KERTAUSHARJOITUKSIA REAALILUKUVÄLIT a) x 01, eli reaalilukuvälinä 0 x 1. b) x 39, eli reaalilukuvälinä 3 x 9. c) x 0, eli reaalilukuvälinä x 0
|
|
- Markku Mikkola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KERTAUSHARJOITUKSIA REAALILUKUVÄLIT 8. a), eli reaalilukuvälinä b) 9, eli reaalilukuvälinä 9 c), eli reaalilukuvälinä 9. a) negatiiviset reaaliluvut, b) lukua viisi suuremmat reaaliluvut 5, c) epänegatiiviset reaaliluvut,. a) eli, b) eli, c) tai eli, tai,. a) b) c) 6 8 7
2 .a), 5 eli 5 b) 9, eli 9 c),8 eli 8 d), eli FUNKTIO. a) Luku a Luvun neliö a Funktio f a aa a f b) Luku a Luvun neliö a Luvun kuutio a Funktio f a a f a a c) Luku a Luvun käänteisluku, a a F unktio f a a a f a, a Vastaus: a) f a a a a f b) faaf a a c) f a a f a, a a. a) y Funktio on yksikäsitteinen 7
3 b) y Funktio ei ole yksikäsitteinen, esimerkiksi usealla :n arvolla on kaksi eri y:n arvoa 5. a babf bb Funktio on vakiofunktio f b a f, eli b, a-koordinaatistossa vaaka-ak Vastaus: Kuvaajana on koordinaatiston vaakasuora akseli. 6. Ehto a b seli, tässä b-akseli a b Huomataan, että a saa kaksi arvoa jokaista b:n arvoa kohti. Sääntö ei ole funktio a:n ja b:n välillä. Vastaus: ei 7. Korotusten lukumäärä Tuotteen alkuperäinen hinta Tuotteen hinta :n korotuksen jälkeen, ( ) Tuotteen alkuperäinen myynti 5 kg Tuotteen myynti :n korotuksen jälkeen 5 (kg) Koska myynti on positiivinen, pitää olla 5 eli 5 Koska hinta on positiivinen, pitää olla, eli 5 Tuotto t() = myynti hinta, määrittelyalueena 5 5 a f a fa f t 5, 5, 5, Vastaus: Tuotto on t a f 5,, missä 5 5 7
4 SUORA 8. Suoran yhtälö y y k a b a b g ) y y k k,, y 8, y8 y f b g a f g b g a f b g a f b) y y k k,, y 8, y8 y 6 c) y y kb g y, 6, a 6f d) y y b g a f k 6,;, y 6 ;, y 6,, 8 b g k k y y, 75 8 a f b g a f 75, ;, 8, y 75, Vastaus: a) y,b)y6, c) y 6, 8,, d) y, 75 b g k 9. Suoran yhtälö on y y k, missä a) Pis teet (,) ja (,) Kulmakerroin y y k af Suoran yhtälö y y k b g k,, y y a y b g F I ja HG K J b) Pisteet 8,, Kulmakerroin f y y 7
5 57 y y k 57 a8f 9 9 Suoran yhtälö 57 y y kbg k, 8, y 9 57 y a8f y 9 9 F I F c) Pisteet, ja 7, H K H K Kulmakerroin y y k 8 7 Suoran yhtälö 8 y y kbg k, 7, y 8 y a 7f 8 68 y Vastaus: a) y b) y 9 9 c) y 8 68 I 7
6 . 5 y 6 5,5y + 6 = β A α B a f ja a7 A, B, f Suoran AB kulmakerroin y y k AB Suoran y-koordinaatti pienenee 5 :lla, kun kasvaa yhdellä 5 tan : 5 tan 68, Suora on laskeva ja muodostaa 68, asteen kulman -akselin kanssa. Toisen suoran kulmakerroin 5, y 6 5, y 6 y 6 5, 5, y,, Suoran y-koordinaatti kasvaa,:llä, kun kasvaa yhdellä 75
7 tan, : tan,, 8... Suora on nouseva ja muodostaa,8 kulman -akselin kanssa Suorien välinen kulma saadaan edellä laskettujen kulmien summana 68, 98..., Vastau s: Kulmakertoimet ovat 5 ja,. Suorien välinen kulma on 9. y 5 D a A 5 h y + 5 = C b B 5 = = Puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala A a b h, missä a AD, b BC ja h AB. Lasketaan piste D Sijoitetaan suoran y5 yhtälöön a a f y 5 Piste D, Janan AD pituus f y y Lasketaan piste C Sijoitetaan suoran y5 yhtälöön 76
8 y 5 y 9 y Piste Ca, f Janan BC pituus Janan AB pituus + = Ala A a b h a, b, h A 6 Vastaus: Puolisuunnikkaan pinta-ala on 6. 5 y y 5 5,5 y = 5 + y 5 = Kuvaajasta katsomalla leikkauspiste on (,5; ) Lasketaan leikkauspiste algebrallisesti muuttamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon ja merkitsemällä y:t yhtä suuriksi. Suora y Suora y5 y 5 Merkitään y:t yhtä suuriksi 77
9 5 5 6 : 6 y-koordinaatti y Leikkauspiste (, ) Vastaus: Leikkauspiste on (, ). Paloittain määritelty funktio R, kun f ( ) S T, kun Annetaan :lle muutamia arvoja ja piirretään funktion kuvaaja. y y 78
10 LINEAARINEN MALLI. Tilaukset (kpl) Liksa y ( ) Koko liksa y Vastaus: Liksa y euroa 5. s/km 9 8 Sirkku km/h 6 Terttu km/h 6 8 t/min t min Piirretään kuvaaja ja katsotaan vastaus kuvaajasta. Vastaus: Kello on noin. 6. Kyseessä on lineaarinen malli, jossa celsiusasteet saadaan fahrenheitasteista. Muuttuja on fahrenheitaste ja funktion arvona saadaan celsiusaste Fahrenheitasteet F d i Celsiusasteet C d i y Lineaarisessa riippuvuudessa muutosten suhde ( = kulmakerroin) on vakio y 8 y 8 ayf af 8y 8 8y 79
11 y Vastaus: y Lineaarinen malli Pisteet Arvosana 7 y 8 5 y d i 6 9, mi ssä d Fi, ja y C Muutoksien suhde on vakio 7 y 7 8 y 7 8ay7f af 8y 6 7 8y 5 : (8) y y 6 Vastaus: y 6, missä on kokeesta saatu pistemäärä 8. Alpon matka (km) Alpon nopeus 8 (km/h) Sirkka on ajanut matkan + (km) Sirkan nopeus (km/h) Aika on sama, jolloin mitä nopeammin kulkee sen pidemmälle pääsee, joten matka ja nopeus ovat suoraan verrannolliset 8 8 : Sirkan kulkema matka 5 Vastaus: Sirkka 5 km ja Alpo km 8
12 9. Tässä on ajateltava fogelin ja jäniksen kulkevan samaan suuntaan Matka, jonka jänis juoksee, kunnes fogeli nappaa (m) Jäniksen nopeus 7,5 (m/s) Matka, jonka fokeli lentää, kunnes nappaa + (m) Fokelin nopeus (m/s) Aika sama, jolloin matka ja nopeus ovat suoraan verrannolliset 75, 5 7, 5 5, 5 : 5,,... Aika = matka nopeus Vastaus: Aika on, s 5. Makaronien määrä,... m, s 75, m/s Makaronien määrä Paino (massa) (g) 8, 6,8 6 5,6 y Laitetaan pisteet koordinaatistoon ja päätellään malli kuvaajasta Kuvasta nähdään, että määrän ja painon riippuvuus on lineaarinen (kuvaajana suora) Muutoksien suhde on vakio 8 6, 8, 6 y 5, 6 56, 6 y 5,6 ay5, 6f 5, 6a6f y 58, 5, 6 58, y 5, 6 y 56, y, 8
13 7 6 5 p/g m/kpl Makaronien määrä ja paino ovat suoraan verrannolliset, kuten kuvaajastakin nähdään - kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Purkissa olevien makaronien massa y = 585 g 985 g = 6 g Makaronien määrä y,, 6 :, 6, 5 Vastaus: Makaronien massa y ja määrä ovat suoraan verrannolliset missä (g) on makaronien määrä. Purkissa on 5 makaronia., y,, 8
14 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO y y = y = y y =,5 y =,5 + 8
15 5. 5 y = y y = + 5. a),, =,,,,,, 7,,, 7,,,,, 7 5, b) 8
16 c) = Ei ratkaisua d) = 69 6 Vastaus: a) ja 5 b) tai c) ei nollakohtia d) 55. h 6, t, t 8, a) Kun sijoitetaan t =, saadaan paraabelin ja h-akselin leikkauspiste h 6, t, t, 8 t = h =,8 Kun sijoitetaan h =, saadaan paraabelin ja t-akselin leikkauspiste 6, t, t8,, (, ) 6, 8, t 6,,, t,,, t,,, t, 85
17 b) 5 h h =,6t,t +,8 5 6 t c) Sijoitetaan yh tälöön h 6, t, t8, h:n arvoksi h =,8 6, t, t8, 8, 6, t, t, (, ) 6, ( ) t 6,, 6, t,, 6, t 5,, 6, t, Vastaus: a) h-akselin leikkauspiste (;,8). t-akselin leikkauspisteet (, ) ja (, ), c) h =,8, kun t = tai t = Paraabelin yhtälö y y a( ) huippu, y, y a( ) b g b g 86
18 paraabeli kulkee pisteen (, 6) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön 6 a( ) 8 a a Paraabelin yhtälö y a( ) y ( ) y y ( ). y a fa f Vastaus: Paraabelin yhtälö on y 57. Paraabelin yhtälö y y a( ) huippu, y, y a( ) paraabeli kulkee pisteen (, ) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön a() a a Paraabelin yhtälö y a( ) y ( ) y y ( ) y f( ) f 77 7 Vastaus: f 7 87
19 58. Asetetaan paraabeli kulkemaan origon kautta. Tällöin paraabeli kulkee pisteiden (,) ja (6,) kautta ja sen huippu on pisteessä (,9). Suihku alkaa origosta ja päättyy pisteeseen (6,), joten mielekkäät muuttujan arvot välillä [,6]. y (, 9) (, ) (6, ) Paraabelin yhtälö y y a( ) huippu, y,9 y9 a( ) Paraabeli kulkee pisteen (,) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön 9 a( ) 99a a Paraabelin yhtälö y9 a( ) y9 ( ) y9 y ( 69) 9 y 6 Vastaus: Paraabelin yhtälö on y 6 välillä [,6]. 88
20 59. Paraabelin huippu on pisteessä (, ;,5). Paraabelin yhtälö y y a( ) huipp, y,;,5 u y,5 a(,) Paraabeli kulkee pisteen (,6 ;,5) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön,5,5 a(,6,),5,56a a, 566 Paraabelin yhtälö y,5 a(,) y,5,566 (,) Vastaus: Heittoradan yhtälö on y,5,566 y,566 ( 6,9,),5 y, 566, 98, 5976 y,566,98, Pallon lentorata on alaspäin aukeava paraabeli y 5,, 5 lentokorkeus y (m) pallon vaakasuora etäisyys lähtökohdasta (m) Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa, joka sijaitsee nollakohtien puolivälissä. Nollakohdat 5, 5, a5, 5, f tai 5,, 5 5, 5, : a5, f 5, 5, nollakohtien puolivälissä = 5 y, 5, 5, 55, 55,5 Vastaus: Pallon suurin lentokorkeus on m 89
21 6. y (,5;,) (, ) Hyppyrata on paraabelin muotoinen. Paraabelin yhtälö on muotoa y y a( ) (, y) ( 5, ;, ) on paraabelin huippu Lisäksi paraabeli kulkee pisteen (;,) kautta,, a( 5, ),, 5a :, 5, a,5 Sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön saadaan, y, ( 5, ) 5,, y, a5, fa5, f,5, y, d,5i,5,,9 y,5,5 Koira on maassa, kun y =,,9,,5,5 F I HG K J F HG,9,9,5,5 F, I HG K J,5,,5 I K J, 9
22 ,9 5,...,5 6,,5,9 5,...,5 5, ei, 6,,5,9 5,...,5,5 6,,5 Hyppy kantaa,5 metrin etäisyydelle lähtöpisteestä eli, metrin etäisyydelle aidasta. Vastaus: Hyppy kantaa, metrin etäisyydelle aidasta 6. y = Aitauksen pituus (m), > Aitauksen leveys (m), > eli < Aitauksen ala A ( ) ( ), missä Alan kuvaaja alaspäin aukeava paraabeli, jolloin alan suurin arvo on paraabelin huipussa. Huippu sijaitsee nollakohtien puolivälissä paraabelin nollakohdat a f tai huipun -koordinaatti aitauksen leveys = Vastaus: Aitauksen mitat ovat m m 9
23 6.: Toisen asteen yhtälöllä on tasan yksi reaalijuuri, jos diskriminantti D =. D = t t = t 8t t 8t = t (t 8) = t = tai t 8 = eli t = 8 Vastaus: t = tai t = 8 6. Paraabeli sivuaa -akselia, kun yhtälöllä (a + ) + a + = on vain yksi ratkaisu eli, kun diskriminantti D =. D = a tai a8 elia 8 Saadaan kaksi paraabelia Kun a = y = (a + ) + a + = ( + ) + y = + y a a a a a a aa a 8a a 8a a a = + Kun a = 8 y = (a + ) + a + = (8 + ) = + 5 y = Vastaus: a = tai a = 8 9
24 POTENSSIFUNKTIO JA POTENSSIYHTÄLÖ 65. a) 8 b) c), Vastaus: a) b),5 c) a) b) 6 6 c) Vastaus: a) b) c) 67. a) b) c) : : 5 : 6, Vastaus: a) = tai = b) c) tai 9
25 68. a) a = kb, k vakio b) a = kb 6, k vakio c) a = k b, k vakio k d) a, k vakio b k e) a, k vakio b k f) a, k vakio 7 b 69. Pääoma talletuksen lopussa Kt k talletettava pääoma k =, kun aika t on 5 vuotta talletettava pääoma k = 5, kun aika t on vuotta korkokerroin %, 6 %, 6 %, 6 5 K t, 6 5, 6 7, 8 ( ) Vastaus: Säästöjä yhteensä 7,8 7. Pääoma talletuksen lopussa Kt k pääoma lopussa K t = 5 talletettava pääoma k talletus aika t = a korkokerroin K k t t 5 : 5 5, Korkoprosentti, 68..., 7, 7 % Vastaus: Vuotuinen korkoprosentti,7 %. 7. Potilaan pinta-ala A m 5, h 75, 7, 8 h 6 (cm), m 6 (kg) t t 9
26 5, 75, 6 6 7, 8 cm 685 cm 685, m Lääkettä annetaan potilaalle 7, m 5mg / m 7, mg. Vastaus: Lääkettä annetaan 7, mg. EKSPONENTTIFUNKTIO JA EKSPONENTTIYHTÄLÖ 7. a) b) ei ratkaisuja, sillä aina c) d) e) ei ratkaisuja, sillä aina Vastaus: a), b) ei ratkaisuja, c), d) ei ratkaisuja 7. a) F I HG K J F I HG K J F H G I K J 95
27 = F b) H K ei ratkaisua, sillä F I H K aina I c) + = = Vastaus: a), b) ei ratkaisuja, c) 7. a) F I HG K J F I HG K J F H G I K J = b) 8 = 6 8 = 8 = c) voi olla mikä tahansa reaaliluku eli R d) ei ratkaisua, sillä aina e) H K F I ei ratkaisua, sillä aina H K F I Vastaus: a), b), c) R, d) ei ratkaisuja, e) ei ratkaisuja 96
28 a a f = f f a) f b) fa f = 7 Vastaus: a) 59 9 b) a f a f 76. f a) f 7 b) a f ( ) = f Vastaus: a) b) a f a f + = 77. f a) f b) faf + = 8 Vastaus: a) b) = = = = 5 = Vastaus: 79. Jos astia on nyt puolillaan, on se 5 minuutin kuluttua täysi, koska bakteerikanta kaksinkertaistuu 5 minuutissa Kokonaisaika on 9 h + 5 min = 9 h 5 min Vastaus: Aikaa kuluu 9 h 5 min 97
29 8. Jokaisessa vaiheessa pituus kasvaa kolmanneksella eli tulee -kertaiseksi. Viidennessä vaiheessa pituus on kasvanut neljä kertaa eli,6 -kertaiseksi. Vastaus:,6-kertaiseksi 8. m m, 65 massa alussa m aika t (a) a) t (a) t m m, 65 m, 6 eli jäljellä on,6 % b) m m, 65 m Vastaus: a),6 % b) 6 % 8. radiohiilen määrä alussa a aika + = 5 määrä tulee,5-kertaiseksi 5 7 vuodessa radioaktiivista hiiltä jäljellä 57 5 a5, 5, a eli jäljellä on 5 % Vastaus: 5 % 6 eli ainetta oli 6 % alkuhetken massasta ac 8. Nt af bc e at, a =,9; b =,9 ; C, ; t 975 5, 9, 9 N ( 5) 57,, 95 9,, e Vuonna maapallon väkiluku tosiasiassa ylitti kuuden miljardin rajan. Vastaus: Väkiluku mallin mukaan 5,7 miljardia, ennuste antama väkiluku vain vähäsen liian pieni. 98
30 EKSPONENTTIYHTÄLÖN RATKAISEMINEN LOGARITMIN AVULLA 8. a) log = 6 b) lg, = Vastaus: a) 6 b) 85. a) b) c) = lg lg lg lg : lg = lg lg, 5 = 9 lg5 lg 9 lg5 lg9 : (lg 5) lg9 = lg5,65 F HG I K J =,56 lg( ) lg 56, lg lg 56, : lg = lg 56, lg,58 Vastaus: a), b),65 c),58 99
31 86. Turistien määrä tuli joka vuosi % + 5 % = 5 % =,5-kertaiseksi aika vuosina a) Turisteja 6 vuoden kuluttua 6,5 6 5 b) Turistien määrä kaksinkertaistunut 6 5 6,5 = 5 : 6 5, lg 5, lg lg 5, lg lg lg, 5 Vastaus: a) noin 5 b) noin vuodessa 87. aineen puoliintumisaika on yksi vuosi aika vuosina 7,,5 =, 5,, 7, lg 5,, lg 7,, lg 5, lg 7,, lg 7, lg 5, 9, 5... Vastaus: Kymmenen vuoden päästä viimeisestä mittauksesta tai vuoden päästä onnettomuudesta 88. aika vuosina hiili-:n alkuperäinen määrä a 57 a5, 89, a : a 5 57, 89, 57 lg 5, lg, 89
32 lg 5, lg, lg 89, 57 lg 5, lg 8, lg 5, 96 Vastaus: Noin 96 vuotta sitten a f 89. f t,965 t aika tunteina löytöhetkestä f t pötila C a f ruumiin läm a) t = f () =,965 = t d i b) Olettaen, että elossa olleen lämpötila oli ollut 7 C a f f t t,965 = 7,965 t 7 t lg,965 lg 7 t lg,965 lg 7 7 lg t lg,965 t 5,,965 Vastaus: a) C b),5 tuntia aiemmin 9. aika vuosina hiili-:n alkuperäinen määrä a 57 a5,, a : a 5, 57, 57 lg 5, lg, t
33 lg 5, lg, 57 lg, 57 lg 5, lg, 5 7 lg 5, 8 9 Vastaus: noin 8 9 vuotta vanha 9. aika minuutteina neliöiden määrä kaksinkertaistuu joka minuutti :n minuutin kuluttua neliöitä -kertainen määrä a) = 97 7 lg lg 7 lg lg 7 :lg lg 7 lg 6,98... tarvitaan 7 minuuttia b) = 7 7 lg lg( 7 ) lg lg( ) :lg lg( 7 ) lg 58,5... tarvitaan 59 minuuttia c) km = mm = mm 8 = 5, lg lg( 5, ) lg lg( 5, ) lg( 5, ) lg 68, tarvitaan 69 minuuttia Vastaus: a) 7 min b) 59 min c) 69 min
34 9. Nt N e N populaation koko alussa N t populaation koko hetkellä t t aika r Malthusin kerroin rt a) Populaatio kaksinkertaistuu N N t Escherichia coli rt Nt N e r =,5 (h) 5, t N e N : N e,5 t = lg 5, t lge lg 5, t lge lg : (,5 lge) t lg 5, lge t,77... Yksikön muunnos, h 7 min Paramecium aurelia rt Nt N e r =, (d), t N e N : N e, t = lg t lg e, lg,t lg e lg : (, lg e) lg t, lge t 558,... Yksikön muunnos, d, h Tribolium confusum, t N e N e,t = t rt Nt N e r =, (d) : N lg lg e, lg, t lge lg : (,lge)
35 lg t, lge t 5776,... Aika 5, d 5,78 d Trignogenius globulus, t N e N,t e = t lg e, lg, t lge lg : (,lge) lg t, lge t, Aika,66... d d rt Nt N e r =, (d) : N lg Rattus norvegicus rt Nt N e r = 5,75 (a) 5, 75t N e N : N e 5,75 t = lg t 5 lg e, 75 lg 5, 75t lge lg : (5,75 lge) lg t 575, lge t 6,... Yksikön muunnos, 6... a 5,6 d Canis domesticus 85, t N e N,85 t e = t rt Nt N e r =,85 (a) : N lg lg e 85, lg,85t lg e lg : (,85 lge) lg t,85lg e t,... Yksikön muunnos,... a 77, d
36 b) N N e, N, t = t rt Escherichia coli (r =,5 h) 5 N = e,, Paramecium aurelia (r =, d) N = e, 86 Tribolium confusum (r =, d) N = e, 66 Trignogenius globulus (r =, d) N = e, 8 Rattus norvegicus (r = 5,75 a) 5 75 N = e,, 5 Canis domesticus (r =,85 a) 85 N = e,, 69 5 Vastaus: a) 7 min,, h, 5,78 d, d, 5, 6 d ja 77, d b),, 86, 66, 8,, 5, 69, 5 HARJOITUSKOE.. a) a f : b) 9 c) a f a f a f 5
37 Vastaus: a), b), c) ja. a) 5 eli, 5 b) eli, c) 98 eli, 98 d) eli, e), f), faf a) Funktion kuvaaja on suora, koska sen lauseke on. asteen polynomi b) Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun =, eli pisteessä (, ) a f c) Funktion nollakohta f 6
38 a f d) Kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, jos f f a f Suora ei kulje pisteen (, ) kautta. e) y 6 5 f() = + Vastaus: a) suora, b) (, ), c), d) ei kulje. Prosenttikerroin q päästöt lopussa q Saadaan yhtälö q 95 : q q q,95... Vähenemisprosentti % 9,5 % 7,5 % Vastaus: Keskimääräinen vuotuinen vähenemisprosentti on 7,5 %. 7
39 5. y y =,5 + a f 5 y 5,, Hyppyrata alaspäin aukeavan paraabelin mallinen. Paraabelin huipun -koordinaatti sijaitsee nollakohtien puolivälissä. Korkeus saadaan y-koordinaatista Nollakohdat a f 5, 5, tai tai Huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti y 5, af 5, Aita on,5 m korkea Kukka ei tallaudu, jos hyppyrata on kohdassa = +, =, (m) korkeampi kuin kukkasen korkeus 8 cm =,8 m a y 5,,,,,8 f Vastaus: Aidan korkeus on,5 m. Kukka ei tallaudu. 8
40 6. Palkka tulee joka päivä kolminketaiseksi päivien määrä,, :, lg lg lg lg : lg lg lg 5 Vastaus: Jasmiinin on työskenneltävä 5 päivää 7 kauppasumma saatava alennus faf kauppasumma korkeintaan, alennus kauppasumma -, alennus % eli, kauppasumma -, alennus 5 % eli,5 kauppasumma yli, alennus % eli, Funktio R, kun faf S,, kun, 5, kun,, kun T Alennus 5 Koska % eurosta on 8, niin alennus on enemmän kuin %. 5 % eurosta on 5, joten alennus lasketaan 5 %:lla 5, 5 :,5 5 5,, ei kelpaa > Yli ostoksesta ei ole kyse, sillä % on jo. Vastaus: 5 alennusta ei saada minkään suuruisesta ostoksesta. 9
41 HARJOITUSKOE. a) af b) a f tai Vastaus: a), b) ja. a) a f a f a f a fa f b) a f a f a f 8 8
42 8 8 Vastaus: a) ja,b) ja 5. a) = 8 b) 7 lg lg 7 lg lg 7 : lg lg 7 lg 77, Vastaus: a), b) lg 7 7, 7 lg. Paraabelin yhtälö on muotoa yy a( ) huippu (, y) (,8) y8 a( ) Paraabelin yhtälön toteuttavat ne pisteet, joiden kautta kuvaaja kulkee. Sijoitetaan piste (, ). y8 a( ), y 8 a () a Paraabelin yhtälö y8 a( ) y8 ( ) y8 a
43 y8 ( 6 9) 9 y 8 y Vastaus: Paraabelin yhtälö on y 5. päästöt alussa a päästöt lopussa,5a keskimääräinen vuosittainen vähenemiskerroin k k a 5, a : a Prosentti % 9,... % 6,7 % k 5, k 5, k > k,9... Vastaus: Päästöjä on vähennettävä keskimäärin 6,7 % vuodessa a f 6. a) ostosten määrä alennettu hinta f ostokset alle, ei alennusta eli alennettu hinta on sama kuin ostokset ostokset - 5, alennus 5 % eli alennettu hinta % 5 % = 95 % ostoksista ostokset 5 -, alennus % eli alennettu hinta % % = 9 % ostoksista ostokset yli, alennus 5 % eli alennettu hinta 5 % = 85 % ostoksista funktio R a f S T f, kun,95, kun 5,9, kun 5 85,, kun
44 y (e) (e) b) Jos asiakas maksaa 88, pitää ostoksien maksaa yli 5 Vaihtoehto, 9 88 :,9 Vaihtoehto 88, 9 977,78,85 88 :,85 88,85 5,9 Vastaus: Ostokset maksoivat 977,78 tai 5,9. 7. aika (h) lääkkeen määrä f () ( g) k f( ) Ae, f() 7 k Ae 7 A = 7
45 k f( ) Ae, f() 8, A7 k 7 e 8 : 7 e k k ln : () 7 k 8 ln 7 a f Ae k f f af 5 7e 7 8 ln 7 5 e ln Vastaus: A = 7, k (g) 8 ln, viiden tunnin kuluttua ainetta 5 mikrogrammaa 7 HARJOITUSKOE. a) a f a f a f a f a fa f b) afa f a f a f a f
46 Vastaus: a) = tai = 5, b) = tai = b g. a), 7, kulmakerroin suoran yhtälö b g 7, y k y b a f a f g b g b g yy k k 5,, y, 7 y7 5af y 5 b) Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun kulmakertoimet ovat samat suoran y kulmakerroin y y k suoran yhtälö yy kbg k, b, ygb, g y af y Vastaus: a) y 5,b)y. Vaaka-akselina aika, pystyakselina etäisyys kävely aika - min min = h, nopeus 6 km/h 6 etäisyys työpaikalta 6 6 km, km bussi aika min, eli min - min etäisyys työpaikalta hetkellä min on, km + 5 km = 6, km pyöräily matka km, nopeus km/h aikaa kuluu h = 6 min min 5
47 etäisyys työpaikalta hetkellä min + min = min on 6, km + km =, km 5 5 etäisyys (km) (; 6,) (;,) 5 (;,) t (min) 5 6 Vastaus: Kotimatka kesti minuuttia ja oli, kilometrin pituinen. d k t, k > d k t 9 k 6 9 k 6 : 6 k 9 6 d 9 (mm), t 6 (d) varren paksuus, kun t = d ja k 9 6 d k t (mm) 6 6 Vastaus: Paksuus 5 mm 6
48 5. vuodet lainan korkokerroin % + 5 % = 5 % =,5 lainan 5 korkokerroin % +,5 % =,5 % =,5, 5 5, 5 5 5, lg 5, 5, 5 lg lg 5, lg F HG F HG F HG lg 9, 5 5, 5 5, , 5 lg 5, 5 I KJ I KJ I KJ : : lg,5 Vastaus: 9, vuotta 6. Paraabelin yhtälö on muotoa yy a( ) huippu (, y),, 8 8 y a( ) 8 Paraabelin yhtälön toteuttavat ne pisteet, joiden kautta kuvaaja kulkee. Sijoitetaan piste (, ). y a( ) 8, y a ( ) a : a Paraabelin yhtälö y a( ) 8 a 7
49 y ( ) 8 y ( )( ) 8 y 8 6 y 8 8 y Nollakohdat a f 5, Positiivisen nollakohdan likiarvo 5, , 6 Vastaus: y, nollakohta,86 7. Malli ei voi vastata todellisuutta, jos sen antama todennäköisyys on yli %. Lasketaan millä v:n arvolla todennäköisyys R(v) on %. e, v =,v = ln ln v,5, Koska eksponenttifunktion arvot kasvat, kun muuttuja kasvaa, saadaan mallista yli %:n arvoja, kun v >,5 (promillea). Todennäköisyys, kun veressä on,5 promillea alkoholia,,5 R(,5) e,9 (%) Alkoholia veressä, jos mallin mukaan todennäköisyys on 5 prosenttia 8
50 ,v e 5,v ln5 ln5 v, 7, Vastaus: Malli ei voi vastata todellisuutta, jos v on yli,5 promillea. Mallin mukainen todennäköisyys on,9 %, jos veressä on,5 promillea alkoholia. Alkoholia on veressä,7 promillea, jos mallin mukaan todennäköisyys on 5 prosenttia 9
Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Lisätiedot1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
Lisätiedot2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
Lisätiedotc) x > 0 c) [ 4,8[ ja 4 d) [12, [
0. Prosenttikerroin 00 % +, % 0, %,0 Hinta nyt 0, 0 Hinta 0 vuotta sitten 0,, 0 0,0 Va staus: 0 senttiä Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 09. a) 0 < 9 c) > 0 0. a) ],0[ ], [
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
3 FUNKTIOITA ALOITA PERUSTEISTA 10A. Suoran yhtälössä y = kx + b kulmakerroin on k ja vakiotermi b. Kulmakerroin k ilmoittaa, kuinka monta yksikköä liikutaan y-akselin suunnassa, kun kuljetaan yksi yksikkö
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotMb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4
Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotHuippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotHuippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotKäy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotEksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b
ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot5 Kertaus: Matemaattisia malleja
5 Kertaus: Matemaattisia malleja 5. Kurssin keskeiset asiat. a) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin k = ja pisteen (0, 3) avulla. y ( 3) ( x 0) y 3 x y x 3 b) Muodostetaan suoran yhtälö kulmakerroin
Lisätiedotorigo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
LisätiedotVastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedotmäärittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotMAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotPyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
Lisätiedot