1. Tunti Tavoitteet: kerrata ja syventää kulmakertoimen merkitys jyrkkyyden mittarina, kerrataan kaava

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. Tunti Tavoitteet: kerrata ja syventää kulmakertoimen merkitys jyrkkyyden mittarina, kerrataan kaava"

Transkriptio

1 Jaksosuunnitelma Lea Linna, Päivi Tomperi, Dimitri Tuomela ja Hannu Mäkiö Tässä jaksosuunnitelmassa on pyritty luomaan tutkivan oppimisen paketti lukion kurssille MAA4, analyyttinen geometria. Aiheina ovar suora, ympyrä ja paraabeli. Opiskelijat työskentelevät 2 4 hengen ryhmissä. Jokaisella ryhmällä tulisi olla käytössään ainakin yksi tietokone, jossa on geogebra asennettuna ja nettiyhteys. Pienillä muutoksilla suurin osa tehtävistä soveltuu myös symbolisella laskimella tehtäväksi. Tehtävä opiskelijoille: Koostakaa jostakin aiheesta (suora, ympyrä, paraabeli) posteri johon kirjoitatte: mitä tiesitte aiheesta ennen kurssia, mitä uutta opitte, miten käsite liittyy käytännön elämään esim arkkitehtuuriin. Miten työnne on edennyt? Kirjatkaa mahdollisimman paljon ajatteluanne paperille. Ei sen aina aluksi tarvitse olla oikein ja hiottua. Ottakaa kuvia vihkotyöskentelystänne kuvia, geogebralla tuotettuja kuvia GG ja laittakaa ne nettiin ryhmänne palstalle. Kommentoikaa lyhyesti niitä, mikä ajatus kantoi? Missä mentiin umpikujaan. Arviointiin vaikuttaa posteri, työn dokumentointi ja itsearviointi. SUORA 1. Tunti Tavoitteet: kerrata ja syventää kulmakertoimen merkitys jyrkkyyden mittarina, kerrataan kaava k = Δ y/δx osaa laskea kulmakertoimen apukolmion avulla osaa laskea kulmakertoimen kahden pisteen avulla suoran yhtälö y = ax + b; kertoimien a ja b merkitys TEHTÄVÄT Kirjaa vastaukset perusteluineen ja pohdintoineen ja johtopäätöksineen. 1. Tutkitaan suoran jyrkkyyttä. Avaa sovellus a. Miten apukolmion (portaiden) etenemä Δ x vaikuttaa suoran jyrkkyyteen? b. Miten apukolmion (portaiden) nousu Δ y vaikuttaa suoran jyrkkyyteen? c. Pidä jyrkkyys vakiona ja muuttele apukolmion (portaiden) muotoa. Tutki, miten Δx ja Δ y muuttuvat. Onko niillä jokin yhteys? Miksi? d. Pohdi ja perustele edellisten havaintojesi pohjalta, mikä seuraavista Δx Δy kuvaa suoran jyrkkyyttä: a) Δx b) Δy c) d). Δy Δx 1

2 2. Pohdi, miten muuten voitaisiin mitata suoran jyrkkyyttä kuin nk. kulmakertoimella k = Δy/Δx? 3. Rakennusalalla katon kaltevuutta kuvataan nousun suhteella etenemään (nk. kattokaltevuus). Tutki, miten kattokaltevuus ja kulmakerroin ja suuntakulma liittyvät toisiinsa. 4. Piirrä suora pisteiden A(1,2) ja B(3,6) kautta. Valitse suoralta lisäksi yksi muu piste C. Laske kulmakertoimet ja. k AB k AC Pisteet A(1,2) ja B(3,6) A(1,2) ja C(, ) Δ y (y:n muutos) Δ x (x:n muutos) Δy Δx a. Kirjaa vastaukset taulukkoon. Mitä havaitset? Miksi näin? b. Tutki taulukkoa. Miten voit pelkästään pisteiden koordinaattien avulla laskea muutoksen Δy tai Δ x? c. Siirry pisteestä A suoran pisteeseen E(x,y). Laske Δ y = Δ x = k = Selvitä suoran yhtälö. (Seuraavat voi jättää myös kotitehtävälistaan.: d. Mikä olisi sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (5,3) kautta ja jonka kulmakerroin k = 3? e. Mikä olisi sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen ( 2,1) kautta ja jonka kulmakeroin k = 2? f. Mikä olisi sellaisen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen ( x 0, y 0 ) kautta ja jonka kulmakerroin on k?) 5. Mitä muistatte suorasta ja suoran yhtälöstä? Keskustelkaa asiasta ja kirjoittakaa ryhmänne näkemys paperille. 6. Tee laskimella tai GeoGebralla liu ut a ja b. Tee selvitys, miten kertoimet a ja b vaikuttavat funktion f(x) = ax + b kuvaajaan. Testaa muutamalla omalla esimerkillä johtopäätöksesi. TAI Avaa sovellus. 2

3 Tee selvitys, miten kertoimet a ja b vaikuttavat funktion f(x) = ax + b kuvaajaan. Testaa muutamalla omalla esimerkillä johtopäätöksesi. Arvioi oppimisprosessiasi: Mitä uusia asioita opit ymmärtämään suorasta ja suoranyhtälöstä? Mikä asia oli vaikea ymmärtää? Mikä teki ymmärtämisestä vaikeaa? Millaisissa asioissa sinä pystyit tukemaan ryhmääsi? Millaisissa asioissa koit saavasi tukea ryhmältäsi? Millainen tehtävä voisi edistää asian ymmärtämistä? Mitä kysymyksiä sinulle (ja ryhmällenne) nousi? Arvioi myös, miten ryhmänne edistyi asiassa. 2. Tunti Tavoitteet: suoran yhtälön yleinen ja ratkaistu muoto suoran kiinnittyminen koordinaatistoon ja suoran yhtälö eri tapauksissa: piste ja k, kaksi pistettä, y akselin lp ja k jne. extrana: suoran parametriesitys TEHTÄVÄT Kirjaa vastaukset perusteluineen ja pohdintoineen ja johtopäätöksineen. 1. Mitä asioita täytyy suorasta tietää, jotta sen voi piirtää koordinaatistoon? Miettikää eri vaihtoehtoja. Tehkää kuvio (kuva, käsitekartta tms.), jossa keskellä on sana SUORA. Kirjatkaa tai piirtäkää sanan SUORA ympärille eri vaihtoehtoja. 2. a) Piirrä GeoGebralla käyrän 3x + 2y+ 4 = 0 kuvaaja. Millainen kuvaaja tuli? Miksi? b) Selvitä, mitä tarkoittavat käsitteet suoran yhtälön yleinen ja ratkaistu muoto. Tutki, miten saat GeoGebralla näkyviin suoralle nämä muodot? 3. Tutki edellisen tunnin tehtävän 2 ratkaisujasi. Perustele sen avulla taulukkokirjasta löytyvä kaava: Kun tiedetään suoralta yksi piste ( x 0, y 0 ) ja kulmakerroin on k, suoran yhtälö saadaan kaavalla y y 0 = k(x x 0 ). 4. Muotoile kortit niin, että kaikille korteille löytyy parit. 3

4 5. Täydennä tehtävän 1 kuvioon (käsitekarttaan tms.) lähtötiedot matemaattiseen muotoon sekä kaavat, joita hyödynnät eri tilanteissa saadaksesi suoran yhtälön. 6. Kartalla näkyy hyvin suora tie. Määritä suoran yhtälö ottamalla kuvasta tarvittavia tietoja. Mieti useita tapoja ratkaista tehtävä. 7. Reaaliaineen opettaja kysyi, voisiko kokeen arvostelua varten tehdä sellaisen kaavan, jolla voi pisteiden perusteella laskea arvosanan. Numero riippuu suoraviivaisesti pistemäärästä. Auta opettajaa, ja laadi hänelle kaava, jolla hän voi laskea kokeen numeron pisteiden perusteella. 8. (Ylimääräinen (koti)tehtävä:) Kuminauhan toinen pää on origossa ja toinen pää liikkuu pitkin käyrää 2x + y + 5 = 0. Minkä käyrän kuminauhan keskipiste piirtää? Ratkaise tehtävä käyttäen GeoGebraa (jälki toiminto) tai laskinta. Ratkaise myös laskemalla. Arvioi oppimisprosessiasi: Mitä uusia asioita opit ymmärtämään suoran yhtälöstä ja sen muodostamisesta? Mikä asia oli vaikea ymmärtää? Mikä teki ymmärtämisestä vaikeaa? Millaisissa asioissa sinä pystyit tukemaan ryhmääsi? Millaisissa asioissa koit saavasi tukea ryhmältäsi? Millainen tehtävä voisi edistää asian ymmärtämistä? Mitä kysymyksiä sinulle (ja ryhmällenne) nousi? Arvioi myös, miten ryhmänne edistyi asiassa. 3. Tunti 4

5 Tavoitteet: suorien yhdensuuntaisuus ja kohtisuoruusehto (kulmakertoimien avulla ilmaistuna) normaalin yhtälö pisteen etäisyys suorasta (normaalin avulla, tms.; kaavan d = avulla) suorien kulman puolittajat TEHTÄVÄT Kirjaa vastaukset perusteluineen ja pohdintoineen ja johtopäätöksineen. 1. Avaa sovellus Tutki suorien kulmakertoimia ja selvitä, milloin suorat ovat a) yhdensuuntaisia. b) kohtisuorassa toisiaan vastaan. Anna esimerkki suorasta, joka on kohtisuorassa suoraa c) y = 2x 5 vastaan? d) 3y 2x + 7 = 0 vastaan? e) y = 3 vastaan? 2. Keksi oheista kuvaa täydentäen edellisen tunnin korttitehtävään jollekin kortille uusi pari. 3. Lataa koneellesi GeoGebra tiedosto osoitteesta Olet pisteessä C. Haluat mennä lyhintä reittiä pitkin Ouluntielle. Kuinka pitkän matkan kävelet? Kartan mittakaava löytyy kuvan vasemmasta alareunasta. Kirjoita ylös, mitä vaiheita ratkaisussa oli. Keksikää vaihtoehtoisia ideoita, miten annetun pisteen ( x 0, y 0 ) etäisyys voidaan ratkaista suorasta ax + by + c = 0. Kirjatkaa ratkaisuideanne vaiheet. Voit myös kokeilla, pystyykö geogebra tai symbolinen laskin ratkaisemaan yleisen kaavan ideanne pohjalta. (Vinkki: yhtälöryhmä) 4. Seuraavassa on ratkaistu pisteen ( x p, y p ) etäisyys d suorasta ax + by + c = 0. Kerro, mitä kukin yhtälö yhtälöryhmässä vastaa. Minkä suoran kulmakerroin on b/a? Milloin d:n arvo on nolla? TI: 5

6 Casio: 5. Miten soveltaisit tehtävässä 4 saatua etäisyyden kaavaa, kun halutaan selvittää pisteen (3, 2) etäisyys suorasta 2x y + 1 = Määritä, minkä käyrän muodostavat ne pisteet (x,y), jotka ovat yhtä kaukana suorista 2x y 1 = 0 ja x + 3y 11 = 0. Arvioi oppimisprosessiasi: Mitä uusia asioita opit ymmärtämään? Mikä asia oli vaikea ymmärtää? Mikä teki ymmärtämisestä vaikeaa? Millaisissa asioissa sinä pystyit tukemaan ryhmääsi? Millaisissa asioissa koit saavasi tukea ryhmältäsi? Mitä kysymyksiä sinulle (ja ryhmällenne) nousi? Arvioi myös, miten ryhmänne edistyi. 1. Tunti Ympyrä Oppimistavoite: Ympyrän yhtälön muodostaminen 1. Kertausta: Mitä osaatte jo ympyrään liittyen? 1.1 Kootkaa Geogebran taulukkoon sellaisia lukupareja a ja b, joilla a 2 + b 2 = 25. Varmistakaa kolmannessa sarakkeessa, että yhtälö toteutuu. Lukujen ei tarvitse olla kokonaislukuja. Maalaa sarakkeet, joissa on luvut a ja b. Vie pistejoukoksi, mitä huomaat? [P] Olisiko alla oleva mahdollinen muotoilu edellisestä? 6

7 Kootkaa Geogebran taulukkoon sellaisia lukupareja a ja b, joilla pistejoukoksi. Mitä huomaatte? 1.2. Piirtäkää Geogebralla ympyrä, jonka keskipiste on (2, 5) ja säde on 4. Määrittäkää sanallisesti, minkä ehdon toteuttavat ne pisteet, jotka a. ovat ympyrän sisäpuolella. b. ovat ympyrän kehällä. c. ovat ympyrän ulkopuolella. a 2 + b 2 = 25 ja viekää 2.Tutkikaa laskimella tai Geogebralla, miten ympyrän säde ja keskipiste näkyvät ympyrän yhtälössä. Yhtälön näette algebraikkunasta. Laatikaa yhteenveto tutkimuksesta. 3. Ympyrän yhtälö voidaan esittää kahdessa yleisessä esitysmuodossa. a. Tutkikaa GeoGebralla, mitkä nämä kaksi muotoa ovat b. Selvittäkää, miten voisitte muuntaa yhtälön muodosta toiseen. Ympyrään liittyviä tehtäviä: 4. Ympyrän sisälle on piirretty suorakulmainen kolmio. Muodostakaa sen avulla ympyrän yhtälö. 5. Etsikää ympyrän kadonnut keskipiste, kun tiedätte kehän kolme pistettä. Piirtäkää GeoGebraan kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Määrittäkää ympyrän keskipiste ja säde. Älkää käyttäkö tässä GeoGebran työkalua: ympyrä kehän kolmen pisteen avulla. 6. Symbolisen laskimen avulla voidaan helposti ratkaista yhtälöryhmiä. Sijoita yhtälöön (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 kolme tunnettua pistettä. Ratkaise a, b ja r. Mikä olisi ympyrän tapauksessa geometrinen tulkinta? Koonti: Saavutitteko tunnille asetetun oppimistavoitteen? Mitä opitte? Mikä jäi vielä epäselväksi? Pohtikaa, mikä olisi yhteinen kotitehtävä tavoitteen saavuttamiseksi. 2. Tunti Oppimistavoite: ympyröiden leikkauspiste, ympyrä ja suora 7. Tutkikaa GeoGebralla erilaisia tapauksia, joissa kaksi ympyrää leikkaavat toisensa. Kuinka voisitte määrittää leikkauspisteet? Antakaa esimerkki yhdestä tapauksesta ratkaisuineen. 8. Luokitelkaa, miten ympyrä ja suora voivat sijaita tasossa toisiinsa nähden. Piirtäkää kuva koordinaatistoon eri vaihtoehdoista. Keksikää kullekin tapaukselle esimerkit, joissa ympyrän ja suorien yhtälöt on annettu. Mitä nimityksiä suorasta käytetään kussakin tapauksessa. 7

8 Miettikää ideoita millä tavalla laskennallisesti eri tapaukset voitaisiin tutkia. Keksikää vaihtoehtoisia menetelmiä. 9. Suora ja ympyrä eivät leikkaa. Keksikää geometrinen idea, miten voitte selvittää suoran etäisyyden ympyrän kehästä eli mikä on lyhin matka suoran pisteestä ympyrän kehän pisteeseen? 10. Ympyrän keskipiste ja säde tiedetään. Ympyrän ulkopuolella on piste P, jonka koordinaatit tiedetään. Montako ympyrän tangenttia kulkee pisteen P kautta? Keksikää erilaisia ratkaisutapoja määrittää tangentin yhtälö. Vertailkaa eri tapojen toimivuutta. Mitä haasteita kohtasitte? Käyttäkää laskimia tai GeoGebraa apuna. Kotitehtävä: Etsi kolme sellaista ylioppilaskoetehtävää ratkaisuineen, joissa käsitellään ympyrää. Mitä asioita pitää osata, jotta onnistuisi niiden ratkaisemisessa? 3. Tunti Tutkikaa ryhmissä kotitehtävässä valitsemianne yo tehtäviä. Valitkaa niiden perusteella ryhmälle oppimistavoite ja suunnitelkaa sen toteutus. Esittäkää suunnitelma opettajalle. Hyödyntäkää suunnitelmassa oppikirjoja, nettiä ja opettajaa. Itsearviointikysymyksiä ympyrän opiskelukokonaisuuden jälkeen: Mitä opit tässä opiskelukokonaisuudessa? Mitä ymmärrät nyt ympyrästä sellaista mitä et ymmärtänyt ennen? Miksi jokin ympyrään liittyvä asia on vaikea ymmärtää? Miten pääsit eteenpäin, kun et ymmärtänyt jotain asiaa? Paraabeli (3 x 75 min) Ehdotus: fontin väri siniseksi valmiissa 1. Tunti: Paraabelin geometrinen määritelmä. Opiskelijat katsovat kuvasta paraabelin uraominaisuuden ja johtavat paraabelin määritelmän sen avulla. Geometrisesta määritelmästä siirtyminen algebralliseen esitykseen. Symmetria akseli ja paraabelin huippu. Käsitteet: polttopiste ja johtosuora. Keskeisin tavoite: paraabelin geometrinen määritelmä. 2. tunti: Oikealle ja vasemmmalle aukeavien paraabelien käsittelyä, paraabelin ja muiden käyrien leikkauspiste. Keskeinen tavoite: oikealle ja vasemmalle aukeavien paraabelien yhtälöt. 3. tunti: Paraabelille tangentti sovelluksia ja edellisten kertaamista. 8

9 1) Avaa geogebrasovellus. Voit muuttaa paraabelia liikuttamalla pistettä F tai kuvassa näkyvää suoraa. a) Miten paraabeli ja sen yhtälö muuttuvat, kun siirrät pisteen F vihreän suoran alapuolelle? b) Mikä vaikuttaa siihen miten auki paraabeli on? c) Miten piste F ja suora pitäisi valita, jotta paraabelin yhtälö olisi y = (¼)x^2? d) Millainen on paraabelin yhtälö, jos F on origossa? e) Mieti sanallisesti, minkä ehdon paraabelin piste (x_0,y_0) toteuttaa. Kirjoita paraabelin uran sanallinen määritelmä. f) Kirjoita sanallinen ehtosi yhtälöksi. Muodosta paraabelin yhtälö, kun piste F = (1,2) ja kuvassa oleva suora y=1. Voit käyttää laskinta, tai laskea käsin. Varmista saitko oikein geogebran avulla. g) Muodosta paraabelin yhtälö, kun piste F = (2,1) ja kuvassa oleva suora x=1. Voit käyttää laskinta, tai laskea käsin. Varmista saitko oikein geogebran avulla 2) Avaa sama tiedosto, kuin tehtävässä 1. Mitä tapahtuu, jos vihreän suoran yhtälöksi syöttää jonkun muun suoran, kuin x akselin suuntaisen? a) kokeile vinoa suoraa b) kokeile pystysuoraa suoraa, siirrä pistettä F suoran molemmille puolille. Minkälainen on paraabelin yhtälö nyt? Kirjaa havaintosi ylös. 3) Milloin paraabeli on jonkin funktion kuvaaja? Määritä sen toisen asteen polynomin kuvaaja, jonka huippu on pisteessä (2, 3) ja joka kulkee pisteen (0,5) kautta. 4) Paraabelin huipun ja symmetria akselin tutkiminen, (toisen asteen polynomifunktion kertoimien tutkiminen) Paraabelin kuvaajan tutkimista GG:lla 9

10 Valmis pohja 5) Tutki GG sovelluksella paraabelien y=x^2+bx+2 huippupisteiden muodostamaa uraa, kun varioidaan lukua b (toteutettu liukukytkimellä + jälkitoiminto). Pystytkö perustelemaan matemaattisesti laskemalla syntyneen uran? 6) Paraabeliin liittyy paljon käsitteitä. Miten piirtämällä voisit löytää paraabelin huipun? Entä symmetria akselin? Miten ne löytäisi laskemalla? a) kun paraabelin akseli on y akselin suuntainen b) kun paraabelin akseli on x akselin suuntainen 7) Ympyrän yhtälö saatiin neliöön täydentämällä muotoon, jossa nähtiin ympyrän keskipiste ja säde. Tutki, miten paraabelin yhtälön voisi täydentää neliöksi. Mitä paraabelin yhtälöstä tällöin näkee? V a) kun paraabelin akseli on y akselin suuntainen b) kun paraabelin akseli on x akselin suuntainen 8) Jos ympyrän kehältä tuntee kolme pistettä, niin ympyrä on täysin määrätty. Päteekö sama myös paraabeliin, vai tarvitsetko jotain lisäehtoja, jotta kolme pistettä määrää paraabelin? 9) Tutkikaa millä eri tavoin paraabeli voi sijaita suhteessa ympyrään ja suoraan. 10) Keksikää ryhmässä oma kysymys paraabeliin liittyen. 11) Mikä on paraabelin tangentti? Entä normaali? Miten seuraavat kuvat on tehty geogebralla? 10

11 12) Milloin suora on ympyrän tangentti? Päteekö samankaltaiset laskennalliset ehdot myös silloin kun suora on paraabelin tangentti. Määritä algebrallisesti paraabelille y = x^2+2x se tangentti, joka sivuaa paraabelia valitsemassasi kohdassa. (Vinkki: muodosta suoraparvi, suorista, jotka kulkevat pisteen (1,3) kautta. Voit lähteä jostakin toisestakin ideasta liikkeelle.) 13) Keksikää vaihtoehtoisia tapoja ratkaista seuraava tehtävä. Määritä paraabelille y = x^2+2x ne tangentit, jotka kulkevat pisteen a) ( 1, 3) kautta b) ( 0, 6) kautta. 14) Onko syntynyt verhokäyrä paraabeli? Voit liikuttaa pisteitä A, B, C. Mikä on paraabelin yhtälö pisteiden koordinaatien avulla laskettuna? 15) Oheisessa kuvassa on tuotettu uratyökalulla paraabelin ura. Mihin ideaan konstruktio perustuu? Pistettä A voi liikuttaa pitkin johtosuoraa. 11

12 16) Miksi polttopisteen nimi on polttopiste? a) geogebrasovelluksen avulla. Miten tätä ominaisuutta voisi käyttä hyödyksi? b) Cassegrain sateliittiantennin toimintaperiaate 17) Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia keskenään. Loppukysely Oliko kivaa? Mitä opit? Millainen ryhmän jäsen olit? Itsearviointikysymyksiä: Tehtäiskö näistä avoimia vai suljettuja. Liittyvätkö sisällön hallintaan vai työskentelyyn tutkimustehtävissä? 1. Paraabelin määritelmä (tässä esimerkki suljetuista kysymyksistä, jolloin sisällönhallinnan arvioinnin voi toteuttaa nettikyselynä, tämä ei jotenkin tunnu hyvältä ) a) Tiedän paraabelin geometrisen määritelmän ja osaan johtaa sen avulla annetun paraabelin yhtälön. b) Tiedän paraabelin geometrisen määritelmän, mutta en osaa esittää sitä yhtälön muodossa. c) En tiedä paraabelin määritelmää. 2. Tiedänkö mikä on paraabelin akseli ja huippu? Osaanko määrittää ne annetusta paraabelista? 3. Hahmotanko mikä paraabelin yhtälössä vaikuttaa aukeamissuuntaan? Kuinka monella tavalla paraabeli voi aueta? 12

13 13

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA. Eeva Kuparinen. Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO ANALYYTTISTA GEOMETRIAA LUKIO-OPETUKSESSA Eeva Kuparinen Pro gradu -tutkielma Tammikuu 2008 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Koordinaatisto 3 2.1 Tason suorakulmainen xy-koordinaatisto............

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

9. Harjoitusjakso III

9. Harjoitusjakso III 9. Harjoitusjakso III Seuraavaksi harjoitellaan kuvien ja tekstin lisäämistä piirtoalueelle. Tarjolla on aikaisempien harjoittelujaksojen tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso ja edistynyt taso.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a

Kokelaan sukunimi ja kaikki etunimet selväsi kirjoitetuna. Kaava 1 b =2a 2 b =0,5a 3 b =1,5a 4 b = 1a. 4 5 b =4a 6 b = 5a 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 28.9.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot