Ympäristötiedon keruu MAA-C2001

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ympäristötiedon keruu MAA-C2001"

Transkriptio

1 Ympäristötiedon keruu MAA-C2001 luento 4: GNSS-geodesia Martin Vermeer / 41

2 Sisältö: Luentoteksti luku 11 Mitä on GPS/GNSS; satelliitit, järjestelmät, signaalit Havaintosuureet Vastaanotinteknologia, ilmakehä mittauksen geometria, DOP-arvot Satelliittiradat Globaalinen infrastruktuuri 2 / 41

3 DECCA ja hyperboliset järjestelmät Kartalla on piirretty kahdella eri värillä hyperboleja, käyriä joiden pisteiden etäisyysero masterilta ja eräältä slavelta on vakio. Esim. punaisille hyperboleille pätee s r s m = vakio ja sinisille hyperboleille s b s m = vakio. Millä hetkellä tahansa voi laitteen antaman kahden lane-numeron (kokonaisluku) ja jäännösvaihe-eron murtoluvun [0, 2π) avulla saada omaa paikkaa luetuksi merikartalta, jossa hyperbolit on piirretty valmiiksi. 3 / 41

4 GPS/GNSS, satelliitteja GPS, GLONASS, Galileo 4 / 41

5 GPS-järjestelmän lohkot eli segmentit 5 / 41

6 GPS-konstellaatio Radat ja satelliittien paikat ovat realistisia maapallon suhteen. Nimelliskonstellaatio: active spares. Todellisuudessa > 30, kun vanhentuneet satelliitit eivät suostu kuolemaan 6 / 41

7 Satelliittien radat Satelliitit ovat kuudessa eri ratatasossa, jokaisessa tasossa on neljä satelliittia (GLONASS: kolme tasoa, kahdeksan satelliittia). Ratojen korkeus Maan pinnalta on km. Kiertoaika maapallon ympäri on 11 h 58 m, eli maapallon pyörähdettyä kerran akselinsa ympäri (23 h 56 m ) satelliitit näkyvät taas samassa paikassa taivaalla. GPS-satelliittigeometria toistuu joka päivä 4 minuuttia aikaisemmin, koska siviilivuorokauden pituus on 4 minuuttia pitempi kuin Maan pyörähdysaika (GLONASS: 11 h 15 m, eli kahdeksassa päivässä 17 kierrosta). Ratatason kaltevuus eli inklinaatio on i = 55 (GLONASS: 64,8). 7 / 41

8 Satelliittisignaalin koodit GPS-satelliittien lähettämiin kantoaaltoihin moduloidaan kaksi ns. pseudosatunnaiskoodia: C/A koodi ja P-koodi. Lisäksi vielä navigaatioviesti (jonka sisällä broadcast ephemeris ja almanakkatiedot). Lyhennys Nimi Modulaatiotaajuus Toistojakso Kantoaalto C/A Coarse / Acquisition 1,023 Mb/s 1 ms L 1 P Precise / Protected 10,23 Mb/s 1 viikko L 1, L 2 Y P:n ja salaisen 10,23 Mb/s L 1, L 2 W-koodin yhdistelmä - Navigaatioviesti 50 bittiä/s jatkuva L 1, L 2 8 / 41

9 Koodien korrelaatio Kaikki satellitit käyttävät samoja kantoaaltotaajuuksia ja vastaanotin erottaa ne toisistaan niiden erilaisten sormenjäljen eli pseudosatunnaiskoodien Ratkaisun nimi on CDMA, Code Division Multiple Access. Satelliittisignaalissa oleva koodi Vastaanottimen generoima, sama koodi t Korrelaation tuottama aikaviive Korrelaatiomenetelmällä etsitään satelliitin signaalin ja vastaanottimen generoiman replikan välistä aikasiirtymää t, joka tekisi niistä identtisiksi. Oikea t-arvo synnyttää vahvan korrelaation, kuvion samanlaisuuden eli vastaavuuden. Saatu arvo on GPS:n mittaussuure. 9 / 41

10 GNSS, mittausgeometria Origo, Maan massakeskipiste Z R X GPS-vastaanotin Havaintoyhtälö on r Y ρ GPS-satelliitti Tunnettuja nav-viestistä: r = [ x y z ] T Tuntemattomia: satelliitin paikka t satelliitin kellovirhe R = [ X Y X ] T havaitsijan paikka T vastaanottimen kello p = ρ + c ( t T ) + d ion + d trop, missä r = R + eρ, ρ = r R = (x X ) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) / 41

11 Kantoaaltovaiheen mittaus φ Kanto- Taajuus Aallon- Kerroin 1 aalto (MHz) pituus (cm) L ,42 19,0 154 L ,60 24,4 120 P = λ ( ) φ/2π N Kantoaallon vaiheen havaintoyhtälö (vaihekulmana, radiaaneissa) [ ] ρ + c ( t T ) + Dion + D trop φ = 2π + N λ tai (matkana metreissä) P λ φ 2π = ρ + c ( t T ) + D ion + D trop + λn. 1 Perustaajuuden (10,23 MHz:n) monikko 11 / 41

12 Ambiguiteetti Vaihemittaukseen liittyy aina ambiguiteettiongelma. Mitatusta arvosta vain osalla välillä [0, 2π) on merkitystä. Pseudo-etäisyys satelliittin ja vastaanottimen välillä saadaan kokonaislukua vailla. Jos tietty pseudoetäisyys P on yhteensopiva aallonpituudella λ tehdyn mittauksen kanssa, niin ovat myös P + λ, P λ, P + 2λ, P 2λ,... Ylläolevissa kaavoissa ambiguiteetti on N. Sen ratkaiseminen on varsinainen palapeli. Mahdollinen λ1-ratkaisu Yhteinen ratkaisu λ a Etsintäalue Etsintäalue (Esim. koodipaikannus) Liike 1b 1a -> 1b 1a-2a a a -> 2b Liike 2b Yhteinen ratkaisu λ2 Yhteinen ratkaisu Mahdollinen λ2-ratkaisu 12 / 41

13 Ionosfäärin ja troposfäärin vaikutus Ionosfääri Ionosfääri on dispersiivinen, taitekerroin riippuu taajuudesta ja on erilainen vaiheelle (n p ) ja modulaatioille (n g ): n p = 1 C f 2, C = 40,3n e m3 /s 2, n g = d (n pf ) df = 1 + C f 2, C sama. Aika Ryhmä Vaihe (Kulkunopeus tyhjiössä) Aaltopaketin kulku dispersiivisessä väliaineessa, vaihe- ja ryhmänopeus. Kantoaalto kulkee vaihenopeudella, modulaatiot myös GPS-signaalin PRN-koodit kulkevat ryhmänopeudella. 13 / 41

14 Ionosfäärin ja troposfäärin vaikutus Troposfääri Troposfääri ei ole dispersiivinen, mutta siellä merkittävä on vesihöyryn rooli: N M = 10 6 (n M 1) = 77,624 K /hpa T (p e)+ 64,70 K /hpa T ( K T missä e on vesihöyryn osapaine, p kokonaisilmanpaine, ja siis p e kuivan troposfäärin osapaine. Vesihöyryn vaikutus on n. 18 kuivan ilman vaikutusta Ilmiön takana on vesimolekyylin poolisuus ( mikä tekee myös mikroaaltouunista kelpo ruuanlaittovälineen. Koska ilmanpaine p voidaan myös mitata suoraan ilmapuntarilla, antaa tämä oiva mahdollisuus, yhdistämällä tietoja, määrittää paljonko vesihöyryä on GPS-mittausaseman yläpuolella olevassa ilmapatsaassa. Saatava suure on nimeltään total precipitable water vapour, yksikkö mm. Se on ilmatieteen suuren kiinnostuksen kohteena. ) e. 14 / 41

15 DOP, Dilution of Precision Suosittu GPS-havaintogeometrian laadun mitta on DOP, Dilution of Precision eli tarkkuuden laimennus. Suurempi DOP-luku merkitsee huonompi mittausgeometria! Lyhenne Nimi Kuvattu suure GDOP Geometric DOP Paikka+aika PDOP Position DOP Paikka HDOP Horizontal DOP Vaakasijainti VDOP Vertical DOP Korkeus TDOP Time DOP Aika DOP antaa vain kuvan GPS-satelliittien geometrian roolista mittaustulosten lopullisessa tarkkuudessa. Muut tekijät, kuten itse vastaanottimen ja antennin tekninen suorituskyky ym., pitää tarkastella erikseen. 15 / 41

16 DOP:n laskenta (1) Linearisoidut havaintoyhtälöt ovat (i satelliitin numero, A i atsimuti, η i elevaatio) p (i) = [ cos A i cos η i sin A i cos η i sin η i c ] josta rakennematriisi cos A 1 cos η 1 sin A 1 cos η 1 sin η 1 c cos A 2 cos η 2 sin A 2 cos η 2 sin η 2 c A =.... cos A i cos η i sin A i cos η i sin η i c..... cos A n cos η n sin A n cos η n sin η n c X Y Z T, 16 / 41

17 DOP:n laskenta (2) Tästä saa painokerroinmatriisi ] 1 = Q = [ A T A q xx q xy q xz q xt q yx q yy q yz q yt q zx q zy q zz q zt q tx q ty q tz q tt. Tämä on skaalattu tuntemattomien vektorin eli ratkaisun varianssimatriisi: Σ xx = σ 2 0 Q = σ2 0 x = X Y Z T q xx q xy q xz q xt q yx q yy q yz q yt q zx q zy q zz q zt q tx q ty q tz q tt 17 / 41

18 DOP:n laskenta (3)... tässä vakio σ0 2 kutsutaan painoyksikön varianssiksi. Sen neliöjuuri, painoyksikon keskivirhe, on yhden havaintosuuren, siis yhden havaitun pseudoetäisyyden, vakioksi oletettu, keskivirhe. Koordinaattiratkaisun varianssimatriisi on yo.matriisin 3 3 alamatriisi Σ rr : Σ rr = σ0 2 q xx q xy q xz q yx q yy q yz q zx q zy q zz DOP-suureet lasketaan suoraan painokerroinmatriisista Q: PDOP = q xx + q yy + q zz, HDOP = q xx + q yy, VDOP = q zz, TDOP = q tt,. GDOP = q xx + q yy + q zz + q tt. 18 / 41

19 DOP:n tulkinta Koordinaattikeskivirheet saadaan matriisin päälävistäjäalkioiden neliöjuureina: σ X = σ 0 qxx, σ Y = σ 0 qyy, σ Z = σ 0 qzz. Tuttu pistekeskivirhe tasossa liittyy nyt suoraan HDOP-suureeseen: tarkkuus }{{} σ P laiteteknologia ym. σ 2X + σ2y = }{{} σ 0 geometria }{{} HDOP. 19 / 41

20 DOP:n graanen esitys Koordinaattivarianssimatriisia voidaan graasesti esittää 3D virhe-ellipsoidina. Virhe-ellipsoidi mittauspisteen ympärillä kuvaa koordinaattien epävarmuutta. Vastaava DOP-ellipsoidi saadaan jättämällä vakio σ 0 pois; se on muuten saman muotoinen kuin virhe-ellipsoidi mutta erikokoinen. σ0 σ0 DOP-ellipsoidi Z X Y Virhe-ellipsoidi 1 Virhe-ellipsoidi 2 20 / 41

21 GPS-antenni (1) Kupu (muovi) Ristidipoli Choke rings Esivahvistin Coax antennikaapeli Jalustan kiinnitys (ruuvikierre) Ns. choke ring -GPS-antenni tarkkaan geodeettiseen työhön. Laitevalmistajien toimittamat antennit ovat yksinkertaisempia ja ennen kaikkea pienempiä ja kevyempiä, ja nykyisin jopa parempia. GPS-aallot ovat sirkulaarisesti polarisoituja oikeaanpäin eli kulkusuunnassa myötäpäivään; heijastuksessa polarisaatiosuunta vaihtuu vasempaan päin. Antenni (kuvassa esimerkkinä ristidipoli) on rakennettu välittämään vain oikeaanpäin polarisoitua signaalia eteenpäin vastaanottimelle. Myös antennin vaimennusrenkaat (kuva) lieventävät ongelmaa. 21 / 41

22 GPS-antenni (2) Antennilla on tärkeä rooli tarkassa GNSS-mittauksessa: 1. Monitie (multipath): heijastuksia maan pinnasta tai lähellä olevista kohteista, esim. rakennuksista kaupunkiympäristössä. Antenni suunnittellaan ongelman minimoimiseksi. 2. Antennin sähköinen keskus, piste, missä radioaallot näennäisesti vastaanotetaan, ei ole sama kuin antennin virallinen vertauspiste (ARP, Antenna Reference Point). Se ei ole edes yksiselitteisesti määritetty. Siksi kalibroidaan antennityypit, tai jopa antenniyksilöt, tarkkaa työtä varten. Rajakulma 30 B A Rajakulma 15 Ristidipolin keskus Sähköinen keskipiste Antennin vertauspiste Näennäinen A Näennäinen B Todellinen paikka 22 / 41

23 Ohjeistus: 1. Paikallisissa GNSS-mittauksissa on parasta ja yksinkertaisinta käyttää vain yksi antennityyppi 2. Kuitenkin jokaisella mittauspisteellä on antenni suunnattava huolellisesti pohjoiseen, kompassin avulla 3. Äläkä unohda mitata antennin korkeus mitattavasta pisteestä! Tavallisesti mitataan antennin reunasta ja lasketaan Antenna Reference Point ARP:n pystykorkeus Pythagoraan avulla. 23 / 41

24 Softavastaanottimia Tämä on kuuma trendi: nykyläppärit pystyvät jo melkein suorittamaan sitä digitaalista käsittelytyötä jota nykyvastaanottimissa tehdään rautatasolla, jopa kaksitaajuuslaitteissa. Silloin tarvitaan yleis-pc:n lisäksi vain tyhmä analoginen radiolaite antenneineen. 24 / 41

25 RINEX-formaatti, avoin ja laiteriippumaton 25 / 41

26 Tosiaikainen paikannus (RTK) RTK-menetelmän toimintaperiaate. Hyperbolinen menetelmä, vrt. DECCA! Reaaliaikainen kantoaallon vaihemittaus eli RTK (Real-Time Kinematic). Hyvä tarkkuus mutta vain lyhyellä matkalla. Mittaus on aloitettava käymällä tunnetulla pisteellä, ja lopetettavakin tunnetuun pisteeseen, varmuuden vuoksi. Signaaliyhteys satelliitteihin pitää säilyä mittauksen aikana. Mitattujen välipisteiden koordinaatit saadaan suhteessa näihin tunnetuihin pisteisiin. 26 / 41

27 SBAS-järjestelmiä Satellite Based Augmentation Systems, myös Wide Area DGPS (WADGPS). Käyttävät geostationaarisia satelliitteja GPS-dierentiaalikorjausten jakelemiseksi. Maailmanlaajuisesti on olemassa kolme keskenaan yhteensopivaa järjestelmää: WAAS (Wide Area Augmentation Service, Yhdysvallat) EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay System) MSAS (japanilainen). MSAS km WAAS EGNOS 27 / 41

28 Tosiaikaisia verkkopalveluja Suomessa VRSnet Geotrim Oy:n ylläpitämä, aluksi Maanmittauslaitoksen käyttöön suunniteltu, tosiaikainen kinemaattinen paikannus (RTK) verkkomoodissa, osoite Tekniikka kutsutaan VRS-RTK eli Virtual Reference Station RTK. Jokaiselle käyttäjälle perustetaan laskennallisesti virtuaalinen tukiasema hänen lähellä, johon generoidaan RTCM-SC104-standardin formaattissa olevaa korjausdataa. Verkko kattaa koko Suomea yli 80 asemalla ja tukee myös GLONASSin käyttöä. Korjauksia jakellaan kaupallisesti mobiilin Internetin kautta. SmartNet Leica Oy:n ylläpitämä tosiaikaisen kinemaattisen paikannuksen (RTK) tukiverkko, Tekniikka on muuten sama kuin VRSnetin. Suomessa on tällä hetkellä n. 60 tukiasemaa. 28 / 41

29 RTK:n käytöstä runko- ja kartoitusmittauksessa Julkisen Hallinnon Suositus (JHS) 184:n ohjeen mukaisesti tätä tekniikkaa voidaan käyttää kartoitus- ja alemman luokan runkomittauksissa tietyin ehdoin 2. Molemman tukiasemaverkon asemilla on tarkat EUREF-FIN koordinaatit, ja myös asemien RINEX-dataa talletetaan jälkilaskentaa varten staattisen mittauksen yhteydessä. 2 http: //docs.jhs-suositukset.fi/jhs-suositukset/jhs184/jhs184.pdf 29 / 41

30 GNSS ja ilma-alusten käyttö (1) Käyttöalueita Fotogrammetria: geodeettisen GNSS:n käyttö kuvausalustan tarkaksi paikantamiseksi, jo lennon aikana, on rutiinia. Yleensä integroidaan GNSS inertiamittauslaitteen (IMU:n) kanssa, joka seuraa lentokoneen asennon muutoksia ja interpoloi GNSS-järjestelmän rataa 3D-avaruuden läpi. Näin poistuu tai vähenee kiintopisteiden (GCP, Ground Control Points) tarve. Ilmalaserkeilaus: sama asia kuin fotogrammetriassa. Geofysikaalinen mittaus ilmasta: mittaukset voivat käyttää mitä sähkömagneettista anturia tahansa, myös tutkaa tai magnetometria, tai mitataan gammasäteilyä kalliopohjasta. Ilmapainovoimamittaus: tässä GNSS:n rooli on olennaisesti aktiivisempaa: se mittaa alustan geometriset kiihtyvyydet jotka on poistettava mitatuista kiihtyvyysarvoista. Painovoimakartoitusta ilmasta on käytetty laajasti 1990-luvulta lähtien; sillä kartoitettiin Grönlannin painovoimakenttaa (ja tutkalla kalliopohjaa). 30 / 41

31 GNSS ja ilma-alusten käyttö (2) Käytön edellytyksiä, esimerkkejä I GNSS:n käyttö ilma-aluksen paikantamiseen edellyttää mittausalueen lähellä olevan tukiaseman tai -verkon käyttöä parhaan tarkkuuden aikaansaamiseksi. I Aina tarvitaan myös asennonmittaus, kun halutaan rekonstruoida, ei vaan anturin paikan kuvais- tai havaintohetkellä, vain myös sen asennon: fotogrammetrian tapauksessa koko sen ulkoisen orientoinnin. Tämä taas mahdollistaa se, että jo lennon aikana saadaan selville, mistä paikasta Maan pinnalla joku tietty havainto oikeasti tuli, eli georeferointi. 31 / 41

32 Satelliittien ratalaskenta GPS-satelliitin rata Maan painovoimakentässä on likimain Keplerin lakien mukainen ellipsi. Käytännössä se on lähes ympyrä, jonka säde on km, ja kiertoaika 11 h 58 m. Ratatasojen kaltevuus päiväntasaajaan nähden (inklinaatio) on i = 55, mitä merkitsee, että Suomen leveysasteella GPS-satelliitit eivät koskaan kulje zeniitin läpi tai pääse edes zeniitin lähelle. Kuitenkin suuren korkeutensa ansiosta satelliitit näkyvät myös pohjoisnavan yli pohjoisella taivaanpuoliskolla, vaikkakin hyvin matalalla. N Pohjois- napa E Zeniitti W S 32 / 41

33 Suorakulmaiset rata-elementit Satelliittirataa kuvaa kuusi rata-alkiota, vaikkapa kolme paikkakomponenttia r (t 0) = x (t 0) i + y (t 0) j + z (t 0) k = x (t 0) y (t 0) z (t 0) ja kolme nopeuskomponenttia ṙ (t 0) = ẋ (t 0) i + ẏ (t 0) j + ż (t 0) k = ẋ (t 0) ẏ (t 0) ż (t 0) tietyllä hetkellä t 0, käyttäen Newtonin pistenotaatio aikaderivaatalle, ja {i, j, k} on ortonormaalinen kanta. Näistä voi laskea paikan ja nopeuden r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, ṙ (t) = ẋ (t) i + ẏ (t) j + ż (t) k, jollekin myöhemmälle hetkelle t, vain laskemalla pieni askel kerrallaan eteenpäin ajassa korjaamalla nopeuden gravitaatiokaavan, ja paikan nopeuden avulla. Maan vetovoimahän on tunnettu paikan funktio. 33 / 41

34 Keplerin rata-alkiot Satelliittiradan tapauksessa annetaan yleensä kuusi radan geometriaa kuvaavaa ns. Keplerin alkiota 3 Ω, i, ω, a, e ja ν. Yksityiskohdat antaa [Poutanen, 1998] s. 97. Kepler-alkioiden ja yllä kuvatun paikka- ja nopeusvektoriesitystavan välillä on suora matemaattinen vastavuus: Kepler : Ω, i, ω, a, e, ν r, ṙ. Annetuista Kepler-alkioista voidaan laskea satelliitin paikka avaruudessa sekä sen nopeus. Kaikki GPS-laskentaohjelmistot suorittavat tämän laskutoimituksen, jotta GPS-satelliittejä voitaisiin käyttää tunnetuissa paikoissa olevina majakkoina Maan pinnalla olevan GPS-vastaanottimen paikantamiseksi. 3 Siis jokaisella satelliitilla on kuusi Kepler-alkiota jotka kuvaavat sen satelliitin radan muotoa ja sijaintia, sekä satelliitin paikkaa radallaan, avaruudessa. 34 / 41

35 Rata-alkiot graasesti E z (Napa) ν Liike Maan gravitaatiokentässä Apogeum a b ω Perigeum Uusi paikka r(t) Uusi nopeus ṙ(t) ṙ(t 0) Nopeus Perigeum y ea r(t 0) Paikka Satelliitti x ν Ω θ ω i Nouseva solmu Ω Maan x pyörähdysliike x Kevättasauspiste (Greenwich) Apogeum 35 / 41

36 Navigaatioviesti (1) Kaikki GPS-satelliitit lähettävät navigaatioviestin, ns. navigation message, radiosignaalin kantoaaltoon moduloituna. Nav-viestin modulaatiotaajuus on 50 Hz: se sisältää 50 bittiä sekunnissa. Koko nav-viesti koostuu 25 paketista (frames) joista jokainen sisältää 1500 bittiä ja kestää 30 sekuntia. Näin ollen kokonaispituus on bittiä ja lähetyksen kesto on 12,5 minuuttia. Kun GPS-vastaanotin kytketään päälle ensimmäistä kertaa, alkaa satelliittien etsiminen. Heti kun ensimmäinen satelliitti on saatu kiinni (lock-on), alkaa nav-viestin lukeminen. Lock-on voi kestää useita minuutteja, etenkin jos vastaanottimelle syötetty likimääräinen paikka on pahasti pielessä tai laite on kuljetettu mantereelta toiseen. Sen jälkeen muiden satelliittien löytäminen käy nopeasti. Navigaatioviesti ladataan satelliitteihin valvontalohkon toimesta säännöllisin välein, tyypillisesti kerran vuorokaudessa. Sen jälkeen tiedot ovat GPS-satelliittien signaalin osana kaikkien GPS-käyttäjien käytettävissä. 36 / 41

37 Navigaatioviesti (2) Navigaatioviesti koostuu kolmesta osasta: 1. ajanpitoon liittyvät tiedot kuten satelliittien kellokorjaukset; satelliittien terveystiedot eli kuinka laadukkaita satelliittien lähettämät paikannussignaali ja ratatiedot ovat; nav-viestin tuoreus 2. kaikkien satelliitien ratatiedot (broadcast ephemeris). Ne perustuvat viiden amerikkalaisten sotilasviranomaisten seuranta-aseman jatkuvasti tuottamaan havaintoaineistoon. Havainnoista lasketut kaikkien satelliittien rata-alkiot ladataan satelliittien muistiin valvontalohkon toimesta typillisesti kerran vuorokaudessa. Satelliitit lähettävät ne radiosignaaliin moduloituina bittivirtana kaikkien käyttäjien käyttöön. Broadcast ephemeris käytetään navigointisovelluksissa ja tosiaikaisessa paikannuksessa. Se on kätevää käyttää myös GPS-maanmittauksessa ja relatiivisessa paikannuksessa suhteellisen pienillä alueilla. 3. kaikkien satelliitien almanakka. Almanakka antaa kaikista satelliiteista likimääräiset ratatiedot, jotka riittävät mm. mittauskampanjoitten suunnitteluun tai auttavat vastaanotinta löytämään satelliitteja. Almanakan voimassaolo on monta viikkoja. Almanakka sisältää myös karkean globaalin ionosfäärimallin. 37 / 41

38 Tarkat ratatiedot Precise ephemeris eli tarkat ratatiedot saadaan jälkeenpäin Internetin kautta. Ratatiedot tulevat kolmena paikkavektorikomponenttina, (x (t i ), y (t i ), z (t i )) jokaiselle epookille t i, ja optionaalisesti kolme nopeusvektorikomponenttia, (ẋ (t i ), ẏ (t i ), ż (t i )). Tiedot on taulukoituna 15 minuutin aikavälein, eli t i+1 t i = 15 m. Näistä interpoloidaan satelliitin paikkaa r (t) ja nopeutta ṙ (t) mittaushetkellä t Lagrange-interpolaation avulla. Lisäksi löytyy kellon käyttäytymistä kuvaavat ja tietojen tarkkuuteen liittyvät tiedot ynnä muuta. Vuodesta 1992 lähtien International GNSS Service (IGS) on julkaissut tarkkoja ratatietoja parin viikon viiveellä. Jakelu tapahtuu Internetitse. Viime aikana myös rapid orbits ja ultra-rapid orbits kiireellisiin tai tosiaikaisiin sovelluksiin, kuten sääennustus. Precise ephemeris kuvaavat satelliittien todelliset radat, missä olivat avaruudessa. Broadcast ephemeris ovat ennusteita ja siksi epätarkkoja. 38 / 41

39 2010 Nov 09 17:26:59 International GNSS Service International GNSS Service (IGS) on IAG:n palvelu, jonka päätavoitteena on tuottaa tarkkoja ratatietoja geodynamiikan (kiinteän maan liikkeiden) tutkimuksen tueksi. Kuitenkin sen tuotteet käytetään paljon laajemmin IGS:n toimintaa johtaa Central (Jet Propulsion Laboratory) Yhdysvalloissa. Vuonna 2015 IGS käytti maailmanlaajuisesti noin 500 GPS-aseman havaintoja rataennusteittensa laskemiseksi. Luku on kasvanut vain hitaasti viime vuosien aikana. Ratalaskennan suorittaa seitsemän eri laskentakeskusta; tiedot on käytettävissä pari viikkoa mittausajankohdan jälkeen. Lasketaan myös satelliittien kellokorjausparametrit ja Maan pyörähdysliikkeen parametrit (EOP, Earth Orientation Parameters) eli napaliike ja vuorokauden pituuden vaihtelut. IGS:n Central Bureau Information Service: 39 / 41

40 Yhteenveto, kysymyksiä Tänään puhuttiin seuraavista asioista: Mitä on GPS/GNSS; satelliitit, järjestelmät, signaalit Havaintosuureet: koodit, kantoaalto Vastaanotinteknologia, ilmakehä mittauksen geometria, DOP-arvot Satelliittiradat, efemeriidit Globaalinen infrastruktuuri, IGS 40 / 41

41 Kirjallisuuus JUHTA (2012). JHS184. Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä. WWW-sivu, Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta. URL: recommendations/184/full, avattu 20. maaliskuuta Poutanen, M. (1998). GPS-paikanmääritys. Ursa, Helsinki. Ursan julkaisuja / 41

Satelliittipaikannus

Satelliittipaikannus Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11

Lisätiedot

Signaalien taajuusalueet

Signaalien taajuusalueet Signaalien taajuusalueet 1420 MHz H 2 GPS: kaksi taajuutta, tulevaisuudessa kolme Galileo: useita taajuuksia Kuinka paikannus tehdään? Kantoaalto kahdella taajuudella L1 = 1575.42 MHz = 19.0 cm L2 = 1227.60

Lisätiedot

Markku.Poutanen@fgi.fi

Markku.Poutanen@fgi.fi Global Navigation Satellite Systems GNSS Markku.Poutanen@fgi.fi Kirjallisuutta Poutanen: GPS paikanmääritys, Ursa HUOM: osin vanhentunut, ajantasaistukseen luennolla ilmoitettava materiaali (erit. suomalaiset

Lisätiedot

Satelliittipaikannuksen perusteet

Satelliittipaikannuksen perusteet Satelliittipaikannuksen perusteet 21.02.2018 Koulutuskeskus Sedu, Ilmajoki Satelliittipaikannus tarkoittaa vastaanottimen sijainninmääritystä satelliittijärjestelmien lähettämien radiosignaalien perusteella.

Lisätiedot

Satelliittipaikannuksen perusteet

Satelliittipaikannuksen perusteet Satelliittipaikannuksen perusteet Satelliittipaikannus tarkoittaa vastaanottimen sijainninmääritystä satelliittijärjestelmien lähettämien radiosignaalien perusteella. (public domain, http://www.gps.gov/multimedia/images/constellation.gif

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki

Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Maanmittauspäivät 2014 Seinäjoki Parempaa tarkkuutta satelliittimittauksille EUREF/N2000 - järjestelmissä Ympäristösi parhaat tekijät 2 EUREF koordinaattijärjestelmän käyttöön otto on Suomessa sujunut

Lisätiedot

GPS-koulutus Eräkarkku Petri Kuusela. p

GPS-koulutus Eräkarkku Petri Kuusela. p GPS-koulutus 2018 Eräkarkku Petri Kuusela tulirauta@gmail.com p. 040 772 3720 GPS toiminnallisuudet Missä olen (koordinaatit, kartalla) Opasta minut (navigointi) Paljonko matkaa (navigointi maastossa)

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

GPS:n mittausmoodit ja tarkkuus. Pysyvät asemat; aikasarjat, muutokset. Absoluuttinen paikannus

GPS:n mittausmoodit ja tarkkuus. Pysyvät asemat; aikasarjat, muutokset. Absoluuttinen paikannus GPS:n mittausmoodit ja tarkkuus 0 m m Navigointi; koodi; yksi vastaanotin DGPS; koodi + tukiasema 0. m 0.0 m 0.00m RTK; vaihehavainnot + tukiasema Staattinen; vaihehavainnot, verkko, jälkilaskenta Pysyvät

Lisätiedot

GNSS tukiasemaverkot. Yleiskatsaus eri menetelmiin

GNSS tukiasemaverkot. Yleiskatsaus eri menetelmiin GNSS tukiasemaverkot Yleiskatsaus eri menetelmiin GNSS tukiasemaverkot Miksi? Yksittäinen tukiasema RTK korjauksen lähteenä 3 peruslähtökohtaa täytettävä Tukiasema ja liikkuva seuraavat samoja satelliitteja

Lisätiedot

FINNREF- TUKIASEMAVERKKO/PAIKANNUS- PALVELU JA SEN KEHITTÄMINEN

FINNREF- TUKIASEMAVERKKO/PAIKANNUS- PALVELU JA SEN KEHITTÄMINEN FINNREF- TUKIASEMAVERKKO/PAIKANNUS- PALVELU JA SEN KEHITTÄMINEN 22.3.2018 Maanmittauspäivät 2018 Marko Ollikainen 1 Esityksen sisältö: - Taustaa - Nyt - Tulevaisuutta FINNREF TUKIASEMAVERKKO JA PAIKANNUSPALVELU

Lisätiedot

Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006

Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Geotrim TAMPEREEN SEUTUKUNNAN MITTAUSPÄIVÄT 29.3.2006 Satelliittimittauksen tulevaisuus GPS:n modernisointi, L2C, L5 GALILEO GLONASS GNSS GPS:n modernisointi L2C uusi siviilikoodi L5 uusi taajuus Block

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Fortuna Clip-On Bluetooth GPS

Fortuna Clip-On Bluetooth GPS Fortuna Clip-On Bluetooth GPS Fortuna Clip-On käyttää viimeistä SiRF IIe/LP piirisarjaa ja tukee sekä SiRF binääri- että NMEAdataa. Laite ottaa vastaan myös WAAS-signaalia (Wide Area Augmentation System).

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä

JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä JHS-suositus(luonnos): Kiintopistemittaus EUREF-FIN koordinaattijärjestelmässä EUREF-II -päivä 2012 Marko Ollikainen Kehittämiskeskus Maanmittauslaitos MAANMITTAUSLAITOS TIETOA MAASTA Mittausohjeiden uudistamisesta

Lisätiedot

2.7.4 Numeerinen esimerkki

2.7.4 Numeerinen esimerkki 2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun

Lisätiedot

Täsmäviljelyn teknologia nyt ja tulevaisuudessa. Date / Person in charge 2

Täsmäviljelyn teknologia nyt ja tulevaisuudessa. Date / Person in charge 2 Täsmäviljelyn teknologia nyt ja tulevaisuudessa Date / Person in charge 2 Sisältö 1 Yleistilanne tarkkuusviljelyteknologiassa 2 Paikantaminen 3 Auto-Guide 3000 4 IsoBUS 5 Hyödyt 6 Tulevaisuus Date / Person

Lisätiedot

PAIKANNUS ND-100S GPS- VASTAANOTTIMELLA

PAIKANNUS ND-100S GPS- VASTAANOTTIMELLA Jukka Hokkanen PAIKANNUS ND-100S GPS- VASTAANOTTIMELLA Opinnäytetyö Tietotekniikka Toukokuu 2011 KUVAILULEHTI Opinnäytetyön päivämäärä Tekijä(t) Jukka Hokkanen Koulutusohjelma ja suuntautuminen Tietotekniikan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta

Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta Raidegeometrian geodeettiset mittaukset osana radan elinkaarta Suunnittelija (Maanmittaus DI) 24.1.2018 Raidegeometrian geodeettisen mittaukset osana radan elinkaarta Raidegeometrian geodeettisilla mittauksilla

Lisätiedot

Gps-paikantimista on tullut. Satelliitti näyttää suuntaa

Gps-paikantimista on tullut. Satelliitti näyttää suuntaa BOEING Satelliitti näyttää suuntaa Gps-järjestelmä tarjoaa reaaliaikaista paikannustietoa ympäri maailman. Satelliittipohjainen navigointijärjestelmä kertoo käyttäjänsä sijainnin muutaman metrin tarkkuudella.

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 3. Geoidimallit

JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 3. Geoidimallit JHS 163 Suomen korkeusjärjestelmä N2000 Liite 3. Geoidimallit Versio: 1.0 Julkaistu: 6.9.2019 Voimassaoloaika: toistaiseksi 1 FIN2005N00 1.1 Mallin luonti ja tarkkuus FIN2005N00 on korkeusmuunnospinta,

Lisätiedot

ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus. Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto

ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus. Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto ETRS89- kiintopisteistön nykyisyys ja tulevaisuus Jyrki Puupponen Kartastoinsinööri Etelä-Suomen maanmittaustoimisto Valtakunnalliset kolmiomittaukset alkavat. Helsingin järjestelmä (vanha valtion järjestelmä)

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

Radiotekniikan sovelluksia

Radiotekniikan sovelluksia Poutanen: GPS-paikanmääritys sivut 72 90 Kai Hahtokari 11.2.2002 Konventionaalinen inertiaalijärjestelmä (CIS) Järjestelmä, jossa z - akseli osoittaa maapallon impulssimomenttivektorin suuntaan standardiepookkina

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Jos ohjeessa on jotain epäselvää, on otettava yhteys Mänttä-Vilppulan kaupungin kiinteistö- ja mittauspalveluihin.

Jos ohjeessa on jotain epäselvää, on otettava yhteys Mänttä-Vilppulan kaupungin kiinteistö- ja mittauspalveluihin. Kartoitusohje Johdanto Tämä ohje määrittää Mänttä-Vilppulan kaupungille tehtävien kaapelien ja putkien kartoitustyön vaatimukset sekä antaa ohjeet kartoitustyön suorittamiseen. Ohjeessa määritellään kartoituksen

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

Laitetekniset vaatimukset ammattimaiselle dronetoiminnalle. Sakari Mäenpää

Laitetekniset vaatimukset ammattimaiselle dronetoiminnalle. Sakari Mäenpää Laitetekniset vaatimukset ammattimaiselle dronetoiminnalle Sakari Mäenpää Lopputulokseen vaikuttavat tekijät Kalusto Olosuhteet Ammattitaito Kuvauskohde Hyvä suunnitelma = onnistunut lopputulos Olosuhteet,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Satelliittimittauksen ajankohtaisia näkymiä ja monisatelliittivastaanottimia

Satelliittimittauksen ajankohtaisia näkymiä ja monisatelliittivastaanottimia Satelliittimittauksen ajankohtaisia näkymiä ja monisatelliittivastaanottimia Navdata Oy perustettu 1988, 9 vuotta GPS+GLONASS teknologiaa päätoimialana satellittipaikannusteknologiaan liittyvät t ammattipalvelut

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen

Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Pieksämäen kaupunki, Euref-koordinaatistoon ja N2000 korkeusjärjestelmään siirtyminen Mittausten laadun tarkastus ja muunnoskertoimien laskenta Kyösti Laamanen 2.0 4.10.2013 Prosito 1 (9) SISÄLTÖ 1 YLEISTÄ...

Lisätiedot

5 syytä hyödyntää ensiluokkaista paikannustarkkuutta maastotyöskentelyssä

5 syytä hyödyntää ensiluokkaista paikannustarkkuutta maastotyöskentelyssä 5 syytä hyödyntää ensiluokkaista paikannustarkkuutta maastotyöskentelyssä Taskukokoinen, maastokelpoinen Trimble R1 GNSS -vastaanotin mahdollistaa ammattitasoisen paikkatiedonkeruun. Kun R1 yhdistetään

Lisätiedot

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010

EUREF-FIN JA KORKEUDET. Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN JA KORKEUDET Pasi Häkli Geodeettinen laitos 10.3.2010 EUREF-FIN:n joitain pääominaisuuksia ITRF96-koordinaatiston kautta globaalin koordinaattijärjestelmän paikallinen/kansallinen realisaatio

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

1. Johdanto Teoria Yleisesti GPS järjestelmästä GPS-järjestelmän virheistä Differentiaali GPS...

1. Johdanto Teoria Yleisesti GPS järjestelmästä GPS-järjestelmän virheistä Differentiaali GPS... Sisällysluettelo 1. Johdanto... 1 2. Teoria... 2 1.1 Yleisesti GPS järjestelmästä... 2 1.2 GPS-järjestelmän virheistä... 2 1.3 Differentiaali GPS... 2 1.4 SBAS eli Satellite Based Augmentation System...

Lisätiedot

Keravan JHS-184-standardin mukaiset E4-luokan tihennysmittaukset ja niiden jälkilaskenta

Keravan JHS-184-standardin mukaiset E4-luokan tihennysmittaukset ja niiden jälkilaskenta Keravan JHS-184-standardin mukaiset E4-luokan tihennysmittaukset ja niiden jälkilaskenta Diplomityö Rakennetun ympäristön laitos Insinööritieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Espoossa 27 marraskuuta 2017

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

SATELLIITTI- JA PSEUDOLIITTINAVIGOINNIN TUKIASEMARATKAISU

SATELLIITTI- JA PSEUDOLIITTINAVIGOINNIN TUKIASEMARATKAISU SATELLIITTI- JA PSEUDOLIITTINAVIGOINNIN TUKIASEMARATKAISU Ammattikorkeakoulun opinnäytetyö Tietotekniikan koulutusohjelma Riihimäki, 12.5.2011 Juha Munter OPINNÄYTETYÖ Tietotekniikan koulutusohjelma Riihimäki

Lisätiedot

Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta

Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Luento 4: kertaus edelliseltä luennolta Liikeyhtälön ratkaisu: kartioleikkaus (Kepler I r = k2 /µ + e cosf = a ǫ2 +ǫ cos f k = k ǫ < ellipsi, negativinen energia a = µ 2h ǫ = parabeli, nolla energia ǫ

Lisätiedot

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Katsaus VRS-teknologian nykytilaan ja tulevaisuuteen

Katsaus VRS-teknologian nykytilaan ja tulevaisuuteen Seppo Tötterström Katsaus VRS-teknologian nykytilaan ja tulevaisuuteen VRS-teknologia on jo vakiintunut viime vuosina päämenetelmäksi tarkoissa GPS/GNSS-mittaussovelluksissa niin Suomessa, Euroopassa kuin

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

Geodeettisen laitoksen GNSS -palvelu

Geodeettisen laitoksen GNSS -palvelu Geodeettisen laitoksen GNSS -palvelu Hannu Koivula Hannu.koivula@fgi.fi Geodesian teemapäivä 10.9.2014 Tieteiden talo Esityksen sisältö 1. Geodeettinen laitos 2. Mikä on FinnRef? 3. Miksi FinnRef on rakennettu?

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774

Lisätiedot

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä

Mittaushavaintojen täsmällinen käsittelymenenetelmä Tasoituslaskun periaate Kun mittauksia on tehty enemmän kuin on toisistaan teoreettisesti riippumattomia suureita, niin tasoituslaskun tehtävänä ja päätarkoituksena on johtaa tuntemattomille sellaiset

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy. Heikki Hyyti, Aalto-yliopisto

Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy. Heikki Hyyti, Aalto-yliopisto Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy, Metsäkoneiden sensoritekniikka kehittyy Miksi uutta sensoritekniikkaa? Tarkka paikkatieto metsässä Metsäkoneen ja puomin asennon mittaus Konenäkö Laserkeilaus Tietolähteiden

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa. Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen

Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa. Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen Tavoite Tutkimuksen tavoite oli selvittää nykyisten hakkuukoneissa vakiovarusteena olevien satelliittivastaanottimien

Lisätiedot

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus

Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Mittausjärjestelmän kalibrointi ja mittausepävarmuus Kalibrointi kalibroinnin merkitys kansainvälinen ja kansallinen mittanormaalijärjestelmä kalibroinnin määritelmä mittausjärjestelmän kalibrointivaihtoehdot

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

GNSS-vastaanottimet. Havaintosuureet

GNSS-vastaanottimet. Havaintosuureet GNSS-vastaanottimet vastanottimien tyyppejä antennit signaalin havaitseminen Havaintosuureet Nyt: C/A-koodi L1 L1-kantoaalto L1 Doppler L2 kantoaalto L2 Doppler P-koodi L1 P-koodi L2 Tulevaisuudessa: C/A-koodi

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä

JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä JHS xxx Kiintopistemittaus EUREF-FIN-koordinaattijärjestelmässä Versio: 16.03.2012 Julkaistu: xx.xx.2012 Voimassaoloaika: toistaiseksi Sisällys 1 Johdanto... 2 2 Soveltamisala... 2 3 Viittaukset... 2 4

Lisätiedot

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen

1) Maan muodon selvittäminen. 2) Leveys- ja pituuspiirit. 3) Mittaaminen 1) Maan muodon selvittäminen Nykyään on helppo sanoa, että maa on pallon muotoinen olet todennäköisesti itsekin nähnyt kuvia maasta avaruudesta kuvattuna. Mutta onko maapallomme täydellinen pallo? Tutki

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Sinin muotoinen signaali

Sinin muotoinen signaali Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x

Lisätiedot

Tuomas Toivonen, Juho Ylikoski. Verkko-RTK-mittaus. Metropolia Ammattikorkeakoulu. Insinööri (AMK) Maanmittaustekniikan koulutusohjelma.

Tuomas Toivonen, Juho Ylikoski. Verkko-RTK-mittaus. Metropolia Ammattikorkeakoulu. Insinööri (AMK) Maanmittaustekniikan koulutusohjelma. Tuomas Toivonen, Juho Ylikoski Verkko-RTK-mittaus Metropolia Ammattikorkeakoulu Insinööri (AMK) Maanmittaustekniikan koulutusohjelma Insinöörityö 25.4.2013 Tiivistelmä Tekijät Otsikko Sivumäärä Aika Tuomas

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

Access. Käyttöturva. Rahoitus. Assistant. Paikkatieto. VRSnet. GIS-mobiilipalvelut

Access. Käyttöturva. Rahoitus. Assistant. Paikkatieto. VRSnet. GIS-mobiilipalvelut Access Käyttöturva Rahoitus Assistant VRSnet Paikkatieto GIS-mobiilipalvelut Mittaustiedon hallinta Trimble Access Tuo maasto ja toimisto lähemmäksi toisiaan Trimble Access Joustava tiedon jakaminen Toimistosta

Lisätiedot

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Mitä on pätö-, näennäis-, lois-, keskimääräinen ja suora teho sekä tehokerroin? Alla hieman perustietoa koskien 3-vaihe tehomittauksia.

Mitä on pätö-, näennäis-, lois-, keskimääräinen ja suora teho sekä tehokerroin? Alla hieman perustietoa koskien 3-vaihe tehomittauksia. Mitä on sähköinen teho? Tehojen mittaus Mitä on pätö-, näennäis-, lois-, keskimääräinen ja suora teho sekä tehokerroin? Alla hieman perustietoa koskien 3-vaihe tehomittauksia. Tiettynä ajankohtana, jolloin

Lisätiedot

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1

Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1 Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d) BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa

Lisätiedot

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta

JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta JHS 197 EUREF-FIN -koordinaattijärjestelmät, niihin liittyvät muunnokset ja karttalehtijako Liite 6: EUREF-FIN:n ja KKJ:n välinen kolmiulotteinen yhdenmuotoisuusmuunnos ja sen tarkkuus Versio: 1.0 / 3.2.2016

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

Signaalien generointi

Signaalien generointi Signaalinkäsittelyssä joudutaan usein generoimaan erilaisia signaaleja keinotekoisesti. Tyypillisimpiä generoitavia aaltomuotoja ovat eritaajuiset sinimuotoiset signaalit (modulointi) sekä normaalijakautunut

Lisätiedot

GPS-datan korjausmenetelmät (4 op)

GPS-datan korjausmenetelmät (4 op) Teknillinen korkeakoulu AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt (4 op) 21.1.2009 14.5.2009 Ilkka Penttilä, AS Lauri Suomela, AS Työn ohjaaja: DI Matti Öhman Sisällysluettelo 1. Johdanto...

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot