AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 1: Lasketaan reaaliluvuilla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 1: Lasketaan reaaliluvuilla"

Transkriptio

1 Marika Toivola ja Tiina Härkönen AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio : Lasketaan reaaliluvuilla Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY.0 -lisenssillä.

2 Tervetuloa opiskelemaan Avoimen Matematiikan pariin Yläkoulun Avoin Matematiikka sarjasta löytyy jokaisella yläkoulun luokalle oma oppikirjansa, joista kukin koostuu kolmesta osiosta. Tämän lisäksi on erillinen Tilastoja ja todennäköisyyksiä osio, joka soppii opiskeltavaksi mille tahansa luokka-asteelle. Oppikirjan kantavana ajatuksena on houkutella oppilaat myös itse lukemaan ja opiskelemaan matematiikkaa. Aiheita on käsitelty syvällisesti ja käsitteet on määritelty selkeästi. Käytämme tekstessä paljon kommentteja, joiden tarkoitus on ohjata oppilaita matemaattiseen ajatteluun. On aika luottaa oppilaisiin oppijoina ja tarjota heidän kyvyilleen sopivia haasteita. Tehtäviä on todella paljon (pelkästään seitsemännen luokan kirjassa noin 00 tehtävää) ja monentasoisia, joten opettajien helppo eriyttää opetustaan. Materiaaliin on otettu mukaan myös entisiä ylioppilastehtäviä sekä pääsykoetehtäviä. Nämä ovat ylikurssitehtäviä, joiden tarkoituksena on antaa haasteita ja innostaa matematiikassa menestyviä oppilaita. 7. luokan materiaalin ensimmäisessä osiossa on tarkoitus käyttää laskinta vain niissä tehtävissä, joissa tämä on erikseen mainiuttu. Muissa osioissa oppilas voi käyttää laskinta vapaasti tai opettajan harkinnan mukaan. Oppimateriaalissa on panostettu matematiikan käytännöllisyyteen. Materiaali sisältää tarinoita, jotka antavat esimerkkejä matematiikan tarpeesta käytännössä. Kukin oppimateriaalin osa sisältää myös taulukkolaskentakappaleen. 7. luokan matematiikassa perehdytään taulukkolaskentaohjelman käytön alkeisiin. Oppimateriaaliin kuuluu myös taulukko-osio, joka löytyy kunkin osan kolmannen osion lopusta. Taulukko-osioon on koottu yläkoulun matematiikkaan liittyvät kaavat. Sen tavoitteena on totuttaa oppilasta käyttämään matematiikan kaavakokoelmia, joihin oppilas tulee törmäämään jatko-opinnoissaan. Taulukko-osio toivottavasti kannustaa oppilasta itsenäiseen opiskeluun, koska osa materiaalin ylioppilastehtävistä vaatii taulukko-osion käyttöä. Avoin Matematiikka toivottaa sinut tervetulleeksi käytännönläheisemmän ja haasteellisemman matematiikan pariin.

3 Osio : Lasketaan reaaliluvuilla. Pulmatehtäviä.... Lukujoukot ja laskutoimitukset Lukujen suuruusvertailua.... Itseisarvo ja vastaluku Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslasku Merkkiyhdistelmien sieventäminen Kokonaislukujen kerto- ja jakolasku Potenssimerkintä Monikerrat ja jaollisuus Luvun jakaminen tekijöihin.... Murtoluvut Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Murtolukujen kertolasku Murtolukujen jakolasku Laskujärjestys Desimaaliluvut ja merkitsevät numerot Lasketaan desimaaliluvuilla, pyöristyssäännöt Aikaväli ja aikalaskut Kertaustehtäviä...

4 . Pulmatehtäviä Matemaattisen ongelman ratkaiseminen aloitetaan yleensä rajaamalla ongelmasta pois tapaukset, jotka eivät täytä kysymyksen ehtoja. Ongelmasta pyritään siten tekemään pienempi. Esimerkki. Milla on valinnut puhelinluettelosta henkilön. Juhon tulee ratkaista, kenet Milla on valinnut esittämällä mahdollisimman vähän kysymyksiä, joihin Milla vastaa joko kyllä tai ei. Ratkaisu: Jos Juho ryhtyisi umpimähkään arvailemaan henkilöitä, hän luultavasti arvailisi Millan valitsemaa henkilöä vielä huomennakin. Ongelma voidaan kuitenkin helposti rajata. Juho avaa puhelinluettelon puolivälistä ja saa ensimmäisen kysymyksensä avulla rajattua kummassa puoliskossa luetteloa henkilö esiintyy. Seuraavalla kysymyksellä hän rajaa edellisen alueen taas puolivälistä jne.. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Ensio Luukkasta? -Kyllä. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Erja Ikolaa? -Ei. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Gilbert Korvenrantaa? -Ei. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Raija Lassilaa? Kyllä. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Erkki Kääpää? -Ei 6. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Jyrki Lainetta? -Ei 7. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Terttu Lammia? -Ei 8. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Dorrit Langenskiöldiä? -Kyllä 9. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Juho Lampista? -Ei 0. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Vesa Lamposta? -Kyllä. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Raimo Lampista? -Ei. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Ulla Lampista? -Ei. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Hilkka Lampoa? -Kyllä. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Matti Lampiota? -Kyllä. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Väinö Lampista? -Kyllä 6. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Vesa Lampista? -Kyllä 7. kysymys: Tuleeko hän aakkosissa ennen Vappu Lampista? -Kyllä ja Ei, se on oikea henkilö.

5 Tehtäviä. Anna parisi valita puhelinluettelosta jonkin henkilön puhelinnumero. Saat esittää kysymyksiä, joihin parisi vastaa kyllä tai ei. Monellako kysymyksellä pystyt selvittämään puhelinnumeron omistajan?. Kaapissa on kolme erilaista kenkäparia ja sukkaa, mustia ja ruskeita sekalaisessa järjestyksessä. Miten monta kenkää ja sukkaa sinun on umpimähkään kaapista otettava, jotta saisit ainakin yhdet saman parin kengät ja samanväriset sukat?. Sinulla on 9 kultaista sormusta, joista yksi ei ole aito (kevyempi kuin muut). Miten rihkamasormus saadaan selville kahdella punnituksella, kun käytössä on tavallinen tasapainovaaka?. Muumi, Pikkumyy, Niiskuneiti ja Nipsu ovat pimeän, hyvin vaarallisen tunnelin suulla. Tunnelissa mahtuu samanaikaisesti kulkemaan vain kaksi ja kokoajan tarvitaan taskulamppua. Taskulampussa on virtaa minuutiksi. Nipsulla tunnelin läpikulku kestää minuuttia, Niiskuneidillä minuuttia, Pikkumyyllä minuuttia ja Muumilla minuutin. Suunnittele miten kaikki pääsevät tunnelin toiseen päähän.. Paimen, mukanaan lammas, susi ja valtava kaali, lähestyi joen rantaa. Paimenen oli ylitettävä joki pienellä veneellä, johon mahtuisi kerrallaan vain hän ja yksi muusta seurueesta. jos hän jättäisi rannalle lampaan kaalin kanssa, niin lammas ahmisi sen, jos taas lampaan suden kanssa, niin susi hotkisi lampaan. Miten paimenen tulisi järjestää ylitykset, jottei hän menettäisi mitään omaisuudestaan? 6. Miten voit mitata järvestä vettä täsmälleen 6 litraa, kun käytettävissäsi ovat vain litran ja 9 litran astiat? 7. Olet huoneessa, jossa on pöydällä kolme kuppia. Vasemmanpuoleiseen kuppiin laitetaan kaksi valkoista palloa, keskimmäiseen valkoinen ja musta ja oikeanpuoleiseen kaksi mustaa palloa. Poistut hetkeksi huoneesta, sillä aikaa kaikkien kuppien paikkaa on vaihdettu. Et näe kuppeihin. Montako kertaa sinun täytyy nostaa jostain kupista pallo ja laittaa se takaisin, jotta tietäisit mikä kuppi mikin on? Pallo täytyy siis laittaa takaisin ennen uuden nostamista.

6 8. Olet talon kellarissa. Näet kolme katkaisijaa, jotka on merkitty kirjaimilla A, B ja C, ja kukin niistä ohjaa yhtä lamppua yläkerrassa. Lamput on merkitty numeroilla, ja. Et näe lamppuja kellarista käsin. Tiedät katkaisijoista ainoastaan, milloin ne ovat päällä (valo pala ja milloin eivät. Sinun on selvitettävä, mikä katkaisija ohjaa mitäkin lamppua. Saat mennä yläkertaan vain kerran. Toisin sanoen saat asetella katkaisijoita haluamasi tavalla, ja sitten mennä yläkertaan tutkimaan lamppuja. Tämän jälkeen sinun on osattava yhdistää lamput ja katkaisijat. Miten saat sen selville? 9. Oletetaan, että kahdeksalta apinalta kuluu kahdeksan minuuttia kahdeksan banaanin syömiseen. Montako minuuttia kestää neljältä apinalta neljän banaanin syöminen? apinaa tarvitaan syömään 6 banaania 6 minuutissa? 6

7 Reaaliluvut Luvut ovat aikoinaan tulleet tarpeeseen kuvata esimerkiksi saaliseläinten ja vihollisten määrää. Sellaisia lukuja kuten, ja 00 sanotaan positiivisiksi kokonaisluvuiksi. Niitä on käytetty siitä lähtien kun ihminen oppi laskemaan. Keskiajalla intialaiset loivat negatiivisen kokonaisluvun käsitteen voidakseen käsitellä kauppavelkoja. Jos paimenella oli viisi lammasta ja hän oli velkaa kaksi lammasta, niin hänellä oli omia lampaita silloin kolme. Mutta entäs, jos hän olikin velkaa seitsemän lammasta? lammasta ei käytännössä tarkoita mitään järkevää. Mutta voimme tulkita tuloksen siten, että paimen luovuttaa vielä kaksi lammasta saatuaan niitä lisää. Vaikka negatiivisilla luvuilla on mahdollista kuvata joitakin käytännön tilanteita matemaattisesti, ei ne silti sovi tulokseksi joka paikkaan, mikä on johtanut itseisarvon käsitteen määrittelemiseen. Tuttu esimerkki negatiivisten lukujen käytöstä on Celsiuslämpömittarin asteikko, jossa miinusmerkkiä käytetään 0 C matalampien lämpötilojen esityksessä. Lämpötila-asteikko havainnollistaa hyvin myös sitä, ettei nolla ja ei mitään ole synonyymeja. Usein nolla on vain mielivaltaisesti valittu kohta jollakin asteikolla, kuten lämpömittarissa, ja sitä pienemmät arvot ovat negatiivisia. Nykyiseen tapaan nollaa ryhtyivät käyttämään vuoden 600 ekr. paikkeilla intialaiset matemaatikot, jotka myös keksivät sen laskusäännöt: nollalla kertominen antaa aina tulokseksi nollan eikä nollan lisääminen tai vähentäminen muuta lukua. He totesivat myös, ettei nollalla jakaminen anna järkevää tulosta. Kokonaisluvut riittävät niin kauan kuin on kyse lukumäärien laskemisesta. Mutta erilaiset mittaustulokset näyttävät, ettei todellisuus koostu kokonaisluvuin ilmaistavista luvuista. Esimerkiksi ihmiset eivät ole tasan yhden tai kahden metrin pituisia, vaan jotain siltä väliltä. Onkin olemassa myös yksiköiden puolikkaita ja muita osia. Näitä murtolukuna esitettäviä lukuja sanotaan rationaaliluvuiksi. Sana "rationaali" tulee latinan sanasta ratio, joka tarkoittaa osamäärää. Myös jokainen päättyvä tai päättymätön jaksollinen desimaaliluku on rationaaliluku, koska se voidaan merkitä murtolukumuodossa. 00-luvulla ekr. kreikkalaiset Pythagoraan koulukunnan matemaatikot totesivat, että joidenkin neliöiden lävistäjien pituuksia ei voida ilmoittaa täsmällisesti minkään murtoluvun avulla. Esimerkkinä edellisestä on neliö, jonka sivut ovat metrin mittaisia. Vaikka ajateltaisiin kuinka pientä mittayksikköä tahansa, lävistäjän pituuden tarkka ilmoittaminen olisi mahdotonta. Lukujen joukkoa oli laajennettava ottamalla käyttöön uusia päättymättömiä desimaalilukuja, joita nykyään kutsutaan irrationaaliluvuiksi (esimerkiksi ei siis voi kuvata tarkasti muuten kuin symbolin avulla. ja π). Irrationaalilukuja Kreikkalainen matemaatikko Arkhimedes (87- ekr.) oli ensimmäinen, joka havaitsi lukuja olevan loputtomasti ja kuinka suuria tahansa. Hän oivalsi, ettei lukujärjestelmässämme ole ylärajaa. Äärettömyys ( ) ei ole luku kuten nolla. Ajatellaanpa sitten kuinka suurta lukua tahansa, jokaiselle voidaan aina ilmoittaa vielä suurempi luku. Äärettömyys ei siis ole koskaan saavutettavissa. 7

8 . Lukujoukot ja laskutoimitukset Matematiikassa erilaiset luvut voidaan luokitella eri lukujoukkoihin seuraavasti: Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. Jos jakolasku menee tasan, on kyseessä kokonaisluku. Jos jako ei mene tasan eli tulos ei ole kokonaisluku, niin kyseessä on murtoluku. Huom! Suomen kielessä sanat luku ja numero tarkoittavat eri asiaa. Numero tarkoittaa numeromerkkejä 0-9. Numeroja voi verrata aakkosiin: aakkosista muodostetaan sanoja ja numeroista lukuja. 8

9 Esimerkki. Mihin lukujoukkoihin luku kuuluu? - 6 0,,798 Ratkaisu: Ainakin reaalilukuihin, koska niihin kuuluvat kaikki luvut. Lisäksi rationaalilukuihin (luku voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä) sekä kokonaislukuihin. Reaalilukuihin ja rationaalilukuihin. Reaalilukuihin ja rationaalilukuihin (0, voidaan esittää murtolukuna Ainoastaan reaalilukuihin, koska kyseessä on päättymätön ja jaksoton desimaalikuku, eikä sitä voida esittää kahden kokonaisluvun osamääränä.. ) Kertolasku ja jakolasku ovat toistensa käänteistoimituksia. Jakolasku voidaan tarkistaa kertomalla jakaja ja osamäärä keskenään, jolloin tuloksi saadaan jaettava. Muistathan, ettei nollalla voi jakaa! Esimerkiksi jakolaskua : 0 ei voida suorittaa, koska ei ole olemassa sellaista lukua, joka nollalla kerrottuna antaisi tulokseksi. 9

10 Tehtäviä 0. Mitkä viereisen laatikon luvuista ovat luonnollisia lukuja kokonaislukuja rationaalilukuja?,,,, 8, 8, 6. Merkitse ja laske lukujen 80 ja summa erotus tulo osamäärä.. Merkitse ja laske, kun vähenevä on ja vähentäjä 9 yhteenlaskettavat ovat 6 ja 79 jaettava on 0 ja jakaja tekijät ovat ja. Mikä lukujoukko on esitettynä lukusuoralla?. Mitkä luvuista ovat rationaalilukuja? 00 7 e) 7,8 f) 0,.... Päättele puuttuva luku. 9 0

11 7 e) Mihin lukujoukkoihin luku kuuluu? 0,6-89 0,86... e) 7. Päättele mikä luku sopii tyhjään ruutuun? _ - = _ = : _ = 9 _ = 8. Mikä lukujoukko on suppein kaikista lukujoukoista? 9. Mistä lukujoukoista luvut on otettu?,, 0,, 6,0,,, 6, 8,0, 6,,,,, 6,, 7 0,,, 9 8 7, 9 0. Mikä luku tulee lukujonoon seuraavaksi?, 9,,,, 6, 9,, 9, 8, 6,,, 7,,, e) 6, 7, 9,,. Mikä on pienin suurin

12 luonnollinen luku, joka voidaan muodostaa käyttämällä numeroita 8, 6,, ja (kaikkia numeroita on käytettävä kerran)?. Mikä on suurin luonnollinen luku, joka on kolminumeroinen viisinumeroinen kahdeksannumeroinen?. Kirjoita ylös seuraavat kolme lukua: (.) jokin seitsemännumeroinen luku (esim. puhelinnumerosi) (.) luku 8 (.) laske edellisten tulo Laske kaikkien näiden kolmen luvut numerot yhteen. Jos numeroiden summassa on enemmän kuin yksi numero, laske summan numerot yhteen. Jatka samoin, kunnes jäljellä on enää yksi numero. Mikä se on?. Kirjoita lukujonon viisi seuraavaa lukua 6, 9,,,,, 8,, 0, 6,,. Mikä on kerrostalon. ja 6. kerroksen lattioiden korkeusero, kun portaikossa on jokaisen kerroksen välillä 6 askelmaa? Yhden askelman korkeus on 7 cm. 6. Pizzan hinta oli ja pastan 6. Juoma maksoi yhden euron. Paljonko 8 opiskelijan ryhmän ruokailu maksoi kaikkiaan, kun 7 söi pizzan, loput pastan ja jokainen otti juoman? 7. Juho suunnitteli itsekoottavan kirjahyllyn ostamista. Paljonko kirjahylly maksoi, kun se koostui seuraavista osista? osa määrä yksikköhinta [ ] päätylevy 0,0 välilevy 9,60 hyllytaso 0,70 tv-taso 9,00 laatikosto 7,00 kaapisto,00 8. Päättele mikä on luku x, kun luvun 0 ja luvun x erotus on 9 osamäärä on 0 tulo on 0 summa on 80?

13 9. Muodosta sellainen laskulauseke kahdeksan kahdeksikon avulla jonka tulos on Oheiseen tikkatauluun heitetään kolme tikkaa. Kaikki tikat jäävät tauluun. Ilmoita kaikki mahdollisuudet, joilla saadaan tulokseksi. (Peruskoulun matematiikkakilpailu..999). Jaa kellotaulu kuuteen osaan siten, että lukujen summa kussakin osassa on sama.. Henkilö osti asunnon, jonka pinta-ala oli m ja neliöhinta oli 0 /m. Osan kauppahinnasta muodosti hänen vanha asuntonsa, jonka pinta-ala oli 80 m ja neliöhinta 0 /m. Kuinka suuri summa jäi rahalla maksettavaksi?. Suomisen Onnin nettotulot olivat vuoden aikana ja hänen vaimonsa nettotulot olivat. Paljonko Suomiset pystyivät säästämään vuoden aikana, kun heidän menonsa olivat keskimäärin seuraavat: vuokra 80 kuukaudessa, ruokamenot 00 kuukaudessa, vaatetusmenot 000 vuodessa, matkat ja huvit 80 vuodessa sekä muut kulut 00 vuodessa.. Kissa jahtaa hiirtä, jolla on 0 hiiren askelta matkaa kololleen turvaan. Kissa on 0 kissan askelta hiirtä jäljessä. Hiiri ehtii ottamaan kuusi askelta siinä ajassa, kun kissa ottaa kaksi askelta. Kissan askel on kuitenkin pituudeltaan viisinkertainen hiiren askeleeseen verrattuna. Ehtiikö hiiri turvaan?. Minkä säännön mukaan luvut on järjestetty? 8,,, 6,, 0, 7,, 9,

14 . Lukujen suuruusvertailua Reaalilukujen ominaisuuksiin kuuluu, että niitä voidaan suuruutensa puolesta verrata toisiinsa. Vertailusymbolit näyttävät linnunnokalta ja hyvä muistisääntö onkin, että nokka on auki suurempaan, piikki pistää pienempään.,, ja Esimerkki. e) 6 Kaksi on pienempi kuin kuusi. 000 Sata on suurempi kuin kymmenen. ikä 8vuotta Ikä on suurempi tai yhtä suuri kuin 8 vuotta. hinta 0 pituus 7 cm Ikä on vähintään 8 vuotta. Hinta on pienempi tai yhtä suuri kuin 0 euroa. Hinta on enintään 0 euroa. Pituus on eri suuri kuin 7 cm. Esimerkki. Merkitään lukusuoralle ne kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdon < luku. Huom! Kahdesta lukusuoran luvusta oikeanpuoleinen on aina suurempi kuin vasemmanpuoleinen.

15 Esimerkki. Merkitään lukusuoralle ne reaaliluvut, jotka toteuttavat ehdon luku.

16 Tehtäviä 6. Lue parillesi ääneen merkinnät ikä vuotta e) viikkoraha 7. Merkitse lukujen suuruusjärjestys käyttämällä merkkejä: < tai >, ja, 0,8 ja, 0,0 ja 0,00 ja e) 98 ja Maalajit luokitellaan rakeiden läpimitan d [mm] mukaan: Maalaji Läpimitta d [mm] Savi d 0,00 Siltti 0,00 < d 0,06 Hiekka 0,06 < d,0 Sora,0 < d 60,0 Kivet 60 < d 600 Lohkareet d > 600 Mihin luokkaan kuuluu maalaji, jonka rakeiden läpimitta on 0,00 mm 0,0 mm 0, mm mm e) 00 mm? 9. Luettele ne luonnolliset luvut, jotka ovat suurempia kuin 6 ja pienempiä kuin 9 suurempia kuin ja pienempiä kuin 9 suurempia kuin 80 ja pienempiä kuin Onko väite tosi vai epätosi? 0 < e) - f) 6

17 . Kirjoita matemaattisin symbolein. on pienempi kuin 6 on suurempi kuin on positiivinen on negatiivinen e) on erisuuri kuin f) Hinta on enintään 00. g) Matka on vähintään km. h) Pakkasta on vähintään 0 o C. i) Lämpötila vaihtelee o C:sta o C:een.. Mitkä luvuista 0,, ja 7 toteuttavat ehdon luku 0 luku luku?. Esitä lukusuoralla ne kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdon 0 luku 6. Merkitse lukusuoralle kaikki ne kokonaisluvut x, jotka toteuttavat ehdon. Mitkä luonnolliset luvut x toteuttavat ehdon x 6? 0 x x 78 x 8 6. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen reaaliluvut, jotka ovat enemmän tai yhtä paljon kuin enemmän kuin vähintään vähemmän kuin e) enemmän kuin f) enemmän kuin, mutta vähemmän kuin g) vähemmän tai yhtä paljon kuin 7. Esitä lukusuoralla kaikki ne reaaliluvut x, jotka toteuttavat ehdon x.. x 7. 7

18 8. Onko väite tosi vai epätosi? 7 on suurempi kuin on pienempi kuin 0 on enemmän kuin 6 > < - e) 0 < f) > 9. Kirjoita epäyhtälönä Kanojen määrä k on enintään 00 kpl. Lahjavero x on yli 000. Ryhmäalennuksen saa, kun lähtijöiden lukumäärä n on vähintään 8. Vuokra x on vähintään 0 ja enintään Luettele kaikki parittomat parilliset luonnolliset luvut, jotka ovat pienempiä kuin 9.. Luettele ne kaksidesimaaliset luvut x, jotka toteuttavat ehdon 6,8 x 6,9. Merkitse lukusuoralle kaikki yksinumeroiset desimaaliluvut, jotka toteuttavat ehdon 0, < luku <,0.?. Lehden vuosikerta maksaa 0. Irtonumeron hinta on,0. Lehti ilmestyy 6 kertaa vuodessa. Kuinka paljon halvemmalla vuosikerran tilannut saa vuoden lehdet irtonumeron ostajaan verrattuna?. Jos Matti työskentelee urakkapalkalla laatikkotehtaassa, saa hän 0,90 jokaisesta valmiista laatikosta. Jos hän ei työskentele urakkapalkalla, on tuntipalkka 8,0. Kuinka monta laatikkoa Matin tulee viikossa saada valmiiksi, jotta hänen kannattaa työskennellä urakkapalkalla? (Viikossa on 0 työtuntia.). Autovuokraamo A perii kiinteää perusmaksua /vrk ja lisäksi kilometrimaksua 0,0 /km. Autovuokraamo B perii ainoastaan kilometrimaksua, joka on 0, /km. Kummasta on edulli- 8

19 sempaa vuokrata auto yhdeksi vuorokaudeksi, jos arvioitu ajomatka on 00 km? (yo syksy 990) 6. Pesuainetta A sisältävä 0,7 litran pullo maksaa,, kun taas 0,6 litran pullo pesuainetta B maksaa,80. Kumpi pesuaine on edullisempaa? (yo syksy 98) 9

20 . Itseisarvo ja vastaluku Lukusuoralla luvun etäisyyttä nollasta kutsutaan luvun itseisarvoksi. Luvun a itseisarvoa merkitään. a Kun halutaan tietää kuinka kaukana luku on nollasta, välittämättä siitä kummalla puolella nollaa se on, merkitään pystyviivat luvun molemmille puolille. Koska itseisarvo kuvaa etäisyyttä, se ei voi olla koskaan negatiivinen. Esimerkki. = Positiivisen luvun itseisarvo on luku itse. 0 = 0 - = Negatiivisen luvun itseisarvo on vastaava luku ilman etumerkkiä. Lukujen itseisarvot lasketaan ennen muita laskutoimituksia. Jos itseisarvomerkkien sisällä on lauseke, on sen arvo laskettava ennen itseisarvomerkkien poistamista. Esimerkki Otetaan ensin lukujen itseisarvot ja lasketaan ne yhteen. Lasketaan ensin luvut yhteen ja otetaan summan itseisarvo. Kahta lukua, jotka sijaitsevat lukusuoralla yhtä kaukana nollasta, mutta sen eri puolilla, sanotaan toistensa vastaluvuiksi. 0

21 Esimerkki. Vastaluvuilla on sama itseisarvo. Positiivisen luvun vastaluku saadaan laittamalla miinusmerkki luvun eteen. Negatiivisen luvun vastaluku saadaan jättämällä miinusmerkki pois luvun edestä. Esimerkki. luku vastaluku x -x Matemaattisesti vastaluku merkitään laittamalla luvun eteen miinusmerkki. Jos luvun edessä on ennestään plus- tai miinusmerkki, on luku laitettava sulkeisiin. Kahta laskutoimitusmerkkiä ei voi esiintyä peräkkäin ilman, että välissä olisi sulkeet. Peräkkäisillä laskutoimitusmerkeillä laskeminen opitaan myöhemmin. Esimerkki. Luvun 9 vastaluku merkitään 9. Luvun vastaluku merkitään. Luvun ( vastaluku merkitään ) (9)

22 Tehtäviä 7. Kirjoita seuraavien vastakohdat. Ylös Etelään Itään Voittaa 00 euroa e) Neljä kerrosta alas f) Pidentää 0 centimetriä g) 60 m meren tason yläpuolella 8. Piirrä lukusuora ja määritä sen avulla lukujen etäisyydet nollasta Määritä lukujen itseisarvot e) 6,7 60. Merkitse lukujen itseisarvot ja laske ne Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä. luku vastaluku itseisarvo (- ) - 6. Määritä lukujen vastaluvut d e) 00

23 f) 9,8 m/s g) 80 km/h 6. Kumman luvun itseisarvo on suurempi? + vai 9 vai 6 vai 8,9 vai 9,0 6. Kumman luvun vastaluku on suurempi? + vai 9 vai 6 vai 8,9 vai 9,0 6. Laske Kirjoita luvut pienimmästä suurimpaan., - (-6) ( ) 67. Merkitse lukujen vastaluvut Merkitse lukujen vastaluvut. 00, 0 e) f)

24 69. Laske Merkitse ja laske lukujen 8 ja -7 itseisarvojen summa erotus tulo. 7. Luettele ne kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdon luku Laske Esitä lukusuoralla kaikki ne kokonaisluvut x, jotka toteuttavat ehdon x. 7. Piirrä lukusuora ja merkitse siihen kaikki ne kokonaisluvut x, jotka toteuttavat ehdon. x 7 7. Päättele lukusuoran avulla, mitkä kokonaisluvut x toteuttavat ehdon x < x < < x < 7 99 > x > Lauseke x a toteuttavat ehdon x x x ilmaisee luvun x etäisyyden luvusta a. Tutki lukusuoran avulla, mitkä luvut

25 . Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslasku Pohdintatehtävä I Illalla lämpötila on - astetta, yön aikana pakkanen kiristyy astetta. Paljonko lämpömittari näyttää aamulla? Pohdintatehtävä II Juho on sinulle ennestään velkaa. Mikä on lopputilanne, jos hän lainaa sinulta lisää? antaa sinulle? Miten voisit merkitä laskuja matemaattisesti? Esimerkki. Lasketaan lukusuoramallin avulla

26 Esimerkki. 6

27 Tehtäviä 77. Järjestä lämpötilat suurusjärjestykseen, kylmimmästä lämpimimpään. - C, 0 C, - C, + C ja + C. 78. Ada on sinulle ennestään velkaa. Mikä on lopputilanne, jos hän lainaa sinulta lisää? antaa sinulle? 79. Merkitse lauseet matemaattisesti ja laske lopputilanne. Venla antaa sinulle 7, jonka jälkeen hän lainaa. Juho lainasi sinulta eilen. Tänään hän palautti aamupaivällä euron ja illalla lainasi. 80. Elias lainasi Emmalta toissapäivänä 6 ja maksoi takaisin eilen. Jos hän tänään lainaa vielä, paljonko Eliaksen on huomenna tuotava Emmalle rahaa, jotta kumpikaan ei olisi toisilleen velkaa? 8. Lämpötila oli aamulla - C ja päivän aikana se kohosi astetta. Paljonko lämpötila oli iltapäivällä? 8. Mikä lämpötila on 9 astetta enemmän kuin 0 C 9 C C 6 C? 8. Mikä lämpötila on kolme astetta vähemmän kuin C? C 0 C C 8. Lämpötila on aluksi -8 C. Mikä on lämpötila, jos lämpötila laskee astetta kohoaa astetta kohoaa astetta? 8. Laske lukusuoramallin avulla

28 Laske lukusuoramallin avulla Laske lukusuoramallin avulla Lukusuoralla on kuvattu laskutoimitus. Kirjoita se näkyviin ja laske sen arvo. 89. Laske lukusuoramallin avulla Laske Laske

29 7-9. Laske Laske Laske Laske Hissi lähtee pohjakerroksesta kahdeksanteen kerrokseen, josta se kulkee kerrosväliä alaspäin ja edelleen kaksi kerrosväliä ylöspäin. Missä kerroksessa hissi on tällä hetkellä? 98. Kirjoita matemaattisessa muodossa ja ratkaise loppulämpötila. 9

30 Lämpötila kohoaa asteesta 7 astetta. Lämpötila laskee + asteesta 7 astetta. Lämpötila laskee asteesta 7 astetta. 99. Nouset hissiin viidennestä kerroksesta. Hissi laskee kolme kerrosta alaspäin, minkä jälkeen se nousee kerrosta ylöspäin. Missä kerroksessa olet? 00. Taulukossa on planeettojen lämpötiloja. Planeetta Lämpötila Jupiter -0 Maa +0 Mars -0 Neptunus -0 Pluto -0 Saturnus -70 Uranus -0 Venus +80 Laske lämpötilaero lämpimimmän ja kylmimmän planeetan välillä. kahden kylmimmän planeetan välillä. kahden lämpimimmän planeetan välillä. C 0. Mikä luku sopii x:n paikalle? x x x 0. Laske Mikä luku sopii x:n paikalle? x 7 x 8 x 6 x 9 0

31 6. Merkkiyhdistelmien sieventäminen Lukusuoralla tarkastelun lisäksi vastalukuja voidaan tarkastella laskemalla ne yhteen. Kahta lukua, joiden summa on nolla, sanotaan toistensa vastaluvuiksi eli luvun a vastaluku on a, koska. 0 a a 8 vastaluku on (8), mutta miten voidaan osoittaa, että Luvun laskutoimituksessa on peräkkäisiä plus- ja miinusmerkkejä? ( 8) 0 8, kun Kahden etu- ja laskumerkin yhdistelmät, joissa merkkien välissä on sulkumerkki, voidaan korvata yhdellä merkillä. Jos sulkeiden edessä on plusmerkki, ei sulkeiden sisällä olevien etumerkkejä muuteta. Jos sulkeiden edessä on miinusmerkki, kaikkien sulkeiden sisällä olevien lukujen etumerkki vaihdetaan. merkkiyhdistelmä korvataan merkillä esimerkki + ( ( + ) = - ( ( + ) = - + ( ( -) = - - ( ( -) = Miinusmerkkiä voisi verrata kieltävään sanaan ei. Kaksi peräkkäin olevaa ei -sanaa kumoavat toisensa. Esimerkiksi ei pidä paikkaansa etten ole terve tarkoittaa samaa kuin olen terve. Koska sulkeiden edessä oleva + -merkki ei muuta sulkeiden sisällä olevien etumerkkiä, voidaan kaikki yhteen ja vähennyslaskut ajatella positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteenlaskuina. Esimerkiksi lauseke. 8 voidaan kirjoittaa muodossa ( 8) ( ) Esimerkki. Poistetaan sulkeet ja suoritetaan laskutoimitukset. + (+ ) = + = 8 (+ ) = = + (-) = = (-) = + = 8

32 Esimerkki. Poistetaan sulkeet ja suoritetaan laskutoimitukset.

33 Tehtäviä 0. Sievennä. - (-0) + (+) - (+) + (-) 0. Sievennä. + (-8) - (+) - (-7) - (+6) 06. Lisää puuttuva merkki + tai -. - ( 8) = 8 - ( 8) = -8 + ( 8) = -8 + ( 8) = Laske Laske. 9 ( ) ( 8) 09. Laske Jäljennä kuvio vihkoosi ja merkitse kahden vierekkäisessä ruudussa olevan luvun summa niiden yläpuolella olevaan ruutuun.

34 . Valitse oikea merkki + tai -. 8 = - = -7 (-) = (-) =. Merkitse ja laske lukujen -0 ja - summa erotus.. Kopio taulukko vihkoosi ja täydennä Poimi luvuista -, -, -,, 8 kolme lukua siten, että niiden summa on -.. Poimi luvuista -6, -, -, -,, kolme lukua siten, että niiden erotus on Osoita laskemalla, että luvut ovat toistensa vastalukuja. 6 ja 6 ja 9 ja 9 00 ja Osoita laskemalla, että 8 ( 8) 0.

35 8. Merkitse ja laske lukujen 0 ja summa erotus vastalukujen erotus. 9. Merkitse ja laske lukujen erotus. 9, - ja, -7 ja 0. Lukujen a ja b summa on nolla. Mitä voit sanoa luvuista a ja b?. Laske. ( ) ( 0) ( 6) 8 ( ) ( 9) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9). Muodosta lauseke ja laske a = a = - a a, kun. Muodosta lauseke ja laske x = 0 x = - x x, kun

36 7. Kokonaislukujen kerto- ja jakolasku Laskettaessa negatiivisten lukujen tuloa ja osamäärää, on olennaista tietää, onko lukuja parillinen vai pariton määrä. Jos kokonaisluku on jaollinen kahdella, se on parillinen. Huom! Jos yksikin tekijöistä on nolla, niin silloin myös tulo on nolla. Esimerkki. 0 ( 6) 8 ( 7) ei yhtään negatiivista tekijää eli pariton määrä negatiivisia tekijöitä eli pariton määrä negatiivisia tekijöitä eli parillinen määrä negatiivisia tekijöitä Esimerkki. 6

37 Tehtäviä. Luettele viisi ensimmäistä parillista lukua. paritonta lukua.. Onko vastaus positiivinen vai negatiivinen, kun positiivinen luku kerrotaan positiivisella luvulla negatiivinen luku kerrotaan positiivisella luvulla negatiivinen luku kerrotaan negatiivisella luvulla? 6. Onko tulo positiivinen vai negatiivinen? e) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Laske edellisen tehtävän kertolaskut. 8. Laske e) f) 9. Laske. 0 0 e) f) 0 0. Laske. 00 7

38 Jäljennä kuvio vihkoosi ja merkitse kahden vierekkäisessä ruudussa olevan luvun tulo niiden yläpuolella olevaan ruutuun.. Valitse oikea vaihtoehto. Jaettaessa kaksi kokonaisukua vastaus on positiivinen/negatiivinen jos luvuilla on sama etumerkki. positiivinen/negatiivinen jos luvuilla on eri etumerkit.. Täydennä lauseet. Kun positiivinen luku jaetaan positiivisella luvulla, on vastaus Kun negatiivinen luku jaetaan positiivisella luvulla, on vastaus... Kun positiivinen luku jaetaan negatiivisella luvulla, on vastaus... Kun negatiivinen luku jaetaan negatiivisella luvulla, on vastaus.... Laske. 8 0 e) f) 8 0. Laske. 8

39 Päättele puuttuva luku Merkitse ja laske lukujen 7 ja summa erotus tulo osamäärä 8. Tutki kokeilemalla, mitä negatiivisen luvun tulolle tapahtuu, kun kertoja pienenee. Kerro luku 7 vuoroin luvuilla,, 0, - ja. 9. Valitse oikea merkki >, < tai = _ 0 7 _ 0 0 _ 0 0. Laske.. Keksi kolme jakolaskua, joiden tulos on 8.. Mitkä väitteistä ovat tosia ja mitkä epätosia? 9

40 Negatiivinen luku voi olla suurempi kuin positiivinen luku. Kahden negatiivisen luvun summa on aina negatiivinen. Kahden negatiivisen luvun erotus on aina positiivinen. Kahden negatiivisen luvun tulo on aina positiivinen. e) Positiivisen ja negatiivisen luvun osamäärä on aina negatiivinen. f) Positiivisen luvun itseisarvo on aina suurempi kuin negatiivisen luvun itseisarvo.. Mikä luku sopii x:n paikalle? 6 x 60 x x 7 x. Mikä luku sopii x:n paikalle? 0 x x x 7 6 x. Kahden kokonaisluvun summa on ja tulo on 8. Kun merkitään tuntemattomia lukuja kirjaimilla x ja y, voidaan ongelma kirjoittaa matemaattisesti muodossa ja. Etsi kokeilemalla kyseiset luvut. x y 8 x y 6. Kahden kokonaisluvun summa on 8 ja osamäärä. Kirjoita tämä matemaattisesti ja etsi kokeilemalla kyseiset luvut. 7. Kahden kokonaisluvun erotus on ja tulo on -. Kirjoita tämä matemaattisesti ja etsi kokeilemalla kyseiset luvut. 0

41 8. Potenssimerkintä Esimerkki. Kuulet juorun, jonka kerrot tunnin aikana kahdelle kaverillesi. Kukin kavereistasi kertoo juorun kahdelle muulle kaverilleen seuraavan tunnin aikana jne. Juoru leviää neljän tunnin aikana seuraavasti Jokainen siis kertoo juorun kuultuaan sen kahdelle muulle. Tämä voidaan esittää kolmannen tunnin osalta potenssimuodossa Vastaavasti neljännen tunnin aikana juorun kuulevia on Laskimella näppäillään yleensä. henki- Sinun lisäksi juorusta kuulee siis neljän tunnin aikana yhteensä löä. 0 Huom! Jos ajattelisimme neljän tunnin osalta juorun levittämisen laskettavan muodossa, tarkoittaisi tämä sitä, että levittäisit juorua kertomalla sen joka tunti kahdelle. Kaikki muut juorun kuulevat sitä vastoin pitäisivät sen salassa. 8

42 Potenssi on kertolaskun lyhennetty merkitsemistapa silloin, kun samaa lukua kerrotaan itsellään useamman kerran. Eksponentti vaikuttaa ainoastaan siihen lukuun, jonka oikeaan yläkulmaan se on kirjoitettu. Jos vaikutusaluetta halutaan laajentaa, on käytettävä sulkeita. Potenssissa on kantalukuna -. Jos potenssimerkinnästä jätetään sulkeet pois ja merkitään, on potenssin kantalukuna. Ole tarkkana kantaluvun kanssa. Esimerkki. ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) parillinen määrä kerrottavia pariton määrä kerrottavia Kyseessä ei ole negatiivisen luvun potenssi. Luvun toista potenssia sanotaan luvun neliöksi. Luvun kolmatta potenssia sanotaan luvun kuutioksi.

43 Tehtäviä 8. Lue merkinnät parillesi ääneen ja laske potenssien arvot Merkitse potenssiksi ja laske potenssin arvo kuusi potenssiin kaksi kymmenen toiseen kaksi potenssiin neljä. 0. Kirjoita ilman potenssimerkintää. 6. Merkitse tulot potenssimerkintää käyttäen Merkitse potenssiksi ja laske luvun neliö kuutio.. Merkitse tulot potenssimerkintää käyttäen e) a aa f) e eeee Merkitse tulot potenssimerkintää käyttäen 0 00

44 e) a aa f) y y y y y y. Merkitse potenssit tuloiksi. 00 b m a, missä a = 7 6. Onko totta? Mikä on potenssimerkintöjen kantaluku? (-) (-) - 6 e) (-) 8. Laske. (-) - (-) (-) 9. Laske potenssien arvot. (-) (-) - 6 e) (-) 60. Laske Kirjoita potenssimuodossa.

45 ( ) ( ) ( ) e) 7 ( x) ( x) ( x) ( x) 6. Laskintehtävä Laske potenssit laskimella. 6 0 e) f) 76 g) Merkitse potenssiksi ja laske luvun - neliö kuutio. 6. Mikä on potenssimerkintöjen kantaluku? 7 e) a 7 f) a 6. Laske

46 0 Mitä havaitset? Miten voit laskea ilman laskinta? 66. Mitkä kaksi luonnollista lukua on kyseessä?. vihje: Luvut ovat pienempiä kuin 0.. vihje: Lukujen erotus on.. vihje: Suurempi luku voidaan kirjoittaa muodossa joku luku potenssiin.. vihje: Pienempi luku voidaan kirjoittaa muodossa joku luku potenssiin. 67. Järjestä pienimmästä suurimpaan.,,,,,,,, 68. Päättele, mikä luku sopii x:n paikalle. 7 x = 9 0 x = 0000 x = 00 x = Laske potenssin arvo, kun x x x x. 70. Laskintehtävä Tomas alkoi säästää rahaa uutta sohvaa varten. Ensimmäisellä viikolla hänellä oli säästössä, seuraavalla viikolla, kolmannella viikolla 8 jne. Onko rahaa tarpeeksi säästössä sohvaa varten viikon jälkeen? 7. Laskintehtävä Salmonellabakteerin lukumäärä kaksinkertaistuu tunnissa. Kello 8.00 bakteereja oli 000. Paljonko bakteereja on kello.00? 7. Laskintehtävä Voitaikinaa leivottaessa taikina kaulitaan ohueksi levyksi, taitetaan kolminkertaiseksi, kaulitaan jälleen ohueksi levyksi, taitetaan kolminkertaiseksi jne, jolloin muodostuu ohuita kerroksia. Leena Leipuri kaulitsi ja taittoi taikinan kymmenen kertaa. Kuinka monesta kerroksesta taikina muodostui? 6

47 9. Monikerrat ja jaollisuus Luvun monikerta saadaan, kun luku kerotaan luonnollisella luvulla. Monikerroista muodostuu kyseisen luvun kertotaulu. Esimerkki. Luvun monikertoja ovat,, 6, 8, 0,,... kaikki nämä luvut ovat jaollisia luvulla. Luvun monikertoja ovat, 0,, 0,,... kaikki nämä luvut ovat jaollisia luvulla. Luku on jaollinen toisella luvulla, jos lukujen jakolasku menee tasan eli tulos on kokonaisluku. Jos luku ei ole jaollinen toisella luvulla, jakolaskusta jää jakojäännös. Luvulla jaollisia ovat vain kyseisen luvun monikerrat. Joka toinen kokonaisluku on jaollinen kahdella. Joka kolmas kokonaisluku on jaollinen kolmella jne. Esimerkki. 0 on jaollinen kahdella, koska viimeinen numero on. on jaollinen kolmella, koska. 67 on jaollinen viidellä, koska sen viimeinen numero on. 6 6 on jaollinen kuudella, koska sen viimeinen numero on 6 ja. 6 8 e) 6 on jaollinen yhdeksällä, koska. 9 9 f) 790 on jaollinen kymmenellä, koska viimeinen numero on 0. 7

48 Esimerkki. Jakolasku 6 ei mene tasan, vaan tulokseksi tulee Jakojäännös saadaan selville laskutoimituksella. eli jakojäännös on. 8

49 Tehtäviä 7. Onko jälkimmäinen luku ensimmäisen luvun monikerta?,, 0, 8, 96 e),0 7. Luettele lukujen kolme seuraavaa monikertaa. 0 8 e) 7. Luettele lukujen neljä seuraavaa monikertaa. 9 e) 76. Kopio taulukot vihkoosi, luettele lukujen viisi ensimmäistä monikertaa ja alleviivaa lukujen yhteiset monikerrat. Luku Monikerrat Luku Monikerrat Luku Monikerrat Luettele kaikki luvun 0 monikerrat, jotka ovat pienempiä kuin monikerrat, jotka ovat lukujen ja 0 välillä. 78. Päättele mitkä luvuista ovat jaollisia kahdella? 9

50 0 7 0 e) 9 f) Päättele mitkä luvuista ovat jaollisia viidellä? e) 000 f) 80. Mitkä edellisen tehtävän luvuista ovat jaollisia sekä viidellä että kymmenellä? 8. Päättele mitkä luvuista ovat jaollisia yhdeksällä? e) 6 8. Ovatko seuraavat luvut jaollisia luvulla? e) 8. Luettele kaikki ne luvut, joilla seuraavat luvut ovat jaollisia Kopioi taulukko vihkoosi ja rastita, jos luku jaollinen ensimmäisellä rivillä olevalla luvulla. Luku

51 8. Luettele neljä lukua, jotka ovat jaollisia sekä luvulla että 9 sekä luvulla etttä Mikä on jakojäännös seuraavissa jakolaskuissa? e) Määritä kaikki ne luvut, joilla luvut ovat jaollisia Määritä kaikki ne luvut, joilla luvut ovat jaollisia Erään luvun numeroiden summa on. Muodosta kaksi tällaista lukua. Mitä voit sanoa tällaisten lukujen jaollisuudesta? 90. Erään luvun numeroiden summa on 8. Muodosta kaksi tällaista lukua. Mitä voit sanoa tällaisten lukujen jaollisuudesta? 9. Muodosta kuusinumeroinen luku, joka on jaollinen neljällä

52 kuudella yhdeksällä. 9. Valitse oikea vaihtoehto. Kahden parillisen luvun summa on parillinen/pariton luku. Kahden parittoman luvun summa on parillinen/pariton luku. Parillisen ja parittoman luvun summa on parillinen/pariton luku. Parillisen ja parittoman luvun tulo on parillinen/pariton luku. 9. Luettele neljä lukua, jotka ovat jaollisia luvuilla, ja. 9. Mikä on jakojäännös seuraavissa jakolaskuissa? e) Keksi jakolasku, jossa jakojäännös on 96. Mikä luonnollinen luku on kysymyksessä?. vihje: Se on pienempi kuin 00.. vihje: Se on jaollinen viidellä.. vihje: Se on parillinen.. vihje: Kun se jaetaan seitsemällä, on jakojäännös. 97. Kun luku jaetaan kahdella, jakojäännös on. Kun sama luku jaetaan kolmella, on jakojäännös. Mikä on pienin toiseksi pienin tällainen luku?

53 98. Henkilötunnus muodostuu syntymäajasta, yksilönumerosta ja tarkistusmerkistä. Syntymäajan jäljessä oleva merkki kertoo syntymävuosisadan. Henkilöllä, joka on syntynyt 800-luvulla se on plusmerkki (+), 900-luvulla syntyneillä se on yhdysmerkki (-) ja 000-luvulla syntyneillä A -kirjain. Yksilönumerossa on kolme numeroa, sillä erotetaan toisistaan henkilöt, joilla on sama syntymäaika. Yksilönumero on miehillä pariton ja naisilla parillinen. Henkilötunnuksen viimeinen merkki on tarkistusmerkki. Se muodostuu siten, että muodostetaan syntymäajasta ja yksilönumerosta yhdeksännumeroinen luku. Jaetaan tämä luku :llä ja katsotaan jakojäännöksen perusteella viimeinen henkilötunnuksen merkki oheisesta taulukosta. Jakojäännös Tarkastusmerkki A B C D E F Jakojäännös Tarkastusmerkki H J K L M N P R S T U V W X Y Onko kyseessä mies vai nainen, mikä on syntymävuosi ja tarkistusmerkki, jos henkilön henkilötunnuksen alkuosa on A 99+

54 0. Luvun jakaminen tekijöihin Esimerkki. Lelulaatikosa on 0 pikkuautoa. Tutkitaan monelleko lapselle autot voidaan jakaa tasan Jos lapsia on vain yksi, hän saa 0 autoa. Jos lapsia on kaksi, molemmat saavat 0 autoa. Jos lapsia on neljä, kukin saa autoa jne. Pikkuautot menevät tasan, jos lapsia on,,,, 0 tai 0. Luku 0 on siis näillä kaikilla jaollinen. Lukuja,,,, 0 ja 0 sanotaan luvun 0 tekijöiksi. Luvun tekijöitä ovat luvut, joilla kyseinen luku on jaollinen. Kun luku esitetään tulona, sanotaan sen olevan jaettu tekijöihin. Esimerkki. Etsitään luvun 6 tekijät. 6 6 Luvun 6 tekijät ovat,, ja 6. Etsitään luvun 8 tekijät Luvun 8 tekijät ovat,,, 6 ja 9. Lukujen 6 ja 8 yhteiset tekijät ovat,, ja 6.

55 Tekijöihin jakoa voidaan jatkaa aina alkutekijöihin asti, jolloin luku esitetään alkulukujen tulona. Alkuluku on siitä erikoinen luku, ettei sitä voi enää jakaa tekijöihin ja jokainen kokonaisluku ( ) voidaan esittää ainoastaan yhdellä tavalla alkulukujen tulona. Alkuluku on lukua suurempi luonnollinen luku, joka on jaollinen ainoastaan luvulla ja itsellään. Kymmenen ensimmäista alkulukua ovat:,,, 7,,,7, 9, ja. Alkutekijäpuu on oiva apu lukujen jakamisessa alkutekijöihin. Tekijöiksi valitaan aina pienin mahdollinen alkuluku niin kauan kunnes kaikki oksat päättyvät alkulukuihin. Esimerkki. Jaetaan luku 60 alkutekijöihin.. Luku 60 hajoaa alkutekijöihin seuraavasti 60. Jaetaan luku 000 alkutekijöihin. Luku 000 hajoaa alkutekijöihin seuraavasti 000.

56 Tehtäviä 99. Onko ensimmäinen luku jälkimmäisen luvun tekijä?,, 8, 6, 9 e), f) 6,0 00. Luettele kymmenen ensimmäistä alkulukua. 0. Poimi luvuista 0, 7,,, 9, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 88, 00, 0 alkuluvut. 0. Esitä luku tulona, jonka toinen tekijä on 6 0. Täydennä puuttuvat tekijä. _ e) _ 8 f) 0 _ 7 _ Kopioi taulukot vihkoosi, täydennä ja alleviivaa lukujen yhteiset tekijät. Luku Tekijät 6 8 Luku Tekijät 0 0 Luku Tekijät 9 6

57 0. Luettele lukujen kaikki tekijät e) Luettele luvun 8 tekijät. luvun tekijät. lukujen 8 ja yhteiset tekijät. 07. Mikä luku alkutekijöihin jaettuna on? Jaa alkutekijöihin Jaa alkutekijöihin Mitä yhteistä on luvuilla,, 9 ja?. Ohessa on lista luvun 6 tekijöistä, täydennä puuttuvat luvut.,,, _, _, _, _, _, 6. Ohessa lista luvun 08 tekijöistä, täydennä puuttuvat luvut., _, _, _, _, _,, _, _, _, _,08 7

58 . Jaa alkutekijöihin Mikä on ainoa parillinen alkuluku? Luettele kaikki lukua 0 pienemmät alkuluvut. Luettele kaikki alkuluvut lukujen ja 0 väliltä.. Jaa luvut alkutekijöihin. 6 0 e) Luettele kaikki alkuluvut lukujen 0 ja 0 väliltä. 7. Oskarilla on kokoelmassaan postimerkkiä. Hän aikoo pitää niistä itse 7 ja jakaa loput kavereilleen. Voiko Oskari jakaa postimerkit tasan 6 kaverilleen? 8. Heikki järjestelee pöytiä juhlavieraalle. Jokaisessa pöydässä tulee olla sama määrä vieraita, eikä kukaan istu yksin. Montako vierasta kussakin pöydässä voi olla? 9. Mikä on luvun 78 suurin alkutekijä pariton tekijä? 0. Jaa luku alkutekijöihin.. Jaa luku alkutekijöihin.. Vuonna 7 matemaatikko Christian Goldbach väitti, että jokainen lukua suurempi parillinen luku voidaan esittää kahden alkululuvun summana. Esimerkiksi = +, 8 = + jne. Esitä seuraavat luvut kahden alkuluvun summana. 8

59

60 . Murtoluvut Pohdintatehtävä Kumman valitset: Kaksi palaa ensimmäisestä kakusta vai kolme palaa toisesta kakusta? Murtoluvut voivat olla keskenään yhtäsuuret vaikka niillä olisikin eri nimittäjät. Esimerkiksi seuraavat murtoluvut ovat keskenään yhtäsuuria. Kun murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, sen arvo pysyy samana. Tällöin puhutaan laventamisesta. Laventaminen merkitään murtoluvun vasempaan yläkulmaan. Murtoluvun arvo pysyy myös samana, jos sen osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Tällöin puhtaan supistamisesta. Supistaminen merkitään murtoluvun oikeaan yläkulmaan. 60

61 Huom! Nollalla ei voi laventaa eikä supistaa! Esimerkki. Järjestetään murtoluvut, 7 8 ja suuruusjärjestykseen. Lavennetaan murtoluvut ensin samannimisiksi. Koska murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä on 8, murtoluvut lavennetaan siten, että kunkin nimittäjäksi tulee 8. ) ) 8 Lavennetaan luvulla. Ei tarvitse laventaa, nimittäjässä on luku 8. Lavennetaan luvulla. Nyt murtoluvut voidaan helposti laittaa suurusjärjestykseen:, ja 8 7 Vastaus supistetussa muodossa:, ja

62 Tehtäviä. Merkitse tummennettu alue murtolukuna.. Havainnollista murtolukuja kuvion avulla Poimi luvuista 0 epämurtoluvut sekaluvut, 8, 7, 6,, kaikki 6. Muunna sekaluvuiksi Muunna epämurtoluvuksi

63 8. Muunna epämurtoluvuksi Supista Järjestä murtoluvut. Supista ,, 0,,. Täydennä niin, että murtoluvut ovat yhtäsuuret. 0 6 suuruusjärjestykseen, pienin ensin. 6

64 e) Lavenna samannimisiksi. ja ja ja ja. Kuvassa on piirrettynä vain osa kuviosta. Piirrä koko kuvio vihkoosi.. Aseta murtoluvut oheiseen vaakaan oikeaan järjestykseen (pienempi luku ylempään vaakakuppiin). 8 8 ja ja 6 9 ja ja 6 6

65 6. Sijoita murtoluvut ilmapalloihin siten, että pienin luku tulee ylimpänä olevaan ilmapalloon. 7. Järjestä murtoluvut,,, 6 9 9, 8 suuruusjärjestykseen, pienin ensin. 8. Kumpi luvuista on suurempi? 0,, -, 0 7, Täydennä niin, että murtoluvut ovat yhtäsuuret Täydennä puuttuva luku. 6

66 Ratkaise luvut a ja b vihjeiden avulla. a 6 b a b 7 8 a 9 b a b 9, lukujen a ja b erotus on -7, lukujen a ja b summa on, luvut a ja b ovat peräkkäisiä parillisia lukuja, luku a on 0 suurempi kuin luku b. Täydennä puuttuvat luvut Lavenna samannimisiksi. ja a b a a ja b ja b ja b 66

67 . Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku Esimerkki. Esimerkki. 67

68 Esimerkki. Lasketaan 6. Esimerkki. Lasketaan. Esimerkki. Lasketaan. 68

69 Tehtäviä. Kopioi kuviot vihkoosi ja anna vastaus varjostamalla oikea määrä ruutuja.. Esitä edellisen tehtävän laskut laskulausekkeena. 6. Kopioi kuviot vihkoosi ja anna vastaus varjostamalla oikea määrä ruutuja. 7. Esitä edellisen tehtävän laskut laskulausekkeena. 8. Laske

70 9. Laske. 0. Laske Muodosta ja laske lukujen 6 ja summa erotus.. Laske Laske. 6 70

71 . Marianne osti ensimmäisenä päivänä kg. Montako kiloa maniskoita hän osti yhteensä? kg mansikoita ja seuraavana päivänä. Laske Laske Laske. 8. Laske. lukujen lukujen, 9 0 ja 6 summa. ja 8 7 erotus. 9. Pähinkäkakkuun tarvitaan 6 kahvikupillista maapähkinöitä ja kavikupillista saksanpähkinöitä. Montako kupillista pähkinöitä kakkuun tarvitaan kaikenkaikkiaan? 7

72 Maalia oli alunperin litraa huoneensa maalaamiseen. Pal- 6 jonko maalia jäi jäljelle? litraa, josta Miro käytti 60. Vähennä lukujen Vähennä lukujen ja ja erotus lukujen erotus lukujen ja ja summasta. summasta. 6. Laske. x x a a 8 b b 0 y y 6. Laske. a a x 0x 6b b y y 6. Merkitse ja laske lukujen itseisarvojen summa summan itseisarvo. ja 6 6. Laske. a c b d 7

73 a b c d 7

74 . Murtolukujen kertolasku Esimerkki. Kerrotaan luku luvulla Kerrotaan osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Esimerkki. Kerrotaan luvut, ja keskenään. 7

75 Tehtäviä 6. Laske Laske Kerro seuraavat luvut luvulla Yksi avokado maksaa euroa. Laske avokadojen hinta (anna vastaus murtolukun, jos niitä on Laske. 7

76 Laske Täydennä puuttuvat luvut Sinulla on kappaletta litran colajuomatölkkiä. Montako litraa juomaa on yhteensä? 7. Keksi kertolasku, jonka tulos on Kerro seuraavat luvut luvulla - 76

77 7. Laske, paljonko on neljäsosa 8 eurosta viidesosa 90 eurosta kaksi kolmasosaa 8 grammasta kolme seitsemäsosaa kilogrammasta? 76. Lotta työskentelee perjantaina tuntia ja lauantaina euroa. Montako tuntia Lotta työskentelee yhteensä? Paljonko hän saa palkkaa kahdesta päivästä? tuntia. Lotan tuntipalkka on 6, 77. Virvoitusjuomapullon tilavuus on / litraa. Montako litraa juomaa on korissa, kun koriin mahtuu pulloa? 78. Koulussa on 600 oppilasta ja heistä on ruskeasilmäisiä. Monnellako oppilaalla ei ole ruskeat silmät? 79. Kultaseoksen yhteydessä käytettiin ennen yleisesti yksikköä karaatti. Karaattiluku ilmoittaa kultaseoksen kultapitoisuuden.-osina. Kuinka monta grammaa kultaa sisältää gramman painoinen 8 karaatin kultasormus? (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen 98) 80. Tyhjään astiaan kaadetaan l vettä, joka täyttää astian tilavuudesta. Kuinka suuri astia on? 8. 77

78 Tytillä on pussillinen kultakolikoita. Hän antaa niistä 8 äidilleen ja jäljelle jääneistä kolikoista hän antaa puolet veljelleen. Isä saa jäljelle jääneistä Paljonko kolikoita oli alunperin? 8. Opiskelijoista oli 6 7, jolloin Tytille jää kultakolikkoa. alle 0-vuotiaita. Alle 0-vuotiaista oli poikia kolmasosa. Kuinka suuri osa opiskelijoista oli alle 0-vuotiaita tyttöjä? 8. Laske. a 8 a a b 8 b b b 8. Harjoittelija Alku postittaa kirje-erän 0 minuutissa. kun hän tekee saman työn yhdessä ammattitaitoisen Kelpon kanssa, aikaa kuluu tasan minuuttia. Missä ajassa Kelpo tekisi saman työn yksin? (yo syksy 99) 8. Järveen on pystytetty pylväs. Pylväästä puolet on maan alla pohjassa, kaksi viidesosaa vedessä ja 70 senttimetriä veden pinnan yläpuolella. Kuinka pitkä pylväs on kokonaisuudessaan? 86. Laske a c b d. 78

79 . Murtolukujen jakolasku Luku (myös murtoluku) jaetaan murtoluvulla siten, että se kerrotaan jakajan käänteisluvulla. Murtoluvun käänteisluku saadaan vaihtamalla osoittaja ja nimittäjä keskenään. Luvun ja sen käänteisluvun tulo on aina. Huom! Nollalla ei ole käänteislukua. Esimerkki. Muodostetaan lukujen ja käänteisluvut. Esimerkki. Jaetaan luku luvulla 6. 79

80 Esimerkki. Jaetaan luku luvulla. 80

81 Tehtäviä 87. Ilmoita lukujen käänteisluvut Laske. : : : 9 : 89. Laske. 90. : : : : 9 Jaa seuraavat luvut luvulla Laske. 8

82 : : : 8 : 8 9. Laske. : : : 8 : 8 9. Laske murtolukujen summa erotus tulo osamäärä. 9 ja 6 9. Kannussa on kannusta saa? litraa mehua. Juomalasin tilavuus on litraa. Montako lasillista mehua 9. Jaa seuraavat luvut luvulla

83 96. Keksi jakolasku, jonka tulos on 97. Laske murtolukujen summa erotus tulo osamäärä. 98. Määritä käänteisluku seuraaville luvuille. 9 e) f) a b a ja Jos kakkua jaetaan tasan neljälle hengelle, kuinka suuren osan kakkua kukin saa? 00. Marja keitti viinimarjamehua 6 litraa. Montako litran pulloa hän tarvitsi viinimarjamehun pullottamiseen? desilitraa mehua olisi vielä mahtunut viimeiseen pulloon? 0. Tarkista kertomalla osamäärä ja jakaja keskenään, onko seuraavat laskut laskettu oikein. : 6 : 8

84 6 : Laske puuttuvat luvut käyttämällä murtolukujen jakolaskua.? 7 7? 6? 8?? 9 8? 0 0?? 6 0. Keksi jakolasku, jonka tulos on Päättele puuttuvat luvut..? :? 9? : 9?? : 0 0. Laske ? 8

85 Laske. 07. Laske : a b : a : b a : b a : b c d. 8

86 . Laskujärjestys Pohdintatehtävä 7 Lauseke 6 laskutoimitukset suoritetaan? tarkoittaa samaa kuin 7 : 6. Missä järjestyksessä Lopputulos riippuu laskujen suoritusjärjestyksestä. Jotta kaikki laskisivat laskut samalla tavalla, on sovittu yleiset säännöt laskutoimitusten järjestykselle. Jos tehtävässä on pelkkiä yhteenlaskuja, voidaan yhteenlaskettavien järjestystä vaihtaa. Sama on voimassa myös peräkkäisten kertolaskujen kesken. Esimerkki. 86

87 Matematiikassa käytettäviä sulkumerkkejä voidaan verrata kirjoituksessa käytettäviin välimerkkeihin. Esimerkiksi virke Teemu huusi Juho jarruta jo ei ole ilman välimerkkejä yksiselitteinen. Se voi tarkoittaa joko: Teemu, huusi Juho, jarruta jo! tai Teemu huusi: Juho, jarruta jo! sulkumerkit nimitykset kaarisulkeet hakasulkeet aaltosulkeet Jos samassa lausekkeessa on useita sisäkkäisiä sulkulausekkeita, kaarisulkeet ovat sisimpinä ja niiden sisällä olevat laskut lasketaan ensiksi. Toiseksi lasketaan hakasulkeiden sisällä olevat lausekkeet ja kolmanneksi aaltosulkeissa olevat laskut. Esimerkki. Lasketaan 66 :. 87

88 Tehtäviä 08. Laske Laske Laske. 6 ( ) : 6 : Muodosta laskulauseke ja laske. Lukujen 0 ja summan ja luvun tulo. Lukujen ja erotuksen ja luvun 7 tulo.. Laske Laske

89 . Muodosta laskulauseke ja laske. Lukujen 0 ja 8 summan ja luvun osamäärä. Lukujen 6 ja erotuksen ja luvun 7 osamäärä.. Laske. 8 : 9 8 : 9 6. Laskintehtävä Laske. e) 7. Lisää sulkeet niin, että lauseke pitää paikkaansa Laske. [(9 7)] : [ (6)] : Laske

90 Lisää sulkeet niin, että lauseke pitää paikkaansa. 7: 0 6: 6 : 7 00: 6 6. Laskintehtävä Laske. 8 : 8 : 6 6 : 6 9 :. Lukuja,,6 ja 8 on käytettävä kutakin vain kerran. Laskutoimitusmerkkejä +, -, ja : saa käyttää mielivaltaisen monta kertaa. Sulkumerkkejä ei saa käyttää. Kirjoita laskulauseke, jonka tulos on 6.. Laske : :. 9 ( ) 7 ( ). Mitkä väitteistä ovat tosia ja mitkä epätosia?

91 Laske Määritä seuraava 0 tekijän tulo:. 8. Laske murtoluvuilla ilman laskinta ja anna tulokset sievennettyinä yksinkertaisimpaan muotoonsa. (pääsykoetehtävä teknikkokoulutukseen 99) 7 : 7 9

92 6. Desimaaliluvut ja merkitsevät numerot Käyttämämme lukujen merkintäjärjestelmä on nimeltään paikkajärjestelmä, jossa numeron merkitykseen vaikuttaa sen paikka. Olet nolla on ikävästi sanottu, mutta jos nolla sijoitetaan ykkösen jälkeen, tämän arvo kymmenkertaistuu. Paikkajärjestelmiä on olemassa useita erilaisia ja jokaisessa paikkajärjestelmässä on tietty kantaluku. Käyttämämme järjestelmä on desimaalinen, sen kantaluku on 0. Esimerkki. Esitetään murtolukuna 0, 0,8,. Desimaaliluvuilla laskettaessa on kiinnitettävä huomiota tulosten oikeaan tarkkuuteen. Laskimella laskettaessa voimme saada lukuja, joiden paikalla voisi olla mitä tahansa lukuja. Kaikkien saatujen lukujen arvoihin ei voi luottaa. Merkitsevät numerot ilmoittavat mitkä luvun numeroista ovat vielä oikeita ja mitkä puppua. Luvun merkitseviksi numeroiksi katsotaan kaikki muut paitsi desimaaliluvun alussa ja kokonaisluvun lopussa olevat nollat. Joissakin tapauksissa kokonaisluvun lopussakin olevat nollat voivat olla merkitseviä, mikä ilmenee asiayhteydestä. Esimerkki. 9

93 Kokonaisluvussa on yksi merkitsevä numero. Desimaaliluvussa 0,0 on kolme merkitsevää numeroa. Desimaaliluvussa 0,0 on yksi merkitsevä numero. Desimaaliluvussa 89,0 on neljä merkitsevää numeroa. e) Kokonaisluvussa 00 on neljä merkitsevää numeroa. f) Kokonaisluvussa 0 on kaksi tai kolme merkitsevää numeroa riippuen siitä, onko luku pyöristetty. Kun desimaaliluku katkaistaan, viimeinen mukaan tuleva numero korotetaan yhdellä, jos ensimmäinen pois jäävä numero on, 6, 7, 8 tai 9. Desimaalilukuja pyöristettäessä jätetään katkaisukohdan jälkeiset desimaalit pois. Kokonaislukuja pyöristettäessä korvataan katkaisukohdan jälkeiset numerot nollilla. Esimerkki. Pyöristetään luvut annetulta kohdalta. Merkintä luetaan likimäärin yhtä suuri kuin. 9

94 Tehtäviä 9. Täydennä. e) Muunna desimaaliluvuiksi Muunna murtoluvuiksi. 0,00 0,,7 0,.... Kirjoita murtolukumuodossa. 0, 0,, 0,007. Minkä lukuyksikön paikalla luvussa 0,96 on Minkä lukuyksikön paikalla numero 7 on seuraavissa luvuissa ,067. 9

95 . Kirjoita desimaalilukuna. kokonaista sadasosaa 0 kokonaista 86 tuhannesosaa 0 kokonaista kymmenestuhannesosaa kokonaista miljoonasosaa e) kokonaista kymmenesosaa f) 00 kokonaista tuhannesosaa 6. Pyöristä yhden desimaalin tarkkuuteen. 0,7 0,6 6,,96 e), f) 9,0 7. Kirjoita desimaalilukuna Pyöristä kymmenesosan tarkkuuteen. 0,99 0,0 68,067 77,98 9. Pyöristä kahden desimaalin tarkkuuteen.,7,008 0,0 99,996 e),7 0. Pyöristä ykkösten tarkkuuteen. 0,068096,0888 9

96 0, ,0. Pyöristä satojen tarkkuuteen. 687,089,7, 89. Pyöristä viiden sentin tarkkuuteen.,7 80,, 7,6 e) 9,89 f),7. Pyöristä 6 kymmenien 769. satojen 87 tuhansien 67.8 tuhanneosien e) 98.6 sadaosien tarkkuuteen.. Tarkastellaan lukua,067. Pyöristä luku e) desimaalin tarkkuuteen.. Tarkastellaan lukua 0,680. Ilmoita luku e) merkitsevän numeron tarkuudella. 6. Kirjoita Suomen väkiluku 00 8 (..007) satojen satojen tuhansien 96

97 tarkkuudella. 7. Ilmoita rahamäärä 9 kymmenien satojen kymmenien tuhansien eurojen tarkkuudella. 8. Pyöristä kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen 0,98,0006 0,087 0,00 9. Montako merkitsevää numeroa on likiarvoissa?,8 00 0,08 8,00 e) 0, Laskintehtävä Laske laskimella potenssien likiarvot ja anna vastaukset kahden desimaalin tarkkuudella, 6,,,00 7 e) (-,) 8. Ilmoita valon nopeus m/s neljän merkitsevän numeron tarkkuudella.. Luettele kolme lukua, joiden likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella on 0.. Luettele kolme lukua, joiden likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on 0,06.. Millä välillä luku x on, kun sen likiarvo yhden merkitsevän numeron tarkkuudella on 97

98 kahden merkitsevän numeron tarkkuudella on,?. Mäkihyppääjä Janne Ahosen hypyn pituudeksi ilmoitettiin puolen metrin tarkkuudella 97, m. Millä välillä on hypyn todellinen pituus? 6. Osoita, että luvut 7. Osoita, että luvut 0,6 ja ja, ovat toistensa vastalukuja ovat toistensa käänteislukuja. 98

99 7. Lasketaan desimaaliluvuilla, pyöristyssäännöt Kun lasketaan desimaaliluvuilla, on tulosten tarkkuuteen kiinnitettävä erityistä huomiota. Muutoin saatetaan vahingossa väittää tehtyjä mittauksia todellisuutta tarkemmiksi. Desimaaliluvuilla laskettaessa vastaukset pyöristetään sopivaan tarkkuuteen tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Esimerkki. Juho ajaa työmatkallaan km kotoaan työpaikan parkkipaikalle. Parkkipaikalta on työpaikan ovelle 60 m ja ovelta m Juhon työhuoneeseen. Kuinka pitkä Juhon työmatka on kokonaisuudessaan? km + 0,060 km + 0,0 km =,07 km Tarkastellaan vastauksen mielekkyyttä. Automatka on ilmoitettu kokonaisten kilometrien tarkkuudella. Sen todellinen arvo on välillä, km -, km, jolloin koko matkan pituus tulisi olemaan välillä,7 km,7 km. Jos nyt Juhon työmatkan pituudeksi ilmoitetaan,07 km, tarkoittaa se, että matkan pituus on tarkasti km ja 7 m. Saadun tuloksen kaikki desimaalit 0, 7 ja voivat kuitenkin olla mitä tahansa numeroita, koska km matkaa ei oltu mitattu metrien tarkkuudella. Ainoa järkevä vastaus työmatkan pituudeksi, jossa voidaan luottaa numeroiden paikkansapitävyyteen, on km. Esimerkki. Suoritetaan laskut ja annetaan vastaukset sopivalla tarkkuudella. 99

100 Esimerkki. Suoritetaan laskut ja annetaan vastaukset sopivalla tarkkuudella. 00

101 Tehtäviä 8. Montako merkitsevää numeroa luvuissa on? 0 0,00,90 0,00 e) 9. Laskintehtävä Laske ja pyöristä tulos kahden desimaalin tarkkuuteen.,678 +,0989 +,6988,8698,0860, Montako desimaalia/merkitsevää numeroa voi olla enintään edellisen tehtävän laskujen vastauksissa? Miksi? 6. Montako desimaalia tulee seuraavien yhteen- ja vähennyslaskujen vastauksiin? 0,00 + 0, - 0,0007,6 -,66 + 6,000-0,00 +, -, 6. Laskintehtävä Laske edellisen tehtävän laskut ja pyöristä vastaus sopivaan tarkkuuteen. 6. Laskintehtävä Laske ja kiinnitä huomiota vastauksen oikeaan tarkkuuteen km 0,7 km, km, km 00, km 0,0km 0,097 km - 0,0006 km 6. Vanni norsun paino on huikeat 000 kg. Vanni syö eräänä aamuna,7 kg heinää ja, kg hedelmiä. Paljonko Vanni painaa aamupalan jälkeen? 6. Montako merkitsevää numeroa tulee seuraavien kerto- ja jakolaskujen vastauksiin? 0, 0,,,: 0,: 0, 66. Laskintehtävä Laske edellisen tehtävän laskut ja pyöristä vastaus sopivaan tarkkuuteen 0

102 67. Montako merkitsevää numeroa tulee kertolaskujen vastauksiin? 0,06 7,00, 008,6,060,0068,06,0 68. Laskintehtävä Pyöristä lausekkeiden tulokset likiarvojen edellyttämiin tarkkuuksiin.,0 9,9 9,8 000,86, 69. Laskintehtävä Laske Suomen maapinta-ala sadan neliökilometrin tarkkuudella, kun Suomen läänien maapinta-alat ovat seuraavat: Lääni Maapinta-ala [km ] Etelä-Suomen lääni 0 9,0 Länsi-Suomen lääni 7 8,7 Itä-Suomen lääni 8 77, Oulun lääni 6 88,9 Lapin lääni 9 00,8 Ahvenanmaa 6,0 (Lähde: Tilastokeskus) 70. Toskaomenoiden valmistusohje on tehty neljälle henkilölle. Muuta reseptin ainemäärät kahdelle kuudelle henkilölle. Toskaomenat kpl hapahkoja omenoita Toskaseos: 7 g voita tai margariinia, dl fariinisokeria rkl vehnäjauhoja rkl maitoa tai kermaa 70 g mantelilastuja Laita kuoritut ja halkaistut omenat kupera puoli ylöspäin voideltuun uunivuokaan. Kiehauta toskaseokseen kuuluvat aineet kattilassa koko ajan sekoittaen. Kaada seos omenoiden päälle ja kuumenna o :ssa uunissa -0 minuuttia. Tarjoile hieman jäähtyneenä jäätelön kera. Keksitkö syitä, milloin voit joutua muuttamaan tai kannattaa vähän muuttaa valmistamiseen tarvittavia ainemääriä? 0

103 7. Pyöräilijä painoi vaatteineen kilogramman tarkkuudella 7 kg. Pakattu reppu painoi kilogramman tarkkuudella kg ja pyörä painoi gramman tarkkuudella 8, kg. Paljonko pyöräilijä painoi varusteineen? 7. Kuinka tarkasti kolme yhteenlaskettavaa likiarvoa on mitattava, jotta summa saadaan varmasti oikein sadasosien tarkkuudella? 7. Kuinka tarkasti molemmat likiarvot on mitattava, jos niiden tuloon vaaditaan kahden merkitsevän numeron tarkkuus? 7. Laskintehtävä Yhden ruuvin paino on noin,7 g. Ruuvipakkauksen paino on 890 g. Montako ruuvia on pakkauksessa?. Miten pyöristät luvut, jotta tulos saa- 7. Sinun on suoritettava kertolasku daan varmasti oikein neljän kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella? 0,... 9,... 0

104 Kalenterin matematiikkaa Suomessa käytettiin 700-luvulla Juliaanista kalenteria, joka on nimetty Julius Caesarin mukaan. Juliaanisessa kalenterissa vuodessa on 6 päivää, ja joka neljäs vuosi on karkausvuosi, johon lisätään karkauspäivä. Venäjällä kirkollisia juhlia vietetään edelleen juliaanisen kalenterin mukaisesti. Maailmassa on käytössä noin 0 erilaista kalenteria. Gregoriaaninen kalenteri on näistä yleisin ja se on nykyisin myös meidän käytössämme. Kalenterimme on tällä hetkellä noin vuorokautta Juliaanista kalenteria edellä. Gregoriaaninen kalenterivuosi on normaalisti pituudeltaan 6 päivää, mutta koska todellinen aurinkovuosi on 6, päivää pitkä, lisätään joihinkin vuosiin karkauspäivä 9. helmikuuta, jolloin kalenterivuoden pituudeksi tulee 66 päivää. Karkauspäivää vietetään neljällä jaollisina vuosina, lukuun ottamatta sadalla jaollisia vuosia, jotka eivät ole jaollisia 00:lla. Ongelma Gregoriaanisessa kalenterissa on etteivät viikonpäivät pysy samoina vuodesta toiseen, vaan siirtyvät vuodessa yleensä yhden päivän eteenpäin. Viikonpäivän voi laskea seuraavan kaavan avulla: Huomaa, että kaavan jakolaskuissa kaikki luvut pyöristetään alaspäin! kuukausi a y vuosi a m kuukausi a d jakojäännö s, kun y y y m päivä y jaetaan luvulla d kertoo viikonpäivän: 0 = sunnuntai, = maanantai,... Islamilaisissa maissa käytetään Gregoriaanisen kalenterin kanssa rinnakkain Hijra-kalenteria. Hijra-kalenterissa on tai päivää ja kaksitoista kuukautta, ja kuukaudessa on 9 tai 0 päivää. Jokainen uusi kuukausi alkaa uudenkuun myötä. Kuukausi vastaa siis kuun kierrosta. Koska uusikuu tulee näkyviin eri ajankohtina eri puolilla maapalloa, ei sama kuukausi ala kaikkialla samana päivänä. Saman kuukauden päivien määrä saattaa vaihdella vuodesta toiseen. Yhdeksäs kuukausi on nimeltään Ramadan ja se on paastokuukausi. Annettaessa päivämäärä Hijra-kalenterin mukaan on tapana kirjoittaa H vuosiluvun jälkeen.gregoriaaninen vuosi (M) voidaan muuntaa likimäärin Hijra-vuodeksi (H) seuraavan kaavan avulla: M 6 H Kiinassa Gregoriaanisen kalenterin rinnalla käytetään kiinalaista kalenteria, jonka mukaan vietetään perinteisiä vuotuisia juhlia, kuten kiinalaista uuttavuotta. Kiinalainen kalenteri perustuu kuun ja auringon liikkeisiin. Kuun kierto on keskimäärin 9, päivän pituinen ja tietyin väliajoin kiinalaiseen kalenteriin lisätään ylimääräinen kuukausi, jotta se pysyisi auringon kulkuun perustuvan kalenterin tahdissa. Kiinalaisessa kalenterissa vuodet ovat nimetty 0

105 eläimen mukaan: rotta, härkä, tiikeri, jänis, lohikäärme, käärme, hevonen, lammas, apina, kukko, koira ja sika. Lisäksi käytössä on viisi elementtiä: vesi, tuli, maa, puu ja rauta. Näin kiinalainen kalenteri toistuu 60 vuoden välein (kaksitoista eri eläinten vuotta kertaa viisi eri elementtiä). 0

106 8. Aikaväli ja aikalaskut Aika-käsitteen avulla pystytään laittamaan tapahtumahetket järjestykseen. Ensimmäiset ajanmääritykset perustuvat päivän ja yön vaihteluun sekä vuodenaikoihin. Minuutteja ja sekuntteja on käytetty 600-luvulta lähtien. Tarve niille tuli vasta tähtitieteen kehittymisen myötä. Kymmenjärjestelmästä poikkeava tunnin ja minuutin jako kuuteenkymmeneen on peräisin babylonialaisilta. Maailmanaikana käytetään Englannin Greenwichin aikaa (GMT = Greenwich Mean Time), jossa puolenpäivän hetki määrätään Lontoon läheltä kulkevan 0-pituuspiirin mukaan. Suomessa noudatetaan toista aikavyöhykettä Greenwichistä itään, jota kutsutaan Itä-Euroopan ajaksi (GMT + ). Kun kello on Greenwichissä.00, on se meillä.00. Suomen virallinen aika saadaan Espoon Otaniemestä, Valtion teknillisen tutkimuskeskuksen sähkötekniikan laboratoriosta. tunti = 60 minuuttia minuutti = 60 sekuntia vuosi = viikkoa = 6 vuorokautta Esimerkki. Lasketaan paljonko on kolme viidesosaa 9 tunnista. Luvusta otetaan tietty osa siten, että luku kerrotaan kyseisellä osalla. Tunnissa on 60 minuuttia, joten vastaus minuutteina saadaan ottamalla neljä viidestoistaosaa 60 minuutista. Kellonaikalaskuja helpottaa tuntien ja minuuttien eritteleminen. Aikoja voidaan laskea allekkain yhteen ja vähentää toisistaan, kunhan muistetaan ettei kyseessä ole tuttu kymmenjärjestelmäkäytäntö vaan h = 60 min. Lasku aloitetaan aina pienimmistä ajanmääreistä. Esimerkki. 06

107 Juna lähtee asemalta 6. ja matka kestää tuntia 6 minuuttia. Moneltako juna on perillä? Vastaus: Juna on perillä kello 0.. Esimerkki. Yöjuna saapui asemalle.. Moneltako se lähti, jos matka kesti tuntia 8 minuuttia? Vastaus: Juna lähti kello.. 07

108 Tehtäviä 76. Muunna sekunneiksi. min min s h min s min 6 s e) h s f) h min s 77. Ilmoita ajat sellaisessa muodossa, että siinä näkyy kokonaiset tunnit, minuutit ja sekunnit (esimerkiksi h min 9 s) 789 s 70 s 90 s 9 00 s e) 0 s 78. Montako kuukautta on vuotta vuotta 6 vuotta 79. Montako minuuttia on tunti 6 tunti tunti?? 80. Kuinka monta minuuttia on h tuntia on 6 d h kuukautta on 8 a 6 kk sekuntia on viikko? 8. Täydennä. karkausvuosi = vuorokautta vuosisataa = vuotta 08

109 8 minuuttia = sekuntia viikkoa = vuorokautta e) 6 viikkoa = vuotta f) vuosituhatta = vuotta g) vuotta = vuorokautta 8. Amerikassa on käytössä -tuntinen kello. Muuta kellonajat -tuntisen kellon ajoiksi. 0.0 am. pm 7. am.0 pm 8. Muuta -tuntisen kellon ajat -tuntisen kellon ajoiksi Helmin koulupäivä alkaa 8. ja päättyy.. Montako tuntia Helmi viettää koulussa? 8. Laske. h 0 min + h 0 min 6 h 0 min + h 9 min h min + 8 h min 6 h min + 7 h 9 min 86. Laske. h 0 min - 7 h 6 min 9 h 6 min - 6 h 9 min 7 h min - h min 0 h 0 min - h 6 min 87. Vanhin ihminen, jonka iästä on kiistaton todiste, on ollut Ranskalainen Jeanne Calment. Hän syntyi..87 ja kuoli Kuinka vanhaksi hän eli? 88. Matka junalla Birminghamista Oxfordiin kestää h min. Laske mihin aikaan juna on perillä Oxfordissa, jossa juna lähtee Birminghamista kello

110 .8 e) Laske kuinka pitkä aika on seuraavien kellonaikojen välissä ja.0 8. ja. 0. ja ja.0 e).0 ja. 90. Montako päivää olet elänyt? Montako tuntia olet elänyt? Oletko eläny vielä miljoona minuuttia? Kuinka monta sekuntia olet elänyt, kun olet 60 vuotias? 9. Jos viime torstai oli.9, mikä viikonpäivä oli syyskuun ensimmäinen päivä? 9. Montako vuotta on vuosien ekr. ja jkr. välissä? 9. Kreikkalainen filosofi Platon syntyi vuonna 7 ekr. ja kuoli vuonna 9 ekr. Minkä ikäisenä hän kuoli? Montako vuotta on kulunut hänen syntymästään? 9. Muunna Gregoriaaniset vuodet Hijra-vuodeksi (muunnoskaavan löydät kappaletta edeltävästä tarinast Lasketaan mikä viikonpäivä oli (muunnoskaavan löydät kappaletta edeltävästä tarinast

111 9. Kertaustehtäviä Lukujoukot ja laskutoimitukset 96. Muodosta ja laske lukujen 6 ja 6 summa erotus tulo osamäärä. 97. Esitä lukusuoran avulla seuraavat lukujoukot reaaliluvut luonnolliset luvut kokonaisluvut 98. Mihin lukujoukkoihin luku kuuluu? , e) 99. Päättele mikä luku sopii tyhjään ruutuun? _ + = 6 - _ = 8 80 : _ = 6 _ = 00. Päättele mikä on luku x, kun luvun 78 ja luvun x summa on 90 tulo on erotus on 69 osamäärä on Kun eräs luku kerrotaan luvulla 0, on se suurempi kuin sama luku kerrottuna luvulla. Mikä luku on kyseessä? 0. Kahden luvun summa on ja erotus 6. Mitkä luvut ovat kyseessä?

112 0. Tarhassa on yhteensä eläintä, kanoja ja kaniineja. Niillä on yhteensä 68 jalkaa. Montako kumpaakin lajia on? Lukujen suuruusvertailua 0. Järjestä luvut suuruusjärjestykseen, pienin ensin. 0,6 6,6 6,06 0,006 6,006,,,, 0,,7,07,007 7,0 7,00 0. Valitse sopiva merkki: < tai > _. - _ - 0,9999 _ 6 _ 6,00 e),99 _, Päättele puuttuva luku e) Onko väite tosi vai epätosi? 7 < - e) f) Merkitse lukusuoralle ne reaaliluvut, jotka ovat lukujen ja välissä suurempia kuin luku positiivisia suuruudeltaan enintään.

113 09. Mitkä luvuista -,, 8 ja toteuttavat ehdon x x 8 x 7 x 8? 0. Mitkä luonnolliset luvut x totetuttavat ehdon? x x x 0 x. Taulukossa on aikuisten painoindeksiluokat. Painoindeksi P Tulkinta P 8, Normaalia alhaisempi paino 8, < P,9 Normaali paino,9 < P 9,9 Lievä lihavuus 9,9 < P,9 Merkittävä lihavuus,9 < P 9,9 Vaikea lihavuus P > 9,9 Sairaalloinen lihavuus Mitä voit sanoa henkilön painosta, jos hänen painoindeksinsä on,9 8,? Itseisarvo ja vastaluku. Määritä lukujen etäisyys nollasta e) x

114 . Jäljennä taulukko vihkoosi ja täydennä puuttuvat luvut. luku vastaluku itseisarvo -. Sievennä Merkitse ja laske lukujen -9 ja 6 itseisarvojen summa erotus tulo. 6. Luettele ne kokonaisluvut, jotka toteuttavat ehdon luku. 7. Mikä luku sopii x:n paikalle? x 6 x 6 x 6 x 6 8. Mitkä ovat lukujen vastaluvut?, a 6 a-

115 9. Lauseke toteuttavat ehdon ehdon x a x x ilmaisee luvun x etäisyyden luvusta a. Tutki lukusuoran avulla, mitkä luvut Kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslasku 0. Kirjoita lukusuoralla kuvatut laskutoimitukset lausekkeena ja suorita ne.. Mikä lämpötila on kolme astetta enemmän kuin 0 C C C 7 C?. Mikä lämpötila on viisi astetta vähemmän kuin 0 C. C C 0 C?

116 . Kirjoita laskulauseke ja ratkaise loppulämpötila. Lämpötila kohoaa asteesta astetta. Lämpötila laskee - asteesta 8 astetta. Lämpötila laskee asteesta astetta. Lämpötilöa kohoaa asteesta 9 astetta.. Päättele mikä luku sopii tyhjään ruutuun? _ - = - - _ = _ = _ + 8 = - 6. Käyttötilin saldo oli kuukauden alussa 9,9. Laske tilin saldo kuukauden lopussa, kun tilitapahtumat oli seuraavat: talletus 0 otto 60 otto 0 otto 0 talletus 8,80 otto 6 otto 9 otto Laske seuraavien lukujen summa: voitto 7000 euroa ja tappio 00 euroa. Merkkiyhdistelmien sieventäminen 8. Sievennä + (-7) + (+) - (+ 8) - (-) 6

117 9. Laske + (+) + (-) - (+ ) -(-) 0. Laske. 7 9 ( 6) ( 8). Laske Kopio taulukko vihkoosi ja täydennä Osoita laskemalla, että luvut ovat toistensa vastalukuja. ja 7 ja 7 99 ja ja Merkitse ja laske lukujen ja summa erotus vastalukujen erotus.. Merkitse ja laske lukujen erotus. 9, -7 ja, - ja 7

118 Kokonaislukujen kerto- ja jakolasku 6. Onko vastaus positiivinen vai negatiivinen? 9 ( ) ( ) 8 ( ) Laske edellisten tehtävän laskutoimitukset. 8. Päättele puuttuva luku. 8 8 e) 9. Kopio taulukko vihkoosi ja täydennä. kertaa Mikä on vastaus, kun lukujen 6 ja - tuloon listään -? lukujen -0 ja - osamäärä kerrotaan luvulla -? lukujen -7 ja -8 tulosta vähennetään lukujen -8 ja osamäärä?. Täydennä puuttuvat luvut. x 0 8

119 x x. Keksi kertolasku, jonka tulos on -8 jakolasku, jonka tulos on -.. Etsi kaksi sellaista lukua, joiden summa on -7 ja tulo summa on - ja tulo on -6 Potenssimerkintä. Kopioi taulukko vihkoosi ja täydennä. potenssimuoto kantaluku eksponentti normaalimuoto 0. Laske. e) f) g) () ( ) () 6. Merkitse ja laske. luvun neliö luvun kuutio luvun vastaluvun neliö luvun neliön vastaluku 7. Onko väittämä tosi vai epätosi? 9

120 Luvun kaksi kuutio on neljä. Kokonaislukuja on enemmän kuin luonnollisia lukuja. Minkä tahansa luonnollisen luvun kuutio on aina positiivinen. Kahden samanmerkkisen luvun tulo on aina positiivinen. e) Negatiivisen luvun neliö on aina negatiivinen. f) Mikä luku tahansa korotettuna potenssiin yksi on yhtä kuin yksi. 8. Merkitse ja laske. luvun - neliö luvun - kuutio luvun - vastaluvun kuutio luvun - kuution vastaluku 9. Laske. (-) - (-) (-) 0. Laske. 6. Mikä on potenssimerkintöjen kantaluku? (-) (-9) -p ab 6 e) (-xyz) Monikerrat ja jaollisuus. Luettele lukujen neljä ensimmäistä monikertaa Mitkä luvuista 0,, ja 0 ovat jaollisia kahdella kolmella 0

121 viidellä kuudella e) kymmenellä?. Kopioi taulukko vihkoosi ja rastita, jos luku jaollinen ensimmäisellä rivillä olevalla luvulla. Luku Ohessa on lista luvun monikerroista, täydennä puuttuvat luvut.,0, _, _, _, _, _, _, _, 0 6. Täydennä seuraavat lauseet. Parillinen luku on aina jaollinen... Jos luvun viimeinen numero on 0 tai, luku on jaollinen... Jos luvun numeroiden summa on jaollinen kolmella, luku on jaollinen... Jos luku päättyy numeroon 0, on luku jaollinen... e) Jos luku on jaollinen sekä luvuilla että, on luku jaollinen myös Olen negatiivinen luku, suurempi kuin -8 ja jaollinen luvulla. Mikä luku olen? 8. Keksi neljä lukua, jotka ovat jaollisia sekä kahdella että kolmella. 9. Keksi kolme lukua, jotka ovat jaollisia luvuilla, ja 7. Luvun jakaminen tekijöihin 60. Onko jälkimmäinen luku ensimäisen luvun tekijä? 0, 6, 8 7, 8, 9 e) 69, 6. Täydennä puuttuva tekijä.

122 _ 7 9 _ 6 6. Mikä on pienin luku, jonka alkutekijät ovat,, ja 7? 6. Mikä luku on kaikkien lukujen tekijä? Kuinka monta tekijää on alkuluvuilla? Luettele kolme sellaista lukua, jotka ovat suurempia kuin ja joilla on vain kaksi tekijää. 6. Jaa luvut tekijöihin. 7 Mitä lukuja nämä ovat? 6. Jaa luvut alkutekijöihin Pakkauksessa on 8 kukan taimea. Koulun myyjäisiä varten taimet pakataan pienempiin pakkauksiin. Meneekö taimet tasan, jos kuhunkin pakkaukseen laitetaan 6 kukan taimea? 67. Noora toi juhliin 0 donitsia. Luettle miten hän voi järjestää donitsit tarjottimelle riveihin, niin että jokaisessa rivissä on sama määrä donitseja? Murtoluvut 68. Muunna sekaluvuiksi. 0 8

123 Muunna epämurtoluvuksi Muunna epämurtoluvuksi Supista murtoluvut e) Supista murtoluvut. 0 80

124 e) Järjestä murtoluvut suuruusjärjestykseen,,,,, Täydennä Lavenna samannimisiksi. 0 ja ja 6 ja ja Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku 76. Laske.

125 77. Laske Määritä lukujen summa erotus. 79. Laske 6 ja 80. Keksi murtolukujen yhteenlasku, vähennyslasku, jonka tulos on.. 8. Mehutiivisteestä saadaan mehua sekoittamalla yhteen osan tiivistettä viisi osaa vettä. Kuinka paljon mehua saadaan litran pullollisesta tiivistettä? 8. Laske Laske. 6

126 Murtolukujen kertolasku 8. Kerro luku 0 0. luvulla 8. Laske Laske Montako desilitraa on 6

127 l 88. l l? Auto kulkee litralla bensiiniä 8 km. Kuinka monta kilometriä auto kulkee litralla polttoainetta? 89. Koulussa on 00 oppilasta ja heistä 8 7 :lla on sisaruksia. Monnellako oppilaalla ei ole siskoa tai veljeä? 90. Laske, paljonko on neljäsosa 96 eurosta viidesosa 7 eurosta kaksi kolmasosaa 6, kilogrammasta. 9. Laske. a a 6 a a b b Murtolukujen jakolasku 9. Muodosta lukujen käänteisluvut

128 Muodosta lukujen käänteisluvut Jaa luvulla 9. Jaa seuraavat luvut luvulla. 96. Laske. 97. Laske. : 6 : 7 : : 8 : 6 : 7 : 8 8 8

129 7 : Määritä lukujen tulo osamäärä. ja 99. Määritä lukujen osamäärä 7 ja 6 ja 7 ja. Laskujärjestys 00. Laske. 88: : Laske : 6 : 6 0. Laske. ( ) : 6 86 (8 8 ) 0(9 ) : (7 ) 8 (8 8) : 0. Laske. 9

130 0. Laske. 0. Laske. : ( ) ( ) : ( 6) 6 : ( ) 6( ) : [( 7) ( ) 0 ( )] 8: 6 ( ) ( 7) ( 8) ( 6 ) : 6 ( 6) ( 7) Laske Laske Desimaaliluvut ja merkitsevät numerot 08. Kirjoita desimaalilukuna Kirjoita murtolukuna supistetussa muodossa. 0,7 0,8 0,0,0 e), 0. Pyöristä sadasosien tarkkuuteen. 0

131 ,67 99, ,,0 e) 80,6. Pyöristä lähimpään sataan. 8 e) 9,999. Tarkastellaan lukua 0,0008. Ilmoita luku desimaalin merkitsevän numeron desimaalin merkitsevän numeron tarkkuudella.. Laskintehtävä Laske laskimella potenssien likiarvot ja anna vastaukset kahden desimaalin tarkkuudella. 6,7,6 (-,09),09 -. Montako merkitsevää numeroa on likiarvoissa? 00 0,000 0,09 0,8 e) 800. Montako merkitsevää numeroa on luvuissa? 000,00 0,00, Osoita, että luvut ja,8 ovat toistensa vastalukuja.

132 Lasketaan desimaaliluvuilla, pyöristyssäännöt 7. Montako desimaalia tulee yhteen- ja vähennyslaskujen vastauksiin?, +,,68 +,0 +,0 0,, 00,, 8. Laskintehtävä Laske edellisen tehtävän laskut ja anna vastaukset sopivalla tarkkuudella. 9. Kolmen laatikon massat ovat, kg,,6 kg ja 8,9 kg. Paljonko laatikot painavat yhteensä? 0. Suorakulmion pituus on 8,987 m ja leveys,7 m. Laske suorakulmion ympärysmitta.. Montako merkitsevää numeroa tulee kertolaskujen vastaukseen? 0 0, 0,00 00,6. Laskintehtävä Laske edellisen tehtävän kertolaskut ja anna vastaukset sopivalla tarkkuudella.. Montako merkitsevää numeroa tulee jakolaskujen vastaukseen? 0,,, 0, 0, 0,, 6 0, 9, 0,00. Laskintehtävä Laske edellisen tehtävän jakolaskut ja anna vastaukset sopivalla tarkkuudella. Aikaväli ja aikalaskut.

133 Täydennä lauseet Vuodessa on vuorokautta. Karkausvuodessa on vuoruokautta. Vuodessa on viikkoa. Tunnissa on minuuttia. e) Minuutissa on sekuntia. f) Tunnissa on sekuntia. 6. Montako minuuttia on h h h 6 h? 7. Montako minuuttia on 0, h 0, h 0, h 0, h? 8. Montako tuntia on (ilmoita vastaus murtolukun min 0 min 0 min min? 9. Täydennä. vuotta = vuorokautta karkausvuotta = vuorokautta vuosisataa = vuotta 9 minuuttia = sekuntia e) viikkoa = vuotta 0. Paljonko kello on 0 minuuttia kello 0.0 jälkeen minuuttia ennen kello. tuntia ennen kello.0 minuuttia kello 7. jälkeen e) 0 minuuttia ennen kello 8?

134 . Kuinka pitkä aika on kellonaikojen välissä?.00 ja.0.0 ja.0.0 ja ja. e).0 ja 9.. Ari Ahkera nukkui arkipäivisin noin vuorokaudesta. Opintoihin häneltä kului aikaa vuorokaudesta. Kuinka suuren osan vuorokaudesta hän kulutti muihin toimiin? Montako tuntia Arilla oli aikaa käytettävänä muuhun kuin nukkumiseen tai opiskeluun?

135 Harjoituskoe I (kappaleet - 0). Merkitse ja laske lukujen 0 ja - erotus osamäärä tulo.. Mikä on potenssimerkintöjen kantaluku? Kirjoita potenssimuodossa. e) f). Onko väite tosi vai epätosi? Jos väite on epätosi, korjaa se. Luku 6 kuuluu rationaalilukujen joukkoon. Jos kertolaskussa on pariton määrä negatiivisia tekijöitä, tulo on positiivinen. Luvun itseisarvo on aina postiivinen. Luku 0 hajoaa alkutekijöihin seuraavasti.. Laske e) f) a 8 x ( ) ( ) ( ) Poista sulkeet ja laske. ( ) ( 6) 6. Mitä ovat alkuluvut? 8 8 ( ) ( ) 0 ( ) ( 7)

136 Jaa luku 0 alkutekijöihin. 6

137 Harjoituskokeen I ratkaisut. 0 ( ) 0 0( ) 0. Koska potenssimerkinnässä on sulkeet, on kantalukuna Koska lausekkeessa ei ole sulkuja, korotetaan pelkkä x potenssiin 8, joten kantalukuna on x. e) Miinusmerkki ei kuulu kantalukuun. f). tosi epätosi, Jos kertolaskussa on pariton määrä negatiivisia tekijöitä, tulo on negatiivinen. tosi epätosi, = - 9 = = - e) f) a Poista sulkeet ja laske. 8 ( ) ( ) ( ) ( 7) 0 7 ( ) ( 6) 6 6. Alkuluku on lukua suurempi luonnollinen luku, joka on jaollinen ainoastaan luvulla ja itsellään

138 Harjoituskoe II (kappaleet 8). Laske Muodosta ja laske lukujen tulo osamäärä. ja. Kannussa on,7 litraa vettä. Jos juomalasin tilavuus on litraa, montako lasillista vettä kannusta saa kaadetuksi? Samilla on 8 kappaletta litran juomatölkkiä. Montako litraa juomaa on yhteensä?. Laske ja kiinnitä huomiota vastausten oikeaan tarkkuuteen., +,,6,00,000 0,,. Montako minuttia on 0, h? Montako tuntia on min? (Ilmoita vastaus murtolukuna.) Laske h min h 8 min. 6. Laske. 7 : 9 8

139 Harjoituskokeen II ratkaisut.. ) 0 ) : :. 7 Muunnetaan,7 ensin murtoluvuksi,7, vastaus saadaan jakolaskulla : : 7 lasillista Vastaus saadaan kertolaskulla litraa., +,,6 = 6,08 Vastaukseen kaksi desimaalia, koska epätarkimmassa lähtöarvossa on kaksi desimaalia. Vastaukseen kaksi merkitsevää numeroa, koska epätarkimmassa lähtöarvossa on kaksi merkitsevää numeroa. 6,0,0 0, , , 6,09 60, Vastaukseen kaksi merkitsevää numeroa, koska epätarkimmassa lähtöarvossa on kaksi merkitsevää numeroa.. 0, 60 min min ( h 60 h 9

140 0 Vastaus: h 7 min ) ) : 9 7 )

141 Vastaukset. -. Ottamalla kaapista kenkää ja sukkaa.. Asetetaan vaakaan kummallekin puolelle aluksi sormusta ja punnitaan. Kolmas kolmen ryhmä on vaa'an ulkopuolella. Rihkamasormus kuuluu punnittavista ryhmistä kevyempään. Jos vaaka on tasapainossa, rihkamasormus on siinä ryhmässä, joka ei ole punnituksessa mukana. Nyt tiedetään, missä kolmen ryhmässä rihkamasormus on. Asetetaan näistä kolmesta sormuksesta kaksi vaa'alle, jolloin kevyin sormus löytyy.. Pikkumyy ja Muumi ( min), Muumi takaisin ( min), Nipsu ja Niiskuneiti ( min), Pikkumyy takaisin ( min), Pikkumyy ja Muumi ( min). Yhteensä min.. Paimen tietää, että ainoa vaaraton ratkaisu on jättää susi ja kaali keskenään. Siis hän tekee näin: vie lampaan joen yli, palaa ja vie kaalin (aikomuksenaan jättää kaali ja susi toiselle puolelle), tuo lampaan takaisin, vie suden, jättää suden ja kaalin ja palaa hakemaan lampaan. 6. Ota 9 l astia täyteen vettä. Kaada 9 l astiasta l vettä pienempään astiaan ja kaada l pois. Toista kohta uudelleen ja näin sinulle jää 9 l astiaan l vettä. Siirrä l vettä l:n astiaan. Täytä 9 l astia uudelleen vedellä ja kaada vesi l astiaan, jossa on ennestään l vettä. Näin isompaan astiaan jää 6 l vettä. 7. Pulman juju on siinä, että kupit vaihtavat paikkaa. Niitä ei arvota satunnaisesti uuteen järjestykseen. Näin ollen keskimmäisessä kupissa on joko kaksi mustaa tai kaksi valkoista palloa. Poimi siitä yksi pallo. Jos se on musta, kupit ovat (VM), (MM), (VV). Jos se on valkoinen, kupit ovat (MM), (VV), (VM). 8. Ongelman idea on, että hehkulamppu hehkuu, eli tuottaa valon lisäksi lämpöä. Laita katkaisija A päälle. Odota viisi minuuttia. Laita A pois ja B päälle. Mene yläkertaan. Katkaisijaan A kytketty lamppu on sammuksissa mutta lämmin, B on päällä, C on sammuksissa ja viileä. 9. Koska alkuoletuksessa kahdeksan apinaa syö kahdeksan banaania, jokainen apina syö yhden banaanin. Siten apinalta kuluu aikaa banaanin syömiseen kahdeksan minuuttia (olettaen, että kaikki apinat syövät samalla nopeudell. Jokainen neljästä apinasta syö yhden banaanin, joten aikaa kuluu kahdeksan minuuttia. Apina syö kahdeksassa minuutissa yhden banaanin. Kuudessatoista minuutissa apina ehtii siis popsia kaksi banaania. Siten tarvitaan kahdeksan apinaa 6 banaanin syömiseen. 0.

142 8,, 8,,, kaikki. 80: : 8 8, 8. kokonaisluvut luonnolliset luvut reaaliluvut. Kaikki. 0 e) Ei mahdollinen 6. reaali- ja rationaaliluvut reaali- ja rationaaliluvut reaali-, rationaali- ja kokonaisluvut reaaliluvut e) reaali-, rationaali-, kokonais- ja luonnolliset luvut luonnollisten lukujen joukko (positiivisten tai negatiivisten kokonaislukujen joukot ovat vieläkin suppeampia, koska niissä ei ole nollaa mukan

143 9. reaali-, rationaali- ja kokonaisluvut reaali-, rationaali-, kokonais- ja luonnolliset luvut reaali- ja rationaaliluvut reaaliluvut e) , huolimatta siitä, minkä seitsemännumeroisen luvun valitsit.. 8,,, 7, 0,, 9, 6, 6 8,, 0, 6,.,6 m ,

144 0. (,0,0), (0,,0), (0,0,), (0,8,7), (9,9,7) ja (9,8,8) Hiirellä on koloonsa matkaa 0 hiiren askelta ja kissalla on hiiren koloon matkaa 0 hiiren askelta + 0 kissan askelta eli yhteensä 00 hiiren askelta. Samassa ajassa kun hiiri juoksee 0 hiiren askelta, juoksee kissa 6,7 kissan askelta eli 8, hiiren askelta. Hiiri ehtii kololleen ennen kissaa.. Numerot on aakkosjärjestyksessä , <, 0,8 <, 0,0 > 0,00 < e) 98 > Savi Siltti Hiekka Sora e) Kivet 9. 7 ja 8 6, 7, 8 sellaisia lukuja ei ole olemassa 0. epätosi tosi

145 tosi tosi e) tosi f) epätosi. < 6 > > 0 < 0 e) f) hinta 00 g) matka km h) lämpötila -0 o C, tai pakkasta 0 o C i) o C lämpötila o C. 0 ja ja, ja ,,,,, 0,,,,, 78, 79, 80, 8,

146 8. epätosi tosi epätosi epätosi e) tosi f) epätosi 9. 0 x 0 k 00 kpl x 000 n 8 hlö 0.,,, 7,, 6, 8. 6,8 6,8 6,8 6,8 6,8 6,86 6,87 6,88 6,89 6,90... Vähintään 69 laatikkoa.. Vuokraamon A perimä vuokra: Vuokraamon B perimä vuokra:, joten vuokraamo A on edullisempi. 6. Lasketaan litrahinnat A: B:, 0,7 l,80 0,6 l,07 l,0 l Vastaus: B on edullisempaa. 7. 0,0 00 km km 0, 00 km 68 km. 6

147 Alas Pohjoiseen Länteen Hävitä 00 euroa e) Neljä kerrosta ylös f) Lyhentää 0 cm g) 60 m meren tason alapuolella e) 6, luku vastaluku itseisarvo (- ) d e) 00 f) 9,8 m/s g) 80 km/h 6. 9 yhtä suuret 9,0 7

148 6. 9 8, ( ) -, - (-6) (+) (-) 68., 0 e) (00) ( ) f) ( ) Luvut, -, -, -, -, 0,,,,,

149 9 7. kaikki kokonaisluvut jotka ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin tai kaikki kokonaisluvut jotka ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin 7. luvut,,,, 6, 7 sekä luvut, -, -, -, -6, , 0, 0 -, -6,, 6-9, -96, -97, -98, 9, 96, x tai x 7 x tai x x tai x C, - C, 0 C, + C ja + C 78. Ada 9 velkaa Sinä velkaa C C C C C 8. C C C C 9

150 8. C C + C = - - = = -7 + =

151 e) f) 0 g) 88 h) kerroksessa = - 7 = - 7 = kerroksessa C 0 C 60 C

152 e) f) 7 g) - 0.

153 . kaikissa (-) = - -0 (-) = (-) + = -. --(-6)- = - 6. Kaikkissa lukujen summa on. 7. ( 8) 8 ( 8) ( ) 6 ( 0) ( ( )) Luvut ovat toistensa vastalukuja.

154 ( 0) ( 0) 0.,, 6, 8, 0,,, 7, 9. positiivinen negatiivinen positiivinen 6. positiivinen positiivinen negatiivinen negatiivinen e) negatiivinen f) positiivinen e) -8 f) e) f)

155 00 6 e) f) positiivinen negatiivinen. positiivinen negatiivinen negatiivinen positiivinen. 6 e) 0 f)

156 Kun negatiivisen luvun kertoja pienenee, tulo suurenee. 9. < > = epätosi tosi epätosi tosi e) tosi f) epätosi. 0.. luvut ovat ja 7 6. x x y 8 ja y, luvut ovat ja 6 6

157 7. x y ja x y, luvut ovat 6 ja e) e) a f) e. 0 8 e) a f) y

158 00 6. on ei ei 7. - e) bbb mmmm e) ( ) e) 7 ( x)

159 e) 7 f) 76 g) ( ) ( ) e) f) a a ja 9 67.,,,,,,,, 68. x = x = x = 0 x = Rahaa on viikon jälkeen säästössä 096, sillä rahamäärällä saa montakin sohvaa! 9

160 kerroksesta 7. On Ei On On e) Ei 7. 0, 0, 0,, 6, 9,, 6, 8 e) 0,, 60 7., 6, 8, 0 0,, 0, 8, 7, 6,,,, e) 6, 9,, Luku Monikerrat,, 6, 8, 0, 0,, 0, Luku Monikerrat, 6, 9,,, 8,, 6, 0 Luku Monikerrat 6 6,, 8,, 0 8 8, 6,,, 0,, 6, 8, , 0, 0, 0, 0, 60, 70, 80 7,,, 8, 78., ja e) 60

161 79.,, e) ja f) 80. ja e) 8.,, e) 8. on on ei on e) ei 8.,,,, 6,,, 8,,, 0 8. Luku X 8 X 0 X X X X X X 78 X X X 970 X X X X X X 8. mikä tahansa luvun 6 monikerta käy vastaukseksi mikä tahansa luvun monikerta käy vastaukseksi e) 87.,,,, 6,,,, 6, 9, 8,, 7,,,,, 6, 8,, 88.,,, 8, 6,,,, 9 6

162 ,,,, 8, 0, 0, 0,,,, 6, 8, 9,, 8,, 6, Esimerkiksi 9 ja 8. Koska on luvun monikerta, ovat luvut jaollisia kolmella. 90. Esimerkiksi 97 ja 860 Koska 8 on luvun monikerta, ovat luvut jaollisia kolmella. Ja koska 8 on myös luvun 9 monikerta, ovat luvut jaollisia myös luvulla parillinen parillinen pariton parillinen 9. Esimerkiksi 0, 60, 90, 0 (mikä tahansa luvun 0 monikerta käy vastaukseksi) 9. 0 e) Mies, 990, M Nainen, 970, Y Mies, 00, Nainen, 899, R 99. On On 6

163 Ei Ei e) On f) On 00.,,, 7,,,7, 9, ja. 0. 7,, 9, 6, 67, 7, 7, 79, 8, e) f) Luku Tekijät 6,,, 6 8,,, 8 Luku Tekijät 0,,, 0 0,,,, 0, 0 Luku Tekijät 9,, 9,,,, 6,,,,, 6, 8,, 0.,,, 6, 9 8,,,, 0,, 0, 00, 9,,,, 6, 8, 9,, 6, 8,, 6, 8,7, e),, 7, 9,,

164 ,,, 8,,,, 6,,, alkuluku alkuluku Luvut ovat alkulukuja.., 6, 8, 9, 8.,,,, 6, 9,, 8, 7, 6,, 08..,,, 7,,, 7, 9 9,, 7. e) 6. 7,, 7, 9 6

165 7. ei kllä kyllä 8.,,, 6, 8, tai vierasta , 7 6., 6 6

166 ,,, 0,

167 e) ja 6 ja ja ja ,B 8 A 8,B 6 7 A 9,B A,B 6 A 6.

168 7., 6, , 8,. a = b = a = b = a = 6 b = 8 a = b =. ja 7 ja. a a ja a ja b b 68

169 69 ab a ab b ja ab a ab b 0 ja

170

171 kg kupillista litraa x 7

172 a 8 b y y a x 6b 6y ad bc bd ad bc bd 7

173 litraa

174 g kg tuntia 7.8 euroa litraa g g l kolikkoa a

175 Koska on kuudesosa 0:stä, Alku tekee minuutissa kuudesosan työstä. Siis Kelpo tekee viidessä minuutissa viisi kuudesosaa. Koko työhön häneltä kuluisi siten 6 minuuttia. 8. Maan sisällä oleva osa = Vedessä oleva osa = Veden pinnalla oleva osa = 0 pylväästä on 70 cm, joten pylvään kokonaismitta on 0 70cm 700cm 7 0 m. 86. ac bd

176

177 e) f) 9 b a, a ( a ) pulloa dl 0. on ei on

178 ja a b 07. ad bc 08. ab 0 ab

179 ( ) ( 0 ) ( 0 8) : 7 ( 6 ) : e) 79

180 : 6: 6 : : Esimerkiksi 8 : epätosi tosi 80

181 tosi tosi _ ,,08 0,0 0,

182 kymmenien sadasosien tuhansien ykkösten. kymmenien tuhansien tuhansien tuhannesosien., 0,086 0,00,0000 e), f) 00, 6. 0,7 0,7 6,6,9 e), f) 9, 7. 0,8 0, 0,79 0,6 8.,0 0,0 68, 78,0 8

183 9.,7,00 0,0 00,00 e), , 80,,0 7, e) 9,8 f), e) 98..,0,0,06,06 e),06. 0,7 0,6 0,6 0,66 e) 0,

184 ,0 0,09 0,00 9. viisi kaksi kolme kuusi e) neljä 0. 8,0 9,76 8,0,0 e) 688, m/s , x,, x,. 97, m 97,7 m 6. Jos luvut ovat toistensa vastalukuja, on niiden summa 0. ( Muutetaan, murtolukumuotoon:, 0 8

185 0 eli luvut ovat toistensa vastalukuja 7. Jos luvut ovat toistensa käänteislukuja, on niiden tulo. Muutetaan 0,6 murtolukumuotoon: 8. e) 0,6 9. 8,6 7, ( 60. Neljä desimaalia, koska epätarkimmassa lähtöarvossa on neljä desimaalia. Neljä meritsevää numeroa, koska epätarkimmassa lähtöarvossa on neljä merkitsevää numeroa ,,8-9, 6. 80, km 800 km 6, km 0,096 km kg 6. 8

186 , 0,07, , , km 70. kpl omenoita, 7,g voita, 0,7 dl fariinisokeria, rkl vehnäjauhoja, rkl maitoa, g mantelilastuja 6 kpl omenoita,,g voita,, dl fariinisokeria, rkl vehnäjauhoja, rkl maitoa, 0 g mantelilastuja kg 7. tuhannesosien tarkkuudella 7. Kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. 7. ruuvia 7. 0, 9, 0,9, s s 0 s 96 s e) 0 s f) s 86

187 77. h min 9 s 6 min 0 s 8 min 0 s h 6 min 0 s e) 6 min 0 s kuukautta kuukautta 9 kuukautta 79. 0min min 8min min 0 h kk s e) f) 000 g) pm.0 am.0 pm.0 am 8. 6, h 8. 7 h 87

188 h 9 min 0 h 6 min h min 86. h min h 7 min h min h min 87. -vuotiaaksi e) h min 7 h 0 min 7 h 6 min 6 h min e) h 0 min maanantai 9. vuotta, ajanlaskussamme ei ole vuotta nolla vuotiaana vuotta (vuonna 008) keskiviikko torstai

189 Reaalil-, rationaali-ja kokonaislukuihin Reaali- ja rationaalilukuihin Reaalilukuihin Reaali- ja rationaalilukuihin e) Reaalil-, rationaali-, kokonais- ja luonnollisiin lukuihin ja kanaa ja kania. 0. 0,006 0,6 6,006 6,06 6,6 0,,,,,,007,07,7 7,00 7,0 0. < < < < e) > 89

190 e) epätosi epätosi tosi tosi e) tosi f) tosi , ja 8 8 ja -, ja 0. 0,,, 0,,, 0, 0,,,,. Normaalipainoinen Lievästi lihava Merkittävästi lihava Paino on normaalia alhaisempi. 8 90

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01

KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01 KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan

Lisätiedot

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA 1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Seuraavien tehtävien tekemiseen tarvitset tulitikkuja

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa

1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa 1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat?

Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Desimaaliluvut, mitä ne oikeastaan ovat? Matti Lehtinen Desimaaliluvut ovat niin jokapäiväisiä ja niillä laskemiseen niin totuttu, ettei yleensä tule miettineeksi, mitä ne oikeastaan ovat. Joskus kauan

Lisätiedot

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen?

b) Kun vähenevä on 1000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava 180. Mikä on toinen? LASKUTOIMITUKSET Nimi: ) Muista laskutoimituksissa käytettävät nimet. a) Mikä on lukujen 650 ja 70 summa erotus b) Kun vähenevä on 000 ja vähentäjä 670, mikä on erotus? c) Summa on 720, toinen yhteenlaskettava

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005

MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005 MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp

Matematiikka 3 osp. Taso T1. OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Taso T1 Matematiikka 3 osp OSA 1: Laskennan perusteet 1 osp Tämän kolmiosaisen materiaalin avulla opiskelija voi suorittaa itsenäisesti tai ohjatusta matematiikan pakollisen osa-alueen tasolla T1. Osa

Lisätiedot

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Seguinin lauta A: 11-19

Seguinin lauta A: 11-19 Lukujen syventäminen Kun lapsi ryhtyy montessorileikkikoulussa syventämään tietouttaan lukualueesta 1-1000, uutena montessorimateriaalina tulevat värihelmet. Värihelmet johdattavat lasta mm. laskutoimituksiin,

Lisätiedot

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt

Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Matematiikan itsenäisiä tehtäviä

Matematiikan itsenäisiä tehtäviä Matematiikan itsenäisiä tehtäviä Luvut ja niiden nimet suomeksi Laskutoimitusten nimiä suomeksi Perustehtävät Luvut ja niiden nimet suomeksi 1. Kirjoita luvut suomeksi. a) 155 sadat kymmenet ykköset b)

Lisätiedot

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1)

Luokka 0-1. Vertailua (Luokka 0-1) Lukukäsite ja luvut 0-10 (Luokka 0-1) Yhteen- ja vähennyslasku 0-5 (Luokka 0-1) Lasku-Lassin maatila - Harjoituslista Sivu 1 / 20 Luokka 0-1 Vertailua (Luokka 0-1) 1. Etsi erilainen Kuvavalinta 2. Mikä ei kuulu joukkoon? Kuvavalinta 3. Pitempi, lyhyempi Kuvavalinta 4. Mikä ei kuulu

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2

Talousmatematiikan perusteet, L2 Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Lukujono eteenpain 1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen, 1-50 1. LukiMat/Arviointi/Laskemisen taidot

Lukujono eteenpain 1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen, 1-50 1. LukiMat/Arviointi/Laskemisen taidot NEUREN TEHTAVAKUVAUKSET kaikki vuosiluokat Arviointi TAITO TEHTAVA TAVOITE LK. TEHTAVAN SIJAINTI LASKEMISEN TAIDOT Lukujonon luetteleminen Lukujonotaitojen arviointi1-50 Puuttuvan luvun taydentaminen on,

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne

matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne 1 Turun kristillisen opiston oppimateriaaleja -sarja Tekijä: Eeva Rinne Julkaisija: Turun kristillisen opiston säätiö, Lustokatu 7, 20380 Turku. www.tk-opisto.fi

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen

(1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen (1) Desimaaliluvut ja lukujen pyöristäminen Luvun pyöristäminen Mikäli ensimmäinen pois jäävä numero on 5 tai suurempi, korotetaan sen vasemmalla puolella olevan numeron arvoa yhdellä. Luku 123, 3476 yhden

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 3. luokan opintopolku (Laskutaito-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

1. Johdanto... 4. 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6

1. Johdanto... 4. 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6 1. Johdanto... 4 2. Pähkinälista... 5 2.1. Luokka 3... 5 2.2. Luokka 4... 5 2.3. Luokka 5... 5 2.4. Luokka 6... 6 3. Pähkinöiden sisältö... 6 3.1. Kaikille luokille yhteisiä pähkinöitä... 6 3.1.1. Järjestä

Lisätiedot

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla 1. Tehtävänanto Pohdi kuinka opettaisit yläasteen oppilaille murtolukujen peruslaskutoimitukset { +, -, *, / } Cuisenairen lukusauvoja apuna

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

7 Matematiikka. 3. luokka

7 Matematiikka. 3. luokka 7 Matematiikka Matematiikka on tapa hahmottaa ja jäsentää ympäröivää maailmaa. Lapsi löytää ja omaksuu leikin, toiminnan sekä keskustelujen avulla matemaattisia käsitteitä, termejä, symboleja ja periaatteita.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MATEMATIIKKAKILPAILU

MATEMATIIKKAKILPAILU Tekniikan Opettajat TOP ry Teknologiateollisuuden Kustannusosakeyhtiö Opetushallitus 100-vuotissäätiö Otava AMMATIKKA top 14.11.2013 Toisen asteen ammattillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen MATEMATIIKKAKILPAILU

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Prosenttikäsite-pelin ohje

Prosenttikäsite-pelin ohje 1(5) Prosenttikäsite-pelin ohje Yksi neljäsosa kakkua Tässä pelissä opitaan yhdistämään * murtoluvun kuva ja sanallinen kuvaus sekä murtolukumerkintä * murto- ja desimaali- sekä %-luvun merkinnät. 0,25

Lisätiedot

Johdatus insinöörimatematiikkaan

Johdatus insinöörimatematiikkaan Timo Ojala ja Timo Ranta Johdatus insinöörimatematiikkaan 01 (a+b) a +a b+ab +b ESIPUHE Aluksi haluan onnitella sinua hienosta uravalinnasta: Insinöörin ammatti on arvostettu perinteinen ammatti, joka

Lisätiedot

Kenguru 2014 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste

Kenguru 2014 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 7 ja Pakilan ala-aste NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus

Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus Timo Ojala ja Timo Ranta Matematiikan perustietojen kertaus (a+b) a +a b+ab +b MATEMATIIKAN OPISKELUSTA JA SOVELTAMISESTA Matematiikka on jatkuvasti kehittyvä itsenäinen tiede. Matematiikassa tutkitaan

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI

TEHTÄVIEN KUVAUKSET. 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI TEHTÄVIEN KUVAUKSET 4. luokan opintopolku (Tuhattaituri-kirjasarja) VILLETEAM@UTU.FI WWW.VILLETEAM.FI -TEKSTI- ESSI TAMMINEN -TAITTO- TOMMY JOHANSSON 2015 VILLE TEAM Esipuhe Tämä kirja on kokonaiskatsaus

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi toinen luokka kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut

Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Solmu 3/2008 1 Lukujen uusi maailma: p-adiset luvut Tauno Metsänkylä Matematiikan laitos, Turun yliopisto Kun kokonaislukujen 0,1,2,... joukkoa laajennetaan vaiheittain ottamalla mukaan negatiiviset kokonaisluvut,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

Oppikirjamaraton-tiimi. Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita

Oppikirjamaraton-tiimi. Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita Oppikirjamaraton-tiimi Vapaa matikka 1 Matikka verkosta vapauteen! Kirjasta puuttuu vielä muun muassa kuvitusta, yhtenäistämistä ja muita loppumetrien toimituksellisia temppuja. Kerro meille mitä kirjassa

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 3 pistettä 1. Kenguru-kilpailu on joka vuosi maaliskuun kolmantena torstaina. Mikä on ensimmäinen mahdollinen päivä kilpailulle? (A) 14.3. (B) 15.3. (C) 20.3. (D) 21.3.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi ensimmäinen luokka syksy Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista,

Lisätiedot

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II

Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II Ma9 Lausekkeita ja yhtälöitä II H Potenssit, juuret ja prosentit. Onko potenssin arvo positiivinen vai negatiivinen, jos potenssin kantaluku on negatiivinen ja eksponentti on parillinen pariton?. Kirjoita

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 12 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05

Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Neure - tehtäväluettelo 1 / 5 14.12.2005, 17:05 Matematiikka Huom! Mikäli tehtävällä ei vielä ole molempia teknisiä koodeja, tarkoittaa se sitä, että tehtävä ei ole vielä valmis jaettavaksi käyttöön, vaan

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

LASKUTOIMITUKSET. Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos:

LASKUTOIMITUKSET. Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: LASKUTOIMITUKSET Montako ötökkää on kussakin ruudussa? Nimi: 1 Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Tulos: Jos laskit ötökät yksitellen, harjoittele ja mieti, miten voit tehdä laskun

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

TEHTÄVÄVINKKEJÄ MATEMATIKKAAN

TEHTÄVÄVINKKEJÄ MATEMATIKKAAN Viinikankatu 49a, 33800 TAMPERE Puh (03) 380 5300, Fax (03) 380 5353 E-mail: myynti@tevella.fi, www.tevella.fi TEHTÄVÄVINKKEJÄ MATEMATIKKAAN I LOOGISET PALAT 1) Laita kaikki LOOGISET PALAT eteesi työpöydälle.

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin.

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu 2015 2016 alkukilpailu 29.10.2015. Ratkaisut 1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia.

Lisätiedot

Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9

Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9 Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9 3 pistettä 1. Kun tiedetään, että + + 6 = + + +, mikä luku voidaan sijoittaa kolmion paikalle? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Ratkaisu: Kun poistetaan kummaltakin

Lisätiedot

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS

A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot