Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Transkriptio

1 Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi Impulssi- ja askelvastetekniikat sekä korrelaatioanalyysi tähtäävät impulssivasteen mallintamiseen aikataso Taajuus- Fourier- ja spektraalianalyysi tähtäävät systeemin taajuusominaisuuksien mallintamiseen taajuustaso Taajuusvaste = systeemin sisäänmenolle aiheuttama vahvistus ja vaihekulman muutos taajuden funktiona siirtofunktio G(s) => s=iω =>taajuusvaste G(iω) Superpositioperiaate pätee edelleen: standardisyöte Asin ωt yhdistämiskeinona Fourier-sarja

2 Lineaarisen systeemin taajuusvaste Olkoon systeemin siirtofunktio G(s) Valitaan sisäänmeno u(t)=asinωt; mitä tulee ulos? Voidaan osoittaa (luento & lh) että ulos tulee Bsin(ωt+φ), jossa B=A G(iω) φ=arg(g(iω)) Taajuusanalyysi: Mitataan B ja φ usealla eri ω => taajuusvaste

3 Boden diagrammi Vakiintunut tapa esittää taajuusvaste Piirretään 20 lg G(iω) [db] ja arg(g(iω)) logaritmiasteikolle äin esim. sarjaankytkettyjen systeemien diagrammit voidaan laskea yhteen 20lg G 1 (iω) G 2 (iω) = 20 lg G 1 (iω) +20lg G 2 (iω) Approksimatiivinen piirto helppoa

4 Esimerkki 10 1 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 Systeemin G(S)= 1/(s^2+0.2s+1) Boden diagrammi frequency (rad/sec) PHASE PLOT, input # 1 output # phase frequency (rad/sec) Matlab: bodeplot(th2ff(poly2th([ ],1,[],[],[],[],-1)))

5 Etuja & haittoja Helppo käyttää, ei tarvita erityisiä laskentavirityksiä Ei vaadita muita oletuksia systeemistä kuin lineaarisuus Kiinnostavat taajuusalueet helppo tutkia tarkemmin Tuloksena taulukko tai mittauspisteiden kautta kulkeva interpolaatio ei sovellu simulointiin sellaisenaan (entä siirtofunktion sovittaminen PS-keinolla?) Reaalimaailman systeemeillä ei usein voida kokeilla täysin vapaasti Vaatii pitkiä mittausaikoja alkutransientti useita mitattavia taajuuksia mikäli kiinnostavat taajuudet matalia

6 Fourieranalyysi Perusajatus: koska Y(ω)=G(iω)U(ω) (Fourier-muunnos), täytyy olla G(iω)=Y(ω)/U(ω) y(t) ja u(t) tunnetaan vain äärellisellä välillä [0,S] Muodostetaan Fourier-muunnoksista Y(ω) ja U(ω) arviot määritelmän perusteella: Y S ( ω) = S 0 y( t) e iωt dt, Empiirinen siirtofunktioestimaatti (empirical transfer function estimate, ETFE): G^(iω)=Y S (ω)/u S (ω) (perustuu vain mittauksiin ja lineaarisuusoletukseen) U S ( ω) = S 0 u( t) e iωt dt

7 ... Kun u(t)=u 0 cosω * t ja S=kπ/ω*, k=1,2,... on U S (ω)=u 0 S/2 Tällöin ETFE on S S Gˆ 2 S ( iω* ) = ( y( t) cos( w* t) dt i y( t)sin( w* t) dt u0s 0 0 Helppo laskea: korreloidaan vain y(t) sinin ja kosinin kanssa Käytännössä integraaleja approksimoidaan: Y S ( ω) = T k = 1 y( kt ) e iωkt T= näytteenottoväli ja S=T pisteissä w=r2π/, r=0,...,-1 voidaan käyttää nopeaa Fourier-muunnosta (FFT, Fast Fourier Transform), U S ( ω) = T k = 1 u( kt ) e iωkt

8 FFT :n mittauksen signaalin (diskreetti) Fourier-muuntaminen vaatii 2 kerto- ja jakolaskua Cooley ja Tukey 1965: opea Fourier-muunnos periaate jo Gaussilta Perusidea: hajotetaan 2 k -mittaisen näytejonon DFT kahden 2 k-1 -mittaisen jonon DFT:ksi rekursio kunnes 2 k-1 =1, summaus (edellytys =2 k ) laskutoimitusten lkm log 2 << 2

9 ETFE:n tarkkuus Voidaan osoittaa (kirja app. 8.A) että ETFE:n ja todellisen taajuusvasteen ero tietyllä taajuudella riippuu käytetystä ohjauksesta ja sen taajuussisällöstä systeemin ominaisuuksista (impulssivaste) signaali-kohinasuhteesta tällä taajuudella Jos u(t):ssä on sinikomponentti tietyllä taajuudella (ja häiriössä ei), virhe ko. taajudella pienenee S:n kasvaessa Jos ei ole, määräävä tekijä on signaali-kohinasuhde

10 Spektraalianalyysi Aiemmin todettu, että systeemille y(t)=g(p)u(t)+v(t) pätee Φ yu (ω)=g(iω)φ u (ω) (1) Φ y (ω)= G(iω) 2 Φ u (ω)+φ v (ω) (2) äinollen (1):stä saadaan (vrt. ETFE) Gˆ ( iω) = Φˆ ( ω) / Φˆ ( ω) (2):sta voidaan estimoida häiriön v(t) spektri: Yllä on käytetty sopivia spektrin estimaatteja :n mittauksen pohjalta yu ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ 2 Φ ω = Φ ω Φ ( ω) v y yu u / Φˆ u ( ω)

11 Spektrin estimointi signaalin u(t) spektri F(ω) määriteltiin intuitiivisesti u(t):n keskitaajuussisältönä formaalisti u(t):n Fouriermuunnoksen itseisarvon neliönä Ol. että u(t):tä on havaittu T:n välein datasta saadaan vain näytteistetyn signaalin spektri jos T pieni verrattuna u(t):n taajuussisältöön, ero on pieni oletetaan seuraavassa että T=1 Suoraan määritelmästä saadaan periodogrammi: Φˆ ( ω) = 1 2 U = ( ω), U ( ω) k = 1 u( k) e iωkt

12 Esimerkki ARMA-prosessin y(t+1)=0.6*y(t-1)+0.5e(t-1)+e(t) realisaation periodogrammi (=10000) ja todellinen spektritiheys 10 2 SPECTRUM output # SPECTRUM output # frequency (rad/sec) frequency (rad/sec)

13 Periodogrammin ominaisuuksia Tyypillisiä ominaisuuksia: periodogammi on hyvin epätasainen puhtaat sinikomponentit näkyvät piikkeinä Antaa kohtuullisen kuvan signaalin taajuusisällöstä Jos u(t) on stok.pros. realisaatio, periodogrammi on satunnaismuuttuja odotusarvo yhtyy todellisen spektrin odotusarvoon (8.26) varianssi EI lähesty nollaa :n kasvaessa (8.27) => epätasaisuus eri taajuuksien estimaatit eivät korreloi (8.28) Taajuusresoluutio: mitkä taajuudet eroavat toisistaan? periodogrammin resoluutio on 2π/

14 Keinoja pienentää varianssia Periodogrammin varianssi usein turhan suuri Spektriestimaatin toivottu ominaisuus sileys trade-off: tasoittaminen huonontaa taajuusresoluutiota 1. Usean riippumattoman estimaatin keskiarvottaminen (Welchin menetelmä) 2. Keskiarvotetaan läheisten (korreloimattomien by 8.28) lähitaajuksien kanssa => ikkunointi (Blackman-Tukey)

15 1. Keskiarvottaminen Jaetaan signaali R:ään (mahdollisesti osin päällekkäiseen) segmenttiin Periodogrammi kullekin segmentille sopivin valinnoin tehokas laskenta FFT:llä Spektriestimaatti saadaan näiden periodogrammien keskiarvona (8.29) Jos ei päällekkäisyyttä, spektriestimaatin varianssi pienenee R:ään verrannollisesti taajuusresoluutio huononee R:ään verrannollisesti

16 2. Tasoittaminen ikkunoimalla Muodostetaan estimaatti taajuudella ω laskemalla painotettu keskiarvo periodogrammista: Φˆ π ( ω) = W ( ω ξ) Φˆ ( ξ ) dξ, W ( ω) dω = 1 π W γ (ω) on painofunktio (ikkunafunktio) γ parametri γ kuvaa ikkunan leveyttä leveä ikkuna => tasainen spektri, kapea ikkuna => hyvä taajuusresoluutio π π γ

17 Implementointi aikatasossa Taajuustasossa implementointi tehotonta Em. integraali aikatasossa ilmaistuna on (app. 8.A) R^u(k) on u:n autokovarianssi viiveellä k Aikaikkuna w γ (k) oletettu nollaksi kun k >γ rajaa mahdolliset ikkunafunktiot Paljon käytetty on Hamming-ikkuna ξ ξ ω π π ξ γ γ γ γ ω γ d e W k w e k R k w k i k k i u = = = Φ ) ( ) ( ; ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ

18 Blackman-Tukey -estimointi 1. Valitse aikaikkuna w γ (k) 2. Valitse ikkunanleveysparametri γ 3. Laske u:n autokovarianssit o:sta γ:aan 4. Laske Φ (ω) edellä kuvatun mukaisesti Huom. 1) edellä oletettu että T=1. Jos näin ei ole, on spekriestimaatti skaalattava: Φˆ 0 ( ξ ) = TΦˆ ( ξt), π / T ξ π T / Huom. 2) Myös ristitehotiheysspektri voidaan estimoida samaan tapaan korvaamalla autokovarianssi ristikovarianssilla (8.42,8.43)

19 Taajuusvasteen estimointi : ( SPA ) 1. Kerää data y(k), u(k), k=1,...,; keskiarvota. 2. Valitse aikaikkunafunktio ja ikkunan leveys 3. Laske y:n ja u:n tarvittavat auto- ja ristikovarianssit 4. Muodosta teho- ja ristitehotiheysspektriestimaatit 5. Laske taajuusvaste kaavoja 8.45, 8.46 käyttäen

20 Yhteenveto spektraalianalyysistä Paljon käytetty identifiointimenetelmä Yleispätevä menetelmä, vaatii ainostaan lineaarisuusoletuksen, ei vaadi erityisiä herätteitä Sopivalla g:n valinnalla saadaan hyvä kuva systeemin taajuusominaisuuksista Tulos ei kelpaa simulointiin Spektraalianalyysi ei toimi takaisinkytketyissä systeemeissä u ja v korreloituneita, perusyhtälöt 8.45 ja 8.46 eivät päde

21 Yhteenveto Käsitelty transientti- ja korrelaatioanalyysi => impulssi- ja askelvaste taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi => taajuusvaste Tulokset kvalitatiivisluontoisia yleiskuva systeemistä eivät sovellu simulointiin ohjaavat jatkotutkimuksia ja koesuunnittelua: esim. kiinnostavat taajuudet