2 Toisen asteen polynomifunktio

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Toisen asteen polynomifunktio"

Transkriptio

1 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva kuvaaja. Huomataan, että 4 saadaan luvusta korottamalla toiseen. Vastaavasti saadaan muutkin funktion arvot: x f(x) 4 = ( ) 1 1 = ( 1) 0 0 = = 1 4 = 3 9 = 3 Siis kohdassa x funktion arvo on x. Toisin sanoen f(x) = x. b) Huomataan, että annettua lukua vastaava funktion arvo saadaan korottamalla annettu luku toiseen ja lisäämällä tulokseen 3. x f(x) 7 = ( ) = ( 1) = = = = Funktio on f(x) = x + 3.

2 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Huomataan, että annettua lukua vastaava funktion arvo saadaan lisäämällä annettuun lukuun 1 ja korottamalla summa toiseen. x f(x) 1 = ( + 1) 1 0 = ( 1 + 1) 0 1 = (0 + 1) 1 4 = (1 + 1) 9 = ( + 1) 3 16 = (3 + 1) Funktio on f(x) = (x + 1).. a) Aita muodostaa suorakulmion, jonka toisen sivun pituus on x (metriä). Koska aitaa on käytettävissä 5 metriä, alueen leveys on on 5 x (metriä). Alueen pinta-ala on sivujen tulo eli x(5 x) = 5x x. b) Tutkitaan funktiota f(x) = 5x x, jonka arvo kertoo aitauksen pintaalan kun sivun pituus on x. Taulukoidaan funktion f arvoja ja piirretään funktion f kuvaaja. x f(x) Funktion arvo eli pinta-ala on suurin kuvaajan korkeimmassa kohdassa. Kuvaajan korkein kohta näyttäisi olevan kohtien 0 ja 5 puolessa välissä eli kohdassa x =,5. Tällöin pinta-ala on f(,5) = 5,5,5 = 6,5. Aitauksen suurin mahdollinen pinta-ala on 6,5 m.

3 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja YDINTEHTÄVÄT 01. a) f(x) = x + 3x + 3 Toisen asteen termi on x. Toisen asteen termin kerroin on. Ensimmäisen asteen termin kerroin on 3. Kuvaajan aukeamissuunta on alaspäin, koska toisen asteen termin kerroin on negatiivinen. b) f(x) = 0,3x Toisen asteen termi on 0,3x. Toisen asteen termin kerroin on 0,3. Ensimmäisen asteen termin kerroin on nolla. Kuvaajan aukeamissuunta on ylöspäin, koska toisen asteen kerroin 0,3 on positiivinen. c) f ( x) x x x 1 x 3 3 Toisen asteen termi on 3 x. Toisen asteen termin kerroin on 3. Ensimmäisen asteen termin kerroin on 1. Kuvaajan aukeamissuunta on ylöspäin, koska toisen asteen kerroin 3 on positiivinen.

4 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sievennetään funktion lauseke. f(x) = x (x + 5) = x x 5 = x 5 Lauseke on ensimmäisen asteen polynomi, joten kuvaaja on suora. Kuvaaja on laskeva suora, koska kulmakerroin on negatiivinen. b) Sievennetään funktion lauseke. f(x) = x + x ( 3x + 5x 7) = x + x + 3x 5x + 7) = x 3x + 7 Lauseke on toisen asteen polynomi, joten kuvaaja on paraabeli. Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen. c) Sievennetään funktion lauseke. f(x) = (5x + 1) 3(x ) = 5x 1 3x + 6 = 8x + 5 Lauseke on ensimmäisen asteen polynomi, joten kuvaaja on suora. Kuvaaja on laskeva suora, koska kulmakerroin 8 on negatiivinen. d) f(x) = 3x(x 1) + (x + 3) = 3x 3x + x + 3 = 4x 3x + 3 Lauseke on toisen asteen polynomi, joten kuvaaja on paraabeli. Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin 4 on positiivinen.

5 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kuvaaja II. Funktion f(x) = x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin 1 on positiivinen. Kuvaaja kulkee pisteiden (1, 1) ja ( 1, 1) kautta, koska f(1) = 1 = 1 ja f( 1) = ( 1) = 1. b) Kuvaaja IV. Funktion f(x) = x +1 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin 1 on positiivinen. Kuvaaja kulkee pisteen (0, 1) kautta, koska f(0) = = 1. c) Kuvaaja III. Funktion f(x) = x + 1 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin 1 on negatiivinen. Kuvaaja kulkee pisteen (0, 1) kautta, koska f(0) = = 1. d) Kuvaaja I. Funktion f(x) = 1 x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin 1 on positiivinen. Kuvaaja kulkee pisteiden (, ) ja (, ) kautta, koska f( ) = 1 ( ) = ja f() = 1 =.

6 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f(x) = x b) f(x) = x + x

7 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktion f(x) = 0,5x + 0,5x 1 nollakohdat ovat x = ja x = 1 ja paraabelin huipun koordinaatit ovat ( 0,5; 1,1). b) Funktion f(x) = x + x 1 nollakohta on x = 1 ja paraabelin huipun koordinaatit ovat (1, 0). c) Funktiolla f(x) = x + 3 ei ole nollakohtia ja paraabelin huipun koordinaatit ovat (0, 3).

8 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) 15x (3x 8x + 7) = 15x 3x + 8x 7 = 1x + 8x 7 Toisen asteen termin kerroin on 1. Vakiotermi on 7. b) 6( x) x(x ) = 1 + 6x x + x = x + 8x 1 Toisen asteen termin kerroin on 1. Vakiotermi on 1. c) (3x + 5)(x 4) = 6x 1x + 10x 0 = 6x x 0 Toisen asteen termin kerroin on 6. Vakiotermi on 0. d) ( y + 3)(5 y) = 5y + y y = y 11y + 15 Toisen asteen termin kerroin on. Vakiotermi on 15.

9 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 3x x(1 5x) + 3 = 3x x + 10x + 3 = 10x + x + 3 b) 5(6x +10)(x ) = 5(6x 1x + 10x 0) = 5(6x x 0) = 30x 10x 100 c) z (z 1)(z ) = z (z z z + ) = z (z 3z + ) = z z + 3z = z + 4z d) (x + 3)(x + 4) x(x + 1) = x + 4x + 3x + 1 x x = 6x + 1

10 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) x x 3 x ( x) 3 4 3) ) x x 3 x x 3 4 3x x 3 x x x x 6 4 x x 3 1( ) 3x 4x1 6 1 x x 3x 4x 1 6x 4x3x 4x1 3x 1 c) (x )(3x + 1) = (3x + x 6x ) = (3x 5x ) = 3x + 5x + d) 0,5(x + 3)(x 0,5) = 0,5(x x + 3x 1,5) = 0,5(x + x 1,5) = x + x 0,75

11 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kyllä, väite näyttää pitävän paikkansa.

12 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) c) Kyllä, väite näyttää pitävän paikkansa. Kyllä, väite näyttää pitävän paikkansa.

13 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Vakiotermin c muuttaminen ei vaikuta paraabelin muotoon. Vakiotermi vaikuttaa paraabelin sijaintiin koordinaatistossa y-akselin suunnassa. b) Kun c = 4, funktion nollakohdat ovat x = ja x =.

14 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Kun c > 0, funktio saa positiivisia arvoja.

15 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sijoitetaan arvot x = 1 ja x = 3 funktion f(x) = x x 3 lausekkeeseen. f( 1) = ( 1) ( 1) 3 = = 0 f(3) = = 9 9 = 0 Funktion arvoksi tulee molemmissa tapauksissa nolla, joten x = 1 ja x = 3 ovat funktion f nollakohtia. Väite on tosi. b) Jos piste ( 1, 3) sijaitsee funktion f kuvaajalla, f( 1) = 3. Lasketaan funktion f(x) = x arvo kohdassa x = 1. f( 1) = ( 1) = 1. Saatu arvo ei ole 3, joten piste ei ole funktion f kuvaajalla. Väite on epätosi c) Hahmotellaan funktion f kuvaaja annettujen tietojen perusteella. Koska pienemmän nollakohdan vasemmalla puolella funktio saa negatiivisen arvon, kuvaaja avautuu alaspäin. Väite on tosi.

16 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jos x = 3 on funktion f(x) = ax 4x + 3a nollakohta, niin f( 3) = 0. f( 3) = a ( 3) 4 ( 3) + 3a = 9a a 9a a = 0 1a = 1 a = 1 b) Jos piste (, 1) on funktion kuvaajalla, niin f() = 1. c) f() = a 4 + 3a = 4a 8 + 3a = 7a 8 7a 8 = 1 7a = 7 : 7 a = 1

17 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toisen asteen polynomifunktio on muotoa f(x) = ax + bx + c. Tiedetään, että a = 1 ja c = 3. f(x) = x + bx + 3. f( 3) = ( 3) + b ( 3) + 3 = 9 3b + 3 = 3b + 1 3b + 1 = 6 3b = 6 : ( 3) b = Kysytty toisen asteen polynomifunktio on f(x) = x + x + 3.

18 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Jos toinen luku on x, niin toinen on 6 x. Lukujen tulo on x(6 x) = x + 6x. Piirretään funktion f(x) = x + 6x kuvaaja ja katsotaan kuvaajasta funktion suurin arvo. Lukujen tulon suurin arvo on 9.

19 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan oheisten tietojen avulla kuusikulmion pinta-alan funktio f(x). Pinta-ala muodostuu kahdesta suorakulmiosta, joiden pinta-alat lasketaan yhteen. b) f(x) = (x + 6)(7 x) = 1 + (14x x + 4 6x) = x x + 4 6x = x + 8x + 54 Pinta-ala on 60, kun x = 1 ja x = 3. Pinta-ala on suurin, kun x =. c) Tulokset ovat samat.

20 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 16. a) FitPoly[A,B,C,] b) Funktion lauseke on f(x) = x + 5x. Suurin arvo on 4,5. Pallo käy n. 4 metrin korkeudessa.

21 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Mitä suurempi positiivinen tai pienempi negatiivinen toisen asteen termin kerroin a on, sitä kapeampi kuvaaja on. Mitä lähempänä nollaa a on, sitä leveämpi kuvaaja on. Vakiotermi c kertoo, missä kohdassa kuvaaja leikkaa y-akselin. b) Toisen asteen termin kerroin: suurin f, pienin h. Vakiotermi: suurin f ja pienin g. 18. a) Vakio a vaikuttaa paraabelin leveyteen ja kertoo aukeamissuunnan. Vakion q muuttaminen siirtää kuvaajaa y-akselin suunnassa. Vakion p muuttaminen siirtää kuvaajaa x-akselin suunnassa. Huippu on pisteessä (p, q). b) Paraabelin huippu on pisteessä (1, ), eli p = 1 ja q =. Funktion lauseke on tällöin f(x) = a(x 1) +. Vakiota a ei pystytä annetuilla tiedoilla ratkaisemaan, mutta koska paraabeli on alaspäin aukeava, tulee kertoimen a olla negatiivinen, esimerkiksi 1. Funktion lauseke on esimerkiksi f(x) = (x 1) +.

22 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty f(x) + f(1 x) = 3x 5x + 7 josta f(x) = 3x 5x + 7 f(1 x) Lasketaan lausekkeen arvo, kun x = 1 x, jotta saadaan funktion f(1 x) lauseke ilmoitettua toisella tavalla. f(1 x) + f(1 (1 x)) = 3(1 x) 5(1 x) + 7 f(1 x) + f(x) = 3(1 x + x ) 5 + 5x + 7 f(1 x) + f(x) = 3 6x + 3x 5 + 5x + 7 f(1 x) + f(x) = 3x x + 5 josta f(1 x) = 3x x + 5 f(x). Sijoitetaan saatu f(1 x) aiemmin saatuun funktion f lausekkeeseen. f(x) = 3x 5x + 7 f(1 x) f(x) = 3x 5x + 7 (3x x + 5 f(x)) f(x) = 3x 5x + 7 6x + x f(x) f(x) 4f(x) = 3x 5x + 7 6x + x 10 3f(x) = 3x 3x 3 : ( 3) f(x) = x + x + 1

23 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tulon nollasääntö YDINTEHTÄVÄT 0. a) x(x + 3) = x x + x 3 = x + 6x b) Polynomi voidaan kirjoittaa tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä 3x. 3x 6x = 3x x 3x = 3x(x ) 1. a) Polynomi voidaan kirjoittaa tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä. x + 4 = x + = (x + ) b) Polynomi voidaan kirjoittaa tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä x. x + 4x = x x + x = x(x + ) c) Polynomi voidaan kirjoittaa tulomuodossa erottamalla yhteinen tekijä 3x. 6x 9x = 3x x 3 3x = 3x(x 3)

24 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. 5x(4x 8) = 0 5x = 0 tai 4x 8 = 0 x = 0 4x = 8 : 4 x = x = 0 tai x = b) Ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. (x + 3)(x 4) = 0 x + 3 = 0 tai x 4 = 0 x = 3 x = 4 x = 3 tai x = 4 c) Ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. 0,(x 6)(8x 6) = 0 x 6 = 0 tai 8x 6 = 0 x = 6 : 8x = 6 : x = 3 x 8 4 x = 3 4 tai x = 3

25 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kirjoitetaan summa x + 11x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 11x = 0 x(x + 11) = 0 x = 0 tai x + 11 = 0 x = 11 x = 11 tai x = 0 b) Kirjoitetaan summa 100x + 0x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. 100x + 0x = 0 0x( 5x + 1) = 0 0x = 0 tai 5x + 1 = 0 x = 0 5x = 1 : ( 5) 1 x 5 x = 1 5 tai x = 0 c) Kirjoitetaan summa 7x 3x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. 7x 3x = 0 x(7x 3) = 0 x = 0 tai 7x 3 = 0 3 x 7 x = 0 tai x = 3 7

26 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan funktion f(x) = x(x + ) nollakohdat yhtälöstä tulon nollasäännön avulla. x(x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = 0 tai x = Nollakohdat ovat x = ja x = 0. Oikea kuvaaja on III. b) Ratkaistaan funktion f(x) = x(x ) nollakohdat tulon nollasäännön avulla. x (x ) = 0 x = 0 tai x = 0 x = Nollakohdat ovat x = 0 ja x =. Oikea kuvaaja on II. c) Ratkaistaan funktion f(x) = (x )(x + ) nollakohdat tulon nollasäännön avulla. (x )(x + ) = 0 x = 0 tai x + = 0 x = x = Nollakohdat ovat x = ja x =. Oikea kuvaaja on I.

27 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 5. a) Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa termit ovat vasemmalla puolella tulomuodossa ja oikealla puolella on luku 0. x = 4x x 4x = 0 Kirjoitetaan summa x 4x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x(x 4) = 0 x = 0 tai x 4 = 0 x = 4 x = 0 tai x = 4 b) Ratkaistaan yhtälö. x 4 = 0 x = 4 : x = c) Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa termit ovat vasemmalla puolella ja oikealla puolella on luku 0. x 4 = x 4 x 4 x + 4 = 0 x x = 0 Kirjoitetaan summa x x yhteisen tekijän x avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x(x 1) = 0 x = 0 tai x 1 = 0 x = 1 x = 0 tai x = 1

28 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa termit ovat vasemmalla ja oikealla puolella on luku 0. 5x(x + 0,1) =,5x 5x(x + 0,1) +,5x = 0 5x + 0,5x +,5x = 0 5x + 3x = 0 Kirjoitetaan summa 5x + 3x yhteisen tekijän x avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x(5x + 3) = 0 x = 0 tai 5x + 3 = 0 3 x 0,6 5 x = 0,6 tai x = 0 b) Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa termit ovat vasemmalla puolella ja oikealla puolella on luku 0. (6x1)(3x) (6x1)(3x) (6x1)(3x) 4 (18x 1x3x) 4 : 18x 9x 18x 9x 0 18x 9x0 Kirjoitetaan summa 18x 9x 0 yhteisen tekijän 9x avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. 9 x(x1) 0 9x0 tai x1 0 1 x 0 x x = 1 tai x = 0

29 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Kirjoitetaan yhtälö muotoon, jossa termit ovat vasemmalla puolella oikealla puolella on luku 0. x 3 x x x x 10x3x 5x x 3x 10x5x0 x 15x 0 Kirjoitetaan summa x 15x0 yhteisen tekijän x avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x(x + 15) = 0 x = 0 tai x + 15 = 0 x = 0 x = 15 x = 15 tai x = 0 7. a) Funktion lauseke on esimerkiksi f(x) = (x + )(x 3) = x 3x + x 6 = x x 6. b) Nollakohta on x = 1, tästä saadaan tekijä eli x ( 1) = x + 1. Toinen nollakohta on x = 4, tästä saadaan tekijä x 4. c) Funktion lauseke on esimerkiksi f(x) = (x + 1)(x 4) = x 4x + x 4 = x 3x 4.

30 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälö on esimerkiksi x 3 = 0. b) Ratkaisu on x =, jolloin lausekkeella on tekijä x. Toinen ratkaisu on x = 5, tästä saadaan toinen tekijä x ( 5) = x + 5. Yhtälö on esimerkiksi (x )(x + 5) = a) Nollakohta on x = 3, jolloin tekijä on x ( 3) = x + 3. Ensimmäisen asteen funktio on esimerkiksi f(x) = x + 3. b) Nollakohta on x = 3, jolloin tekijä on x ( 3) = x + 3. Tämän täytyy olla kaksinkertainen tekijä, koska muita nollakohtia ei ole ja kyseessä on toisen asteen polynomifunktio. Toisen asteen polynomifunktio on esimerkiksi f(x) = (x + 3)(x + 3) = x + 3x + 3x + 9 = x + 6x + 9. c)

31 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) f(x) = 3(x 1)(x 7). Lasketaan funktion nollakohdat tulon nollasäännön avulla. 3(x 1)(x 7) = 0 x 1 = 0 tai x 7 = 0 x = 1 x = 7 Funktion lauseke on sievennettynä f(x) = 3(x 1)(x 7) = 3(x 7x x + 7) = 3(x 8x + 7) = 3x 4x + 1 Koska toisen asteen termin kerroin 3 on positiivinen, on kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli. b) Funktion arvo on negatiivinen, kun kuvaaja on x-akselin alapuolella, eli välillä 1 < x < 7.

32 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x 3x kerrotaan ristiin, x 1, 1 x1 x1 x(x1) 3 x( x1) x x3x 3x x 3x x3x0 x x0 xx ( ) 0 x0taix0 x0 x x = tai x = 0 b) x x kerrotaan ristiin, x 1, x 1 1x 1x x(1 x) x(1 x) xx xx x x xx0 3x x0 x(3x1) 0 x0tai 3x10 x0 x 1 3 x = 0 tai x = 1 3 c) x x kerrotaan ristiin, x1, x0 x1 x xx( x1)( x) x x x x x x 3x0 x x 3x 3x :( 3) x 3

33 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan paraabelin y = 3x 4x + 1 ja suoran y = 1 6x leikkauskohdat. Leikkauskohdassa y-koordinaatit ovat yhtä suuret. 3x 4x + 1 = 1 6x 3x 4x + 6x = 0 3x + x = 0 x(3x + ) = 0 x = 0 tai 3x + = 0 x 3 Leikkauskohdat ovat x = ja x = 0. 3

34 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Merkitään hinnanalennusten lukumäärää x:llä. Kun pääsylipun hinta on 9, myydään lippuja 100 kappaletta. Jokainen yhden euron hinnanalennus lisää myytyjen lippujen lukumäärää 0 lipulla. Kun hintaa alennetaan x euroa, on lipun hinta 9 x euroa. Tällöin myytyjen lippujen lukumäärä on x. Lipputuloja kuvaavan funktion lauseke saadaan kun myytyjen lippujen määrä kerrotaan yhden lipun hinnalla. f(x) = (9 x)( x) = x 100 x 0x = 0x + 80x b) Merkitään lipputulot yhtä suureksi kuin 900. c) 0x + 80x = 900 0x + 80x = 0 0x(x 4) = 0 0x = 0 tai x 4 = 0 x = 0 x = 4 Lipputulot ovat 900 euroa, kun lipun hinta on 9 0 = 9 tai 9 4 = 5. Lipputulot ovat mahdollisimman suuret paraabelin huipun kohdalla. Kun hinnanalennus on eli lipun hinta on 7, ovat lipputulot mahdollisimman suuret.

35 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 34. a) Lasketaan kuvaajan y = x 8x nollakohdat. Huippu sijaitsee nollakohtien puolivälissä. x 8x = 0 x(x 8) = 0 x = 0 tai x 8 = 0 x = 8 Nollakohdat ovat x = 0 ja x = Nollakohtien puoliväli on x 4. Lasketaan huipun y-koordinaatin arvo. y = = 16 3 = 16. Huipun koordinaatit ovat (4, 16). b) Lauseke eroaa a-kohdan lausekkeesta vain vakiotermin +7 verran. Paraabelit ovat samanmuotoiset, vain niiden sijainti pystysuunnassa on eri. Myös paraabelin y = x 8x + 7 huippu on kohdassa x = 4. Tällöin y = = 9.

36 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huipun koordinaatit ovat (4, 9). 35. Paraabelilla on kuvan perusteella nollakohdat x = 3 ja x = 3. Paraabelin yhtälö on muotoa y = a(x ( 3)) (x 3) = a(x + 3) (x 3). Sijoitetaan huipun piste (0, 4) paraabelin yhtälöön. 4 = a(0 + 3)(0 3) 4 = a ( 9) : ( 9) a = 4 9 Paraabelin yhtälö on y 4 x3 x 3 4 ( x 9) 4 x Korkeus metrin etäisyydellä reunasta eli silloin kun x = saadaan sijoittamalla x = paraabelin yhtälöön. 9) y 4,, Vallin korkeus metrin etäisyydellä reunasta on, metriä.

37 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 tai ax + b = 0 ax = b b x a Toinen ratkaisu on x = 0 riippumatta kertoimista a ja b. b Toinen ratkaisu on x. a b) Päätellään yhtälön 3x + 6x = 0 ratkaisut hyödyntäen a-kohdan tulosta. b x = 0 tai x a 6 x = 0 tai x 3 Yhtälön ratkaisut ovat x = ja x = a) Tulo f(x) g(x) on nolla silloin, jos jompikumpi tulon tekijöistä on nolla. Tulo on nolla, kun x = 1, x = tai x = 3. Yhtälön f(x) g(x) = 0 ratkaisu on x = 1, x = tai x = 3. b) Tulo f(x) g(x) on positiivinene silloin, kun molempien funktioiden arvo on joko positiivinen tai negatiivinen. Funktio g(x) saa positiivisia arvoja, kun x > 1. Funktio f(x) saa positiivisia arvoja, kun x > 0 eli x >. Funktioiden tulo on positiivinen, kun x > 1 ja x > eli kun x >. Funktio g(x) saa negatiivisia arvoja, kun x < 1. Funktio f(x) saa negatiivisia arvoja, kun x < 0 eli x <. Funktioiden tulo on positiivinen, kun x < 1 ja x < eli kun x < 1. Epäyhtälön f(x) g(x) > 0 ratkaisu on x < 1 tai x >.

38 .3 Neliöjuuri YDINTEHTÄVÄT Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 49 7, koska 7 = 49. b) , koska 5 = 5. c) , koska 3 = 9 ja 4 = 16. d) 1 1, koska 1 = 1. e) 0 0, koska 0 = a) Yhtälön ratkaisuja ovat ne luvut, joiden toinen potenssi on 6. x = 6 x = 6 tai x = 6 x,449 tai x,449 b) Sijoitetaan luvut x =,449 ja x =,449 yhtälöön x = 6. (,449) = 6,45001,449 = 6,45001 Kumpikaan luku ei ole yhtälön tarkka ratkaisu 6. Luvut ovat kuitenkin yhtälön ratkaisujen kolmidesimaaliset likiarvot. 40. a) Luvulla 16 ei ole neliöjuurta. Ei ole olemassa sellaista reaalilukua, jonka toinen potenssi olisi negatiivinen. b) 16 4, sillä luku 4 korotettuna toiseen potenssiin on 16. c) Luku 5 on luvun 5 neliöjuuri, koska 5 = 5. d) Luku 4 ei ole minkään luvun neliöjuuri, sillä neliöjuuri on aina einegatiivinen luku.

39 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälön x = ratkaisujen likiarvot ovat x 1,4 tai x 1,4. b) Appletin avulla saadaan 5,. 4. a) b) c) d) x 100 x 100 tai x 100 x10 tai x 10 x 5 0 x 5 x 5 tai x 5 x5 x5 3x 1 0 3x 1 :3 x 4 x 4 tai x 4 x x x 13 0 x 13 : ( 1) x 13 x 13 tai x 13

40 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) d) a) b) ( x 3) 5 x3 5 tai x3 5 x3 5 x35 x x 8 ( x 5) 9 x5 9 tai x5 9 x5 3 x5 3 x x 8

41 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 45. a) 9x 4 :9 x 4 9 x 4 tai x x x 3 3 b) c) 100 x 4 0 x 100x 4 :100 1 x x 1 5 x 1 tai x x 1 x x = 9 5 x = 16 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä lausekkeen x arvo ei voi koskaan olla negatiivinen.

42 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) e) f) x x 80 : x 40 x 40 tai x 40 x 410 x 410 x 10 x x 100x x 100x0 xx ( 100) 0 x0taix1000 x0 x100 3 x 0 3 x 3 : 3 3 x 3 3 x 9 4 x 9 tai x x 3 x 3

43 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) d) e) f) g) h) a) Lasketaan nollakohdat merkitsemällä f(x) = 0. x 40 x 4 :( 1) x 4 x tai x Huipun x-koordinaatti on näiden lukujen keskiarvo ( ) 0 0. Sijoitetaan huipun x-koordinaatti funktion lausekkeeseen, jolloin saadaan huipun y-koordinaatti selville. f(x) = x + 4 f(0) = = 4 Huipun koordinaatit ovat (0, 4). Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin on negatiivinen.

44 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Lasketaan nollakohdat merkitsemällä f(x) = 0. x 4 x 0 xx ( 4) 0 x0 tai x4 0 x0 tai x 4 Huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä eli 0 4 x. Sijoitetaan huipun x-koordinaatti funktion lausekkeeseen, jolloin saadaan huipun y-koordinaatti selville. y = f() = 4 = 8 = 4 Huipun koordinaatit ovat (, 4).

45 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) T l g Sijoitetaan pituus l = 0,5 m ja putoamiskiihtyvyys g = 9,81 m/s heilahdusajan lausekkeeseen. 0,5m T 1,4185s1,4s m 9,81 s Heilahdusaika on 1,4 sekuntia. b) T l g Sijoitetaan l = 1,3 m ja putoamiskiihtyvyys g = 9,81 m/s heilahdusajan lausekkeeseen. 1,3 m T,87s,3s m 9,81 s Heilahdusaika on,3 sekuntia. 49. a) Luku 7 on luvun 49 neliöjuuri, sillä 7 = 49. b) Luku 6 on luvun 6 neliöjuuri, sillä ( 6) = 6. c) Luku 5 on luvun 0 neliöjuuri, sillä ( 5) ( 5) 45 0.

46 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) ( 4 ) ( 3 4 3) a) Lasketaan funktion f(x) = 3x x + 1 arvo sijoittamalla 3 muuttujan x paikalle. f ( 3) 3 ( 3) ( 3) b) Ratkaistaan yhtälö f(x) = 1. 3 x x11 3 x x110 3 x x 0 x(3x) 0 x 0 tai 3x 0 x 0 x 3 Funktio saa arvon 1 muuttujan arvoilla x = 0 ja x =. 3

47 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) 4 x 1 4x 3 :4 3 x x tai x x x ( x 1) x1 tai x1 x1 x1 16x x 75 :16 75 x 16 x tai x x x x x 4 4

48 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) 1 1 ) ) 1 ( 1) ) ) a) Luvut ovat toistensa käänteislukuja, jos lukujen tulo on ( 15) Luvut ovat toistensa käänteislukuja. b) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on 0. 6 ) ( ) Luvut ovat toistensa vastalukuja.

49 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan käyrien y = 0,4x ja y = 0,15 leikkauskohdat. 0, 4x 0,15 : 0, 4 0,15 x 0,4 0,15 0,15 x 0, tai x 0, ,4 0,4 Pylonit ovat kuvaan piirretyn y-akselin molemmin puolin, yhtä etäällä y- akselista. Pylonien välinen etäisyys on 0,15 x 1, , 0,4. Pylonit ovat 1, kilometrin etäisyydellä toisistaan. 56. a) x + 1 = c x = c 1 Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, jos c 1 on negatiivinen eli c 1 < 0, josta c < 1. b) Yhtälöllä on yksi ratkaisu kun c 1 = 0, eli c = 1. c) c < 1 c = 1

50 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) 5 x kerrotaan ristiin, x 0 x 0 x x x 100 tai x 100 x10 x10 x 3 6 x kerrotaan ristiin, x 0 xx63 x 18 : x 9 x3 tai x 3 x 1 1 kerrotaan ristiin, x 0, x 6 x 6 x xx ( 1) 1 ( x6) x x x6 x 6 x 6 tai x 6

51 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) d) e) 3 ( 7) ( 7) ( 3) ( 3) ( 3) f) 5 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) a 59. Osamäärä 0 b, kun a 0 ja b 0, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan a 0 ja b 0. a ( a) a a Lisäksi b, joten luku toteuttaa neliöjuuren ( b) b b molemmat ehdot ja on näin ollen luvun a b neliöjuuri, eli. a a b b

52 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 60. a) Luvun 7 neliö on ( 7) = 49. Luvun 49 neliöjuuri on 7. Luku 7 ei ole neliönsä neliöjuuri. Väite on epätosi. b) Neliöjuuri on määritelty vain ei-negatiivisille luvuille a 0. Luvun a neliöjuuren neliö ( a) a on luku a itse. Väite on tosi. 61. a) 7 3 Luku on 4 ja luku 3 on 9. Voidaan kirjoittaa Epäyhtälö on tosi. b) Sievennetään ensin juurilausekkeet epäyhtälöstä 3 3 ( ) 8 ( 3) 3 9 Näin ollen 8 < 9, joten epäyhtälö on tosi. 3 ( ) ( 3).

53 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 3, 7, 8 Luku 3 on b) Luku 7 on lukujen 4 ja 9 3 välissä. 7 = F. Luvussa 1 = D. 1 jakaja on lukua 1 suurempi. Tällöin 0 < 1 < 1. Luku 5 on lukujen ja 3 välissä, sillä 4 ja = B 10 on lukujen 3 ja 4 välissä, sillä 9 3 ja = A 63. a) Minkään luvun neliöjuuri ei voi olla negatiivinen. Luku eli negatiivinen. b) Koska luku eli positiivinen, tämä luku on jonkin luvun neliöjuuri. 64. a) b) c) d) 4a 4 a a, a 0. 4 a a a a a aa a, a > a a ( a ) a, a > a a a b b b, a > 0 ja b > 0.

54 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) A1-arkin korkeus on edellisen A0-paperin leveys eli x. y A1-arkin leveys on A0-arkin pituuden puolikas eli. b) Korkeuden ja leveyden suhde on vakio. Lasketaan korkeuden ja leveyden suhde A1 ja A0 arkeista ja merkitään ne yhtäsuuriksi. y x kerrotaan ristiin x y y y x y x : x ( x0) y x y ( ) x y y tai x x Suhteen tulee olla positiivinen. Korkeuden ja leveyden suhde on.

55 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Tiedetään, että A0-arkin pinta-ala on 1 m. Lasketaan arkin pinta-ala, y = korkeus ja x = leveys. y Koska korkeuden ja leveyden suhde on x x A0: x y 1 x x1 x 1 : 1 x x 1 1 tai x 0 x 0, mm y 1 1, mm Seuraavan arkin korkeus on edellisen arkin leveys ja korkeus saadaan jakamalla korkeus luvulla. Paperin A0 korkeus on 1189 mm ja leveys on 841 mm. Paperin A1 korkeus on 841 mm ja leveys on 840,89... mm 595 mm. Paperin A korkeus on 595 mm ja leveys on 40 mm. Paperin A3 korkeus 40 mm ja leveys on 97 mm. Paperin A4 korkeus 97 mm ja leveys on 10 mm.

56 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lukujen ja 6 aritmeettinen keskiarvo on 6 4. Lukujen ja 6 geometrinen keskiarvo on b) Kuvion perusteella ison neliön yhteispinta-ala on (a + b). Neliön sisällä olevien suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on 4ab. Suorakulmioiden pinta-ala yhteensä on enintään niin suuri kuin neliön pinta-ala, eli ( ab) 4ab. Tästä seuraa, että (kun molemmat puolet ovat positiivisia) ab ab : a b ab eli a b ab. c) Olkoon positiiviset luvut a ja b, joista a < b. a Pienemmän suhde geometriseen keskiarvoon on. ab Sievennetään lauseketta ab ) a a ab a ab ab ab ( ab) ab b. Väite on tosi.

57 .4 Muistikaavat YDINTEHTÄVÄT Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska sulkeissa on termien x ja 3 summa, käytetään kaavaa (a + b) = a + ab + b. x 3 x x33 x 6x 9 a x b 3 b) Koska sulkeissa on termien x ja erotus, käytetään kaavaa (a b) = a ab + b. a x x x x b x 4x 4 c) Koska sulkeissa on termien x ja 5 summa, käytetään kaavaa (a + b) = a + ab + b. a x x 5 x x55 b 5 x 10x 5 d) Koska sulkeissa on termien 7 ja x erotus, käytetään kaavaa (a b) = a ab + b. a 7 7 x 7 x7 x b x 49 14x x x 14x49

58 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska sulkeissa on termien 3x ja summa, käytetään kaavaa (a + b) = a + ab + b. 3x x 3 (3 ) 3x 9x 1x 4 a x b b) Koska sulkeissa on termien x ja 5 erotus, käytetään kaavaa (a b) = a ab + b. a x x 5 ( x) x5 5 b 5 4x 0x 5 c) Koska sulkeissa on termien 7x ja 1 summa, käytetään kaavaa (a + b) = a + ab + b. a 7x 7x 1 (7 x) 7x11 b 1 49x 14x 1 d) Koska sulkeissa on termien 6 ja x erotus, käytetään kaavaa (a b) = a ab + b. a 6 6 x 6 6 x( x) b x 36 4x4x 4x 4x36

59 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) x + 0x = x + x = (x + 10) b) x + 1x + 36 = x + x = (x + 6) c) x + 14x + 49 = x + x = (x + 7) d) x 6x + 9 = x x = (x 3) 70. a) x + 4x + 4 = x + x + = (x + ) b) x 16x + 64 = x x = (x 8) c) x + 18x + 81 = x + x = (x + 9) 71. a) (x + 3)(x 3) = x 3 =x 9 b) (x + 7)(x 7) = x 7 = x 49 c) (x + 1)(x 1) = x 1 = x 1

60 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) x1 x 1 ( x) 1 4x 1 (3 x ) 3 x (3 x) 9 x 4 5x 45x 4 (5 x) 4 = 5x a) x 36 = x 6 = (x + 6)(x 6) b) x 16 = x 4 = (x + 4)(x 4) c) 4x 9 = (x) 3 = (x + 3)(x 3) 74. a) x 49 = x 7 = (x + 7)(x 7) b) x 100 = x 10 = (x + 10)(x 10) c) 9x 5 = (3x) 5 = (3x + 5)(3x 5)

61 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 75. a) Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f(x) = 0. x x 4x 4 0 x 0 ( x ) 0 x 0 x b) Funktio saa arvon 1, kun yhtälö f(x) = 1 toteutuu. x 4x 4 1 ( x ) 1 x1 tai x1 x 3 x 1 Funktio saa arvon 4, kun yhtälö f(x) = 4 toteutuu. x 4x 4 4 ( x ) 4 x taix x 4 x 0 c)

62 76. a) 5 xx 5 5 x5 x 5 x 5 x Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) 3 y 3 3 y( y) 91y4y 4y 1y9 c) z99 z 9 z9z 9 z 81 z z 81 d) 3 x 3 3x x 9 6x x x 6x9 e) 3 z 3z ( 3z) 9z 4 f) 5y 1 (5 y) 5y11 5y 10y1

63 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) (x 1) = x x = x x + 1 b) ( x + 1) = ( x) + ( x) = x x + 1 c) ( x 1) = ( x) ( x) = x + x + 1 d) (9 5x) = 9 9 5x + (5x) = 81 90x + 5x = 5x 90x + 81 e) (0,1x 10)(0,1x + 10) = (0,1x) 10 = 0,01x 100 f) (0,5x 1) = (0,5x) 0,5x = 0,5x x a) b) c) 1 1 ( y )( y ) 1 y ( ) 1 y 4 (3 y ) 3 (3 y) 3 y ( ) y 4y (3 y )(3 y ) (3 y) ( ) 3 1 9y 9

64 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) II b) I c) III d) III e) II f) I 80. a) (x + 5)(x 5) = 0 (x) 5 = 0 4x 5 :4 x 5 4 x 5 tai x x 5 x 5 b) ( x3 ) x 3 16 x 3 16 x x x 5 5 tai x 5 5

65 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) (x + ) = (x 4)(x + 4) x + x + = x 4 x + 4x + 4 = x 16 4x = x = 0 : 4 x = 5 b) (x + 5) (x ) = 0 x + 10x + 5 (x 4x + 4) = 0 x + 10x + 5 x + 4x 4 = 0 14x + 1 = 0 14x = 1 : 14 (7 1 3 x a) 4x 4x + 36 = 0 : 4 x 6x + 9 = 5 (x 3) = 5 x 3 5 tai x 3 5 x3 5 x3 5 b) x 1x + 36 = 1 (x 6) = 1 Minkään luvun toinen potenssi ei voi olla negatiivinen. Yhtälöllä ei ole ratkaisua.

66 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan arvo x = 1. (1 + ) + (1 + )(1 ) + 1 = ( 1) + 1 = = = 7 Molemmilla polynomeilla on sama arvo, kun x = 1. Sijoitetaan arvo x = 1. (( 1) + ) + (( 1) + )(( 1) ) + 1 = ( 3) + 1 = 1 ( 1) + 4 ( 1) + = = 1 Molemmilla polynomeilla on sama arvo, kun x = 1. Jos polynomit ovat samat, menetelmä antaa vain suuntaa antavan tuloksen, koska polynomin arvoa kaikilla mahdollisilla muuttujan arvoilla ei voida laskea. Yksittäiset samat arvot eivät takaa, että kaikki arvot ovat samat. Menetelmällä saisi selville, jos polynomit eivät ole samat. Tällöin polynomeilla olisi jollakin muuttujan x arvolla eri arvot. 84. a) x x1 kerrotaan ristiin, x1, x0 x1 x x ( x1) x x x1 x 1 :( ) 1 x Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon. b) x x kerrotaan ristiin, x1, x x x1 xx ( 1) ( x)( x) x x x 4 x 4 Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon.

67 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Luku 3 on positiivinen luku ja 3 = 9. b) Luku 1 3 on positiivinen luku. Korotetaan se toiseen potenssiin. (1 3) 1 3 ( 3) Luku 1 3 on luvun 4 3 neliöjuuri. c) Negatiivinen luku ei ole minkään luvun neliöjuuri. 86. a) Luvut ovat toistensa käänteislukuja, jos niiden tulo on (1 )(1 ) 1 ( ) 1 1 Väite on epätosi. b) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on Väite on epätosi.

68 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) (x + 5)(x 5) (x 4) 1 x 5 (x 8x + 16) 1 x 5 x + 8x x 4 0 8x 4 : 8 ( x b) Funktion arvo on positiivinen, kun epäyhtälö f(x) > 0 toteutuu. (x 3) (x 3) > 0 0 > 0 Epätosi, joten epäyhtälö ei toteudu millään x:n arvolla. 88. a) 9 = 3 = (1 + ) 16 = 4 = ( + ) 5 = 5 = (3 + ) 36 = 6 = (4 + ) 49 = 7 = (5 + ) Funktion lauseke on f(x) = (x + ). Ratkaistaan yhtälö. (x + ) = x + = 100 tai x + = 100 x = 98 tai x = 10 b) 4 = = (1 3) 1 = 1 = ( 3) 0 = 0 = (3 3) 1 = 1 = (4 3) Funktion lauseke on (x 3) tai ( x + 3) = (3 x). Ratkaistaan yhtälö. (x 3) = x 3 = 100 tai x 3 = 100 x = 103 tai x = 97

69 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kolme peräkkäistä kokonaislukua ovat n 1, n ja n + 1, n Z. Pitää näyttää, että (n 1)(n + 1) < n. (n 1)(n + 1) = n 1 < n, kun n on kokonaisluku. 90. a) 101 = ( ) = = = b) 99 = (100 1) = = = c) = ( )(100 1) = = = d) 5 15 = (0 + 5)(0 5) = 0 5 = = ) (1 )(1 )

70 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ) ( 3)( 3) ) ( 3 )( 3 ) 3 ( 3) ( )

71 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 9. a) Kuvaan on piirretty funktiot g(x) = (x + ), jonka huippu on kohdassa x =, f(x) = (x + 1), jonka huippu on kohdassa x = 1, h(x) = (x 1), jonka huippu on kohdassa x = 1, p(x) = (x 3), jonka huippu on kohdassa x = 3. Huippu näyttää olevan kohdassa, joka on sulkulausekkeessa olevan vakiotermin vastaluku. Funktion f(x) = (x + a) = x + ax + a kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Ylöspäin aukeavan paraabelin huippu on kuvaajan alin kohta, eli huippu on kohdassa, jossa funktio saa pienimmän arvonsa. Neliöjuurilauseke (x + a) on aina ei-negatiivinen. Lausekkeen arvo on pienin, kun x + a = 0, eli x a. Huippu on siten kohdassa x a. b) Päätellään huipun koordinaatit a-kohdan perusteella. x + 14x + 49 = 0 (x + 7) = 0 x + 7 = 0 x = 7 Huippu on pisteessä ( 7, 0). x 8x + 16 = 0 (x 4) = 0 x 4 = 0 x = 4 Huippu on pisteessä (4, 0).

72 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Jos huippu olisi pisteessä (5, 0), funktio olisi muotoa g(x) = (x 5) Huippu on pisteessä (5, ) eli funktion f(x) = (x 5) kuvaajaa pitää siirtää pystysuunnassa kaksi yksikköä ylöspäin. Funktion lauseke on tällöin f(x) = (x 5) a) Jos luku 3on luvun 5 6 neliöjuuri, tulee luvun 3 positiivinen ja ( 3) 5 6. olla ( 3) ( ) 3 ( 3) ja 3> 0. Näin ollen 3on luvun 5 6neliöjuuri. b) ( 5) Luku on luvun 5 neliö. Luku 5 ei ole luvun neliöjuuri, sillä , eikä minkään luvun neliöjuuri voi olla negatiivinen.

73 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Vasemmanpuoleisen neliön pinta-ala on (a + b) (a + b) = (a + b). Lasketaan yhteen neljän osan pinta-alat. a + ba + ab + b = a + ab + b Koska kyseessä on sama kuvio, ovat pinta-alat yhtä suuret, joten kaava (a + b) = a + ab + b pitää paikkansa. Oikeanpuoleisen neliön pinta-ala on a. Sisällä olevan isomman neliön sivun pituus on a b. Tämän neliön pinta-ala on (a b). Sisällä olevan pienemmän neliön sivun pituus on b. Tämän neliön pinta-ala on b. Sisällä olevan isomman neliön pinta-ala voidaan laskea niin, että vähennetään isoimmasta neliöstä kolmen muun alueen pinta-alat. (a b) = a b b(a b) (a b) = a b ab + b (a b) = a ab + b Kaava (a b) = a ab + b pitää paikkansa.

74 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Alkuperäisen neliön pinta-ala on a. Poistetun neliön pinta-ala on b. Kuvion pinta-ala on a b. a b = (a b) + (a b) b + (a b) b = (a b) + (a b) b = (a b)(a b + b) = (a b)(a + b) Kaava a b = (a + b)(a b) pitää paikkansa. c) a-kohdassa a > 0 ja b > 0. Vasemmanpuoleisessa kuvassa ei ole ehtoja suuruusjärjestykselle. Oikeanpuoleisessa kuvassa a > b. b-kohdassa a > 0 ja b > 0 ja a > b. 95. a) Lukujono 1, 4, 9, 16, 5, Lasketaan peräkkäisten jäsenten erotuksia: 4 1 = = = = 9 Erotuksista näyttää muodostuvan parittomien kokonaislukujen muodostama lukujono, missä ensimmäinen jäsen on 3. b) a n = n ja a n + 1 = (n + 1) a n + 1 a n = (n + 1) n = n + n + 1 n = n + 1 Luku n on parillinen kaikilla kokonaisluvuilla n. Kun parilliseen lukuun n lisätään luku 1, saadaan pariton luku. Kun n saa kaikki positiiviset kokonaislukuarvot, ovat lukujonon jäsenet parittomia kokonaislukuja alkaen luvusta 3.

75 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tutkitaan väitettä luvuilla 1 ja = 4 = Tutkitaan väitettä luvuilla ja = 9 = 3 Väite näyttää pitävän paikkansa. b) Merkitään toista kokonaislukua kirjaimella n. Koska lukujen erotus on, on toinen luku n +. n(n + ) + 1 = n + n + 1 = (n + 1) Luku n + 1 on kokonaisluku, joten väite pitää paikkana. 97. a) Funktiolla ei ole yhtään nollakohtaa. Funktion lauseke on f(x) = (x ) + 1. Lausekkeesta nähdään, että lausekkeen alkuosa (x ) 0 ja kun siihen lisätään positiivinen luku 1, koko lauseke on positiivinen. b) Lausekkeen (x + 1) pienin arvo on 0, kun x = 1. Lausekkeen (x + 1) pienin arvo on. Funktion pienin arvo on. Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Koska funktion pienin arvo on negatiivinen, nollakohtia on kaksi kappaletta.

76 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Muutetaan funktion lauseke sellaiseen muotoon, että pienin arvo voidaan päätellä. f(x) = x + 10x + 6 = x + x = (x + 5) + 1 Lausekkeen (x + 5) pienin arvo on 0, joten lausekkeen (x + 5) + 1 pienin arvo on 1. Jälkimmäinen funktion lauseke muutetaan samalla tavalla kuin edellinen funktion lauseke. f(x) = x 6x + 7 = x x = (x + 3). Tästä nähdään, että pienin arvo on. d) Käyrä y = (x + ) 1 on ylöspäin aukeava paraabeli. Käyrän y-koordinaatin pienin arvo on 1, kun x + = 0, eli kohdassa x =. Paraabelin huippu on siis pisteessä (, 1). Lasketaan kuvaajan nollakohdat. (x + ) 1 = 0 (x + ) = 1 x + = 1 tai x + = 1 x = 1 x = 3 Käyrä y = (x 3) on alaspäin aukeava paraabeli. Käyrän y-koordinaatin suurin arvo on 0, kun x 3 = 0, eli x = 3. Paraabelin huippu on pisteessä (3, 0). Nollakohta on x = 3. Lasketaan kaksi pistettä ja hahmotellaan kuvaaja. Merkitään y = (x 3) = f(x). f(1) = (1 3) = 4 ja f(5) = (1 5) = 4.

77 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ensimmäisessä kuviossa on 1 piste, toisessa = 4 = pistettä, kolmannessa = 9 = 3 pistettä, neljännessä = 16 = 4 pistettä ja viidennessä kuviossa on = 5 = 5 pistettä. Pisteiden lisäykset 1, 3, 5, 7, ja 9 muodostavat aritmeettisen lukujonon. Pisteiden lukumäärä on aritmeettinen summa, jossa a 1 = 1, a 5 = 9 ja n = 5. a1 an Sn n 1 9 S n. kuviossa on pisteitä (n 1) kappaletta, joka on n:n ensimmäisen parittoman luonnollisen luvun summa. Lasketaan aritmeettinen summa, jossa ensimmäinen jäsen on a 1 = 1 ja n. jäsen a n = n 1 ja lukuja on n kappaletta. a1 an Sn n 1n1 n Sn n n n b) Erotus 5 16 = 5 4 on viidennen ja neljännen neliöluvun erotus, joka on yhtä suuri kuin neljänteen kuvioon tehtävä pisteiden lisäys = = = 19 = n (n 1) = n (n n + 1) = n n + n 1 = n 1 = n + (n 1).

78 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Kolmioluvut ovat 1, 3, 6, 10, Lasketaan kahden peräkkäisen luvun summa = 4 = = 9 = 3 Lasketaan kahden peräkkäisen luvun 6 ja 10 summa = 16 = 4 Kolmioluvuissa seuraava jäsen saadaan, kun järjestyslukuun lisätään edellinen kolmioluku. a 1 = 1 a = + 1 = 3 a 3 = = = 6 a 4 = = = 10 jne. a n = n + a n 1 = n + (n 1) + a n = n + (n 1) + (n ) Kolmiolukujen jonon n. jäsen on aritmeettinen summa, jossa ensimmäinen jäsen b 1 = 1 ja n. jäsen on b n = n. Peräkkäisten jäsenten erotus on 1. a1 an 1n nn an Sn n n. Jonon (n 1). jäsen on 1 ( n1) n n n an1 Sn1 ( n1) ( n1) Kahden peräkkäisen jäsenen summa on nn n n nn n n n an an1 n. Summa on neliöluku.

79 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Geometrisesti: kuvio 1 + kuvio Kuviossa 1 on yksi ympyrä. Kuviossa on kolme ympyrää. Syntyneessä kuviossa on = = 4 ympyrää. kuvio + kuvio 3 Ympyröitä 3 3 = 3 = 9 kpl kuvio 3 + kuvio 4 Ympyröitä 4 4 = 4 = 16 Jokaisessa kolmioluvussa on kolmion sivulla yhtä monta ympyrää kuin kuvion järjestysluku. Kun n. kuvioon lisätään edellinen, eli n 1. kuvio, saadaan suunnikas, jossa on n n = n ympyrää.

80 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 3) 3 ( 3)( 3) Nimittäjä 3 on positiivinen ja arvoltaan suurempi kuin 1. Kun luku 1 jaetaan itseään suuremmalla luvulla, on tulos lukua 1 pienempi eli 0 1 1, joten b) Molemmat luvut 3 ja 3 ovat positiivisia. Positiivisilla luvuilla suuremmalla kantaluvulla myös toisen potenssin arvo on suurempi. Korotetaan molemmat luvut toiseen potenssiin. 3 3 ja 3 3 Lasketaan saatujen lukujen erotus 3 ( 3) ( 3) Erotus 3 on a-kohdan perusteella suurempi kuin 1, joten 1 ( 3) 0. Koska lukujen erotus on positiivinen, on luku 3 suurempi kuin 3 ja siten myös sen neliöjuuri 3 on suurempi kuin 3.

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot