio cor( X, Y) cov( X, Y) σ X σ Y (320) Korrelaatiolla on seuraavat ominaisuudet (i) cor( X, Y) cor( Y, X), (ii) 1 cor( X, Y) 1,

28 23 (iii) cor( X, X) 1, cor( X, X) 1, (iv) cor( ax + b, cy + d) cor( X, Y), jos ac, 0 (321) Jos muuttujat X ja Y ovat riippumattomia pätevät seuraavat relaatiot (i ) f( x, y) f X ( x)f Y ( y), (ii ) XY X Y, (iii ) ( X + Y) X + Y X 2 X + Y 2 Y, (iv ) cov( X, Y) 0 (322) 32 Tärkeimmät todennäköisyysjakaumat Usein meillä on kyseessä tilanne, jossa on suuri määrä N kokeita, joilla jokaisella on kaksi mahdollista tulosta ( +1 ja 1 ) Esimerkiksi hiukkanen joko siroaa tietyllä matkalla tai sitten ei Olkoot todennäköisyydet tuloksille p ja q Selvästikin p + q 1 Todennäköisyys, että N :n kokeen tuloksena on n 1 kertaa +1 ja n 2 kertaa 1 on P N ( n 1 ) N! p n 1 q n 2 n 1!n 2! (323) Tämä on ns binomijakauma Sen keskiarvo ja standardipoikkeama ovat n 1 pn, σ2 N Npq (324) Binomijakaumasta saadaan rajalla N ja pn (siis p ei ole kovin pieni) Gaussin jakauma P N ( n 1 ) exp 2π σ N ( n 1 n 1 ) σ N 2, (325) missä σ N Npq (326) Gaussin jakauman määräävät kaksi ensimmäistä momenttia n 1 ja σ N Taasen rajalla N ja p 0 siten, että Np a «N (missä a on äärellinen vakio) binomijakaumaa voidaan approksimoida Poissonin jakaumalla

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 0. Käytännön asioita 1 Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208 IX OINEN PÄÄSÄÄNÖ JA ENROPIA...08 9. ermodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon... 08 9. ermodynamiikan toinen pääsääntö... 0 9.3 Entropia termodynamiikassa... 0 9.3. Entropian määritelmä... 0 9.3.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2015 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 ermodynaaminen tasapaino kanonisessa joukossa Mikrokanoninen

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike)

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike) KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 1. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 2 1 1. PERUSKÄSITTEITÄ - Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka:

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

2 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö (First Law of Thermodynamics)

2 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö (First Law of Thermodynamics) 2 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö (First Law of Thermodynamics) 1 Tässä luvussa päästää käsittelemään lämmön ja mekaanisen työn välistä suhdetta. 2 Näistä molemmat ovat energiaa eri muodoissa, ja

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

FY9 Fysiikan kokonaiskuva

FY9 Fysiikan kokonaiskuva FY9 Sivu 1 FY9 Fysiikan kokonaiskuva 6. tammikuuta 2014 14:34 Kurssin tavoitteet Kerrata lukion fysiikan oppimäärä Yhdistellä kurssien asioita toisiinsa muodostaen kokonaiskuvan Valmistaa ylioppilaskirjoituksiin

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 24.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 24.1.2011 1 / 36 Luentopalaute kännykällä alkaa tänään! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT

STOKASTISET PROSESSIT TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1 Kalle Hyvönen Työ tehty 1. joulukuuta 008, Palautettu 30. tammikuuta 009 1 Assistentti: Mika Torkkeli Tiivistelmä Laboratoriossa tehdyssä ensimmäisessä kokeessa

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

782630S Pintakemia I, 3 op

782630S Pintakemia I, 3 op 782630S Pintakemia I, 3 op Ulla Lassi Puh. 0400-294090 Sposti: ulla.lassi@oulu.fi Tavattavissa: KE335 (ma ja ke ennen luentoja; Kokkolassa huone 444 ti, to ja pe) Prof. Ulla Lassi Opintojakson toteutus

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta.

Valomylly. (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta. Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Mikko Marsch Pieni välipala nykyisin lähinnä leluksi jääneen laitteen historiasta Valomylly (tunnetaan myös Crookesin radiometrinä) Pieni välipala nykyisin

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Tietokonemallinnus fysiikan työvälineenä. Juha Samela Luonnonfilosofian seura 13.10.2015

Tietokonemallinnus fysiikan työvälineenä. Juha Samela Luonnonfilosofian seura 13.10.2015 Tietokonemallinnus fysiikan työvälineenä Juha Samela Luonnonfilosofian seura 13.10.2015 Aiheita Mistä on kysymys? Lyhyt historiikki Molekyylidynamiikka ja nanokappaleet Mallinnus vs. kokeet Näkyvän maailman

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I

Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I Havaintokohteita 9. Polarimetria Lauri Jetsu Fysiikan laitos Helsingin yliopisto Havaintokohteita Polarimetria Havaintokohteita (kuvat: @phys.org/news, @annesastronomynews.com) Yleiskuvaus: Polarisaatio

Lisätiedot