TKT-2540 Paikannuksen menetelmät. Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TKT-2540 Paikannuksen menetelmät. Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola"

Transkriptio

1 TKT-2540 Paikannuksen menetelmät Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola 2010

2 Esipuhe Tämä moniste on jatkoa kurssin MAT Paikannuksen matematiikka (http://math.tut. fi/courses/mat-45800/) luentomonisteelle. Nämä kurssit liittyvät läheisesti toisiinsa, ja aiempina vuosina niillä onkin käytetty samaa luentomonistetta. Tänä vuonna kuitenkin näiden kahden kurssin asiat on erotettu omiin monisteisiinsa. Paikannuksen matematiikka on tälle kurssille erittäin suositeltava, muttei kuitenkaan pakollinen esitieto. Tarkoituksena on, että paikannuksen matematiikan kurssilla esitetään paikannusmenetelmien taustalla olevia matemaattisia periaatteita, etenkin tilastomatematiikkaa ja optimointia, joita sitten tällä kurssilla sovelletaan käytännön paikannusongelmiin. Jos ja kun monisteesta löytyy virheitä, ilmoitetaan niistä kurssin kotisivulla cs.tut.fi/kurssit/2540/. Kiitokset Simo Ali-Löytylle, Niilo Sirolalle ja Henri Pesoselle varsinkin tässä monisteessa käytetyn LATEX-pohjan jalostamisesta. Lisäksi erityiskiitos Hanna Sairolle monisteen edellisissä versioissa julkaistuista osuuksista, joiden pohjalta luvun 2 alku on kirjoitettu. Tampereella, 19. helmikuuta 2010 tekijät 2

3 Sisältö 1 Anturiavusteinen paikannus Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Matkamittarit Korkeusmittaus Antureiden mittausvirheet Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus Doppler-ilmiö Differentiaalinen paikannus Real-Time Kinematics Luotettavuus ja eheys Paikannuksen suorituskyvyn mittareita Tilastollinen päättely ja hypoteesien testaus Residuaalit Receiver Autonomous Integrity Monitoring Luotettavuustestaus globaalin ja lokaalin testin avulla Hakemisto 46 Viitteet 48 3

4 Luku 1 Anturiavusteinen paikannus JUSSI COLLIN Koska satelliittisignaalien lähetysteho on kovin pieni, kohtaa käyttäjä usein tilanteita, joissa paikannusratkaisua ei ole saatavilla. Maanalaiset parkkipaikat ja ostoskeskukset ovat tiloja, joissa tarkasta paikkaratkaisusta voisi olla paljonkin hyötyä, mutta GPS-laite ei tällaista voi tarjota. Tällaisissa tiloissa esim. WLAN-verkko tarjoaa mahdollisuuden radiosignaaleihin perustuvaan paikkaratkaisuun, mutta varustamalla laite sopivilla antureilla voidaan saada tietoa liikkeestä ilman ulkoista apua. Tässä osiossa esitellään paikannukseen sopivia antureita, katsotaan, miten mittauksista saadaan paikkaratkaisu, ja käydään lyhyesti yksinkertaisia anturivirhemalleja läpi. Paikannuksen matematiikan kurssilla [2, Luku 1] käytiin läpi koordinaatistojen vaihtoja, ja periaatteessa anturipaikannusalgoritmit perustuvatkin näihin operaatioihin: mitataan paikan muutos laitteeseen sidotussa koordinaatistossa, muunnetaan se karttakoordinaatistoon ja integroidaan. Tuloksena on reitti kartalla, kunhan alkupaikka saadaan tietoon käyttäen jotakin muuta paikannusjärjestelmää. Käytännössä apua tarvitaan useamminkin kuin kerran, koska integroinnin luonteeseen kuuluu vakiovirheiden kertaantuminen. 1.1 Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Termi inertia viittaa kappaleen pyrkimykseen jatkaa kulkuansa, jos siihen ei kohdistu ulkoisia voimia. Kiihtyvyysanturit perustuvatkin tähän periaatteeseen, kuten myös osa gyroista. Kiihtyvyysanturin rakentamiseen tarvitaan massa, jousi, kotelo ja jonkinlainen indikaattori massan paikasta kotelon suhteen (kuva 1.1). Voiman ja kiihtyvyyden suhde on tietysti tunnettu, ja jousen puristuma tai venymä kertoo voiman suuruuden. Lisänä voi olla vielä takaisinkytkentä, joka pyrkii pitämään massan paikallaan koteloon nähden. 4

5 Kuva 1.1: Kiihtyvyysanturin toimintaperiaate. Lähde: [27] Mittauksen ongelmana on g:n puuttuminen: anturitriadin mittaus on vektori a B g B. Kuvassa 1.1 näkyvän jousen puristuman voi nimittäin aiheuttaa joko normaalivoiman ja gravitaation yhteisvaikutus (anturin ollessa paikallaan) tai kiihtyvyys inertiakehyksessä (ilman gravitaatiota). Anturi ei tiedä, kumpi tilanne on kyseessä. Newtonin liikelakien käyttö vaatii kuitenkin myös gravitaatiovoimien mittaamisen, mutta sepä ei kiihtyvyysantureilta suoraan onnistukaan! Siksi inertialaskuissa gravitaatio lisätäänkin mittauksiin gravitaatiomallin avulla. Toisaalta, jos newtonilainen kiihtyvyys tiedetään anturin koordinaatiostossa, saadaan gravitaatiovektori laskettua mittausyhtälöstä. Jos anturitriadin tiedetään olevan paikallaan (a B = 0), se mittaa ylöspäin suuntaava vektoria, josta saadaan kallistusmittaus. Lisäksi kiihtyvyysantureilla voidaan mitata syklisiä tärähdyksiä, esimerkiksi askelia, jolloin saadaan epäsuorasti estimoitua kuljettua matkaa. Tästä lisää luentojen jalankulkija-osiossa. Kulmanopeuden mittaamiseen on useita eri vaihtoehtoja. Mekaaniset gyrot perustuvat myös inertiaan, tällä kertaa liikkuvan anturielementin pyrkimyksiin vastustaa kiertoja. Yksi tapa mitata kulmanopeutta on asentaa pyörivä massa M laakeroituun koteloon B, w B BM =[0 0 ω M] T. Ripustetaan massa siten, että pyörivä massa laakereineen pääsee pyörimään suunnassa u B out =[0 ± 1 0]T, mutta ei suunnassa u in =[±1 0 0] T. Tällöin liike w B IB =[ω in 0 0] T aiheuttaa ripustuksen kiertymisen suunnassa w B BM wb IB, joka onkin u out:n suuntainen akseli. Kun mitataan kiertymistä tämän akselin suhteen, saadaan tieto kulmanopeudesta u in -akselin suhteen. Pyörivä massa ei välttämättä ole käytännöllinen, jos anturin suunnittelijalle on annettu rajoituksia koon tai virrankulutuksen suhteen. Toinen mekaaninen gyrotyyppi on värähtelevä gyro, jossa liike on edestakaista. Kuva 1.2 esittää äänirautagyron (tuning fork gyro) toimintaperiaatteen. Ylempi haarukka laitetaan resonoimaan sähkövirran avulla. Jos anturi pyörii sisäänmenoakselin ympäri, coriolis-voima aiheuttaa edestakaisen liikkeen, joka on kohtisuorassa pakotetun resonoinnin suuntaan ja sisäänmenoakselin suuntaan nähden (nuolet alemmassa haarukassa). Tätä liikettä mitataan (yleensä kapasitiivisesti), ja tuloksena on kulmanopeudella moduloitu signaali, josta saadaan kulmanopeus selville. Mikroelektromekaaniset (MEMS) gyrot toimivat tällä periaatteella. Pyörimisen mittaamiseen ei välttämättä tarvita liikkuvia osia, sillä mekaanisille pyörimiseen 5

6 Kuva 1.2: Esimerkki coriolis-voimaan perustuvasta gyrosta. Lähde: [27] liittyville ilmiöille löytyy sähkömagneettimen vastine, Sagnac-ilmiö. Ilmiön selittämiseen tarvitaan suhteellisuusteoriaa, mutta tämän kurssin puitteissa voidaan oikaista hieman: Lähetetään lasersäde matkaan, ja peilien avulla ohjataan säde takaisin lähtöpaikkaansa kulkusuunta myötäpäivään. Lisätään toinen lasersäde, joka kulkee vastapäivään. Syntyy kaksi seisovaa aaltoa, joiden taajuuseroa mitataan. Kun kotelo pyörii I-koordinaatiston suhteen (laserin reitin määräämän tason normaalin ympäri), tämä taajuusero muuttuu. Tällä periatteella toimivaa gyroa kutsutaan rengaslasergyroksi (Ring Laser Gyro, RLG). Optisella mittaustavalla on useita etuja: Kuva 1.3: Lasergyro. Lähde: [27] Pyörimissuuntaan kulkeva säde kulkee pidemmän matkan I-koordinaatistosta katsottuna... 6

7 Erinomainen tarkkuus Rajaton sisäänmenokaista Ei liikkuvia osia, joten tärinä ei haittaa ja luotettavuus on mekaanisia gyroja parempi. Lineaarinen kiihtyvyys ei vaikuta mittaukseen. Toisaalta hinta, koko ja virrankulutus estävät käytön henkilökohtaisissa sovelluksissa ainakin toistaiseksi. 1.2 Matkamittarit Kiihtyvyyteen perustuvassa siirtymän mittauksessa perustava ongelma on kaksoisintegrointi: pienikin vakiovirhe mittauksessa kasautuu ajan myötä suureksi. Tästä syystä ajoneuvon pyörän kierroslaskurit ym. matkaa mittaavat anturit tuottavat lähes poikkeuksetta tarkemman tuloksen. Isoin virhekomponentti matkamittareilla on skaalausvirhe: esimerkiksi renkaan säde ei ole tarkkaan tiedoissa. Paikkavirhe on tällöin verrannollinen kuljettuun matkaan eikä aikaan. Toisin kuin puhtaat inertiamittaukset, nämä menetelmät ovat jonkin verran ulkoisista tekijöistä riippuvaisia: jos tienpinta on liukas, rengas saattaa pyöriä tyhjää. Doppler-tutkaa voi myös käyttää kuljetun matkan laskemiseen, erityisesti työkoneissa, joissa anturin asentaminen renkaaseen tai sellaisen ylläpito on joko hankalaa. Doppler radar speed Measured speed (km/h) True speed (km/h) Kuva 1.4: Erään Doppler-tutkan ulostulo nopeuden funktiona. Mittaus on etumerkitön, ja pienillä nopeuksilla ulostulo on nolla 1.3 Korkeusmittaus Kun siirrytään ilmakehässä korkeammalle, on yläpuolellamme vähemmän ilmaa ja siten ilmanpaine pienenee. Ilmanpainetta mittaamalla saadaan siis korkeustietoa. Ilmanpaine kuitenkin 7

8 muuttuu sään myötä (ja sisätiloissa ilmastoinnin), joten ilmanpaineeseen perustuva korkeusmittari on kalibroitava usein. Paikannussovelluksissa muutamalla metrilläkin voi olla merkitystä (esim. oikean kerroksen tunnistaminen rakennuksessa), ja tällöin on tarpeen asettaa toinen ilmanpainemittari läheiseen paikkaan tunnettuun korkeuteen. Tällöin ilmanpaineiden erotuksesta saadaan korkeusero tarkasti määritettyä. altitude (m) rd floor 4th floor stairs stairs Elevator 5th floor 2nd floor 1st floor 3rd floor stairs 162 Stairs to outside time (s) Kuva 1.5: MEMS-ilmanpainemittarin korkeusratkaisu sisätiloissa. Ratkaisu saadaan tarkasti metreinä merenpinnasta, kun tukiasema on samassa rakennuksessa tunnetulla korkeudella Inertiapaikannusyhtälöt * (Asiaa ei käsitellä tällä kurssilla. Inertiapaikannus on siirtynyt kurssin TKT-2556 vastuulle, mutta näistä yhtälöistä voi olla hyötyä muissakin sovelluksissa.) Tämän kappaleen kaavojen muoto on melko suoraan viittestä [22]. Paikkavektorin origona käytetään E-koordinaatiston origoa, ja g L lasketaan erikseen paikan funktiona (esim. gravitaatiomalli). B-koordinaatiston ja L-koordinaatiston aikaderivaatta on Ċ L B = C B L(w B IB ) (w L IL )C L B. (1.1) Alkuehto C L B saadaan erilliseltä alustusalgoritmilta (Harjoitus 1.8). Kulmanopeustermi wb IB saadaan gyrotriadilta, ja termi w L IL on maan pyörimisen ja maanopeudesta johtuvan lokaalin koordinaatiston pyörimisen summa: w L IL = w L IE+ w L EL (1.2) Lokaali koordinaatisto L pitää z-akselin kohtisuorassa pallon (ellipsoidin) pintaan nähden, joten kohteen liikkuessa maan pinnalla tämä koordinaatisto pyörii kulmanopeudella w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL. (1.3) 3 3-matriisin F c koostumus riippuu siitä, käytetäänkö ellipsoidi- vai pallomallia. Lisäksi termillä ρ ZL säädetään L:n pohjoisakselin liikettä (harjoitus 1.1). u L ZL on yksikkövektori joka kertoo suunnan ylös L-koordinaatistossa, eli meidän sopimuksillamme u L ZL =[0 0 1]T. 8

9 Mitatun kiihtyvyysvektorin (merk. a B SF = ab g B ) muunnos L-koordinaatistoon: a L SF = C L Ba B SF. (1.4) Lopuksi tarvitaan painovoima (g P =gravitaatio plus maapallon pyörimisen vaikutus) nopeusvektorin (suhteessa maapalloon, E-kehys) muutos ja horisontaalinen paikan muutosnopeus sekä korkeuden muutosnopeus g L P = g L (w L IE )(w L IE )R L, (1.5) v L = a L SF+ g L P (w L EL+ 2w L IE) v L, (1.6) Ċ E L = C E L(w L EL ) (1.7) ḣ=u L ZL v L. (1.8) Siinä kaikki. Paikka ja nopeus voidaan sopivasta alkuehdosta lähtien ratkaista differentiaaliyhtälöistä (1.6) (1.8). Ryhmitellään tärkeimpitä termejä hieman, jotta kokonaiskuva selkiytyy: Tietoa antureilta: a B SF ja wb IB Maapallon ominaisuuksiin liittyvät termit: w IE, g, F c Ja näitä alunperin haluttiin laskea: R E (paikkavektori ECEF:ssä; C E L ja korkeus h ajavat saman asian, ks. harjoitus 1.2), v L (nopeus maapallon suhteen), C L B (INS-laitteen asento L-koordinaatistoon nähden). 1.4 Antureiden mittausvirheet Otetaan ensimmäiseksi esimerkiksi gyrotriadin mittaus, joka olkoon y. Paikannuksen matematiikka -kurssin [2, Luku 1] mukaan ideaalinen mittaus on w B IB, ja eräs virhemalli voisi olla yhtälön y=mw B IB+ b+n (1.9) mukainen. Tässä matriisi M sisältää skaalaus- ja kohdistusvirheet (scale factor, misalignment). Kohinatermit on jaettu biastyyppiseen (b) ja autokorreloimattomaan kohinaan (n). Huomaa, että virhetermi on nyt v=(m I)w B IB+ b+n, eli skaalaus- ja kohdistusvirheet aiheuttavat sen, että virhe on mitattavan suureen funktio. Tämä aiheuttaa ongelmia mittavirheiden tilastollisessa analysoinnissa. 9

10 Peruskokoonpanossa on kolme anturia, joiden mittausakselit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Tällöin 3 3-matriisin M diagonaalialkiot ovat vastaavien antureiden skaalausvirheet. Kohdistusvirhe johtuu siitä, että todellisuudessa antureita ei saada tarkalleen kohtisuoraan toisiinsa nähden. Tällöin tietyn akselin data näkyy myös toiselle anturille. Huippuluokan INSlaitteissa kohdistusvirhe on asteen tuhannesosan luokkaa, ja skaalauskerroinvirhe muutama miljoonasosa signaalin suurudesta (ppm, parts per million). Huomaa, että antureita ei välttämättä tarvitse sijoittaa kohtisuoraan toisiinsa nähden, kunhan akseleiden väliset kulmat tiedetään. Antureita voi myös olla vikatilanteiden varalta enemmänkin kuin vaadittavat kolme. Tässä tapauksessa kohtisuora asennus ei ole tietenkään edes mahdollista. Virhetermi b on ehkä mielenkiintoisin ja käytännössä myös haastavin. Sillä viitataan virheisiin jotka pysyvät samana tai lähes samana pitkään. Jako b:n ja n:n välillä ei ole mitenkään itsestäänselvä. Ääritilannetta, jossa b olisi aina vakio ja n olisi täysin korreloimaton näytteiden välillä, ei reaalimaailmasta löydy (tällöin bias-termi saataisiin ratkaistua ja korjattua täysin jo tehdaskalibroinnissa). Käytännössä b:n korrelaatioaika on laitteen käynnistysten välisen ajan luokkaa (tunteja kuukausia), ja n:n korrelaatioaika on selvästi lyhyempi. Virhetermin n käsittelystä onkin edellisissä kappaleissa paljon tietoa. Kannattaa jälleen kerran huomata, että antureiden käyttö paikannuksessa edellyttää melkein aina mittausten integrointia, joten virheen korrelaatiolla ajan suhteen on merkittävä vaikutus paikannustarkkuuteen. Vaikka lyhyt näyte datasta näyttäisi kohinaiselta, ei kannata vetää liian jyrkkiä johtopäätöksiä: on vakava virhe vertailla gyrojen laatua muutaman minuutin näytteistä otetuilla keskihajontaestimaateilla. Malli (1.9) käy sellaisenaan myös kiihtyvyysantureille, kunhan termi w IB korvataan termillä a B SF. Taulukossa 1.1 kerrotaan, mitä antureilta vaaditaan, jos INS-ratkaisun virheen halutaan pysyvän muutamassa kilometrissä tunnin navigoinnin jälkeen. Vaatimukset ovat kovat, erityisesti gyroille. Lisäksi käyttökohteesta riippuen saattaa olla dynamiikkavaatimuksia: voi esim. olla, että 500 astetta sekunnissa tapahtuva pyörähdys on pystyttävä mittaamaan. Tämän tason INS-laitteiden hinta liikkuu dollarin tienoilla, mutta hinnat tulevat toki alas koko ajan. Hinnan lisäksi ongelmia aiheuttavat vientirajoitukset, sillä tarkat INS-laitteet luokitellaan useissa maissa aseteknologiaksi. MEMS-anturit eivät vielä täytä lähellekään näitä vaatimuksia, mutta ovat helposti saatavilla ja luonnollisesti edullisempia; vaikka INS sellaisenaan ei onnistuisikaan mittausvirheiden vuoksi, inertiamittauksilla saadaan arvokasta lisätietoa paikannusalgoritmeille [5] Virheprosesseista Yksinkertainen virheprosessi saadaan riippumattomista satunnaismuuttujista n t, joiden odotusarvo on nolla ja varianssi σ 2 n <. Tätä kutsutaan valkoseksi kohinaksi (white noise). Oletetaan vielä, että satunnaismuuttujat ovat normaalijakautuneita. Kuvassa 1.6 esitetään valkoisen kohinan (σ 2 n = 1) realisaatio ja sen kumulatiiven summa x t = t t=1 n t. (1.10) 10

11 Taulukko 1.1: Antureiden tarkkuusvaatimuksia, kun paikannusvirhe saa kasvaa enintään 0.1 tai 1 merimailia (1.852 km) tunnissa [23]. Virhelähde Vaadittava tarkkuus 0.1 nmph 1 nmph Kiihtyvyysanturi bias 5 µg 40 µg skaalausvirhe 40 ppm 200 ppm kohdistusvirhe 1/3600 7/3600 Gyro bias /h /h skaalausvirhe 1 ppm 5 ppm kohdistusvirhe 0.7/3600 3/3600 Seuraavaksi lisätään prosessiin autokorrelaatiota, ensin AR(1)-prosessi x t = ρx t 1 + n t. (1.11) σ 2 n Jotta saadaan stationäärinen prosessi, vaaditaan, että ρ < 1. Prosessin realisaatiota generoitaessa pitää ottaa x 0 jakaumasta N(0, ), jotta stationäärisyys pätee äärelliselle sarjalle (ks. 1 ρ 2 esim. [24]). Valitaan ρ=0.9 ja σ 2 n = 1 ρ2, jolloin prosessilla on sama varianssi kuin edellisellä prosessilla. Integroituna sarja saa hyvin isoja arvoja verrattuna edelliseen: Integroidun sarjan viimeisen satunnaismuuttujan keskihajonta 96.5, ja korreloimattoman kohinan tapauksessa se on Nämä lukemat tarkistetaan harjoituksissa r=randn(500,1) cumsum(r) Kuva 1.6: Valkoista kohinaa ja siitä integroitu satunnaiskävely (random walk). 11

12 Kuva 1.7: AR(1)-realisaatio ja sen kumulatiivinen summa. Nämä kohinamallit ovat melko yksinkertaisia, ja valitettavasti todellisuudessa kohdataankin usein monimutkaisempia prosesseja. Yhtenä esimerkkinä olkoon 1/ f -kohina (tai diskreettiaikaisena ARFIMA(0,0.5,0), ks. esim. [4, 29] mielenkiintoisine esimerkkeineen), josta saadaan realisaatio puoli-integroimalla valkoista kohinaa. Koska alakolmiomatriisi A= (1.12) integroi kerran aikasarjavektorin x kertolaskussa Ax, niin haetaan matriisi B, joka toteuttaa BB=A. Lasketaan matriisin neliöjuuri [2, Luku 1] tutulla sqrtm-komennolla, jolloin B= (1.13) Nyt käytetään B:tä kerroinmatriisina valkoiselle kohinalle (σ 2 n = 1), tulos kuvassa 1.8. Tälle kohinatyypille ominaista on bias-heilahtelu : suuri osa tehosta on hyvin pienillä taajuksilla. Tässä esiteltyjen kohinaprosessien identifiointiin käytetään usein Allan-varianssia (Allan variance, two-sample variance) [3, 19] σ 2 x(τ)= 1 2 E( x 2 x 1 ) 2, (1.14) 12

13 Kuva 1.8: Diskreettiaikaisen 1/ f -kohinan realisaatio jossa keskiarvot otetaan peräkkäisistä τ:n pituisista lohkoista x 1 = 1 τ x 2 = 1 τ Estimaatti Allan-varianssista saadaan kokoamalla otos m lohkoon, ˆσ 2 x(τ,m)= m 1 1 2(m 1) τ 1 x t (1.15) t=0 2τ 1 x t. (1.16) t=τ k=1 Tietyillä ehdoilla prosessille x t tämä tuottaa harhattoman estimaatin [20]. ( x k+1 x k ) 2. (1.17) 13

14 Harjoitustehtäviä 1.1. Käydään kaava w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL läpi. Millainen matriisi F c on, jos käytetään pallomallia, pallon säde R? Mitä termi ρ ZL tekee? Vihje: ajattele lentokonetta joka lentää hyvin lähellä pohjoisnapaa. Jos L-kehyksen y-akseli pidetään aina osoittamaan pohjoista, mitä tapahtuu vektorille w L EL? 1.2. Onko C E L yhdessä h:n kanssa riittävä tieto yksiselitteiseen paikkaratkaisuun? 1.3. INS-sovelluksissa kolme gyroa on riittävä määrä, mutta vikatilanteiden varalta niitä voi laittaa useammankin. Oletetaan että kolme gyroa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja lisätään yksi gyro siten, että tämän mittausakseli ei ole yhdensuuntainen muiden gyrojen kanssa. Voidaanko nyt havaita, jos joku antureista antaa täysin virheellisiä mittauksia? Jos kyllä, voidaanko ko. anturi tunnistaa ja siten väärät mittaukset eristää? Entä jos meillä onkin 5 anturia siten, että mitkään kolme akselia eivät ole samassa tasossa? 1.4. Näytä, että virhe g:n laskemisessa (gravitaatiomallin virhe) aiheuttaa positiivisen takaisinkytkennän INS:n korkeusvirheelle Oletetaan että joskus MEMS-gyro analogisella ulostulolla saavuttaa 1 nmph INSvaatimukset, ks. taulukko 1.1 sivulla 11. Jotta signaali saadaan digitaaliseksi, tarvitaan A/D-muunnin. Arvioi vaadittavaa resoluutiota, ts. montako bittiä kvantisointiin tarvitaan Monenko integraattorin läpi termi w B IB (eli gyrodata) menee INS-yhtälöissä? Mitä tapahtuu (lähes) korreloimattomalle kohinalle näin monen integroinnin jälkeen? Entä bias-tyyppiselle kohinalle? 1.7. Tietokonetehtävä: Takaisinkytkennät INS-mekanisoinnissa Tietokonetehtävä: C L B :n alustus maan pyörimisvektorin ja normaalivoiman avulla. 14

15 Luku 2 Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus MARTTI KIRKKO-JAAKKOLA Seuratessaan satelliittisignaalia GNSS-vastaanotin mittaa sekä signaaliin moduloidun koodin vaihetta että itse signaalin sinimuotoisen kantoaallon vaihetta. Näistä kahdesta perusmittauksesta voidaan laskea pseudoetäisyys ja ns. integroitu Doppler, joita usein (virheellisesti) pidetäänkin vastaanottimen perusmittauksina. Tässä luvussa tutustutaan kantoaaltomittausten hyödyntämiseen paikannuksessa. Itse asiassa alun perin kantoaaltomittauksia ei suunniteltu edes käytettäväksi paikannuksessa mihinkään, mutta 1970-luvun lopulla Counselman et al. [7] osoittivat, että niissä on potentiaalia erittäin tarkkaan paikannukseen. Koodimittaukset ovat kantoaaltomittauksia selvästi kohinaisempia (koodimittauksissa on tyypillisesti vähintään desimetriluokan kohina, kun taas edullisetkin vastaanottimet mittaavat kantoaallon vaihetta noin senttimetrin tarkkuudella), kuten kuvassa 2.1 on näytetty. Kantoaaltomittausten käyttämistä hankaloittaa kuitenkin oleellisesti se, että kyseinen mittaus sellaisenaan kertoo vain aallon vaiheen modulo 2π pelkkää vaihetta mittaamalla ei saada tietoon täysien kantoaaltojaksojen määrää, joka on kullekin satelliitille erisuuruinen kokonaisluku. Tästä syystä kantoaaltomittauksia käytetään henkilökohtaisessa paikannuksessa vain etäisyyden muutoksen arviointiin, jolloin koodimittausten kohinaa voidaan tasoittaa (carrier smoothing, ks. esim. [21]). Kantoaaltopaikannuksen toteuttamista kuluttajalaitteilla henkilökohtaisessa paikannuksessa tutkitaan kuitenkin aktiivisesti [1]. 2.1 Doppler-ilmiö Paikannussatelliitit liikkuvat käyttäjiinsä nähden koko ajan monta kilometriä sekunnissa, esimerkiksi GPS-satelliittien ratanopeus on noin 4 km/s; lisäksi toki käyttäjät itsekin voivat Tavallisesti tosin kantoaaltomittaukset ilmoitetaan skaalattuna jaksoiksi, ei radiaaneina tai metreinä 15

16 Koodi Kantoaalto vaihe ero [m] Kuva 2.1: Koodi- ja kantoaaltomittausten kohinatasot. Tässä kuvassa näytetään vain peräkkäisten mittausten (molemmat metreissä) erotukset eikä itse absoluuttisia mittauksia, jolloin biastyyppiset termit (ml. kokonaislukutuntematon) kumoutuvat. liikkua. Tämä suhteellinen liike vaikuttaa siihen taajuuteen, jolla vastaanotin signaalin havaitsee: jos vastaanotin liikkuu kohti aaltolähdettä, kohtaa se aaltorintamia useammin kuin paikalla ollessaan, ja toisaalta taas liikkuessaan lähettimestä poispäin kohtaa niitä harvemmin. Molemmissa tapauksissa vastaanotin havaitsee signaalin eri taajuudella kuin mikä todellinen lähetystaajuus on. Tätä lähettimen ja vastaanottimen välisen suhteellisen liikkeen vaikutusta vastaanotettuun taajuuteen kutsutaan Doppler-ilmiöksi. Valon nopeudella eteneville aalloille Doppler-ilmiö mallinnetaan kaavalla ( f R = f T 1 v r u ), (2.1) c jossa f R on vastaanotettu taajuus, f T on lähetetty taajuus, v r on satelliitin ja vastaanottajan välinen suhteellinen nopeus, u on yksikkövektori vastaanottajan sijainnista satelliittia kohti ja c on valon nopeus. Doppler-ilmiön aiheuttamaa taajuusmuutosta sanotaan Doppler-siirtymäksi f D : f D = f R f T = v r u c. (2.2) Vastaanottimen on signaalia seuratessaan luonnollisesti oltava selvillä sen taajuudesta, johon Doppler-ilmiö vaikuttaa. Siten vastaanotin mittaa samalla kunkin satelliittisignaalin Dopplersiirtymää. Seuraavissa kappaleissa nähdään, mitä hyötyä tästä on paikannuksen kannalta. Esimerkiksi ääniaalloille (tuttuna mallitapauksena toimii vaikkapa ohi ajavan ambulanssin sireeni) Dopplersiirtymä lasketaan hieman eri tavalla, koska silloin ei voida approksimoida v+v s v, missä v on aaltojen etenemisnopeus ja v s aaltolähteen nopeus.. 16

17 2.1.1 Doppler-siirtymän ja etäisyysmittauksen muutoksen välinen yhteys Paikannuksen matematiikan monisteessa [2, Esimerkki 15, s. 24] on esitelty mittausmalli pseudoetäisyysmittaukselle. Lasketaan nyt satelliitille i tehdyn mittauksen aikaderivaatta (deltaetäisyys): ρ i = d dt ( s i x +b)=(v i v u ) s x + ḃ, (2.3) s x missä v i on satelliitin i nopeusvektori, v u on vastaanottajan nopeusvektori ja ḃ vastaanottimen kellon käyntivirhe [s/s] (clock drift). Välivaiheiden laskeminen jätetään harjoitustehtäväksi. Verrattaessa yhtälöitä (2.2) ja (2.3) huomataan, että u= s x s x ja v r = v i v u. Nyt siis deltaetäisyys saadaan affiinilla muunnoksella Doppler-siirtymästä: ρ i = c f D + ḃ. (2.4) Deltaetäisyyksiä käytetään esim. vastaanottimen nopeuden määrittämiseen. Myös paikannus niiden perusteella on mahdollista, tosin mittausmallista johtuen huomattavasti virheherkempää kuin pseudoetäisyyspaikannus [18] Doppler-siirtymän ja vaihemittauksen välinen yhteys Kantoaaltomittausta sanotaan myös integroiduksi Doppleriksi. Uusi kantoaaltomittaus φ i (t) saadaan vähentämällä vanhasta mittauksesta φ i (t T) Doppler-siirtymän integraali mittausajan (pituus T ) yli. Kyseessä on nimenomaan vähennys eikä lisäys, koska Doppler-taajuushan kasvaa, kun vastaanotin lähestyy satelliittia eli näiden välinen etäisyys pienenee. Vaihemittauksen halutaan luonnollisesti käyttäytyvän päinvastoin. Huomaamalla, että yhtälössä (2.1) pistetulo suhteellisen nopeuden v r ja suuntayksikkövektorin u välillä on suhteellisen nopeuden projektio kohtisuoralle etäisyydelle eli toisin sanoen etäisyyden r aikaderivaatta, voidaan Doppler-siirtymä (2.2) kirjoittaa vielä uuteen muotoon f D = ṙ λ, (2.5) missä λ = c/ f on signaalin aallonpituus. Tästä integroimalla saadaan kantoaaltomittaus t φ i (t)= φ i (t T) f D (τ)dτ=λ 1 (r i (t) r i (t T)). (2.6) t T Merkitään nyt φ i (0) = r i (0)+b(0)+N i, missä r i (0) on todellinen etäisyys vastaanottimen ja satelliitin i välillä hetkellä t = 0, b(0) vastaanottimen kellovirhe samana hetkenä ja N on tuntematon määrä kantoaaltojaksoja (tämän arvoa ei siis tiedetä pelkkää vaihetta mittaamalla). Lisäämällä vielä satelliitin kellovirhe b i (t) sekä mittausvirhetermi ε i (t) (sisältäen esim. satelliitin rataparametrien (ephemeris) virheet ja monitie-etenemisen) saadaan kantoaaltomittausmalliksi φ i (t)= r i(t) λ + b(t) b i(t)+n i + ε i (t). (2.7) 17

18 Yksikkönä on kantoaaltojakso. Todellisuudessa tähän malliin tulisi vielä lisätä pseudoetäisyysmittauksista tuttuja virhelähteitä kuten ilmakehä, mutta ne on jätetty yksinkertaisuuden vuoksi pois. Erityisesti tulee huomata, että kokonaislukutuntematon N i ei riipu ajasta t, vaan N i määräytyy signaalin hakuvaiheessa ja pysyy vakiona niin kauan kuin satelliittia i seurataan katkoksitta. Käytännössä joskus (varsinkin edullisilla vastaanottimilla) kokonaislukutuntematon N i voi kuitenkin muuttua lyhyen signaalikatkoksen takia. Tällaista tilannetta sanotaan jaksohypyksi (cycle slip), ja niiden havaitseminen (ja mahdollisesti korjaus) on erittäin tärkeää tarkassa paikannuksessa, sillä jokaisesta jaksohypystä aiheutuu vähintään desimetriluokan etäisyysvirhe. Jaksohyppyjä voidaan tunnistaa esim. peräkkäisten kantoaaltomittausten erotuksista RAIMmenetelmällä (s. 37), ks. esim. [14]. 2.2 Differentiaalinen paikannus Kuten todettu, mittausmalli (2.7) ei ole totuudenmukainen, vaan siitä puuttuu merkittäviä virhelähteitä. Mikäli paikannusta tehdään jälkiprosessointina ja tulokset voidaan ilmoittaa vaikka parin viikon viiveellä, voidaan käyttää esim. IGS:n (International GPS Service) [9] toimittamia tarkkoja satelliitti- ja ilmakehädatoja näiden virheiden korjaamiseen. Reaaliaikasovelluksissa tämä kuitenkaan ole mahdollista. Toinen mahdollinen tapa päästä eroon mittausmallin virheistä on hyödyntää tietoa siitä, että osa virheistä korreloi ajan ja paikan mukaan: esimerkiksi ilmakehän aiheuttamat virheet ovat käytännössä yhtä suuret lähellä toisiaan sijaitseville vastaanottimille. Tähän perustuu differentiaalinen paikannus, jossa ideana on käyttää itse paikannettavaa laitetta riittävän lähellä sijaitsevaa referenssivastaanotinta. Yksinkertaisimmillaan differentiaalipaikannus toimii niin, että jokin tunnetussa paikassa sijaitseva vastaanotin arvioi, paljonko sen mittauksissa on virheitä, jotka siirtävät paikkaestimaatin pois todellisesta sijainnista, ja lähettää tämän kokonaisvirhe-estimaatin, differentiaalikorjauksen, paikannettaville vastaanottimille esim. radiolinkin yli. Selective Availabilityn (SA) poissaollessa nämä virheet eivät muutu nopeasti ajan myötä, joten lähetetty korjaus on käyttökelpoinen pidemmänkin aikaa, eikä uusia korjauksia tarvitse laskea ja lähettää joka mittaushetkellä. Kokonaisvirhearvio sisältää myös vastaanottimen kellovirheen, mistä ei ole kuitenkaan haittaa, mikäli korjausdataa käyttävät vastaanottimet eivät käytä satelliitteja, joihin korjausdataa ei ole: Tällöin vain käyttäjien vastaanotinten on ratkaistava oman kellovirheensä ja referenssivastaanottimen kellovirheen summa, mikä onnistuu aivan samalla tavalla kuin pelkän oman kellovirheen ratkaiseminen ilman korjausdataa. Jos käytössä on useampia referenssivastaanottimia, ei kokonaisarvioiduista korjauksista ole niin suurta hyötyä, vaan olisi parempi, jos eri virhelähteet, kuten esim. ilmakehä ja satelliitin kello, saataisiin arvioitua erikseen. Näin toimivat monet GPS:n laajennokset, kuten USA:n kattava On täysin tilanneriippuvaista, kuinka paljon on riittävän lähellä : Yksitaajuusvastaanottimella huonolla kelillä se voi olla muutama kilometri, kun taas kaksitaajuusvastaanottimella pilvettömällä säällä satakin kilometriä voi riittää [21]. 18

19 Wide Area Augmentation System (WAAS). Myös eurooppalaisille on vastaavanlainen järjestelmä nimeltään European Geostationary Navigation Overlay System (EGNOS), joka tuli virallisesti käyttöön lokakuussa Kuten nimistä voi päätellä, nämä järjestelmät hyödyntävät geostationäärisiä satelliitteja korjausdatan välittämisessä suuremmalle alueelle. Valitettavasti geosatelliitit näkyvät Suomen leveyspiireille melko huonosti, koska niiden kiertorata kulkee päiväntasaajan kohdalla Suhteellinen paikannus Mikäli riittää ratkaista vain kahden vastaanottimen välistä etäisyysvektori, ns. perusviiva (baseline), voidaan eri vastaanotinten tekemiä mittauksia vähentää toisistaan sellaisenaan erillisiä virhearvioita konstruoimatta. Tällöin kuitenkin menetetään absoluuttinen paikkainformaatio. Jos vastaanottimista toisen sanottakoon sitä referenssivastaanottimeksi paikka tunnetaan, voidaan jäljelle jäävän, jota kutsuttakoon käyttäjäksi (englanninkielisessä kirjallisuudessa yleensä rover receiver), absoluuttinenkin paikka määrittää referenssivastaanottimen paikan tai perusviivaestimaatin tarkkuudella riippuen siitä, kumpi on epätarkempi. Suhteellinen paikannus hyötyy huomattavasti kantoaaltomittausten käytöstä. Koska systemaattisia mittausvirheitä saadaan differentiaalimenelmällä vähennettyä, alkaa mittauskohina olla merkittävä virhelähde differentiaalipaikkaestimaatteihin käytettäessä koodimittauksia. Kuten tiedetään, kantoaaltomittaukset ovat muutamaa kertaluokkaa tarkempia kuin koodin vaiheeseen perustuvat pseudoetäisyydet. Ongelmaksi tulevat kuitenkin kokonaisten kantoaaltojaksojen lukumäärät eli kokonaislukutuntemattomat N i. Mikäli ne saadaan ratkaistua, voidaan perusviivaa estimoida parhaimmillaan jopa millimetrien tarkkuudella Yksittäisdifferenssi vastaanotinten välillä Jos käytettävissä on mallin (2.7) mukaiset mittaukset myös käyttäjää riittävän lähellä olevalla referenssivastaanottimella r, kuten kuvassa 2.2, voidaan muodostaa näiden vastaanotinten satelliittiin i tekemien mittausten erotus eli yksittäisdifferenssi r φ i (t)= r r i(t) λ + r b(t)+ r N i + r ε i, (2.8) missä operaattori r merkitsee yksittäisdifferentiointia vastaanottimen r kanssa. Satelliitin kellovirhe b i (t) on yhtä suuri molemmille vastaanottimelle, joten mallista (2.8) se on kumoutunut kokonaan pois. Lisäksi ilmakehävirheet ovat läheisyysoletuksen nojalla lähes samat molemmille vastaanottimille, joten niidenkin vaikutus pienee merkittävästi ja ne jätetään pois tästä mallista. Sen sijaan vastaanottimen kellovirhe, kokonaislukutuntemattomat ja kohina sekä monitieeteneminen eivät korreloi vastaanotinten välillä, joten ne eivät kumoudu vaan määrittyvät uudelleen. Differentioituinakin näiden käsittely on laskennallisesti kuitenkin vastaavanlaista kuin 19

20 alkuperäisissäkin malleissa, ja kokonaislukutuntemattomat säilyttävät kokonaislukuluonteensa. Satunnainen mittauskohina jopa voimistuu: sen keskihajonta kasvaa 2-kertaiseksi, ts. var r ε i = 2varε i, (2.9) kun molempien vastaanottimien kohinat oletetaan identtisesti jakautuneiksi ja toisistaan riippumattomiksi. s i Referenssi Perusviiva Käyttäjä Kuva 2.2: Yksittäisdifferenssi satelliittiin i. Merkitsemällä perusviivaa r x = x x r, missä x on käyttäjän ja x r referenssivastaanottimen paikka, ja kehittämällä (2.8) ensimmäisen asteen Taylor-polynomiksi saadaan r φ i (t) λ 1 x r(t) s i x r (t) s i (t) r x(t)+ r N i + r b(t)+ r ε i (t), (2.10) kun satelliitin i paikkaa merkitään vektorilla s i. Tämän tuloksen johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi Kaksoisdifferenssi Kahdesta eri satelliitteihin liittyvästä yksittäisdifferenssistä saadaan muodostettua kaksoisdifferenssi (kuva 2.3): r φ i j (t)= r φ i (t) r φ j (t) ( λ 1 xr (t) s i (t) x r (t) s i (t) x ) r(t) s j (t) r x(t)+ r N i j + r ε i j (t). x r (t) s j (t) (2.11) Differentioimalla mittaukset satelliittien välillä päästään eroon vastaanottimesta riippuvista virheistä, joista oleellisin on kellovirhe r b(t). Tämän operaation hintana on yhden (yksittäisdifferentioidun) mittauksen menettäminen ja kohinan vahvistuminen edelleen (tehtävä 2.2). Kokonaislukutuntematon N i j on edelleen kokonaisluku, muttei enää (välttämättä) sama kuin yksittäisdifferentioitu kokonaislukutuntematon. Joskus kirjallisuudessa satelliittien välistä differentiointia merkitään operaattorilla, jolloin kaksoisdifferenssejä merkitään operaattoriparilla. 20

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä

Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Luento 5: Suurten lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen iteratiivisilla menetelmillä Matriisit voivat olla kooltaan niin suuria, että LU-hajotelman laskeminen ei ole järkevä tapa ratkaista lineaarista

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

IL Dnro 46/400/2016 1(5) Majutveden aallokko- ja virtaustarkastelu Antti Kangas, Jan-Victor Björkqvist ja Pauli Jokinen

IL Dnro 46/400/2016 1(5) Majutveden aallokko- ja virtaustarkastelu Antti Kangas, Jan-Victor Björkqvist ja Pauli Jokinen IL Dnro 46/400/2016 1(5) Majutveden aallokko- ja virtaustarkastelu Antti Kangas, Jan-Victor Björkqvist ja Pauli Jokinen Ilmatieteen laitos 22.9.2016 IL Dnro 46/400/2016 2(5) Terminologiaa Keskituuli Tuulen

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi

Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot