Jordanin käyrälause. Lauri Tuominen. Matematiikan pro gradu

Transkriptio

1 Jordanin käyrälause Lauri Tuominen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2012

2 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Esitietoja 2 Luku 2. Jordanin käyrälause monikulmiolle 5 Luku 3. Approksimointi Jordanin monikulmioilla 9 Luku 4. Jordanin käyrälause 13 Luku 5. Esimerkkejä ja sovelluksia 21 Lähdeluettelo 24 i

3 Johdanto Tämän kirjoitelman tarkoituksena on tarkastella Jordanin käyrälauseen todistusta. Jordanin käyrä on avaruus, joka on homeomorfinen tavallisen ympyrän S 1 kanssa. Jordanin käyrälauseen mukaan avaruudella R 2 \ C on täsmälleen kaksi komponenttia, jos C R 2 on Jordanin käyrä. Lause sanoo myös, että toinen komponenteista on rajoitettu ja toinen rajoittamaton ja että Jordanin käyrä C on molempien reuna. Pitkään tätä tulosta pidettiin niin itsestään selvänä, ettei sitä nähty tarpeellisena esittää matemaattisena lauseena. Ranskalainen Marie Ennemond Camille Jordan ( ) oli ensimmäinen joka esitti lauseelle todistuksen kirjassaan Cours d Analyze de l École Polytechnique vuonna Tuolloin huomattiin, että lauseen todistaminen ei ole helppoa, ja itseasiassa Jordanin kirjassaan esittämä todistus todettiin myöhemmin virheelliseksi. Todistuksen vaikeus piilee siinä, että Jordanin käyrä voi olla hyvinkin monimutkainen: Se ei välttämättä ole missään derivoituva tai se voi olla esimerkiksi itseään toistava fraktaali. Molemmat tapaukset ovat mahdottomia kuvattavaksi Euklidisella geometrialla. Lauseen todistaminen oli merkittävä askelsen aikaisen matematiikan täsmällisyyden saralla. Nykyään Jordanin käyrälauseelle on esitetty useita erilaisia todistuksia. Lähes kaikissa todistuksissa käytetään apuna myöhemmin kehittyneitä algebrallisen topologian voimakkaita koneistoja. Tässä tutkielmassa esitellään Kosniowskin kirjassaan A first course in Algebraic Topology käyttämä todistus Jordanin käyrälauseelle. Kosniowskin todistus on alunperin lainattu Norjalaiselta Helge Tverbergiltä. Perehdyin myös Tverbergin alkuperäiseen todistukseen ja hyödynsin sitä tutkielmassani. Tämän todistuksen erikoisuus on se, että se ei sovella algebrallista topologiaa, vaan se viedään alusta loppuun elementaarisin keinoin. Kosniowskin ja Tverbergin todistukset sisältävät minimaalisesti välivaiheita, mutta tässä työssä todistus viedään läpi kattavin välivaihein ja havainnoivia kuvia hyväksi käyttäen. Todistusta kykenee seuraamaan siis jokainen, joka on suorittanut yliopistotason syventävät matematiikan opinnot. Ensimmäisessä luvussa määritellään käsitteet avaruuden käyrä sekä avaruuden komponentti ja tarkastellaan joitakin näiden ominaisuuksia. Tämän jälkeen luvussa kaksi todistetaan Jordanin käyrälause tapauksessa, jossa Jordanin käyrä on monikulmio. Kolmannessa luvussa osoitetaan, että Jordanin käyrää voidaan approksimoida monikulmioilla, minkä jälkeen ollaan valmiita esittämään Jordanin käyrälauseen todistus. 1

4 LUKU 1 Esitietoja Tässä luvussa määritellään käsitteet käyrä, kaari ja avaruuden komponentti sekä esitellään näiden ominaisuuksia. Lopuksi todistetaan, että Jordanin käyrä ei ole kaari. Matematiikassa käsitteellä käyrä saatetaan tarkoittaa eri asioita riippuen kontekstista. Sen käyttöön liittyy paljon epätäsmällisyyttä [ks 3, s.113]. Esitellään aluksi käyrän topologinen määritelmä. Määritelmä 1.1. Olkoon X metrinen avaruus ja I jokin reaaliakselin väli. Jatkuvaa kuvausta : I! X sanotaan käyräksi. Käyrän sanotaan olevan yksinkertainen tai kaari jos on injektio. Jos I on suljettu ja rajoitettu väli I =[a, b], niin käyrän sanotaan olevan yksinkertainen myös siinä tapauksessa, että (a) = (b) ja on injektiivinen välin sisäpisteissä. Jatkuvuuvudesta seuraa, että kaaren kuva tasossa on yhtenäinen viiva, ja injektiivisyydestä seuraa, ettei se tee edestakaista liikettä eikä myöskään voi leikata itseään. Käyrän sanotaan olevan suljettu, jos I = [a, b] ja (a) = (b). Suljettua ja yksinkertaista käyrää kutsutaan Jordanin käyräksi. Kirjallisuudessa käyrillä ja kaarilla tarkoitetaan usein kyseessä olevien kuvausten kuvajoukkoa. Se, tarkoitetaanko itse kuvausta, vai sen kuvajoukkoa, selviää usein kontekstista. Myös tässä työssä käytetään molempia merkityksiä. ei - yksinkertainen käyrä yksinkertainen käyrä Jordanin käyrä Kuva 1. Esimerkkejä käyristä Kahden topologisen avaruuden X ja Y välinen homeomorfismi on jatkuva bijektio on h : X! Y, jonka käänteiskuvaus on myös jatkuva. Yksinkertainen käyrä rajoitettuna kuvajoukolleen on homeomorfismi. Esimerkiksi reaaliakselin suljetut välit ovat keskenään homeomorfisia, samoin puoliavoimet ja avoimet välit. Mikään reaaliakselin väli ei kuitenkaan ole homeomorfinen tason ympyrän S 1 = {x 2 R 2 : x =1} kanssa. Tämä todistetaan Lauseessa 1.5. Ympyrä edustaa siis täysin uudenlaista käyrää. Määritellään nyt Jordanin käyrä täsmällisesti. 2

5 1. ESITIETOJA 3 Määritelmä 1.2. Avaruus C on on Jordanin käyrä, jos se on homeomorfinen tavallisen ympyrän S 1 kanssa. Tason R 2 Jordanin käyrä on siis upotuksen f : S 1! R 2 kuvajoukko f(s 1 ), joka on homeomorfinen ympyrän S 1 kanssa. Vaihtoehtoisesti Jordanin käyrä voidaan määritellä jatkuvan kuvauksen : [0, 1]! R 2 kuvana, kunhan oletetaan, että (0)= (1)jaettä kuvaus on injektiivinen välillä [0,1). Jatkuva injektio joukolta S 1 kuvajoukolleen on aina homeomorfismi: Lause 1.3. Olkoon kuvaus f : S 1! M 1 jatkuva injektio, jossa M 1 on metrinen avaruus. Kuvaus f on upotus, eli kuvaus f 1 : S 1! f 1 (S 1 ), jossa f 1 (x) =f(x), on homeomorfismi. Todistus. Riittää osoittaa, että kuvaus f on suljettu kuvaus. Valitaan avaruuden S 1 mielivaltainen suljettu osajoukko A. Joukko A on suljettu ja rajoitettu, joten se on kompakti. Kuvauksen f jatkuvuudesta seuraa, että joukko f(a) onmyös kompakti. Metrisen avaruuden M kompaktina osajoukkona joukko f(a) on suljettu. Kuvaus f 1 on suljettuna jatkuvana bijektiona homeomorfismi, eli kuvaus f on upotus. Seuraavaan lauseeseen on koottu joitakin Jordanin käyrän ominaisuuksia. Lause 1.4. Jordanin käyrä C R 2 on kompakti, suljettu ja rajoitettu. Sen komplementti R 2 \ C on avoin. Todistus. Olkoon funktio f : S 1! C homeomorfismi. Koska funktio f on jatkuva ja ympyrän S 1 tiedetään olevan kompakti, täytyy Jordanin käyrän C olla myös kompakti. Avaruuden R 2 kompaktina osajoukkona se on suljettu ja rajoitettu ja sen komplementti on avoin. Osoitetaan seuraavaksi, että kaaret ja Jordanin käyrät kuuluvat eri homeomorfismiluokkiin, eli että ne eivät ole homeomorfisia keskenään. Todistetaan tämä suljetun välin tapauksessa. Avoimet ja puoliavoimet välit eivät ole kompakteja joukkoja, joten ne ovat selviä tapauksia. Lause 1.5. Reaaliakselin suljettu väli [a,b] ei ole homeomorfinen ympyrän S 1 kanssa. Todistus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa homeomorfismi f :[a, b]! S 1. Olkoon a = f( 1 ). Kuvaus f on jatkuva, joten se kuvaa yhtenäisen joukon yhtenäiseksi. 2 Kuitenkin joukko [a, b] \{ 1 } on epäyhtenäinen, mutta sen kanssa homeomorfinen 2 joukko S 1 \{ 1 } on yhtenäinen, mikä on ristiriita. 2 Karkeasti sanottuna avaruuden komponentti on avaruuden suurin mahdollinen yhteinäinen osajoukko. Määritellään seuraavaksi käsite täsmällisesti.

6 1. ESITIETOJA 4 Määritelmä 1.6. Olkoon X metrinen avaruus ja piste a 2 X. Avaruuden X komponentti C(a, X), tarkemmin sanoen sen a-komponentti, on joukko C(a, X) = [ {A : a 2 A X, A yhtenäinen}. Metrisen avaruuden komponentit yhtenäisiä. Tämän todistamiseksi tarvitaan lemma, jonka todistuksessa käytetään hyväksi seuraavaa yhtenäisyyden karakterisointia: Määritelmä 1.7. Avaruus X on yhtenäinen, jos ja vain jos jokainen jatkuva kuvaus f joukolta X joukolle {0, 1} on vakiokuvaus. Todistetaan seuraavaksi lemma, jonka avulla osoitetaan metrisen avaruuden komponenttien yhtenäisyys. Lemma 1.8. Olkoot E j, jossa j 2 J, avaruuden X yhtenäisiä osajoukkoja, joilla on yhteinen piste. Tällöin joukkojen E j yhdiste on yhtenäinen. Todistus. Merkitään E = S {E j : j 2 J}. Jos E ei ole yhtenäinen, niin on olemassa jatkuva surjektio f : E! {0, 1}. Valitaan joukkojen yhteinen piste a, ja olkoon esimerkiksi f(a) =0.KoskaE j on yhtenäinen, ei f E j voi olla surjektio. Koska a 2 E j, niin f(e j )={0} kaikilla j 2 J. Tästä seuraa ristiriita f(e) ={0}. Seuraavaan lauseeseen on koottu joitakin komponenttien ominaisuuksia. Lause 1.9. (i) a 2 C(a, X) kaikilla a 2 X (ii) Avaruuden X komponentit ovat yhtenäisiä. (iii) Avaruuden X komponentit muodostavat X:n osituksen, toisin sanoen jokainen piste a 2 X kuuluu yhteen ja vain yhteen X:n komponenttiin. Todistus. (i) Koska a on yhtenäinen, niin a 2{a} C(a, x) (ii) Väite seuraa Lemmasta 1.6, sillä joukko C(a, X) on yhdiste yhtenäisistä joukoista, joilla on yhteinen piste a. (iii) Jokainen piste a 2 X kuuluu komponenttiin C(a) = C(a, X) kohdan (i) nojalla. Oletetaan sitten, että x 2 C(a)\C(b)javäitetään, että C(a) =C(b). Joukko A = C(a) [ C(b) on (i):n ja Lemman 1.6 nojalla yhtenäinen. Koska a 2 A, niin A C(a), mistä seuraa, että A = C(a). Samoin nähdään, että A = C(b).

7 LUKU 2 Jordanin käyrälause monikulmiolle Seuraavaksi todistetaan Jordanin käyrälause Jordanin monikulmioille.määritellään, että Jordanin käyrä on Jordanin monikulmio, jos se on suljettu monikulmio ja koostuu äärellisestä määrästä janoja, jotka eivät leikkaa toisiaan. Lause 2.1. Olkoon C Jordanin monikulmio. Tällöin avaruudella R 2 \ C on täsmälleen kaksi komponenttia, joista toinen on rajoittamaton ja toinen rajoitettu. Käyrä C on molempien komponenttien reuna. Todistus. Todistetaan ensin, että avaruudella R 2 \ C on ainakin kaksi komponenttia [1, 12A.2]. Tätä varten osoitetaan, että kyseinen avaruus on epäyhtenäinen, eli että se voidaan lausua kahden erillisen epätyhjän avoimen joukon yhdisteenä. Olkoon p 2 R 2 \ C. Tarkastellaan mielivaltaista pisteestä p alkavaa suoraa viivaa r. Jatkossa kutsutaan tällaista viivaa säteeksi, joka alkaa pisteestä p. Määritellään funktio P (r, p), jonka arvo kertoo, montako kertaa säde r leikkaa joukkoa C. Funktion P arvojoukko on siis joukko Z [{0}. On tietenkin mahdollista, että säde r leikkaa monikulmiota kohdassa, jossa monikulmion kaksi janaa yhdistyy kulmaksi. Tehdään sopimus, että tällainen leikkaus lasketaan kahdeksi leikkaukseksi siinä tapauksessa, että kulmaksi yhdistyvät kaksi monikulmion janaa ovat samalla puolella sädettä r (katso kuvan 1 säde r 4 ). Kaikki muut leikkaukset lasketaan yhdeksi leikkaukseksi. p r 4 r3 r 2 r 1 Kuva 1 Kuva 1 havainnollistaa tilannetta. Esimerkiksi P (r 1,p)=2,P (r 2,p)=4,P (r 3,p)= 2, ja P (r 4,p) = 2. On huomattava, että kun sädettä r kierretään pisteen p ympäri, 5

8 2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE MONIKULMIOLLE 6 niin funktion P (r, p) arvo voi muuttua. Pisteestä p riippuen P (r, p) voi saada kuitenkin nollan lisäksi vain parillisia tai vain parittomia kokonaislukuarvoja. Perustellaan, että josp (r, p):n arvo on nolla tai parillinen, se ei voi muuttua parittomaksi sädettä kiertämällä: Valitaan sellainen piste p 2 R 2 \ C, jolle löytyy säde r siten, että P (r, p) = 0. Kun sädettä r lähdetään kiertämään pisteen p suhteen, P (r, p) saaarvon 2, kun säde kohtaa monikulmion kulman tai sivun (katso kuvan 2 säde r 1 vastapäivään ja r 5 myötäpäivään kierrettäessä). Lisää kiertämällä säde voi kohdata lisää kulmia tai sivuja samaan tapaan, jolloin P (r, p):n arvo kasvaa aina kahdella. Vastaavasti säde voi jättää taakseen kulman tai sivun, jolloin P (r, p):n arvo vähenee kahdella (katso kuvan 2 säde r 1 myötäpäivään ja r 6 vastapäivään kierrettäessä). Muita vaihtoehtoja ei selvästi ole. r 5 r 6 r 1 r 2 r 3 r 4 Kuva 2 Avaruus R 2 \ C voidaan nyt jakaa kahdeksi erilliseksi joukoksi X 1 ja X 2 siten, että jos P (r, p):n arvo on nolla tai parillinen niin p 2 X 1, ja jos sen arvo on pariton, niin p 2 X 2. Jatkossa puhutaan pisteen p parillisuudesta, joka voi siis olla vain parillinen tai pariton. Äskeisen nojalla siis R 2 \ C = X 1 [ X 2 ja X 1 \ X 2 = ;. Osoitetaan seuraavaksi, että molemmat joukot X 1 ja X 2 ovat avaruuden R 2 \C avoimia osajoukkoja. Valitaan tätä varten piste p 2 R 2 \ C ja oletetaan, että d(p, C) =. Tällöin avoimen pallon B(p, ) R 2 \ C kaikkien pisteiden parillisuus on sama kuin pisteen p. Perustelu on yksinkertainen: Valitaan piste x 2 B(p, ) ja tarkastellaan sädettä r p,jokalähtee pisteestä p ja kulkee pisteen x kautta. Pisteiden p ja x välisellä janalla ei voi olla yhtään joukon C pistettä, joten P (x, r x )=P (p, r p ), jossa säde r p on saman suuntainen, kuin säde r x.täten joukot X 1 ja X 2 ovat avoimia, joten avaruus R 2 \ C on epäyhtenäinen ja koostuu vähintään kahdesta komponentista. Osoitetaan seuraavaksi, että avaruudella R 2 \C on korkeintaan kaksi komponenttia [2 1]. Oletetaan, että monikulmio C koostuu janoista E 1,...,E n ja kulmista v 1,...,v n

9 2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE MONIKULMIOLLE 7 siten, että Tarkastellaan joukkoja E i \ E i+1 = {v i }, i =1,...,n, (E n+1 = E 1,v n+1 = v 1 ). N i = {q; d(q, E i ) < }, jossa = min {d(e i,e j ); 1 <j i<n 1}. Osoitetaan, että avaruus N i \C koostuu täsmälleen kahdesta komponentista. Joukko N i on määritelty siten, että se sisältää janan E i. Valitaan joukosta N i \ C pisteet a 2 X 1 ja b 2 X 2 siten, että ne ovat lähellä, mutta eri puolilla janaa E i.tällaiset pisteet voidaan löytää: Tarkastellaan pistettä a ja siitä lähtevää sädettä r, joka kulkee janan E i toisella puolella olevan pisteen b kautta. Pisteiden a ja b parillisuus on oltava eri, koska säde r leikkaa janan E i ennen kuin se saavuttaa pisteen b. Nyt joukko N i \C voidaan siis jakaa kahdeksi pistevieraaksi joukoksi Ni 0 ja Ni 00 siten, että Ni 0 X 1 ja Ni 00 X 2 Osoitetaan, että joukot Ni 0 ja Ni 00 ovat polkuyhtenäisiä. Riittää näyttää, että joukon N i \ C mielivaltaisesta pisteestä c voidaan edetä polkua pitkin toiseen pisteistä a tai b siten, että pysytään joukossa N i \ C. Konstruoidaan seuraavaksi tällainen polku g siten, että pysytään sen kaikissa vaiheissa joukossa N i \ C. Pisteestä c voidaan kulkea polkua j pitkin pisteeseen, joka on lähellä joukon N i i.tästä pisteestä voidaan kulkea polkua k pitkin i suuntaisesti, kunnes saavutaan pisteeseen, joka on lähellä monikulmiota C. Kun tästä pisteestä edetään polkua l pitkin monikulmion C suuntaisesti, kohdataan lopulta toinen pisteistä a tai b. Haluttu polku g rakentuu nyt poluista j, k ja l. Joukot Ni 0 ja Ni 00 ovat siis polkuyhtenäisiä, ja täten myös yhtenäisiä. Avaruus N i koostuu siis täsmälleen kahdesta komponentista Ni 0 ja Ni 00 (katso kuva 3) siten, että N 0 i \ N 0 i+1 6= ;, N 00 i \ N 00 i+1 6= ;, i =1,...,n. N 1 ' N 1 '' E 1 Kuva 3

10 2. JORDANIN KÄYRÄLAUSE MONIKULMIOLLE 8 Joukot N 0 1 [...[ N 0 n ja N 00 1 [...[ N 00 n ovat molemmat yhtenäisiä, ja mikä tahansa avaruuden R 2 \ C piste p voidaan yhdistää polulla yhteen näistä joukoista. On siis osoitettu, että avaruus R 2 \ C koostuu täsmälleen kahdesta komponentista. Perustellaan vielä rajoitetun komponentin olemassaolo. Jordanin käyrä C on rajoitettu, joten löytyy avoin kiekko, joka sisältää käyrän C. Koska komponentit ja käyrä C muodostavat yhdessä tasonr 2, kyseisen kiekon ulkopuolella on täsmälleen avaruuden R 2 \C yhden komponentin pisteitä. Toisen komponentin on siis kuuluttava kiekon sisäpuolelle, joten sen on oltava rajoitettu.

11 LUKU 3 Approksimointi Jordanin monikulmioilla Tässä luvussa todistetaan, että mitä tahansa Jordanin käyrää voidaan approksimoida mielivaltaisen hyvin Jordanin monikulmiolla. Sitä ennen todistetaan muutama aputulos ja määritellään käsite tasainen jatkuvuus. Määritelmä 3.1. Olkoot M 1 ja M 2 metrisiä avaruuksia varustettuina metriikoilla d 1 ja d 2. Kuvaus f : M 1! M 2 on tasaisesti jatkuva, jos jokaista >0vastaa >0 siten, että josd 1 (x, y) <, niin d 2 (f(x),f(y)) <, kun x, y 2 M 1 Jatkossa tarvitaan tietoa, että jos kuvaus f : S 1! R 2 on jatkuva, niin se on myös tasaisesti jatkuva. Todistetaan sitä varten, että jatkuva kuvaus kompaktilta joukolta on tasaisesti jatkuva. Todistuksen apuna käytetään lähdettä [1, 12A.4]. Lause 3.2. Olkoot M 1 ja M 2 metrisiä avaruuksia varustettuina metriikoilla d 1 ja d 2. Jos kuvaus f : M 1! M 2 on jatkuva, ja M 1 on kompakti, niin f on tasaisesti jatkuva. Todistus. Olkoon >0. Koska kuvaus f on jatkuva, jokaiselle avaruuden M 1 pisteelle x löytyy sellainen sellainen positiivinen luku,ettäehdosta d 1 (x, y) < 2 seuraa, että d 2 (f(x),f(y)) < 1. On siis olemassa sellainen yhden muuttujan kuvaus 2 : M 1! R +,ettäjosd 1 (x, y) < 2 (x), niin tällöin d 2 (f(x),f(y)) < 1. 2 Joukko M 1 voidaan peittää ympäröimällä sen jokainen piste x (x)-säteisellä avoimella pallolla. Joukko {B (x) (x); x 2 M 1 } on siis joukon M 1 eräs avoin peite. Koska M 1 on kompakti joukko, on olemassa näiden pallojen sellainen äärellinen yhdiste, joka peittää joukon M 1. Olkoon siis {B x1 (x 1 ),B x2 (x 2 ),...,B xn (x n )} joukon M 1 äärellinen alipeite. Pallot B xi (x i ) ovat erityisesti siis sellaisia avoimia palloja, että jos yhden tällaisen x i -keskisen pallon sisältä kuvataan kaksi pistettä a ja b, niin d 2 (f(a),f(b)) < 1, sillä d 2 1(a, b) < 2 (x i ), kun 1 apple i apple n. Olkoon = min{ (x 1 ), (x 2 ),... (x n )}. Valitaan seuraavaksi pisteet x, y 2 M 1 siten, että d(x, y) <. Pisteen x on selvästi kuuluttava johonkin kyseisen alipeitteen avoimista palloista, eli x 2 B (xi )(x i ) jollain 1 apple i apple n. Aiemman tarkastelun perusteella Kolmioepäyhtälöä hyödyntämällä d 2 (f(x),f(x i )) < 1 2. d 1 (y, x i ) <d 1 (y, x)+d 1 (x, x i ) < + (x i ) apple 2 (x i ), 9

12 3. APPROKSIMOINTI JORDANIN MONIKULMIOILLA 10 jolloin Lopulta siis saadaan, että d 2 (f(y),f(x i )) apple 1 2. d 2 (f(x),f(y)) apple d 2 (f(x),f(x i )) + d 2 (f(y),f(x i )) < =. Seuraus 3.3. Jos kuvaus f : S 1! R 2 on jatkuva, niin se on myös tasaisesti jatkuva. Todistus. Joukko S 1 on kompakti, joten väite seuraa suoraan lauseesta 3.2. Seuraus 3.4. Olkoot M 1 ja M 2 metrisiä avaruuksia varustettuina metriikoilla d 1 ja d 2. Jos kuvaus f : M 1! M 2 on tasaisesti jatkuva, M 1 on kompakti, ja f : M 1! f(m 1 ) on homeomorfismi, niin jokaista positiivista lukua vastaa positiivinen luku siten, että jos d 2 (f(x),f(y)) <, niin d 1 (x, y) <. Todistus. Kuvaus f 1 : f(m 1 )! M 1 on tasaisesti jatkuva, sillä f 1 on jatkuva, ja joukko f(m 1 ) on kompakti. Seuraavaksi todistetaan tärkeä tulos, jonka mukaan Jordanin käyrää voidaan approksimoida mielivaltaisen hyvin Jordanin monikulmiolla. Lähteenä toimii [1, 12A.7]. Lause 3.5. Olkoon kuvaus f : S 1! R 2, joka määrittelee Jordanin käyrän C. Jokaista > 0 vastaa sellainen kuvauksen f 0 : S 1! R 2 määrittelemä Jordanin monikulmio C 0 että f(x) f 0 (x) < kaikilla x 2 S 1. Todistus. Valitaan positiivinen luku. Kuvauksen f tasaisesta jatkuvuudesta seuraa, että on olemassa sellainen 1 > 0, että (3.1) x y < 1 ) f(x) f(y) < 1 2. Koska kuvaus f : S 1! C on homemorfismi, seurauksen 3.4 nojalla on olemassa sellainen 2 > 0, että f(x) f(y) < 2 ) x y < min( 1, p 3). Syy luvulle p 3 on, että josa on ympyrän S 1 osajoukko, jonka halkaisija on alle p 3, niin tällöin löytyy yksikäsitteinen lyhin mahdollinen ympyrän S 1 kaari, johon joukko A sisältyy. Olkoon = min( 1 2, 2). Peitetään joukko C neliön muotoisilla

13 3. APPROKSIMOINTI JORDANIN MONIKULMIOILLA 11 alueilla S 1,S 2,...,S n siten, etteivät ne ole päällekkäin muualta kuin reunoilta. Olkoon jokaisen tällaisen neliön lävistäjän pituus. Koska < 2,löytyy yksikäsitteinen lyhin mahdollinen ympyrän S 1 kaari A 1, johon joukko f 1 (S 1 ) sisältyy. Ilman lukua p 3 kuvan olisi mahdollinen kuvan 1 tilanne, jossa yksikäsitteistä kaartaa 1 ei löytyisi. a b 3 c d fhbl 3 3 fhal fhcl fhdl fhel S 1 fhfl f e Kuva 1 Sen sijaan tulee huomata, että kuvan 2 tilanne, jossa neliö S 1 sisältää kaksi(tai useampia) yhtenäistä käyrän C osaa, on mahdollinen. Pisteiden a ja d etäisyys on oltava alle 1, jolloin f kuvaa ehdon (3.1) mukaisesti kaaren ad := A 1 pisteet alle 1 2 :n päähän toisistaan. Pisteiden b ja c väliset kaaren A 1 pisteet voivat siis kuvautua neliön S 1 ulkopuolelle, mutta eivät kauas siitä. f HaL f HbL f HcL a < e 1 S1 c b d f HdL Kuva 2 Seuraavaksi muunnetaan Jordanin käyrä C uudeksi käyräksi C 1 siten, että C 1 on muuten identtinen C:n kanssa, mutta joukon f(a 1 ) sisältämä osakäyrää C kuvataan janaksi. Määritellään tätä varten kuvaus 8 < f(e(t)) kun e(t) /2 A 1 f 1 (e(t)) = t a : 1 f(e(a)) + t a b a b a f(e(b)) kun e(t) 2 A, 1 jossa A 1 = {e(t); a apple t apple b} ja e(t) =e it. Nyt C 1 = f 1 (S 1 ) on Jordanin käyrä, sillä janan f 1 (A 1 )päätepisteet ovat käyrällä C ja janakuvaus on tunnetusti jatkuva

14 f(x) f n (x) < =. 3. APPROKSIMOINTI JORDANIN MONIKULMIOILLA 12 injektio. Perustellaan hieman alemman komponenttifunktion käyttöä. Peruskurssilta tiedetään, että pisteille x 2 R 2 ja y 2 R 2 kuvaus on niitä yhdistä janakuvaus ja kuvajoukko [0, 1]! R 2 : t! (1 t)x + ty J(x, y) :={z 2 R 2 : z =(1 ([0, 1]) yhdistävä jana t)+ty}. Kyseinen jana voidaan kuitenkin kuvata mielivaltaiselta reaaliakselin suljetulta väliltä [a, b]. Tällöin janakuvaus saa muodon :[a, b]! R 2 : t! (1 t a b a )x + t a b a y. Kuvauksella e(t) =e it =cost + i sin t saadaan kuvattua joukon S 1 pisteet kiertokulman t funktiona. Kaaren A 1 päätepisteitä vastaavat kulmat a ja b. Seuraavaksi konstruoidaan Jordanin käyrä C 2 kuvaamalla joukko f1 1 (S 2 ) janaksi kuvauksella f 2. Tulee huomata, että joukko f1 1 (S 2 ) saattaa olla tyhjä joukko. Näin voi käydä esimerkiksi kuvan 2 tapauksessa, jos neliö S 2 sisältää pisteiden f(b) jaf (c) välisiä käyrän C pisteitä. Tällaisessa tapauksessa f 2 = f 1 ja C 2 = C 1. Kun tätä jatketaan, saadaan lopulta Jordanin monikulmio C n, jonka antaa kuvaus f n : S 1! R 2. On aika tarkistaa, että f(x) f n (x) < kaikilla x 2 S 1. Tarkastellaan mielivaltaista joukon S 1 pistettä x, jolle f n (x) 6= f(x). Tällöin löytyy sellainen j, että f n (x) =f j (x) 6= f j 1 (x). Tehdyn konstruoinnin nojalla tiedetään, että piste x kuuluu mahdollisimman pienelle kaarelle A j. Olkoon kaaren A j päätepisteet y ja z. Edelleen aiemman konstruktion perusteella f j (y) =f(y) jaf j (z) =f(z). Tällöin f(x) f n (x) = f(x) f(y)+f j (y) f j (x) apple f(x) f(y) + f j (y) f j (x) apple f(x) f(y) + apple f(x) f(y) Tarkennetaan vielä, että f j (y) f j (x) apple,koskaf j (y),f j (x) 2 S j ja aiemmin määriteltiin, että dia(s j ) apple. Nyt koska f(z) f(y) apple apple 2, niin z y apple 1. Nyt x y < z y, joten x y < 1,jatästä seuraa, että f(x) f(y) < 1 2. Lopulta siis

15 LUKU 4 Jordanin käyrälause Tässä luvussa todistetaan Jordanin käyrälause. Tätä varten tarvitaan lemma. Apuna käytetään lähdettä [1, 12A.8]. Lemma 4.1. Olkoon f : S 1! R 2 kuvaus, joka määrittelee Jordanin monikulmion C = f(s 1 ). Avaruuden R 2 \ C rajoitettu komponentti sisältää avoimen kiekon, jonka reunalla on p kaksi joukon C kanssa yhteistä pistettä f(a) ja f(b) siten, että a b 3. Todistus. Tarkastellaan sellaisia joukkoon R 2 \ C sisältyviä avoimia kiekkoja, joiden reuna sivuaa monikulmiota C vähintään kahdessa pisteessä. Olkoon D näistä kiekoista se, jolle kyseisten kahden pisteen alkukuvien etäisyys ympyrällä S 1 on suurin. Tällainen kiekko on olemassa: Valitaan yksi monikulmion C kulmista ja toinen tähän kulmaan yhtyvistä monikulmion janoista. Tarkastellaan liikuteltavaa ympyrää, joka tangenteeraa aluksi molempia valittuun kulmaan liittyviä monikulmion janoja. Tästä kulmastä käsin lähdetään liikuttamaan ympyrää valittua janaa pitkin siten, että ympyrä sivuaa monikulmiota jatkuvasti kyseisen janan lisäksi vähintään yhdessä pisteessä. Näin etenemällä (katso kuva 1) ja kaikki monikulmion janat järjestyksessä läpi käymällä ympyrän on ohitettava sijainti, jossa se sivuaa monikulmiota kahdessa pisteessä, joiden alkukuvien etäisyys on suurin. Kuva 1 Tehdään vastaoletus, että a b < p 3. Tällöin pisteiden a ja b täytyy olla sellaisen kaaren A S 1 päätepisteet, jonka pituus on suurempi kuin 4. Kiekon D reunalla ei 3 13

16 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 14 voi olla yhteisiä pisteitä joukon f(a) \{f(a), f(b)} kanssa, koska max{ a c, b c } > a b kaikille c 2 A \{a, b}. Olkoon f(v 1 ),f(v 2 ),...,f(v n ) joukon C kulmia joukossa f(a), kun liikutaan pisteestä f(a) pisteeseen f(b) (katso kuva 2). a A fhal fhv 1 L < 3 fhbl fhv 4 L f HAL b fhv 3 L fhv 2 L On täsmälleen neljä vaihtoa: (i) (ii) (iii) (iv) Kuva 2 v 1 6= a, v n 6= b v 1 6= a, v n = b v 1 = a, v n 6= b v 1 = a, v n = b Seuraavaksi osoitetaan, että jokainen näistä vaihtoehdoista johtaa ristiriitaan. Ensimmäisessä tapauksessa sivuaa janoja f(a)f(v 1 )jaf(b)f(v n ). Tällöin löytyy kuitenkin sellainen kiekko D 0 R 2 \ C lähellä kiekkoa D, 0 koskettaa joukkoa C lähellä pisteitä f(a) jaf(b) pisteissä f(a 0 )jaf(b 0 ) siten, että piste f(a 0 ) on janalla f(a)f(v 1 ) ja piste f(b 0 ) janalla f(b)f(v n ) (katso kuva 3). Saatiin ristiriita, koska a 0 b 0 > a b. Tapauksessa (ii) sivuaa jälleen janaa f(a)f(v 1 ). Löytyy kuitenkin sellainen kiekko D 0, joka sivuaa janaa f(a)f(v 1 ) pisteessä f(a 0 )lähellä pistettä f(a), sekä janaa f(b)f(v n 1 ) pisteessäf(b 0 ) (katso kuva 4). Jälleen a 0 b 0 > a b, jotenkyseessä on ristiriita. Vaihtoehto (iii) johtaa täysin samanlaiseen ristiriitaan, kuin kohta (ii). a a ' A f Hv 1 L f Hv n L f Ia ' M f Ib ' M f HaL f HbL b b ' Kuva 3

17 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 15 a a ' A f Ia ' M f HaL f Hv 1 L fhv n-1 L f Ia ' M f HbL = f Hv n L b b ' Kuva 4 Tapauksessa (iv) tarkastellaan aluetta R, jota rajoittavat joukko f(a) sekä säteet pisteisiin f(a) jaf(b). Aiemmin todistettiin, että Jordanin käyrälause pätee monikulmioille, joten joukko R tosiaan on rajoitettu. Tarkastellaan sellaisia x- keskisiä ympyröitä S x, joilla x 2 R, jas x kulkee pisteiden f(a) jaf(b) kautta. Kun piste x liikkuu kiekon D keskipisteestä joukkoon R, ympyrä S x kohtaa lopulta joukon f(a) jossain muussa pisteessä kuin f(a) taif(b) tai se tangenteeraa jompaa kumpaa janoista f(a)f(v 2 )jaf(b)f(v n 1 ) (katso kuva 5). Ensimmäinen tapaus on jo aiemmin todettu mahdottomaksi, ja toinen tapaus johtaa samanlaiseen ristiriitaan kuin vaihtoehdot (i) tai (ii) yllä. Kaikkien näiden ristiriitojen jälkeen on mahdotonta, että a b < p p 3, joten ainoa vaihtoehto on, että a b 3. f Hv 2 L R f Hv 3 L f HaL = f Hv 1 L f Hv 4 L f HbL = f Hv 6 L f Hv 5 L Kuva 5

18 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 16 Todistamme vihdoin osan Jordanin käyrälauseesta. Lähteenä toimii [1, 12A.9]. Lause 4.2. Olkoon C Jordanin käyrä. Avaruus R 2 \ C sisältää ainakin kaksi komponenttia. Todistus. Koska Jordanin käyrä on rajoitettu joukko, avaruus R 2 \ C sisältää selvästi rajoittamattoman komponentin. Osoitetaan, että se sisältää myös rajoitetun komponentin. Olkoon jono 1, 2,...,jossa n on luku 1. Jokaista tämän jonon termiä n vastaa lauseen 3.5 mukaisesti sellainen Jordanin monikulmio C 0,että f(x) f 0 (x) < kaikilla x 2 S 1. Saadaan jonot C1,C ja f1,f 0 2,..., 0 joissa kuvaus fn 0 määrittelee Jordanin monikulmion Cn. 0 Jono 1, 2,... suppenee kohti nollaa, jono C1,C 0 2,... 0 suppenee kohti Jordanin käyrää C, ja jono f1,f 0 2,... 0 suppenee tasaisesti kohti käyrän C määrittelevää kuvausta f. Lauseen 4.1 nojalla monikulmiojonon jokaista termiä Cn 0 vastaa p sellainen ympyrä S n, joka sisältää pisteet fn(a 0 n )jafn(b 0 n ) siten, että a n b n 3. Olkoon ympyrän S n keskipiste z n. Jordanin käyrät Cn 0 ja C voidaan peittää suljetulla kiekolla S 0.Tästä seuraa, että kiekko S 0 peittää myös kaikki ympyrät S n. Nyt jono z 1,z 2,... on rajoitettu joukossa R 2, joten sillä on oltava suppeneva osajono. Voimme siis jatkossa tarkastella jonoa z 1,z 2,... jonona, joka suppenee kohti pistettä z. Osoitetaan seuraavaksi, että riittävän suurella indeksillä n pisteet z ja z n kuuluvat samaan avaruuden R 2 \C n komponenttiin. Kuvaus f 1 : C! S 1 todettiin jo aiemmin p tasaisesti jatkuvaksi, joten on olemassa sellainen luku >0, että jos x y 3, niin f(x) f(y) kaikilla x, y 2 S 1.Täten f(a n ) f(b n ) kaikilla n 1ja f n (a n ) f n (b n ) > 1, kun n N, missä N on niin suuri, että 2 N < 1.Tällöin siis 4 f(a n ) f n (a n ) < 1 ja f(b 4 n ) f n (b n < 1, jolloin todellakin f 4 n(a n ) f n (b n ) > 1.Tästä seuraa, että kun n N, ympyrän S 2 n halkaisija on suurempi kuin 1,joten 2 d(z n,c n ) > 1. Kun n on riittävän suuri, niin z z 4 n < 1, joten pisteiden z ja 4 z n on kuuluttava avaruuden R 2 \ C n samaan komponenttiin. Tarkemmin, molemmat pisteet ovat avaruuden R 2 \ C n rajoitetun komponentin pisteitä, koska piste z n on määritelmänsä nojalla avaruuden R 2 \ C n rajoitetun komponentin piste. Osoitetaan seuraavaksi, että piste z ei voi olla avaruuden R 2 \ C rajoittamattoman komponentin piste. Tehdään oletus, että piste z on avaruuden R 2 \ C rajoittamattoman komponentin piste. Tällöin löytyy polku g pisteestä z johonkin kiekon S 0 ulkopuoliseen pisteeseen a avaruudessa R 2 \ C. Olkoon d(g(i),c) =. Riittävän isolla indeksin n arvolla f n (x) f(x) < 1, jolloin d(g(i),c 2 n) > 1. Nyt avaruuden 2 R2 \ C n polku g ei kohtaa monikulmiota C n, mutta yhdistää saman avaruuden rajoitetun komponentin pisteen rajoittamattoman komponentin pisteeseen. Tämä on ristiriita, josta seuraa, että avaruudella R 2 \ C on myös rajoitettu komponentti.

19 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 17 Jotta voitaisiin todistaa Jordanin käyrälauseen toinen osa, tarvitaan määritelmä ja lemma. Määritelmä 4.3. Jordanin käyrän jänne täsmälleen päätepisteissään. on jana, joka leikkaa Jordanin käyrää Jänne kuuluu siis päätepisteitään lukuunottamatta joukkoon R 2 \ C. Edelleen, jos C on Jordanin monikulmio ja sen jänne, niin Lauseen 2.1 nojalla X [ C, missä X on yksi avaruuden R 2 \ C komponenteista. Täten avaruus X \ koostuu täsmälleen kahdesta komponentista. Lemma 4.4. Olkoon C Jordanin monikulmio ja a ja b pisteitä, jotka kuuluvat samaan avaruuden R 2 \ C komponenttiin X. Olkoon joukkojen {a, b} ja C välinen etäisyys vähintään 1. Oletetaan, että aina, kun monikulmion C jänteen halkaisija on pienempi kuin 2, niin pisteet a ja b kuuluvat samaan avaruuden X \ komponenttiin. Tällöin löytyy polku g pisteiden a ja b välille siten, että d(g(i),c) 1. Todistus. Todistuksen lähteenä toimii [2, 4]. Todetaan ensin, että josa 0 on mikä tahansa joukon R 2 piste, joka saadaan yhdistettyä polulla g 0 pisteeseen a siten, että d(g 0 (I),C) 1, niin pisteet ja a 0 ja b täyttävät samat oletukset, jotka asetettiin pisteille a ja b. Nyt koska polku g 0 ei kohtaa jännettä, pisteet a ja a 0 kuuluvat samaan X \ komponenttiin ja sama pätee siis oletuksen mukaan pisteille a ja b. Tehdään oletus, että d(a, C) =d(b, C) = 1. Valitaan pisteet u a,u b 2 S 1 siten, että f(u a ) a = f(u b ) b = 1. Olkoon D yksikköympyrä, jota voidaan liikutella. Olkoon sen keskipiste c ja aluksi c = a. Haluttu polku g on käyrä, jota pitkin piste c kulkee, kun ympyrää D pyöritetään pitkin Jordanin käyrää C pisteestä lähtien pisteestä f(u a ), kunnes c saavuttaa pisteeen b (katso kuva 6). a Kuva 6

20 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 18 Koska ympyrä D matkallaan pisteestä f(u a ) pisteeseen f(u b ) yleensä jättää välistä joitain monikulmion C pisteitä, osoitetaan ensin, että D ainakin saavuttaa pisteen f(u b ). Jos näin ei käy, niin jollain tietyllä ympyrän D sijainnilla monikulmiolla C ja ympyrällä D on oltava yhteinen jänne S, jana f(u 1 )f(u 2 ), jonka pituus on pienempi kuin 2. Tällöin avaruus X \ S koostuu kahdesta komponentista Y ja Z. Oletetaan, että c 2 Y ja piste f(u b ) on sijaitsee komponentin Z reunalla joukossa C pisteiden f(u 1 )jaf(u 2 )välissä. Todistuksen ensimmäisen kappaleen päättelyn perusteella b 2 Y. Tarkastellaan yksikköympyrää E, jonka keskipiste on b,jasensädettä kohti pistettä f(u b ). Säde kuuluu aluksi komponenttiin Y, mutta kulkeutuu lopulta komponenttiin Z ja kohtaa Jordanin monikulmion C pisteessä f(u b ). Se siis leikkaa jänteen S. Huomataan myös, että b ja c ovat samalla puolen jänteen S kautta kulkevaa suoraa. Nyt, koska ympyrä E ei kohtaa pisteitä f(u 1 )jaf(u 2 ), täytyy sen leikata jänne S kahdesti. Koska pisteet b ja c ovat samalla puolen jännettä S, ympyrän E säde kohti pistettä f(u b )täytyy päättyä ympyrälle D tai sen sisälle, eikä pisteeseen f(u b ) kuten sen pitäisi (katso kuva 7). E D f Hu 1 L f Hu 2 L f Hu b M Kuva 7 Saatiin siis ristiriita eli osoitettiin, että ympyrä D todellakin saavuttaa pisteen f(u b ). Seuraavaksi näytetään todeksi, että piste c saavuttaa pisteen b. Tilanteessa, jossa piste f(u b ) ei ole yksi monikulmion kulmista, väite on on selvä. On vain yksi tilanne, joka vaatii lähempää tarkastelua: Ympyrällä D ja monikulmiolla C on yhteinen jänne S,

21 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 19 c b f Hu b L Kuva 8 jonka pituus on pienempi kuin 2 ja piste f(u b )ontämän jänteen toinen päätepiste. Jänne S osoittaa kohti kulmaa cf(u b )b (katso kuva 8).Tällöin jana bc kohtaa jänteen S, jolloin pisteet b ja c kuuluvat avaruuden X \S eri komponentteihin. Tämä on ristiriita, sillä alun oletus oli, että ne kuuluvat samaan avaruuden X \ S komponenttiin. Lause 4.5. Olkoon C Jordanin käyrä. Avaruus R 2 \C koostuu korkeintaan kahdesta komponentista. Todistus. Todistuksen runko perustuu lähteisiin [1 12A.12] ja [2, 3]. Tässä todistuksessa käytetään hyväksi Lemmaa 4.4 ja todistuksen ymmärrettävyyden helpottamiseksi viitataan kyseisen lemman oletuksiin jo hyvissä ajoin. Oletetaan, että avaruudella R 2 \ C on kolme tai usempia komponentteja ja että pisteet a, b ja c ovat eri komponenttien pisteitä. Olkoon d({a, b, c}, C) =. Olkoon jonot C1,C 0 2,... 0 ja f1,f 0 2,... 0 kuten lauseen 4.2 todistuksessa. Isolla indeksin n arvolla d(cn,c) 0 < 1, jolloin d({a, b, 2 c},c0 n) > 1. Nyt Lauseen 2.1 nojalla voidaan todeta, 2 että kun indeksi n on riittävän suuri, niin kaksi kolmesta pisteestä a, b ja c kuuluu samaan avaruuden R 2 \ Cn 0 komponenttiin X n. Jatkossa voidaan siis tarkastella monikulmiojonoa C1,C 0 2,... 0 jonona, jossa pisteet a ja b kuuluvat samaan komponenttiin X n kaikilla n. Mainittakoon jo nyt, että a ja b toteuttavat siis lemman 4.4 ensimmäisen oletuksen kaikilla Cn. 0 Oletetaan, että löytyy sellainen positiivinen luku, että 0 < <, ja äärettömän monta sellaista lukua n, että pisteet a ja b saadaan yhdistettyä polulla g n joukossa X n siten, että d(g n (I),C 0 n). Huomattakoon, että jälkimmäinen on lemman 4.4 väite pisteille a ja b! Lemman lukua 1 vastaa nyt siis luku.

22 4. JORDANIN KÄYRÄLAUSE 20 Riittävän isoilla luvuilla n etäisyys d(c, Cn) 0 < 1, jolloin d(g 2 n(i),c) > 1.Tällöin 2 pisteet a ja b kuuluvat samaan avaruuden R 2 \ C komponenttiin. Tämä on ristiriita alun oletuksen kanssa, joten kyseistä lukua ei ole olemassa. Tästäpäätellään, että äärettömän monelle monikulmiolle C n on Lemman 4.4 nojalla löydyttäväjänne n pituudeltaan n < 2 siten, että pisteet a ja b kuuluvat avaruuden X n \ n eri komponentteihin. Palautetaan taas mieleen alun oletus, että pisteet a ja b ovat avaruuden R 2 \ C eri komponenttien pisteitä. Tästä seuraa, että kun n lähestyy ääretöntä, on jonon n lähestyttävä nollaa, sillä jokaisen pisteet a ja b avaruudessa R 2 \ C n yhdistävän polun on leikattava jänne n. Jänteen n on siis muurauduttava umpeen approksimaation tarkentuessa. Saadaan siis jonot 1, 2,... ja n(1),n(2),... siten, että (i) Pisteet a ja b kuuluvat avaruuden X n(i) \ i eri komponentteihin (ii) Kun i!1, niin f n(i) (u i ) f n(i) (v i )! 0, kun f n(i) (u i )jaf n(i) (v i ) ovat jänteen i päätepisteet. Tällöin josta seuraa, että f(u i ) f(v i )! 0, kun i!1, u i v i! 0, kun i!1. Tehdyn tarkastelun perusteella äärettömän monelle indeksin i arvolle toinen pisteistä a ja b kuuluu avaruuden X n(i) \ i komponenttiin, jota rajoittavat i ja f(a i ), jossa A i on pienin joukon S 1 kaarista, joiden päätepisteet ovat u i ja v i. Oletetaan, että a on tämä piste. Nyt kun u i v i! 0, niin myös dia(f(a i ))! 0. Tämä tarkoittaa sitä, että komponentti, joka juuri määriteltiin, on halkaisijaltaan pienempi kuin riittävän suurella indeksin i arvolla. Erityisesti a f(u i ) <, joka on kaivattu ristiriita, koska alun oletuksen mukaan d({a, b, c}, C)=. Jordanin käyrälause seuraa lauseista 4.2 ja 4.5.

23 LUKU 5 Esimerkkejä ja sovelluksia Kun tavallinen ympyrä S 1 kuvataan homeomorfismilla, on kuvajoukolla C ympyrän kanssa siis todistetusti yhteinen ominaisuus: Se erottaa käyrän sisäpuolen sen ulkopuolesta. Luonnollinen jatkokysymys onkin, mitä muita ympyrälle ominaisia piirteitä homeomorfismi säilyttää. Ilmenee, että kuten ympyränkin tapauksessa, jokaiset kaksi käyrän C pistettä jakavat C:n kahteen yhtenäiseen osaan ja että käyrä C säilyy yhtenäisenä, jos siitä poistetaan yksi yhtenäinen osa. Ympyrällä S 1 on kuitenkin kolme ominaisuutta, joita homeomorfismi ei välttämättä säilytä: (a) (b) (c) sen jokainen piste määrittelee tangentin sillä on äärellinen pituus sen pinta-ala on nolla. Kohdat (a) ja (b) ilmenevät tarkastelemalla Weierstrassin funktiota 1X f : R! R : f(x) = a n cos(b n x), jossa 0 <a<1, b on pariton positiivinen kokonaisluku ja ab < 1+ 3 (katso kuva 1). 2 Funktio ei ole tunnetusti missään derivoituva eikä sille siis voida määrittää tangenttia mihinkään pisteeseen. Lisäksi funktion määrittelyjoukon jokaisen välin kuva on käyrä, jolla on ääretön pituus. Tällaisen funktion avulla on mahdollista konstruoida Jordanin käyrä. Tämä esimerkki osoittaa myös, miten alkeellinen lauseen todistus pelkille monikulmioille on. Lauseen 2.1 todistuksessa sovellettua säteiden ja Jordanin käyrän leikkauspisteiden lukumäärää ei voida enää hyödyntää, sillä säde voi tällaisessa tapauksessa leikata käyrän äärettömän monta kertaa. Weierstrassin funktio on esimerkki itseään toistavasta fraktaalista. Tällainen käyrä näyttää samanlaiselta riippumatta siitä, millä suurennoksella sitä katsoo. Myöhemmin tällaisia itsesimilaarisia käyriä on pystytty konstruoimaan enemmänkin. Kohta (c) on ristiriitainen intuitiivisen mielikuvamme kanssa käyrästä oliona, jonka leveys on nolla. Kaikesta huolimatta W. F. Osgood osoitti [6] vuonna 1903, että on mahdollista kontruoida yksinkertainen käyrä, jolla on positiivinen Lebesquen mitta. Tällaisia käyriä kutsutaan Osgoodin käyriksi. Annetaan seuraavaksi karkea kuvaus, kuinka tällainen käyrä konstruoidaan. Lähteenä tähän on käytetty Hans Sagan tekstiä, lähdettä [6]. 21 n=0

24 5. ESIMERKKEJÄ JA SOVELLUKSIA 22 Kuva 1. Weierstrassin funktio Saksalaisen Konrad Knoppin versio Osgoodin käyrästä perustuu oikeanlaiseen kolmion muotoisten pinta-alojen poistamiseen alkuperäisestä kolmiosta. Konstruktion neljä ensimmäistä vaihetta on nähtävissä kuvassa 2. Ensimmäisessä vaiheessa poistetaan alkuperäisestä kolmiosta ala r 1 m(t ), missä m(t ) on alkuperäisen kolmion ala ja r on luku avoimelta väliltä (0,1). Jäljelle jää kaksi kolmiota T 0 ja T 1, joiden yhteenlaskettu pinta-ala on m(t )(1 r 1 ). Toisessa vaiheessa kolmioista T 0 ja T 1 poistetaan kolmion muotoiset alat r 2 m(t 0 )jar 2 m(t 1 ), joissa jälleen r 2 2 (0, 1), jolloin jäljelle jää neljä kolmioita T 00, T 01, T 10 ja T 11.Näiden yhteenlaskettu pinta-ala on m(t )(1 r 1 )(1 r 2 ). Näin jatkettaessa äärettömyyteen muodostuu joukko C, jonka Lebesquen mitta on µ (C) =m(t ) Q 1 k=1 (1 r k). Nyt luvut r k voidaan valita siten, että sarja P 1 k=1 (1 r k) suppenee, jolloin µ(c) on positiivinen. Jokaisella askelmalla kolmiot kapenevat, ja rajalla ne ovat lopulta kutistuneet pisteiksi. Konstruoidaan seuraavaksi homeomorfismi väliltä [0, 1] joukolle C: Väli [0, 1] kuvataan joukolle T 2 0 ja väli [ 1, 1] joukolle joukolle T 1.Tämä tehdään siten, että väli [0, 1] kuvataan joukolle T 4 00, väli [ 1, 1] joukolle T 01,väli [ 1, 3] joukolle T ja väli [ 3, 1] joukolle T Välien yhteiset pisteet kuvataan siis kahden peräkkäisen kolmion yhteiseksi pisteeksi. Näin jatkettaessa rajalle asti on selvää, että kyseinen kuvaus on sekä bijektio, että jatkuva. Kun joukon C päätepisteet yhdistetään esimerkiksi puoliympyrällä, saavutetaan Jordanin käyrä, jolla on positiivinen Lebesquen mitta. Jordanin käyrälauseen yleisempi muoto useammille ulottuvuuksille todistettiin vuonna Sen mukaan avaruuden X ollessa jatkuvan injektiivisen kuvauksen : S n! R n+1 kuvajoukko, avaruus R n+1 \X koostuu täsmälleen kahdesta komponentista. Toinen komponenteista on rajoitettu ja toinen rajoittamaton ja joukko X on molempien komponenttien reuna.

25 5. ESIMERKKEJÄ JA SOVELLUKSIA 23 Kuva 2 Jordanin käyrälauseen todistamisen jälkeen matemaatikot pyrkivät selvittämään, ovatko avaruuden R 2 \ C komponentit homeomorfisia avaruuden R 2 \ S 1 komponenttien kanssa avaruuden C ollessa Jordanin käyrä. Osoittautui, ettänäin on. Rajoitettujen komponenttien homeomorfisuus voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavasti: Jordanin käyrän rajoittama alue J, eli niin sanottu Jordan-alue, on yhdesti yhtenäinen joukko. Tämä on seuraus Jordanin käyrälauseesta, sillä sen nojalla joukko R 2 \ J on yhtenäinen, jolloin joukon J on oltava yhdesti yhtenäinen [4 6.12]. Nyt Riemannin kuvauslauseen nojalla [5 14.2] löytyy konformikuvaus h kiekolta D 1 = {x 2 R 2 : x < 1} joukolle J. Tämän tuloksen laajennuslause kantaa nimeä Carathéodory-Osgoodin lause. Lause sanoo [5 14.3], että kuvaus h on laajennettavissa homeomorfismiksi sulkeumien D ja J välille, eli löytyy homeomorfismi h : D! J. Lopullisen laajennuksen tälle tarkastelulle tarjoaa Schönfliesin lause, jonka mukaan [7 6.7] jokaiselle homeomorfismille f : S 1! C voidaan määritellä homeomorfinen jatke h : R 2! R 2, jolle siis h(s 1 )=C Siinä, missä Jordanin käyrälause vaikuttaa intuitiivisesti selvältä tulokselta, voitaneen samaa sanoa Schönfliesin lauseesta. Täten niille, jotka epäilevät Jordanin käyrälauseen todistamisen tarvetta, voidaankin todeta, että yhdysvaltalainen James Waddel Alexander todisti vastaesimerkin avulla vuonna 1924, että Schönfliesin lause ei yleisty kolmiulotteiseen avaruuteen.

26 Lähdeluettelo [1] Czes Kosniowski: Afirstcourseinalgebraictopology. Cambridge University Press, [2] Helge Tverbeg AProofofJordanCurvetheorem. aar/jordan/tverberg.pdf. Luettu [3] Jussi Väisälä: Topologia I. Limes ry, Helsinki, [4] Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi, Luentomuistiinpanoja keväälle Luettu [5] Bak, Newman: Complex Analysis. Springer Science+Business Media, [6] Hans Sagan: The Mathematical Intelligencer, Volume 15, Number 4/December 1993: A geometrization of Lebesque s space-filling curve. [7] Napier, Ramachandran: An Introduction to Riemann Surfaces, 1st Edition. Birkhäuser,