Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135 = c) Tasasivuisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä

2 . Esimerkiksi: Pinta-ala on 5. Pinta-ala on 8. Pinta-ala on 4. jne.

3 1.1 Erilaisia kulmia YDINTEHTÄVÄT 101. A, ja B ja C D ja E 10. a) Kulmat, 70 ja 50 muodostavat yhdessä oikokulman = 180º = 180º 70º 50º = 60º b) Kulmat ja 5 ovat yhdessä 80:n kulman ristikulma. + 5 = 80º = 80º 5º = 55 c) Kulmat muodostavat yhdessä oikokulman. 113º + + = 180º = = 67 : = 33,5

4 103. a) Hahmotellaan kolmio ja merkitään kolmatta kulmaa kirjaimella. Kolmion kulmien summa on º + 37º = 180 = º 37º = 53º Kolmannen kulman suuruus on 53º. b) Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret, joten toinen kantakulma on myös 40º. Hahmotellaan kolmio ja merkitään kolmatta kulmaa kirjaimella. Kolmion kulmien summa on º + 40º = 180 = 180º 40º 40º = 100º Kolmion kaksi muuta kulmaa ovat 40 ja 100º.

5 104. a) epätosi Vieruskulmien summa on 180º. Molemmat kulmat voivat olla 90º astetta. b) tosi Suora kulma on 90 ja tylpän kulman suuruus on yli 90. Jos kolmiossa olisi suora ja tylppä kulma olisi kolmion kulmien summa yli 180. c) epätosi Samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret vain, kun leikkaavat suorat ovat yhdensuuntaiset. Jos suorat eivät ole yhdensuuntaiset, samankohtaiset kulmat ovat eri suuret. d) tosi Tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua. Tasasivuisessa kolmiossa kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, joten siinä on kaksi yhtä pitkää sivua.

6 105. a) 60 b) Esimerkiksi:

7 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 106. a) Täydennetään kuvaan kulman ristikulma. Kulmat β ja 159 ovat vieruskulmat, jolloin β = 180º 159º = 1º. Kulma on kulman ristikulma, joten = β = 1º. Kulma on kulman kanssa samankohtainen kulma ja a b, joten α = = 1º. b) Suorat ovat yhdensuuntaiset jos samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Täydennetään kuvaan 45:n kulman vieruskulma. Kulman suuruus on = 135. Tämän kulman kanssa samankohtaisen kulman suuruus on 134, eli samankohtaiset kulmat eivät ole yhtä suuret. Suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaiset. c) Täydennetään kuvaan 5:n kulman vieruskulma ja sen kanssa samankohtainen kulma. Kulma = = 18. Koska c d, on kulman kanssa samankohtainen kulma myös 18. Kulma on samankohtainen kulman kanssa. Koska a b, ovat samankohtaiset kulmat yhtä suuret, eli = =18.

8 107. a) Piirretään tilanteesta kuva. Lasketaan kulkusuuntien välinen kulma. Alun 0:n suunnalla ei ole vaikutusta laivan lopulliseen suuntaan. Laivan kulkusuunta on 70º 90º = 180º. Laiva etenee etelään. b) Piirretään tilanteesta kuva. Etenemissuuntien välinen kulma on 195º 44º = 151º.

9 108. a) Kulma ja suorakulma ovat yhdessä kulman 15 ristikulma. = 15º 90º = 35º b) Kuvaan syntyy kolmio. Täydennetään kuvaan 130:n kulman vieruskulma ja 15:n kulman vieruskulma. Kulma = = 50 ja = = 55. Kolmion kolmas kulma on 180º 50º 55º = 75º. Kulma on tämän kulman ristikulma, joten = 75. c) Täydennetään kuvaan kulma. Pienemmässä oikeanpuoleisessa kolmiossa on suoran kulman vieruskulma, eli myös suora kulma, 60 kulma ja kulma. Koska kolmion kulmien summa on 180, = 180, josta = º 60º = 30º. Kulmat ja muodostavat yhdessä suoran kulman, joten + = 90, josta = 90º 30º = 60º.

10 d) Täydennetään kuvaan 9º:n kulman ristikulma. Kulma = 9º. Kulma BAC on samankohtainen kulman kanssa ja AB t, joten kulma BAC on myös 9. Kulma on kolmion ABC kolmas kulma. Kolmion kulmien summa on = 180 = 180º 9º 73º = 78º 109. a) Esimerkiksi b) 900º c) Kulma CAB ja kolmion kulma A muodostavat yhdessä täysikulman 360 ja samoin muut kulmat. Kulmien summa on CAB + ABC + BCA = (360 BAC) + (360 CBA) + (360 ACB) = ( BAC + CBA + ACB) = = 900.

11 110. a) Esimerkiksi: b) Kolmion kulmat B ja C näyttävät olevan yhtä suuret. tai c) Kolmio ABC on tasakylkinen, koska sivut AB ja AC ovat saman ympyrän säteitä. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret Frontti tarkoittaa etukautta, eli vatsan puolelta. Kaksi täyttä kierrosta on 360 = 70, eli nimitys seiska tulee kierrosten asteluvusta. Bäkki on takakautta, eli selän puolelta.,5 360 = 900, eli nimitys ysi tulee kierrosten asteluvusta.

12 11. Ratkaisu on piirretty GeoGebralla. 1. Piirretään varjoa kuvaava jana AB. Määritetään janan pituudeksi 11.. Piirretään kulma Pisteeseen A kulma, jonka suuruus on Piirretään auringonsädettä kuvaava puolisuora kulman toiselle kyljelle.

13 4. Piirretään pisteestä B janalle AB normaali. 5. Merkitään suoran ja kulman kyljen leikkauspiste C. 6. Mitataan pisteiden B ja C välinen etäisyys. Puun korkeus on 9, m.

14 113. Piirretään tilanteesta kuva. Merkitään tulevan valonsäteen ja peilin välistä kulmaa kirjaimella ja lähtevän valonsäteen ja peilin välistä kulmaa kirjaimella. Valonsäde tulee ja heijastuu peilistä samassa kulmassa. Jatketaan valonsäteitä peilin taakse, jolloin kysytty kulma on säteiden jatkeiden leikkauskohtaan muodostuva kulma. Täydennetään kuvaan myös kulmien ja ristikulmat. Kolmion kulmien summa on 180, joten kolmiossa ABC =180 + = 50 Kolmiossa ABH on kulmat, ja. + + = 180 = 180 = 180 ( + ) = = 80 Tulevan ja lähtevän säteen välinen kulma on 80.

15 114. a) 1. Piirretään suora AB.. Piirretään jana BC kulmien toiseksi kyljeksi. 3. Piirretään ja mitataan kulma CBA ja nimetään se kirjaimella.. 4. Piirretään piste D suoralle AB.

16 5. Piirretään ja mitataan kulma DBC ja nimetään se kirjaimella. 6. Piirretään molemmille kulmille kulmanpuolittajat. 7. Piirretään pisteet E ja F kulmanpuolittajille. 8. Mitataan kulmanpuolittajien välinen kulma EBF.

17 9. Siirretään pistettä C, jolloin kulmien CBA ja DBC suuruudet muuttuvat. Kulmanpuolittajien välinen kulma näyttää olevan aina 90. b) Kulma ja kulma ovat toistensa vieruskulmat, eli + = 180. Kulmanpuolittajien välinen kulma

18 115. a) Tuntiviisari liikkuu tunnin aikana 360 : 1 = 30. Kun kello on 14.00, osoittaa minuuttiviisari kohtisuoraan ylöspäin ja tuntiviisari on kiertynyt 30 = 60. Viisarien välinen kulma on 60. b) Kun kello on 9.30 minuuttiviisari on kiertynyt yläasennosta puoli kierrosta, eli 180 ja tuntiviisari on kiertynyt 9,5 30 = 85. Viisareiden välinen kulma on = 105. c) Kun kello on 6.15, minuuttiviisari on kiertynyt yläasennosta neljäsosakierroksen, eli 90º. Tuntiviisari on kiertynyt 6,5 30 = 187,5. Viisareiden välinen kulma on 187,5 90 = 97,5.

19 116. a) Täydennetään kuvaan kulma. Kulma on samankohtainen kulman 65 kanssa. Koska s t on = 65. Kulmat 58, ja muodostavat yhdessä oikokulman = = 180 = 180º 58º 65º = 57º b) Kuvaan muodostuu pieni kolmio, jonka kulma on samankohtainen kulman 70 kanssa ja kulma on samankohtainen kulman 44 kanssa. Koska s t on = 70 ja = 44. Kolmion kolmas kulma on 180º 70º 44º = 66º. Kulma on tämän kulman vieruskulma, joten = = 114.

20 c) Kulma on samankohtainen kulman 37º kanssa ja l m, joten = 37. d) Kuvaan muodostuu ylös pieni kolmio. Täydennetään kuvaan 63:n kulman ristikulma, jonka suuruus on myös 63. Kolmion yksi kulma on 107:n kulman vieruskulma, 180º 107º = 73º. Toinen kulma on samankohtainen kulma kulman kanssa. Koska l m pienen kolmion toinen kulma on 63. Kulma on kolmion kolmas kulma, joten = = 44.

21 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 117. Piirretään kuva tilanteesta. Tasasivuisen kolmion ABE kaikki kulmat ovat 60. Kolmiot AED ja BEC ovat tasakylkisiä, koska tasasivuisen kolmion ABE kaikkien sivujen pituus on sama kuin neliön sivun pituus. Kulma EAD on = 30. Tasasivuisen kolmion AED kantakulmat ovat yhtä suuret, eli Kulmat CED, DEA, AEB ja BED ovat yhdessä täysikulma 360. Kulma CED on = 150.

22 118. Merkitään BEC = ja BAC =. Pitää osoittaa, että =3. Kolmiot AED, DEC ja EBC ovat tasakylkisiä. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Tällöin DEA = ja ADE = 180. Kulma EDC on kulman ADE vieruskulma, joten EDC = 180 (180 ) =. Tällöin tasakylkisen kolmion DEC huippukulma CED on 180 = Kulmat, CED ja DEA muodostavat yhdessä oikokulman. = 180 (180 4) = = 3.

23 119. a) ]0, 360[ Esimerkiksi: b) ]0, 540[ Esimerkiksi: c) ]0, 70[ Esimerkiksi

24 10. Merkitään käännyttyjä kulmia kirjaimilla, ja. Tiedetään, että + + = 360. Kolmion kulmat ovat kulmien, ja vieruskulmat, eli 180, 180 ja 180. Lasketaan kolmion kulmien summa. (180 ) + (180 ) + (180 ) = ( + + ) = = 180.

25 11. Täydennetään kuvaan kulma. a) Oletetaan, että suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset. Pitää osoittaa, että + = 180. Kulman kanssa samankohtainen kulma on. Koska suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset =. Kulma on kulman vieruskulma, joten + = + = 180. b) Oletetaan, että + = 180. Pitää osoittaa, että l ja m ovat yhdensuuntaiset. Kulman vieruskulma on, joten + = 180, eli = 180. Koska + = 180, on = 180. Koska samankohtaiset kulmat ja ovat yhtä suuret, ovat suorat l ja m yhdensuuntaiset.

26 1. Pythagoraan lause ja kolmion pinta-ala YDINTEHTÄVÄT 1. a) Pythagoraan lauseella: 5,5 + 4,8 = x x = 30,5 + 3,04 x = 53,9 x = 7,3 tai x = 7,3 Koska hypotenuusan pituus on positiivinen, sivun pituus x on 7,3 cm. b) Pythagoraan lauseella: x + 8,7 = 13,8 x + 75,69 = 190,44 x = 114,75 x = 10,71 (tai x = 10,71 ) x 11 (m) Koska kateetin pituus on positiivinen, sivun pituus x on 11 m. c) Pythagoraan lauseella: x + 1 = x + 1 = 4 x = 3 x = 3 (tai x = 3 ) Koska kateetin pituus on positiivinen, sivun pituus x on 3.

27 13. a) Hahmotellaan kolmio. Pythagoraan lauseella: 9,0 + 15,0 = x x = 81,0 + 5,0 x = 306,0 x = 17,49 tai x = 17,49 Koska hypotenuusan pituus on positiivinen x 17 (cm) Hypotenuusan pituus on 17 cm. b) Hahmotellaan kolmio. Pythagoraan lauseella: x + 4,5 = 8,1 x + 0,5 = 65,61 x = 45,36 x = 6,73 tai x = 6,73 Koska kateetin pituus on positiivinen x 6,7 (cm) Kateetin pituus on 6,7 cm.

28 c) Hahmotellaan kolmio. Pythagoraan lauseella: x x 18 x 34 : x 16 x 16 tai x 16 Koska kateetin pituus on positiivinen x 81 x 9 Kateettien pituudet ovat a) Kolmion kanta on 7 cm ja korkeus cm. 7 A 7(cm ) Pinta-ala on 7 cm. b) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus Pythagoraan lauseella. x 6,0 10 x 36, x , 0 x 64,0 x8,0 tai x8,0 Koska kateetin pituus on positiivinen x 8,0 (cm). 8,0 6,0 48,0 A Pinta-ala on 4 cm. 4,0 (cm )

29 c) Kuvio voidaan jakaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden kateetit ovat m ja 5 m. Molempien kolmioiden pinta-ala on A 5 10 Koko kuvion pinta-ala on 5 m = 10 m. 5(m ). d) Valitaan väritetyn kolmion kannaksi sivu, jonka pituus on 3. Kantaa vastaan kohtisuora korkeus on 4. Kolmion pinta-ala on A a) epätosi Jotta Pythagoraan lausetta voi käyttää, tulee kolmion olla suorakulmainen. Jos kolmio ei ole suorakulmainen, ei Pythagoraan lauseella voida ratkaista kolmannen sivun pituutta. b) epätosi Esimerkiksi tasakylkisellä kolmiolla, jonka kanta on ja korkeus 1 on pinta-ala 1 ja samoin tasakylkisellä kolmiolla, jolla kanta on 1 ja korkeus on pinta-ala 1, mutta kolmioiden korkeudet eivät ole samat.

30 c) tosi Tylppäkulmaisessa kolmiossa tylpän kulman viereisen sivun korkeusjana on kolmion ulkopuolella. 16. a) Piirretään apukuvio. b) Merkitään latvaosan pituutta kirjaimella x. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta hypotenuusan pituus x Pythagoraan lauseella: 8,5 13,5 x x 54,5 x 54,5 tai x 54,5 Koska hypotenuusan pituus on positiivinen x 15,95... (m). Puun koko pituus on 15,95 + 8,5 = 4,45 (m). Puun korkeus ennen katkeamista oli 4 m.

31 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 17. Piirretään mallikuva. Merkitään kolmion kannan puolikasta kirjaimella x. Koska korkeusjana on kohtisuorassa kantaa vastaan, muodostuu suorakulmainen kolmio, josta kateetin pituus x voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. x 7,1 10,0 x 50,41 100,0 x 49,59 x 7,04... tai x 7,04... Koska kateetin pituus on positiivinen, x = 7,04 (cm). Kolmion kanta on x = 14,08 (cm) 14, ,1 49, (cm ) A Pinta-ala on 50 cm.

32 18. Taulu ei mahdu ovesta suoraan, vaan taulua pitää kallistaa. Taulu mahtuu ovesta, jos oven lävistäjä on yli metriä pitkä. Piirretään mallikuva. Lasketaan oviaukon lävistäjän pituus x Pythagoraan lauseella x x 4065 x01,55... tai x01,55... Koska lävistäjän pituus on positiivinen x = 01,55 (cm). Koska oviaukon lävistäjä on hieman yli metriä, mahtuu taulu oviaukosta kallistettuna m pitkä sivu eteenpäin osoittaen. 19. Piirretään mallikuva. Jos kolmion kahden lyhimmän sivun pituuksien neliöiden summa on sama kuin kolmion pisimmän sivun pituuden neliö, on kolmio suorakulmainen = = = 900 Kolmio ei ole suorakulmainen. Tolpat eivät ole oikeissa kohdissa. Aitaan ei saatu suoraa kulmaa.

33 130. Television halkaisija on 55 = 55,54 cm = 139,7 cm. Merkitään televisioruudun leveyttä 16a ja korkeutta 9a. (16a) + (9a) = 139,7 337a = 19516,09 :337 a = 57,91. a = 7,60 tai a = 7,60 Koska ruudun mitat ovat positiivisia, a = 7,60 (cm). 16 7,60 = 11,75 1 (cm) 9 7,60 = 68,48 68,5 (cm). Televisioruudun leveys on 1 cm ja korkeus 68,5 cm Koska kolmion kanta AB on koko ajan sama, tulee korkeudenkin pysyä yhtä suurena, jotta pinta-ala ei muuttuisi. Korkeus pysyy samana, jos piste D sijaitsee pisteen C kautta kulkevalla janan AB kanssa yhdensuuntaisella suoralla a. Piste D voi myös sijaita toisella puolella suoraa AB.

34 13. Merkitään toista kateettia kirjaimella x. Koska kateettien pituuksien summa on 10, on toisen kateetin pituus 10 x. Ratkaistaan x Pythagoraan lauseen avulla. x + (10 x) = 8 x x + x = 64 x 0x + 36 = 0 : x 10x + 18 = 0 ( 10) ( 10) 4118 x x5 7 ( 7,65) tai x5 7(,35) Toinen kateetti on pituudeltaan 5 7, jolloin toisen pituus on 10 ( 5 7 ) = 5 7. Tämä on ratkaisukaavasta toinen mahdollinen kateetin pituus, joten mahdollisia kolmioita on vain yksi. Kolmion pinta-ala saadaan laskettua kateettien pituuksien avulla. (5 7) (5 7) Kolmion pinta-ala on 9.

35 133. Piirretään kuva. Merkitään tikapuiden etäisyyttä taloista kirjaimilla x ja y. Ratkaistaan x ja y suorakulmaisista kolmioista Pythagoraan lauseella.,0 + y = 4 4,0 + y = 16 y = 1 y = 1 (tai y = 1 ) Koska etäisyys on positiivinen y = 1 3,46 (m). 3,0 + x = 4 9,0 + x = 16 x = 7,0 x = 7,0 (tai x = 7,0 ) Koska etäisyys on positiivinen, x = 7,64 (m). x + y = 3,46 +,64 = 6,10 6,1 m Talot ovat 6,1 metrin päässä toisistaan.

36 134. Kolmiot ovat tasakylkisiä, koska niissä molemmissa on kaksi sivua, joiden pituus on 5. Tällöin toisen kolmion kanta on pituudeltaan 6 ja toisen 8. Piirretään tilanteesta kuva ja merkitään kuvaan kolmioiden korkeusjanojen pituudet kirjaimilla x ja y. Koska kolmiot ovat tasakylkisiä, korkeusjana puolittaa kannan. Ratkaistaan kolmioiden korkeudet Pythagoraan lauseella. 3 + x = x = 5 x = 16 x = 4 tai x = 4 Koska korkeus on positiivinen, x = y = y = 5 y = 9 y = 3 tai y = 3 Koska korkeus on positiivinen, y = 3. Kolmion, jonka sivut ovat 5, 5 ja 6, pinta-ala on A Kolmion, jonka sivut ovat 5, 5 ja 8, pinta-ala on A Kolmioilla on sama pinta-ala, joten on mahdollista löytää opiskelijan väitteen mukaiset kolmiot.

37 135. a) Esimerkiksi: Pinta-alat ovat yhtä suuret. b) Kolmioiden ADC ja DBC kannat AD ja DB ovat yhtä pitkät, koska piste D puolittaa janan AB. Kummallakin kolmiolla on sama kärjestä C lähtevä korkeusjana. Koska kolmioiden kannat ja korkeudet ovat yhtä pitkät, ovat pintaalatkin yhtä suuret.

38 136. a) Väritetyn alueen pinta-ala saadaan, kun neliön pinta-alasta vähennetään kolmen suorakulmaisen kolmion pinta-alat. Neliön pinta-ala on 4 4 = 16. Pienen kolmion kateetit ovat puolet neliön sivun pituudesta, eli. Pienen kolmion pinta-ala on. Isompien kolmioiden kateetit ovat 4 ja. Näiden kolmioiden pinta-alat ovat 4 4. Väritetyn alueen pinta-ala on 16 4 = 6. b) Väritetyn alueen pinta-ala saadaan, kun neliön pinta-alasta vähennetään neljän suorakulmaisen kolmion pinta-alat. c) Väritetty alue voidaan jakaa kahdeksi kolmioksi, joiden molempien Kannan pituus on 5 ja korkeus 1. Väritetyn alueen pinta-ala on A Kaikkien kolmioiden korkeus on 3. a 3 b 3 c 3 ( abc) 3 A

39 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 137. Merkitään kuvaan pituudet a, b ja c. Ison neliön pinta-ala on A = c. Sinisen neliön sivun pituus on b a. Ison neliön pinta-ala saadaan laskemalla yhteen sinisen neliön pinta-ala ja neljän kolmion pinta-alat. A ( ba) 4 ab b aba aba b Eri tavoin lasketut pinta-alat ovat yhtä suuret, joten c = a + b.

40 138. Piirretään kuva tilanteesta. Merkitään kirjaimella D korkeusjanan ja sivun AC leikkauspistettä. Ratkaistaan janan AD pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABD Pythagoraan lauseella. AD + 1 = 13 AD = 169 AD = 5 AD = 5 tai AD = 5 Koska sivun pituus on positiivinen, AD = 5. Janan DC pituus on 13 5 = 8. Korkeusjana jakaa kyljen AC suhteessa AD 5 5:8. DC 8 Ratkaistaan kolmion kolmas sivu CB suorakulmaisesta kolmiosta DBC Pythagoraan lauseella = CB CB = 08 CB = tai CB = Koska sivun pituus on positiivinen, CB = Kolmion kolmannen sivun CB pituus on 4 13.

41 139. a) 1. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on janan toinen päätepiste ja kehän piste janan toinen päätepiste. Tämän ympyrän halkaisija on.. Piirretään suora, joka kulkee ympyrän keskipisteen ja minkä tahansa kehän pisteen kautta. 3. Kun piirretään jana suoran ja ympyrän leikkauspisteiden välille, on janan pituus.

42 b) Sellaisen suorakulmaisen kolmion, jonka kateettien pituus on 1, hypotenuusan pituus on Piirretään neliö, jonka sivun pituus on annettu jana.. Piirretään neliölle halkaisija. Halkaisija jakaa neliön kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden kateetit ovat 1. Halkaisijan pituus on.

43 140. Merkitään lyhimmän sivun pituutta kirjaimella n. Tällöin muut sivut ovat pituudeltaan n + 1 ja n +. Koska kolmio on suorakulmainen, ratkaistaan n Pythagoraan lauseen avulla. Kolmion hypotenuusa on pisin sivu, eli n +. n + (n + 1) = (n + ) n + n + n + 1 = n + 4n + 4 n n 3 = 0 ( ) 41 ( 3) n 4 1 n3 tai n1 Koska kolmion sivun pituus on positiivinen, n = 3. Tällöin muut sivut ovat 4 ja 5. Kolmion sivujen pituudet ovat 3, 4 ja a) Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella c. Määritetään a ja b neliön sivun c avulla käyttäen Pythagoraan lausetta. (c) + c = b 4c + c = b b = 5c b = 5 c tai b = 5 c Koska sivun pituus on positiivinen, b = 5 c. (3c) + c = a 9c + c = a a = 10c a = 10 c tai a = 10 c Koska sivun pituus on positiivinen, a = 10 c. Määritetään janojen a ja b pituuksien suhde. a 10 c b 10 5 c 5

44 b) Täydennetään kuvio siten, että kulmat ja ovat vierekkäin. Tällöin muodostuu tasakylkinen kolmio. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Kuvaan kolmioiden yhdenmuotoiseeden perusteella merkityt kulmat ja ja tasakylkisen kolmion toinen kantakulma + muodostavat yhdessä neliön yhden kulman, joka on suuruudeltaan ( + ) + = 90 + = 90 : + = 45

45 1.3 Monikulmioita YDINTEHTÄVÄT 14. A kuva 1 B kuva 1 ja kuva 5 C kuva 1 D kuva a) A = 1,7 cm,8 cm = 4,76 cm Pinta-ala on 4,8 cm. b) (3,0 mm 9,0 mm) 4,0 mm 4,0 mm A Pinta-ala on 4 mm. c) Jaetaan kuvio suorakulmioksi ja kolmioksi. A = 1,5 m 3,0 m + Pinta-ala on 6,8 m. 1,5 m 3, 0 m = 6,75 m d) Jaetaan kuvio suorakulmioksi ja puolisuunnikkaaksi.,0cm 1,0 cm A 3,0 cm,0 cm 3,0 cm 10,5 cm Pinta-ala on 11 cm.

46 144. a) tosi Suorakulmion vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset b) epätosi Neliön kaikkien kulmien pitää lisäksi olla 90 astetta. c) epätosi Neliön kaikkien sivujen pitää lisäksi olla yhtä pitkät. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. β = 63 Täydennetään kuvaan 63:een kulman vieruskulma. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, ovat samankohtaiset kulmat ja yhtä suuret. = = = 117. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. = = 117 Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. x = 4 ja y = 8

47 146. Hahmotellaan kuva. Merkitään toisen sivun pituutta kirjaimella a. Toinen sivu on kaksi kertaa niin pitkä kuin toinen, eli a. aa45,5 a 45,5 : a,75 a, 75 4, , 77 (tai a, 75) a, 75 9, ,54 Suorakulmion sivut ovat 4,77 cm ja 9,54 cm.

48 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 147. a) Merkitään kannan pituutta kirjaimella x. A = x 5,0 A = 45,0 x 5,0 = 45,0 : 5,0 x = 9,0 Kannan pituus on 9,0 m. b) Ei voida. Toisen sivun pituus ei ole yksikäsitteinen. Voidaan muodostaa erilaisia suunnikkaita, joissa kaikissa kanta on 9,0 m ja korkeus 5,0 m, mutta toisen sivun pituus voi olla näissä suunnikkaissa erimittainen, kuten kuvissa a) Nelikulmion kulmien summa on (4 ) 180 = 360. Nelikulmiossa voi olla enintään yksi kulma yli 180. Jos yli 180:n kulmia olisi kaksi, niiden summa olisi yhteensä yli 360. b) Viisikulmion kulmien summa on (5 ) 180 = 540. Viisikulmiossa voi olla enintään kaksi kulmaa yli 180. Jos viisikulmiossa olisi kolme yli 180:n kulmaa, niiden summa olisi yli 540.

49 149. a) (6 ) b) ( n ) n n n n n 150. Suunnikkaan määritelmän mukaan suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Jatketaan suunnikkaan sivuja ja merkitään suunnikkaan vierekkäisiä kulmia kirjaimilla ja. Kulmat ja ovat toistensa vieruskulmat, eli + = 180. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, ovat samankohtaiset kulmat ja yhtä suuret., Tällöin + = + = 180, eli suunnikkaan vierekkäisten kulmien summa on 180.

50 151. Piirretään kuva. Puolisuunnikkaan molemmat kyljet ovat 13. Koska korkeusjana on kohtisuorassa kantaa vastaan, muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka toinen kateetti on korkeus h. Kolmioiden toiset kateetit ovat yhtä pitkät. Toisen kateetin pituus on Lasketaan puolisuunnikkaan korkeus h Pythagoraan lauseella. h + 5 = 13 h = 13 5 h = 144 h = 1 (tai h = 1) A Pinta-ala on 180.

51 15. a) Koska kuvioon on käytetty kaikki palat, on kuvion pinta-ala sama kuin tangram-neliön pinta-ala, eli = 100. b) Isojen kolmioiden pinta-ala on puolet koko pinta-alasta, joten kummankin ison kolmion pinta-ala on neljäsosa koko pinta-alasta eli Kulmassa olevan keltaisen kolmion pinta-ala on 55 1,5. Kaksi pientä kolmiota, neliö ja suunnikas ovat yhteensä ,5 = 37,5. Kaksi kolmiota ovat yhteensä yhtä suuret kuin neliö. Neliön ja suunnikkaan pinta-alat ovat samat, koska niiden kanta ja korkeus ovat yhtä pitkät. Neliön ja suunnikkaan pinta-alat ovat kolmasosa jäljellä olevasta pintaalasta 37,5, eli 37,5 1,5. 3 Pienen kolmion pinta-ala on 1,5 6,5. = 6,5.

52 c) Isojen kolmioiden hypotenuusan pituus on 10. Merkitään kateettien pituuksia kirjaimella b. Kolmiot ovat suorakulmaisia. Ratkaistaan b Pythagoraan lauseella. b + b = 10 b = 100 : b = 50 b = tai b = 5 Koska sivun pituus on positiivinen, b = 5. Pienten kolmioiden hypotenuusan pituus saadaan, kun vähennetään neliön sivun pituudesta 10 keskikokoisen kolmion sivun pituus 5, eli 10 5 = 5. Merkitään pienten kolmioiden kateetteja kirjaimella a. Ratkaistaan a Pythagoraan lauseella. a + a = 5 a = 5 : a = 5 a = ) 5 5 tai a = 5

53 Koska sivun pituus on positiivinen, pienten kolmioiden kateettien pituus on 5. Neliön sivu on yhtä pitkä kuin pienen kolmion kateetti a, eli 5. Suunnikkaan toinen sivu on 5 ja toisen sivun pituus saadaan, kun ison kolmion kateetin pituudesta vähennetään pienen kolmion kateetin pituus, eli Keskikokoisen keltaisen kolmion kateetit ovat 5 ja hypotenuusan pituus saadaan kun lasketaan yhteen neliön ja suunnikkaan lyhemmän sivun pituus, eli a) Kuva-alueen halkaisija on 60 = 60,54 cm = 15,4 cm. Merkitään kuva-alueen mitat 16a ja 9a. Kuva-alueen halkaisija on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. (16a) + (9a) = 15,4 56a + 81a = 35,76 337a = 35,76 : 337 a = 68,919 a = 8,30 (tai a = 8,30 ) A = 16a 9a = 144a = 994,36 (cm ) Kuva-alueen pinta-ala on 1,0 m.

54 b) Merkitään kuva-alueen mittoja,39a ja a.,39a a = 994,36 :,39 a = 415,45 a = 64,43 tai a = 64,43 Koska mitat ovat positiivisia, television mitat ovat 64 cm ja,39 64,43 cm =154,01 cm 150 cm. Ratkaistaan television halkaisija x tuumina. (,39a) + a = x 6,711a = x x = 7868,63 x = 166,93 tai x = 166,93 Koska halkaisija on positiivinen, x = 166,93 (cm). Määritetään television halkaisija tuumina. 166,93 :,54 = 65,7 Television halkaisija on 66.

55 154. Kulmanpuolittajat näyttäisivät muodostavan suorakulmion, paitsi kun kuvio on neljäkäs, ei suorakulmiota muodostu. Jos kuvio on neljäkäs, kulmanpuolittajat ovat neliön halkaisijat, joten suorakulmiota ei synny. Ei siis ole totta, että suunnikkaan kulmanpuolittajat rajaavat aina suorakulmion.

56 155. a) 0 b) c) 5(5 3) 5 d) 6 (6 3) 18 9 e) 10 (10 3) f) Jokaisesta kärjestä voidaan piirtää halkaisija kaikkiin muihin kärkiin, paitsi itseensä ja viereisiin. Tällöin kaikki halkaisijat tulee kuitenkin nn ( 3) piirrettyä kahteen kertaan. Sääntö n-kulmiolle:.

57 Piirretään suora AB.. Piirretään suora AC. 3. Piirretään suoran AB kanssa yhdensuuntainen suora pisteen C kautta.

58 4. Piirretään suoran AC kanssa yhdensuuntainen suora pisteen B kautta. 5. Merkitään suorien leikkauspiste D. 6. Piirretään nelikulmio ABDC.

59 7. Siirretään pistettä A. b) 1. Piirretään suorat AB ja AC. Piirretään Piste A keskipisteenä ympyrä, jonka kehän piste on B.. Merkitään ympyrän ja suoran AC leikkauspiste D

60 3. Piirretään suoran AC kanssa yhdensuuntainen suora pisteen B kautta ja suoran AB kanssa yhdensuuntainen suora pisteen D kautta. 4. Merkitään suorien leikkauspiste E ja piirretään nelikulmio ABED. 5. Siirretään pistettä A.

61 157. Nelikulmio voidaan jakaa kahdeksi kolmioksi kuvan mukaisesti. Kolmion kulmien summa on 180, joten nelikulmion kulmien summa on 180 = 360.

62 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 158. a) Puolisuunnikkaassa on kaksi yhdensuuntaista sivua. Piirretään suora kahden pisteen kautta ja sille yhdensuuntainen suora. Valitaan neljäs piste suoralta ja yhdistetään pisteet nelikulmioksi. Piirretään puolisuunnikkaalle lävistäjät. b) Merkitään lävistäjien leikkauspiste E. Piirretään kuvan mukaiset kolmiot BAE, AED, BEC ja DEC. Mitataan kunkin kolmion pinta-ala. Kolmiot AED ja BEC näyttävät olevan pinta-alaltaan yhtä suuret. c) Kolmion AED pinta-ala saadaan vähentämällä kolmion ABD pintaalasta kolmion BAE pinta-ala. Kolmion ABD kanta on puolisuunnikkaan kanta AB ja korkeus puolisuunnikkaan korkeus h. Kolmion BEC pinta-ala saadaan vähentämällä kolmion ABC pintaalasta kolmion BAE pinta-ala. Myös kolmion ABC kanta on puolisuunnikkaan kanta AB ja korkeus puolisuunnikkaan korkeus h. Kolmioiden ABD ja ABC pinta-alat ovat siis yhtä suuret. Kun molemmista vähennetään kolmion BAE pinta-ala, jää jäljelle yhtä suuri pinta-ala. Näin ollen kolmioiden AED ja BEC pinta-alat ovat yhtä suuret.

63 159. a) Suurimman sivun pituus on 1. Ratkaistaan toiseksi suurimman neliön sivun pituus a Pythagoraan lauseella. a ( 1 ) ( 1 ) a 1 a 1 (tai a 1 ) Kahden peräkkäisen neliön sivujen pituuksien suhde on 1 : 1. Vastaavasti jokaisen seuraavan neliön sivun pituus saadaan, kun kerrotaan edellisen neliön sivun pituus luvulla 1. Neliöiden sivun pituudet ovat ,,, ja 4. Lukujono on geometrinen, ensimmäinen jäsen on 1 ja suhdeluku on 1.

64 b) Iso neliö jaetaan neljään osaan. Pienempi neliö kattaa puolet jokaisesta osasta. Siis pienen neliön ala on puolet isosta neliöstä. Ensimmäisen neliön pinta-ala on 1 1 = 1. Toisen neliön pinta-ala on puolet tästä, eli 1. Viiden ensimmäisen neliön pinta-alat ovat 1, 1, 1 4, 1 8 ja Lukujono on geometrinen, ensimmäinen jäsen on 1 ja suhdeluku on 1. Kymmenennen neliön pinta-ala on a a1 q 1( ) ( ). 51 Kymmenen ensimmäisen neliön pinta-ala yhteensä saadaan laskemalla geometrinen summa q S10 a1 1 q ( ) 1 (1 1 ) (1 )

65 160. a) Säännöllisen 10-kulmion yksi kulma = Oikean alanurkan neljäkkään terävät kulmat = Edellisten kulmien viereiset kulmat = = 108. Neljäkkään terävät kulmat ovat = Kolme neljäkästä ovat samanlaisia. Kuvion kupera kupera kulma on = = 16. Princess-monikulmion kulmat ovat 3 kpl 144, 3 kpl 7 ja kpl 16. b) -

66 161. n-kulmion piiri on p = n s. n-kulmio koostuu n kolmiosta, joiden jokaisen kannan pituus on monikulmion sivun pituus s ja korkeus on sivun etäisyys keskipisteestä a. Monikulmion pinta-ala on n sa nsa pa.

67 16. Puolisuunnikkaan pinta-ala on Kolmion MBC pinta-ala saadaan vähentämällä puolisuunnikkaan pintaalasta kolmioiden ABM ja MCD pinta-alat. Valitaan kolmion ABM kannaksi AB ja merkitään kolmion korkeutta kirjaimella a. Kolmion ABM pinta-ala on 13 a. Jos kolmion MCD kannaksi valitaan DC, on korkeus 6 a. Kolmion MCD pinta-ala on 4(6 a ) 4 4 a. Koska kolmion MBC pinta-ala on puolet puolisuunnikkaan pinta-alasta, saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a a 4 4a a4 4a a 51 9a 7 : ( 9) a 3 Pisteen M tulee sijaita korkeussuunnassa janan AD puolivälissä.

68 1.4 Yhdenmuotoisuus ja yhtenevyys YDINTEHTÄVÄT 163. a) = 63 b) Vastinjanojen suhde on vakio x 1, 4,5 4,5 3, 0 1, 4,5 x 3,0 x 1,8 Sivun pituus x on 1,8 cm. c) Mittakaava on vastinosien suhde. 1, 0,4 :5. 3,0 Mittakaava on : Mittakaava 1: tarkoittaa, että yksi senttimetri kartalla vastaa senttimetriä luonnossa. 3,5 cm = cm = 55 m 530 m

69 165. a) Molemmissa kolmioissa on 90 kulma ja yhteinen kulma B. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk). b) Kolmioiden kulmat ACB ja DCE ovat ristikulmina yhtä suuret. Kulman BAC ristikulma on yhtä suuri kuin kulma BAC. Kulman BAC ristikulma on samankohtainen kulman EDC kanssa. Koska AB ED, ovat samankohtaiset kulmat yhtä suuret ja siten myös kulmat BAC ja EDC ovat yhtä suuret. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk). c) Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinsivujen suhteen tulee olla vakio. BC 4 BD BA 8 BC 4 AC 10 CD 5 Koska vastinsivujen suhde on vakio, kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

70 166. Oletetaan, että mittatikku ja lipputanko ovat maan pintaan nähden pystysuorassa. Syntyneissä kolmioissa on molemmissa 90 kulma ja kulma jossa aurinko paistaa on sama. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk). Vastinsivujen suhteesta saadaan yhtälö, josta ratkaistaan x. 10 cm = 1, m x 16,8 1,0 1,0 1, x 14,0 Lipputanko on 14 m korkea a) Suurennoksessa kaikki mitat ovat viisinkertaiset. Suurennoksen mitat ovat 5 10 cm = 50 cm ja 5 15 cm = 75 cm. Suurennoksen pinta-ala on 50 cm 75 cm = 3750 cm 0,4 m. b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. x 1 ( ) x x 800 0, Pienoismalliin tarvitaan kangasta 0,07 m = 700 cm.

71 168. Kolmiot DEF ja JKL ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa 57 ja 47 kulmat (kk). Molempien kolmioiden DEF ja JKL kolmas kulma on = 76. Kolmio ABC on myös yhdenmuotoinen kolmioiden DEF ja JKL kanssa, koska sen kulmat ovat yhtä suuret kuin näissä. Kolmiot ABC ja JKL ovat yhtenevät, koska molemmissa kulmien 47 ja 57 välinen sivu on pituudeltaan 7 (ksk). Kolmio DEF ei ole yhtenevä kolmion ABC kanssa, koska vastinsivut ED ja AC eivät ole yhtä pitkät. Kolmio HIG ei ole yhdenmuotoinen minkään muun kolmion kanssa, koska sen kulmat ovat erisuuret kuin kolmen muun kolmion kulmat. Kolmiot ABC, DEF ja JKL ovat yhdenmuotoiset. Kolmiot ABC ja JKL ovat yhtenevät.

72 169. a) tosi Kolmioissa on suorakulma ja yhtä suuri terävä kulma, eli kaksi yhtä suurta kulmaa. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. b) epätosi Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Jos sivun pituudet kaksinkertaistuvat, niin pinta-ala nelinkertaistuu. c) epätosi Esimerkiksi kahdella neljäkkäällä voi olla yhtä pitkät sivut, vaikka ne eivät ole yhtenevät. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 170. a) Kolmiot ABE ja DBC ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa kulma B jotka ovat ristikulmina yhtä suuret ja suora kulma (kk) x 1x 160 (4 x b) Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on yhteinen kulma C ja samankohtaiset kulmat EDC ja BAC ovat yhtä suuret, koska AB DE (kk) x x 48x 600 (4 x

73 171. a) Piirretään kuva. y y 4 3 y 8 x x Kateetit ovat 8 ja b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö 4 16 ( ). 3 9

74 17. a) Kolmiot DAF ja BCE näyttävän appletin perusteella olevan yhteneviä. b) Kulmat ADF ja CBE ovat suunnikkaan vastakkaiset kulmat ja siten yhtä suuret. Sivut AD ja BC ovat suunnikkaan vastakkaiset sivut ja siten yhtä pitkät. Sivut DF ja EB ovat yhtä pitkät. Kolmioiden kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat yhtä suuret. Kolmiot DAF ja BCE ovat yhtenevät sks-lauseen nojalla. Jotta kaikki neljä kolmiota olisivat yhtenevät, tulee vastinsivujen DF, FC, AE ja EB olla yhtä pitkät. Tällöin pisteen E tulee sijaita sivun AB puolivälissä. Kolmiot DAF ja BCE ovat yhtenevät a-kohdan perusteella. Koska nelikulmio ABCD on suunnikas on AB DC. Tällöin samankohtaiset kulmat EAF ja DFA ovat yhtä suuret. Kolmioilla EFA ja DAF on keskenään yhtä pitkät sivut DF =AE ja yhteinen sivu AF. Näiden sivujen välinen kulma on yhtä suuri molemmissa kolmioissa, joten kolmiot EFA ja DAF ovat yhtenevät (sks). Samoin kolmiot BCE ja FEC ovat yhtenevät. Tällöin kaikki kolmiot ovat yhteneviä.

75 173. Kolmioiden vastinsivujen AB ja DF suhde on 10 : 30 = 1 : 3. Samoin vastinsivujen AC ja FE suhde on 7 : 1 = 1 : 3 ja CB ja ED suhde on 5 : 15 = 1 : 3. Koska vastinjanojen suhde on vakio, kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Kolmiot ABC ja FDE ovat yhdenmuotoiset ja kolmioiden kulmat ovat yhtä suuret, joten kulma B on 41, C on 11 ja A on = a) tosi Kuvioissa on yhtä suuret kulmat ja yhden kuvion kaikki sivut ovat keskenään yhtä pitkät. Tällöin vastinsivujen suhde on vakio. Kaikki säännölliset monikulmiot ovat yhdenmuotoisia toisen yhtä monta kulmaa sisältävän säännöllisen monikulmion kanssa. b) epätosi Esimerkiksi neliö ja suorakulmio, joka ei ole neliö, eivät ole yhdenmuotoisia. c) epätosi Toisessa kolmiossa kulma voi olla kantakulma ja toisessa huippukulma. d) tosi Tasasivuiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset, koska niiden kaikki kulmat ovat 60. Koska kolmioiden korkeusjanat ovat yhtä pitkät, on kolmioiden välinen mittakaava 1:1. Kolmiot ovat siis yhtenevät.

76 175. Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa kulma C. Nämä kulmat ovat ristikulmina yhtä suuret. Kulmat CBA ja CED ovat samankohtaiset ja koska AB ED kulmat ovat yhtäsuuret (kk). Merkitään jana BC = x. x x Janan BE pituus on x + 6 =

77 176. Piirretään kuva. Merkitään kirjaimella x pisimmän sellaisen henkilön pituutta, jota ei näy kerrostalosta hänen seisoessaan pihan laidalla. Kuvan suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on suora kulma ja yhteinen kulma (kk). Muodostetaan vastinsivujen suhde ja ratkaistaan ensin pienen kolmion kateetti a.,5 4 a a 40 10a85,5a 7,5a 45 :7,5 a 6(m) Ratkaistaan x. x a,5 a 4 x 6,5,5 10 x x 1,5(m) Koska ikkunasta näkyy pihan laidalle 1,5 m korkeudelle, näkyy 170 cm pitkä henkilö ikkunasta, eli hän ei voi liikkua ilman, että häntä nähdään.

78 177. Mittakaava 1: tarkoittaa, että 1 cm kartalla vastaa cm = km luonnossa. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Merkitään päijänteen pinta-alaa kartalla kirjaimella x. x 1 ( ) x x 0, (km ) Päijänteen pinta-ala kartalla on 0, km = 80 cm a) Säännölliset seitsenkulmiot ovat keskenään yhdenmuotoiset. Sivujen suhde on sama kuin mittakaava 0,666..., eli pienemmän kuvion 3 sivun pituus on 67 % suuremman kuvion sivun pituudesta. b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö ( ) 4 0,444..., eli 3 9 pienemmän kuvion pinta-ala on 44 % suuremman kuvion pinta-alasta.

79 179. Kolmiot ABC ja ACD ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on yhteinen kulma A ja molemmissa on suora kulma (kk). Kolmiot ABC ja CBD ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on yhteinen kulma B ja suora kulma (kk). Myös kolmiot ACD ja CBD ovat yhdenmuotoiset, koska molemmat ovat yhdenmuotoisia kolmion ABC kanssa. Kolmioissa ABC ja CBD sivut AB ja CB ovat vastinsivut. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A CBD ABC k CB CB AB ( CB ) CB CB 0 CB 0 (tai BC 0) CB 5 Sivun BC pituus on 5.

80 180. Merkitään joen leveyttä kirjaimella x. Kolmiot ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on yhteinen kulma ja molemmissa on suora kulma (kk). x 6 x x6x90 4x 90 : 4 x,5 Joen leveys on 3 m.

81 181. Piirretään kuva. Kolmiot ABC ja AED ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on yhteinen kulma A ja molemmissa on suora kulma x x 3 x 5(3 x ) 3x800 5x 57x 800 :57 x x 14,03... Neliön pinta-ala x x = x = 14,03 = 196,98 00 (cm ) Neliön pinta-ala on 00 cm.

82 18. Suorakulmioissa ABCD ja EFDA vastinsivuja ovat DF ja AD sekä AD ja BA. a1 a a ( a1) ( a) a1 a a a 3 a a( a1)(a3) 4a a 5a a a ( a 1 tai) a3 Sivujen pituudet ovat a = 6 ja a + = 5. Suorakulmion EBCF sivut BC ja EF ovat pituudeltaan 6 ja sivut FC ja EB ovat pituudeltaan 5.

83 183. a) b) Kulmat AEB ja CED ovat ristikulmina yhtä suuret. Kulmat DCA ja BAC ovat samankohtaiset kulmat. Suunnikkaan määritelmän mukaan sivut AB ja DC ovat yhdensuuntaiset, jolloin samankohtaiset kulmat DCA ja BAC ovat yhtä suuret. Kolmioilla ABC ja ACD on keskenään yksi yhtä pitkä sivu AB ja DC, koska ABCD on tehtävänannon perusteella suunnikas. Tällöin kolmiot ovat yhtenevät (kks). c) Koska kolmiot ABE ja CDE ovat yhtenevät, ovat niiden vastinsivut BE ja ED sekä AE ja EC yhtä pitkät, eli piste E puolittaa sekä janan AC että BD.

84 184. a) b) Koska suora n on keskinormaali, on kulma C 90 BC = AC. Koska suorakulmaisissa kolmioissa ADC ja BDC on yhtä pitkät sivut CD sekä AC ja BC ja näiden välinen kulma on 90, ovat kolmiot yhtenevät (sks). c) Kohdan b päättely pätee vaikka piste D valittaisiin suoralta n miten tahansa. Koska kolmiot ADC ja BDC ovat yhtenevät, ovat sivut AD ja BD aina keskenään yhtä pitkät Väitetään, että nelikulmion vastakkaiset sivut ovat pareittain yhtä pitkät. Pitää osoittaa, että nelikulmio on suunnikaseli AB DC ja AD BC. Kolmioilla ABC ja CDA on yhteinen sivu AC. Sivu AB on yhtä pitkä kuin sivu DC ja sivu AD on yhtä pitkä kuin BC tehtävänannon perusteella. Koska kolmioissa ABC ja CDA kaikki vastinsivut ovat yhtä pitkät, ovat kolmiot yhtenevät (sss). Tällöin myös kaikki vastinkulmat ovat yhtäsuuret. Kulman CAD vastinkulma on ACB. Nämä kulmat ovat samankohtaiset kulmat. Koska samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret, ovat sivut AB ja DC yhdensuuntaiset. Vastaavasti Sivut AD ja BC ovat yhdensuuntaiset. Nelikulmio on suunnikas.

85 186. a) Siirretty palanen ei ole yhdenmuotoinen alkuperäisen palasen kanssa. Katkaisukohdassa oleva rivi palasia on matalampi kuin muut rivit. b) Jotta muodostunut kuvio olisi neliö, tulee sen kaikkien kulmien olla 90 ja kaikkien sivujen yhtä pitkät. Monikulmio on suorakulmio, joten kolmion muotoiset palaset ovat suorakulmaisia kolmioita. Kaikki kulmat ovat tällöin 90. Osoitetaan, että kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Ratkaistaan kuvaan merkityn sivun a pituus Pythagoraan lauseella. 9 + a = a = 5 a = 144 a = 1 (tai a = 1)

86 Ylhäällä vasemmalla oleva pieni kolmio on yhdenmuotoinen ison kolmion kanssa, koska niissä on molemmissa suora kulma ja samankohtaiset kulmat ja ovat yhtä suuret, koska suorakulmion vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Ratkaistaan sivut c ja d. c 5 9 d a 15 c 45 d c 3 d 4 Neliön vastakkaiset sivut ovat pituudeltaan 9 + c = = 1 ja c = = 1. Tutkitaan vielä, ovatko pienet kolmiot yhtenevät. Koska alkuperäisen suorakulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, saadaan yhtälö a + b = d b = b = 4 Pienet kolmiot ovat yhtenevät, koska kolmioissa on suora kulma ja kateetit ovat yhtä pitkät (sks). Tällöin uuden kuvion kaikki sivut ovat 1 ja kaikki kulmat suoria, joten kuvio on neliö. Neliön piiri on 4 1 = 48.

87 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 187. Määritelmän mukaan neljäkkään kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja vastakkaiset sivut yhdensuuntaiset. Pitää osoittaa, että kulmat CED, DEA, AEB ja BEC ovat suoria. Koska neljäkkäässä AD = BC ja AB = DC ja kolmioissa ABC ja CDA on yhteinen sivu AC, kolmiot ABC ja CDA ovat yhtenevät (sss). Kolmiot ABC ja CDA ovat tasakylkiset, joten niiden kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmiot BCE ja DCE ovat yhtenevät, koska niissä on kaksi yhtä pitkää sivua, BC = DC sekä EC, ja sivujen välinen kulma on yhtä suuri (sks). Vastaavasti kolmiot ABE ja ADE ovat yhtenevät (sks). Koska kaikki muodostuneet kolmiot ovat yhteneviä, muodostuu neljäkkään lävistäjien leikkauspisteeseen neljä keskenään yhtä suurta kulmaa, jotka ovat suuruudeltaan

88 188. a) Esimerkiksi: Etäisyys kyljestä mitataan Etäisyys tai pituus työkalulla valitsemalla ensin piste ja sen jälkeen kylki. Siirretään pistettä A ja P. Havaitaan, että pisteen A etäisyys kulman kummastakin kyljestä on yhtä suuri.

89 b) Pisteen etäisyys suorasta mitataan kohtisuorasti, joten kulmat ABD ja DPA ovat suoria. Koska puolisuora DA on kulman BDP puolittaja, ovat kulmat BDA ja ADP yhtä suuret. Kulmat ABD ja DPA ovat suoria. Koska sivu DA on molempien kolmioiden yhteinen sivu, on kolmiossa yhtä suuret kulmat ja yksi yhtä pitkä sivu, joten kolmiot ovat yhtenevät (kks). Näin ollen vastinsivut AB = AP, joten pisteen A etäisyys kummastakin kyljestä on sama Kohdassa on oletettu, että kantakulmat ovat yhtä suuret, vaikka nimenomaan se pitää todistaa. Oikea todistus: 1. Piirretään kolmiolle ABC korkeusjanan CD, joka on kohtisuorassa kantaa ABvastaan..Kolmioissa ADC ja DBC on yhtä pitkät sivut AC = BC ja yhteinen sivu DC. Pythagoraan lauseella saadaan kolmiosta ADC, että AD = AC DC ja kolmiosta DBC, että DB = BC DC. Koska AC = BC, on DB = AD ja siten myös DB = AD. Kolmioissa ADC ja DBC on yhtä pitkät sivut, joten ne ovat yhtenevät (sss). 3. Koska kolmiot ovat yhtenevät, niissä on yhtä suuret kulmat. Vastinkulmat A ja B ovat siis yhtä suuret.

90 190. Kolmioissa ABC ja DEC on yhteinen kulma C ja samankohtaiset kulmat EDC ja BAC ovat yhtä suuret, koska AB DE. Kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset (kk). Kolmioiden DEC ja ABC mittakaava on 4 : Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö 4 ( ) 4: Merkitään kolmion DEC pinta-alaa 4a jolloin kolmion ABC pinta-ala on 5a. Puolisuunnikkaan pinta-ala saadaan, kun kolmion ABC pinta-alasta vähennetään kolmion DEC pinta-ala. 5a 4a = 1a. Puolisuunnikkaan pinta-ala on kolmion pinta-alasta 1a 1 0,84 84 %. 5a 5

91 191. Olkoon hypotenuusalle piirretyn kuvion pinta-ala A c, kateetille AC piirretyn A a ja kateetille BC piirretyn A b. Merkitään hypotenuusan AB pituutta kirjaimella c ja kateettien pituuksia AC = a ja BC = b. Pythagoraan lauseen mukaan a + b = c. Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Säännölliset monikulmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia. A a Ab a a ja b b A a c c c Ac c c Siten Aa a A ja b. c Ab A c c c Näin ollen pinta-alojen summa on a b a b c A A A A A A A c c c c a b c c c c c. Väite pätee mille tahansa yhdenmuotoisille kuvioille.

92 19. a) Kolmion piirtäminen on mahdollista, jos pisin jana on lyhyempi kuin kahden lyhyemmän janan pituuksien summa. b) Koska mittakaava on 1: merkitään sivujen AB ja AC keskipisteet ja yhdistetään ne. Kolmio ADE voidaan siis suurentaa suhteessa :1, jolloin suurennetussa kolmiossa ja kolmiossa ABC on kaksi yhtä pitkää sivua ja sivujen välinen kulma A on yhtä suuri. Tällöin suurennos on yhtenevä alkuperäisen kolmion ABC kanssa (sks), joten pienenetty kolmio ADE on yhdenmuotoinen kolmion ABC kanssa. c) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Koska pinta-alojen suhde on 1 :, on mittakaava 1 :. Geogebralla venytys voidaan tehdä työkalulla.

93 193. a) Kun nelikulmion sivujen keskipisteet yhdistetään nelikulmioksi, näyttäisi syntyvän suunnikas. b) Pitää osoittaa, että FE GH ja FG EH. Piirretään nelikulmiolle halkaisija AC. Kolmioiden ABC ja FBE sivujen AB ja FB suhde on : 1, koska piste F on sivun AB puolivälissä. Samoin sivujen BC ja BE suhde on : 1. Kolmio FBE voidaan suurentaa suhteessa : 1, jolloin syntyvällä kolmiolla on yhtä pitkät kaksi sivua kuin kolmiolla ABC. Kulma B on sama kulma kolmioissa ABC ja FBE. Tällöin kolmion FBE suurennos ja kolmio ABC ovat yhteneviä (sks), joten kolmiot ABC ja FBE ovat yhdenmuotoiset. Koska samankohtaiset kulmat BFE ja BAC ovat yhtä suuret, ovat FE ja AC yhdensuuntaiset. Samoin voidaan osoittaa, että kolmiot ACD ja GHD ovat yhdenmuotoiset. Samankohtaiset kulmat CAD ja HGD ovat yhtä suuret, joten GH ja AC ovat yhdensuuntaiset.

94 Sivut FE ja GH ovat yhdensuuntaiset. Nelikulmion vastakkaiset vivut FE ja GH ovat yhdensuuntaiset. Kolmioiden ABD ja AFG sivujen AB ja AF suhde on : 1, koska piste F on sivun AB puolivälissä. Samoin sivujen AD ja AG suhde on : 1. Kolmio AFG voidaan suurentaa suhteessa : 1, jolloin syntyvällä kolmiolla on yhtä pitkät kaksi sivua kuin kolmiolla ABD. Kulma A on sama kulma kolmioissa ABD ja AFG. Tällöin kolmion AFG suurennos ja kolmio ABD ovat yhteneviä (sks), joten kolmiot ABD ja AFG ovat yhdenmuotoiset. Koska samankohtaiset kulmat GFA ja DBA ovat yhtä suuret, ovat FG ja BD yhdensuuntaiset. Samoin voidaan osoittaa, että kolmiot BCD ja ECH ovat yhdenmuotoiset. Samankohtaiset kulmat CBD ja CEH ovat yhtä suuret, joten EH ja BD ovat yhdensuuntaiset. Nelikulmion vastakkaiset vivut FG ja EH ovat yhdensuuntaiset. Koska nelikulmion FEHG vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, on nelikulmio suunnikas.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA

GEOMETRIAN PERUSTEITA GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Lukion geometrian opiskelusta

Lukion geometrian opiskelusta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Visama Lukion geometrian opiskelusta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö VISAMA, JOHANNA:

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssillä. 1 Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja

Lisätiedot

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura Kolmion kulmien summa Maria Sukura Oppituntien johdanto Oppilaat kuulevat triangelin äänen. He voivat katsoa sitä ja yrittää nimetä tämän soittimen. Tutkimme, miksi triangelia kutsutaan tällä nimellä,

Lisätiedot