Sirontaluento 4. Keskiviikko , kello 10-12

Transkriptio

1 Sirontaluento 4 Keskiviikko , kello 10-12

2 sisältöä aaltoyhtälö pintaintegraaliyhtälö tilavuusintegraaliyhtälö singulariteetti diskretointi iterointi tilavuuselementit vektoripalloharmoniset Fourier-sarja

3 Aaltoyhtälö 2 E m 2 E = 0, (1) missä taitekerroin m ja käytetty yksikköä k = 1, λ = 2π. Oletetaan lineaarinen väliaine (D = ɛe) ja m = m 0 = 1 kun r (ulkona) ja m = m 1 kappaleen sisällä (myöhemmin voidaan vakioisuudestakin luopua). Yhteys m 2 = ɛ = 1 + χ, missä vielä χ on sähköinen suskeptipiliteetti ( suskis ). Tyhjiössä (m = m 0 ) tasoaaltoratkaisu E = E 0 exp( ik r), (2) oletetaan jatkossa tuleva aalto aina tätä muotoa.

4 Reunaehdot Kappaleen rajapinnalla pätee reunaehdot: (ɛ 2 E 2 ɛ 1 E 1 ) ^n 12 = σ (3) (E 2 E 1 ) ^n 12 = 0, (4) missä ^n 12 on pinnan yksikkönormaalivektori ja σ pintavirtatiheys. Eli kentän kohtisuora komponentti on epäjatkuva, tangentiaalikomponentit jatkuvia.

5 Integraaliyhtälö Integraaliyhtälö=differentiaaliyhtälö+reunaehdot: E(r) = E 0 (r) + d 3 r G(r r ) χ(r )E(r ), (5) missä G on Greenin tensorifunktio, joka kirjoitetaan dyadisesti: G(R) = [1 + ]g(r) (6) = {1[1 + i R 1 R 2 ] ^R^R[1 + 3i R 3 ]}g(r), R2 (7) missä g(r) = exp(ir) 4πR ja R = R, ^R = R R, ja 1 on yksikkötensori.

6 Integraaliyhtälö jatkuu E(r) = E 0 (r) + d 3 r G(r r ) χ(r )E(r ), (8) Integraali saa nollasta poikkeavia arvoja vain kappaleen sisällä. Pienille kappaleille voidaan kirjoittaa yhden iteraation ratkaisu: E(r) = E 0 (r) + d 3 r G(r r ) χ(r )E 0 (r ), (9) vähän isommilla voidaan iteroida lisää, mutta suora iterointi ei oikeastaan ole kovin tehokas tapa ratkaista.

7 Tuloksista Kun sisäinen kenttä ratkaistu, kenttä kaikkialla voidaan laskea IY:stä. Esim. vaikutusala saadaan optisen teoreeman kautta C ext = Im d 3 rχ(r)e 0(r) E(r). (10) Kaukoalueessa Greenin tensorista jää vain 1/R termit: E(r) = E 0 (r) + d 3 r (1 ^R^R)g(R) χ(r )E(r ), (11) Tästä saadaan sitten amplitudisirontamatriisi ja sirontavaihematriisi.

8 Diskretointi Numeerinen ratkaistu edellyttää kentän diskretointia. Eli kenttä kuvataan äärellisellä määrällä kantafunktioita f : E(r) N e i f i (r), (12) i aihtoehtoja: jako tilavuuselementteihin, joissa kenttä vakio, f i = e i, kun r elementin sisällä, 0 muualla (3 komponenttia), kehitetään sisällä vektoripalloharmonisten kantafunktioiden avulla (tuttu Mie-teoriasta ja T-matriisimenetelmästä), tai Fourier-sarjana. Usein joku yhdistelmä tai variaatio näistä. Mikäli kehitelmä ortogonaalinen drf j (r) f i(r) = δ ij, hyvä, mutta epäsäännöllisemmillä kappaleilla hankalampi toteuttaa.

9 Diskretointi 2 Katkaistu sarja ei enää täydellisesti toteuta alkuperäistä yhtälöä. Tarvitsee määrittää hyvyys, miten paras ratkaisu saadaan. Ei ole olemassa ainoaa oikeaa tapaa, vaan on tehtävä oma valinta. 1. Point matching. Toteutetaan yhtälö vain N kappalessa määrättyjä pisteitä. 2. Galerkin: painotetaan kantafunktiolla ja integroidaan: d3 rf (r) 3. ariaatiomenetelmä: minimoidaan residuaalia 4. Momenttimenetelmä: otetaan momentteja jonkun funktion suhteen Oikeastaan kaikki nämä voidaan toisistaan johtaa, mutta ainakin ajattelutavassa eroja.

10 Point matching, kollokaatio alitaan N kappaletta pisteitä r j kappaleen sisältä, ja kirjoitetaan yhtälö kullekin erikseen E(r j ) = E 0 (r j ) + d 3 r G(r j r )χ(r )E(r ). (13) kehitetään myös tilavuusintegraali kvadratuuriksi näiden pisteiden avulla ( dr i w i): E j = E 0j + i w i G(r j r i )χ(r i )E i, (14) missä E j = E(r j ). Nyt on 3N yhtälöä ja 3N tuntematonta, ja lineaarinen riippuvuus, voidaan jo periaatteesa ratkaista. (Pariin huomioitavaan kohtaan Greenin funktion integroinnissa palataan vielä.) Käytännössä yleensä valitaan säännöllinen neliöhila, jolloin Greenin funktion laskeminen tehokkainta (riippuu vain erotuksesta).

11 Galerkin Lasketaan integraaliyhtälöstä momentteja kantafunktioiden suhteen (kompleksi konjukaatilla) N d 3 r fj (r) e i f i (r) = d 3 r fj (r)e 0 (r) i i + N d 3 r fj (r) d 3 r G(r r )χ(r ) e i f i (r ), tai N N e i d 3 r fj (r)f i (r) = E 0j + e i d 3 rd 3 r fj (r)g(r r )χ(r )f i (r ), i (15) Tästäkin seuraa lineaarinen yhtälöryhmä, joka ainakin joissakin tapauksissa konvergoi kohti oikeaa ratkaisua, yleensä sitä paremmin, mitä ortogonaalisempi kehitelmä. Sinänsä momentteja voidaan laskea monen muunkin funktion kuin i

12 ariaatiomentelmästä, residuaali Määritellään yhtälön residuaali = oikea puoli - vasen puoli: R(r) = E 0 (r) + d 3 r G(r r ) χ(r )E(r ) E(r). (16) Kehitelmä sijoitettuna R(r) = E 0 (r) + i e i d 3 r G(r r ) χ(r )f i (r ) f i (r). (17) Määritellään lyhenne g i (r) = f i (r) d3 r G(r r ) χ(r )f i (r ), jolloin R(r) = E 0 (r) e i g i (r). (18) i

13 ariaatiomentelmästä, minimointi ariaatiomenetelmä seuraa nyt residuaalin neliön minimoimisesta: K = R 2 = drr (r) R(r). (19) dk = d de i de i dr E 0E + i tai matriisiyhtälönä drgi (r)e 0 (r) e i g i E 0 + E 0e i g i + j dr j ei e j gi g j = 0, (20) e j g i (r)g j (r) = 0 (21) e 0 = Ae, (22) missä e = [e 1, e 2,..., e N ], e 0j = drg j (r)e 0(r) ja A ij = drg j (r)g j(r).

14 Takaisin Greenin funktioon G(R) = [1 + ]g(r) (23) = {1[1 + i R 1 R 2 ] ^R^R[1 + 3i R 3 ]}g(r), R2 (24) ja g(r) = exp(ir) 4πR. Tässä on erittäin vaikea singulariteetti, kun R 0. Koska integrandi kuitenkin oskilloi kulman funktiona, se pysyy hallinnassa. Tutkitaan nyt, miten laskea tämän integraali d 3 r G(r r )χ(r )E(r ). (25)

15 tilavuusjako Määritellään hyvin pieni b-säteinen pallotilavuus b singulariteetin ympärille, ja muu kappale c = b. Jaetaan ensiksi tilavuus integraali kahteen osaan näiden yli d 3 r G(r r )χ(r )E(r ) = d 3 r G(r r )χ(r )E(r )+ d 3 r G(r r )χ(r )E(r b c (26)

16 Pikku integraalitemppu Pahin singulariteetti muotoa G 3 = (1/4πR) = 1/4πR 3 + 3^R^R/4πR 3. (27) Tälle voidaan kirjoittaa tunnettujen kaavojen avulla identiteetti: d 3 r G 3 (r r ) = d 2 r ^n(r ) ^R R 3, (28) missä ^n on pinnan S ulkonormaali. Kirjoitetaan tämä vielä muotoon: d 3 r G 3 (r r )χ(r)e(r) d 2 r ^n(r ) ^R χ(r)e(r) = 0, (29) R3 ja sijoitetaan Greenin integraalin. S S

17 Iso kaava Monistetaan vielä yksi termipari lisää, niin saadaan Iso kaava: d 3 r G(r r )χ(r )E(r ) = d 3 r G(r r )χ(r )E(r ) c + d 3 r G(r r )χ(r )[E(r ) E(r)] b + d 3 r [G(r r ) G 3 (r r )]χ(r )E(r) c d 2 r ^n(r ) ^R χ(r)e(r). (30) R3 (arsinainen Kuningasintegraali saa käyttää kaikki mahdolliset matematiikan taidot) S

18 1. termi oidaan integroida numeerisesti, kun singulariteetti rajattu ulos, d 3 r G(r r )χ(r )E(r ) w k G(r i r k )χ(r k )E(r k ). (31) k i c Toki tässäkin on vielä monta kommervenkkiä, miten se tehokkaasti tehdään, kun kappale kasvaa suureksi. oidaan a käyttää säännöllistä kuutiohilaa, jolloin Greenin funktio on tehokkainta laskea, kun erotukset on samoja monille pisteille, b huomata, että tässäkin integraalissa on voimakas 1/R 3 tekijä, jolloin lähellä tarvitaan tiheää hilaa, mutta kauempana pärjää paljon harvemmallakin, c unohtaa liian suoraviivainen Monte Carlo integrointi tai salaviisaat adaptiiviset musta-laatikko-algoritmit, sillä integraaali oskilloi ja kumoavat termit pitää laskea täsmällisesti symmetrisellä hilalla.

19 4. termi S d 2 r ^n(r ) ^R R 3 χ(r)e(r) = 1 3 (32) viimeinen termi voidaan integroida analyyttisesti, ja se tuottaa 1/3 ainakin pallolle ja kuutiolle. (Liian pitkä tässä näytettäväksi.)

20 3. termi Kolmaskin termi voidaan suoraviivaisesti analyyttisesti integroida, d 3 r [G(r r ) G 3 (r r )]χ(r 2 )E(r) = 3 ((1 ib) exp(ib) 1) χ(r )E(r). c häviää b 2 /3, kun b 0. (33)

21 2. termi Moni olettaa toisen termin häviävän kun tilavuus b on riittävän pieni, eli E(r) E(r ) mutta katsotaanpa tarkemmin b d 3 r G(r r )χ(r )[E(r ) E(r)] (34) Ensiksi kehitetään kenttä Taylor sarjaksi E(r ) E(r) + R E(r) + 1 RR : E(r). (35) 2 kun sijoitetaan integraalin, nollas kertaluku häviää triviaalisti ja ensimmäinen symmetrian nojalla, mutta toinen jää. d 3 r G(r r )χ(r 1 ) RR : E(r) (36) 2 b

22 2. termi jatkuu Hyvin hyvin isotöisen laskennan jälkeen saadaan ( [ = exp( ib) 2i 15 b3 + 7 ] ) 15 b2 + ib m 2 χe. (37) missä taitekerroin m pullahtaa matkan varrella käytetystä aaltoyhtälöstä 2 E = m 2 E. Tämä käyttäytyy pienillä b:n arvoilla kuten b 2 /30m 2, eli kun m lähellä 1, on noin 10 kertaa pienempi kuin 3. termi, mutta suurilla m:n arvoilla kasvaa hyvinkin merkittäväksi.

23 ielä kaikki yhdessä d 3 r G(r r )χ(r )E(r ) = k w k G(r r k )χ(r k )E(r k ) ( [ exp( ib) 2i 15 b3 + 7 ] ) 15 b2 + ib 1 +1 m 2 χ(r)e(r) + 2 ((1 ib) exp(ib) 1) χ(r)e(r) 3 1 χ(r)e(r). (38) 3

24 Käytännössä Se suuri työ on numeerisen integraalin tehokas laskeminen, ja matriisiyhtälön ratkaiseminen. Laskuaika kasvaa noin x 6. Laskutarkkuus on varsin hyvä palloille ja riittävän symmetrisille kappaleille, mutta epäsymmetrisyys hajottaa tosipahasti. Orientaatiokeskiarvon saa usein aika helposti, jolloin saa jonkun verran pehmennettyä joitakin integrointivirheitä. Koko tilavuuden kantafunktiot antavat usein parhaan tarkkuuden per muuttujien määrä, mutta korkeilla kertaluvuilla tulevat huomattavan hitaiksi laskea, sekä itse funktion lasku, että se, että se pitää tosiaan laskea erikseen jokaikiselle pisteelle. Elementtipohjaisilla kehitelmillä sama funktio voidaan monistaa kaikkiin elementteihin. Raaan voiman menetelmillä voidaan käyttää yksinkertaisia kantafunktioita, ja suuretkin matriisiyhtälöt voidaan iteratiivisesti ratkaista.

25 DDA? DDA johdettiin intuitiivisesti dipolikokoelmana 2. luennolla. Sama seuraa tilavuusintegraalimenetelmästä matemaattisesti eksaktisti, kun jakaa tilavuuden tasakokoisiin kuutioelementteihin, ja kehittää kentän näissä multipolikehitelmän ensimmäisellä eli juuri dipolitermillä (tai pienillä dipoleilla riittää vakiokenttäkin). Samalla saa pari korjaustermiä polarisoituvuuksiin.

26 Pintaintegraali Homogeenisillä kappaleilla voidaan käytää myös pintaintegraliyhtälöä. E(r) = i d 2 r J(r ) exp(ir)/r i d 2 r J(r ) exp(ir)/r (39) S missä J on pintavirta, joka sitten riippuu sähkökentistä. Tällä on omat vaikeutensa ratkaisuun, erityisesti konkaaveilla kappaleilla tulee suppenemisongelmia kaikilla ratkaisutavoilla. Hyvin johtavilla kappaleilla, eli suuri taitekerroin, ei paljoa sisäistä kenttää, tämä on tehokkaampi kuin tilavuusintegraali. S

27 Tutkimuksen haasteita josko keksisi jonkun tosi fiksun kantafunktiojoukon, jolla voisi suuriakin kappaleita jollakin tarkkuudella kuvata? Mie-harmoniset? jaksaisiko joku laskea vielä jonkun kertaluvun lisää noista kammottavista integraaleista? miten saada numeeriset integraalit laskettua säällisessä ajassa suurillekin kappaleille? Laskuaika kasvaa noin x 6. rypyläisten reunojen käsittely.