Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää mm s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13, s / min = 800 s s = 0 s Tulostus kestää 13 min 0 s. Vastaus: 13 min 0 s. Muutetaan tiheys yksikköön g/cm 3. 1 kg 1000 g g ρ = = = dm 1000 cm cm Lasketaan muovinappulan massa tiheyden ja tilavuuden avulla. m ρ = V V m = ρv m = 1 g/cm 3 8 cm 3 = 8 g. Tulostuksen hinta on 8 g g = 0,3. Vastaus: 0,3

2 4.1 Särmiö ALOITA PERUSTEISTA 401. a) Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 5 dm 3,8 dm = 95 dm 3. Vastaus: 95 dm 3 b) Särmiön tilavuus on V =A pohja h = 13 m,9 m = 37,7 m 3 38 m 3. Vastaus: 38 m a) Särmiössä on kaksi yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa. Seuraavat monikulmiot täyttävät edellä mainitut ehdot: Särmiö I II III IV Pohjan muoto suorakulmio viisikulmio kuusikulmio kolmio Vastaus: I: suorakulmio, II: viisikulmio, III: kuusikulmio ja IV: kolmio b) Lasketaan särmien lukumäärät kuvien perusteella. Särmiö Särmien lukumäärä I 1 II 15 III 18 IV 9 Tapa II: Jos särmiön pohja on n-kulmio, pohjamonikulmiossa on n janaa. Koska särmiössä on kaksi pohjaa, pohjamonikulmiossa on yhteensä n janaa. Lisäksi pohjamonikulmioiden vastinpisteet on yhdistetty janoilla, joten särmiössä on yhteensä n + n = 3n janaa eli särmää. Vastaus: I: 1, II: 15, III: 18 ja IV: 9

3 c) Suoran särmiön sivutahkot ovat suorakulmioita, vinon särmiön suunnikkaita. Särmiö I II III IV Sivutahkon muoto suorakulmio suorakulmio suunnikas suorakulmio Vastaus: I, II ja IV: suorakulmioita sekä III: suunnikkaita 403. Videossa https://vimeo.com/ /4d70f90c01 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista appletin avulla. a) Kuution kaikki tahkot ovat neliöitä, joiden sivun pituus on 4,0 cm. Yhden tahkon pinta-ala on 4,0 cm 4,0 cm = 16 cm. Vastaus: 16 cm b) Kuutiossa on 6 tahkoa, joten kokonaispinta-ala on 6 16 cm = 96 cm. Vastaus: 96 cm c) Kuution tilavuus on V = A pohja h = 16 cm 4,0 cm = 64 cm 3. Vastaus: 64 cm 3

4 404. Suorakulmaisessa särmiössä vastakkaiset tahkot ovat yhteneviä, joten mitkä tahansa kaksi suorakulmiota voidaan valita särmiön pohjiksi. Valitaan särmiön pohjaksi suurin suorakulmio, jonka mitat ovat 4 3. Tähän suorakulmioon kiinnittyneet suorakulmiot ovat sivutahkoja. Asettamalla sivutahkot kohtisuorasti pohjaa vastaan havaitaan, että suorakulmion korkeus on. Viimeinen suorakulmio taitetaan särmiön kanneksi. Piirretään särmiö kavaljeeriperspektiivissä. Pohjasuorakulmion toiset vastakkaiset särmät piirretään ruutujen suuntaisesti ja toiset 45 :n kulmassa eli ruutujen lävistäjien suuntaisesti. Ruutujen lävistäjien suuntaisesti piirrettyjen särmien pituus on puolet annetusta pituudesta eli 1,5. Yhden ruudun lävistäjän pituus on = 1,41, mikä on melko lähellä lukua 1,5. Kolmen yksikön mittaiset sivut piirretään siten yhden ruudun lävistäjinä. a) Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 4 3 = 4. Vastaus: 4 b) Sijoitetaan särmien pituudet a = 4, b = 3 ja c = avaruuslävistäjän laskukaavaan. d = a + b + c = = 9 = 5, , 4 Vastaus: 9 5, 4

5 405. a) Särmiön pohja on muodoltaan L-kirjain, joka koostuu kahdesta suorakulmiosta. Pohjan pinta-ala on A pohja = 4 cm cm + cm cm = 8 cm + 4 cm = 1 cm. Särmiössä on kaksi suorakulmion muotoista sivutahkoa, joiden kanta on 4 cm ja korkeus 3 cm. Yhden tällaisen sivutahkon pinta-ala on A 1 = 4 cm 3 cm = 1 cm. Lisäksi särmiössä on neljä yhtenevää suorakulmion muotoista sivutahkoa, joiden kanta on cm ja korkeus 3 cm. Yhden tällaisen sivutahkon pinta-ala on A = cm 3 cm = 6 cm. Kokonaispinta-ala on A = A pohja + A 1 + 4A = 1 cm + 1 cm cm = 7 cm. Vastaus: 7 cm

6 b) Särmiön pohja on muodoltaan T-kirjain, joka koostuu kahdesta suorakulmiosta. Pohjan pinta-ala on A pohja = cm 3 cm + 6 cm cm = 6 cm + 1 cm = 18 cm. Isoimman sivutahkon pinta-ala on A 1 = 6 cm 3 cm = 18 cm. Isoimman sivutahkon kanssa yhdensuuntaisia sivutahkoja on kolme kappaletta ja ne ovat keskenään yhteneviä. Yhden tällaisen sivutahkon pinta-ala on A = cm 3 cm = 6 cm. Isoimman sivutahkon kanssa erisuuntaisia sivutahkoja on kaikkiaan neljä kappaletta. Isoimman sivutahkon viereiset sivutahkot ovat keskenään yhteneviä ja niiden pinta-ala on A 3 = cm 3 cm = 6 cm. Kaksi muuta erisuuntaista sivutahkoa ovat keskenään yhtenevät. Niiden pinta-ala on A 4 = 3 cm 3 cm = 9 cm. Kokonaispinta-ala on A = A pohja + A 1 + 3A + A 3 + A 4 = 18 cm + 18 cm cm + 6 cm + 9 cm = 10 cm. Vastaus: 100 cm

7 406. Parkkipaikan veden tilavuus saadaan kertomalla parkkipaikan pinta-ala veden korkeudella 30 mm = 0,03 m. Vesimäärän tilavuus on V = A pohja h = 18,0 m 5,0 m 0,03 m = 13,5 m 3 = dm 3 = l. Vastaus: l VAHVISTA OSAAMISTA 407. a) Särmiön pohja on puolisuunnikas, jonka yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 4 cm ja cm ja korkeus cm. Puolisuunnikkaan pinta-ala on a+ b A pohja = h = 4cm + cm cm = 6 cm. Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 6 cm 3 cm = 18 cm 3. Vastaus: 18 cm 3

8 b) Särmiön pohja on suorakulmainen kolmio, jonka toisen kateetin pituus on 8 cm ja hypotenuusan pituus 10 cm. Pohjan pinta-alan laskemista varten selvitetään toisen kateetin pituus. Merkitään tuntemattoman kateetin pituutta kirjaimella x. Ratkaistaan pituus x Pythagoraan lauseen avulla. 8 + x = x = 100 x = 36 x = ( + ) 36 x = 6 Pohjakolmion pinta-ala on 8cm 6cm A pohja = = 4 cm. Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 4 cm 5 cm = 10 cm 3. Vastaus: 10 cm a) Merkitään särmiön korkeutta kirjaimella h. Muodostetaan yhtälö särmiön tilavuudelle ja ratkaistaan siitä korkeus h. V = A pohja h 56 = 14h 14h = 56 : 14 h = 4 Särmiön korkeus on 4,0 metriä. Vastaus: 4,0 m

9 b) Merkitään särmiön korkeutta kirjaimella h. Muodostetaan yhtälö särmiön tilavuudelle ja ratkaistaan siitä korkeus h. V = A pohja h 185 = 5h 5h = 185 : 5 h = 7,4 Särmiön korkeus on 7,4 cm. Vastaus: 7,4 cm 409. Särmiön mitat ovat 4 cm, 5 cm ja 6 cm. Piirretään särmiö tasoon levitettynä. Väritetään särmiön pohjat sivutahkoja tummemmiksi. Särmiön pohjan pinta-ala on A pohja = 4 cm 5 cm = 0 cm. Särmiössä on neljä suorakulmion muotoista sivutahkoa. Kahden sivutahkon mitat ovat 5 cm 6 cm ja kahden sivutahkon 4 cm 6 cm. Sivutahkojen yhteispinta-ala on A sivutahkot = 5 cm 6 cm + 4 cm 6 cm = 108 cm. Särmiön kokonaispinta-ala on A = A pohja + A sivutahkot = 0 cm cm = 148 cm. Vastaus: 148 cm

10 410. Videossa https://vimeo.com/ / fb8 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Sopivan ohjelman avulla särmiön tilavuudeksi saadaan 0,65. Vastaus: 0, a) Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella a. Muodostetaan yhtälö kuution tilavuudelle ja ratkaistaan siitä särmän pituus a. V = a 3 a 3 = 61 a = 3 61 a = 3,936 a 3,9 Kuution särmän pituus on noin 3,9 cm. Vastaus: 3,9 cm b) Sijoitetaan särmien pituudet avaruuslävistäjän laskukaavaan. d = a + b + c = ( 3, cm) + ( 3, cm) + ( 3, cm) 3 = 48 cm = 6, cm 6,8 cm Kuution avaruuslävistäjän pituus on noin 6,8 cm. Vastaus: 6,8 cm

11 41. a) Hahmotellaan rakennelma kavaljeeriperspektiivissä. Esimerkiksi Rakennelmassa on yhteensä 10 kuutiota. Vastaus: esim 10 b) Hahmotellaan rakennelma kavaljeeriperspektiivissä. Esimerkiksi Rakennelmassa on yhteensä 7 kuutiota. Vastaus: esim a) Maalattavan alueen pinta-ala saadaan vähentämällä seinien pinta-alasta ikkunan, komeroiden ja oven yhteispinta-ala. Huone on suorakulmaisen särmiön muotoinen. Seinät ovat suorakulmioita, joiden korkeus on,5 m. Vastakkaiset seinät ovat yhteneviä, joten seinien pinta-ala on A seinät =,4 m,5 m + 3,5 m,5 m = 9,5 m. Seinien pinta-alan ja ikkunan, komeroiden ja oven yhteispinta-alan erotus on A = 9,5 m 6,5 m = 3 m. Maalattava pinta-ala on 3 m. Vastaus: 3 m

12 b) Yhdellä litralla pystyy maalaamaan 8 m, joten seinien maalaamiseen 3 m tarvitaan,875 l 8m /l =. Koska maalaus tehdään kahteen kertaan, maalia tarvitaan,875 l = 5,75 l 5,8 l. Vastaus: 5,8 litraa 414. a) Pakkauksen tilavuuden laskemista varten selvitetään pohjan pinta-ala. Pohja on tasasivuinen kolmio, joten korkeusjana jakaa kolmion kahteen yhtenevään kolmioon. Merkitään korkeusjanaa kirjaimella h. Ratkaistaan h Pythagoraan lauseen avulla. h + 3,0 = 6,0 h = 36 9 h = ( + ) 7 h = 5,196 Kolmion pinta-ala on 6,0 cm 5, cm Apohja = = 15, cm. Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 15,588 cm 30,5 cm = 475,447 cm cm 3. Vastaus: 480 cm 3

13 b) Särmiön kolme sivutahkoa ovat suorakulmioita, joiden sivut ovat 6,0 cm ja 30,5 cm. Yhden sivutahkon pinta-ala on A sivutahko = 6,0 cm 30,5 cm = 183 cm. Särmiön kokonaispinta-ala on A = A pohja + 3A sivutahko = 15,588 cm cm = 580,176 cm 580 cm. Pahvia tarvitaan noin 580 cm. Vastaus: 580 cm 415. Merkitään vesikerroksen korkeutta kirjaimella h. Vesikerros on muodoltaan suora särmiö, jonka tilavuus on 5,6 litraa eli 5,6 dm 3 ja jonka pohjan pinta-ala on 8,0 m eli 800 dm. Muodostetaan yhtälö vesikerroksen tilavuudelle ja ratkaistaan siitä vesikerroksen korkeus h. V = A pohja h 5,6 = 800 h : 800 h = 0,007 Vesikerroksen korkeus on 0,007 dm eli 0,70 mm. Vastaus: 0,70 mm

14 416. Merkitään särmiön pituutta kirjaimella x, jolloin korkeus on 0,9x ja leveys 0,8x. Pohjan pinta-ala on A pohja = x 0,8x = 0,8x. Sivutahkoja on kaikkiaan neljä. Vastakkaiset tahkot ovat keskenään yhteneviä. Sivutahkojen yhteispinta-ala on A sivutahkot = x 0,9x + 0,8x 0,9x = 1,8x + 1,44x = 3,4x. Muodostetaan yhtälö särmiön kokonaispinta-alalle ja ratkaistaan siitä pituus x. A pohja + A sivutahkot = A 0,8x + 3,4x = 484 4,84x = 484 : 4,84 x = 100 x = ( + ) 100 x = 10 Särmiön pituus on x = 10 cm, korkeus 0,9x = 9 cm ja leveys 0,8x = 8 cm. Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 10 cm 8 cm 9 cm = 70 cm 3. Vastaus: 70 cm 3

15 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 417. a) Merkitään särmän pituutta kirjaimella x. Sijoitetaan särmien pituudet avaruuslävistäjän pituuden laskukaavaan. d = a + b + c = x + x + x = 3x Ratkaistaan yhtälöstä särmän pituus x. 3x = 4 x > 0 3 x = 4 : 3 x = 13,856 Särmiön tilavuus on x 3 = (13,856 cm) 3 = 660,430 cm cm 3. Vastaus: 700 cm 3 b) Merkitään särmien pituuksia lausekkeilla x, x ja 3x. Sijoitetaan särmien pituudet avaruuslävistäjän pituuden laskukaavaan. d = a + b + c = x + ( x) + (3 x) = x + 4x + 9x = 14x Ratkaistaan yhtälöstä pituus x. 14x = 4 x > 0 14 x = 4 : 14 x = 6,414 Särmien pituudet ovat x = 6,414 cm x = 6,414 cm = 1,88 cm 3x = 3 6,414 cm = 19,4 cm. Särmiön tilavuus on V = A pohja h = 6,414 cm 1,88 cm 19,4 cm = 1583,408 cm cm 3. Vastaus: 1600 cm 3

16 418. a) Sijoitetaan hallin pituus, leveys ja korkeus särmiön avaruuslävistäjän pituuden laskukaavaan. d = a + b + c = ( 5 m) + ( 15 m) + ( 4,0 m) = 866 m = 9,47... m 9 m Vaijerin pituus on noin 9 m. Vastaus: 9 m b) Merkitään hallin lattian lävistäjää kirjaimella x sekä lävistäjän x ja vaijerin välistä kulmaa kirjaimella α. Lasketaan ensin pohjan lävistäjän x pituus Pythagoraan lauseen avulla. x = x = ( + ) 850 x = 9,154 Lasketaan kulma α tangentin avulla. 4,0 tanα = 9, α = 7,81 α 7,8 Vaijerin ja lattian välinen kulma on noin 7,8. Vastaus: 7,8

17 419. Levitetään kuutio tasoon ja yhdistetään pisteet A ja B janalla toisiinsa. Merkitään janaa AB kirjaimella x. Janan x pituus on pisteiden A ja B lyhin etäisyys kuution pintaa pitkin. Ratkaistaan pituus x Pythagoraan lauseen avulla. x = x = 45 x = ( + ) 45 x = 15,65 x 16 Muurahainen kulkee noin 16 cm. Vastaus: 16 cm

18 40. Piirretään kuution kahdesta vierekkäisestä kärjestä avaruuslävistäjät. Tällöin muodostuu kaksi tasakylkistä kolmiota, joiden kylkinä ovat avaruuslävistäjien puolikkaat ja kantana kuution särmä. Kysytty kulma on tasakylkisen kolmion huippukulma α. Merkitään kuution särmää kirjaimella s. Sijoitetaan särmän pituudet avaruuslävistäjän pituuden kaavaan ja sievennetään lauseke. d = a + b + c = s + s + s = 3s s > 0 = 3 s Avaruuslävistäjän puolikas on siten d 3 s =. Piirretään avaruuslävistäjien leikkauspisteestä kolmion korkeusjana. Korkeusjana jakaa tasakylkisen kolmion kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmion, jonka hypotenuusa on lävistäjän puolikas ja toinen kateetti on särmän puolikas. Merkitään huippukulman puolikasta kirjaimella β ja ratkaistaan se sinin avulla. 1 s sin β = 3s 1 sin β = 3 β = 35,64

19 Huippukulman suuruus on α = β = 35,64 = 70,58 70,5. Avaruuslävistäjien välisen terävän kulman suuruus on noin 70,5. Vastaus: 70, Vesimäärä muodostaa särmiön. Koska veden alla olevan poikkileikkauskuvion kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset ja erisuuntaiset sivut ovat yhtä pitkiä, poikkileikkauskuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. Särmiön korkeutena on tunnin aikana kulkevan vesipatsaan pituus. Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella h. Lasketaan ojan syvyys eli puolisuunnikkaan korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + 0,5 = 1,5 h = h = ( + ) Puolisuunnikkaan pinta-ala on a+ b,0m+ 3,0m m 3, m A= h= =. Yhdessä sekunnissa kulkevan veden tilavuus on V = A 0,5 m = 3,535 m 0,5 m = 0,883 m 3. Tunnissa kulkevan veden tilavuus ,883 m m 3. Joessa virtaa tunnin aikana noin 300 m 3 vettä. Vastaus: 300 m 3

20 4. Ympyrälieriö ALOITA PERUSTEISTA 4. a) Ympyrälieriön tilavuus on V = A pohja h = 13 m 4, m = 54,6 m 3 55 m 3. Vastaus: 55 m 3 b) Lieriön tilavuus on V = A pohja h = 8 cm 8,5 cm = 38 cm 3 40 cm 3. Vastaus: 40 cm 3 c) Ympyrälieriön pohjaympyrän säde on r = 0,8 dm = 0,4 dm = 4,0 cm. Ympyrälieriön tilavuus on V = πr h = π (4,0 cm) 15,0 cm = 753,98 cm cm 3. Vastaus: 750 cm Särmiöllä ja ympyrälieriöllä on kaksi yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa, ja pohjien vastinpisteet on yhdistetty janoilla. Särmiön pohja on monikulmio ja ympyrälieriön ympyrä. Jos edellä mainitut ehdot eivät täyty, kappale on muu avaruuskappale. a) Särmiöitä ovat kappaleet III ja V. Kappale IV ei ole särmiö, koska sillä ei ole yhdensuuntaisia pohjia, joiden vastinpisteet olisi yhdistetty janoilla. Vastaus: III ja V b) Kappale I on ympyrälieriö. Kappale II ei ole ympyrälieriö, koska pohjien vastinpisteitä ei ole yhdistetty janoilla vaan kaarilla. Myöskään kappale VI ei ole ympyrälieriö, koska sen pohjat eivät ole yhdensuuntaiset. Vastaus: I

21 c) Edellisten kohtien perusteella lieriöitä ovat I, III ja V. Vastaus: I, III ja V 44. Pohjaympyrän säde on 3,8 cm r = = 1,9 cm. Suoran ympyrälieriön vaippa on suorakulmio, jonka korkeus on sama kuin ympyrälieriön korkeus ja kanta on pohjaympyrän kehän pituus. Pohjaympyrän kehän pituus on p = πr = π 1,9 cm = 11,938 cm 11,9 cm. Piirretään ympyrälieriön vaippa tasoon levitettynä. a) Vaipan pinta-ala on suorakulmion kannan ja korkeuden tuo. A vaippa = πr h = π 1,9 cm 5, cm = 6,077 cm 6 cm Vastaus: 6 cm b) Kokonaispinta-ala saadaan, kun vaipan pinta-alaan lisätään pohjien pinta-alat. Kokonaisala on A = A vaippa + A pohja = 6,077 cm + π (1,9 cm) = 84,760 cm 85 cm. Vastaus: 85 cm

22 45. Putkihuivi on ontto suora lieriö, jonka vaippa on suorakulmio. Suorakulmion pinta-ala on pohjan piirin ja lieriön korkeuden tulo. A vaippa = 4 cm 175 cm = 400 cm Putkihuivin pinta-ala on 400 cm. Vastaus: 400 cm 46. Vulkaaninen aine muodostaa lieriön, jonka korkeus h = 1 m = 0,001 km. Merkitään pohjan pinta-alaa kirjaimella A. Muodostetaan yhtälö lieriön tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pohjan pinta-ala A. V = Ah 500 = A 0, A = Vulkaaninen aine olisi peittänyt km :n suuruisen alueen. Verrataan tämän pinta-alan suuruutta Suomen pinta-alaan km 7, km = Vulkaanisen aineen peittämä pinta-ala on noin 7-kertainen Suomen pintaalaan verrattuna. Vastaus: km, 7-kertainen

23 VAHVISTA OSAAMISTA 47. a) Epätosi. Ratkaistaan ympyrälieriön korkeus h Pythagoraan lauseella. 6 + h = h = 100 h = 64 h = ( + ) 64 h = 8 Vastaus: epätosi, 8 m b) Pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π (4 m) = 50,65 m 50 m. Vastaus: tosi c) Ympyrälieriön kaltevuus on säteen jatkeen ja sivujanan välinen kulma. Merkitään kulmaa kirjaimella α ja ratkaistaan se kosinin avulla. 6 cosα = 10 cos α = 0,6 α = 53,130 α 53 Vastaus: tosi d) Vinon ympyrälieriön tilavuus on pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo. V = πr h = π (4 m) 8 m = 40,13 m m 3 = dm 3 = l Väite on epätosi, sillä oikea tilavuuden yksikkö on kuutiometri. Vastaus: epätosi, 400 m 3

24 48. Ympyrälieriön vaippa tasoon levitettynä: Tapa 1: Kääritään suorakulmio ympyrälieriön vaipaksi siten, että ympyrälieriön korkeudeksi tulee 16 cm. Tällöin pohjaympyrän piiri on 35 cm. Muodostetaan yhtälö pohjaympyrän piirille ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. πr = 35 : π r = 5,570 Ympyrälieriön tilavuus on V = πr h = π (5,570 cm) 16 cm = 1559,71 cm cm 3. Tapa : Kääritään suorakulmio ympyrälieriön vaipaksi siten, että ympyrälieriön korkeudeksi tulee 35 cm. Tällöin pohjaympyrän piiri on 16 cm. Muodostetaan yhtälö pohjaympyrän piirille ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. πr = 16 : π r =,546 Ympyrälieriön tilavuus on V = πr h = π (,546 cm) 35 cm = 713,01 cm cm 3. Ympyrälieriön tilavuus on suurempi, kun suorakulmio kääritään ympyrälieriön vaipaksi siten, että ympyrälieriön korkeudeksi tulee 16 cm. Vastaus: Käärimällä siten, että ympyrälieriön korkeus on 16 cm.

25 49. Videossa https://vimeo.com/ /9d805fe6ab näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista appletin avulla. Appletin perusteella pohjan pinta-ala on 19,63 ja ympyrälieriön tilavuus 58,9. Vastaus: tilavuus 58,9 ja pohjan pinta-ala 19, Hammastahnatuubin suuaukko on pyöreä, joten hammastahnapötkö on suoran ympyrälieriön muotoinen. Ympyrälieriön pohjaympyrän säde on 5mm r = =,5 mm = 0,5 cm. Pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π (0,5 cm) = 0,196 cm. Merkitään ympyrälieriön korkeutta kirjaimella h. Ympyrälieriön tilavuus on 100 ml = 100 cm 3. Muodostetaan yhtälö ympyrälieriön tilavuudelle ja ratkaistaan siitä ympyrälieriön korkeus h. V = A pohja h 100 = 0,196 h : 0,196 h = 509,95 h 510 cm = 5,1 m Hammastahnatuubista pystyy puristamaan noin 5,1 m pitkän pötkön. Vastaus: 5,1 m

26 431. Suoran ympyrälieriön muotoisen peltitynnyrin tilavuus on V = 00 l = 00 dm 3 = cm 3. Merkitään tynnyrin pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö tynnyrin tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. V = πr h V = , h = = π r 10 : 10π r = 530,516 r = ( + ) 530, r = 3,03 Tynnyrin pohjan halkaisija on r = 3,03 cm = 46,065 cm 46 cm. Vastaus: 46 cm

27 43. Leivoksen reuna on ontto ympyrälieriö, jonka tilavuus saadaan vähentämällä ulomman lieriön tilavuudesta sisemmän lieriön tilavuus. Merkitään ulomman ympyrälieriön pohjaympyrän sädettä kirjaimella R ja sisemmän ympyrälieriön pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Ulomman ympyrälieriön pohjaympyrän säde on 11cm R = = 5,5 cm ja sisemmän ympyrälieriön pohjaympyrän säde r = R 1,0 cm = 5,5 cm 1,0 cm = 4,5 cm. Lasketaan koko leivoksen eli ulomman ympyrälieriön tilavuus. V leivos = πr h R = 5,5 cm, h = 4,0 cm = π (5,5 cm) 4,0 cm = 380,13 cm 3 Täytteen eli sisemmän ympyrälieriön tilavuus on V täyte = πr h = π (4,5 cm) 4,0 cm = 54,469 cm 3 50 cm 3 Lasketaan ulomman ja sisemmän ympyrälieriön tilavuuksien erotus. V = V leivos V täyte = 380,13 cm 3 54,469 cm 3 = 15,663 cm cm 3 Reunan tilavuus on noin 130 cm 3 ja täytteen noin 50 cm 3. Vastaus: reuna 130 cm 3 ja täyte 50 cm 3

28 433. Metallin määrä saadaan laskemalla ympyrälieriön muotoisen tölkin kokonaispinta-ala. Ensiksi on selvitettävä pohjaympyrän säde. Merkitään sädettä kirjaimella r. Tölkin tilavuus on 0,5 l = 0,5 dm 3 = 50 cm 3. Muodostetaan yhtälö tölkin tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. V = πr h V = 50, h = 4,5 50 = πr 4,5 : 4,5π r = 17,683 r = ( + ) 17, r = 4,05 Pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π (4,05 cm) = 55,555 cm. Vaipan pinta-ala on A vaippa = πrh = π 4,05 cm 4,5 cm = 118,899 cm. Tölkin kokonaispinta-ala on A = A pohja + A vaippa = 55,555 cm + 118,899 cm = 30,010 cm 30 cm. Metallia tarvitaan noin 30 cm. Vastaus: 30 cm

29 434. Yksi tonni on 1000 kg, joten miljardia tonnia on kg. Viljan tiheys on 700 g/l = 0,7 kg/l. Lasketaan viljamäärän tilavuus tiheyden kaavan avulla. m ρ = V V ρv = m : ρ m V = m = kg, ρ = 0,7 kg/l ρ kg V = =, l =, dm 3 0,7 kg / l =, m 3 Ympyrälieriön muotoisen siilon pohjaympyrän säde on 0,0 m r = = 10,0 m Viljasiilon pohjan pinta-ala on A pohja = π (10,0 m) = 314,159 m. Muodostetaan yhtälö siilon tilavuudelle ja ratkaistaan siitä siilon korkeus h. V = A pohja h : A pohja V h = V =, m 3, A pohja = 314,159 m A pohja 9 3, m h = = ,177 m m = 9100 km 314, m Viljamäärä mahtuisi noin 9100 km korkeaan siiloon. Vastaus: 9100 km

30 435. Merkitään kuution särmän pituutta ja ympyrälieriön halkaisijaa kirjaimella a ja ympyrälieriön korkeutta kirjaimella h. Kuution ja ympyrälieriön tilavuus on 1,0 l = 1,0 dm 3. Muodostetaan yhtälö kuution tilavuudelle ja ratkaistaan siitä kuution särmän pituus a. V = a 3 V = 1,0 l = 1,0 dm 3 1,0 = a a = 1, 0 dm a = 1,0 dm a) Ympyrälieriön pohjaympyrän säde on 1, 0 dm r = = 0,5 dm. Muodostetaan yhtälö ympyrälieriön tilavuudelle ja ratkaistaan siitä ympyrälieriön korkeus h. V = πr h V = 1,0 dm 3, r = 0,5 dm 1,0 = π 0,5 h 1,0 = π 0,5 h : 0,5π h = 1,73 h 1,3 Ympyrälieriön korkeus on noin 1,3 dm. Vastaus: 1,3 dm

31 b) Kuution yhden tahkon pinta-ala on A tahko = a = 1,0 dm 1,0 dm = 1,0 dm. Kuutiossa on kuusi yhtenevää tahkoa, joten kuution kokonaispinta-ala on A kuutio = 6 A tahko = 6 1,0 dm = 6,0 dm. Ympyrälieriön pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π (0,5 dm) = 0,785 dm. Ympyrälieriön vaipan pinta-ala on A vaippa = πrh = π 0,5 dm 1,73 dm = 4,0 dm. Ympyrälieriön kokonaispinta-ala on A lieriö = A vaippa + A pohja = 4,0 dm + 0,785 dm = 5,570 dm 5,6 dm. Kuution kokonaispinta-ala on 6,0 dm ja ympyrälieriön noin 5,6 dm. Vastaus: kuutio 6,0 dm ja ympyrälieriö 5,6 dm c) Lasketaan kuution pinta-alan suhde ympyrälieriön pinta-alaan. 6,0 dm 1, ,70... % 107,7 % 5, dm = = Kuution pinta-ala on 107,7 % ympyrälieriön pinta-alasta, joten kuution pinta-ala on 7,7 % suurempi. Vastaus: kuution pinta-ala, 7,7 %

32 436. Muutetaan porausreiän mitat samaan yksikköön. Porausreiän 140 mm säde on r = = 70 mm = 7,0 cm ja syvyys h = 57, m = 570 cm. Porausreikä on suoran ympyrälieriön muotoinen, joten porausreiän tilavuus on V = πr h = π (7,0 cm) 570 cm = ,588 cm 3. Mökkipolku on suorakulmio, jonka pinta-ala on pituuden ja leveyden tulo. A = 45 cm 750 cm = cm Polulle levitettävä kiviaines muodostaa suorakulmaisen särmiön. Merkitään poluille levitettävän kerroksen paksuutta eli särmiön korkeutta kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö kiviaineksen tilavuudelle ja ratkaistaan siitä paksuus x. V = Ax : A V x = A V = ,588 cm 3, A = cm , cm x = =,698 cm,7 cm cm Kerroksen paksuus on noin,7 cm. Vastaus:,7 cm

33 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 437. Piirretään mallikuva. Talouspaperirulla on ontto ympyrälieriö, jonka ulkohalkaisija on 1 cm ja sisähalkaisija 4,5 cm. Isomman ympyrälieriön pohjaympyrän 1 cm säde on R = = 6cm ja pienemmän ympyrälieriön pohjaympyrän säde r = 4,5 cm =,5 cm. Talouspaperin tilavuus saadaan, kun isomman ympyrälieriön tilavuudesta vähennetään pienemmän ympyrälieriön tilavuus. V = πr h πr h = π (6,0 cm) 1 cm π (,5 cm) 1 cm = 041,053 cm 3. Puolet talouspaperin tilavuudesta on 3 V 041, cm = = 100,56 cm 3. Merkitään sädettä kirjaimella x tilanteessa, jossa talouspaperin tilavuudesta on jäljellä puolet. Muodostetaan yhtälö talouspaperin tilavuudelle ja ratkaistaan siitä säde x. πx h πr h = 100,56 π x 1 π,5 1 = 100,56 65,973 x 333,990 = 1354,517 65,973 x = 1354,517 x = 0,531 x = ( + ) 0, x = 4,531 : 65,973

34 Kun talouspaperin tilavuudesta on puolet jäljellä, talouspaperirullan ulkohalkaisija on x = 4,531 cm = 9,06 cm 9,1 cm. Vastaus: 9,1 cm 438. Videossa https://vimeo.com/ /3cfc83f959 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Pyörähdyskappale on ympyrälieriö, jonka pohjaympyrän säde r = 1 ja korkeus h = 3. Ympyrälieriön tilavuus on V = πr h = π 1 3 = 3π = 9,44 9,4. Vastaus: 3π 9,4

35 439. Juustopala muodostuu ympyrälieriöstä, jonka korkeus h = 7, cm ja ympyrälieriön puolikkaasta, jonka korkeus on x. Kokonaisen ympyrälieriön tilavuus on V kokonainen = πr h = π (6,1 cm) 7, cm = 841,670 cm 3. Ympyrälieriön pohjan halkaisija on r = 6,1 cm = 1, cm. Ratkaistaan korkeus x suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. x tan15 = 1, 1, x = 1, tan15 x = 3,68 Ylemmän lieriön puolikkaan tilavuus on V puolikas = 0,5 π (6,1 cm) 3,68 cm = 191,069 cm 3. Yhteistilavuus on V = V kokonainen + V puolikas = 841,670 cm ,069 cm 3 = 103,74 cm cm 3. Jäljellä olevan juuston tilavuus on noin 1030 cm 3. Vastaus: 1030 cm 3

36 440. Vesi muodostaa lieriön, jonka pohja on ympyrän segmentti ja korkeutena on tien leveys 10 m = 1000 cm. 85 cm Putken säde on r = = 4,5 cm. 3 Segmentin korkeus on 6,0 cm, joten kolmion korkeus on säteen pituuden ja segmentin korkeuden erotus. 4,5 cm 6,0 cm = 36,5 cm Segmentin pinta-ala saadaan vähentämällä sektorin pinta-alasta keskuskolmion pinta-ala. Sektorin pinta-alaa varten on selvitettävä ensin sektorin keskuskulman suuruus. Merkitään sektorin keskuskulman puolikasta kirjaimella α. Ratkaistaan kulma α suorakulmaisesta kolmiosta kosinin avulla. 36,5 cosα = 4,5 cos α = 0,858 α = 30,815 Sektorin keskuskulman suuruus on α = 30,815 = 61,630. Sektorin pinta-ala on 61, Asektori = π (4,5 cm) = 971,451 cm. 360

37 Merkitään keskuskolmion AEB kannan puolikasta CB kirjaimella x. Ratkaistaan kannan puolikas x Pythagoraan lauseen avulla. x + 36,5 = 4,5 x = 4,5 36,5 x = 474 x = ( + ) 474 x = 1,771 Keskuskolmion kanta on x = 1,771 cm = 43,543 cm. Keskuskolmion pinta-ala on 43, cm 36,5 cm Akolmio = = 794,661 cm. Segmentin pinta-ala on A pohja = A sektori A kolmio = 971,451 cm 794,661 cm = 176,789 cm. Lieriön tilavuus V = A pohja h = 176,789 cm 1000 cm = ,9 cm cm 3. Vettä on noin cm 3 = 180 dm 3 = 180 l. Vastaus: 180 l

38 441. Kolmion suoran kulman kärki on ympyrän kehällä, joten kehäkulma on suora. Sitä vastaava keskuskulma on 180, joten kolmion hypotenuusana on ympyrän halkaisija r. Kolmion korkeus on suoran kulman kärjen etäisyys hypotenuusasta. Tämä korkeus on suurimmillaan ympyrän säde r. Särmiön pohjakolmion suurin mahdollinen pinta-ala on siis r r Apohja = = r. Särmiön tilavuus on tällöin V särmiö = A pohja h = r h. Ympyrälieriön pohjaympyrän pinta-ala on πr ja tilavuus V lieriö = πr h. Tilavuuksien suhde on Vlieriö rh 1 = = = 0, ,3. V πrh π särmiö Vastaus: 1 0,3 π

39 4.3 Pyramidi ALOITA PERUSTEISTA 44. a) Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = cm 5, cm = 9,466 cm 3 9 cm 3. Vastaus: 9 cm 3 b) Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = ,4 m 3,0 m = 10,4 m 3 10 m 3. Vastaus: 10 m 3 c) Pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja = (1,3 dm) = 1,69 dm. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = 1 3 1,69 dm 1,8 dm = 1,014 dm 3 1,0 dm 3. Vastaus: 1,0 dm a) Väärin. Pyramidin korkeus on 1,5 m. Vastaus: väärin, 1,5 m b) Oikein, sillä,0 m 3,0 m = 6,0 m. Vastaus: oikein

40 c) Väärin. Värjätyn tahkon pinta-ala on Vastaus: väärin,,7 m 3,0 m 1,8 m,7 m =. d) Väärin. Pyramidin tilavuus on Vastaus: väärin, 3,0 m a) Piirretään pyramidi tasoon levitettynä ,0 m 1,5 m = 3,0 m 3. b) Merkitään kolmion muotoisen sivutahkon korkeusjanaa kirjaimella h. Korkeusjana h jakaa kolmion kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmioon. Ratkaistaan korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h +,0 = 5,7 h = 5,7,0 h = 8,49 h = ( + ) 8,49 h = 5,337 h 5,3 Sivutahkon korkeus on noin 5,3 m. Vastaus: 5,3 m

41 c) Yhden sivutahkon pinta-ala on 4,0 m 5, m Asivutahko = = 10, m. Pohjan pinta-ala on A pohja = 4,0 m 4,0 m = 16 m. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 16 m ,675 m = 58,700 m 59 m. Vastaus: 59 m 445. a) Piirretään pyramidi kavaljeeriperspektiivissä. Paperia vastaan kohtisuorien särmien pituudet piirretään 45 :n kulmassa vaakatasoon nähden ja niiden pituudet ovat puolet todellisesta pituudesta. Korkeusjana piirretään pohjaneliön lävistäjien leikkauspisteestä.

42 b) Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = = 18. Tarkistus: Videossa https://vimeo.com/ /b1df5d708 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista appletin avulla. Vastaus: 18

43 446. Tolpanhattu koostuu särmiöstä ja pyramidista. Tolpanhatun korkeus on 5,0 cm ja särmiön,0 cm, joten pyramidin korkeus on 5,0 cm,0 cm = 3,0 cm. Särmiön ja pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja = (1,3 cm) = 151,9 cm. Särmiön tilavuus on V särmiö = A pohja h särmiö = 151,9 cm,0 cm = 30,58 cm 3. Pyramidin tilavuus on V pyramidi = 1 3 A pohja h pyramidi = ,9 cm 3,0 cm = 151,9 cm 3. Tolpanhatun tilavuus on V = V särmiö + V pyramidi = 30,58 cm ,9 cm 3 = 453,87 cm cm 3. Vastaus: 450 cm 3

44 447. Merkitään pyramidin korkeutta kirjaimella h. Pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja = (30,4 m) = ,16 m. Muodostetaan yhtälö pyramidin tilavuudelle ja ratkaistaan siitä korkeus h. V = 1 3 A pohja h V = m 3, A pohja = ,16 m = ,16 h = ,7h : ,7 146,484 = h h 146,5 Pyramidin korkeus oli noin 146,5 m. Vastaus: 146,5 m

45 VAHVISTA OSAAMISTA 448. a) Ratkaistaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. h sin 45 =,8,8 h =,8 sin 45 h = 1,979 h,0 Pyramidin korkeus on noin,0 m. Vastaus: h,0 m b) Pyramidin pohjan kolmio on tasasivuinen, joten suorakulmaisen kolmion vaakasuuntainen kateetti on,0 dm. Ratkaistaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. h tan56 =,0,0 h =,0 tan 56 h =,965 h 3,0 Pyramidin korkeus on noin 3,0 dm. Vastaus: h 3,0 dm

46 c) Pyramidin korkeus lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta, jonka toinen kateetti on pohjaneliön lävistäjän puolikas. Merkitään pohjaneliön lävistäjää kirjaimella c. Ratkaistaan lävistäjä c suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. c = 1,5 + 1,5 c = 4,5 c = ( + ) 4,5 c =,11 Lävistäjän puolikas on,11... cm = 1,060 cm. Ratkaistaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. h + 1,060 =,4 h =,4 1,060 h = 4,635 h = ( + ) 4,635 h =,15 h, Pyramidin korkeus on noin, cm. Vastaus: h, cm

47 449. a) Pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja = 5,0 m 5,0 m = 5 m. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = m 4,6 m = 38,333 m 3 38 m 3. Merkitään sivutahkokolmion korkeusjanaa kirjaimella a. Pyramidin korkeus 4,6 m, pohjaneliön sivun puolikas,5 m ja sivutahkokolmion korkeus a muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan korkeus a Pythagoraan lauseen avulla. a =,5 + 4,6 a = 7,41 a = ( + ) 7,41 a = 5,35 Sivutahkokolmion pinta-ala on 5,0 m 5,35... m A sivutahko = = 13,088 m. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 5 m ,088 m = 77,354 m 77 m. Pyramidin tilavuus on noin 38 m 3 ja kokonaispinta-ala noin 77 m. Vastaus: 38 m 3 ja 77 m

48 b) Pyramidin korkeus h, pohjaneliön sivun pituuden puolikas 1,3 m ja sivutahkokolmion korkeus 3,5 m muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan pyramidin korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + 1,3 = 3,5 h = 3,5 1,3 h = 10,56 h = ( + ) 10,56 h = 3,49 Pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja =,6 m,6 m = 6,76 m. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = 1 3 6,76 m 3,49 m = 7,3 m 3 7,3 m 3. Sivutahkokolmion pinta-ala on,6 m 3,49... m A sivutahko = = 4,4 m. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 6,76 m + 4 4,4 m = 3,657 m 4 m. Pyramidin tilavuus on noin 7,3 m 3 ja kokonaispinta-ala noin 4 m. Vastaus: 7,3 m 3 ja 4 m

49 c) Pyramidin korkeus h, sivusärmä 3,4 m ja pohjaneliön lävistäjän puolikas muodostavat suorakulmaisen kolmion. Merkitään pohjan lävistäjää kirjaimella c. Ratkaistaan lävistäjä c suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. c = 3,0 + 3,0 c = 18 c = ( + ) 18 c = 4,4 Lävistäjän puolikas on 4,4... cm =,11 cm. Ratkaistaan korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h +,11 = 3,4 h = 3,4,11 h = 7,06 h = ( + ) 7,06 h =,657 Pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja = 3,0 m 3,0 m = 9,0 m. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = 1 3 9,0 m,657 m = 7,971 m 3 8,0 m 3.

50 Merkitään sivutahkokolmion korkeusjanaa kirjaimella a. Pyramidin korkeus h, pohjaneliön sivun pituuden puolikas 1,5 m ja sivutahkokolmion korkeus muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan korkeus a Pythagoraan lauseen avulla. a = 1,5 +,657 a = 9,31 a = ( + ) 9,31 a = 3, Vastaus: Sivutahkokolmion pinta-ala on 3,0 m 3, m A sivutahko = = 4,576 m. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 9,0 m + 4 4,576 m = 7,307 m 7 m. Pyramidin tilavuus on noin 8,0 m 3 ja kokonaispinta-ala noin 7 m. Vastaus: 8,0 m 3 ja 7 m Monitahokas Tahkoja Särmiä Kärkiä tetraedri oktaedri dodekaedri

51 451. Videossa https://vimeo.com/ /1b771a0b65 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. a) Särmän ja pohjan välinen kulma on noin 46,7. Vastaus: 46,7 b) Sivutahkon ja pohjan välinen kulma on noin 56,3. Vastaus: 56,3

52 45. a) Merkitään pyramidin korkeusjanaa kirjaimella h. Pyramidin korkeus h, pohjaneliön sivun puolikas ja sivutahkon korkeusjana muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka toinen terävä kulma on 60. Pohjaneliön sivun puolikas on 15 cm = 7,5 cm. Ratkaistaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. h tan60 = 7,5 7,5 h = 7,5 tan 60 h = 1,990 Pohjan pinta-ala on A pohja = 15 cm 15 cm = 5 cm. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = cm 1,990 cm = 974,78 cm cm 3. Merkitään sivutahkokolmion korkeusjanaa kirjaimella a. Ratkaistaan korkeus a suorakulmaisesta kolmiosta kosinin avulla. 7,5 cos60 = a a a cos 60 = 7,5 : cos 60 a = 15

53 Sivutahkokolmion pinta-ala on 15 cm 15 cm A sivutahko = = 11,5 cm. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 5 cm ,5 cm = 675 cm 680 cm. Pyramidin tilavuus on noin 970 cm 3 ja kokonaispinta-ala noin 680 cm. Vastaus: 970 m 3 ja 680 m b) Merkitään pyramidin korkeusjanaa kirjaimella h. Pyramidin korkeus h, pohjaneliön lävistäjän puolikas ja sivusärmä muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka toinen terävä kulma on 45. Merkitään pohjan lävistäjää kirjaimella x. Ratkaistaan lävistäjän x pituus Pythagoraan lauseen avulla. x = x = 450 x = ( + ) 450 x = 1,13 Pohjaneliön lävistäjän puolikas on x 1,13... cm = = 10,606 cm.

54 Ratkaistaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. h tan 45 = 10,606 10, h = 10,606 tan 45 h = 10,606 Pohjan pinta-ala on A pohja = 15 cm 15 cm = 5 cm. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = cm 10,606 cm = 795,495 cm cm 3. Pyramidin korkeus h, pohjaneliön sivun puolikas 7,5 cm ja sivutahkon korkeusjana muodostavat suorakulmaisen kolmion. Merkitään sivutahkon korkeusjanaa kirjaimella a ja ratkaistaan se Pythagoraan lauseen avulla. a = 7,5 + 10,606 a = 168,75 a = ( + ) 168,75 a = 1,990 Sivutahkokolmion pinta-ala on 15 cm 1, cm A sivutahko = = 97,47 cm. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 5 cm ,47 cm = 614,711 cm 610 cm. Pyramidin tilavuus on noin 800 cm 3 ja kokonaispinta-ala noin 610 cm. Vastaus: 800 cm 3 ja 610 cm

55 c) Pyramidin sivutahko on tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on 50. Sivutahkon korkeusjana jakaa tasakylkisen kolmion kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmioon. Merkitään kolmion korkeusjanaa kirjaimella a. Huippukulman puolikas on 50 = 5 ja pohjaneliön sivun puolikas 15 cm = 7,5 cm. Ratkaistaan sivutahkon korkeus a suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. 7,5 tan 5 = a a a tan 5 = 7,5 : tan 45 7,5 a = tan 5 a = 16,083 Sivutahkokolmion pinta-ala on 15 cm 16, cm A sivutahko = = 10,68 cm. Pyramidin pohjan pinta-ala on A pohja = 15 cm 15 cm = 5 cm. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A pohja + 4 A sivutahko = 5 cm ,68 cm = 707,514 cm 710 cm.

56 Merkitään pyramidin korkeusjanaa kirjaimella h. Pyramidin korkeus h, pohjaneliön sivun puolikas 7,5 cm ja sivutahkon korkeusjana a muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + 7,5 = 16,083 h = 16,083 7,5 h = 0,438 h = ( + ) 0, h = 14,8 Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A pohja h = cm 14,8 cm = 1067,107 cm cm 3. Pyramidin tilavuus on noin 1100 cm 3 ja kokonaispinta-ala noin 710 cm. Vastaus: 1100 cm 3 ja 710 cm

57 453. Merkitään pohjan sivuja lausekkeilla 4x ja 3x ja pohjan lävistäjää kirjaimella c. Ratkaistaan pohjan lävistäjä Pythagoraan lauseen avulla. c = (4x) + (3x) c = 16x + 9x c = 5x c= + 5x x > 0 ( ) c = 5x Muodostetaan yhtälö pyramidin tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pituus x. V = 1 3 A pohja h V = 70 m 3, A pohja = 4x 3x, h = 5x 1 70 = 4x 3x 5x 3 70 = 0x 3 : 0 x 3 = 13,5 x = 3 13,5 x =,381 Pohjan sivut ovat siten 3x = 3,381 m = 7,143 m 7,1 m, ja 4x = 4,381 m = 9,54 m 9,5 m. Vastaus: 7,1 m ja 9,5 m

58 kulmio koostuu kahdeksasta tasakylkisestä kolmiosta, joiden keskuskulma on 360 = 45. Kunkin tasakylkisen kolmion korkeus on 8 puolet teltan vastakkaisten sivujen välisestä etäisyydestä eli 400 cm = 00 cm. a) Tasakylkisen kolmion korkeusjana jakaa kolmion kahteen yhtenevään suorakulmaiseen kolmioon. Kolmion huippukulman puolikas on 45 =,5. Merkitään kolmion kannan puolikasta kirjaimella x. Ratkaistaan pituus x suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. x tan,5 = x = 00 tan,5 x = 8,84 8-kulmion sivun pituus on x = 8,84 cm = 165,685 cm. Muutetaan pituudet metreiksi. Tasakylkisen kolmion korkeus on 00 cm = m ja kanta 165,685 cm = 1,656 m. Yhden tasakylkisen kolmion pinta-ala on A kolmio = 1, m m = 1,656 m. Teltan pohjan pinta-ala on A pohja = 8 A kolmio = 8 1,656 m = 13,54 m 13 m. Vastaus: 13 m

59 b) Teltta koostuu särmiöstä ja pyramidista. Särmiön korkeus on 100 cm = 1,0 m ja pyramidin 190 cm 100 cm = 90 cm = 0,9 m. Särmiön tilavuus on V särmiö = A pohja h = 13,54 m 1,0 m = 13,54 m 3. Pyramidin tilavuus on V pyramidi = 1 3 A pohja h = ,54 m 0,9 m = 3,976 m 3. Teltan kokonaistilavuus on V = V särmiö + V pyramidi = 13,54 m 3 + 3,976 m 3 = 17,31 m 3 17 m 3. Vastaus: 17 m 3

60 c) Särmiön vaippa koostuu kahdeksasta yhtenevästä suorakulmiosta, jonka kanta on 8-kolmion sivu 1,656 m ja korkeus 1,0 m. Yhden suorakulmion pinta-ala on A suorakulmio = 1,656 m 1,0 m = 1,656 m. Särmiön vaipan pinta-ala on siten A 1 = 8 A suorakulmio = 8 1,656 m = 13,54 m. Merkitään pyramidin sivutahkokolmion korkeusjanaa kirjaimella y. Pyramidin korkeus 0,9 m, pohjan tasakylkisen kolmion korkeus m ja sivutahkon korkeus y muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan sivutahkon korkeus y Pythagoraan lauseen avulla. y = 0,9 + y = 4,81 y = ( + ) 4,81 y =,193 Yhden sivutahkokolmion pinta-ala on 1, m, m A sivutahko = = 1,816 m. Pyramidin vaipan pinta-ala on A = 8 A sivutahko = 8 1,816 m = 14,535 m. Kokonaispinta-ala on A = A 1 + A = 13,54 m + 14,535 m = 7,789 m 8 m. Kangasta tarvitaan noin 8 m. Vastaus: 8 m

61 455. Piirretään mallikuva. Merkitään särmiön pohjaneliön sivun pituutta kirjaimella x. Tarkastellaan sisäkkäisten kappaleiden poikkileikkauskuviota. Pienemmän tasakylkisen kolmion kantakulmat ja ison tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat samankohtaisia kulmia, joten ne ovat yhtä suuria. Siten kolmiot ovat yhdenmuotoisia kk-lauseen perusteella. Muodostetaan vastinosien suhteista verranto ja ratkaistaan siitä pohjaneliön sivun pituus x. x,0 = 3,0 3, 0 4, 0 x = 1,5 Merkitään särmiön korkeutta h 1 =,0 cm. Särmiön pohjan pinta-ala on A 1 = 1,5 cm 1,5 cm =,5 cm.

62 Särmiön tilavuus on V särmiö = A 1 h 1 =,5 cm,0 cm = 4,5 cm 3. Merkitään ison pyramidin korkeutta h = 4,0 cm. Ison pyramidin pohjan pinta-ala on A = 3,0 cm 3,0 cm = 9,0 cm. Ison pyramidin tilavuus on V pyramidi = 1 3 A h = 1 3 9,0 cm 4,0 cm = 1 cm 3. Tyhjän tilan tilavuus on V tyhjä = V pyramidi V särmiö = 1 cm 3 4,5 cm 3 = 7,5 cm 3. Tyhjän tilan osuus prosentteina on V 3 tyhjä 7,5 cm = = 3 0,65 = 6,5%. V 1 cm pyramidi Vastaus: 6,5 %

63 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 456. a) Merkitään sivusärmän ja korkeusjanan välistä kulmaa kirjaimella α. Piirretään mallikuva pyramidista ja sen pohjasta. Säännöllinen kuusikulmio koostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta. Korkeusjana a, sivusärmä ja tasasivuisen kolmion sivu a muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan kulma α suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. tanα = a a tan α = 0,5 α = 6,56 α 6,6 Sivusärmän ja korkeusjanan välinen kulma on 6,6. Vastaus: 6,6

64 b) Merkitään sivutahkon ja pohjan välistä kulmaa kirjaimella β ja tasasivuisen kolmion korkeusjanaa kirjaimella x. Ratkaistaan korkeusjanan x pituus Pythagoraan lauseen avulla. a = a x + ( ) x = a a ( ) x= ( + a ) a 4 x= 3a a> 0 4 x = a 3 Ratkaistaan kulma β suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. a tan β = a 3 tan β = 3 tan β =,309 β = 66,586 β 66,6 Sivutahkon ja pohjan välinen kulma on 66,6. Vastaus: 66,6

65 457. Kaikilla särmiöillä on sama korkeus. Merkitään tätä korkeutta kirjaimella h. Merkitään alimmaisen särmiön pohjasärmää kirjaimella s. Jokaisen särmiön pohjasärmä on 10 % lyhyempi kuin edellisen särmiön pohjasärmä, joten särmiöiden pohjasärmät muodostavat geometrisen lukujonon s, 0,9s, 0,9 s, Tarkastellaan särmiöiden tilavuuksia yksitellen. Alimman särmiön tilavuus on V 1 = s h. Toiseksi alimman särmiön tilavuus on V = (0,9s) h = 0,81 s h. Kolmanneksi alimman särmiön tilavuus on V 3 = (0,9 s) h = 0,81 s h. Neljänneksi alimman särmiön tilavuus on V 4 = (0,9 3 s) h = (0,9 s) 3 h = 0,81 3 s h. Havaitaan, että särmiöiden tilavuudet muodostavat geometrisen lukujonon, jossa suhdeluku q on 0,81 ja ensimmäinen jäsen s h. Lukujonon n. jäsen on siten V n = 0,81 n 1 s h. Ensimmäisen särmiön tilavuus s h = m 3, joten sadan särmiön yhteistilavuus saadaan geometrisestä summasta , , , Geometrisen summan kaavalla saadaan (1 0,81 ) S100 = = 5 631, ,81 Porraspyramidin tilavuus on noin m 3. Vastaus: m 3

66 458. Tarkastellaan ensiksi suoraa pyramidia, jonka pohja on kolmio ACD ja jonka huippu on pisteessä E. Kuution särmä on 1,0 cm, joten kolmion ACD pinta-ala on 1, 0 cm 1, 0 cm A ACD = = 0,5 cm. Pyramidin tilavuus on V 1 = 1 3 A ACD h = 1 3 0,5 cm 1,0 cm = 0,166 cm 3 0,17 cm 3. Pyramidin sivutahkot ovat suorakulmaisia kolmioita. Kolmion DCG pinta-ala on puolet kuution tahkon pinta-alasta eli A DCG = 1 1,0 cm 1,0 cm = 0,5 cm. Kolmiot DAG ja ACG ovat suorakulmaisia kolmioita, joiden toinen kateetti on kuution tahkon lävistäjä ja toinen kateetti kuution särmä. Merkitään kuution tahkon lävistäjää kirjaimella x ja ratkaistaan se Pythagoraan lauseen avulla. x = 1,0 + 1,0 x = x = ( + ) x = 1,414 Kolmioiden DAG ja ACG pinta-ala on 1, 0 cm 1, cm A DAG = A ACG = = 0,707 cm.

67 Pyramidin kokonaispinta-ala on A 1 = A ACD + A DCG + A DAG + A ACG = 0,5 cm + 0,5 cm + 0,707 cm + 0,707 cm =,414 cm,4 cm. Tarkastellaan seuraavaksi vinoa pyramidia, jonka pohja on kolmio ACD ja jonka huippu on pisteessä I. Kolmion ACD pinta-ala on edellä lasketun mukaan A ACD = 0,5 cm. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A ACD h = 1 3 0,5 cm 1,0 cm = 0,166 cm 3 0,17 cm 3. Kolmiot DAF ja DCF ovat suorakulmaisia kolmioita, joiden toinen kateetti on kuution tahkon lävistäjä ja toinen kateetti kuution särmä. Edellä lasketun mukaan A DAF = A DCF = A DAG = A ACG = 0,707 cm. Kolmio ACF on tasasivuinen kolmio, jonka sivut ovat kuution tahkon lävistäjiä. Merkitään kolmion ACF korkeusjanaa y. Ratkaistaan se suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. y + 0,707 = 1,414 y = 1,5 y = ( + ) 1,5 y = 1,4

68 Kolmion ACF pinta-ala on 1, cm 1,4... cm A ACF = = 0,866 cm. Pyramidin kokonaispinta-ala on A = A ACD + A DAF + A DCF + A ACF = 0,5 cm + 0,707 cm + 0,707 cm + 0,866 cm =,780 cm,8 cm. Kummankin pyramidin tilavuus on noin 0,17 cm 3. Suoran pyramidin kokonaispinta-ala on noin,4 cm ja vinon pyramidin kokonaispinta-ala noin,8 cm. Vastaus: Molempien tilavuus 0,17 cm 3, pinta-alat ovat,4 cm ja,8 cm Mehutetra on pyramidi, jonka kaikki tahkot ovat tasasivuisia kolmioita. Pyramidin korkeusjana yhdistää pyramidin huipun ja pohjan korkeusjanojen leikkauspisteen. Merkitään pyramidin särmän puolikasta kirjaimella a, jolloin särmä on a. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kolmion huippukulman, joten huippukulman puolikas on 60 = 30.

69 Merkitään korkeusjanojen leikkauspisteen kohtisuoraa etäisyyttä kolmion sivusta kirjaimella x. Ratkaistaan janan x pituus suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. x tan30 = a a x = a tan 30 x = 0,577 a Merkitään sivutahkokolmion korkeusjanaa kirjaimella y. Kolmion korkeusjana y, särmä a ja särmän puolikas a muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan sivutahkokolmion korkeus y Pythagoraan lauseen avulla. y + a = (a) y + a = 4a y = 3a y= ( + ) 3 a a> 0 y= a 3 y = 1,73 a Merkitään pyramidin korkeusjanaa kirjaimella h. Pyramidin korkeus h, jana x ja sivutahkokolmion korkeusjana y muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan pyramidin korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + x = y h + (0,577 a) = (1,73 a) y = 1,73 a, x = 0,577 a h a = 3a h = 8 3 a 8 h + 3 h = 1,63 a = ( ) a a > 0

70 Kolmiot ovat yhteneviä, joten pohjakolmion pinta-ala on A kolmio = a y = a y = a 1,73 a = 1,73 a. Pyramidin tilavuus on V = 1 3 A kolmio h = 1 3 1,73 a 1,63 a = 0,94 a 3. Pyramidin tilavuus on,00 dl = 0, l = 0, dm 3. Muodostetaan yhtälö pyramidin tilavuudelle ja ratkaistaan yhtälöstä pituus a. 0,94 a 3 = 0, 0,94 a 3 = 0,1 a = 3 0,1... a = 0,596 Pyramidin kokonaispinta-ala on A = 4 A kolmio = 4 1,73 a = 4 1,73 (0,596 dm) =,464 dm = 46,4 cm 50 cm. Pahvia tarvitaan noin 50 cm. Tapa II: Tehtävän voi ratkaista myös taulukkokirjassa olevalla tetraedrin 3 a tilavuuskaavalla V =, jossa a = tetraedrin särmä. 1 Vastaus: 50 cm

71 4.4 Ympyräkartio ALOITA PERUSTEISTA 460. a) Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 A pohja h = cm 4,9 cm = 7,766 cm 3 8 cm 3. Vastaus: 8 cm 3 b) Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 A pohja h = m 6,1 m = 30,5 m 3 31 m 3. Vastaus: 31 m 3 c) Ympyräkartion pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π (,5 m) = 19,634 m. Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 A pohja h = ,634 m 3,1 m = 0,89 m 3 0 m 3. Vastaus: 0 m a) Pyramidin pohja on monikulmio, jonka kärjistä lähtevät särmät yhtyvät huipussa. Pyramideja ovat kappaleet I ja VI. Vastaus: I ja VI b) Ympyräkartion pohja on ympyrä ja sillä on yksi huippu. Ympyräkartioita ovat kappaleet II ja V, mikäli jälkimmäisen kappaleen levyosaa ei huomioida. Vastaus: II ja V c) Pyramidi ja ympyräkartio ovat molemmat kartioita. Siten kartioita ovat a- ja b-kohtien perusteella kappaleet I, II, V ja VI. Vastaus: I, II, V ja VI

72 46. Kappale A on ympyräkartio, joten sen vaippa on tasoon levytettynä ympyräsektori. Oikea vaihtoehto on IV. Kappale B on särmiö, joten sen vaippa on tasoon levitettynä suorakulmio. Oikea vaihtoehto on joko I tai II. Koska tiedetään vain särmiön kahden sivun pituudet, suorakulmion kantaa ei voida laskea näillä tiedoilla. Kappale D on suora ympyrälieriö, jonka vaippa on tasoon levitettynä suorakulmio. Suorakulmion kanta on sama kuin pohjaympyrän piiri eli πr = π 6cm = 18,849 cm 19 cm. Oikea vaihtoehto on I. Siten kappaleen B tasoon levitetty vaippa on vaihtoehto II. Kappale C on suora pyramidi, joten sen tasoon levitetty vaippa muodostuu kolmioista. Oikea vaihtoehto on siten III. Vastaus: A: IV, B: II, C: III ja D: I

73 463. a) Ympyräkartion vaipan pinta-ala A vaippa = πrs = π 3,0 cm 18,0 cm = 169,646 cm 170 cm. Vastaus: 170 cm b) Pohjaympyrän säde on r = 80,0 cm = 40,0 cm. Merkitään ympyräkartion sivujanaa kirjaimella s. Korkeus 180 cm, pohjaympyrän säde 40,0 cm ja sivujana s muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan s Pythagoraan lauseen avulla. s = 40, s = s = ( + ) s = 184,390 Ympyräkartion vaipan pinta-ala A vaippa = πrs = π 40,0 cm 184,390 cm = 3 171,4 cm cm =,3 m. Vastaus:,3 m c) Merkitään pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Ratkaistaan säde r suorakulmaisesta kolmiosta kosinin avulla. cos56 = r,0 r =,0 cos 56 r = 1,30,0 Ympyräkartion vaipan pinta-ala A vaippa = πrs = π 1,30 mm,0 mm = 850,70 mm 850 mm. Vastaus: 850 mm

74 464. a) Suuaukon säde on r = 4,0 cm =,0 cm. Suppilon suuaukon eli ympyräkartion pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π (,0 cm) = 1,566 cm. Suppilon tilavuus on V = 1 3 A pohja h = 1 3 1,566 cm 3,5 cm = 14,660 cm 3 15 cm 3. Vastaus: 15 cm 3 b) Kysytty matka on ympyräkartion sivujanan pituus. Merkitään sivujanaa kirjaimella s. Ratkaistaan se suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. s = 3,5 +,0 s = 16,5 s = ( + ) 16,5 s = 4,031 s 4,0 Suppilon reunalta sen pohjalle on noin 4,0 cm Vastaus: 4,0 cm

75 VAHVISTA OSAAMISTA 465. Videossa https://vimeo.com/ /9fc9a85d8f näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. a) Ohjelman pinta-ala-työkalulla saadaan pohjan pinta-alaksi noin 1,57. Vastaus: 1,57 b) Luetaan vaipan pinta-ala algebraikkunasta. Vaipan pinta-ala on noin,65. Vastaus:,65 c) Ohjelman tilavuus-työkalulla saadaan kartion tilavuudeksi noin 1,57. Vastaus: 1, Lieriöllä on kaksi yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa. Kartiolla on yksi pohja ja huippu. Muussa tapauksessa kappale on muu avaruuskappale. a) Lieriöitä ovat kappaleet II, III ja IV. Vastaus: II, III ja IV b) Kappale VI on likimain kartio, mikäli nekkupaperin rusettia ei huomioida. Kappale V ei ole kartio, koska leveä hyrräosa koostuu kartion lisäksi myös lieriöstä. Vastaus: VI c) Muita avaruuskappaleita ovat siten I ja V. Vastaus: I ja V

76 467. a) Videossa https://vimeo.com/ /73cbfbbb näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. On totta, että ympyräkartioiden tilavuudet ovat yhtä suuret. Vastaus: ovat

77 b) Vaippojen laskemista varten tarvitaan ympyräkartioiden sivujanojen pituudet. Merkitään ympyräkartion, jonka korkeus on 4 cm, sivujanaa kirjaimella s ja toisen ympyräkartion sivujanaa kirjaimella t. Ratkaistaan ne suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. s = s = 5 s = ( + ) 5 s = 5 t = + 9 t = 85 t = ( + ) 85 t = 9,19 Vaippojen pinta-alat ovat: A 1 = π 3 cm 5 cm = 47,13 cm 47 cm A = π cm 9,19 cm = 57,98 cm 58 cm Vastaus: 47 cm ja 58 cm

78 468. a) Merkitään sivujanan ja ympyrän säteen välistä kulmaa kirjaimella α. Pohjaympyrän säde on r = 7 dm = 13,5 dm. Ratkaistaan kulma α suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. 7,0 tanα = 13,5 α = 7,407 α 7 Sivujanan kaltevuus on noin 7. Vastaus: 7 b) Merkitään kasan korkeutta kirjaimella h. 8,0 m Pohjaympyrän säde on r = = 4,0 m. Ratkaistaan ympyräkartion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. h tan 45 = 4,0 4,0 h = 4,0 tan 45 h = 4,0 Ympyräkartion korkeus on 4,0 m. Vastaus: 4,0 m

79 469. Ympyräkartion korkeus h, pohjaympyrän säde r ja sivujana s muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ne toteuttavat Pythagoraan lauseen s = r + h. Taulukon ensimmäinen rivi: Muodostetaan yhtälö vaipan pinta-alalle ja takaistaan siitä pohjaympyrän säde r. πrs = 180π : π rs = 180 s = 15 r 15 = 180 : 15 r = 1 Ratkaistaan ympyräkartion korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + 1 = 15 h = 15 1 h = 81 h = ( + ) 81 h = 9 Pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π 1 = 144π. Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 A pohja h = 1 144π 9 = 43π. 3 Toinen rivi: Muodostetaan yhtälö ympyräkartion tilavuudelle ja ratkaistaan siitä ympyräkartion korkeus h. V = 1 3 πr h V = 600π, r = π = 1 3 π 15 h π = 5π h h = 8 : 5π

80 Ratkaistaan sivujana s suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. s = r + h s = s = 89 s = ( + ) 89 s = 17 Vaipan pinta-ala on A vaippa = πrs = π = 55π. Pohjan pinta-ala on A pohja = πr = π 15 = 5π. Vastaus: Säde r Korkeus h Sivujana s Vaipan Pohjan pinta- Tilavuus pinta-ala ala π 144π 43π π 5π 600π

81 470. Merkitään sektorin sädettä kirjaimella R. Muodostetaan yhtälö kaaren pituudelle ja ratkaistaan siitä sektorin säde R. α b = πr b = 16 mm, α = mm = πr 16 mm = 4,380 R : 4,380 R = 8,76 mm Sektorin kaaren pituus on sama kuin ympyräkartion pohjaympyrän kehän pituus. Merkitään pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö pohjaympyrän kehän pituudelle ja ratkaistaan siitä säde r. πr = 16 r = 0,053 : π Ympyräkartion sivujana s on sama kuin sektorin säde R. Ympyräkartion sivujana s, korkeus h ja pohjaympyrä säde r muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + r = s s = 8,76 mm, r = 0,053 mm h + 0,053 = 8,76 h = 45,110 h = ( + ) 45, h = 0,618 Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 πr h = 1 3 π (0,053 mm) 0,618 mm Vastaus: 8,68 cm 3 = 868,819 mm mm 3 = 8,68 cm 3.

82 471. Fuji-vuori on likimain ympyräkartion muotoinen. Merkitään ympyräkartion pohjaympyrän sädettä kirjaimella h sekä sivujanan ja säteen välistä kulmaa kirjaimella α. Muutetaan korkeus kilometreiksi: 3776 m = 3,776 km. Muodostetaan yhtälö ympyräkartion tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. V = 1 3 πr h V = 1400 km 3, h = 3,776 km 1400 = 1 3 π r 3, = 3,954 r : 3,954 r = 354,05 r = ( + ) 354,05... r = 18,816 Lasketaan kulma α suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. 3,776 tanα = 18, tan α = 0,00 α = 11,347 α 11 Vuoren rinteen kaltevuus on noin 11. Vastaus: 11

83 47. Selvitetään ensin kumpi kateeteista on pidempi. Terävien kulmien summa on 90, joten toisen terävän kulman suuruus on 90 64,5 = 5,5. Koska suurempaa kulmaa vastaava kateetti on suurempi, kolmio pyörähtää 64,5 :n kulmaa vastaavan kateetin ympäri. Ympyräkartion korkeus h, sivujana s ja pohjaympyrän säde r muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. h sin 64,5 = 1,4 1,4 h = 1,4 sin 64,5 h = 11,19 Ratkaistaan säde r Pythagoraan lauseen avulla. h + r = s h = 11,19, s = 1,4 11,19 + r = 1,4 r = 8,497 r = ( + ) 8, r = 5,338 Ympyräkartion vaipan pinta-ala on A vaippa = πrs = π 5,338 cm 1,4 cm = 07,958 cm 08 cm.

84 Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 πr h = 1 3 π (5,338 cm) 11,19 cm = 334,003 cm cm 3. Vastaus: 334 cm 3 ja 08 cm 473. a) Ympyräkartion korkeus h, sivujana s ja pohjaympyrän säde r muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan sivujana s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s = h + r s = 15,4 + 4,9 s = 61,17 s = ( + ) 61,17 s = 16,160 Sektorin pinta-ala on yhtä suuri kuin ympyräkartion vaipan ala. A sektori = πrs = π 4,9 cm 16,160 cm = 48,775 cm 50 cm. Vastaus: 50 cm b) Sektorin säde R on sama kuin ympyräkartion sivujana. R = s = 16,160 cm 16 cm. Vastaus: 16 cm

85 c) Merkitään sektorin keskuskulmaa kirjaimella α. Sektorin kaaren pituus on yhtä suuri kuin ympyräkartion pohjaympyrän kehän pituus. Muodostetaan yhtälö kaaren pituudelle ja ratkaistaan siitä kulma α. α πr = πr 360 : π α R = r 360 R = 16,160 cm, r = 4,9 cm α 16,160 = 4,9 360 : 16,160 α 360 = 0, α = 109,153 α 110 Sektorin keskuskulma on noin 110. Vastaus: 110

86 474. Merkitään ympyräkartion korkeutta kirjaimella H, ympyrälieriön korkeutta kirjaimella h ja ympyräkartion ja ympyrälieriön pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Ympyrälieriön tilavuus on V lieriö = πr h. Ympyräkartion tilavuus on V kartio = 1 3 πr H. Muodostetaan yhtälö kappaleiden tilavuuksille ja ratkaistaan siitä ympyräkartion korkeus H. 1 3 πr H = πr h : πr 1 3 H = h 3 H = 3h Korkeuksien suhde on 3h h = 3 = 300 %, joten ympyräkartion korkeus on 300 % 100 % = 00 % suurempi kuin ympyrälieriön korkeus. Vastaus: 00 %

87 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 475. Ympyräkartion korkeus h, sivujana s ja pohjaympyrän säde r muodostavat suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan suorakulmaisesta kolmiosta säde r kosinin avulla. r cos36 = s s r = s cos 36 r = 0,809 s Muodostetaan yhtälö ympyräkartion vaipan pinta-alalle ja ratkaistaan siitä sivujana s. πrs = 6 π 0,809 s s = 6 : (π 0,809 ) s = 4,394 s = ( + ) 4, s = 4,939 Sijoitetaan sivujanan pituus säteen lausekkeeseen ja lasketaan r. r = 0,809 s = 0,809 4,939 = 3,995 Lasketaan ympyräkartion korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h + r = s h + 3,995 = 4,939 h = ( + ) 8,47... h =,903 Ympyräkartion tilavuus on V = 1 3 πr h = 1 3 π (3,995 dm),903 dm Vastaus: 49 dm 3 = 45,538 dm 3 49 dm 3.

88 476. Piirretään mallikuva. Kulmat GDF ja EFB ovat samankohtaisia kulmia ja kulmat BEF ja FGD ovat suoria, joten kk-lauseen perusteella kolmiot GDF ja EFB ovat yhtenevät. Koska kolmioiden vastinsivut EF ja GD ovat yhtä pitkät, kolmiot GDF ja EFB ovat yhtenevät. Yhtenevyydestä seuraa, että ympyrälieriön yläpuolella olevan ympyräkartion korkeus h on r. Tällöin ison ympyräkartion korkeus on r + r = 4r. Ison ympyräkartion tilavuus V kartio = 1 3 A pohja h = 1 3 π (r) 4r = 16 π 3 3 r. Ympyrälieriön tilavuus on V lieriö = A pohja h = π r r = πr 3. Tilavuuksien suhde on 3 Vlieriö πr = = 0,375 = 37,5 %. V 16 kartio π 3 r 3 Ympyrälieriön tilavuus on 37,5 % ympyräkartion tilavuudesta. Vastaus: 37,5 %

89 477. Yläosan ympyrän säde on 4,0 m =,0 m ja alaosan ympyrän säde 6,0 m = 3,0 m. Piirretään majakasta mallikuva. Täydennetään katkaistu ympyräkartio täydeksi ympyräkartioksi jatkamalla sivujanoja huippuun asti. Majakan ulkopinta-ala eli vaipan pinta-ala saadaan ison ja pienen ympyräkartion vaippojen pinta-alojen erotuksena. Tarkastellaan kartion sisälle muodostuvia suorakulmaisia kolmioita. Merkitään pienemmän kolmion korkeutta kirjaimella x. Tällöin isomman kolmion korkeus on 1,0 + x. Molemmissa kolmioissa on suorakulma. Lisäksi säteen ja sivujanan väliset kulmat ovat samankohtaisia kulmia, joten kk-lauseen perusteella kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Muodostetaan vastinosien suhteista verranto ja ratkaistaan siitä pienen kolmion korkeus x. x,0 = x + 1,0 3,0 3x = (x + 1) 3x = x + 4 x = 4

90 Ison ympyräkartion korkeus on siis 1 m + 4 m = 36 m. Ratkaistaan kartioiden sivujanojen pituudet ja vaipan pinta-alat. Merkitään ison ympyräkartion sivujanaa kirjaimella s. Ratkaistaan se isosta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. s = 36,0 + 3,0 s = 1305 s = ( + ) 1305 s = 36,14 Merkitään pienen ympyräkartion sivujanaa kirjaimella c ja ratkaistaan se pienestä suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. c = 4,0 +,0 c = 580 c = ( + ) 580 c = 4,083 Ison ympyräkartion vaipan pinta-ala on A iso = π 3,0 m 36,14... m = 340, m 340 m. Pienen ympyräkartion vaipan pinta-ala on A pieni = π,0 m 4, m = 151, m 151 m. Vaippojen pinta-alojen erotus on A iso A pieni = 340, m 151, m 190 m. Majakan ulkopinta-ala on noin 190 m. Vastaus: 190 m

91 478. Kun suoran ympyräkartion vaippa levitetään tasoon, saadaan sektori, jonka säde on ympyräkartion sivujana s ja kaaren pituus kartion pohjaympyrän kehän pituus. Muodostetaan yhtälö sektorin kaaren pituudelle ja ratkaistaan siitä sektorin keskuskulman α ja täysi kulman suhde. α π s= π r : (π s) 360 α π r = 360 π s α r = 360 s Ympyräkartion vaipan pinta-ala on yhtä suuri kuin sektorin pinta-ala. Sijoitetaan edellä saatu suhde sektorin pinta-alan kaavaan ja sievennetään lauseke. α r r π s Avaippa = π s = π s = = πrs 360 s s

92 479. Muutetaan pohjaympyröiden säteet yksikköön millimetri. 6,6 cm = 66 mm ja, cm = mm Sadepisarat tulevat suppiloon ympyrälieriön muotoista tilaa pitkin. Lasketaan suppiloon kertyvän veden määrä, kun vesilieriön korkeus on 1 mm. V = A pohja h = π (66 m) 1 mm = ,777 mm 3 Vesimäärä asettuu suppilon pohjalle ympyrälieriön muotoon. Jakoviivojen välinen etäisyys on tämän lieriön korkeus. Merkitään lieriön korkeutta kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö lieriöön kertyvälle vesimäärälle ja ratkaistaan siitä etäisyys x. π x = ,777 : (π ) x = 9 Jakoviivojen väli on 9 mm. Vastaus: 9 mm 4.5 Pallo ALOITA PERUSTEISTA 480. a) Pallon pinta-ala A = 4πr = 4 π (9,8 cm) = 106,874 cm 100 cm. Vastaus: 100 cm b) Pallon tilavuus on V = 4 3 πr3 = 4 3 π (9,8 cm)3 = 394,455 cm cm 3. Vastaus: 3900 cm 3

93 481. a) Muodostetaan yhtälö pallon ympärysmitalle ja ratkaistaan siitä halkaisija d. πd = 75,0 d = 3,873 d 3,9 : π Koripallon halkaisija on noin 3,9 cm. Vastaus: 3,9 cm b) Koripallon säde on d 3, cm r = = = 11,936 cm. Koripallon tilavuus on V = 4 3 πr3 = 4 π (11,936 cm)3 3 = 714,145 cm cm 3 = 7,1 dm 3 = 7,1 l. Vastaus: 7,1 litraa 48. Muutetaan tilavuudet kuutiosenttimetreiksi. I 450 m 3 = cm 3 II 0 l = 0 dm 3 = cm 3 III 195 ml = 195 cm 3 IV mm 3 = 8,7 cm 3 V 5800 cm 3 Yhdistetään parit järjestämällä esineet ja tilavuudet suuruusjärjestykseen. C pingispallo IV 8,7 cm 3 A sählypallo III 195 cm 3 B jalkapallo V 5800 cm 3 D jumppapallo II cm 3 E kuumailmapallo I cm 3 Vastaus: A: III, B: V, C: IV, D: II ja E: I

94 483. Jäätelöpallon säde on r = 5,0 cm =,5 cm. Videossa https://vimeo.com/ /d707d79e00 näytetään, miten pallon tilavuus voidaan määrittää sopivalla ohjelmalla. Pallon tilavuus on noin 65 cm 3. Litra jäätelöä on 1 dm 3 = 1000 cm 3. Jäätelöpaketista saatavien pallojen lukumäärä on cm 3 65,45 cm = 15, Vastaus: 65 cm 3, 15 palloa 484. Korun säde on 0,6 cm r = = 0,3 cm. Korun tilavuus on V = 4 3 πr3 = 4 3 π (0,3 cm)3 = 0,113 cm 3. Lasketaan massa m tiheyden kaavan avulla. m ρ = V V m = ρ V ρ = 10,5 g/cm 3, V = 0,113 cm 3 m = 10,5 g/cm 3 0,113 cm 3 = 1,187 g 1, g Koru painaa noin 1, g. Vastaus: 1, g

95 VAHVISTA OSAAMISTA 485. Videossa https://vimeo.com/ /ed3579ae näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. a) Pallon tilavuus on noin 113,1. Vastaus: 113,1 b) Suurimman poikkileikkausympyrän säde on 3. Isoympyrän kehän pituus on noin 18,85. Vastaus: 18,85

96 486. Taulukon ensimmäinen rivi: Ympärysmitta on p = πr = π 8 mm = 50,65 mm 50 mm. Pinta-ala on A = 4πr = 4 π (8 mm) = 804,47 mm 800 mm. Tilavuus on 4 V = π r 3 4 = π (8 mm) 3 = 144,660 mm mm Toinen rivi: Muodostetaan yhtälö pallon pinta-alalle ja ratkaistaan yhtälöstä säde r. 4πr = r = ( + ) 4π r = 5,997 r 6,00 : 4π Ympärysmitta on p = πr = π 5,997 cm = 37,68 cm 37,7 cm. Tilavuus on 4 V = π r 3 4 = π (5,997 cm) 3 = 903,610 cm cm

97 Kolmas rivi: Muodostetaan yhtälö pallon ympärysmitalle ja ratkaistaan siitä säde r. πr = 57 r = 9,071 r 9,1 : π Pinta-ala on A = 4πr = 4 π (9,071 cm) = 1034,188 cm 1000 cm. Tilavuus on 4 V = π r 3 4 = π (9,071 cm) 3 = 317,38 cm cm Vastaus: Säde r Ympärysmitta p Pinta-ala A Tilavuus V 8 mm 50 mm 800 mm 000 mm 3 6,00 cm 37,7 cm 45 cm 904 cm 3 9,1 cm 57 cm 1000 cm 3100 cm Kupolin säde on 14,0 m r = = 7,0 m. Kupolin pinta-ala on puolet pallon pinta-alasta. A = 1 A pallo = 1 4πr = π (7,0 m) = 307,876 m. Kupolin päällystämiseen tarvittavan kullan määrä on 307,876 m 1 g/m = 307,876 g 308 g. Vastaus: 308 g

98 488. a) Epätosi. Montevideo sijaitsee eteläisellä pallonpuoliskolla. Vastaus: epätosi, eteläisellä b) Tosi. Vastaus: tosi c) Epätosi. Montevideon lyhin etäisyys päiväntasaajasta kulkee 56 :n läntisen pituuspiirin kaarta pitkin. Vastaus: epätosi, 56 :n läntisen pituuspiirin d) Epätosi. 35 :n eteläinen leveyspiiri on pikkuympyrä. Vastaus: epätosi, pikkuympyrä 489. a) Etelänapa on maapallon vastakkaisella puolella pohjoisnapaan nähden, joten napojen välinen etäisyys on puolet maapallon ympärysmitasta. 1 π r = π 6370 km = 0 011,945 km km Pohjoisnavalta etelänavalle on noin km. Vastaus: km b) Päiväntasaaja on pohjoisnavan ja etelänavan puolessa välissä, joten pohjoisnavan ja päiväntasaajan välinen etäisyys on puolet napojen välisestä etäisyydestä ,945 km = ,97 km km Pohjoisnavalta päiväntasaajalle on noin km. Vastaus: km

99 c) Piirretään poikkileikkauskuvion mallikuva. Lasketaan Pohjoisnavan ja Helsingin välisen maapallon kaaren pituus. 30 b= α πr = π 6370 km = 3335,34 km 3340 km Pohjoisnavalta Helsinkiin on noin 3340 km. Vastaus: 3340 km 490. a) Puolipallon säde pienoismallissa on 1,0 cm r = = 10,5 cm. Pienoismallin tilavuus on puolet samansäteisen pallon tilavuudesta. V malli = πr3 = 3 π (10,5 cm)3 = 44,54 cm cm 3 Vastaus: 400 cm 3

100 b) Muutetaan pienoismallin osan pituus metreiksi ja pienoismallin tilavuus kuutiometreiksi. 1,5 cm = 0,015 m 44,54 cm 3 =,44 dm 3 = 0,004 m 3 Merkitään kupolin tilavuutta kirjaimella x. Pienoismalli ja kupoli ovat yhdenmuotoisia, joten niiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä kupolin tilavuus x. 3 0, ,015 = x 3,00 0, = 0, x x 0,004 = 0, x : 0, x = ,193 x Kupolin tilavuus on noin m 3. Vastaus: m Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö pallon ympärysmitalle ja ratkaistaan siitä säde r. πr = 6,5 r = 1,034 : π Pallon tilavuus on V = 4 3 πr3 = 4 3 π (1,034 cm)3 = 4,637 cm 3. Lasketaan pallon massa, jos se olisi puhdasta kultaa. Massa saadaan kertomalla tilavuus tiheydellä. m = ρ V = 19,3 g/cm 3 4,637 cm 3 = 89,504 g Koska pallon massa on tätä arvoa pienempi, pallo ei ole puhdasta kultaa. Vastaus: ei pidä paikkaansa

101 49. Merkitään maapallon sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö maapallon ympärysmitalle ja ratkaistaan siitä säde r. πr = : π r = 6366,197 Maapallon pinta-ala on A maapallo = 4πr = 4 π (6366,197 km) = ,8 km. Merien pinta-ala on 70 % maapallon pinta-alasta, joten A = 0,70 A maapallo = 0, ,8 km = ,5 km. Pinnan nousu saadaan, kun sulaneen veden tilavuus jaetaan merien pintaalalla km = 4, km = 0,407 mm 0,4 mm ,5 km Valtamerien pinta nousisi noin 0,4 mm. Vastaus: 0,4 mm 493. Neljän pallon tilavuus on V pallot = πr3 = 16 3 πr3. Ympyrälieriön pohjan säde on r ja korkeus 8r. Ympyrälieriön tilavuus on V lieriö = A pohja h = πr 8r = 8πr 3. Tilavuuksien suhde on V V pallot lieriö 16 π 3 r 3 3 = = 8πr. 3 Pallojen tilavuus on 3 kotelon tilavuudesta. Vastaus: 3

102 494. Pallon pinta-ala on A pallo = 4πr. Puolipallon pinta koostuu pallon pinnasta ja pohjaympyrästä. A puolipallo = 1 4πr + πr = πr + πr = 3πr. Kahden puolipallon pinta-ala on A puolipallo = 3πr = 6πr. Lasketaan puolipallojen pinta-alan suhde pallon pinta-alaan. A puolipallo 6πr = = 1,5 = 150 % A 4πr pallo Kokonaispinta-ala kasvaa 150 % 100 % = 50 %. Vastaus: 50 %

103 495. Ratkaistaan rakeen tilavuus massan ja tiheyden avulla. m ρ = V V ρv = m : ρ m V = ρ m = 1 kg, ρ = 0,917 kg/dm 3 1kg V = = 1,09051 dm 3 = 1090,51 cm 3 3 0,917 kg / dm Merkitään rakeen sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö pallon tilavuudelle ja ratkaistaan siitä säde r. 4 4 π 3 r3 = 1090,51 : π 3 r 3 = 60,340 r = 3 60, r = 6,385 Rakeen halkaisija on r = 6,385 cm = 1,770 cm 13 cm. Vastaus: 13 cm

104 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 496. Piirretään mallikuva. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja kuution särmän pituutta kirjaimella a. Pallon halkaisija on sama kuin kuution avaruuslävistäjä. Ensin on ratkaistava pallon säde r. Muutetaan pallon tilavuus kuutiodesimetreiksi. 100 l = 100 dm 3 Muodostetaan yhtälö pallon tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pallon säde r. 4 3 πr3 = 100 : 4 3 π r 3 = 3,873 r = 3 3, r =,879 Pallon halkaisija ja kuution avaruuslävistäjän pituus on r =,879 dm = 5,758 dm. Muodostetaan yhtälö kuution avaruuslävistäjälle ja ratkaistaan siitä kuution särmän pituus a. a + a + a = 5, a = 5, a > 0 a 3 = 5, : 3 a = 3,34 Kuution tilavuus on V = a 3 = (3,34 dm) 3 = 36,755 dm 3 36,8 dm 3 = 36,8 l. Vastaus: 36,8 l

105 497. Madrid ja Ankara sijaitsevat samalla leveyspiirillä, joten kysytty etäisyys on leveyspiirin 40 N kaaren osa. Leveyspiiri on pikkuympyrä, joten ensiksi on ratkaistava pikkuympyrän säde. Merkitään sädettä kirjaimella r. Ratkaistaan säde r suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. r sin50 = r = 6370 sin 50 r = 4879,703 Tarkastellaan kaupunkeja pohjoisnavan yläpuolelta. Ankaran ja Madridin rajaamaa kaarta vastaava keskuskulma on α = = 37. Lasketaan kaupunkien välisen pikkuympyrän kaaren pituus. α 37 b= πr = π 4879, km = 3151, km 3150 km Madridin ja Ankaran etäisyys 40 N:n leveyspiiriä pitkin on noin 3150 km. Vastaus: 3150 km

106 498. Muodostetaan yhtälö pallosegmentin tilavuudelle ja ratkaistaan siitä pallon säde r. h V = πh r 3 V = m3, h = 4,0 m 4,0 π 4, 0 r = ,0 1809,557 r = : 1809, r = 88,97 3 r = 96,97 Pallosegmentin pinta-ala on A = πrh = π 96,97 m 4,0 m = 14 63,038 m m. Hallin katon pinta-ala on noin m. Vastaus: m

107 499. Piirretään sisäkkäisistä kappaleista poikkileikkauskuva. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Kolmiot ABC ja EDC ovat suorakulmaisia kolmioita, joilla on yhteinen kulma β. Kolmioilla on siis kaksi yhtä suurta kulmaa, joten kk-lauseen mukaan kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Ratkaistaan kolmion ABC hypotenuusa BC Pythagoraan lauseen avulla BC = BC = + BC = ( ) 5 5 4

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6 MAB: Avaruuskappaleita 6 Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot