298 TYÖN, PÄÄOMAN JA KULUTUKSEN VERORASITUKSEN MITTAAMINEN

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "298 TYÖN, PÄÄOMAN JA KULUTUKSEN VERORASITUKSEN MITTAAMINEN"

Transkriptio

1 VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT-DISCUSSION PAPERS 298 TYÖN, PÄÄOMAN JA KULUTUKSEN VERORASITUKSEN MITTAAMINEN Hrri Hietl* j Teemu Lyytikäinen Vltion tloudellinen tutkimuskeskus Government Institute for Economic Reserc Helsinki 2003

2 * Allekirjoittnut lu kiittää tutkimuksen j jtko-opinnot Helsingin yliopiston Knsntloustieteen litoksell mdollistneit j tukeneit Knsntloustieteen vltkunnllist jtkokoulutusojelm (KAVA), Yrjö Jnssonin säätiötä, Suomen Kulttuurirsto j Vltion tloudellist tutkimuskeskust. Hlumme kiittää Seppo Kri (VATT) yödyllisistä kommenteist. Knnmme vstuun mdollisist puutteist j vireistä. ISBN ISSN Vltion tloudellinen tutkimuskeskus Government Institute for Economic Reserc Hämeentie 3, Helsinki, Finlnd Emil: teemu.lyytikinen@vtt.fi, rri.ietl@elsinki.fi Oy Nord Print Ab Helsinki, elmikuu 2003

3 HIETALA, HARRI JA LYYTIKÄINEN, TEEMU: TYÖN, PÄÄOMAN JA KULUTUKSEN VERORASITUKSEN MITTAAMINEN. Helsinki, VATT, Vltion tloudellinen tutkimuskeskus, Government Institute for Economic Reserc, 2003, (C, ISSN , No 298). ISBN Tiivistelmä: Tässä tutkimuksess esitellään j rvioidn erilisi tpoj mitt työn, pääomn j kulutuksen verotuksen todellist tso eri miss. Trkstelun koteen ovt mkrotson ineistoist lskettvt keskimääräiset verosteet sekä veroperusteist lskettvt efektiiviset verosteet j APW-lskelmt. Niin keskimääräiset verosteet kuin myös efektiiviset verosteet kuvvt premmin verorsitust kuin esimerkiksi pelkät legliset veroknnt ti tiettyjen verojen sude BKT:en. Keskimääräisiä verosteit tulkittess on kuitenkin oltv vrovinen, kosk niiden lskemisess on useit peritteellisi sekä tilstoineistojen epätrkkuudest j yteensopimttomuudest jotuvi ongelmi. Myös lskennllisiss menetelmissä on edelleen keittämisen vr. Tutkimuksess rportoidn lisäksi eri menetelmillä tuotettuj iksrjoj Suomen verorsituksest j tuoreimpi poikkileikkusineistoj OECD-mist. Asisnt: Verotus, efektiiviset verosteet, keskimääräiset verosteet, työ, pääom, kulutus, suort investoinnit HIETALA, HARRI AND LYYTIKÄINEN, TEEMU: TYÖN, PÄÄOMAN JA KULUTUKSEN VERORASITUKSEN MITTAAMINEN. Helsinki, VATT, Vltion tloudellinen tutkimuskeskus, Government Institute for Economic Reserc, 2003, (C, ISSN , No 298). ISBN Abstrct: We provide review of metods for mesurement of effective tx burden on lbour, cpitl nd consumption. Te metods covered re bckwrdlooking verge or implicit tx rtes, forwrd-looking effective tx rtes nd APW rtios. Bot te verge tx rtes bsed on ggregte dt nd te effective tx rtes bsed on legl tx prmeters re better mesures of effective tx burden tn sttutory tx rtes or tx-to-gdp rtios. However, due to conceptul nd dt relted problems, cution is needed wen interpreting verge tx rtes. Te forwrd-looking metods for clculting effective tx rtes sould lso be developed furter. In ddition we clculte tx rtes following vrious metodologies nd present time series on tx rtes in Finlnd nd te ltest tx rtes in OECD countries. Key words: Txtion, effective tx rtes, verge tx rtes, lbour, cpitl, consumption, direct investment

4

5 Yteenveto Verotuksen todellinen tso j verorsituksen jkutuminen eri veroperustoille (esim. työ, pääom j kulutus) on usein niin poliitikkojen kuin tloustieteilijöidenkin mielenkiinnon koteen. Tässä tutkimuksess esitellään j rvioidn työn, pääomn (ti investointien) j kulutuksen verorsituksen mittusmenetelmiä. Tutkimuksess käsiteltävät mittrit voidn jk tksepäin ktsoviin tilstopojisiin mittreiin j eteenpäin ktsoviin lskennllisiin mittreiin. Mkrotson tilstoiin pojutuvt työn, pääomn j kulutuksen keskimääräiset verosteet lsketn jkmll tietyllä perusteell kerättyjen verojen kertymä vstvll veropojll. Siten keskimääräiset verosteet mittvt verotuksen todellist tso sisältäen verosteiden j -pojn vikutusten lisäksi verovirnomisten toimien, verosuunnittelun j verosubstituution vikutukset. Tilstopojisten keskimääräisten verosteiden lskemiseen keitetyistä menetelmistä esitellään ensin Mendozn, Rzinin j Tesrin ur uurtv menetelmä lske työn, pääomn j kulutuksen keskimääräisiä verosteit. Menetelmä sisältää useit ongelmi, joist os on korjttu myöemmissä tutkimuksiss. Mendozn, Rzinin j Tesrin menetelmässä sosilivkuutusmksuj ei llokoid oikein eri verosteille j sosilivkuutusmksujen väennyskelpoisuutt ei otet uomioon. Lisäksi yrittäjien tulot luetn kokonn pääomtuloiksi. Crey j Tcilinguirin korjvt näitä j muit pienempiä puutteit menetelmän seurvss versioss. Yrittäjien tulon jkminen työ- j pääomtuloiksi tptuu lskemll yrittäjien työtuloiksi työntekijöiden keskimääräinen plkk. Molempien menetelmien suurin ongelm on työtuloist j pääomtuloist mksettujen tuloverojen krke rvioiminen perustuen oletukseen, että molemmist tuloljeist mksetn ytä suuri osuus tuloveroj. Tästä, usein todellisuuden vstisest oletuksest, stt ieutu suurtkin r työn- j pääomn keskimääräisiin verosteisiin. Näillä kdell menetelmällä verosteet kuitenkin on suteellisen elppo lske OECD:n trjomist Revenue Sttistics j Ntionl Accounts - tietoknnoist. Volkerinkin j de Hnin menetelmässä sekä Euroopn komission menetelmässä pyritään luopumn työ- j pääomtulojen smn tuloverosteen oletuksest. Kotitlouksien mksmt tuloverot jetn eri veroperustoille erikseen kerättyjen tietojen perusteell. Työn j pääomn keskimääräinen veroste voidn siis näillä menetelmillä lske useiden miden oslt trkemmin kuin Mendozn et l. ti Creyn et l. menetelmällä. Suomen oslt kuitenkin myös Volkerink et l. j Euroopn komissio llokoivt kotitlouksien tuloveroj työlle j pääomlle krkell rviointimenettelyllä. Näiden trkempien menetelmien ongelmn on lisäksi se, että menetelmillä tuotettuj tuoreit verosteit ei ole stvill j lskelmien toistminen on käytännössä nkl.

6 Tulkittess Suomen työn j pääomn keskimääräistä verostett on myös otettv uomioon, että Suomi kuuluu miin, joiss sosiliturvetuuksist mksetn vero. Nämä verot sisältyvät työlle j pääomlle jettviin kotitlouksien tuloveroiin, mutt sosiliturvetuudet eivät sisälly veropojn. Työn j pääomn keskimääräiset verosteet ylirvioituvt tämän seuruksen. Kikill tutkimuksess käsitellyillä tilstopojisill menetelmillä tuotettuj verosteit tulkittess on oltv vrovinen j niitä on tuettv muull informtioll. Mkrotson menetelmissä verokertymää vstvn j tilstointitvltn smnlisen veropojn muodostminen on ongelmllist. Vrsinkin voimkkiss sudnneviteluiss keskimääräiset verosteet voivt videll voimkksti, vikk veroperusteiss ei tptuisikn merkittäviä muutoksi. Mkrotson tilstoiss eri miden verotuksen vikutukset sttvt sekoittu. Jott mkrotson tilstoj yödyntävillä menetelmillä voitisiin päästä prempiin tuloksiin, trvitn rinnlle mikroineistoj ti ydenmukisemp j yksityiskotisemp tilstointi. Mikroineistoist lskettvien keskimääräisten verosteiden yödyntämisessä näyttäisi olevn eniten tetävissä. Trpeeksi ljojen mikroineistojen vull voitisiin epäilemättä tuott entistä premmin todellisuutt vstvi keskimääräisiä verosteit. Myös tilstoinnin nopeutt tulisi pystyä prntmn inkin itimpien miden oslt. Eteenpäin ktsoviss lskennllisiss menetelmissä ei trvitse odott tilstoinnin vlmistumist, vn efektiiviset verosteet voidn lske veroprmetrejä esimerkiksi verokntoj j poistosteit yödyntäen. Näin verosteet on nopesti stvill ilmn tilstointiongelmi. Lisäksi menetelmien vull voidn sulke pois muiden kuin verotekijöiden j muiden verotekijöiden kuin luttujen vikutukset. Menetelmät eivät kykene kuitenkn ottmn uomioon kikkien verotekijöiden j vrsinkn verotuksen käytännön soveltmisen vikutuksi todelliseen verorsitukseen. Efektiivisillä rj- j keskimääräisillä verosteill trkstelln uuden investoinnin suteellisi verokiiloj veroprmetrien vull. Efektiivinen rjveroste mitt juuri knnttvn investointiyksikön verorsitust j efektiivinen keskimääräinen veroste puolestn tloudellist ylijäämää tuottvn investoinnin verokiil. Nämä menetelmät pojutuvt uusklssiseen investointimlliin. Trkstelu voi tptu niin yritysverotuksen tsoll kuin ottmll uomioon roittjn pääomverokotelu. Eri investoijien investointej voidn trkstell roitusmuodoittin j investointikoteittin sekä erilisill roittjill. Siten verotuksen neutrlisuuden tutkiminen on mdollist. Työn verorsitust mittn usein lskennllisesti trkstelemll teollisuuden keskimääräisen tulon nsitsev työntekijää (APW) j tämän vull muodostettuj pereitä. APW-menetelmässä lsketn kyseisiä tulotsoj vstvt tuloverot j plkksidonniset sosilivkuutusmksut. Näiden j virn puolest tetävien veroväennyksien vull sdn verokiil. Joskus otetn uomioon

7 myös kulutuksen välilliset verot. Toisin kuin Veronmksjt OECD sisällyttää verokiiloiin myös sdut tulonsiirrot. Lisäksi OECD trkstelee kunkin mn keskinsioist työntekijää, kun ts Veronmksjt trkstelee sm plkk nsitsevi eri miss. Menetelmän vull voidn lske niin rjverokiiloj eli tulonlisäyksen verovikutuksi kuin keskimääräisiä verosteit eli verojen osuutt koko vuoden tuloist. Tutkimuksess trkstelln myös eri menetelmillä tuotettuj verosteit mittin j Suomelle pidemmältä ikväliltä. Työn verorsitust mittvien verosteiden muutokset ovt pitkälti smnsuuntisi Suomess riippumtt menetelmästä. Yleisesti otten työn verotus on kiristynyt Suomess 990-luvun puoliväliin sti j lskenut iukn viime vuosin. Työn keskimääräisistä verosteist EUkomission menetelmä tuott korkemmt verosteet kuin OECD:n piirissä lditut menetelmät. Creyn j Tcilinguirinin sovelluksell tuotettu työn keskimääräinen veroste (44,9 % v. 999) on OECD-miden toiseksi korkein. APWmenetelmän keskituloisen keskimääräinen veroste on noussut itmmin 990- luvun lkupuoliskoll kuin muut keskimääräiset verosteet j jäänyt näin selkeämmin mtlmmksi. Smoin keskivertotyöntekijän rjveroste on noussut itmmin, j lisäksi se on lätenyt lskuun pri vuott ikisemmin. Suomen rjverokiil (45,6 % v. 2002) on 7 OECD-mn joukoss seitsemänneksi korkein. Korkempiin tulotsoiin siirryttäessä Suomen verokiil ksv nopesti jotuen voimkkst veroprogressiost. Pääomn keskimääräisen verosteet ovt Suomen oslt vrsin smnlisi tilstopojisest menetelmästä riippumtt. Suomen keskimääräiset verosteet ovt nousseet 990-luvun lun lm- j verouudistusvuosi lukuun ottmtt niin, että nykyään veroste on svuttnut viime vuosikymmenen lun tson. Tästä uolimtt Creyn j Tcilinguirinin menetelmällä tuotettu keskimääräinen veroste (22,7 % v. 999) on 20 OECD-mn joukoss seitsemänneksi mtlin. Lskennlliset efektiiviset verosteet, joiss investoinnin roittjn oletetn olevn korkeimmt rjveroknnt omvn yksityisenkilön, ntvt verorsituksen tsost erilisen kuvn. Efektiivinen keskimääräinen veroste on nykyään lskennllisten keskimääräisten verosteiden lpuolell oltun 980- luvull selkeästi korkempi. Tätä ero selittää efektiivisten verosteiden soveltuminen investoinnin j korkeimpien rjverosteiden roittjn verotukseen koko pääomn verokertymän sijn. Efektiivisissä verosteisskin on siis tptunut uomttv pudotus 990-luvun viteess verokntojen muutosten j eriytettyyn tuloverotukseen siirtymisen myötä. Tämän jälkeen efektiiviset verosteet ovt nousseet, vikk sudnteet eivät vikutkn näiin menetelmiin. Efektiivinen rjveroste (37,5 % v. 2002) on kolmnneksitoist mtlin j efektiivinen keskimääräinen veroste (6 % v. 2002) on toiseksi mtlin 25 mn joukoss. Ytiöiden tilstopojisen keskimääräisen verosteen sekä efektiivisen keskimääräisen verosteen keitys on smnsuuntist Suomess, mutt menetelmien

8 ntmiss verotuksen tsoiss on nytkin eri trkstelukoteist ieutuv uomttv ero, vikk verokertymään pojutuv keskimääräinen veroste onkin noussut voimkksti viime vuosin. Efektiivinen keskimääräinen veroste (27,2 % v. 2002) on ydeksänneksi mtlin 25 mn joukoss. Tilstopojinen keskimääräinen veroste on 7,5 % v Juuri knnttvn investointiyksikön efektiivisen rjverosteen keitys poikke yteisöveroknnn voimkkn lskemisen j ytiöverotuksen yvitysjärjestelmään siirtymisen vuoksi 980- j 990-lukujen viteess. Suomen efektiivinen rjveroste (20, % v. 2002) on ydeksänneksi mtlin 25 mn joukoss. Kulutuksen keskimääräiset verosteet käyttäytyvät eri menetelmissä smn suuntisesti. Keskimääräisten verosteiden tsoss on kuitenkin uomttvi eroj jotuen menetelmien erilisist veropojn määrittelyistä j myös sisällytetyistä veroist. Tso on sm ti iemn korkempi kuin kksi vuosikymmentä sitten. Kulutuksen keskimääräinen veroste (20,5 % v. 999) on OECD-miden viidenneksi korkein Creyn j Tcilinguirinin sovelluksen mukn. Lskelmien perusteell voidn sno, että Suomen ytiö- j pääomverotus ovt teollisuusmiden lemp keskitso mutt työn j kulutuksen verosteet sekä kokonisverorsitus ovt uippuluokk. Suomen kodll eri menetelmät näyttäisivät eijstvn verotuksess tptuneit muutoksi oikesuuntisesti. Eriliset menetelmät on ymmärrettävä todellisen verorsituksen indikttorein, jotk mdollistvt miden verotsojen krken vertilun j keityssuuntien vinnoinnin. Todellisen verorsituksen numerorvoisest tsost puuttess on oltv uolellinen käytetyn menetelmän mittuskoteest sekä menetelmän vvuuksist j eikkouksist.

9 Sisällys Jodnto 2 Tilstopojiset keskimääräiset verosteet 3 2. Aineistot MRT-menetelmä OECD(2000)-menetelmä EC-menetelmä Menetelmien rviointi j OECD(200)-menetelmä Mikroineistojen yödyntäminen työn j pääomn keskimääräisen verosteen lskemisess 2 3 Eteenpäin ktsovt menetelmät Investointimlliin perustuvt efektiiviset verosteet Keskivertotyöntekijän APW-lskelmt 27 4 Tuloksi Verorsituksen keitys Suomess Verorsitus OECD-miss 36 5 Päätelmät 43 Läteet 45 Liite. Efektiiviset verosteet 47

10

11 Jodnto Verotust on viime vuosikymmeninä kiristetty uomttvsti Suomess j muiss teollisuusmiss. Verojen j sosilivkuutusmksujen osuus bruttoknsntuotteest oli vuonn 2000 Suomess 46,8 prosentti, mikä on kymmenen prosenttiyksikköä korkempi kuin vuonn 980. Kokonisverosteen lisäksi on mielenkiintoist tietää, miten verorsitus jkutuu eri tloudellisille veroperustoille (esim. työ, pääom j kulutus). Tiettyjen veroerien sude BKT:en 2 ei nn oike kuv eriä vstvn veroperustn kodistuvst verorsituksest. BKT on määritelmällisesti tuotnnontekijätulojen summ, joten esimerkiksi työön kodistuvien verojen j BKT:n suteen muutos stt jotu funktionlisen tulonjon muutoksist eikä työn verotuksen kiristymisestä ti keventymisestä. Pelkät legliset veroknnt puolestn eivät ot uomioon veroväennysten j muiden veropojn kodistuvien uojennusten vikutuksi verorsitukseen. Tässä tutkimuksess krtoitetn edellä minittuj mittreit keittyneempiä menetelmiä, joill mittn työön, pääomn/investointeiin j kulutukseen kodistuv tosisillist verorsitust. Nämä verorsituksen mittrit voidn jk tilstopojisiin mittreiin j eteenpäin ktsoviin lskennllisiin mittreiin. Molemmt mittrityypit ovt viime vuosin erättäneet entistä enemmän mielenkiinto poliitikkojen j tutkijoiden piirissä. Menetelmien kuvminen j rviointi on trpeen, jott niillä tuotettuj verosteit ostn tulkit. Mkrotson ineistoist lsketut työn, pääomn j kulutuksen keskimääräiset verosteet ovt tilstopojisi verorsituksen mittreit. Keskimääräisissä verosteiss yödynnetään ggregttitson tietoj tiettynä jnetkenä toteutuneist verokertymistä j knsntlouden tilinpidon eriä. Iden on suteutt tiettyyn veroperustn (esim. työ, pääom ti kulutus) kodistuvt tosisillisesti mksetut verot j mksut vstvn veropojn. Esimerkiksi työn keskimääräinen veroste voidn lske työtuloist mksettujen verojen sekä työntekijän j työnntjn sosilivkuutusmksujen osuuten työvoimkustnnuksist. Tällöin otetn uomioon leglisten verosteiden, muiden mksujen, veroväennysten sekä verotettvien j verottjien verokäytäntöjen yteisvikutus. Mkrotson ineistoist lskettuj verosteit voidn trkent mikroineistoill, jotk kerätään enkilö-, yritys- ti projektitsolt. Ljojen mikroineistojen vull voitisiin trkstelu suoritt yksinäänkin. Vrsinkin pääomn ti trkemmin snottun investointien verorsituksen mittmisess eteenpäin ktsovill mittreill on pitkät perinteet in kuusikymmentäluvult skk. Niistä onkin tullut yleisesti yväksytty j runssti käytetty Kokonisverosteiden vertilu vikeuttvt miden eriliset tvt tuke knslisi ti yrityksiä. Veroväennysten muodoss nnettu tuki lent verostett j veronlinen tulonsiirto ti tuki nost sitä. 2 Esimerkiksi OECD:n Revenue Sttistics -julkisuss rportoidn eri veroerien BKT-osuuksi.

12 2 menetelmä. Investointimlliin pojutuvt efektiivinen rj- j keskimääräinen veroste ovt esimerkkejä eteenpäin ktsovist pääomverotuksen mittreist. Ne mittvt uusien ypoteettisten investointien verorsitust. Niiden lskemiseen trvitn vllitsevt ti tulevt veroknnt j veropoj kuvvt prmetrit (esim. pääomn kulumis- j veropoistosteet). Menetelmät eivät kuitenkn ot uomioon kikki veroprmetrejä j niiden ulkopuolelle jää verotettvien j verottjien toimien vikutukset. Työn verotust tutkitn veroprmetrien vull trkstelemll keskivertotyöntekijän (APW) tuloj. Tilstopojisi keskimääräisiä verosteit kutsutn keskimääräisiksi efektiivisiksi verosteiksi (Mendoz, Rzin j Tesr 994 sekä Crey j Tcilinguirin 2000), efektiivisiksi verosteiksi (Nicodème 200), keskimääräisiksi verosteiksi (OECD 2000), verosuteiksi (OECD 200) j implisiittisiksi verosteiksi (Eurostt 998 j 2000). Tässä tutkimuksess käytetään nimitystä keskimääräinen veroste. Implisiittinen veroste on uono nimitys, kosk veroste tulee eksplisiittiseksi, kun se lsketn. Implisiittisellä viittnkin keskimääräisen verosteen kykyyn sisällyttää implisiittisiä tekijöitä. Keskimääräinen veroste on sen sijn kuvv nimitys, kosk veroste on erilisten pääomien, työsuoritteiden ti kulutuksien verojen keskirvo. Keskimääräisen verosteen kutsuminen efektiiviseksi verosteeksi olisi rnjotv, sillä keskimääräinen veroste stt eräissä tpuksiss oll yvinkin epätrkk rvio tosisilliselle verorsitukselle. Ilmisu efektiivinen veroste käytetään tässä tutkimuksess luvuss 3 esiteltävien eteenpäin ktsovien menetelmien yteydessä (efektiivinen rjveroste (EMTR) j efektiivinen keskimääräinen veroste (EATR)). Tämä on luontev, sillä nämä mittrit kertovt lskentoletusten mukisen investointiprojektin tosisillisest verorsituksest. Tilstopojisi työn, pääomn j kulutuksen verorsituksen mittreit käsitellään luvuss 2. Tutkimuksen pääpino on näissä menetelmissä. Eteenpäin ktsovi efektiivisiä verosteit j työvoimkustnnusten APW-lskelmi esitellään lyyemmin luvuss 3. Luvuss 4 rportoidn eri menetelmillä tuotettuj verosteiden iksrjoj Suomen oslt sekä viimeisimmät verosteet suuremmlle mjoukolle. Näin pyritään smn kuv menetelmien soveltuvuudest Suomen verojärjestelmän rviointiin. Smll sdn kuv Suomen verotuksen sututumisest muiden miden vllitsevn verotukseen.

13 3 2 Tilstopojiset keskimääräiset verosteet Tilstopojisten keskimääräisten verosteiden lskemiseen on keitetty useit erilisi menetelmäsovelluksi. Tässä luvuss trkstelln seurvi menetelmiä: - Mendozn, Rzinin j Tesrin (994) menetelmä (MRT-menetelmä) - Creyn j Tcilinguirinin (2000) menetelmä (OECD(2000)-menetelmä) - Euroopn komission j Eurosttin (998 j 2000) menetelmä (EC-menetelmä) - Volkerinkin j de Hnin (OECD 200) menetelmä (OECD(200)- menetelmä). Kppleiss kuvtn j rvioidn edellä minittuj menetelmiä. Mikroineistojen yödyntämistä tilstopojisten keskimääräisten verosteiden lskemisess käsitellään kppleess 2.6. Aluksi käsitellään kuitenkin tilstoineistoj, joiden käyttöön suurin os menetelmistä pojutuu. 2. Aineistot Vltosss keskimääräisen verosteen lskemismenetelmistä yödynnetään OECD:n tuottmi mkrotson ineistoj. Näiden ineistojen elppo stvuus j ydenmukisuus mdollistvt elposti tuotettvt lskelmt, mutt smll krke tilstointi peittää miden välisiä eroj, mikä eikentää vertilukelpoisuutt. Verotuloj koskevt tiedot sdn OECD:n Revenue Sttistics -tilstost, jok sisältää iksrjt useiden erityyppisten verojen j sosilivkuutusmksujen tuotost. Revenue Sttistics -tilston lisäksi eri menetelmissä yödynnetään vitelev määrää knsntlouden tilinpidost löytyviä tietoj. Tulukoss 2. on lueteltu ne OECD Revenue Sttistics -tilston j OECD:n knsntlouden tilinpidon muuttujt, joit seurviss luvuiss esiteltävissä menetelmissä käytetään. Revenue Sttistics -tilstost on rportoitu lisäksi leriä, jott lskelmiss käytettävien erien koostumus kävisi selkeämmin ilmi. Tulukko 2.. Revenue Sttistics tilston j knsntlouden tilinpidon erät OECD Revenue Sttistics 000 Verot nsiotuloist, pääomtuloist j voitoist 00 Kotitlouksien mksmt verot nsiotuloist, pääomtuloist j voitoist 0 Tulot j voitot 20 Myyntivoitot 200 Ytiöiden mksmt verot voitoist, myyntivoitoist j muist tuloist 20 Tulot j voitot 220 Myyntivoitot 300 Kodistmttomt verot

14 Sosilivkuutusmksut 200 Työntekijöiden sosilivkuutusmksut 2200 Työnntjien sosilivkuutusmksut 2300 Yrittäjien j työsuteettomien sosilivkuutusmksut 2400 Kodistmttomt sosilivkuutusmksut 3000 Plkk- j työvoimverot 4000 Omisuusverot 400 Kiinteän omisuuden toistuvt verot 40 Kotitloudet 420 Muut 4200 Nettovrllisuuden toistuvt verot 420 Yksityisenkilöt 4220 Yritykset 4300 Jäämistö-, perintö- j ljverot 430 Jäämistö- j perintöverot 4320 Ljverot 4400 Roitus- j pääomliiketoimien verot (esim. leimvero) 4500 Muut kertluonteiset omisuusverot 450 Nettovrllisuuden kertluonteiset verot 4520 Muut kertluonteiset 4600 Muut toistuvt omisuusverot 5000 Tvroiden j plvelujen verot 500 Tvroiden j plvelujen tuotnnost, myynnistä, kuljetuksest, vuokruksest j luovutuksest mksetut verot 50 Yleiset tvroiden j plvelujen verot 5 Arvonlisäverot 52 Myyntiverot 53 Muut yleiset tvroiden j plvelujen verot 520 Yksittäisten tvroiden j plvelujen verot 52 Vlmisteverot (esim. lkooli- j tupkkvero) 522 Fisklisten monopolien voitot 523 Tullit j tuontimksut 524 Viennistä perityt verot 525 Investointiyödykkeiden verot 526 Yksittäisten plvelujen verot (esim. rpjisvero j jätemksu) 527 Muut knsinvälisen kupn j liiketoimien verot 528 Muut yksittäisten tvroiden j plvelujen verot 530 Kodistmttomt verot 5200 Tvroiden käytöstä j erinäisistä ktiviteeteist mksetut verot 520 Toistuvt verot 52 Moottorijoneuvoist kotitlouksien mksmt verot 522 Moottorijoneuvoist muiden mksmt verot 523 Muut toistuvt verot 5220 Kertluonteiset verot 5300 Kodistmttomt tvroiden j plvelujen verot 6000 Muut verot 600 Liiketoimint rjoittvien yksistään mksmt verot 6200 Muiden mksmt ti kodistmttomt verot OECD Ntionl Accounts OS Tlouden toimintylijäämä OSPUE Ei-oskeytiömuotoisten yritysten toimintylijäämä PEI Kotitlouksien omisuustulot j yrittäjätulot WSSS* Plknsjkorvukset W Plkt j plkkiot EE Plknsjien lukumäärä ES Yksityisyrittäjien lukumäärä CP Yksityiset kulutusmenot CG Julkiset kulutusmenot CGW Julkisyteisöjen plknsjkorvukset *Plknsjkorvuksist käytetään myös koodi CoE.

15 5 Aineistoiin liittyy ongelmi, jotk eikentävät keskimääräisten verosteiden luotettvuutt j on siten syytä pitää mielessä. Pyrkimykset väistää näitä ongelmi j väentää niistä mdollisesti ieutuv epätrkkuutt eijstuvt seurviss kppleiss esiteltäviin menetelmiin. Ensinnäkin Revenue Sttistics -tilstoss on eroteltvuusongelmi. Suuri os veroktegorioist sisältää usempn kuin yteen mkrotloudelliseen veroperustn (työ, pääom, ym.) pojutuvi veroj. Esimerkiksi erä 00 sisältää työtuloist j pääomtuloist mksetut tuloverot. Toiseksi knsntlouden tilinpidot j Revenue Sttistics -tilsto eivät välttämättä ole jllisesti yteensopivi. Revenue Sttistics -tilston keruu tptuu kssvirtperitteell, jonk mukn verosuoritukset llokoidn vuodelle, jolloin mksu tulee vltion kssn, riippumtt verovelvollisuuden syntymisen jnkodst. Tällöin tietyn vuoden verokertymät sttvt tilstoss sisältää veroj, joiden mksuvelvollisuus on syntynyt esimerkiksi edellisenä vuoten. Suorite, jost vero mksetn, luetn knsntlouden tilinpidoss edelliselle vuodelle j vikutt siten edellisen vuoden veropojn. Esimerkiksi leglisen ytiöveroknnn lskiess pääomn keskimääräinen veroste voi noust, jos smnikisesti yritysten tppiot ksvvt voimkksti lskusudnteen myötä. Tällöin edelliseltä vuodelt mksetut verot pitävät kssvirtperusteell lskettu verokertymää korkell, kun veropojn toimiv knsntlouden tilinpidon mukinen tlouden toimintylijäämä lskee. Lisäksi syntyvät tppiot voivt eijstu tulevien vuosien verokertymään. Pääomn keskimääräisen verosteen vitnkin muuttuvn voimkksti sudnteiden myötä. Knsntlouden tilinpidon j Revenue Sttistics erien yteensopivuutt eikentää lisäksi esimerkiksi se, että OSPUE sisältää lskennllisen suntotulon, jot ei verotet, j että PEI sisältää knsntlouden tilinpidoss kotitlouksille luettvn eläkerstojen j enkivkuutusten tuoton. Revenue Sttisticsin erä 00 sisältää verot myyntivoitoist, jotk eivät kuitenkn sisälly knsntlouden tilinpidon eriin. Ongelmn on myös se, että knsntlouden tilinpidon eriin sttvt eijstu knsllisten verojärjestelmien luomt insentiivit. Jos esimerkiksi mn verojärjestelmä suosii pääomtuloj, on insentiivi nmioid työtuloj pääomtuloiksi. Lisäksi miden käytännöt rportoid veroj eri Revenue Sttistics -tietoknnn eriin vitelevt. Esimerkiksi yritysveroj rportoidn toisiss miss vin erään 200 j toisiss myös erään 00. Knsntlouden tilinpidon järjestelmässä on tptunut muutos SNA68/ESA79 - järjestelmästä SNA93/ESA95 -järjestelmään. Järjestelmän vidoksen myötä sektorijko on muuttunut siten, että eriä OSPUE j PEI ei enää ole uuden järjestelmän mukisess knsntlouden tilinpidoss. Tutkimuksi, joiss olisi käytetty eksplisiittisesti uuden järjestelmän mukisi tilinpidon eriä ei ole toistiseksi jul-

16 6 kistu 3. Menetelmien kuvuksess käytetään tässäkin tutkimuksess vnoj eriä. Luvuss 4 rportoitvt MRT- j OECD(2000)-menetelmien mukiset verosteet on lskettu käyttämällä termin (OSPUE PEI) sijst uuden järjestelmän mukisi kotitloussektorin eriä (toimintylijäämä sektulo omisuustulo) ti OECD:n Economic Outlook -tietoknnn erää YOTH (Income from property nd oter). 2.2 MRT-menetelmä Mendozn, Rzinin j Tesrin (994) menetelmä on ensimmäinen j ur uurtv tp lske työn, pääomn j kulutuksen verorsitust mittvi keskimääräisiä verosteit OECD:n trjomist tilstoknnoist. Myöemmät OECD:n piirissä keitellyt j yksittäisten tutkijoiden käyttämät keskimääräiset verosteet ovt jtkokeitelmiä MRT-menetelmästä. Verosteet lsketn ineistoist seurvill kvoill. Nelinumeroiset koodit viittvt Revenue Sttistics -eriin j kirjinkoodit knsntlouden tilinpidon eriin. Koodien selitykset ovt tulukoss 2.. Kotitlouksien keskimääräistä tuloveroste (TH) on putermi, jot yödynnetään työn j pääomn keskimääräisen verosteen lskemisess. Työn keskimääräinen veroste TL = (TH*W )/(W2200) Pääomn keskimääräinen veroste TK = [TH*(OSPUEPEI) ]/OS Kulutuksen keskimääräinen veroste TC = (5052)/(CPCG CGW 50 52) Kotitlouksien keskimääräinen tuloveroste TH = 00/(OSPUEPEIW) 3 Crey j Tcilinguirin (2000) yödyntävät OECD:n Economic Outlook 67 -tietoknt, joss erä YOTH vst kotitloussektorin eriä (toimintylijäämä sektulo omisuustulo). Lyytikäinen (2002) yödyntää Economic Outlook 69 -tietoknt j käyttää myös sen muuttujkoodej OECD(2000)- menetelmän kuvuksess.

17 7 Kotitlouksien keskimääräinen tuloveroste (TH) Revenue Sttistics -tilston erää 00 (kotitlouksien tuloverot) ei ole jettu työtuloist, pääomtuloist j tulonsiirroist mksettuiin tuloveroiin. Tämä ei olisi edes mdollist niiden miden oslt, joiss työ- j pääomtuloj verotetn ydistetysti. Työtuloist mksetuille tuloveroille j pääomtuloist mksetuille tuloveroille on kuitenkin stv rviot, jott voidn lske työn j pääomn keskimääräinen veroste. MRT-menetelmässä oletetn, että kotitloudet mksvt sekä työ- että pääomtuloistn smn osuuden tulovero. Tämä kotitlouksien keskimääräinen veroste (TH) on tuloverojen osuus kotitlouksien yteenlsketuist työ- j pääomtuloist. TH lsketn ineistoist jkmll kotitlouksien mksmt tuloverot (00) ei-oskeytiömuotoisten yritysten toimintylijäämällä (OSPUE), kotitlouksien smill omisuus- j yrittäjätuloill (PEI) sekä plkoill j plkkioill (W). 4 Kotitlouksien verostett voidn nyt käyttää eri tuloljeist mksettvien tuloverojen rvioimiseen. Työn keskimääräinen veroste (TL) Työön kodistuv verorsitus koostuu työtuloist mksetuist tuloveroist, sosilivkuutusmksuist j muist työvoimn kodistuvist veroist. MRTmenetelmässä työtuloist mksetut tuloverot rvioidn kertomll plkt j plkkiot (W) kotitlouksien keskimääräisellä verosteell (TH). Arvioituiin tuloveroiin lisätään sosilivkuutusmksut (2000) j työvoimn kodistuvt muut verot (3000). Näin lskettu osittin rvioitu verokertymä jetn työvoimkustnnuksill, jotk tässä menetelmässä koostuvt plkoist j plkkiost (W) j työnntjn sosilivkuutusmksuist (2200). Työntekijän sosilivkuutusmksut (200) sisältyvät plkkoiin j plkkioiin. Pääomn keskimääräinen veroste (TK) Pääomn verorsitus eli kvn osoittj muodostuu pääomtuloist mksetuist tuloveroist, yritysveroist j erilisist omisuusveroist. Kotitlouksien pääomtuloist mksmt tuloverot rvioidn vstvsti kuin työn keskimääräistä verostett lskettess eli kertomll (OSPUE PEI) kotitlouksien keskimääräisellä verosteell (TH). Termi (OSPUE PEI) sisältää kotitlouksien omisuustulojen oell myös yksityisyrittäjien tulot, joten yrittäjien tulot llokoidn MRT-menetelmässä kokonn pääomlle. Osoittjn muut termit ovt (oske)ytiöiden voittoverot (200), kiinteän omisuuden toistuvt verot (400) sekä roitus- j pääomliiketoimien verot (4400). Nimittäjä eli veropoj on tlouden toimintylijäämä (OS), jok voi oll niin brutto- kuin nettomääräinen. Bruttotoimintylijäämään perustuvi pääomn keskimääräisiä verosteit pidetään knsinvälisesti vertilukelpoisempin, kosk eri miss nettotoimintylijäämä 4 Toisin snoen tuloveroist 00 llokoidn työlle osuus W/(OSPUEPEIW) j pääomlle osuus (OSPUEPEI)/(OSPUE PEI W).

18 8 lsketn eri kiinteän pääomn kulumist koskevill oletuksill. Lisäksi ne eivät vitele ytä voimkksti sudnteiden mukn kuin nettoylijäämään perustuvt keskimääräiset verosteet. Kuitenkin bruttotoimintylijäämä ylirvioi veropojn, joten menettely lskee keskimääräisten verosteiden tso. Kulutuksen keskimääräinen veroste(tc) Kulutuksen keskimääräinen veroste pyrkii mittmn verokiil kuluttjintojen j tuottjintojen välillä. Kulutukseen kodistuv verorsitus koostuu yleisistä tvroiden j plvelujen veroist (50) (esim. ALV) j vlmisteveroist (52). Nimittäjä muodostuu yksityisestä kulutuksest (CP) j julkisest kulutuksest (CG), joist väennetään julkiset plkkmenot (CGW) j verot (50) j (52). Verojen väentäminen nimittäjästä tekee tästä verosteest nettomääräisen. Kulutuksen keskimääräinen veroste lsketn nettomääräisenä, kosk välillisten verojen veroste esitetään perinteisesti prosenttiosuuten innst ilmn veroj. Esimerkiksi 22 prosentin ALV lisää tuotteen veroj edeltävää int 22 prosentill, mutt on vin noin 8 prosentti tuotteen lopullisest myyntiinnst. Välillisten verojen väentäminen veropojst s ikn sen, että teoreettinen TC tälle verolle on 22 prosentti eikä 8 prosentti. Nimittäjä on uomttvsti ljempi kuin todellinen kulutusverojen veropoj. Julkisest kulutuksest sekä suurest osst tvroit j plveluit (esim. roitusplvelut, terveysplvelut j eräissä miss ruok) ei nimittäin mkset välillisiä veroj. Lj veropoj perustelln sillä, että kyseisten tvroiden j plvelusten tuotnnoss käytetyt pnokset ovt ALV:n lisi. Tällöin oletetn, että tuotntopnosten välilliset verot eijstuvt korkempin lopputuotteiden intoin. Julkiset plkkmenot (CGW) on väennetty nimittäjästä, sillä työvoimkustnnuksist ei mkset välillisiä veroj. Kuvss 2. esitetään MRT-menetelmällä lsketut työn, pääomn j kulutuksen keskimääräiset verosteet Suomess Pääomn keskimääräinen veroste on lskettu käyttäen veropojn sekä brutto- että nettotoimintylijäämää.

19 9 Kuv 2.. MRT-menetelmän tuottmt keskimääräiset verosteet Suomess 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 0,0 0,0 2.3 OECD(2000)-menetelmä TL TK (brutto) TK (netto) TC Crey j Tcilinguirin (2000) keittämä niin snottu OECD(2000)-menetelmä työn, pääomn j kulutuksen keskimääräisen verosteen lskemiseen pojutuu kppleess 2.2 kuvttuun Mendozn, Rzinin j Tesrin menetelmään. Tutkimuksess tedään vintoj MRT-menetelmän eikkouksist j tedään keskimääräisten verosteiden lskukvoiin muutoksi j lisäyksiä, joill nämä eikkoudet pyritään korjmn. MRT-menetelmässä on useit sosilivkuutusmksuiin liittyviä ongelmi: i) Yrittäjien sosilivkuutusmksut (2300) sisältyvät sosilivkuutusmksuiin (2000) TL:n osoittjss, vikk yrittäjien tulot llokoidn menetelmässä pääomlle. Osoittjss on siis yrittäjien mksmi veroj, mutt nimittäjässä ei ole yrittäjien tuloj. ii) iii) TH:n j TL:n lskemisess ei otet uomioon sitä, että kotitlouksien sosilivkuutusmksut ovt usein verotuksess väennyskelpoisi. Työntekijän sosilivkuutusmksut sisältyvät plkkoiin j plkkioiin (W) j sosilivkuutusmksuiin (2000). Sosilivkuutusmksut, joit ei void llokoid työntekijöille, työnntjille ti yrittäjille (2400), on llokoitu kokonn työlle. Työnntjien mksut yksityisiin eläkerstoiin tulisi sisällyttää TL:n veropojn, sillä ne ovt useiss miss merkittävä os työtuloist. Lisäksi TL:n j TK:n veropojt eivät summudu BKT:ksi. Nimittäjässä käytetty plkt j plkkiot (W) ei sisällä kikki veroeriä, joiden tulisi sisältyä veropojn. Näiden ongel-

20 0 mien korjmiseksi on syytä määritellä työn keskimääräisen verosteen veropoj plknsjkorvusten (WSSS) vull. Yrittäjien tulot ktsotn kokonn pääomtuloiksi MRT-menetelmässä, vikk yrittäjät tekevät työtä yrityksissään. Jott yrittäjien tuloist os voidn llokoid nsiotuloksi, Crey j Tcilinguirin määrittelevät uuden putermin, yrittäjien lskennllisen plkksummn (WSE), jonk mukn yrittäjien oletetn ottvn työtuloinn työntekijöiden keskimääräisen vuosiplkn. Lisäksi pääomtuloiin sisällytetään kikki omisuusverojen (4000) lerät. Pääomn veropoj korjtn yrittäjien sosilivkuutusmksujen (2300) oslt, sekä muutkin edellä esitellyt sosilivkuutusmksuj koskevt ongelmt otetn uomioon. Julkisen sektorin plkkmenot (CGW) väennetään kulutuksen veropojst MRT-menetelmässä, sillä plkkmenoist ei mkset välillisiä veroj. Monet julkisen sektorin tuottmt plvelut (esim. koulutus j terveysplvelut) eivät kuitenkn ole välillisten verojen lisi, vikk ne tuotettisiinkin yksityisesti. Tämän seuruksen CGW:n väentäminen veropojst jot kulutuksen keskimääräisen verosteen ylirvioitumiseen miss, joiss nämä (usein työvoimintensiiviset) plvelut tuotetn julkisesti suteess miin, joiss ne tuotetn yksityisesti. Siten julkisi plkkmenoj ei ole syytä väentää. Kulutuksen veropojn ilmoittminen nettomääräisenä itt vertilu muiin verosteisiin, joten tässä mielessä on syytä käyttää bruttomääräistä veropoj. Lisäksi Crey j Tcilinguirin sisällyttävät usempi tvroiden j plveluiden verojen eriä kulutuksen keskimääräiseen verosteeseen. Nämä ongelmt j korjukset uomioon otten muodostetut työn, pääomn j kulutuksen keskimääräisen verosteen lskukvt ovt seurvss ltikoss. Kotitlouksien keskimääräistä tuloverostett (TH), yrittäjien lskennllist plkksumm (WSE) j työtulojen osuutt kotitlouksien tuotnnontekijätuloist (A) yödynnetään työn j pääomn keskimääräisen verosteen lskemisess.

21 Työn keskimääräinen veroste TL = [TH*(WWSE-200-A*2400) A* ] /(WSSSWSE2300) Pääomn keskimääräinen veroste TK = [TH*(OSPUEPEI WSE 2300 ( A)*2400)200( A)* ] /(OS WSE 2300) Kulutuksen keskimääräinen veroste TC = ( )/(CPCG) Kotitlouksien keskimääräinen tuloveroste TH = 00/(OSPUEPEIW ) Yrittäjien lskennllinen plkksumm WSE = ES*(W 200)/EE Työtulojen osuus kotitlouksien tuotnnontekijätuloist A = (WWSE 200)/(OSPUEPEIW ) Kotitlouksien keskimääräinen tuloveroste (TH) Työtuloist mksetut tuloverot rvioidn OECD(2000)-menetelmässä smll peritteell kuin MRT-menetelmässäkin. Kotitlouksien oletetn mksvn keskimäärin smn osuuden (TH) tulovero sekä työ- että pääomtuloist. 5 Toisin kuin Mendoz, Rzin j Tesr kotitlouksien verosteen (TH) lskemisess otetn uomioon sosilivkuutusmksujen väennyskelpoisuus. Kotitlouksien mksmt tuloverot (00) jetn plkoill j plkkioill (W) sekä pääom- j yrittäjätuloill (OSPUE PEI), joist väennetään työntekijän j yrittäjän sosilivkuutusmksut sekä llokoimttomt sosilivkuutusmksut (200, 2300 j 2400). Yrittäjien lskennllinen plkksumm (WSE) Tärkeä ero MRT-menetelmään on se, että os yrittäjien tuloist ktsotn työtuloiksi. Yrittäjien työtulot rvioidn lskennllisesti perustuen oletukseen, että yrittäjät mksvt itselleen plknsjien keskimääräistä plkk vstvn vuo- 5 Tämä on ytäpitävää seurvn knss: tuloveroist 00 llokoidn työlle osuus (WWSE-200- A*2400)/(OSPUEPEIW ) j pääomlle osuus (OSPUEPEI-WSE-2300-(-A)*2400)/ (OSPUEPEIW ).

22 2 siplkn. Yrittäjän keskimääräinen (sosilivkuutusmksujen jälkeinen) vuosiplkk sdn jkmll sosilivkuutusmksuill väennetyt plkt j plkkiot (W 200) työntekijöiden määrällä knsntloudess (EE). Yrittäjien lskennlliset työtulot (WSE) lsketn kertomll keskimääräinen plkk yrittäjien määrällä (ES). Työtulojen osuus kotitlouksien tuotnnontekijätuloist (A) Eräissä miss os sosilivkuutusmksuist ei jostin syystä ole tilstoinniss llokoitu työlle eikä pääomlle. Nämä sosilivkuutusmksut (2400) jetn OECD(2000)-menetelmässä työlle j pääomlle siten, että työn osuus vst työtulojen osuutt tuotnnontekijätuloist (A) j pääomn osuus vst pääomtulojen osuutt tuotnnontekijätuloist ( A). Työtulojen osuuden (A) lskukvn osoittj muodostuu plkoist j plkkioist sekä yrittäjien lskennllisist työtuloist väennettynä työntekijän sosilivkuutusmksuill (WWSE 200). Nimittäjä on summ yksityisyritysten toimintylijäämästä, kotitlouksien omisuustuloist sekä plkoist j plkkioist väennettynä (väennyskelpoisill) työntekijän j yrittäjien sosilivkuutusmksuill (OSPUEPEIW ). Yrittäjien lskennllinen plkksumm on os yksityisyritysten toimintylijäämää (OSPUE), joten nimittäjässä ei trvit termiä (WSE). Työn keskimääräinen veroste (TL) Työtuloist mksetut tuloverot rvioidn OECD(2000)-menetelmässä kertomll kotitlouksien verosteell (TH) verotettvt työtulot, jotk muodostuvt plkoist j plkkioist (W) j yrittäjien lskennllisest plkksummst (WSE), joist väennetään työtekijän sosilivkuutusmksut (200) j työlle llokoitu osuus llokoimttomist sosilivkuutusmksuist (A*2400). Sosilivkuutusmksut väennetään, sillä ne ovt useimmiss miss verotuksess väennyskelpoisi. Yrittäjien sosilivkuutusmksuj (2300) ei väennetä työtuloist, sillä WSE on yrittäjien sosilivkuutusmksujen jälkeinen plkksumm. Työn keskimääräisen verosteen lskukvn osoittj muodostuu tuloverojen lisäksi työntekijän, työnntjn j yrittäjien sosilivkuutusmksuist (200, 2200 j 2300), llokoimttomien sosilivkuutusmksujen työlle lskettvst osst (A2400) sekä muist työvoimn kodistuvist veroist j mksuist (3000). TL:n ytälön nimittäjä eli veropoj, joll työön kodistuvt verot j mksut jetn, muodostuu plknsjkorvuksist (WSSS), yrittäjien lskennllisest plkksummst (WSE) j yrittäjien sosilivkuutusmksuist (2300). Plknsjkorvukset sisältävät plkkojen j plkkioiden (W) sekä sosilivkuutusmksujen (2200 j 2400) lisäksi myös työnntjien mksut yksityisiin eläkerstoiin. Useiss miss nämä mksut ovt merkittävä os työntekijöiden nsioist.

23 3 Pääomn keskimääräinen veroste (TK) Pääomtuloist mksetut tuloverot pääomn keskimääräisen verosteen (TK) kvn nimittäjässä rvioidn kertomll kotitlouksien keskimääräisellä verosteell (TH) yksityisyritysten toimintylijäämä sekä kotitlouksien omisuus j yrittäjätulot, joist väennetään yrittäjien lskennllinen plkksumm, yrittäjien sosilivkuutusmksut j pääomn osuus llokoimttomist sosilivkuutusmksuist (OSPUEPEI WSE 2300 ( A)2400). Kotitlouksien pääomtuloverojen lisäksi pääomn verotkkn luetn ytiöiden voittoverot (200), omisuusverot (4000) j pääomn osuus llokoimttomist sosilivkuutusmksuist (( A)2400). Nimittäjän veropoj on tlouden toimintylijäämä (OS), jost väennetään yrittäjien lskennllinen plkksumm (WSE) j yrittäjien sosilivkuutusmksut (2300). Crey j Tcilinguirin suosivt bruttotoimintylijäämän käyttämistä veropojss nettotoimintylijäämän sijn, kosk kiinteän pääomn kuluminen vitelee mittin perustuen erilisiin oletuksiin kiinteän pääomn käyttöiästä. Bruttotoimintylijäämää ylirvioi veropojn, joten siien perustuvn pääomn keskimääräisen verosteen tso trkstelless tämä seikk on syytä ott uomioon. Crey j Tcilinguirin pitävät bruttotoimintylijäämään perustuvi pääomn keskimääräisiä verosteit knsinvälisesti vertilukelpoisempin. Kulutuksen keskimääräinen veroste (TC) Kulutukseen kodistuviksi veroiksi ktsotn OECD(2000)-menetelmässä Revenue Sttistics -erät (50, 52, 522, 523, 526, 528 j 5200). Yleiset tvroiden j plvelusten verot (50) koostuu oleellisesti rvonlisäverost. Vlmisteverot (52) sisältää esimerkiksi lkooliverot j tupkkverot. Fisklisten monopolien voitot muodostvt erän 522. Erä 523 on tullit j tuontimksut. Yksittäisten plvelujen verot (526) koostuu esimerkiksi rpjisveroist j jätemksuist. Muut yksittäisten tvroiden j plveluiden verot (528) sisältää sokerimksun sekä teräs- j iilimksun. Tvroiden käytöstä j erinäisistä ktiviteeteist mksetut verot (5200) sisältää muun muss moottorijoneuvojen käyttömksut sekä metsästys- j klstusmksut. Veropoj on yksityisten j julkisten kulutusmenojen summ (CPCG). Creyn j Tcilinguirinin mukn on ilmeistä, että yrittäjien työtulot lirvioituvt yrittäjien työpnoksen olless yleensä työntekijää suuremmn. He pyrkivät myös korjmn mkotisell erityistuntemuksell yritysveroj erästä 00 erään 200 (Jpni, Sks, Itli, Itävlt j Tsekki), kosk osss mist yritysveroj sisältyy erään 00. Revenue Sttistics -tilston eriin on tety myös eräitä muit mkotisi muutoksi (ks. Crey et l. 2000, 3). Kuvss 2.2 esitetään OECD(2000)-menetelmällä Suomelle tuotettujen keskimääräisten verosteiden keityksen. Pääomn keskimääräinen veroste on lskettu sekä brutto- että nettotoimintylijäämää käyttäen.

24 4 Kuv 2.2. OECD(2000)-menetelmän tuottmt keskim. verosteet Suomess 00,0 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 0,0 0,0 2.4 EC-menetelmä TL TK (brutto) TK (netto) Euroopn komission DG Txud tuott yteistyössä Eurosttin knss keskimääräisiä verosteit. 6 Menetelmä, joll verosteet tuotetn vst peritteiltn MRT-menetelmää. Menetelmissä on kuitenkin joitkin uomttvi eroj. Ensinnäkin tietoläteet ovt eriliset. EC-menetelmä käyttää Eurosttin New Cronos - tietoknt, jot täydennetään eräissä tpuksiss jäsenmilt sduill tiedoill. Eroj on myös veroperustoiss, joille verosteet lsketn. Keskimääräinen veroste lsketn kulutukselle, plktulle työvoimlle j muille tuotnnontekijöille. EC-menetelmää on keitetty jn myötä. Eurostt (2000) esittelee menetelmän viimeisimmän version j sen tuottmt verosteet. Käytettyjen tietoläteiden j veroperusteiden lisäksi tärkein ero MRT- j OECD(2000)-menetelmiin on tp, joll tuloverot jetn työlle j muille tuotnnontekijöille. EC-menetelmässä ei lsket kotitlouksien keskimääräistä tuloverostett (TH), kuten MRT- j OECD(2000)-menetelmässä, vn työtuloist mksetut verot sdn tietoknnst (ennkkoperintätieto) ti suorn jäsenmilt. Tätä menettelyä suosittelee myös Volkerinkin j de Hnin OECD(200)-menetelmä (ks. kpple 2.5), kosk TH nt usein eikon rvion työ- j pääomtuloist mksettvist veroist. Lisäksi EC-menetelmässä ei siis yritetä sisällyttää yrittäjien työpnost työn verotukseen, joten menetelmästä sdn plkktyön keskimääräinen veroste. Pääomn keskimääräistä verostett vst muiden tuotnnontekijöiden keskimääräinen veroste, jok sisältää pääomn j yrittäjyyden verot sekä joitkin energi- j ympäristöveroj. Kulutuksen keskimääräinen veroste ero sisällöltään iukn joidenkin energi- j ympäristöverojen oslt edeltävistä menetel- TC 6 Eurostt (2000) käyttää nimitystä implisiittinen veroste.

25 5 mistä. Lisäksi julkiset plkkmenot väennetään veropojst mutt sen sijn veroj ei väennetä (vrt. MRT-menetelmä). Eurostt (2000) esittää keskimääräiset verosteet seurvsti: Plkktyön keskimääräinen veroste (TL) = Plktun työvoimn verot / Plknsjkorvukset Muiden tuotnnontekijöiden keskimääräinen veroste (TK) = (Yrittäjien verot pääomn verot) / (Tlouden nettotoimintylijäämä Vltion konsolidoidut korkomksut) Kulutuksen keskimääräinen veroste (TC) = Kulutusverot / (Yksityinen kulutus mn rjojen sisällä Julkinen kulutus Julkiset plkkmenot). Veroerien sisältö vitelee mittin j eräissä tpuksiss veroerät sisältävät lskennllisi rvioit leristä. Esimerkiksi Suomen tpuksess plktun työvoimn verojen lerä työtuloist mksetut tuloverot on rvioitu seurvll krkell kvll: Työn tuloverot = Kotitlouksien tuloverot * [Kotitlouksien tulot / (Kotitlouksien tulot Yritysten tulot)]. Myös pääomn verojen rvioinniss käytetään vstv menetelmää. Arviointimenettely vst Suomen tpuksess MRT- j OECD(2000)-menetelmien oletust työ- j pääomtulojen smst keskimääräisestä tuloverosteest (TH). ECmenetelmässä kuitenkin myös työlle j muille tuotnnontekijöille jettv tuloveroerä on rvioitu lskennllisesti (ks. Eurostt 2000, 30). EC-menetelmällä ei siis toistiseksi sd Suomelle edellä minittuj menetelmiä trkempi rvioit työn j pääomn keskimääräisistä verosteist. EC-menetelmän keskimääräisiä verosteit julkistn j pyritään julkisemn säännöllisesti: Eurostt (998), Eurostt (2000). Kuitenkin tätäkin tksepäin ktsov menetelmää viv tilstoinnin itus. EC (2000) julkisee keskimääräisiä verosteit vuoteen 997 sti. EC-menetelmän mukisten keskimääräisten verosteiden keitys Suomess esitetään kuvss 2.3.

26 6 Kuv 2.3. EC-menetelmän tuottmt keskimääräiset verosteet Suomess 60,0 50,0 40,0 30,0 20,0 TL TK TC 0,0 0, Läde: Eurostt Euroopn Unionin piirissä myös komission DG Ecfin tuott lskelmi keskimääräisistä verosteist (ks. Mrtinez-Mongy 2000). Nämäkin verosteet perustuvt MRT- j OECD-menetelmiin. Eron on jälleen ineistoläde, jon toimii Ameco. Ameco-veroineisto ei ole niinkään yksityiskotist kuin OECD:n Revenue Sttistcs -tietoknnn ineisto, mutt se on silti vertilukelpoisemp. Toiseksi DG Ecfinin veropojn määrittely on epätrkempi jotuen ineistost. DG Ecfin pyrkii kuitenkin mkotisen tiedon j Revenue Sttistics -tilston vull lskemn erikseen työn j plktun työvoimn sosilivkuutusmksujen sekä muiden plkk- j työvoimverojen keskimääräiset verosteet. Plktun työvoimn verosteest erotelln vielä työnntjn sosilivkuutusmksujen vikutus. Myös muut plkk- j työvoimverot on mdollist erotell. Menetelmä tuott työn j plktun työvoimn keskimääräiset verosteet niin ilmn kuin sisältäen sosilivkuutusmksut sekä muut plkk- j työvoimverot. Kulutuksen keskimääräisen verosteen lskeminen tptuu smoin kuin ECmenetelmässä Ameco-ineistost stujen verojen vull. Työn ti plktun työvoimn, sosilivkuutusmksujen j kulutuksen keskimääräisten verosteiden vull voidn lske kokonisveroste. Pääomn keskimääräinen veroste voidn lske yritys- j omisuusverojen sekä pääomtuloverojen summn joko väentäen yrittäjän työpnos ti sisällyttäen yrittäjän pnos kokonn pääomn. DG Ecfinin verosteet on trkoitettu läinnä sisäiseen käyttöön, eikä niitä julkist säännöllisesti muuten kuin työn keskimääräisen kokonisverosteen oslt puolivuosittisten sudnnektsusten yteydessä. Menetelmän etun on, että se pyrkii jkmn verosteet pienempiin osiin j ennkoimn keskimääräisten verosteidens keittymistä nopemmn informtion smiseksi. Lisäksi mt rportoivt veropoj kuvvt tiedot puolivuosittin.

27 7 2.5 Menetelmien rviointi j OECD(200)-menetelmä Mkrotson ineistoist lsketuill keskimääräisillä verosteill on seurvi yödyllisiä ominisuuksi: i) Lskelmiss yödynnetään tietoj toteutuneist verokertymistä, jolloin linsäädännöllisten verokntojen, veroväennysten j muiden veroelpotusten yteisvikutus sekä verosuunnittelun vikutus veropojn tulee implisiittisesti uomioitu. ii) iii) iv) Keskimääräisten verosteiden tuottminen on yksinkertisemp kuin eteenpäin ktsovien lskennllisten verosteiden tuottminen, sillä näiden lskemisess olisi otettv uomioon lukuisi yksittäisiä veroväennyksiä j -elpotuksi. Mkrotsolt lskettujen keskimääräisten verosteiden knsinvälinen vertileminen on elppo, kosk verosteet lsketn useimmiss tpuksiss smll tvll ytenäisistä tilstoist. Keskimääräistä verostett on luontev käyttää mkrotloudellisiss mlleiss. v) Mittreit voidn yödyntää verojärjestelmän rvioinniss, sillä ne ntvt enemmän tieto verorkenteest kuin pelkät linsäädännölliset veroknnt. Lisäksi ne indikoivt verojärjestelmän todellisi muutoksi trkemmin kuin vero/bkt -suteet. Keskimääräisten verosteiden lskemisess törmätään kuitenkin useisiin peritteellisiin j käytännöllisiin ongelmiin. Perustvnltuinen ongelm keskimääräisten verosteiden lskemisess on, että suuri os OECD:n Revenue Sttistics - tietoknnn veroktegorioist sisältää usempn kuin yteen mkrotloudelliseen veroperustn (työ, pääom, ym.) pojutuvi veroj. Toiseksi oiken, veroj vstvn, veropojn muodostminen on usein vike. Lisäksi sudnteet vikuttvt osittin nopemmin veropoj kuvvn erään kuin verokertymään, kosk Revenue Sttistics -tilsto kerätään kssvirtperitteell (ks. luku 2.). Vertilemist vikeuttvt myös tilstoinniss olevt erot j vireet sekä eri miden verotekijöiden sekoittuminen tilstoiss. Oletus työ- j pääomtuloist mksettvst smst vero-osuudest (TH-oletus) stt ieutt suurtkin r työn j pääomn keskimääräisiin verosteisiin. Jos esimerkiksi työtuloist todellisuudess mksetn suurempi osuus tuloveroj kuin pääomtuloist, työn keskimääräinen veroste on lspäin rinen j pääomn keskimääräinen veroste ylöspäin rinen rvio vstvlle todelliselle keskimääräisellä verosteelle. OECD:n j EU-komission piirissä pyritäänkin välttämään TH:n käyttöä.

28 8 TH-oletus elpott kuitenkin verosteiden lskemist, kosk tuloverojen trkempi rvioiminen edellyttää mkotisen lisäinformtion käyttöä. Oletuksen vull on mdollist tuott suteellisen elposti verosteit useilt vuosilt useille mille, mikä mdollist verosteiden knsinväliset vertilut. Lisäksi on pidettävä mielessä, että termit (TH*työtulot) j (TH*pääomtulot) ovt vin os työn j pääomn keskimääräisen verosteen lskukvojen osoittjist. Oletuksen ieutt potentilisesti väemmän r miss, joiss tuloverojen osuus verorsituksest on pieni. Esimerkiksi Suomess työtuloist mksettujen tuloverojen osuus OECD(2000)-menetelmän mukisen TL:n osoittjst on noin prosentti. Revenue Sttistics -tilston erä 00 kotitlouksien keskimääräisen verosteen (TH) lskukvn osoittjss sisältää myös sosiliturvetuuksist mksetut verot, mutt nimittäjä ei sisällä sosiliturvetuuksi. Kotitlouksien keskimääräinen veroste tulee siis ylirvioiduksi miss, joiss sosiliturvetuuksist mksetn veroj. Mikäli TH-oletus likimin pätee tällisess mss, on myös työn j pääomn keskimääräinen veroste ylöspäin rinen. Sosiliturvetuuksist mksetut verot tulisi siis väentää TH:n osoittjst. Ainkin Tnsk, Ruotsi, Suomi j Alnkomt ovt mit, joiss sosiliturvetuuksist mksetn veroj. Volkerink j de Hn (OECD, 200) rvioivt kriittisesti keskimääräisen verosteen lskemiseen keitettyjä menetelmiä j tekevät vintoj TH-oletuksest seurvien ongelmien lisäksi myös useist muist eri menetelmien eikkouksist j rn läteistä. He julkisevt menetelmän (jäljenpänä OECD(200)- menetelmä), joss TH-oletuksest on EC-menetelmän tpn luovuttu j lskukvoiin tedään muitkin muutoksi. He edottvt erän 00 jkmist työj pääomtuloist mksettuiin tuloveroiin prmetrin vull. Prmetri voidn sd trkemmin mikroineistoist, yksityiskotisemmll mkrotilstoinnill, miden virnomisten ilmoituksist ti viimeisenä vitoeton rvioimll knsntlouden tilinpidon eristä. Suomen oslt menetelmässä käytetään sm krke rviointimenettelyä kuin EC-menetelmässäkin. OECD(200)- menetelmän mukiset lskukvt ovt seurvss ltikoss.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.

Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press. Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

IKÄÄNTYMINEN ETELÄ-SAVOSSA

IKÄÄNTYMINEN ETELÄ-SAVOSSA 1 TRENDIKATSAUS 3/215 (31.12.215) TULEVAISUUSLOIKKA ETELÄ-SAVON ENNAKOINTIHANKE 215-217 IKÄÄNTYMINEN ETELÄ-SAVOSSA KATSAUS ETELÄ-SAVON MAAKUNNAN VÄESTÖN IKÄÄNTYMISKEHITYKSEEN Tähän ktsukseen on koottu

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Metsätieteen aikakauskirja

Metsätieteen aikakauskirja Metsätieteen ikkuskirj t u t k i m u s r t i k k e l i Sij Huuskonen j Anssi Ahtikoski Sij Huuskonen Ensihrvennuksen joituksen j voimkkuuden vikutus kuivhkon knkn männiköiden tuotokseen j tuottoon Huuskonen,

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla

Kasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla YTV MUISTIO 1 Asi 7 / Liite 1 PÄÄKAUPUNKISEUDUN ILMASTOSTRATEGIA 2030 YTV:n hllitus on kokouksessn 14.12.2006 hyväksynyt Pääkupunkiseudun ilmstostrtegiluonnoksen 2030 lusuntojen j knnnottojen pyytämistä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa ArcGIS Server ArcGIS for Server Luo, j j hllitse pikktieto ArcGIS Serverin vull voidn luod plveluit keskitetysti, hllinnoid näitä plveluit j jk niitä orgnistion sisällä sekä verkoss. Plveluj voidn helposti

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Tavaraliikenteen nykytila Uudenmaan tiepiirissä. Tiehallinnon selvityksiä 48/2002

Tavaraliikenteen nykytila Uudenmaan tiepiirissä. Tiehallinnon selvityksiä 48/2002 Tvrliikenteen nykytil Uudenmn tiepiirissä Tiehllinnon selvityksiä 48/2002 Tvrliikenteen nykytil Uudenmn tiepiirissä Tiehllinnon selvityksiä 48/2002 TIEHALLINTO Helsinki 2002 Knsikuv: Seppo Srjmo ISSN

Lisätiedot

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT)

Valmennuksen ja arvioinnin tukijärjestemä (VAT) Vlmennuksen j rvioinnin tukijärjestemä (VAT) Työhön kuntoutuksen trkoitus on utt sikst kuntoutumn siten, että siirtyminen koulutukseen ti työelämään on mhdollist. VAT -järjestelmä on kehitetty kuntoutumisen

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Sähkönjakelun luotettavuusindeksit ja laskenta

Sähkönjakelun luotettavuusindeksit ja laskenta LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO SÄHKÖTEKNIIKAN OSASTO Jukk Rämä KANDITYÖ Säte 4 3.02.2008 Säkönkelun luotettvuusindeksit lskent PL 20, 5385 LAPPEENRANTA, p. 05 62,

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

SAVUKOSKEN KUNTA Sosiaalilautakunta 21.03.2012

SAVUKOSKEN KUNTA Sosiaalilautakunta 21.03.2012 Sosililutkunt 21.03.2012 11 Sosililutkunt Aik: Keskiviikko 21.03.2012 klo 16.00 17.35 Pikk: Vnhinkoti Asit 9 Sosililutkunnlle tiedoksi 10 Plvelussuhteen päättyminen 11 Rvitsemistyöntekijän tehtävien hoito

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

// Tulostetaan liukulukutyyppinen muuttuja riviä vaihtamatta // yhden desimaalin tarkkuudella. System.out.printf("%.

// Tulostetaan liukulukutyyppinen muuttuja riviä vaihtamatta // yhden desimaalin tarkkuudella. System.out.printf(%. Nämä tehtävät on trkoitettu inostn opiskelijoille, jotk pystyvät svuttmn 40 % rjn (21 pistettä) tekemällä 1 8 kpl ll olevist lisätehtävistä. Ole huolellinen j tee kikki pyydetty. Puutteellisi rtkisuj ei

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

6 Kertausosa. 6 Kertausosa Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio

Lisätiedot

Kohteen turvaluokitus on

Kohteen turvaluokitus on LVI 03-10517 SIT 13-610091 KH X4-00513 INFRA 053-710109 ST 41.01 HANKETIETOKORTTI HT12 Hnketietokortiss esitetään rkennuskohteen lähtötiedot j tiljn edellyttämä ltutso suunnittelun työmäärän rviointi vrten.

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L ) 76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti

Lisätiedot

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro

16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

3.7. Rekursiivisista lukujonoista

3.7. Rekursiivisista lukujonoista .7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3

Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3 Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

LATO - Lastensuojelun ja toimeentulotuen toimintaprosessien ja tiedonhallinnan kehittäminen ja tehostaminen(2014-2015)

LATO - Lastensuojelun ja toimeentulotuen toimintaprosessien ja tiedonhallinnan kehittäminen ja tehostaminen(2014-2015) LATO - Lstensuojelun j toimeentulotuen toimintprosessien j tiedonhllinnn kehittäminen j tehostminen(2014-2015) 27.9.2013 Päivitetty: 30.12.2013 Sisältö 1 YHTEENVETO... 3 1.1 TAUSTA JA PERUSTELUT... 4 2

Lisätiedot

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat

Monikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S 3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikk Hrjoitus no 1, rtkisut (syyslukukusi 14) 1 Lämpötilss T K elektronien energit eivät ylitä Fermin energi (ɛ i ɛ F ), lämpötilprmetri β j kemillinen potentili vst Fermin energi (µ() ɛ

Lisätiedot

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

Viittomakielten fonologisista prosesseista

Viittomakielten fonologisista prosesseista Viittomkielten fonologisist prosesseist Tommi Jntunen Helsingin yliopisto Yleisen kielitieteen litos tjjntun@ling.helsinki.fi Seurvss esitellään joitkin tyypillisimpiä fonologisi prosessej viitotuiss kielissä.

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk d Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A1 Muotoilun milm j muotoilusuunnistus Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Etsitään j löydetään muotoilu ympäristöstä.

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.

Kieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2. Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot