menetelmän laskennalliset tekniikat Epäkäyvän kantaratkaisun parantaminen

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "menetelmän laskennalliset tekniikat Epäkäyvän kantaratkaisun parantaminen"

Niko Kyllönen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Smpex-menetemän menetemän askennaset teknkat 8. ento: Prmaa-smpex S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / Epäkäyvän kantaratkasn parantamnen. vaheen yenen smpex-menetemä Kannassa pysyvä mtta vo mtta epäkäyväks Kantaan teva mtta vo oa epäkäypä Laskennasa näkökma Mkatva yhdstetty hnnotte. vaheen smpexssä S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 /

2 Merkntöen kertasta Kakken mtten ndeksokko N = {, K, n } Kantamtten ndeksokko B = { k, K, km : k N } E-kantamtten ndeksokko R = { : N, B } Indeksokko yäraaa oeve mtte, otka evät oe kannassa U = k k R, x k = { } : k S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 3 Indeksokkoa kantamtte Kantamtten ndeksokko I = I I I I I 3 = k = { : type( x ) } {, K m} I =, Indeksokko epäkäyve kantamtte: M P = Indeksokko käyve kantamtte: P F = I \ M S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako { : xk <, I I I } { : x >, I I } = k k ( ) Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 4

3 Smpex-menetemän. vahe. vahe: käyvän kantaratkasn etsntä. vahe: optmaasen käyvän kantaratkasn etsntä Yestetty. vaheen agortm FEWPHI CF-:e Kanta B on epäkäypä, os M P Merktään kantaratkasa β:a: β = xb = B b kak = B bu k U Epäkäypyyden mtta: w = β ( β υ ) M S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako P Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 5. vaheen optmonttehtävä Maksmodaan negatvnen epäkäypyys: max w s.e. Ax = b x Kohdefnkton määrtemä vo mtta oka teraatoa! S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 6 3

4 Kannan käypyyden mttmnen Perntesten menetemen oetkset: Kantaan teva mtta on käypä Kannassa oevat käyvät mttat pysyvät käypnä Kannasta postva mtta pysyy käypänä Srretään mttaa x, oka e oe kannassa E-negatvnen srtymä t käypään sntaan Kantamtten arvot mttvat t:n fnktona Bx β B () t + ta = bu xb ( t) () t = β tα = B b U tb a S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 7. vaheen redsodt kstannkset Ttktaan kohdefnkton mtosta w: w = M [ β () t β ( ) ] {[ β ( t) υ ] [ β ( ) υ ]} P ( ) ( ) = tα tα = t α α M P M P Lemma: Okoon annettna M P a R a x =. w:n arvo paranee kasvattamaa x :n arvoa os d = α α < M P S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 8 4

5 . vaheen parantavat srtymät x :n tyypp x :n arvo d Parantava srtymä t Hom. Mkä tahansa E te kantaan < + > - U < / - S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 9 S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Kantaan tevan mttan vanta Määrteään vektor h R m :, os M h =, os P, mten Redsodt kstannkset: d = h T α = h T B a T = φ a mssä φ on. vaheen smpex-kerron Kantaan teva mtta vodaan vata aemmn kästeyä hnnottemenetemä Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 5

6 Epäkäypyyden mtta t:n fnktona Määrteään operaattort - a + K, = K, os K os K < K + K, =, os K > os K Epäkäypyyden mtta yo. operaattoren ava S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako ( ) = [ β ( t) ] [ β ( t) υ ] w t = I [ β tα ] [ β tα υ ] I I I I = I I I, I = I I + + Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / Kannasta postvan mttan vanta Todetaan: w(t) on atkva paottan neaarnen konkaav fnkto w(t):ä tatepsteet t:n arvoa, ossa vähntään yhden kantamttan käypyys mtt Kantamttan käypyys mtt, kn β ( t) = β tα saavttaa aa- ta yäraansa w(t):n maksmkohdasta määräytyy kannasta postva mtta Srn mahdonen srtymä koht käypää kantaratkasa S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 6

7 Aaraaa: Yäraaa: Kantamtten tatepsteet β α > τ = I = I I I ( β υ ) τ = I = I I α > osα a I os β =, α > a I osα a I os β =, α < a I S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 3 Kantamtten vakts t:n fnktona Kantamttan käypyyden mttmnen t:n fnktona rpp mttan tyypstä akarvosta β α :n merkstä β t :n vakts w(t):hen, os < ( ) β tα,, υ β + tα, t < τ τ t τ t > τ α S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 4 7

8 w(t):n mttmnen t:n fnktona Kakk määrteyt tatepsteet τ a τ ärestetään nosevaan ärestykseen t K t S Ensmmänen mtos kantamtten käypyyteen tapaht penmmässä tatepsteessä t Vää [, t ] w(t):n kmakerron vastaa kantaan tevan mttan x redsota kstannsta r = d = α α M P w t = rt ( ) S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 5 w(t):n mttmnen t :n äkeen Merktään :ä kantamttan ndeksä, oka määrttää tatepsteen t Josα < β () t tee raaeen aapoeta Indeks srtyy oko M F ta F P Kmakerron vää [t, t ] on r = r + α a r < r Jos α > tee raaeen yäpoeta Indeks srtyy oko P F ta F M Kmakerron vää [t, t ] on r = r α a r < r S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 6 8

9 Rekrso w(t):n askemseks Lase: Okoon r = -d w(t):n ensmmänen kmakerron a asketaan opt kmakertomet k rk + = rk α, k =,, K, S Täön w(t):n maksmn määrää ndeks s, oe r > a s r s + Lase: Okoon t =, a asketaan w(t) rekrsoa w( tk ) = w( tk ) + ( tk tk ) rk, k =, K, s. w(t):n maksm on s:s teraato w(t s ). S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 7 Kantaan teva mtta epäkäypä Kantaan tevan mttan arvo oko sremp kn yäraansa ta negatvnen e-vapae mtte Oetetaan, että x = e oe kantamtta Epäkäypyyden mtta x :e on + W () t = [ β tα ] [ β tα υ ] + g ( t) I t os t < g () t = t os t > mten g (t) on paottan neaarnen konkaav fnkto S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako I Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 8 9

10 W (t):n paranemnen Lemma: Oetetaan, että x = e oe kannassa a sen srtymä on t. W (t) paranee x :n arvoa mttamaa t os d = α α < M P t os d = α α > M P Vastaava emma: x = e oe kannassa t os d > t os d < - S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 9 W (t):n ymääräset tatepsteet < + = + x = x = x = t d < d < - τ = τ = d < - t d > τ = d > d > τ = τ = S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 /

11 W (t):n kmakertomen askemnen Tatepsteet ärestetään t:n snnan mkaan: Jos t t L ts Jos t t S L t = Lase: Oetetaan, että tatepsteet on askett a ärestetty kten yä. Jos r = -d, nn (k + ):nnen vän W (t):n kmakerron on k r = r, k =, K S r k + k α, k k + = rk + α k =, K,, S S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / Degenerotnt kanta Raaansa oeva kantamtta vo estää kantaan tevan mttan srtymän Mahdonen tatepste degenerotneessa kannassa = t = L = t < t+ L t S w(t):n maksme ndeksä s pätee s k k rs = r α > a rs + = r α k = k = Jos s >, nn t s > a srrytään koht käypyyttä Jos s, nn t s = a degenrotness estää w(t):n paranemsen s S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 /

12 Nmeernen stabss Arvotaan an penet pvot-akot saattavat ahettaa nmeersa ongema Perntesä menetemä e vahtoehtoa, os pvotako ykskästtesen mnmshteen tos w(t):n ava vodaan ostavast vata pvot-ako, os s > Jos t s :ää vastaava pvot-ako on an pen, vodaan vata edenen, s := s Täön menetetään w(t):n optmaass S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 3 Laskennanen vaatvs Tatepsteden askemnen e vaad rkaan ymäärästä askentaa Tatepsteden ärestämnen saattaa oa raskasta, os S on sr, esm S > Yeensä kakka tatepstetä e tarvta Van k penntä tatepstettä tarvtaan k:nnea teraatoa Heap sort tehokas hakemaan k penntä tatepstettä Käytännössä S vo mtta reppaast teraatosta toseen, opa thansn S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 4

13 Mkatva yhdstetty hnnotte Idea: otetaan. vaheessa homoon myös okea kohdefnkto: f = w γz, γ f-optmaanen ratkas, os e öydy parantavaa mttaa Jos w =, nn vastaava x B on optmratkas akperäseen tehtävään Jos w <, nn tehtävän käypyyttä e voda pääteä a odtaan ratkasemaan phdas. vaheen smpex Honost vatt γ vo hdastaa epäkäypyyden tnnstamsta S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 5 Yhteenveto. vaheen tavotteena on maksmoda negatvnen epäkäypyys Yenen FEWPHI-agortm pettoaa pernteset. vaheen agortmt Kannassa pysyvä mtta vo mtta epäkäyväks Kantaan teva mtta vo oa epäkäypä Postvnen aske koht käypyyttä mahdosta, vakka kanta os degenerotnt Nmeersest stabmp Montavoteoptmonna vodaan homoda todenen kohdefnkto. vaheessa S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 6 3

14 Krastta Greenberg, H. (978). Pvot seecton tactcs. Maros, I. (986). A genera Phase-I method n near programmng. Eropean Jorna of Operatona Research 3, Maros, I. (98). Adaptvty n near programmng, II. Akamazott Matematka Lapok 7, -7. Wofe, P. (965). The composte smpex agorthm. SIAM Revew 7(), S ysteemanayysn Laboratoro Teknnen korkeako Matemaattsten agortmen ohemont Kevät 8 / 7 4

Samankaltaiset tiedostot

Simplex-menetelm. S ysteemianalyysin. 11. luento: Duaali-simplex. 1. vaiheen duaali-simplex. Hinnoittelu. Pivot-rivin laskeminen. Degeneroituneisuus

Simplex-menetelm. S ysteemianalyysin. 11. luento: Duaali-simplex. 1. vaiheen duaali-simplex. Hinnoittelu. Pivot-rivin laskeminen. Degeneroituneisuus Smlex-menetelm menetelmän laskennallset teknkat. luento: Duaal-smlex Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 /. vaheen duaal-smlex Duaal-smlex Hnnottelu Pvot-rvn laskemnen Degenerotunesuus Matemaattsten