TKT-2540 Paikannuksen menetelmät. Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola
|
|
- Sinikka Tuominen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKT-2540 Paikannuksen menetelmät Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola 2010
2 Esipuhe Tämä moniste on jatkoa kurssin MAT Paikannuksen matematiikka ( fi/courses/mat-45800/) luentomonisteelle. Nämä kurssit liittyvät läheisesti toisiinsa, ja aiempina vuosina niillä onkin käytetty samaa luentomonistetta. Tänä vuonna kuitenkin näiden kahden kurssin asiat on erotettu omiin monisteisiinsa. Paikannuksen matematiikka on tälle kurssille erittäin suositeltava, muttei kuitenkaan pakollinen esitieto. Tarkoituksena on, että paikannuksen matematiikan kurssilla esitetään paikannusmenetelmien taustalla olevia matemaattisia periaatteita, etenkin tilastomatematiikkaa ja optimointia, joita sitten tällä kurssilla sovelletaan käytännön paikannusongelmiin. Jos ja kun monisteesta löytyy virheitä, ilmoitetaan niistä kurssin kotisivulla cs.tut.fi/kurssit/2540/. Kiitokset Simo Ali-Löytylle, Niilo Sirolalle ja Henri Pesoselle varsinkin tässä monisteessa käytetyn LATEX-pohjan jalostamisesta. Lisäksi erityiskiitos Hanna Sairolle monisteen edellisissä versioissa julkaistuista osuuksista, joiden pohjalta luvun 2 alku on kirjoitettu. Tampereella, 19. helmikuuta 2010 tekijät 2
3 Sisältö 1 Anturiavusteinen paikannus Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Matkamittarit Korkeusmittaus Antureiden mittausvirheet Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus Doppler-ilmiö Differentiaalinen paikannus Real-Time Kinematics Luotettavuus ja eheys Paikannuksen suorituskyvyn mittareita Tilastollinen päättely ja hypoteesien testaus Residuaalit Receiver Autonomous Integrity Monitoring Luotettavuustestaus globaalin ja lokaalin testin avulla Hakemisto 46 Viitteet 48 3
4 Luku 1 Anturiavusteinen paikannus JUSSI COLLIN Koska satelliittisignaalien lähetysteho on kovin pieni, kohtaa käyttäjä usein tilanteita, joissa paikannusratkaisua ei ole saatavilla. Maanalaiset parkkipaikat ja ostoskeskukset ovat tiloja, joissa tarkasta paikkaratkaisusta voisi olla paljonkin hyötyä, mutta GPS-laite ei tällaista voi tarjota. Tällaisissa tiloissa esim. WLAN-verkko tarjoaa mahdollisuuden radiosignaaleihin perustuvaan paikkaratkaisuun, mutta varustamalla laite sopivilla antureilla voidaan saada tietoa liikkeestä ilman ulkoista apua. Tässä osiossa esitellään paikannukseen sopivia antureita, katsotaan, miten mittauksista saadaan paikkaratkaisu, ja käydään lyhyesti yksinkertaisia anturivirhemalleja läpi. Paikannuksen matematiikan kurssilla [2, Luku 1] käytiin läpi koordinaatistojen vaihtoja, ja periaatteessa anturipaikannusalgoritmit perustuvatkin näihin operaatioihin: mitataan paikan muutos laitteeseen sidotussa koordinaatistossa, muunnetaan se karttakoordinaatistoon ja integroidaan. Tuloksena on reitti kartalla, kunhan alkupaikka saadaan tietoon käyttäen jotakin muuta paikannusjärjestelmää. Käytännössä apua tarvitaan useamminkin kuin kerran, koska integroinnin luonteeseen kuuluu vakiovirheiden kertaantuminen. 1.1 Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Termi inertia viittaa kappaleen pyrkimykseen jatkaa kulkuansa, jos siihen ei kohdistu ulkoisia voimia. Kiihtyvyysanturit perustuvatkin tähän periaatteeseen, kuten myös osa gyroista. Kiihtyvyysanturin rakentamiseen tarvitaan massa, jousi, kotelo ja jonkinlainen indikaattori massan paikasta kotelon suhteen (kuva 1.1). Voiman ja kiihtyvyyden suhde on tietysti tunnettu, ja jousen puristuma tai venymä kertoo voiman suuruuden. Lisänä voi olla vielä takaisinkytkentä, joka pyrkii pitämään massan paikallaan koteloon nähden. 4
5 Kuva 1.1: Kiihtyvyysanturin toimintaperiaate. Lähde: [27] Mittauksen ongelmana on g:n puuttuminen: anturitriadin mittaus on vektori a B g B. Kuvassa 1.1 näkyvän jousen puristuman voi nimittäin aiheuttaa joko normaalivoiman ja gravitaation yhteisvaikutus (anturin ollessa paikallaan) tai kiihtyvyys inertiakehyksessä (ilman gravitaatiota). Anturi ei tiedä, kumpi tilanne on kyseessä. Newtonin liikelakien käyttö vaatii kuitenkin myös gravitaatiovoimien mittaamisen, mutta sepä ei kiihtyvyysantureilta suoraan onnistukaan! Siksi inertialaskuissa gravitaatio lisätäänkin mittauksiin gravitaatiomallin avulla. Toisaalta, jos newtonilainen kiihtyvyys tiedetään anturin koordinaatiostossa, saadaan gravitaatiovektori laskettua mittausyhtälöstä. Jos anturitriadin tiedetään olevan paikallaan (a B = 0), se mittaa ylöspäin suuntaava vektoria, josta saadaan kallistusmittaus. Lisäksi kiihtyvyysantureilla voidaan mitata syklisiä tärähdyksiä, esimerkiksi askelia, jolloin saadaan epäsuorasti estimoitua kuljettua matkaa. Tästä lisää luentojen jalankulkija-osiossa. Kulmanopeuden mittaamiseen on useita eri vaihtoehtoja. Mekaaniset gyrot perustuvat myös inertiaan, tällä kertaa liikkuvan anturielementin pyrkimyksiin vastustaa kiertoja. Yksi tapa mitata kulmanopeutta on asentaa pyörivä massa M laakeroituun koteloon B, w B BM =[0 0 ω M] T. Ripustetaan massa siten, että pyörivä massa laakereineen pääsee pyörimään suunnassa u B out =[0 ± 1 0]T, mutta ei suunnassa u in =[±1 0 0] T. Tällöin liike w B IB =[ω in 0 0] T aiheuttaa ripustuksen kiertymisen suunnassa w B BM wb IB, joka onkin u out:n suuntainen akseli. Kun mitataan kiertymistä tämän akselin suhteen, saadaan tieto kulmanopeudesta u in -akselin suhteen. Pyörivä massa ei välttämättä ole käytännöllinen, jos anturin suunnittelijalle on annettu rajoituksia koon tai virrankulutuksen suhteen. Toinen mekaaninen gyrotyyppi on värähtelevä gyro, jossa liike on edestakaista. Kuva 1.2 esittää äänirautagyron (tuning fork gyro) toimintaperiaatteen. Ylempi haarukka laitetaan resonoimaan sähkövirran avulla. Jos anturi pyörii sisäänmenoakselin ympäri, coriolis-voima aiheuttaa edestakaisen liikkeen, joka on kohtisuorassa pakotetun resonoinnin suuntaan ja sisäänmenoakselin suuntaan nähden (nuolet alemmassa haarukassa). Tätä liikettä mitataan (yleensä kapasitiivisesti), ja tuloksena on kulmanopeudella moduloitu signaali, josta saadaan kulmanopeus selville. Mikroelektromekaaniset (MEMS) gyrot toimivat tällä periaatteella. Pyörimisen mittaamiseen ei välttämättä tarvita liikkuvia osia, sillä mekaanisille pyörimiseen 5
6 Kuva 1.2: Esimerkki coriolis-voimaan perustuvasta gyrosta. Lähde: [27] liittyville ilmiöille löytyy sähkömagneettimen vastine, Sagnac-ilmiö. Ilmiön selittämiseen tarvitaan suhteellisuusteoriaa, mutta tämän kurssin puitteissa voidaan oikaista hieman: Lähetetään lasersäde matkaan, ja peilien avulla ohjataan säde takaisin lähtöpaikkaansa kulkusuunta myötäpäivään. Lisätään toinen lasersäde, joka kulkee vastapäivään. Syntyy kaksi seisovaa aaltoa, joiden taajuuseroa mitataan. Kun kotelo pyörii I-koordinaatiston suhteen (laserin reitin määräämän tason normaalin ympäri), tämä taajuusero muuttuu. Tällä periatteella toimivaa gyroa kutsutaan rengaslasergyroksi (Ring Laser Gyro, RLG). Optisella mittaustavalla on useita etuja: Kuva 1.3: Lasergyro. Lähde: [27] Pyörimissuuntaan kulkeva säde kulkee pidemmän matkan I-koordinaatistosta katsottuna... 6
7 Erinomainen tarkkuus Rajaton sisäänmenokaista Ei liikkuvia osia, joten tärinä ei haittaa ja luotettavuus on mekaanisia gyroja parempi. Lineaarinen kiihtyvyys ei vaikuta mittaukseen. Toisaalta hinta, koko ja virrankulutus estävät käytön henkilökohtaisissa sovelluksissa ainakin toistaiseksi. 1.2 Matkamittarit Kiihtyvyyteen perustuvassa siirtymän mittauksessa perustava ongelma on kaksoisintegrointi: pienikin vakiovirhe mittauksessa kasautuu ajan myötä suureksi. Tästä syystä ajoneuvon pyörän kierroslaskurit ym. matkaa mittaavat anturit tuottavat lähes poikkeuksetta tarkemman tuloksen. Isoin virhekomponentti matkamittareilla on skaalausvirhe: esimerkiksi renkaan säde ei ole tarkkaan tiedoissa. Paikkavirhe on tällöin verrannollinen kuljettuun matkaan eikä aikaan. Toisin kuin puhtaat inertiamittaukset, nämä menetelmät ovat jonkin verran ulkoisista tekijöistä riippuvaisia: jos tienpinta on liukas, rengas saattaa pyöriä tyhjää. Doppler-tutkaa voi myös käyttää kuljetun matkan laskemiseen, erityisesti työkoneissa, joissa anturin asentaminen renkaaseen tai sellaisen ylläpito on joko hankalaa. Doppler radar speed Measured speed (km/h) True speed (km/h) Kuva 1.4: Erään Doppler-tutkan ulostulo nopeuden funktiona. Mittaus on etumerkitön, ja pienillä nopeuksilla ulostulo on nolla 1.3 Korkeusmittaus Kun siirrytään ilmakehässä korkeammalle, on yläpuolellamme vähemmän ilmaa ja siten ilmanpaine pienenee. Ilmanpainetta mittaamalla saadaan siis korkeustietoa. Ilmanpaine kuitenkin 7
8 muuttuu sään myötä (ja sisätiloissa ilmastoinnin), joten ilmanpaineeseen perustuva korkeusmittari on kalibroitava usein. Paikannussovelluksissa muutamalla metrilläkin voi olla merkitystä (esim. oikean kerroksen tunnistaminen rakennuksessa), ja tällöin on tarpeen asettaa toinen ilmanpainemittari läheiseen paikkaan tunnettuun korkeuteen. Tällöin ilmanpaineiden erotuksesta saadaan korkeusero tarkasti määritettyä. altitude (m) rd floor 4th floor stairs stairs Elevator 5th floor 2nd floor 1st floor 3rd floor stairs 162 Stairs to outside time (s) Kuva 1.5: MEMS-ilmanpainemittarin korkeusratkaisu sisätiloissa. Ratkaisu saadaan tarkasti metreinä merenpinnasta, kun tukiasema on samassa rakennuksessa tunnetulla korkeudella Inertiapaikannusyhtälöt * (Asiaa ei käsitellä tällä kurssilla. Inertiapaikannus on siirtynyt kurssin TKT-2556 vastuulle, mutta näistä yhtälöistä voi olla hyötyä muissakin sovelluksissa.) Tämän kappaleen kaavojen muoto on melko suoraan viittestä [22]. Paikkavektorin origona käytetään E-koordinaatiston origoa, ja g L lasketaan erikseen paikan funktiona (esim. gravitaatiomalli). B-koordinaatiston ja L-koordinaatiston aikaderivaatta on Ċ L B = C B L(w B IB ) (w L IL )C L B. (1.1) Alkuehto C L B saadaan erilliseltä alustusalgoritmilta (Harjoitus 1.8). Kulmanopeustermi wb IB saadaan gyrotriadilta, ja termi w L IL on maan pyörimisen ja maanopeudesta johtuvan lokaalin koordinaatiston pyörimisen summa: w L IL = w L IE+ w L EL (1.2) Lokaali koordinaatisto L pitää z-akselin kohtisuorassa pallon (ellipsoidin) pintaan nähden, joten kohteen liikkuessa maan pinnalla tämä koordinaatisto pyörii kulmanopeudella w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL. (1.3) 3 3-matriisin F c koostumus riippuu siitä, käytetäänkö ellipsoidi- vai pallomallia. Lisäksi termillä ρ ZL säädetään L:n pohjoisakselin liikettä (harjoitus 1.1). u L ZL on yksikkövektori joka kertoo suunnan ylös L-koordinaatistossa, eli meidän sopimuksillamme u L ZL =[0 0 1]T. 8
9 Mitatun kiihtyvyysvektorin (merk. a B SF = ab g B ) muunnos L-koordinaatistoon: a L SF = C L Ba B SF. (1.4) Lopuksi tarvitaan painovoima (g P =gravitaatio plus maapallon pyörimisen vaikutus) nopeusvektorin (suhteessa maapalloon, E-kehys) muutos ja horisontaalinen paikan muutosnopeus sekä korkeuden muutosnopeus g L P = g L (w L IE )(w L IE )R L, (1.5) v L = a L SF+ g L P (w L EL+ 2w L IE) v L, (1.6) Ċ E L = C E L(w L EL ) (1.7) ḣ=u L ZL v L. (1.8) Siinä kaikki. Paikka ja nopeus voidaan sopivasta alkuehdosta lähtien ratkaista differentiaaliyhtälöistä (1.6) (1.8). Ryhmitellään tärkeimpitä termejä hieman, jotta kokonaiskuva selkiytyy: Tietoa antureilta: a B SF ja wb IB Maapallon ominaisuuksiin liittyvät termit: w IE, g, F c Ja näitä alunperin haluttiin laskea: R E (paikkavektori ECEF:ssä; C E L ja korkeus h ajavat saman asian, ks. harjoitus 1.2), v L (nopeus maapallon suhteen), C L B (INS-laitteen asento L-koordinaatistoon nähden). 1.4 Antureiden mittausvirheet Otetaan ensimmäiseksi esimerkiksi gyrotriadin mittaus, joka olkoon y. Paikannuksen matematiikka -kurssin [2, Luku 1] mukaan ideaalinen mittaus on w B IB, ja eräs virhemalli voisi olla yhtälön y=mw B IB+ b+n (1.9) mukainen. Tässä matriisi M sisältää skaalaus- ja kohdistusvirheet (scale factor, misalignment). Kohinatermit on jaettu biastyyppiseen (b) ja autokorreloimattomaan kohinaan (n). Huomaa, että virhetermi on nyt v=(m I)w B IB+ b+n, eli skaalaus- ja kohdistusvirheet aiheuttavat sen, että virhe on mitattavan suureen funktio. Tämä aiheuttaa ongelmia mittavirheiden tilastollisessa analysoinnissa. 9
10 Peruskokoonpanossa on kolme anturia, joiden mittausakselit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Tällöin 3 3-matriisin M diagonaalialkiot ovat vastaavien antureiden skaalausvirheet. Kohdistusvirhe johtuu siitä, että todellisuudessa antureita ei saada tarkalleen kohtisuoraan toisiinsa nähden. Tällöin tietyn akselin data näkyy myös toiselle anturille. Huippuluokan INSlaitteissa kohdistusvirhe on asteen tuhannesosan luokkaa, ja skaalauskerroinvirhe muutama miljoonasosa signaalin suurudesta (ppm, parts per million). Huomaa, että antureita ei välttämättä tarvitse sijoittaa kohtisuoraan toisiinsa nähden, kunhan akseleiden väliset kulmat tiedetään. Antureita voi myös olla vikatilanteiden varalta enemmänkin kuin vaadittavat kolme. Tässä tapauksessa kohtisuora asennus ei ole tietenkään edes mahdollista. Virhetermi b on ehkä mielenkiintoisin ja käytännössä myös haastavin. Sillä viitataan virheisiin jotka pysyvät samana tai lähes samana pitkään. Jako b:n ja n:n välillä ei ole mitenkään itsestäänselvä. Ääritilannetta, jossa b olisi aina vakio ja n olisi täysin korreloimaton näytteiden välillä, ei reaalimaailmasta löydy (tällöin bias-termi saataisiin ratkaistua ja korjattua täysin jo tehdaskalibroinnissa). Käytännössä b:n korrelaatioaika on laitteen käynnistysten välisen ajan luokkaa (tunteja kuukausia), ja n:n korrelaatioaika on selvästi lyhyempi. Virhetermin n käsittelystä onkin edellisissä kappaleissa paljon tietoa. Kannattaa jälleen kerran huomata, että antureiden käyttö paikannuksessa edellyttää melkein aina mittausten integrointia, joten virheen korrelaatiolla ajan suhteen on merkittävä vaikutus paikannustarkkuuteen. Vaikka lyhyt näyte datasta näyttäisi kohinaiselta, ei kannata vetää liian jyrkkiä johtopäätöksiä: on vakava virhe vertailla gyrojen laatua muutaman minuutin näytteistä otetuilla keskihajontaestimaateilla. Malli (1.9) käy sellaisenaan myös kiihtyvyysantureille, kunhan termi w IB korvataan termillä a B SF. Taulukossa 1.1 kerrotaan, mitä antureilta vaaditaan, jos INS-ratkaisun virheen halutaan pysyvän muutamassa kilometrissä tunnin navigoinnin jälkeen. Vaatimukset ovat kovat, erityisesti gyroille. Lisäksi käyttökohteesta riippuen saattaa olla dynamiikkavaatimuksia: voi esim. olla, että 500 astetta sekunnissa tapahtuva pyörähdys on pystyttävä mittaamaan. Tämän tason INS-laitteiden hinta liikkuu dollarin tienoilla, mutta hinnat tulevat toki alas koko ajan. Hinnan lisäksi ongelmia aiheuttavat vientirajoitukset, sillä tarkat INS-laitteet luokitellaan useissa maissa aseteknologiaksi. MEMS-anturit eivät vielä täytä lähellekään näitä vaatimuksia, mutta ovat helposti saatavilla ja luonnollisesti edullisempia; vaikka INS sellaisenaan ei onnistuisikaan mittausvirheiden vuoksi, inertiamittauksilla saadaan arvokasta lisätietoa paikannusalgoritmeille [5] Virheprosesseista Yksinkertainen virheprosessi saadaan riippumattomista satunnaismuuttujista n t, joiden odotusarvo on nolla ja varianssi σ 2 n <. Tätä kutsutaan valkoseksi kohinaksi (white noise). Oletetaan vielä, että satunnaismuuttujat ovat normaalijakautuneita. Kuvassa 1.6 esitetään valkoisen kohinan (σ 2 n = 1) realisaatio ja sen kumulatiiven summa x t = t t=1 n t. (1.10) 10
11 Taulukko 1.1: Antureiden tarkkuusvaatimuksia, kun paikannusvirhe saa kasvaa enintään 0.1 tai 1 merimailia (1.852 km) tunnissa [23]. Virhelähde Vaadittava tarkkuus 0.1 nmph 1 nmph Kiihtyvyysanturi bias 5 µg 40 µg skaalausvirhe 40 ppm 200 ppm kohdistusvirhe 1/3600 7/3600 Gyro bias /h /h skaalausvirhe 1 ppm 5 ppm kohdistusvirhe 0.7/3600 3/3600 Seuraavaksi lisätään prosessiin autokorrelaatiota, ensin AR(1)-prosessi x t = ρx t 1 + n t. (1.11) σ 2 n Jotta saadaan stationäärinen prosessi, vaaditaan, että ρ < 1. Prosessin realisaatiota generoitaessa pitää ottaa x 0 jakaumasta N(0, ), jotta stationäärisyys pätee äärelliselle sarjalle (ks. 1 ρ 2 esim. [24]). Valitaan ρ=0.9 ja σ 2 n = 1 ρ2, jolloin prosessilla on sama varianssi kuin edellisellä prosessilla. Integroituna sarja saa hyvin isoja arvoja verrattuna edelliseen: Integroidun sarjan viimeisen satunnaismuuttujan keskihajonta 96.5, ja korreloimattoman kohinan tapauksessa se on Nämä lukemat tarkistetaan harjoituksissa r=randn(500,1) cumsum(r) Kuva 1.6: Valkoista kohinaa ja siitä integroitu satunnaiskävely (random walk). 11
12 Kuva 1.7: AR(1)-realisaatio ja sen kumulatiivinen summa. Nämä kohinamallit ovat melko yksinkertaisia, ja valitettavasti todellisuudessa kohdataankin usein monimutkaisempia prosesseja. Yhtenä esimerkkinä olkoon 1/ f -kohina (tai diskreettiaikaisena ARFIMA(0,0.5,0), ks. esim. [4, 29] mielenkiintoisine esimerkkeineen), josta saadaan realisaatio puoli-integroimalla valkoista kohinaa. Koska alakolmiomatriisi A= (1.12) integroi kerran aikasarjavektorin x kertolaskussa Ax, niin haetaan matriisi B, joka toteuttaa BB=A. Lasketaan matriisin neliöjuuri [2, Luku 1] tutulla sqrtm-komennolla, jolloin B= (1.13) Nyt käytetään B:tä kerroinmatriisina valkoiselle kohinalle (σ 2 n = 1), tulos kuvassa 1.8. Tälle kohinatyypille ominaista on bias-heilahtelu : suuri osa tehosta on hyvin pienillä taajuksilla. Tässä esiteltyjen kohinaprosessien identifiointiin käytetään usein Allan-varianssia (Allan variance, two-sample variance) [3, 19] σ 2 x(τ)= 1 2 E( x 2 x 1 ) 2, (1.14) 12
13 Kuva 1.8: Diskreettiaikaisen 1/ f -kohinan realisaatio jossa keskiarvot otetaan peräkkäisistä τ:n pituisista lohkoista x 1 = 1 τ x 2 = 1 τ Estimaatti Allan-varianssista saadaan kokoamalla otos m lohkoon, ˆσ 2 x(τ,m)= m 1 1 2(m 1) τ 1 x t (1.15) t=0 2τ 1 x t. (1.16) t=τ k=1 Tietyillä ehdoilla prosessille x t tämä tuottaa harhattoman estimaatin [20]. ( x k+1 x k ) 2. (1.17) 13
14 Harjoitustehtäviä 1.1. Käydään kaava w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL läpi. Millainen matriisi F c on, jos käytetään pallomallia, pallon säde R? Mitä termi ρ ZL tekee? Vihje: ajattele lentokonetta joka lentää hyvin lähellä pohjoisnapaa. Jos L-kehyksen y-akseli pidetään aina osoittamaan pohjoista, mitä tapahtuu vektorille w L EL? 1.2. Onko C E L yhdessä h:n kanssa riittävä tieto yksiselitteiseen paikkaratkaisuun? 1.3. INS-sovelluksissa kolme gyroa on riittävä määrä, mutta vikatilanteiden varalta niitä voi laittaa useammankin. Oletetaan että kolme gyroa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja lisätään yksi gyro siten, että tämän mittausakseli ei ole yhdensuuntainen muiden gyrojen kanssa. Voidaanko nyt havaita, jos joku antureista antaa täysin virheellisiä mittauksia? Jos kyllä, voidaanko ko. anturi tunnistaa ja siten väärät mittaukset eristää? Entä jos meillä onkin 5 anturia siten, että mitkään kolme akselia eivät ole samassa tasossa? 1.4. Näytä, että virhe g:n laskemisessa (gravitaatiomallin virhe) aiheuttaa positiivisen takaisinkytkennän INS:n korkeusvirheelle Oletetaan että joskus MEMS-gyro analogisella ulostulolla saavuttaa 1 nmph INSvaatimukset, ks. taulukko 1.1 sivulla 11. Jotta signaali saadaan digitaaliseksi, tarvitaan A/D-muunnin. Arvioi vaadittavaa resoluutiota, ts. montako bittiä kvantisointiin tarvitaan Monenko integraattorin läpi termi w B IB (eli gyrodata) menee INS-yhtälöissä? Mitä tapahtuu (lähes) korreloimattomalle kohinalle näin monen integroinnin jälkeen? Entä bias-tyyppiselle kohinalle? 1.7. Tietokonetehtävä: Takaisinkytkennät INS-mekanisoinnissa Tietokonetehtävä: C L B :n alustus maan pyörimisvektorin ja normaalivoiman avulla. 14
15 Luku 2 Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus MARTTI KIRKKO-JAAKKOLA Seuratessaan satelliittisignaalia GNSS-vastaanotin mittaa sekä signaaliin moduloidun koodin vaihetta että itse signaalin sinimuotoisen kantoaallon vaihetta. Näistä kahdesta perusmittauksesta voidaan laskea pseudoetäisyys ja ns. integroitu Doppler, joita usein (virheellisesti) pidetäänkin vastaanottimen perusmittauksina. Tässä luvussa tutustutaan kantoaaltomittausten hyödyntämiseen paikannuksessa. Itse asiassa alun perin kantoaaltomittauksia ei suunniteltu edes käytettäväksi paikannuksessa mihinkään, mutta 1970-luvun lopulla Counselman et al. [7] osoittivat, että niissä on potentiaalia erittäin tarkkaan paikannukseen. Koodimittaukset ovat kantoaaltomittauksia selvästi kohinaisempia (koodimittauksissa on tyypillisesti vähintään desimetriluokan kohina, kun taas edullisetkin vastaanottimet mittaavat kantoaallon vaihetta noin senttimetrin tarkkuudella), kuten kuvassa 2.1 on näytetty. Kantoaaltomittausten käyttämistä hankaloittaa kuitenkin oleellisesti se, että kyseinen mittaus sellaisenaan kertoo vain aallon vaiheen modulo 2π pelkkää vaihetta mittaamalla ei saada tietoon täysien kantoaaltojaksojen määrää, joka on kullekin satelliitille erisuuruinen kokonaisluku. Tästä syystä kantoaaltomittauksia käytetään henkilökohtaisessa paikannuksessa vain etäisyyden muutoksen arviointiin, jolloin koodimittausten kohinaa voidaan tasoittaa (carrier smoothing, ks. esim. [21]). Kantoaaltopaikannuksen toteuttamista kuluttajalaitteilla henkilökohtaisessa paikannuksessa tutkitaan kuitenkin aktiivisesti [1]. 2.1 Doppler-ilmiö Paikannussatelliitit liikkuvat käyttäjiinsä nähden koko ajan monta kilometriä sekunnissa, esimerkiksi GPS-satelliittien ratanopeus on noin 4 km/s; lisäksi toki käyttäjät itsekin voivat Tavallisesti tosin kantoaaltomittaukset ilmoitetaan skaalattuna jaksoiksi, ei radiaaneina tai metreinä 15
16 Koodi Kantoaalto vaihe ero [m] Kuva 2.1: Koodi- ja kantoaaltomittausten kohinatasot. Tässä kuvassa näytetään vain peräkkäisten mittausten (molemmat metreissä) erotukset eikä itse absoluuttisia mittauksia, jolloin biastyyppiset termit (ml. kokonaislukutuntematon) kumoutuvat. liikkua. Tämä suhteellinen liike vaikuttaa siihen taajuuteen, jolla vastaanotin signaalin havaitsee: jos vastaanotin liikkuu kohti aaltolähdettä, kohtaa se aaltorintamia useammin kuin paikalla ollessaan, ja toisaalta taas liikkuessaan lähettimestä poispäin kohtaa niitä harvemmin. Molemmissa tapauksissa vastaanotin havaitsee signaalin eri taajuudella kuin mikä todellinen lähetystaajuus on. Tätä lähettimen ja vastaanottimen välisen suhteellisen liikkeen vaikutusta vastaanotettuun taajuuteen kutsutaan Doppler-ilmiöksi. Valon nopeudella eteneville aalloille Doppler-ilmiö mallinnetaan kaavalla ( f R = f T 1 v r u ), (2.1) c jossa f R on vastaanotettu taajuus, f T on lähetetty taajuus, v r on satelliitin ja vastaanottajan välinen suhteellinen nopeus, u on yksikkövektori vastaanottajan sijainnista satelliittia kohti ja c on valon nopeus. Doppler-ilmiön aiheuttamaa taajuusmuutosta sanotaan Doppler-siirtymäksi f D : f D = f R f T = v r u c. (2.2) Vastaanottimen on signaalia seuratessaan luonnollisesti oltava selvillä sen taajuudesta, johon Doppler-ilmiö vaikuttaa. Siten vastaanotin mittaa samalla kunkin satelliittisignaalin Dopplersiirtymää. Seuraavissa kappaleissa nähdään, mitä hyötyä tästä on paikannuksen kannalta. Esimerkiksi ääniaalloille (tuttuna mallitapauksena toimii vaikkapa ohi ajavan ambulanssin sireeni) Dopplersiirtymä lasketaan hieman eri tavalla, koska silloin ei voida approksimoida v+v s v, missä v on aaltojen etenemisnopeus ja v s aaltolähteen nopeus.. 16
17 2.1.1 Doppler-siirtymän ja etäisyysmittauksen muutoksen välinen yhteys Paikannuksen matematiikan monisteessa [2, Esimerkki 15, s. 24] on esitelty mittausmalli pseudoetäisyysmittaukselle. Lasketaan nyt satelliitille i tehdyn mittauksen aikaderivaatta (deltaetäisyys): ρ i = d dt ( s i x +b)=(v i v u ) s x + ḃ, (2.3) s x missä v i on satelliitin i nopeusvektori, v u on vastaanottajan nopeusvektori ja ḃ vastaanottimen kellon käyntivirhe [s/s] (clock drift). Välivaiheiden laskeminen jätetään harjoitustehtäväksi. Verrattaessa yhtälöitä (2.2) ja (2.3) huomataan, että u= s x s x ja v r = v i v u. Nyt siis deltaetäisyys saadaan affiinilla muunnoksella Doppler-siirtymästä: ρ i = c f D + ḃ. (2.4) Deltaetäisyyksiä käytetään esim. vastaanottimen nopeuden määrittämiseen. Myös paikannus niiden perusteella on mahdollista, tosin mittausmallista johtuen huomattavasti virheherkempää kuin pseudoetäisyyspaikannus [18] Doppler-siirtymän ja vaihemittauksen välinen yhteys Kantoaaltomittausta sanotaan myös integroiduksi Doppleriksi. Uusi kantoaaltomittaus φ i (t) saadaan vähentämällä vanhasta mittauksesta φ i (t T) Doppler-siirtymän integraali mittausajan (pituus T ) yli. Kyseessä on nimenomaan vähennys eikä lisäys, koska Doppler-taajuushan kasvaa, kun vastaanotin lähestyy satelliittia eli näiden välinen etäisyys pienenee. Vaihemittauksen halutaan luonnollisesti käyttäytyvän päinvastoin. Huomaamalla, että yhtälössä (2.1) pistetulo suhteellisen nopeuden v r ja suuntayksikkövektorin u välillä on suhteellisen nopeuden projektio kohtisuoralle etäisyydelle eli toisin sanoen etäisyyden r aikaderivaatta, voidaan Doppler-siirtymä (2.2) kirjoittaa vielä uuteen muotoon f D = ṙ λ, (2.5) missä λ = c/ f on signaalin aallonpituus. Tästä integroimalla saadaan kantoaaltomittaus t φ i (t)= φ i (t T) f D (τ)dτ=λ 1 (r i (t) r i (t T)). (2.6) t T Merkitään nyt φ i (0) = r i (0)+b(0)+N i, missä r i (0) on todellinen etäisyys vastaanottimen ja satelliitin i välillä hetkellä t = 0, b(0) vastaanottimen kellovirhe samana hetkenä ja N on tuntematon määrä kantoaaltojaksoja (tämän arvoa ei siis tiedetä pelkkää vaihetta mittaamalla). Lisäämällä vielä satelliitin kellovirhe b i (t) sekä mittausvirhetermi ε i (t) (sisältäen esim. satelliitin rataparametrien (ephemeris) virheet ja monitie-etenemisen) saadaan kantoaaltomittausmalliksi φ i (t)= r i(t) λ + b(t) b i(t)+n i + ε i (t). (2.7) 17
18 Yksikkönä on kantoaaltojakso. Todellisuudessa tähän malliin tulisi vielä lisätä pseudoetäisyysmittauksista tuttuja virhelähteitä kuten ilmakehä, mutta ne on jätetty yksinkertaisuuden vuoksi pois. Erityisesti tulee huomata, että kokonaislukutuntematon N i ei riipu ajasta t, vaan N i määräytyy signaalin hakuvaiheessa ja pysyy vakiona niin kauan kuin satelliittia i seurataan katkoksitta. Käytännössä joskus (varsinkin edullisilla vastaanottimilla) kokonaislukutuntematon N i voi kuitenkin muuttua lyhyen signaalikatkoksen takia. Tällaista tilannetta sanotaan jaksohypyksi (cycle slip), ja niiden havaitseminen (ja mahdollisesti korjaus) on erittäin tärkeää tarkassa paikannuksessa, sillä jokaisesta jaksohypystä aiheutuu vähintään desimetriluokan etäisyysvirhe. Jaksohyppyjä voidaan tunnistaa esim. peräkkäisten kantoaaltomittausten erotuksista RAIMmenetelmällä (s. 37), ks. esim. [14]. 2.2 Differentiaalinen paikannus Kuten todettu, mittausmalli (2.7) ei ole totuudenmukainen, vaan siitä puuttuu merkittäviä virhelähteitä. Mikäli paikannusta tehdään jälkiprosessointina ja tulokset voidaan ilmoittaa vaikka parin viikon viiveellä, voidaan käyttää esim. IGS:n (International GPS Service) [9] toimittamia tarkkoja satelliitti- ja ilmakehädatoja näiden virheiden korjaamiseen. Reaaliaikasovelluksissa tämä kuitenkaan ole mahdollista. Toinen mahdollinen tapa päästä eroon mittausmallin virheistä on hyödyntää tietoa siitä, että osa virheistä korreloi ajan ja paikan mukaan: esimerkiksi ilmakehän aiheuttamat virheet ovat käytännössä yhtä suuret lähellä toisiaan sijaitseville vastaanottimille. Tähän perustuu differentiaalinen paikannus, jossa ideana on käyttää itse paikannettavaa laitetta riittävän lähellä sijaitsevaa referenssivastaanotinta. Yksinkertaisimmillaan differentiaalipaikannus toimii niin, että jokin tunnetussa paikassa sijaitseva vastaanotin arvioi, paljonko sen mittauksissa on virheitä, jotka siirtävät paikkaestimaatin pois todellisesta sijainnista, ja lähettää tämän kokonaisvirhe-estimaatin, differentiaalikorjauksen, paikannettaville vastaanottimille esim. radiolinkin yli. Selective Availabilityn (SA) poissaollessa nämä virheet eivät muutu nopeasti ajan myötä, joten lähetetty korjaus on käyttökelpoinen pidemmänkin aikaa, eikä uusia korjauksia tarvitse laskea ja lähettää joka mittaushetkellä. Kokonaisvirhearvio sisältää myös vastaanottimen kellovirheen, mistä ei ole kuitenkaan haittaa, mikäli korjausdataa käyttävät vastaanottimet eivät käytä satelliitteja, joihin korjausdataa ei ole: Tällöin vain käyttäjien vastaanotinten on ratkaistava oman kellovirheensä ja referenssivastaanottimen kellovirheen summa, mikä onnistuu aivan samalla tavalla kuin pelkän oman kellovirheen ratkaiseminen ilman korjausdataa. Jos käytössä on useampia referenssivastaanottimia, ei kokonaisarvioiduista korjauksista ole niin suurta hyötyä, vaan olisi parempi, jos eri virhelähteet, kuten esim. ilmakehä ja satelliitin kello, saataisiin arvioitua erikseen. Näin toimivat monet GPS:n laajennokset, kuten USA:n kattava On täysin tilanneriippuvaista, kuinka paljon on riittävän lähellä : Yksitaajuusvastaanottimella huonolla kelillä se voi olla muutama kilometri, kun taas kaksitaajuusvastaanottimella pilvettömällä säällä satakin kilometriä voi riittää [21]. 18
19 Wide Area Augmentation System (WAAS). Myös eurooppalaisille on vastaavanlainen järjestelmä nimeltään European Geostationary Navigation Overlay System (EGNOS), joka tuli virallisesti käyttöön lokakuussa Kuten nimistä voi päätellä, nämä järjestelmät hyödyntävät geostationäärisiä satelliitteja korjausdatan välittämisessä suuremmalle alueelle. Valitettavasti geosatelliitit näkyvät Suomen leveyspiireille melko huonosti, koska niiden kiertorata kulkee päiväntasaajan kohdalla Suhteellinen paikannus Mikäli riittää ratkaista vain kahden vastaanottimen välistä etäisyysvektori, ns. perusviiva (baseline), voidaan eri vastaanotinten tekemiä mittauksia vähentää toisistaan sellaisenaan erillisiä virhearvioita konstruoimatta. Tällöin kuitenkin menetetään absoluuttinen paikkainformaatio. Jos vastaanottimista toisen sanottakoon sitä referenssivastaanottimeksi paikka tunnetaan, voidaan jäljelle jäävän, jota kutsuttakoon käyttäjäksi (englanninkielisessä kirjallisuudessa yleensä rover receiver), absoluuttinenkin paikka määrittää referenssivastaanottimen paikan tai perusviivaestimaatin tarkkuudella riippuen siitä, kumpi on epätarkempi. Suhteellinen paikannus hyötyy huomattavasti kantoaaltomittausten käytöstä. Koska systemaattisia mittausvirheitä saadaan differentiaalimenelmällä vähennettyä, alkaa mittauskohina olla merkittävä virhelähde differentiaalipaikkaestimaatteihin käytettäessä koodimittauksia. Kuten tiedetään, kantoaaltomittaukset ovat muutamaa kertaluokkaa tarkempia kuin koodin vaiheeseen perustuvat pseudoetäisyydet. Ongelmaksi tulevat kuitenkin kokonaisten kantoaaltojaksojen lukumäärät eli kokonaislukutuntemattomat N i. Mikäli ne saadaan ratkaistua, voidaan perusviivaa estimoida parhaimmillaan jopa millimetrien tarkkuudella Yksittäisdifferenssi vastaanotinten välillä Jos käytettävissä on mallin (2.7) mukaiset mittaukset myös käyttäjää riittävän lähellä olevalla referenssivastaanottimella r, kuten kuvassa 2.2, voidaan muodostaa näiden vastaanotinten satelliittiin i tekemien mittausten erotus eli yksittäisdifferenssi r φ i (t)= r r i(t) λ + r b(t)+ r N i + r ε i, (2.8) missä operaattori r merkitsee yksittäisdifferentiointia vastaanottimen r kanssa. Satelliitin kellovirhe b i (t) on yhtä suuri molemmille vastaanottimelle, joten mallista (2.8) se on kumoutunut kokonaan pois. Lisäksi ilmakehävirheet ovat läheisyysoletuksen nojalla lähes samat molemmille vastaanottimille, joten niidenkin vaikutus pienee merkittävästi ja ne jätetään pois tästä mallista. Sen sijaan vastaanottimen kellovirhe, kokonaislukutuntemattomat ja kohina sekä monitieeteneminen eivät korreloi vastaanotinten välillä, joten ne eivät kumoudu vaan määrittyvät uudelleen. Differentioituinakin näiden käsittely on laskennallisesti kuitenkin vastaavanlaista kuin 19
20 alkuperäisissäkin malleissa, ja kokonaislukutuntemattomat säilyttävät kokonaislukuluonteensa. Satunnainen mittauskohina jopa voimistuu: sen keskihajonta kasvaa 2-kertaiseksi, ts. var r ε i = 2varε i, (2.9) kun molempien vastaanottimien kohinat oletetaan identtisesti jakautuneiksi ja toisistaan riippumattomiksi. s i Referenssi Perusviiva Käyttäjä Kuva 2.2: Yksittäisdifferenssi satelliittiin i. Merkitsemällä perusviivaa r x = x x r, missä x on käyttäjän ja x r referenssivastaanottimen paikka, ja kehittämällä (2.8) ensimmäisen asteen Taylor-polynomiksi saadaan r φ i (t) λ 1 x r(t) s i x r (t) s i (t) r x(t)+ r N i + r b(t)+ r ε i (t), (2.10) kun satelliitin i paikkaa merkitään vektorilla s i. Tämän tuloksen johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi Kaksoisdifferenssi Kahdesta eri satelliitteihin liittyvästä yksittäisdifferenssistä saadaan muodostettua kaksoisdifferenssi (kuva 2.3): r φ i j (t)= r φ i (t) r φ j (t) ( λ 1 xr (t) s i (t) x r (t) s i (t) x ) r(t) s j (t) r x(t)+ r N i j + r ε i j (t). x r (t) s j (t) (2.11) Differentioimalla mittaukset satelliittien välillä päästään eroon vastaanottimesta riippuvista virheistä, joista oleellisin on kellovirhe r b(t). Tämän operaation hintana on yhden (yksittäisdifferentioidun) mittauksen menettäminen ja kohinan vahvistuminen edelleen (tehtävä 2.2). Kokonaislukutuntematon N i j on edelleen kokonaisluku, muttei enää (välttämättä) sama kuin yksittäisdifferentioitu kokonaislukutuntematon. Joskus kirjallisuudessa satelliittien välistä differentiointia merkitään operaattorilla, jolloin kaksoisdifferenssejä merkitään operaattoriparilla. 20
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotSatelliittipaikannus
Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot= 6, Nm 2 /kg kg 71kg (1, m) N. = 6, Nm 2 /kg 2 7, kg 71kg (3, m) N
t. 1 Auringon ja kuun kohdistamat painovoimat voidaan saada hyvin tarkasti laksettua Newtonin painovoimalailla, koska ne ovat pallon muotoisia. Junalle sillä saadaan selville suuruusluokka, joka riittää
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotEi välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:
Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi
Lisätiedot766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4
766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotHarjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotRadiotekniikan sovelluksia
Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotEsimerkki - Näkymätön kuu
Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö
5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme
LisätiedotLuento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä
Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedot