TKT-2540 Paikannuksen menetelmät. Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TKT-2540 Paikannuksen menetelmät. Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola"

Transkriptio

1 TKT-2540 Paikannuksen menetelmät Jussi Collin Helena Leppäkoski Martti Kirkko-Jaakkola 2010

2 Esipuhe Tämä moniste on jatkoa kurssin MAT Paikannuksen matematiikka (http://math.tut. fi/courses/mat-45800/) luentomonisteelle. Nämä kurssit liittyvät läheisesti toisiinsa, ja aiempina vuosina niillä onkin käytetty samaa luentomonistetta. Tänä vuonna kuitenkin näiden kahden kurssin asiat on erotettu omiin monisteisiinsa. Paikannuksen matematiikka on tälle kurssille erittäin suositeltava, muttei kuitenkaan pakollinen esitieto. Tarkoituksena on, että paikannuksen matematiikan kurssilla esitetään paikannusmenetelmien taustalla olevia matemaattisia periaatteita, etenkin tilastomatematiikkaa ja optimointia, joita sitten tällä kurssilla sovelletaan käytännön paikannusongelmiin. Jos ja kun monisteesta löytyy virheitä, ilmoitetaan niistä kurssin kotisivulla cs.tut.fi/kurssit/2540/. Kiitokset Simo Ali-Löytylle, Niilo Sirolalle ja Henri Pesoselle varsinkin tässä monisteessa käytetyn LATEX-pohjan jalostamisesta. Lisäksi erityiskiitos Hanna Sairolle monisteen edellisissä versioissa julkaistuista osuuksista, joiden pohjalta luvun 2 alku on kirjoitettu. Tampereella, 19. helmikuuta 2010 tekijät 2

3 Sisältö 1 Anturiavusteinen paikannus Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Matkamittarit Korkeusmittaus Antureiden mittausvirheet Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus Doppler-ilmiö Differentiaalinen paikannus Real-Time Kinematics Luotettavuus ja eheys Paikannuksen suorituskyvyn mittareita Tilastollinen päättely ja hypoteesien testaus Residuaalit Receiver Autonomous Integrity Monitoring Luotettavuustestaus globaalin ja lokaalin testin avulla Hakemisto 46 Viitteet 48 3

4 Luku 1 Anturiavusteinen paikannus JUSSI COLLIN Koska satelliittisignaalien lähetysteho on kovin pieni, kohtaa käyttäjä usein tilanteita, joissa paikannusratkaisua ei ole saatavilla. Maanalaiset parkkipaikat ja ostoskeskukset ovat tiloja, joissa tarkasta paikkaratkaisusta voisi olla paljonkin hyötyä, mutta GPS-laite ei tällaista voi tarjota. Tällaisissa tiloissa esim. WLAN-verkko tarjoaa mahdollisuuden radiosignaaleihin perustuvaan paikkaratkaisuun, mutta varustamalla laite sopivilla antureilla voidaan saada tietoa liikkeestä ilman ulkoista apua. Tässä osiossa esitellään paikannukseen sopivia antureita, katsotaan, miten mittauksista saadaan paikkaratkaisu, ja käydään lyhyesti yksinkertaisia anturivirhemalleja läpi. Paikannuksen matematiikan kurssilla [2, Luku 1] käytiin läpi koordinaatistojen vaihtoja, ja periaatteessa anturipaikannusalgoritmit perustuvatkin näihin operaatioihin: mitataan paikan muutos laitteeseen sidotussa koordinaatistossa, muunnetaan se karttakoordinaatistoon ja integroidaan. Tuloksena on reitti kartalla, kunhan alkupaikka saadaan tietoon käyttäen jotakin muuta paikannusjärjestelmää. Käytännössä apua tarvitaan useamminkin kuin kerran, koska integroinnin luonteeseen kuuluu vakiovirheiden kertaantuminen. 1.1 Kiihtyvyys- ja kulmanopeusanturit Termi inertia viittaa kappaleen pyrkimykseen jatkaa kulkuansa, jos siihen ei kohdistu ulkoisia voimia. Kiihtyvyysanturit perustuvatkin tähän periaatteeseen, kuten myös osa gyroista. Kiihtyvyysanturin rakentamiseen tarvitaan massa, jousi, kotelo ja jonkinlainen indikaattori massan paikasta kotelon suhteen (kuva 1.1). Voiman ja kiihtyvyyden suhde on tietysti tunnettu, ja jousen puristuma tai venymä kertoo voiman suuruuden. Lisänä voi olla vielä takaisinkytkentä, joka pyrkii pitämään massan paikallaan koteloon nähden. 4

5 Kuva 1.1: Kiihtyvyysanturin toimintaperiaate. Lähde: [27] Mittauksen ongelmana on g:n puuttuminen: anturitriadin mittaus on vektori a B g B. Kuvassa 1.1 näkyvän jousen puristuman voi nimittäin aiheuttaa joko normaalivoiman ja gravitaation yhteisvaikutus (anturin ollessa paikallaan) tai kiihtyvyys inertiakehyksessä (ilman gravitaatiota). Anturi ei tiedä, kumpi tilanne on kyseessä. Newtonin liikelakien käyttö vaatii kuitenkin myös gravitaatiovoimien mittaamisen, mutta sepä ei kiihtyvyysantureilta suoraan onnistukaan! Siksi inertialaskuissa gravitaatio lisätäänkin mittauksiin gravitaatiomallin avulla. Toisaalta, jos newtonilainen kiihtyvyys tiedetään anturin koordinaatiostossa, saadaan gravitaatiovektori laskettua mittausyhtälöstä. Jos anturitriadin tiedetään olevan paikallaan (a B = 0), se mittaa ylöspäin suuntaava vektoria, josta saadaan kallistusmittaus. Lisäksi kiihtyvyysantureilla voidaan mitata syklisiä tärähdyksiä, esimerkiksi askelia, jolloin saadaan epäsuorasti estimoitua kuljettua matkaa. Tästä lisää luentojen jalankulkija-osiossa. Kulmanopeuden mittaamiseen on useita eri vaihtoehtoja. Mekaaniset gyrot perustuvat myös inertiaan, tällä kertaa liikkuvan anturielementin pyrkimyksiin vastustaa kiertoja. Yksi tapa mitata kulmanopeutta on asentaa pyörivä massa M laakeroituun koteloon B, w B BM =[0 0 ω M] T. Ripustetaan massa siten, että pyörivä massa laakereineen pääsee pyörimään suunnassa u B out =[0 ± 1 0]T, mutta ei suunnassa u in =[±1 0 0] T. Tällöin liike w B IB =[ω in 0 0] T aiheuttaa ripustuksen kiertymisen suunnassa w B BM wb IB, joka onkin u out:n suuntainen akseli. Kun mitataan kiertymistä tämän akselin suhteen, saadaan tieto kulmanopeudesta u in -akselin suhteen. Pyörivä massa ei välttämättä ole käytännöllinen, jos anturin suunnittelijalle on annettu rajoituksia koon tai virrankulutuksen suhteen. Toinen mekaaninen gyrotyyppi on värähtelevä gyro, jossa liike on edestakaista. Kuva 1.2 esittää äänirautagyron (tuning fork gyro) toimintaperiaatteen. Ylempi haarukka laitetaan resonoimaan sähkövirran avulla. Jos anturi pyörii sisäänmenoakselin ympäri, coriolis-voima aiheuttaa edestakaisen liikkeen, joka on kohtisuorassa pakotetun resonoinnin suuntaan ja sisäänmenoakselin suuntaan nähden (nuolet alemmassa haarukassa). Tätä liikettä mitataan (yleensä kapasitiivisesti), ja tuloksena on kulmanopeudella moduloitu signaali, josta saadaan kulmanopeus selville. Mikroelektromekaaniset (MEMS) gyrot toimivat tällä periaatteella. Pyörimisen mittaamiseen ei välttämättä tarvita liikkuvia osia, sillä mekaanisille pyörimiseen 5

6 Kuva 1.2: Esimerkki coriolis-voimaan perustuvasta gyrosta. Lähde: [27] liittyville ilmiöille löytyy sähkömagneettimen vastine, Sagnac-ilmiö. Ilmiön selittämiseen tarvitaan suhteellisuusteoriaa, mutta tämän kurssin puitteissa voidaan oikaista hieman: Lähetetään lasersäde matkaan, ja peilien avulla ohjataan säde takaisin lähtöpaikkaansa kulkusuunta myötäpäivään. Lisätään toinen lasersäde, joka kulkee vastapäivään. Syntyy kaksi seisovaa aaltoa, joiden taajuuseroa mitataan. Kun kotelo pyörii I-koordinaatiston suhteen (laserin reitin määräämän tason normaalin ympäri), tämä taajuusero muuttuu. Tällä periatteella toimivaa gyroa kutsutaan rengaslasergyroksi (Ring Laser Gyro, RLG). Optisella mittaustavalla on useita etuja: Kuva 1.3: Lasergyro. Lähde: [27] Pyörimissuuntaan kulkeva säde kulkee pidemmän matkan I-koordinaatistosta katsottuna... 6

7 Erinomainen tarkkuus Rajaton sisäänmenokaista Ei liikkuvia osia, joten tärinä ei haittaa ja luotettavuus on mekaanisia gyroja parempi. Lineaarinen kiihtyvyys ei vaikuta mittaukseen. Toisaalta hinta, koko ja virrankulutus estävät käytön henkilökohtaisissa sovelluksissa ainakin toistaiseksi. 1.2 Matkamittarit Kiihtyvyyteen perustuvassa siirtymän mittauksessa perustava ongelma on kaksoisintegrointi: pienikin vakiovirhe mittauksessa kasautuu ajan myötä suureksi. Tästä syystä ajoneuvon pyörän kierroslaskurit ym. matkaa mittaavat anturit tuottavat lähes poikkeuksetta tarkemman tuloksen. Isoin virhekomponentti matkamittareilla on skaalausvirhe: esimerkiksi renkaan säde ei ole tarkkaan tiedoissa. Paikkavirhe on tällöin verrannollinen kuljettuun matkaan eikä aikaan. Toisin kuin puhtaat inertiamittaukset, nämä menetelmät ovat jonkin verran ulkoisista tekijöistä riippuvaisia: jos tienpinta on liukas, rengas saattaa pyöriä tyhjää. Doppler-tutkaa voi myös käyttää kuljetun matkan laskemiseen, erityisesti työkoneissa, joissa anturin asentaminen renkaaseen tai sellaisen ylläpito on joko hankalaa. Doppler radar speed Measured speed (km/h) True speed (km/h) Kuva 1.4: Erään Doppler-tutkan ulostulo nopeuden funktiona. Mittaus on etumerkitön, ja pienillä nopeuksilla ulostulo on nolla 1.3 Korkeusmittaus Kun siirrytään ilmakehässä korkeammalle, on yläpuolellamme vähemmän ilmaa ja siten ilmanpaine pienenee. Ilmanpainetta mittaamalla saadaan siis korkeustietoa. Ilmanpaine kuitenkin 7

8 muuttuu sään myötä (ja sisätiloissa ilmastoinnin), joten ilmanpaineeseen perustuva korkeusmittari on kalibroitava usein. Paikannussovelluksissa muutamalla metrilläkin voi olla merkitystä (esim. oikean kerroksen tunnistaminen rakennuksessa), ja tällöin on tarpeen asettaa toinen ilmanpainemittari läheiseen paikkaan tunnettuun korkeuteen. Tällöin ilmanpaineiden erotuksesta saadaan korkeusero tarkasti määritettyä. altitude (m) rd floor 4th floor stairs stairs Elevator 5th floor 2nd floor 1st floor 3rd floor stairs 162 Stairs to outside time (s) Kuva 1.5: MEMS-ilmanpainemittarin korkeusratkaisu sisätiloissa. Ratkaisu saadaan tarkasti metreinä merenpinnasta, kun tukiasema on samassa rakennuksessa tunnetulla korkeudella Inertiapaikannusyhtälöt * (Asiaa ei käsitellä tällä kurssilla. Inertiapaikannus on siirtynyt kurssin TKT-2556 vastuulle, mutta näistä yhtälöistä voi olla hyötyä muissakin sovelluksissa.) Tämän kappaleen kaavojen muoto on melko suoraan viittestä [22]. Paikkavektorin origona käytetään E-koordinaatiston origoa, ja g L lasketaan erikseen paikan funktiona (esim. gravitaatiomalli). B-koordinaatiston ja L-koordinaatiston aikaderivaatta on Ċ L B = C B L(w B IB ) (w L IL )C L B. (1.1) Alkuehto C L B saadaan erilliseltä alustusalgoritmilta (Harjoitus 1.8). Kulmanopeustermi wb IB saadaan gyrotriadilta, ja termi w L IL on maan pyörimisen ja maanopeudesta johtuvan lokaalin koordinaatiston pyörimisen summa: w L IL = w L IE+ w L EL (1.2) Lokaali koordinaatisto L pitää z-akselin kohtisuorassa pallon (ellipsoidin) pintaan nähden, joten kohteen liikkuessa maan pinnalla tämä koordinaatisto pyörii kulmanopeudella w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL. (1.3) 3 3-matriisin F c koostumus riippuu siitä, käytetäänkö ellipsoidi- vai pallomallia. Lisäksi termillä ρ ZL säädetään L:n pohjoisakselin liikettä (harjoitus 1.1). u L ZL on yksikkövektori joka kertoo suunnan ylös L-koordinaatistossa, eli meidän sopimuksillamme u L ZL =[0 0 1]T. 8

9 Mitatun kiihtyvyysvektorin (merk. a B SF = ab g B ) muunnos L-koordinaatistoon: a L SF = C L Ba B SF. (1.4) Lopuksi tarvitaan painovoima (g P =gravitaatio plus maapallon pyörimisen vaikutus) nopeusvektorin (suhteessa maapalloon, E-kehys) muutos ja horisontaalinen paikan muutosnopeus sekä korkeuden muutosnopeus g L P = g L (w L IE )(w L IE )R L, (1.5) v L = a L SF+ g L P (w L EL+ 2w L IE) v L, (1.6) Ċ E L = C E L(w L EL ) (1.7) ḣ=u L ZL v L. (1.8) Siinä kaikki. Paikka ja nopeus voidaan sopivasta alkuehdosta lähtien ratkaista differentiaaliyhtälöistä (1.6) (1.8). Ryhmitellään tärkeimpitä termejä hieman, jotta kokonaiskuva selkiytyy: Tietoa antureilta: a B SF ja wb IB Maapallon ominaisuuksiin liittyvät termit: w IE, g, F c Ja näitä alunperin haluttiin laskea: R E (paikkavektori ECEF:ssä; C E L ja korkeus h ajavat saman asian, ks. harjoitus 1.2), v L (nopeus maapallon suhteen), C L B (INS-laitteen asento L-koordinaatistoon nähden). 1.4 Antureiden mittausvirheet Otetaan ensimmäiseksi esimerkiksi gyrotriadin mittaus, joka olkoon y. Paikannuksen matematiikka -kurssin [2, Luku 1] mukaan ideaalinen mittaus on w B IB, ja eräs virhemalli voisi olla yhtälön y=mw B IB+ b+n (1.9) mukainen. Tässä matriisi M sisältää skaalaus- ja kohdistusvirheet (scale factor, misalignment). Kohinatermit on jaettu biastyyppiseen (b) ja autokorreloimattomaan kohinaan (n). Huomaa, että virhetermi on nyt v=(m I)w B IB+ b+n, eli skaalaus- ja kohdistusvirheet aiheuttavat sen, että virhe on mitattavan suureen funktio. Tämä aiheuttaa ongelmia mittavirheiden tilastollisessa analysoinnissa. 9

10 Peruskokoonpanossa on kolme anturia, joiden mittausakselit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Tällöin 3 3-matriisin M diagonaalialkiot ovat vastaavien antureiden skaalausvirheet. Kohdistusvirhe johtuu siitä, että todellisuudessa antureita ei saada tarkalleen kohtisuoraan toisiinsa nähden. Tällöin tietyn akselin data näkyy myös toiselle anturille. Huippuluokan INSlaitteissa kohdistusvirhe on asteen tuhannesosan luokkaa, ja skaalauskerroinvirhe muutama miljoonasosa signaalin suurudesta (ppm, parts per million). Huomaa, että antureita ei välttämättä tarvitse sijoittaa kohtisuoraan toisiinsa nähden, kunhan akseleiden väliset kulmat tiedetään. Antureita voi myös olla vikatilanteiden varalta enemmänkin kuin vaadittavat kolme. Tässä tapauksessa kohtisuora asennus ei ole tietenkään edes mahdollista. Virhetermi b on ehkä mielenkiintoisin ja käytännössä myös haastavin. Sillä viitataan virheisiin jotka pysyvät samana tai lähes samana pitkään. Jako b:n ja n:n välillä ei ole mitenkään itsestäänselvä. Ääritilannetta, jossa b olisi aina vakio ja n olisi täysin korreloimaton näytteiden välillä, ei reaalimaailmasta löydy (tällöin bias-termi saataisiin ratkaistua ja korjattua täysin jo tehdaskalibroinnissa). Käytännössä b:n korrelaatioaika on laitteen käynnistysten välisen ajan luokkaa (tunteja kuukausia), ja n:n korrelaatioaika on selvästi lyhyempi. Virhetermin n käsittelystä onkin edellisissä kappaleissa paljon tietoa. Kannattaa jälleen kerran huomata, että antureiden käyttö paikannuksessa edellyttää melkein aina mittausten integrointia, joten virheen korrelaatiolla ajan suhteen on merkittävä vaikutus paikannustarkkuuteen. Vaikka lyhyt näyte datasta näyttäisi kohinaiselta, ei kannata vetää liian jyrkkiä johtopäätöksiä: on vakava virhe vertailla gyrojen laatua muutaman minuutin näytteistä otetuilla keskihajontaestimaateilla. Malli (1.9) käy sellaisenaan myös kiihtyvyysantureille, kunhan termi w IB korvataan termillä a B SF. Taulukossa 1.1 kerrotaan, mitä antureilta vaaditaan, jos INS-ratkaisun virheen halutaan pysyvän muutamassa kilometrissä tunnin navigoinnin jälkeen. Vaatimukset ovat kovat, erityisesti gyroille. Lisäksi käyttökohteesta riippuen saattaa olla dynamiikkavaatimuksia: voi esim. olla, että 500 astetta sekunnissa tapahtuva pyörähdys on pystyttävä mittaamaan. Tämän tason INS-laitteiden hinta liikkuu dollarin tienoilla, mutta hinnat tulevat toki alas koko ajan. Hinnan lisäksi ongelmia aiheuttavat vientirajoitukset, sillä tarkat INS-laitteet luokitellaan useissa maissa aseteknologiaksi. MEMS-anturit eivät vielä täytä lähellekään näitä vaatimuksia, mutta ovat helposti saatavilla ja luonnollisesti edullisempia; vaikka INS sellaisenaan ei onnistuisikaan mittausvirheiden vuoksi, inertiamittauksilla saadaan arvokasta lisätietoa paikannusalgoritmeille [5] Virheprosesseista Yksinkertainen virheprosessi saadaan riippumattomista satunnaismuuttujista n t, joiden odotusarvo on nolla ja varianssi σ 2 n <. Tätä kutsutaan valkoseksi kohinaksi (white noise). Oletetaan vielä, että satunnaismuuttujat ovat normaalijakautuneita. Kuvassa 1.6 esitetään valkoisen kohinan (σ 2 n = 1) realisaatio ja sen kumulatiiven summa x t = t t=1 n t. (1.10) 10

11 Taulukko 1.1: Antureiden tarkkuusvaatimuksia, kun paikannusvirhe saa kasvaa enintään 0.1 tai 1 merimailia (1.852 km) tunnissa [23]. Virhelähde Vaadittava tarkkuus 0.1 nmph 1 nmph Kiihtyvyysanturi bias 5 µg 40 µg skaalausvirhe 40 ppm 200 ppm kohdistusvirhe 1/3600 7/3600 Gyro bias /h /h skaalausvirhe 1 ppm 5 ppm kohdistusvirhe 0.7/3600 3/3600 Seuraavaksi lisätään prosessiin autokorrelaatiota, ensin AR(1)-prosessi x t = ρx t 1 + n t. (1.11) σ 2 n Jotta saadaan stationäärinen prosessi, vaaditaan, että ρ < 1. Prosessin realisaatiota generoitaessa pitää ottaa x 0 jakaumasta N(0, ), jotta stationäärisyys pätee äärelliselle sarjalle (ks. 1 ρ 2 esim. [24]). Valitaan ρ=0.9 ja σ 2 n = 1 ρ2, jolloin prosessilla on sama varianssi kuin edellisellä prosessilla. Integroituna sarja saa hyvin isoja arvoja verrattuna edelliseen: Integroidun sarjan viimeisen satunnaismuuttujan keskihajonta 96.5, ja korreloimattoman kohinan tapauksessa se on Nämä lukemat tarkistetaan harjoituksissa r=randn(500,1) cumsum(r) Kuva 1.6: Valkoista kohinaa ja siitä integroitu satunnaiskävely (random walk). 11

12 Kuva 1.7: AR(1)-realisaatio ja sen kumulatiivinen summa. Nämä kohinamallit ovat melko yksinkertaisia, ja valitettavasti todellisuudessa kohdataankin usein monimutkaisempia prosesseja. Yhtenä esimerkkinä olkoon 1/ f -kohina (tai diskreettiaikaisena ARFIMA(0,0.5,0), ks. esim. [4, 29] mielenkiintoisine esimerkkeineen), josta saadaan realisaatio puoli-integroimalla valkoista kohinaa. Koska alakolmiomatriisi A= (1.12) integroi kerran aikasarjavektorin x kertolaskussa Ax, niin haetaan matriisi B, joka toteuttaa BB=A. Lasketaan matriisin neliöjuuri [2, Luku 1] tutulla sqrtm-komennolla, jolloin B= (1.13) Nyt käytetään B:tä kerroinmatriisina valkoiselle kohinalle (σ 2 n = 1), tulos kuvassa 1.8. Tälle kohinatyypille ominaista on bias-heilahtelu : suuri osa tehosta on hyvin pienillä taajuksilla. Tässä esiteltyjen kohinaprosessien identifiointiin käytetään usein Allan-varianssia (Allan variance, two-sample variance) [3, 19] σ 2 x(τ)= 1 2 E( x 2 x 1 ) 2, (1.14) 12

13 Kuva 1.8: Diskreettiaikaisen 1/ f -kohinan realisaatio jossa keskiarvot otetaan peräkkäisistä τ:n pituisista lohkoista x 1 = 1 τ x 2 = 1 τ Estimaatti Allan-varianssista saadaan kokoamalla otos m lohkoon, ˆσ 2 x(τ,m)= m 1 1 2(m 1) τ 1 x t (1.15) t=0 2τ 1 x t. (1.16) t=τ k=1 Tietyillä ehdoilla prosessille x t tämä tuottaa harhattoman estimaatin [20]. ( x k+1 x k ) 2. (1.17) 13

14 Harjoitustehtäviä 1.1. Käydään kaava w L EL = F c (u L ZL v L )+ρ ZL u L ZL läpi. Millainen matriisi F c on, jos käytetään pallomallia, pallon säde R? Mitä termi ρ ZL tekee? Vihje: ajattele lentokonetta joka lentää hyvin lähellä pohjoisnapaa. Jos L-kehyksen y-akseli pidetään aina osoittamaan pohjoista, mitä tapahtuu vektorille w L EL? 1.2. Onko C E L yhdessä h:n kanssa riittävä tieto yksiselitteiseen paikkaratkaisuun? 1.3. INS-sovelluksissa kolme gyroa on riittävä määrä, mutta vikatilanteiden varalta niitä voi laittaa useammankin. Oletetaan että kolme gyroa ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, ja lisätään yksi gyro siten, että tämän mittausakseli ei ole yhdensuuntainen muiden gyrojen kanssa. Voidaanko nyt havaita, jos joku antureista antaa täysin virheellisiä mittauksia? Jos kyllä, voidaanko ko. anturi tunnistaa ja siten väärät mittaukset eristää? Entä jos meillä onkin 5 anturia siten, että mitkään kolme akselia eivät ole samassa tasossa? 1.4. Näytä, että virhe g:n laskemisessa (gravitaatiomallin virhe) aiheuttaa positiivisen takaisinkytkennän INS:n korkeusvirheelle Oletetaan että joskus MEMS-gyro analogisella ulostulolla saavuttaa 1 nmph INSvaatimukset, ks. taulukko 1.1 sivulla 11. Jotta signaali saadaan digitaaliseksi, tarvitaan A/D-muunnin. Arvioi vaadittavaa resoluutiota, ts. montako bittiä kvantisointiin tarvitaan Monenko integraattorin läpi termi w B IB (eli gyrodata) menee INS-yhtälöissä? Mitä tapahtuu (lähes) korreloimattomalle kohinalle näin monen integroinnin jälkeen? Entä bias-tyyppiselle kohinalle? 1.7. Tietokonetehtävä: Takaisinkytkennät INS-mekanisoinnissa Tietokonetehtävä: C L B :n alustus maan pyörimisvektorin ja normaalivoiman avulla. 14

15 Luku 2 Kantoaaltomittauksiin perustuva satelliittipaikannus MARTTI KIRKKO-JAAKKOLA Seuratessaan satelliittisignaalia GNSS-vastaanotin mittaa sekä signaaliin moduloidun koodin vaihetta että itse signaalin sinimuotoisen kantoaallon vaihetta. Näistä kahdesta perusmittauksesta voidaan laskea pseudoetäisyys ja ns. integroitu Doppler, joita usein (virheellisesti) pidetäänkin vastaanottimen perusmittauksina. Tässä luvussa tutustutaan kantoaaltomittausten hyödyntämiseen paikannuksessa. Itse asiassa alun perin kantoaaltomittauksia ei suunniteltu edes käytettäväksi paikannuksessa mihinkään, mutta 1970-luvun lopulla Counselman et al. [7] osoittivat, että niissä on potentiaalia erittäin tarkkaan paikannukseen. Koodimittaukset ovat kantoaaltomittauksia selvästi kohinaisempia (koodimittauksissa on tyypillisesti vähintään desimetriluokan kohina, kun taas edullisetkin vastaanottimet mittaavat kantoaallon vaihetta noin senttimetrin tarkkuudella), kuten kuvassa 2.1 on näytetty. Kantoaaltomittausten käyttämistä hankaloittaa kuitenkin oleellisesti se, että kyseinen mittaus sellaisenaan kertoo vain aallon vaiheen modulo 2π pelkkää vaihetta mittaamalla ei saada tietoon täysien kantoaaltojaksojen määrää, joka on kullekin satelliitille erisuuruinen kokonaisluku. Tästä syystä kantoaaltomittauksia käytetään henkilökohtaisessa paikannuksessa vain etäisyyden muutoksen arviointiin, jolloin koodimittausten kohinaa voidaan tasoittaa (carrier smoothing, ks. esim. [21]). Kantoaaltopaikannuksen toteuttamista kuluttajalaitteilla henkilökohtaisessa paikannuksessa tutkitaan kuitenkin aktiivisesti [1]. 2.1 Doppler-ilmiö Paikannussatelliitit liikkuvat käyttäjiinsä nähden koko ajan monta kilometriä sekunnissa, esimerkiksi GPS-satelliittien ratanopeus on noin 4 km/s; lisäksi toki käyttäjät itsekin voivat Tavallisesti tosin kantoaaltomittaukset ilmoitetaan skaalattuna jaksoiksi, ei radiaaneina tai metreinä 15

16 Koodi Kantoaalto vaihe ero [m] Kuva 2.1: Koodi- ja kantoaaltomittausten kohinatasot. Tässä kuvassa näytetään vain peräkkäisten mittausten (molemmat metreissä) erotukset eikä itse absoluuttisia mittauksia, jolloin biastyyppiset termit (ml. kokonaislukutuntematon) kumoutuvat. liikkua. Tämä suhteellinen liike vaikuttaa siihen taajuuteen, jolla vastaanotin signaalin havaitsee: jos vastaanotin liikkuu kohti aaltolähdettä, kohtaa se aaltorintamia useammin kuin paikalla ollessaan, ja toisaalta taas liikkuessaan lähettimestä poispäin kohtaa niitä harvemmin. Molemmissa tapauksissa vastaanotin havaitsee signaalin eri taajuudella kuin mikä todellinen lähetystaajuus on. Tätä lähettimen ja vastaanottimen välisen suhteellisen liikkeen vaikutusta vastaanotettuun taajuuteen kutsutaan Doppler-ilmiöksi. Valon nopeudella eteneville aalloille Doppler-ilmiö mallinnetaan kaavalla ( f R = f T 1 v r u ), (2.1) c jossa f R on vastaanotettu taajuus, f T on lähetetty taajuus, v r on satelliitin ja vastaanottajan välinen suhteellinen nopeus, u on yksikkövektori vastaanottajan sijainnista satelliittia kohti ja c on valon nopeus. Doppler-ilmiön aiheuttamaa taajuusmuutosta sanotaan Doppler-siirtymäksi f D : f D = f R f T = v r u c. (2.2) Vastaanottimen on signaalia seuratessaan luonnollisesti oltava selvillä sen taajuudesta, johon Doppler-ilmiö vaikuttaa. Siten vastaanotin mittaa samalla kunkin satelliittisignaalin Dopplersiirtymää. Seuraavissa kappaleissa nähdään, mitä hyötyä tästä on paikannuksen kannalta. Esimerkiksi ääniaalloille (tuttuna mallitapauksena toimii vaikkapa ohi ajavan ambulanssin sireeni) Dopplersiirtymä lasketaan hieman eri tavalla, koska silloin ei voida approksimoida v+v s v, missä v on aaltojen etenemisnopeus ja v s aaltolähteen nopeus.. 16

17 2.1.1 Doppler-siirtymän ja etäisyysmittauksen muutoksen välinen yhteys Paikannuksen matematiikan monisteessa [2, Esimerkki 15, s. 24] on esitelty mittausmalli pseudoetäisyysmittaukselle. Lasketaan nyt satelliitille i tehdyn mittauksen aikaderivaatta (deltaetäisyys): ρ i = d dt ( s i x +b)=(v i v u ) s x + ḃ, (2.3) s x missä v i on satelliitin i nopeusvektori, v u on vastaanottajan nopeusvektori ja ḃ vastaanottimen kellon käyntivirhe [s/s] (clock drift). Välivaiheiden laskeminen jätetään harjoitustehtäväksi. Verrattaessa yhtälöitä (2.2) ja (2.3) huomataan, että u= s x s x ja v r = v i v u. Nyt siis deltaetäisyys saadaan affiinilla muunnoksella Doppler-siirtymästä: ρ i = c f D + ḃ. (2.4) Deltaetäisyyksiä käytetään esim. vastaanottimen nopeuden määrittämiseen. Myös paikannus niiden perusteella on mahdollista, tosin mittausmallista johtuen huomattavasti virheherkempää kuin pseudoetäisyyspaikannus [18] Doppler-siirtymän ja vaihemittauksen välinen yhteys Kantoaaltomittausta sanotaan myös integroiduksi Doppleriksi. Uusi kantoaaltomittaus φ i (t) saadaan vähentämällä vanhasta mittauksesta φ i (t T) Doppler-siirtymän integraali mittausajan (pituus T ) yli. Kyseessä on nimenomaan vähennys eikä lisäys, koska Doppler-taajuushan kasvaa, kun vastaanotin lähestyy satelliittia eli näiden välinen etäisyys pienenee. Vaihemittauksen halutaan luonnollisesti käyttäytyvän päinvastoin. Huomaamalla, että yhtälössä (2.1) pistetulo suhteellisen nopeuden v r ja suuntayksikkövektorin u välillä on suhteellisen nopeuden projektio kohtisuoralle etäisyydelle eli toisin sanoen etäisyyden r aikaderivaatta, voidaan Doppler-siirtymä (2.2) kirjoittaa vielä uuteen muotoon f D = ṙ λ, (2.5) missä λ = c/ f on signaalin aallonpituus. Tästä integroimalla saadaan kantoaaltomittaus t φ i (t)= φ i (t T) f D (τ)dτ=λ 1 (r i (t) r i (t T)). (2.6) t T Merkitään nyt φ i (0) = r i (0)+b(0)+N i, missä r i (0) on todellinen etäisyys vastaanottimen ja satelliitin i välillä hetkellä t = 0, b(0) vastaanottimen kellovirhe samana hetkenä ja N on tuntematon määrä kantoaaltojaksoja (tämän arvoa ei siis tiedetä pelkkää vaihetta mittaamalla). Lisäämällä vielä satelliitin kellovirhe b i (t) sekä mittausvirhetermi ε i (t) (sisältäen esim. satelliitin rataparametrien (ephemeris) virheet ja monitie-etenemisen) saadaan kantoaaltomittausmalliksi φ i (t)= r i(t) λ + b(t) b i(t)+n i + ε i (t). (2.7) 17

18 Yksikkönä on kantoaaltojakso. Todellisuudessa tähän malliin tulisi vielä lisätä pseudoetäisyysmittauksista tuttuja virhelähteitä kuten ilmakehä, mutta ne on jätetty yksinkertaisuuden vuoksi pois. Erityisesti tulee huomata, että kokonaislukutuntematon N i ei riipu ajasta t, vaan N i määräytyy signaalin hakuvaiheessa ja pysyy vakiona niin kauan kuin satelliittia i seurataan katkoksitta. Käytännössä joskus (varsinkin edullisilla vastaanottimilla) kokonaislukutuntematon N i voi kuitenkin muuttua lyhyen signaalikatkoksen takia. Tällaista tilannetta sanotaan jaksohypyksi (cycle slip), ja niiden havaitseminen (ja mahdollisesti korjaus) on erittäin tärkeää tarkassa paikannuksessa, sillä jokaisesta jaksohypystä aiheutuu vähintään desimetriluokan etäisyysvirhe. Jaksohyppyjä voidaan tunnistaa esim. peräkkäisten kantoaaltomittausten erotuksista RAIMmenetelmällä (s. 37), ks. esim. [14]. 2.2 Differentiaalinen paikannus Kuten todettu, mittausmalli (2.7) ei ole totuudenmukainen, vaan siitä puuttuu merkittäviä virhelähteitä. Mikäli paikannusta tehdään jälkiprosessointina ja tulokset voidaan ilmoittaa vaikka parin viikon viiveellä, voidaan käyttää esim. IGS:n (International GPS Service) [9] toimittamia tarkkoja satelliitti- ja ilmakehädatoja näiden virheiden korjaamiseen. Reaaliaikasovelluksissa tämä kuitenkaan ole mahdollista. Toinen mahdollinen tapa päästä eroon mittausmallin virheistä on hyödyntää tietoa siitä, että osa virheistä korreloi ajan ja paikan mukaan: esimerkiksi ilmakehän aiheuttamat virheet ovat käytännössä yhtä suuret lähellä toisiaan sijaitseville vastaanottimille. Tähän perustuu differentiaalinen paikannus, jossa ideana on käyttää itse paikannettavaa laitetta riittävän lähellä sijaitsevaa referenssivastaanotinta. Yksinkertaisimmillaan differentiaalipaikannus toimii niin, että jokin tunnetussa paikassa sijaitseva vastaanotin arvioi, paljonko sen mittauksissa on virheitä, jotka siirtävät paikkaestimaatin pois todellisesta sijainnista, ja lähettää tämän kokonaisvirhe-estimaatin, differentiaalikorjauksen, paikannettaville vastaanottimille esim. radiolinkin yli. Selective Availabilityn (SA) poissaollessa nämä virheet eivät muutu nopeasti ajan myötä, joten lähetetty korjaus on käyttökelpoinen pidemmänkin aikaa, eikä uusia korjauksia tarvitse laskea ja lähettää joka mittaushetkellä. Kokonaisvirhearvio sisältää myös vastaanottimen kellovirheen, mistä ei ole kuitenkaan haittaa, mikäli korjausdataa käyttävät vastaanottimet eivät käytä satelliitteja, joihin korjausdataa ei ole: Tällöin vain käyttäjien vastaanotinten on ratkaistava oman kellovirheensä ja referenssivastaanottimen kellovirheen summa, mikä onnistuu aivan samalla tavalla kuin pelkän oman kellovirheen ratkaiseminen ilman korjausdataa. Jos käytössä on useampia referenssivastaanottimia, ei kokonaisarvioiduista korjauksista ole niin suurta hyötyä, vaan olisi parempi, jos eri virhelähteet, kuten esim. ilmakehä ja satelliitin kello, saataisiin arvioitua erikseen. Näin toimivat monet GPS:n laajennokset, kuten USA:n kattava On täysin tilanneriippuvaista, kuinka paljon on riittävän lähellä : Yksitaajuusvastaanottimella huonolla kelillä se voi olla muutama kilometri, kun taas kaksitaajuusvastaanottimella pilvettömällä säällä satakin kilometriä voi riittää [21]. 18

19 Wide Area Augmentation System (WAAS). Myös eurooppalaisille on vastaavanlainen järjestelmä nimeltään European Geostationary Navigation Overlay System (EGNOS), joka tuli virallisesti käyttöön lokakuussa Kuten nimistä voi päätellä, nämä järjestelmät hyödyntävät geostationäärisiä satelliitteja korjausdatan välittämisessä suuremmalle alueelle. Valitettavasti geosatelliitit näkyvät Suomen leveyspiireille melko huonosti, koska niiden kiertorata kulkee päiväntasaajan kohdalla Suhteellinen paikannus Mikäli riittää ratkaista vain kahden vastaanottimen välistä etäisyysvektori, ns. perusviiva (baseline), voidaan eri vastaanotinten tekemiä mittauksia vähentää toisistaan sellaisenaan erillisiä virhearvioita konstruoimatta. Tällöin kuitenkin menetetään absoluuttinen paikkainformaatio. Jos vastaanottimista toisen sanottakoon sitä referenssivastaanottimeksi paikka tunnetaan, voidaan jäljelle jäävän, jota kutsuttakoon käyttäjäksi (englanninkielisessä kirjallisuudessa yleensä rover receiver), absoluuttinenkin paikka määrittää referenssivastaanottimen paikan tai perusviivaestimaatin tarkkuudella riippuen siitä, kumpi on epätarkempi. Suhteellinen paikannus hyötyy huomattavasti kantoaaltomittausten käytöstä. Koska systemaattisia mittausvirheitä saadaan differentiaalimenelmällä vähennettyä, alkaa mittauskohina olla merkittävä virhelähde differentiaalipaikkaestimaatteihin käytettäessä koodimittauksia. Kuten tiedetään, kantoaaltomittaukset ovat muutamaa kertaluokkaa tarkempia kuin koodin vaiheeseen perustuvat pseudoetäisyydet. Ongelmaksi tulevat kuitenkin kokonaisten kantoaaltojaksojen lukumäärät eli kokonaislukutuntemattomat N i. Mikäli ne saadaan ratkaistua, voidaan perusviivaa estimoida parhaimmillaan jopa millimetrien tarkkuudella Yksittäisdifferenssi vastaanotinten välillä Jos käytettävissä on mallin (2.7) mukaiset mittaukset myös käyttäjää riittävän lähellä olevalla referenssivastaanottimella r, kuten kuvassa 2.2, voidaan muodostaa näiden vastaanotinten satelliittiin i tekemien mittausten erotus eli yksittäisdifferenssi r φ i (t)= r r i(t) λ + r b(t)+ r N i + r ε i, (2.8) missä operaattori r merkitsee yksittäisdifferentiointia vastaanottimen r kanssa. Satelliitin kellovirhe b i (t) on yhtä suuri molemmille vastaanottimelle, joten mallista (2.8) se on kumoutunut kokonaan pois. Lisäksi ilmakehävirheet ovat läheisyysoletuksen nojalla lähes samat molemmille vastaanottimille, joten niidenkin vaikutus pienee merkittävästi ja ne jätetään pois tästä mallista. Sen sijaan vastaanottimen kellovirhe, kokonaislukutuntemattomat ja kohina sekä monitieeteneminen eivät korreloi vastaanotinten välillä, joten ne eivät kumoudu vaan määrittyvät uudelleen. Differentioituinakin näiden käsittely on laskennallisesti kuitenkin vastaavanlaista kuin 19

20 alkuperäisissäkin malleissa, ja kokonaislukutuntemattomat säilyttävät kokonaislukuluonteensa. Satunnainen mittauskohina jopa voimistuu: sen keskihajonta kasvaa 2-kertaiseksi, ts. var r ε i = 2varε i, (2.9) kun molempien vastaanottimien kohinat oletetaan identtisesti jakautuneiksi ja toisistaan riippumattomiksi. s i Referenssi Perusviiva Käyttäjä Kuva 2.2: Yksittäisdifferenssi satelliittiin i. Merkitsemällä perusviivaa r x = x x r, missä x on käyttäjän ja x r referenssivastaanottimen paikka, ja kehittämällä (2.8) ensimmäisen asteen Taylor-polynomiksi saadaan r φ i (t) λ 1 x r(t) s i x r (t) s i (t) r x(t)+ r N i + r b(t)+ r ε i (t), (2.10) kun satelliitin i paikkaa merkitään vektorilla s i. Tämän tuloksen johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi Kaksoisdifferenssi Kahdesta eri satelliitteihin liittyvästä yksittäisdifferenssistä saadaan muodostettua kaksoisdifferenssi (kuva 2.3): r φ i j (t)= r φ i (t) r φ j (t) ( λ 1 xr (t) s i (t) x r (t) s i (t) x ) r(t) s j (t) r x(t)+ r N i j + r ε i j (t). x r (t) s j (t) (2.11) Differentioimalla mittaukset satelliittien välillä päästään eroon vastaanottimesta riippuvista virheistä, joista oleellisin on kellovirhe r b(t). Tämän operaation hintana on yhden (yksittäisdifferentioidun) mittauksen menettäminen ja kohinan vahvistuminen edelleen (tehtävä 2.2). Kokonaislukutuntematon N i j on edelleen kokonaisluku, muttei enää (välttämättä) sama kuin yksittäisdifferentioitu kokonaislukutuntematon. Joskus kirjallisuudessa satelliittien välistä differentiointia merkitään operaattorilla, jolloin kaksoisdifferenssejä merkitään operaattoriparilla. 20

Satelliittipaikannus

Satelliittipaikannus Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. 1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen

FYSIIKKA. Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille. Copyright Isto Jokinen; Käyttöoikeus opetuksessa tekijän luvalla. - Laskutehtävien ratkaiseminen FYSIIKKA Mekaniikan perusteita pintakäsittelijöille - Laskutehtävien ratkaiseminen - Nopeus ja keskinopeus - Kiihtyvyys ja painovoimakiihtyvyys - Voima - Kitka ja kitkavoima - Työ - Teho - Paine LASKUTEHTÄVIEN

Lisätiedot

Mitä on pätö-, näennäis-, lois-, keskimääräinen ja suora teho sekä tehokerroin? Alla hieman perustietoa koskien 3-vaihe tehomittauksia.

Mitä on pätö-, näennäis-, lois-, keskimääräinen ja suora teho sekä tehokerroin? Alla hieman perustietoa koskien 3-vaihe tehomittauksia. Mitä on sähköinen teho? Tehojen mittaus Mitä on pätö-, näennäis-, lois-, keskimääräinen ja suora teho sekä tehokerroin? Alla hieman perustietoa koskien 3-vaihe tehomittauksia. Tiettynä ajankohtana, jolloin

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Markku.Poutanen@fgi.fi

Markku.Poutanen@fgi.fi Global Navigation Satellite Systems GNSS Markku.Poutanen@fgi.fi Kirjallisuutta Poutanen: GPS paikanmääritys, Ursa HUOM: osin vanhentunut, ajantasaistukseen luennolla ilmoitettava materiaali (erit. suomalaiset

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

Successive approximation AD-muunnin

Successive approximation AD-muunnin AD-muunnin Koostuu neljästä osasta: näytteenotto- ja pitopiiristä, (sample and hold S/H) komparaattorista, digitaali-analogiamuuntimesta (DAC) ja siirtorekisteristä. (successive approximation register

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Autonomisen liikkuvan koneen teknologiat. Hannu Mäkelä Navitec Systems Oy

Autonomisen liikkuvan koneen teknologiat. Hannu Mäkelä Navitec Systems Oy Autonomisen liikkuvan koneen teknologiat Hannu Mäkelä Navitec Systems Oy Autonomisuuden edellytykset itsenäinen toiminta ympäristön havainnointi ja mittaus liikkuminen ja paikannus toiminta mittausten

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

A/D-muuntimia. Flash ADC

A/D-muuntimia. Flash ADC A/D-muuntimia A/D-muuntimen valintakriteerit: - bittien lukumäärä instrumentointi 6 16 audio/video/kommunikointi/ym. 16 18 erikoissovellukset 20 22 - Tarvittava nopeus hidas > 100 μs (

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Anturit ja Arduino. ELEC-A4010 Sähköpaja Tomi Pulli Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Mittaustekniikka

Anturit ja Arduino. ELEC-A4010 Sähköpaja Tomi Pulli Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Mittaustekniikka Anturit ja Arduino Tomi Pulli Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos Mittaustekniikka Anturit ja Arduino Luennon sisältö 1. Taustaa 2. Antureiden ominaisuudet 3. AD-muunnos 4. Antureiden lukeminen Arduinolla

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006

Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Satelliittimittauksen tulevaisuus GPS:n modernisointi, L2C, L5 GALILEO GLONASS GNSS GPS:n modernisointi L2C uusi siviilikoodi L5 uusi taajuus Block

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä

Liike ja voima. Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Liike ja voima Kappaleiden välisiä vuorovaikutuksia ja niistä aiheutuvia liikeilmiöitä Tasainen liike Nopeus on fysiikan suure, joka kuvaa kuinka pitkän matkan kappale kulkee tietyssä ajassa. Nopeus voidaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Infrastruktuurista riippumaton taistelijan tilannetietoisuus INTACT

Infrastruktuurista riippumaton taistelijan tilannetietoisuus INTACT Infrastruktuurista riippumaton taistelijan tilannetietoisuus INTACT Laura Ruotsalainen Paikkatietokeskus FGI, MML Matinen rahoitus: 77 531 INTACT tarve Taistelijan tilannetietoisuus rakennetuissa ympäristöissä,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa

Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko.

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Signaalien taajuusalueet

Signaalien taajuusalueet Signaalien taajuusalueet 1420 MHz H 2 GPS: kaksi taajuutta, tulevaisuudessa kolme Galileo: useita taajuuksia Kuinka paikannus tehdään? Kantoaalto kahdella taajuudella L1 = 1575.42 MHz = 19.0 cm L2 = 1227.60

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

HARJOITUSTYÖ: Mikropunnitus kvartsikideanturilla

HARJOITUSTYÖ: Mikropunnitus kvartsikideanturilla Tämä työohje on kirjoitettu ESR-projektissa Mikroanturitekniikan osaamisen kehittäminen Itä-Suomen lääninhallitus, 2007, 86268 HARJOITUSTYÖ: Mikropunnitus kvartsikideanturilla Tarvittavat laitteet: 2 kpl

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

KOHINA LÄMPÖKOHINA VIRTAKOHINA. N = Noise ( Kohina )

KOHINA LÄMPÖKOHINA VIRTAKOHINA. N = Noise ( Kohina ) KOHINA H. Honkanen N = Noise ( Kohina ) LÄMÖKOHINA Johtimessa tai vastuksessa olevien vapaiden elektronien määrä ei ole vakio, vaan se vaihtelee satunnaisesti. Nämä vaihtelut aikaansaavat jännitteen johtimeen

Lisätiedot

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi

Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein

Lisätiedot

Matlab-tietokoneharjoitus

Matlab-tietokoneharjoitus Matlab-tietokoneharjoitus Tämän harjoituksen tavoitteena on: Opettaa yksinkertaisia piirikaavio- ja yksikkömuunnoslaskuja. Opettaa Matlabin perustyökaluja mittausten analysoimiseen. Havainnollistaa näytteenottotaajuuden,

Lisätiedot

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C

Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004. Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla. Ryhmä C Kone- ja rakentamistekniikan laboratoriotyöt KON-C3004 Koesuunnitelma: Paineen mittaus venymäliuskojen avulla Ryhmä C Aleksi Mäki 350637 Simo Simolin 354691 Mikko Puustinen 354442 1. Tutkimusongelma ja

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 Datamuuntimet 1 Pekka antala 19.11.2012 Datamuuntimet 6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 7. AD-muuntimet 5 7.1 Analoginen

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

KON C3004 14.10.2015 H03 Ryhmä G Samppa Salmi, 84431S Joel Tolonen, 298618. Koesuunnitelma

KON C3004 14.10.2015 H03 Ryhmä G Samppa Salmi, 84431S Joel Tolonen, 298618. Koesuunnitelma KON C3004 14.10.2015 H03 Ryhmä G Samppa Salmi, 84431S Joel Tolonen, 298618 Koesuunnitelma Sisällysluettelo Sisällysluettelo 1 1 Tutkimusongelma ja tutkimuksen tavoit e 2 2 Tutkimusmenetelmät 3 5 2.1 Käytännön

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Hans Laihia Mika Tuukkanen 1 LASKENNALLISET JA TILASTOLLISET MENETELMÄT Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Sarkola Eino JÄRVITESTI Johdanto Järvien kuntoa tutkitaan monenlaisilla eri menetelmillä.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 03 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteien osasto Tuulen nopeuen ja suunnan mittaaminen Tuuli on vektorisuure, jolla on siis nopeus ja suunta Yleensä tuulella tarkoitetaan

Lisätiedot

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama ESY Q16.2/2006/4 28.11.2006 Espoo Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 28.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1

Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Kojemeteorologia (53695) Laskuharjoitus 1 Risto Taipale 20.9.2013 1 Tehtävä 1 Erään lämpömittarin vertailu kalibrointistandardiin antoi keskimääräiseksi eroksi standardista 0,98 C ja eron keskihajonnaksi

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 10 Ke 11.2.2015. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 10 Ke 11.2.2015 Timo Männikkö Luento 10 Algoritminen ongelman ratkaisu Suunnittelumenetelmät Raaka voima Järjestäminen eli lajittelu Kuplalajittelu Väliinsijoituslajittelu Valintalajittelu

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot