ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA

Transkriptio

1 ÔÙ ÀÙ ÚÒÒÓÐÐ Ø Ð ÒÒÒØÓÖ ÌÑ ÐÙÒØÓÑÓÒ Ø ÓÒ ØÖÓØØØÙ ÂÓÒ ÙÙÒ ÝÐÓÔ ØÓÒ ÌØÓÒ ØØÐÝØØÒ ØÓÖØØ Ø ÔÖÙ ØØ ¹ÙÖ ÐÐ ÅÓÒ Ø ÙÒÒ ÓÐ ÚÐ ÚÐÑ ÚÒ ÔÓÒ Ø Ø ÓÒ Ý ÖÒ Ð Ò ÚÚÓÒ Ô ØÝÒØÝÝ ØÙÐÚÒ ÚÙÓ Ò ËÙ¹ Ó ØÐØÚ ÓÒÒ ØØ ØÝÒÒØ ÑÓÒ ØØØ ÓÑÐÐ ÑÙ ØÒÔÒÓÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ð ÓÓÒÒ Ð ÒÒÒØÓÖ ØØÐÚÒ ÖÒ ÅÓÒ Ø ÓÒ ØØÝ ÔÑÒ Ø ÔÙÙØØØ Ñ ÐÐÐ ÒØÝÝ ÓÐÑ ÓÐ¹ ÚØ ÖØ ÓÚØ ÓÚÒ ØÓÖØØ ÚÐÙÙ Ú Ð ÒÒÒØÓÖ Ø¹ Ò ÓÓ ÓÙÓÒ ÒÒÓ ØÚ ÝÝÐÐ ÓØ ÌÓÚÓØØÚ Ø ØÑ ÑÓÒ Ø Ó ÐØÒ Ð ÒÒÓ ØÙ Ø Ð ÒÒÒØÓÖ ÓØÒ ÚÖÓØÙ Ò Ò ÓÒ ÙØÒÒ ÔÐÐÒ ØÑ ÑÓÒ Ø ÓÚ ØÓ ÓÐÐ ÂÓ Ø Ô ÖÙÚ Ø Ù Ø Ø ÚØ Ø ËÒÙÒ ÒÒØØ ÒÒÑÑÒ ØÙÖÚÙØÙ È ÇÖÔÓ Ò Ð ¹ Ò ÐÙÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÃØÓ Ø ÃØÒ ÔÖÓ ÓÖ È ÇÖÔÓ Ø Ó ÓÒ Ý ØÚÐÐ Ø ÒØÒÙØ ÝØØÒ ÐÙÒ¹ ØÓÑÓÒ ØÒ Ä ÒÒØÓÖ ÐØÜ¹ØÓ ØÓØ ÀÒÒ ÐÙÒØÓÑÓÒ ØÒ ÓÒ ØÓÑÒ¹ ÙØ ÑÓÒÒ ÔÓÒ ÙÚÒÒ ÓÐÒ ÔÝÖÒÝØ ÔÝ ÝÑÒ Ù ÓÐÐ Ò ÒÒ ÐÓÓ ÐÐ ÐÐÐ ØÝ ØÚÐÐÒ Ú ÓÐÒÒ ØØÓ Ø ØÚÓØÐÐÙØ Ù ÐÔ¹ ÔÓÐÙÙ Ø ØÝ Ø ÈÖÓ ÓÖ ÇÖÔÓ Ò Ð ØÒ Ñ ØÒ ÓÒ ÙÐØØÓ Ø Ó ÒØØ ÈØÖ ÐÓÖ¹ Ò Ì ÅØØ ÄÙÙ Ø ÔÖÓ ÓÖ ËÔÔÓ ËÔÔÙ ÃÒ ÙÙÖÑÑØ ØÓ Ø ÙÙÐÙÚØ ÙØÒÒ ØÒØÐÐÒ ÓÔÔÐÐÐÒ ÓÒ ØÖÔØ ØÓÚØ ÔÐÙØ ÓÚØ ÙÙÖÐØ Ó ÐØÒ ÚÙØØÒØ ÑÓÒ ØÒ ÝÒØÝÔÖÓ Ò ÂÓÒ ÙÙ ØÑÑÙÙØ ÏÐÐÑÒ ÀÑÐÒÒ ÄÙÒØÓÑØÖÐ ÌÈ¹ÙÖ ÐÐ ½ ¾¼¼ ÌØÓÒ ØØÐÝØØÒ ÐØÓ ÂÓÒ ÙÙÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÏÐÐÑÒ ÀÑÐÒÒ Ú ËÁËÄÌ Ë ÐØ ½ ÅØÑØØ ÔÖÙ ØØØ ½½ ÄÓÓ ÝÑÓÐØ ½¾ ÂÓÙÓØ ½ ÊÐØÓØ ½ ÙÒØÓØ ½ ÆÙÑÖÓØÙÚÙÙ ½½ ½ ÌÓ ØÙ ÑÒØÐÑ ½½ ½ ÙÖ Ó ÌÖÒ ÒØØ Ø ÓÖÒÐÐÙÚÙØ ½ ½ ÃÖØÙ ØØÚ ÑØÑØ Ø ½ ¾ Ä ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑØ ¾½ ¾½ ÇÒÐÑ ÅÁÍ¹Ö ØÐÑ ¾¾ ¾¾ Ä ÒÒÐÐ Ò ÓÒÐÑÒ ØÝ ¾ ¾ Ä ÒÒÐÐ ØÒ ÓÒÐÑÒ ÖØÚÙÙ ¾ ¾ ÙÖ Ó ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ¾ ¾ ÌØÚ Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ½ ËÒÒÐÐ Ø ÐØ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ½ ËÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø ÐØ ½½ ËÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÚÒØÑÒÒ ½¾ ËÚÒÒÝ ÒØ ½ ÌÚÐÐ Ø ÓÙÓ¹ÓÔÖØÓØ Ú ÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÓÔÖ¹ ØÓØ ¾ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ½ ¾½ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ØÝ ¾ ¾¾ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÓÖÑÐ ÑÖØØÐÝ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÑÒÑÓÒØ ½ ÔÙ Ø ØÐÓÒ ÚÚÐÒ ¾ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÑÒÑÓÒØ ¹ÐÓÖØÑ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ½ ÙØÓÑØÒ ØÖÑÒ ÓÒØ ¾ ÀÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ǫ¹ùøóñøø ¾ ǫ¹ ÖØÝÑÒ ÔÓ ØÓ ÄÙ ÙØÓÑØØ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÀÙ Ð ØØÓ ËÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ ¾ ËÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÖÓØÙ Ø ¾ ÆÒ ÒÝØØ ÔØ ÒÒ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ÀÙÖ Ø ÓØ ÈÄ¹ ØÓ ØÙ Ò ÈÙÒÐÔÐ ½¼ ÙÖ Ó ËÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÓÚÐÐÙ ½½ ÀÖÓØÙ ÒÒÐÐ Ø Ð Ø ÃÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÔÒÓÙØÓÑØØ ½ ÃÓÒØ ØØØÓÑØ ÐÓÔØ ÐØ ¾ ËÒÒÐÐ Ø ÐØ ÓÒØ ØØØÓÑØ ÐÓÔØ ¾½ ÇÐÐ Ú ÑÑÐÐ ÐÒÖ Ø ÐÓÔØ ÙÖ Ó Ã ÚÐÓÔØ Ð ÄÒÒÑÝÖ¹Ö ØÐÑØ ½¼¾ ¼ ¼

2 ËÁËÄÌ Ú Ú ËÁËÄÌ ÈÒÓÙØÓÑØØ ½¼ ½ ÅÖØÐÑ ½¼ ¾ ÈÒÓÙØÓÑØÒ ÑÙÙÒÒÓ ØÝÒ ÔÒÓÒ ÙØÓÑØØ ½½ ØÖÑÒ Ø Ø ÔØÖÑÒ Ø Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ ½½ ÃÐÓÔÔÒ ÒÒÝ ÓÒÐÑ ½½ ½ ÂÓÓØ ½½ ¾ Â ÒÒÝ ÔÙÙØ ½½ Â ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÑÙÓÓ ØÑÒÒ ½¾¼ ÃÐÓÔÒ ÑÓÒ ÐØØ ÝÝ ½¾½ ÊÙÖ Ú Ø ØÒÚ ÒØÑÒÒ ½¾ ½ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÔ ½¾ ¾ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÒ ÒÒÝ ÓÐÑ ½¾ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÔÒ ÝÐÒÒ ÑÙÓØÓ ½¾ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÒ ÖÙÖ Ú Ø ØÒÚÒ ÒØÒ ÑÙÓÓ ØÑ¹ ÒÒ ÝÐ Ø ½ ¾ ÃÐÓÔÔÒ ÑÙÓÑÒÒ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓØÓÓÒ ½ ÄÁÁÌ ÁÊËÌ¹ ÇÄÄÇÏ¹ÓÙÓÒ Ð ÑÒÒ ½ ÄÄ ½µ¹ÐÒ ÚÚÑÑØ ÖÙ Ø ½ Ã¹ ÒÒÝ ÐÓÖØÑ ½ ÅÙÙÒÒÓ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ½ ØØÖÙÙØØÐÓÔØ ½ ½ ÈÖÙ ½ ¾ ÖØÑØØÒÒ Ð Ò ½¾ ½¼ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÓÑÒ ÙÙ ½¼½ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ ½¼¾ ÊØÚØ ÖØÑØØÓÑØ ÓÑÒ ÙÙØ ½ ½½ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÖÓØÙ Ø ½¾ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÓÚÐÐÙ ½ ½ ½ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÖÓØØÑØØÓÑØ ÐØ ½ ½ ÙÖÒ¹ÌÙÖÒÒ Ø ½ ¾ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ½¼ ¾½ ÓÖÑÐ ÑÖØØÐÝ ½¾ ¾¾ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ØÝ ÖØÝÑÚÓÒ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÐÒÒÙ ½ ½ ÅÓÒÙÖ Ø ÓÒØ ½ ¾ ÅÓÒÒÙ Ø ÓÒØ ½ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÓÒØ ½¼ ÊÓØØÑØØÓÑØ ÓÒØ Ø Ø ÐÓÔØ ½ ÊØÚÙÙ ÖØÑØØÓÑÙÙ ½ ½ ÊØÚØ ÓÒÐÑØ Ð ÖÙÖ ÚÒÒ Ð ¾¼¾ ¾ Ç ØØÒ ÖØÚØ ÓÒÐÑØ Ð ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ð ¾¼ ÊØÑØØÓÑÙÙ ¾¼ ÍÒÚÖ ÐÓÒ ÙÒÚÖ ÐÐ ¾¼ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓÙ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ØØÓÒÓÒµ ¾¼ ¾ ÑÖ ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ø Ð Ø ¾¼ ÍÒÚÖ ÐÐÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ¾½¼ ÌÝÐÙ ÖØÚÙÙ ¹ ÖØÑØØÓÑÙÙ ØÓ ØÙ Ò ¾½ ÙÖ Ó ÊØÚÙÙ ÖØÑØØÓÑÙÙ ÑØÑØ ¾½ ½ ÊÙÖ Ú Ø ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚØ ÓÙÓØ ÑØÑ¹ Ø ¾ ÐÒ ÔØÝÐÐ ÝÝ ÐÙ ¾½ ÃÖÐÐ ÙÙØØ ¾¾¼ ÃÓÒÖØØ ÖØÑØØÓÑÙÙ ØÙÐÓ ¾¾½ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ ¾¾½ ¾ ËÑ ØÙÐÓ È ÐÐÐ ¾¾¾ ¾½ ËÁËÄÌ Ú ÐÒÒ Ö ØÖØÑØÓ ÖØÑØØÓÑÙÙÒ ØÓ ØÑ ¾¾ ËÑÒØØ ØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ò ÖØÑØØÓÑÙÙ ¾¾ ÅÙØ ÖØÑØØÓÑ ÓÒÐÑ ¾¾ ÂÓØÒ Ù Ó ÖØÑØØÓÑ ÓÒÐÑ ¾¾ ÀÙ Ð ØØÓ ÇÒÐÑÒ ÔÐÙØÙ Ø ¾ ½ ÆÒ ØÓ ØØ ÖØÚÙÙÒ»ÖØÑØØÓÑÙÙÒ ÀÙÖ Ø ÓØ ¾ ÀÖÓØÙ ÖØÑØØÓÑÙÙ Ø ¾ ÄÓÔÔÙ ÒØ ¾ ½ ÇÒÐÑÒ ÚÙÒ ÖÚÓÒØ ¾ ¾ Ä ÒÒÒ ÚØÚÙÙ Ø ¾ ËÁËÄÌ ÂÓÒØÓ Ä ÒÒÒØÓÖ ØÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØØÓÒµ ØØÐ Ø ÑØÒ ÓÒÐÑ ÐÙÓØÐ¹ ÐÒ ÖØÚÙÙÒ ÚÙÒ ØÓÙÙÒ ÔÖÙ ØÐÐ ÒÒÒ ÙÒ ÖØ ØÒ ÃÙÚ ½µ Ä ÒÒÒØÓÖ ØÒ ÔÖÒØ Ø ØÒ Ó ¹ÐÙ Ò ½ Ä ØØÚÙÙÒ ØÓÖ ØÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØÐØÝµ ØÙØØÒ ÑØ ØØÓÓÒÐ¹ Ð ÝÐÔÒ ÚÓÒ ÖØ Ø ÙÒ Ú ÒÒØØÙ ÓÒÐÑ ÓÒ ÇÒ¹ ÐÑÒ ÚÙ ÑÖØÐÐÒ ÑÐÓ ÖÐÐ Ø ÓÐÐ Ò ÔÖÙ ØÐÐ ÙÒ ÑÓÒÑÙØ Ø Ð ÒÒÒÑÐÐ ÖØ Ù ØÖÚØÒ Ä Ð ØØÚÙÙÒ ØÓÖ ÒØ ÝÚ ÚØ Ø ÖØ ÙÒ ÐØÑ Ò ¾ Ä ÒÒÒ ÚØÚÙÙ ØÓÖ ØÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÓÑÔÐÜØÝµ ØÙØ¹ ØÒ ÙÒ ØÓ Ø ÓÒÐÑ ÚÓÒ ÖØ Ø Ä ÒÒÒ ÚØÚÙÙ ¹ ØÓÖ ÑÙ ØÙØØ ÐÓÖØÑÒ ÒÐÝÝ ÑÙØØ Ò ÑÖØÐÐ Ý ØØ Ò ÖØ ÙÐÓÖØÑÒ ¹ Ø ØÐÚØÚÙÙØØ ÚÒ Ø ÓÒÐÑÒ ÔÑÑÒ ØÔÙ Ò ¹ ØÐÚØÚÙÙ ÐÙÓ Ä ÒÒÒ ÚØÚÙÙ ØÓÖ ÒØ ÑÝ ÝÚØ ÚØ ÓÒÐÑÒ ÔÐÙØØÑ ØÓ Ò Ó ØÙÒÒØØÙÒ ÓÒÐÑÒ ½ ONGELA EI LASKENNALLINEN ONGELA LASKENNALLINEN ONGELA RATKEAVA ONGELA RATKEAATON ONGELA TEHOKKAASTI RATKAISTAVISSA EI TEHOKASTA RATKAISUA OSITTAIN RATKEAVA TÄYSIN RATKEAATON ÃÙÚ ½ ÇÒÐÑÒ ÐÙÓØØÐÙ ÌÑ ÐÙÒØÓÑÓÒ Ø ØØÐ Ð ÒÒÒØÓÖÒ Ò ÑÑ Ø Ó ¹ÐÙØØ Ð Ð ¹ ØØÚÙÙÒ ØÓÖ ÔÖÒ ÓÚØ Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑØ ÒÒ ÖØ ÙÒ ÑÒ Ø ÑÐÐØ ÓØ ÙØ ÙØÒ Ð ÒÒÒÑÐÐ Ã ØØÐÑÑ ÓÐÑ Ö Ð ÒÒÑÐÐ ÖÐÐ ÙØÓÑØØ ÔÒÓÙØÓÑØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ØÙØÑÑ ÑØ ÙÐÐÒ ÑÐÐÐÐ ÚÓÒ ÖØ Ø

3 ¾ ËÁËÄÌ ËÁËÄÌ ËÖÙÚÒ ØÖÒ ØØÐ ÖÒ ØØØÒ ÚÒÚ ÓÒÐÑ ÒÒ ÑÒ ÖØ ÙÝÖØÝ ËÖÙÚÒ ØÒØØ ÝÖØØ ÐØ ÓÒÒ Ó ØÖ Ø ÓÔ ¹ ÐÓÒ ÓÐÑÓÓØ ÙØÓÑØØ Ø ÊØ ÙÓÒ ÝØØÒÒ ÓÐÑÓÓ¹ Ò Ø ÑÖÓÒÓÒ ÒØ ØÙÐÓ ØÒÒ ØÓÒ Ø ÓÒÓ ÝØ ÝÚ ÝØØÝ Ú ÝÐØØÝ ÌØÚÒ ÓÒ ÖØ Ø ÓÒÓ ÒÒØØÙ ÑÖÓÒÓ Ý Ò ÐÓÔÒ ÑÙÒÒ ÙÙÐÙÙÓ ÒØÒ ÑÖØØÐÑÒ ÐÒµ ÌÖÒÒ ÓÒÐÑØ ÚÓÒ ØØ ÖÖÒ ½ Ä ÐÒÒ ÒÐÝÝ ÓÓ ØÙÙÓ ÑÖÓÒÓ ÓÐÑÓÓµ ÐÐÐ Ø Ó Ø ÊØ ÙÒ ÓÒ Ý ÒÖØÒÒ ÓÒ ÓÐÐ ÓÒ ÝØ Ò ÒØÓÙÓ ÐÓÔ¹ Ôµ ÚÒ ÖÐÐÒÒ ÑÙ Ø ËÁËÄÌ ËÁËÄÌ ¾ ÄÙ ÖÒØÒ ØÖ ØÙ ÓÓ ØÙÙÓ ÑÖÓÒÓ Ð ÐÐÐ Ø ÐÙ ÖÒ¹ Ø Ø Ë ØÒ ÖÒØÒ ÐÙÙÑÖ ÓÐ ÖÓØØØÙµ ÆÝØ ØÖÚØÒ ÓÒ ÓÐÐ ÒÒØØÙ ÒØÓÙÓ ÖØÓÒ ÔÒÓÑÙ Ø ÇÐÑÒ ØÓÑÒÒÒ ÑÙÐÓÒØ Ø Ø ÝØØÐÐ ÑØÒ ÓÐÑ ØÓÑ Ö ÝØ¹ ØÐÐ ÆÝØ ÓÒÒ Ñ ÑÖÓÒÓ ÓÓ ØÙÙ ÓÐÑÓÓ Ø ØØ Ò Ø Ø ÝØØ Ø ÃÓÒÐÐ ÓÒ ÒÒØØÙ ÒØÓÙÓ ÖØÓÒ ØÝÒÙ ÓÐÐ ÚÓ ÑÙÐÓ ÓÐÑ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ ÔÝ ØÝÝ ÓÐÑ ÐÐ ÝØØÐÐ ÌØ ÓÒÐÑ ÚÓ Ò ÖØ Ø ÑÒ Ø Ä ØØÚÙÙÒ ØÓÖ ÓÒÐÑÒ ÚÙØØ ØÖ ØÐÐÒ Ú ØÚÒ ÓÖÑÐÒ ÐØÒ ÒÒÐØ ÁÒ ÓÒ ØØ ÓÒÐÑÒ ÐÙÔÖ Ò ÓÒÐÑÒ Ø ÖÚÓÑÑ ÑÒ ÐÔÓÑÑÒ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÚÙÒ ÈØ ÓÒÐÑÒ Ú ØÙ ÓÒ ÚÒ ÝÐÐ Ø ÑÖ Ó ÐÙÔÖÒÒ ÓÒÐÑ ÓÒ Ð x + y ÒÒ ÒÝØ ÖØ ÑÑÒ ÚÒ ÓÒÐÑÒ ÓÒÓ x + y = z ËÐÚ Ø ÐÙÔÖÒÒ ÓÒÐ¹ Ñ ÓÒ ÚÒØÒ ÝØ Ú ÙÒ ÔØ ÓÒÐÑ ÓØÒ ÑÑ ÐÖÒ ÓÒÐ¹ ÑÒ ÚÙÐÐ ÈØ ÓÒÐÑ Ú ØÚ ÓÖÑÐ Ð ÓÒ ÓÙÓ ÑÖÓÒÓ x + y = z ØÒ ØØ ÝØÐ ÔØ ÆÝØ ÖØØ ØÙÒÒ Ø ÙÙÐÙÙÓ ÒÒØØÙ ÑÖÓÒÓ w ÐÒ ÀÙÓÑ ØØ ØØÓÓÒÐÐ ÐÙÚÙØ ØØÒ ÑÖ¹ ÓÒÓÒ ØØÓÒÓÒµ ÓØÒ ÑÒ ØÝØÝÝ Ò Ò ØÙØ ØØ w ÓÒ ÑÙÓØÓ x+y = z ØØÒ ØÖ Ø ØØ ÑÖÓÒÓÒ x y ØØÑÒ ÐÙÙÒ ÙÑÑ ÓÒ zò Ø¹ ØÑ ÐÙÙ ÃÙÒ ÓÐÑÑ ÐØÒØ ÐÙÔÖ Ø ÓÒÐÑ Ú ØÚÒ ÓÖÑÐÒ ÐÒ ÖØØ ØÙØ ÙÒ Ú Ò ØÙÒÒ ØÙ ÓÒ ÃÐØ ØÒ ÔÖÒØ Ø ÒÐÒ ÚÙ ÐÙ¹ ÓÒ ÓØ ÑÙÓÓ ØÚØ ÓÑ ÝÒ ÐÖÖÒ ÃÙÚ ¾µ ØÝÝÔÔ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÖÓ ØÔÙ ÖÐÐ Ø ÐØµ ØÝÝÔÔ ¾ ÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ØÝÝÔÔ ½ ÓÒØ ØÐÐ Ø ÐØ ØÝÝÔÔ ¼ ÖÓØØÑØØÓÑØ ÐØ ÖÙÖ Ú Ø ÐØ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙ¹ ÑÖÓØÙÚØ ÐØ ÓÑ ÝÒ ÐÖÖ ÓÒ ÐÙÒ ÐØØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ Ñ ØÒ ÔÙÙÑÐÐµ ÐÐÐ ØØÓÒ ØØÐÝØØÐØ ÓÚØ ÓÙØÙÒØ ÑÒ ØÝÒØÑÒ Ø Ä ÒÒÒØÓÖÒ ÒÒÐØ ÓÐÐÐ ÐÙÓ ÓÚØ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÓØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÓØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø rekursiivisesti numeroituvt kielet rekursiiviset kielet tyyppi 0 rjoittmttomt kielet tyyppi 1 tunnistus: kontekstilliset kielet RA kone, ohj.kielet Turing kone + äärell. työnuh tyyppi 2 kontekstittomt kielet luonnoll. kielet? tunnistus: tyyppi 3 pinoutomtti säännölliset kielet esim. plindromit tunnistus: äärellinen utomtti äärelliset (rjll. muisti) kielet rtkemttomt ongelmt esim. pysähtymisongelm tunnistus: universli Turing kone (pysähtyy kyllä tpuksess ) Turing kone + ääretön työnuh (pysähtyy in) ÃÙÚ ¾ ÓÑ ÝÒ ÐÖÖ ØÝÒÒØØÝÒ ÖÙÖ Ú ØÒ ÐØÒ ÐÙÓÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÖÓØØÑØØÓÑØ ÐØ ÓØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ Ä ØØÓÒ ØØÐÝØØÐØ ÓÚØ ÒØ ÖÓØØÑØØÓÑÒ ÐØÒ ÐÙÓÒ ØÒ ÑÖØØÚ Ø ÖÐ Ò Ó Ò ÖÙÖ Ú Ø ÐØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ò ÔÝ ØÝÚÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ Ð ÒØ Ú ØÚØ ÖØÚØ ÓÒÐÑØ ÊÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚØ ÐØ ÚØ Ò ÓÐ ØÙÒÒ ØØØÚ ÐÐ Ú ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÚÐØØÑØØ ÔÝ Ý ÐÐ ÝØØÐÐ ÀÖÖÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ÚØ ØÝ Ò ÖØÑØØÓÑØ ÓÒÐÑØ ØÙÒÒ ØÑØØÓÑØ ÐØµ

4 ËÁËÄÌ ÄÙÙ ½ ÅØÑØØ ÔÖÙ ØØØ Ì ÐÙÚÙ ÖÖØÒ ÐÝÝ Ø ÓØÒ ÑØÑØØ Ø ØØØ ÙØÒ ÐÓÓ Ø ÝÑÓÐØ ÓÙÓØ ÖÐØÓØ ÙÒØÓØ ÓÙÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚÙÙ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚÙ¹ Ù ØÐÐÒ ÝÝÐÐ ÑØÑØØ ØÓ ØÙ ÑÒØÐÑ ½½ ÄÓÓ ÝÑÓÐØ ÇÐÓÓÒ P Q ÔÖÓÔÓ ØÓØ Ð ØÓØÙÙ ÖÚÓ ÐÙ Ø ÓØ ÙÚÚØ ÓÒÒ ÒØ¹ ÐÒ ÑÖ P ÃÙÙ ÓÒ ÙÙ ØÓ QÆÔÓÐÓÒ ÙÙ ÃÙÙ ÌÐÐÒ P Ø Q Ø ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÙÙ ÖÒØ ÔÖÓÔÓ ØÓØ ÙÖÚÐÐ ÐÓÓ ÐÐ ÓÔÖØØÓÖÐÐ ÆØÓ P P ÓÒ ÔØÓ ÓÐÑÓÒØÐ ÒÓØ P P µ ÙÒØÓ P Q ÓÓ P Ø Q ÓÒ ØÓ Ø ÑÓÐÑÑØ ÓÚØ ØÓ µ ÓÐÑÓÒ¹ ØÐ P ÓÖ Q P Qµ ÃÓÒÙÒØÓ P Q P ØØ Q ÓÚØ ØÓ P Ò Q P&&Qµ ÁÑÔÐØÓ P Q Ó P ÒÒ Q P Qµ ÚÚÐÒ P Q P Ó ÚÒ Ó Q (P Q) (Q P)µ Ä Ù Ò ØÖÚØÒ ÝÑÓÐØ ÙÒÚÖ ÐÚÒØØÓÖ ÐÐ Ó ÐÐµ ØÒ ÚÒØØÓÖ ÓÒ ÓÐÑ ÓÐÐÒµ ÑÖ x N Ó ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ x ÔØ x N ÓÐÐÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ x ÔØ ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ½ ÍÆÃÌÁÇÌ ½¾ ÂÓÙÓØ ½ ÙÒØÓØ ÂÓÙÓ ÓÒ ÓÓÐÑ ÓÐÓØ Ð ÓÙÓÒ ÐÓØ ÑÖ A = {1, 2,..., n} Ø Σ = {,, c,..., z} ÅÖØÒ i A i ÙÙÐÙÙ ÓÙÓÓÒ Aµ ÂÓÙÓÒ ÖÓ ØÔÙ ÓÒ ØÝ ÓÙÓ Ó ÐÐ ÝØÒ ÐÓØ ÈÖÙ ÓÙÓ ÓÒ ÝØÝ Ø ÖÔ¹ ÔÙÚµ ÓÓÐÑ ÓÐÓØ Ó ÓÒ ÚÐØØÙ ØÖ ØÐÙÒ ÓØ ÑÖ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ N ÖÐÐÙÚÙØ R Ø ÖÒÑÖØ ÂÓÙÓÒ ÚÐÐÐ ÚÓ ÚÐÐØ ÙÖÚ ÙØØ ½ A ÓÒ BÒ Ó ÓÙÓ A B x(x A x B) A ÓÒ BÒ ØÓ Ó ÓÙÓ A B A B A B ÅÖØÒ Ó Ù A B AÒ BÒ Ý Ø A B = {x x A x B} AÒ BÒ ÐÙ A B = {x x A x B} AÒ BÒ ÖÓØÙ A \ B = {x x A x / B} AÒ ÓÑÔÐÑÒØØ ÔÖÙ ÓÙÓ E A = E \ A AÒ BÒ ÖØ ÒÒ ØÙÐÓ A B = {(x, y) x A y B}, Ñ ÙÒ (x, y) ÓÒ Ö ØØØÝ ÔÖ ÓÙÓÒ A ÔÓØÒ ÓÙÓ P(A) = {X X A} Ñ Ó A = {,, c} ÒÒ P(A) = {, {}, {}, {c}, {, }, {, c}, {, c}, {,, c}}. ÊÐØÓØ ÊÐØÓ R ÙÚ Ò Ø Ù ÑÑÒµ ÓÙÓÒ ÐÓÒ ÚÐÐÐ ÚÐÐØ Ú ÙØ¹ Ø ÑÖ ÓÙÓÒ A B ÚÐÒÒ ÒÖ¹µÖÐØÓ ÑÖØÐÐÒ ÓÙÓÒ A B Ó ÓÙÓÒ R = {(, ) A B R(, )}. ÑÖ ÓÐÓÓÒ A B ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙÙ R ÓÒ ÙÖÖÐØÓ R(, ) Ó ÚÒ Ó = + 1. ÌÐÐÒ ÖÐØÓ ÓÓ ØÙÙ ÔÖ Ø {(0, 1), (1, 2), (2, 3),...} ÊÐØÓÒ R A B ÒØ ÖÐØÓ R 1 B A ÓÒ ÖÐØÓ R 1 = {(, ) (, ) R}. ÙÒØÓ ÓÒ ÖÐØÓÒ ÖÓ ØÔÙ Ó ÐØØ ÒÒØÙÒ ÓÙÓÒ Ó Ò ÐÓÓÒ ØÓ Ò ÒÒØÙÒ ÓÙÓÒ ÑÖØÝÒ ÐÓÒ ÅÖØÐÐÒ ÙÒØÓ ÙÖÚ Ø ÅÖØÐÑ ½½ ÇÐÓÓÒ f ÓÙÓÒ A B ÚÐÒÒ ÖÐØÓ f A B Ó ØÝØØ ÙÖÚØ ØÓ ½ ÅÖØØÐÝØÓµ ÂÓ Ø AÒ ÐÓØ x Ú Ø BÒ ÐÓ y Ð x A y B (x, y) f. ¾ ØØ ÝÝ ØÓµ ÂÓ Ø AÒ ÐÓØ x Ú Ø ÚÒ Ý ÐÓ y B Ð x A, y1, y2 B ((x, y1) f (x, y2) f y1 = y2. ÌÐÐÒ f ÓÒ ÙÒØÓ Ð ÙÚÙ f : A B ÑÖØØÐÝÓÙÓ Ø A ÑÐÓÙÓÓÒ B ÙÚ ½½µ ÅÐ ÙÒØÓ f ÙÚ Ô ØÒ x A Ô ØÐÐ y B ÒÓØÒ yø xò ÙÚ ÅÖØÒ y = f(x) (x, y) f ÂÓ C A ÒÒ ÓÙÓ f(c) ÓÒ CÒ ÙÚÓÙÓ f(c) = {f(x) x C}. ÙÒØÓÒ f : A B ÖÚÓÓÙÓ ÓÒ ÑÖØØÐÝÓÙÓÒ A ÙÚÓÙÓ f(a) ÂÓÙÓ f 1 (D) ÓÒ DÒ ÐÙÙÚ f 1 (D) = {x f(x) D}, Ñ f 1 ÓÒ fò ÒØ ÖÐØÓ ÊÐØÓ f 1 ÓÒ fò ÒØ ÙÒØÓ Ð Ò¹ Ø ÙÚÙ Ó f 1 ØÝØØ ÙÒØÓÒ ÓØ ÙÒØÓÒ ÖÓ ØÔÙ ÓÚØ ÒØÓ ÙÖØÓ ØÓ ÓØ ÑÖØÐÐÒ ÙÖÚ Ø ÙÒØÓ f : A B ÓÒ ÒØÓ Ó Ó ÐÐ ÖÚÓÓÙÓÒ ÙÚ¹ÐÓÐÐ ÓÒ ÚÒ Ý ÐÙÙÚ Ð x1, x2 A (f(x1) = f(x2) x1 = x2). ÌÓ Ò ÒÓÒ Ù ÑÔ AÒ ÐÓ ÙÚÙØÙ ÑÐÐ BÒ ÐÓÐÐµ

5 ½¼.... ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ½ ÆÍÅÊÇÁÌÍÎÍÍË ½½ f N A x1. x2. B f(a). y2. y1= f(x1)=f(x2) ÃÙÚ ½½ A = {x1, x2} ÓÒ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝÓÙÓ B = {y1, y2} ÑÐÓÙÓ f(a) Ò ÖÚÓÓÙÓ f ÓÐ ÒØÓ Ó x1 x2 ÙÚÙØÙÚØ ÑÐÐ Ô ØÐÐ ÙÖØÓ Ó ÐÐ BÒ Ô ØÐÐ ÓÐ ÐÙÙÚ A ÙÖØÓ Ó Ó ÐÐ BÒ ÐÓÐÐ ÓÒ ÐÙÙÚ A Ð y B x A(y = f(x)). Ì B ÓÐÐ ÓÖÔÓ ÐÓØµ ØÓ Ó f ÓÒ ÙÖØÓ ØØ ÒØÓ ÀÙÓÑ f ÓÒ ØÓ fðð ÓÒ ÒØ ÙÒØÓ ÎÖ ÒÒ ØÓ ÓÒ ÝÝÐÐÒÒ ÐÐ ÑÖØØÐ Ý ¹ÝØÒ¹ÙÚÙ Ò Ò ÓÙÓÒ ÚÐÐÐ ËØ ÝØØÒ Ñ Ó ÓØØÑÒ ØØ ÓÙÓ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ x1 x3. x2 f y1 y2 x1 x2 ÃÙÚ ½¾ ËÙÖØÓ ÒØÓ ØÓ Ñ ½ f : Z Z + {0} f(x) = x ÓÒ ÙÖØÓ ÑÙØØ ÒØÓ Ñ ¾ f : Z + Q f(x) = 1 ÓÒ ÒØÓ ÑÙØØ ÙÖØÓ x f Ñ f : R + R + f(x) = x 2 ÓÒ ØÓ ÓÒ ÒØ ÙÚÙ ÓÒ f(y) = y y2 y1 y3 x1 x2 f y2 y1 Z ÃÙÚ ½ ÑÖ ÓÓÒ ÐÙÚÙØ ÚÓÒ ÒÙÑÖÓ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ½ ÆÙÑÖÓØÙÚÙÙ ÅÖØÐÑ ½¾ ÂÓÙÓ X ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ Ó ½ X ÓÒ ÖÐÐÒÒ Ø ¾ ÇÒ ÓÐÑ ØÓ f : N X ÓÐÐ X = {f(n) n N}. ÁÒØÙØÚ Ø ØÐÐÒ XÒ ÐÓØ ÚÓÒ Ö Ø Ò Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ X = {x0, x1, x2,...} ÑÖ ÔÖØØÓÑÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ X = {1, 3, 5,...} ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÐÐ ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ØÓ f : N X f(n) = 2n + 1. ÂÓ X ÓÐ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÖ ÖÐÐÙÙÒ ÓÙÓ R ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓÒ N ÔÓØÒ ÓÙÓ P(N) ÓÚØ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚ ½ ÌÓ ØÙ ÑÒØÐÑ ËÙÖÚ ØÐÐÒ ÓØÒ ÝÝÐÐ ØÓ ØÙ ÑÒØÐÑ ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ØÖÚ¹ ØÒ Ù ÑÑÒ Ò ÓÒ ØÖÙØÓÑÒØÐÑ ÓÒ ÓÐÐ ÙÙ ÚÖÑ ØØÒ ÒÙ¹ ØÓØÓ ØÙ ÐÐ Î ØÚØØÐÐ ØÓ ØÙ Ø ÝØØÒ ÑÝ ÑÓÒ ØÖ ØÙÐÓ¹ ½¾ ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ½ ÌÇÁËÌÍËÅÆÌÄÅÁ ½ ÌÓ ØÙ ÑÒØÐÑ ÓÒ ØÐØÝ ÚÒÒÓÐÐ Ø ÒÐ ËÓÐÓÛÒ Ö ÀÓÛ ØÓ Ö Ò Ó ÔÖÓÓ ÃÓÒ ØÖÙØÓÑÒØÐÑ ÍÒÚÖ Ð¹ ØÒ ÚØØØ ÐÐ x ÔØ P(x) ÓÒ ÓÐÑ x ÓÐÐ Ô¹ Ø P(x)µ ØÓ ØØÒ ÝÐÒ Ò ÓÒ ØÖÙØÓÑÒØÐÑÐÐ Ó ØÙÓØØÒ ÐÙØ¹ ØÙ ÓÑÒ ÙÙ P ÐÐ Ó ÓØÑÑ ØØ ÔÖØØÓÑÒ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÓÒ ØÖÙÓÑÐÐ ÙÒØÓÒ Ó ÒÙÑÖÓ ÔÖØØÓÑØ ÓÓÒ ÐÙ¹ ÚÙØ ÂØÓ ØÙÐÑÑ ÑÑ Ó ÓØØÑÒ ØØ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ÑÙÙÒØ ØÖÑÒ Ø ØØ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ØØ ÑÓÒÒÙ Ø ÑÓÒÙÖ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÓÚØ ÝØ ÚÚÓ ÙÒ ØÒÖÑÐÐ Ø ÍÒÚÖ ÐÚØ ÓÒ ÑÙÓØÓ x X P(x) ÌÓ ØÙ ØÙÐ Ó ÓØØ ØØ ÑÐÚÐØ ÐÐxÐÐ ÔØ ÓÑÒ ÙÙ P(x) ÃÓÒ ØÖÙØÚ ØÓ ØÙ ÐÑÑ ÓÒÙÒ ÑÒØÐÑÒ Ñ ÐÓÖØÑÒµ Ó ØÙÓØØ x Ø P(x)Ò ÌÝÐÐ ØÓ ØÙ ØÝØÝÝ ÚÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓÐÐ ØØ ÑÒØÐÑ ØÓÐÐ ØÙÓØØ P(x)Ò ÐÐ x ÑÖ ½½ ÇÐ S = {x R (x 2 3x + 2 0)} T = {x R 1 x 2} ÎØ S = T ÌÓ ØÙ Ç ÓØØÒ Ò Ò ØØ S T Ð x : x S x T ÌÖ ØÐÐÒ ÑÚ x S x 2 3x+2 = (x 2)(x 1) 0 (x 2) 0 (x 1) 0 Ø (x 2) 0 (x 1) 0 Ò ÑÑÒÒ ØÔÙ Ô Ó Ò Ó x 2 ÚÓ ÓÐÐ x 1µ ÓØÒ ØÝØÝÝ ÓÐÐ (x 2) 0 (x 1) 0 Ë Ô x T Ç ÓØØÒ ØØÒ ØØ T S ÅÐÚÐØ ÐÐ x T ÔØ 1 x 2 ÂÓ x = 1 Ø x = 2 ÓÒ x 2 3x + 2 = 0 ÂÓ 1 < x < 2 ÒÒ x 2 3x + 2 < 0 Ë x S ØÒ ÐÙ Ò x X P(x) ØÓ ØÙ ÓÒ ÚÐÒ ÐÔÓÑÔ ÖØØ ÐÝØ Ö¹ ÚØ ØÙÓØØµ Ý Ò ØÐÐÒÒ x ÓÐÐ ÐÙØØÙ ÓÑÒ ÙÙ ÔØ ÑÖ ½¾ ÎØ ÇÒ ÓÐÑ ÐÙÙ x R 2 x < x ÌÓ ÖÚØÒ ÐÙÙ x = = 1/2 2 = 1/4 < 2 Ð ÓÑÒ ÙÙ ÔØ ÀÙÓÑ ØØ ÑÐÐ ØÔ ÚÓ Ó ÓØØ ÙÒÚÖ ÐÐÙ Ò ÔØÓ ÅÙÓØÓ x X P(x) ÓÐÚ ÚØ ÓÒ ÔØÓ Ó ÐÝØÝÝ Ý Ò Ú Ø ÑÖ ÓÙÓ Ø X ÓÐÐ ÚØ Ô ÑÖ ÚØ Ã ÐÒÒÙØ Ó ÚØ ÐÒØ ÓÒ ÔØÓ Ó ÑÖ ÔÒÚÒØ ÚØ Ó ÐÒØ ÅØÑØØÒÒ ÒÙØÓ ÅØÑØØ Ø ÒÙØÓØ ÝØØÒ Ù Ò ÓÒ ØÖÙØÓÑÒØÐÑÒ ØÙÒ ÚÖÑ ¹ ØÑÒ ØØ ÐÝØØÝ ÑÒØÐÑ ØÓÐÐ ØÙÓØØ ÐÙØÙÒ ÓÑÒ ÙÙÒ ÐÐ ÓÙÓÒ ÐÓÐÐ ÌÙÐÑÑ ÑÖ ØÓ ØÑÒ ÒÙØÓÐÐ ØØ ÖÐÐ Ò Ù¹ ØÓÑØÒ ØÖÑÒ ÓÒØÑÒØÐÑ ØÓÐÐ ØÙÓØØ ÚÚÐÒØÒ ØÖÑÒ Ø Ò Ù¹ ØÓÑØÒ ÃÐ Ø ÒÙØÓØ ÝØØÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ Ø ÒÒ Ó ÓÙÓÐÐ ÑÙØØ Ø ÚÓÒ ÓÚÐØ ÑÐÐ ØÒ ÒÙÑÖÓØÙÚÐÐ ÓÙÓÐÐ ÇÐÐÐ Ø ÓÒ ØØ n ØÔÙ ÚÓÒ ÓØÒÒ ÔÐÙØØ ÓÓÒÒ ÐÐ Ø ØÔÙ Ø ÀÐÙØÒ ØÓ Ø ØØ ÓÒ ÚØ P(n) ÔØ ÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ n N ÎØ ØÓ ØØÒ Ó ½ ÈÖÙ ØÔÙ n = 0 ÌÓ ØØÒ ØØ ÚØ ÔØ ØÔÙ P(0) ¾ ÁÒÙØÓ Ð ÌÓ ØØÒ ØØ ÐÐ n P(n) P(n + 1) ÃÓ Ø ½ ¾ ÙÖ ØØ ÚØ ÔØ ÐÐ n N P(0) ÔØ Ó Ø Ò Ò¹ ÙØÓ ÐÐÐ P(1) Ø Ø ÔÙÓÐ ØÒ P(2) Òµ ÁÒÙØÓ Ð ØÓ ØØÒ ÝÐÒ ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ò ÚÙÐÐ ÇÐØØÒ ØØ P(n) ÔØ ÐÐ n k Ç ÓØØÒ ÚØ ØÔÙ n = k + 1 ÑÖ ½ ÎØ Σi=1 n i = n2 +n 2 n 0 ÌÓ ØÙ ½ n = 0 Σ n i=1 i = 0 = ¾ ÁÒÙØÓ¹ÓÐØÙ k N ÚØ ÔØ ÐÐ n k ÌÔÙ n = k + 1 : Σ k+1 i=1 i = k + (k + 1) ÇÐ ÑÙÒ Σ k i=1 i = k2 +k ÓØÒ 2 Σ k+1 i=1 i = k2 +k + (k + 1) = (k+1)2 +(k+1) 2 2 ÀÙÓÑ ØØ Ð ØÔÙ ÓÒ Ò ÔÒÒ ÐÓ ÓÐÐ ÓÑÒ ÙÙ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÑÖ ÚØØ ÐÐ ÓÓÒ ÐÙÚÙÐÐ n 5 ÔØ 2 n > n 2 Ð ØÔÙ ÓÒ n = 5 n = 0 Ò Ò ØÝØÝÝ ØÖ Ø ØØ 2 5 > 5 2 ØØÒ Ó ÓØØ ØØ Ó 2 n > n 2 ÔØ ÒÒ ÑÝ 2 n+1 > (n + 1) 2 ÔØ

6 ½ ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ½ ÃËÃÍÊËÁÇ ÌÊÆËÁÆÁÁÌÌÁËÌ ÇÊÁÆÄÁÄÍÎÍÌ ½ Ô ÙÓÖ ØÓ ØÙ ÌÓ ØÙ ÒØØ ÐÐ Ð Ú ØÚØØÐÐµ Ô ÙÓÖ ØÓ ØÙ Ð ØÓ ØÙ Ú ØÚØØÐÐ ÓÒ ÖØØÒ ÒÔÔÖ ØÓ ÑÒØÐÑ ÓØ ØÙÐÑÑ ÝØØÑÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ØÙÐÓ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÓÚÐ¹ ÐØØ ÒØØ ÑÒØÐÑ ÓÚÐÐØÒ ÑÝ ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØ ¹ ÓØ ØÖÚØ ÑÑ Ó ÓØØÑÒ ØØ Ð ÒÒÐÐ ÓÒÐÑ ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚÒ ÑÓÒØ ÀÐÙØÒ ØÓ Ø ÚØ Ó P ÒÒ Q ÇÐØØÒ P ØÒ Ú ØÚØ Q ÅÐ Ò Ø ÚÓÒ ÓØ Ö ØÖØ ÓÒ ÚØ ØÓ ÌÑ ÔÖÙ ØÙÙ Ò ØØ ÑÔÐØÓ P Q ØÓ ÑÙÙÐÐÓÒ ÔØ ÙÒ P Q P Q ( P Q) (P Q)µ ÀÙÓÑ ØØÑÑ Ø ØÙØÒ Ñ Ö ØÖØ ÐÙØÒ ÓØ ÑÖ ½ ÇÐÓÓÒ U ÖØÒ ÓÙÓ S Ò ÖÐÐÒÒ Ó ÓÙÓ T SÒ ÓÑÔÐÑÒØØ U ÎØ T ÓÒ ÖØÒ ÌÓ ØÙ Î ØÚØ T ÓÒ ÖÐÐÒÒ ÃÓ S T ÓÚØ ÖÐÐ ÓÒ ÑÝ U ÖÐÐÒÒ Ñ ÑÖØ Ö ØÖØ U ÓÐ ÖØÒµ ÌØÚ ÃÙÒ ØÓ Ø Ø ÚØØÒ ÅÐÑ ÓÒ ÚÒØÒ Ñ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ Ù Ø Ô Ò ÀÙÓÑ ÃÓÒØÖÔÓ ØÓ ÒÒÐÐ P Q Q P ÚÓ ÐÙÔÖ Ò ÐÙ Ò ÑÙÙØ¹ Ø ØÓ Ò ÑÙÓØÓÓÒ Ó ÓÒ Ó Ù ÐÔÓÑÔ ØÓ Ø ½ ÙÖ Ó ÌÖÒ ÒØØ Ø ÓÖÒÐÐÙÚÙØ ÌÖÒ ÒØØ Ø ÓÖÒÐ¹ Ð Ö ØÝ ÐÙÚÙØ ØÖÓØØÚØ ÖØØÑ ÐÙÙ ÓÐÐ ÐØ ÚÓÒ ÑÖØÐÐ Ö ØÝ ÅÑ Ú ÀÐÖØ ÓÖ ÒØÓÖ ÃÙÖØ Ð ÊÙÝ ÊÙÖ ÓÚØ ØÖ ØÐÐØ ØÐÐ Ò ÐÙÙÒ ÐØØÝÚ ÓÒÐÑ ω ÇÑ ω Ð ℵ0 Ð¹ÒÓÐÐµ ÓÒ ÙÙÖÒ ÒÓÖÑÐ Ö ØÝ ÐÙÙ Ø ÐÙÙÓÒÓÒ 0, 1, 2, 3,... ÙÙÖÒ ÐÓ lim n ω ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ÙÖÚ Ø ω ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÐÒÒ ÐÙÙ ÓÐÐ + 1 = Ñ 1 + ωω 2ω = ω ωðð ÚÓÒ ÙØÒÒ ÑÖØÐÐ ØÓÑÚØ ÝØÒ¹ ÖØÓÐ Ù ÙÙ Ò ØÖÒ ÒØ¹ Ø ØÒ ÐÙÙÒ ÒÖÓÑ ËÓÚØÒ ØØ ω+1 ωò ÙÖ limn ω(ω+n) = ω + ω = 2ω ÆÝØ limn ω(ω 2 + n) = ω 3 limn ω(ω n) = ω ω = ω 2 ËÑÓÒ Ò ω 3, ω 4,..., ω ω ω 2 ω ω ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ÙÖÚ Ø ω 2 ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÐÒÒ ÓÖÒÐÐÙÙ ÓÐÐ ω + = ω ω ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ÓÖÒÐÐÙÙ ÓÐÐ ω = ÌÑ ÚÓÒ ÖÐÐ ÙÖÚ Ø ω ω ω = ω ω+1 = ω ω Ó 1 + ω = ωµ ÀÙÓÑ ÌÖÒ ÒØØ ØÒ ÐÙÙÒ ÝØÒ¹ ÖØÓÐ Ù ÚØ ÓÐ ÚÒÒ 1+ω = ω ω + 1 ǫ 0 Ô ÐÓÒ¹¼ ÎÐ ÙÙÖÑÔ ÐÙÙ Ò ÓÒ ØÖÙÓÑÐÐ ÐÙÙ ÐÐ ÔÓØÒ ÒÓÖÓ¹... ØÙ ÐÐ Ø ω ωωω ÅÖØÐÐÒ ǫ0 Ò ÑÑ ÓÖÒÐÐÙÚÙ ÓÐÐ ω = ǫ0 ÚÓÒ ÙÚÐÐ ÔÖØÒ ÓØØÑÐÐ ÝØØÒ ØØÖØÓ¹ÓÔÖØÓ ØÖÓØÙÒ Òµ Ó ØÖÓØØ Ò ¹ÖØ Ø ÔÓØÒ Ð ÔÓÒØÐÔÒÓ... Ó ¹ ØÓ ØÙÙ ÖØ ÌØÖØÓ¹ÓÔÖØÓÐÐ Ò ÒÓÔ Ø ÙÙÖ ÐÙÙ Ñ 3 10 = 10 ½¼ ÑÐÖ ½ ÔÖ ½¼ ÑÐÖ ¼µ 2ω = ω ω 3ω = ω ωω ÆÝØ ǫ0 = ω ω ÎÐÒ ÙÙÖÑÔ ÓÖÒÐÐÙÙ Ò ÐÐ ØØÖØÓ¹ÓÔÖØÓÐÐ ℵ 1 Ð¹½ ℵ1 ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ¹ÓÖÒÐÐÙÙ Ø ℵ1 Ø ÐÓ Ø ÓÓ ØÙÚ ÓÙÓ ÚÓ ÑØÒÒ Ö Ø ÒÙÑÖÓÖ ØÝ Ò ℵ1Ò ÑÖØÐÑ ÔÖÙ ØÙÙ ÑØÚÙÙÒ ØØ Ò ËÒÓØÒ ØØ ÓÙÓØ A B ÓÚØ ÝØ ÑØÚ Ó ÓÒ ÓÐÑ ØÓ f : A B Ø ÙÒØÓ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÐÐ AÒ ÐÓÐÐ Ó Ø BÒ ÐÓØ Ú Ø Ø ÑÐÐÒ Ý AÒ ÐÓµ ÅÖØÐÐÒ ℵ1 ÙÖÚ Ø ℵ1 ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ÓÖÒÐÐÙÙ Ó ÓÒ ÑØÚÑÔ ÙÒ ω Ì ÓÐ ÓÐÑ ÑØÒ ØÓØ Ó ÙÚ ℵ1 ÐÓØ ωðð ÐÓÐÐ ÀÐÖØÒ ÓØÐÐ ℵ1Ò ÙÙÖÙÙ ÚÓÒ ÝÑÑÖØ ÀÐÖØÒ ÓØÐÐÚÖØÙ Ò ÚÙÐÐ ÀÐÖØÒ ÓØÐ¹ Ð ÓÒ ω ÙÓÒØØ ÓØ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ 0, 1, 2, 3,... ÀÐÖØÒ ½ ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ½ ÃÊÌÍËÌÀÌÎÁ ÅÌÅÌÁÁÃËÌ ½ ÓØÐÐ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÐÒÒ ØØ ØÝØÝØØÝÒÒ Ò ÑØÙÙ ÚÐ ÚÖØ ÙÒ ÓÙÙ ÑÒ ÙÓÒØØÒ ÇÐØØÒ ÑÖ ØØ ÓØÐÐ ÓÒ ω ÚÖ Ø Ý Ù Ò ÙÓÒ ÓØÐÐÒ ÔÙÙ ÚÐ Ý ÚÖ ÃÙÒ ÒØ ÚÓÒ ÑÓØØ ÀÐÔÓ Ø ÎÖ ÓØØÒ ÙÓÒ Ò 0 Ó Ò ØÝ¹ ÖØÑÐÐ ÚÖ 0 ÙÓÒ Ò 1 Ó ÔÙÓÐ ØÒ Ò ØÝ ÓØØÑÐÐ ÚÖ 1 ÙÓÒ Ò 2 Ò ÒØÔ Ó ÓØÐÐÒ ÔÙÙ ωò ÑØÐÒ ÙÖÙ ÆÝØ ÚÓÒ ÓØØ Ò ÑÑ Ø ω ÚÖ Ø ÔÖÐÐ Ò ÙÓÒ Ò ÙÙØ ω ÚÖ Ø ÔÖØØÓÑÒ ÙÓÒ Ò ËÑÓÒ ÚÓÒ ÓÔÚÐÐ Ö ØÐÝÐÐ ÓØØ ω 2 ω ω Ø ÓÔ ǫ0 ÚÖ Ø ÌÑÒ Ù ÓÑØØÓÑÒ ÓØÐÐÒ ÑÓØÙ Ô ØØÐÐ ÓÒ ÙØÒÒ Ö ÒÑØØÒ ℵ1 ℵ1 ÓÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÐÒÒ ÐÙÙ ÓÒ ÙÙÖÙ Ø ÑØÙ Ø¹ ÓÙÓ ÓØÐÐÒ ÑØÙÑÒ ÑÐÐÒ Ö ØÐÝÐÐ ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØØ ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØØ ÓÒ ÒÔÔÖ ÑÖ Ú ØÚØØÐÐ ØÓ ØÑ ¹ Ø ÌÙÐÑÑ ÝØØÑÒ Ñ ÑÒØÐÑ ÙÒ Ó ÓØÑÑ ØØ Ð ÒÒÐÐ ÓÒÐÑ ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚÒ ÑÓÒØ ØØ ÓÒ ÓÐÑ ÖØÑØØÓÑ ÓÒÐÑ ÅÒØÐÑÒ ÒÒØØ ÔÖØÝ ÙÓÐÐÐ ÒØÓÖ Ó ÓØØ Ú ½ ØØ ÑØÑØØ ÚÖÙÙ ÓÒ ÚÒØÒ ℵ1 Ô ØØØ Ð ÑÑÒ ØÑ ØÙÐÓ ÐÑ ØÒ ÒÓÑÐÐ ØØ ÖÐÐÙÙÒ ÓÙÓ ÓÒ ÝÐÒÙ¹ ÑÖÓØÙÚµ ËÒ Ò Ò ØÙÑÓ¹ÓÒÐÑ ÓÒÓ ÑØÑØØ ÚÖÙÙ ÒØ ÒÑÑÒ ÙÒ ℵ1 Ô ØØØ ÓÒ ÐÐÒ ÚÓÒ ÓÒÐÑ ÒØÓÖÒ ØÓ ØÙ¹ Ò ÝØØÑ ØÒ Ò ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØØµ ÓÒ ÒÔÔÖ ØØ ØÑÑ Ò ÙÖÚ ÎØ ÊÐÐÙÒ ÓÙÓ R ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚ ÌÓ ØÙ ÅÒ ÖØØ ØÙØ ÓØÒ RÒ Ó ÓÙÓ Ó ÓØØ ØØ ÓÒ ÝÐÒÙ¹ ÑÖÓØÙÚ ÎÐØÒ ØÙØØØÚ Ó ÚÐ ]0, 1[ ØÒ Ú ØÚØ Î ØÚØ ÎÐ ]0, 1[ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÌÓ Ò ÒÓÒ ÚÓÑÑ ÒÙÑÖÓ ÖÐÐÙÚÙØ x 0 < x < 1 ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ÇÐÓÓÒ ÐÙÚÙÒ x Ö ØÝ ÒÙÑÖÓ r(x) Ø ÓÒ ØÓ r : ]0, 1[ Nµ ÇÐØØÒ ØØ ÚÓ ÑÑ ØØ ÚÐÒ ]0, 1[ ÖÐÐÙÚÙØ ÖØØÑÒ ÑØÖ Ò Ó ÙØÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÙ Ú Ø ÚÐÒ ÖÐÐÙÙ ØØØÝÒ ÖØØÑÐÐ ØÖÙÙÐÐ ÅØÖ Ò ÐÙ ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ù¹ ÖÚ r(1) : r(2) : r(3) : r(4) : r(5) : ÅÙÓÓ ØØÒ ÒÝØ ÙÙ ÖÐÐÙÙ ÙÖÚ Ø ÄÙØÒ ÑØÖ Ò ÓÒÐÐÐ ÓÐÚØ ØØ Ö ØÝ ÚØÒ ÓÒÒ ØØ Ó Ò ØÓ ÌÓ Ò ÒÓÒ ÐÙÚÙÒ ÑÐØÐÑ.d1d2d3d4... i ÑÐ di [i][i] iòòò ÖÚÒ i ÑÐµ ÄÙÚÙÒ ÐÙ ÚÓ ÓÐÐ ÑÖ ÌÑ ÐÙÙ ÙØÒÒ ÚÓ ÒØÝ ÑØÖ ÐÐ ÔÓ Ó Ø ÑØÖ Ò ÐÙÚÙ Ø ½ ÐÙÚÙ Ø ½ ØÒ Ó ÐØ ¾ ÐÙÚÙ Ø ¾ ØÒ Ó ÐØ ÐÙÚÙ Ø ØÒ Ó ÐØ Ò Ã ÚÐÒ ]0, 1[ ÖÐÐÙÚÙØ ÐÙØØÐÚ ÙÒØÓØ r ÚÓ ÓÐÐ ÓÐÑ ÀÙÓÑ ØØ ÙØ Ú Ð ÑÑÒ ÒÒ ÑÑÑ ÖÐÐÙÚÙÒ ÑØÖ Ò ÐÐ ÚÓ ÑÑ Ø ÒÖÓ ÑÒ ØÔÒ ÙÙÒ ÖÐÐÙÚÙÒ Ó ÒÒÝ Ð Ø µ ÃÖÐÐ ÙÙØØ ÊÙÖ ÊÙÝ ÏØ ÄØ ÓÖ ÏØ ÒØÓÖ³ ÓÒØÒÙÙÑ ÈÖÓÐÑ ÓÓ ÆÛ ÓÖ ½¾ ÀÙÑ ¹ÖÓÑÒ Ó ÐØÐÐÒ ÖØØÑÝÝ ÐÐ ÎÖÐÐÒ ÑÝ ÀÐÖØÒ ÓØÐÐ µ ÊÙÖ ÊÙÝ ÅÐ ÖØØÑÝÝ ÖØ ÀÓÙ ½ ÀÐÔÔÓÐÙÙÒÒ ØØÓÖ¹ Ó Ø ÏØ ÄØÒ ØÑÓ Øµ ÄÑ ËØÒ ÐÛ Æ ÎÐÒÒ ËØÓÖ ÓÙØ ËØ Ñ ÈÖ ÆÛ ÓÖ ½ ÆÓÚÐÐÓÓÐÑ Ó ÐØ Ù Ò ÒÓÚÐÐÒ ÀÐÖØÒ ÓØÐÐ Øµ ÀÓ ØØÖ ÓÙÐ Ê Ð Ö Ò ØÖÒÐ ÓÐÒ Ö ÎÒØ ÓÓ ÆÛ ÓÖ ½ ÄÙÙ ÁÁÁ ØØ ÐÔÔÓØÙ Ø ÒØÓÖÒ Ó¹ ÒÐÖÙÑÒØÒ ÚÙÐÐ ØØ ÓÒ ÓÐÑ ÓÐÑÐÐ Ø ÖØÑØØÓÑ ÓÒ¹ ÐÑ ÅÙÙØÒÒ ÓÔÚ Ó ÐÙÑ ØÓ ÙÖ ÐÐµ ËÓÐÓÛ ÒÐ ÀÓ ØÓ Ö Ò Ó ÔÖÓÓ Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÑØÑØÐ ØÓÙØ ÔÖÓ ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ÆÛ ÓÖ ½¾ ÀÚÒÒÓÐÐÒÒ Ö ØÓ ØÑ Øµ ½ ÃÖØÙ ØØÚ ÑØÑØ Ø ½ Æ ÃÝÝÝ ÐÔÖØ ÈÓÒÓÐ ÈÖÒÔÐµ ÒÓÓ ÂÓ ÝÝÝ ÓÒ Ò¹ ÑÑÒ ÙÒ Ô ÓÐÓ ÓÒÒ ÝÝÝÒÒ ÐÒØ ÓÓÒÒ Ô ÓÐÓÓÒ ÒÒ ÒÒ Ý ÓÐÓ ÓÒ ÒÑÑÒ ÙÒ Ý ÝÝÝÒÒ

7 ½ ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ½ ÃÊÌÍËÌÀÌÎÁ ÅÌÅÌÁÁÃËÌ ½ ÃÙÒ Ý Ó Ô ÓÐÓ ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ ÙÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙÙ ÝÝÝ ÝØ ÑÓÒØ ÙÒ ÓÓÒ ÐÙÙ ÒØ Ó ÝÝÝ ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ ÙÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙÙ ÑÙØØ ÓÒÒ ÝÝÝÒÒ ÝÖØØ Ô Ó Ò ØÓ Ò ÝÝÝ Ò Ò Ö Ô ØÒ ÓÐÓÓÒ ÑØÙÙ ÚÒ Ý Ô µ ¾ ÀÐÖØÒ ÀÓØÐÐÒ ÓÒ ÔÙÑ Ù ÐØ Ó ÓÒ ÖØØÑÒ ÑÓÒØ Ù ¹ Ù Ò ÖØØÑÒ ÑÓÒØ ÑØÙ Ø ÅØÒ ÓØØ Ø ÚÖØ ÀÐÖØÒ ÓØÐÐÒ ÙÓÒ Ò ÌÓ Ø ÙÖÚ ÚØ ÂÓ ÙÐ ÓÒ n(n 2) ÒÐ ÒÒ ÚÒØÒ ÐÐ ÒÐÐÐ ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ Ý ØÚ ÙÐ ÌÓ Ø ÓÒØÖÔÓ ØÓÐÐ ÂÓ c ÓÒ ÔÖØÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙ ÒÒ ÝØÐÐÐ n 2 +n c = 0 ÓÐ ÔÖØÓÒØ ÓÓÒ ÐÙÙÖØ Ù nðð ÀÐÖØÒ ÓØÐÐÒ ÚÖ ÖÒ Ó ÐÐ ÚÙÐÐ ÓÒ ÚÒ ÖÐÐ Ò ÑÓÒØ ÒÑ ÙÙ Ò ÚÖÒ ÓÒ ÖÓØØØÚ ÒÑÒ Ò ÙÖÚÐÐ ØÝÐÐ ÖÚÐÐ ÃÙÒ ÑÓÒØ ÚÙ Ö ÓÒ ÓÐØÚ ÓØØ ÙÙ Ò ÚÖÒ ÒÑÐÐ ÓÐ ØÐ Ö ØÑØØ ÒÑ ÙÙÐÐÒµ ÒÒ ÙÒ ÙÒ ÚÖØ ÚÓØ Ò ÓØØ ÓØÐÐÒ ÑÓÐÐ Ø Ö ØÑÐÐ ÙÙÐÐÒµ ÒØÓÖÒ ÔÐÒØÐÐ Ø ÓÒ ØÔÒ ÑØØ ÖØØÑÐÐ ØÖÙÙÐÐ ÂÓ Ð¹ Ð ÔÐÒØÒ ÙÐÐ ÓÒ ÒÙØÐØÙÒÒ ÒÑ Ó ÓÓ ØÙÙ ÖØØÑÒ ÔØ Ø Ó ØÓÒ {, } ÑÖÓÒÓ Ø ÙØ ÓÚØ ÔØØÒØ Ö Ø ÙÖÑØÒ ÀÐÖØÒ ÀÓØÐÐÒ ÙØ ÙÒØ ÑØÐÐ ÑÙÒ ÙØ ÓÒ ÒÑ ÓÒ Ó Ö ØÝ¹ Ò ÚÐÐÐÒ ÅÙÒ ÓÚØ ÙØ ÙØÙØ ÑÑ...Ò ÔÙ Ó......Ò ÖÙÒ ÔÓ... ÅØÙÙÓ ÔÓÖÙ ÀÐÖØÒ ÀÓØÐÐÒ ÈÖÙ ØÐ Ú ØÙ ÙÓÐÐÐ Î ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØØµ Ø ÚÖ ÙÖÚ Ø ØÓ ØÙ Ø ÓÒ ÑÙÒ ¾½ ÌÖ ØÐÐÒ ÝØÐ = ÃÖÖÓ ÑÓÐÑÑØ ÔÙÓÐØ ÐÐ ÓÐÐÓÒ Ø 2 = ÎÒÒ 2 ÑÓÐÑ¹ ÑÐØ ÔÙÓÐÐØ ÓÐÐÓÒ Ø 2 2 = 2 Â ÙÑÔÒ ÔÙÓÐ ØÒ ( )( + ) = ( ) ( )ÐÐ ÓÐÐÓÒ Ø + = ÄÓÔÙ ÓÐØØÒ ØØ ÓÚØ 1 ÓÐÐÓÒ ÔØ 2 = 1 ÇÐÓÓÒ X ÓÙÓ XÒ ÓÓ n = X ÌÓ Ø ÒÙØÓÐÐ ØØ XÒ ÔÓØÒ ¹ ÓÙÓÒ ÓÓ ÓÒ P(X) = 2 n ÅØ Ú ÓÒ ÙÖÚ ÒÙØÓØÓ ØÙ ÓÒ ÑÙÒ Ø ÓÚØ ÑÒÚÖ ÇÐÓÓÒ n ÓÒ ÐÙÙÑÖ ÂÓ n = 1 ÒÒ ÚØ ÐÚ Ø ØÓ Ý ÓÒ Ò ÑÒÚÖÒÒ ÓÐÔ ÚÖ Ñ ØÒ µ ÇÐØØÒ ÒÝØ ØØ ÑÐÐ ØÒ nò Ò ÓÙÓÐÐ ÔØ ØØ Ø ÓÚØ ÑÒÚÖ ÌÖ ØÐÐÒ ØØÒ n+1ò Ò ÓÙÓ ÎÐØ ÑÐÐ Ò Ø ÑØ ØÒ n ÓØ¹ ÚÓÒ ÚÐØ n + 1 Ö ØÚÐÐµ Ò ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ò ÔÖÙ ØÐÐ ÑÒÚÖ ØÒ ÓÒ ÓÙÓ Ë Ô n + 1 ÓÚØ ÑÒÚÖ ¾¼ ÄÍÃÍ ½ ÅÌÅÌÌÁËÁ ÈÊÍËÃËÁÌÌÁÌ ÄÙÙ ¾ Ä ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑØ ÇÒÐÑØ ÚÓÒ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ØÒ ÐÙÓÒ Ð ÒÒÐÐ Ò ¹ Ð ÒÒÐÐ Ò ÓÒÐÑÒ Ä ÒÒÐÐ ÓÒÐÑ ÓÚØ ÐÐ Ø ÓÐÑØ ÓØ¹ ÚÓÒ ÑÐÐÒØ ÖØ ØÚ ØÐ ÐÐ ØØÓÓÒÐÐ ÀÙÓÑ ØØ Ð Ò¹ ÒÐ Ò ÓÒÐÑÒ ÐØ ØÖÚØ ÓÐÐ ÖØÚ Ø ÚÓ ÓÐÐ ØØ ÔÖØØ Ò ÓÐ ÑÓÐÐ Ø ÐØ ØØÓÓÒÓÐÑ Ó ÖØ ÓÒÐÑÒ ÑÖ Ð Ò¹ ÒÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ÓÚØ ÚÔ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÖØÓÐ Ù Ö ØÓÓÖØ ØÓÒ Ó ØÑÒÒ ÝÖØÝ Ò ÔÐÒÐ ÒØ ÝÐÓÔ ØÓÐÐ Ò ÙÖ Ò ÙÖ ØØÓÒ ÝÐ¹ ÐÔØÓ ËÒ Ò ÐÐ Ø ÓÒÐÑØ ÙÒ ÃÙÒ ÐÓÔØØ ÓØ ÇÒÓ ÓÒ ÙØ ØÒØ ÓÚØ ÐÙÓÒØÐØÒ ¹Ð ÒÒÐÐ ÂØÓ ÚØØÑÑ ÒÐÐ ÓÒÐÑ Ò Ð ÒÒÐÐ Ò ÓÒÐÑÒ Ä ÒÒÐÐ Ò ÓÒÐÑÒ ÖØ Ú ÓÐÑ ÓÒ Ò Ý ØÝ ØÔ ÑÙØØ ÐÐ ÓÒÐÑÐÐ ÑÑ ÚÓ Ø Ó ÐØ ÖØ Ú ÓÐÑ Ð ÑÔ ØÖØÑÔ ØÝ ØÔ ÐÔÓØØ ÑÝ ÓÒÐÑÒ ÒÐÝ ÓÒØ ÚÓÑÑ ÒÐÝ Ó Ò ÖØ¹ ÚÙÙÒ ÚÙÒ ÒÒÒ ÙÒ ÙÒ ÓÒ ÒÝØ ÓÒÐÑÒ ÖØ Ú ÓÐ¹ Ñ Ì Ø ÝÝ Ø Ð ÒÒÒØÓÖ ÓÒÐÑ ÑÐÐÒÒØÒ ÓÖÑÐÐÐ ÑÐÐÐ¹ Ð ÓÖÑÐÒ ÑÐÐÒ ÙØÒÒ ØÖÚØ ÓÐÐ ØÝÐ ÙØÒ ÙÖÚ ÑÖ Ó ÓØØ ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÔÙÔÙÓÐÐÐ ØÖ ØÐÑÑ Ð ÒÒÐÐ ØÒ ÓÒÐÑÒ ÓÖÑÐ ÓÒØ ÝÐÒ¹ Ö Ø ØÖ ÓÒÐÑÒ ÐÐÙÓ ÔØ ÓÒÐÑ ÒØ Ú ØÚ ÓÖ¹ ÑÐ Ð ÄÓÔÙ ÒÒÑÑ ÑÖÒ ÖØÑØØÓÑ Ø ÓÒÐÑ Ø ¾½

8 ¾¾ ¾½ ÇÒÐÑ ÅÁÍ¹Ö ØÐÑ ÄÍÃÍ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌ ÇÆÄÅÌ ÑÖ ¾½ Ã ØÒÒ ÐÓÓÙÐÙ ÓÒ ØÙÒÒÒ Ò ÅÁÍ¹Ö ØÐÑ ÓÒ ÐÙ Ø ÓÓ ØÙÚØ ÓÐÑ Ø ÖÑ Ø I U ÂÖ ØÐÑ ÓÒ ÚÒ Ý ÓÓÑ I ÍÙ ÐÙ Ø ØÓÖÑÓµ ÑÙÓÓ Ø ÐÐ Ø ÐÙ¹ Ø ÓÓÑ Ø Ø ØÓÖÑÓ Øµ ÙÖÚÐÐ ÒÒÐÐ ½ ÂÓ ÑÖÓÒÓÒ ÚÑÒÒ ÖÒ ÓÒ I Ø Ð Ø UÒ ÐÓÔÔÙÙÒ ¾ ÂÓ ÒÙÐÐ ÓÒ x Ñ x ÚÓ ÓÐÐ Ñ ØÒ ÑÖÓÒÓ ÑÝ ØÝ ÑÖÓÒÓµ Ø ÔØÐÐ ÑÖÓÒÓÒ xx ÂÓ Ó Ò ÑÖÓÒÓ ÒØÝÝ III Ø ÓÖÚØ Ò UÐÐ ÂÓ ÑÖÓÒÓ ÒØÝÝ UU Ò ÔÙÓØØ ÔÓ ÑÖÓÒÓ Ø ËÒØ ÓÚÐØ ÚÔ Ø Ò ÙÒ Ò ÓÔÚØ ÓÓÑÒ Ø Ó ÓØØÙ¹ Ò ØÓÖÑÓÒ ÑÙØØ ÑØÒ ÑÙÙØ Ø Ö ØÐÑ ÙØ ÙØÒ ÓÖÑÐ µ Ã ÓÙÐÙÐ ØÒ ØØÚÒ ÓÒ ÓØ ÓÓÑ Ø ÅÁ ØÓÖÑ ÅÍÁ Ç ØÓ ÙÓÖØ¹ Ø ÔØØÐÝÒ ÒØ Ó ØÓ ÓØ ÓÓÑ Ø ÅÁ ØÓÖÑÒ ÅÍ ÅÁÍ¹Ö ØÐÑ ÚÓÒ ØÐÐ ÖÒÐ Ò ÓÒ ÐÔÐÒ ÃÝØ ÓÒ Ó ØÓ Σ = {, I, U} ÐÓÔÔ ÓÒ ÑÙÒ ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÒÓ ØØÒ ÒÒÑÙÓÓ ØÙ ÒÒØ ÑÒ ÓÖÑÐÑÑÒ xi xiu x xx xiiiy xuy xuuy xy Ñ x y ÚÓÚØ ÓÐÐ ÑØØÒ ÑÖÓÒÓ ÑÝ ØÝ ÑÖÓÒÓµ ÌÖ ØÐÐÒ Ó ØÓÒ Ò ÑÓÐÐ ØÒ ÑÖÓÒÓÒ ÓÙÓ Σ Ó ÓÓ ¹ ØÙÙ ÑÖÓÒÓ Ø {ǫ,, I, U,, I, U, I, II, IU, U, UI, UU,, I, U, I,...} ǫ ØÝ ÑÖÓÒÓµ ÆÝØ ÚÓÒ ØØ ÖÐ Ý ÝÑÝ¹ Ó ØÓÒ ÑÖÓÒÓ Ø Ñ ÓÒÐÑ π1(x) ÅØ ÑÖÓÒÓ ÚÓØ ØÙÓØ¹ Ø ÒÒØÙ Ø ÑÖÓÒÓ Ø x Ö ØÐÑÒ ÒÒÐÐ Ø π2(x) ÎÓØÓ ØÙÓØØ ÑÖÓÒÓÒ x I Ø Ö ØÐÑÒ ÒÒÐÐ Ò ÑÑ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ú ØÙ ¾¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÆ ÇÆÄÅÆ ËÁÌË ¾ ÓÒ ÓÙÓ ÑÖÓÒÓ Ø Σ Ò Ó ÓÙÓ Ø ÑÓÐÐ Ø ØÝ ÓÙÓµ ÙÒ Ø ÐÑÑ Ò Ý ÝÑÝ Ò Ú ØÙ ÓÒ ÃÝÐÐ Ø ÌÐÐ ÝÐÐ»¹ ÓÒÐÑ ÙØ ÙØÒ ÔØ ÓÒÐÑ ÓÖÑÐ Ø ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ÔØ ÓÒÐ¹ Ñ π ÙÚÙ Ò π : Σ {0, 1} Ë ÐØØ Ó Ò Ó ØÓÒ ÑÖÓÒÓÓÒ ÓÓ Ú ØÙ Ò ½ Ø ¼ ÌÓ ÐØ ÚÓÑÑ Ý Ý ÑØ Σ Ò ÑÖÓÒÓ ÔØ ÓÒÐÑ πa ÝÚ ÝÝ Ì ÑÐÐ x π(x) = 1 Ø ÒØ ÖÐØÓ π 1 (1) = xµ Î ØÙ ÓÙÓ A ÙØ ÙØÒ ÓÖÑÐ Ð Ú ØÚ ÔØ ÓÒÐÑ πa ÐÒ A ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÌØÚ Å Ø ÒÓ Ø ÙÖÚØ ÐØ ÓÓ ØÙÚØ Ã Ø ÓØØÚØ ÑÖÓÒÓØ Ã U Ø ÓØØÚØ ÑÖÓÒÓØ Ã U Ø ÓØØÚØ ÑÖÓÒÓØ ÅÁÍ¹Ö ØÐÑÒ ÓÒ ÐÙÒ ÀÓ ØØÖÒ Ù Ø Ö Ø Ð Ö µ ¾¾ Ä ÒÒÐÐ Ò ÓÒÐÑÒ ØÝ Ä ÒÒÐÐÒÒ ÓÒÐÑ ÙÚÙ ÖÐÐ Ø ØØØÚÒ ØÔÙ ØÒ ÓÙÓ ¹ Ø ÖÐÐ Ø ØØØÚÒ Ú ØÙ ØÒ ÓÙÓÓÒ Ä ÒÒÐÐ ÐÐ ÓÒÐÑÐÐ ÓÒ ÓÒÐÑÐÐ ÔÓØÒØÐ Ø ÖØÒ ÓÙÓ ØÔÙ Ð ÝØØØ ÓÒÐÑÒ ÖØ Ù ÓÒ ÐÓÖØÑ Ó ÐØØ ÙÙÒÒ ØÔÙ Ò Ò ÓÒ Ú ØÙ Ò Ð ØÙÐÓ ØÒ ÑÖ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÖØÓÐ ÙÓÒÐ¹ ÑÒ ØÔÙ ÓÚØ ÑÓÐÐ Ø ÓÓÒ ÐÙÙÔÖØ (p, q) ÒÒØØÙÙÒ ØÔÙ¹ Ò ÐØØÝÚ Ú ØÙ ÓÒ ÐÙÙÔÖÒ ØÙÐÓ r = p q ÇÒÐÑÒ ÖØ Ù ÓÒ Ñ ØÒ ÝÐÒÒ ÖØÓÐ ÙÐÓÖØÑ ÃÙÒÒ Ý ØØ Ò ØÔÙ Ò Ò Ú ØÙ Ò ÓÐØÚ ÖÐÐ Ø ØØØÚ Ð Ò ÚÓÒ ØØ ÓÒÒ Ó ØÓÒ ÖÐÐ Ò ÔØÙ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÌØÓÓÒÐÐ ØØÓ ØØÒ ÐÓÔÙÐØ ØØÓÒÓÒ ÑÙØØ ÓÒÐÑ ÑÐÐÒØ ÓÒ ÐÙÓÒØÚ ÐÐ ÑÙØÒ ÑÖ ÅÒ ØÒ Ó ØÓÒ ÑÖÓÒÓØ ÚÓÒ ÒÑØØÒ Ò ÓÓØ ÒÖÓ ØÓ Ý Ò ÒÓÐÐÒ ÑÖ Ñ ÖØÓÐ ÙÒ ÝØ ÓÓÒ ÐÙÙµ ÚÓØ Ò ØØ ÑÖÓÒÓÒ x#y Ø mul(x, y) Ñ ¾ ÄÍÃÍ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌ ÇÆÄÅÌ ¾¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÆ ÇÆÄÅÆ ËÁÌË ¾ x y ÓÚØ ÓÓÒ ÐÙÙÒ p q ÑÖÓÒÓ ØÝ Ø ÃÓÓÒ ÐÙÚÙØ ÓÒ ÐÙÓÒØ¹ Ú ØØ ÒÖÓÒÓÒ ÓÐÐÓÒ Ó ØÓ ÖØØ {0, 1, #} Ø ÐÑÑ ÓÓÙ {0, 1, m, u, l, (, )} ÅÖÓÒÓÒ ÐØØÝÚ ÔÖÙ ØØØ ÑÖÒØ Ó ØÓ ÓÒ ÖÐÐÒÒ ÔØÝ ÓÙÓ Ð ÑÖ Ø ÝÑÓÐØ Ñ ÒÖÓ ØÓ {0, 1} ÐØÒÐÒÒ Ó ØÓ { } Ó ØÓ ÓÒ ØÔÒ ÑÖØ ÓÐÐ ÖÐ ÐÐ ÖÑÐÐ Σ Γ Ó ÖÐ ÖÑµ Ó ØÓÒ ÓÓ Ø ÝÐ ÑÑÒ ÓÙÓÒ ÑØÚÙÙ µ Σ ÓÒ Ó ØÒ Ð Ð ÑÖÒ ÐÙÙÑÖ Ñ Ó Σ = {1,..., n} ÒÒ Σ = n Ð ¹ ÑÖ ÓÒ ØÔÒ ÑÖØ ÔÒÐÐ ÐÙÔÒ ÐØÒÐ ÐÐ ÖÑÐÐ c ÅÖÓÒÓ ÓÒ ÖÐÐÒÒ Ö ØØØÝ ÓÒÓ ÓÒÒ Ó ØÓÒ ÑÖ Ñ ¼½¼¼½ ¼¼¼ ÓÚØ ÒÖÓ ØÓÒ ÑÖÓÒÓ ÅÁÍ ÃÁËË ÓÚØ ÐØÒÐ Ò Ó ØÓÒ ÑÖÓÒÓ ÅÖÓÒÓ ÓÒ ØÔÒ ÑÖØ ÔÒÐÐ ÐÓÔÔÙÔÒ ÐØÒÐ ÖÑÐÐu v w x y ÌÝÒ ÑÖÓÒÓÒ ÝÑÓÐ ÓÒ ǫ ÙÓÑ ØØ ØÝ ÑÖÓÒÓ ÓÓ ØÙÙ Ø ÑÖ Ø ÓÒ Ö ÙÒ ÑÖ ÚÐÐÝÒØ ³ ³µ ÅÖÓÒÓÒ x ÔØÙÙ ÓÒ Ò ÐØÝÚÒ ÑÖÒ ÑÖ ÅÖ x Ñ ¼½¼¼½ ÃÁËË ¼¼¼ ÅÁÍ ÌÝÒ ÑÖÓÒÓÒ ǫ ÔØÙÙ ÓÒ ǫ = 0 ÅÖÓÒÓÒ ÚÐÒÒ ÔÖÙ ÓÔÖØÓ ÓÒ ØÒØÓ Ð ÓÒÓÒ ÔÖÒ Ö¹ ÓØØÑÒÒ ÃØÒØÓÒ ÓÔÖØÓÑÖÒ ÝØØÒ Ó Ù ÐÝÒ Ð Ñ ¹ ÝÑÓÐ µ Ñ ÃÄ ÃÁËËÃÄ Ñ¾ Ó x = 00 y = 11 ÒÒ xy = 0011 yx = 1100 ÀÙÓÑ ØØ ÐÐ x ÓÒ xǫ = ǫx = x ÐÐ x y ÓÒ xy = x + y ÅÖÓÒÓ Ó ÓÒ n ÔÔÐØØ ÑÖ n ÑÖ µ n = }{{...} n kpl µ i j c k = i + j + k ÅÖÓÒÓÒ x ØÓ ØÓ k ÖØ x k ÑÖ µ () 2 = µ x k = k x Ó ØÓÒ Σ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÓÙÓ ÓÒ Σ Ñ Σ = {0, 1} Σ = {ǫ, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,...} Σ * A π A ÃÙÚ ¾½ ÓÖÑÐ Ð A Σ ÐØ Ò ÑÖÓÒÓØ x ÓØ ÔØ ÓÒÐ¹ Ñ πa ÙÚ ½ÐÐ Ø πa(x) = 1 ÈØ ÓÒÐÑØ ÓÖÑÐØ ÐØ Ð Ø Ð ÒÒÐÐÒÒ ÓÒÐÑ π ÓÒ ÙÚÙ π : Σ Γ, Ñ Σ Γ ÓÚØ Ó ¹ ØÓ ÈØ ÓÒÐÑØ ÓÒ ÔÖÓÐÑµ ÓÚØ ØÖ Ð ÒÒÐÐ ØÒ ÓÒÐÑÒ ÐÐÙ¹ Ó Ó ÙÒÒ ÓÒÐÑÒ ØÔÙ Ò Ú ØÙ ÓÒ ÝÐÐ Ø ÈØ ÓÒÐÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ π : Σ {0, 1} ÑÖ ÔØ ÓÒÐÑ ÓÒÓ ÒÒØØÙ ÐÙÙ ÐÙÐÙÙ ÚÓÒ ØØ Ó ØÓÒ Σ = {0, 1, 2,..., 9} ÙÚÙ Ò { 1, Ó x ÓÒ ÐÙÐÙÙ π : Σ {0, 1}, π(x) = 0, Ó x ÓÐ ÐÙÐÙÙ Å Ø ØÒ Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ÚÓÒ Ò ÑÙÓÓ Ø ÔØ ÓÒÐÑ ÓÐÐ ÚÓÒ ØÙØ ÐÙÔÖ Ò ÓÒÐÑÒ ÚÙØØ ÑÖ ÖØÓÐ ÙÓÒÐ¹ Ñ Ú Ø ÔØ ÓÒÐÑ ÓÒÓ p q = r Ó ÚÓÒ ÓÓØ ÑÖÓÒÓÒ x#y#z Ñ x, y z ÓÚØ ÓÓÒ ÐÙÙÒ p, q r ÑÖÓÒÓ ØÝ Ø ÈØ ÓÒÐÑØ ÑÖÓÒÓÓÙÓØ ÚÓÒ Ñ Ø ÙÖÚ Ø ÂÓ Ø ÔØ¹ ÓÒÐÑ π : Σ {0, 1} Ú Ø ÑÖÓÒÓÓÙÓ Aπ = {x Σ π(x) = 1}, Ó ÐØ Ò ÓÒÐÑÒ ØÔÙ Ø ÓÒ Ú ØÙ ÓÒ ÝÐÐ ÌÓ ÐØ Ó Ø ÑÖÓÒÓÓÙÓ A Σ Ú Ø ÔØ ÓÒÐÑ { 1, Ó x A πa : Σ {0, 1}, πa(x) = 0, Ó x / A Ä ÒÒÒØÓÖ ÒØ ÑÖÓÒÓÓÙÓ ÙØ ÙØÒ ÓÖÑÐ Ð ÓÖ¹ ÑÐ ÐÒÙµ Ó ØÓÒ Σ ÓÖÑÐ Ð ÓÒ ÑÐÚÐØÒÒ ÑÖÓÒÓÓÙÓ A 0 1

9 ¾ ÄÍÃÍ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌ ÇÆÄÅÌ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌÆ ÇÆÄÅÁÆ ÊÌÃÎÍÍË ¾ Σ ÃÐÒ A ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÖÓÒØÓÒ ÔÖÓÐÑµ ÓÒ ÑÖÓÒÓÓÙÓÓÒ ÐØ¹ ØÝÚ ÔØ ÓÒÐÑ πa ÌÓ Ò ÒÓÒ ÓÖÑÐ Ð ÔØ ÓÒÐÑ Ú ØÚØ ØÓ Ò ¾ Ä ÒÒÐÐ ØÒ ÓÒÐÑÒ ÖØÚÙÙ ËÒÓØÒ ØØ ÓÐÑ P ÖØ Ð ÒØÓÒÐÑÒ π Ó ÙÐÐÒ ÝØØÐÐ x ÓÐÑ P Ð ØÙÐÓ Ø ÖÚÓÒ π(x) ÌØÓÒ ØØÐÝØØÐ ØØÝ Ø Ò¹ ÒÓ Ø ÚÓÒÓ ÑÓÐÐ Ø Ð ÒØÓÒÐÑØ ÖØ Ø ÓÐÑÐÐ Ç ÓØ¹ ØÙØÙÙ ØØ ÚÓ ÐÐ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÑÐÐ ØÒ ÓÐÑÓÒØÐÐÐ ÑÓÐÐ ØÒ ÓÐÑÒµ ÓÙÓ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÙØØ Ò ÔØ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓ ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚ ℵ1 ÚÖ Ø ÚÓ ÑÓØØ ωò ÙÓÒ Òµ Ä Ò¹ ØÓÒÐÑ ÓÒ ØØÝ ÑÐ ÒÑÑÒ ÙÒ ÒÒ ÑÓÐÐ ÖØ Ù ÑÐÐÒ ÓÐÑÓÒØÐÐÐ ÚÓ ÐØ ÖØ Ù ÐÐ Ð ÒØÓÒÐÑÐÐ Lskennlliset ongelmt Päätösongelmt Rtkevt päätösongelmt Kikki inäärijonot Σ={0,1} Lilliset konekieliohjelmt Päätösongelmien rtkisuohjelmt ÃÙÚ ¾¾ ÎÒ ÔÒ Ó ÔØ ÓÒÐÑ Ø ÓÒ ØØÓÓÒÐÐ ÖØÚ ÄÙ ½ ÅÒ ØÒ Ó ØÓÒ Σ ÑÖÓÒÓÒ ÓÙÓ Σ ÓÒ ÒÙ¹ ÑÖÓØÙÚ Ø ÖØÒ ½ Ò Ò ÐÙØÐÐÒ ¼Ò ÑØØ Ø ÑÖÓÒÓØ ǫµ ØØÒ ½Ò ÑØØ Ø 1, 2,...,nµ ØØÒ ¾Ò ÑØØ Ø Ò ¾ ÙÒÒ ÔØÙÙ ÖÝÑÒ ÐÐ ÑÖÓÒÓØ ÐÙØÐÐÒ Ó Ö ØÝ Ó Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÙÙÙÒ n ÚÓÒ ÐØØ Σ Ò ÑÖÓÒÓ ÔÒ¹ Ú ØÓÒ Σ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÎØØÙ ØÓ f : N Σ ÓÒ 0 ǫ n n + 1 n + 2 n 2n 2n + 1 3n n 2 + n n 2 + n + 1 n 2 + n n 21 2n nn ÄÙ ¾ ÅÒ ØÒ Ó ØÓÒ Σ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓ ÓÒ ÝÐÒÙ¹ ÑÖÓØÙÚ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ Σ = {1, 2,..., n} ÃÒÒØØÒ ÑÖÐÐ Ó Ö ØÝ ¹ Ñ 1 < 2 <... < n ÂÓÙÓÒ Σ ÑÖÓÒÓØ ÚÓÒ Ö Ø ÙÖÚ Ø ÒÓÒ Ò Ö ØÝ Òµ ÌÓ ØÙ ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØØµ ÅÖØÒ Ò ΣÒ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÓÓÐÑ ΠÐÐ Π = {π π ÓÒ ÙÚÙ Σ {0, 1}}. ¾ ÄÍÃÍ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌ ÇÆÄÅÌ Î ØÚØ ÇÐØØÒ ØØ Π ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÒÙÑÖÓÒØ Π = {π0, π1, π2,...}. ÇÐÓÓØ Σ Ò ÑÖÓÒÓØ ÒÓÒ Ö ØÝ ÐÙØÐØÙÒ x0, x1, x2,... ÅÙÓÓ ØØÒ ÙÙ ÔØ ÓÒÐÑ ˆπ ˆπ : Σ {0, 1}, ˆπ(x) = { 1, Ó πi(xi) = 0 0, Ó πi(xi) = 1 ÃÓ ˆπ Π ÒÒ ˆπ = πk ÓÐÐÒ k N ÌÐÐÒ { 1, Ó πk(xk) = ˆπ(xk) = 0 ˆπ(xk) = 0, Ó πk(xk) = ˆπ(xk) = 1 ÊÁËÌÁÊÁÁÌ Ë ÓÐØÙ ØØ ÓÙÓ Π ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÓÒ ÚÖ ˆπ ց π0 π1 π2 π3 x0 x1 0 ½ x2 1 1 x ¼ ¼ 1 1 ½ 0 ¾ ÃËÃÍÊËÁÇ ÈËÀÌÅÁËÇÆÄÅÆ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ¾ ÙÖ Ó ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ ¹ØÙÐÒØ ÓÒ ÓÐ ÓÐÑ ØÓØÐ Ø Ò ÔÝ ØÝÚµ ¹ÓÐÑ Ó ÖØ ÔÝ ØÝÝ ÒÒØØÙ ¹ÓÐÑ P ÒÒØÙÐÐ ÝØØÐÐ w ÇÐØØÒ ØØ ÚÓØ Ò ÖÓØØ ØÓØÐÒÒ ¹ÙÒØÓ ÒØ H Ö Ô Ö Ûµ Ó ÖÚÓÒ ½ Ó ÑÖÓÒÓÔÖÑØÖÒ p ØØÑ ÙÒØÓ ÔÝ ØÝÝ ÝØØÐÐ w ¼ ÑÙÙØÒ ÃÖÓØØÒ ØÑÒ ÔÖÙ ØÐÐ ØÓÒÒ ¹ÙÒØÓ Ĥ ÚÓ Ĥ Ö Ôµß H(p, p) ÛÐ ½µ Ð ÅÖØÒ ÐÐ ÙÚØØÙ ÙÒØÓÒ Ĥ ÓÐÑØ Ø ĥðð ØÖ ØÐÐÒ ÙÒØÓÒ Ĥ Ð ÒØ ØÐÐ ÓÑÐÐ ÙÚÙ ÐÐÒ ËÒ Ö ØÖØ Ĥ(ĥ) ÔÝ ØÝÝ H(ĥ, ĥ) = ¼ Ĥ(ĥ) ÔÝ Ý Ê ØÖ Ø ÙÖ ØØ ÓÐØØØÙ ØÓØÐ Ø ÔÝ ØÝÑ ÒØ ØÙ ÓÐÑ H ÚÓ ÓÐÐ ÓÐÑ ¾ ÃÝ ÙÒ ÎÐØÐÒ ÔÖÓ ÈÙÙÙÓ Ü ØÓØØ Ó Ü ÒÓÓ ³ÅÒ ÚÐØ¹ ÐÒ³µ ÃÝØÒÒ ØÑ ÑÖØ Ø ØØ Ø Ð ÒØÓÒÐÑ Ø ÚÓÒ ÑÖ¹ ¹ÓÐÑÐÐ ÖØ Ø ÚÒ ÚÚÒ ÔÒ Ó ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚÒ ÓÙÓÒ ÒÙÑÖÓØÙ¹ Ú Ó ÓÙÓ ËÑ ÔØ ÐÐ ÓÐÑÓÒØÐÐÐ ÐÐ ÖØØÚÒ Ú¹ ÚØ ÓÐÑÓÒØÐØ ÑÖØØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÑÒ ÖØÚÒ ÓÒÐÑÒ ÐÙÓÒ Ò ÙÖÒÌÙÖÒÒ Ø µ Í ÑÑØ Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑØ ÓÚØ ÓÐÙÙØØ ¹ Ø ÖØÑØØÓÑ ÚÐØØØÚ Ø ÖØÑØØÓÑØ ÓÒÐÑØ ØØÚØ ÑÝ ÑÓÒ ÑÐÒÒØÓ»ÝØÒÒÐÐ ÓÒÐÑ ÙØÒ ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ Ó ÓÒ ÒÒØ¹ ØÙ ÓÐÑ P Ò ÝØ x ÒÒ ÔÝ ØÝÝ P Ò Ð ÒØ ÝØØÐÐ x Ú Ù Ò ÐÑÙÒ

10 ¼ ÄÍÃÍ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌ ÇÆÄÅÌ ¾ ÌÀÌÎÁ ÄËÃÆÆÄÄÁËÁËÌ ÇÆÄÅÁËÌ ½ ¾ ÌØÚ Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ½ ÅÙÓÓ Ø ÔØ ÓÒÐÑ ÓÐÐ ÚÓÒ ÖÚÓ ÙÖÚÒ Ð ÒÒÐÐ Ò ÓÒ¹ ÐÑÒ ÚÙØØ µ Ä nò ÖØÓÑ n! ÙÒ n ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐÒÒ ÐÙÙ µ ÂÖ Ø ÒÒØØÙ ÒÐÙØØÐÓ Ó Ö ØÝ Ò µ Ø ÒÒØÙ Ø ÚÖÓ Ø ÐØ Ð ÓÐÑÙÓÙÓØ ÓÒ ÓÐÑÙØ ÐØ¹ ØÝÚØ ÖÐÐ Ò ÑÙÒ ÐÒ ÓÐÑÙÒ ÅØ ÑÝ ÑØÒ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÝØ ÓÓØÒ ÑÖÓÒÓÒ ÅÐÐÒÒ ÓÒ ÔØ ÓÒÐÑ Ú ØÚ ÓÖÑÐ Ð ¾ Ã ÑÖ ¹Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑ Ø ÎÓ Ó ØØÓÓÒØØ ÝØØ ÐØ ÔÙÒ ÒÒ ÖØ Ñ ÄÙ ØÙ ÔØ ÓÒÐÑ Ø ØØÔ»»ÛÛÛ ÓÒ ÙÙ»Ô»ÛÑÐ»ØÔ¼» ØÙØÑ ØÝÒ¹ Ò ÐÓÔÔÙÙÒ ÌÖ ØÐÐÒ Ø Ã ØÒÒ ÐÓÓÙÐÙ ÌÐÐ ÖØ ØÙÒÒÒ Ò ÓÒ ÑÒ ÑÓÒÑÙØ ÑÔ ÅÁÍ¹Ö ØÐÑ Ó ÓÓ ØÙÙ ÙÖÚ Ø Ò¹ Ò Ø ÜÍÜ ÜÍÝ ÜÍÍÜ ÜÁÍÝ Ü ÅÜÅ Ü ÜÍÁ ÜÜ Ü ÜÁ ÜÍ Ñ x y ÚÓÚØ ÓÐÐ ÑØØÒ ÑÖÓÒÓ ÌØÚÒ ÓÒ Ó ÓØØ ØØ ØÝ ØÒ ÑÖÓÒÓ Øµ ÚÓ ÝÒØÝ ÙÒÒÓÒ ÒÙ Ù ÅÁÍµ Ö ØÐÑÒ ÒÒÐÐ ÌÖ ØÐÐÒ Ó ØÓ Σ = {m, i, u} ÅÖØÐÐÒ Ó ØÓÒ ÔÓØÒ Ø ÙÖÚ Ø Σ 0 = {ǫ} ØÝ ÑÖÓÒÓµ Σ k+1 = Σ Σ k = {x Σ x Σ k } Ñ Σ 1 = {m, i, u} Σ 2 = {mm, mi, mu, im, ii, iu, um, ui, uu} ÅÓÒØÓ ÐÓØ Òµ ÓÒ Σ n ÒØ ÑÓÒØÓ Ò ÓÒ ÓÓ Ð Σ = i=0 ¾ ÄÍÃÍ ¾ ÄËÃÆÆÄÄÁËÌ ÇÆÄÅÌ ÄÙÙ ËÒÒÐÐ Ø ÐØ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ Ì ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙÑÑ Ý ÒÖØ ÑÔÒ ÓÖÑÐÒ ÐØÒ ÐÙÓÒ Ò¹ ÒÐÐ Ò ÐÒ ËÒÒÐÐ Ø ÐØ ÚÓÒ ÙÚØ ÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÚÙÐÐ ÒØ Ú ØÚØ ÔØ ¹µÓÒÐÑØ ÚÓÒ ÖØ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÇÒÐÑ ÇÐÑÓÒØÐØÒ ÑÙÙØØÙØ ÚÓØ Ò ÓÚØ ØØÝÒÑÙÓØÓ ÓÐ¹ ÑÓÒØÐÒ ÝÒØ Ò ÓÒÖÓØÙ ÓÔÒµ ÑÙ Ñ ¼½¾ ÓÒ ÐÙÙ ÑÙØ¹ Ø ¼½¾ Ø z.33 ÚØ ÓÐ ÅÙØØ ÑØÒ ÑÖØÐÐ ÐÙÙÒ ÝÒØ ÒØ ÑØÒ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ø ÑÐÐÒ ÓÒÑÙÓØÓ Ø ÑÖÓÒÓØ Ç ÓØØÙØÙÙ ØØ ÓÒ¹ ÑÙÓØÓ Ø ÑÖÓÒÓØ ÚÓÒ ÙÚØ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÒÒ ØÙÒÒ ØÙ ÚÓÒ ÙÓÖØØ ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÌÙÒÒØ ÍÆÁÒ ÝÒ ÖÔ ÓÐÐ ÚÓÒ Ø Ø Ø Ø ÑÓ Ñ

11 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½ ËÆÆÄÄÁËÌ ÄÍËÃÃÌ Â ÃÁÄÌ ÖÔ ¹ ¹Þ ¼¹ Ø Ø Ø ØÓ ØÓ Ø Ø Ø ÖÚØ ÓÐÐ ÓÒ ÑÖØØ¹ ÐÝÒ ÑÙÓØÓ ÒÓ Ò Ò ÙÙÖ ÖÒ ØØÒ ÑÐÚÐØÒÒ ÑÖ ÔÒ ÖÑ ÐÓÔÙ ÒÙÑÖÓ ÖÔ Ø ÒÑÒÓÑÒ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø ÒÑ ÓÒÒ ÐÝÒÒ ÒÓ Ø ÐÓÐ Ö ÓÖ ÊÙÐÖ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÈÖÒØ ½ ËÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø ÐØ A 0 ε Ñ ÀÝÚ Ý ÑÖÓÒÓØ Ó ÒØÝÝ Ò Ì ÑÖÓÒÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ [¼ Ø Ù ÑÔ ÖÑ]kiss[¼ Ø Ù ÑÔ ÖÑ] Ñ Ø Ø ØØÓ ØÓ Ø Ó ÓØØØ ÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ [xøù Ø xø ][numero] [Ñ ÖÔÙÒ ÖÒ] [Ñ ÙÒÒÓÒÒÙÑÖÓ][ÔÓ ØÒÙÑÖÓ][ÙÒÒÒ ÒÑ] A 0 ε A * 1 2 = 3 A ÃÙÒ ØØ ÓÑÔØ Ø ÐÐØÙØ ÑÖÓÒÓØ Ø ÙÚØ Ð ÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ó¹ ÐÑ ÝÚ ÝÝµ ÅÖØÐÐÒ ÚÙ ÓÐÑ ÓÔÖØÓØ ÐØÒ Ý ØÑ Ò ÇÐÓÓØ A B Ó ¹ ØÓÒ Σ Ð ÌÐÐÒ AÒ BÒ Ý Ø ÓÒ Ð AÒ BÒ ØÙÐÓ ÓÒ Ð A B = {x Σ x A Ø x B} AB = {xy Σ x A, y B} AÒ ÔÓØÒ Ø A k k 0 ÑÖØÐÐÒ ØÖØÚ Ø A 0 = {ǫ}, A k = AA k 1 = {x1...xk xi A i = 1,...,k} (k 1) AÒ ÙÐÙÑ ÓÒ Ð A = A k k=0 = {x1...xk k 0, xi A i = 1,...,k} A 1 A A 1 * 2 = 3 A 1 * 2 = 3 jne. A 2 A ÃÙÚ ½ ÂÓÙÓÒ A = {1, 2, 3} ÔÓØÒ Ø ÑÖØÐÐÒ ØÒÓÑÐÐ ÓÙÓÒ ÐÓØ ÃÙÚ ÔÓØÒ Ø A 0 A 1 A 2 A 3 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÅÖØÐÑ Ó ØÓÒ Σ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø ÖÙÐÖ ÜÔÖ ÓÒµ ÑÖØÐÐÒ ÒÙØÚ Ø ÒÒÐÐ µ ǫ ÓÚØ ΣÒ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø µ ÓÒ ΣÒ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ ÐÐ Σ µ Ó r s ÓÚØ ΣÒ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø ÒÒ (r s) (rs) r ÓÚØ ΣÒ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø Úµ ÑÙØ ΣÒ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø ÓÐ ÃÙÒ ΣÒ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ r ÙÚ ÐÒ L(r) µ L( ) = µ L(ǫ) = {ǫ} µ L() = {} ÐÐ Σ Úµ L((r s)) = L(r) L(s) Úµ L((rs)) = L(r)L(s) Úµ L(r ) = (L(r)) Ó ØÓÒ {, } ÒÒÐÐ ÐÙ Ø ÄÙ Ò ÙÚÑØ ÐØ r1 = (()), r2 = (), r3 = ( ), r4 = (( ())). L(r1) = ({}{}){} = {}{} = {}; L(r2) = {} = {ǫ,,,,...} = {() i i 0}; L(r3) = {}({}) = {,,,,...} = { i i 0}; L(r4) = ({}{, }) = {, } ËÙÐÙÑÖÒ ÚÒØÑ ÒØ = {ǫ,,,,,...} = {x {, } ÙØÒ ¹ÖÒØ x ÙÖ ½ Ø ¾ ¹ÖÒØ } ½ ËÆÆÄÄÁËÌ ÄÍËÃÃÌ Â ÃÁÄÌ ÇÔÖØØÓÖÒ ÔÖÓÖØØØ Ø¹ ØÙÐÓ¹ÓÔÖØÓÒ Ó ØÚ ÙÙ L(((r s) t)) = L((r (s t))) L(((rs)t)) = L((r(st))) ÔÖ Ý ØØ ØÙÐÓ ØÖÚØ ÙÐÙØØ ÃÝØØÒ ØÚÐÐ Ö Ñ ÑÐ ÒÒÙ Ò ÚÖ ÑÖÓÒÓÒ ÓÐ ÒÖØ ÑÑÒ r1 =, r2 = (), r3 =, r4 = (( )) ÅÖØÐÑ ÃÐ ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ Ó ÚÓÒ ÙÚØ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÑÖ ½ ÇÐÓÓÒ Ó ØÓ Σ = {,, c,..., } ÀÝÚ ÝØÒ ÑÖÓÒÓØ ÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ l l, Ñ l ÓÒ ÐÝÒÒ ÐÙ ÐÐ l = (... ) Ø l Σ µ ÑÖ ¾ ÇÐÓÓÒ Σ = {A, B,...,,,,...,, 0, 1, 2,..., 9} Ç ÓØ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ñ d ÓÒ ÐÝÒÒ ÐÙ ÐÐ L ÓÒ ÐÝÒÒ ÐÙ ÐÐ (Ll )(ØÙ Ø )dd (l ǫ)(dd ǫ) ddddd Ll, d = ( ) l = (... ).

12 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½ ËÆÆÄÄÁËÌ ÄÍËÃÃÌ Â ÃÁÄÌ ÑÖ Ñ ¹ÐÒ ØÙÑÖØØÑØ ÐÙÙÐÙÚÙØ ÓØ ÓÙÐ ÐÓÒ ÓÙ¹ Ðµ ÑÖØÐÐÒ ÙÖÚ Ø ÓÓÒ Ó µ ÑÐÓ µ Ø µ [+ Ø ] ÔÓÒØØµ [ Ù ] ÓÓÒ Ó ÑÐÓ ÓÓ ØÙÚØ Ø Ø ÓÓ ÓÓÒ Ó Ø ÑÐÓ ÚÓ ÔÙÙØØÙ ÑÙØØ ÚØ ÑÓÐÑÑØµ ÓÓ µ ÑÐÔ Ø Ø µ Ø µ ÔÓÒÒØØ ÚÓÚØ ÔÙÙØØÙ ÑÙØØ ÚØ ÑÓÐÑÑØµ Ù Ø ÓØ Ä Ø Ð ÐÓÒ ÓÙÐ ÑÙÙØÒ ÓÙÐ ØÙÑÖØØÑØ ÐÙÙÐÙÚÙØ ØÙÒÒ ØÚ Ð ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ¹ ÐÐ ÐÑÒ Ù µ ÒÙÑÖ = (d +.d.d + )(ǫ ((e E)(+ ǫ)d + )) d + (e E)(+ ǫ)d + ÃÐÒ ÙÙÐÙÚØ Ñ ÙÖÚØ ÑÖÓÒÓØ ½¾ ½¾ ½¾ ½¾ ½¾ ½¾¹ ½¾ ½¾ ½½ ËÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÚÒØÑÒÒ ËÒÒÐÐ ÐÐ ÐÐÐ ÓÒ ÝÐÒ Ù Ø ÚØÓØÓ ÙÚÙ Ñ Σ = L(( ) ) = L(( ) ) = L( ( ) ( ) ). ÅÖØÐÑ ËÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø r s ÓÚØ ÚÚÐÒØØ ÑÖ r = s Ó L(r) = L(s) Ä ÑÖØÒ r s ØÖÓØØÑÒ L(r) L(s) ÄÙ Ò ÚÒØÑÒÒ ØÖÓØØ Ý ÒÖØ ÑÑÒ ÚÚÐÒØÒ ÐÙ Ò ÑÖØØÑ Ø ÀÙÓÑ Í Ò ÝØØÒ ÐÝÒÒÑÖÒØ r + = rr = r r ½¾ ËÚÒÒÝ ÒØ r r = r (ÑÙØØ rr r, ÙÒ r, ǫ) r (s t) = (r s) t r(st) = (rs)t r s = s r r(s t) = rs rt (r s)t = rt st = ǫ r = (ÑÙØØ r = r) ǫr = r (ÑÙØØ ǫ r r, ÙÒ r ǫ) r = r r ǫ = r + ǫ r = (r ǫ) (r ) = r Ä ÔØ ÔØØÐÝ ÒØ ÂÓ r = rs t ÒÒ r = ts ÙÒ ǫ / L(s) L(r) = L(s) L(r) L(s) L(s) L(r) Ð r = s r s s r ÑÖ Ç ÓØØÒ ØØ ÐÙÚÙÒ ÐÙ ÓÐÐØ ÐÙ Ø ÓÚØ ÚÚÐÒ¹ ØØ ½ ( ) ( ) ( ) ( ) ¾ (( ) ) ( ) ( ) ) Ó ÑÙÓØÓ ÒÒ ÐÚ ÑÙÙØÒ ÐØ Ó ÓÒÓÒ ( ) ( ) ) ( ) ÐÐ ( ) ÙÚ ΣÒ ÑÖÓÒÓØ ÎÓÒ ØÓ Ø ÙÖÚØ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ ÂÓ L ÓÚØ ÒÒÐ¹ Ð Ð ÑÝ ½ L ÐØÒ ÐÙ µ ¾ L = Σ \ L ÐÒ ÓÑÔÐÑÒØØµ L R = {w R w L} ÐÒ ÒØ Ð Ó ÒØ ÓÒ ÖÓØØØÙ ØÔÖÒµ ÓÚØ ÒÒÐÐ ¼ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ¾ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½ ½ ÌÚÐÐ Ø ÓÙÓ¹ÓÔÖØÓØ Ú ÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÓÔÖØÓØ ÌÚÐÐ ØÒ ÓÙÓÒ ÓÙÓ¹ÓÔÖØÓØ ÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÓÔÖØÓØ ÑÙ ØÙØ¹ ØÚØ ØÓ Ò ÀÙÓÑ ØØ ÐÒ ÓÒ ÓÙÓ ÒÑØØÒ ÓÙÓ ÑÖÓÒÓ Ð ÒÓ ÇÐÓÓÒ A = {, } B = {c, d} ÂÓÙÓ¹ÓÔÖØÓ ËÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÓÔÖØÓ ÂÓÙÓÒ A B Ý Ø ÃÐØÒ A B Ý Ø A B = {,, c, d} A B = {,, c, d} ÂÓÙÓÒ A B ÖØ ÒÒ ØÙÐÓ ÃÐØÒ A B ØÙÐÓ A B = {(, c), (, d), (, c), (, d)} AB = {c, d, c, d} ÂÓÙÓÒ ÔÓØÒ ÓÙÓ ÃÐÒ A ÙÐÙÑ P(A) = {, {}, {}, {, }} A = {ǫ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...} ÂÓÙÓÒ X X = n ÔÓØÒ ÓÙÓÒ ÓÓ ÃÐÒ X X = n ÙÐÙÑÒ ÓÓ Ñ n ÓÒ ÒÓÒ ÐÙÙÑÖ Ð X P(X) = 2 n X = ¾ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÇÒÐÑ ÃÚÙØÓÑØØ Ó ÒÒ ÚØÓÖ ÝÚ ÝÝ ÚÒ ¼ ÒØÒ ÝÒ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ ÑÒÑÑ Ù ÓÒ ¾ ÙÖÓ ÅÐÐ ÝØÓÒÓ ÚÙ¹ ØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÃÐÚÓÐÐ ÝØÓÒÓ ÓÚØ Ñ ÙÖÚØ Ý Ò ÒØµ ¼ ¼ ¼ ¼ ½¼¼ ½¼¼ ¼ ½¼¼ ½¼¼ ½¼¼ ¼ ¼ ½¼¼ Ì ÚÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÝØÓÒÓØ ÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ ½ ÙÖÓ ½ ÙÖÓ [¼ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØÒ Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ] Ø ½ ÙÖÓ ¼ ÒØØ [½ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØÒ Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ] Ø ¼ ÒØØ ½ ÙÖÓ [½ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØÒ Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ] Ø ¼ ÒØØ ¼ ÒØØ ½ ÙÖÓ [¼ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØÒ Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ] Ø ¼ ÒØØ ¼ ÒØØ ¼ ÒØØ [½ Ø Ù ÑÔ ¼ ÒØÒ Ø ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ] ÃÚÙØÓÑØÒ ØÓÑÒØ ÚÓÒ ÙÚØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ ÙØÓÑØÒ ÝØØØ ÓÚØ ¼ ÒØÒ ½ ÙÖÓÒ ÓÐÓØ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÝØÓÒÓÒ Ó Ò ÐØÝÚÒ ÖÓÒ ÙÑÑ ÓÒ ÚÒØÒ ¾ ÙÖÓ 50, 100 q 100 q 100 q , 100 q q 3 ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ØØ ØÐ ÖØÝÑÚÓÒ

13 ¾ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ¾ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ¼ ÒØ ½ ÙÖÓ ÌÐ ÖØÝÑØÙÐÙÓÒ q0 q1 q2 q1 q2 q3 q2 q3 q4 q3 q4 q4 q4 q4 q4 d. E,e +, q0 q1 q2 q1 q1 q3 q4 q2 q3 q3 q3 q4 ¾½ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ØÝ q4 q6 q5 q5 q6 ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ØØ ØÐ ÖØÝÑÚÓÒ ØÐ ÖØÝÑØÙÐÙÓÒ ØØÓÓÒÓÐÑÒ ÑÖ ¹ÐÒ ÑÙ Ò ØÙÑÖØØÑÒ ÐÙÙÐÙÚÙÒ ØÙÒÒ ØÚ ÙØÓÑØ¹ Ø q0. d q2 q1 d. d E, e d q3 q4 E, e d +, q6 d d q5 q6 q6 Ì = {0, 1,..., 9} ÌÙÐÙÓÒ ÔÙÙØØÙÚØ ÓØ Ú ØÚØ ÚÖØÐ ÖÖÓÖ Ó ØØÒ ÝÐÒ ÐÝÒ ÚÙÓ ÑÖØ ÑØØ ÇÐÑÒ ÒØ Á Ø Ö µ» ÔÐÙØØ ½ Ó ÓÒ ÒÙÑÖÓ ¼ ÑÙÙØÒ» ÒØ q = 0 Ö c ÛÐ c Ø ØÒµµÇ µ ß ÛØ q µ ß ¼ Á Ø cµ µ q = 1 Ð c³³µ q = 2 Ð q = 99 Ö ½ Á Ø cµ µ q = 1 Ð c³³µ q Ð c³³ c³³µ q Ð q Ö ¾ Á Ø cµµ q Ð q Ö Á Ø cµµ q Ð c³³ c³³µ q = 4 Ð q = 99 Ö Á Ø cµµ q Ð c³ ³ c³¹³µ q = 5 Ð q = 99 Ö Á Ø cµµ q Ð q = 99 Ö Á Ø cµµ q Ð q = 99 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ¾ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Ö Ö Ð Ð q == 3 q == 6 µ ÔÖÒØ ÐÙÙ ÇÃµ Ð ÔÖÒØ ÎÖÐÐÒÒ ÐÙÙµ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÔÓÐØ ÐØØÙÙÒ ÓÐÑÒ ÚÓÒ ÐØØ ÑÝ ÑÒØ¹ Ø ØÓÑÒØÓ ÑÖ ØÙÑÖÐÐ Ò ÓÓÒ ÐÙÚÙÒ ØÙÒÒ ØÑÒÒ d vl = c 0 Ð Ð q Ö ¾ Á Ø cµµ ß q¾ vl = 10 vl + (c 0 ) Ð Ð q Ö Ö Ð Ð q == 2µ ÔÖÒØ ÐÙÚÙÒ ÖÚÓ ÓÒ ± sgn vlµ Ð ÔÖÒØ ÎÖÐÐÒÒ ÐÙÙµ +, d q0 q1 q2 d ¾¾ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÓÖÑÐ ÑÖØØÐÝ ÝØÒÙ Ò Ô Ù Ø Î ØÚ ÓÐÑ Ó Ð ÚÐÙÓ ÐÙÚÙÒ ÖÚÓÒ ÒÙÔ ÒØ Á Ø Ö µ» ÔÐÙØØ ½ Ó ÓÒ ÒÙÑÖÓ ¼ ÑÙÙØÒ» ÒØ q = 0 Ö c ÒØ sign = 1 ÒØ vl = 0 ÛÐ c Ø ØÒµµÇ µ ß ÛØ q µ ß ¼ c³ ³ c³¹³µ ß q½ c³¹³µ sign = 1 Ð Ð Á Ø cµ ß q¾ vl = c 0 Ð Ö ½ Á Ø cµ ß q¾ ÓÙ Ý ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÓ ØÙÙ ÖÐÐ ØÐ Ø ÓÙ Ý Ø ÑÖÔÓ¹ Ò ØÙ Ø ÝØÒÙ Ø ÒÙÔ Ø Ó ÙÐÐÒ ØÐÐ Ó ÓØØ ÝØ ÝØÒÙÒ ÑÖ ÙØÓÑØÒ ÓÙ Ý Ò ØÓÑÒØ ØÐ ÖØÝÑÙÒØÓ δ ÙØÓÑØØ ØÓÑ ÙÖÚ Ø q1 ÙØÓÑØØ ÝÒÒ ØØÒ ÖØÝ ÐÙØÐ q0 ØÒ ØØ ØÖ ØÐØÚ ÝØ ÓÒ ÖÓØØØÙÒ ÝØÒÙÐÐ ÒÙÔ Ó ÓØØ Ò Ò ÑÑ Ø ÑÖ ØÓÑÒØ¹ Ð ÙØÓÑØØ ÐÙ ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÓÐÚÒ ÝØ¹ ÑÖÒ ÔØØ ÓÙ Ý Ò ØÐÒ ÐÙØÙÒ ÑÖÒ ÔÖÙ ØÐÐ ÖØÝÑÙÒ¹ ØÓÒ ÑÙ Ø ÓÙ Ý Ò ÙÙ Ø ØÐ Ø ÖØ ÒÙÔØ ÝÒ ÑÖÒ ØÒÔÒ q0 δ q2

14 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ¾ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÙØÓÑØØ ÔÝ ØÝÝ ÙÒ ÚÑÒÒ ÝØÑÖ ÓÒ ØÐØÝ ÂÓ ÓÙ Ý¹ Ò ØÐ ØÐÐÒ ÙÙÐÙÙ ÖØÝ Ò ÝÚ ÝÚÒµ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÓÙÓÓÒ Ù¹ ØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ ÑÙÙØÒ ÝÐ Ò ÙØÓÑØÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð ÓÒ Ò ÝÚ ÝÑÒ ÑÖÓÒÓÒ ÓÙÓ ÅÖØÐÑ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÒÐ ÒØ ÙØÓÑØÓÒµ ÓÒ Ú Ó Ñ = (Q, Σ, δ, q0, F), Q ÓÒ ÙØÓÑØÒ ØÐÓÒ ÖÐÐÒÒ ÓÙÓ Σ ÓÒ ÙØÓÑØÒ ÝØÓ ØÓ δ : Q Σ Q ÓÒ ÙØÓÑØÒ ÖØÝÑÙÒØÓ q0 Q ÓÒ ÙØÓÑØÒ ÐÙØÐ F Q ÓÒ ÙØÓÑØÒ ÝÚ ÝÚÒµ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÓÙÓ ÑÖ ÊÐÐÙÙÙØÓÑØÒ ÓÖÑÐ ØÝ = ({q0,...,q6, error}, {¼ ½ ¹}, δ, q0, {q3, q6}), Ñ δ ÓÒ ÙØÒ ÑÑÒ ØÙÐÙÓ Ñ ÌÐÒÒ (q, w) ÓØ ÙÓÖÒ ØÐÒØ Ò (q, w ) ÑÖ (q, w) (q, w ), Ó ÓÒ w = w Σµ q = δ(q, ) ÌÐÒÒ (q, w ) ÓÒ ØÐÒØÒ (q, w) ÚÐØÒ ÙÖ ÌÐÒÒ (q, w) ÓØ ØÐÒØ Ò (q, w ) Ð ØÐÒÒ (q, w ) ÓÒ ØÐÒØÒ (q, w) ÙÖ ÑÖ (q, w) (q, w ), Ó ÓÒ ÓÐÑ ÚÐØÐÒÒÓÒÓ (q0, w0) (q1, w1) (qn, wn) n 0 ØÒ ØØ (q, w) = (q0, w0) (q1, w1) (qn, wn) = (q, w ). ÖÓ ØÔÙ n = 0 (q, w) (q, w) ÑÐÐ ØÒ ØÐÒØÐÐ (q, w) ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÑÖÓÒÓÒ x Σ Ó ÓÒ ÚÓÑ (q0, x) (qf, ǫ) ÓÐÐÒ qf F; ÑÙÙØÒ ÝÐ xò Ì ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ xò Ó Ò ÐÙØÐÒÒ ÝØ¹ ØÐÐ x ÓØ ÓÓÒÒ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒØ Ò ÅÖØÐÑ ÙØÓÑØÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð L() = {x Σ (q0, x) (qf, ǫ) ÓÐÐÒ qf F } δ(q0,0) = δ(q0,1) = = δ(q0,9) = q1, ÅÖØÐÑ δ(q0,.) = q2, δ(q0, E) = error, δ(q1,e) = q4 Ò ÙØÓÑØÒ ØÐÒÒ ÓÒ ÔÖ (q, w) Q Σ ÙØÓÑØÒ ÐÙØÐÒÒ ÝØØÐÐ x ÓÒ ÔÖ (q0, x) q ÓÒ ÒÝÝÒÒ ØÐ w ÓÒ ÝØÑÖÓÒÓÒ ØØÐÑØÒ Ó ÑÖ ÅÖÓÒÓÒ ¼¾¾ ØØÐÝ ÐÐ ØØÝÐÐ ÐÙÙÐÙÙÙØÓÑØÐ¹ Ð (q0, 0.25E2) (q1,.25e2) (q3, 25E2) (q3, 5E2) (q3, E2) (q4, 2) (q6, ǫ). ÃÓ q6 F = {q3, q6} ÓÒ 0.25E2 L() ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÊÄÄÁËÆ ÍÌÇÅÌÁÆ ÅÁÆÁÅÇÁÆÌÁ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÑÒÑÓÒØ Ã ÙØÓÑØØ ÓØ ØÙÒÒ ØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÑÒ ÐÒ ÓÚØ ÒÒ Ú¹ ÚÐÒØØ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÒ ÑÒÑÐÒÒ Ó ÓÒ ØÐÑÖÐØÒ ÔÒÒ ÚÚÐÒØØÒ ÙØÓÑØØÒ ÓÙÓ ÑÙÙØÒ ÓÒÖÙÒÒØØ ÌÚÓØØÒ ÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÑÒÑÐÒÒ ÐÙØÙÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÚ ÙØÓÑØØ ÌÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ÓÒ ÐÔÓÑÔ Ò ÑÒ ÐÒ ØÙÒÒ Ø ÙØÓÑØÒ ØØÐÝ ÓÒ ØÓÑ¹ Ô ÙØÓÑØØ ÑÙÓÓ ØÚØ ÐÓÖØÑØ ÚØ ÙØÒÒ Ò ØÙÓØ ÑÒÑÐ Ø ÙØÓÑØØ ÙØÓÑØØ ØÝØÝÝ ÑÒÑÓ ÌÑ ÐÔÓØØ ÚÖ ÒÒ Ù¹ ØÓÑØÒ ÓÓÙ Ø ÓÐÑÒ ÅÒÑÓÒÒÒ ÔÖÙ ÓÒ ÙÖÚ ÙØÓÑØÒ ØÐØ ØÒ ÐÙ ØÒ ÐÙ¹ ÓÒ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ¹ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÄÙÓÓ ÒÓÒÒØÒ ÙÒÒ ÙÒÒ ÐÙÓÒ ØÐØ ÝØØÝØÝÚØ ÑÐÐ ØÚÐÐ Ø Ø ÐÙÓÒ ØÐÓ Ø ÖÖÝ¹ ØÒ ÑÒ ÐÙÓÒ ÒÒØÙÐÐ ÝØÑÖÐÐµ ÅÐ ÐÙÔÖÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÐ Ó ÑÒÑÐÒÒ ÓÒ ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò Ø ÑÐÐÒ Ñ ÙØÓÑØØ ÅÖØÐÐÒ Ò Ò ÓØÒ ÔÙ ØØØ ÒÒÒ ÙÒ ÑÒÑÑ ÐÓÖØÑÒ Ý ¹ ØÝ ÓØÒ ½ ÔÙ Ø ØÐÓÒ ÚÚÐÒ ÅÖØÐÐÒ ÐÐ ÐÒÒØØÙ ÖØÝÑÙÒØÓ δ Ó ÚÓ ÔÖÑØÖ¹ ÒÒ ÑÖÓÒÓÒ Ó q Q x Σ ÒÒ δ (q, x) = q Q, ÓÐÐ (q, x) (q, ǫ) Ø ØÐØ ÓÒ q Ø Ô ÑÖÓÒÓÐÐ xµ ÌÐÓÒ ÚÚÐÒ Ò ØÐØ q q ÓÚØ ÚÚÐÒØØ ÑÖ Ó ÐÐ x Σ ÓÒ q q, δ (q, x) F Ó ÚÒ Ó δ (q, x) F Ø Ó ÙØÓÑØØ q Ø q Ø ÐØÒ ÝÚ ÝÝ Ø ÑÐÐÒ ÑØ ÑÖ¹ ÓÒÓØµ ¾ ¹ÚÚÐÒ ØÐØ q q ÓÚØ k¹úúðòøø ÑÖ Ó ÐÐ x Σ x k ÓÒ q k q, δ (q, x) F Ó ÚÒ Ó δ (q, x) F Ø Ó ÑÒ ÒÒØÒ kò ÔØÙÒÒ ÑÖÓÒÓ ÔÝ ØÝ ÖÓØØÑÒ ØÐÓ ØÓ ØÒµ ËÐÚ Ø ÔØ µ q 0 q, Ó q ØØ q ÓÚØ ÐÓÔÔÙØÐÓ Ø ÙÑÔÒ ÓÐ µ q q, Ó q k q ÐÐ k = 0, 1, 2,... ÅÒÑÓÒÒÒ ÝØØÒ ÒÒØÙÒ ÙØÓÑØÒ ØÐÓÒ k¹úúðò ÐÙÓ Ó ØØÒ (k + 1)¹ÚÚÐÒ ÐÙÓ ÙÒÒ ÚÙØØÒ ØÝ ÚÚÐÒ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÑÒÑÓÒØ ¹ÐÓÖØÑ ËÝØ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ = (Q, Σ, δ, q0, F) Ñ ½ ÌÙÖÒ ØÐÓÒ ÔÓ ØÓµ ÈÓ Ø Ø ØÐØ ÓØ ÚÓ ÚÙØØ ØÐ Ø q0 ÑÐÐÒ ÝØÑÖÓÒÓÐÐ ¾ ¼¹ÚÚÐÒ µ Ç Ø Ò ÐÐÐ ÒØ ØÐØ ØÒ ÐÙÓÒ ¹ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ k¹úúðò (k + 1)¹ÚÚÐÒ µ ÛÐ ÒÓØ ØÐ ÖØÝÑØ ÝØÒ ÓÔÚ ÐÙÓÓÒ Ò µ ß ÐÙÓÒ ÐÐ Ö ØÚÐÐ ÝØØÝØÝÚØ ØÐØ Ö ÐÙÓÒ Ð ÖØÙÖÒ = ( ˆQ, Σ, ˆδ, ˆq 0, F), ˆQÒ ØÐÐÙÓØ

15 ¼ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÊÄÄÁËÆ ÍÌÇÅÌÁÆ ÅÁÆÁÅÇÁÆÌÁ ½ ˆδÐÙÓÒ ÚÐÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓ ˆq 0 Ò ÐÙØÐÒ ÐÙÓ F Ò ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÐÙÓØ ½ ¾ ÄÓÔÔÙØÙÐÓ Ò Ò Ò Ò ÚÚÐÒØØ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó ÓÒ ÑÒÑÑÖØÐÓ Ó ÓÒ ØÐÓÒ ÒÑÑ Ø ÚÐÐ Ý ØØÒÒ ÀÙÓÑ Ø¹ Ø ØÐÓ ÓÒ ÐÙÒ ÔÖÒ ÖÐÐÒÒ ÑÖ Ó Ð ÒÖÓ ÔØ ÚÑ µ Ó ØØÒ ÚÒØÒ Ý ØÐÐÙÓ ÓØÒ ÐÓÖØÑ ÔØØÝÝ Ò ÌÖÒ ÓØØÒ ÑÒ ÔØ ÚÐ ØÓ Ø ØØ ÐÓÖØÑÒ ØÙÓØØÑ ÙØÓÑØØ ÓÒ ÑÒÑÙ¹ ØÓÑØØ Ý ØØÒÒ ÁÒ ÓÒ Ó ÓØØ ØØ ÑÒÑÓÒØÐÓÖØÑ ÓÒ ¹ ØÓ ÒÒÔ ÐÙÔÖÒÒ ÑÒÑÓØÙ ÙØÓÑØØ ÓÚØ ÓÑÓÖ Ø Ð ÒÑÑ Ø ÚÐÐ ÚÚÐÒØØ ÌÓ ØÙ ÐÝØÝÝ Ñ ÇÖÔÓ Ò ÑÓÒ Ø Ø ½½µ Ð ½ ÌÙÖÒ ØÐÓÒ ÔÓ ØÓ ÑÖ ÇÐÓÓÒ = (Q, Σ, δ, q0, F) Ñ ØÐÓÒ ÓÙÓ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ÝØÓ ØÓ Σ = {, } ÐÙØÐ q0 = {1} ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÓÙÓ F = {4, 5} ÖØÝÑÙÒØÓ δ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ Ð ¾ ¼¹ÚÚÐÒ Ç Ø Ò ÐÐÐ ÒØ ØÐØ ØÒ ÐÙÓÒ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÑÙÒ ØÐÓ¹ Ò ¾ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Á ½ ¾ Á Á ¾ ÁÁ ¾ Á ¾ Á Á ÁÁ Á ÁÁ ½ Á ÁÁ ÆÝØ Ó ØÙ Ø ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÙØÓÑØØ Ó ÙØÒ ÐÙÓ Ú Ø Ý ØÐ Ù ØÒ ØÐ Ø ÓÒ ÖÐÐ Ø ÖØÝÑØ ÓØ ÐÙÓÒ ÙÙÐÙÚÐÐ ØÐÓÐÐ ÓÒ ÌÐ ÓÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ Ó Ø ÚÓÒ ÖØÝ ÓÐÐÒ ÑÖÐÐ Ù Ñ¹ ÔÒ ÙÒ ÝØÒ ØÐÒ ÑÖ ØÐ Á ÓÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ Ó ÑÖÐÐ ÚÓÒ ÖØÝ ØÐÒ Á Ø ØÐÒ ÁÁ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Á ÁÁ ÁÁÁ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÔØÖÑÒ Ø ÙØÓÑØ ÐÐØÒ Ù ÑÔ ÖÐ ÖØÝÑ ÑÐÐ ÝØÑÖÐÐ ÑÖ ÙÖÚ ÙØÓÑØ ÑÖÐÐ ÚÓ ÖØÝ ØÐ Ø q0 Ø Ò ØÐÒ q0 Ø ØÐÒ q1 q0 q1 q2 q3 Ð k¹úúðò (k + 1)¹ÚÚÐÒ ÂÓ ÓÐ ÔØÖÑÒ Ø ØÐÓ ÒÒ ÐÓÖØÑ ÔØØÝÝ ÔÐÙØØ Ò ÅÙÙØÓÒ ÒÓÒÒ ÙØÒ Ò ÔØÖÑÒ Ø Ø ØÐ Ú ØÚÒ ÐÙÓÒ Ó ¹ ØÙ Ø ÐÐÒ Â Ò ÐÐ ÐÙÔÖ Ø ØÐØ Ö ÐÙÓÒ Ù ØÒ ÐÙÓ Ø ÓÒ ÚÒ ÑÒÐ ÖØÝÑ ËÙÓÖØ Ð ÙÙ ØÒ ÑÖ ÑÑ ØÒ ØÐ Á Ø ÌÑÒ ÐÒ ÓÐ Ò ÔØÖÑÒ ØÐÓ ÐÓÖØÑ ÔØØÝÝ ÄÓÔÔÙØÙÐÓ Á ½ ¾ ÁÁ Á ¾ ÁÁ Á ÁÁ ¾ ÁÁÁ ¾ ÁÁ ÁÁÁ Á ÁÁÁ ½ Á ÁÁÁ ÃÝ ÒÒ ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ Ø ÑÖÓÒÓØ ÓØ ÐØÚØ Ó ÑÖÓÒÓÒ ÐÒ Ò Ó ÓÒÓÒ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÒ Ó ØÓÒ {, } ÚÓÒ ÙÚØ ÐÙÓÒØ¹ Ú Ø ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÔØÖÑÒ Ñ ÐÔÓØØ ÙØÓÑØÒ ÓÒ ØÖÙÓÒØ ÌÓÒÒ ÚÐ ØÖÑÔ ÑÖØÝ ÓÒ ØØ ÔØÖÑÒ Ø ØÒ Ù¹ ØÓÑØØÒ ÚÓÒ Ó ÓØØ ØÖÑÒ Ø ØÒ ÖÐÐ ØÒ ÙØÓÑØØÒ ÒÒÐ¹ Ð ØÒ ÐØÒ ÚÚÐÒ ÈØØÐÝ ØÒ ÙÖÚ Ø ½µ ØÖÑÒ Ø Ø ÔØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ ØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÑØ ÐØ ¾µ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ ØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ½ ² ¾ ØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ ØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÔÓ ØÖÑÒ Ø Ø ÒÓ ØÒ ÖØÝÑÙÒ¹ ØÓÒ Ó ÐØ ÖØÝÑÙÒØÓ ÐØØ ÚÒÒ ØÐÒ ÝØÑÖÒ ÔÖÒ (q, x) ÓÙÓÒ ÑÓÐÐ ÙÖÚ ØÐÓ ÖØÝÑÙÒØÓ ÓÒ ÓÙÓÖÚÓÒÒµ ÅÖÓÒÓ ÝÚ ÝØÒ Ó Ý Ò ÑÓÐÐ ØÒ ØÐÓÒÓ ÓØ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÂÓ ÝØÒ ØÐÐ Ø ÓÒÓ ÓÐ ÒÒ ÑÖÓÒÓ ÝÐØÒ

16 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Ñ ÙÚÒ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÝØÓÒÓÒ Ó ÚÓÒ ØÐÐ ÙÖÚ Ø (q0, ) (q0, ) (q0, ) (q0, ) (q1, ) (q2, ) (q3, ǫ) ÌÓ ÐØ ÚÓÒ ÑÝ ÔØÝ ÝÐÚÒ ØÐÒ (q0, ) (q0, ) (q0, ) (q0, ) (q0, ) (q0, ) (q0, ǫ) ÁÒØÙØÚ Ø ÚÓÒ ØÐÐ ØØ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÙÓÖØØ ÓÓØ ÖÒÒÒ ÅÖØÐÑ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÒÓÒØÖÑÒ Ø ÒØ ÙØÓÑØÓÒµ ÓÒ Ú Ó = (Q, Σ, δ, q0, F), Ñ Q ÓÒ ÖÐÐÒÒ ØÐÓÒ ÓÙÓ Σ ÓÒ ÝØÓ ØÓ δ : Q Σ P(Q) ÓÒ ÓÙÓÖÚÓÒÒµ ÖØÝÑÙÒØÓ q0 Q ÓÒ ÐÙØÐ F Q ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÓÙÓ ÃÙÚÒ ÙØÓÑØÒ ÖØÝÑÙÒØÓ ÖØÝÑØÙÐÙÓÒ q0 {q0, q1} {q0} q1 {q2} q2 {q3} q3 {q3} {q3} Deterministinen lskent Epädeterministinen lskent ÆÝØ ÚÖØÐÒÒ ÓÒ ÐÔÓ Ø ÐÑ ØÚ ØÝÒ ÙÖØÐÓÙÓÒ ÚÙÐÐ Ñ δ(q, ) = ÑÖØ Ø ØØ ÙØØ ÚÖÒ ØÐ q1µ (q, w) ÚÓ ÓØ ÙÓÖÒ ØÐÒØ Ò (q, w ) (q, w) (q, w ) Ó w = w q δ(q, ) ÌÐÒÒ (q, w ) ÓÒ (q, w)ò ÑÓÐÐÒÒ ÚÐØÒ ÙÖ hyväksy ÅÙÙØÓÒ ÑÖØÐÑØ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÓÚØ ÑØ ÙÒ Ñ¹ ÑÒ ÀÙÓÑ ØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ ÓÚØ ÔØÖÑÒ Ø ØÒ ÖÓ ØÔÙ ¹ ÐÐ ÐÐ ØÙÒÒ ØØØÚØ ÐØ ÓÚØ ØÙÒÒ ØØØÚ ÑÝ ÐÑÑ ÐÐ ÅÙØ¹ Ø Ñ ÔØ ÑÝ ÒØÒ ØÖÑÒ Ø Ø ÔØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø Ù¹ ØÓÑØØ ÓÚØ ÝØ ÚÚÓ ½ ÙØÓÑØÒ ØÖÑÒ ÓÒØ hyväksy ti hylkää hylkää ÔØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÑÙÓ¹ Ó ØØÒ ÙÖÚ Ø ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½ ÅÙÓÓ Ø Ò ØÐØ S P(Q) Ø Ò ØÐÓÒ ÓÙÓØ P(Q) ÅÖ P(Q) = {, s1, s2,..., sm} Ñ ØÝ ÓÙÓ Ú Ø ÚÖØÐ m = 2 n 1 ¾ Ä Ò ØÐÓÒ ÚÐÐÐ ÖØÝÑØ si sj Ñ sj = {q δ(q, ) = q, q si} Ø ØÐÓÙÓÒ si sj ÚÐÐÐ ÖØÝÑ si sj Ó ÒÒ Ó ÓÙÓÒ ÚÐÐÐ ÓÐ ÖØÝÑ q sj q si ØÒ ØØ q q siò ÙÖÓÙÓÓÒ ÑÖÐÐ ÙÙÐÙÚØ Ò ØÐØ q ÓØ ÚÓÒ ÚÙØØ siò ØÐÓ Ø q ÑÖÐÐ ÀÙÓÑ ÎÓ ÑÑ ÚÐØ ÙÖØ ÑÝ ÙÖÚÐÐ ÓÐÐ q si q sj ØÒ ØØ q q ÆÝØ ØÙÐ ÙØÒÒ ÔÐÓÒ ØÙÖ ÖØÝÑ Ó Ø ÓÒ Ö ÑÒÑÓÒØÚ ÐÙØÐ {q0} ÐÙÔÖ Ø ÐÙØÐ Ø ÑÙÓÓ ØØØÙ ÓÙÓµ ÄÓÔÔÙØÐÓ ÐÙÔÖ Ò ÐÓÔÔÙØÐÒ qf ÐØÚØ ØÐÓÙÓØ si qf si ÃÖ ØÙÖØ ØÐØ ÓØ ÚÓ ÚÙØØ ÐÙØÐ Ø ÅÒÑÓ ÙØÓÑØØ ÐÓÔÔÙ¹ ÑÙÒ ØÐÓÒ ÒÓÒÒ ÐÙÓÓ ÙÒÒ ÝÒÑÙÒÒ ÖØÝÑØÒ Ò s2 q0 q2 ÃÙÚ ¾ ÌÐÓÙÓÒ s2 ÙÖ ÐÐ ÓÒ ØÐÓÙÓ s3 ÐÐ s3 ÐØ Ò s2ò ÐÓÒ ÙÖØ ÐÐ {q0} = s0 {q0, q1} {q0} {q0, q1} = s1 {q0, q1} {q0, q2} {q0, q2} = s2 {q0, q1, q3} {q0} {q0, q1, q3} = s3 {q0, q1, q3} {q0, q2, q3} {q0, q2, q3} = s4 {q0, q1, q3} {q0, q3} {q0, q3} = s5 {q0, q1, q3} {q0, q3} q0 q0, q1 q0, q2 s3 q0 q3 q0, q1, q3 q1 q0, q3 q0, q2, q3 ÃÙÒ ÙØÓÑØØ ÑÒÑÓÒ Ý ØÝÚØ ÐÓÔÔÙØÐØ Ý ØÐ ÑÖ ½¼ ØÖÑÒ ÓÒ ÙÚÒ ÙØÓÑØØ s0 s1 s2 s3, ÑÖ ØÐÓÙÓÒ s2 ÙÖ ÐÐ ÓÒ ØÐÓÙÓ s3 ÐÐ s3 ÐØ Ò s2ò ÐÓÒ ÙÖØ ÐÐ ÙÚ ¾µ ÅÙÙØ ÙÖØ Ð ØÒ ÑÒ ØÔÒ ÓÐÐÓÒ Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ ÄÙ ÇÐ A = L() ÓÒÒ ÔØÖÑÒ Ø Ò ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð ÌÐÐÒ ÓÒ ÓÐÑ ØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÐÐ L( ) = A

17 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÌÓ ØÙ ÇÐ A = L() = (Q, Σ, δ, q0, F) ÄØÒ ØÖÑ ÙØÓÑØ¹ Ø = ( ˆQ, Σ, ˆδ, ˆq0, ˆF) Ó ÑÙÐÓ Ò ØÓÑÒØ Ò ÙÐÐÒ ØÐÐ ÑÓÐÐ ØÐÓ ÖÒÒÒ ÙØÓÑØÒ ØÐØ Ú ØÚØ Ò ØÐÓÒ ÓÙÓ¹ ˆQ = P(Q), ˆq0 = {q0}, ˆF = {S Q S ÐØ ÓÒÒ qf F }, ˆδ(S, ) = q S δ(q, ). ÌÖ ØØÒ ØØ L( ) = L() ÃÐØÒ ÚÚÐÒ ÙÖ ÙÒ ØÓ ØØÒ ÐÐ x Σ q Q (q0, x) (q, ǫ) ({q0}, x) (S, ǫ) q S. ÌÓ ØÙ ÒÙØÓÐÐ ÑÖÓÒÓÒ x ÔØÙÙÒ ÙØÒ ½ x = 0 (q0, ǫ) (q, ǫ) q = q0 ËÑÓÒ ({q0}, ǫ) (S, ǫ) S = {q0} c ¾ ÁÒÙØÓ¹ÓÐØÙ ÚØ ÔØ ÙÒ x k x = k + 1 ØÐÐÒ x = y ÓÐÐÒ y y = k ÓÐÐ ÚØ ÔØ ÒÙØÓ¹ ÓÐØÙ Ò ÔÖÙ ØÐÐ ÆÝØ (q0, x) = (q0, y) (q, ǫ) q Q (q0, y) q Q (q0, y) q Q ({q0}, y) c c (q, ) (q, ) (q, ǫ) (q, ǫ) (q, ) (q, ǫ) (S, ǫ) q S q δ(q, ) ({q0}, y) (S, ǫ) q S q δ(q, ) c ({q0}, y) (S, ǫ) q δ(q, ) = ˆδ(S, ) c q S ({q0}, y) (S, ) q ˆδ(S, ) = S c ({q0}, y) c (S, ) (S, ) (S, ǫ) q S ({q0}, x) = ({q0}, y) c c (S, ǫ) q S. ¾ ÀÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÚÓÒ ØÚ Ø ÙÚØ ÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÇÐÑØÓØÙØÙ Ø ÚÖØÒ ÙØÓÑØØ ÓÒ ÙØÒÒ ØÖÑÒ ÓØÚ ÐÐ ÙÓ¹ Ñ ÑÑ ØØ ÔÑÑ ØÔÙ Ú ØÚÒ ØÖÑÒ Ø Ò ÙØÓÑØÒ ØÐ¹ ÑÖ ÓÒ ÔÓÒÒØÐÒÒ ÀÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ØÖÑÒ ÓÒØÐÓÖØÑ ØÙÓØØ ÙØÒÒ ÙØÓÑØÒ Ó ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ ØÐ ÙÒ ÐÙÔÖ Ô¹ ØÖÑÒ Ø ÙØÓÑØ Ó ÓÒ ÑÐÐ ÑÒÑÙØÓÑØØ ÑÖ ½½ ÇÐÓÓÒ Ó ØÓ {, I, U} ÒØÝÝ ÑÓ IU ÑÖÓÒÓ ¹ Î ØÚ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ,I,U,I,U I ÅÙÓÓ ØØÒ Ú ØÚ ØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÌÙÐÙÓ ÓÒ ØØØÝ ÖÓØÙ¹ Ò ÚÙÓ ØÐØ ÑÝ Ò ÓØ ÚÓ ÚÙØØ ÐÙØÐ Ø ÃÝØÒÒ ÚÓØ Ó Ø ÙÒ ÐØ ÐÐÐ ÐÙØÐ Ø Ð Ø Ò Ò Ò ÙÖØ ØØÒ ÒÒ ØÐÓÒ ÙÖØ Ò ØÙÐÙÓ ÐÚÓÙØ ÖÑØµ ÆÝØ ÑÙÒ ØÙÐÚØ ÚÒ Ò ØÐØ ÓØ ÚÓØ Ó Ø ÚÙØØ ÐÙØÐ Ø Å Á Í {0} {0, 1} {0} {0} {1} {2} {2} {3} {3} {3} {3} {3} {0, 1} {0, 1} {0, 2} {0} {0, 2} {0, 3} {0} {0, 3} {0, 3} {0, 1, 3}Ä {0, 3} {0, 3} À {1, 2} {2} {3} = D Á {1, 3} {3} {2, 3}Â {3} Â {2, 3} {3} {3} {3} Ã {0, 1, 2} {0, 1} {0, 2} {0, 3} Ä {0, 1, 3} {0, 1, 3}Ä {0, 2, 3}Å {0, 3} Å {0, 2, 3} {0, 1, 3}Ä {0, 3} {0, 3} Æ {1, 2, 3} {3} {2, 3}Â {3} Ç {0, 1, 2, 3} {0, 1, 3}Ä {0, 2, 3}Å {0, 3} U 3 ¼ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½ I U,I I, U A U E I F U L G U I I, U ÄÓÔÙ Ý ØØÒ ÐÓÔÔÙØÐØ ÑÒÑÓÒØÐÓÖØÑÒ ÑÙÒµ I U,I,I,U A U E I F U G

18 ¾ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ǫ¹ùøóñøø ÇÒÐÑ ÈÓÒ ÔÔÖÙØÓÑØØ ÈÙÒÐ ÐÙ ÚÖÐÐ ÅÙÑÑÓÒ ÐÙÓÒ ÅØ Ö ØÐ Ù Ø ÔÓÐÙ Ó Ø Ó ÚÓ ÙÐ ÚÔ Ø ÑÙØØ Ó ÚÖØÓ ÔÓ ÈÓØ ÚØÚØ ÐÔÔ Ý ¹ Ø ØÙÐÐ ÝÒ ÔÔÖÙÒ ÓÓ ØÒ¹ Ø ÝÑÒÑÙÓØÓ Ò ÑÐØÝÑÝ Ò ÑÙÒ ÃÖØØÒ ÓÒ ÑÖØØÝ ÔÓÒ ÙÐÐÒ ÔÓÐÙÐÐ ÚØÑØ ÔÔÖÙØ ǫ ØÖÓØØ Ø ØØ ÔÓÐÙÐØ ÔÖØ ÑØÒ ØÙÐÐ Ø ÓÒ ÙØÒÒ ÒØÒÙØ ÈÙÒÐ¹ ÐÐ ÚÒ ÝÒ ØØÔÔÖÙÒ ÅØÒ ÔØÐÐ ÈÙÒÐ Ô ÒØ ÝÐÐ ÝÒÔÔÖÙÐÐ ǫ¹ùøóñøø ÓÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó ÐÐØÒ ǫ¹ ÖØÝÑØ Ø ÖØÝÑØ ØÝÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐ ÃÝ ÓÒ ÖÐÐ ØÒ ÙØÓÑØØÒ ÑÐÐÒ ÐÒÒÙ ÅÖØÐÑ ǫ¹ùøóñøø ÓÒ Ú Ó = (Q, Σ, δ, q0, F) Ñ ÖØÝÑ¹ ÙÒØÓ δ ÓÒ ÙÚÙ δ : Q (Σ {ǫ}) P(Q) ÌÐÒÒ (q, w) ÚÓ ÓØ ÙÓÖÒ ØÐÒØ Ò (q, w ) (q, w) (q, w ), Ó µ w = w Σµ q δ(q, ) Ø µ w = w q δ(q, ǫ) ÅÙÙØ ÑÖØÐÑØ ÓÚØ ÑØ ÙÒ ØÚÐÐ ÐÐ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÖÐÐ ÐÐ Ù¹ ØÓÑØÐÐ ǫ ǫ ÃÙÚ ÑÖ ÃÐÒ {, } ØÙÒÒ ØÚ ǫ¹ùøóñøø ÃÙÚ ÈÓÒ ÔÔÖÙÙØÓÑØØ ÃÐØØ Ù ÙØ ÙÙ ÈÙÒÐÒ Ô Ò ØÖÓ ÝÒ ÝÒÔÔÖÙÒ ÆÝØ ÈÙÒÐ¹ Ô ÅÙÑÑÓÐÒ ÑÙØØ ÑØÒ Ò Ô Ø Ò ÓØÒ ÄÑÑ ÇÐÓÓÒ A = L() ÓÐÐÒ ǫ¹ùøóñøðð ÌÐÐÒ ÓÒ ÓÐÑ ÑÝ ǫ¹ ÖØÝÑØÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÐÐ A = L( ) ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ = (Q, Σ, δ, q0, F) ÓÒ ǫ¹ùøóñøø ÙØÓÑØØ ØÓÑ ÑÙÙØÒ ÙØÒ ÑÙØØ ÑÙÐÓ ÙÒÒ ÐÒ ÝØÝ ÑÝ Ò ÑÓÐÐ Ø ǫ¹ ÖØÝÑØ ÓÖÑÐ Ø = (Q, Σ, ˆδ, q0, F), ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÌÊÅÁÆÁËÌÁËÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Ñ ˆδ(q, ) = {q Q (q, ) (q, ǫ)}; { F {q0}, Ó (q0, ǫ) F (qf, ǫ) ÓÐÐÒ qf F; = F, ÑÙÙØÒ ½ ¾ ǫ¹ ÖØÝÑÒ ÔÓ ØÓ ÌØÚ ØÖÑÒ Ó ÙØÓÑØØ ÅÙÓÓ Ø ÖØÝÑ q q Ó (q, ) (q, ǫ) Ñ q ǫ q1 q2 ǫ q Ä ÐÙØÐ q0 ÐÓÔÔÙØÐÓÒ Ó (q0, ǫ) (qf, ǫ) qf F µ Ñ q0 ǫ q1 ǫ qf ÑÖ ½¾ ÈÓ ØØÒ ǫ¹ ÖØÝÑØ ÙÖÚ Ø ÙØÓÑØ Ø ÀÙÓÑ ÑÙÓÓ ØØØÚ ǫ¹ùøóñø Ò Ý ØØ Ø ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙØÐØ ÄÙ ÙØÓÑØØ ÅÖØÐÐÒ ÚÐ Ý ÖÐÐ ØÒ ÙØÓÑØØÒ ÐÒÒÙ ÐÙ ÙØÓÑØØ Ó ¹ ÙÓÖØØÒ ÖØÝÑ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ Ñ δ(q, ( ) ) = q ÐÐ ÖØÝÑÒ q Ø q ÙÙÒ ÑÐÐ ØÒ Ó ØÓÒ {, } ÑÖÓÒÓÐÐ ÅÖØÐÑ ÅÖ ÊΣ Ó ØÓÒ Σ ÒÒÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÓÙÓ ÄÙ ÙØÓÑØØ ÓÒ Ú Ó = (Q, Σ, δ, q0, F), Ñ ÖØÝÑÙÒØÓ δ ÓÒ ÖÐÐÒÒ ÙÚÙ ½ ǫ ǫ ¾ ǫ ǫ ǫ δ : Q ÊΣ P(Q) Ó δ(q, r) ÚÒ ÖÐÐ Ò ÑÓÒÐÐ ÔÖÐÐ (q, r) Q ÊΣµ Ò ÐÒ ØÐÒÒÓØÓ ÑÖØÐÐÒ (q, w) (q, w ) Ó ÓÒ q δ(q, r) ÓÐÐÒ ÐÐ ÐÐ r ÊΣ ØØ w = zw z L(r) ÅÙÙØ ÑÖØÐÑØ ÑØ ÙÒ ǫ¹ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ

19 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Â ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÒÒÐÐ Ø ÐØ Ç ÓØØÒ ÙÖÚ ØÖ ØÙÐÓ ÑÖ ½ ÅÙÓÓ ØØÒ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ ØØ (( ) ( )) Ú ØÚ ÖÐÐ¹ ÒÒ ÙØÓÑØØ ÎÑ ÙÚ ÓÒ ÔÓ ØØØÙ ØÙÖ ØÐ ÓØ ÐØØÝÚØ ÑÙÒ ÚÒ ǫ¹ ÖØÝÑÐÐ ÃÐ ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ÃÐ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ε ε ÌÓ ØÙ ÙÓÖØØÒ Ó Á ÓÒ ÙÖÚ ½ ÃÐ L(r) ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ L(r) ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ Ù¹ ØÓÑØÐÐ ε (*)U(*) ε ε * ε ε ε ε => => ε ε * ε ÅÙÓÓ ØØÒ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ ØØ r Ú ØÚ ǫ¹ùøóñøø ÌÐÐÒ ÓÒ ÓÐÑ Ú ØÚ ǫ¹ ÖØÝÑØÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØ¹ Ø ÀÐÙØØ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ÚÐ ØÖÑÒ Ó ÑÒÑÓµ ¾ ÃÐ L() ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ L() ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ Ð 1 ε ε 3 4 ε ε 2 7 ε ε 5 6 ε 8 = ε 3 4 ε ε ε 2 7 ε ε 5 6 ÌÖ ØÐÐÒ ÖÐÐ ØÒ ÙØÓÑØØÒ ÐÒÒÓ Ø ÐÙ ÙØÓÑØØ ¹ Ó ÚØ ÔØ ÐÙ ÙØÓÑØÐÐ ÔØ ÑÝ ØÚÐÐ ÐÐ ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÓØ ÓÚØ ÒÒ ÖÓ ØÔÙ µ ÊÙ ÓÒ ÐÙ ÙØÓÑØØ ÓÖÒØÒ ¾¹ØÐ ÙØÓÑØ Ó ¹ Ø ÚÓÒ ÐÙ ÙÓÖÒ Ú ØÚ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ ÄÙ ÂÓÒÒ ÒÒÐÐÒÒ Ð ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐ¹ Ð ÌÓ ØÙ ÅÙÓÓ ØØÒ ÑÐÚÐØ Ø ÒÒÐÐ Ø ÐÙ ØØ r Ú ØÚ ǫ¹ùøóñøø r ÓÐÐ L(r) = L(r) ÙÚ µ r Ø ÚÓÒ ÔÓ Ø ǫ¹ ÖØÝÑØ ÐÐ Ò ÐÑÑÒ ÑÙ Ø ØÖÚØØ ¹ ÚÓÒ ÝÒØÝÚ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÙØÓÑØØ ØÖÑÒ Ó ÑÑÒ ØØÝÒ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÚÙÐÐ ÈÓ ØØÒ ÚÐ ÐÓÔÙØ ǫ¹ ÖØÝÑØ ¾ {2, 3, 4, 5, 6, 7} {5} {2, 3, 4, 5, 7} {2, 3, 4, 5, 6, 7} {2, 3, 4, 5, 7} {2, 3, 5, 6, 7} {5} {2, 3, 4, 5, 6, 7} {5} {2, 3, 4, 5, 6, 7} {5} ε ÄÓÔÔÙØÐÓÒ Ð ØÒ 2, 4 6 ÐÐ Ò Ø ÓÐ ǫ¹ ÖØÝÑ 7Ò ØÖÑÒ ÓÒ ÙØÓÑØØ A = {2} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} C = {5} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} D = {2, 3, 4, 5, 7} C = {5} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} C = {5} D = {2, 3, 4, 5, 7} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} D = {2, 3, 4, 5, 7} ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Â ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ r = : r = ǫ : ǫ A B C D r = ( Σ) : r = s t : ÃÙÒ ÙØÓÑØØ ÑÒÑÓÒ ÚØÒ ØØ ÝÚ ÝÝ ÑÙÙØ ÑÖÓÒÓØ ÔØ ÔÐ Ø Ø ÓÓ ØÙÚØ s ǫ ǫ r = st : ǫ s t ǫ ǫ t II I III, r = s : ǫ ÄÙ ÂÓÒÒ ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ØÙÒÒ ØØØÚ Ð ÓÒ ÒÒÐÐ¹ ÒÒ ǫ ǫ s ǫ ÃÙÚ ÄÙ ØØ r Ú ØÚÒ ǫ¹ùøóñøò r ÑÙÓÓ ØÑÒÒ ÌÓ ØÙ Ç ÓØØÒ ØØ ÓÒÒ ÐÙ ÙØÓÑØÐÐ ØÙÒÒ ØØØÚ Ð ÓÒ Ò¹ ÒÐÐÒÒ Á ÊÙ ÓÒ ÐÙ ÙØÓÑØØ Ø ÚÓÒ ÐÙ Ú ØÚ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ ØØÒ Ò ÐÓÔÔÙØÐØ Ý ǫ¹ ÖØÝÑÐÐ ÙÚ µ ÛÐ ÑÙØ ÙÒ ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙØÐÓµ {

20 ¼ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Â ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ ½ } ÚÐØ q q q0 q qf qf F µ ÔÓ Ø q ÖØÐØ qi q qj qi qò ÐØØÐ qj qò ÙÖØ¹ Ðµ ÖÙØÓ ÒÒÐÐ ÙÚ µ ÀÙÓÑ ÅÙ Ø Ý ÐÔ qø ÐØÚØ ÔÓÐÙØµ Ý Ø ÖÒÒ Ø ÖØÝÑØ ÙÚ µ µ µ r r1 r2 r r3 r 1r2(r3 r4r 1r2) ǫ ǫ ǫ r4 ÃÙÚ ËÒÒÐÐ Ò ÐÙ Ò ÑÙÓÓ ØÑÒÒ ÖÙ ÓÙ Ø ÐÙ Ù¹ ØÓÑØ Ø ÃÙÚ ÄÙ ÙØÓÑØÒ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ Ý ØÑÒÒ ÑÖ ½ ÄÙØÒ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ ÙÖÚ Ø ÙØÓÑØ Ø µ r s qi q qj qi rs qj µ r s qi q qj t qi rt s ÃÙÚ ÌÐÒ ÔÓ ØÑÒÒ ÐÙ ÙØÓÑØ Ø qj qi r qj qi r s qj ( )() ( ) s ÃÙÚ ÊÒÒ ØÒ ÖØÝÑÒ Ý ØÑÒÒ ÐÙ ÙØÓÑØ ÌÚ ØÝ Ò ÔØØÝ ÐÐÐ ÓÐÚ ÒÒØÒ ¾¹ØÐ Ø ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ ÑÙÓÓ ØØÒ ÙØÒ ÙÚ ( )() ( ) ( ( )() ( )) ¾ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÀÙ Ð ØØÓ ËÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÙÐÙÑÓÑ¹ Ò ÙÙØ ËÆÆÄÄÁËÌÆ ÃÁÄÌÆ ÊÂÇÁÌÍÃËÁËÌ, ÙØÓÑØØÒ ÚÙÐÐ ÚÓÒ Ó ÓØØ ÙÖÚ ØÙÐÓ ÄÙ ÇÐÓÓÒ L1 L2 ÒÒÐ Ð ÌÐÐÒ ÑÝ ½ L1 L2 ÐØÒ Ý Øµ ¾ L1 L2 ÐØÒ ÐÙ µ L1L2 ÐØÒ ØÒØÓµ L1 = Σ \ L1 ÐÒ ÓÑÔÐÑÒØØµ (L1) ÐÒ ÙÐÙÑµ (L1) R ÒØ Ð Ó L1Ò ÒØ ÓÒ ÖÓØØØÙ ØÔÖÒµ ÓÚØ ÒÒÐÐ ÌÓ ØÙ ÀÖÓØÙ ØØÚ ÑÖ ½ ÄØÒ ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L() = {w {, } w ÐÐ ÑÖÓÒÓ } ÄØÒ Ò Ò ÓÑÔÐÑÒØØÐÒ ØÙÒÒ ØÚ Ù¹ ØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L() = {w {, } w ÐØ ÑÖÓÒÓÒ } Ì Ø Ò ÐÙØØÙ ÙØÓÑØØ ÚØÑÐÐ ÐÓÔÔÙØÐØ ¹ÐÓÔÔÙØÐØ ÒÒ ÃÙÚ ½½ ÃÓÑÔÐÑÒØØÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L() = {w {, } w ÐÐ ÑÖÓÒÓ } ÐØ ÚØ ÚÓ ÓÐÐ ÒÒÐÐ ÈÖÙ ÖÓØÙ ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÓÒ ÚÒ ÖÐÐÒÒ ÑÙ Ø ÖÐÐ Ø ÐØ ÓÚØ Ò ÒÒÐÐ ÅÐÐÓÒ ÓÒ ÖØÒ Ð ÒÒÐÐÒÒ ÓÐØÚ ÓÒ ØÓ ØÙÚ ÖÒÒ ÙÐÙÑµ Ú ØÚ ÙØÓÑØ ÐÑÙ ÑÖ ½ Ì ÔÒÓ ØÒ ÙÐÙÓÒÓÒ ÑÙÓÓ ØÑ Ð L ÑØ = {( k ) k k 0} ÓÐ ÒÒÐÐÒÒ Ð Ø ÚÓ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ( ( ( (... q0 q1 q(n 1) qn, ) q 2n ) q(2n 1) )... ) q(n+2) ) q(n+1) ) ÃÙÚ ½¼ ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L() = {w {, } w ÐØ ÑÖÓÒÓÒ } ) ( ( ( q0 q(n 1) qn q1... ( ËÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÖÓØÙ Ø ÅÒ ØÒ Ó ØÓÒ ÓÖÑÐ Ð ÔØ ÓÒÐÑµ ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙ¹ Ú ÑÖ ÑÙØØ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø ÚÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÖ ) ) ) ) ØÙÒÒ Ø Ø Ò Ò ÙÐÙÔÖ ÐØÚÒ ÑÖÓÒÓÒ ÒØ Ó ÒÑÑÒ Ø ÚÑÑÒ ÙÐÙ

21 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ËÆÆÄÄÁËÌÆ ÃÁÄÌÆ ÊÂÇÁÌÍÃËÁËÌ Ñ n 1 L ÑØ n+1 L ÑØ ÑÙØØ ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ Ø ÒØ ÒØ Ð { k k k 0} ÚÓ ØÙÒÒ Ø ÖÐÐ ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ØÒ ÑÝ Ò ÑÚ ÖØÑØØ ÐÙ Øµ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÓÖÑÐ Ó ØÑÒ ÖÐÐ Ò ÑÙ ØÒ Ò ÁÒ ÓÒ ØØ ÑØ ØÒ ÒÒØÙÒ ÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÖØØÚÒ ÔØ ÑÖÓÒÓ ÚÓÒ ÔÙÑÔ¹ Ø ÐØ ÐÑÒ ØØ ÐÒ ØÙÒÒ ØÚ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÙÓÑ ÑÙÙØÓ Ø ÄÑÑ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÇÐÓÓÒ A ÒÒÐÐÒÒ Ð ÌÐÐÒ ÓÒ ÓÐÑ ¹ n 1 Ñ ØÒ x A x n ÚÓÒ Ó Ò x = uvw uv n v 1 uv i w A ÐÐ i = 0, 1, 2,... ÌÓ ØÙ ÇÐ ÓÒ AÒ ØÙÒÒ ØÚ ØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ n Ò ØÐÓÒ ÑÖ ÌÖ ØÐÐÒ ÙØÓÑØÒ ÐÔÝÑ ØÐÓ Ò ØÙÒÒ Ø ÑÖÓÒÓ x A x n ÃÓ x n ØÝØÝÝ ÙÐ ÓÒÒ ØÐÒ ÙØØ ÒÒµ ÖØ Ø Ó xò n Ò ÑÑ Ø ÑÖ ØÐÐ Òµ ÇÐ q Ò ÑÑÒÒ ØÐ ÓÒ ÙØÓÑØØ ØÓ Ø x ØÐÐ Ò ÇÐ u Ò ØØÐÑ xò ÐÙÓ Ò ØÙÐÐ Ò ÑÑ Ò ÖÖÒ ØÐÒ q ÇÐ v Ó x Ø uò ÐÒ ÓÒ ØØÐ ÒÒÒ Ò ÑÑ Ø ÔÐÙ¹ ÙØÒ qùò w ÐÓÔÙØ x Ø ÌÐÐÒ ÓÒ uv n v 1 uv i w A ÐÐ i = 0, 1, 2,... v u q w ÃÙÚ ½¾ ÅÖÓÒÓÒ x = uvw A ÔÙÑÔÔÙ ÀÙÓÑ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÓÒ ÒÒÓ ØÚ ÚÒ ÖØØÑÐÐ ÐÐÐ ÖÐÐ ÐÐ ÐÐÐ ÓØ ÓÚØ ÒÒÐÐ ÚÓÒ ÚÐØ n = mx{ x x L} + 1 ÓÐÐÓÒ ÓÐ ÓÐÑ ÝØÒ x L x nµ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÆÁÆ ÆÌÌ ÈÁÌÃ ÆÆ ÈÍÅÈÈÍËÄÅÅÄÄ ÀÍÊÁËÌÁËÁ ÇÀÂÁÌ ÈÄ¹ÌÇ ÑÖ ½ ÎØ ËÙÐÙÐÙ Ð L = L ÑØ = {( k ) k k 0}. ÓÒ Ô ÒÒÐÐÒÒ ÌÓ Î ØÓÐØÙ L ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ÓÒ n 1 ÓÒ ÔØÙ LÒ ÑÖ¹ ÓÒÓ ÚÓÒ ÔÙÑÔØ ÎÐØÒ x = ( n ) n ÓÐÐÓÒ x = 2n > n ÄÑÑÒ ÑÙÒ x ÚÓÒ ÔÙÑÔØ¹ ØÚ Ó Ò x = uvw uv n v 1 ÓÒ ÓÐØÚ u = ( i, v = ( j, w = ( n (i+j) ) n, Ñ i n 1, j 1. ÅÙØØ ÑÖ ¼¹ÖØ Ø ÔÙÑÔØØÙ ÑÖÓÒÓ uv 0 w = ( i ( n (i+j) ) n = ( n j ) n ÙÙÐÙ ÐÒ L Ê ØÖØ ËØÒ L ÚÓ ÓÐÐ ÒÒÐÐÒÒ ÀÙÓÑ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÒÓ ØØ ÚÓÑÑ ÚÐØ uò vò ÐÙÑÐÐÑÑ ØÚÐÐ ÚÒ ØÓ ØÙ ÑÒ ÓÒ ÓÐØÚ Ó x = uvw uv n v 1 ÌÓ ØÙ ØÖØ ÎÐØÒ ØÖ ØÐØÚÒ ÓÒÓÒ ÔØÙÙ Ñ 2n Ó Ò Ñ¹ Ñ Ø n ÑÖ ÑÙÓÓ ØÚØ uvò ÑÙØØ ÒÒØØ ØÖÒ ÓØØÒ ÑØÒ ÑÖ ½ ÎØ L = { k l c k+l k, l 0} ÓÐ ÒÒÐÐÒÒ ÌÓ Î ØÓÐØÙ L ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ n 1 ÓÒ ÔØÙ ÑÖÓÒÓ ÚÓÒ ÔÙÑÔØ ÎÐØÒ x = n l c n+l ÓÐÐÒ l 0 ÆÝØ x = 2n+2l > n ÃÓ uv n uv ÓÓ ØÙÙ ÚÒ ¹ÑÖ Ø m = v 1 ÌÐÐÒ uv 0 w = n m l c n+l / L Ê ØÖØ ËØÒ L ÚÓ ÓÐÐ ÒÒÐÐÒÒ ÑÖ ½ ÎØ L( m n c m+n ÓÐ ÒÒÐÐÒÒ ÌÓ ÌÖ ØÐÐÒ ÑÖÓÒÓ ÓÒ ÔØÙÙ ÚÒØÒ n = k + l ÎÐØÒ x = k l c k+l x = 2k+2l > n ÆÝØ Ó uv ÓÓ ØÙÙ xò ÓÖÒØÒ k+l Ø Ò ÑÑ ¹ Ø ÑÖ Ø ÐØ ÚÒ Ø Ñ Øµ vò ÓÐØ ÚÒØÒ ½¹ÑÖÒÒ Ã ÓÚØÓØÓ ½ u = i v = k i j w = l j c k+l Ñ i k Ø j > 0 ÌÐÐÒ ¼¹ÖØ Ø ÔÙÑÔØØÙ ÓÒÓ ÓÒ uv 0 w i l j c k+l Ó ÙÙÐÙÙ ÐÒ ÚÒ Ó i = k j = 0 Ñ Ñ ¾ u = k i v = j w = l i j c k+l Ñ j 1 uv 0 w = k i l i j c k+l = k l j c k+l Ó ÙÙÐÙÙ ÐÒ ÚÒ Ó j = 0 Ñ Ñ ÃÐ ÒÒÐÐÒÒ ÑÖ ¾¼ Ñ ÎØ ÃÐ Lpr = {1 p p ÓÒ ÐÙÐÙÙ} ÓÐ ÒÒÐÐ¹ ÒÒ ÌÓ Î ØÓÐØÙ Lpr ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ÓÒ n 1 ÓØ ÔØÑÔ LprÒ ÑÖ¹ ÓÒÓ ÚÓÒ ÔÙÑÔØ ÎÐØÒ x = 1 p ÓÐÐÒ ÐÙÐÙÚÙÐÐ p n + 2 ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÒ ÑÙÒ x = uvw, uv n, m = v 1 ÆÝØ uv p m w = uw +(p m) v = p m+(p m)m = (m+1)(p m) ÌÑ ÓÒ Ý ØØØÝ ÐÙÙ Ó m+1 2 p m n+2 m 2 ÐÐ m = v uv nµ Ë uv p m w / Lpr Ê ØÖØ ÆÒ ÒÝØØ ÔØ ÒÒ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ÀÙÖ Ø ÓØ ÈÄ¹ØÓ ØÙ Ò ½ ÅØ ÒÒØØÙ ÐØ Ñ ØÓ ØÝØÝÝ ÖÓ ÓØØ ÑÖÓÒÓ ÙÙÐÙ ÐÒ ØÓ ÚÓ Ó Ñ ØØØÝÒ ÑÖÒ ÐÙÙÑÖÒ Ò Ø ÙØ¹ Ø Ñ L1 = { k m c m k, m = 0, 1, 2,...} L2 = { m 2m m = 0, 1, 2,...}µ Ø ÐØØÝ ÐÙÐÙÙÒ ÓÒ ÓÒÓ ÓÒ Ô ÒÒÐÐÒÒ L3 = { pi pi ÓÒ i ÐÙÐÙÙ} Ø ÒÒ Ó Ñ ÒÒ ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙÓ ÖÔÔÙÚØ ÓØÒÒ ØÓ ØÒ L4 = {ww R w Σ, w R ÓÒ w ØÔÖÒ ÖÓØØØÙÒ} L5 = {ww w Σ } ¾ ÅØ Ñ ÓÐ Ý ÒÖØ Ò ÑÖÓÒÓ Ó ÒØÝÚØ Ý ÓÒ Ó ¹ ÔÙÓÐØ ÂÓ Ù Ð ÓÒ ØÓ ØÙ Ò ÒÒÐØ ØÝ Ò ØÙÖ ÒÒÐÐ µ Ó Ñ L1 Ò ÐÙÙÑÖÐÐ ÓÐ ÑØÒ ÚÐ ÚÓÒ ÚÐØ ÑÖ¹ ÓÒÓ m c m Ó ÓÒ Ó ÔÙÓÐØÒ ÚÐ ÓÒ ØÙÓÐÐÒÒ ÒÒÐÐÒÒ Ó ØØ ÓÐ¹ Ð ØÖÔÒ Ó ÔÙÓÐÒ ÖÓØØÑ Ò ØÓ ØÒ Ñ L6 = { m k m m, k = 0, 1, 2,...} ØÖÚØÒ ÒÒ Ý ÖÓØØÑÒ ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙ¹Ø ÎÐ¹ ØÒ Ñ m m Ó ÐÒ ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙÓ ÖÔÔÙÚØ ÓØÒÒ ØÓ ØÒ ÑÙØØ ÑÙÙØÒ Ò ÚØ ÓÐÐ ÑØ ØÒ ÖØØ ÖÓØØ ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙÓ ØÓ ØÒ Ñ ÐÒ L5 ÓÐÐ ÚÓÒ ÚÐØ m m Ø m m ÎÐØ ÒÝØ ÑÝ ØÒÒ n ØÒ ØØ Ý ÓÒ ØÓÒÒ Ó ÔÙÓÐ ÙÙÐÙÙ Ò Ñ¹ Ñ Ò nò ÑÖÒ Ø Ô ØÒ ÔÙÑÔÔÑÒ ÌÓÒÒ ØÚÓØ ÓÒ

22 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÈÍÆÀÁÄÃÃÈÄÁ ØØ ÑÖÓÒÓÒ ÑÓÐÐ Ó Ó Ò uvw ÓÐ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÚÒ ØÑ ÓÐ ÙØÒÒ ÝØ ÖØØ Ø Ø ÚÒ ØÝØµ Ñ x = m m ÃÒÒØØ ÚÐØ n = m ÓÐÐÓÒ Ó Ø uv ÙÙÐÙÚØ m Ò ÌÐÐÒ Ô ÑÑ ÔÙÑÔÔÑÒ Ø Ý ØÓ ÖÓÓÒØÙÙ ÀÙÓÑ ÎÓÑÑ ÚÐØ ÑÝ n = 2m ÓÐÐÓÒ ØÙÐ Ð ØØ ÈÙÑÔØØ¹ Ú Ó ÚÓ ÓÓ ØÙ ÚÒ Ø ÚÒ Ø Ø ÑÓÐÑÑ Ø ÑÙÓØÓ i j µ ÎÑ ØÔÙ ÔÙÑÔÔÙ uv 2 w ÓØ Ø ( i j i i ÙÙÐÙ ÐÒµ Ì Ø ÒÝØ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÒ ÑÙ Ø ÓØ x = uvw, uv n v ǫ ÂÓ ÐÐ ÓÐÐ ÓÐ ÔÙÑÔÔÙ Ø iò ÖÚÓÐÐ ¼ ¾ ÙÒÒ ÐÝØÝÝ ÐÐÒÒ i ØØ uv i w A ØÚÐÐ Ø ÖÚÓ i = 0 Ø ÚÑ ØÒ i = 2 ØÙÓØØ ÐÙØÙÒ ØÙÐÓ Ò ÂÓ ÓÒÒ ØÙØ ÖÓÑÒ Ý ÓÒ ÐÐ ÓÐÐ uvw ÚÓØ ÙÙØ ÚÓØÓÒ¹ ÖÑÙ Ò ÀÙÖ ÇÒÒ ÓÐÓÓÒ Å ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÝØØÒ ÒÒ ØØÒ ÈÄ ÐÓÓ Ò ÐÙ Ò R(A) n xp(x) uvw Q(x, u, v, w) i S(u, v, w, i) Ñ P(x) ÓÒ ÐÝÒÒ ÓÐÐ x A x n Q(x, u, v, w) ÓÐÐ x = uvw uv n v 1 S(u, v, w, i) ÓÐÐ uv i w A ÃÝØØÒ ÓÒØÖÔÓ ØÓ ÒØ A B B A ÌÓ ÐØ ØÑÑ xp(x) x P(x) xp(x) x P(x) ÃÒÒØÒ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÒÒ ÚÙÐÐ ÓÒ Ý ØÓ ( n xp(x) uvw Q(x, u, v, w) i S(u, v, w, i)) R(A) n ( xp(x) uvw Q(x, u, v, w) i S(u, v, w, i)) R(A) n xp(x) ( uvw Q(x, u, v, w)) i S(u, v, w, i)) R(A) n xp(x) uvw Q(x, u, v, w) ( i S(u, v, w, i)) R(A) n xp(x) uvw Q(x, u, v, w) i (S(u, v, w, i)) R(A) Ë ÂÓ ÐÐ n ÓÒ ÓÙ x x n ÐÐ uvw uv n v 1 ÓÒ ÓÐÑ i ØÒ ØØ uv i w / A ÒÒ A ÓÐ ÒÒÐÐÒÒ ÈÙÒÐÔÐ ÒØ ÈÓØ ÓÚØ ÒÒ ÒÒÓ ØÙÒØ ÔÔÖ Ò ØÒ ØØ ÔÝÖØØÚØ ÔÔÖÙ¹ ØÓÑØØ ÝÑÔÖ ÑØ ÃÙØÒÒ ÑÝ ÚÒ Ö ÅÙÑÑÓ Ô Ô Ø ÔÔÖØ ÈÙÒÐ ÙÑÔÔÒÒÒ ÙÖÚÒ ÖØ ÙÒ Ó Ø Ð ÐÔÓ Ô ÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÑÙ ÔÔÖÓÒÓ ÚØ ÈÓØ ÔÝ ØÝ ÖÒØÑÒ ÓÓ ÐØ ØÙÒÒ ØÚ ÙØÓÑØØ ¹ ÚØ ÔÝ ØÝ ÑÒ ÔÔÖØ ÈÐÒ ÈÙÒÐÔÐ ÓÒ ÓÙÙØØ Ó Ø ØÓ Ò ÙÙÐÙÚØ ÈÙÒÐ ÅÙÑÑÓ ËÙ ØÓ Ò ÈÓØ ÈÙÒÐÒ ØØÚÒ ÓÒ Ú ÅÙÑÑÓÐÐ ÒÒ ÔÐÓÒ ÔÔÖØ ÙÒ Ò ÔÝ ØÝÝ ÐÑÒ ØØ ÈÓØ ÝÚØ ÒØ ÑØÐÐ ÈÓØ ÒØ ÝÚØ ÚÒ ÒÒÐÐ ÔÔÖÓÒÓ Ñ ( ÝÒ ØØ ÝÒ )µ Ø ÐÔÓÓ ØÙÚ Ø ÙÙ ÔÔÖØ ÓØ ÚÓÚØ ÓÐÐ ØÒ Ø ÝÑÒÑÙÓ¹ ØÓ ÈÙÒÐÒ ÅÙÑÑÓÒ ÔØ ÐÐÒÒ ÔÔÖÐ ÓÒ ÑÙ Ø ÔÔÖÓÒÓØ ÈÙÒÐ ÔÝ ØÝÝ ÙÐØØÑÒ ÈÓÒ ÓØ ÃÐØØ ËÙ ÙØØ ÈÙÒÐ ÅÙÑÑÓ Ñ ÐÒ ØØ n ÝÒ n µ n 1 ÔÔÖÓÒÓØ ÒØµ ÚØ ÐÔ ÈÓÐÐ ËØØ ÓÖØØÔÒ Ó Ø ÙÒ ÙÚ ÓÓ ÒÒÐÐ Ò Ø Ô ÒÒÐÐ Ò Ô¹ ÔÖÐÒ ÈÐÒ ÙÐÙ ÈÙÒÐÒ ÔÙÓÐ ÎÐØ ØÙÒÒÒÒ ÓÖØØ Ô Ø ÈÓØ ÖØØ Ó ÓØØ ØØ Ý ÒÒ ÔÔÖÐ ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ÂÓ ÓÒÒ ØÙØØ ÒÒ ØØ ÐÒ ÙÚÑØ ÔÔÖØ ÈÙÒÐÒ ÔÙÓÐ ÂÓ ÈÓØ ÚØ ÓÒÒ ØÙÒØ ÒÒ ÚÓØØ ÝÖØØ ÙÐØÙ Ø Ç ¹ ÓØØ ØØ ÔÔÖÐ ÓÐ ÒÒÐÐÒÒ ÂÓ ÓÒÒ ØÙØØ ØØ ÚØÝ ÔÔÖØ ¼ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½¼ ÃËÃÍÊËÁÇ ËÆÆÄÄÁËÌÆ ÃÁÄÌÆ ËÇÎÄÄÍÃËÁ ½ ÓÒÒÐÐ Ø ÅÙÑÑÓÐÐ ÈÓØ ÈÙÒÐÒ ÔÙÓÐ Ò ØÐÚØ ÔÔÖÐ Ø ÒÒ ÙÒ ÙÒÒ ÓÓ ÈÓØ ÚØ Ò Ø ÈÙÒÐ ÚØÝ Ò ÐÔ ÌÑÒ ÐÒ ÈÙÒÐ ÙÑÔÔÒ¹ ÒÒ ÝÖØØ ÙÖÚ ÔÔÖÐØ Ë ÔÙÓÐ Ó ÓÒ ÐÓÔÙ ÖÒÒÝØ ÒØÒ ÔÔÖÐ ÚÓØØ ÔÐÒ ÎØ ÚÐÐÐ ÔÙÓÐ ½¼ ÙÖ Ó ËÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÓÚÐÐÙ ÀÑÓÒØÙÒÒ ØÙ ÌÚÓØ ÐÙØÒ ÐÝØ Ø Ø Ø y ÑÓ x ÐÐ ØÙØÙ ØÙÑÑ Ó ÝØÒ ØÔÒ ÖØ Ø ØÑ ÓÒÐÑ ÖÐÐ ØÒ ÙØÓÑØØÒ ÚÙÐÐ ÄÑÑ ÖÐÐ Ò Ù¹ ØÓÑØÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÑÓÒ x ÂÓ ÐÙÑÑ Ð ÒÒ x ÒÒÒ ÑÖ¹ ÓÒÓ ØÝØÝÝ Ð Ø Ð ÙÖ Ó ÔØ Ö ÐÙØÙ Ø ÑÖ Ø ÖØÝÑ Øµ ÙÒÒ ÑÓ ØÙÒÒ ØØØÙ ÖÐÐ ÙØÓÑØØ ÚÓÒ ÝØØ ØÓ ÐÐÒ ØÔ ÑÓÒ ØÙÒÒ ØÙ Ò ÅÙÓÓ ØØÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ø ØÒ y Ù Ø ÙØÓÑØÒ ÙÙÒÒ ÖÒ ÖØÝÑÒµ ÐØØÝÝ ÖÒ ØØ ÒÙÑÖÓ ÃÙÒÒ ÖØÝÑÒ ÝØÝ ØÒÓÒ ÖÒ ÖÒ ÐÙØØÙÒ ÑÖÒ ÓÒÓÓÒ Ä ÚØØÒ ÒØ¹ Ð ÙÖ ÖØÝÑÒ ÐÑÓØØÑÐÐ ÐÑÖÐÐ ÌÙÐÓ Ò Ò ÔÖ (p, i) Ñ p ÓÒ Ù i ÖØÓÓ Ò ÒÒÒ ÑÓÒØÓ ÑÖ ÐÙØØÚ Ø ØÒ ÐÙ Ø ÓØØ Ý ÒÒ Ù ÐÝØÝÝµ ÌÐÐÒÒ Ù ÙØÓÑØØ ØÓÑ Ø Ø ØÒ Ñ ØÓÖÒØÒ ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓÒ Ø Ñ ØÒ ÑÖÓÒÓ Ø Ø Ø ÅÙ ØØÒ ÑÝ ØØ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÚÓÒ ÐÔÓ Ø ÙÚØ Ø ØØÚ ÑÓ Ñ ØÓÒ Ù Î ØÚ ÙÓÒ ÚÓÒ ØÓØÙØØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ Î ØÒÚÐØÝ ÔÖÓØÓÓÐÐØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ ÅÝ ÖÐ ÔÖÓØÓÓÐÐ ÚÓÒ ÙÚØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ Ø ØÐÓÒÒ ÌÐÐ ØÚÐÐ ÚÓÒ ÑÖ ÚÖÓ ØØ ÓÒ Ú ØÒÚÐØÝ ÔÖÓØÓÓÐÐ ØÓÑ ÓÒ ÌÖ ØÐÐÒ Ý ÖØ Ø ÐØÖÒØÒ Øµ¹ÔÖÓØÓÓÐÐ Ó ÐØØÔÖÓ ¹ S Ú ØÒÓØØÔÖÓ R ÓÑÑÙÒÓÚØ ÚÙÓÖÓ ÙÙÒØ Ò ÒÚÒ ÙØØ ÎÙÓÖÓ ÙÙÒØ ÒÚ Ú Ø ÐØØ ÚÒ ÝØÒ ÙÙÒØÒ ÖÖÐÐÒ ÃÒÚ ÚÓ ÙØ Ø ÚÖ Ø ÒÓÑ ÑÙØØ Ú ØÒ Ö ØÝ ÐÝÝ ÒÚ ÑÓÒ Ø ÒÓÑ ÃÓ ÒÚ ÓÒ ÖÖÐÐÒ ÚÒ Ý Ú Ø ÖØØ Ú ØÒ ØØÑ Ò ØØ ½ ¼ ÄØØ ÝÖØØ Ò Ò ÐØØ Ú ØÒ d0 Ó Ø ÙØØÙ¹ Ò 0 ÖØÝÝ ÐØØÑÒ Ú Ø d1 ÂÓ d1 ØÒ ÙØØÙ Ò 1 ÚÓ ÐØØ Ø Ú ØÒ ÓØ ÑÖØÒ d0ðð Ò ÄØØ ÙØÒÒ ÐØ ÙÙØØ Ú Ø ÒÒÒ ÙÒ ÓÒ ÒÙØ ÐÐ Ø ÙØØÙ Ò ÂÓ ÙØØÙ Ø Ù¹ ÙÐÙ ØØÝÒ Ò t ÙÐÙ ÐØØ Ú ØÒ ÙÙ ØÒ Î ØÒÓØØ ÔÙÓÐ ØÒ ÐÙ ÒÚ Ø ØÙÐÚØ Ú ØØ ÐØØ Ò Ø ÙØØÙ Ò ÑÓÐÐ Ø Ù ÒÒ ÖØÒ Ó Ñ Ú Ø ØÙÐ Ù Ø ÖØÓµ ÄØØÒ Ú ØÒÓØØÒ ØÓÑÒØ ÚÓÒ ÙÚØ ÙÖÚÒÐ Ò ÔØÖ¹ ÑÒ Ø Ò ǫ¹µ ÙØÓÑØØÒ t S1 S2 d0, ε Sender: 0 1 S4 S3 d1, ε Ä ÐÒÒ ÒÐÝÝ d0 Receiver: d0 R1 R2 Ä ÐÒÒ ÒÐÝÝ ÓÒ ÒØÒ Ó Ó ÐÓÓÒ ÐÓÓ Ø ÝØÒÙ¹ ÙÐÙÚÒ Ó Ò ØÓÒ µ ÌÐÐ Ó ÚÓÚØ ÓÐÐ ÑÖ ÚÖØÙØ ÒØ ØÙÒÒ ØØ ÝÑ Ä ÐÒÒ ÒÐÝ ØØÓÖ ÚÓÒ ØÓØÙØØ Ñ ÍÆÁ¹ÓÑÒØÓÒ ÐÜ ÐÜ ÐÐ Ò ÆÍ¹ÚÖ Óµ ÚÙÐÐ ÄÜ¹ Ü¹ÓÑÒØÓ ÚØ ÝØØÒÒ Ð ¹ ØÒ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø ÓØ ÑØ Ø Ú ØÚÒ Ó Ò ÓÐÐ ØÙÓØØÚØ ØÑÒ ÔÓÐØ Ð Ð Ò ÒÐÝ ØØÓÖÒ Ý ÐÐ ÒÒÐÐ ËÝØ ÚÓ ÓÐÐ ÑÖ ÙÖÚÒÐÒÒ d1 1, 0, d0 ε ε R4 R3 d1 d1

23 ¾ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½½ ÀÊÂÇÁÌÍÃËÁ ËÆÆÄÄÁËÁËÌ ÃÁÄÁËÌ Ð {ÖØÙÖÒ ÄËµ; } ¹¹Þ ¹¹Þ¼¹ {Ó ØÓ ÒØÖ Ø ÓÙÒ ÒØÖ Ò Ø ÝÑÓÐ ØÐ; ÖØÙÖÒ Áµ; } >= {ÖØÙÖÒ µ} = {ÖØÙÖÒ Éµ; } ÀÙÓÑ ÌÐÐ ÑÖØØÐÝ ÚÖØØÙ Ò Ð Ø Ñ ÑÝ ØÙÒÒ ØÒ Ù¹ ÚÙ Ò ÇÒÐÑ ÚÓÒ ÖØ Ø ÒØÑÐÐ ÒÒÐÐ ÔÖÓÖØØÖ ØÝ ÚÐ¹ ØÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÙ ÓÓÒ ÑÖÓÒÓ Ø Ñ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÒ ÔÖÓ ÓÒØ ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÒ ÝÑÑÖØÑÒÒ Ø ØÓÒ Ö ØÑÒÒ Ø Ø Ø Ó ÔÝÖÒ ÓÓ Ø ØÒ ÝÑÑÖØÑ Ò ÚÒ Ø ÑÒ Ø ÒÓ ØÒ ÐÙØØÙ ØØÓµ ÓÒ ÝÚÒ ØÚ ØØÚ ÓÓÒ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÚØ ÖØ ÆØ ÚÓÒ ÙØÒÒ ÝØØ ÔÙÒ Ø ØÒ ÔÖÓ ÓÒÒ ÑÒ ØÔÒ ÙÒ ÓÐÑÓÒØÐÒ Ð¹ Ð ÒÐÝÝ Ö Ð ØÝÑ ØÔ ÓÒ ÑÙÓÓ Ø ØÖÒ ÙØÓÖ ÒÐ ØÖÒ ÙÖµ Ó ÓÒ ÖÒ¹ ÐÒÒ ÙÙÐÐÒÖÓØÚ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÄÒÒØÒ ÑÖ ÐÙ Ù¹ ØÓÑØØ ØÒ ØØ Ó Ò ÖØÝÑÒ ÝØÝ ÙØÓÑØØ ÐÙ ÑÖ¹ ÓÒÓÒ ØØ ÓÖÚ Ò ÓÐÐÒ ØÓ ÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐ Ø ØÝÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐµ ÌÐÐ ÐÐ ØÖÒ ÙØÓÖÐÐ ÚÓÒ ÑÖ ÐÙ ÔÓ ØÙÖØ ØÝØ ÒØ ÙØÒ ÒÐÒÒÒ ÖØÐØµ ØÙÒÒ Ø ÔÖÔÓ ØÓØ Ñ ÓÖÚØÒ ÝÑÓÐÐÐ PREµ Ø ÙÖ Ø Ö ÒÑÒ ØÙÒÒ ØÑ Ò ÓÖÚØÒ ÓÚØÙÐÐ ÝÑÓÐÐÐµ Ð¹ Ð ÑÖ ØÖÒ ÙØÓÖ Ø Ó ÔÝÖ ÖÓØØÑÒ ÒÐÒÒÒÐ Øµ ÐÙ Ø Ù ØÒØÚ¹ÐÑÙ Ø ÒÓÙÒ ÔÖ µ ÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ [(d) n+] Ñ d ÓÒ Ö¹ ØÐ ÓÒ ØÚ n ÓÒ Ù ØÒØÚ ÅÙÙØ ÒÐÙÓØ ÙØÒ ÚÖØ vµ ÓØ¹ ØÒ ÙØÓÑØ ÖØÝÑ ÐÐµ ÀÙÓÑ ËÒÐÙÓØ ÓÒ Ó ØÙÒÒ ØØØÙ ÓÐÐÒ ØÔ Ñ ÐÙ Ì ØÓÑ Ø ÙØ Ø ÑÓÙ ÓÒ ÓÓØØÙ dnnvdnµ ÃÙÚ ½ ÌÖÒ ÙØÓÖ Ó ÖÓØØ ÐØÓ ÙÐÙØ Ò ØÙÒÒ ØÑÒ Ù¹ ØÒØÚÐÙ Ò ÝÑÔÖÐÐ ÅÖÒØ 0 : { ØÖÓØØ Ø ØØ ØÖÒ ÙØÓÖ ÐÙ ÑØÒ ÑÙØØ ÖÓØØ ÐØÓ ÙÐÙÒ { ½½ ÀÖÓØÙ ÒÒÐÐ Ø Ð Ø ½ ÍÆÁÒ ÖÔ¹ÓÑÒÒÓÐÐ ÜØÒ ÖÔµ ÚÓ Ø Ø Ø Ø ÑÓ ÓØ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÒÒÐÐ Ò ÐÙ Ò ÖÔÒ ÔÖÙ ÝÒØ ÓÒ ÙÖÚ ÖÔ ÐÙ ØÓ ØÓ Ñ ÐÙ ÚÓ ÓÐÐ µ ÙÐÙ Ð Ø ÑÖ Ñ [cd] Ñ ØÒ ÑÖ Ø,, c, d µ (luseke)(luseke) Ò ÐÙ Ò ØÒØÓ µ (luseke1) (luseke2) ÓÓ ÐÙ ½ Ø ÐÙ ¾ µ (luseke) ÐÙ ØÓ ØÙÙ ¼ ÖØ Ø Ù ÑÔ ÖØÓ ÙÐÙÑµ µ \ ØÝ ÑÖ ÒÒ ÖÙÒ \B ØÝ ÑÖ ÒÒ ÐÐ ÀÙÓÑ ÄÙ ÒÒØØ ÐØØ Ô ÙÒ ³ÐÙ ³µ Ä ØØÓ ÓÑÒ¹ ÒÓÐÐ ÑÒ ÖÔ Ì Ø ÖÔ¹ÓÑÒØÓ ØÓ ØÓÐÐ ØØÔ»»ÛÛÛ ÓÒ ÙÙ»Ô»ÛÑÐ»ØÔ¼» Ñ ÅÐÐ ÑÓ ÐÝØ ÙÖÚÐÐ ÓÑÒÒÓÐÐ ÖÔ ³ ÙÙµ Øµ µ ÓØµ ÐÐµ³ Ñ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ Ã Ø Ý ÒÖØ ÑÔ ÓÑÒØÓ Ó ØÙÐÓ Ø Ø ÑÐÐÒ ÖÙÒÓÒ ÖÚØ ¾ ÅÐÐ ÐÐ ÖÔ¹ÓÑÒÒÓÐÐ ÐÝØ ÙÖÚØ ÖÚØ µ ÊÚØ ÓÐÐ ÓÒ ÒÙÑÖÓØ µ ÊÚØ ÓÐÐ ÒØÝÝ Ò while Ø for µ ÊÚØ ÓÐÐ ÒØÝÝ ÒÙÑÖÓ 10 µ ÊÚØ ÓÐÐ ÒØÝÝ ÓÓÒ ÐÙÙ ÀÙÓÑ ÃÓÑÒØÓ ÝÚ Ý ÑÐÐÙÙµ Ä ÖÔ¹ÓÑÒØÓ ÓÐÐ ÐÝØ ØÑÐ¹ØÓ ØÓ Ø ÔÓ Ø¹ ØÙÓ ÓØ¹ ØØ ÔÙÐÒÒÙÑÖÓØ ÃÝØ ØÒ Ã ØÒÒ ÄÓÓÙÐÙÒ ÚÙ ØØÔ»» ÓÒ ÙÙ»Ô»ÛÑÐ»ØÔ¼» ØÒ» ØÒØÑµ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ Ó ØÓÒ Σ = {, } Ð ÒÒ Ù ØÒ Ð Ø ÑÖÓÒÓ ÓØ ÙÙÐÙÚØ ÐÒ ÓØ ÚØ ÙÙÐÙ ÐÒ µ µ () µ µ () µ (ǫ ) µ Σ Σ Σ Σ ÅØ ÑÖÓÒÓ ÙÙÐÙÙ ÙÖÚÒ ÐÙ Ò ÙÚÑÒ ÐÒ (c h m r)t((c t) (s t)o)ught(m l tw r)ice ÅØ ÑÖÓÒÓ ÙÙÐÙÙ ÐÒ L( ) ÒØ L(ǫ ) ½½ ÀÊÂÇÁÌÍÃËÁ ËÆÆÄÄÁËÁËÌ ÃÁÄÁËÌ ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚ Ð Ú ØÚØ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø µ {w {, } w ÐØ ÔÖÐÐ Ò ÑÖÒ ÑÖ } µ {w {, } wò ÔØÙÙ ÓÒ ÔÖØÓÒ} µ {w {, } wò ÐØÑÒ ¹ÑÖÒ ÐÙÙÑÖ ÓÒ ÓÐÑÐÐ ÓÐÐÒÒ} ½¼ Ø Ý ÖØ ÑÑ ÑÙÓÓ ÙÖÚØ ÐÙ Ø Ò Ý Ò¹ ÖÓÚØ ÑÒ ÐÒµ µ ( ) µ (0 10 ) µ 1 (011 ) 1 (011 ) 0 ½½ ÇÐÓÓÒ Ó ØÓ Σ = {, } ÅÙÓÓ Ø ÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ ÙÖÚÒ ÐÒ µ L() = L( ) µ L() = L( ) µ L() = L(ǫ) µ L() = L(ǫ ) µ L() = L(Σ ) ½¾ ËÑÙÐÓ ÒÒØÙÒ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ØÓÑÒØ ÐÒ ÃÙÒ ÓÔ Ð Ú Ø ÝØ ÙØÓÑØÒ ØÐ Ó ÐÙ ÙÖÚÒ ÝØÑÖÒ ÒØ ÓÒ¹ ØÖÓÐÐÒ ÙÖØÐÐÐ ÀÝÚ ÝÚ Ø ÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ ÖÔÓÖØÓ ØÙÒÒ ØÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ô Ø Ó ÐÐ ÐÒ Ó ÐÐ ØÙÐÐµ Ø ÐÝÒ ÑÖÓÒÓ Ó ÙÙÐÙÙ ÙÖÚÒ ÐÙ Ò ÙÚÑÒ ÐÒ W E µ ( ) µ ( () ) µ ( )( ) ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚ Ð Ú ØÚØ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø µ {w {, } wò ÓÐÑÒÒ ÚÑÒÒ ÑÖ ÓÒ } µ {w {, } w ÐØ ÓÓ ÑÖÓÒÓÒ Ø } µ {w {, } w ÐÐ ÑÖÓÒÓ } Sim Suomenlhti ½ Ä ÒÚÒ ÙÐÙÙØÓÑØØ Ó Ú ÙÐ ÙÐÙØ ÙÓÐØ ÚÒ ÔÒÒÒ Ð Ù Ø ÒÓ ØÑ Ø ÙØÓÑØØ Ø ÄÒ ÙÐÙÒ ÚØ ÚÒ

24 ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½½ ÀÊÂÇÁÌÍÃËÁ ËÆÆÄÄÁËÁËÌ ÃÁÄÁËÌ ÙÒ Ú ÓÒ ÝÐÐÐ Ø ÙÐÙÒ ÚÒ ÙÒ Ú ÓÒ ÐÐÐ ÎØØ ÒÓ Ø Ð ÚÒ ÙÒ ÙÐÙÔÓÖØØ ÓÚØ ÒÒ ÙØÓÑØØ ÚÐÚÓÒØÖ ØÐÑÐØ ÙÖÚ ÝØØØÓ ÎÄ Ú Ð ØØÙ ÎÆ Ú ÒÓ ØØØÙ ÄÄ ÐÚ ÐÒÒ Ø ÄÁ ÐÚ Ø ËÃ ÙÐÙØ ÒÒ ÄË ÐÚ ÙÐÙ A B C D ÎÓØ ÓÐØØ ØØ ÐÚÓÒ ÚÐÐÐ ÙØÓÑØØ ÓÓØØ ØÓÒÒ ÙÐÙ Ù ÙÒÒ ØÓÒ ÙÙÒ ÐÚÒ ÔÙÑ Ø ÀÙÓÑ ÙØÓÑØÐÐ ÓÐ ÖØÝ ÐÙ¹ ÐÓÔÔÙØÐÓµ ½ ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚ ØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÑÒÑ¹ ÙØÓÑØØ ½ Ä ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó ÙÚ Ò ÖÖÓ Ò ÚÐ ÙÐÚÒ Ò ØÓÑÒØ À ÚÓ ÓÐÐ ÓÓ ÝÐÐÐ Ø ÐÐÐ ÃÙÑÑ ØÒ ÖÖÓ ÓÒ Ý ÒÖØÒÒ ØÒÒ¹ÒÔÔ Ò ÐÐ ÝÐ ¹ Ð ¹ÒÔÔØ À ¹ ÓÒ Ð ÓÚ ÓÒ ÚÓ ÚØ Ø ÙÐ ÐÙÙ ÚÒ ÓÚÒ ÓÐÐ ÒÒ ÙØÓÑØÐÐ ØÖÚØ ÓÐÐ ÖØÝ ÐÓÔÔÙØÐÓµ ËÝØ ÒÔÒ ÔÒÐÐÙ Ø ÓÚÒ ÚÙ ÙÐÑÒÒ ÌÐØ ÝÐÐÐ»ÐÐÐ ÓÚ Ù»ÒÒ ÅÖØÒ ÝÐÐÐ ÐÐÐ ÓÚ Ù ÓÚ ÒÒ 2 3 ½ ÇÐÓÓÒ Ó ØÓ Σ = {0, 1} Ä ØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÙÖÚÒ ÐÒ µ L() = {w wò ÔØÙÙ ÓÒ ÔÖØÓÒ} µ L() = {w 1Ò ÐÙÙÑÖ w ÓÒ ÓÐÑÐÐ ÓÐÐÒÒ} µ L() = {w w ÓÒ ÔÖÐÐÒÒ ÑÖ ½ ¼} ½ ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚ ØÖÑÒ Ø Ø ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÑÒÑ¹ ÙØÓÑØØ ½ ËÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÒÖÓÒØ ÊÙÒÓÙØÓÑØØ ÌÓØÙØ ÓÐÑ Ó ØÙÓØØ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ ØØ (ÌÌÊ) ËÍÂ ÈÊ (ÌÌÊ) ÇÂ( ÌÌÊÁ ǫ) Ú ØÚ ÖÚ ÃÐØ ÌÌÊ ËÍÂ ÇÂ ÈÊ ÌÌÊÁ ÓÓ ØÙÚØ Ñ ÙÖÚ Ø ÒÓ Ø ÌÌÊ {Ô Ù ÑÙ Ø} ËÍÂ{ ÙÙ Ð} ÇÂ{ ÙÙØ Ð} ÈÊ{Ô Ø Ø Ð Ù} ÌÌÊÁ{ØÚÐÐ ÖÚ } ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½½ ÀÊÂÇÁÌÍÃËÁ ËÆÆÄÄÁËÁËÌ ÃÁÄÁËÌ ÇÐÑ ÚÓ ØÙÓØØ ÑÖ ÙÖÚÒÐ ÖÙÒÓÒ Ø ÅÙ Ø Ý Ô Ù Ð ÖÚ ÃÙÙ Ø Ð ØÚÐÐ ÀÙÓÑ ÅÖØØÐ ØØ ÓØ ÚÓ ÙÖØ ÔÖØØ Ñ ÚÖ Ùµ ÌÝÒÒ ÑÖ ÑÐ Ø ÖÙÒÓÓÒµ ÓÔÚÐÐ ÒÓÐÐ Ä ÙÙÙ ¹ ÐÙ Ø Å ÌÌÊµ ËÍÂµ Ý ÝÑÝ Ø ÇÐØÓ ÌÌÊµ ËÍÂµ ½ ÌÖ ØÐ ÐÙÒØÓÑØÖÐ Ø ÐÝØÝÚ ÖÙÚ ÔØÖÑÒ Ø Ø Ù¹ ØÓÑØ Ø ØÓØÓÖÒ Ú ØÒÓØÓÐÐ Å Ø ÚÐÚ Ø ÓÔÖØÓ ÓÓ ØÙÙ Å¹ Ò ÒÒ ÙÒ ÔØÒ ¾¼ Ã ÒÒ Ý ÖÐÑÒ ÐÑ ÓØ ÚÓØ ÔÖØÒ ÙÚØ ÔØÖÑÒ¹ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÈÖÖ ÙØÓÑØØ ÖØÝÑÚÓ Ç ØÓ ØÖÑÒ¹ Ó Ò ¾½ Ä ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó Ø Ø ÐØ Ó ¹ ØÓÒ {, } ÑÖÓÒÓ ØÖÑÒ Ó ¾¾ ÅÙÙÒÒ ÙÖÚ ÙØÓÑØØ ØÖÑÒ Ø ¾ ÅÙÓÓ Ø ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ ÙÖÚÒ ÐÒ ÖØ ÝÝÒØ ÔØÖÑÒ Ñ ÒÒ ÔÐÓÒ ÙÒ ÑÓÐÐ Ø µ Ó ØÓÒ {0, 1,..., 9} Ò ÑÖÓÒÓØ ÓÒ ÚÑÒÒ ÑÖ ÓÒ Ò¹ ØÝÒÝØ ÑÑÒ µ Ó ØÓÒ {0, 1,..., 9} Ò ÑÖÓÒÓØ ÓÒ ÚÑÒÒ ÑÖ ÓÐ ¹ ÒØÝÒÝØ ÑÑÒ µ Ó ØÓÒ {0, 1} Ò ÑÖÓÒÓØ Ó ÓÒ ¼ ÓÒ ÚÐ ÓÒ ÒÐÐÐ ÓÐÐÒÒ ÑÖ Ý ÀÙÓÑ ÅÝ ¼ ÓÒ ÒÐÐÐ ÓÐÐÒÒ ¾ ÈÓ Ø ǫ¹ ÖØÝÑØ ÈÓÒ ÈÔÖÙÙØÓÑØ Ø ØÖÑÒ Ó ØØÔ»» ÓÒ ÙÙ»Ô»ÛÑÐ»ØÔ¼»ÖÓÓÔµ ¾ ÅÐÐ Ò ÐÒ ÈÓÒ ÈÔÖÙÙØÓÑØØ ÃÙÚ µ ÝÚ ÝÝ ¹ Ø Ð ÒÒÐÐ Ò ÐÙ Ò ¾ ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚ ÖÐÐ ÙØÓÑØØ Ú ØÚØ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø ¾ ÅÙÓÓ Ø ÙÖÚ ÒÒÐÐ ÐÙ Ø Ú ØÚØ ØÖÑÒ Ø Ø ÖÐ¹ Ð Ø ÙØÓÑØØ µ() () µ(( ) ) ) ¾ Ç ÓØ ØØ ÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÐÙÓ ÓÒ ÙÐØØÙ ÐÙ Ò ØÒØÓÒ ÙØÒ Ì Ó L1 L2 ÓÚØ ÒÒÐÐ Ð ÒÒ ÑÝ L1 L2 L1L2 ÓÚØ ÒÒÐÐ Î ÙØÓÑØØµ ¾ ÇÚØÓ ÙÖÚØ ÐØ ÒÒÐÐ ÈÖÙ ØÐ µ {w w ÓÒ Ø Ø ÓÓ ØÙÚ ÑÖÓÒÓ ÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ } µ {ww w {, } } () ()

25 ¼ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ½½ ÀÊÂÇÁÌÍÃËÁ ËÆÆÄÄÁËÁËÌ ÃÁÄÁËÌ ½ µ {w w ÝØ ÑÓÒØ ½ ¼} µ {w w ÖØ ÒÒ ÑÓÒØ ¼ ÙÒ ½} ¼ ÅØ ØÔØÙÙ Ó ÝÖØØ ØÓ Ø ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ Ô ÒÒÐÐ ¹ ÐÒ Ó ÓÒÒ Ó Ø ÒÒÐÐÒÒ ÌÖ ØÐ ÑÖ Ð {, } { } ½ ÅØ Ú ÓÒ ÙÖÚ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑØÓ ØÙ µ ÇÐÓÓÒ L = {() i () j i, j 0} ÎØ L ÓÒ Ô ÒÒÐÐÒÒ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ x = () n () k = 2n 2n x = 4n ÆÝØ x ÚÓÒ Ó Ò uvw ÚÒ ÝÐÐ ØÚÐÐ u = i v = j j 1 w = 2n i j 2n ÆÝØ uv 0 w = 2n j 2n / L ÓØÒ L ÓÒ Ô ÒÒÐÐÒÒ µ ÇÐÓÓÒ L = {c r k k r 1, k 0} { k l k, l 0} ÎØ L ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ÌÓ ØÙ L = L1 L2 Ñ L1 = {c r k k r 1, k 0} L2 = { k l k, l 0} ÂÓ ÐÐ x L ÔØ x L1 Ø x L2 ÌÙØØÒ Ö Ò ÙÑÔÒ ØÔÙ Ø ½µ ÂÓ x L1 ÚÐØÒ x = c n k k x = n + 2k > n x ÚÓÒ Ó Ò uvw ÚÒ ÝÐÐ ØÚÐÐ u = c i v = c j j 1 w = c n i j k k ÆÝØ uv k w L ÐÐ k = 0, 1, 2,... Ð ÚÓÑÑ Ò ÔÙÑÔØ x ¾µ ÂÓ x L2 ÚÐØÒ x = n l x = n+l x ÚÓÒ Ó Ò ÚÒ ÝÐÐ ØÚÐÐ u = i v = j j 1 w = n i j l uv k w L ÐÐ k = 0, 1, 2,... L ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ¾ ÌØÒ ØØ ÝÐ ØÔÙ ÓÒÐÑ REG(L) Ø ÓÒÓ ÒÒØØÙ Ð L ÒÒÐÐÒÒ Ú µ ÓÒ ÖØÑØÓÒ Å Ø ØÑ ÓØÙÙ ÎÓ ØÓ ÐØ ÐØ ÓÐÑÒ Ó ÙØØ Ñ Ø Ó ÓØØÑÒ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ØØ Ð ÓÒ Ô ÒÒÐÐÒÒ ÎÚÑÔ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÒ ÚÖØÓ ÒØ ÖØØÚØ ØØ ÚÐØØÑØ¹ ØÑØ ÓØ ÐÒ ÒÒÐÐ ÝÝÐÐ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ¾ ÃÐ A Σ ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ Ó ÚÒ Ó ÓÒ ÓÐ¹ Ñ ÚÓ n 1 ÐÐ x Σ Ó x n ÓÒ ÓÐÑ u, v, w x = uvw v 1 ÐÐ i 0 ÐÐ y Σ xy A Ó ÚÒ Ó uv i wy A ÎÓÓ ØÑÒ ÔÓÐØ ÐØ ÓÐÑÒ Ó ÖØ ÑÒ ØÒ ÐÒ A Ó ÐØ ÓÒÓ A ÒÒÒÐÐÒÒ Ú Ç ÓØ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ØØ ÙÖÚØ ÐØ ÚØ ÓÐ ÒÒÐÐ µ { n n c k n, k = 0, 1,...} µ { n k c k n, k = 0, 1,...} µ { n n m m n, k = 0, 1,...} ÅÖØÒ w R ÐÐ ÑÖÓÒÓ w ØÔÖÒ ÖÓØØØÙÒ Ó Ó w = 12...n ÒÒ w R = n...21µ ÅÖÓÒÓ ÓÒ ÔÐÒÖÓÑ Ó w = w R ÑÖ ÓÖ ÖÓ µ ÌÖ ØÐÐÒ Ó ØÓÒ {, } ÔÐÒÖÓÑÒ ÑÙÓ¹ Ó ØÑ ÐØ Lpl = {ww R w {, } } Ç ÓØ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ØØ ÔÐÒÖÓÑÐ Lpl ÓÒ Ô ÒÒÐÐÒÒ Ä ÓÐÑ Ó ÑÙÙØØ Ý ÒÖØ Ò ÀÌÅÄ¹ØÓ ØÓÒ Ú ØÚ ÐØÜ¹ ØÓ ØÓ ÀÌÅÄ¹ØÓ ØÓ ØÑÐÓÝ Ø Ø»ÓÝ»ØÑÐ Ú Ø ÐØÜ¹ØÓ ØÓ \ÓÙÑÒØÐ ÔÔÖ ½¾ÔØ ßÖØÐÐ \ÒßÓÙÑÒØÐ Ø Ø \ÒßÓÙÑÒØÐ Ì Ø ÐØ ØÚÐÐ Ò Ø ØÒ Ð ÚÒ ÓØ¹ ÓÑÖØØÐÝ ÇØ ÓÑÖØØÐÝ ½ÓØ Ó»½ ¾ÓØ Ó»¾ ÓØ Ó» Ú ØÚØ ÐØÜ \ ØÓÒßÓØ ÓÐ \ Ù ØÓÒßÓØ ÓÐ \ Ù Ù ØÓÒßÓØ ÓÐ ÊØØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ ÔÖÙ ØÙÚ ÓÚÐÐÙ ÑÝ ÀÌÅÄ¹ØÓ ØÓÒ ÓÐÐ ÙÙÒ ØÖ ØÑ Ò ÅÒ ÝØÒÒÒ ÓÚÐÐÙ Ò Ò ÚÓ Ø ÝØØ ÖÐÐ ÙØÓÑØØ Ø ÒÒÐÐ ÐÙ Ø ÅÒØ ÒÒ ÓÐÑ ÓÚÐÐÙ Ø ÅØ Ó Ø ÒÓ ÒÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÐÙÓÒ ÙÙÐÙÚÒ ÓÒÐÑÒ Ú¹ ØÚÙÙ Ø ÒØ ØÐÚØÚÙÙ Ø Î ÅØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÔÓ¹ ÐØ ÐØØÙ ÓÐÑµ ÇÒÓ ÑØÒ ÖÓ ÓÒÓ Ú ØÚ ÙØÓÑØØ ¹ ØÖÑÒ ØÒÒ Ú ÔØÖÑÒ ØÒÒ ¾ ÄÍÃÍ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÊÄÄÁËÌ ÍÌÇÅÌÁÌ ÄÙÙ ÃÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÔÒÓÙØÓÑØØ

26 ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ Â ÃÁÄÌ ÐÐ ÚØ ÑÑ ØØ ÑÖ Ø ÔÒÓ ØÒ ÙÐÙÐÙ Ò ÑÙÓÓ ØÑ Ð LÑØ = {( k ) k k 0} ¹Ð ¹ÔÖÒ ÑÙÓÓ ØÑ Ð Lif else = { k Ð l l k} ÚØ ÓÐ ÒÒÐÐ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑµ ÆØ Ð ÚÓÒ ÙØÒÒ ÙÚØ ÓÒ¹ Ø ØØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ Ä ØÐÐ Ø ÐØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ Ó Ú Ø ÔÒÓÐÐ ÚÖÙ ØØØÙ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ½ ÃÓÒØ ØØØÓÑØ ÐÓÔØ ÐØ ÑÖ ½ ËÙÐÙÐÙ ÐÐÐ ÚÓÒ ÒØ Ý ÒÖØÒÒ ÖÙÖ ÚÒÒ Ù¹ ÚÙ ÅÖ S ÑÐÚÐØÒÒ Ø ÔÒÓÒÒ ÙÐÙÑÖÓÒÓ ÌÐÐÒ S ÓÒ Ø ¹ ÔÒÓÒÒ ÙÐÙÑÖÓÒÓ Ó µ S = ǫ Ø µ S ÓÒ ÑÙÓØÓ (S ) Ñ S ÓÒ Ø ÔÒÓÒÒ ÙÐÙÑÖÓÒÓ ÌÓÒÒ ÙÚÙ ØÔ ÙÖÚØ ÑÙÙÒÒÓ ÒÒØ ØÙÓØØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÐÒ L ÑØ ÑÖÓÒÓØ ÝÑÓÐ Ø S µ S ǫ µ S (S) Ñ ÑÖÓÒÓÒ ((())) ØÙÓØØÑÒÒ S (S) ((S)) (((S))) (((ǫ))) = ((())) ÃÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÓÒ ÑÙÙÒÒÓ Ý ØÑ Ó ÙÚØØÚØ ÑÖÓÒÓØ ØÙÓØØÒ ÓÖÚÑÐÐ ÖØÝ ÑÙÙØØÙ¹ Ø ÚÐ ÝÑÓÐØ ÒÒØØÙÒ ÒØÒ ÑÙÒ Ý ÖÖÐÐÒ ÝÑÓÐ ÝÑÔÖÚÒ ÑÖÓÒÓÒ ÖÒØ Ø ÖÔÔÙÑØØ ÅÖÒÒÐÐ ÐÝÒÒØÒ ÒØÓÙÓ A ω1 ω2... ωk A ω1, A ω2,...a ωk ÑÖ ¾ ÒÖØÒÒ ÐÓÔÔ ØØÝÐÐ ÖØÑØØ ÐÐ ÐÙ ÐÐ E T E + T T F T F F (E). Ñ ÐÙ Ò ( + ) ØÙÓØØÑÒÒ E T T F F F (E) F (E + T) F (T + T) F (F + T) F ( + T) F ( + F) F ( + ) F ( + ) ÅÖØÐÑ ÃÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÒÐ ÓÒØÜØ¹Ö ÖÑÑÖµ ÓÒ ÒÐÓ Ñ V ÓÒ ÐÓÔÒ Ó ØÓ G = (V, Σ, P, S), Σ V ÓÒ ÐÓÔÒ ÔØÑÖÒ ÓÙÓ Ò ÓÑÔÐÑÒØØ N = V \ Σ ÓÒ ÐÓÔÒ ÚÐÑÖÒ Ø ¹ ÝÑÓÐÒ ÓÙÓ P N V ÓÒ ÐÓÔÒ ÒØÒ Ø ÔÖÓÙØÓÒ ÓÙÓ S N ÓÒ ÐÓÔÒ ÐØ ÝÑÓÐ ÀÙÓÑ ËÒØ (A, ω) P ÑÖØÒ A ω ÅÖØÐÑ ÅÖÓÒÓ γ V ØÙÓØØ Ø ÓØ ÙÓÖÒ ÑÖÓÒÓÒ γ V ÐÓÔ G ÑÖ γ G γ Ó ÚÓÒ ÖÓØØ γ = αaβ γ = αωβ α, β, ω V A Nµ ÐÓÔ G ÓÒ ÔÖÓÙØÓ A ω ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ Â ÃÁÄÌ ÅÖÓÒÓ γ V ØÙÓØØ Ø ÓØ ÑÖÓÒÓÒ γ V ÐÓÔ G ÑÖ γ γ G Ó ÓÒ ÓÐÑ ÓÒÓ V Ò ÑÖÓÒÓ γ0, γ1,...,γn n 0µ ØÒ ØØ γ = γ0 G γ1 G... G γn = γ ÖÓ ØÔÙ n = 0 γ γ ÑÐÐ ØÒ γ V G ÅÖÓÒÓ γ V ÓÒ ÐÓÔÒ G ÐÙ ÓÓ Ó ÓÒ S γ G GÒ ÐÙ ÓÒ ÔÐ ØÒ ÔØÑÖ Ø ÓÓ ØÙÚ GÒ ÐÙ ÓÓ x Σ ÃÐÓÔÒ G ØÙÓØØÑ Ø ÙÚÑ Ð ÓÓ ØÙÙ GÒ ÐÙ Ø L(G) = {x Σ S x} G ÅÖØÐÑ ÓÖÑÐ Ð L Σ ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ Ó ÚÓÒ ØÙÓØØ ÓÐÐÒ ÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ ÑÖ Ì ÔÒÓ ØÒ ÙÐÙÓÒÓÒ ÑÙÓÓ ØÑÒ ÐÒ L ÑØ = {( k ) k k 0} ØÙÓØØ ÐÓÔÔ G ÑØ = ({S, (, )}, {(, )}, {S ǫ, S (S)}, S) ÑÖ ÑÑÒ ØÖ ØÐØÙÒ Ý ÒÖØ ØÒ ÖØÑØØ ØÒ ÐÙ Ò ÑÙÓÓ ØÑÒ ÐÒ L ÜÔÖ ØÙÓØØ ÐÓÔÔ Ñ G ÜÔÖ = (V, Σ, P, E), V = {E, T, F,, +,, (, )}, Σ = {, +,, (, )}, P = {E T, E E + T, T F, T T F, F, F (E)}. ÃÐÓÔ ÚÓÒ ÓØ Ñ ÙÖÚØ ÐÙ ÓÓ Ø E E +T T +T T F +T F F +T F +T (E)+T (T)+ G G G G G G G T (F)+T ()+T ()+F ()+ ÄÓÔÔÙØÙÐÓ + ÓÒ ÐÓÔÒ G G G G ÐÙ ÃÐÓÔÒ ØÙÓØØÑÒ ÐÒ ÙÙÐÙÚØ Ò ÙÑÑ¹ ØÙÐÓÐÙ Ø Ó ÚÓ Ð ÒØÝ ÙÐÙ ÌÓÒÒ ÐÓÔÔ ÐÒ L ÜÔÖ ØÙÓØØÑ Ò ÓÒ Ñ G ÜÔÖ = (V, Σ, P, E), V = {E,, +,, (, )}, Σ = {, +,, (, )}, P = {E E + E, E E E, E, E (E)} ÑÖ ÇÖÔÓÒÒ ØØµ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÓÑÒ ÐÒ ÚÖØØ Ó ÓÓ ØÙÙ Ý ÒÖØ Ø ÔÐÙ Ø ¼ Ø Ù ÑÑ Ø Ø ÖÐØÚ¹ ÐÙ Ø Lrel = {suj( Ó pred ttr oj) pred ttr oj} ÌÐÐ ÚÖØ ÚÓÒ ØÙÓØØ Ñ ÙÖÚÐÐ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÒ Grel ÒÒÐÐ ÃÝØØÒ Ý ÒÖØ ÙÙÒ ÚÙÓ ÚÐ ÝÑÓÐÒ ÑÖÓÒÓ ÎÁÊÃ ËÄ Òµ ÎÁÊÃ ËÍÂ ËÄ ÈÊ ÌÌÊ ÇÂ ËÄ Ó ÈÊ ÌÌÊ ÇÂ ËÄ ǫ ËÍÂ ÔÓ ØÝØØ Ò Ù ÔÓ ÈÊ ÔÐ ÑØ Ø ÌÌÊ ÙÙÖØ ÔÒØ Ú Ø ÖÑÙ Ø Ö ÇÂ ÔÓ ØÝØØ Ò Ø ÙØØ ÔÓ ÃÐÒ ÙÙÐÙÚØ ÑÑ ÙÖÚØ ÚÖØ V IRKE ÔÓ Ó ÑØ Ø ÙØØ Ó ÔÐ ÔÓ Ó ÔÐ ÙÙÖØ ØÝØØ G ÔÐ ÖÑÙ Ø Ò Ø V IRKE ØÝØØ Ó ÑØ Ø Ö ÔÓ ÔÐ Ú Ø Ò Ø G

27 ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ¾ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ÎÒØÙÒØ ÑÖÒØØÔÓ ÎÐ ÝÑÓÐØ A, B, C,..., S, T ÈØÑÖ ÖÑØ,, c,...,s, t ÒÙÑÖÓØ 0, 1,..., 9 ÖÓ ÑÖØ ÐÚÓÙØ Ø ÐÐÚÚØÙØ ÚÖØÙØ ÒØ ÓÖ Ò µ ÅÐÚÐØ ÑÖ ÙÒ ÚÐØ ÔØØØ ÖÓØÐÐµ X, Y, Z ÈØÑÖÓÒÓ u, v, w, x, y, z ËÑÖÓÒÓ α, β, γ,..., ω tyyppi 2 kontekstittomt kielet tunnistus: tyyppi 3 pinoutomtti säännölliset kielet tunnistus: äärellinen utomtti äärelliset (rjll. muisti) kielet ÃÐÓÔÔ ØØÒ Ù Ò ÔÐÒ ÒØÓÙÓÒ A1 ω11... ω1k1 A2 ω21... ω2k2 Am ωm1... ωmkm ¾½ ÇÐÐ Ú ÑÑÐÐ ÐÒÖ Ø ÐÓÔØ ¾ ÌÐÐÒ ÔØÐÐÒ ÚÐ ÝÑÓÐØ ÐÐ ØÒ ÑÖÒØ ÓÔÑÙ ØÒ ÑÙÒ Ø Ø ØØ Ò ÒØÝÚØ ÒØÒ Ú ÑÔÒ ÔÙÓÐÒ ÑÙÙØ ÒØÝÚØ ÑÖØ ÓÚØ ÔØÑÖ ÄØ ÝÑÓÐ ÓÒ ØÐÐÒ Ò ÑÑ Ò ÒÒÒ Ú ÑÔÒ ÔÙÓÐÒ ÒØÝÚ ÚÐ Ø A1 ËÒÒÐÐ Ø ÐØ ÓÒØ ØØØÓÑØ ÐÓÔØ ÃÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ ÚÓÒ ÙÚØ ÓØÒ ¹ ÒÒÐÐ Ð ¹ ÑÖ ÐØ LÑØ LÜÔÖµ Ç ÓØØÒ ØØ ÑÝ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÚÓÒ ÙÚØ ÓÒØ ØØ¹ ØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ ÃÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÓÚØ ØÒ ÒÒÓÐÐ ØÒ ÐØÒ ØÓ ÝÐÐÙÓ ÅÖØÐÑ ÃÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÓÒ ÓÐÐ ÐÒÖÒÒ Ó Ò ÔÖÓÙØÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ A ǫ Ø A B Ú ÑÑÐÐ ÐÒÖÒÒ Ó Ò ÔÖÓÙØÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ A ǫ Ø A B Ç ÓØØÙØÙÙ ØØ Ú ÑÑÐÐ ØØ ÓÐÐ ÐÒÖ ÐÐ ÐÓÔÐÐ ÚÓÒ ØÙÓØ¹ Ø Ø ÑÐÐÒ ÒÒÐÐ Ø ÐØ ÐÒÖ ÐÓÔÔ ÒÑØØÒ ÑÝ ÝØ ¹ Ø ÒÒÐÐ ÐÓÔ ÅÙÙÒÒÓ ØÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÐÐ ÐÒÖÒÒ ÐÓÔÔ ÓÒ Ù¹ ÖÚ ØÙÐÙÓ ÌÖ ØÐÑÑ Ø ÚÒ ÓÐÐ ÐÒÖ ÐÓÔÔ ÓÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÑÒ Ý ÒÖØ ÑÔµ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÄÒ ÐÓÔÔ ØÐ q ÚÐ ÝÑÓÐ Aq ÐØØÐ q0 S = Aq0 ÖØÝÑ q q ÒØ Aq Aq ÐÓÔÔÙØÐ q F ÒØ Aq ǫ ÆÝØ ÚÓÑÑ ØÓ Ø ÙÖÚØ ÐÙ Ø ½¼¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ¾ ËÆÆÄÄÁËÌ ÃÁÄÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½¼½ ÄÙ ÂÓÒÒ ÒÒÐÐÒÒ Ð ÚÓÒ ØÙÓØØ ÓÐÐ ÐÒÖ ÐÐ ÐÓÔÐÐ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ L Ó ØÓÒ Σ ÒÒÐÐÒÒ Ð ÓÐÓÓÒ = (Q, Σ, δ, q0, F) Ò ØÙÒÒ ØÚ ØÖÑÒ ØÒÒ Ø ÔØÖÑÒ ØÒÒµ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÅÙÓ¹ Ó ØØÒ ÐÓÔÔ G ÓÐÐ ÓÒ L(G) = L() = L GÒ ÔØÓ ØÓ Ò ÝØÓ ØÓ Σ GÒ ÚÐÓ ØÓÓÒ ÓØØÒ Ý ÚÐ Aq ÙØÒ Ò ØÐ q ÓÒ GÒ ÐØ ÝÑÓÐ ÓÒ Aq0 GÒ ÔÖÓÙØÓØ Ú ØÚØ Ò ÖØÝÑ µ ÙØÒ Ò ÐÓÔÔÙØÐ q F ÓÒ ÐÓÔÔÒ ÓØØÒ ÔÖÓÙØÓ Aq ǫ µ ÙØÒ Ò ÖØÝÑ q q Ó q δ(q, )µ ÓÒ ÐÓÔÔÒ ÓØØÒ ÔÖÓÙØÓ Aq Aq ÌÖ ØØÒ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÓÐÐ ÙÙ ÅÖ Aq Ø ØÙÓØØØÚÒ ÔØÓÒÓÒ ÓÙÓ L(Aq) = {x Σ Aq x} ÁÒÙØÓÐÐ ÑÖÓÒÓÒ x ÔØÙÙÒ ÙØÒ ÚÓÒ Ó ÓØØ ØØ ÐÐ q ÓÒ x L(Aq) (q, x) (qf, ǫ) ÓÐÐÒ qf F ÖØÝ Ø ÓÒ L(G) = L(Aq0) = {x Σ (q0, x) (qf, ǫ) ÓÐÐÒ qf F } = L() = L. ÑÖ ÃÙÚ ÓÒ Ý ÒÖØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ ÐÒ L = {w {, } w ÓÒ ÚÒØÒ Ý } ½, ÙØÓÑØØ Ú ØÚ ÐÓÔÔ ÓÒ ¾ A1 A1 A1 A2 A2 ǫ A2 G ÄÙ ÂÓÒÒ ÓÐÐ ÐÒÖ ÐÐ ÐÓÔÐÐ ØÙÓØØØÚ Ð ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ÓÐÐ ÐÒÖÒÒ ÐÓÔÔ ÅÙÓÓ ØØÒ ¹ ÐÒ L(G) ØÙÒÒ ØÚ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ G = (Q, Σ, δ, qs, F) ÙÖÚ Ø GÒ ØÐØ Ú ØÚØ GÒ ÚÐØ Q = {qa A V Σ} GÒ ÐÙØÐ ÓÒ ÐØ ÝÑÓÐ S Ú ØÚ ØÐ qs GÒ ÝØÓ ØÓ ÓÒ GÒ ÔØÓ ØÓ Σ GÒ ÖØÝÑÙÒØÓ δ ÐØØÐ GÒ ÔÖÓÙØÓØ ØÒ ØØ ÙØÒ ÔÖÓÙ¹ ØÓØ A B ÓÒ ÙØÓÑØ ÓÒ ÖØÝÑ qa qb Ó qb δ(qa, )µ GÒ ÐÓÔÔÙØÐÓ ÓÚØ Ò ØÐØ ÓØ Ú ØÚÒ ÚÐ Ò ÐØØÝÝ G ǫ¹ ÔÖÓÙØÓ F = {qa Q A ǫ P } ÃÓÒ ØÖÙØÓÒ ÓÐÐ ÙÙ ÚÓÒ ÐÐÒ ØÖ Ø ÒÙØÓÐÐ GÒ ØÙÓØØÑÒ GÒ ÝÚ ÝÑÒ ÑÖÓÒÓÒ ÔØÙÙÒ ÙØÒ ÑÖ ÇÐÓÓÒ d ÐÝÒÒ ÐÙÙÑÖÐÐ ß¼ ½ Ð ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÓÐÐ ÐÒÖ Ø ÐÓÔÔ S +A A db A db B db ǫ ÙØÓÑØØÒ ØÙÐ ÓÐÑ ØÐ qs, qa qb ÄØ ÝÑÓÐ S Ú Ø ÐÙØÐ qs ÒÒ Ø B ǫ ØÑÑ ØØ qb ÓÒ ÐÓÔÔÙØÐ ÅÙØ ÒØ Ú ØÚØ ØÐ Ö¹ ØÝÑØ qs qs qs qa qb + qa qa d qb d qb d qb ÌÙÐÓ Ò Ò ØÙØØÙ ÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ØÙÑÖÐÐ Ø ÓÓÒ ÐÙÚÙØ

28 ½¼¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃËÃÍÊËÁÇ ÃËÎÁÃÁÄÁÇÈÁÌ ÄÁ ÄÁÆÆÅÊ¹ÂÊÂËÌÄÅÌ½¼ ÑÖ d +, d q0 q1 q2 Ç ÑÖ ÒÒÐÐ Ø ÐÙ Ø Ú ØÚ Ø ÓÒØ ØØØÓÑ Ø ÐÓÔ Ø ÀÙÓÑ ÃÒÒØØ ÔÖØ Ú ØÚØ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ½ ÄÙ ÃÐÓÔÔ S S ǫ ¾ ÄÙ + = ÃÐÓÔÔ S S ÄÙ () ÃÐÓÔÔ S S ǫ ÑÖÓÒÓ ÓÓ ØÙÙ ÚÒ ÔÖÐÐ Ø ÑÖ Ø Øµ ÄÙ ( ) ÃÐÓÔÔ S BBBS ǫ B B ǫ ÑÖÓÒÓ ÐØ ÔÖÐÐ Ò ÒÖÒ Ø Ð ÓÐÐ Ø Ñ ØÒ µ ÄÙ ( )( ) ÃÐÓÔÔ S DN N DN ǫ D ÚÒØÒ Ý Ø Ø Ø ÓÓ ØÙÚ ÒÙÑÖÓµ ÙÖ Ó Ã ÚÐÓÔØ Ð ÄÒÒÑÝÖ¹Ö ØÐÑØ ÑÖ ÇÐÓÓÒ ÝÑÓÐØ Σ = {SIEEN, SIRKKALEHDET, LEHDET, V ARSI, NUPPU, PUNKUKKA, SINKUKKA} ÃÙØÓ ÚÓÒ ÒÝØ ØØ Σ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÃÙÒ Ú ØØÝÝ ÙÖÚÒ ÒØÒ ÑÙÒ d ËÁÅÆ ËÁÊÃÃÄÀÌ ËÁÊÃÃÄÀÌ ÄÀÌ ÎÊËÁ ÄÀÌ ÎÊËÁ ÎÊËÁ ÆÍÈÈÍ ÄÀÌ ÆÍÈÈÍ ÈÍÆÃÍÃÃ ËÁÆÃÍÃÃ ÈÍÆÃÍÃÃ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ǫ ËÁÆÃÍÃÃ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ǫ Ñ ǫ ÙÚ ÚÒ ÙÓÐÑ ØÓ ÝÐÚÑØØ ÑÒµ ÃÝ ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÐÐ ÒÒÒ ÙÖÙ ÑÖÝØÝÝ ÒÓ ØÒ ÐØÚÒ ÝÑÓÐÒ ÔÖÙ ØÐÐ Ó Ù Ø ÚØÓÓ ÙÖÙ ÒÒ ÚÐØÒ ÓÒ Ò Øµ ÑÖ ÄÒÒØÒ ÝÑÓÐÓÙÓ Σ2 = Σ {PAIV A, Y O} ÑÖØÐ¹ ÐÒ ÙÙØ ÒÒØ ËÁÅÆ Ç ËÁÊÃÃÄÀÌ Ç ËÁÊÃÃÄÀÌ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÆÍÈÈÍ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÆÍÈÈÍ Ç ÈÍÆÃÍÃÃ Ç ËÁÆÃÍÃÃ Ç ÈÍÆÃÍÃÃ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ǫ ËÁÆÃÍÃÃ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ǫ ÈÁÎ Ç Ç ÈÁÎ ÆÝØ ÙØ ÚÚØ ÚÒ ÔÚ Ò ÑÙØØ ÑÒØ ØÚØ ÙØ ÙÚØ ÚÒ Ò ÌÑ ÐÓÔÔ ÓÒ ÓÒØ ØÐÐÒÒ ÐÐ ÑÝ ÝÑÓÐÒ ÓÒØ Ø ÝÑÔÖ ØØØµ ÚÙØØÚØ ÒÒÒ ÙÖÙ Ò Æ ÚÐÓÔØ Ð ÄÒÒÑÝÖ¹Ö ØÐÑØ ÄÒÒÑÝÖ Ý ØÑ Ä¹ Ý ØÑ µ ÓÚØ Ý ÒÖØ ØØØÙ ØÖØ ÐÓÔÔ ÓÐÐ ÚÓÒ ÙÚØ ÚÒ ÐÓÐ¹ Ð ØÒ ÓÖÒ ÑÒ ÚÙ ØÝ Ø ÂÖ ØÐÑØ ÓÒ ÒÑØØÝ ÓØÒ Ø ØÖ ÄÒ¹ ÒÑÝÖÒ ÑÙÒ Ó ØØ ÑØÑØØ Ò ÑÐÐÒ ÚÒ ÚÙÒ ÙÚÑ Ò ËØØÑÑÒ Ä¹Ö ØÐÑ ÝØØØÝ ÒÓØÓ ØÒ ÓÖÒ ÑÒ ÐÙÓÑ Ò Ò ÑÓÐÐ Ò Ä¹Ö ØÐÑ ØÙÓØØ ÚÒ ÐÓÔÒ ÑÙ Ò ÑÖÓÒÓÒ Ó ØØÒ ÚÓÒ ØÙÐ¹ Ø Ö Ò ÙÚÒ ÃÙÚØ ÑÙ ØÙØØÚØ ÖØÐ Ó Ñ ÖÒÒ ØÓ ØÙÙ ½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃËÃÍÊËÁÇ ÃËÎÁÃÁÄÁÇÈÁÌ ÄÁ ÄÁÆÆÅÊ¹ÂÊÂËÌÄÅÌ½¼ ÙÙ ØÒ ÙÙ ØÒ ØÖ ØÐÔ ÙÚ ÑÐÐ Ö ÓÐÙÙØÓÐÐ ØÒ Ä¹Ö ØÐÑÒ ÙØÒÒ ØÖÚØ ØÓ Ø Ø Ò ÚÒ ÒÒÐÐ ÚÓÒ ÙÚØ ÝÚÒÒ Ô ÝÑÑØÖ ÖÒØØ Ä¹Ö ØÐÑÒ ÔÖÙ ÓÒ ÙÖÚ Ó ÐÐ ¹ ÐÐÐ ÑÖÓÒÓÒ ÝÑÓÐ ÐÚÒÒØÒ ÒÔÙÖ ÝÑÓÐÒ ØÓÒ ÓÔÚÒ ÒÒÒ ÔÖÙ ØÐÐ ÚÓ ÔÝ Ý ÒÒÐÐÒÒµ Ä¹Ö ØÐÑØ ÐÚØ ÓÑ ÝÒ ÖÖÒ ÐÙÓ A A C C E ÚÓÚØ ÒÓÙØØ ÒÒÐÐ Ò ÐÒ ÒØ Ø ÓÚØ ÑÙÓØÓ A B Ø A B ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÙÐÓ Ò Ý ÔØ ÝÑÓÐ Ý ÚÐ ÝÑÓÐµ Ø A ǫ ÓÐÙÒ ÙÓÐÑ ÝÑÓÐ ØÓµ Ø ÓÒØ ØØÓÒØ ÐÓÔÔ Ø ÒÒØ ÑÙÓØÓ A V Ø ÑÙÙÒÒØÒ ÚÒ ÝØ ÝÑÓÐ ÖÖÐÐÒ ÖÔÔÙÑØØ Ò ÒÔÙÖ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ò ØÙÐÓ Ò ÚÓ ØÙÐÐ ÑØ ØÒ ÚÐ¹ ÔØ ÝÑÓÐ ÑÝ ǫµ Ø ÓÒØ ØÐÐ Ø ÐÓÔÔ Ø ÒÒØ ÑÙÓØÓ αaβ αωβ Ø ÑÙÙÒÒÓ ÚÒ ØØÝ ÓÒØ Ø ÙÒ ÒÔÙÖÒ α βµ ÖÓØØÑØÓÒØ ÐÓÔÔ Ø ÒÒØ ÑÙÓØÓ ω ω Ø Ñ ØÒ ÑÖÓÒÓ ÚÓ ÑÙÙÒØÙ Ñ ØÒ ÑÖÓÒÓ ÑÖÓÒÓØ ÚÓÚØ ÐØ ÒÒ ÔØ¹ ÙÒ ÚÐ ÝÑÓÐµ ÑÖ ½¼ ÖÒ ÐÚÑÙÓÓÒ ÚÙÒ ÑÐÐÒÒÙ ÐÙÚ ÚÓ ÓÐÐ ¹ ÒÐ ÓÐÙ ÑÖ A B ÓÓÑØµ ËÓÐÙÒ ÙØÙÑ Ø ÙÚÚØ Ò¹ ÒØ A AB B A ÂÖ ØÐÑ ØØÝÝ Ñ ÙÖÚ Ø AB ABA ABAAB ABAABABA ¹ ÐØµ Ö ØÝ A¹ ÓÐÙØ ÚÓÒ ÙÚØ ÑÖ Ò Ò ÔÐÐÓÒ B¹ ÓÐÙØ ÔÙÒ Ò ÑÖ ½½ Ä¹ÐÓÔ ÚÓÒ ÑÝ ÒØ ÓØ Ö Ø ØÝ Ø A C[B]D B A C C D C(E)A E D À ÙÐÙØ ØÙÐØÒ ÖÒ Ú ÑÑÐÐ ØÚÐÐ Ø ÙÐÙØ ÖÒ ÓÐÐ Ñ A C[B]D C[A]C(E)A ¾ ¹ ÐØµ A t=0 B D C A t=1 ÑÖ ½¾ ËÓÚÐÐÙ ÏÀµ ÑÙÓÓ ØØÒ ÙØÓ ÖÓÐÑÐÐ Ó¹ ÒÓÙØØ ÙÖÚ ÒØ SIEEN SIRKKALEHDET V V ARSI OV ARSI KV ARSI V V ARSI V LEHTI V NUPPU ØÙÒÒÒÒ ÚÖµ OV ARSI OLEHTI ONUPPU V NUPPU KUKKA ONUPPU KUKKA KNUPPU KUKKA KUKKA SIRKKALEHDET KV ARSI V V ARSI OV ARSI KNUPPU SIRKKALEHDET V KIELONV ARSI OKIELONV ARSI HAV U SIRKKALEHTI V V ARSI OV ARSI KV ARSI LEHDET V KIELOV ARSI V KIELO OKIELOV ARSI OKIELO V KIELO V ARJAT OKIELO OARJAT ÃÐÓÔÔ ÓÒ ÐÒÖÒÒ ÓØÒ ÚÓÒ ØÓØÙØØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØØÒ ÃÙ¹ ÚÖÙÙØÙ Ú Ø ¾¹ÙÐÓØØÒÒ ØÙÐÙÓ ÓÓÒ ÐÙ ÝÐÚØÒ ÑÒ ËÒ Ð¹ Ò ØÙÐÙÓ ÝÒ ÐÔ Ó Ò Ö ØÝ ÙØÓÑØØ ÒÖÓ ÙÙÒÒ B D C A t=2

29 ½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃËÃÍÊËÁÇ ÃËÎÁÃÁÄÁÇÈÁÌ ÄÁ ÄÁÆÆÅÊ¹ÂÊÂËÌÄÅÌ½¼ ØÙÐÙÓÒ ÔÒ ÝÑÓÐÒ ÙÖÒ ËÝÑÓÐ Ú ØÚ ÙÚ ÔÖÖØÒ Ó ÔÒ Ø ÒÔÙÖ ÓÐÙÒµ ÃÓÓ ÓÒ ØÚÐÐ Ó ÓØØ ØØÔ»»ÛÛÛ ÓÒ ÙÙ»Ô»ÛÑÐ»ØÔ¼»ÄÇÏÊÈË ÃÖÐÐ ÙÙØØ ÈÖÙ ÒÛÞ ² ÄÒÒÑÝÖ Ì ÐÓÖØÑ ØÝ Ó ÈÐÒØ ÈÖÙ ÒÛÞ ² ÀÒÒ ÄÒÒÑÝÖ ËÝ ØÑ ÖØÐ Ò ÈÐÒØ ÊÓÞÒÖ ² ËÐÓÑ ØÓÑµ ÄÒÒÑÝÖ ËÝ ØÑ ÁÑÔØ ÓÒ ÌÓÖØÐ ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÓÑÔÙØÖ ÖÔ Ò ÚÐÓÔÑÒØÐ ÓÐÓÝ ÃÙÚ ½ ÑÖ ÚÐÓÔÐÐ ØÙÓØØÙ Ø ÙÚ Ø ½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÃÙØÒ Ó ÐÐ ÙÓÑ ÑÑ ÚØ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÝÒ ÔØÑÒ Ö ÐÙÑ ØÒ ÝØÑÖ Ø ÑÖ ÙÐÙÐÙ Ò Ø ÔÒÓ ÙÙÒ ØÙØÑ ¹ ÑÒ ØÝØÝ ÝØØ ÓÒÒÐ Ø Ð ÙÖ ÓØ ÚØØÒ Ò ÙÒ Ú ØÒ ØÙÐ ÐÙ ÙÐÙ ³ ³ ÚÒÒØÒ ÙÒ ÓØÒ ÐÓÔÔÙ ÙÐÙ ³µ³ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÖØ ÚØ ØÑÒ ÓÒÐÑÒ ØÖÓÑÐÐ ÝØØÑÑ ÔÒÓÒ ÓÓÒ ÚÓ ØÐÐØØ ÝÑÓÐ ÑÝÑÔ ØÙØÑÙ Ø ÚÖØÒ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÚØ ÓÐ ÓÐÑÓÐÐ ÝØ ÙÐÐÒÖÚÓ ÔÙÐ ÙÒ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÓÚØ ÒÑØØÒ ÝÐ ØÔÙ ÔØÖÑÒ Ø ÒØ ÚÓ ÒÒØµ ÓÓØ ØØÓÓÒÓÐÑÒ ÌÓ ÐØ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ÔÓÐØ ÚÓ ÙÓÖÒ ÐØ ØÓØ ÓÐÑ Ì Ø ÝÝ Ø Ø¹ ØÐÑÑ ÔÒÓÙØÓÑØØ ÚÒ ÐÝÝ Ø Ò ÙÒ ÓØÙ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒ ¹ Ò ÈÒÓÙØÓÑØØ ÓÚØ ÙØÒÒ ÝÝÐÐÒÒ ØÖØ Ð ÒÒÒ ÑÐÐ ÓÒØ¹ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ØÙØÑÙ ØÓ ÒÒ ÚÓ ÓÐÐ ÐÔÓÑÔ ÐØ ÓÒÐÑÒ ÙÚÚ ÔØÖÑÒ ØÒÒµ ÔÒÓÙØÓÑØØ ÙÒ ÐØ Ú ØÚ ÐÓÔÔ ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÐÒÒ ÔÒÓÑÙ Ø ÖØ ÑÖ Ò ØÖ ØÑ Ò ÓÒÓ ÑÖÓÒÓ ÝØ ÑÓÒØ Ø Ø cøµ ½¼ ½ ÅÖØÐÑ ÝØÒÙ Ò Ô Ù Ø ÒÙÔ ÓÙ Ý q1 q2 q0 δ ÔÒÓ ØÝÒÙµ Ã Ì Ë ÃÙÚ ¾ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÓÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÓÒ ÓÒ Ð ØØÝ Ý ÑÐÚÐØ Ò ÓÓÒÒ ÔÒÓ ØÝÒÙ Ø ÙØÓÑØØ ÚÓ ÐÙ ÖÓØØ ÚÒ ØÝÒÙÒ ØÓ Ø ÔØ ÔÒÓÒ ÙÔÔÙµ Ô Ø Ò ÐÙÑÒ ÑÑÒ ÖÓØØÑÒ ÑÖ Ò ØÝØÝÝ ÔÝÝ ÚÑ Ò ÑÖ ÔÓ µ ÌÝÒÙ ÒØ ÙØÓÑØÐÐ ÑÙ ØÒ ÓÒ¹ ÚÙÐÐ ÚÓÒ ÚÐØØ ÖÐÐ Ò ÙØÓÑØÒ ÓØÒµ ÖÓØÙ ÀÙÓÑ ÌÐ¹

30 ½½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½½½ ÅÖØÐÑ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÒÐ ÔÙ ÓÛÒ ÙØÓÑØÓÒµ ÓÒ ÙÙ Ó Ñ Q ÓÒ ØÐÓÒ ÖÐÐÒÒ ÓÙÓ Σ ÓÒ ÝØÓ ØÓ Γ ÓÒ ÔÒÓÓ ØÓ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, F), δ : Q (Σ {ǫ}) (Γ {ǫ}) P(Q (Γ {ǫ})) ÓÒ ÓÙÓÖÚÓÒÒµ ÖØÝÑÙÒØÓ q0 Q ÓÒ ÐÙØÐ F Q ÓÒ ÝÚ ÝÚÒµ ÐÓÔÔÙØÐÓÒ ÓÙÓ ËÖØÝÑÙÒØÓÒ δ(q, σ, γ) = {(q1, γ1),...,(qk, γk)} ØÙÐÒØ ÇÐÐ Ò ØÐ q ÐÙ Ò ÝØÑÖÒ σ ÔÒÓÑÖÒ γ ÙØÓÑØØ ÚÓ ÖØÝ ÓÓÒÒ ØÐÓ Ø q1,...,qk ÓÖÚØ ÔÒÓÒ ÔÐÐÑÑ Ò ÑÖÒ ÓÐÐÒ ÑÖ Ø γ1,..., γk ½ ÂÓ σ = ǫ ÒÒ ÙØÓÑØØ Ø ÖØÝÑÒ ÝØÑÖ ÐÙÑØØ ¾ ÂÓ γ = ǫ ÒÒ ÙØÓÑØØ ÐÙ ÔÒÓÑÖ ÑÙØØ Ô Ø ÙÙÒ ÑÖÒ ÔÒÓÒ ÔÐÐ push(γi)µ ÂÓ γ ǫ γi = ǫ ÒÒ ÐÙØÒ ÔÒÓ Ø γ ÑÙØØ ÔÒÒ ÙÙØØ ÑÖ ÔÒÓÓÒ pop(γ)µ ÂÓ γ ǫ ØØ γi ǫ ÒÒ ÐÙØÒ ÔÒÓÒ ÔÐÐÑÒÒ ÑÖ γ ØØ ÖÓØØÒ ÔÒÓÓÒ γi Ø pop(γ), push(γi)µ ÀÙÓÑ ØØ ÔÒÓÙØÓÑØØ ÓÚØ ÝÐ ØÔÙ ÔØÖÑÒ Ø ÅÖØÐÑ ÙØÓÑØÒ ØÐÒÒ ÓÒ ÓÐÑÓ (q, w, α) Q Σ Γ ÐÙØÐÒÒ ÝØØÐÐ x ÓÒ ÓÐÑÓ (q0, x, ǫ) ÌÐÒÒ (q, w, α) ÙØÓÑØØ ÓÒ ØÐ q ÝØÑÖÓÒÓÒ ØØÐÑØÒ Ó ÓÒ w ÔÒÓ ÓÒ ÝÐÐØ Ð ÐÙÒ ÑÖÓÒÓ α ÌÐÒÒ (q, w, α) ÓØ ÙÓÖÒ ØÐÒØ Ò (q, w, α ) ÑÖ (q, w, α) (q, w, α ), Ó w = σw α = γβ α = γ β σ, γ, γ 1µ ØÒ ØØ (q, γ ) δ(q, σ, γ) ÌÐÒÒ (q, w, α) ÓØ ØÐÒØ Ò (q, w, α ) ÑÖ (q, w, α) (q, w, α ), Ó ÓÒ ÓÐÑ ØÐÒÒÓÒÓ (q0, w0, α0) (qn, wn, αn) n 0 ØÒ ØØ (q, w, α) = (q0, w0, α0) (qn, wn, αn) =(q, w, α ) ÈÒÓÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÑÖÓÒÓÒ x Σ Ó (q0, x, ǫ) (qf, ǫ, α) ÓÐÐÒ qf F α Γ Ó ÝØØÒ ÐÓÔÔÙ ÓÒ Ó Ò ÝÚ ÝÚ ÐÓÔÔÙØÐ µ ÑÙÙØÒ ÝÐ xò ÙØÓÑØÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð ÓÒ L() = {x Σ (q0, x, ǫ) (qf, ǫ, α) ÓÐÐÒ qf F α Γ } ÑÖ ½ Ô ÒÒÐÐÒÒ ÓÒØ ØØÓÒ Ð { k k k 0} ÚÓÒ ØÙÒ¹ Ò Ø ÙÖÚÒÐ ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ = ({q0, q1, q2, q3}, {, }, {A, A}, δ, q0, {q0, q3}), ½½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½½ Ñ ÙØÓÑØØ ÐÙ ÑÖÓÒÓ Ø ÑÖÒ i δ(q0,, ǫ) = {(q1, A)}, δ(q1,, ǫ) = {(q1, A)}, δ(q1,, A) = {(q2, ǫ)}, δ(q1,, A) = {(q3, ǫ)}, δ(q2,, A) = {(q2, ǫ)}, δ(q2,, A) = {(q3, ǫ)}, δ(q, σ, γ) = ÑÙÐÐ (q, σ, γ). ÔÒÓ Ø ÑÖÒ γ ÖÓØØ ÔÒÓÓÒ ÑÖÒ γ ÈÙ ¹ÓÔÖØÓ ÐÙ ÔÒÓ Ø ÑÖ ÑÙØØ ÖÓØØ ÙÙÒ ÑÖÒ γ ÔÒÓÒ ÔÐÐ i, ǫ/γ ÈÓÔ¹ÓÔÖØÓ ÐÙ ÔÒÓÒ ÔÐÐÑÑ Ò ÑÖÒ γ ÑÙØØ ÖÓØ ÑØÒ ÔÒÓÓÒ i, γ/ǫ ÌÐ ÖØÝÑÚÓÒ, ǫ/a Ó ÝØÑÖ i = ǫ ÒÒ ÖØÝÑ ÝØÑÖ ÐÙÑØØ ÚÓ ÐØ ÐÙ Ø ÖÓØØ ÔÒÓÑÖ q0 q3, A/ǫ, ǫ/a, A/ǫ q1 q2, A/ǫ, A/ǫ ÙØÓÑØÒ Ò ÓÒ ÔØ Ö Ú ØÒØÙÐÐ Ø ¹ÖÑ Ø Ô ØÑÐÐ ÔÒÓÓÒ A Ø A Ú ØÚ Ø ÐÙ ÒØ ÔÒÓ Ø Ó ÐÐ Ú ØÒØÙÐÚÐÐ ¹ÖÑÐÐ ÅÖ A ÝØØÒ AÒ Ø Ò ÑÑ Ò Ò ÓÐÐ ÑÖØ ÑÒ ÔÒÓÒ ÔÓ ÓØØ ØÙØÒ ÑÐÐÓÒ ÔÒÓ ÓÒ ØÝ ÑÖ ÝØØÐÐ ÙØÓÑØØ ØÓÑ ÙÖÚ Ø (q0,, ǫ) (q1,, A) (q1,, AA) (q2,, A) (q3, ǫ, ǫ). ÃÓ q3 F = {q0, q3} ÓÒ L() ÈÒÓÙØÓÑØÒ ØÝ ÈÒÓÙØÓÑØØ ØØÒ ØÐ ÖØÝÑÚÓÒ ÙÖÚ Ø ÑÙØÒ ÒÓØØÓØ ¹ ÒØÝÝ ÖÐÐ ÙÙ µ ËÖØÝÑØÓ ÑÙÓØÓ i, γ/γ Ñ ¾ ÈÒÓÙØÓÑØÒ ÑÙÙÒÒÓ ØÝÒ ÔÒÓÒ ÙØÓÑØØ ÅÖØÐÐÒ ÙÖÚÒ ØÓ ØÙ Ò ÚÙ ÔÒÓÙØÓÑØÒ ÑÙÙÒÒÓ ÓÐÐ ÓÐ ÖÐÐ Ø ÝÚ ÝÚ ÐÓÔÔÙØÐ ÚÒ ÑÖÓÒÓ ÝÚ ÝØÒ Ñ ØÒ ØÐ ÙÒÒ ÚÒ ÔÒÓ ÓÒ ØÝ ÝØØÒ ÐÓÔÔÙ ÌÚÐÐÒÒ ÔÒÓÙØÓÑØØÒ ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ Ó ÓÒ ÝØØÒ ÐÓÔÔÙ ÝÚ ÝÚ ÐÓÔÔÙØÐ ÓÐÔ ÔÒÓ ÑØ ØÒ µ ÌÐÐ Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ ÙØ ÙØÒ Ù Ò ØÝÒ ÔÒÓÒ ÙØÓÑØ ÑÔØÝ Ø ÙØÓÑØÓÒ ÒÙÐÐ Ø ÙØÓÑØÓÒµ ÌÝÒ ÔÒÓÒ ÙØÓÑØØ ÓÚØ ÝÝÐÐÒÒ ÔÙÐÒÒ ÐÐ Ò ØÙÒÒ ØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÑØ ÐØ ÙÒ ØÚÐÐ Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ Ã ØÓ ØÙ Ñ ÀÓÔÖÓØ ÅÓØÛÒ ÍÐÐÑÒ ÐÙÙ ¾µ ÌÚÐÐÒÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ ÌÝÒ ÔÒÓÒ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ xò Ó ÝÚ ÝÝ xò Ó (q0, x, ǫ) (qf, ǫ, α) (q0, x, ǫ) (q,ǫ, ǫ) qf F q Q α Γ ÑÖ ½ ÅÙÓÓ ØØÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÚÖÐÐ Ò ÓÐ¹ ÑÓÓÒ Ó ¹Ð ¹ÔÖÒ ÐÙÙÑÖØ ÚØ Ø Ñ ÙØÓÑØØ ÝÚ ÝÝ ÝØ¹ ØÒ Ó Ò ÓÒ ÒÑÑÒ Ð ÙÒ

31 ½½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½½ 0 ε, ε Ζ ËÑÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÚ ÐÓÔÔÙØÐÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ 0 ε, ε X 1 1 else, Z ε if, ε Z else, Z ε if, ε Z else, X ε ÄÙ ÃÐ ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ Ó ÚÒ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÔÒÓÙ¹ ØÓÑØÐÐ ÌÓ ØÙ Ò ÃÝØØÒ ÝÚ ØÝÒ ÔÒÓÒ ÙØÓÑØØ ÂÓ ÚØ ÔØ ØÝÒ ÔÒÓÒ Ù¹ ØÓÑØÐÐ ÔØ ÑÝ ÚÚÐÒØÐÐ ÐÓÔÔÙØÐÐÐ ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ L() = L( )µ ½µ ÂÓ ÐÓÔÒ G ÙÚÑ Ð L(G) ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ ÒÒ ÓÒ ÓÐÑ ØÝÒ ÔÒÓÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ ÐÒ L() = L(G) ÅÙÓÓ ØØÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ Ó ÓÒ ØÐ ÐÙØÐ S ÝÚ ÝÚ ÐÓÔÔÙØÐ F ÐÙ Ô ØØÒ ÔÒÓÓÒ ÖÓ ÝÑÓÐ X ÔÒÓÒ ÔÓµ ÖÖÝØÒ ØÐÒ F ÌÑÒ ÐÒ ÓÒ ÚØÓØÓ Ø ÐØ ½ ÂÓ ÔÒÓÒ ÔÐÐ ÓÒ ÚÐ ÝÑÓÐ C ÐÓÔ ÒØ C w ÒÒ ÓÖÚ C wðð ÔÒÓ Ø pop(c), push(w)µ ¾ ÂÓ ÔÒÓÒ ÔÐÐ ÓÒ ÔØ ÝÑÓÐ ÑÖ µ ÒÒ ÐÙ ÙÖÚ ÝØÑÖ ÑÖ µ ÂÓ = ÒÒ ÐÙ ÔÒÓÒ ÙÔÔÙ ÔÓ pop()µ ÙØÓÑØÒ ÖØÝÑØ ÓÚØ 2 ½ δ(s, ǫ, ǫ) = {(F, X)} ¾ δ(f, ǫ, C) = {(F, w)} δ(f,, ) = {(F, ǫ)} ÁÒØÙØÚ Ø ÙØÓÑØÒ Ð ÒØ ÑÙÐÓ ÝØÓÒÓÒ Ú ÒØ ÓØÓ ÂÓÒÒ ÓØÓ Ð ØÓØÙØØÒ Ô ØÑÐÐ ÔÒÓÓÒ ÒÒÒ S w Ó ÔÙÓÐ w ÂÓ¹ ØÓ ÐØÒ ÚÐ ÙØÓÑØØ ÐÙ ÔØ ÝÑÓÐØ ÔÒÓ Ø ÚÖØ ÒØ ÝØØ Ò ÃÙÒ ÒÒÒ Ú ÑÑÒ ÔÙÓÐÒÒ ÚÐ C ÚØÒ ÔÒÓ ÙØÓÑØØ ÙÓÖØØ ÙÖÚÒ ÐÒ ÓÖÑÐ ØÓ ØÙ ÔØ ÚÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓÐÐµ ØØ w L(G) w L() ¾µ ÂÓ ÓÐÑ ØÝÒ ÔÒÓÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ Ó ÝÚ ÝÝ ÐÒ L() ÒÒ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ G Ó ÙÚ ÐÒ L(G) = L() ÅÙÓÓ ØØÒ ÐÓÔÔ ÓÒ ÓÒÒ ÚÐ ÝÑÓÐ Ú Ø ØÔØÙÑ Ó ½ ÐÙØÒ ÓÒ ÝÑÓÐ X ÔÒÓ Ø ÚÓ ÓÓ ØÙ Ù Ø ÖØÝÑ Øµ ¾ ÑÙÙØØÒ ØÔØÙÑ ÐØÚ ØÐ p ØÔØÙÑÒ ÐÓÔÙ ÚÐÐØ Ú ØÐ q ÝÑÓÐÒ X ÐÙÑÒÒ ÔÒÓ Ø ØÔØÙÙ ÖØÝÑÔÓÐÙÒ p > q Òµ ÅÖØÒ ØÐÐ Ø ØÔØÙÑ [pxq]ðð ÃÐÓÔÒ ÑÙÙØØÙØ ÐÙ ÝÑÓÐ S ØÔØÙÑ ÝÑÓÐØ [pxq] Ñ p, q Q X Γ ÔÒÓ ÝÑÓÐµ ÃÐÓÔÒ ÒÒØ ½ ÂÓ Ø ØÐ p Q ÓÒ ÖØÝÑ S [q0z0p] Ø ÝÑÓÐ [q0z0p] ØÙÓØØ Ò ÑÖÓÒÓØ w ÓØ ÙØØÚØ ÝÑÓÐÒ Z0 ÒÓ ¹ ØÑ Ò ÔÒÓ Ø ÙÐØØ ØÐ Ø q0 ØÐÒ p Ð (q0, w, Z0) (p, ǫ, ǫ)µ ¾ ÇÐÓÓÒ ÖØÝÑÙÒØÓÒ δ(q,, X) ÖÚÓÓÙÓ ÔÖ (r, Y1Y2...Yk) Ñ ÓÒ ÔØ ÝÑÓÐ Ø ǫ k 0 ËÐÐÓÒ Ó Ø ØÐÓÙÓ r1, r2,..., rk ÓØ ÐÓÔ ÓÒ ÒØ [qxrk] [ry1r1][r1y2r2]...[rk 1Ykrk]. Ø Ý ØÔ ÐÙ ÔÒÓ Ø ÝÑÓÐ X ÖØÝ ØÐ Ø q ØÐÒ rk ÓÒ ÐÙ Ò Ò ØØÒ ÝØØ ÝØØØ Y1Ò ÔÓÔÔÑ ÖØÝÒ ÑÐÐ ØÐÒ r1 ÝØØ ÝØØØ Y2Ò ÔÓÔÔÑ ÖØÝÒ ÑÐÐ ØÐÒ r2 Òµ ½½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃÁÄÁÇÈÈÁÆ ÂËÆÆËÇÆÄÅ ½½ ÓÖÑÐ ØÓ ØÙ ÔØ ÚÐ Ó ÓØØ ÒÙØÓÐÐµ ØØ [qxp] Ó ÚÒ Ó (q, w, X) (p, ǫ, ǫ) ÌÐÐÒ S w Ó [q0z0p] G G (q, w, Z0) (p, ǫ, ǫ) Ð L(G) = L() G w w ÓÐÐÒ p Ó ØÖÑÒ Ø Ø ÔØÖÑÒ Ø Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ ÈÒÓÙØÓÑØØ ÓÒ ØÖÑÒ ØÒÒ Ó Ó ÐÐ ØÐÒØÐÐ (q, w, α) ÓÒ ÒÒØÒ Ý ÑÓÐÐÒÒ ÙÖ (q, w, α ) ÓÐÐ (q, w, α) (q, w, α ) ÀÙÓÑ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ ÓÚØ Ó Ø ÚÚÑÔ ÙÒ ØÖ¹ ÑÒ Ø Ø ÚÖØ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØµ Ñ Ð L1 = {ww R w {, } } ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÑÙØØ ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÃÓÒØ ØØÓÒ Ð ÓÒ ØÖÑÒ ØÒÒ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÓÐÐÒ ØÖ¹ ÑÒ Ø ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÑÙÙØÒ ÓÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ Ñ Ñ Ð L1 Ð L2 = { n m c k n m Ø m k} ÓÚØ ÔØÖÑÒ¹ Ø ØÖÑÒ Ø Ø ÐØ ÓÚØ ØÖ ÐÐÙÓ ÐÐ Ò ÙÙÐÙÚØ ÐØ ÚÓÒ ÒØ ÓÐÐÐ Ø ØÓÑÑÒ ÙÒ ÝÐ Ø ÑÓÐÐ Ø ÔØÖÑÒ ¹ Ø Ò ÙØÓÑØÒ ÚØÚØ ÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÃÐØÒ Ò ÙØØ ÙÚ ÙÖÚ ÙÚ { i j c k i=j ti j=k } R {ww } kontekstittomt kielet kielet, joill on yksiselitteinen kontekstiton kielioppi { k k } { k } deterministiset kontekstittomt kielet tunnistus: deterministinen pinoutomtti säännölliset kielet tunnistus: epädeterministinen pinoutomtti tunnistus: äärellinen utomtti äärelliset (rjll. muisti) kielet ÃÐÓÔÔÒ ÒÒÝ ÓÒÐÑ Â ÒÒÝ ÓÒÐÑ ÒÒØØÙ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ G ÑÖÓÒÓ x ÇÒÓ x L(G) Ñ ÃÙÙÐÙÙÓ ÚÖ Ò Ó ÔÐ Ö ÔÓ ÑØ Ø ÙÙÖØ ÙØØ ÐÒ Lrel ÊØ ÙÑÒØÐÑ ÒÒÝ ÐÓÖØÑ Í Ø ÚØÓØÓ ÑÒØÐÑ ÖØÝ Ø ÙÒ G ÓÒ ÓØÒ ÖÓØØØÙ ÝØÒ¹ Ò ÒØÝÚµ ÑÙÓØÓ

32 ½½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃÁÄÁÇÈÈÁÆ ÂËÆÆËÇÆÄÅ ½½ ÌÖ ØÐÐÒ Ò Ò ÒØÑ Ò ÐØØÝÚ ÔÖÙ ØØØ ¾ Â ÒÒÝ ÔÙÙØ ½ ÂÓÓØ ËÙÙÖÒ Ó ÚØÓØÓ ØÒ ÓØÓØÔÓÒ ÖÓ Ø ÑÙÓÓ ØÙÙ ÚÒ ÚÐÒ ÐÚÒØÑ Ø Ö Ö ØÝ Ñ Ñ ÓÓØ µ µ ÓÚØ ÔÓ¹ ÑÑÐØÒ ÑÒÐ µ ÅÖØÐÑ ÇÐ ÑÖÓÒÓ γ V ÐÓÔÒ G = (V, Σ, P, S) ÐÙ ÓÓ γò ÓÓ G ÙØ ÙØÒ ÐØ ÝÑÓÐ Ø S ÑÖÓÒÓÓÒ γ ÓØÚ ÙÓÖÒ ÓØÓÒ ÓÒÓ S = γ0 γ1 γn = γ ÂÓÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ Ò ÙÙÐÙÚÒ ÙÓÖÒ ÓØÓÒ ÑÖ ÐÐ nµ ÂÓØÓ γ γ ÓÒ ÄÙ ÓÓ Ò ÒÒÝ ÔÙÙ ÝÒØ ÔÙÙ ÓØÓÔÙÙµ ÔÖ ØÖ ÝÒØÜ ØÖ ÖÚØÓÒ ØÖµ ØÝ ØÔ Ó ÒÑ ÔÓÐÐÐ Ø ÖÓØ ÓÒ ØÖÓØÙ ÔÓ Â ÒÒÝ ÔÙÙ ÖØÓÓ ÒÓ ØÒ ÑØÒ ÚÐØ ÓÒ ÐÚÒÒØØÙ Ñ Ö ØÝ¹ ÐÚÒÒÙ Ø ÓÒ ØØÝ Ñ ÓÐÑ Ñ ÓØÓ Ú Ø Ñ ÒÒÝ ÔÙÙ ½ Ú Ò ÓØÓ ÑÖ γ γ, lm Ó Ù Ò ÓØÓ Ð ÓÒ ÔÖÓÙØÓØ ÓÚÐÐØØÙ ÑÖÓÒÓÒ Ú ÑÑÒÔÙÓÐ ÑÔÒ ÚÐ Ò E E + T ¾ Ó ÓØÓ ÑÖ γ γ, rm T F Ó ÓÒÔÙÓÐ Ò ÚÐ Ò F ËÙÓÖ Ú ÑÔ ÓØ ÓØÓ Ð ÑÖØÒ γ lm γ γ γ rm ÑÖ ½ ÄÙ Ò + ÓØÓ ÐÓÔ G ÜÔÖ µ E E + T T + T F + T + T + F + µ E E + T E + F T + F F + F F + + µ E E + T E + F E + T + F + + µ ÓÒ Ú Ò ÓØÓ µ Ó ÓØÓ µ ÙÑÔÒ ÃÙÚ ÄÙ Ò + ÒÒÝ ÔÙÙ ÐÓÔ GÜÔÖ ÅÖØÐÑ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÃÐÓÔÒ G ÑÙÒÒ ÒÒÝ ÔÙÙ ÓÒ Ö ØØØÝ ÔÙÙ ÓÐÐ ÓÒ ÙÖÚØ ÓÑÒ ÙÙØ µ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙØ ÓÒ ÒÑØØÝ ÓÙÓÒ V {ǫ} ÐÓÐÐ ØÒ ØØ ÓÐÑÙÒ ÒÑØ ÓÚØ ÚÐØ Ó ÓÙÓ Ø N = V Σµ ÙÙÖ ÓÐÑÙÒ ÒÑÒ ÓÒ ÐØ ÝÑÓÐ S µ Ó A ÓÒ ÔÙÙÒ ÓÒÒ ÓÐÑÙÒ ÒÑ X1,...,Xk ÓÚØ Ò ÐÐ ØÒ ÒÑØ Ö ØÝ ÒÒ A X1...Xk ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ Â ÒÒÝ ÔÙÙÒ τ ØÙÓØÓ ÑÖÓÒÓ Ó Ò ÐØØÑÐÐ ÝØÒ Ò ÐØ ÓÐ¹ ÑÙÒ ÒÑØ Ö ØÝ Ú ÑÑÐØ ÓÐÐµ ½¾¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃÁÄÁÇÈÈÁÆ ÂËÆÆËÇÆÄÅ ½¾½ Â ÒÒÝ ÔÙÙ E1 ËÓÐÑÙØ Ö ØÝ E1E2T2F11 + T1F22 Ç ÓØÓ Ò ÝÑÐÐ ÔÙÙ ÐÔ ÒØ Ö ØÝ ÝÐ¹ ÐØ Ð ÓÐØ Ú ÑÑÐÐµ ÂÓØÓ E2 T2 F1 1 + T1 F2 2 Î Ò ÓØÓ E lm lm E + T lm + T lm T + T F + T lm + F lm ÃÙÚ Î ÑÑÒ ÓÓÒ ÑÙÓÓ ØÑÒÒ ÒÒÝ ÔÙÙ Ø Â ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÑÙÓÓ ØÑÒÒ S = γ0 γ1 γn = γ Ú ØÚ ÒÒÝ ÔÙÙ ÑÙÓÓ ØØÒ ÙÖÚ Ø + µ ÔÙÙÒ ÙÙÖÒ ÒÑ ØÙÐ S Ó n = 0 ÒÒ ÔÙÙ ÓÐ ÑÙØ ÓÐÑÙ ÑÙÙØÒ µ Ó Ò ÑÑ ÓØÓ Ð ÓÒ ÓÚÐÐØØÙ ÔÖÓÙØÓØ S X1X2...Xk ÒÒ ÙÙÖÐÐ ØÙÐ k ÐÐ ÓÐÑÙ ÓÒ ÒÑØ Ú ÑÑÐØ ÓÐÐ ÓÚØ X1, X2,...,Xk µ Ó ÙÖÚ Ð ÓÒ ÓÚÐÐØØÙ ÔÖÓÙØÓØ Xi Y1Y2...Yl ÒÒ ÙÙÖÒ iòòðð ÐÐ ÓÐÑÙÐÐ ØÙÐ l ÐÐ Ø ÓÒ ÒÑØ Ú ÑÑÐØ ÓÐÐ ÓÚØ Y1, Y2,...,Yl ÒÒ ÐÐÒ ÂÓ ÑÙÓÓ ØØÒ ÒÒØÙ Ø Ú ÑÑ Ø Ó Øµ ÓÓ Ø S x S xµ Ò Ò ÒÒÝ ÔÙÙ Ñ ØÚÐÐ ØØÒ ÒÒÝ ÔÙÙ Ø Ú Ò Óµ ÓØÓ Ò Ø Ò ÐÙÔÖÒÒ ÓØÓ ÄÙ ÇÐ G = (V, Σ, P, S) ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÌÐÐÒ µ Ó ÐÐ GÒ ÐÙ ÓÓ ÐÐ γ ÓÒ GÒ ÑÙÒÒ ÒÒÝ ÔÙÙ τ ÓÒ ØÙÓØÓ ÓÒ γ µ Ó Ø GÒ ÑÙ Ø ÒÒÝ ÔÙÙØ τ ÓÒ ØÙÓØÓ ÓÒ ÔØÑÖÓÒÓ x Ú ØÚØ Ý ØØ Ø Ú Ò Ó ÓØÓ S x S x lm ËÙÖÙ ÂÓ ÐÐ GÒ ÐÙ ÐÐ ÓÒ Ú Ò Ó ÓØÓ Ì ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÒ ØÙÓØØÑÒ ÐÙ Ò ÒÒÝ ÔÙÙØ Ú ÑÑØ ÓØ ÓÓØ Ú ØÚØ Ý ØØ Ø ØÓ Ò Â ÒÒÝ ÓÒÐÑÒ ÙÙÐÙÙ ÝÐÒ ÔØ ÓÒÐÑÒ ÇÒÓ x L(G) ÖØ Ñ Ò Ð ÓÒÒ Ñ ÒÒÝ ØÝ Ò ØÙÓØØÑÒÒ xðð ÃÐÓÔÒ ÑÓÒ ÐØØ ÝÝ ÄÙ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ ÐÓÔ Ù Ø ÒÒÝ Ñ ÐÙ + ÐÓÔ G ÜÔÖ µ E rm E lm rm Ì Ó τ ÓÒ ÓØÒ ÓØÓ S γ Ú ØÚ ÒÒÝ ÔÙÙ ÒÒ τò ØÙÓØÓ ÓÒ γ E + E E E ÂÓÓÒ ÑÙÓÓ ØÑÒÒ ÇÐ τ ÐÓÔÒ G ÑÙÒÒ ÒÒÝ ÔÙÙ ÓÒ ØÙÓ¹ ØÓ ÓÒ ÔØÑÖÓÒÓ x E E E + E τ Ø Ò Ú Ò ÓØÓ xðð ÝÑÐÐ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙØ ÐÔ Ö ØÝ¹ ÝÐÐØ Ð Ú ÑÑÐØ ÓÐÐµ ÐÚÒØÑÐÐ Ú ØÒ ØÙÐ¹ ÚØ ÚÐØ Ö ØÝ ÔÙÙÒ Ó ÓØØÑÐÐ ØÚÐÐ ÃÙÚ ÄÙ Ò + ÖÐ Ø ÒÒÝ Ø

33 ½¾¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÃÁÄÁÇÈÈÁÆ ÂËÆÆËÇÆÄÅ ½¾ ÃÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ G ÓÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ Ó ÓÐÐÒ GÒ ÐÙ ÐÐ x ÓÒ ÖÐ Ø GÒ ÑÙ Ø ÒÒÝ ÔÙÙØ ÅÙÙØÒ ÐÓÔÔ ÓÒ Ý ÐØ¹ ØÒÒ ÃÓÒØ ØØÓÒ Ð ÓÒ ØÙÓØØÚØ ÐÓÔØ ÓÚØ ÑÓÒ ÐØØ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓ ØÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ ÑÖ 1, ε / A, ε / A, ε / A 2, ε / A, ε / ε, ε / ε,a/ ε 3 5 4,A/ ε ÃÐÓÔÔ G ÜÔÖ ÓÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ ÃÐÓÔØ GÜÔÖ GÑØ Ý ÐØØ ÃÐ LÜÔÖ = L(G ÜÔÖ ) ÓÐ ÐÙÓÒÒÓ ØÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ Ó ÐÐ ÓÒ ÑÝ Ý ÐØØÒÒ ÐÓÔÔ GÜÔÖ,A/ ε 6,A/ ε ÃÐ { i j c k i = j Ø j = k} ÓÒ ÐÙÓÒÒÓ ØÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ ØÓ ØÙ ÚÙÙØØÒµ ÀÙÓÑ ¾ ÇÐÑÓÒØÐØÒ ÐÓÔÔÒ ÝÒØ Òµ ØÙÐ ÓÐÐ Ý ÐØØ ÓØØ ÓÐÑ ÚÓØ Ò ÒØ Ý ÐØØ Ø ØÓÑÚ ÓÐÑ ÀÙÓÑ ÄÙÓÒÒÓ ØÒ ÑÓÒ ÐØØ Ø ÐØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÚÒ ÔØÖÑÒ ¹ Ø ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÁØ ÐÙÓÒÒÓ ØÒ ÑÓÒ ÐØØ Ø ÐØ ÓÚØ Ô¹ ØÖÑÒ Ø ØÒ ÐØÒ ØÓ Ó ÐÙÓ ÓÒ ÓÐÑ ÑÝ Ý ÐØØ Ð ÓØ ÚØÚØ ÔØÖÑÒ Ø Ò ÔÒÓÙØÓÑØÒ ÑÖ ½ ÃÐ L = { n m 0 m n 2m} ÓÒ Ý ÐØØÒÒ ÑÙØØ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÒÖØ Ò ÐÒ ØÙÓØØÚ ÐÓÔÔ ÓÒ S S S ǫ ÌÑ ÓÒ ÙØÒÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ Å µ ËÑÒ ÐÒ ÚÓ ÙØÒÒ ÙÚØ Ý ÐØØ ÐÐ ÐÓÔÐÐ S S A ǫ A A ÑÖ ½ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÒØ ¹ØÒ ¹ÐÙ Ò ÒØÑ ¹ S B ØÒ S Ð S B ØÒ S z := N Â ÒÒØÒ ÑÖÓÒÓ x = 0 ØÒ y = 0 ØÒ z := 0 Ð z := 1 Î ØÙ Ò Ò ÖÐ Ø ÒÒÝ ÔÙÙØ ÅØÒ Ý ÙÒ Ü½ S ÃÐÐÐ ÚÓÒ ÑÝ ÐØ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ ÙÚ µ ÑÙØØ ØÖÑÒ Ø Ø ÙØÓÑØØ ÔÝ ØÝØ ÐØÑÒ ÁÒØÙØÚ Ø ÝÝ ÓÒ ÙÖÚ ÒØ Ó ÐÙ ÑÖÓÒÓ ÐÙ Ø ÐØÒ ÑÖ ÖÖÐÐÒ Ø ÑÐÐÓÒ ÔØ ÚÐØ ÒØ S A Ø ÑÐÐÓÒ ÐÐÐ ÓÒ ÖØ ÝØ ÔÐÓÒ Ø ÙÒ Øµ if B then x=0 if B then y=0 S S z:=0 else S z:=1 ½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½¾ S ÆÜØØÒÜØ Ë ÒÜØµ if B then S else S x=0 if B then S z:=1 y=0 z:=0 ÊÙÖ Ú Ø ØÒÚ ÒØÑÒÒ ÑÖ ½ ËÐÐ ØÒ ÐØÒ ÙÐÙÑ ÑÖØØÐ ÓÒÒÐ Ò ÖÙÖ ÓÒ = A A ǫ ÑÙØØ ØÑ ÓÐ ÓÚÒ ÐÑ ÙÚÓÑÒÒ Å µ ÃÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ ÚÓ Ò Ò ÙÚØ ÐÔÓ Ø ÖÙÖ ÓØ ÑÖ ÐÓÔÔ S S ǫ ÚÓÒ ØÓØÙØØ ÐÓÐÑÐÐ S Ó ÙØ ÙÙ Ø Ò ÀÙÓÑ ØØ Ó Ò ÖÙÖ ÓÒ ÓÒ ÔÝ ÝØØÚ ÔÖÓÙÖ Ë ÒÜØµ Ò ÒÜØ³³µ ØÒ Ò ÒÜØØÒÜØ Ë ÒÜØµ ÒÜØ³³µ ØÒ ÎÖ ÒÜØØÒÜØ Ò Ò ÈÓÐÑ ÀÙÓÑ ØØ Ñ ÚÓØ Ò ØÓØÙØØ ÔÒÓÒ ÚÙÐÐ ÁØ ÖÙÖ ÚÒÒ ÓÐÑ ÑÙÐÓ ÔÙÒÓÒ ØÓÑÒØ ÙØ ÙØØ S ÐØØÒ ÙØ Ù ÔÖÑØÖÒÒ ÔÒÓÓÒ ÔÐØØ ÖÙÖ Ó Ø ÒØ ÒÓ ØØÒ ÔÒÓ Ø ØÖÑÒ Ø Ò ÔÒÓÙ¹ ØÓÑØÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð ÚÓÒÒ Ò ØÙÒÒ Ø ÖÙÖ Ú ÐÐ ÒØÐÐ ½ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÔ ÄÄ ½µ¹ÐØ ÓÚØ ÙÔÔ ÑÙØØ ÝÝÐÐÒÒ ÐÐÙÓ ÆÐÐ ÚÓÒ ÐÔÓ Ø Ð¹ Ø ÖÙÖ Ú Ø ØÒÚ ÒØ Ó ÐÙ ÑÖÓÒÓ Ú ÑÑÐØ ÓÐÐ Ó ÐÐÐ ÑÙÐÓ ÒÒØÙÒ ÐÓÔÒ ÒØ ÃÓ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔ ÓÒÒ ÒØ ÓÒ Ý ØØ Ø ÑÖØÐØÝ ÙÒ ÙÖÚ ÝØÑÖ ØÙÒÒØÒ ÚÓÒ ÑÖÓÒÓÒ Ú ÑÑÒ ÓÓÒ ØÙÓØØÚ ÒÒÝ ÙÓÖØØ ØØÓÓÒÓÐÑÒ ÆÑ¹ ØÝ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÔ ØÙÐÒ ÒÓ Ø ÐØ ØÓ ÖØ Ò ÔÖÓÙÒ ÐØ ÔÖ ÛØ ½ ÝÑÓÐ ÐÓÓµ ÇÐÑ ØÓØÙØØÒ ÐÒ ÖÙÖ ÓÖÒØÒ Ó ÓÒ Ò Ð ÝÚÒ ØÓ n ÑÖÒ ÑØØ Ò ÝØÑÖÓÒÓÒ ØØÐÝ ÙÙÙ ÐÒÖ O(n) ÑÖ ½ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÐÓÔÔ G E T + E T E T T (E) ÅÙÓØÒ G Ø ÚÐÒ E ÔÖÓÙØÓØ ØÑÐÐ ÚÚÐÒØØ ÐÓÔÔ G E TE E +E E ǫ T (E)

34 ½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½¾ ÆÝØ G Ò ÐÙ ÐÐ ÚÓÒ ÐÔÓ Ø ÑÙÓÓ Ø Ú ÑÑØ ÓÓØ ÙÓÖÒ ÐØ ÝÑ¹ ÓÐ Ø E ÐÒ ÐÐ ÒÒÝ Ò Ó Ú ØÚÓØØÒ ÓÐÚÒ ÐÙ Ò ÙÖ¹ Ú ÑÖ ÑÖ Ý ØØ Ø Ò Ñ ÔÖÓÙØÓ ÚÐØÒ ÐÚÒÒØØÚÒ ÓÐ¹ ÚÒ ÚÐ Ò ÑÖ ÐÙ (+) ÚÓÒ ÓØ ÚÒ ÝÐÐ ØÚÐÐ E TE E E TE (E)E... ¾ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÒ ÒÒÝ ÓÐÑ LL(1)¹ÐÓÔÒ ÒÒÝ ÓÐÑ ÑÙÓÓ ØÙÙ ÚÐØ Ú ØÚ Ø ÖÙÖ Ú Ø ÙÒØÓ Ø ÑÖ ¾¼ ÃÐÓÔÒ G Ò ÑÙÒÒ ÒØ Ô ÙÓÓÓÒ ÙÒØÓÒ E Ò T E ; Ò ÙÒØÓÒ E Ò ÒÜØ ³ ³µ ØÒ Ò Ø ÓØÒ ÒÜØ ØÒÜØ E; Ò Ð Ò ÒÜØ ³¹³µ ØÒ Ò Ø ÓØÒ ÒÜØ ØÒÜØ E; Ò Ð Ø ÓØÒ Ò Ò ÙÒØÓÒ T Ò ÒÜØ ³³µ ØÒ Ò Ø ÓØÒ ÒÜØ ØÒÜØ ÖØÙÖÒ Ò Ð Ò ÒÜØ ³ ³µ ØÒ Ò Ø ÓØÒ ÒÜØ ØÒÜØ E ÒÜØ ³µ³µ ÊÊÇÊ ÒÜØ ØÒÜØ Ò Ð ÊÊÇÊ Ò Ò ÈÇÀÂÄÅËË ÒÜØ ØÒÜØ E Ñ ÝØÓÒÓÒ ¹ µ ÒÒÝ ÙÒ Ý Ø ÓØÒ³ ØÙÐÓ Ø ÔÖÓÙØÓØ Ì³ Ì ³ ¹ Ì³ Ì µ Ì³ Ì ³ Ì³ Ì ½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½¾ ³ ǫ ³ ǫ ÓÖÑÐ Ø ÌÙÐÓ ØÙ Ú Ø Ú ÒØ ÓØÓ E TE E E TE (E)E (TE )E (E )E ( + E)E ( + TE )E ( + E )E ( + )E ( + ) ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÔÒ ÝÐÒÒ ÑÙÓØÓ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔ ÐÐØÒ ÖÓØØÙ ÑÖÒ ÑÝ ÈÖÓÙØÓØ ÓÒ ÓØ ÔÙÓÐØ ÐÚØ ÚÐÐÐ ÌÝÒØÝÚ ÚÐØ A ÓÐÐ A ǫ Ñ ÐÒ c d ØÙÓØØÚ ÐÓÔÔ S A Cd A A ǫ C cc ǫ. ÃÐÓÔÔ ÓÒ ÄÄ ½µ Ú Ò ÑÑ ÓÚÐÐØØÚ ÔÖÓÙØÓØ ÚÓÒ ÔØÐ¹ Ð ÔÐ ØÒ SÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÔÖÙ ØÐÐ ËÙÖÚ ÑÖØØÐÑÑ Ø ØÒ ÓÐÐ ÚÓ ØÙØ ÓÒÓ ÐÓÔÔ LL(1) ËØ ÚÖØÒ ØÖÚØ ÑÑ ÔÙ ØØØ ÔÙ Ø ÔØÑÖÓÙÓØ ÁÊËÌ ÇÄÄÇÏ ÅÖØÐÐÒ ÒÒØÙÒ ÐÓÔÒ G = (V, Σ, P, S) ÚÐ Ò ÐØØÝÚØ ÔØÑÖ¹ ÓÙÓØ ÁÊËÌ µ A Ø ÓØØÚÒ ÔØÓÒÓÒ ½ ÑÖØ ǫ Ó A ØÝÒØÝÚ ÇÄÄÇÏ µ Ò ÔØÑÖØ ÓØ ÚÓÚØ ÙÖØ AØ Ó Ò GÒ ÐÙ ¹ ÓÓ ǫ Ó A ÚÓ Ø ÐÙ ÓÓ Ò ÐÓÔÙ ÁÊËÌ(A) = { Σ A x ÓÐÐÒ x Σ } {ǫ A ǫ}; ÇÄÄÇÏ(A) = { Σ S αaβ ÓÐÐÒ α, β V } {ǫ S αa ÓÐÐÒ α V }. ÁÊËÌ¹ÓÙÓÒ ÑÖØÐÑ ÐÒÒØÒ ÑÐÚÐØ ÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐ ÐÐÒ ÑÖÓÒÓÓÙÓÒ ÁÊËÌ(ǫ) = {ǫ}; ÁÊËÌ() = {} ÐÐ Σ; ÁÊËÌ(X1...Xk) = ÁÊËÌ(X1)... ÁÊËÌ(Xi) {ǫ}, Ó ǫ ÁÊËÌ(X1),...,ÁÊËÌ(Xi 1), ǫ / ÁÊËÌ(Xi); ÁÊËÌ(X1)... ÁÊËÌ(Xk), Ó ǫ ÁÊËÌ(Xi) ÐÐ i = 1,..., k; ÑÖ ¾½ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÐÒ ØÙÓØØÚ ÐÓÔÔ Gmiu S Amiu musmu ǫ A purr ǫ ÆÝØ ÑÖ FIRST({Amiu}) = FIRST({purrmiu, ǫmiu} = {p, m} Ð ÓØ¹ ØÒ Ý ÒÖØ Ø ½ ÖÑØ ÓÙÓÒ ÑÖÓÒÓ Ø FOLLOW(S)) = {ǫ, mu}) ÐÐ S ÚÓ ÙÖØ mu ÒØ S musmuµ ØÓ ÐØ S ÚÓ Ø ÐÙ ¹ ÓÓ Ò ÐÓÔÙ ÒØ S ǫµ

35 ½ ¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½ ½ LL(1)¹Ø Ø ÅÖØÐÑ ÃÐÓÔÔ ÓÒ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓØÓÒÒ Ó Ò ÑÐÐ ØÒ ÐÐ ÑÒ ÚÐ Ò A ÐØØÝÚÐÐ ÔÖÓÙØÓÐÐ A ω1 A ω2 ω1 ω2 ÓÒ ÚÓÑ ÁÊËÌ({ω1}ÇÄÄÇÏ(A)) ÁÊËÌ({ω2}ÇÄÄÇÏ(A)) =. ÄÄ ½µ¹Ø ØÒ ÅØ ÓÚØ ½ ÔØÑÖØ Ó ÚÐØÒ ÒØ A ω1 ÂÓ ÒØ A ω2 ØÙÓØØ ÑÓ ½ ÔØÑÖ ÚÐÒØ ÓÐ Ý Ò ØØÒÒ FIRST({ω1}FOLLOW(A))Ò Ð ÑÒÒ ÌÙØ Ò Ò ω1ò ½ ÔØÑÖØ Ó ÚÓ ÓÐÐ ω1 = ǫ ÒÒ ØÙØ ÑÝ FOLLOW(A)Ò ½ ÔØÑÖØ Ø Ó ÓÓ ÓÒ αaβ A = ǫ ÒÒ ÙÖÚ ÔØÑÖ ÓÒ βò ½ ÔØ¹ ÑÖ ÑÖ ¾¾ ÌÙØØÒ ÓÒÓ ÐÓÔÔ Gmiu LL(1)¹ÑÙÓØÓÒÒ ËÒÒØ S Amiu S musmu S ǫ FIRST({Amiu}FOLLOW(S)) = FIRST({purrmiu, ǫmiu}follow(s)) = {p, m} FIRST({muSmu}FOLLOW(S)) = FIRST({mu}FOLLOW(S)) = {m} FIRST({ǫ}FOLLOW(S)) = FIRST({ǫ}{ǫ, mu}) = {ǫ, m} ÆÝØ ÒÒØ ÚÓÚØ ØÙÓØØ ÙÖÚÒ ÑÖÒ mò ÓØÒ ÓÐ Ý Ø¹ Ø Ø Ñ Ò Ø ÚÐØÒ ÃÐÓÔÔ ÓÐ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓÓ ÑÖ ¾ ÇÒÓ ÙÖÚ ÐÓÔÔ LL(1)¹ÑÙÓÓ S A Cd A A ǫ C cc ǫ ËÒØÔÖ S A S Cd FIRST({A}FOLLOW(S)) = FIRST({A}{ǫ}) Ó S ÚÓ ÒØÝ ÚÒ Ó¹ ÓÒ Ò ÑÑ Ò ÐÙ ÓÓ Ò ÔÐ ÐÓØÙ ÝÑÓÐ S ÓØ ÙÖ ǫµ FIRST(Aǫ) =, Ó AØ ÐÚÒÒØØ ½ ÑÖ ÚÓ ÓÐÐ Ø ǫ ÓÐÐÓÒ Ù¹ ÖÚ ÑÖ µ ÓÒÒ ÑÖÓÒÓÒ A ½ ÑÖ ÀÙÓÑ ǫ ÚÓ ÓÐÐ ÑÖÓÒÓÒ {A}{ǫ} ½ ÑÖ ÐÐ ÚÐ ÓÒ Ò Ó ØÝÒ ÑÒÒ ËÑÒ ØÔÒ FIRST({Cd}FOLLOW(S)) = FIRST({Cd}{ǫ}) = {c, d} ËÒØÔÖÒ A A A ǫ ØØÐÝ FIRST({A}FOLLOW(A)) = FIRST({A}{}) Ó AØ ÚÓ ÙÖØ ÚÒ Ó Ò ÐÙ ÓÓ ¹ ÚÓ ÓÐÐ ÑÖÓÒÓÒ ÚÑÒÒ Ó S Ø ÐØ Ø ÙÖ FIRST({A}{}) = FIRST({A}) = {} FIRST({ǫ}FOLLOW(A)) = FIRST({ǫ}) = {} ÃÓÐÑ ÒØÔÖ FIRST({cC}FOLLOW(C)) = FIRST({cC}{d}) = {c} FIRST({ǫ}FOLLOW(C)) = FIRST({ǫ}{d}) = {d} Ð ÑÒ ÒØÔÖ ÖÓ LL(1)¹ØÓ ÐÙ ØÝµ ÑÖ ¾ ÇÒÓ ÙÖÚ ÐÓÔÔ LL(1)¹ÑÙÓÓ S (L) L L, S S Ò ÑÑÒÒ ÒØÔÖ FIRST({(L)}FOLLOW(S)) = FIRST({(L)}{ ),,, ǫ}) = { ( } FIRST({}FOLLOW(S)) = {} Ð ÐÙ ØÝ ¹ Ó ÌÓÒÒ ÒØÔÖ FIRST({L, S}FOLLOW(L)) = FIRST({L, S}{ ),, }) = FIRST(L) = { (, } FIRST({S}FOLLOW(L)) = FIRST({S}{ ),, }) = FIRST(S) = { (, } Ð ÐÙ ÔØÝ ÄÄ ½µ ½ ¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½ ÀÙÓÑ FIRST({L, S}{ ),, }) = FIRST(L) Ó L ÚÓ ØÝÒØÝ Ø ÚÓ ÓÖÚØ ǫðð Ñ Ò ÓÓ ¹ Ô ÑÖÓÒÓÒ ½ ÑÖ ÓÒ LÒ ½ ÑÖ ËÑÓÒ FIRST({S}{ ),, }) = FIRST(S) ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÒ ÖÙÖ Ú Ø ØÒÚÒ ÒØÒ ÑÙÓ¹ Ó ØÑÒÒ ÝÐ Ø ÈÖÙ ÃÙØÒ ÚÐØØ ÓÒ ØÑÑ ÓÑÒ ÐÓÐÑÒ ÐÓÐÑ A ÐÙÑÑ ÐÚÒØ ÚÐÒ A ÓÓÒ ÚÓ ÐØØÝ Ù Ø ÒØ A ω1 ω2... ÂÓ ÙÖÚ ÝØÑÖ ÐÝØÝÝ ÓÙÓ Ø FIRST({ω1}FOLLOW(A)) ÒÒ ÚÐØÒ ÒØ A ω1 ÔÙÖÙØÒØ ØÓÒ ØÒÜØ ËÙÖÚÒ ÔØ ÝÑÓÐÒ ÐÙ ÚÓ ÓÐÐ > ½ ÖÒÑÖ ÚÓ ÊÊÇÊ Ö Ñ µ ÎÖÒ ØØÐÝ ÔÖÑØÖ Ñ ÐØ ÚÖÐÑÓØÙ Ø ØÒ ÎÐØØ A Ú ØÚ ÙÒØÓ ÙÒØÓÒA» AÒ ÔÖÓÙØÓØ A ω1... ωn» Ò ÒÜØ Ò [11,...,1m1]µ» ÁÊËÌ({ω1}ÇÄÄÇÏ(A)) = {11,...,1m1}» Ò» ÔÖÓÙØÓ A ω1» ÔÖ ω1µ Ò Ð ÒÜØ Ò [n1,...,nmn]µ» ÁÊËÌ({ωn}ÇÄÄÇÏ(A)) = {n1,...,nmn}» Ò» ÔÖÓÙØÓ A ωn» ÔÖ ωnµ Ò Ð ÊÊÇÊ A ÒÒÓØ ØÖØ ÛØ Ø µ Ò Ì ÐÝÒÒÑÖÒØ ÔÖ (ωi) ØÖÓØØ ÙÖÚÐÐ ØÚÐÐ ÑÙÓÓ ØØØÚ ÝÓÒÓ ÔÖ (X1...Xk) ÔÖ (X1);...; ÔÖ (Xk) Ñ ÔÖ () ÒÜØ ØÒ ÊÊÇÊ ³ ÜÔØ³µ ÒÜØ ØÒÜØ ÓÒ ÔØÑÖµ ÔÖ (B) B; ( ÓÒ ÚÐ) ÃÐÓÔÔÒ ÑÙÓÑÒÒ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓØÓÓÒ ÄÄ ½µ¹ÐØ ØØÚØ ÚÒ ÔÒÒ ÓÙÓÒ ÓÒØ ØØØÓÑ Ð ÐÓÔÔ¹ ÚÓ ÑÙÙÒØ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓØÓÓÒ ÂÓ Ù Ð ÓÒ ÄÄ ½µ¹ÐÙÓ ÑÙØØ Ò ÙÚÚ ÐÓÔÔ ÓÐ Ó ÑÙÓÓ ÌÐÐ Ø ÑÐÒ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔØ ÚÓ ÑÙÓØ ÓÒ ÑÙÓØÓÓÒ ÙÖÚÐÐ ÓÔÖØÓÐÐ ½ ÎËÆ ÌÃÁÂÁÆÌÁ ÃÐÓÔÔ Ó ÓÒ ÔÖÓÙØÓØ A αβ1 αβ2, α ǫ, β1 β2 ÚÓ ÓÐÐ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓØÓÒÒ Ó ÙÑÔÒ ÒØ ØÙÓØØ ÑÒ ÙÖÚÒ ÑÖÒ αò ½ ÑÖÒµ ÌÐÒÒ ÚÓÒ ÓÖØ ÓØØÑÐÐ ÝØØÒ ÙÙ ÚÐ A ÓÖÚÑÐÐ Ñ ÔÖÓÙØÓØ ÔÖÓÙØÓÐÐ A αa A β1 β2, Ñ α ÓÒ αβ1ò αβ2ò Ô Ò ÝØÒÒ ÐÙÓ ÇØØÒ ÝØÒÒ Ø ØÒ ÚÖØ ÑØÑØ x + y = (x + y)µ ¾ ÎÄÁÌÌÅÆ ÎËÅÅÆ ÊÃÍÊËÁÇÆ ÈÇÁËÌÅÁÆÆ

36 ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½ ÃÐÓÔÔ ÓÒ Ú ÑÑÐÐ ÖÙÖ ÚÒÒ Ó ÓÐÐÒ ÚÐÐÐ A ÑÖ¹ ÓÒÓÐÐ γ ÓÒ A + Aγ, Ñ ÑÖÒØ α + β ØÖÓØØ ØØ α Ø ÚÓÒ ÓØ β ÓÓÐÐ ÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ ÚÒØÒ Ý Ð Î ÑÑÐÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÐÓÔÔ ÚÓ ØÝØØ ÄÄ ½µ¹ØÓ Ó ÓÓÒ ÓÒ Ó Ò ÔØÝØØÚ ÐÐÓÒ A ÐÚÒÒØÒÒ ØÓ ÐÐ ÒÒÐÐ Ë ØÙÓØØ ÑÒ ÙÖÚÒ ÑÖÒ ÙÒ ÓÒ ØÓÒÒ ÒØ ÎÐØÒ Ú Ò ÖÙÖ Ó Ó ÙÓÖØ ÓÓØ A Aγ ÚÓÒ ÚÐØØ ÓÖÚÑÐÐ ÔÖÓÙØÓØ A Aβ α, β ǫ, ÔÖÓÙØÓÐÐ A αa A βa ǫ ÅÙÓØÓ A A ÓÐÚØ ÔÖÓÙØÓØ ÚÓÒ Ý ÒÖØ Ø ØØ ÔÓ ÈÖÙ ØÐÙ AÒ ÓÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ A Aβ Aββ Aβββ... αββ...β Ð αβ ÄÓÔÙÐØ ÓÒ ÚÐØØÚ ÒØ A α Ø ÖÙÖ Ó ÔØÝ Ò ÂÓÒÒ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÚÓÒ ØÓÖ ÑÙÙÒØ Ú ÑÑÒ ÖÙÖ ÓÒ ÚÐØØÚÒ ÖÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ Ñ ÔÖÓÙØÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ A B1...Bk, k 0, Ø S ǫ Ñ ÓÒ ÔØÑÖ B1,..., Bk ÚÐØ S ÐØ ÝÑÓÐ ÄÁÁÌ ÁÊËÌ¹ ÇÄÄÇÏ¹ÓÙÓÒ Ð ÑÒÒ ÒÒØØÙ ÐÓÔÔ G = (V, Σ, P, S) Ò Ò Ð ØÒ ÁÊËÌ¹ÓÙÓØ ½ ØØÒ ÐÙ ÐÐ ÐÓÔÒ ÔØØÐÐ Σ ÁÊËÌ() := {}, ÐÐ ÚÐÐÐ A V Σ ÁÊËÌ(A) := { Σ A β ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ} {ǫ A ǫ ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ}. ¾ ÃÝÒ ØØÒ ÐÓÔÒ ÔÖÓÙØÓØ ÐÔ Ó Ò Ö ØÝ ØÓ ØØÒ ÙÒÒ ÁÊËÌ¹ÓÙÓØ ÚØ Ò Ú ÙÐÐÒ ÔÖÓÙØÓÐÐ A X1...Xk Ø¹ ØÒ ÁÊËÌ(A) := ÁÊËÌ(A) {ÁÊËÌ(Xi) 1 i k, ǫ ÁÊËÌ(Xj) ÐÐ j < k} {ǫ ǫ ÁÊËÌ(Xj) ÐÐ j = 1,..., k}. ÇÄÄÇÏ¹ÓÙÓØ ÑÖØØÒ ÁÊËÌ¹ÓÙÓÒ ÚÙÐÐ ÙÖÚ Ø ½ ØØÒ ÐÙ ÐÐ ÚÐÐÐ B V Σ ÇÄÄÇÏ(B) := {ÁÊËÌ(β) {ǫ} A αbβ ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ}, ÐØ ÝÑÓÐÐÐ S Ð ÇÄÄÇÏ(S) := ÇÄÄÇÏ(S) {ǫ}. ¾ ËØØÒ ØÓ ØØÒ ÙÒÒ ÇÄÄÇÏ¹ÓÙÓØ ÚØ Ò Ú ÙÐÐÒ ÔÖÓÙØÓÐÐ A αbβ Ñ ǫ ÁÊËÌ(β) ØØÒ ÇÄÄÇÏ(B) := ÇÄÄÇÏ(B) ÇÄÄÇÏ(A). ÄÄ ½µ¹ÐÒ ÚÚÑÑØ ÖÙ Ø ÐÐ ØØØÝ ÖÙÖ Ú Ò ÒØÒ ÚÓÒ ÝÐ Ø ØÔÙ Ò Ó k Ù¹ ÖÚ ÑÖ ÑÖÚØ Ý ØØ Ø Ñ ÒØ ÚÐØÒ ÙÐÐÒ Ú ÑÑÒ ÓÓÒ ÒÒÝ ÐÐÐ ÌÐÐ ÐÓÔÔ ÙØ ÙØÒ ÄÄ µ¹ðóô ÐØ ØÓ ÖØ Ò ÔÖÓÙÒ ÐØ ÔÖ ÛØ ÝÑÓÐ ÐÓÓµ ÑÖ ¾ ØÑÐ¹Ð ØÖÒØÒ ÒÒÝ ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÌÆÎ ÂËÆÌÅÁÆÆ ½ ÌØÚ Ä ÒÒÒ ÓÐÐ ÚÓ ØÙØ ÓÒÓ ÒÒØØÙ ÑÖÓÒÓ ÐÐÐÒÒ ØÑÐÒ ÓÐ¹ Ø ÙÐ¹Ð ØÖÒÒ ÎÓØ ÓÐØØ ØØ Ð ØÓ ÓÐÐ ÖÓØØ¹ ÑØØÓÑÒ ÔÐÓÒ Ó Ò Ð ØÒ ÓÒ ØÐÐØØÙ ÚÒØÒ ÝÒ ÖÑÒ ÐÓ ÐÐØ ØÝ Ð ØÓµ Ä ØÖÒØØ ÙÚÚ ÐÓÔÔ ÓÒ ÙÖÚ S < ol > L < /ol > < ul > L < /ul > T L < li > S < li > SL T AT A A... z AÒ ÒÒ ÚÓ ÐÙØÐÐ Ø Ø ÐÐØÙØ ÑÖØµ ÇØØÒ ÝØØÒ ÙÙØ ÔÙ ÝÑÓÐØ B =< ol > C =< /ol > D =< ul > E =< /ul > F =< li > ÆÝØ ÐÓÔÔ ÓÒ ÙÖÚ S BLC DLE T L FS FSL T AT A A... z B < ol > C < /ol > D < ul > E < /ul > F < li > ÌÑ ÚÓÒ ÑÙÙÒØ ÄÄ¹ÑÙÓØÓÓÒ Ø ØÖÚØ ÑÑ ÄÄ ¾µ¹ÑÙÓØÓ ÓÒ ØÙØØØÚ ÒÒØÒ ¾ ÙÖÚ ÑÖ ÓØØ ØØÒ Ñ ÒØ ÚÐØÒµ S BLC DLE T L FSL L L ǫ T AT T T ǫ A... z B < ol > C < /ol > D < ul > E < /ul > F < li > Â ÒÒÒ Ô ÙÓÓÓÒ» ÔÙÖÙØÒØ» ØÓÒ ØÒÜØ» ÐÙ ÙÖÚ Ò ÚÐÐÝÒØÒ»» ÖÚÒÚØÓÓÒ ³³¹ Ø ³³¹ÑÖÒ ÀÝÔÔ»» ÐÙ ÓÐÚÒ ÚÐÐÝÒØÒ ÝÐ» ÚÓ ÊÊÇÊ» ÚÖÒ ØØÐÝ»» ËÙÖÚ Ó ÒÒ» Ö ÒÜØ ÙÒØÓÒ S { (next == < ol > ) {» ÖÙÐ S BLC» next = getnext Ä ÒÜØ³»ÓÐ³µ ÎÖ } Ð next == < ul > µ {» ÖÙÐ S ELF» next = getnext Ä ÒÜØ³»ÙÐ³µ ÎÖ } Ð Ì» ÖÙÐ S T» } ÙÒØÓÒ L { next == < li > µ {» ÖÙÐ L FS» next = getnext Ë ÒÜØ³Ð³µ» ÖÙÐ L FSL» Ä } Ð ÎÖ }

37 ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ Ã¹ÂËÆÆËÄÇÊÁÌÅÁ ½ ÙÒØÓÒ T { ÛÐ ÒÜØ³»ÓÐ³µ ÒÜØ³ÙÐ³µ ÒÜØ³Ð³µµ ÒÜØØÒÜØ } kontekstittomt kielet tunnistus: epädeterministinen pinoutomtti yksiselitteiset kielet ÎÐ ÐÑÔ ÐÐÙÓ Ò ÙÒ ÑÙÐÓÒ ÑÖÓÒ Ó ÓØÓ ÖÙÖ¹ Ú Ø ÄÊ ½µ¹ÐÓÔ ÐØ ØÓ ÖØ Ò ÔÖÓÙÒ ÖØ ÔÖ ÛØ ½ ÝÑ¹ ÓÐ ÐÓÓµ ÒÒÝ ØÒ ÓÐØ Ú ÑÑÐÐ Ø ÐÚÒÒØÒ Ò ÓÒ¹ ÔÙÓÐÑÑ Ò ÚÐ ÝÑÓÐµ ÙÖÚ ÑÖ ÑÖØØÐ Ý ØØ Ø ÝØØ¹ ØÚÒ ÒÒÒ Î ØÚ Ø ÄÊ µ¹ð ÙÖÚØ k ÑÖ ÑÖØØÚØ ÙÖ¹ ÚÒ ÓØÓ ÐÒ LR¹ ÒØÒ ÐØÑÒÒ ÓÒ ÙØÒÒ ÚÑÔ ÙÒ LL¹ ÒØÒ Ò ÔÖÝØ ØÐÐ ÙÖ ÐÐ Ä ØØÓ ÐÝØÝÝ Ñ ËÙÑÔÒ Ö Ø ÒØ ØØÐÚ Ø ÖÐÐ ÙÙ Ø ÀÙÓÑ LR(1)¹ÐØ ÓÚØ ÝÚÒ ØÖ ÐÐÙÓ ÐÐ Ò ÑÖØØÐÚØ Ø ÑÐÐÒ ØÖÑÒ Ø Ø ÐØ Ø ÐØ ÓØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÀÙÓÑ¾ ÇÒ ÓÐÑ Ð ÓØ ÚØ ÓÐ ØÖÑÒ Ø ÑÙØØ ÓÐÐ ÐØ ÓÒ ÓÐÑ Ý ÐØØÒÒ ÐÓÔÔ ÑÖ ÔÐÒÖÓÑÐÐÐ L = {ww R w {, } } ÚÓÒ ÒØ Ý ÐØØÒÒ ÐÓÔÔ ÑÙØØ ÐØ Ò ÒÓ ÚÓ ØÙÒ¹ Ò Ø ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÙØÓÑØÐÐ ÇÒÐÑÒ ÓÒ ØØ ÙØÓÑØÒ ØÝØÝÝ Ö¹ ÚØ ÑÐÐÓÒ ÓÒ ØÙÐØÙ ÑÖÓÒÓÒ ÓØÒ tunnistus: deterministiset deterministinen pinoutomtti kontekstittomt kielet =LR(1) kielet LL(k) kielet säännölliset kielet =lineriset kielet tunnistus: äärellinen utomtti nämä ovt luonnostn moniselitteisiä ÃÙÚ ÃÙÚ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÐÐÙÓÒ ÚÐ Ø ÙØ Ø Ã¹ ÒÒÝ ÐÓÖØÑ LL¹ ÒÒÝ ØÙØÑÑ ÚÓÓ ÐØ ÝÑÓÐ Ø ØÙÓØØ ÒÒØÙÒ ÑÖÓÒÓÒ ÑÙØØ ÝØ ÝÚÒ ÚÓÑÑ Ø ÑÖÓÒÓ Ø Ø ÔÒ ØÙØ ÚÙØÑÑÓ ÐØ ÝÑÓÐÒ ÌÐÐ Ø ÐÐØ¹ÝÐ ÔÒ ØÒÚ ÒÒÝ Ø ÙØ ÙØÒ ÓØØÓÑ¹ ÙÔµ¹ ÒÒÝ ÖÓØÙ Ò ÝÐÐØ Ð ØÓÔ¹ÓÛÒµ ØÒÚ Ø ÒÒÝ Ø ØØÐÑÑÑ ØÓÔ¹ÓÛÒ ÑÒØÐÑ ÓÚÐØÙ ÚÒ ÝÚÒ ÔÒÐÐ ÐÐÙÓÐÐ LL¹ ÐÐÐ ÈÖØØ ÚÓ ÑÑ ÐØ ÑÒØÔ Ò ØÓÔ¹ÓÛÒ¹ ÒØÑÒ ÑÐÐ ØÒ ÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÐÐ ÑÙÙÒØÑÐÐ Ò Ò Ò Ñ ÖÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÌÑÒÑÙÓØÓ ÐÐ ÐÓÔÐÐ ÑÐÐ ØÒ n ÑÖÒ ÑØØ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÓÒ nò ÐÒ ÓØÓ ÅÖÓÒÓÒ x x = n ÙÙÐÙÑÒÒ ØÙÓØØØÙÙÒ ÐÒ ÚÓÒ Ø ¹ ØØ ÝÑÐÐ ÐÔ n ÐÒ ÑØØ Ø ÓÓØ Ø ÓÑÐÐ ØÙÓØØÓ ÓÒ Ò Ø xò ÌÑ ÓÒ ÙØÒÒ ØÓÚÓØØÓÑÒ ØÓØÓÒØ ÐÐ Ó ÔØÖÚÐ ÐÓÔ ÓÒ n ÐÒ ÑØØ ÓØÓ ÔÓÒÒØÐÒÒ ÑÖ ËÒ Ò ÓÓÙÒÖÃ Ñ¹ Ð Ã¹ÐÓÖØÑ ÓÒ ÚÖ Ò ØÓ ØÔ Ò¹ Ø Ñ ØÒ Ð ÐÐØ ÝÐ ÔÒ ÐÓÖØÑ ØÓÑ O(n 3 ) Ñ n ÓÒ ½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ Ã¹ÂËÆÆËÄÇÊÁÌÅÁ ½½ ØÙØØØÚÒ ÑÖÓÒÓÒ ÔØÙÙ ÃÐÓÔÒ ÓÒ ÓÐØÚ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓÓ ÑÙØØ ÓÒÒ Ñ ØÒ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÚÓÒ Ò ÑÙÙÒØ ÓÑ¹ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓ ÅÖØÐÑ ÃÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ G = (V, Σ, P, S) ÓÒ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐ¹ ÑÙÓÓ Ó ÎÐ Ø ÒÒØÒ S ÓÒ ØÝÒØÝÚ ÒÐ ÒÙÐÐÐµ Ð S ǫ G ÅÙÙØ ÔÖÓÙØÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ A BC Ø A Ñ A, B C ÓÚØ ÚÐØ ÓÒ ÔØÑÖ Ä ÚØÒ Ý ÒÖØ ÙÙÒ ÚÙÓ ØØ ÐØ ÝÑÓÐ S ÒÒÝ ÑÒÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ñ ÙÖÚ ÐÓÔÔ ÓÒ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓÓ S AB ǫ A BA B ÓÓÙÒÖÃ Ñ¹ÐÓÖØÑ ÈÖÙ ØÙÙ ÝÒÑ Ò ÓÐÑÓÒØÒ ÚÐØÙÐÓ ØÒ ØÙÐÙÓÒØÒµ ÇÒÐÑ ÇÐ G = (V, Σ, P, S) ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓÓ ÐÐ ÓÐ ÑÙÙØ¹ ØÒ Ò Ò ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒµ ÇÒÓ x L(G) Ð S x G ÐÓÖØÑ ½ ÂÓ x = ǫ ÒÒ x L(G) S ǫ ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ ¾ ÅÙÙØÒ ÑÖ x = 1...n ØÖ ØÐÐÒ xò Ó ÓÒÓØ ØÙÓØØÚÒ ÚÐ¹ Ò ÓÙÓ Ni,j = {A V Σ A i...j}, G 1 i j n x L(G) S N1,n ÂÓÙÓÒ Ni,j Ð ÑÒÒ ÑÙÓÓ ØØÒ ÓÐÑÓÑÒÒ ØÙÐÙÓ N1,1 N1,2 N2,2 N1,3 N2,3 N3,3 N1,4 N2,4 N3,4 N4,4 N1,5 N2,5 N3,5 N4,5 N5,5 Ü¹ Ð Ú Ø ÑÖÓÒÓÒ ÔÓ ØÓØ ØÙÐÙÓÒ Ô Ni,j ÓÙÓ ÚÐ ÝÑÓÐØ A ÓÐÐ A ii+1...j G ÓÒÒ ÓÒÐ Ú Ø ØØÝÒ ÔØÙ xò Ó ÓÒÓ ½ ÓÒÐ ÚÐØ ÓØ ØÙÓØØÚØ ÝÒ ÑÖÒ Ó ÓÒÓØ ¾ ÓÒÐ ÚÐØ ÓØ ØÙÓØØÚØ Ò ÑÖÒ Ó ÓÒÓØ Ò µ Ä ØÒ Ò Ò ÓÖ i = 1 ØÓ n µ Ä ØÒ ØØÒ ÒÙØÚ Ø ÓÖ k = 1 ØÓ n 1 ÓÖ i = 1 ØÓ n k Ni,i := {A V Σ A i ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ}; Ni,i+k := {A V Σ ÓÐÐÒ j i j < i + k ÓÒ ÚÐØ B Nij C Nj+1,i+k A BC ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ} ÀÙÓÑ ÌÙÒÒØÒ Ó ÐÝÝÑÑØ Ó ÓÒÓØ xò ÐÚÓÐÐ Ø ÔÖ Ø Ù Ø ÂÓÓÒ A ii+1...j ØÝØÝÝ Ð ÐÐÐ A BC Ñ B Ø G ÚÓÒ ÓØ i...jò ÔÖ ÓÐ B ii+1...l C Ø ÚÓÒ G ÓØ ÐÓÔÙØ C l+1l+2...j G

38 ½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ Ã¹ÂËÆÆËÄÇÊÁÌÅÁ ½ Ñ N3,7Ø ÚÖØÒ ØÖ ØÐÐÒ ÔÖ (N3,3, N4,7), (N3,4, N5,7), (N3,5, N6,7), (N3,6, N7,7) ÑÖ ¾ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ Ã ØÒÒ ÐÒ ÑÙ Ø ÐÓÔÔ Gmiu ÑÖ ¾ ËÓÚÐÐØÒ Ã ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓ Ò ÐÓÔÔÒ G ÝØÑÖÓÒÓÐÐ x = S AB BC A BA B CC C AB i 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : B S, A A, C B A, C B S, C B S, A, C S, A, C B S, A A, C ÄØ ÝÑÓÐ S ÙÙÐÙÙ ÓÙÓÓÒ N1,5 ÓØÒ x ÙÙÐÙÙ ÐÓÔÒ ØÙÓØØÑÒ ÐÒ L(G) ÌÙØØÒ ØØÒ ÑÖÓÒÓ Ë L(G) i 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : A, C S, C B A, S A, C B S S, C B A, S A, S A, C S B S S, C B Â ÒÒÝ Ø ÚÓ Ó Ù ÐÔÓØØ ÚÐØ ÑÐÐ ÔØÓ ØÓÒ ÓÔÚ Ø ÈØÓ ØÒ ØÖÚØ ÓÐÐ Ý ØØ ÖÑ ÚÒ Ò ÚÓÚØ ÓÐÐ ÑÝ ÐÒ ØÓÑ ÒÓ¹ Ó Ó Ø ÔÑÑØ ÒØ ÓÓ ØÙÚØµ ÂÓ ÐÓÔ ÓÒ ÒØ A w Ñ w ÓÓ ØÙÙ ÚÒ ÔØÑÖ Ø ÚÓÒ w ÚÐØ ÙÙÒ Ó ØÓÒ ÔØ ÝÑÓÐ S miusmu miu mu U U Uu u ÎÐØÒ ÔØÓ ØÓ Σ = {miu, mu, u} ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÑÙÙÒ¹ ÒØØÙÒ Ò ÐÓÔÔ S IW UU miu mu W SA U Uu u I miu A mu ÌÙØØÒ Ã¹ÐÓÖØÑÐÐ ÙÙÐÙÙÓ ÑÖÓÒÓ miumiuuumumu ÐÒ i 1 : miu 2 : miu 3 : u 4 : u 5 : mu 6 : mu S, I S, I U S U S W S, A S W W S, A Ë miumiuuumumu L(Gmiu) ÔÙÒÓ ÃÒ ÑÙÐÓÑ Ò Ã¹ÐÓÖØÑ ØÒ ÓÒÐØØÒ ÙÒÒ ØÙÐÐÒ Ú ÑÔÒ ÐÙÐ¹ ÑÒ ÅÐ ÑÖÓÒÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ n ØÝØÝÝ Ý ÐÔ n ÓÒÐ ½ Ó¹ ÒÐÒ iòøò Ö Ò ØÙÐÚØ ÚÒ Ò ÚÐØ A ÓÐÐ ÓÒ ÒØ A i ËÙ¹ ÖÚÐÐ ÓÒÐÐÐ ÖÙÙØÙ ØÝØØÒ ÐÐ ØÒ ÓÒÐÒ ÐÐÒ ÔÖÙ ØÐÐ ÎÓØ ÙÚØÐÐ ÑÐ Ø ÖÖÐÐ ÔÖØÓØÒÐÚÓ Øµ ÑØØÒÙØ ÓÒ ÚÙÐÐ ÑÙ ØØ ÑØ ÐØÚ Ø ÖÙÙÙ Ø ØÝØÝÝ ØÙØ ÖÙÙÙÒ ØÝØØÑ ¾ ÓÒÐÐÐ ÑØÒ ÔØÙÙ ÓÒ ¾ kòòðð ÓÒÐÐÐ ÑØÒ ÔØÙÙ ÓÒ k ÀÙÓ¹ Ñ ØØ Ò ÔØÙ Ò ÑØÒ ÚÓ ØØ ÚÒ ÝÐÐ ØÔ ØÙÐÙÓÓÒ ÑÙØ¹ ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ Ø ÓÐÑÒÔØÙ ÐÐ ÑØÐÐ ÓÒ Ó ÚØÓØÓ Ø ØÔ kòòðð ÓÒÐÐÐ ØÖÚØØÚ kò ÔØÙ ÑØØÒÙÓ ÓÒ Ó k 1 ÔÐ 1. kierros 2. kierros 0 3. kierros ei mittnuhoj 3:n pituiset mittnuht: 0 4. kierros :n pituinen mittnuh: 4:n pituiset mittnuht: ÅÍÍÆÆÇË ÀÇÅËÃÆ ÆÇÊÅÄÁÅÍÇÌÇÇÆ ÅÙÙÒÒÓ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÅÙÙÒÒÓ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÓÓ ØÙÙ ÒÐ Ø Ú Ø ½ ÈÓ ØØÒ ÐØ ÝÑÓÐ ÔÖÓÙØÓÒ ÓÐØ ÔÙÓÐÐØ ¾ ÈÓ ØØÒ ǫ¹ôöóùøóø ÈÓ ØØÒ Ý ÔÖÓÙØÓØ A B ÈÓ ØØÒ ÔÖÓÙØÓØ A X1X2...Xk k > 2 ½ ½ ÈÖÓÙØÓÒ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚÒ ÐØ ÝÑÓÐÒ ÔÓ ØÑÒÒ 5. kierros :n pituiset mittnuht: ÂÓ ÐØ ÝÑÓÐ S ÓÒ ÓÒÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ð ØÒ ÙÙ ÐØ ÝÑÓÐ S ÐÐ ÔÖÓÙØÓ S S ¾ ǫ¹ôöóùøóò ÔÓ ØÑÒÒ ÃÙÚ ÃÒ ÑÙÐÓÒØ ÌÙÐÙÓ ÝÒ ÐÔ ÓÒÐØØÒ Ó¹ ÒÐÒ Ó ÖÙÙÙ ÓÚØØÒ ÒÒØÙ Ø ÑØØÒÙÓ Ø ÅØØÒÙÒ ÔÒ ÓÐÐ ÓÐÚØ ÖÙÙÙØ ØÙØØÒ ÑÐ Ò ÓÐÚÐÐ ÚÐÐÐ B C ÐÝØÝÝ ÒØ A BC ÓØØÒ A ÒØ Ò ÖÙÙØÙÙÒ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ ÎÐ A V Σ ÓÒ ØÝÒØÝÚ ÒÐ ÒÙÐÐÐµ Ó A ǫ G ÄÑÑ Å Ø ØÒ ÓÒØ ØØØÓÑ Ø ÐÓÔ Ø G ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÚÚÐÒØØ ÐÓÔ¹ Ô G Ó ÒÒØÒ ÐØ ÝÑÓÐ ÓÒ ØÝÒØÝÚ ÀÙÓÑ ÄØ ÝÑÓÐÒ ØÝÒØÝÑ Ø ÚÓ ÚÐØØ Ó ǫ L(G)µ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ½ ËÐÚØØÒ Ò Ò GÒ ØÝÒØÝÚØ ÚÐØ ÆÍÄÄ¹ÓÙÓµ ÙÖÚ Ø µ ØØÒ ÐÙ ÆÍÄÄ := {A V Σ A ǫ ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ}; µ ØÓ ØØÒ ØØÒ ÙÖÚ ÆÍÄÄ¹ÓÙÓÒ ÐÒÒÙ ÓÔÖØÓØ ÙÒÒ ÓÙÓ Ò Ú ÆÍÄÄ := ÆÍÄÄ {A V Σ A B1...Bk ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ Bi ÆÍÄÄ ÐÐ i = 1,...,k}.

39 ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÅÍÍÆÆÇË ÀÇÅËÃÆ ÆÇÊÅÄÁÅÍÇÌÇÇÆ ½ ¾ ÌÑÒ ÐÒ ÓÖÚØÒ ÙÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ A X1...Xk Ò ÐÐ¹ ØÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÓÙÓÐÐ ÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ { Xi, Ó Xi / ÆÍÄÄ A α1...αk, Ñ αi = Xi Ø ǫ, Ó Xi ÆÍÄÄ ÄÓÔÙ ÔÓ ØØÒ ÑÙÓØÓ A ǫ ÓÐÚØ ÔÖÓÙØÓØ ÂÓ ÔÓ ØØØ¹ ÚÒ ÓÒ ÑÝ ÔÖÓÙØÓ S ǫ ÓØØÒ ÑÙÓÓ ØØØÚÒ ÐÓÔÔÒ G ÙÙ ÐØ ÝÑÓÐ S ÐÐ ÔÖÓÙØÓØ S S S ǫ ÑÖ ¾ ÈÓ ØØÒ ǫ¹ôöóùøóø ÙÖÚ Ø ÐÓÔ Ø S A B A B ǫ (ÆÍÄÄ = {A, B, S}) B A ǫ S A B ǫ A B ǫ B A ǫ S S ǫ S A B A B B A ÔÖÓÙØÓÒ ÔÓ ØÑÒÒ ÈÖÓÙØÓ ÑÙÓØÓ A B Ñ A B ÓÚØ ÚÐØ ÓÒ Ý ÔÖÓÙØÓ ÒÐ ÙÒØ ÔÖÓÙØÓÒµ ÄÑÑ Å Ø ØÒ ÓÒØ ØØØÓÑ Ø ÐÓÔ Ø G ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÚÚÐÒØØ ÐÓÔ¹ Ô G Ó ÓÐ Ý ÔÖÓÙØÓØ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ½ ËÐÚØØÒ Ò Ò GÒ ÙÒÒ ÚÐÒ Ý ÙÖØ ÙÖÚ Ø µ ØØÒ ÐÙ ÙÐÐÒ A V Σ F(A) := {B V Σ A B ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ}; µ ØÓ ØØÒ ØØÒ ÙÖÚ F ¹ÓÙÓÒ ÐÒÒÙ ÓÔÖØÓØ ÙÒÒ ÓÙÓØ ÚØ Ò Ú F(A) := F(A) {F(B) A B ÓÒ GÒ ÔÖÓÙØÓ}. ¾ ÌÑÒ ÐÒ ÔÓ ØØÒ G Ø Ý ÔÖÓÙØÓØ Ð ØÒ ÒÒ Ò ÑÓÐÐ Ø ÔÖÓÙØÓØ ÑÙÓØÓ A ω Ñ B ω ÓÒ GÒ ¹Ý ÔÖÓÙØÓ ÓÐÐÒ B F(A) ÑÖ ¾ ÈÓ ØØÒ Ý ÔÖÓÙØÓØ ÐÐ Ù Ø ÐÓÔ Ø S S ǫ S A B A B B A. ÎÐÒ Ý ÙÖØ ÓÚØ F(S ) = {S, A, B} F(S) = {A, B} F(A) = F(B) = ÃÓÖÚÑÐÐ Ý ÔÖÓÙØÓØ ÐÐ ØØÝÐÐ ØÚÐÐ Ò ÐÓÔÔ S B A ǫ S B A A B B A ÈÖÓÙØÓÒ A X1...Xk k > 2 ÔÓ ØÑÒÒ ÀÐÙØÒ ÔÓ Ø ÓÐØ ÔÙÓÐÐØ ÑÖÓÒÓØ Ó ÓÒ ÒÑÑÒ ÙÒ ÚÐ ÝÑÓÐ ÑÐÐ ÑÙÙØØÒ ÓÙÓ ÓÐÚØ ÔØ ÝÑÓÐØ ÓÔÚ ÚÐ Ñ A BC A cd ÓÚØ ØÐÐ ÐØØÓÑ ÒØµ Ä ØÒ ÐÓÔÔÒ ÙØÒ ÔØÑÖ ÚÖØÒ ÙÙ ÚÐ C ÐÐ ÔÖÓ¹ ÙØÓ C ÃÓÖÚØÒ Ù Ò ÑÙÓØÓ A X1...Xk k > 2 ÓÐÚ ÔÖÓÙØÓ Ò Ò ÔØÑÖØ Ñ ÙÙ ÐÐ ÚÐÐÐ ØØÒ ÓÓ ÔÖÓÙØÓ ÔÖÓ¹ ÙØÓÓÙÓÐÐ A X1A1 A1 X2A2 Ak 2 Xk 1Xk, ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÌÌÊÁÍÍÌÌÁÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ Ñ A1,...,Ak 2 ÓÚØ ÐÐÒ ÙÙ ÚÐØ ÌÖÒ ÓØØÒ ÙÙ ÔÖÓÙØÓÓÙÓ ÓÒ Ó ØÒ Ñ A X 1A1 A1 X 2 A2 Ak 2 X k 1 X k, X i = { Xi, Ó Xi V Σ; C, Ó Xi = Σ) ÄÙ Å Ø ØÒ ÓÒØ ØØØÓÑ Ø ÐÓÔ Ø G ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ÚÚ¹ ÐÒØØ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÒÒ ÐÓÔÔ G ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ÈÓ ØØÒ Ò Ò G Ø ÐØ ÝÑÓÐ ÔÖÓÙ¹ ØÓÒ ÓÐØ ÔÙÓÐÐØ ǫ¹ôöóùøóø Ý ÔÖÓÙØÓØ Ñ ÐÑÑÓÒ ÓÒ ØÖÙ¹ ØÓÐÐ ÌÑÒ ÐÒ GÒ ÔÖÓÙØÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ A Ø A X1...Xk k 2 Ø S ǫµ ÎÑ ÑÒØÙØ ÔÓ ØØÒ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÑÙ Ø ÀÙÓÑ ÌÙÖØ ÚÐØ ÔÖÓÙØÓØ ÚÓÒ Ò ÔÓ Ø ÑÖ ¼ ÅÙÙÒÒØÒ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÐÓÔÔ ÌÙÐÓ Ò Ò ÐÓÔÔ S BCd B C c S CS 1 1 S1 1 BS2 1 S2 1 CCd S CS1 2 S1 2 CC B C c C C (Cc c) Cd d ½ ØØÖÙÙØØÐÓÔØ ÈÖÙ ØØÖÙÙØØÐÓÔØ ÓÚØ ØÚ ØÔ ÐÑ Ø ÑØ ØÓÑÒØÓ ÒÒÝ Ò ÝØÝ¹ ÙÓÖØØÒ Æ Ð ÚØ ÔÙØ Ø ÝÒØØ Ò ÐÓÔÔÒ ÑÒØÒ ÑÖØÝ Òµ ØØÖÙÙØØÐÓÔØ ÓÚØ ØÖÔÐÐ ÑÖ ÒØ Ó ¹ ÐÓÓÒ ÒÒÝ ÝÒØØ Ò ÓÐÐ ÙÙÒ ØÖ ØÙ µ ÖØ ÚÒ ÓÓ ÔØ ÑÝ ÒØ ÙÓÖØØØÚ ÓÐÑ ÐØØÒ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ÐÒ ÑÒØÒ ÙÚÙ Ø Ñ ÐÙ ÒÓÙØØ ÐÓÔÒ Gexpr ÝÒØ ÙÙÐÙÙ GexprÒ ØÙÓØØÑÒ ÐÒµ ÑÙØØ ÑØ ÐÙ ÑÖØ ÐÙ Ò ÖÚÓÒ ÚÐÙÓÑÒÒ ÐÐÝØØ ÓÔÚÒ ØØÖÙÙØØÒ ÒÒ ÚÐ¹ ÙÓÒØ ÒØÒ ÐØØÑ Ø ÐÓÔÔÒ Á ÐÓÔÒ ÑÙ Ò ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ ÓÒ ÒÑ ÓÒ ÝÑÓÐ X Ø¹ ØÙ ØÝÝÔÔ X ØØÙØÝÝÔÔÒ X ÙÙÐÙÚØ ÒØØ XÒ ØØÖÙÙØØ ÑÖ X.s X.t Ò Ù Ò X¹ØÝÝÔÔ ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ XÒ ØØÖÙÙØ Ø Ö Ð¹ ÑÒØÝÑØ ÔÖÓÙØÓÒ A X1...Xk ÐØØÒ ØØÖÙÙØØÒ ÚÐÙÓÒØ ÒØ ÓØ ÐÑ ÚØ ÑØÒ ÒÒØÙÒ ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙÒ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑÒ ÖÚÓØ ÑÖÝØÝÚØ Ò ÚÒÑÔ¹ ÐÔ ÓÐÑÙÒ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑÒ ÖÚÓ Ø ÀÙÓÑ ËÒÒØ ÚÓÚØ ÓÐÐ ÔÖØØ ÑÒÐ ÙÒØÓØ ØÒ ÙÒ¹ Ò ÒÒ ÖÙÑÒØØÒ ÒØÝÝ ÚÒ ÔÐÐ Ø ØÚ ÓÐÚ ØØÓ Ø ÔÖÓÙØÓÓÒ A X1...Xk ÐØØØÚ ÒÒ ÑÒØ ÚÒ ÝÑ¹ ÓÐÒ A, X1,...,Xk ØØÖÙÙØØ ÑÖ ½ ÄØØÒ ØÙÑÖÐÐ ÓÓÒ ÐÙÙ ØÙÓØØÚÒ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ØØÖÙÙØØ ÒÒ ÚÐÙÓÒØ ÒÒØ ÐÓÔÒ ØÙÓØØÑÒ ÐÙÙÒ Ö¹ ÚÓÒ ÑÖØØÑ Ò

40 ½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÌÌÊÁÍÍÌÌÁÃÁÄÁÇÈÁÌ ½½ ÙÙÒÒ ÒÒÝ ÔÙÙÒ X¹ØÝÝÔÔ Ò ÚÐ ÓÐÑÙÙÒ ÐØØÒ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑ X.v ÓÒ ÖÚÓ ØÙÐ X Ø ØÙÓØØÙÒ ÒÙÑÖÓÓÒÓÒ ÐÙÙÖÚÓ ÙÙÖ ÓÐÑÙÒ v¹ðñòøýñò ÖÚÓ ØÙÐ ÓÓ ÔÙÙÒ ØÙÓØÓ Ò ÓÐÚÒ ÒÙÑÖÓ¹ ÓÒÓÒ ÐÙÙÖÚÓ ÈÖÓÙØÓØ ÚÐÙÓÒØ ÒÒØ I +U I.v := U.v I U I.v := U.v I U I.v := U.v U D U.v := D.v U UD U1.v := 10 U2.v + D.v D 0 D.v := 0 D 1 D.v := 1 D 9 D.v := 9 ÔÖÓÙØÓÒ ÚÐÙÓÒØ ÒÒ ÑÒ ÚÐÒ Ö ÒØÝÑØ ÚÓÒ ÖÓØ¹ Ø ÐÒ ÐÐ ÝÐÐ U1 Ú Ø Ò ÑÑ Ø ÔÖÓÙØÓ U UD ÒØÝÚ UØ U2 ØÓ Ø ÚÐÙÓÒØ ÒØÓÒ ÑÙÒÒ ØØÖÙØÓØÙ ÒÒÝ ÔÙÙ ÐÓÔÒ ØÙÓØØÑÐÐ ÐÙ ÐÐ ¹ ½ ØÓÚÚÓÐÐ ÓÒ ØØØÝ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑÒ ÚÐ Ø ÚÐÙÓÒØÖÔÔÙÚÙ¹ ÙØµ U v = 3 I v = 319 U v = U v = 319 D v = 3 D v = 1 D v = 9 ÃÙÚ ØØÖÙØÓØÙ ÒÒÝ ÔÙÙ ØØÖÙÙØØÐÓÔÒ ØØÖÙÙØØ t ÓÒ ÝÒØØØÒÒ Ó Ò ÙÙÒÒ ÔÖÓÙ¹ ØÓÓÒ A X1...Xk ÐØØÝÚ ÚÐÙÓÒØ ÒØ ÓÒ ÑÙÓØÓ A.t := f(a, X1,...,Xk) ÌÐÐÒ ÒÒÝ ÔÙÙ ÙÒÒ ÓÐÑÙÒ ÑÓÐÐ Ò t¹ðñòøýñò ÖÚÓ ÖÔÔÙÙ ÚÒ ÓÐÑÙÒ ÓÑÒ Ò ÐÐ ØÒ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑÒ ÖÚÓ Ø ÅÙÙÒÐ Ø ØØÖÙÙØØ ÓÚØ ÔÖÝØÝÚ ÝÐÐ Ñ ØØÖÙÙØØ v ÓÒ ÝÒØØØÒÒ ÔÝÖØÒ ÝØØÑÒ Ô ÝÒØØØ ØØÖÙÙØØ Ó Ò ÚÓÒ ÚÐÙÓ ÐÔÓ Ø ÝÐÐ ÒÒÝ ÔÙÙÒ Ð Ø ÙÙÖÒ ÙÙÒØÙØÙÚÐÐ ÐÔÝÒ¹ ÒÐÐ ÔÖØØÝ ØØÖÙÙØØ ÚÓÒ ÝØØ ÙÒÒ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑÒ ÖÔ¹ ÔÙÚÙÙ ÚÖÓÒ ØÙÐ ÝÐ ÑÖ ¾ ÐÐ ÓÐÚÒ ØÙÑÖÐÐ ÓÓÒ ÐÙÙ ØÙÓØØÚÒ ÐÓÔ¹ ÔÒ ÚÓØ Ò ÐØØ ÐÙÙÒ ÖÚÓØ ÑÖØØÚ ÑÒØ ÑÝ ÙÖÚ Ø ÔÖÝ¹ ØÝÚ ÔÓ ØÓÖÖÓÒ¹ØØÖÙÙØØ s ÝÒØØØ Ø ÖÚÓ¹ØØÖÙÙØØ v ÝØØÒ ÈÖÓÙØÓØ ÚÐÙÓÒØ ÒÒØ I +U U.s := 1, I.v := U.v I U U.s := 1, I.v := U.v I U U.s := 1, I.v := U.v U D U.v := (D.v) (U.s) U UD U2.s := 10 (U1.s), U1.v := U2.v + (D.v) (U1.s) D 0 D.v := 0 D 1 D.v := 1 D 9 D.v := 9 ÃÙÚ ÓÒ ØØØÝ ØÑÒ ÑÒØÒ ÑÙÒÒ ØØÖÙØÓØÙ ÒÒÝ ÔÙÙ ÐÙ ÐÐ ¹ ½ ØØÖÙÙØØ¹ÐÑÒØÝÑÒ ÖÚÓØ ÚÓÒ Ù Ò Ð ÙÓÖÒ ÒÒÝ ÖÙØÒ ØÖÚØ¹ ÑØØ ÑÙÓÓ Ø ÒÒÝ ÔÙÙØ ÔÐ ØØ Ø ½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÌÌÊÁÍÍÌÌÁÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ ¾ U s = 100 v = I v = 319 U s = 10 v = U 9 s = 1 v = 319 D v = 3 D v = 1 D v = 9 ÃÙÚ ÈÓ ØÓÖÖÓÒØ ÝØØÒ ØØÖÙØÓØÙ ÒÒÝ ÔÙÙ ÖØÑØØÒÒ Ð Ò ÄØÒ ÖØÑØØÒÒ Ð Ò ÓÐÐ ÚÓ ÙÓÖØØ ØÙÑÖÐÐ ØÒ ÓÓÒ ÐÙÙ¹ Ò ÝØÒ¹ ÖØÓ¹ ÚÒÒÝ Ð ÙÓÔÖØÓØ ËÐÚÝÝÒ ÚÙÓ ÚØÒ Ø¹ Ø ØÙÑÖÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÝÑÔÖÐÐ ÓÒ Ò ÙÐÙØ ÃÐÓÔÔ ÓÒ ÙÖÚ N DN N1.v := 10 D.v + N2.v N D N.v := D.v D 0 D.v := D 0 D.v := 9 ÇÐÑ ÐÙÙ ØÖÚØ ÐÙ ÑÖ ÖÖÐÐÒ ÚÒ ÚÓÑÑ ÝØØ ÓØÒ ÓÔÚ ÔÙÖÙØÒ ÎÐØ N D ÐØÚ ÒÒ ÚÓÒ Ó Ø ÖØÑØØÒÒ ÓÓÒ ÐÙÙÐ Ò Ô ÙÓÓÓÒ» ÔÙÖÙØÒØ» Ö ØÒÜØ» ÐÙ ÙÖÚ ÑÖ» ÒØ Ø Ö µ» ÓÒÓ ÒÙÑÖÓÑÖ» ÒØ ÖÒÙÑÖ» ÐÙ ÓÓ ÐÙÙ ÔÐÙØ Ò ÖÚÓ» ÚÓ ÊÊÇÊ» ÚÖÒ ØØÐÝ»» ËÙÖÚ ÑÖ» Ö ÒÜØ E T + E T E T T F F T F DN D (+DN) ( DN) (E) N DN D D ØØÒ ÐÙ Ò ÖÚÓÒ ÚÐÙÓÒØ ØØÖÙÙØØÐÓÔÔÒ ÈÖÓÙØÓØ ÚÐÙÓÒØ ÒÒØ E T + E E1.v := T.v + E2.v E T E E1.v := T.v E2.v E T E.v := T.v T F T T1.v := F.v T2.v T F T.v := F.v F DN F.v := 10 D.v + N.v F D F.v := D.v F (+DN) F.v := 10 D.v + N.v F ( DN) F.v := 1 (10 D.v + N.v) F (E) F.v := E.v ÒØ ÙÒØÓÒ E { ÒØ op1 op2 op1 = T (next == + ) {» ÖÙÐ E T + E» next = getnext op2 = E ÖØÙÖÒ op1 + op2 } Ð next == µ {» ÖÙÐ E T E» next = getnext op2 = E ÖØÙÖÒ op1 op2 } Ð ÖØÙÖÒ op1» ÖÙÐ E T» } ÒØ ÙÒØÓÒ T { ÒØ op1 op2

41 ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½¼ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÁÆ ÃÁÄÌÆ ÇÅÁÆÁËÍÍÃËÁ ½ op1 = F next == µ {» ÖÙÐ T F T» next = getnext op2 = T ÖØÙÖÒ op1 op2 } Ð ÖØÙÖÒ op1» ÖÙÐ T F» } ÒØ ÙÒØÓÒ F { ÒØ op (isdigit(next)) {» ÖÙÐ F DN» op = rednumer next = getnext ÖØÙÖÒ op } Ð (next == ( ) { next = getnext (next == + ) {» ÖÙÐ F (+DN)» op = rednumer (next! = ) ) ERROR next = getnext ÖØÙÖÒ op } Ð {» ÖÙÐ F ( DN)» (next == ) { next = getnext; op = rednumer; (next! = ) ) ERROR next = getnext ÖØÙÖÒ 1 op } Ð {» ÖÙÐ F (E)» next = getnext op = E (next! = ) ) ERROR next = getnext; ÖØÙÖÒ op } } } Ð ERROR } ½¼ ½¼½ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÓÑÒ ÙÙ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ ÃÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÐÐ ÔØ ÓØÒ ÑÒØÔ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙ ÙÒ ÒÒÐÐ ÐÐ ÐÐÐ ÄÙ ÇÐÓÓÒ L1 L2 ÓÒØ ØØØÓÑ Ð ÌÐÐÒ ÑÝ ½ L1 L2 ÐØÒ Ý Øµ ¾ L1L2 ÐØÒ ØÒØÓµ (L1) ÐÒ ÙÐÙÑµ (L1) R ÐÒ ÒØ Ðµ ÓÚØ ÓÒØ ØØØÓÑ ÀÙÓÑ ÃÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÚØ ÙØÒÒ ÓÐ ÙÐØØÙ ÐÙ Ò ÓÑ¹ ÔÐÑÒØÒ ÙØÒ ÂÓ L1 L2 ÓÚØ ÓÒØ ØØØÓÑ L1 L2 ÐØ ÓÐ ÚÐØØÑØØ ÓÒØ ØØÓÒ ËÑÓÒ L1 = Σ \ L1 ÐÒ ÓÑÔÐÑÒØØµ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÒ¹ Ø ØØÓÒ Ñ ÐØ L1 = { n n c k n, k = 0, 1,...} L2 = { k n c n k, n = 0, 1,...} ÓÚØ ÓÒØ ØØØÓÑ ÃÙØÒÒ Ð L1 L2 = { n n c n n = 0, 1,...} ÓÐ ÓÒØ ØØÓÒ ÌÓ ÐØ Ó L ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ Ð R ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ Ð ÒÒ L R ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ Ã Ñ ÀÓÔÖÓØ ÅÓØÛÒ ÍÐÐÑÒ ØÓÖÑ ¾µ ½¼¾ ÊØÚØ ÖØÑØØÓÑØ ÓÑÒ ÙÙØ ÃÓÒØØØØÓÑ Ð Ø Ò Ó ÚØ ÓÒÐÑØ ÚØ ÙÒÒ ÙÙÐÙ ÓÒØ ØØ¹ ØÓÑÒ ÐØÒ ÐÙÓÒ ÐÐ ÓÐÑÑ Ó ÓÔÔÒØ ÓØÒ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½½ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÁÆ ÃÁÄÌÆ ÊÂÇÁÌÍÃËÁËÌ ½ ÓÑÒ ÙÙ ÓØ ÚÓÒ ÖØ Ø ØØÓÓÒÐÐ ÌÖÒ ØÐÐÒÒ ÓÑÒ ÙÙ Ó ÒØÑ Ø ÑÐÐ ØÒ ÑÖÓÒÓÐÐ x ÒÒØÙÐÐ ÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ G ÚÓÑÑ ÖØ Ø ÙÙÐÙÙÓ x ÐÒ L(G) Ì ÓÒÐÑ x L(G) ÓÒ ÐÓÖØÑ Ø ÖØÚ Å ÒÒÝ ÑÒØÐÑ ÓÒ ÙÐÐÓÒÒ ÔÖ ÖÔÔÙÙ ÒÒØÙ Ø Ð Ø ÂÓ ÐÓÔÔ ÚÓÒ ØØ ÄÄ ½µ¹ÑÙÓÓ ØÖÓ ØÑ ØÓÒ O(n) ØÓÑÚÒµ ÐÔÓÒ ÒÒÝ ÑÒØÐÑÒ ÇÐÑÓÒØÐ¹ ØÒ ÒØØ ÔÙÓÐ ØÒ ÝØØÚØ ÄÊ µ¹ ÒØ ÙØÒ ÍÒÜÒ Ý¹ ÓÒ¹ ÓÐÑÒ ØÙÓØØÑ ÒØ ÅÐÚÐØ Ò ÐÓÔÒ Ø ÚÓÑÑ Ò ÑÙÙÒØ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ ÒØ Ã¹ÐÓÖØÑÐÐ O(n 3 ) ÖØ ØÖ Ø ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ø ÓÚØ ÙØÒÒ ÖØÑØ¹ ØÓÑ ÓÒÐÑ ÌÐÐ ÓÒÐÑ ÓÚØ ÃÒ ÐÓÔÒ ÚÚÐÒ Ø ÓÒÓ L(G1) = L(G2)? ÒÒØÙÒ ÐÓÔÒ ÑÓÒ ÐØØ ÝÝ Amiguous(G)? ÇÒÓ ÒÒØÙÒ ÑÚ ÐÓÔÒ ÙÚÑ Ð ÓÒØ ØØÓÒ Context free(l(g))? ÎÑ Ò Ñ Ø ÓÒÐÑ Ø ÐØØÝÝ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÓÐ¹ Ð ÑÒÒ ÚÓ Ó ÓØØ ÓØÒ Ð ¹ÓÒØ ØØØÓÑ ÑÒ ØÔÒ ÙÒ Ò¹ ÒÐÐ ØÒ ÐØÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ÌÑÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÙØÒÒ Ò¹ Ò ÓÒØ ØØØÓÑÙÙÒ ÚÐØØÑØØÑ ÚÒ ÒÓ ØÒ ÖØØÚØ ÓØ ÔÙÑÔ¹ ÔÙ ÐÑÑ ÚÓ ÓÚÐØ ÐÓÖØÑ Ø ÇÒÐÑ ÔÝ ÝÝ ÝÐ ØÔÙ ÖØÑØØÓÑÒ ½½ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÖÓØÙ Ø ÃÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÐÐ ÚÓÒ ØÓ Ø ÑÒØÔÒÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÙÒ ÒÒÐÐ ÐÐÒ ÐÐÐ ÖÓÒ ÓÒ ÚÒ ØØ ÒÝØ ÑÖÓÒÓ Ó Ø uvwxyµ ÓÒ ÔÙÑÔØØÚ ÑÒ Ø Ø Ô Ø Ó Ø v xµ ÄÑÑ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑ Ð uvwxy¹ðññ ÇÐ L ÓÒ¹ Ø ØØÓÒ Ð ÌÐÐÒ ÓÒ ÓÐÑ ÐÐÒÒ n 1 ØØ Ñ ØÒ z L z n ÚÓÒ Ó Ò z = uvwxy ØÒ ØØ µ vx 1 µ vwx n µ uv i wx i y L ÐÐ i = 0, 1, 2,... ÀÙÓÑ Ì ÚÒ ÖØØÑØ ÐØ ÓÚØ ÒÒÓ ØÚ ÌÓ ØÙ ÇÐ G = (V, Σ, P, S) ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÒÒ ÐÓÔÔ LÐÐ ÌÐÐÒ Ñ ØÒ GÒ ÒÒÝ ÔÙÙ ÓÒ ÓÖÙ Ô ÑÑÒ ÙÙÖ Ø ÐØÒ ÙÐÚÒ ÔÓÐÙÒ ÔØÙÙ µ ÓÒ h ÓÒ ÒÒØÒ 2 h ÐØ Ì ÑÒ ØÒ ÑÖ¹ ÓÒÓÒ z L Ó ÒÒÝ ÔÙÙ ÓÒ ÔÓÐÙ ÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ ÚÒØÒ log 2 z ÇÐ k = V Σ ÐÓÔÒ G ÚÐÒ ÑÖ ØØÒ n = 2 k+1 ÌÖ ØÐ¹ ÐÒ ÓØÒ z L z n Ò ÓØÒ ÒÒÝ ÔÙÙØ ÔÙÙ ÓÒ ÔÓÐÙ ÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ k+1 ÌÖ ØÐÐÒ ØÑÒ ÔÓÐÙÒ ÐÒ¹ Ø k+1ò ÔØÙ Ø Ó ÌÐÐ ÔÓÐÙÐÐ Ó ÓÒ k+1 ÚÐØØ Ú ØÚ ÓÐÑÙ ÚÐØ ÓÒ k ÔÔÐØØ ÓÒ ÓÒÒ ÚÐÒ ØÓ ØÙØØÚ ÇÐÓÓÒ A ÓÙ ÔÓÐÙÒ ØÓ ØÙÚ ÚÐ ÙÚ ½¼µ ÅÖÓÒÓ z ÚÓÒ ÒÝØ Ó ØØ z = uvwxy Ñ w ÓÒ AÒ ÐÑÑ ¹ Ø ÐÑÒØÝÑ Ø ØÙÓØØØÙ Ó ÓÒÓ vwx ÙÖÚ ÝÐÑÑ Ø AÒ ÐÑÒ¹ ØÝÑ Ø ØÙÓØØØÙ Ó ÓÒÓ Ó ÓÒÓØ Ò ÓÓ Ø S uay uvaxy uvwxy ÃÓ S uay A vax A w Ó ÓÒÓ v x ÚÓÒ ÔÙÑÔØ wò ÝÑÔÖÐÐ S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i wx i y L ÐÐ i = 0, 1, 2,... uv i Ax i y uv i wx i y ÃÓ ÐÓÔÔ G ÓÒ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓÓ A vax ÓÒ ÓÐØÚ vx 1 ÐÑÑ Ø AÒ ÐÑÒØÝÑ Ø ÐÚÒ ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÔÓÐÙÒ ÔØÙÙ ÓÒ ÒÒØÒ k + 1 Ú ØÚÒ ÐÔÙÙÒ ØÙÓØÓ ÐÐ vwx 2 k+1 = n ÑÖ ÎØ Ð L = { k k c k k 0} ÓÐ ÓÒØ ØØÓÒ ÌÓ Î ØÚØ L ÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ ÎÐØÒ ÔÖÑØÖ n ÐÑÑÒ ÑÙ Ø ØÖ ØÐÐÒ ÑÖÓÒÓ z = n n c n L ÌÐÐÒ z ÚÓÒ ÔÙÑÔØØÚ Ó Ò z = uvwxy, vx 1, vwx n.

42 ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½¾ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÁÆ ÃÁÄÌÆ ËÇÎÄÄÍÃËÁ ½ u v S w A A x y u v v v A A A A ÃÙÚ ½¼ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÒ ÑÖÓÒÓÒ ÔÙÑÔÔÙ ÌÐÐÒ ÑÖÓÒÓ vx ÚÓ ÐØ Ø Ø ØØ cø ÅÖÓÒÓ Ùv 0 wx 0 y = uwy ÓÒ ØÒ ÝÐÑ ÓØÒ ÑÖ ÑÙÒ ÑÖÒ ÒÒ Ð uwy / L Ê¹ ØÖØ ½¾ Â ÒØØ ÃÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÓÚÐÐÙ ÇÐÑÓÒØÐ ÚÓÒ ÙÚØ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ÓØ ÚÓÒ ØÐÐ ÒØÐÐ ÔÖ Öµ Â ÒØ ÓÒ ÒØÒ Ó Ó ØÙØ ÓÐÑÒ ÖÒØÒ ØØ Ò ÒÒÝ ÔÙÙÒ Ñ ÍÆÁ ØÖÓ ÓÑÒÒÓÒ Ý Ó ÒÖÓ Ò¹ ØÒ ÒÒØÙ Ø ÓÒØ ØØØÓÑ Ø ÐÓÔ Ø ÝÐÐ ÒÒØÒ ÝØØÒ ÓÒØ¹ ØØÓÒ ÐÓÔÔ Ý¹ÒÓØØÓ ÒÒÒ ÒÙÓÐ ÓÒ ÓÖÚØØÙ Ó Ô ØÐÐµ ÓÒ Ó Ò ÒØÒ ÚÓÒ ÐØØ ¹ÓÓÒ ÑÖØÐØÝ ØÓÑÒØÓ ÌÓÑÒØÓ ÙÓÖØ¹ ØÒ Ò ÙÒ ÐÙÓÒ Ú ØÚ ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ ÌÝÝÔÐÐ Ø ØÓÑÒØÓ ÚÒ ÐÙÓ ÒÒÝ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙÒ ÑÙØØ Ó Ò ÓÚÐÐÙ ÒÒÝ ÔÙÙØ ÔÐ ØØ ¹ Ø ÐÙÓ ÚÒ ØÓÑÒØÓ Ø ÓØÒ ÑÙÙØ Ñ ÐÐÝØØ ÔÐÒ ÓØÓÓ Ý Ò ÔÒ ÑÖ ÙÖÚ ÐÓÔÔ E I E + E E E (E) I I I I0 I1 ÒÒØØ Ò ÝÐÐ ÑÙÓÓ S w A x x x y Exp Id {...} Exp + Exp {...} Exp Exp {...} ( Exp ) {...} Id ³³ {...} ³³ {...} Id ³³ {...} Id ³³ {...} Id ³¼³ {...} Id ³½³ {...} Ñ {...} ÐØ ÓÒÒ ØÓÑÒÒÓÒ ¹ÓÓÒ ÓÙÑÒØÒ ÖÒØÒ ÙÚÙ Ò ÑÖ¹ÙÔ¹ÐØ ÙØÒ ÀÌÅÄ ÅÄ ÐÒ ÑÖÓÒÓØ ÓÙÑÒØØ Ó ØØØÝ ÐÒ ÑÒØ ÙÚÚ ÑÖ Ø µ Ñ ÇÄ»ÇÄ Ö ØØØÝ Ð Ø ÀÌÅÄ ÐÐÐ Ò ÀÌÅÄ¹ÓÙÑÒØÒ ÙÚÙ ÓÙÑÒØÒ ÔÖÓ ÓÒÒÒ Ó¹ Ù ÅÄ ÙÚ Ø ØÒ ÑÒØÒ Ñ ÊÈÖÓ ÔÓÐÙ ½ ¼¼¼ ÃÙÑÊ ÖØÓÓ ØØ Ó ¹ ÓÒÓ ÓÒ Ó ÓØ ÀÖÓØÙ ÓÒØ ØØØÓÑ Ø Ð Ø ½ ÇÐÓÓÒ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ G = (V, Σ, P, S) Ñ V = {A, B, C, D, S} Σ Σ = {Jim, ig, green, cheese, te} ÒÒØ P ÓÚØ A B CA S ADA C ig green B cheese Jim D te ½¼ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½¾ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÁÆ ÃÁÄÌÆ ËÇÎÄÄÍÃËÁ ½½ ÅÐÐ ÑÖÓÒÓ ÙÙÐÙÙ ÐÓÔÒ G ÙÚÑÒ ÐÒ ÙÙÐÙÙ ÒÒ ÓØÒ ÑÖ ÃÙÙÐÙÚØÓ ÙÖÚØ ÐÙ Ø ÐÒ L(G) ÖÒ Ø ÂÑ ¾ Ä ÙÖÚÒ ÐÓÔÒ ÙÚÑÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÚ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ Å ÓÒ Ú ØÚ ÒÒÐÐÒÒ ÐÙ S A B A S A B B ǫ Ä ÓÐÐ ÐÒÖÒÒ ÐÓÔÔ ÐÒ {w {, } w ÐÐ ÑÖÓÒÓ ÙÚÑ Ò} ÍÐÓÚÖÙÙÒ ÓÐÓÒ Ð ÒØ ÒÓÙØØÚØ ÐÙÖ Ò ÑÙÓØÓ ÐÙÖ ÓÒ ÏÓÓÞØ ÓØ ÙÖ Ý Ø Ù ÑÔ ÏØÞØ ÏÓÓÞØ ÓÒ ÖÒ ³Ü³ ÓØ ÚÓ ÙÖØ ÐÙØØÙ ÑÖ ³Ý³¹ÖÑ ÑÝ ÒÓÐÐ ¼µ ÔÔÐØØµ ÏØÞØ ÓÒ ÖÒ ³Õ³ ÓØ ÙÖ ÓÓ ÖÒ ³Þ³ Ø ³³ ÓØ ÙÖ ÏÓÓÞØ ÒÒ ÐÙÖ Ò ÐÒ ÙÚÚ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ Ç ØÓ ÒÝØ ÐØ Ú ¹ ØÚÒ ÒÒÐÐ Ò ÐÙ Ò Î ÔÖÖ Ò Ò ÙØÓÑØØ ÐÓÔ Øµ ËÒÒÐÐ ÐÐ ÐÙ ÐÐ ÔØ ÙÖÚ ÔØØÐÝ ÒØ ÂÓ r = rs t ÒÒ r = ts ÙÒ ǫ / L(s) Ç ÓØ ØÑ ÒØ ØÓ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ÚÙÐÐ Ä ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ Ó ØÙÓØØ ÙÖÚÒ ÑÖÒ ØÔ Ø ÖØ¹ ØÓÑÒ ÑÓÒ Ø Ø ÓÖ¹ ÐÑÙÓ Ø Ð ÓÔÖØÓ Ø ÓÓ ØÙÚØ ÓÐÑÓÒØÐÒ ÐÙ Ø ÓÖ (i = N; i < N; i + +) ß ÓÖ Æ Æ µ ß Ð Ð Ñ N ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙ ÃÙÚ ÙÖÚÒÐ Ø ¹ÐÒ ÓÐÑØ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÓÔÔÒ ÙÒØÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ ØØÝÝÔÔ ÙØÒÑ ÔÖØÝÝÔÔ ÔÖ ÔÖØÝÝÔÔ ÔÖµ ) ß ØÖÙÒÓ Ð Ñ ØØÝÝÔÔ ÚÓ ÓÐÐ ÚÓ Ø ÒØ ÔÖØÝÝÔÔ ÓÒ ÒØ ØÖÙÒÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ Ù Ø ÓØÙ ÓØÙ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÑÙÙØØÙÖÚÓ ÔÖ ÑÙÙØØÙ ÓÚØ ½¹ÖÑ ÑÙÙØØÙÒ ÒÑ ÖÚÓ ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙ Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ ØÓµ Ù ÓØÙ Ø ØÓµ Ù ÓØÙ Ð Ù ÓØÙ Ø ØÝ ÑÖÓÒÓ ØÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÑÙÙØØÙÖÚÓµ ÈÖÖ ÓÒÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ = ({q0, q1, q2}, {, }, {A}, δ, q0, {q1, q2}} Ñ δ(q0,, ǫ) = {(q0, A)} δ(q0, ǫ, ǫ) = {(q1, ǫ)} δ(q0,, A) = {(q2, ǫ)} δ(q1, ǫ, A) = {(q1, ǫ)} δ(q2,, A) = {(q2, ǫ)} δ(q2, ǫ, A) = {(q2, ǫ)} ÅÐÐ Ò ÐÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙØ Ð ÒØÔÓÐÙØ ÝØÐÐ ÀÝÚ ÝÝ ÑÖÓÒÓØ ÅÖØÒ w R = ÑÖÓÒÓ w ØÔÖÒ ÖÓØØØÙÒ Ó Ó w = 12...n ÒÒ w R = n...21µ ÅÖÓÒÓ ÓÒ ÔÐÒÖÓÑ Ó w = w R ÑÖ ÓÖ ÖÓ µ ÌÖ ØÐÐÒ Ó ØÓÒ {, } ÔÐÒÖÓÑÒ ÑÙÓ¹ Ó ØÑ ÐØ ÈÄ = { w {, } w = w R } µä ÐÒ ØÙÓØØÚ ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ µåùóó Ø ÐÒ ØÙÒÒ ØÚ ÔÒÓÙØÓÑØØ ½¼ Ä ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ Ó ØÙÓØØ ÐÙÙ ¼ ÔÒÑÑØ ÖÓÓÑÐ Ø ÒÙ¹ ÑÖÓØ ÄÙÙÑÖØ Ä¼ ½¼ Î Á½ Ñ ÁÁ½¾ ÁÎ½ Ä¼ ÄÁ ÒÖØ ÙÙÒ ÚÙÓ ÚÓØ ÓÐØØ ØØ ØÝ ÑÖÓÒÓ Ø¹ Ø ÐÙÙ ¼ ÑÖÓÒÓ ÄÄ ÐÙÙ ¼

43 ½¾ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½¾ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÁÆ ÃÁÄÌÆ ËÇÎÄÄÍÃËÁ ½ ½½ ÅÙÓÓ Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÐ Ò ØØÚÒÒÒÓÒ ÑÙ Ø ÐÙÙ ¼ ÔÒÑÑØ ÖÓÓÑÐ Ø ÒÙÑÖÓØ ½¾ Ã ØÒÒ ÐÓÓÙÐÙ ÓÒ ØØÝ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐÒ ÌÙÒÒÒ ¹ Ò ÓÒ ÙÖÚ Ð ÆÙ Ù ÚÓ Ð ÝÐÐ Ø Ù ÑÑÐÐ miuðð ÐÓÔÙ ÓÒ ÝØ ÑÓÒØ muø ÎÐ ÚÓ ÓÐÐ ¼ Ø Ù ÑÔ u¹öñ Ì ÒÙ Ù ÓÒ ÑÙ Ù ÓØ ÙÖ Ý Ø Ù ÑÔ u ÅÙ Ù ÔÙÓÐ ØÒ Ð miuðð Ø muðð ÓØ ÙÖ ¼ Ø Ù ÑÔ u¹öñ µ ÒÒ ÐÒ ØÙÓØØÚ ÐÓÔÔ µ ÒÒ ÓØÒ ÑÖ ÐÒ ÒÓ Ø µ Ä ÔÒÓÙØÓÑØØ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ ½ ÅÐÐ Ò ÐÒ ÓÒÒ ÔÒÓÙØÓÑØØ ØÙÒÒ Ø = ({q0, q1}, {, }, {A, A1, B, B1, A, A1, B, B1}, δ, q0, {q0}) δ(q0,, ǫ) = {(q1, A1)} δ(q0,, ǫ) = {(q1, B)} δ(q1,, ǫ) = {(q1, A1)} δ(q1,, B) = {(q1, B1)} δ(q1,, B1) = {(q1, ǫ)} δ(q1,, B) = {(q1, B1)} δ(q1,, A1) = {(q1, A)} δ(q1,, A1) = {(q1, A)} δ(q1,, ǫ) = {(q1, B)} δ(q1,, A) = {(q1, ǫ)} δ(q1,, A1) = {(q1, B1)} δ(q1,, A1) = {(q1, B1)} ½ Ç ÓØ ØØ ÙÖÚØ ÐÓÔØ ÓÚØ ÑÓÒ ÐØØ Ç ØÓ ÐØ ÑÒ ¹ ÐÒ ÙÚÚÒ Ý ÐØØ Ò ÐÓÔÒ µ S S SS ǫ µ S S S ǫ ½ Ä ÐÓÔÔ Ó ØÙÓØØ ÐÒ { m n c m+n m, n 0} ÇÒÓ ÐØÑ ÐÓÔÔ Ý ¹ Ú ÑÓÒ ÐØØÒÒ ½ ÅØ ØØ ÓÒ Ø Ó Ð ÓÒ ÐÙÓÒÒÓ ØÒ ÑÓÒ ÐØØÒÒ ½ Ç ÓØ ØØ ÙÖÚØ ÐØ ÓÚØ ÓÒØ ØØØÓÑ µ{ m n m n} µ{ m n c p d q m + n = p + q} µ{uw u, w {, }, u = w } µ{ m n n m 2n} ½ ÇÐÓÓÒ Ó ØÓ Σ = {m, i, u, } ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÐÓÔÔ S miunmus SmiuA ǫ N miunmu U U uu ǫ A Au ǫ ÒÒ ÑÖÓÒÓÒ miumiuuumumumiumiuu Ú Ò Ó ÓØÓ ÒÒÝ ÔÙÙ ÇÒÓ ÐÓÔÔ Ý ¹ Ú ÑÓÒ ÐØØÒÒ ½ ËÙÖÚ ÐÓÔÔ ÓÒ ÑÐÒ LL(1)¹ÑÙÓÓ ÅÙÙÒÒ LL(1)¹ÑÙÓØÓÓÒ S miunmu SnuU N miunmu U U Uu ǫ ¾¼ ÌÝØØ ÙÖÚ ÐÓÔÔ ÄÄ ½µ¹ÓÒ S (L) p q L LndS LorS S ÅÐÐ Ò ÐÒ ÐÓÔÔ ÙÚ ¾½ Ä Ô ÙÓÓÓÒµ ÖÙÖ ÚÒÒ ÒØ ÐÓÔÒ ÙÚÑÐÐ ÐÐÐ ÀÙÓÑ ÅÙÙÒÒ Ò Ò ØÖÚØØ ÄÄ ½µÒµ ¾¾ ÇÐÓÓÒ L Ð ÓÒ ÒØ ÓÓ ØÙÚØ Ñ Ø ØÒ Ø Ø Ø ÐÐÐ Ø ÙÐÙÖÒØ Ø ÑÖ ÐÙ ÙÙÖµ ÐÒ ÓÓ ÐÓÒ Ø ØÖ { ÓØ ÖÚÒ } Ø ÔÐÑÑ ØÖ { Ó ÙÙÔÙÙØØÓÓÒ ÙÓÐÐÙØ ØÖÑÑÒ ÃÙÖØÒ ÖÑ } Ø ÐÓÔÖµ ÓÒ ÚØØÚ ÑÙØØ ÚÖÐÐ¹ ÒÒµ ØÙØØÚÙÙ ÙÙÐÙÙ ÐÒ ÎÓØ ÓÐØØ Ý ÒÖØ ÙÙÒ ÚÙÓ ØØ Ø ØÓ ÙÙØ ÐØÚØ ÚÒ ÔÒ ÖÑ Þ ÚÐÐÝÒØ ÒÒ ÐÒ ÙÚÚ ÄÄ ½µ¹ÐÓÔÔ ÙÙÒÒØØÐ ÐÐ ÖÙÖ ÚÒÒ Ò¹ Ø ¾ ÌÖ ØÐÐÒ Ý ÒÖØ Ø ÓÐÑÓÒØÐØ ÓÒ ÓÐÑØ ÓÚØ ÑÙÓ¹ ØÓ Ò ÄÍË Ò ÄÍË ÚÓ ÓÐÐ Ý ÒÖØÒÒ ÓØÙ ÅÍÍÌÌÍ¹ ÂÌÃÁÂ ÅÍÍÌÌÍÂÌÃÁÂ ÌÃÁÂ Ø ÅÍÍÌÌÍÂÌÃÁÂ¹ ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ½¾ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÁÆ ÃÁÄÌÆ ËÇÎÄÄÍÃËÁ ½ ÌÃÁÂ Ñ ÌÃÁÂ ÓÒ ÓÓ ÑÙÙØØÙ,..., z Ø ØÙÑÖØÒ ÓÓÒ¹ ÐÙÙ Ì ÄÍË ÓÒ ÛÐ¹ÖÒÒ ÛÐ ÀÌÇµ Ó Ò ÄÍË Ò ÀÌÇ ÔÙÓÐ ØÒ ÚÖØÐ Ø Ø ÓÔÖØÓÐÐ Ä ÐÐÐ ÐÓÔÔ ÙÚ ÑØÒ ÒÒØÒ ÖÙÖ Ú Ø ¾ Ä ÓÒØ ØØÓÒ ÐÓÔÔ Ó ÙÚ ÝÒ ÑÙÙØØÙÒ x ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÖ¹ Ø ÙÙÒ ÚÙÓ ÚÓØ ÓÐØØ ØØ ØÖÑÒ ÖØÓÑØ ÔÓÒÒØØ ÓÚØ Ý ÒÙÑÖÓ ÓÓÒ ÐÙÙ Ò ÑÑÒÒ ØÖÑ ÓÒ ØÙÑÖØÒ ÌÖ¹ ÑÒ ØÖÚØ ÓÐÐ Ñ Ò ØØÝ Ö ØÝ ÑÒ Ø ØÖÑ¹ ÚÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÐÐ Ù Ø ÒÒ ÙÖÚÒ ÑÖÓÒÓÒ ÒÒÝ ÔÙÙØ ÐÓÔ 2 x 2 2 x+1 x x x 2 3x x 5 Ç ØÓ ÐØ ÐÐÐ ÖÙÖ Ú Ò ÒØÑÒ ¾ Ä ÓÐÑ Ó ÑÙÙÒØ ÀÌÅÄ¹Ð ØÖÒØØ Ú ØÚ ÐØÜ¹Ð ØÓ ÀÌÅÄ¹Ð ØØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ ÙÐ ÐØÜØµ»ÙÐ ÓÐ ÐØÜØµ +»ÓÐ ÐØÜ ÒØ Ú ØÚØ Ð ØØ \ÒßØÑÞÐ \ØÑ ØÜØµ + \ÒßØÑÞÐ \ÒßÒÙÑÖØÐ \ØÑ ØÜØµ + \ÒßÒÙÑÖØÐ ÀÙÓÑ ØØ Ð ØÓ ÚÓ ÓÐÐ Ù Ø ¾ Ç ÓØ ØØ ÙÖÚØ ÐØ ÓÚØ ØÖÑÒ Ø µ { m n m n} µ {wcw R w {, } } µ { m c m } { m d 2m } ¾ ÅÙÙÒÒ ÐÓÔÔ S (S) A A SS ǫ ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ Ø ÑÝ ÚÐÚØ ǫ¹ôöóùøóò ÔÓ ØÓ Ý ÔÖÓÙØÓÒ ÔÓ ØÓµ ¾ ÅÙÙÒÒ ÐÓÔÔ S ABC A A ǫ B B ǫ C cc c ÓÑ ÝÒ ÒÓÖÑÐÑÙÓØÓÓÒ Ø ÑÝ ÚÐÚØ ¾ ËÑÙÐÓ Ã¹ÐÓÖØÑÒ ØÓÑÒØ Ò ÖØ Ø ÙÙÐÙÚØÓ ÑÖÓÒÓØ ÐÓÔÒ S AS A SA ØÙÓØØÑÒ ÐÒ ÅÝÒØ ØÔÙ Ø ÑÖÓÒÓÐÐ ÐÓÔÒ ÑÙ Ø ÒÒÝ ÔÙÙØ ¼ ÌÓØÙØ Ã¹ÐÓÖØÑ ØØÓÓÒÓÐÑÒ ÐÓÔÐÐ S AB BC A BA B CC C AB Ì Ø ÓÐÑ ÖÐ ÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐ ½ ÅÐÐ ØÚÐÐ ÒØ Ø ÙÖÚØ ÐØ ÈÖÙ ØÖØ ÖØØ µ ÀÌÅÄ µ ÈÖÓÔÓ ØÓÐÓÒ ÐÙ Ø ÓØ ÓÓ ØÙÚØ ØÓÑÐÙ Ø A, B,..., Z ÓÔ¹ ÖØÓ Ø ÙÐÙ Ø µ ¹ Ø È Ð¹ÓÐÑÓÓ µ ËÉÄ¹Ý ÐÝ ¾ ÇÐÓÓÒ L1 = { n 2n c m n, m o} L2 = { n m c 2m n, m o} ÇÒÓ L1 L2 ÓÒØ ØØÓÒ Ð ÈÖÙ ØÐ Ú ØÙ Ä ØÓ ÐÓÖØÑ Ó ØÙØ ÓÒÓ ÚÐ ÝÑÓÐ ØÝÒØÝÚ Ø ÚÓÓ ØÙÓØØ ǫò Ó Ò ÐÙ ÓÓ µ Ç ÓØ ØØ ÓÒØ ØØØÓÑØ ÐØ ÓÚØ ÙÐØØÙ Ý ØÒ ØÒØÓÒ ÙÐÙÑÒ ÙØÒ Ì Ó L1 L2 ÓÚØ ÓÒØ ØØØÓÑ ÒÒ µ L1 L2 µ L1L2 µ L 1 ÓÚØ ÓÒØ ØØØÓÑ Î ÓÐØ ØØ ÓÒ ÓÐÑ ÔÒÓÙØÓÑØØ (L1) (L2) Ð ÙÐÙÑÐÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØØµ ÃÐØ { n n c n n 0} ÚÓ ØÙÒÒ Ø ØÚÐÐ ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÎÓ Ó Ò ØÙÒÒ Ø Ó ÝØ ÓÐ ÔÒÓÒÒ ÙØÓÑØØ ÂÓ ÚÓ ÒÒ ÔÖÖ Ó ÙØÓÑØÒ ÖØÝÑÚÓ ÑÙÐÓ Ò ØÓÑÒØ ÂÓ ÒÒ ÔÖÙ ØÐ Ñ Ç ÓØ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ØØ Ð {ww w {, } } ÓÐ ÓÒØ ØØÓÒ Ç ÓØ ÓÒØ ØØØÓÑÒ ÐØÒ ÔÙÑÔÔÙ ÐÑÑÐÐ ØØ Ð { p p ÓÒ ÐÙÐÙÙ} ÓÐ ÓÒØ ØØÓÒ

44 ½ ÄÍÃÍ ÃÇÆÌÃËÌÁÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ Â ÈÁÆÇÍÌÇÅÌÁÌ ÄÙÙ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÖÓØØÑØØÓÑØ ÐØ Ì ÐÙÚÙ ØÙØÙ ØÙÑÑ Ò ØÖÑÔÒ ÓÒØÝÝÔÔÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ò ÓÐÐ ÚÓÒ ÙÖÒ¹ÌÙÖÒÒ Ø Ò ÑÙÒ ÖØ Ø Ñ ØÒ ÑÒ Ø ÖØÚ ÓÒÐÑ ÌÓ Ò ÒÓÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ØÙÒÒ ØÚØ ÓÑ ÝÒ ÐÖ¹ ÖÒ ÚÚÑÑÒ ÐØÝÝÔÒ ÖÓØØÑØØÓÑØ ÐØ ØÝÝÔÔ ¼µ ÌÙÖÒÒ ÓÒ¹ Ò ÚÙÐÐ ÚÓÒ ØÙØ ÓÒÓ ÓÒÐÑ ÝÐÔÒ ÖØÚ ØÒ Ò ÖØ Ú ÌÙÖÒÒ ÓÒµ ÒÐÝ Ó ÓÒÐÑÒ ÚØÚÙÙØØ ÙÒ ÑÓÒØ ¹ ÐØ Ø ØÝÒÙÒ ÓÐÙ ÓÒ ØÖÚØ ØÝ Òµ ÊÓØØÑØØÓÑÒ ÐØÒ ÐÙÓ ÚÓÒ ØÒ ÐÙÓÒ Ò ÔÖÙ ØÐÐ ÔÝ ØÝÝ ÓÒÐÑÒ ÖØ Ú ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÐÐ ÝØØÐÐ ÝÚ Ý Ò ½ ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ½ ÀÍÊÀÁÆ¹ÌÍÊÁÆÁÆ ÌËÁ ½ ØØ ÝÐØ Ò ÑÖÓÒÓÒ ÐÓÔÙÐØ ÔÝ ØÝÝ ÔÐÙØØ Ú ØÙ Ò ÝÐÐ Ø µ Ú ÔÝ ØÝÝ ÚÒ ÝÚ ÝÚ ØÔÙ Ú ØÙ ÝÐÐµ Ò¹ ÑÑ Ø Ò ÔÝ ØÝÚÒ Ð ØÓØÐ ØÒ ÌÙÖÒÒÒ ÓÒÒ ØÙÒÒ ØÑ ÐÐÙ¹ Ó Ù ØÙØÒ ÊÙÖ Ú Ð Ø Ú ØÚØ ÔØ ÓÒÐÑØ ÓÚØ ÖØÚ¹ ÓÐÚÐ Ðµ ÌÓ Ø ÚÒ ÑÝÒØ ØÔÙ ÔÝ ØÝÚ ÓÒØ Ú ¹ ØÚ ÐÐÙÓ ÙØ ÙØÒ ÊÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ Ð Ú ØÚØ ÔØ ÓÒÐÑØ ÓÚØ Ó ØØÒ ÖØÚ ÑÐµ ÃÐÐÙÓÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ÚØ ØÝ Ò ÖØÑØØÓÑØ ÓÒÐÑØ ÀÙÓÑ ÅÝ Ó ÓØØÒ ÖØÚØ ÓÒÐÑØ ÐÙØÒ ÖØÑØØÓÑÒ ÓÒÐÑÒ ÙÒ ÓÐÚÐ ÙÒÐµ ½ ÇÒ ÝÝØ ÙÓÑØ ØØ ÓÐÑÑ ÝÔÒÒØ ÓÓÒÒ ÝÒ ÓÑ ÝÒ ÐÙÓÒ ÒÑØØÒ ÓÒØ ØÐÐ ØÒ ÐØÒ ÐÙÓ ½µ ÝÐ ÌØÓÒ ØØÐÝØØÒ ÒÒÐØ ÓÒØ ØÐÐ ØÒ ÐØÒ ÐÙÓ ÓÐ ÔØØÝ ÑÖØØÚÒ ÐÐ ÓÒØ ØÐ¹ Ð Ø ÐØ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÚÙÐÐ ØÓ ÐØ ØÖÑÑÑ ÝØÒÒ ÖÚÓÒ ÓÒÐÑÒ ÓØ ÓÐ ÚØ Ø Ú ØÚØ ÓÖÑÐØ ÐØ ÓÐ ¹ ÚØµ ÓÒØ ØÐÐ ÑÙØØ ÚØ ÖÓØØÑØØÓÑ ÓÑ Ý ÙØÒÒ Ù Ó ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ ØÒ ÐØÒ ÙÙÐÙÚÒ ÙÙÖ ØÒ ÐÙÓÒ Ulkopuolell Ei rekursiivisesti numeroituvt kielet rtkemttomt ongelmt esim. pysähtymisongelm osittin rtkevt ongelmt rtkevt ongelmt { 2 k } { k k } { k } luokk 0 Rekursiivisesti numeroituvt kielet luokk 0 Rekursiiviset luokk 1 luokk 2 luokk 3 Säännölliset kielet Äärelliset kielet kielet Kontekstiset kielet Kontekstittomt kielet tunnistus: Turingin kone tunnistus: totlinen Turingin kone tunnistus: epädeterministinen Turingin kone syötteen pituuden verrn rjoitull työnuhll tunnistus: epädeterministinen pinoutomtti tunnistus: äärellinen utomtti ½ ÙÖÒ¹ÌÙÖÒÒ Ø ÙÖÒ¹ÌÙÖÒÒ Ø Å ØÒ ÑÒ Ø ÖØÚ ÓÒ¹ ÐÑ ÚÓÒ ÖØ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÐÓÖØÑ Ø ÖØÚØ ÓÒÐÑØ ÑÖ ÓÐÑÓÒØÐØ ÊÅ¹ÓÒØ Ð ÒØÚÓÑÐØÒ ÚÚÐÒØ¹ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ Ò Ã ÖØØÚÒ ÚÚØ ÓÐÑÓÒØÐØ ÑÖØØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÑÒ ÖØÚÒ ÓÒÐÑÒ ÐÙÓÒ ÈÖÙ ØÐÙ ÑÐÐ ØÒ ÖØØÚÒ ÚÚÐÐ ÓÐÑÓÒØÐÐÐ ÚÓÒ ÖÓØØ ÒØ Ó ØÙÐÓÐÑµ ÑÐÐ ØÒ ØÓ ÐÐ ÓÐÑÓÒ¹ ØÐÐÐ ½ ÀÙÓÑ ÆÑØÝ ÐÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÓÐ ÔÐÓÒÒ ØÑ Ø ØØÓÒ ØØÐÝØØÐÒ ÝÑÑÖØÑÒ ÖÙÖ ÓÒ Ò ÌÖÑÒ ÑÚ ÐÙÔÖ ÓØÙÙ ÑØÑØÓÒ Ð ÃÐÒµ ÑÖØØÐÑ Ø ÖÙÖ Ú Ø ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ Ø ÙÒØÓ Ø Ó Ø ÖÖÓØÒ Ð ÙÖ Ó ÃÙÚ ½ ÓÑ ÝÒ ÐÖÖ ØÝÒÒØØÝÒ ÖÙÖ Ú ØÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚÒ ÐØÒ ÐÙÓÐÐ Å ØÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÚÓÒ ØÓØÙØØ ØÐÐ Ò ÓÐÑÓÒØ¹ ÐÒ ÓÐÑÒ ÒØÒ Ñ ÔØ Ñ ÊÅ¹ÓÒÐÐµ Ñ ÀÓÔÖÓØ¹ÅÓØÛÒ¹ÍÐÐÑÒ ÐÙÚÙØ ½ ¾µ ÀÙÓÑ ÅÝ ÔÒÓ Ø ÔÒÓÙØÓÑØØ ÓÚØ ÝØ ÚÚÓ ÙÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ Ñ ÀÓÔÖÓØ¹ÅÓØÛÒ¹ÍÐÐÑÒ ØÓÖÑ ½ µ ÓÑ ÝÒ ÐÖÖ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚØ ÐØ Ó ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÖØ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑÒ Ó ØØÒ ÒÒ ÑÒ ÑÙÙÒ ÑÐÐ ÝÒ ÖØ ÑÒ Ø ÙÒ Ó ØØÒ Ø ÓÐÐÒ ÝØØÐÐ Ð ÒØ ØÙÙ Ù ¹ Øµ ÐÒ ÐÓÖØÑ ÙØ ÙØÒ ÚÒ ÐÐ Ø ÐÓÖØÑ ÓÒ Ð ÒØ ÔØ¹ ØÝÝ Ò ÐÐ ÝØØÐÐ Ø ÖÙÖ Ú Ø Ð ÖØÚØ ÐØ ÓÐ Ö Ø ÓÐÑ Ó Ó Ò ÔÝ Ý ÅØÑØ Ò ØÖÑ ÙÒØÓ ÓÒ ÝÐÒ ÚÖØØÙ ÚÒ Ð ØØÚ ÓÐÚÐÐ ÖÙÖ Ú ÐÐµ ÙÒØÓÐÐ Ó ØØÒ Ð ØØÚ ÙÒØÓØ ÙØ ÙØÒ Ó ØØ ÖÙÖ Ú µ ÙÒØÓ

45 ½¼ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ¾ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ ½½ ÒÙ ÒÙÔ ÓÙ Ý > Ì Í Ê Á Æ < q1 q0 δ q2 ÃÙÚ ¾ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÀÙÓÑ ÎÒ Ø ØÓÖÑ ÐÙ µ ÙÒ ÓÐ ÚÓÒÙØ ØÓ Ø Ó ÑÙØØ ØÙÒÒØÙØ Ð ÒØÑÐÐØ ÓÚØ Ó ÓØØÙØÙÒØ ÚÚÐÒØ ÝÐ Ø Ù ÓØÒ ÔØÚÒ ÐÐ Ð ÒÒÒ ÑÐÐÐÐ ÂÓØÙØ ÓÚØ ÔÙÐÓÒØ ÓÐ ÚØÓ Ò ÚÒØØØØÓÓÒØ ÚÚÑÔ ØÝÒÙÐÐ ÚÓÒ ÖÓØØ ØÝÒÙÐÐ ÚÓ ÐÙ Ú ÑÑÐÐ ØØ ÓÐÐ ØÝÒÙ ÓÒ ÖÓØØÑØØÓÑÒ ÔØ ÙÒ ÐÓÔÔÙØÐ ÓÒ ÚÙØØØÙ ÓÒ ÔÝ ØÝÝ ÑÖ ½ ÄØÒ ÐÒ { k k c k k 0} ØÙÒÒ ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÁÒ ÓÒ ØØ ÓÒ ÔØ Ö ØÔÑ ØÒ Ø Ø c Ø ÑÙÙØØÑÐÐ Ò Ý ÖÖÐÐÒ A B C ÅÙÙØØØÙÒ ÚÑ Ò Ò A ÚÐ ØÖ Ø ØØ Ò ÐÐÐ Ø Ø cø </<, L /, R B/B, R /A,R /B, R q0 q1 q2 /A, R /, R C/C, R c/c, L ¾ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÙØÒ ÖÐÐÒÒ ÙØÓÑØØ ÓÐÐ ÓÒ ØÓ Ò ÙÙÒØÒ ÖØÒ ØÝÒÙ ÓØ ÚÓ ÐÙ ÖÓØØ ÑÖ ÖÖÐÐÒ Ó ØÓÒ Ð ÒÙÒ ÐÙ ÑÖØ Ú ÖÓ ÑÖ > ÐÓÔÔÙ ÑÖ¹ Ø Ú ÖÓ ÑÖ < ÐÓÔÔÙÑÖ ÐÙÙ ØÒÔÒ ÙÒ Ò ÔÐÐ Ö¹ ÓØØÒ Ó ØÓÒ ÝÑÓÐ Ø ÚÓØ ØÐÐ ØØ ÓÓ ÐÓÔÔÙÒÙ ÓÒ ØÝÒÒ ÐÓÔÔÙÑÖ <<<<<... ÐÙ ÒÙÐÐ ÓÒ ÝØÑÖÓÒÓ ÐÓÔÔÙ ÒÙ Ø ØÝµ ÒÙÔ Ó ÓØØ Ò ÑÑ Ø ÒÙÔÒ Ô ÓÒ ÝÒÒ ØØÒ ÐÙØÐ q0 ÃÙÐÐÒ Ð ÒØ¹ ÐÐÐ ÐÙ ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÓÐÚÒ ÑÖÒ ÔØ¹ Ø ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÑÙ Ø ÙÙÒ ØÐÒ ÖÓØØ ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÙÙÒ ÑÖÒ ÖØ ÒÙÔØ ÝÒ ÐÒ Ú ÑÑÐÐ Ø ÓÐÐ Ò ÑÑ Ò ÔÒ Ú ÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÚÓ ÙØÒÒ ÑÒÒµ ÃÓÒÐÐ ÓÒ ÝÚ ÝÚ ÐÓÔÔÙØÐ qyes ÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ qno ÙÒ Ý ÓÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÑÒÒ ÓØ ÒÝØ ØØÐÑÑµ ÃÓÒ ÔÝ ØÝÝ ÙÒ ÚÙØØ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÖÓ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØ Ø ØÒ ØØ </<, L q5 q4 B/B, R B/B, R C/C, R A/A, R q3 C/C, L /, L B/B, L /, L ÃÙÚ ÃÐÒ { k k c k k 0} ØÙÒÒ ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÀÙÓÑ ËÑ ÚÓÒ ÖØ Ø ÔÒÓ ÐÐ ÔÒÓÙØÓÑØÐÐ ÖÓØÙ ØØÚµ Ø ØØÓÓÒÓÐÑÒ ÛÐ ØÖ µµçµ ß ÛØ µ ß ³³ ³³ ³³ Ð ÊÊÇÊ Ð Ð µ ²² µµ ÔÖÒØ Çµ ½¾ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ¾ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ ½ ¾½ ÓÖÑÐ ÑÖØØÐÝ ÅÖØÐÑ ÅÖØÐÑ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ñ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó), Q ÓÒ ÓÒÒ ØÐÓÒ ÖÐÐÒÒ ÓÙÓ Σ ÓÒ ÓÒÒ ÝØÓ ØÓ Γ Σ ÓÒ ÓÒÒ ÒÙ¹Ó ØÓ ÓÐ ØØ >, < / Γ δ : (Q \ {qý, qòó}) (Γ {>, <}) Q (Γ {>, <}) {L, R} ÓÒ ÓÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓ q0 Q ÓÒ ÓÒÒ ÐÙØÐ qý Q ÓÒ ÓÒÒ ÝÚ ÝÚ qòó Q Ò ÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ ËÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓÐØ ÚØÒ δ(q, ) = (q,, ) µ Ó = > ÒÒ = > ÐÙÑÖ ÖØµ µ Ó = > ÒÒ = > = R ÐÙÑÖÒ Ú ÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÖØÝµ µ Ó = < ÒÒ = < = L ÐÓÔÔÙÑÖÒ ÖÓØØ ÚÒ ÒØ Ò ÐÓÔÔÙÑÖÒ ÔÐÐ ÐÐÓÒ ØÝØÝÝ ÖØÝ Ú ÑÑÐÐµ ËÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓÒ δ(q, ) = (q,, ) ØÙÐÒØ ÇÐÐ Ò ØÐ q ÐÙ Ò ÒÙÑÖÒ Ø ÐÙ¹ Ø ÐÓÔÔÙÑÖÒµ ÓÒ ÖØÝÝ ØÐÒ q ÖÓØØ ÐÙÑÒ ÔÒ ÑÖÒ ÖØ ÒÙÔØ ÝÒ ÑÖÔÒ ÚÖÖÒ ÙÙÒØÒ L ÐØ R ÖØµ ËÐÐØØÙ ÖÓØØØÚ ÑÖ ÖØÓ ÙÙÒØ ÓÒ ÖÓØØØÙ ÑÐ >³ Ø <³ ÝÐÐ ÓÐÚØ ÓØ µ µµ ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓ ÓÒ Ò ÑÖØ¹ ØÐÑØÒ ÙÒ q = qý Ø q = qòó ÂÓÙØÙ Ò ÓÑÔÒ ÙÑÔÒ Ò Ø ØÐÓ Ø ÓÒ ÔÝ ØÝÝ Ø ÃÓÒÒ ØÐÒÒ ÓÒ ÒÐÓ (q, u,, v) Q Γ (Γ {ǫ}) Γ, Ñ ÚÓ ÓÐÐ = ǫ ÑÐ ÑÝ u = ǫ Ø v = ǫ ÌÙÐÒØ ÓÒ ÓÒ ØÐ q ÒÙÒ ÐØ Ò ÐÙ Ø ÒÙÔÒ Ú ÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓÒ u ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÓÒ ÑÖ ÒÙÒ ÐØ ÒÙÔÒ ÓÐØ ÔÙÓÐÐØ ÝØØÝÒ Ó Ò ÐÓÔÔÙÙÒ ÓÒ v ÅÓÐÐ Ø ÓÒ = ǫ Ó ÒÙÔ Ø ÚÒ ÒÙÒ ÐÙ u = ǫµ Ø Ò ÝØØÝÒ Ó Ò ÐÓÔÙ v = ǫµ Ò ÑÑ ØÔÙ ØÐÐÒ ØØ ÓÒ ÚØ ÑÖÒ >³ ØÓ ØÔÙ ÑÖÒ <³ ÐÙØÐÒÒ ÝØØÐÐ x = 12...n ÓÒ ÒÐÓ (q0, ǫ, 1, 2...n). ÌÐÒÒØØ (q, u,, v) ÑÖØÒ ÝÐÒ Ý ÒÖØ ÑÑÒ (q, uv) ÐÙ¹ ØÐÒÒØØ ÝØØÐÐ x Ý ÒÖØ Ø (q0, x) ÌÐÒÒ (q, w) ÓØ ÙÓÖÒ ØÐÒØ Ò (q, w ) ÑÖØÒ (q, w) (q, w ), Ó ÓÒ ÙÖÚ Ø Ó Ø ØÝØØÝÝ ÐÐ q, q Q u, v Γ, Γ c Γ {ǫ} Ó δ(q, ) = (q,, R) ÒÒ (q, ucv) (q, ucv) Ó δ(q, ) = (q,, L) ÒÒ (q, ucv) (q, ucv) Ó δ(q, >) = (q, >, R) ÒÒ (q, ǫcv) (q, cv) Ó δ(q, <) = (q,, R) ÒÒ (q, uǫ) (q, uǫ) Ó δ(q, <) = (q,, L) ÒÒ (q, ucǫ) (q, uc) Ó δ(q, <) = (q, <, L) ÒÒ (q, ucǫ) (q, uc) ÌÐÒØØ ÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ (qý, w) Ø (qòó, w) ÚØ Ó ÑÒÒ ÑÙÙÙÒ ØÐÒØ Ò Æ ØÐÒØ ÓÒ ÔÝ ØÝÝ

46 ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ¾ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ ½ ÌÐÒÒ (q, w) ÓØ ØÐÒØ Ò (q, w ) ÑÖØÒ (q, w) (q, w ), Ó ÓÒ ÓÐÑ ØÐÒÒÓÒÓ (q0, w0) (q1, w1) (qn, wn) n 0 ØÒ ØØ (q, w) = (q0, w0) (q1, w1) ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÝÚ ÝÝ ÑÖÓÒÓÒ x Σ Ó (qn, wn) = (q, w ). q q0 ÌÐ q ÐÙØÐ ÀÝÚ ÝÚ ÐÓÔÔÙØÐ qý µ ÀÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ qòóµ ÑÙÙØÒ ÝÐ xò (q0, x) (qý, w) ÓÐÐÒ w Γ ; Ø ÝÚ ÝÑ Ò ÖØØ ØØ Ô ÑÑ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÓÓ ÑÖ¹ ÓÒÓ ÚÐØØÑØØ ØÖÚØ ÐÙ ÆÙÐÐ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÑÖ ÙØÓÑØØµ ÃÓÒÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð ÓÓ ØÙÙ ÝØÓ ØÓÒ ÑÖÓÒÓ Ø ÓÐÐ Ô ØÒ ÐÙØÐ Ø ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ L() = {x Σ (q0, x) (qý, w) ÓÐÐÒ w Γ }. /, q q ÌÐ ÖØÝÑ δ(q, ) = (q,, ) ÃÙÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÚÓ ØÝ Ò ÑÖÒÒØ </<, L q0 /, R /, R q1 </<, L ¾¾ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ØÝ ÖØÝÑÚÓÒ ÃÙÚ ÃÐÒ { 2k k 0} ØÙÒÒ ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÚÓ ØØ ÒØÑÐÐ Ò ÖØÝÑÙÒØÓ Ø ÖØÝÑÚÓÒ ÑÒ ØÔÒ ÙÒ ÖÐÐ Ø ÙØÓÑØØ ÃÓÒÒ Ð ÒØ ÑÖ ÝØØÐÐ ØÒ ÙÖÚ Ø ÑÖ ¾ ÃÐ { 2k k 0} ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ = ({q0, q1, q Ý, q ÒÓ}, {}, {}, δ, q0, q Ý, q ÒÓ), (q0, ) (q1, ) (q0, ) (q1, ǫ) (q ÒÓ, ). Ñ δ(q0, ) = (q1,, R), δ(q1, ) = (q0,, R), δ(q0, <) = (q Ý, <, L), δ(q1, <) = (q ÒÓ, <, L). ÃÓÒ ÔÝ ØÝÝ ØÐ q ÒÓ ÓØÒ / L() ÑÖ ÃÐÒ { k k c k k 0} ØÙÒÒ ØÚÒ ÓÒÒ Ð ÒØ ÝØØÐÐ ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÁÆ ÄÂÆÆÍÃËÁ ½ cc (q0, cc) (q2, AABBCc) (q1, Acc) (q2, AABBCc) (q1, Acc) (q3, AABBCC) (q2, ABcc) (q3, AABBCC) (q2, ABcc) (q3, AABBCC) (q3, ABCc) (q3, AABBCC) (q3, ABCc) (q4, AABBCC) (q3, ABCc) (q5, AABBCC) (q3, ABCc) (q5, AABBCC) (q4, ABCc) (q5, AABBCC) (q1, AABCc) (q5, AABBCCǫ) (q1, AABCc) (q Ý, AABBCC). ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÐÒÒÙ ÃÓÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓØ ÓÚØ ØÐÐÒ ÑÙÓØÓ δ(q, (1,...,k)) = (q, (1,...,k), ), Ñ 1,...,k ÓÚØ ÙÖÐØ 1,..., k ÐÙØÙØ ÑÖØ 1,...,k ÒÒ ØÐÐÐ Ö¹ ÓØØØÚØ ÑÖØ {L, R} ÓÒ ÒÙÔÒ ÖØÓ ÙÙÒØ Ä ÒÒÒ ÐÙ ØÙØØØÚ ÝØ ÓØØÒ Ý ÙÖÒ Ú ÑÔÒ ÐØÒ ÑÙÐÐ ÙÖÐÐ ØÙÐ Ò ÓÐÐ ÖØÝ ØÝÑÖ ÅÖØÝ ÑÓÒÒÙÒÒ ÓÒ ÚÓÒ ÑÙÙÒØ Ý ÒÙ ÑÙÙÒØÑÐ¹ Ð Ò Ò Ú ØÚ ÑÓÒÙÖÓÒ ØØÒ Ý ÙÖ ØÒÖÓÒ¹ ÓÖÑÐ Ø k¹ùöòò ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÒ Ø Ó = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó), Ñ ÑÙÙØ ÓÑÔÓÒÒØØ ÓÚØ ÙØÒ ØÒÖÑÐÐ ÔØ ÖØÝÑÙÒØÓ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐÑ ÑÓÒ ÖÐ ÚÖØÓØ ÃÓÒÒ ØÝÒÙ ÚÓ ¹ ÑÖ ÓÐÐ ÙÑÔÒÒ ÙÙÒØÒ ÖØÒ Ø ÐÐØÒ ØØ ÓÒÒ ÒÙÔ ÔÝ Ý ÔÐÐÒ ËÙÖÚ ØÐÐÒ ÓÐÑ ÝÝÐÐ Ø ÚÖØÓØ ÑÓÒÙ¹ Ö Ø ÓÒØ ÓÒ ØÝÒÙ ÓÓ ØÙÙ Ù Ø ÖÒÒ Ø ÙÖ Ø ÑÓÒÒÙ Ø ÓÒØ ÓÐÐ ÓÒ Ù Ø ØÓ ØÒ ÖÔÔÙÑØØÓÑ ØÝÒÙÓ ØÖÑÔÒ Ø ÔØÖÑÒ Ø Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÀÙÓÑ Å ØÒ Ò Ø ÚÖ¹ ØÓ Ø ÚÓÒ ØØ ØÒÖÑÐÐ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ δ : (Q \ {qý, qòó}) (Γ k {>, <}) Q (Γ k {>, <}) {L, R}. ËÙÖØÐÒÒÖÐØÓÒ ÐÙØÐÒ Ò ÑÖØÐÑØ ÓÚØ ÔÒ ÑÙÙØÓ ÐÙÙÙÒÓØØÑØØ ÑÒÐ Ø ÙÒ ØÒÖÑÐÐ µ ½ ÅÓÒÙÖ Ø ÓÒØ Ä Æ Å Ì À Á Ë Ç Æ Ì Í Ê Á Æ ÒÙÔ ÃÙÚ ÃÓÐÑÙÖ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÒÙ ÑÖ ÃÓÐÑÙÖÒÒ ÓÐÑÒÙÒÒ ÓÒ ÓØ ÙÓÖØØÚØ ØØ¹ÓÖ ¹ ÓÔÖØÓÒ ÐÐ ÑÒÔØÙ ÐÐ ÒÖÓÒÓÐÐ ÒÖÓÒÓØ ÓÒ ÒÒØØÙ Ð¹ Ð Ò ÑÑ ÐÐ ÙÖÐÐ»ÒÙÐÐ ÓÐÑ ÙÖ»ÒÙ ÓÒ ÐÙ ØØØÙ #¹ÑÖÐÐ (0,0,#)/(0,0,0),R (0,1,#)/(0,1,1),R (1,0,#)/(1,0,1),R (1,1,#)/(1,1,1),R (0/0,R), (0/0,R), (#/0,R) (0/0,R), (1/1,R), (#/1,R) (1/1,R), (0/0,R), (#/1,R) (1/1,R), (1/1,R), (#/1,R) ËÐÐØÒ ØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÒÙ ÓÓ ØÙÙ k Ø ÖÒÒ Ø ÙÖ Ø ÓØ ÓÒ ÐÙ ÖÓØØ Ý Ð ÒØ¹ Ð (<,<,<)/(<,<,<),L (</<,L),(</<,L),(</<,L)

47 ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÁÆ ÄÂÆÆÍÃËÁ ½ ÄÙ ÂÓ ÓÖÑÐ Ð L ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø k¹ùö ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÑÝ ØÒÖÑÐÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó) k¹ùöòò ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L Î ØÚ ØÒÖÑÐÐÒÒ ÓÒ ÑÙÓÓ ØØÒ ÙÖÚ Ø = ( ˆQ, Σ, ˆΓ, ˆδ, ˆq 0, qý, qòó), Ñ ˆQ = Q {ˆq 0, ˆq 1, ˆq 2 } ˆΓ = Σ Γ k ÐÐ q Q ÓÒ ˆδ(q, [ 1 k ÙÒ ] ) = (q, [ 1 k ], ), δ(q, (1,..., k)) = (q, (1,..., k), ). ÃÓÒÒ Ð ÒÒÒ ÐÙ ØÝØÝÝ ÝØÓÒÓ ÒÓ Ø Ý ÙÖÐÐ Ó ÓÖÚØ ÒÙÐÐ ÑÖÓÒÓ 12...n ÑÖÓÒÓÐÐ [ 1 ] [ 2 ] ] # # # # ÌØ ÓÔÖØÓØ ÚÖØÒ ÐØØÒ Ø ÓÔÓÙÒ ÖØÝÑÙÒØÓÒ Ó Ò ÐÙ¹ ÙÒ ÚÐ ÔÒ ÔÖÓ ÓÖ " # " # " # # # # /, R /, L # # # ˆq 0 </<, L [ n # # ˆq 1 q0 >/>, R ÃÙÚ ÔÖÓ ÓÖ ÑÓÒÙÖ Ò ÓÒÒ ÝØØÒ ÒÓ ØÑ Ý ÙÖÐÐ ¾ ÅÓÒÒÙ Ø ÓÒØ ËÐÐØÒ ØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÓÒ k ØÓ ØÒ ÖÔÔÙÑØÓÒØ ÒÙ ÓÐÐ ÓÒ ÙÐÐÒ ÓÑ ÒÙÔÒ. ½ ¾ Ä Æ Å Ì À Á Ë Ç Æ Ì Í Ê Á Æ q1 q0 δ q2 ÃÙÚ ÃÓÐÑÒÙÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÃÓÒ ÐÙ ÖÓØØ ÒÙØ Ý Ð ÒØ¹ Ð Ä ÒÒÒ ÐÙ ÝØ ÓØØÒ Ý ÒÙÒ Ú ÑÔÒ ÐØÒ ÒÙÔØ ÒÙÓÒ ÐÙÙÒ ÌÐÐ Ò ÓÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ δ(q, 1,...,k) = (q, (1, 1),...,(k, k)), Ñ 1,..., k ÓÚØ ÒÙÓÐØ 1,..., k ÐÙØÙØ ÑÖØ 1,...,k ÒÒ ØÐÐÐ ÖÓØØØÚØ ÑÖØ 1,..., k {L, R} ÒÙÔÒ ÖØÓ ÙÙÒÒØ ÀÙÓÑ ÅÓÒÒÙ ÓÒ ÓÒ Ù Ò ØÖÔÒ ÐÐ ÓÐÑ Ò ÖØÓ ÙÙÒØ S ÔÝ Ý ÔÐÐÒ ÅÖØÝ Ù Ò ÓÒ ÐÔÓÑÔ ÖØ Ø ÓÒÐÑ ÑÓÒÒÙ ÐÐ ÓÒÐÐ Ñ ÝØÒÐ Ù + = c ÖÓØØÒ ½ ÒÙÐÐ ÐÙÚÙÒ ÒÖ ØÝ x ¾ ÒÙÐÐ ÐÙÚÙÒ ÒÖ ØÝ y Ð ØÒ ÒÙÐÐ Ú ØÙ Ò c ÒÖ ØÝ z Â ÑÐ ÓÒÐÑ ÝØÒ ÖØ ÑÒ ÑÓÒÒ ÒÙÒ ÚÙÐÐ ÝØÒ ÖØ ÑÒ ÑÝ Ý ÒÙ ÐÐ ØÒÖÓÒÐÐ ÓÖÑÐ Ø k¹òùòò ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÒ Ø Ó = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó), Ñ ÑÙÙØ ÓÑÔÓÒÒØØ ÓÚØ ÙØÒ ØÒÖÑÐÐ ÔØ ÖØÝÑÙÒØÓ δ : (Q \ {qý, qòó}) (Γ {>, <}) k Q ((Γ {>, <}) {L, R}) k. ½¼ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÁÆ ÄÂÆÆÍÃËÁ ½½ ËÙÖØÐÒÒÖÐØÓ ÝÑ ÔÖÙ ØØØ ÑÖØÐÐÒ ÔÒÒ ÑÙÙØÓ Ò Ò¹ Ø Ò ØÔÒµ ÄÙ ÂÓ ÓÖÑÐ Ð L ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø k¹òù ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐ¹ Ð ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÑÝ ØÒÖÑÐÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÌÓ ØÙ µ ½ ¾ Ä Å Ì Í Ì Ê Æ À Á Á Æ Ë Ç Æ ÇÐÓÓÒ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó) k¹òùòò ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒ¹ Ò Ø ÐÒ L ÃÓÒØØ ÚÓÒ ÑÙÐÓ 2k¹ÙÖ ÐÐ ÓÒÐÐ ØÒ ØØ ÓÒÒ ÔÖØØÓÑØ ÙÖØ 1, 3, 5,..., 2k 1 Ú ØÚØ Ò ÒÙÓ 1, 2,..., k ÙØÒ ÔÖØÓÒØ ÙÖ ÙÖÚÐÐ ÔÖÐÐ ÐÐ ÙÖÐÐ ÓÒ ÑÖÐÐ ÑÖØØÝ Ú ØÚÒ ÒÙÒ ÒÙÔÒ ÒØ ËÑÙÐÓÒÒÒ ÐÙ ÝØÑÖÓÒÓ ÓØØÒ ÒÓÖÑÐ Ø ÓÒÒ Ý¹ ÙÖÐÐ Ò ÑÑ ÖØÝÑ Ò ÑÖØ ÒÙÔÓ ÓØØÑØ ÔÖ¹ ÐÐ ØÒ ÙÖÒ Ò ÑÑ Ò ÑÖÔÓÒ ÌÑÒ ÐÒ ØÓÑ ÔÝÝÑÐÐ ÒÙ Ø Ò Ò ÐÙ¹ ÐÓÔ¹ ÔÙÑÖÒ ÚÐÐÐ Î ÑÑÐØ ÓÐÐ ÔÝÝ ÝÐÐ Ö ØÓØ ÙÒÒ Ó ÓØØÑÒ Ó¹ ÐÐ ÓÐÚ Ø Ò ÒÙÑÖ Ø ÃÙÒ ÑÖØ ÓÚØ ÐÚÐÐ ÑÙÐÓ ÝÒ Ò ÖØÝÑÒ Ì Ò ÓÐØ Ú ÑÑÐÐ ÙÙÒØÙØÙÚÐÐ ÔÝÝ ÝÐÐ ÓÒ ÖÓØØ ¹Ó ÓØØÑÒ ÓÐÐ ÒÑÙ Ø ÙÙØ ÑÖØ ÖØ Ó ÓØØÑ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÓÒØ ØÚÐÐ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÓÚØ ØÖÑÒ Ø Ø ÓÒÒ ØÓÑÒØ ÓÒ Ý Ø¹ Ø Ø ÑÖØØÝ ÙÒ ØÙÒÒØÒ ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÓÐÚ ÑÖ ÓÒÒ ÒØÒÒ ØÐ ÑÖ ÖØÝÑÙÒØÓ Ý ØØ Ø ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÖÓØØØÚÒ ÑÖÒ ÙÖÚÒ ØÐÒ ÔØÖÑÒ Ø Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ØÓÑÒØ ÓÒ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÓÐ Ý ØØ Ø ÑÖØÐØÝ ÙÒ ØÙÒÒØÒ ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÓÐÚ ÑÖ¹ ÒØÒÒ ØÐ ÚÓ ÓÒÐÐ ÓÐÐ Ù Ø ÚØÓØÓ ÑØ ÖÓØØ ÒÙÔÒ ÓÐÐ ÑÒ ØÐÒ ÖØÝ ÙÖÚ q1 q0 δ q2 ÃÙÚ ÃÓÐÑÒÙ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÑÙÐÓÒØ ÙÙ ÙÖ ÐÐ ËÖØÝÑÙÒØÓ ÓÒ ÑÙÓØÓ δ(q, ) = {(q1, 1, 1),...,(qk, k, k)} Ì ÓÐÐ Ò ØÐ q ÐÙ Ò ÑÖÒ ÓÒ ÚÓ ØÓÑ ÓÒÒ ÓÐÑÓÒ (qi, i, i) ÑÙ Ø ËÝØÑÖÓÒ ÝÚ ÝÑ ÖØØ ØØ ÓÒ ÓÒÒ Ð ÒØÔÓÐÙ ÓØ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÅÖØÝ Ù Ò ÐÔÓÑÔ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÓÒ Ó ÖÚ ÙÐ¹ ÐÓÒÒ ÔÖÒ ØÓÑÒØ¹ ÐÒ ÅÐ ÐÙØÒ ÚÒ ØÙØ ÓÒÐÑÒ ÚÙØ¹ Ø ØÑ ÖØØ ÐÐ Ñ ØÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÓÒ ÚÓÒ ØØ ØÖÑÒ Ø Ò Ò ÚÓÒ ÑÙÐÓ ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÓÒÐ¹ Ð ÑÓÐÐ Ð ÒØÔÓÐÙµ ÀÙÓÑ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÓÒØ ÓÚØ ØÖØ ÑÝ ÑÖØØØ ÓÒÐ¹ ÑÒ ÔØÖÑÒ Ø ÚØÚÙÙ ÐÙÓ ÖØÝ Ø ÓÒÐÑÒ ÆÈ¹ØÝÐÐ ÝÝØØ ÑÖ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÓÒ Ó ØÙØ ÐØ ÒÒØØÙ ÑÖ¹ ÓÒÓ Ó ÓÒÓÒ ½¼¼ ËÑÒ ÓÒÐÑÒ ÖØ Ú ØÖÑÒ ØÒÒ ÓÒ

48 ½¾ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÁÆ ÄÂÆÆÍÃËÁ ½ 0/0,R 1/1,R 1/1,R 0/0,R </<,L 1/1,R </<,L </<,L 1/1,R 0/0,R ÌÑÒ ÑÙÙØÓ Ò Ø ÙÖØÐÒÒÖÐØÓ ÓÐ Ò Ý ÖÚÓÒÒ ÓÒÒ ØÐÒØÐÐ (q, w) ÚÓ ÒÝØ ÓÐÐ Ù Ø ÚØÓØÓ ÙÖ Ó ØÐÒØ¹ Ø (q, w ) ÓÐÐ (q, w) (q, w ) ÃÓÒÒ ØÙÒÒ ØÑ Ð ÑÖØÐÐÒ L() = {x Σ (q0, x) (qý, w) ÓÐÐÒ w Γ }. 0/0,R 1/1,R 1/1,R 0/0,R /1,R </<,L </<,L </<,L 0/0,R ÅÖØÐÑ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÒ Ø Ó = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó), Ñ ÑÙÙØ ÓÑÔÓÒÒØØ ÓÚØ ÙØÒ ØÖÑÒ Ø ØÒÖÑÐÐ ÔØ ÖØÝÑÙÒØÓ ËÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓÒ δ : (Q \ {qý, qòó}) (Γ {>, <}) P(Q (Γ {>, <}) {L, R}). δ(q, ) = {(q1, 1, 1),...,(qk, k, k)} ØÙÐÒØ ÓÒ ØØ ÓÐÐ Ò ØÐ q ÐÙ Ò ÑÖÒ ÓÒ ÚÓ ØÓÑ ÓÒÒ ÓÐÑÓÒ (qi, i, i) ÑÙ Ø ÔØÖÑÒ Ø Ò ÓÒÒ ØÐÒØØ ØÐÒÒÓÓØ Ò ÑÖØÐÐÒ ÓÖÑÐ¹ Ø ÑÓÒ ÙÒ ØÖÑÒ Ø ÒÒ ÓÒÒ ØÔÙ ÔØ ØØ ÓÒ δ(q, ) = (q,, ) Ò ÖÓØØÒ (q,, ) δ(q, ) ÖØÝÑÙÒØÓ ÓÒ ÓÙÓÖÚÓÒÒµ ÔØÖÑÒ Ø Ò ÓÒÒ ØÔÙ ÑÖÓÒÓ x ÙÙÐÙÙ Ò ØÙÒ¹ Ò ØÑÒ ÐÒ Ó ÓÒ Ò ÐÚÓÐÐÒÒ ØÐÒÒÓÒÓ ÓØ ÐÙØÐÒØ Ø ÝØØÐÐ x ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒØ Ò ÑÖ ØØØÝÒ ÐÙÙÒ ØÙÒÒ ØÑÒÒ ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ¹ÒØÚÒÒ ÓÓÒ ÐÙÙ n ÓÒ Ý ØØØÝ Ó ÐÐ ÓÒ ÓÓÒ ÐÙÙØØ p, q 2 ÓÐÐ pq = n ÄÙÙ Ó ÓÐ Ý ØØØÝ ÓÒ ÐÙÐÙÙ ÇÐØØÒ ØØ ÓÒ Ó ÙÙÒÒØÐØÙ ØÖÑÒ ØÒÒ ÓÒ ÀÃÅÍÄÌ Ó ØÙÒ¹ Ò Ø ÐÒ L(ÀÃÅÍÄÌ) = {n#p#q n, p, q ÒÖÐÙÙ n = pq}. ÇÐÓÓÒ Ð ÇËÌÊÌ ØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÖØ ÒÙÔÒ Ó ÓØØÑÒ ÒÙÒ Ò ÑÑ Ø ÑÖ ÇÐÓÓÒ ÐÐÒ ÆÁÆÌ ÑÐÚÐØ Ò Ý Ø ÙÙÖÑÑÒ ÒÖÐÙÚÙÒ ÒÙÒ ÐÓÔÔÙÙÒ ØÙÓØØÚ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ 0/0, R 1/1, R </#, R </1, R </0, R </0, R </1, R </1, R ÃÙÚ ½¼ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÆÁÆÌ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÌËÌÇÅÈÇËÁÌ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L(ÌËÌÇÅÈÇËÁÌ) = {n n ÓÒ ÒÖÑÙÓØÓÒÒ Ý ØØØÝ ÐÙÙ} ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÁÆ ÄÂÆÆÍÃËÁ ½ ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø Ò Ø ÓÑÔÓÒÒØ Ø Ý ØÑÐÐ ØÖÑÒ Ø Ò ÔØÖÑÒ Ø Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÚÚÐÒ n ÆÁÆÌ n#p ÆÁÆÌ n#p#q ÇËÌÊÌ n#p#q ÀÃÅÍÄÌ ÄÙ ÂÓ ÓÖÑÐ Ð L ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÔØÖÑÒ Ø ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÑÝ ØÒÖÑÐÐ ÐÐ ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÃÙÚ ½½ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÌËÌÇÅÈÇËÁÌ ØØØÝ ÓÒ ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ ÒÒØÙÒ ÒÖÐÙÚÙÒ n Ó ÚÒ Ó ÓÒ ÓÐ¹ Ñ ÒÖÐÙÚÙØ p, q 2 ÓÐÐ n = pq Ó ÚÒ Ó n ÓÒ Ý ØØØÝ ÐÙÙ ÑÖ ËÙÙÒÒØÐÐÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙØ ÐØ ÙÙÒÒØØÙ ÚÖÓ ÀÑÐØÓÒÒ Ò Ø ÔÓÐÙÒ Ó ÙÐ ÚÖÓÒ Ó Ò ÓÐÑÙÒ ÙØØ ÖØÐÐÒ ÔÐ ÐÙ ÓÐÑÙÙÒ ÇÐØØÒ ØØ ÓÐÑÙØ ÓÒ ÒÑØØÝ ÖÑÒ Σ = {,,..., z} ÃÓÒÒ ÔØÖ¹ ÑÒ ØÒÒ ÓÑÔÓÒÒØØ GUESSPATH ÖÚ ÓÐÑÙÓÒÓÒ 12...m i Σ 1 i mµ Ó ÓÒ ÀÑÐØÓÒÒ ÔÓÐÙ ÑÐ ÐÐÒÒ ÓÒ ÓÐÑ ÌÓ ØÙ µ ÇÐÓÓÒ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó) ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ L ÃÓÒØØ ÚÓÒ ÑÙÐÓ ÓÐÑÒÙ ÐÐ ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÓÒÐÐ Ó Ý Ý ØÑØØ Ø ÐÔ Ò ÑÓÐÐ Ð ÒØÓ ØÐÒÒÓÒÓµ ÙÒÒ ÐÝØ ÝÚ ÝÚÒ Ó ÐÐÒÒ ÓÒ ÓÐÑ ÃÓÒ ÚÓÒ ÐÐÒ ÑÙÙÒØ ØÒÖÑÐÐ ÐÐ ØÒ ÐÙ Ò ÓÒ ØÖÙØÓÐÐ </,R /,R... z/z,r init sim </<,L ÃÙÚ ½¾ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ GUESSPATH ÃÙÚ ½ ÔØÖÑÒ Ø Ø Ð ÒØ ÑÙÐÓÚ ÓÒ ÓÓ ØÙÙ Ø Ó ¹ Ø init ÙÓÖØØ ØÖÚØØÚØ ÐÙ ØÙ Ø Ó Ò ÑÙÐÓÒØ ÐÒ ÐÙ sim ÑÙÐÓ Ò Ð ÒØ ØÖÑÒ Ø Ø ÂÓ ÑÙÐÓÒØ ÔØØÝÝ ÓÐÐÒ ÐÐÐ ÝÚ ÝÚÒ ØÐÒ ÑÖÓÒÓ ÝÚ ÝØÒ ÑÙÙØÒ Ð ÒØ ØÙÙ Ù Ø ËÒ ÐÒ ÖØØÒ ØÙØ ØÖÑÒ Ø Ø ØØ ÔÓÐÙ ØÓÐÐ ÐÝØÝÝ ÚÖÓ Ø ÙÐ Ò ÓÐÑÙÒ ÙØØ ÖØÐÐÒ ÔÐ ÐÓÔÙ ÐÙ ÓÐÑÙÙÒ ÎÖÓÒ ÚÖÙ Ð Ø ØÝ ÚÓÒ ÓÓØ Ñ ÙÖÚ Ø n¹ ÓÐÑÙ ÐÐ ÚÖÓÐÐ ÑÙÓÓ Ø¹ ØÒ n¹òùòò ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÒÙ ÐØ ÓÐÑÙÒ i Ò ÙÖ ÓÐÑÙØ j i, j Σµ Ä ØÖÚØÒ ØÝÒÙ ÖÚØØÙ ÔÓÐÙ ÚÖØÒµ ØÝ ÓØ ÑÑÒ ÙÚØØÙÒ ÓÒ ØÓÑ ÙÖÚ Ø ÆÙÐÐ ½ ÐÝØØ ÓÔÓØ ÝØÓÒÓ Ø ÒÙÐÐ ¾ ÑÙÐÓ ÓÒÒ ØÝÒÙ ÃÙÒÒ ÑÙÐÓØÚÒ Ð ÒÒÒ ÐÙ ÓÔÓ ÝØØÒ ÒÙÐØ ½ ÒÙÐÐ ¾ ÔÝÝ ÔÓ ÒÙÐÐ ¾ ÐÐ Ò Ð ÒÒÒ ÐÐØ ÑÓÐÐ Ø ÒØ ÑÖØ

49 ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁËÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ ½ ¾ D1 Ò Ò Ô Ï Ù Ç Ê Ã D3 D2 D2 D1 D4 q1 q0 δ q2 ÃÙÚ ½ ¹ÓÒÐÐ ÓÒ ÓÐÑ ÒÙ Ó Ø Ò ÑÑ ÐÐ Ø ÐÙÔÖÒÒ ÝØ ØÓÒÒ ÓÒ ØÝÒÙ ÓÐÑÒÒÐÐ ÒÖÓÒ ÖØÝÑÓØ ÔÙÑÖØ Di ÑÖØØÚØ Ñ ÚØÓØÓ Ø ÔØÖÑÒ Ø Øµ ÖØÝÑ Ø ÙÐÐÓÒÒ ÚÐØÒ Ø ÆÙÐÐ ÔØ Ö ÚÙÓÖÓ ÓÐÚÒ Ð ÒÒÒ Ö ØÝ ÒÙÑÖÓ Ø ÌÖÑÑÒ ÒÓÒ ÓÐÓÓÒ r ÙÙÖÒ Ò ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓÓÙÓÒ ÓÓ r = mx δ(q,, ) ÓÐÐÒ Γ {<, >}µ ÌÐÐÒ ÐÐ ÓÒ ÖØÝ Ø ÒÙÑÖØ D1,...,Dr Ó Ø ÓÓ ØÙÚ ÓÒÓ ÒÖÓ ÒÙÐÐ ÒÓÒ¹ Ö ØÝ ǫ D1 D2 Dr D1D1 D1D2 D1Dr D2D1 µ ÃÙØÒ ÒÖÓØÙ ÓÒÓ ÓÒ ÑÙÐÓ ÝÒ Ò Ó ØØ Ò Ð ÒÒÒ Ó ÔØÖÑÒ Ø Ø ÚÐÒÒØ ØÒ ÓÐÑÓ ÒÙÒ ÓÓÓÒÓÒ ÐÑ ¹ ÑÐÐ ØÚÐÐ ÑÖ Ó ÓÐÑÓ ÒÙÐÐ ÓÒ ÓÒÓ D1D3D2 ÒÒ Ò ÑÑ Ö¹ ØÝÑ ÚÐØÒ ÚØÓØÓ ½ ØÓ ÚØÓØÓ ÓÐÑÒÒ ÚØÓØÓ ¾ ÐÐ ØÑ Ð ÒØ ÓØÒÙØ Ò ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÒÖÓÒ ÙÖÚ ÓÓÓÒÓ D1D3D3 ÐÓØØÒ ÐÙ Ø ÂÓ ÓÓÓÒÓ ÓÒ ÔÐÔÓ Ó Ó Ò Ó Ò ÓÒ ÓÒ ØÐÒØ Ò ÐÒ ÙÙÖ ÓÓ ÑÙÐÓØÙ Ð ÒØ ÝØØÒ ÒÖÓÒ ÙÖÚ ÓÒÓ ËÐÚ Ø ØÑ Ý ØÑØØÒÒ ÓÒÒ Ð ÒØÓÒ ÐÔÝÒØ ÓØ ÓÒÒ ÝÚ ÝÑÒ ÝØÓÒÓÒ Ó ÚÒ Ó ÓÒÐÐ ÓÒ ÝØØÒ ÝÚ ÝÚ Ð ÒØ ÂÓ ÝÚ ÝÚ Ð ÒØ ÓÐ ÓÒ ÔÝ Ý ÑÖ ËÑÙÐÓÒ ÐÐ ÓÐÚ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÐÒ (0 1) 100(0 1) ØÙÒÒ ØÙ ÓÒØØ ØÖÑÒ Ø Ø ÆÝØ mx δ(q, ) = δ(q0, 1) = 2 ÓØÒ ØÖÚ¹ D3 ØÒ ÔÙÓ Ø D1 D2 ÌÖ ØÐÐÒ ÑÙÐÓÒØ ÝØØÐÐ 1100 ÐÙ ¹ ØÙ ÓÒ init ÓÔÓ ÝØØÒ ÒÙÐÐ ¾ Ò ÑÑ Ò ÖØÝÑÓÒÓÒ ǫ ÒÙÐÐ ÌÐÐ ØØÒÒ Ô Ø ÑÒÒ ÓØÒ Ð ÒØ ÔØØÝÝ Ø ÐÙ ØÙ ÓÒ ÒÖÓ ÙÖÚÒ ÖØÝÑÓÒÓÒ D1 ÒÙÐÐ ÆÙ ¾ ÐÙ ØØÒ Ò ÙÙ¹ ØÒ ÐÐ ÐÐÒÒ Ð ÒØ ÓÐ ÚÓÒÙØ ÓØ Øµ ÆÝØ ÑÙÐÓÒØÓÒ ÐÙ ½ ÝØÑÖÒ ÙÓÖØØ ÝÒ ÖØÝÑÒ ÑÙØØ Ð ÒØ ØÒ ÆÒ ØØÒ ÙÒÒ ÒÖÓÒ ÖØÝÑÓÒÓ D1D2D1D1 ÓÐÐ Ô ØÒ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØ¹ ÐÒ ÄØØÓÑØ ÖØÝÑÓÒÓØ ÙØÒ D2D2 ÓØØÒ ÚÐØØÑ Ø ÃÙÚ ÓÒ ØØØÝ ÑÙÐÓÒØÓÒÒ sim ÖÒÒ ½ ÒÙÒ Ó Ø ÐÒÒ ÓØÒ ÙÚ ÓÒ ØØØÝ ÚÒ ¾ ÒÙÒ ÖØÝÑÙÒØÓØ ËÖØÝÑ (?/?,?), (< / <, L) ÙÚ Ø ØØ ÒÙÒ ÝØØÒ ÐÓÔÔÙ ÓÒ ÔÝ ØÝÝ ÖÔÔÙÑØØ Ø ÑØ ¾ ÒÙÐÐ ÓÐ ËÑ ØÔØÙÙ ÙÒ ÒÙ ØÖÓ ÐØÓÒØ ÖØÝÑ (</<,L ( 0/0,R),(D1/D1,R) (1/1,R),(D1/D1,R) 1 ),(D1/D1,R) (0/0,R),(D2/D2,R) (?/?,?),(</<,L) (1/1,R),(D2/D2,R) (0/0,R),(D1/D1,R) 2 3 ( </<,L),(D1/D1,R) ( 1/1,R ),(D1/D1,R) (?/?,?),(D2/D2,R) (?/?,?),(</<,L) ( </<,L ),(D1/D1,R) ( 1/1,R ),(D1/D1,R) (?/?,?),(D2/D2,R) (?/?,?),(</<,L) ( 0/0,R ),(D1/D1,R) ÊÓØØÑØØÓÑØ ÓÒØ Ø Ø ÐÓÔØ ÊÓØØÑØØÓÑØ ÐÓÔØ ÙÒÖ ØÖØ ÖÑÑÖ µ Ð ÝÐ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ý ØÑØ ØÖÒ ÖÛÖØÒ Ý ØÑ µ ÝÐ ØØÒ ÓÒØ ØØØÓÑ ÐÓÔÔ ÐÐÑÐÐ ÔÖÓÙØÓ ÝÒ ÚÐ¹ Ò Ò ÑÒ ØÒ ÚÐ Ø ÔØØ Ø ÓÓ ØÙÚÒ ÑÖÓÒÓÒ ÓÖÚÑÒÒ ØÓ ÐÐ Ñ ØÝÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐµ Ñ B BC d B ǫ ÓÚØ ÒÝØ ÐÐØØÙ ÒØ ÑÙØØ ǫ A ÓÐ ÒÒØ ÑÙÓØÓ ω ω Ñ ω, ω V V ÓÓ Ó ØÓµ ω ǫ ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁËÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ ÌÖ ØÙÐÓ ÃÐ ÚÓÒ ØÙÓØØ ÖÓØØÑØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ Ó ÚÒ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÅÖØÐÑ ÊÓØØÑØÓÒ ÐÓÔÔ ÓÒ ÒÐÓ Ñ V ÓÒ ÐÓÔÒ Ó ØÓ G = (V, Σ, P, S), Σ V ÓÒ ÐÓÔÒ ÔØÑÖÒ ÓÙÓ N = V \ Σ ÓÒ ÚÐ¹ ÑÖÒ Ø ¹ ÝÑÓÐÒ ÓÙÓ P V + V ÓÒ ÐÓÔÒ ÒØÒ Ø ÔÖÓÙØÓÒ ÓÙÓ V + = V {ǫ}µ S N ÓÒ ÐÓÔÒ ÐØ ÝÑÓÐ ÈÖÓÙØÓØ (ω, ω ) P ÑÖØÒ ØÚÐÐ Ø ω ω ÅÖÓÒÓ γ V ØÙÓØØ Ø ÓØ ÙÓÖÒ ÑÖÓÒÓÒ γ V ÐÓÔ G ÑÖØÒ γ G γ Ó ÚÓÒ ÖÓØØ γ = αωβ γ = αω β α, β, ω V ω V + µ ÐÓÔ ÓÒ ÔÖÓÙØÓ ω ω ÂÓ ÐÓÔÔ G ÓÒ ÝØÝ Ø ÐÚ ÑÖØÒ Ý ÒÖØ Ø γ γ ÅÖÓÒÓ γ V ØÙÓØØ Ø ÓØ ÑÖÓÒÓÒ γ V ÐÓÔ G ÑÖØÒ γ γ G Ó ÓÒ ÓÐÑ ÓÒÓ V Ò ÑÖÓÒÓ γ0, γ1,...,γn n 0µ ØÒ ØØ γ = γ0 G γ1 G... G γn = γ. ÂÐÐÒ Ó G ÓÒ ÝØÝ Ø ÐÚ ÑÖØÒ Ý ÒÖØ Ø γ γ ÅÖÓÒÓ γ V ÓÒ ÐÓÔÒ G ÐÙ ÓÓ Ó ÓÒ S γ G ÈÐ ØÒ ÔØÑÖ Ø ÓÓ ØÙÚ GÒ ÐÙ ÓÓ x Σ ÓÒ GÒ ÐÙ ÃÐÓÔÒ G ØÙÓØØÑ Ø ÙÚÑ Ð L(G) ÓÓ ØÙÙ GÒ ÐÙ Ø Ó L(G) = {x Σ S x}. G ÑÖ ÊÓØØÑØÓÒ ÐÓÔÔ ¹ÓÒØ ØØØÓÑÐÐ ÐÐÐ { k k c k k 0} ÑÖ ÐÙ Ò cc ÓØÓ S LT ǫ T ABCT ABC BA AB CB BC CA AC LA A B B C c cc cc. S LT LABCT LABCABC LABACBC LAABCBC LAABBCC ABBCC BBCC BCC CC cc cc. ÄÙ ÂÓ ÓÖÑÐ Ð L ÚÓÒ ØÙÓØØ ÖÓØØÑØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ G = (V, Σ, P, S) ÐÒ L ØÙÓØØÚ ÖÓØØÑØÓÒ ÐÓÔÔ ÅÙÓÓ ØØÒ ÐÒ L ØÙÒÒ ØÚ ÒÙÒÒ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ G ÙÖÚ Ø ÆÙÐÐ ½ ÓÒ ÐÝØØ ÓÔÓØ ÝØÓÒÓ Ø

50 ½¼ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁËÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½½ ÆÙÐÐ ¾ ÓÒ ÙÐÐÒ ØÐÐ ÓÒ GÒ ÐÙ ÓÓ ÓØ ÓÒ ÔÝÖ ÑÙÙÒ¹ ØÑÒ ÝØÓÒÓÒ ÑÙÓØÓ ÌÓÑÒØÒ ÐÙ G ÖÓØØ Ó ÒÙÐÐ ÐÓÔÒ ÐØ ÝÑÓÐÒ S ÃÓÒÒ G Ð ÒØ ÓÓ ØÙÙ Ú Ø ÃÙ Ò Ú ÓÒ µ Ú Ó ÒÙÒ ÒÙÔÒ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÓÓÒÒ ÓØÒ ÒÙÐ¹ Ð µ ÚÐØ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÓÒÒ GÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÓØ ÝÖØØ ÓÚÐØ ÚÐØØÙÙÒ ÒÙÒÓØÒ ÔÖÓÙØÓØ ÓÒ ÓÓØØÙ GÒ ÖØÝÑÙÒØÓÓÒµ µ Ó ÔÖÓÙØÓÒ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÔ ÝØÒ ÒÙÐÐ ÓÐÚÒ ÑÖÒ Ò G ÓÖÚ Ó ÑÖØ ÔÖÓÙØÓÒ ÓÒ ÔÙÓÐÒ ÑÖÐÐ Úµ ÚÒ ÐÓÔÙ G ÚÖØ Ý ¹ Ó ÒÙÒ ÑÖÓÒÓ ØÓ Ò¹ Ó ÓÒÓØ ÓÚØ ÑØ ÓÒ ÖØÝÝ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÔÝ ØÝÝ ÑÙÙØÒ ÐÓØØ ÙÙÒ ÚÒ ÓØ µµ ÄÙ ÂÓ ÓÖÑÐ Ð L ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÚÓÒ ØÙÓØØ ÖÓØØÑØØÓÑÐÐ ÐÓÔÐÐ ÌÓ ØÙ ÇÐÓÓÒ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó) ÐÒ L ØÙÒÒ ØÚ ØÒÖÑÐÐ¹ ÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÅÙÓÓ ØØÒ ÐÒ L ØÙÓØØÚ ÖÓØØÑØÓÒ ÐÓÔÔ G ÙÖÚ Ø Á ÃÐÓÔÒ G ÚÐ ÓØØÒ ÑÙÒ ÑÙ µ Ò ØÐÓ q Q Ù ØÚØ ÝÑÓÐØ ÃÓÒÒ ØÐÒÒ (q, uv) ØØÒ ÑÖÓÒÓÒ [uqv] Ò ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÔÖÙ ØÐÐ GÒ ÑÙÓÓ ØØÒ ÔÖÓÙØÓØ ÓÒ Ò Ó Ø [uqv] [u q v ] Ó (q, uv) (q, u v ). G ËØÒ ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ x Ó ÚÒ Ó ÓÐÐÒ u, v Σ [q0x] G [uqý v] ÃÒ ÐÓÔÔÒ G ØÙÐ ÓÐÑ ÖÝÑ ÔÖÓÙØÓØ Ä q1 q0 δ q2 ÃÙÚ ½ ÊÓØØÑØØÓÑÒ ÐÓÔÒ ØÙÓØØÑÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÑÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ½ ÈÖÓÙØÓØ ÓÐÐ ÐØ ÝÑÓÐ Ø S ÚÓÒ ØÙÓØØ Ñ ØÒ ÑÖÓÒÓ ÑÙÓØÓ x[q0x] Ñ x Σ [ q0 ] ÓÚØ GÒ ÚÐØ ¾ ÈÖÓÙØÓØ ÓÐÐ ÑÖÓÒÓ Ø [q0x] ÚÓÒ ØÙÓØØ ÑÖÓÒÓ [uqý v] Ó ÚÒ Ó ÝÚ ÝÝ xò ÈÖÓÙØÓØ ÓÐÐ ÑÙÓØÓ [uqý v] ÓÐÚ ÑÖÓÒÓ ÑÙÙØØÒ ØÝ ÑÖ¹ ÓÒÓ ÃÐÒ L() ÙÙÐÙÚÒ ÑÖÓÒÓÒ x ØÙÓØØÑÒÒ ØÔØÙÙ ØÐÐÒ ÙÖÚ Ø S (1) x[q0x] (2) x[uqý v] (3) x. Ì ÑÐÐ Ø ÑÖØÐÐÒ G = (V, Σ, P, S) Ñ V = Γ Q {S, T, [, ], EL, ER} {A Σ}, ÔÖÓÙØÓØ P ÑÙÓÓ ØÙÚØ ÙÖÚ Ø ÓÐÑ Ø ÖÝÑ Ø ½ ÐÙØÐÒØÒ ØÙÓØØÑÒÒ S T[q0] T ǫ T TA ( Σ) A[q0 [q0a ( Σ) A A (, Σ) A] ] ( Σ) ½¾ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁËÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ ¾ Ò ÖØÝÑÒ ÑÙÐÓÒØ, Γ c Γ {[}µ ËÖØÝÑØ ÄÓÔÔÙØÐÒØÒ ÚÓÙ ÈÖÓÙØÓØ δ(q, ) = (q,, R) q q δ(q, ) = (q,, L) cq q c δ(q, >) = (q, >, R) q[ [q δ(q, <) = (q,, R) q] q ] δ(q, <) = (q,, L) cq] q c] δ(q, <) = (q, <, L) cq] q c] qý ELER qý [ ER EL EL ( Γ) [EL ǫ ER ER ( Γ) ER] ǫ ÑÖ ½¼ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÚÐÓÔÔ ÓÓÒ ÓÒ Ð ØØÝ ÐØ ÝÑ¹ ÓÐ S ÐÐ ÒØ ÓØØ ÓÒ ØÙ ØÚÐÐÒÒ ÖÓØØÑØÓÒ ÐÓÔÔ ÃÐÓÔÒ Ó ØÓ ÓÒ V = {S, SIEEN, SIRKKALEHDET, LEHDET, V ARSI, NUPPU, PUNKUKKA, SINKUKKA, PAIV A, Y O} ÀÙÓÑ ÃÓ ØÑ ÓÒ ÚÐÓÔ¹ Ô ÑÑ ÖÓØØÐ ÔØ¹ ÚÐ ÝÑÓÐ ÒÒÝ ØÙÙ Ù Ø ÐÐ ÓÓ ÔÓÔÙÐØÓ ØÙ ÙÓÐÑÒµ S ËÁÅÆ ÈÁÎ ËÁÅÆ Ç ËÁÅÆ Ç ËÁÊÃÃÄÀÌ Ç ËÊÃÃÄÀÌ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÆÍÈÈÍ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÆÍÈÈÍ Ç ÈÍÆÃÍÃÃ Ç ËÁÆÃÍÃÃ Ç ÈÍÆÃÍÃÃ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ǫ ËÁÆÃÍÃÃ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ËÁÅÆ ǫ ÈÁÎ Ç Ç ÈÁÎ ÆÝØ ÐØ ÝÑÓÐ Ø S ÚÓÒ ÓØ Ñ ÙÖÚØ ÐÙ ÓÓ Ø S ËÁÅÆ ÈÁÎ ËÁÅÆ Ç ËÁÊÃÃÄÀÌ Ç ËÁÊÃÃÄ¹ ÀÌ ÈÁÎ ÄÀÌ ÈÁÎ ÎÊËÁ ÈÁÎ ÆÍÈÈÍ ÈÁÎ ÆÍÈ¹ ÈÍ Ç ÈÍÆÃÍÃÃ Ç ÈÍÆÃÍÃÃ ÈÁÎ ÈÍÆÃÍÃÃ Ç ËÁÅÆ ËÁÅÆ Ç ÃÓÒØ Ø Ø ÐÓÔØ ÓÒØÜØ¹ Ò ØÚ ÖÑÑÖ µ ÊÓØØÑØÓÒ ÐÓÔÔ ÓÒ ÓÒØ ØÒÒ Ó Ò ÔÖÓÙØÓØ ÓÚØ ÑÙÓ¹ ØÓ ω ω Ñ ω ω Ø ÑÓÐÐ Ø S ǫ Ñ S ÓÒ ÐØ ÝÑÓÐ Ø ÐÚÒÒØØ ÑÖÓÒÓ ÚÓ ÚÒ Ú Ó Ò ÔÒÒØÝ ÔØ ÐØ ÝÑÓÐ Ó ØÙÓØØ ǫò Ó ǫ ÙÙÐÙÙ ÐÒ Ä ÚØÒ ØØ Ó ÐÓÔ ÓÒ ÔÖÓÙØÓ S ǫ ÒÒ ÐØ ÝÑÓÐ S ÒÒÝ ÑÒÒ ÔÖÓÙØÓÒ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÃÓÒØ ØÐÐ Ø ÐØ ÓÚØ ÖÓØØÑØØÓÑÒ ÐØÒ Ó ÐÙÓ Ñ ÒÒØ ØØÓÒ ØØÐ ØØÓÒÔ ØÐ ØØÓ ØØÓ SUBJ on PREDIKAT SUBJ oli PREDIKAT SUBJ on ollut PREDIKAT SUBJ oli ollut PREDIKAT ÓÚØ ÓÒØ ØÐÐ ÓÖÑÐ Ð L ÓÒ ÓÒØ ØÒÒ Ó ÚÓÒ ØÙÓØØ ÓÐÐÒ ÓÒØ Ø ÐÐ ÐÓÔÐÐ ÆÓÖÑÐÑÙÓØÓÐÙ ÔÖÓÙØÓØ Ò ÑÙÓØÓÓÒ S ǫ αaβ αωβ Ñ A ÓÒ ÚÐ ω ǫ ËÒÒÒ A ω ÓÚÐÐÙ ÓÒØ Ø α βµ Ñ PAIV A SIEEN PAIV A SIRKKALEHTI PAIV A Y O ÒÝØ ÒØ SIEEN SIRKKALEHTI ÓÚÐØ ÚÒ ÓÒØ Ø PAIV Aǫ ÚÒ α ÑÙÓÓ Ø ÓÒØ ØÒ β ÔÙÙØØÙÙµ ÄÙ ÓÖÑÐ Ð L ÓÒ ÓÒØ ØÒÒ Ó ÚÒ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø Ô¹ ØÖÑÒ Ø ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ Ó ØÖÚØ ÒÑÔ ØÝØÐ ÙÒ ÝØÓÒÓÒ ÔØÙÙÒ ÚÖÖÒ ÓÒÐÐ ÓÐÐ ÓÐ ÑÙÓØÓ δ(q, <) = (q,, ) ÓÐÚ Ö¹ ØÝÑ Ñ <³ ÌÓ ØÙ ÓÒØ ØÐÐ Ò ÐÓÔÒ ÑÙ ÒÒÝ ÐØ ÝÑÓÐ ÚÓ ÚÒ Ú Ó ÒÒÝ ÐÐÐ ÓØÒ Ó ÐØÒ ÑÖÓÒÓ Ø ÓØ ÐØ ÝÑ¹ ÓÐ ÚÓ ÝÑÓÐÓÒÓ ÚÒ ÔÒÒØÝ Ó ÒÒÝ ÐÐÐ

51 ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁËÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ ÄÙ Ò ÓÒØ ÒÓØÒ ÐÒÖ Ø ÖÓØØÙ ÙØÓÑØ ÄÐÒÖ¹ ÓÙÒ ÙØÓÑØÓÒµ ÄÒÖ Ø ÖÓØØÙØ ÙØÓÑØØ ØÙÒÒ ØÚØ Ø ÑÐÐÒ ÓÒØ ØÐÐ Ø ÐØ ÚÓÒ ÓÒÐÑ Ä Äµ ÓÒÓ ÐÙ ÚØØÙ ÔØÖÑÒ Ñ ÚÐØØÑØÒØ Ú ÖØØ ØÖÑÒ ØÒÒ ÓÒ /A,R A/A,R B/B,R /, R /, R A/A,R B/B,R /,L /,L </A,L /,L /,L A/A,L B/B,L >/>,R A/,R B/,R </<,L ÑÖ ½½ ÌÑÑ ØØ ÐÒ L = { k k c k k 0} ÚÓ ØÙÒÒ Ø ÝØ¹ ØÒ ÚØÑ ØÐ ÑÙÙØØÒ ÑÖ A B C Ý ÖÖÐÐÒµ ÓØÒ ÓÒ ÓÒØ ØÐÐÒÒ ÎÓÒ ÒØ ÙÖÚ ÐÒ ÙÚÚ ÓÒØ ØÐÐÒÒ ÐÓÔÔ S S ǫ S SBc c cb Bc B /B,R </B,L /,R /,R A/A,R B/B,R Ñ ÑÖÓÒÓÒ ccc ÓØÓ S SBc SBcBc cbcbc BccBc ccbc cbcc Bccc ccc ÀÖÓØÙ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ø ½ ËÑÙÐÓ ÒÒØÙÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ØÓÑÒØ ÐÒ ÀÖÓØÙ ØÒ ÔØÐ¹ Ð ÓÒ ÑÙÙØÑÒ ÖÓÓ ØÒ ÓÒÒ ÖØÝÑÚÓØ ÑÙÒÒµ ÅÐ ÖÝÑ ÓÒ ØÖÔ ÓÔ ÐÓØ ÚÓÚØ ÓÒØ ÐÔÐÐ ÒÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÙ ÃÙÒ ÓÔ Ð Ú Ø ÝØ ØÐ Ý ÙÓÖØØÑ ÒÙÐÐ ØÖÚØØÚÒ ÖÓØÙ ÓÔÖØÓÒ ÖØ ÒÙÔØ ÒØ ÓÒØÖÓÐÐÒ ÓÐÐ ÙÖØÐÐÐ ÀÝÚ ÝÚ Ø ÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ ÖÔÓÖØÓ ØÙÒÒ ØÙ Ò ØÙÐÓ¹ Ø Ô Ø ÐÐ ÐÒ Ó ÐÐ ØÙÐÐµ ¾ ÅØ ÓÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ø ËÑÙÐÓ ÓÒÒ ØÓÑÒØ ÖÐ ÐÐ Ø Ø ÓÓ ØÙÚÐÐ ÑÖÓÒÓÐÐ </<,L Ä ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÐÙ ÝØÑÖÓÒÓ ÙÒÒ ÐÝØ ÔÖ Ø ¹ÖÒØ ËÝØÑÖÓÒÓØ ÓÓ ØÙÚØ ÑÖ Ø Ä ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÚÒØ Ý Ò ÝØØÒ Ò¹ ÒØÙ Ø ÒÖÐÙÚÙ Ø Ì ÓÓÒ ÐÙÙ n ÒÒØÒ ÒÖÑÙÓÓ ÑÖ¹ ÓÒÓÒ x Ó ÒØÒ ÑÖØ ÚØ ØØ ÓÚØ Ú ÑÑÐÐ ÚØÒ ÑÖØ¹ ÚØ ÓÐÐ ÂÓ n > 0 ÓÒ ÓÖÚ xò ÐÙÚÙÒ n 1 ÒÖ ØÝ ÐÐ ÂÓ n = 0 ÓÒÒ ÒÙ ÒØ ÐÐÒ Ä ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÝØØÒ ÒÒØÙÒ ÒÖÐÙÚÙÒ ÐÐ ÑÐ ÓÒ ÔÖÐÐÒÒ ÈÖØØÓÑÐÐ ÐÙÚÙÐÐ ÖÖÝØÒ ÝÐÚÒ ØÐÒ ÄÙÙ ØØÒ µ ÑÖØ ÚÒ ØØ ÓÐÐ µ ÑÖØ ÚÒ ØØ Ú ÑÑÐÐ Ä ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ {ww R w {, } } Ä ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÑÙÙÒØ ÑÖÓÒÓÒ w ÑÖ¹ ÓÒÓ ww R w {, } µ ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ Â ÃÇÆÌÃËÌÁËÌ ÃÁÄÁÇÈÁÌ ½ Ä ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ {w {, } w ÐØ ÝØ ÑÓÒØ Ø Ø} Ä ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÐÙØØÐ ÐÒ 1 n n = 0, 1,... ÒØ ÃÓÒ ÝÒÒ ØØÒ ØÝÐÐ ÝØÒÙÐÐ ÒÖÓ ÙÒÖ¹ ÐÙÙ ½ ½½ ½½½ ½½½½ ÀÙÓÑ ÃÓÒ Ó Ò ÔÝ Ýµ ½¼ Ä ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÒÖÓ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÒÖ ¹ ØÝ Ø ¼ ½ ¼¼ ¼½ ½¼ ½½ ¼¼¼ ¼¼½ ÎÓØ ØØ ÒÖÐÙÚÙØ ÚØÒ ÑÖØ Ú ØØ Ú ÑÑÐÐ ½½ Ä ¾¹ÒÙÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÝØÓÒÓÒ w {, } ½ ÒÙÐÐ ÖÓØØ ¾ ÒÙÐÐ ÓÒÓÒ w R w ÒÒØØÝÒµ ÎÓØ ÐÐ ÖØÓ ÙÙÒÒÒ ËÔÝ Ý ÔÐÐÒ ½¾ Ä ¹ÒÙÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó Ð ØØ¹Ò ¹ÓÔÖØÓÒ ÃÓÒ ÐÐ Ò ÑÑ ÐÐ ÒÙÐÐ ÒÖÓÒÓØ p q Ð ÓÐÑÒÒÐÐ ÒÙÐÐ ÒÖÓÒÓÒ p&qò ÎÓØ ÓÐØØ ØØ p q ÓÚØ ÑÒÔØÙ Ø ½ Ä ¹ÒÙÒÒ ÙÒÖÐÙÙÒ ÖØÓÐ ÙÓÒ Ó ÐÐ Ò Ñ¹ Ñ ÐÐ ÒÙÐÐ ÐÙÙÒ p q ÙÒÖ ØÝ Ø Ñ p = 5 ÐÑ ØÒ ½½½½½µ Ð ÓÐÑÒÒÐÐ ÒÙÐÐ ÒÒ ØÙÐÓÒ n = p q ÙÒÖÒ ÎÓØ ÐÐ Ö¹ ØÓ ÙÙÒÒÒ ËÔÝ Ý ÔÐÐÒ ÅØÒ ØÓØÙØØ Ø ÑÒ Ý ÒÙ ÐÐ ØÒ¹ ÖÓÒÐÐ ½ ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÔØÖÑÒ Ø Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØØ = ({q0, q1, q2, qf}, {0, 1}, {0, 1}, δ, q0, qf, qno) ÓÒ ÖØÝÑÙÒØÓ ÓÒ ÑÖØÐ¹ ØÝ ÙÖÚ Ø δ(q0, 0) = {q0, 1, R), (q1, 1, R)} δ(q1, 1) = {q2, 0, L)} δ(q2, 1) = {q0, 1, R)} δ(q1, <) = {qf, <, R)} ½ ÃÙÚ ÔÓÖÑÐ Øµ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø Ù¹ ÖÚÒ ÐÒ ÃÐÒ ÒØ ÓÚØ ÑÙÓØÓ w1#w2#...#wn ÑÐÐ ØÒ n ØÒ ØØ ÐÐ i wi {, } ÓÐÐÒ j wj ÓÒ ÐÙÚÙÒ j ÒÖ ØÝ ÀÙÓÑ ÀÝÝÒÒ ÔØÖÑÒ Ñ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÔÐÓÒ Ø ÙÓ ÓÒØØ ÓÒ ÔÓÐÙØ ÖÙØÙÚØ Ù Ò ÑÙØØ Ý ØØ Ø ÖØ ÓÚØ ÐÝÝØ ÃÓÒ ÖÚ ÓÒ ÔÓÐÙÒ ÔØÖÑÒ Ø Øµ ½ Ä ÔØÖÑÒ ØÒÒ ¾¹ÒÙÒÒ Ó ÙÑÑÓÒ Ó ½ ÒÙÐÐ ØØ x1,..., xn ÙÒÖÒ ¹ÑÖÐÐ ÖÓØØØÙÒ ¾ ÒÙÐÐ ÐÙÚÙÒ K ÙÒ¹ ÖÒ ØÙØ ÐÝØÝÝ ½ ÒÙÐØ Ó ÙÑÑ Ó ÓÒ K Ñ ÓÒÓ Ø 1#1111#11 ÐÝØÝÝ Ó ÙÑÑ K = 111 Ç ÙÑÑ ÚÐØØÚ Ô¹ ØÖÑÒ Ø Ø ØØ ÓÒ ÙÑÑ ÓÒ K Ó ÐÐ Ø ÐÝØÝÚØµ ½ ÅÙÓÓ Ø ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÐÓØØ ØÝÐØ ÒÙÐ¹ Ø ØÙÓØØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÓÒØ ½Ø ÒÙÐÐÒ ÒÒÒ ÔÝ ØÝÑ ØÒ ÃÓÒÒ ÓÒ ÔÝ ÝØØÚ ÐÓÔÙ µ ÃÓÒ ÓÓ ØÙ ÓÖÒØÒ ØÐ Ø ÝÚ ÝÚ Ø ÐÓÔÔÙØÐ Ø ¾¼ ÒÒ ÖÓØØÑØÓÒ Ø ÓÒØ ØÐÐÒÒµ ÐÓÔÔ Ó ÒÖÓ ÐÒ L = { i 2i i i > 0} ÒÒ ÑÖÓÒÓÒ ÓØÓ Ý ÐÓÔ ¾½ ÓÑ Ý Ù Ó ØØ ÐÙÓÒÒÓÐÐÒÒ Ð ÚÓÒ ÙÚØ ÓÒØ ØÐÐ ÐÐ ÐÓÔÐ¹ Ð ÓÒ ÔÖÓÙØÓØ ÚÓÒ ØØ ÑÙÓÓ S ǫ ÓÖ αaβ αωβ, Ñ A ÓÒ ÚÐ ÝÑÓÐ ω ǫ ÒÒ ÑÖ Ó ØÒ ÐÒ ÖÒØ Ø Ó ÐÐÝØØ ØÐÐ Ø ÓÒØ Ø αβ Í ÓØÓ ØØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÒ ÖÒØØ ÚÓÒ ÙÚØ ÓÒØ ØÐÐ ÐÐ ÐÓÔÐÐ ÅØ ÓÒ Ø Î ÑÙÐÓ ÓÒÒ ØÓÑÒØ ÖÐ ÐÐ ØØÓÒÓÐÐ À¹ ÐÙØ ÚÓØ ÝØØ ÂÄÈ ÔÙÒ µ ½ Ä ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ {ww w {, } } ½ ËÒÓ Ý ØØÝØ ÐÙÚÙØ ØÙÒÒ ØÚ Ø ÔØÖÑÒ Ø Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ø ÌËÌÇÅÈÇËÁÌ ÐÙÒØÓÐÚÓØ ÙÚ ½½µ ÐÙÐÙÙØ ØÒ ÙÓÖØ¹ ØÚ ÓÒ ÚØÑÐÐ Ò ÝÚ ÝÚ ÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ ÒÒ È¹ ÖÙ ØÐ Ú ØÙ

52 ½ ÄÍÃÍ ÌÍÊÁÆÁÆ ÃÇÆÌ Â ÊÂÇÁÌÌÅÌÌÇÅÌ ÃÁÄÌ ÄÙÙ ÊØÚÙÙ ÖØÑØØÓÑÙÙ Ð ÊÙÖ Ú Ø ÊÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚØ Ð¹ ÐÙÓÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ÚØ ÐØ ½ ¾¼¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ¾¼½ ÈÐÙØØÒ ÚÐ ÑÐÒ ÙÖÚØ ØØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó) ÓÒ ØÓØÐÒÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ ÝØØÐÐ ÓÖÑÐ Ð A ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÓÐÐÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÖÙÖ ÚÒÒ Ó ÚÓÒ ØÙÒÒ Ø ÓÐÐÒ ØÓØÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÈØ ÓÒÐÑ π ÓÒ ÖØÚ Ó Ø Ú ØÚ ÓÖÑÐ Ð Aπ ÓÒ ÖÙÖ ¹ ÚÒÒ ÔØ ÓÒÐÑ ÓÒ Ó ØØÒ ÖØÚ Ó Aπ ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÇÒÐÑ Ó ÓÐ ÖØÚ ÓÒ ÖØÑØÓÒ ÀÙÓÑ ÖØÑØÓÒ ÓÒÐÑ ÚÓ ÓÐÐ Ó ØØÒ ÖØÚµ ÒÐÓ ÇÐØØÒ ØØ ÙÒÚÖ ÙÑ ÓÒ ÖØÒ Ò ÓÒ ÖØØÑÒ ÑÓÒØ ØØ ÃÙ¹ ÚØÐÐÒ ØØ ÒÙÐÐ ÓÐ ÖØÒ ØØÓÒØ Ó ÐØ ØÓØ Ò ØØÒ ÓÓÖÒØ Ø ÇÐØ ÒÒÓ ØÙÒÙØ ØØÒ ÒÔÙÖ Ø ÓØ ÓÐØ ÑÖØÐÐÝØ Ù¹ ÖÚ Ø ÌØ A B ÓÚØ ÒÔÙÖØ Ó AÒ BÒ Ø ÝÝ ÓÒ ÐÐ R ÚÐÓÚÙÓØØ Ð (A, B) R ÌÖ ØÐÐÒ ÙÖÚ ÓÒÐÑ µ ÇÒÓ ÃÓÖÒØØ Ã ÒØÒ ÒÔÙÖ Ã ÒØÒ ÓÖÒØØ ÓÚØ (x, y, z) ÃÓÖÒØÒ ÓÓÖÒØØ (r, s, t) ÆÝØ Ð ØÒ ÚÒ Ø ÝÝ (x r)2 + (y s) 2 + (z t) 2 Ð ÓÒÐÑ ÓÒ ÐÚ Ø ÖØÚ Î ØÚ Ð ÓÐ LKiss = {x x ÓÒ ØÒ ÓÓ x ÓÒ Ã ÒØÒ ÒÔÙÖ} ÇÒÐÑ ÔÐÙØÙÙ ÐÒØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÃÓÖÒØØ LKissµ EI REKURSIIVISESTI LUETELTAVAT KIELET REKURSIIVISESTI LUETELTAVAT KIELET REKURSIIVISET KIELET RATKEAVAT ONGELAT OSITTAIN RATKEAVAT TÄYSIN ONGELAT RATKEAATTOAT ONGELAT µ ÇÒÓ ÃÒÒØÐÐ ÝØÒ ÒÔÙÖ ÇÐ ÃÒÒØÒ ÓÓÖÒØØ (x, y, z) ÆÝØ ÝØÚ ÔÑÑ ØÔÙ ÓÓ ØØÓÒØ ÐÔ ÃÙØÒÒ Ó ÃÒÒ¹ ØÐÐ ÓÒ ÒÔÙÖ Ñ ØØÓÒÒÒ i ØØ ÐÝØÝÝ ÖÐÐ ¹ iòòðð ÐÐÐµ ËÒ Ò ÑÑ Ó Ò ÚÖÑÙÙØØ ÑÐ ÃÒ¹ ÒØÐÐ ÓÐ ÒÔÙÖ ÇÒÐÑ ÖØ ÚÒ ÃÝÐÐ¹ØÔÙ ÑÙØØ ¹ØÔÙ ÓÒ Ó ØØÒ ÖØÚ ÀÐÙÑÑ ÖØ Ø ÐØ LKni = {x x ÓÒ ØÒ ÓÓ x ÓÒ ÃÒÒØÒ ÒÔÙÖ} Ó ÚÒ ÓÒÐÑÒ LKni µ µ ÇÒÓ ÃÒÒØØ Ý ÒÒÒ ØØ ÌÑÒ ÓÒÐÑÒ ÃÝÐÐ¹Ú ØÙ ÓÒ Ñ ÙÒ ÐÐ Ò ÓÒÐÑÒ ¹Ú ØÙ Ð ÖØÑØÓÒ ÅÒ ØÝØÝ ØÖ Ø ¹ ØØÓÒÒÒ ØØ ÓØ ÓÒ ÖØØÑÒ ÑÓÒØ Ð Ð ÒØ ÔØÝ Ó Ò ÀÐÙÑÑ ØØ ÓÒÓ LKni = µ ÃÙÚ ½ ÊÙÖ Ú Ø ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚØ ÐØ ÓØ Ú ØÚØ ÖØ¹ ÚØ Ó ØØÒ ÖØÚØ ÓÒÐÑØ ÍÐÓÔÙÓÐÐÐ ÚØ ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØ¹ ÚØ ÐØ ÓØ Ú ØÚØ ØÝ Ò ÖØÑØØÓÑØ ÓÒÐÑØ ÀÙÓÑ ØØ Ó ØØÒ ÖØÚØ ÓÒÐÑØ ÓÚØ ÖØÑØØÓÑ ÌÝ Ò ÖØÑØØÓÑ ÓÒÐÑ ÓÐ Ò ØÔÒ ÐÙÓØÐØÙ Ð ÒÒÐÐ Ò ÚÙØÒ¹ ÔÖÙ ØÐÐ ¾ Ú ÚÓ ØÐÐ ØØ ÙÖÚ ÓÒÐÑ ÓÐ ÚÐÒ ÚÑÔ ¾ ÈÖÒØ Ð ØØÚÙÙÒ ØÓÖ ÓÐÐÒ ÒÒÓ ØÙÒØ ÚÒ ØØÓÓÒÐÐ»ÌÙÖÒÒ ÓÒÐ¹ Ð ÖØÚ Ø ÓÒÐÑ Ø ÎÑ ÓÒ ÓÒ ÙØÒÒ ØØÝ ÙÙØØ ØÙØÑÙ Ø Ò ØÖÒ ÒØØ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ØÖÒ ÒØ ÓÖ ÒÒØ¹ØÑ ÌÙÖÒ ÑÒ Ð ÒØÚÓÑ Ø ÓÐÐÓÒ ÚÓÒ ÚÖØÐÐ ÖØÑØØÓÑÒ ÓÒÐÑÒ ÚÙØØ

53 ¾¼¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ¾ ÇËÁÌÌÁÆ ÊÌÃÎÌ ÇÆÄÅÌ ÄÁ ÊÃÍÊËÁÁÎÁËËÌÁ ÄÍÌÄÌÎ ÃÁÄÁ¾¼ ÄÙØØÐ ÙÒÚÖ ÙÑÒ Ý Ò Ø ØØ ÃÐÒ Lyksin = {x x ÓÒ ØÒ ÓÓ Lx = } Ñ Lx ÐØ xò ÒÔÙÖØµ ½ ÊØÚØ ÓÒÐÑØ Ð ÖÙÖ ÚÒÒ Ð A ÂÓ ÖØÚ Ø ÓÒÐÑ Ø ÑÙÓÓ ØØÒ ÓÑÔÐÑÒØØÓÒÐÑ Ø Ø ÖØÚ ¹ Ø ÓÒÐÑ Ø ÑÙÓÓ ØØÒ Ý Ø Ø ÐÙ ÓÒ ØÙÐÓ ÓÒÐÑ ÐÐÒ ÖØÚ ÌÓ Ò ÒÓÒ ÖÙÖ Ú ÐÐ ÐÐÐ ÔØÚØ ÙÖÚØ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ ÄÙ ÇÐÓÓØ A, B Σ ÖÙÖ Ú ÌÐÐÒ ÑÝ µ Ā = Σ A µ A B µ A B ÓÚØ ÖÙÖ Ú ÌÓ ØÙ µçðóóò A ØÓØÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ A Ø L(A) = Aµ ÃÐÒ Ā ØÙÒÒ ØÚ ØÓØÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ò ÚØÑÐÐ AÒ ÝÚ ÝÚ ÝÐÚ ÐÓÔÔÙØÐ ÒÒ A ÃÙÚ ¾ ÊÙÖ Ú Ò ÐÒ ÓÑÔÐÑÒØÒ ØÙÒÒ ØÑÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ µçðóóø A B ØÓØÐ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÓØ ØÙÒÒ ØÚØ ÐØ A B Ø L(A) = A L(B) = Bµ ÃÐÒ A B ØÙÒÒ ØÚ ØÓØÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ò Ý ØÑÐÐ A B ØÓÑÑÒ ÔÖÒ Ó A ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ ÑÝ ÝÚ ÝÝ Ó A ÔØÝÝ ÝÐÑ Ò ÓÐÐÒ ÚÐ BØ ÀÙÓÑ ÌØ ÚÖØÒ AÒ ØØØÚ ÔÝ ØÝ ÒÙÐÐ ÐÙÔÖÒÒ ÝØÓÒÓ Ó ÑØØÓÑÒ ÚÓØØÚ ÓÑØ ÐÒ µ µ A BÐÐ Ò ØÓØÐÒÒ ØÙÒÒ ØÓÒ ÅÓÖÒÒ ÚÙÐÐ A B = Ā B Ì ÑÙÓÓ ØØÒ Ò Ò ÓÑÔÐÑÒØØÓÒØ A B Ý ØØÒ Ò ÓÒ A B ÑÙÓÓ ØØÒ ÚÐ ØÑÒ ÓÑÔÐÑÒØØÓÒ A B ÃÙÚ ÃÒ ÖÙÖ Ú Ò ÐÒ Ý ØÒ ØÙÒÒ ØÑÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÌØÚ ÈÖÖ ÓÒ A B µ ¾ Ç ØØÒ ÖØÚØ ÓÒÐÑØ Ð ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ð ÊÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚØ ÐØ Ú ØÚØ ÔØ ÓÒÐÑ ÓÐÐ ÚÓÒ ÖÒØ ÒÒ ÝÚ ÝÚ ØÔÙ ÔÝ ØÝÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÅÐ ÓÒ ÔÝ ØÝÝ ÑÝ ÝÐÚ ØÔÙ ÓÒ Ð Ð ÖÙÖ ÚÒÒ ÌÓ Ò ÒÓÒ Ó ÚÓÑÑ ÐØ ÃÝÐÐ¹ØÔÙ ÔÝ ØÝÚÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÐÐÐ L ØØ Ò ÓÑ¹ ÔÐÑÒØØÐÐÐ L ÑÑ ÓÒ Ø Ý ØÑÐÐ ØÓØÐ Ò ØÙÒÒ ØÓÒÒ ÐÐÐ L ÊÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚØ ÐØ ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ÑÝ ÚØÓØÓ ÐÐ ØÚÐÐ Ó¹ ÚÒÒÓÐÐ Ø ÔÖÑÑÒ ÐÐÙÓÒ ÒÑØÝ Ø ÃÐ ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØ¹ Ú Ó ÚÒ Ó ÚÓÑÑ ÐØ ÐÐ Ò ÐÙØØÐÓÒØÓÒÒ ÒÙÑÖØÒ ÑÒµ Ó ÐÙØØÐ ÐÒ ÒØ ÃÓ Ð ÓÒ ÖØÒ ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÔÝ Ý Ó Ò ÇÐØØÒ ØØ ÑÐÐ ÓÐ ÓÒ Ó ÐÙØØÐ ÐÒ A ¹ ÒØ ÃÐÒ A ØÙÒÒ ØÙ ÓÒ Ò ÒÝØ ÙÖÚ Ø ÐÙØÐÐÒ ÐÒ ÒÓ¹ ÚÖÖØÒ ÒØ ØÙÒÒ ØØØÚÒ ÑÖÓÒÓÓÒ x ÅÐ x ÙÙÐÙÙ ÐÒ ØÙÐ ÒÒÑÑÒ Ø ÑÝÑÑÒ ÐÙØÐÐÙ ÑÙØØ Ó x ÙÙÐÙ ÐÒ ØÙÒ¹ Ò ØÙ ÓÒ ÔÝ Ý Ó Ò ÂÓ ÑÐÐ ÓÐ Ð ÐÒ ÓÑÔÐÑÒØÒ A ÒØ ÐÙØØÐÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÖØ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÙÑÑ Ò ØÔÙ ¹ ÌÓ ÐØ Ó ÑÐÐ ÓÒ ÐÒ ØÙÒÒ ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÒÒ ÝÚ ÝÚ ØÔÙ ÚÓÑÑ ÐØ ÐÒ ÐÙØØÐÓÒØÓÒÒ ÁÒ ÓÒ Ò¹ ÖÓ ÑÓÐÐ Ø Ó ØÓÒ ÑÖÓÒÓØ ÓØ ÓÒ ÖØØÑÒ ÑÓÒØµ ØÖ Ø ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÒ ÚÙÐÐ ÙÙÐÙÙÓ ÒÖÓØÙ ÑÖÓÒÓ x ÐÒ ÅÐ B ¾¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ¾¼ x ÙÙÐÙÙ ÐÒ ØÙÐÓ ØØÒ ÌÓ ØÙ Ò Ý ØÝ ÓØ ÐÝØÝÚØ Ñ ËÙ¹ ÑÔÒ Ö Ø ÐÙÙ µ ÂÓ ÑÐÐ ÓÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÓØ ÔÝ ØÝÚØ ÃÝÐÐ¹ØÔÙ ÑÙØØ ÚØ ÚÐØØÑØØ ¹ØÔÙ µ A B ÒÒ ÚÓÑÑ ÑÙÓÓ Ø ÑÝ ÒÒ Ý Ø¹ ÐÙ ÓÒØ A B A B Ì ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚÐÐ ÐÐÐ ÔØÚØ ÙÖÚØ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ ÄÙ ÇÐÓÓØ A, B Σ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÌÐÐÒ ÑÝ A B A B ÓÚØ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ A Ā ÌÓ ØÙ ÀÌ ÀÙÓÑ ÊÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚÐÐ ÐÐÐ Ô ØØ ÓÑÔÐÑÒØØÐ ÓÐ ÚÐØ¹ ØÑØØµ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ì Ó ÑÐÐ ÓÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ A Ó ØÙÒ¹ Ò Ø ÐÒ A ÔÝ ØÝÝ ÃÝÐÐ¹ØÔÙ ÑÙØØ ÚÐØØÑØØ ¹ØÔÙ ÒÒ ÑÑ ÚÓ ÑÙÓÓ Ø ÓÒØØ A Ó ÔÝ ØÝ ÃÝÐÐ¹ØÔÙ ÐÐ ÝØØÐÐ Å ËÙÖÚ ØÖ ØÙÐÓ ÒØ ÑÐÐ ÒÓÒ ØÙÒÒ Ø ÑÐÐÓÒ ÓÒÐÑ ÓÒ ÖØÚ ÄÙ ÃÐ A Σ ÓÒ ÖÙÖ ÚÒÒ Ó ÚÒ Ó ÐØ A Ā ÓÚØ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÌÓ ØÙ ÙÖ ÐÙ Ø ½ µ ÇÐÓÓØ A Ā ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÐØÒ A Ā ØÙÒÒ ØÑ Ò ÃÐ¹ Ð x Σ ÓÓ A Ø Ā ÔÝ ØÝÝ ÝÚ ÝÝ xò ÅÙÓÓ ØØÒ A Ā ÖÒÒÒ Ý ØÑÐÐ ØÓØÐÒÒ ÒÙÒÒ ØÙÒÒ ØÓÒ ÑÙÐÓ Ý ÒÙÐÐÒ ÓÒØØ A Ó ÒÙÐÐÒ ÓÒØØ Ā ÂÓ Ý ÑÙÐØÓ ÔÝ ØÝÝ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ Ó Ø Ó ÑÙÐØÓ ÝÚ ÝÝ ÝÐ ÝØØÒ ÀÙÓÑ ÎÓÒ ØÓØÙØØ ¾¹ÒÙ Ò ÓÒÒ Ó ÖÒÒ Ø ÑÙÐÓ ØÓ ÐÐ ÒÙÐÐÒ AÒ ØÓ ÐÐ BÒ Ð ÒØ ÂÓ A ÔÝ ØÝÝ ÝÚ ÝÚÒ ØÐÒ ÒÒ ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ Ó Ø B ÝÚ ÝÝ ÝØØÒ ÒÒ ÝÐ Ò ËÙÖÙ ÂÓ A Σ ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ð Ó ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÒÒ Ð Ā ÓÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ø ÓÒÐÑ ÓÒ ØÝ Ò ÖØÑØÓÒµ ÃÙÚ ÌÓØÐ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÑÙÓÓ ØÑÒÒ Ø ÖÒÒÒ ØÓÑ¹ Ú Ø ÓÒ Ø ÊØÑØØÓÑÙÙ ÒØÓÖÒ ÓÒÐÖÙÑÒØÒ ÔÖÙ ØÐÐ ØÑÑ ØØ ÓÒ ÓÐÑ ÖØÑØ¹ ØÓÑ ÓÒÐÑ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÚÙÐÐ ÔØØÐÝ ÓÐ ÙÖÚ ½µ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÓÚØ ÖÐÐ ¾µ Ë Ô ÚÓÑÑ ÐÙØÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÙÓ ÓÒ ÒÙÑÖÓØÙÚ Ø ÖØÒµ µ ÃÒ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓ ÚÓ ÓÐÐ ÒÙÑÖÓØÙÚ Ö Ò ÔØ¹ ÓÒÐÑÒ Ø ÐÒØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑÒ ÓÙÓ ÓÒ ÝÐÒÙÑÖÓØÙÚµ ÇÒ ÓÐÑ ÓÒÐÑ ÓÐÐ ÓÐ ÓÐÑ ÖØ Ú ÌÙÖÒÒ ÓÒØØ ÑØÒ ÑÙÙØÒ Ð ÒÒÐÐ Ø ÖØ Ù ÙÖÒ¹ÌÙÖÒÒ Ø Ò ÑÙÒµ ÀÐÙÑÑ ÓÒÖØØ Ò ÑÖÒ ØÝ Ò ÖØÑØØÓÑ Ø ÓÒÐÑ Ø ÊÓØØÑØØÓÑÐÐ ÐÐÐ ÓÐ ÓÐÑ ÓÑ ÈÙÑÔÔÙ ÐÑÑ ÑÙØØ ÚÓÑÑ ÐØ ÝØØ ÓÒÐÖÙÑÒØØ ÎÐØÐÒ ÔÖÓ µ ÐÐ Ò ÓÒ ØÖÙÓÑ Á ½ ÌÒ Ú ØÚØ ØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÝÒÚØ ÖØ ÑÒ ÑØ ØÒ ÑÝ Ø Ò Ó Ú Ý ÝÑÝ ¾ ÅÙÓÓ ØØÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ Ó ÔÝ Ý ÔÝ Ý Ó ÔÝ ØÝÝ

54 ¾¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÍÆÁÎÊËÄÁÃÇÆ Â ÍÆÁÎÊËÄÁÃÁÄÁ ¾¼ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓÙ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ØØÓÒÓÒµ ÌÖ ØÐÐÒ ØÒÖÑÐÐ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØØ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó), ÓÒ ÝØÓ ØÓ ÓÒ Σ = {0, 1} ÇÐ Q = {q0, q1,...,qn} Ñ qý = qn 1 qòó = qn Γ {>, <} = {0, 1,...,m} Ñ 0 = 0 1 = 1 2 = > 3 = < ÃÙÚ ÍÒÚÖ ÐÓÒ U ØÙØ ÑÙÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÝØØÝØÝÑ Ø Ò¹ ÒØÙÐÐ ÝØØÐÐ ËÒ ÊÊ Ð ÓÐØÙ Ô Ò Ò ØÝØÝÝ ÑÖØÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÝÒ ØÙØÑÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ¹ Ò ÓÑÒ ÙÙ Ø ØÙÐØ ÌÅÒ ÓÓ ÒØµ ÌÐÐ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØØ ÙØ ÙØÒ ÙÒÚÖ ÐÓÒ ÍÒÚÖ ÐÓÒ ÙÒÚÖ ÐÐ ÍÒÚÖ ÐÓÒ ÝØØÒÒ ÓÒÒ ÓÓÒ ØÑÒ ÝØØÒ w ÔÝ ØÝÝ ÚÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÝØØÐÐ w ØÙÐÓ Ø ÑÒ ÑØ ØÙÐÓ Ø ÝØØÐÐ w Ã ØØÚ ØÔ ÓÓØ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ØÒ ØØ ÚÓÑÑ ØØ ÑÒ ØÒ ÌÅÒ ÖÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÓÓÒ ÙÒÚÖ ÐÓÒ ÝÒ ÔÙÖÑÒ ÓÓÒ ÖØØ ÓÓØ ÌÅÒ ÖØÝÑÙÒØÓ ÙÚ ÓÒÒ ØÓÑÒÒÒ ØØ Ú ØÐØ ÒÑØØ Ò ÙÙÐÐÒµ ÅÖ 0 = L 1 = R ÅÖØÐÐÒ ÐÐ ÒÐÐ ÓÑØ ÓÓØ ÓØØ Ô ØÒ ÓÓÑÒ ÖØÝÑÙÒ¹ ØÓØ ÃÓÓØÙÐÙ q0 ¼ q1 ¼¼ q2 ¼¼¼ ÌÐØ qn 1 = qyes 0 n qn = qno 0 n+1 ¼ ¼ ½ ¼¼ ¼¼¼ ÅÖØ ¼¼¼¼ Γ {>, <} = m 0 m+1 ËÙÙÒÒØ Ä ¼ Ê ¼¼ ÂÓÒÒ ÖØÝÑÙÒØÓÒ δ ÖÚÓ Ø ÚÓÒ ÒÝØ ÓÓØ ÙÖÚ Ø ËÒÒÒ δ(qi, j) = (qr, s, t) ÓÓ ÓÒ cij = 0 i+1 10 j+1 10 r+1 10 s+1 10 t+1. Ø cij = 1(qiÒ ÓÓ)1(jÒ ÓÓ)1(qrÒ ÓÓ)1(sÒ ÓÓ)1( tò ÓÓ) ¾¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÍÆÁÎÊËÄÁÃÇÆ Â ÍÆÁÎÊËÄÁÃÁÄÁ ¾¼ ÃÓÓ ÓÒÒ ÓÓ Ò Ý ØÑÐÐ Ò ÖØÝÑÙÒØÓÒ ÖÚÓÒ ÓÓØ Ý ÒÖÓÒÓ ÝØØÒ ÖÓØÒÑÖÒ ½½Ø Ð ÓÒ ÐÙ¹ ÙÒ ÐÓÔÙÙÒ ÓÒÓØ ½½½ ÃÓÒÒ ÓÓ ÓÒ c = 111c0011c c0m11c c1m cn 2, cn 2,m111. ÑÖ ½ ÃÐÒ {0 2k k 0} ØÙÒÒ ØÚÒ ÓÒÒ ÓÓ ÓÐ c = 111 } {{} 11 } {{} δ(q0,0)=(q1,0,r) δ(q0,1)=(q3,1,r) </<, L q0 (q2) 0/0, R 0/0, R 1/1, R q1 (q3) </<, L 1/1, R ÃÙÚ ÃÐÒ {0 2k k 0} ØÙÒÒ ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÂÓ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒØØ Ú Ø ÓÓ c ÂÓ Ò ÒÖÓÒÓÓÒ c ÚÓÒ ÐØØ ÓÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ c ÀÙÓÑ ÒÖÓÒÓÒ ÓØ ÚØ ÓÐ ÐÐ Ò ÓÓÙ Ò ÑÙ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ ÐØØÒ ÓÒ ØÖÚÐ ÝØØØ ÝÐÚ Ð ¹ÐÒ ØÙÒÒ ØÚµ ÓÒ ØÖÚ ÅÖØÐÐÒ { ÓÒ ÓÐÐ c = c Ó c ÓÒ ÐÚÓÐÐÒÒ ÓÓ c = ÓÒ ØÖÚ ÑÙÙØÒ ËÒ ÐÙØØÐÓ Ø Ó ØÓÒ {0, 1} ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ø Ô ÙÓÖ Ø ÑÝ Ø Ó ØÓÒ {0, 1} ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ø Ð Ø ÃÙÚ ÓÒÐÓÒ D ÔÓ Ð ÓÑ ÓÐÑ ÓÐÓÒ ËÒ ØÙÐ ØÙÒ¹ Ò Ø ÐÐ ØÒ ÓÒÒ ÓÓØ ÓØ ÚØ ÝÚ Ý ÓÑ ÓÓÒ ÅØÒ Ý DÒ Ø ØÙØ ÐÙ Ó Ò ÔØ ØÙØ ÓÑ ÓÓÒ ¾ ÃÓÒØ ÓÚØ Ú ØÚØ ÐØ ÓÚØ ǫ, 0, 1, 00, 01,..., L(ǫ), L(0), L(1), L(00), L(01),... Ò Ø ÒÓÒ Ö ØÝ µ ÀÙÓÑ ÃÙÒ Ð ÚÓ ÒØÝ ÐÙØØÐÓ ÑÓÒØ ÖØ ÑÒ ÐÒ ÚÓ ØÙÒÒ Ø Ù ÐÐ ÓÒÐÐµ ÑÖ ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ø Ð Ø ÆÝØ ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ð Ø ÖØÑØÓÒ ÓÒÐÑµ ÓÒÐØÒÐÐ ÄÑÑ ÃÐ ÓÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ D = {c {0, 1} c / L(c)}

55 ¾½¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÍÆÁÎÊËÄÁÃÇÆ Â ÍÆÁÎÊËÄÁÃÁÄÁ ¾½½ ÌÓ ØÙ ÇÐØØÒ ØØ ÓÐ D = L() ÓÐÐÒ ØÒÖÑÐÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÇÐÓÓÒ d ÓÒÒ ÒÖÓÓ Ó D = L(d) ÌÐÐÒ ÓÒ d D d / L(d) = D. Ê ØÖ Ø ÙÖ ØØ Ð D ÚÓ ÓÐÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÃÐØ D Ú ØÚ ÔØ ÓÒÐÑ ÀÝÐ ÒÒØÙÒ ÓÓÒ c ØØÑ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÝØØÒ c ÃÐÒ D ÑÙÓÓ ØÑÒÒ ÙÚÐÐ Ø Ó ÐØÒ L(ǫ) L(0) L(1) ÖØÖ Ø Ø ÙÒØÓØ ØØÒ ØÙÐÙÓÒ ÒÒ Ð D ÔÓ Ù ØÒ Ð Ø ØÙÐÙÓÒ ÓÒÐÐÐ D ց L(ǫ) L(0) L(1) L(00) ǫ 0 0 ½ ¼ ÍÒÚÖ ÐÐÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ÅÖØÐÑ Ó ØÓÒ {0, 1} ÙÒÚÖ ÐÐ U ÓÒ U = {cw w L()}, ¼ 1 1 ½ 0 Ñ c ÓÒ ÓÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ w {0, 1} ÓÒ ÓÒ ÑÖ¹ ÓÒÓ ÇÐÓÓÒ A ÓÒ Ó ØÓÒ {0, 1} ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ð ÓÐÓÓÒ ÐÒ A ØÙÒÒ ØÚ ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÌÐÐÒ ÓÒ A = {w {0, 1} cw U}. Ì ÙÒÚÖ ÐÐ ÐØ ÐÐ Ø ÓÒÓÓ¹ ÝØ¹ÔÖÒ ÑÙÓÓ Ø¹ ÑØ ÑÖÓÒÓØ Ñ Ý ÒÒ ÓÒ ÝÚ ÝÝ Ý Ò ÝØØÒ ËÒ ÓÒ ØÐÐÒÒØØÙ ØØÓ Ø ÑØ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÚÓÚØ ÖØ Ø ÅÝ Ð U ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÃÐÒ U ØÙÒÒ ØÚ ÌÙÖÒÒ ÓÒ¹ Ø ÒÓØÒ ÙÒÚÖ Ð ÌÙÖÒÒ ÓÒ ËÒ Ò U ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ Ò ÓÑÔÐÑÒØØÐ U ÖÙÖ Ú ¹ Ø ÐÙØÐØÚµ ÇÆÄÅÆ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍÆ ÌÍÆÆÁËÌÍË ÇÆ ÄËÃÆÆÄÄÁËËÌÁ ÊÌÃÅÌÇÆ ÇÆÄÅ ÄÙ ÃÐ U ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÌÓ ØÙ ÅÙÓÓ ØØÒ ¹ÒÙÒÒ ÓÒ ÙÒÚÖ ÐÓÒ U Ó ØÙÒÒ Ø ÐÒ U Ä Ò¹ ÒÒ ÐÙ ØÖ ØØØÚ ÝØ ÓØØÒ ÓÒÒ U Ý ÒÙÒ ÐÙÙÒ ÌÑÒ ÐÒ ÓÒ ØÓÑ ÙÖÚ Ø ½ ÐÙ U ØÖ Ø ØØ ÝØ ÓÒ ÑÙÓØÓ cw Ñ c ÓÒ ÐÚÓÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ ÂÓ ÝØ ÓÐ ÐÚÓÐÐ Ø ÑÙÓØÓ U ÝÐ Ò ÑÙÙØÒ ÓÔÓ ÑÖÓÒÓÒ w = k {0, 1} Ó ÒÙÐÐ ÑÙÓÓ k ¾ ÂÓ ÝØ ÓÒ ÑÙÓØÓ cw Ñ c = c ÓÐÐÒ ÓÒÐÐ UÒ ÓÒ ÐÚØØ¹ ØÚ ÝÚ Ý ÓÒ ÝØØÒ w ØØ ÚÖØÒ U ÐÝØØ Ý ÒÙÐÐ Ò ÙÚÙ Ø c Ó ÒÙÐÐ ÑÙÐÓ Ò ÒÙ ÓÐÑÓ ÒÙÐÐ ÐÝØØ ØØÓ Ò ÑÙÐÓÙ Ø ØÐ Ø ÑÙÓÓ qi 0 i+1 ÐÙ U ÖÓØØ ÓÐÑÓ ÒÙÐÐ ØÐÒ q0 ÓÓÒ ¼µ ÐÙØÓÑÒ ÐÒ U ØÓÑ ÚØØÒ ÑÙÐÓÒ Ù Ò Ú Ý¹ Ò ÓÒÒ ÖØÝÑÒ ÐÙ U Ø Ý ÒÙÐØ Ò ÙÚÙ Ø ÓÒ Ó Ú Ø Ò ÑÙÐÓØÙ ØÐ qi ÑÖ j ¾½¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÍÆÁÎÊËÄÁÃÇÆ Â ÍÆÁÎÊËÄÁÃÁÄÁ ¾½ U : TARKISTA SIULOI c OK DUP cc T U ÃÙÚ ÍÒÚÖ ÐÓÒ U ÓÓ ØÙÙ Ø ÓÑÔÓÒÒØ Ø Ò Ò ØÖ ØØÒ ØØ ÝØ ÓÒ ÐÚÓÐÐ Ø ÑÙÓØÓ cw Ò ÐÒ ÑÙÐÓÒ ØÙØØØÚÒ ÓÒÒ ØÓÑÒØ ÒÒØÙÐÐ ÝØØÐÐ w ÃÙÚ ÓÒÐÐÒ D ØÙÒÒ ØÚ ÓÒ D ÇÐÓÓÒ Ý ÒÙÐÐ ÓÐÚ ÓÓÒÓØ ~ U : ERR _ U 0 i+1 10 j+1 10 r+1 10 s+1 10 t+1. ÌÐÐÒ U ÓÖÚ ÓÐÑÓ ÒÙÐÐ ÑÖÓÒÓÒ 0 i+1 ÑÖÓÒÓÐÐ 0 r+1 Ó ÒÙÐÐ ÑÖÓÒÓÒ 0 j+1 ÑÖÓÒÓÐÐ 0 s+1 ÖØ Ó ¹ ÒÙÒ ÒÙÔØ ÝÒ ÑÙÐÓÙÒ ÑÖÒ Ú ÑÑÐÐ Ó t = 0 ÓÐÐ Ó t = 1 ÂÓ Ý ÒÙÐÐ ÓÐ ÝØÒ ÑÙÐÓØÙÙÒ ØÐÒ qi ÐØØÝÚ ÓÓ ÑÙÐÓØÙ ÓÒ ÓÒ ØÙÐÐÙØ ÝÚ ÝÚÒ Ø ÝÐÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ ØÐ¹ ÐÒ i = k +1 Ø i = k +2 Ñ qk ÓÒ ÚÑÒÒ Ý ÒÙÐÐ ÙÚØØÙ ØÐ ÃÓÒ U ÖØÝÝ Ú ØÚ Ø ÐÓÔÔÙØÐÒ qý Ø qòó ÄÙ ÃÐ U ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÌÓ ØÙ ÇÐØØÒ ØØ ÐÐÐ U ÓÐ ØÓØÐÒÒ ØÙÒÒ ØÓÒ T U ÌÐÐÒ ÚÓØ Ò ÄÑÑÒ ÐÐÐ D ÑÙÓÓ Ø ØÓØÐÒÒ ØÙÒÒ ØÓÒ D ÙÖÚ Ø ÇÐÓÓÒ ÇÃ ØÓØÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒÓ ÝØØÒ ÒÒØØÙ ÑÖÓÒÓ ÐÚÓÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ ÇÐÓÓÒ ÍÈ ØÓØÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÑÙÙÒØ ÝØÓÒÓÒ c ÑÙÓØÓÓÒ cc ÃÓÒ D ÑÙÓÓ ØØÒ ÓÒ Ø U T ÇÃ ÍÈ Ý ØÑÐÐ ÚÓÒ ØØÑÐÐ ØÚÐÐ ÃÙÚ ½¼ ÃÐÒ Ũ ØÙÒÒ ØÚ ÓÒ Ũ ÂÓ Ũ ÔÝ ØÝ Ò ÃÝÐÐ¹ ØÔÙ ÓÐ ÙÒÚÖ ÐÐ U ÖÙÖ ÚÒÒ Ñ ÓÒ Ö ØÖØ ÃÓÒ Ũ ÔÝ Ý ÃÝÐÐ¹ØÔÙ ÐÐ ÝØØÐÐ ËÒ Ò ÓÑÔÓÒÒØØ ERR ÔÝ ØÝÝ Ò ËÐÚ Ø ÓÒ D ÓÒ ØÓØÐÒÒ Ó ÓÒ U T ÓÒ c L(D) c / L(ÇÃ) Ø cc / L(U T ) c / L(c) c D. ÅÙØØ ÐÑÑÒ ÑÙÒ Ð D ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ Ö ØÖØ ËÙÖÙ ÃÐ ÓÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ũ = {cw w / L()} ÌÓ ØÙ ÃÐ Ũ ÓÒ ÓÐÐÐ Ø Ñ ÙÒ ÙÒÚÖ ÐÐÒ U ÓÑÔÐÑÒØØ Ū ØÖ Ø ÓØØÒ ÓÒ Ū = Ũ ÊÊ Ñ ÊÊ ÓÒ ÐÔÓ Ø ØÙÒÒ ØØØÚ ÖÙÖ ÚÒÒ Ð ÊÊ = {x {0, 1} x ÐÐ ÐÙÓ ÒÒ ÐÚÓÐÐ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ}.

56 ¾½ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÍÆÁÎÊËÄÁÃÇÆ Â ÍÆÁÎÊËÄÁÃÁÄÁ ¾½ ÂÓ Ð Ũ ÓÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÓÐ ÑÓÒ ÑÝ Ð Ū ÃÓ Ð U ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÙÖ Ø Ø ØØ U ÓÒ ÔÖØ ÖÙÖ ÚÒÒ ÅÙØØ ØÑ ÓÒ Ú ØÓÒ ÐÐ Ò ÐÙ Ò ØÙÐÓ Ø Ñ Ø ÔØÐÐÒ ØØ Ð Ũ ÚÓ ÓÐÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÌÝÐÙ ÖØÚÙÙ ¹ ÖØÑØØÓÑÙÙ ØÓ ØÙ Ò ÆÝØ ÑÐÐ ÓÒ ÝØ ÙÖÚØ ØÝÐÙØ ÓÒÐÒÒ ÖØÚÙÙÒ Ø ÖØÑØØÓ¹ ÑÙÙÒ ØÓ ØÑ ½ ÂÓ ÐÙØ Ó ÓØØ ÓÒÐÑÒ ÖØÚ ÚÓØ ÓÓ ØÓØÐ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ Ó ÖØ ÓÒÐÑÒ ÀÙÓÑ ØØ ÓÒ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ ÔØÖÑÒ ØÒÒ ÑÓÒ¹ ÒÙÒÒ Ø ÑÓÒÙÖÒÒ ÎÓØ ÑÝ ÒØ ÖÐÐ Ò Ù¹ ØÓÑØÒ ÔÒÓÙØÓÑØÒ ÒÒÐÐ Ò ÐÙ Ò ÓÒØ ØØ¹ ØÓÑÒ Ø ÓÒØ ØÐÐ Ò ÐÓÔÒµ Ø ¹ØÓØÐ Òµ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÒÐÑÐÐ P ØØ Ò ÓÑÔÐÑÒØÐÐ P ¾ ÂÓ ÐÙØ Ó ÓØØ ÓÒÐÑÒ ÖØÑØØÓÑ ÚÓØ Ó ÓØØ ØØ ÓÑÔÐÑÒØØÓÒÐÑ Ðµ ÓÒ ØÝ Ò ÖØÑ¹ ØÓÒ ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚµ Ø Ó ÓØØ ØØ Ó ÖØ ÙÓÒ ÓÐ ØÓØÐÒÒ ÒÒ Ø ÙÖ Ö ØÖØ ÂÓ ÐÙØ Ó ÓØØ ÓÒÐÑÒ ÒÓ ØÒ Ó ØØÒ ÖØÚ ÐÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÑÙØØ ¹ÖÙÖ Ú µ ËÒÙÒ ØÝØÝÝ µ Ç ÓØØ ØØ ÓÒ Ó ØØÒ ÖØÚ ÑÙÓÓ ØÑÐÐ ÓÒÐÑÒ ÖØ Ú ¹ØÓØÐÒÒµ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÍÒÚÖ Ð ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÒ Ø ÝÝÐÐÒÒ ÔÙÐÒÒ µ Ç ÓØØ ØØ ÓÒÐÑ ÚÓ ÓÐÐ ØÝ Ò ÖØÚ Ø ÑÙÓÓ Ø¹ Ñ ÓÒ ÚÓ ÓÐÐ ØÓØÐÒÒ ÌÑ ÚÓÒ ØÓ Ø Ú ¹ ØÚØØÐÐ ÇÐØ ØØ ÓÒ ÓÐ ØÓØÐÒÒ Ð ÔÝ ØÝÝ ÐÐ ÝØØÐÐ Ó Ø Ø ÓÒ Ö ØÖØ Ê ØÖÒ ÑÙÓ¹ Ó ØÑ ÚÓØ ÝÝÒØ Ñ ØØÓ ÍÒÚÖ ÐÓÒ Ø ÓÒÐÓÒ Ø Ñ ÓØÓÔØ ØØ ÍÒÚÖ ÐÓÒ ÓÐ ØÓØÐÒÒ Ø ÓÒÐÐÐÐ ÓÐ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒ ÓÚØ Ö¹ ØÖØÓµ ¾½ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃËÃÍÊËÁÇ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÅÌÅÌÁÁÃËË¾½ ÙÖ Ó ÊØÚÙÙ ÖØÑØØÓÑÙÙ ÑØÑ¹ Ø ÅÓÒ Ð ØØÚÙÙØØ Ð ÒÒÒ ÚØÚÙÙØØ Ó Ú ØÖ ØÙÐÓ ÑÒ ÓÒ ØØÑÒÒ ÑØÑØØÓ ÑÑ Ð ÙÖµ ÓØÒ ÔÒ ¹ ÙÖ Ó ÑØÑØÒ ÐÒ ÔÐÐÒ ÖØÝ Ø ÐÒ ÔØÝÐÐ ÝÝ ÐÙ ÓÒ ÙÓÖÒ ÓÚÐÐØØÚ ÙÒÚÖ Ðµ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÑØ ØÒ Ð ÒÒÒ ÑÐÐµ Ó Ú ÎÐÓØØÒ Ò Ò ÙØÒÒ ÑÖÒ ØÖÑÒ ÖÙÖ ÚÒÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ Ð ÐÙÔÖ ½ ÊÙÖ Ú Ø ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚØ ÓÙÓØ ÑØÑ¹ Ø ÂÓ ÓÒÐÑÒ ÚÓ ÖØ Ø ÔÖÑØÚÖÙÖ Ú ÐÐ ÙÒØÓÐÐ ÓÒ Ð ÒÒÐÐ ¹ Ø ÖØÚ ÚÓÑÑ ÓÔ ÒØ Ð ÒÒÒ ÚØÚÙÙÐÐ ÝÐÖÒ ÂÓ Ò ÚÓ ÖØ Ø ÚÒ ÖÙÖ Ú ÐÐ ÙÒØÓÐÐ ÖØ Ð ÒÒÐÐ Ø Ð ÖÐÐ ÑÙØØ ÑÑ ÚÓ ÒØ ÑØÒ ÝÐÖ Ò ÚØÚÙÙÐÐ ÂÓ ÓÒÐÑ ÙÙ¹ ÐÙÙ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚÒ ÐÒ ÑÑ ÚÓ ÒØ ÖØ Ú Ð Ò¹ ÒÐÐ Ø ÙÒØÓØ ÑÙØØ ÝÐÐÒ ÐÖØÚ Ò ÑÖØÐÑÒ ÑØ Ú ØÙ Ò ØÙÐ ØÝØØ ÌÑÒ ÔÓÐØ ÚÓÑÑ ÑÙÓÓ Ø Ò Ó ØØ ÖÙÖ Ú Ò ÙÒ¹ ØÓÒ ÅÖØÐØÝ Ú ØÙ Ø ÙØÒÒ ÚÓ Ð ÖÐÐ ÐÐ ÝØØÐÐµ ÂÓ ÓÒÐÑ ÓÐ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÑ ÔÝ ØÝ ÒØ¹ ÑÒ Ó ØØ ÖÙÖ Ú Ø ÙÒØÓØ Ó Ð Ú ØÙ Ò ÊÙÖ Ú Ø ÙÒØÓØ ËÒÓØÒ ØØ ÓÙÓ A N ÓÒ ÖÙÖ ÚÒÒ Ó Ò ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ πa ÓÑ¹ ÑÒ ÓÙÓÒ A ÖØÖ ØÒÒ ÙÒØÓµ ÓÒ ÖÙÖ ÚÒÒ ÙÒØÓ ÀÙÓÑ Å ØÒ ÑÖÓÒÓ ÚÓÒ Ò ÓÓØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò ÐÙÙÒ Ð Ð A ÓÒ Ø NÒ Ó ÓÙÓ ÅÖØÐÐÒ Ò Ò ÔÖÑØÚÖÙÖ Ú Ø ÙÒØÓØ ÅÖØÐÑ ÈÖÑØÚÖÙÖ Ú ØÒ ÙÒØÓÒ ÔÖ ÓÒ ÔÒÒ ÙÒØÓÔÖ ÐÙÓÒ¹ ÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÓÙÓ f : N Nµ Ó ÐØ ÙÒØÓØ Z(n) = 0 ÒÓÐÐÙÒØÓµ S(n) = n + 1 ÙÖÙÒØÓµ Pri n (x1,..., xn) = xi ÔÖÓØÓÙÒØÓµ Ò Ø Ý ØÑÐÐ ÙÖÚÐÐ Ò ÖÙÖ Ó ÒÒÐÐ ØÚØ ÙÒØÓØ ÊÙÖ Ó ÒØ ÇÐÓÓÒ f n¹ôòò ÔÖÑØÚÖÙÖ ÚÒÒ ÙÒØÓ g n + 2¹ ÔÒÒ ÔÖÑØÚÖÙÖ ÚÒÒ ÙÒØÓ ÌÐÐÒ n + 1¹ÔÒÒ ÙÒØÓ h h(0, x1,..., xn) = f(x1,..., xn) h(y + 1, x1,..., xn) = g(y, h(x1,..., xn), x1,..., xn) ÓÒ ÔÖÑØÚÖÙÖ ÚÒÒ ÃÙÒ n = 0 ÒÒ h(0) = ÚÓµ h(y + 1) = g(y, h(y)) ÑÖ ÝØÒÐ Ù ÖØÓÐ Ù ÔÓÒÒØØÙÒØÓ ÚÓÙÒØÓ ÖÓØØØÙ ÚÒÒÝ Ð Ù x y = 0 Ó x < yµ ÓÚØ ÔÖÑØÚÖÙÖ Ú ÍÙ ÔÖÑØ¹ ÚÖÙÖ Ú ÙÒØÓØ Ò ÑÝ ÖÓØØÙÐÐ ÑÒÑÐ ØÓÐÐ ÑÖ f(y, x1,..., xn) = (µz y)r(z, x1,..., xn) Ó { ÔÒÒ z y ÓÐÐ R(z, x1,..., xn), Ó ØÐÐÒÒ z ÓÒ ÓÐÑ f(y, x1,.., xn) = 0, ÑÙÙØÒ Ñ R ÓÒ ÔÖÑÖ ÖÐØÓ ÊÙÖ Ú ØÒ ÙÒØÓÒ ÔÖ ÑÖØÐÐÒ ÚÒ ÑÒ ØÔÒ ÙÒ ÔÖÑØ¹ ÚÖÙÖ Ú ØÒ ÙÒØÓÒ ÔÖ ÑÙØØ ÐÐÑÑ ÖÓØØÑØØÓÑÒ ÑÒÑÐ ¹ ØÓÒ ÅÖ f(x1,..., xn) = µyr(y, x1,..., xn) Ó f(x1,..., xn) = ÔÒÒ y ÓÐÐ R(y, x1,..., xn) Ó ØÐÐÒÒ y ÓÒ ÓÐÑ ÈÖÑØÚÖÙÖ Ú ØÒ ÖÙÖ Ú ØÒ ÙÒØÓÒ ÖÓ ÓÒ ÙÖÚ Ó f(x) ÓÒ ÔÖÑØÚÖÙÖ ÚÒÒ ÓÒ f(n)ò Ð Ñ Ò ÙÐÙÚ ÒÒÐØ ÖÚÓØÚ Ì ÚÓÑÑ ÒØ ÖØ ÚÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÚØÚÙÙÐÐ ÝÐÖÒµ ÂÓ ÙÒ¹ ØÓ ÓÒ ÚÒ ÖÙÖ ÚÒÒ ØÑÑ ÚÒ ØØ f(n) ÓÒ ÖØÚ ÑÙØØ ÑÑ Ø ÑÓÒØÓ Ð ÒØ¹ ÐØ ÖØ Ù ÚØ Ø Ú ØÚÒ ÌÅÒ Ð ÒØ ÔØØÝÝ ÖÐ¹ Ð ÑÙØØ ÑÑ ÚÓ ÒØ ÒÒÐØ ÑØÒ ÖÚÓØ ÙÒÓ Ð ÒØ ØÙÐ ØÑÒµ ÑÖ ÖÑÒÒÒ ÙÒØÓ A ÓÒ ÖÙÖ ÚÒÒ ÑÙØØ ÔÖÑØÚÖÙÖ Ú¹ ÒÒ A(0, x) = x + 1 A(n + 1, 0) = A(n, 1) A(n + 1, x + 1) = A(n, A(n + 1, x))

57 ¾½ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃËÃÍÊËÁÇ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÅÌÅÌÁÁÃËË¾½ ÖÑÒÒÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ð ÒØÓ ØØ ÐÐ ÔÖÑØÚÖÙÖ Ú ÐÐ ÙÒ¹ ØÓÐÐ f ÐÝØÝÝ n ÓÐÐ f(x) < A(n, x) ÐÐ x Â ÙÒ n ÐÒ ÖØÒØ ÒØ ÖÑÒÒÒ ÙÒØÓ ÝÐÖÒ ÑÓÖÒØÒµ ÑÝ ÐÐ ÖÙÖ Ú ÐÐ ÙÒØÓÐÐ ÌÓ Ò ÒÓÒ ÒØ ÝÐÖÒ ÑÒ ØÒ ÖØÚÒ ÓÒÐÑÒ ÚØÚÙ¹ ÙÐÐ ÊÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚØ ÓÙÓØ ÊÙÖ Ú Ò ÐÒ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÙÙÐÙÙÓ Ò x ÐÒ Aµ ÓÒ ÖÙÖ Ú¹ ÒÒ Ð ÐÓÖØÑ Ø ÖØÚ Ó Ò ÑÑ ÚÓ ÒØ Ð ÒÒÒ ÚØÚÙÙÐÐ ÑØÒ ÝÐÖ ÌÓ ÐØ ÓÒÒ ÔØÝ ÖÙÖ ÚÒÒ Ð A Ò ÐØÑØ ÒØµ ÚÓÒ Ò ÒÙÑÖÓ ÖÙÖ Ú ÐÐ ÙÒØÓÐÐ ÅÖØÐÐÒ AÒ ÒÓÐÐ ÒÙÑÖÓÒØ A = {f(n) n N} Ñ f(n) = n Ó πa(n) = 1 0 Ó πa(n) = 0 0 Aµ { n, Ó πa(n) = 1 f(n) = 0, Ó πa(n) = 0 (0 A) ÅÖØÐÑ ÂÓÙÓ A N ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ Ó A = Ø ÓÒ ÓÐÑ ÖÙÖ ÚÒÒ ÙÒØÓ f : N N A = {f(n) n N} Ã ÖÙÖ Ú Ø ÓÙÓØ ÓÚØ ÑÝ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÊÙÖ Ú ¹ Ø ÒÙÑÖÓØÙÚÒ ÓÙÓÒ ÔÖ ÓÒ ÙØÒÒ Ó Ø ÙÙÖÑÔ ÙÒ ÖÙÖ Ú ØÒ Ð ÓÒ ÓÐÑ ÓÙÓ Ðµ ÓØ ÓÚØ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÙØØ ÚØ ÖÙÖ Ú ÙÖÒ ÐÙ µ ÊÙÖ Ú ÙÙÒ ÖÙÖ Ú Ò ÒÙÑÖÓØÙÚÙÙÒ ÚÐÒÒ ÖÓ ÓÒ ØØ ÖÙÖ ¹ Ú Ò ÙÒØÓÒ ÖÚÓÒ ÚÓ Ò Ð ÖÐÐ Ò ÑÓÒÐÐ Ð ÒØ¹ ÐÐÐ ÖÙÖ¹ Ú Ò ÓÙÓÒ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÓÒ ÖØÚ Ø ÑÐÐ ÓÒ ÐÓÖØÑ Ó ÖØ Òµ ËÒ Ò Ó ÓÙÓ ÓÒ ÚÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÑ ÚÓ ÑÖØÐÐ ÑØÒ ÙÒØÓØ Ó ØÙÒÒ Ø Ò Ó ÙÒØÓÒ ÑÖØÐÑ Ø¹ Ò ÐÐÝØØ ÑÖØÐØÚÝÝØØ ÚÓÑÑ Ð ÙÒØÓÒ ÖÚÓÒ ÐÐ ÑÖØ¹ ØÐÝÓÙÓÒ ÐÓÐÐµ ÎÓÑÑ ÝÐÐ ÒØ ÐÖØÚ Ò ÑÖØÐÑÒ ÑØ ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÓÙÓ ÔØ ÐÐÒ ÙÚØ ØÐÐ Ð ÐÙÙØÓ¹ ÖÒ ÚÓÐÐ ÅÐÐ ÓÒ Ñ ØÝ ÑØÒ ÚÒ Φ(x1,..., xn) ØÓØÙÙ ÐÚØØÒ Ú ÙÒÚÖ ÐÚØØÒ xφ(x) ØÓØÙÙ ÓÐ Ð ÒÒÐÐ Ø ÖØÚ ÔØ ØÙØ Φ(n)Ò ØÓØÙÙ ÖØØÑÒ ÑÓÒÐÐ n Nµ ÌÐÐ Ø Ó ØØÒ ÑÖØÐØÝ ÙÒØÓØ Ó ÓÒ Ð ØØÚ ÚÒ ÓÐÐÒ ÑÖØØÐÝÓÙÓÒ ÖÚÓÐÐ ÙØ ÙØÒ Ó ØØ ÖÙÖ Ú ÙÒØÓ ÅØ ØØÒ ÓÚØ ØÝ Ò ÖØÑØØÓÑØ Ð ¹ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙÚØ ÓÙÓØ ÑØÑØ ÆÐÐ ÑÑ ÚÓ ÒØ Ó ØØ ÖÙÖ Ú Ø ÙÒØÓØ ÐÖØ¹ Ú Ø ÑÖØÐÑµ Ó ÓØÒÒ ÙÚ ÓÙÓÒ ÐÐÒ ¾ ÐÒ ÔØÝÐÐ ÝÝ ÐÙ ÐÒ ÔØÝÐÐ ÝÝ ÐÙ ÓÒ ÑØÑØØÒÒ Ú ØÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ Ø ØÙØ ÐÙ ¹ Ø ÙÖÚÐÐ ÔØÝÐÐ ÝÝÐÐ Ð ÑÒØÐÑÒ ÓÐÐ Ñ ØÒ ÐÙÙØÓÖÒ Ú Ø ÔÖØØÐÓ¹ Ò ÐÙ µ ÚÓÒ ÓÓØ Ý ØØ Ò ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÚÒ Ð¹ÐÙÙÒ ÌÓ Ò ÒÓÒ Ó Ò ÚÒ ÚÓÒ ÐØØ Ø Ò Ý ÐÙÙ Ó Ò ÐÙÙÙÒ ÐØØÝÝ ÓÖÒØÒ Ý Ú Ó ÓÓÒ ÐÙÚÙ Ø Ú Ø ÑØÒ Úµ ÌÐÐ ØÚÐÐ Ú Ô ØÒ ÚØØÑÒ ØÓ Ò ÚÓÒ Ñ ÑÓÐÐ Ø ÚÓÒ ÔÖÓ Ð Ò Ø ØÙØ ÐÙÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓÙ ÒÖÐÙÙÒµ Ð¹ÒÙÑÖÓÒØ ØÔØÙÙ ÙÖÚ Ø Ò Ò ÐØØÒ Ó Ò ÐÙÙØÓÖÒ ÑÖ¹ Ò ÐÙÓÒÒÓÐÐÒÒ ÐÙÙ #(0) = 1 #(1) = 2 #(+) = 3 #( ) = 4 #(=) = 5 #(() = 6 #()) = 7 #( ) = 8 #( ) = 9 #( ) = 10 #( ) = 11 #( ) = 12 #(v0) = 13 #(v1) = 14 #(v2) = 15 Ñ ÑÙÙØØÙÒ vn Ö ØÝ ÒÙÑÖÓ ÓÒ #(vn) = 13 + n ÇÐÓÓÒ w ÒÝØ ÐÐ Ø ÑÖ Ø ÑÙÓÓ ØÙÚ Ò w = w0w1...wn ÌÐÐÒ wò Ð¹ÐÙÙ ÓÒ w = Σi=0 n pi (#wi) = p0 (#(w0) p1 (#w1)...pn (#wn), Ñ p0, p1,... ÓÚØ ÔÖ Ø ÐÙÐÙÚÙØ ¾ ¾¾¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃÇÆÃÊÌÌÁËÁ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍËÌÍÄÇÃËÁ ¾¾½ ÑÖ (1 = 1) = ÌÑ Ø Ò ÝÚÒ Ý ÒÖØÒÒ ØÝÐÙ ÑÓÐÐ Ø ÑØÚÒ ØÙÐÓ Ò Ò ÚÙÐÐ Ð ØÓ Ø ÙÙÐÙ Ò ÔØÝÐÐ ÝÝ ÐÙ Ò ÓÒ ÑÙÒ ÑÒ ÓÒ¹ ØÒØØ ÓÓÑÖ ØÐÑ Ñ ÖØÑØµ ÚÓ ÓÐÐ ØÝÐÐÒÒ Ø ÚÓ ÐØ ØÓ ÐÙ Ø ØÓÖÑÓÒÒµ ÐÒ ØÓ ØÙ ÓÐ ÑÝ Ý ÒÖ¹ Ø ÙÙ Ò ÙÙÒÒØØÓÑÒ ÒÖÓ ÔÖÙ ØÙ ÎÐØÐÒ ÔÖÓ Ò ÒØÓÖÒ ÓÒÐ ÓÒØÖÙÑÒØØÒµ Ó Ú φ ÒÓÓ ÃÚ ÓÒ Ð¹ÐÙÙ ÓÒ x ÓÐ ØÓ ØÙÚ φò ÓÑ Ð¹ÐÙÙ ÓÒ x ÙÖ Ö ØÖØ ØÓ Ò ÒÓÒ ÑÑ ÚÓ ÖØ Ø Ø ÑÓÐÐ Ø ØÓ Ø ÐÙ Ø ÓÚØÓ Ò ØÓ ØÙÚ Ú ÚØ ÄÙ φ ÒÓÓ Ò ÓÐ ØÓ ØÙÚµ ÀÙÓÑ ÎÓÑÑ ÝÐÐ ÔØÐÐ ØØ ÐÙ φ ÓÒ ØÓ Ò ÓÐÐÙØ ØÓ ØÙÚ Ý¹ Ö ØÐÑ ÑÙØØ Ö ØÐÑ Ø ÝÒ ÖØ ÑÒ Ø ÑÐ ÔÑÑ ÒÒ Ö ØÐÑÒ ÓÒ ØÒ Ø ÂÓ Ø ÐÐÑÑ ØØ Ö ØÐÑ ÓÒ ÔÓÒ ØÒØØ Ø Ò ÔØ ÓÒ ÐÙ ØØ Ò ÒØÓµ ÒÒ Ñ ØÒ ÐÙ ÚÓÒ ØÓ Ø Ó ÂÖ ØÐÑ ÚÓ ÓÐÐ ØÝÐÐÒÒ ÚÒ Ó ÓÒ ÔÓÒ ØÒØØ ÑÙØØ Ó ÓÒ ÓÒ ØÒØØ ÓÒ ÔØÝÐÐÒÒ ÌÐÐ ÚØØÓÑÒ ÓÐÓ ÐÐ ÚÒ ÐÙ ÐÝÝÐ Ó ÚÐÐ ÐÙ ÐÐ ÓÒ ÙØÒÒ ØÓÐ¹ Ð ÐØ ÙÖÙ Ø ËØ ÙÖ ØØ ÑÒ ÓÑØ ÓÒØÖ ØÐÑ Ñ Ð¹ Ö Ø ÑÒ Ð ÒÒÒÑÐÐ ÙØÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ ÓÐ ØÝÐÐÒÒ ÃÖÐÐ ÙÙØØ ÀÓ ØØÖ ÓÙÐ Ê Ð Ö Ò ØÖÒÐ ÓÐÒ Ö ÎÒØ ÓÓ ½ ÔØÖ ÁÎ¹Îµ ÆÐ ² ÆÛÑÒ ÂÃ Ð³ ÈÖÓÓ ÆÛ ÓÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ½ ÊÙÖ ÊÙÝ ÅÐ ÖØØÑÝÝ ÎÒÒÒ ÂÓÙÓ ÅØÑØØÒÒ ÐÓ ÙÑÙ ½ ÎÐØÐÒ ÔÖÓ Ò ÑØÑØØÒÒ ÚÖ Ó ÌÖ Ò ÐÙ ÒÓÓ ØØ ÓÙÓ T = {x x ÓÒ ØÓÒ ÐÙ Ò φ Ð¹ÒÙÑÖÓ} ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÖÙÖ Ú Ø ÒÙÑÖÓØÙ¹ Ú ËÒ Ò Ó ÒÒØÑÑ ÓÒÒ ØÚ Ò ÐÓÖØÑ Ø ÖØÚÒµ ÓÓÑÖ¹ ØÐÑÒ A ÒÒ ÓÙÓ T = {x x ÓÒ A ØÓ ØÙÚÒ ÐÙ Ò φ Ð¹ÒÙÑÖÓ} ÓÒ ÖÙÖ Ú ¹ Ø ÒÙÑÖÓØÙÚ ÑÙØØ ÖÙÖ ÚÒÒ cw H ÃÙÚ ½½ ÍÒÚÖ ÐÐÒ U ØÙÒÒ ØÑÒÒ ÓÒÒ H ÚÙÐÐ ÃÓÒÖØØ ÖØÑØØÓÑÙÙ ØÙÐÓ ÎÐØØØÚÒ ÑÓÒØ ØÖØ ØØÓÒ ØØÐÝÓÒÐÑØ ÓÚØ ÖØÑØØÓÑ Æ Ê¹ Ò ÐÙ Ò ÑÙÒ Ø Ó ÒÒ ÓÐÑÒ ØÓÑÒØ Ø ØÖÑ¹ ÑÒ ÒÓÒ ÒÒ Ð Ñ ÝØ»ØÙÐÓ ¹ÙÚÙ Ó ÚØ Ý ÝÑÝ Ø ÓÚØ ÖØ¹ ÑØØÓÑ ½ U ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ Ç ÓØØÒ ØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ ÓÒ ÖØÑØÓÒ ÁÒ ÓÒ ØØ ÚÓÑÑ ÐÚØØ ÍÒÚÖ ÐÓÒÒ ÚÙÐÐ ÑÐ ØÙØØØÚ ÓÒ ÔÝ ØÝÝ ÑÙØØ ÑÑ Ó Ò ÐÚÐÐ ÑÐ ÓÒ ÔÝ Ý ÇÒÐÑÒ ÖØÑØ¹ ØÓÑÙÙÒ ØÓ ØÑ ÔÐÙØÑÑ ØÙÒÒØÙÒ ¹ÖØÚÒ ÓÒÐÑÒ ÒÑØØÒ ÍÒÚÖ ÐÐÒ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑÒ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ ÓÒ Ó ØØÒ ÖØÚ Ð ÖØÑØÓÒµ Ò ÓÑÔÐÑÒØØ ÈÝ ØÝÑØØÑÝÝ ÓÒÐ¹ Ñ ÓÒ ØÝ Ò ÖØÑØÓÒ ÄÙ ÃÐ H = {cw ÔÝ ØÝÝ ÝØØÐÐ w} ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÑÙØØ ÖÙÖ ÚÒÒ ÌÓ ØÙ ÌÓØÒ Ò Ò ØØ Ð H ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÍÒÚÖ ÐÓÒ Ø U ÓÒ ÐÔÔÓ ÑÙÓØ ÓÒ Ó ÝØØÐÐ cw ÑÙÐÓ ÓÒÒ Ð ÒØ ÝØØÐÐ w ÔÝ ØÝÝ ÝÚ ÝÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒ Ó ÚÒ Ó ÑÙÐÓØÙ Ð ÒØ ÝÐÔØÒ ÔÝ ØÝÝ Ç ÓØØÒ ØØÒ ØØ Ð H ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ

58 ¾¾¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃÇÆÃÊÌÌÁËÁ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍËÌÍÄÇÃËÁ ¾¾ ÇÐØØÒ ØØ ÓÐ H = L(H) ÓÐÐÒ ØÓØÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ H ÇÐØØÒ Ð ØØ ÓÒ H ÔÝ ØÝ Ò ØØ ÒÙÐÐ ÐÙÔÖ Ò ÝØØÒ ÑÓÐÐ Ø ØÝÑÖÐÐ ØØØÙÒ ÇÐÓÓÒ U ÐÐ ÓÒ ØÖÙÓØÙ ÙÒÚÖ ÐÓÒ ÃÐÐÐ U ÚÓØ Ò ÒÝØ ÑÙÓÓ Ø ØÓØÐÒÒ ØÙÒÒ Ø Ý ØÑÐÐ ÓÒØ H U ÙÚÒ ½½ ØØÑÐÐ ØÚÐÐ ÑÑÒ ØÙÐÓ Ò ÑÙÒ ØÐÐ Ø ØÓØÐ ÐÒ U ØÙÒÒ ØÓÒØØ ÙØÒÒ ÚÓ ÓÐÐ ÓÐÑ ËØÙ Ö ØÖØ Ó ÓØØ ØØ H ÚÓ ÓÐÐ ÖÙÖ¹ ÚÒÒ ËÙÖÙ ÃÐ H = {cw ÔÝ Ý ÝØØÐÐ x} Ó ÖÚÓÒ ØÖÙ Ó ÑÖÓÒÓÔÖÑØÖÒ p ØØÑ ÔÖÓ ÙÙÖ ÔÝ ØÝÝ ÝØ¹ ØÐÐ w Ð ÑÙÙØÒ ÃÖÓØØÒ ØÑÒ ÔÖÙ ØÐÐ È Ð¹ÔÖÓ ÙÙÖ Ĥ ÔÖÓÙÖ Ĥ p ØÜØµ ÙÒØÓÒ H p, w ØÜØµ ÓÓÐÒ Ò ßÙÒØÓÒ H ÖÙÒÓÐ Ò Ò ßÈÓÐÑÐ H(p, p) ØÒ ÛÐ ØÖÙ Ó Ò ÅÖØÒ ÔÖÓ ÙÙÖÒ Ĥ ÓÐÑØ Ø ĥðð ØÖ ØÐÐÒ ÔÖÓ ÙÙÖÒ Ĥ Ð Ò¹ Ø ÓÑÐÐ ÙÚÙ ÐÐÒ ÓÐ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ¾ ËÑ ØÙÐÓ È ÐÐÐ ËÒ Ö ØÖØ Ĥ(ĥ) ÔÝ ØÝÝ H(ĥ, ĥ) = Ð Ĥ(ĥ) ÔÝ Ý ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ØÚÐÐ ØÒ ÓÐÑÒ Ú ØÚÙÙ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ¹ÓÖÑÐ Ñ ÓÐÑÓÒØÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÐÑ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ ÓÒÐ ØÝ ÍÒÚÖ ÐÓÒ ÓÒÐÒ ØÙÐ ÃÓ Ñ ØÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÚÓÒ ØÓØÙØØ È Ð¹ÓÐÑÒ ÒØÒ ÖØÝÚØ ÌÙÖÒÒ ÓÒØ Ó ÚØ ÖØÚÙÙ ¹ ÖØÑØØÓ¹ ÑÙÙ ØÙÐÓ Ø ÚÐØØÑ Ø Ó ÑÒ ÑÝ È Ð¹ÓÐÑ ÑÖ ÔÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ È Ð¹ØÙÐÒØ ÓÒ ÓÐ ÓÐÑ ØÓØÐ¹ Ø È Ð¹ÓÐÑ Ó ÖØ ÔÝ ØÝÝ ÒÒØØÙ È Ð¹ÓÐÑ P ÒÒØÙÐÐ ÝØØÐÐ w ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ØÓ ØÙ ÙÓÖÒ È ÐÐÐ ÇÐØØÒ ØØ ÚÓØ Ò ÖÓØØ ØÓØÐÒÒ È Ð¹ÙÒØÓ Ê ØÖ Ø ÙÖ ØØ ÓÐØØØÙ ØÓØÐ Ø ÔÝ ØÝÑ ÒØ ØÙ ÓÐÑ H ÚÓ ÓÐÐ ÓÐÑ ËÑÒ ØÔÒ ØÓ ØÙ ÚÓÒ ÙÓÖØØ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÙÚ ½¾µ Ã ÑÝ ÖÙÚ ÐÙÚÙ ¾µ H^ : H ÃÙÚ ½¾ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑÒ ÖØÑØØÓÑÙÙÒ ØÓ ØÙ Ö ØÖØÑØÓÐÐ ÇÐØØÒ ØØ ÓÐ ÓÐÑ ØÓØÐÒÒ ÓÒ H Ó ØÙØ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ø ÔÝ ØÝÚØ Ò ÅÙÓÓ ØØÒ ÙÙ ÓÒ ˆ(H) Ó Ù Ò Ð¹ ÑÙÒ Ó H Ú Ø ÃÝÐÐ ÔÝ ØÝÝ ÑÙÙØÒ ÅØÒ Ý Ó ÒÒØÒ ˆ(H)ÐÐ Ò ÓÑ ÓÓ ØÙÒÒ ØØØÚ ÙÒØÓÒ H p, w ØÜØµ ÓÓÐÒ ¾¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃÇÆÃÊÌÌÁËÁ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍËÌÍÄÇÃËÁ ¾¾ ÐÒÒ Ö ØÖØÑØÓ ÖØÑØØÓÑÙÙÒ ØÓ ØÑ ¹ ÝÚ ÝÝ ÓÒÒ ÝØÓÒÓÒ ÝÚ ÝÝ ÖØØÑÒ ÑÓÒØ ÑÖÓÒÓ ÅÙØÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÑÒ ÙÙ ÚÓÒ ØÓ Ø ÖØÑØØÓÑ ÑÒ ØÔÒ ÙÒ ÈÝ ØÝÑ ÓÒÐÑ ÐÒÒ ÓÒ ÙÖÚ ÇÒÐÑ ÇÒÓ ÓÑÒ ÙÙ P ÖØÚ ½ ÇÐØ ØØ ÓÒ ÅÐÐ ÓÒ ØÓØÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ P Ó ÖØ Ò ¾ ÅÙÓÓ Ø ÙÙ ÓÒ P Ó ØÓØÙØØ ÓÑÒ ÙÙÒ P Ó ÝØÓÒÐÐ ÓÐ Ý Ø ÓÑÒ ÙÙØØ P Ò ØÙÒÒ ØÑ Ð ÓÒ ÒÒÐÐÒÒ Ò ÑÖ ÝÒØØ Ø ÓÑÒ ÙÙ Ø ÐØ ÖØÝÑÒ δ(q, ) = (q,, R) ÂÓ ÐÓØØ ØÝÐØ ÒÙÐØ ØÙÐ ØÐÒ q ÓÖÒØÒ ÚÐÐ ÐÐ¹ Ð ÂÓÐÐÒ Ð ÒÒÐÐ ÓÒ Ô ÐÙØÐ Ø ØÐÒ q ÂÓÐÐÒ Ð ÒÒÐÐ ÓÒ Ô ØÐ Ø q ØÐÒ q C w P Perform P ÒÒ P ÐÐ ÝØØ P Ò ÓÓ Ø Ø ÑØÒ Ý ÂÓ ÙÖ Ö ØÖØ ØÐÐ Ø P Ø ÓÐ ÓÐÑ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÝÒØØ ÓÑÒ ÙÙ ÓÒ ÐÔÔÓ ØÙØ Ð ÒÒÐÐ Ø ÑÙØ¹ Ø ØÙÐÑÑ ÙÓÑÑÒ ØØ ÓÐ ÓÐÑ ÑØÒ Ð ÒÒÐÐ Ø ÒÓ ÓÒÒ ÔØÖÚÐÒµ ÑÒØØ ØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ò ØÙØÑ ÌÑ ØÖ ØÙÐÓ ØÙÒ¹ ÒØÒ ÊÒ ÐÙ Ò ÌÓ ØÙ Ò Ò ÓÒ ÔÐÙØØ ÍÒÚÖ ÐÐÒ ØÙÒÒ ¹ ØÙ ÓÒÐÑ ÑÒØØ ØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ò ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑÒ Ø ÒÝØÑÑ ØØ ÑÐ ÑÒØØÒÒ ÓÑÒ ÙÙ ÓÐ ÖØÚ ÓÐ ÍÒÚÖ ÐÓÒ ØÓØÐÒÒ Ñ ÓÒ Ö ØÖØ ËÑ ØÙÐÓ Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ØØÓÓÒÓÐÑ ÓØÒ ÓÐÑÒ Ó Ø ÝØØÝØÝÑ Ø Ó ÚØ ÓÑÒ ÙÙØ ÓÚØ ÑÝ ÖØÑØØÓÑ ÅÖØÐÐÒ Ò Ò ÓØÒ ÔÙ ØØØ ËÑÒØØ ØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ò ÖØÑØØÓÑÙÙ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÑÒØØÒÒ ÓÑÒ ÙÙ ÓÒ Ñ ØÒ ÐÐÒÒ ÓÑÒ ÙÙ S Ó ÖÔÔÙÙ ÚÒ ÓÒÒ ØÙÒÒ ØÑ Ø Ð Ø Ò ÝÒØØ Ø ÖÒ¹ Ø Ø Ó Ù ÔÙÙØÒ ÑÝ ÙÒØÓÒÐ Ø ÓÑÒ ÙÙ Ø Ñ ÚØØ ÓÒÒ ØÓÑÒØÒµ ÌÖÒ ÓØØÒ ÑÒØØÒÒ ÓÑÒ ÙÙ S ÓÒ Ñ ØÒ ÓÓÐÑ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ Ó ØÓÒ {0, 1} Ð ÓÒÐÐ ÓÒ ÓÑÒ ÙÙ S Ó L() S Î ØÚ Ø ÓÒÒ ÝÒØØ Ø ÖÒØ Ø ÖÔÔÙÚ ÓÑÒ ÙÙ ÙØ ÙØÒ ÝÒØØ ÓÑÒ ÙÙ ÑÖ ÑÒØØ Ø ÓÑÒ ÙÙ Ø ÝÚ ÝÝ ØÝÒ ÝØÓÒÓÒ ÂÓ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ 1 2 ÓÒ L(1) = L(2) Ø Ò ØÙÒÒ Ø¹ ÚØ Ø ÑÐÐÒ ÑÒ ÐÒµ ÒÒ ÓÒÐÐ 1 2 ÓÒ Ø ÑÐÐÒ ÑØ ÑÒØØ Ø ÓÑÒ ÙÙØ ÇÑÒ ÙÙ S ÓÒ ÖØÚ Ó ÒÒØÙ Ø ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÓÓ Ø ÚÓÒ ÐÓÖØÑ Ø ÔØÐÐ ÓÒÓ ÓÒÐÐ Ý ÝØØÝ ÓÑÒ ÙÙ Ø Ó ÓÙÓ ÓÒ ÖÙÖ ÚÒÒ Ó (S) = {c L(c) S} ÌÖÚÐØ ÓÑÒ ÙÙØ ÓÚØ ÓÑÒ ÙÙ S ÓØ ÓÐ ÑÐÐÒ ÓÒÐÐ ÓÑÒ ÙÙ SRE Ó ÓÒ ÐÐ ÓÒÐÐ

59 ¾¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃÇÆÃÊÌÌÁËÁ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍËÌÍÄÇÃËÁ ¾¾ ÊÒ ÐÙ Ã ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ ÔØÖÚÐØ ÑÒØØ Ø ÓÑÒ ÙÙ¹ Ø ÓÚØ ÖØÑØØÓÑ c w ÌÓ ØÙ cw ENCODE T S ÇÐÓÓÒ S ÑÐÚÐØÒÒ ÔØÖÚÐ ÑÒØØÒÒ ÓÑÒ ÙÙ ÎÓÒ ÓÐØØ ØØ / S ØÓ Ò ÒÓÒ ØØ ØÝÒ ÓÙÓÒ ØÙÒÒ ØÚÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÓÐ ØÖ ØÐØÚ ÓÑÒ ÙÙØØ ÌÑ ÑÖØ ÓÐÐ¹ Ð Ø ÖÓØÙ Ø ÐÐ Ó S ÚÓÒ ÙÖÚ ØÓ ØÙ Ø ÝØØÒ Ó ÓØØ ØØ ÓÑÒ ÙÙ S = Ê S ÓÒ ÖØÑØÓÒ ÔØÐÐ ÐÐÒ Ø Ø ØØ ÑÝ ÓÑÒ ÙÙ S ÓÒ ÖØÑØÓÒµ ÃÓ S ÓÒ ÔØÖÚÐ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ A ÓÐÐ ÓÒ ÓÑ¹ Ò ÙÙ S ÓÐÐ L(A) S ÇÐÓÓÒ ÆÇ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÑÙÓÓ Ø ÝØØÒ ÒÒØÙ Ø ÑÙÓØÓ cw ÓÐÚ Ø ÑÖÓÒÓ Ø ÙÖÚÒÐ Ò ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ w ÓÓÒ Ó ÝØ ÓÐ ÚØØÙ ÑÙÓØÓ ÆÇ ÔØÝÝ ÝÐÚÒ ÐÓÔÔÙØÐÒµ x w ØÖØ A ÃÙÚ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ w ÖÒÒ ÊÒ ÐÙ µ ËÝØØÐÐ x ÓÒ w ØÓÑ Ò Ò ÙØÒ ÝØØÐÐ w ÂÓ ÝÚ ÝÝ wò w ØÓÑ ÙØÒ ÓÒ A ÝØØÐÐ x ÂÓ ÝÐ wò ÑÝ w ÝÐ xò ÙÚ ½ µ ÃÓÒÒ w ØÙÒÒ ØÑ Ð ÓÒ ØÒ { L(A), L( w Ó w L() ) =, Ó w / L() ÃÓ ÓÐØÙ Ò ÑÙÒ L(A) S / S ÓÒ ÓÒÐÐ w ÓÑÒ ÙÙ S Ó ÚÒ Ó w L() ÃÙÚ ½ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ U T ÖÒÒ ÊÒ ÐÙ µ Î ØÚØ ÓÑÒ ÙÙ S ÓÒ ÖØÚ Ø ÐÐÐ Ó Sµ ÓÒ ØÓØÐÒÒ ØÙÒ¹ Ò ØÓÒ T S ÌÐÐÒ Ø Ò ØÓØÐÒÒ ØÙÒÒ ØÓÒ ÐÐÐ U Ý ØÑÐÐ ÓÒØ ÆÇ S T ÙÚÒ ÑÙ Ø ËÐÚ Ø ÓÒ T U ÓÒ ØÓØÐÒÒ Ó T S ÓÒ cw L(U T) c w L(T S ) = Ó (S) L( w ) S w L(). ÃÓ Ð U ÓÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÙÖ Ö ØÖØ Ð ÓÑÒ ÙÙ S ÚÓ ÓÐÐ ÖØÚ ÅÙØ ÖØÑØØÓÑ ÓÒÐÑ ÈÖØØÐÝÝÐÒ ÖØÑØØÓÑÙÙ ÙÖ»ÌÙÖÒ ½ ÓÐ ÓÐÑ ÐÓÖØÑ Ó ÖØ ÓÒÓ ÒÒØØÙ Ò ÑÑ Ò ÖØÐÙ¹ ÚÙÒ ÔÖØØÐÝÝÐÒ Ú φ ÚÐ ÐÓÓ Ø ØÓ ØÓ ØÙÚ ÔÖØ¹ ØÐÝÝÐÒ ÓÓÑ Øµ ÀÐÖØÒ ½¼ ÓÒÐÑ ÅØ ÚØ»Ú»ÊÓÒ ÓÒ»ÈÙØÒÑ ½ ¼ ÓÐ ÓÐÑ ÐÓÖØÑ Ó ÖØ ÓÒÓ ÒÒØÙÐÐ ÓÓÒ ÐÙÙÖ¹ ØÓÑ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ P(x1,...,xn) ÓÓÒ ÐÙÙÒÓÐÐÓØ Ó ÓÒÓ (m1,...,mn) Z n ÓÐÐ P(m1,...,mn) = 0µ ÇÒÐÑ ÓÒ ÖØÑØÓÒ Ó ÙÒ ÑÙÙØØÙÒ ÐÑ n = 15 Ø ÔÓÐÝÒÓÑÒ Ø (P) = 4 ¾¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÃÇÆÃÊÌÌÁËÁ ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍËÌÍÄÇÃËÁ ¾¾ ÖÒ ÐÓÔÔÓÒÐÑÒ ÖØÚÙÙ ÙÒ ÒÒØØÙÒ ÓÒ ÐÓÔØ G G ÓÑ ÝÒ ÖÖÒ ØØÝÐØ Ø ÓÐØ i ÑÖÓÒÓ w ÌÙÐÙÓ R ÖØÚ E ÖØÚ T Ò ØÓØØ Ì Ó i ÇÒÐÑ ÓÒÓ w L(G)? R R R E L(G) =? R R E E L(G) = Σ? R E E E L(G) = L(G )? R E E E L(G) L(G )? R E E E L(G) L(G ) =? R E E E L(G) ÒÒÐÐÒÒ? T E E E L(G) L(G ) ØÝÝÔÔ i? T E T T L(G) ØÝÝÔÔ i? T E T E ÀÙÓÑ Ñ ÒÒÝ ÓÒÐÑ w L(G) ÓÒ ÖØÑØÓÒ ÓÒÐÑ ÙÒ ÐÓÔÔ G ÓÒ ÖÓØØÑØÓÒ ËÑÓÒ ÑÐÚÐØ Ò ÐÓÔÒ ÙÚÑÒ ÐÒ ÒÒÐÐ ÝÝ ÖØ ÙÐÙÑÓÑÒ ÙÙØ Ù Ý ÚÖ ÂÓØÒ Ù Ó ÖØÑØØÓÑ ÓÒÐÑ Ù Ý ÚÖ¹ÓÒÐÑ ØØÚÒ ÓÒ n¹øðòò ØÒÖÑÐÐÒÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ ÓÒ ÓÒ Ó ÐÐÐ ÖÖÝØØÚ ÓÓ ÓÐÐ Ø Ú ÑÑÐÐ ÔÐÐÒ ÔÝ Ýµ Ó ÐÓØØ ØÓÑÒØÒ ØÝÐÐ ÒÙÐÐ ÓÒ ÔÝ ØÝ Ò ÖÓØ¹ ØÒÙØ ÒÙÐÐ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÓÒØ ÑÖ Ó ØÓÒ ÚÓÒ ÝØØ ÑØ ØÒ ÙÒÖÓ ØÓ Ñ Σ = {} ÓÐÐÓÒ ØØÚÒ ÓÒ ÖÓØØ ÒÙÐÐ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÓÒØ ¹ÖÒØ ÎØÓØÓ Ø ØØÚÒ ÚÓ ÓÐÐ ÐØ Ñ¹ ÓÐÐ ÑÑÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒ Ó ÙÓÖØØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÓÒØ ÐØ ÒÒÒ ÔÝ ØÝÑ ØÒ ÃÙÑÑ Ò ÓÒÐÑ ÓÒÒ ØÝØÝÝ ÙØÒÒ ÔÝ ØÝ ÐÓÔÙÐØ ÌÐÓÒ ÐÙÙÑÖÒ n Ð Ø ÑÙÒ ÐÓÔÔÙØÐÓ ÑÖ ¹ØÐÒÒ Ù Ý ÚÖ ¹ÓÒ ÚÓ ÖÓØØ Ñ Ñ Ò ÑÖ ØÓÑ ¾½ ÖØÝÑÒ Ò ÃÙÚ ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ½ ÖØÝÑÒ ÐÒ ÖÓØØ ÑÖ 1/1,L 1/1,R </1,L </1,L 1/1,R ok </1,R Ù Ý ÚÖ ¹ÙÒØÓ f(n) = {x n¹øðòò ÓÒ ÖÓØØ Ñ Ñ Ò x ÑÖ ÐÓØØ Ò ØÝÐØ ÒÙÐØ} Ú ØÚØØÓÑÒ ÒÓÔ Ø Ñ ¹ØÐ Ò ÓÒÒ ÒÒØÝ ÓÒ ¾ ¼ ÑÖ ÓÒ ÔÝÖ ÔÖÑÑÐÐÒ ¼ ½ ¼ ¾ ÐÒ Ò ÙÒØÓØ ÙØÒÒ ÔÝ ØÝ Ð ÑÒ ÓØÒ ØÙÐÓ Ø ÓÒ ØÙ ÓÐÑÐÐ ÙÙ ÒÒØÝ ÓÒ ÓÓØØØÚ ÈÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÖÓÐÑ ÈÈµ ÈÈ¹ÓÒÐÑÒ ÚÓ ÑÐÐÒØ ÓÑÒÓÔÐÒ Ó ÓÒ ÝØØØÚ ÖÐÐÒÒ ÓÓÐ¹ Ñ ÖÐ ÓÑÒÓÒÔÔÙÐÓØ ÃÙÒÒ ÒÔÔÙÐÒ ÝÐ¹ ÐÖÙÒ ÓÒ ÑÖ¹ ÓÒÓ Ñ [ ], [ ], c [c ], [c] ÃÙ ØÒ ÒÔÔÙÐ Ø ÚÓ ØÓ ÒÒ ÑÓÒØ ÓÔÓØ c ÙÒ Ò ÐÙ ÌØÚÒ ÓÒ ØØ ÒÔÔÙÐØ ÐÐ ØÚÐÐ ÔÖÒ ØØ Ð¹ ÝÐÖÙÒÒ ÑÙÓÓ ØÙÙ Ñ ÑÖÓÒÓ Ñ ÐÐ Ò ÓÓÐÑÒ ÒÔÔÙÐÓÐÐ Ö ÖØ Ù ÓÐ [ ][ c ][c][ ][c] c Ð Ø ÓÒÐÑ ÓÒ ÙÖÚ ÒÒØØÙÒ ÓÓÐÑ P = [ t1 t2 tk ], [ ],..., [ ] ÓÒÓ s1 s2 sk ÓÐÑ ÐÐ Ø Ò ÓÒÓ i1, i2,..., in ØØ si1si2...sin = ti1ti2...tin ÃÐÓÒØÓÒÐÑ ÌÐÒ ÔÖÓÐÑµ ÃÐÓÒØÓÒÐÑÒ ÔÖÙ ÓÒ ÙÖÚ ÒÙÐÐ ÓÒ ÝØ ÖØÒ ÚÖ ¹ ØÓ ÖØÝÝÔÔ ÐØ ÃÐØÝÝÔÔ ÓÒ ÙØÒÒ ÚÒ ÖÐÐÒÒ ÑÖ Æ ÓÚØ ÑÒÓÓ ÒÐØ ÑÙØØ Ò ÓÒ Ò ÚÓ ÓÐÐ Ö ÚÖ Ø Ù¹ ÚÓØ ÃÐÓÒØÑÐÐ ÓÒÑ ÑÖØÐØÝ ÑÒ ØÝÝÔÔ ÐØ Ø Ø¹ Ø ÚÖÒ ÓØØ ÝÒØÝÝ Ó ÙÚÓ ÌØÚÒ ÓÒ ØÙØ ÚÓØÓ ÐÓ ÑÒØÒ ÓÓ Ò ÒÐÒÑÙÓØÓ Ò ÐØØÒ ÒÒØÙÒ ÙÚÓÒÒÒ ÑÙÒ ÀÙÓ¹ Ñ ØØ ÐØ ÒØ ÝÑÔÖ Ø ÖØ ÑØÒÒ Ç ÑÖ¹ ÐÓÒØÑÐÐ Ø ÓÐÐ ÐÓÒØ ÚÓÒ ÙÓÖØØ ½µ ØÓ Ø ÓÐÐ ÐÓÒØ ÓÒÒ ØÙ ½µ

60 ¾ ¼ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÀÍËÃ ÄÁËÌÁÌÇ ÇÆÄÅÁÆ ÈÄÍÌÍÃËÌ ¾ ½ ÃÙÚ ½ ÆÐÐ ÓÐÑÐÐ ÐØÝÝÔÐÐ ÚÓØ ÐÓ ÑÒØÒ ÓÓ Ò ÐØØÒ ÙÒ ÚØÒ ØØ ÐÒ ÑÒÚÖ Ø ÚÙØ ÓÚØ Ò ÚÖÒ ÃÙÚ ½ ÑÖÐÓÒØ Ó Ø ÒÒ ØÓ ØÙÚ ÑÓ ÑØ ÐØÝÝÔØ ÚØ Ø ÚÖÒ Ú¹ ÔÝ ØÝØ Ó ÑÖ (d1, d2) H ÖØÓÓ ØØ ØÝÝÔÒ d1 Ð Ø ØÝÝÔÒ d2 ÐÒ Ú ÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ (d1, d3) V ÖØÓÓ ØØ ØÝÝÔÒ d1 Ð ÚÓ Ø ØÝÝÔÒ d3 ÐÒ ÝÐÔÙÓÐÐÐ ÌØÚÒ ÓÒ ÐÝØ ÙÚÙ f : N N D ØÒ ØØ f(0, 0) = d0 (f(m, n), f(m + 1, n)) H m, n N (f(m, n), f(m, n + 1)) V m, n N Ç ÓØØÙØÙÙ ØØ ØÐÐ Ø ÙÚÙ Ø ÚÓ ÐÝØ Ð ÒÒÐÐ Ø ÓÒÐÑ ÓÒ ¹ Ð ÒÒÐÐ Ø ÖØÑØÓÒ ÎÓ ÑÑ ÝÖØØ ÖØ Ø ÓÒÐÑÒ ÙÖÚÐÐ ØÚÐÐ ÖØØÒ ÐÓ ÒÓÓ ÐØØÓØ ¾ ¾ Ò ÅÐ ÐÝÑÑ ØÓ ØÙÚÒ ÑÓÒ ÚÓÑÑ ÐÓÔØØ ÔØÐÐ ØØ ÑÒØ¹ Ò ÓÓÒÒ ÐØØ ÓÒ ÐÓØÚ ØÓ ÐØ Ó ÐÝÑÑ ÝÒÒ ÐØØÒ ÓØ ÑÑ ÚÓ ÐÓ ÚØ Ô ÐÐ ÑÓÐÐ ÐÐ ÐØØÓÐÐ ÅÙØØ ÓÒ ÑÓÐÐ Ø ØØ ÐÓÒÒ ÓÐ ØÓ ØÙÚ ÑÓ ËÐÐÓÒ ÒÙØ ÒÓ ÓÐ ÓÐÐ ÐÐ ÑÓÐÐ ÐÐ ÐØØÓÐÐ ÓØ ÓÒ ÖØØÑÒ ÑÓÒØ ÀÙÓÑ ØØ ØÑ ÙØÒÒ ÖØ ØÓ ØÑÒ ØØ ÓÒÐÑ ÓÒ ÖØÑØÓÒ ÚÓ Ò ÓÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÒÖÓ ÐÓÖØÑ Ó ÖØ ÓÒÐÑÒ ØÓ ÐÐ ØÔ ÇÒÐÑ ÚÓÒ ÙØÒÒ ØÓ Ø ÖØÑØØÓÑ ÔÐÙØØÑÐÐ ÓÓÒÒ ØÙÒÒØØÙÙÒ ÖØÑØØÓÑÒ ÓÒÐÑÒ ÖÖ Ì ÙÒ ÓÐÚÐØÝ Ó Ø ÓÑÒÓ ÔÖÓÐÑ ÅÑÓÖ Ó Ø ÑÖÒ ÅØÑØÐ ËÓØÝ ½µ ÃÐÓÒØÓÒÐÑ Ø ÓÒ ÓÐÑ ÑÓÒ ÚÖØÓØ Ó ÐÒ ÑÙÓØÓ ÙÚÓØ ÚØÐÚØ ÑÖ ÐØ ÚÓÚØ ÓÐÐ ÒÒÐÐ ¹ÙÐÑÓØ ÓÐÐÓÒ ÚØÒ ØØ ÐØØÒ ÓÒ ÒÒÐÐ Ò ¹ÙÐÑÓÒ ÑÙÓØÓÒÒ Ø ÚÓÒ ØÙØ ¹ÙÐÓØØ Ø ÑÙÙÖÙ ÓÒÐÑ ÀÙÓÑ ØØ ÖÐÐ Ò ÓÓ Ò ÐØØÒ ÐÓÒ¹ ØÓÒÐÑ ÚÓÒ Ò ÖØ Ø ØÙØÑÐÐ ÚØÓÓØ ØÑ ÓÒÐÑ ÓÒ NP ¹ØÝÐÐÒÒµ ÀÙ Ð ØØÓ ÇÒÐÑÒ ÔÐÙØÙ Ø ÃÙÚ ½ ÆÐÐ ÓÐÑÐÐ ÐØÝÝÔÐÐ ÚÓ ÐÓ ÑØÒ ÐØØ ØÒ ØØ ÚÖ Ø ÚÙØ ÓÐ ÚØ Ò ÑÒÚÖ ÃÓÐ ÑÖ ÐØØÒ ÐÓÒØ ÓÖÑÐ Ø ÑÖØÐØÝÒ ÓÒÐÑ ÓÒ ÙÖÚ ÒÒØØÙÒ ÖÐÐÒÒ ÓÙÓ ¹ ÐØÝÝÔÔ D Ú ÑÔÒ ÝÐÙÐÑÒ ÓØØØÚ Ð d0 D ÙÚÓÒ ÑÖØØÚØ ÒÒØ H V H, V D D ÓÚØ ÖÐØÓØ ÓØ ÑÖØØÐÚØ ÂÓ Ù ÓÒÐÑ ÚÓÒ ÔÐÙØØ ÖÙ Óµ Ó Ò ØÓ ØÙÒÒØÙ ÓÒÐ¹ Ñ ÓÐÐÓÒ ÚÓÑÑ ÔØÐÐ ÑÝ ÐÙÔÖ Ò ÓÒÐÑÒ ÖØÚÙÙÒ»ÖØ¹ ÑØØÓÑÙÙÒ ØÓÒ ÙØÒÒ ÓÒ ØØ ÓÒÐÑÒ ÔÐÙØÙ ÓÒ Ø Ò ÖØ¹ Ú ÓÒÐÑ ÐÐ ÝØØÐÐ Ø ÚÓÒ ÙÓÖØØ ØÓØÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐ¹ Ðµ ÁØ ÓÐÑÑ Ó ÝØØÒØ ÔÐÙØÙ Ò ÝÚ Ó ÓØØ ÑÑ ÈÝØÝÑ ÓÒÐÑÒ ÖØÑØØÓÑÙÙÒ Ð U ÔÐÙØØØÒ ÐÒ Hµ Á ½ ÅÐÐ ÓÒ ØÙÒØÑØÓÒ Ð A ØÙÒÒØØÙ Ð B ¾ ¾ ÄÍÃÍ ÊÌÃÎÍÍË Â ÊÌÃÅÌÌÇÅÍÍË ÀÍËÃ ÄÁËÌÁÌÇ ÇÆÄÅÁÆ ÈÄÍÌÍÃËÌ ¾ ¾ ÈÐÙØØÒ A B ÔÐÙØÙ ÙÒØÓÐÐ f ØÒ ØØ x A f(x) B ÐÐ x Σ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÙÚØØÙÒ ÚÓÑÑ ÐØ AÐÐ ØÙÒÒ ¹ ØÙ ÓÒÒ ÙÒ ÑÐÐ ÓÒ ÝØ BÒ ØÙÒÒ ØÙ ÓÒ ØÓØÐÒÒ ÑÙÙÒ¹ ÒÓ ÓÒ Ó ÑÙÙÒØ ÐÒ A ÒØ ÐÒ B¹ ÒÓ ØÒ ØØ Ú ØÙ ÑÙÙØÙ ÆÝØ A ÓÒ ÖØÚ Ó B ÓÒ A ÓÒ Ó ØØÒ ÖØÚ Ó B ÓÒ ÙÒÒ ÔÐÙØÙ ÙÒØÓ f ÓÒ Ø Ò ÖØÚ ÖÙÖ ÚÒÒµ Ä ÔØ ØØ B ÓÒ ÖØÑØÓÒ Ó A ÓÒ ÃÐØÒ A B Ø ÚÓÑÑ ÑÖØÐÐ ÑÒ ØÔÒ ÔÐÙØÙ Ò ÓÒÐÑÐÐ P1 P2 ÇÒÐÑ P1 ÚÓÒ ÔÐÙØØ ÓÒÐÑÒ P2 ÑÐ ÚÓÑÑ ÑÙÙÒØ ÓÒÐÑÒ P1 ØÔÙ Ø P2Ò ØÔÙ ÓÐÐÒ ØÓØÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ Ø ØØÓÓÒÓÐÑÐÐµ : A ÚÚÐÒØ Ø ÚÓØ Ò ÑÖØÐÐ ØØ Ó ØØ ÖÙÖ ÚÙÒØÓ f ÓÒ ÖÙÖ ¹ ÚÒÒ Ó Ò ÖÚÓ f(x) ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÐÐ x ÌÖÚØ ÑÑ ÖÙÖ Ú Ò ÔÐÙØÙ ÙÒØÓÒ ÅÖØÐÑ ÓÖÑÐ Ð A Σ ÚÓÒ ÔÐÙØØ ÖÙÖ Ú Ø ÐÒ B Γ ÑÖØÒ A m B, Ó ÓÒ ÓÐÑ ÖÙÖ ÚÒÒ ÙÒØÓ f : Σ Γ ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÒ ÙÙ ÈÐÙØÙ Ò A m B ÑÖØÝ x A f(x) B, ÐÐ x Σ. muunn B ÂÓ ÚÓÑÑ ÔÐÙØØ AÒ B ÓÒ B ÚÒØÒ ÝØ Ú ÙÒ A ÃÙÚ ½ ÃÐÒ A ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÔÐÙØØÒ ÐÒ B ØÙÒÒ ØÙ ÓÒÐÑ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒÐÐ muunn ÅÙÙÒÒÓ ÓÒÒ ØÙÐ ÓÐÐ ØÓØÐÒÒ Ð ÐÚÝØÝ ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ø ÐÐ ÝØØÐÐ ÖÐÐ ÅÖØÐÑ ÌÙÖÒÒ ÓÒÒ = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qý, qòó) Ð Ñ Ó Ø¹ Ø ÙÚÙ Ø ¹ÙÒØÓµ f : Σ Γ ÑÖØÐÐÒ { u, Ó (q0, x) (q, uv) ÓÐÐÒ q {qý, qòó}, v Γ ; f(x) = ÑÖØØÐÑØÒ ÑÙÙØÒ ÂÓ A m B B ÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÓÒ AÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØ¹ Ú ÂÓ A m B B ÓÒ ÖÙÖ ÚÒÒ ÓÒ AÒ ÖÙÖ ÚÒÒ ÂÓ A ÓÒ ¹ÖÙÖ ÚÒÒ ÓÒ BÒ ¹ÖÙÖ ÚÒÒ ÂÓ A ÓÒ ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÓÒ BÒ ¹ÖÙÖ Ú Ø ÐÙØÐØÚ ÀÙÓÑ ÈÐÙØÙ ØÙ ÚÓ ÓÐÐ ÔØÒ ÐÐ ÖÙÖ ÚÒÒ ÔÐÙØÙ ÖÐØÓ ÓÒ ØÖÒ ØÚÒÒ Ø Ó A m B B m C ÒÒ A m C ÎÓ ÑÑ ÔÐÙØØ AÒ B BÒ C CÒ D Ò ÙÒÒ Ú ØÒ ØÙÐ ØÙØØÙ Ð ÀÙÓÑ¾ ÇÐ ØÖÒ ÔÐÙØÙ Ò ÙÙÒÒ Ç ØØ ÙÒØÓ f : Σ A ÓÒ Ó ØØ ÖÙÖ ÚÒÒ Ó ÚÓÒ Ð ÓÐÐÒ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ ÓÓÒ ¹µÖÙÖ ÚÒÒ Ó ÚÓÒ Ð ÓÐÐÒ ØÓØÐ ÐÐ ÌÙÖÒÒ ÓÒÐÐ Ã ÐØ A B ÓÚØ ÒÒ ÓÑÓÖ Ø Ó Ò ÓÒ ÑÖØÐØÝ Ñ Ó ¹ ØÓ Σ ÖÙÖ ÚÒÒ ÔÐÙØÙ ÙÒØÓ ÓÒ ØÓ Ø ÚÓÑÑ ÙÓÖØØ ÔÐÙØÙ¹ Ò ÙÑÔÒÒ ÙÙÒØÒ ÓÖÑÐ Ø

Näytä lisää