Tehtävien ratkaisut. Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen FYSIIKKA 7. Sähkömagnetismi. Sanoma Pro Oy Helsinki

Transkriptio

1 Tehtävien ratkaisut Heikki Lehto Raimo Havukainen Jukka Maalampi Janna Leskinen FYSIIKKA 7 Sähkömagnetismi Sanoma Pro Oy Helsinki

2 Sisällys Johdantotehtävien ratkaisut 4 Magneettikenttä 6 Induktio 8 3 Vaihtovirta 47 4 Sähkömagneettinen värähtelypiiri 69 Kertaustehtävien ratkaisut 78

3 Johdantotehtävien ratkaisut. a) Kompassia käytetään pohjois-etelä-suunnan määrittämiseen. Neulan pohjoispää näyttää pohjoissuunnan ja eteläpää eteläsuunnan. Kompassia käytetään myös tarkan suoraviivaisen kulkusuunnan varmistamiseen. Kun kompassin neulan asento kompassin muuhun rakenteeseen nähden pysyy kävellessäsi tai juostessasi vakiona, kuljet suoraviivaisesti. b) Kompassin neula on pienoismagneetti, jonka toinen pää on magneettinen pohjoisnapa ja toinen magneettinen etelänapa. Näin ollen kompasi asettuu pohjois-eteläsuuntaan. c) Maan magneettinen pohjoisnapa sijaitsee etelänapamantereella. d) Tasavirtakaapelissa kulkeva sähkövirta synnyttää ympärilleen magneettikentän, ja tämä voi häiritä kompassin neulaa.. a) Rauta on ferromagneettinen aine ja se sisältää pieniä magneettisia alkeisalueita. Nämä kääntyvät lähes yhdensuuntaisiksi rautajauhon ulkopuolella olevan kestomagneetin magneettikentän vaikutuksesta. Rautajauhe magnetoituu ja tarttuu kiinni magneettiin. b) Magneettien välillä ei ole aina vetovoima. Magneetilla on kaksi napaa, pohjoiskohtio ja eteläkohtio. Kun magneetit asetetaan siten, että erimerkkiset navat ovat lähellä toisiaan, magneettinen vuorovaikutus aiheuttaa vetovoiman. Kun magneetit asetetaan siten, että samannimiset navat ovat lähellä toisiaan, magneettinen vuorovaikutus aiheuttaa hylkivän voiman. 3. a) Auringon pinnalla esiintyy voimakkaita magneettisia ilmiöitä. Auringonpilkkujen kohdilla magneettiset myrskyt ovat rajuja. Voimakkaan magneettikentän muodostuessa Auringon pinnalle näemme tämän kentän navat. Niitä kutsutaan auringonpilkuiksi. Ne näyttävät ympäristöään tummemmilta, koska niiden lämpötila on noin 43 K 45 K, kun Auringon muun pinnan lämpötila on noin 58 K. Pilkun lämpötila on alhaisempi kuin ympäristön, koska magneettikenttä estää Auringon sisältä saapuvaa lämmön aiheuttamaa kaasujen virtausta pilkun kohdalla. Magneettikentät, jotka liittyvät auringonpilkkuihin, aiheuttavat purkausroihuja eli flareja. Auringonpilkun kohdalla on kuoppa Auringon pinnalla. Kuopan syvyys on noin km. Koska auringonpilkku on magneettisen kentän napa, pilkkujen runsastuminen viestittää Auringon magneettisen aktiivisuuden kasvua, jolla on monia vaikutuksia myös Maahan. Vaikka pilkut ovat viileitä kohtia, niiden ympäristöt ovat aktiivisia ja kirkkaita. Pilkkujen vaikutuksesta Auringon lisääntynyt kosminen säteily Maata kohti vaikuttaa mm. ilmakehän otsonikerrokseen ja esim. hiili- 4-isotoopin muodostumiseen, mikä puolestaan vaikuttaa hiileen perustuvan iänmääritystekniikan luotettavuuteen. Lisääntyneen säteilyn takia myös ilmasto Maassa lämpenee, kun pilkkuja esiintyy paljon. Vastaavasti ilmasto Maassa viilenee, jos auringonpilkut ovat harvinaisia, kuten tapahtui vuosina Tälle ajanjaksolle osuu vuosi 699, joka muistetaan Suomessa ankarasta nälänhädästä. Auringon sisällä tapahtuvat magneettiset ilmiöt aiheuttavat Maahan monenlaisia vaikutuksia. b) Maan navoilla Maan magneettikentän Auringosta saapuvat varauksiset hiukkaset ohjautuvat ilmakehään magneettikentän vaikutuksesta. Kulkiessaan ilmakehän läpi hiukkaset iskevät irti elektroneja mm. typpi- ja happimolekyylien elektroniverhoista. Tyhjään elektronipaikkaan siirtyy elektroni molekyylin ylemmältä energiatasolta. Silloin tasojen välinen energiaero vapautuu valona molekyylistä. Atomit ja molekyylit voivat myös virittyä siten, että jokin elektroni siirtyy korkeammalle energiatasolle vaikka se ei irtoa atomista. Viritystilan purkautuessa vapautuu valoa. 4. Tasavirta aiheutuu tasajännitteestä. Johtimessa liikkuviin sähkövarauksiin vaikuttaa sähköinen voima koko ajan yhteen suuntaan. Silloin varauksiset hiukkaset liikkuvat johteessa yhteen suuntaan. 4

4 Vaihtovirta aiheutuu vaihtojännitteestä. Johtimessa liikkuviin sähkövarauksiin vaikuttava sähköinen voima vaihtaa suuntaa säännöllisesti. Silloin varauksiset hiukkaset johteessa värähtelevät edestakaisin. 5. Sähköä johtavan aineen lähellä muuttuva magneettikenttä aiheuttaa eli indusoi johteeseen jännitteen, jota sanotaan induktiojännitteeksi, ja joka aiheuttaa suljetussa virtapiirissä sähkövirran. Syntynyttä sähkövirtaa kutsutaan usein induktiovirraksi. Induktio on mm. sähkögeneraattorin toiminnan fysikaalinen perusta. Generaattoreissa usein magneettikenttä pysyy paikallaan ja johdinsilmukat pyörivät magneettikentässä. Sähköä tuottavissa voimalaitoksissa on generaattorit. 6. a) Lähetinantennissa värähtelevät elektronit. b) Ilmassa värähtelee sähkökenttä ja magneettikenttä. Sähköisessä viestinnässä olennaista on sähkökentän värähtelysuunnan taso, joka toimii polarisaatiotasona. Magneettikenttä värähtelee tätä tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa. c) Vastaanottimessa värähtelevät elektronit. 7. a) Sähkölasku koostuu energian hinnasta, verosta ja siirtomaksusta. Kokonaishinta voi muodostua esimerkiksi seuraavasti: energia 7, snt/kwh, vero,4 snt/kwh ja siirto 5, snt/kwh. Tällöin kokonaishinta on 4,6 snt/kwh. Sähkön hinta vaihtelee paikkakunnittain. Sähkön hinta tietyllä paikkakunnalla riippuu myös asiakkaan tekemästä sähkösopimuksesta. Esimerkiksi teollisuussähkö ja kotitaloussähkö ovat hinnaltaan erilasia. Kuluttaja voi vaihtaa sähkön toimittajaa halutessaan, mutta sähköverkon omistajalle maksettavaa sähkön siirtomaksua ei voi kilpailuttaa. Sähköä voi myös tuottaa itse esimerkiksi tuuligeneraattoreilla. Silloin ulkopuoliselle sähkön toimittajalle ei tarvitse maksaa sähköstä. b) Saunan kiukaan käyttö tulee kalliimmaksi, koska kiukaan sähköverkosta ottama sähköteho on suurempi kuin tietokoneen yhtä pitkänä aikana ottama sähköteho. Sähkölaskun suuruus määräytyy mm käytetyn sähkötehon mukaan. 8. a) Muuntajien sisärakenteissa jännitteet ovat hengenvaarallisen suuria. Myös korkeajännitelinjoista muuntajaan johtavat sähköjohdot ovat hengenvaarallisia niiden suuren jännitteen takia ja myös suuren sähkövirran takia. Korkeajännitteisen johdon lähellä vaarana on myös valokaari, joka voi aiheuttaa suuren sähkövirran esimerkiksi ihmisen kautta maahan. Siksi muuntajan välittömässä läheisyydessä ei saa liikkua. b) Merkintä tarkoittaa sitä, että muuntaja kytketään 3 V jännitteeseen eli Suomessa tavalliseen seinässä olevaan pistorasiaan, jossa vaihtovirran taajuus on 5 Hz. 9. Guglielmo Marconi keksi langattoman lennättimen eli radion. Marconi julkisti radiopatentin vuonna 987. Marconia pidetään radion keksijänä, vaikkakin radion kehittämisessä oli mukana useita henkilöitä eri puolilla maailmaa. Lisäksi radiolähetyksiä oli lähetetty ennen Marconin patenttiakin. Näin ollen radion keksijän titteli on kiistanalainen. Marconi sai yhdessä Karl Ferdinand Braunin kanssa Noblin fysiikan palkinnon vuonna 99 ansioista langattoman lennättimen kehittämisessä.. Kännykässä on useita antenneja. Kännykässä tarvitaan useilla eri aallonpituuksilla toimivia antenneja, jotta sitä voi käyttää eri puhelinverkoissa ja tietoliikenneverkoissa. Useimmiten antennit muodostuvat useasta johdinlevystä (ns. PIFA-antenni (Planar Inverted F Antenna).) 5

5 Magneettikenttä -. a) Löytöretkien aikaan laivan paikka määritettiin avomerellä suunnan, matka-ajan, nopeuden ja tunnetun lähtöpisteen avulla. Menetelmästä käytettiin nimeä merkintälasku. Kompassi tarkensi suunnan määritystä verrattuna Auringosta tai tähdistä määritettyyn suuntaan ja mahdollisti sen myös huonolla säällä. Paikan leveysaste osattiin määrittää myös Auringosta, mutta pituusasteen määritys Auringosta vaatii jonkin tunnetun pisteen tarkan paikallisajan tuntemista, ja ensimmäiset tarpeeksi tarkat kellot osattiin rakentaa vasta 7-luvulla. b) Magneetti tarttuu esimerkiksi nikkeliin ja kobolttiin. c) Magneetin avulla voisi löytää malmeja, joissa on rautaa, nikkeliä tai kobolttia. -. Lusikka on taottu magneettisesta malmista ja se lepää hieman koveralla alustalla. Kun lusikka pyöräytetään, se asettuu pohjois-eteläsuuntaan. -3. a) Toinen magneeteista leijuu toisen magneettikentässä, koska magneettien samannimiset päät hylkivät toisiaan. b) Kestomagneetti on asetettava hyvin herkästi kääntymään pääsevälle alustalle. Kestomagneetin ja kompassineulan pohjoiskohtio kääntyy kohti Maan magneettista etelänapaa, joka sijaitsee lähellä Maan maantieteellistä pohjoisnapaa. -4. a) Magneettisuus voidaan poistaa rautanaulasta esimerkiksi kuumentamalla tai sopivasti lyömällä. Pudotus voi myös aiheuttaa magneettisuuden heikkenemisen. b) Kestomagneetin magneettisuuden voi poistaa esimerkiksi takomalla, kuumentamalla aine Curielämpötilaan tai viemällä magneetti pitkäksi ajaksi vaihtovirtaan kytketyn käämin sisään. -5. Nosturilla voidaan nostaa vain sellaisia kappaleita, joissa on rautaa. Tällaisen kappaleen kiinnittäminen nosturiin, samoin kuin sen irrottaminen nosturista on helppoa, koska magneettinen vaikutus on olemassa vain silloin, kun sähkövirta kulkee sähkömagneetin käämissä. -6. a) Auringon pinnalla olevat tummemmat alueet ovat ns. auringonpilkkuja. Ne aiheutuvat voimakkaista paikallisista magneettikentistä, jotka estävät kuumaa ionisoitutta ainesta nousemasta Auringon pinnalle. Auringonpilkut voivat esiintyä yksin tai ryhminä. Auringonpilkun lämpötila (noin 4 5 K) on alempi kuin ympäristön. Aurinko on aktiivisimmillaan noin vuoden välein. Edellinen auringonpilkkumaksimi oli vuonna, joten seuraavaa maksimia odotellaan vuonna. Näyttäisi kuitenkin siltä, että maksimi ajoittuisi vuosille 3 tai 4. b) Auringon aktiivisuus voi aiheuttaa Maan magneettikentässä suhteellisen pieniä mutta verraten nopeita vaihteluja, magneettisia myrskyjä. Nämä synnyttävät merkittäviä sähkövirtoja maanpinnalla oleviin suurikokoisiin johdepiireihin, joita muodostavat mm. öljy- ja kaasuputket tai sähkönsiirtoverkot. Sähköverkossa tällaiset ns. GIC-virrat (Geomagnetically Induced Currents) (lähes tasavirtoja) voivat aiheuttaa suojareleiden laukeamisia (sähkökatkoksia) ja jopa pysyviä muuntajavaurioita. Myös kännyköiden, navigaattoreiden ja satelliittien toiminta voi häiriintyä. -7. Naulat magnetoituvat magneetin magneettikentässä ja kiinnittyvät toisiinsa samalla tavalla kuin magneetit. Magneettikenttä on likimain naulajonon suuntainen. 6

6 -8. Magnetometri on laite, jolla mitataan mm. Maan magneettikentän voimakkuutta. Magnetometrin avulla voidaan myös paikallistaa raudasta valmistettujen laivojen hylkyjä. Raudasta valmistetun laivan hylky aiheuttaa häiriön maan magneettikentässä, jonka magnetometri havaitsee ja hylky voidaan paikallistaa. Magnetometrin avulla etsitään myös magneettisia mineraaleja lentokoneesta käsin. Maasta käsin tehtyjä mittauksia haittaa se, että vain muutama prosentti kallioperästä on näkyvillä. Lehtokoneesta käsin tehtävillä mittauksilla mitataan magneettivuon tiheyden intensiteetin muutoksia maankamarassa. Mittauksilla saadaan tietoa useiden satojen metrien syvyyksistä. -9. a) Muuntajissa käytetään magneettisesti pehmeitä aineita, koska tällöin muuntajan ns. rautahäviö (eli hystereesiin kuluva energia) jää pieneksi. b) Magneettisesti kovia aineita käytetään mm. kestomagneeteissa ja magneettisissa muisteissa. -. a) Deklinaatio on magneettineulan poikkeama pohjoissuunnasta. Inklinaatio on magneettineulan kallistuma vaakatasosta. Suomessa deklinaatio on 4 - astetta itään ja inklinaatio 7-78 astetta. Suunnistuskartoissa deklinaatio on usein otettu huomioon siten, että karttapohjoinen on maantieteellisen pohjoisen sijasta asetettu samaan suuntaan magneettisen pohjoisen kanssa. Ulkoilukartoissa deklinaatio on ilmoitettu kartan reunassa olevalla nuolella, joka osoittaa magneettisen pohjoissuunnan. Suuntaa otettaessa kompassin pohjoinen asetetaan vastaamaan karttaan merkittyä magneettista pohjoista. Deklinaatio ja inklinaatio ovat myös tähtitieteessä käytettyjä termejä, jolloin ne eivät liity magnetismiin. b) Selitys liittyy inklinaatioon. Maan magneettikenttä on vaakasuora vain päiväntasaajalla tai lähellä päiväntasaajaa. Muualla sillä on aina pystysuora komponentti, joka pyrkii vääntämään kompassin neulaa pystyasentoon. Tämä vääntö kumotaan kompassissa neulan painotuksella, jolloin neula asettuu kompassin sisällä likimain vaakasuoraan asentoon. Pohjoisella pallonpuoliskolla toimivissa kompasseissa neulan eteläpää on painavampi ja eteläisellä pallonpuoliskolla toimivissa kompasseissa päinvastoin. Väärän pallonpuoliskon kompassi ei toimi, koska neula on väärässä asennossa eikä pääse liikkumaan vapaasti. 7

7 -. a) Pistevarauksen sähkökentän muoto ja suunta riippuu paitsi varauksen etumerkistä myös lähellä olevien muiden varausten tilanteesta. Samoin sauvamagneetin magneettikentän muoto ja suunta riippuu paitsi magneetin kohtiosta myös muista lähellä olevista magneeteista. Ohessa olevat kenttäviivaesitykset ovat yksi mahdollinen ratkaisu tehtävään. Nämä kuvat korostavat sähkökentän ja magneettikentän muotojen samankaltaisuutta. N N -. Tehtävän vastaukset on kerätty oheiseen taulukkoon. aineen tyyppi r aineen vaikutus magneettikenttään magneetin vaikutus aineeseen diamagneettinen < heikentää vähän hylkii heikosti paramagneettinen > vahvistaa vähän vetää heikosti puoleensa ferromagneettinen >> vahvistaa voimakkaasti vetää voimakkaasti puoleensa -3. ) Aine A on magneettisesti pehmeä aine, koska sen hystereesiskäyrä on kapea. Aine A soveltuu sähkömagneetin sydänaineeksi, koska aineella A on pieni jäännösmagnetismi. Se magnetoituu helposti ja siitä magneettisuus häviää nopeasti. ) Aine B on magneettisesti kova aine. Se soveltuu kestomagneetiksi, koska aineella B on suuri jäännösmagnetismi. Tällainen aine säilyttää magneettisuutensa. 3) Aine A soveltuu muuntajan sydänaineeksi. Aineessa A lämpöhäviöt ovat pienemmät kuin aineessa B. Lämpöhäviöt ovat verrannolliset hystereesiskäyrän rajoittamaan pinta-alaan. -4. a) Suprajohtavalla aineella on kaksi erikoisominaisuutta: suprajohteen resistanssi on nolla, ja jos suprajohde asetetaan ulkoiseen magneettikenttään, se muodostaa magneettikentästä virheettömän peilikuvan eli toimii täydellisenä diamagneettina (Meissner-ilmiö). Jos suprajohtavassa tilassa olevan johteen yläpuolelle asetetaan magneetti, se jää siihen levitoimaan 8

8 (leijumaan): syntyvä hylkimisvoima voi kumota gravitaatiovoiman. Siksi suprajohteet hylkivät magneetteja. Suprajohtavan tilan saavuttamiseksi aine on jäähdytettävä ns. kriittisen lämpötilan alapuolelle esimerkiksi upottamalla aine nestemäiseen typpeen. Kun suprajohde poistetaan nestemäisestä typestä, sen lämpötila kohoaa ja suprajohtavat ominaisuudet alkavat hävitä. Tällä hetkellä ei tunneta ainetta, joka olisi suprajohtava huoneenlämpötilassa. b) Suprajohtavan materiaalin, suprajohteen, resistanssi on (lähes) nolla ja näin ollen tehohäviöt johtimessa ovat hyvin pienet. Käämissä kulkeva sähkövirta on tällöin suuri, esim. 7 A ja sen aiheuttaman magneettikentän magneettivuon tiheys suuri esim.,5 T (n. 3 kertaa Maan magneettikentän voimakkuus). -5. a) Hiukkaseen vaikuttavan magneettisen voiman suuruus saadaan yhtälöstä F m = qvbsinα, jossa α on magneettikentän ja hiukkasen nopeuden välinen kulma. Koska magneettikentän suunta on pohjoisesta etelään, ja hiukkanen liikkuu etelästä pohjoiseen, kulma α = 8 ja sin8 =. Näin ollen magneettinen voima on nolla. b) Koska positiivisesti varattu hiukkanen liikkuu lännestä itään kohtisuorasti etelään osoittavaa magneettikenttää vastaan, oikean käden säännön perusteella voima vaikuttaa suoraan alas. -6. a) Varattujen hiukkasten liikettä voidaan ohjailla magneettikenttien avulla. Magneettisessa pullossa magneettikentän muoto on sellainen, että se estää ionisoituneesta aineesta muodostunutta plasmaa liikkumasta tietyn alueen ulkopuolelle. B F B F F B -7. a) ) Oikean käden säännön perusteella hiukkasen sähkövaraus on positiivinen. ) Koska hiukkanen etenee suoraviivaisesti magneettikentässä, se ei ole magneettisessa vuorovaikutuksessa kentän kanssa. Näin ollen hiukkasella ei ole sähkövarausta. 3) Oikean käden kolmisormisäännön perusteella hiukkasen 3 sähkövaraus on negatiivinen. b) Kun varattu hiukkanen tulee magneettikenttään vinosti kenttäviivoihin nähden, sen rata on ruuviviivan (spiraalin) muotoinen. Hiukkasen nopeuden v komponentit ovat v (kohtisuorassa kenttäviivoihin nähden) ja v (kenttäviivojen suunnassa). Kohtisuoraan magneettikenttä vastaan olevan nopeuden komponentin v suuruus muuttuu ja hiukkanen ajautuu ympyräradalle. Magneettikenttä ei muuta komponentin v suunnassa etenevän hiukkasen liikkeen suunta. Komponenttien v ja v yhteisvaikutuksena hiukkasen rata on kuvassa olevan ruuviviivan kaltainen. 9

9 radan muoto: v B v v -8. a) Kun positiivisesti varattu hiukkanen tulee kohtisuorasti homogeeniseen sähkökenttään, siihen vaikuttaa koko ajan sähkökentän suuntainen voima: voiman suunta ei siis muutu. Sähköinen voima voi muuttaa hiukkasen radan suuntaa. Hiukkasen radan muoto sähkökentässä on paraabeli. Sähköinen voima tekee työtä vaikuttaessaan liikkuvaan varattuun hiukkaseen ja hiukkasen liikeenergia kasvaa. Sähköinen voima vaikuttaa varattuun hiukkaseen aina, myös hiukkasen ollessa paikallaan. b) Kun positiivisesti varattu hiukkanen tulee kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään, hiukkaseen kohdistuu magneettinen voima. Magneettinen voima kääntää hiukkasen liikkeen suuntaa; magneettisen voiman suunta muuttuu jatkuvasti. Magneettinen voima on kohtisuorassa magneettikentän magneettivuon tiheyttä ja hiukkasen liikkeen suuntaa vastaan. Magneettinen voima ei tee työtä, varatun hiukkasen liike-energia ei muutu. Magneettinen voima vaikuttaa hiukkaseen vain, kun hiukkanen liikkuu. -9. a) Syklotronin D-kappaleiden välissä on suuritaajuinen vaihtojännite, joka saa aikaan D- kappaleiden väliseen rakoon jaksollisesti vaihtuvan homogeenisen sähkökentän. Sähkökentän suuntaa vaihdetaan säännöllisesti, jotta raossa oleva varattu hiukkanen saa oikea-aikaisen nopeuden ja liike-energian lisäyksen ennen magneettikenttään siirtymistään. b) Nopeusvalitsimella voidaan seuloa kiihdytettyjen varattujen hiukkasten joukosta tietyllä nopeudella etenevät hiukkaset. Nopeusvalitsimessa sähkökenttä ja magneettikenttä ovat toisiaan vasten kohtisuorassa, ja samoin sähköinen ja magneettinen voima eli qe = qvb, jolloin nopeudella v = E/B valitsimeen tulevien ionien rata on suora. Kun säädetään sähkökentän voimakkuuden ja magneettivuon tiheyden suuruuksia, voidaan valita juuri halutulla nopeudella liikkuvat ionit tulemaan ulos nopeusvalitsimesta. Muilla nopeuksilla liikkuvat varatut hiukkaset törmäävät nopeusvalitsimen seinään. -. a) Maan magneettikentän magneettivuon suuruus vaihtelee välillä µt 6 µt, Helsingissä arvo on noin 5 µt. Protonin nopeus voi olla suuruusluokkaa Mm/s. Protoniin kohdistuvan magneettisen voiman suuruus Maan magneettikentässä on F m = qvb =, C, Mm/s 5 T 8, N Protoniin kohdistuva paino on G = mg =, kg 9,8 m/s,6 6 N.

10 Paino on merkityksetön Maan magneettikentän kohdistamaan voimaan verrattuna. b) Voiman yksikkö on m m Wb Vs C TAs A s s m m W s J s Nm s A N. A m s m s m F qvb -. a) Koska protonin liikkeen suunta on kohtisuorassa magneettikenttää vastaan, protoniin kohdistuva magneettinen voima on F m = qvb =, C,5 Mm/s 5 mt 3,6 fn. Voiman suunta on etelään. b) Koska elektronin liikkeen suunta on kohtisuorassa magneettikenttää vastaan, elektroniin kohdistuva magneettinen voima on F m = qvb =, C,5 Mm/s 5,5 mt, fn. Huomaa, q on elektronin varauksen itseisarvo. Voiman suunta on kohti kuvan vasenta reunaa eli liikesuuntaan nähden oikealle. -. Sähköisen voiman ionille tekemä työ muuntaa ionin potentiaalienergian liike-energiaksi: qu qu mv, josta ionin nopeus on v. m +q F m v E B + - F s Jotta ioni liikkeen suunta säilyy, Newtonin II lain mukaan liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa on oltava F eli Fm Fs. Valitaan suunta ylös eli magneettisen voiman suunta positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö F m F s =, josta F m = F s eli qvb = qe. Sähkökentän voimakkuus on 9 qu,6773 C4kV 6 7mT,7 MV/m E vb B m 6,6 kg ja suunta piirroksessa alas. Huomaa, että liikeyhtälössä ei tarvitse ottaa huomioon ioniin kohdistuvaa painoa sen vähäisen vaikutuksen vuoksi.

11 -3. Oikea vaihtoehto on ) 4mT. Sähköisen voiman protonille tekemä työ muuntaa protonin potentiaalienergian liike-energiaksi: qu qu mv. Protonin vauhti kiihdytyksen jälkeen on v. m +q F m v E B + - F s U Jotta protonit kulkisivat suoraviivaisesti kentän läpi, Newtonin II lain mukaan liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa on oltava F eli Fm Fs. Kun magneettisen voiman suunta on positiivinen, skalaariyhtälö on F m F s =, josta F m = F s eli qvb = qe. Magneettivuon tiheyden suuruus on 7,6763 kg 9 E E m B E 7,5kV / m 4mT. v qu qu,6773 C,5kV m -4. Jotta protonit kulkisivat kenttien läpi suuntansa säilyttäen, Newtonin II lain mukaan liikettä vastaan kohtisuorassa suunnassa on oltava F eli Fm Fs. Valitaan magneettisen voiman suunta positiiviseksi, jolloin saadaan skalaariyhtälö F m F s =, josta F s = F m eli qe = qvb ja q U qvb d. Levyjen välinen jännite on -5. U = dvb =,6 m, Mm/s 3 mt,4 kv. v B F m a) Elektronisuihkun jokaiseen elektroniin kohdistuvan magneettisen voiman suuruus on F m = qvb =, C 9, Mm/s,5 mt,36 fn ja suunta elektronin liikesuuntaan nähden oikealle. Huomaa, q on elektronin varauksen itseisarvo.

12 b) Magneettinen voima on koko ajan kohtisuorassa liikkeen suuntaa ja magneettikenttää vastaan, joten elektroni liikkuu ympyrärataa pitkin. Newtonin II lain mukaan elektronin liikeyhtälö on F ma eli Fm man. Jos suunta radan keskipisteeseen on positiivinen, skalaariyhtälöstä v qvb m (q elektronin varauksen itseisarvo) radan säde on r 3 6 mv 9,93897 kg 9, m / s r, m. 9 qb,6773 C,5mT s c) Elektroni liikkuu vakiovauhdilla pitkin ympyrärataa. Tällöin on voimassa t. Elektronin v kulkema matka sen tehdessä kokonaisen kierroksen on s = r ja radan säde kohdan a perusteella mv r, jossa q on elektronin varauksen itseisarvo. qb Yhteen kierrokseen kulunut aika on mv 3 qb m π 9,93897 kg t,4μs. 9 v qb,6773 C,5 mt -6. Sähköisen voiman protonille tekemä työ muuntaa protonin potentiaalienergian liikeenergiaksi: qu mv, josta protonin nopeus on v. qu m B v F m r Magneettikentässä protoniin kohdistuu kenttää ja protonin liikkeen suuntaa vasten kohtisuora voima. Newtonin II lain mukaan protonin liikeyhtälö on F ma eli Fm man. Jos suunta radan v keskipisteeseen on positiivinen, skalaariyhtälöstä qvb m magneettivuon tiheyden suuruus on r qu m mv B m qr qr r q,t. Um 7 3,5kV,6763 kg,4 m 9,6773 C 3

13 -7. a) Sähkökenttä kiihdyttää elektronia. Sähköisen voiman elektronille tekemä työ muuntaa protonin potentiaalienergian liike-energiaksi: qu mv, jossa q on elektronin varauksen itseisarvo. Elektroni saa kiihdytyksen johdosta vauhdin 9 qu,6773 C5V 7 3,33943 m/s. v m 9,93897 kg Elektroni tulee tällä vauhdilla kohtisuorasti magneettikenttään, jolloin sen rata kaareutuu. Magneettisen voiman vaikutuksesta elektroni liikkuu ympyrärataa pitkin. Elektronin liikeyhtälö on F m. Kun suunta kohti radan keskipistettä on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö m a n v qvb m (q elektronin varauksen itseisarvo). r Ympyräradan säde on m mv r qb,6773 C, T 3 7 9,93897 kg,33943 s,76534 m,76 m. 9 3 b) Elektronin liike koostuu kolmesta eri vaiheesta:. kiihdytys sähkökentässä nopeuteen v. suunnan muutos magneettikentässä, nopeus on vakio = v 3. jarrutus sähkökentässä nopeudesta v nopeuteen Elektronin nopeus sen saapuessa katodille on siis m/s. Tämä johtuu siitä, että kiihdytys ja jarrutus tapahtuvat samassa sähkökentässä (samalla jännitteellä). Kiihdytettäessä elektroni liikkui kenttäviivojen vastaan, jarrutettaessa kenttäviivojen suuntaisesti. U 5V c) Sähkökentän voimakkuus on E 5V/m. Tässä kentässä elektroniin (q elektronin d,m varauksen itseisarvo) vaikuttava sähköinen voima antaa elektronille kiihtyvyyden V F qe a m m 9,93897 kg 9,6773 C 5 m 3 3 8, m/s. Elektroni lähti levosta, joten sen kulkema matka on Sähkökentässä kiihdytykseen kuluu aikaa s at d. d,m t,49344μs. a m 3 8, s Symmetrian vuoksi jarrutusaika on yhtä suuri. Magneettikentässä elektroni kulkee matkan r s r,76534 m,39433 m vakiovauhdilla. 4

14 Tähän kuluu aikaa s,39433m t,786938μs v m 7,33943 s. Kokonaisaika on siis,49344 s +, s,48 s. -8. Ionisuihku kaareutuu ympyräradalle magneettisen voiman vuoksi. A B E B Newtonin II lain mukaan ionien liikeyhtälö on F ma eli Fm man. Jos suunta radan v keskipisteeseen on positiivinen, skalaariyhtälöstä qvb m ionin vauhti magneettikentässä on r qbr v m,,6654 kg 9,6773 C,47T,48m 5 7 5, m/s Tällä vauhdilla liikkuvan ionin liike-energia on E k m mv,,6654 kg (5, ) s ,6843 J, kev. Työperiaatteen mukaan sähköisen voiman tekemä jarrutustyö on yhtä suuri kuin ionin liikeenergian muutos eli W = E k = E k,loppu E k,alku =, kev 65 kev = 45 kev. Toisaalta kentän tekemä työ on W = qu, jossa ionin varaus q = e. Jännite levyjen A ja B välillä on W 45keV U 45kV. q e. 5

15 Koska levyn B potentiaali on maadoituksen vuoksi V, ja jännite U AB = V A V B, levyn A potentiaali on V A = U AB + V B = 45 kv + V = 45kV. -9. a) Protonin liike-energia E mv. Syklotronissa protoni on ympyräliikkeessä, joten Newtonin II lain protonien liikeyhtälö on F man. Kun suunta radan keskipisteeseen on v qbr positiivinen, skalaariyhtälöstä qvb m saadaan protonin nopeudeksi v. r m Protonin liike-energia sen poistuessa syklotronista on qbr, C,45T,66 m qbr E m 7 m m,6763 kg 3 6,7687 J 4, MeV. s b) Protonin yhteen kierrokseen kuluva aika on T ja matka s = r. Kohdan a perusteella v qbr protonien vauhti on v. Protonin kierrostaajuus on f. Jännitteen suunnan pitää vaihtua m T samassa ajassa mitä protonilta kuluu puolikkaaseen kierrokseen ja kokonaisen kierroksen jälkeen jännitteen pitää olla samassa vaiheessa kuin alkutilanteessa. Kiihdytysjännitteen taajuuden on siis oltava yhtä suuri kuin protonin kierrostaajuus. Protonien kiihdytystaajuus on qbr 9 v m qb,6773 C,45T f 7 6,9 MHz. T s r m,6763 kg -3. Deuteroni on vedyn isotooppi H D. Sen massa on,48, kg 3, kg. Kun deuteronin liike-energia on Ek 9,6MeV mv, sen vauhti on 6 9 Ek 9,6,6773 J 7 v m 3, kg Deuteronin kiertoaika syklotronissa on s r π,45m 8 T 9,39896 s. v v 7 m 3,3754 s Kiihdytysjännitteen taajuus on f MHz. 8 T 9,39896 s 7 3,3754 m/s. b) Koska magneettikentän suunta on hiukkasen nopeuteen nähden kohtisuora, magneettinen voima pakottaa hiukkasen ympyräradalle. Newtonin II lain deuteronien liikeyhtälö on F man. Kun v suunta radan keskipisteeseen on positiivinen, skalaariyhtälöstä qvb m magneettivuon tiheys on r 6

16 m mv B qr,6773 C,45m 7 7 3, kg 3,3754 s,4t 9 ja suunta kohtisuora ratatasoa vastaan. -3. a) A on ionilähde. Tutkittava aine ionisoidaan, sillä vain varauksellisia hiukkasia voidaan kiihdyttää ja ohjata sähkö- ja magneettikentillä. Tavallisesti käytetään positiivisia ioneja, minkä mukaisesti kenttien suunnat on merkitty kuvioon. A B B C E E D B E B on kiihdyttävä sähkökenttä E, joka kiihdyttää ionit likimain oikeaan nopeuteen. Ionien tullessa kiihdyttävään sähkökenttään niillä on nopeus, joka ei ole kaikilla ioneilla sama. Siksi niiden nopeus myös silloin, kun ne poistuvat kentästä, ei ole tarkasti tunnettu. Tästä syystä tarvitaan nopeusvalitsin. C on nopeusvalitsin, jossa on ristikkäiset kohtisuorat sähkö- ja magneettikentät E E ja B. Vain nopeudella v etenevät ionit kulkevat valitsimen läpi suoraviivaisesti ja pääsevät B analysointimagneettiin. D on analysointimagneetti; ionien nopeus v on kohtisuorassa homogeenista magneettikenttää B vastaan. Ionit kulkevat magneettikentässä puoliympyrän muotoisia ratoja pitkin, joiden säde riippuu ionin massasta. E on kohtiolevy, esimerkiksi valokuvauslevy, fluoresoiva varjostin tai tietokoneen näyttö. Kenttien suunnat voivat olla esimerkiksi kuvan mukaiset. b) Nopeusvalitsimesta pääsevät läpi vain hiukkaset, jotka kulkevat siinä suoraan, joten Newtonin II lain mukaan liikesuuntaan vastaan kohtisuorassa suunnassa niille pätee F. Kun magneettisen voiman suunta on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F m F s =, josta F m = F s eli qvb = qe. E Analysoivaan magneettikenttään saapuvien ionien vauhti on v. B Analysoivassa magneettikentässä Newtonin II lain mukaan ionien liikeyhtälö on F man. Kun v mv suunta radan keskipisteeseen on positiivinen, skalaariyhtälöstä qvb m radan säde on r. r qb Ionien ratojen säteiden erotus on mv mv v vm r r r m m. qb qb qb qb Ratojen halkaisijoiden erotus on 7

17 vm Em qb qb B. d r Edellisestä yhtälöstä magneettivuon tiheyden suuruus on 7 Em 8,6 kv/m,6654 kg 9 qbd B,58T.,6773 C,T,m Huomaa, että ratkaisussa on käytetty ionien massojen erotuksena yhtä atomimassayksikköä. Käytetyllä tarkkuudella se on yhtä suuri kuin todellinen massojen erotus. -3. Sähköisen voiman tekemä työ on yhtä suuri kuin hiukkasen liike-energian muutos: W = E k eli qu = E k. Oletetaan, että hiukkanen lähtee levosta liikkeelle sähkökentän kiihdyttämänä. Tällöin yhtälöstä qu mv hiukkasen vauhti kiihdytyksen jälkeen on 9 6 qu,6773 C, V 7 7,4375 m/s. v m 6, kg r r Magneettikentän hiukkaseen kohdistama voima pakottaa hiukkasen ympyräradalle (suunnan muutos 9 ). Hiukkasen liikeyhtälö on Fm man. Kun suunta kohti radankeskipistettä on positiivinen, v skalaariyhtälöstä qvb m magneettivuon tiheyden suuruus on r m mv B qr,6773 C, m 7 7 6, kg,4375 s,3t a) Kiihdytyksessä sähköinen voima muuntaa protonin potentiaalienergian liike-energiaksi: qu qu mv, joten protonin vauhti sen tullessa magneettikenttään on v. m Magneettikentässä protoniin kohdistuu kenttää ja protonin nopeutta vastaan kohtisuora magneettinen voima, joka pakottaa protonin ympyräradalle. Newtonin II lain mukaan liikeyhtälö on v F ma n. Kun suuta kohti radankeskipistettä on positiivinen, skalaariyhtälöstä qvb m r magneettivuon tiheyden suuruus on qu m mv m mu B qr qr r q,3m,6773 C B 7,6763 kg,mv 9 5 mt. 8

18 b) Jos protoni tulee vinosti magneettikenttään, siihen kohdistuva magneettinen voima riippuu magneettikentän ja nopeuden välisestä kulmasta α. Magneettinen voiman suuruus on F m = qvbsinα = qv B. Newtonin II lain mukaan on F ma ja normaalikiihtyvyyden suuruus n v sin v magneettikenttää vastaan kohtisuorassa suunnassa on an. Kun suunta kohti radan r r v sin keskipistettä on positiivinen, skalaariyhtälö F m = ma n saadaan muotoon qvb sin m. r mvsin mv Radan säteeksi tulee r, joka on pienempi kuin kohtisuorasti saapuvan protonin qb qb radan säde. Magneettisella voimalla ei ole magneettikentän suuntaista komponenttia, joten nopeuden kentän suuntainen komponentti v on vakio. Protonin radasta tulee siten ruuviviiva a) Kun johtimeen tartutaan oikealla kädellä niin, että sormet osoittavat johtimen ympärillä olevan magneettikentän suunnan, peukalo osoittaa silloin virran suunnan. Virran suunta on oikealle. b) Oikean käden säännön mukaan sähkövirran suunta on ylöspäin a) Magneettikentän kenttäviivat kiertävät johdinta. I b) Lähellä johdinta magneettikenttä on voimakkain. Siksi johtimen lähellä pisteet ja ristit ovat tiheämmässä. Magneettikenttä heikkenee etäisyyden kasvaessa johtimesta. c) Ylhäältä katsottuna kenttäviivat ovat ympyrän muotoisia. B -36. a) Magneettikentässä olevaan johtimeen kohdistuvan magneettisen voiman suuruus saadaan yhtälöstä F = IlBsinα, jossa α on kentän ja johtimen välinen kulma. Voima on pienin, kun sinα = 9

19 eli silloin, kun kulma α = : johdin on kenttäviivojen suuntainen: tällöin magneettikentästä ei kohdistu johtimeen magneettista voimaa. b) Vastaavasti voima on suurin, kun sinα = eli silloin, kun kulma α = 9: johdin on kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan a) Koska johtimissa kulkevat sähkövirrat ovat samansuuntaiset, johtimet vetävät toisiaan puoleensa. Newtonin III lain mukaan voimat ovat yhtä suuret, mutta vastakkaissuuntaiset. F F r b) Koska johtimien välinen etäisyys on pienempi kuin kohdassa a, vuorovaikutus on voimakkaampi. Kun etäisyys pienenee puoleen, voima kaksinkertaistuu. F F r/ c) Ajatellaan aina pareittain kahden johtimen välistä magneettista vuorovaikutusta. Koska johtimet ovat yhtä kaukana toisistaan, voimien suuruudet ovat samat. Voimat R, R ja R3 ovat kuhunkin johtimeen vaikuttavat resultanttivoimat (kokonaisvoimat). R r r r R R Kompassineula ei pääse liikkumaan pystysuunnassa, joten se osoittaa vain Maan magneettikentän vaakakomponentin määräämään suuntaan. Koska deklinaatio on, kompassin suunta olisi suoraan pohjoisnavalle. Kaapelissa kulkeva sähkövirta kuitenkin aiheuttaa virhettä kompassin näyttämään suuntaan. Koska sähkövirran suunta on koilliseen, kaapelin ympärillä on magneettikenttä, jonka suunta oikean käden säännön perusteella kompassin kohdalla (kaapelin päällä) on kaakkoon.

20 koilliseen B I N B M B W E B K Kompassineulan asennon määräävät siis maan magneettikenttä yhdessä. Sähkövirran suuruus vaikuttaa vektorin summakentän itään päin. K S K B M ja kaapelin magneettikenttä B pituuteen. Kompassineula asettuu B B M B suuntaisesti ja näyttää oikean pohjoissuunnan sijasta (ainakin hieman) -39. a) Ampèren lain mukaan suora virtajohdin kohdistaa toiseen yhdensuuntaiseen virtajohtimeen II voiman, jonka suuruus on F l : on tyhjiön permeabiliteetti, I ja I ovat johtimissa π r kulkevat sähkövirrat, r on johdinten välinen etäisyys ja l virtajohtimien pituus. b) Koska virtajohtimissa sähkövirrat kulkevat samaan suuntaan, johtimet vetävät toisiaan puoleensa. Virtajohtimiin kohdistuvat voimat ovat Newtonin III lain mukaan yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset. Voimien suuruudet ovat II F π r,9m Voimat ovat vastakkaissuuntaiset. 7 4 Vs/(Am),5A,5A,4 m 9, 6 l N. -4. a) Tilanteessa a sähkövirran suunta oikean käden säännön perusteella on alas ja tilanteessa b ylös. b) Johtimessa a kulkevan sähkövirta on suurempi, koska magneettikentän kenttäviivat ovat tiheämmässä johtimessa a kuin johtimessa b. -4. a) B B K I F m Koska magneettikenttä ja johdin ovat kohtisuorassa, magneettisen voiman suuruus on

21 F m = IlB =,75 A,95 m,8 mt,3 mn. Voiman suunta on kuvan piirroksessa ylös. b) Magneettinen voima F m = IlBsinα on suurin, kun sinα = ja kulma α = 9. Siksi johdin asetetaan niin, että se on kohtisuorassa magneettikentän kenttäviivoja vastaan, jolloin magneettivuon tiheyden suuruus on B F Il,7 mn,5 A, m m 5mT. -4. Johdin on tasapainossa, joten Newtonin II lain mukaan on F. Johtimeen kohdistuvan painon suunta on kuvassa alas ja magneettisen voiman suunta oikeankäden säännön mukaan ylös. I F m B + G - Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F m G =. Johdin on kohtisuorassa kenttäviivoja vastaan, joten IlB = mg. Johtimessa kulkeva virta on 3 mg,5 kg 9,8m / s I 33mA. lb, m,75t Virran suunta on oikeankäden kolmisormisäännön mukaan vasemmalta oikealle Magneettikenttä kohdistaa virtajohtimeen voiman, jonka suuruus on F m = IlB = 95 A 5 m 35 T,5 N. idästä katsottuna 8 I B S 7 N F m Voiman suunta on oikean käden säännön perusteella etelään, 8 vaakatasosta alaspäin.

22 -44. Koska deklinaatio on, magneettikenttä suuntautuu suoraan pohjoiseen (maantieteelliselle pohjoisnavalle). Inklinaatio on 7, joten magneettikentän suunta on alaviistoon (maan sisälle). sivulta katsottuna ylhäältä katsottuna pohjoinen B 7 itä F pohjoinen B I F itä B johdin Magneettivuon tiheyden kohtisuoran komponentti B on B = Bcos7, ja suunta suoraan pohjoiseen. Johtimeen vaikuttavan magneettisen voiman suuruus on F m = IlB = 4, A,5 m 49 T cos7 3 N. ja suunta itään Oletetaan iskukanava suoraksi virtajohtimeksi, jolloin magneettivuon tiheyden suuruus I etäisyydellä r iskukanavasta on B. πr Etäisyydellä r = m magneettivuon tiheys on 7 I 4 N / A ka B μt, πr π m 7 I 4π N / A ka etäisyydellä r = m, B μt ja πr π m 7 I 4π N / A ka etäisyydellä r = km, B μt. πr π m Huomaa, että maan magneettivuon tiheys vaihtelee paikan mukaan. Se on noin T 6 T a) Koska johdin pysyy paikallaan (leijuu) vaakasuorassa asennossa, on magneettisen voiman suunnan oltava painon suunnalle vastakkainen. F m I G B Magneettikentän ja virran suunnat saadaan oikean käden säännöstä: kuvan tapauksessa sähkövirran suunta on oikealle, kun magneettisen voiman suunta on ylös. 3

23 b) Johtimen liikeyhtälö on F elifm G.. Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälö F m G = saadaan muotoon F m = G eli IlB = mg. Johdin on muodoltaan suora ympyrälieriö, joten sen tilavuus on V = r l. Johtimen massalle saadaan muoto m = V = r l, jossa on alumiinin tiheys (löytyy taulukkokirjasta). Johtimessa kulkeva sähkövirta on kg 3 m 7 π (,5 m) 9,8 3 mg πr lg πr g m s I 37 ma. Bl Bl B,56T -47. Oikea vaihtoehto on kohta ) edestä taaksepäin 6,7 mn. Koska sauva heilahtaa poispäin magneetista, magneettisen voiman suunta on kuvassa vasemmalle. Oikean käden säännön avulla voidaan päätellä sähkövirran suunta, joka on sauvassa edestä taaksepäin. I F m Sauvasta on magneettikentässä 9, cm pituinen osa. Kenttäviivoja vastaan kohtisuoran osan pituus on l = lcos5. Tilanne edestä katsottuna: 5 l l B Magneettisen voiman suuruus on F m = Il B = 3, A,9 m cos5 5 mt 6,7 mn N S N S 4

24 -49. a) Johdinsilmukkaan vaikuttava momentti on M = IBAsinα, jossa α on silmukan tason normaalin ja magneettikentän välinen kulma. Momentti saa pienimmän arvonsa, kun kulma α = eli kun silmukan taso on kohtisuorassa kenttää vastaan: tällöin sinα = ja momentti on nolla. b) Momentilla on suurin arvo, kun kulma α = 9, tällöin sin9 = ja momentti on M = IBA. Momentti on siis suurin, kun silmukan taso on kentän suuntainen. -5. Kun magneettikentässä olevassa käämissä kulkee sähkövirta, käämiin kohdistuu magneettikentästä vääntävä voima, joka pyrkii kääntämään käämiä akselinsa ympäri. Tämä on tasavirtamoottorin toiminnan fysikaalinen perusta. Tasavirtamoottori ottaa sähköverkosta energiaa ja muuntaa sen magneettisen vuorovaikutuksen kautta pyörimisliikkeen mekaaniseksi energiaksi. Kun tarkastellaan käämin yhtä silmukkaa, siihen kohdistuva vääntömomentti on suurin silmukan ollessa magneettikentän suuntainen. Kun silmukan taso on kohtisuorassa kenttää vastaan, vääntävää momenttia ei ole. Jotta silmukka jatkaisi pyörimistään, silmukassa kulkevaa sähkövirtaa ohjataan virrankääntäjällä siten, että sähkövirran suunta silmukassa vaihtuu puolen kierroksen välein hetkellä, jolloin vääntömomentti on häviämässä. Koska yhteen johdinsilmukkaan vaikuttava momentti on pieni, tasavirtamoottorissa on useita silmukoita (käämejä), joista aina johonkin vaikuttaa vääntömomentti. a) Mikäli käämin pyörimisenergia olisi pieni ja moottorin kuormitus suuri, moottori voisi pysähtyä. Käytännössä muutos on niin nopea, ettei tätä hetkellistä katkosta käämiä pyörittävässä momentissa huomaa. b) Tasavirtamoottorin pyörimissuunta muuttuu. c) Käämiin kohdistuva momentti on N-kertainen yhteen silmukkaan kohdistuva momenttiin verrattuna, N on käämin silmukoiden määrä. d) Tasavirtamoottoreita käytetään akku- ja paristokäyttöisissä sovelluksissa. Esimerkiksi auton pyyhkijöiden sulat, akkuporakoneet, parranajokoneet ja paristokäyttöiset leluautot toimivat tasavirtamoottoreilla. Tasavirtamoottori ei myöskään eroa rakenteeltaan tasavirtageneraattorista, joten moottorin akselia pyörittämällä voidaan tuottaa tasavirtaa. -5. a) Käämin silmukoiden taso on yhdensuuntainen magneettikentän kanssa, käämiin kohdistuva magneettinen momentti on M = NIABsinα = 8,7 A (,55 m,4 m) 3 mt sin 9, Nm. a) B käämin akseli 5

25 b) Kun käämiä on käännetty 5, silmukoiden tason normaalin ja magneettikentän välinen kulma on 65. Momentti on M = NIABsinα = 8,7 A (,55 m,4 m) 3 mt sin 65, Nm. b) B 65 käämin akseli -5. Silmukoiden tason normaalin ja magneettikentän välinen kulma on 9 5 = 75. Käämiin kohdistuva momentti on M = NIABsinα = 66,7 A (,95m),9 T sin 75 8,9 Nm Momentti on suurin, kun käämin silmukat ovat kenttäviivojen suuntaiset. Maksimimomentti on M max = NIABsinα = 5,95 A (,5m),3 T sin 9 =, Nm. Kun käämi on kääntynyt kulmaan α, vääntömomentti on tästä puolet: M, Nm M NIABsin Ratkaistaan kulma α yhtälöstä max M NIAB,67879 Nm.,67879 Nm 5,95A π (,5m),3T max sin. Kulma on α = 3; silmukka on asennossa, jossa sen normaalin ja kentän suunnan välinen kulma on aluksi M max B M = M max/ B -54. a) Punnukseen kohdistuvan painon aiheuttama vääntömomentti silmukalle (akselin suhteen) on M G = Gr = mgr =,45 kg 9,8 m/s,5 m, Nm. 6

26 b) Magneettikentän silmukkaan aiheuttama momentti on M B = NIABsinα. Kun silmukan asento pysyy kuvan mukaisena, kulma α = 9. Tasapainoehto pyörimisen suhteen on M = eli M G + M B =, kun pyörimisen suunta myötäpäivään on negatiivinen. Yhtälöstä mgr = NIABsinα magneettikentän magneettivuon tiheys on m,45kg 9,8,5 m 3 mt. sin 3,7 A, m, m sin9 mgr B s NIA Testaa, osaatko sivu 5. bc. ac 3. ac 4. a 5. c 6. b 7. a 8. a 9. c 6. F m = IlBsinα =,6A 3,4 m 88 mt sin 3,4 N. 7. M = NIABsinα =,6 A,5 m 88 mt sin 3, Nm. 9. Magneettisen voiman vaikutuksesta protoni liikkuu ympyrärataa pitkin. Protonin liikeyhtälö on Fm ma n. Kun suunta kohti radan keskipistettä on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö 7 6 m,6763 kg, v mv qvb m. Ympyräradan säde on r s, m. 9 3 r qb,6773 C9,5 T 7

27 Induktio -. a) Vahvistuva magneettikenttä indusoi silmukkaan sähkövirran, jonka suunta on sellainen, että sen synnyttämä magneettikenttä Lenzin lain mukaan vastustaa magneettikentän kasvua. Virran aiheuttama kenttä silmukan sisällä on alkuperäiseen kenttään nähden vastakkaissuuntainen. Virran suunta on silmukan etureunassa ylös. b) Koska magneettikenttä on heikkenemässä, Lenzin lain mukaan silmukkaan syntyy vahvistava magneettikenttä, jonka suunta on sama kuin alkuperäisen kentän suunta eli kohti katsojaa. Sähkövirran suunta on kuvassa myötäpäivään. -. a) Jos ulkoinen magneettikenttä vahvistuu, indusoituvan magneettikentän suunta on vastakkainen ulkoiselle magneettikentälle. b) Jos ulkoinen magneettikenttä heikkenee, indusoituvan magneettikentän suunta on sama kuin ulkoisen magneettikentän suunta. c) Jos ulkoinen magneettikenttä pysyy muuttumattomana, indusoituvaa magneettikenttää ei synny. -3. a) Väite pitää paikkansa. b) Väite pitää paikkansa. Muuttuva magneettikenttä indusoi suljettuun virtapiiriin sähkövirran; johtimen ympärille syntyy sähkökenttä (ja magneettikenttä). c) Väite on väärä. Lenzin lain mukaan sähkövirran vaikutukset pyrkivät pitämään magneettikentän muuttumattomana: sähkövirranvaikutukset vastustavat muutosta, joka aiheuttaa induktion. -4. a) Magneetin pudotessa N-kohtio edellä magneetin magneettikentän kenttäviivat silmukan sisällä osoittavat alas. Muuttuva magneettikenttä synnyttää silmukkaan sähkövirran, joka synnyttää silmukan sisälle magneettikentän. Lenzin lain mukaan syntyvä magneettikenttä on vastakkaissuuntainen magneetin kentän suunnalle eli ylös. Näin ollen oikean käden säännön perusteella sähkövirran suunta on silmukan etureunassa oikealle. b) Koska induktiovirta kulkee silmukan etureunassa ylöspäin, induktiovirran seurauksena syntyvän magneettikentän suunta on oikean käden säännön perusteella sama kuin kestomagneetin kentän suunta. Näin ollen induktiovirran synnyttämä magneettikenttä vahvistaa kestomagneetin kenttää eli kestomagneetin kenttä on heikkenemässä. Kestomagneetti on siis liikkeessä poispäin silmukasta eli vasemmalle. -5. a) Kun magneetti vedetään pois renkaan läheltä, magneettikenttä renkaan sisällä heikkenee. Lenzin lain mukaan renkaaseen indusoituu sähkövirta, jonka aiheuttaman magneettikentän suunta on sellainen, että se vahvistaa alkuperäistä magneettikenttää. Sauvamagneetin kentän suunta on renkaan lähellä oikealle. Induktiovirran synnyttämän magneettikentän suunta on siis myös oikealle renkaan sisällä. Oikean käden säännön avulla voidaan päätellä virran suunnaksi renkaan etureunassa alaspäin. Rengas heilahtaa magneetin suuntaan eli oikealle. 8

28 i I S N B i b) Jos magneetti käännetään toisin päin eli N-kohtio lähelle rengasta, sen magneettikentän suunta silmukan sisällä on kuvassa vasemmalle. Magneetin liike aiheuttaa renkaaseen heikkenevää ulkoista kenttää vahvistavan kentän. Kentät ovat siis samansuuntaiset (molemmat vasemmalle). Virran suunta on renkaan etureunassa ylös, mutta rengas heilahtaa jälleen magneetin suuntaan eli oikealle. Ii B i N S -6. Kun käämiin kytketään sähkövirta, sähkövirta käämissä kasvaa ja käämin magneettikenttä alkaa vahvistua. Kenttä indusoi alumiinirenkaaseen induktiovirran. Induktiovirran suunta on Lenzin lain mukaan sellainen, että sen aiheuttama magneettikenttä B i heikentää alkuperäistä (vahvistuvaa) magneettikenttää. Magneettikentät ovat vastakkaissuuntaiset ja renkaaseen kohdistuu käämistä poispäin suuntautuva magneettinen voima. Siksi alumiinirengas heilahtaa oikealle. Kun alkuperäinen magneettikenttä on saavuttanut vakioarvonsa eikä enää muutu, alumiinirenkaaseen ei indusoidu sähkövirtaa eikä siihen kohdistu magneettista voimaa. Silloin rengas palaa takaisin alkuasentoonsa. + I B B i -7. Kuvaajassa havaitaan kahteen magneetin pudotukseen liittyvät induktiojännitteet ajan funktiona. Jälkimmäinen magneetin pudotus tapahtuu noin, s kuluttua edellisestä. Jälkimmäisellä kerralla magneetti pudotetaan eri kohtio edellä käämin läpi: tämä havaitaan induktiojännitteen suunnan muuttumisesta. Jälkimmäisellä kerralla induktiojännite on myös suurempi, joten magneetin nopeus käämin läpi on ollut suurempi. Magneetti pudotettiin siis korkeammalta kuin ensimmäisessä mittauksessa. -8. Johtimeen indusoituu jännite tapauksissa a) ja b). Periaatteessa myös johtimeen c), mutta vain johtimen "paksuussuunnassa" eli kuvassa pystysuunnassa. -9. a) Lentokoneen pitäisi lentää niin, että koneen nopeus ja siivet ovat kohtisuorassa maan magneettikenttää vastaan, jotta siipien kärkien välille indusoituu mahdollisimman suuri jännite. Eli Suomessa koneen täytyisi nousta vaakatasoon nähden noin asteen kulmassa ylöspäin ja lentää 9

29 kohti magneettista pohjoisnapaa, tai lentää vastakkaiseen suuntaan ja laskeutua asteen kulmassa. Muitakin mahdollisuuksia on. b) Kun lentokoneen nopeus tai siivet ovat maan magneettikentän suuntaisesti, indusoitunut jännite on pienin ( V). -. W N E v + l l + v S B B Poriin Jyväskylään a) ja b) Junan akseli on metallia, joten sitä voidaan pitää johdintankona. Suomessa inklinaatio on n. 7, joten Maan magneettikentän pystysuora komponentti on kohtisuorassa junan etenemisnopeutta ja akselia vastaan. Junan liikkuessa Tampereelta Poriin tai Jyväskylään akselin päiden välille indusoituu jännite. c) Nairobi sijaitsee päiväntasaajalla ja inklinaatio on nolla: Maan magneettikenttä on siellä maan pinnan suuntainen. Elektroneihin kohdistuva magneettinen voima aiheuttaa indusoituvan jännitteen. Voima on kohtisuorassa magneettikenttää ja elektronien nopeutta (tässä junan nopeus) vastaan. Koska sekä junan nopeus että maan magneettikenttä ovat maanpinnan tasossa, voiman suunta on kohtisuorassa maan pintaa vastaan, jolloin vaakasuoran akselin päiden välille ei indusoidu jännitettä. -. Lentokoneen nopeus on kohtisuorassa magneettikenttää vastaan, jolloin lentokoneen siipien kärkien välille indusoituva jännite on 68 m elvb 3,6 s 6 5m 85 T,4V. Oikean käden säännön perusteella siiven vasen kärki on korkeammassa potentiaalissa. v + B -. Inklinaatio on 9 5 = 65. Siivenkärkien välille indusoituva jännite on e = lvb = lvbsinα = 35 m 75 m/s 3 T sin65,7 V. 3

30 TAI Siivenkärkien välille indusoituva jännite on e = lvb = lvbcosα = 35 m 75 m/s 3 T cos5,7 V. v 5 B B -3. B v Homogeenisessa magneettikentässä liikkuvaan suoraan johtimeen indusoituva jännite on e = lvbsinα, josta e,5μv sin,79. lvb,75m,4m / s 5μT Antennin ja sen nopeuden välinen kulma on,. -4. Antenniin indusoituu jännite e = lvb = lvbcosα, jossa B on magneettikentän antennia ja auton nopeutta vastaan kohtisuora komponentti. 95 m Induktiojännite on elvbcos,5 m 54μT cos 7,66 mv. 3,6 s Oikean käden säännön perusteella antennin alempi pää on positiivisesti varautunut ja siten korkeammassa potentiaalissa. 3

31 TAI Antenniin indusoituu jännite e = lvb = lvbsinα, jossa B on magneettikentän antennia ja auton nopeutta vastaan kohtisuora komponentti ja kulma α = 9 7 = 8. Induktiojännite on 95 m elvbsin,5m 54μT sin8,66mv. 3,6 s -5. Johdintangon päiden välille indusoitunut jännite on e = lvb, jolloin piirissä kulkeva sähkövirta on e lvb,m,4m / s,mt i 4μA. R R, B R v Tangossa kulkevan sähkövirran suunta on oikean käden säännön perusteella tangossa alas ja piirissä myötäpäivään. -6. a) Sähkövirta i kulkee suljetussa virtapiirissä vastapäivään ja sauvassa ylös. Oikean käden säännön perusteella magneettisen voiman suunta on kuvassa oikealle, koska magneettikentän suunta on ulos tasosta. Vetävän voiman suunta on vastakkainen magneettisen voiman suunnalle eli vasemmalle. b) Sauvan kosketuskohtien välille indusoituva jännite on e = lvb = Ri, josta sauvan nopeus on Ri,8,8A v,3m/s. Bl,35T,84 m 3

32 c) + - Jotta sauva liikkuisi vakionopeudella, on Newtonin II lain mukaan oltava F eli F Fm F. Koska magneettisen voiman suuta on oikealle, vetävän voiman suunta on vasemmalle. Kun suunta vasemmalle on positiivinen, saadaan skalaarimuoto F F m F =. Sauvan vetämiseen tarvittava voiman suuruus on F = F m + F = ilb + F =,8 A,84 m,35 T +, N mn. -7. a) Kun polttimo hehkuu kirkkaasti, yhtälöstä P = Ui polttimossa kulkevan sähkövirran P,5 W suuruudeksi saadaan i,33333a. Jos oletetaan, että polttimo ei merkittävästi U 4,5V U 4,5V lämpene, polttimon resistanssi on R 3,5. i,33333a Sauvaan kohdistuva kitka ja vastusvoimat oletetaan pieniksi. Koska vakionopeudella liikkuvan johtimen päiden välille ja myös polttimon napoihin indusoituu jännite e = lvb, yhtälöstä Ri = lvb sauvan nopeudeksi saadaan Ri 3,5,33333A v = 5 m/s. lb, m,5t Nopeus on 5 m/s. Huomaa, että tehtävän ratkaisussa oletettiin, että polttimo ei merkittävästi lämpene. Hehkuessaan kirkkaasti polttimon lämpötila voi kohota nopeasti hyvinkin korkeaksi. Tällöin polttimon hehkulangan resistanssi kasvaa. Kylmän polttimon resistanssi on pienempi. b) Koska sauva on kohtisuorassa magneettikenttää vastaan ja liikkuu vakionopeudella, vetävä voima on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin magneettikentästä sauvaan kohdistuva magneettinen voima: F m = ilb =,33333 A, m,5 T = 6, mn. Vetävä voima on 6, mn, voiman suunta on sama kuin sauvan nopeuden suunta. c) Koska magneettisen voiman suunta on kuvassa vasemmalle, ja magneettikentän suunta katsojasta poispäin, oikean käden säännön perusteella sähkövirran suunta sauvassa on ylös (ja silmukassa vastapäivään). 33

33 -8. a) Kitka ja vastusvoimat ovat pienet. Koska magneettikenttä on kohtisuorassa sauvaa vastaan, magneettikenttä vastustaa johdesauvan liukumista voimalla F m = ilb. Magneettisen voiman suunta oikean käden säännön perusteella on kuvassa vasemmalle. Sauvaan indusoituu jännite e = lvb. Jotta sauva liikkuisi vakionopeudella, sauvaan vaikuttava kokonaisvoiman on vaakasuunnassa oltava Newtonin II lain mukaan nolla: F eli T Fm. Kun suunta oikealle on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö T F m =. Koska punnus liikkuu vakionopeudella, pystysuunnassa on oltava Newtonin II lain mukaan F eli T G. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö T G =. Langan jännitysvoiman suuruus on T = T = mg. Kun sijoitetaan T = mg yhtälöön T F m =, saadaan mg ilb =, josta induktiovirta on mg,5 kg 9,8m/s i 7,438 A. lb,5 m,t Sähkövirta kulkee suljetussa silmukassa oikean käden säännön perusteella myötäpäivään vastuksen läpi. Koska sauva liikkuu kenttäviivoja vastaan kohtisuorasti, siihen indusoituu jännite e = lvb =,5 m 5, m/s, T =,65 V. e,65v Säätövastuksen resistanssi on R,8,. i 7,438 A b) Koska liike on tasaista, punnuksen liikkumiseen kuluu aika x,6m t, s. v 5, m/s Energiaa vapautuu E = Pt = Ri t =,8 (7,438 A), s,5 J. -9. Magneettivuo riippuu magneettikentän voimakkuudesta (magneettivuon tiheys B) ja silmukan pinta-alasta A. Johdinsilmukan magneettivuo muuttuu, jos *magneettikenttä, jossa silmukka on, heikkenee tai vahvistuu tai jos silmukka liikkuu magneettikenttään tai siitä pois *silmukan muoto muuttuu, jolloin sen pinta-ala muuttuu *silmukan asento magneettikentässä muuttuu (vinous kenttäviivojen suhteen). -. a) Magneettivuo on suurin, kun silmukan läpäisevien kenttäviivojen lukumäärä on suurin. Silmukan (tason) tulee olla siis kenttäviivoja vastaan kohtisuorassa. b) Silmukan (tason) tulee olla pystyasennossa (kenttäviivojen suunnassa), koska silloin sen läpi kulkeva magneettivuo on nolla. 34

34 -. a) Sähkövirran indusoituminen silmukkaan vaatii, että magneettivuo silmukan läpi muuttuu. Kuvatussa tilanteessa magneettivuo ei muutu, joten induktiovirtaa ei synny. b) Silmukkaan indusoituva jännite riippuu magneettivuon muutosnopeudesta: jännitteen suuruuteen vaikuttavat -silmukan pinta-ala, - magneettivuon tiheyden muutos kuljetulla matkalla ja -silmukan nopeudesta riippuva matkaan käytetty aika. Jännite indusoituu myös silmukan muodon ja asennon muutosten seurauksena, jos silmukan pintaalan magneettikenttää vastaan kohtisuora projektio muuttuu. -. a) Väite on väärä. Magneettivuon muutos aiheuttaa käämiin jännitteen. b) Väite on oikein. Magneettivuon muutosnopeus määrää indusoituvan jännitteen suuruuden. c) Väite on oikein. Kun kestomagneetin ohitusaika käämin läpi lyhenee ja liikkeen nopeus kasvaa, magneettivuon muutosnopeus kasvaa, joten käämiin indusoituva jännite on suurempi. -3. Kun magneetti putoaa kohti käämiä, magneettivuo käämin läpi kasvaa, jolloin muuttuva d magneettivuo aiheuttaa käämin napojen välille induktiojännitteen ei N, N on käämin d t kierrosten lukumäärä. Koska magneettivuo magneetin lähestyessä käämiä kasvaa, suhde d on dt positiivinen ja jännite negatiivinen. Kun magneetti on silmukan keskellä, magneettivuon muutos on hetkellisesti nolla, jonka jälkeen magneetin poistuessa käämin sisältä magneettivuo alkaa heiketä. Tällöin suhde d on negatiivinen, joten jännite on positiivinen. Edellä selitetty jännitteen merkin dt vaihtuminen näkyy kuvaajassa. Magneetin nopeus kasvaa gravitaation takia putoamisessa koko ajan, siksi vuon muutos on nopeampi magneetin poistuessa käämistä kuin sen saapuessa käämin sisään. Nopeampi vuon muutos aiheuttaa suuremman jännitteen ja lyhyemmän jännitteen kestoajan kuin hitaampi vuon muutos. -4. a) Käämin kierrosmäärä vaikuttaa käämin indusoituvan jännitteen ja syntyvän sähkövirran suuruuteen: mitä enemmän käämissä on kierroksia, sitä suurempi on ampeerimittarin lukema. b) Mitä korkeammalta kestomagneetti pudotetaan, sitä nopeammin magneetti läpäisee käämin ja sitä suurempi on ampeerimittarin lukema. Huomaa, jos käämin kierrosmäärä on hyvin suuri, käämissä tapahtuva itseinduktio voi rajoittaa sähkövirran kasvua yllättävän paljon. -5. a) Silmukan pinta-ala on A = r = (,8 m) =,788 m. Magneettivuo on = AB =,788 m,7 T,73 Wb. b) Kun silmukkaa kallistetaan 5, sen läpäisevien kenttäviivojen lukumäärä pienenee. Magneettivuo on nyt = A B = ABcosα =,788 m,7 T cos 5,66 Wb. c) Silmukka muodostuu metallilangasta, jonka pituus on r =,8 m =,3 m. 35

35 ,3m Kun samasta langasta muotoillaan neliö, sen sivun pituus on a,83m ja pinta-ala a 4 =,8 m. Neliön pinta-ala on pienempi kuin ympyrän, joten neliön muotoisella silmukalla sekä a- että b-kohtien vastaukset olisivat pienemmät. -6. a) Koska magneettivuo muuttuu tasaisesti, käämiin indusoituva jännite on vakio: e Δ mwb 36 mwb N 5 3V. Δ t, 6s b) Magneettivuo ei muutu tasaisesti silmukan kiertyessä, joten silmukkaan indusoituvan ΔΦ BA keskimääräisen jännitteen suuruus on ek. Koska magneettivuon tiheys on vakio, Δt Δt B A voidaan merkitä ek. Keskimääräinen sähkövirta on Δt 4 e B ΔA k 7 mt 5 m k,83ma i R RΔt,98Ω,7 s. -7. a) Piikkilanka-aita on yhtenäinen johdinsilmukka, johon indusoituvan jännitteen suuruus on e k AB t t,s b) Silmukan resistanssi on 3 6 (3, m), 5 T 3,4V 3V. l 43m R A π (,5 m) Silmukkaan indusoituvan sähkövirran suuruus on 6,8 Ωm 3,5577 kω 3 e 3,4V i 7,7 ma. 3 R 3,5577 Ω. -8. Silmukan mennessä kenttään magneettivuon muutos, induktiojännite ja induktiovirta on vakio, samoin silmukan tullessa kentästä pois. Silmukan ollessa kokonaan magneettikentässä magneettivuo ei muutu ja virta on nolla. Ohessa magneettivuon, jännitteen ja sähkövirran kuvaajat. e i t t t t t t t t t t t t 36

36 -9. a) Wb 4, 3,,5, t,,, Keskimääräinen jännite on b) e 3, k t t t 3,s,s Wb 4, t s 4,μWb,5μWb,75μV. 3,,3, t, t,, 3, s Hetkellinen jännite saadaan kuvaajan tangentin avulla ja se on e(,s) 4,μWb,3μWb t t t,7 s,s,63μv. -3. a) Koska magneettivuon muutos on tasainen, silmukkaan indusoitunut jännite aikavälillä, s,5 s on vakio:,μwb 4,μWb e 8,μV. t t t,5s,s b) Koska indusoitunut jännite on vakio, silmukassa kulkeva sähkövirta on myös vakio: e 8,μV i 5,3mA. R,5 mω Siksi myös hetkellä, s virta on 5,3 ma. 37

37 c) Jotta silmukka liikkuisi vakionopeudella, Newtonin II lain mukaan on oltava F. Kun vetävän voiman F suunta on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F F m = eli F = F m. Koska e magneettinen voima on F m = ilb ja sähkövirta i, silmukkaa on vedettävä voimalla R e el 8,μV,8 m 4,μWb F ilb lb,7 μn oikealle. R RA,5 mω,8 m -3. Induktiojännite vastustaa kokonaisjännitteen muutosta käämissä. -3. a) Sähkövirran katkaisussa katkaisuaika on lyhyt, joten sähkövirran muutos tapahtuu lyhyessä ajassa. Tällöin syntyvä suuri induktiojännite voi aiheuttaa kipinän. b) Käämin itseinduktio hidastaa lampun syttymistä. c) Sähkövirran katkettua virtapiirissä oleva käämi yrittää estää virran pienenemistä, joten virtapiirissä olevasta induktanssista johtuen sähkövirta ei katkea hetkessä Suurta käämiä, jota käytetään esim. jännitepiikkien muodostamiseen tai sähkövirran rajoittamiseen, kutsutaan usein kuristimeksi. Loistelampuissa käytettävässä kuristimen induktanssi on suuri. Kun loistelamppuun kytketään jännite, lampun olevan sytyttimen sisällä auki olevien kaksoismetallikärkien välille syntyy 3 V jännite. Sytyttimessä olevassa kaasussa tapahtuu sähköpurkaus, joka lämmittää kaksoismetallia ja sen kärjet sulkeutuvat. Kun kärjet ovat sulkeutuneet, sähkövirta pääsee kulkemaan käämin ja loisteputken molemmissa päissä olevien lämmitysvastuksien kautta, jolloin ne lämpenevät. Tällöin loistelampussa oleva elohopea alkaa höyrystyä. Käämin rautasydämen ympärille syntyy magneettikenttä. Kun kaksoismetallikärjet jäähtyvät ja avautuvat, käämiin varastoitunut magneettikentän energia purkautuu, sähkövirran muutosnopeus on suuri ja putken päiden välille syntyy suuri jännitepiikki (itseinduktiojännite), joka aiheuttaa sähköpurkauksen loisteputkessa: lamppu syttyy a) Väite on tosi. Induktanssi on käämille ominainen vakio, ja se kuvaa käämin ominaisuutta vastustaa käämissä kulkevan sähkövirran muutosta. b) Väite on tosi. Koska myös suorassa sähköjohtimessa johtimen ympärille syntyy magneettikenttä, myös suoralla johtimella on induktanssia. c) Väite on tosi. Jos käämissä sähkövirran muutosnopeus on suuri, käämiin voi syntyä hetkellisesti suuri jännite Auton bensiinimoottorissa polttoaineen ja ilman seos sytytetään sytytystulpan katkaisukipinän avulla. Katkaisukipinä syntyy käämin itseinduktion takia autoa käynnistettäessä (virtapiirin sulkemishetkellä) Kun kytkin K suljetaan, piirroksen ylempi lamppu syttyy välittömästi. Alempi lamppu syttyy hieman myöhemmin, koska rautasydämellä vahvistetun käämin itseinduktio pyrkii vastustamaan sähkövirran muutosta (virran kasvua). Lopuksi alempi lamppu kuitenkin palaa kirkkaammin, koska sen läpi kulkeva sähkövirta on suurempi (resistanssi on pienempi). 38

38 -37. Keskimääräinen induktiojännite on 5, Wb,4 Wb ek N 66,4 V. t,4s -38. a) Indusoitunut jännite on I 5,A,A el, H,5V. t,4s b) Induktiojännitteen yhtälöstä I el induktanssi on t et 4V,s L,8 H. I,A3,6A I I -39. Induktiojännite on el, jossa sähkövirran muutosnopeus on, 77 A/s. Käämin t t et e induktanssi on L I I / t. Valitaan sähkövirran suunta positiiviseksi. Jos sähkövirta kasvaa, sähkövirran muutosnopeus on positiivinen ja indusoituneen jännitteen suunta on virran suunnalle vastakkainen: induktanssi on e 5,5V L 3,H. I / t,77a/s Jos sähkövirta pienenee eli virran muutos on negatiivinen, indusoituneen jännitteen suunta on virran suuntainen: induktanssi on e 5,5V L 3,H I / t,77a/s. -4. Käämiin indusoituva jännite on I el. Kuvaajan mukaan aikaväleillä, s..., s, t 3, s...4, s ja 5, s...6, s virran muutos on I = A. Välillä, s...3, s indusoituva jännite on I,5 A,5A el,4 H, V. t 3,s,s Välillä 4, s...5, s indusoituva jännite on I,5 A,5 A el,4 H,4 V. t 5,s 4,s Välillä 6, s...7, s indusoituva jännite on I,5 A,5 A el,4 H,4 V. t 7,s6,s 39

39 Ohessa käämin päiden välisen jännitteen riippuvuus ajasta aikavälillä, s 7, s. V e, t s -,5 I -4. Induktiojännite on el, josta virran muutosnopeus on t Aikavälillä, s...5, s sähkövirran muutosnopeus on I e. t L I e, mv 4mA/s. t L 7mH Sähkövirran muutos tänä aikana on e I t, mv 5,s,s 69mA. L 7mH Aikavälillä 5, s...5, s jännite on e = V ja sähkövirta on vakio I = 69 ma. Aikavälillä 5, s..., s virran muutosnopeus on I e, mv 4 ma/s, t L 7mH ja virran muutos tänä aikana on e I t, mv,s 5,s 69mA. L 7mH Aikavälillä, s...5, s jännite on e = V ja sähkövirta on vakio I = A. Jännitelähteen antama sähkövirta (t,i )-koordinaatistossa: ma I,6,4, -, t s -, -4. Kun kytkin on suljettuna, käämin päiden välinen jännite on 4 V ja käämissä kulkeva sähkövirta on I L U 4 V,3 A. R 5 L 4

40 Kun kytkin avataan, käämissä kulkeva sähkövirta pienenee. Käämi pyrkii ylläpitämään sähkövirran kulkua (Lenzin laki) suljetussa virtapiirissä, joten induktiovirran suunta on sama kuin alkuperäisen sähkövirran suunta. Käämin jännitteen napaisuus on vastakkainen jännitelähteen napaisuudelle. K I + R + A,,,8,6,4, Välittömästi kytkimen avaamisen jälkeen suljetussa silmukassa kulkee (lähes) yhtä suuri virta kuin juuri ennen virran katkaisua kulki käämissä. Käämin päiden välinen jännite on heti kytkimen avaamisen jälkeen I e = RI = 4, k,3 A,3 kv a) Sähkövirran kasvu hidastuu Lenzin lain mukaisesti. Tämä johtuu käämissä tapahtuvasta itseinduktiosta. b) Koska jännitelähteen sisäinen resistanssi on hyvin pieni, piirin kokonaisresistanssi on käämin resistanssi. Kun aikaa on kulunut yli 6 ms sähkövirran kytkemisestä, sähkövirran arvoksi on vakiintunut I =, A. Käämin resistanssi on E 6,V R 5,6667 5,. I,A c) Kun sähkövirta on vakio, käämissä tapahtuu jännitehäviö on E = 6, V. Kun sähkövirta muuttuu, I jännitehäviö on E RI L RI e. t 8 t ms = 8 ms 4 6 e Näin ollen indusoitunut jännite on e = E RI = 6, V 5,6667,8 A, V. Kuvaajasta nähdään, että hetkellä 4 ms sähkövirta on I =,8 A. Sähkövirran arvo on kuitenkin muuttumassa (kasvamassa), ja sen muutosnopeus saadaan kuvaajaan piirretyn tangenttisuoran fysikaalisena kulmakertoimena: I I I,A,4A,8A A/s. t t t,8s,s,8s Yhtälöstä,8 I = A,8 A I E RI L t t ms käämin induktanssi on 4

41 ERI 6,V 5,6667,8A L,H. I A/s t -44. a) Käämin päiden välinen jännite on Lenzin lain mukaisesti I I UAB VA VB RI Eind RI ( L ) RI L t t. Käämin resistanssista johtuva jännitehäviö on RI =,5 A = 3 V < U AB. I Niin ollen täytyy olla. t Virta on siis kasvamassa. I b) Lenzin lain perusteella yhtälöstä UAB RI L saadaan t I L U AB RI 33V 3V 3V, t I 3V 3V joten virran muuttumisnopeus on 6A/s. t L,5H -45. a) Keskimääräinen itseinduktiojännite on I U R V,Ω ek L L 4,mH,V. t t,s b) Magneettikentän energia on U V EB LI L R 4, mh,7 J., -46. Kondensaattorin purkautuessa sen sähkökentän energia magneettikentän energiaksi E LI CU sähkövirta on B LI C,μF I U 3V,A L 76mH. EC CU muuntuu käämin. Oletetaan, että muunnos tapahtuu ilman häviöitä. Yhtälöstä -47. a) Pyörrevirroilla tarkoitetaan sähkövirtoja, jotka syntyvät muuttuvassa magneettikentässä olevaan metallikappaleeseen. b) Induktioliesissä pyörrevirrat kuumentavat suoraan liedelle asetetun metallikattilan pohjaa. Lieden keraaminen pinta johtaa huonosti lämpöä lieden muihin osiin, joten energiaa menee vain vähän hukkaan. Pyörrevirtalieden pinta ei kuumene yhtä paljon kuin metalliset sähkölevyt. Ruokien kuumentaminen pyörrevirtaliedellä edellyttää metallisten astioiden käyttöä, koska pyörrevirtojen syntyminen 4

42 edellyttää materiaalilta hyvää sähkönjohtavuutta. Vaikka teoriassa metallisilla keittolevyillä olisi mahdollista käyttää myös muita kuin metallisia keittoastioita, lasin ja keramiikan huonon lämmönjohtavuuden ja rikkoutumisvaaran vuoksi kaikki liedelle suunnitellut astiat ovat joka tapauksessa metallisia, joten pyörrevirtaliesi ei tässäkään mielessä ole perinteistä lämmön johtumiseen perustuvaa liettä huonompi. Pyörrevirtaliesien etuja ovat myös nopeus ja hyvä säädettävyys: induktioliedet myös säästävät energiaa perinteisiin liesiin verrattuna. c) Induktiovirtojen lämpövaikutuksien teknisiä sovelluksia. * Pyörrevirtojen lämpövaikutusta käytetään hyödyksi sulatettaessa induktiouuneissa metalleja. Sulatettavat metallikappaleet, esimerkiksi rautaromu, sijoitetaan lämpöä kestävään eristeastiaan. Astian ympärillä on käämi. Käämissä kulkevan vaihtovirran taajuus on noin khz. Metalleissa syntyvät pyörrevirrat nostavat lämpötilan metallin resistanssin takia sen sulamispisteeseen. * Induktioliesien keittolevyissä on käämit, joissa kulkevat vaihtovirrat synnyttävät pyörrevirtoja levyllä olevaan metallisen astian pohjaan. Kuumenevasta astiasta lämpö siirtyy astiassa olevaan veteen tai ruokaan. Induktiovirtojen voimavaikutuksien teknisiä sovelluksia. *Junissa on kiskojen molemmin puolin pareittain asennettuja sähkömagneetteja, joihin kytketään junaa jarrutettaessa sähkövirta. Tällöin magneettivuo läpäisee kiskon, joten junan liikkuessa kiskoihin indusoituu pyörrevirtoja. Kiskoissa kulkevat pyörrevirrat synnyttävät magneettisen voiman, joka jarruttaa sähkömagneettien ja samalla junan liikettä. *Kodeissa käytettävät sähkönkulutusmittarit, kilowattituntimittarit toimivat induktiokytkimillä. Mittarin herkkäliikkeiseen akseliin on kiinnitetty yhtenäinen metallilevy, joka pyörii ulkoisen muuttuvan magneettikentän aiheuttaman vääntömomentin johdosta. Sähköverkkoa kuormittava vaihtovirta synnyttää mittarin alumiinilevyyn pyörrevirtoja, jotka pyrkivät pyörittämään levyä. Alumiinilevyn akseli on kytketty kierroslaskuriin ja mittarin näyttöön. * Pyörrevirtoja hyödynnetään myös autojen ja moottoripyörien nopeusmittareissa estämään osoittimen heilahtelua. * Tarkkojen vaakojen heilahtelua vaimennetaan induktiojarruilla, jolloin ne asettuvat mahdollisimman nopeasti tasapainoasemaansa. Pyörrevirtojen teknisiä sovelluksia. * Metallinilmaisimin toiminta perustuu pyörrevirtojen syntymiseen. Käämissä kulkee vaihtovirta. Kun metalliesine M on ilmaisimen lähellä käämin muuttuvassa magneettikentässä, metalliesineeseen M indusoituu pyörrevirtoja. Metalliesineen M pyörrevirtojen aikaansaama muuttuva magneettivuo läpäisee osittain käämin ja siihen indusoituu jännite. 43

43 Ilmaisimen korkeataajuinen lähetin kytkeytyy induktiivisesti havaittavan metalliesineen kanssa. Metalliesine aiheuttaa ilmaisimessa energiahäviön, ja ilmaisin hälyttää. Millivolttimittari ilmaisee käämiin indusoituneen jännitteen. Kun metallinilmaisimen lähistöllä ei ole metalliesineitä, käämiin ei indusoidu jännitettä, koska käämin vaihtovirran synnyttämän magneettikentän muuttuva magneettivuo käämin läpi on nolla systeemin geometriasta johtuen. Induktiojännite käämissä on sitä suurempi, mitä voimakkaampia metalliesineeseen syntyvät pyörrevirrat ovat. Pyörrevirrat ovat taas sitä voimakkaampia, mitä parempi metallin sähkönjohtavuus on tai mitä enemmän metallia on. * Liikennevalojen vaihtumisessa ja liikennelaskennassa hyödynnetään pyörrevirtoja. Induktiosilmukka, jonka avulla liikkuva auto havaitaan, voi olla tien pinnan alla tai tien sivussa. * Metallin rakennevikojen etsimiseen käytetään pyörrevirtoja. Jos esimerkiksi suihkuturbiinin roottorin lavassa on hiushalkeamia, pyörrevirrat ovat heikompia kuin ehjässä lavassa a) Metallilevyyn syntyy pyörrevirtoja. Pyörrevirrat synnyttävät metallilevyyn vastakkaissuuntaisen magneettikentän sauvamagneetin kenttään nähden, ja magneetin pyöriminen hidastuu. Muovilevy ei vaikuta magneetin pyörimiseen; siihen ei synny pyörrevirtoja. b) Kytkimen sulkeminen synnyttää hetkeksi käämiin kasvavan sähkövirran ja samalla syntyy hetkellisesti käämin rautasydämeen kasvava magneettivuo. Vuon kasvu indusoi alumiinirenkaaseen pyörrevirtoja. Lenzin lain mukaisesti pyörrevirtojen suunta on sellainen, että niiden aiheuttama magneettikenttä on vastakkaissuuntainen käämin aiheuttamaan kenttään nähden. Tästä aiheutuu renkaan ja rautasydämen välille magneettinen hylkimisvoima, jonka takia rengas lennähtää ilmaan a) Kun metallinilmaisimen lähellä ei ole metalliesinettä, käämiin ei indusoidu jännitettä, koska käämin vaihtovirran synnyttämän magneettikentän muuttuva magneettivuo käämin läpi on nolla systeemin geometriasta johtuen. b) Kun metallinilmaisimen lähellä on metalliesine M, käämin magneettikenttä muuttuu ja metalliesineeseen M indusoituu pyörrevirtoja. Niiden aikaansaama muuttuva magneettikenttä menee osittain käämin läpi. Käämiin indusoituu jännite. Millivolttimittari osoittaa syntyvän jännitteen. c) Induktiojännite käämissä on sitä suurempi, mitä voimakkaampia metalli-esineeseen syntyvät pyörrevirrat ovat. Pyörrevirrat ovat taas sitä voimakkaampia, mitä parempi metallin sähkönjohtavuus on. -5. Kun voimakas magneetti vieri pitkin kaltevaa muovilevyä ja alumiinilevyä, vieriminen pitkin alumiinilevyä oli pyörrevirtojen syntymisen takia hitaampaa. Magneetin liikettä pitkin muovilevyä hidasti vain vierimisvastus ja ilmanvastus. Magneetti on magneettikentän välityksellä vuorovaikutuksessa vain sähköä johtavan kappaleen kanssa. -5. a) Koulussa kyseinen demonstraatio tehdään yleensä siten, että alumiinilevyn annetaan heilahdella voimakkaan magneetin napojen välissä. Heilurissa oleva levy voi olla mitä tahansa sähköä johtavaa materiaalia, mutta ei kuitenkaan rautaa. Jos levy on rautaa (ferromagneettista ainetta), se ei heilahtele ollenkaan vaan tarttuu välittömästi kiinni magneetin napoihin. Muissa sähköä johtavissa materiaaleissa syntyy pyörrevirtoja, koska levyn heilahdellessa sen lävistävä magneettivuo muuttuu. Lenzin lain mukaan pyörrevirtojen suunta on sellainen, että niiden synnyttämä magneettikenttä pyrkii vastustamaan ulkoista (vuon) muutosta eli heilurin heilahtelua. Kun heiluri on heilahtamassa kestomagneetin napojen väliin, pyörrevirtojen suunta on sellainen, että levy hylkii kestomagneettia. Kun heiluri on heilahtamassa ulos magneetin napojen välistä, pyörrevirtojen suunta vaihtuu ja magneetti vetää levyä puoleensa. Siksi levyn heilahtelu hidastuu voimakkaasti. 44

44 b) Hopealevy pysähtyy nopeammin kuin lyijylevy, koska hopea on parempi sähkönjohtavuudeltaan ja siksi siihen muodostuvat pyörrevirrat ovat voimakkaampia. Hopean resistiivisyys on,59 8 m ja lyijyn,65 8 m. -5. a) Dynamossa on käämi, jonka sisällä kestomagneetti pyörii. Kestomagneetti on yhdistetty akselilla pieneen renkaaseen, joka pyörii, kun dynamon pää pääsee koskettamaan polkupyörän pyörivää rengasta. Dynamo on yhdistetty johtimilla lampun polttimoon. b) Voimalaitoksessa energialähteestä vapautuvan energian avulla pyöritetään generaattoria, jossa mekaaninen energia muuntuu induktioilmiön vuoksi sähköksi. Vesivoimalaitoksessa generaattoria pyörittää virtaava vesi, tuulivoimalaitoksessa virtaava ilma. Ydinvoimalaitoksessa ydinreaktioissa vapautuva energia höyrystää vettä ja vesihöyry pyörittää generaattoria a) Pyörimisnopeuden kasvattamien lisää vaihtojännitteen taajuutta. Jännitteen suuruuteen vaikuttavat magneettivuon tiheys, käämin pinta-ala ja kulmanopeus. b) Koska jaksonaika on ms, jännitteen taajuus on pyörimisnopeus on 5 r/s. c) Jännitteen huippuarvo on e = 3 V. f 5 Hz T ms. Silmukan d) Huippuarvon yhtälöstä e = NAB magneettivuon tiheyden suuruus on e 3V B 8,T. NA 4 5 m π 5 /s -54. a) Indusoitunut jännite on e e sin, jossa α on magneettikentän ja silmukan tason normaalin välinen kulma. Silmukan ollessa kentän suuntainen kulma α = 9 ja sin9 =, jolloin jännite on yhtä suuri kuin huippujännite eli 66 e NAB NABπf,5m 3mTπ, V. 6 s b) Kun silmukka (silmukan taso) on kenttää vastaan kohtisuorassa, kulma α = ja sin α =. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on hetkellisesti vakio: jännite on e = V. e,v c) Virran huippuarvo on i 7 ma. R Kun kiertymä on, virta on e, V i i sin sin sin 5 ma. R -55. a) Indusoitavan jännitteen huippuarvo on e 4 5 NAB 5 m,t 54V. 6 s b) Sähkövirran huippuarvo on i e R 54V, 7 A. 45

45 -56. a) Jännite ajan funktiona on ee sint NABπf sin( ft) s s s 4 4 4, m,t π sin π t,4 sin 75,4 t V b) Jännitteen kuvaaja (t,e)-koordinaatistossa: V,3 e,, -, t s -, -,3 Testaa, osaatko sivu 93. ab. c 3. b 4. c 5. c 6. b 7. b 8. abc. Yhtälöstä e = lvb saadaan e, V v,9 m/s. lb,38m,9t 4. Indusoituva jännite on AB B en N NA t t t m ( mt/s) 5, V 5 V 5μV. 46

46 3 Vaihtovirta 3-. a) Jakoväli (division) TIME/DIV ms tarkoittaa, että yksi ruutu kuvaa ms aikaa vaakasuunnassa. Vastaavasti VOLTS/DIV, V tarkoittaa, että yksi ruutu kuvaa pystysuunnassa jännitettä, V. Kuvan perusteella signaaligeneraattorista saadaan vaihtojännitettä, jonka huippuarvo on u =,4 V jaksonaika on T = 6,8 ms taajuus on f 5 Hz. 6,8 ms b) Yleismittari eli ampeerimittari näyttää sähkövirran tehollista arvoa. Oletetaan, että ampeerimittarin resistanssi on likimain nolla. Vastuksen resistanssi on u,4 V U R,3379 I I 5 ma. c) Yleismittari näyttää jännitteen tehollisen arvon u,4 V U,7 V. 3-. a) Vaihtojännitteen huippuarvo on u = 4, V. b) Jännitteen tehollinen arvo on u 4, V U,8V. c) Kuvassa jaksonaika on T =, s. d) Vaihtojännitteen taajuus on f 5Hz. T,s u 3-3. a) Vaihtojännitteen tehollinen arvo on U, jolloin jännitteen huippuarvo on u U 3 V 33 V. b) Laitetta ei voida kytkeä sähköverkkoon, koska sen jännitteenkesto (9 V) on pienempi kuin sähköverkon hetkellinen maksimijännite (33 V). c) Huippuarvo on suurempi kuin tehollinen arvo. Jännitteen huippuarvo on suurin laitteeseen tai kytkentään vaikuttava jännitteen arvo laitteen käytön aikana a) Vastuksen päiden välisen jännitteen huippuarvo on u = Ri, jolloin vastuksen resistanssi on R u V Ω. i, A 47

47 b) Vastuksen tuottama energia saadaan yhtälöstä E = Pt. Vastuksen tuottama teho on P = UI, kun u i jännitteen tehollinen arvo on U ja sähkövirran tehollinen arvo I. Vastuksen tuottama lämpenemistä aiheuttava energia on u i uit V,A 456s E Pt UIt t 9kJ. c) Ohmin laki pätee vastukselle jokaisella hetkellä t eli u ( t) R i( t),9a 9V a) Laitteen sähköteho on P = UI ja jännitehäviön tehollinen arvo U = RI, joten Vaihtovirran tehollinen arvo on P RII RI. I P W 7, A. R 4 Ω i b) Vaihtovirran tehollinen arvo on I, joten vaihtovirran huippuarvo on i P P W I A. R R 4Ω 3-6. Kuvaajasta nähdään, että jännitehäviön huippuarvo on u 35 V. Sähkövirran huippuarvo on u 35 V i,3 A. R 5 Ω,3 A välillä. Vastuksessa sähkövirta ja jännitehäviö ovat samassa vaiheessa. Sähkövirta vaihtelee jaksollisesti (sinimuotoisesti) arvojen,3 A ja A i V u, 4, 5 5 t ms -, - i u -, -4 Yleismittarin lukema on vaihtovirran tehollinen arvo eli i,3a I 9 ma. 48

48 3-7. a) U b) Ohmin lain U RI mukaan vastuksen resistanssi on R. Resistanssi saadaan suoran I fysikaalisena kulmakertoimena. Resistanssi on U, V R. I 7 ma c) ~ RCL-vaihtovirtapiirissä Ohmin laki yleistyy muotoon U ZI. Kuvaajan fysikaalinen kulmakerroin on piirin impedanssi: U 5, V Z 9. I 7 ma 3-8. a) Koska jännitehäviö on edellä sähkövirtaa, vaihe-ero johtuu induktanssista. Siksi vaihe-ero on positiivinen. Sähkövirran muutokset hidastuvat induktioilmiön takia. Sähkövirran vaihe jää jälkeen jännitteen vaiheesta. b) 3) 54. Aikaero on kuvion perusteella t 3,ms ja jaksonaika T = ms. Vaihe-ero on t 3, ms,3 rad54. T ms 3-9. a) Kondensaattorissa jännitehäviön vaihe on sähkövirran vaiheen jäljessä, joten jännitehäviön kuvaaja on se, joka saavuttaa maksiminsa myöhemmin (hetkellä t = ms) eli kuvaajista punainen. b) Aikaero kuvion on perusteella t 5, ms ja jaksonaika T =, ms. Koska jännitehäviö on sähkövirtaa jäljessä, vaihe-ero on negatiivinen. Vaihe-ero on t 5, ms rad. T,ms c) Kuvaajasta nähdään jännitteen huippuarvoksi u 35V ja sähkövirran huippuarvoksi i,37a. Piirin impedanssi on 49

49 Z U u 35 V 88. I i i,37 A u 3-. a) Kuvassa jännitteiden välinen vaihe-ero on,5 ms ( 9 )., ms Käämissä jännitehäviö on sähkövirtaa edellä ( ). Kondensaattorissa jännitehäviö on sähkövirtaa jäljessä ( ). Jos komponentit A ja B olisivat kondensaattori ja käämi, edellisen mukaan jännitehäviöiden välinen vaihe-ero olisi suurempi kuin. Komponentit eivät voi olla käämi ja kondensaattori. Vastuksessa jännitehäviö ja sähkövirta ovat samassa vaiheessa, joten toinen komponenteista voi olla vastus. Toiseksi komponentiksi on kaksi mahdollisuutta: ) Kondensaattorissa jännitehäviö on sähkövirtaa jäljessä, vaihe-ero on. Tällöin U B kuvaa vastusta ja U kondensaattoria. Jos komponentti B on vastus, komponentti A on kondensaattori. A ) Ideaalisessa käämissä (R L = ) jännitehäviö on sähkövirtaa edellä, vaihe-ero on +. Jos komponentti A on vastus, komponentti B on ideaalinen käämi. b) Lähteen jännite on joka hetki komponenttien navoista mitattujen jännitehäviöiden summa eli u = u A + u B. Hetkellä,7 ms komponentissa A jännitehäviö on u A = + 3 mv ja komponentissa B u B = 3 mv, joten lähteen jännite on tällöin V. Lähteen jännite on V myös hetkellä,7 ms, jolloin jännitehäviö A:ssa on u A = 3 mv ja B:ssä u B = +3 mv, ja hetkellä,6 ms, jolloin jännitehäviö A:ssa on u A = +38 mv ja u B = 38 mv. 3-. a) Vastuksessa impedanssi on Z = R. Taajuuden muuttuessa resistanssi pysyy samana, joten vaihtovirran taajuuden kasvu ei vaikuta resistanssiin. b) Käämissä vaihtovirtaa vastustaa induktiivinen reaktanssi, joka on X L = πfl ja joka kasvaa taajuuden kasvaessa (X L f). c) Kondensaattorissa vaihtovirtaa vastustaa kapasitiivinen reaktanssi, joka on X C ja fc pienenee taajuuden kasvaessa (X C /f). 3-. a) RL-vaihtovirtapiirissä kapasitiivinen reaktanssi X C =, joten piirin impedanssi on L C L L Z R X X R X R X R L. Kun käämin sisälle laitetaan rautasydän, käämin induktanssi L kasvaa. Samalla induktiivinen reaktanssi ja impedanssi kasvavat myös. Koska piirin sähkövirtaa vastustava impedanssi suurenee, sähkövirta pienenee. 5

50 b) Kun vaihtovirtapiirissä on vain vastus, vastuksen päiden välinen jännite ja sähkövirta ovat samassa vaiheessa, koska vastus ei ole energiaa varastoiva komponentti kuten kondensaattori ja käämi. Energiaa varastoituu kondensaattoriin sähkökentän energiaksi ja käämiin magneettikentän energiaksi. Energian varastoituminen käämiin ja kondensaattoriin aiheuttaa jännitehäviön vaiheeron virtaan nähden Kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi on X C, jossa C on kondensaattorin πfc I kapasitanssi. Jännitehäviö kondensaattorissa on U XCI eli U, jolloin sähkövirta on πfc I fcu. Kapasitanssin kasvaessa kapasitiivinen reaktanssi pienenee ja sähkövirta kasvaa Kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi on X C, jossa f on taajuus. Jännitehäviö πfc I kondensaattorissa on U XCI eli U, jolloin sähkövirta on I πfcu. πfc Jos taajuus on Hz (tasavirta), sähkövirta ei kulje piirissä eli virta I = A. Taajuuden kasvaessa sähkövirta kasvaa. U 3-5. a) Koska sähkövirta on kääntäen verrannollinen impedanssin suuruuteen, eli I, Z sähkövirta kasvaa, jos vaihtovirran impedanssi pienenee ja sähkövirta pienenee, jos impedanssi kasvaa. Impedanssi on Z R X X R L. Impedanssille saadaan C minimiarvo ja sähkövirralle maksimiarvo, jos kondensaattorin kapasitanssia säädetään niin, että kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi X C tulee yhtä suureksi kuin käämin induktiivinen reaktanssi X L. Vastaavasti jos kapasitanssia säädetään niin, että X L X C kasvaa sähkövirta pienenee. b) Impedanssi on Z R L C L C ωl. Kondensaattorin kapasitanssin C kasvaessa termi C. Kun käämin induktanssi L kasvaa, kasvaa myös termi pienenee. Kun L ja C kasvavat, kasvaa myös erotus L, jolloin L kasvaa, jos L, ja pienenee, jos C C C L. Impedanssiin muutos riippuu siis termin L merkistä. Resistanssin C C kasvattaminen kasvattaa aina myös impedanssia a) Tehollinen jännite on U XLI LI, jolloin tehollinen sähkövirta on U U 3V I,9757 A,A. L πfl π 5,35H s 5

51 b) Tapa : Sähkövirran huippuarvo on i I,9757 A 3, A. Tapa : Sähkövirran huippuarvo on i U 3 V I 3,A. fl 5,35H s c) Sähkövirran pienin arvo on A U =, V U = 3 V R Tasavirran ja -jännitteen perusteella käämin resistanssi on R U Impedanssi on,v 4,Ω DC. IDC 5,A Z R XL XC. Z Kapasitiivinen reaktanssi on X C =, joten Z R X L. Yhtälöstä käämin induktiivinen reaktanssi U AC on X L Z R. Vaihtojännitepiirissä impedanssi on Z. Induktiivinen reaktanssi on I X L L, josta induktanssiksi saadaan U AC 3V R I AC 3, A 4,Ω X L L,4 H. f 5 s AC

52 Kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi on X C,9384. πfc 3 6 π,8 47 F s Vaihtovirtapiirissä on vain kondensaattori ja piirin resistanssi oletetaan nollaksi, joten piirin impedanssi Z = X C. Piirissä kulkevan vaihtovirran huippuarvo on i u,7 V X C,9384,59 A U = 3 V U = 3 V X C X C Vaihtovirtapiirissä virtaa rajoittaa vain kondensaattori, joten tehollinen jännite on I I U XCI, C πfc josta kondensaattorin kapasitanssi on I,A C 4μF. πfu π 5 3V s Sähkölaitteita suojataan rajoittamalla sähkövirran suuruutta. Tähän tarkoitukseen käytetään vastuksia eikä kondensaattoreita, koska vastukset ovat pidempi-ikäisiä kuin kondensaattorit. Vastukset eivät aiheuta vaihe-eroa kondensaattorin tavoin jännitehäviön ja sähkövirran välille. 3-. a) Vaihtovirtapiirissä on vain kondensaattori ja piirin resistanssi oletetaan pieneksi, joten piirin impedanssi Z = X C. Jännitteen tehollinen arvo on I I U XCI, C πfc josta vaihtovirran tehollinen arvo on I πfcu π 5 μf6,v 3mA. s b) Vaihtovirran tehollinen arvo on I πfcu π μf6,v 45mA. s 3 53

53 3-. a) Kuvion perusteella vaihtojännitteen jaksonaika on, μs, joten taajuus on f 6 T, s 3 5, Hz. Koska vaihtovirtapiirissä on vain kondensaattori, piirin impedanssi on yhtä suuri kuin kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi eli impedanssi on Z X C 6,7755 6,7. πfc 3 6 π 5,,47 F s i 55 ma b) Piirissä kulkevan sähkövirran tehollinen arvo on I 38,8987 ma 39 ma. c) Tapa : Jännitehäviön huippuarvo on u = i Z = 55 ma 6,7755 =,37 V. Tapa : Jännitehäviön huippuarvo on u U ZI Z I Zi 6, ma,37 V. d) Kuvaajan mukaan jännitehäviö saavuttaa huippuarvonsa hetkellä, μs ja aina, μs:n välein. Jännitehäviö saavuttaa huippuarvonsa hetkillä t = n, μs, n =,,, 3, 3-.a) Yleismittarin antamat jännitehäviöiden lukemat ovat tehollisia arvoja. Jännitehäviön huippuarvo vastuksessa on u, U 5,V 7,V R ja kondensaattorissa C R u, U 3,6 V 5,V. C Jännitteiden kuvaajat ovat sinikäyriä, joiden maksimeina ovat 7, V ja 5, V. Vastuksessa jännitehäviö ja sähkövirta ovat samassa vaiheessa, kondensaattorissa taas jännitehäviö on virtaa π jäljessä (ideaalitapauksessa vaihe-ero on = 9 ). Koska molempien komponenttien läpi kulkee sama vaihtovirta, voidaan päätellä, että kondensaattorin jännitehäviö on vastuksen jännitehäviötä jäljessä. 54

54 V 8 u T T ur t -4 uc -6-8 b) Vastuksen resistanssi R ei riipu taajuudesta. Kondensaattorin reaktanssi taajuuden kasvaessa. Tällöin RC-piirin impedanssi Z X C pienenee πfc R X C myös pienenee. Vaikka vaihtojännitelähteen napajännite ei muutu, piirissä kulkevan sähkövirran tehollinen arvo suurenee. Siksi jännitehäviö U R RI vastuksessa suurenee a) Kun taajuus on 5 Hz, kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi on X C 3 k. πfc 9 5 F s Vastaavasti, kun taajuus on Hz, kapasitiivinen reaktanssi on X C 6 k. πfc 9 F s Lasketaan vastaavalla tavalla muita taajuuksia vastaavat kapasitiiviset reaktanssit. Tulokset ovat taulukossa. f/(/s) 5 5 X C / Käyrän piirtämiseksi on laskettu vielä 75 Hz:n taajuutta vastaava X C :n arvo

55 b) kω X C 3 5 c) Matalilla taajuuksilla kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi on suuri, jolloin kondensaattorin aiheuttama vastus vaihtovirralle on suuri. Huomaa, että tasavirta ei kulje lainkaan suljetussa silmukassa, jossa on kondensaattori (itse asiassa virtapiiri on avoin kondensaattorin kohdalla). Korkeilla taajuuksilla kapasitiivinen reaktanssi on pieni. Silloin kondensaattori vastustaa vaihtovirtaa vain vähän Piirretään mittaustuloksista (I,U)-kuvaaja. f Hz V U ΔU = 5,6 V ΔI = 5, ma I 3 ma Pistejoukkoon sovitetaan suora, jonka fysikaalinen kulmakerroin on piirin impedanssi: U 5,6 V Z 37,3737. Koska piirissä ei ole muita komponentteja kuin tutkittava I 5, ma kondensaattori, impedanssi on kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi Z X C. fc Vaihtojännitteen taajuus oli f 78 Hz. 6 πzc π 37,3737 Ω 5,5 F 56

56 3-5. Tapa : Tehollinen jännite on U ZI, jossa on Z R X C RC-piirin impedanssi. Kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi X C 7,34. Tällöin C fc F s sähkövirran tehollinen arvo on U U 3V I Z R X,898A,8 A. Sähkövirran suurin arvo on 5 Ω 7,34 C i I,898A, A ja pienin arvo A. Tapa : Tehollinen jännite on U ZI, jossa on Z R X C RC-piirin impedanssi. Kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi X C C πfc. Tällöin sähkövirran tehollinen arvo on U U U 3V I Z R X π fc 5 Ω π 5 5μF s,898a,8 A. Sähkövirran suurin arvo on C R i I,898A, A ja pienin arvo A a) Vaihtovirtapiirissä olevan kondensaattorin jännite vaihtelee jaksollisesti (sinimuotoisesti). Ensin energiaa siirtyy jännitelähteestä kondensaattorin sähkökentän energiaksi, sitten kondensaattorin sähkökentän energia purkautuu takaisin piiriin. Ilmiö toistuu jokaisen puolen jakson aikana. Kondensaattori ei siis kuluta energiaa, vaan se ensin latautuu ja sitten purkautuu. b) 57

57 Keittolevyn tehonkulutus on U U, P RI R R R josta levyn resistanssiksi saadaan U (3 V) R 93, P 8 W Kun piiriin kytketään kondensaattori, piirin impedanssi on Z R ( ) R ( ). C πfc U Vaihtovirtapiirissä tehollinen jännite on U ZI, josta I. Z Piirin B tehonkulutus on U U P RI R( ) R. Z Z Tehonkulutuksen haluttiin pienenevän puoleen, joten P P eli Z R. Toisaalta Z R ( ) R ( ). C πfc Ratkaistaan kondensaattorin kapasitanssi yhtälöstä R ( ) R πfc ( ) πfc R R πfc πfrc. U R Z U, josta ratkaistuna R Kondensaattorin kapasitanssi on C μf. πfr π 5 Hz 93, ~ Virrankulkua vastustava impedanssi on a) Z R X X 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω. L C 58

58 b) Jännitelähteen tehollisen jännitteen arvo 3 V on sama kuin piirin tehollinen jännitehäviö U = ZI. Vaihtovirran tehollinen arvo on U 3 V I, 5 A. Z U = V X C C = 3 μf a) Tapa : L =,6 H X L Tehollinen jännite on U ZI, jossa impedanssi on Z R XL XC. Induktiivinen reaktanssi on reaktanssi X C XL L πflπ 5,6 H 5,6548 ja kapasitiivinen s 99,4784. C πfc 6 π 5 3 F s Sähkövirran tehollinen arvo on U I U Z R XL XC 5 Ω 5, ,4784,5683 A,6 A. a) Tapa : Tehollinen jännite on U V Z R XL XC. ZI, jossa impedanssi on Induktiivinen reaktanssi on X L fl ja kapasitiivinen reaktanssi X C. C πfc L 59

59 Sähkövirran tehollinen arvo on U U I Z R πfl πfc V 5Ω π 5,6H s π 5 3μF s,5683a,6a. b) Lasketaan komponenttien teholliset jännitehäviöt. Vastus: UR Käämi: RI 5,5683 A 78 V. UL XLI πfli π 5,6H,5683A 79V. s Kondensaattori:,5683 A UC XCI I 6 V. πfc π 5 3 μf s U 3-9. a) Piirissä kulkeva sähkövirta I saa suurimman arvonsa, kun impedanssi Z on pienin Z mahdollinen. Impedanssin lausekkeesta Z RL (X L X C ) voidaan päätellä, että ko. tapauksessa on oltava X L X C. Impedanssi on tällöin sama kuin käämin sisäinen resistanssi eli Z R L. Sisäinen resistanssi on U,48 V RL 4, ,8. I,5 A b) Koska X L X C, saadaan yhtälö X L X C eli π fl. πfc Käämin induktanssi on 3 L 4,87 H 4,9 mh. 6 4π f C 4π ( Hz) 5, F c) Kun vaihtojännitteen taajuus on 4 Hz, piirin impedanssi on Z R ( X X ) R (π fl ) πfc L L C L 6

60 (4,84375Ω) (π 4 Hz 4,87 H ) π 4Hz 5, F 4,8774 Ω. 3 6 Sähkövirran tehollinen arvo on I U,48 V ma. Z 4,8774 Ω 3-3. a) Kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi on X C 7,34. 6 πfc π 5 Hz 5 F Vaihe-ero saadaan yhtälöstä XL XC, 7,34 tan. R 5 Vaihe-ero on,47 rad. Jännite on jäljessä sähkövirtaan nähden. b) Käämin induktiivinen reaktanssi on XL πflπ 5 Hz,45 H 4,377. Määritetään vaihe-ero yhtälöstä XL XC 4, tan. R Vaihe-ero on,73 rad. Jännite on sähkövirtaa edellä a) Komponentti : Komponentin läpi kulkeva vaihtovirta ei riipu taajuudesta, joten komponentti on vastus. Komponentti : Induktiivinen reaktanssi X L L πfl kasvaa, kun vaihtovirran taajuus f kasvaa. Tällöin U käämissä kulkeva sähkövirta I pienenee. Komponentti on siis käämi. X L Komponentti 3: Kapasitiivinen reaktanssi X C C πfc pienenee, kun vaihtovirran taajuus kasvaa. U Kondensaattorin läpi kulkeva sähkövirta I siis kasvaa. Komponentti 3 on kondensaattori. X b) Kuvaajista nähdään, että sähkövirta on kaikille komponenteille mittaustilanteessa I, A. Kuviin ) ja 3) on merkitty myös, A:n sähkövirtaa vastaava taajuus. Kuvan ) tapauksessa sähkövirta ei riipu taajuudesta. Vastuksen resistanssi on U 7,5 V R 7,5 Ω. I, A C 6

61 Kuvaajasta nähdään: Kun sähkövirta on, A, vaihtovirran taajuus on 6 Hz. Tehollinen jännitehäviö käämissä on U XLI πfli, josta induktanssi on U 7,5 V L 7, mh 7,5 mh. πfi π 6 Hz A Kuvaajasta 3 nähdään: Kun sähkövirta on, A, vaihtovirran taajuus on 3 Hz. Tehollinen jännitehäviö kondensaattorissa on U XCI I, πfc josta kapasitanssi on I A C 66,3456 μf 66μF. πfu π 3 Hz 7,5 V c) RCL-piirin impedanssi on Z R ( L ) C ja sähkövirta taajuuden funktiona U U I( f). Z R (π fl ) πfc Piirin resonanssitaajuus on f 6 Hz. 6 3 π LC π 66,3456 F7,46388 H Kuvaajan piirtämistä varten lasketaan joitakin sähkövirran arvoja ( U 7,5 V ): f / Hz I(f) / A,3,3,7,46,7,94,,99,85,7,59,5 A, I,8,4 f 3 4 Hz 3-3. Sähkövirta kulkee diodien läpi vain päästösuunnassa. Sähkövirran suunta on ylemmästä potentiaalista alempaan potentiaaliin eli positiivisesta navasta negatiiviseen napaan. a) Kun ylempi napa on positiivinen, sähkövirran suunta on kohti alempaa negatiivista napaa. Sähkövirta voi kulkea lampun ja päästösuuntaan kytkettyjen diodien läpi, mutta ei estosuuntaan 6

62 kytkettyjen diodien läpi. Huomaa, että lähinnä jännitelähdettä olevassa haarautumiskohdassa sähkövirta kulkee pitkin johtimen alempaa haaraa päästösuuntaan kytketyn diodin läpi kohti negatiivista napaa (ei siis kohti positiivista napaa, vaikka diodi siihenkin suuntaan on päästösuunnassa). b) Kun alempi napa on positiivinen, sähkövirran suunta on kohti ylempää negatiivista napaa. Sähkövirta voi kulkea lampun ja päästösuuntaan kytkettyjen diodien läpi, mutta ei estosuuntaan kytkettyjen diodien läpi. Huomaa, että lähinnä jännitelähdettä olevassa haarautumiskohdassa sähkövirta kulkee pitkin johtimen ylempää haaraa päästösuuntaan kytketyn diodin läpi kohti negatiivista napaa (ei siis kohti positiivista napaa, vaikka diodi siihenkin suuntaan on päästösuunnassa) ) 7 W ja 8. Sähköverkon 3 V:n jännite on jännitteen tehollinen arvo. Huipputeho on p ui U I UI P85 W 7 W. Hiustenkuivaajan tehonkulutus on P = UI, tehollinen jännite U = IR ja tehollinen virta U U U I, joten PU. Vastuksen resistanssi on R R R U 3 V R 6. P 85 W a) Merkintä tarkoittaa 9 W tehoa, kun tehollinen jännite on 3 V (normaali verkkojännite). Teho on P = UI, josta sähkövirran tehollinen arvo on P 9 W I 3,9343A 3,9A. U 3V a) Sähkövirran huippuarvo on i I 3,9343A 5,5A. 63

63 a3) Tapa : Jännitehäviö on U = RI, josta resistanssi on U 3 V R 59 I 3,9343 A Tapa : Tehollinen jännitehäviö on U = RI, josta tehollinen sähkövirta on U U Tehokulutus on PUI U, R R I U. R josta resistanssi on U 3V R 59Ω. P 9 W a4) Pelkkä vastus ei aiheuta vaihe-eroa, joten vaihe-ero on rad. b) Lämmitin ottaa sähköverkosta energiaa ja lämmittää teholla P =UIcos = UIcos =,9 kw. Jos lämmitintä käytettäisiin tuntia vuorokaudessa, olisi kulunut energia E = Pt =,9 kw h = 9, kwh, jolloin lasku olisi,5 kwh 9, kwh, a) Piirin tehokerroin on cos, 8, joten vaihe-ero on,64 rad (37). Koska vaihe-ero, niin piirissä jännitehäviö on edellä sähkövirtaan nähden. Tämä johtuu käämin itseinduktiosta. Itseinduktiojännite rajoittaa sähkövirran muutoksia, joten sähkövirta jää jälkeen jännitehäviöstä. b) Koska piirissä ei ole kapasitanssia, piirin impedanssi on L C L L Z R X X R X R X ( ) (5 ) 5. Vaihtovirtapiirissä tehollinen jännitehäviö on U = ZI. Sähkövirran tehollinen arvo on U V I,48 A. Z 5 Ω c) Laitteen kuluttama pätöteho on PUIcos V,48 A,8 46 W a) Moottorin pätöteho on P = UIcos, joten moottorin läpi kulkevan sähkövirran tehollinen arvo on P W I 6,387 A 6, A. Ucos 3 V,85 b) Piirin resistanssi määrää sen, millä teholla laite ottaa energiaa sähköverkosta. Toisaalta piirissä vain resistanssi aiheuttaa energian muuntumista sisäenergiaksi teholla P RI. Resistanssi on P R W 3,853. I 6,387 A 64

64 c) Impedanssi on U 3 V Z 37, I 6,387 A Sähkömoottorissa on käämi, joten impedanssi koostuu resistanssista ja käämin induktiivisesta reaktanssista. Koska kapasitiivinen reaktanssi X C, impedanssi on Z R X R X X R X. Moottorin reaktanssi on L C L L C L 37,4784 3,85. X X X X Z R a) Koska sähkövirta on jännitettä jäljessä, kyseinen komponentti on käämi. Piiri on siis RLpiiri. b) Vaihtovirta on napajännitettä jäljessä, ruutua eli,5 ms. Jaksonaika on, ms. Vaihe-ero,5 ms on π π, 79 rad., ms 8 c) Jännitteen ja sähkövirran huippuarvot ovat u 4, V ja i 4, ma. Teholliset arvot ovat u 4, V i,8847 V U ja I,8847 ma. RL-piirin tehonkulutus on PUI cos,8847 V,8847 A cos45 5,7 mw Teho, jonka moottori ottaa piiristä on P UI cos. Sähkövirran tehollinen arvo on P 5 W I 7, A 7,4 A. U cos V cos Sähkövirran huippuarvo on i I 7, A A Keskimääräinen tehonkulutus on P UI cos. Selvitetään ensin piirissä kulkevan vaihtovirran tehollinen arvo I. Koska käämillä on sekä resistanssia, että induktanssia, sen voidaan ajatella muodostavan yksinään RL-piirin, jossa X C,. Piirin impedanssi on L C L, (π ) Z R X X R X R fl ( ) (π 6 Hz, H) 39,569. Vaihtovirran tehollinen arvo on U V I,78383 A. Z 39,569 Ω 65

65 Tehokerroin on P 93 W cos,34785 UI V,78383 A ja vaihe-ero,3 rad a) Pistorasiaan kytketyssä muuntajassa kulkee vaihtovirta. Vaikka muuntajaa ei kuormiteta, muuntaja lämpenee hieman sydämen pyörrevirtojen ja johtimien resistanssin takia, eli muuntaja kuluttaa hieman energiaa vaikka sitä ei käytettäisikään. b) Muuntajassa tehohäviötä aiheuttavat esimerkiksi pyörrevirrat. Pyörrevirroista johtuvia tehohäviöitä voidaan pienentää, jos muuntajan rautasydän rakennetaan ohuista levyistä. N U 3-4. a) Kierroslukujen suhde on, jolloin toisiojännite on N U N 6 U U U U. N 6 Muuntajassa ensiö- ja toisiopuolen jännitteet ja virrat ovat kääntäen verrannollisia. Kun ensiöpuolen U I virta on I, yhtälön perusteella virta toisiopuolella on U I U U I I U I I U. U Kuumennusteho on kääntäen verrannollinen resistanssiin. Naula on paksu, joten sen resistanssi on pieni. Tällöin naulan läpi menevä virta on suuri. Virta kuumentaa naulaa teholla P = RI. Teho on niin suuri, että naula alkaa hehkua ja sulaa poikki. b) Kuumennusteho on kääntäen verrannollinen resistanssiin. Hehkulangan resistanssi on suuri, joten langan läpimenevä virta on pieni. Sähkövirta kuumentaa hehkulankaa teholla P = RI. Lampun hehkulanka kuumenee hehkuvaksi, mutta langan metalli kestää kuumenemisen. Näin ollen lamppu kestää hehkumisen. 66

66 3-4. U = 3 V ~ V U = 9, V N U Kierroslukujen suhde on yhtä suuri kuin jännitteiden suhde:. N U Ensiöpuolen kierrosluku on N NU 3 V 6. U 9, V U I ) 3,3 V. Jännitteiden suhde on kääntäen verrannollinen sähkövirtojen suhteeseen:. U I Ensiöpuolen jännite on U UI 5 V 3,5 A 3,3 V. I 6 A U N a) Laitteisto on kytketty verkkovirtaan (3 V vaihtojännite). Jännitteiden suhde on, U N josta toisiopuolen jännite on U UN 3V 4,6 kv. N 6 b) Kuivan ilman läpilyöntikestävyys on 4,7 kv/mm. Palavan kynttilän liekki on niin kuuma, että kaasu liekissä on ionisoitunutta, eli kaasussa on ioneja ja vapaita elektroneja. Kun ionisoitunut kaasu on voimakkaassa sähkökentässä, sähköinen voima saa elektronit ja ionit kiihtyvään liikkeeseen jolloin syntyy sähköpurkaus, joka näkyy valokaarena. Liekin sisältämien ionien ja elektronien takia purkaus syntyy, kun elektrodien väli on noin cm Ensiöjännite on verkkojännite U 3V. Muuntajassa jännitteiden suhde on sama kuin U N kierroslukujen suhde. U N Toisiojännite on U N U 3V 9,6667 V. N Autoradan tehonkulutus on P U I cos 9,6667 V,6A cos,84 33,69 W. Muuntajan hyötysuhde on P 33,69 W,58. P 57 W Suomessa vaihejännitteen tehollisarvo on 3 V, joten pääjännitteen tehollinen arvo on 3 3V. 67

67 a) Teho on P = UI, joten pääjännitteeseen kytketyssä kiukaassa kulkeva tehollinen sähkövirta on I p p 3 6, W 5 A P U 33V. b) Jos vastukset olisi kytketty vaihejännitteeseen, tehollinen sähkövirta olisi I v v 3 6, W 6 A P. U 3 V c) Kodin sähkötaulua tarkastelemalla selviää, kuinka suuri sähkövirta voi korkeintaan kulkea missäkin piirissä tai laitteessa. Kiukaaseen kytketty sulake tai suojarele kestää korkeinaan 6 A:n sähkövirran. Testaa, osaatko s. 47. bc. a 3. b 4. c 5. c 6. c 7. c 8. b 9. bc. abc 68

68 4 Sähkömagneettinen värähtelypiiri 4-. Sähkömagneettisen värähtelypiirin ominaistaajuus on f 36 khz. LC 9 π π, H, F 4-. Värähtelypiirin ominaistaajuus on f, josta saadaan kapasitanssille arvo π LC C,8fF. 4π Lf 3 6 4π 5 H 97,7 s 4-3. a) ma I f Hz b) Resonanssitaajuuden kohdalla sähkövirta on suurin. Kuvaajasta nähdään, että resonanssitaajuus on 35 Hz. c) RCL-piirin impedanssi on Z R ( XL XC). Resonanssitilanteessa piirin impedanssi Z R, ja maksimisähkövirta on kuvaajan mukaan,7 ma. Piirin resistanssi saadaan laskettua Ohmin laista: U 3,8V R 3. I max,7ma Koska impedanssi Z R, on oltava X L XC eli L. C Käämin induktanssi on L,65 H. C 4π f C 4π (35 Hz),3 μf 4-4. Koska LC-piiri on vaimenematon, sen sähkömagneettinen energia säilyy. Kondensaattorin sähkökentän energia muuntuu kokonaan käämin magneettikentän energiaksi (ja päinvastoin) eli CU max LI max. Virran huippuarvo on 69

69 I max 6,6 F C Umax,4 V 58mA. L, H 4-5. Kun kondensaattori on ladattu jännitteeseen U, sen sähkökentän energia on CU. Sähkövirta I on suurin, kun kondensaattorin sähkökentän energia on täysin muuttunut käämin magneettikentän energiaksi eli LI CU. Sähkövirran suurin arvo on siis 6 CU,45 F ( V) I,A. L, H Sähkömagneettinen värähtelypiiri (LC-piiri) värähtelee jaksollisesti (sinimuotoisesti). Värähtelytaajuus on f, π LC T joten värähdysaika on 6 T π LC π, H,45 F,5 ms. Piirretään sinikäyrä, jonka jaksonaika on,5 ms ja maksimiarvo, A. t Vaikka resistanssi olisi nolla, piiri menettää värähdellessään energiaa lähettämällä sähkömagneettista säteilyä, joten värähtely on vaimenevaa. Jos tämä otetaan tarkastelussa huomioon, vain sinikäyrän ensimmäisen huipun arvo on noin, A. Ajan kuluessa sinikäyrän amplitudi pienenee a) RL-piirin resonanssitaajuus on C 6 4π (84, Hz),5 f. Säätökondensaattorin kapasitanssin on oltava π LC H 6,4pF. Resonanssitilanteessa piirin impedanssi on resistanssia ts. Z R ( X X ) R R5,. L L C L b) Radio Sharkin taajuudella tämän piirin impedanssi on 7

70 Z R (π fl ) πfc L (5,Ω) (π 84, Hz,5 H ) π 84, Hz,388 F 5,4Ω a) Väite ei pidä paikkaansa. Resonanssin kohdalla virran suuruuden määrää resistanssi, joten piirien resistanssit eivät voi olla yhtä suuret, koska virrat eivät ole yhtä suuret. Induktanssit ja kapasitanssit voivat erota toisistaan, mutta niiden tulo on molemmissa piireissä sama, koska piireillä on sama resonanssitaajuus. b) Väite voi pitää paikkansa. Virta on pienempi, kun resistanssi on suurempi. c) Väite pitää paikkansa. Resonanssitaajuus f on molemmilla piireillä sama, joten π LC L C L C = L C eli. L C 4-8. a) Suuntakuvio ilmaisee antennin lähettämän säteilyn voimakkuuden eri suunnissa. b) Antennin kaistanleveys tarkoittaa sitä taajuusaluetta, jolla olevia signaaleja antenni vastaanottaa Kaukaisista tähtitieteellisistä kohteista tulevien radioaaltojen intensiteetti on usein hyvin pieni. Lautasantennilla voidaan koota yhteen laajemmalle alueelle tuleva säteily, jolloin saadaan syntymään voimakkaampi signaali. Lautasantennissa on sähkömagneettista säteilyä heijastava pinta. Se on paraboloidin muotoinen, joten heijastunut säteily osuu polttopisteessä olevaan virittimen värähtelypiirin antenniin. 4-. Erimittaisista piikeistä koostuvat televisioantennit (Yagi-antennit) suunnataan lähetinantennia kohti, jolloin ne ottavat vastaan vain lähettimen suunnasta tulevaa säteilyä. Tällä varmistetaan se, että muista suunnista tulevat aallot eivät aiheuta häiriöitä televisiokuvaan. Antenni koostuu erimittaisista dipoleista, jotka vastaanottavat tehokkaimmin aaltoja, kun dipolin pituus on puolet aallonpituudesta. Kunkin dipolin edessä on yksi tai useampi suuntaaja, joka on noin 5 % lyhyempi kuin dipoli, ja takana yksi tai useampi heijastaja, joka on noin 5 % pitempi kuin dipoli. Antennin erilaisilla ratkaisuilla vaikutetaan kaistanleveyteen, signaalin vahvistukseen tai vastaanottokeilan laajuuteen. Esimerkiksi dipolien lisääminen suurentaa vahvistusta mutta pienentää kaistanleveyttä. 4-. a, c) Ionosfääri on Maan ylempi ilmakehä. Se alkaa noin 6 km:n korkeudelta Maan pinnasta. Auringon säteilyn vaikutuksesta tässä kerroksessa aine on voimakkaasti ionisoitunutta. Radioaallot heijastuvat ionosfäärin ylemmistä kaasukerroksista, noin 4 km:n korkeudesta. Näissä kerroksissa on riittävästi vapaita elektroneja (muissa kerroksissa radioaalto vaimenee, mutta ei heijastu), jotka mahdollistavat heijastumisen. Pitkät radioaallot etenevät myös Maan pallopinnan lähellä tuhansien kilometrien päähän. Pitkät aallot vaimenevat vähitellen, mutta ne voivat edetä vaikka maapallon toiselle puolelle, joten lähettimen ja vastaanottimen ei tarvitse olla suorassa yhteydessä toisiinsa. 7

71 4-. a) Taajuus on f 8 c c, m/s 5MHz. l,m s b) Nopeus on v, joten aika on t s t 3,3ms. v 3 m 8, m s 4-3. a) Jos käytetään puoliaaltoantennia, antennin pituus on l, missä c f. Pituus on 8, m / s c l,7 m =7cm. f 6 9 s b) Nyt antennin pituus on 8, m/s c l,7m 7,cm. f 6 s PIFA-antennit ovat yleensä neljännesaaltoantenneja, jolloin vaadittavat pituudet ovat,83 m ja,36 m. b) Puhelimet toimivat tavallisesti useilla eri taajuuksilla, ja monia niistä voi käyttää molemmilla UMTS-taajuuksilla. UMST-taajuus 9 MHz on Suomen ulkopuolella verrattain harvinainen, joten jotkin puhelimet eivät toimi sillä taajuudella Piirin ominaisvärähtelytaajuus on f. π LC Vastaanotettava aallonpituus on c c π c LC. f π LC 7

72 Lyhin aallonpituus on 8 π LC π, m/s,8 mh, pf 75 m. Pisin aallonpituus on 8 πc LC π, m / s,8mh 5pF 38m. Aallonpituudet ovat välillä 75 m 38 m Radiolähetys etenee asemalta korvalappuvastaanottimeen valon nopeudella, joten retkeilijä kuulee lähetyksen, kun aikaa on kulunut s 5m t v m 8, s 4 5, s. Avustavan toimittajan korvaan ääniaallot etenevät nopeudella 343 m/s, joten hän kuulee lähetyksen, kun aikaa on kulunut t 4,5 m 4 3 s. m 343 s Retkeilijä siis kuulee lähetyksen aiemmin a) Tutkaa käytetään mm. liikenteen valvonnassa ja ohjauksessa (peruuttaminen, laskeutuminen). Lisäksi erilaisia tutkia käytetään mm. ylemmän ilmakehän tutkimuksessa. Ilmakehästä selvitetään mm. lämpötiloja ja ionien nopeuksia sekä pitoisuuksia. Tutka on myös yksi tähtitieteen tutkimuslaite. Säätutkan avulla voidaan pilvirintamien liikkeistä ennustaa tulevaa säätilaa. b) Kun tutkan lähettämä radioaalto heijastuu levossa olevasta kohteesta, sen taajuus f pysyy vakiona. Kun heijastuminen tapahtuu liikkuvasta kohteesta (lähestyvästä autosta), havaitaan Dopplerin ilmiön mukainen taajuuden muutos. Taajuus suurenee, koska auto tulee tutkaa kohti nopeudella v. Uusi taajuus on c f f. c v Ratkaistaan auton nopeus v seuraavasti: f ( c v) fc fc fv fc fv fc fc ( f f) c f f Hz 8 m v c, ,746 m/s km/h. 9 f Hz s 73

73 4-7. r = 3, cm r = 3, cm - - s s d = 3, cm R = 5 cm a) Kahdesta eri raosta tulevien säteiden kulkemat matkat:, josta s d R r s d R r., josta s d R r s d R r. Toisen kertaluvun maksimi (k = ) saadaan kohdassa, jossa s s s k. Matkojen erotus on s s s s d Rr d Rr, jolloin aallonpituus on d Rr d Rr 3,cm 5cm 3,cm 3,cm 5cm 3,cm,337 cm,337 m,3m b) Taajuus on f 8 c, m / s GHz.,337 m a) Vuonna 873 James Clerk Maxwell esitti sähkömagneettisen aaltoliikkeen teorian. Heinrich Rudolf Hertz edisti vuosien 886 ja 888 välisenä aikana kokeellisesti Maxwellin teoriaa. Radion (jota aluksi kutsuttiin langattomaksi lennättimeksi) oikeasta keksijästä on epäselvyyttä. Vuonna 893 kroatialaissyntyinen Nikola Tesla teki St. Louisissa Missourissa ensimmäisen julkisen radiolähetysdemonstraation. Laite, jota hän käytti, sisälsi kaikki radion elementit, jotka olivat laitteissa ennen elektroniputken keksimistä. Vuonna 894 brittifyysikko Sir Oliver Lodge käytti omassa demonstraatiossaan ilmaisinlaitetta, jota kutsuttiin kohereeriksi. Ranskalainen Edouard Branly ja venäläinen Aleksandr Popov esittelivät myöhemmin parannetut versiot kohereerista. Popov teki radiolähetyskokeilujaan myös Suomessa vuonna 9 ja hän olikin ensimmäisiä, joka kehitti kohereerista käytännölliseen radiotoimintaan soveltuvia laitteita. Intialainen fyysikko Jagdish Chandra Boss esitteli radioaaltojen käyttöä Kalkutassa marraskuussa 894, mutta hän ei ollut kiinnostunut patentoimaan keksintöään. Vuonna 896 italialainen Guglielmo Marconi sai patentin radiolle Britanniassa (39, Improvements in transmitting electrical impulses and signals and in apparatus therefor). Tätä pidetään usein maailman ensimmäisenä radiopatenttina. Seuraavana vuonna hän perusti maailman ensimmäisen radioaseman Isle of Wightin saarelle Englantiin. Samana vuonna Nikola Tesla 74

74 patentoi Yhdysvalloissa eräitä radion varhaishistoriaan liittyviä keksintöjään, mutta vuonna 94 US Patent Office peruutti nämä patentit, mikä teki Marconista radion keksijän. Tämä johtui mahdollisesti Marconin amerikkalaisista taloudellisista tukijoista, joihin kuuluivat mm. Thomas Edison ja Andrew Carnegie. Jotkut uskovat, että tämä tehtiin, ettei Yhdysvaltain hallituksen tarvitsisi maksaa Teslalle rojalteja hänen patenttiensa käytöstä. Vuonna 99 Marconi sai yhdessä Karl Ferdinand Braunin kanssa Nobelin fysiikanpalkinnon "ansioista langattoman lennättimen kehittämisessä". Kuitenkin vuonna 943 Yhdysvaltojen korkein oikeus hyväksyi Teslan patentin numero ("System of Transmission of Electrical Energy") pian tämän kuoleman jälkeen. Päätös perustui Teslan ennen Marconin patentin julkistamista tekemään työhön. Joidenkin mielestä oikeus teki päätöksensä taloudellisista syistä: Yhdysvaltojen hallituksen ei nyt tarvinnut maksaa korvauksia Marconi Companylle Marconin patentin käytöstä ensimmäisen maailmansodan aikana. Marconi avasi maailman ensimmäisen radiotehtaan ("wireless") Chelmsfordiin Englantiin vuonna 898 työllistäen 5 ihmistä. Nikola Tesla aloitti 9 oman Wardenclyffe Towerinsa suunnittelun ja torni valmistui n. 93. Seuraava tärkeä radion kehitykseen vaikuttanut keksintö oli elektroniputken keksiminen 9-luvun alkupuolella. Maailman ensimmäinen audiolähetys radiolla oli jouluaattona 96, jolloin Reginald Fessenden lähetti viulunsoittoaan ja luki Raamatun säkeitä Brant Rockissa Massachusettsissa. Kaupallinen radiotoiminta alkoi pian tämän jälkeen. 9-luvulla radion kehitykseen vaikuttaneita tärkeitä keksintöjä olivat mm. transistori, amplitudimodulaatio (AM), taajuusmodulaatio (FM) ja SSB. Lähde: Wikipedia b) Englantilainen Alexander Bain patentoi vuonna 843 nykyisen televisiotekniikan perusajatuksen, riveittäin pyyhkäisyn periaatteen. Ensimmäisen käyttökelpoisen pyyhkäisylaitteen keksi saksalainen Paul Nipkow 883. Sitä käytettiin 9-luvulla ensimmäisissä televisiolähetyksissä, ja se säilyi eräissä sovelluksissa 94-luvulle saakka. Ensimmäiset toimivat laitteet rakensivat toisistaan riippumatta englantilainen John Baird, yhdysvaltalainen Charles Jenkins ja saksalainen August Karolus 95. Vuonna 97 Baird välitti televisiokuvan Lontoosta Glasgow hun sekä lähetti televisiokuvia langattomasti Lontoosta New Yorkiin. Ensimmäinen televisiolähetyslupa annettiin Yhdysvalloissa Jenkinsille 97, ja Baird aloitti säännölliset koelähetykset Englannissa 99. Toiminta Saksassa alkoi samoihin aikoihin. Vuonna 93 Baird esitteli väritelevision, kolmiulotteisen television ja infrapunatelevision sekä tallensi televisiosignaalia äänilevylle. Baird loi lähes kaikki nykyiset televisiopalvelut. Täysin elektronisesti toimivan television periaatteen esitti englantilainen A. A. Campbell-Swinton jo 98, mutta ensimmäinen katodisädeputkea (kuvaputki) käyttävä täyselektroninen vastaanotin valmistui vasta 93. Campbell-Swinton esitti myös elektronisesti toimivan kameraputken periaatteen, ja venäläis-amerikkalainen Vladimir Zworykin aloitti 95 siihen perustuvan ionoskoopin kehittämisen. Hän sai putkelleen patentin 98. Kun kamera- ja kuvaputki oli keksitty, televisio kehittyi nopeasti nykyiseen muotoonsa. Lähde: Suomalainen tietosanakirja. 8. Weilin + Göös. Muutama linkkisivu television historiaan: a) Ensimmäinen radiolähetys Suomessa oli vuonna 9, jolloin valtioneuvosto myönsi Nuoren Voiman Liiton Radioyhdistykselle oikeuden kokeilutarkoituksessa rakennettavien asemien 75

75 käyttöön. Vuonna 93 lähetettiin ensimmäinen julkinen gramofonikonsertti Helsingissä. Vuonna 94 Suomessa toimi noin kymmenen radioasemaa, joista osa rahoitti toimintaansa mainostuloilla. O.Y. Suomen Yleisradio - A.B. Finlands Rundradio - nimisen yhtiön perustava kokous pidettiin Helsingissä ja se lähetti ensimmäisen ohjelmansa Tätä päivää pidetään maamme säännöllisen yleisradiotoiminnan syntymäpäivänä. b) Ensimmäinen julkinen televisiolähetys Suomessa lähetettiin Teknillisen Korkeakoulun sähkölaboratoriosta vuonna 955. c) Internet sai alkunsa vuonna 969 Yhdysvaltain sotilashallinnon Pentagonin aloitteesta. Internetin kasvu alkoi maailmalla vuonna 984. d) Suomen ensimmäinen NMT-puhelu soitettiin Tampereella 977. Ensimmäinen gsm-puhelu soitettiin vuonna 99. e) Suomessa tekstiviesti tuli käyttöön vuoden 994 aikana, mutta ensin vain verkosta puhelimeen päin. Vuonna 995 saattoi myös puhelimesta näppäillä tekstiviestejä. f) MMS-viestien lähetys matkapuhelinverkossa alkoi vuonna. Unkarissa avattiin 9.4. maailman ensimmäiset kaupalliset mms-palvelut kuluttajille. Suomessa mms-viestien kaupallinen palvelutarjonta alkoi hieman tämän jälkeen. g) Suomen ensimmäinen videopuhelu 3G-verkossa soitettiin a) Kanavanipulla tarkoitetaan digitaalisen television samaan taajuuskaistaan sijoitettua useampaa televisiokanavaa. Kaista jaetaan kanaville ns. kanavoinnilla, esimerkiksi antamalla kullekin oma taajuus, jaksottamalla lähetys kullekin omiin aikajaksoihin tai liittämällä kuhunkin kanavaan oma tunnistuskoodi. b) Osoitteesta voi tarkistaa kanavapakettien keskimääräiset taajuusalueet Suomen eri alueilla. Esimerkiksi Tampereella keskitaajuudet ovat: kanavapaketti A 578 MHz, B 49 MHz ja C 77 MHz Turussa: A 74 MHz, B 698 MHz, C 538 MHZ Espoossa: A 56 MHz, B 658 MHz, C 674 MHz Jyväskylässä: A 546 MHz, B 786 MHz, C 746 MHz 4-. Ensimmäisen sukupolven matkapuhelimet käyttivät Suomessa analogiseen signaaliin perustuvaa NMT-teknologiaa (Nordisk Mobiltelefon). Toisen sukupolven eli G-matkapuhelimet käyttivät digitaalista GSM-teknologiaa (Global System for Mobile Communications). Tavallisten puheluiden lisäksi GMS-verkossa voi tehdä datapuheluita, lähettää teksti- ja muita lyhytviestejä ja käyttää pakettidatapalveluja, kuten Internet-yhteyksiä. Kolmannen sukupolven eli 3Gmatkapuhelimet käyttävät digitaalista UMTS-teknologiaa (Universal Mobile Telecommunications System). UMTS-verkossa tiedonsiirtonopeus on nopeampi kuin GSM-verkossa sallien mm. videokuvan välityksen. 4-. Nimitykset AM ja FM viittaavat radioasemien käyttämään kantoaallon modulointitapaan. AM-asemat käyttävät amplitudimodulaatiota (A=amplitudi, M=modulaatio), FM-asemat taajuusmodulaatiota (F=frekvenssi, M=modulaatio). Nimitystä ULA-lähetys käytetään Suomessa niistä FM-lähetyksistä, joissa käytetään hyvin lyhyitä aaltoja (U=ultra, L=lyhyt, A=aalto). ULAlähetysten taajuusalue on 87,5 MHz - 8, MHz a) WLAN on lyhenne sanoista Wireless Local Area Network. Se on langaton lähiverkkotekniikka, jolla erilaiset verkkolaitteet voidaan yhdistää ilman kaapeleita. WLANissa tiedonsiirto tapahtuu korkeataajuisilla radioaalloilla. Kannettavat tietokoneet ja monet 76

76 matkapuhelinmallit käyttävät WLANia internet-yhteyden luomiseen. Tämä vaatii, että lähietäisyydellä on kiinteään tietoliikenneyhteyteen modeemin välityksellä liitetty tukiasema. b) Wi-Fi on WLAN-laitteista käytetty kaupallinen tunnus. Wi-Fi-tunnus näkyy esimerkiksi kannettavien tietokoneiden paneeleissa, ja langattoman lähiverkon olemassaolosta ilmoitetaan useinwi-fi Zone merkillä. c) Bluetooth on tekniikka matkapuhelimien ja kannettavien tietokoneiden lähietäisyydellä radioaalloilla tapahtuvaan langattomaan kommunikointiin. Se on saanut nimensä viikinkikuningas Harald Sinihampaasta. Sen tunnusmerkki on vanha riimukirjoitusmerkki a) GPS-järjestelmässä satelliitteja on 4 kappaletta noin km korkeudessa. Jokainen satelliitti kiertää maapallon kaksi kertaa vuorokaudessa. GPS-vastaanotin mittaa aikaa, joka signaalilta kestää sen tullessa maahan vastaanottimelle. Kun satelliittien sijainti tunnetaan, eri satelliiteista tulevien signaalien aikaeron avulla voidaan laskea vastaanottimen sijainti. GPS-laite vastaanottaa signaalia samanaikaisesti useasta satelliitista; satelliitteja tulee olla vähintään neljä. b) A-GPS:ssä (avustettu GPS) satelliittien lentorata- ja almanakkatiedot luetaan matkapuhelinverkon avulla. Lentorata- ja almanakkatiedot voidaan lukea useita vuorokausia etukäteen; siksi A-GPS:stä on apua käytettäessä matkapuhelinta navigointiin vaikka yhteys matkapuhelinverkkoon katkeaa. Etukäteistieto nopeuttaa matkapuhelimen ensimmäisen paikan määritystä, sekä lisää merkittävästi matkapuhelimen (GPS-vastaanottimen) toimintakykyä heikoissa tai nopeasti muuttuvissa vastaanotto-olosuhteissa, kuten esimerkiksi sisätiloissa tai rakennusten välissä. Testaa osaatko sivu 68. ab. ab 3. a 4. abc 5. a 6. ab 7. ab 8. b 9. ac. a 77

77 Kertaustehtävien ratkaisut. c) Protoniin kohdistuva magneettisen voiman suuruus on F 9 m qvb,6773 C,6Mm / s,4t 58fN. Suunta on oikean käden sormisäännön perusteella ylöspäin.. b) Johtimeen kohdistuvan voiman suuruus on Fm IlBsin 4,A,5m 49μT sin9 3μN. Suunta on oikean käden säännön perusteella itään. 3. a) Protoniin kohdistuvan voiman suuruus on F qvb. 9 m sin,6773 C,3 Mm / s 99mT sin 43fN 4. a) Newtonin II lain mukaan johtimen ollessa tasapainossa on oltava F eli Fm G. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F m G = eli F m = G. Johtimeen kohdistuva paino voidaan kirjoittaa muotoon G = mg = ρalg. Yhtälöstä IlB = ρalg sähkövirran suuruus on Ag,7 kg / m, m 9,8m / s I,4A. B,38T 5. b) Sauvan päiden välille indusoituva jännite on e = lvb. Sauvan nopeus on e v lb 3,V 9,5m/s.,45m,7T 6. c) Keskimääräinen induktiojännite on, Wb 35μWb en 66,5 V. t 5ms 7. c) Koska sähkövirta pienenee tasaisesti, käämin napoihin indusoituva jännite on vakio: I el. t Käämin induktanssi on et et 5,5V 5ms L 65mH. I I I,5 A 5,A 8. b) Koska piirissä ei ole kondensaattoria. Yhtälössä reaktanssi X C merkitään nollaksi. Impedanssi on Z R ( X X ) kapasitiivinen L C 78

78 Z R XL R fl 85 5,5 H. s u 35 V 9. a) Ensiöjännitteen huippuarvo on u 35 V ja tehollinen arvo U 47,4874 V. U N Muuntajassa jännitteiden ja kierroslukujen suhde on yhtä suuri eli. U N Toisiojännitteen tehollinen arvo on U N 4 U 47,4874 V 9, V. N Toisiovirran tehollinen arvo on I U R 9, V 8 ma. Ω. c) Värähtelypiirin ominaisresonanssitaajuus on f. Korotetaan yhtälö neliöön, π LC jolloin saadaan f. Tästä yhtälöstä kapasitanssi on 4π LC C 8 ff. 4π Lf 3 6 4π,5 H 97,7 s. a) B I b) N S 79

79 c) d) Huomaa, että maantieteellisellä pohjoisnavalla on magneettinen eteläkohtio.. a) Deklinaatio on magneettineulan poikkeama kartan pohjois-eteläsuunnasta. Inklinaatio on magneettineulan kallistuma vaakatasosta. Vapaasti liikkuvan magneettineulan pohjoispää osoittaa Suomessa vinosti maapallon sisään. Helsingissä deklinaatio on 4 itään ja inklinaatio 73. b) Aurinkotuuli tarkoittaa Auringosta lähtevää jatkuvaa ionisoituneiden hiukkasten virtaa, lähinnä elektroneja ja protoneja. Maan magneettikenttä kääntää aurinkotuulen hiukkasten liikkeen suuntaa estäen niiden pääsyä Maan pinnalle: näin magneettikenttä toimii suojaavana tekijänä. Samalla tavalla magneettikenttä suojaa kosmiselta säteilyltä, samoin esim. toisilta tähdiltä tulevilta suurienergisiltä hiukkasilta. c) Revontulet syntyvät, kun Auringosta tulevat hiukkaset törmäilevät ilmakehässä oleviin hiukkasiin ja nämä virittyvät. Kun viritystilat purkautuvat, taivaalla nähdään värikkäitä revontulia. Eri atomit lähettävät eriväristä valoa. Maan magneettikentän muoto on sellainen, että hiukkaset pääsevät ilmakehässä sopivalle korkeudelle juuri napa-alueilla, jossa magneettikenttä suuntautuu jyrkästi kohti maan pintaa. Tällöin avaruudesta tulevien varattujen hiukkasten nopeus voi olla likimain magneettikentän suuntainen, jolloin magneettinen voimavaikutus varauksellisiin hiukkasiin jää vähäiseksi. Päiväntasaajalla ja sen molemmin puolin maan magneettikenttä on likimain maan pinnan suuntainen, joten maan pintaa kohti saapuvien hiukkasten nopeus on likimain kohtisuorassa magneettikenttää vastaan, joten varauksellisten hiukkasten radat kaartuvat. Samalla hiukkaset menettävät energiaa törmätessään ilman molekyyleihin ja atomeihin, jolloin hiukkasten nopeus pienenee. Hiukkasten radoista tulee spiraaleja tai ruuviviivoja, joiden säde pienenee. d) Maan ytimessä tapahtuvat varattujen hiukkasten virtaukset aiheuttavat pyörteitä. Näistä pyörteistä johtuu Maan magneettikentän muutokset. Pyörteet liikkuvat vuosien kuluessa eri paikkoihin. 8

80 Maapallon magneettiset navat vaeltavat koko ajan maantieteellisten napojen tuntumassa. Navat ovat myös vaihtaneet keskenään paikkaa useita kertoja. Napaisuuden vaihtumiseen kuluu n. vuotta. Napaisuuden muutos johtuu Maan sulan ytimen liikkeistä. Magneettiset myrskyt aiheuttavat nopeita muutoksia Maan magneettikentässä. Myrskyt voidaan havaita mm. häiriöinä tietoliikenteessä. Magneettiset myrskyt johtuvat Auringossa tapahtuvista energia- ja hiukkaspurkauksista: purkaukset aiheuttavat muutoksia aurinkotuuleen. Lisäksi kallioperän mineraalit ovat jakautuneet epätasaisesti, joten tietyillä alueilla voidaan havaita paikallisia muutoksia magneettikentässä. 3. a) D-kohtioiden välissä ionit kiihdytetään sähkökentän avulla kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Koska ionin tulovauhti magneettikenttään kasvaa aina sähkökentän ylityksen jälkeen, myös radan säde magneettikentässä kasvaa: radasta tulee spiraalin muotoinen. b) Newtonin II lain mukaan ionien liikeyhtälö on F man. Kun suunta radan keskipisteeseen on mv positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qvb. Ionien suurin liike-energia on E mv, joten r E suurin nopeus on v. m mv Yhtälöstä qvb magneettivuon tiheys on r E m mv m me B qr qr qr Syklotronin taajuus on ,693, kg 7,,6773 J 9,6773 C,3m,3 T. f 6 9 7,,6773 J 7 3,693, kg E v m T s/ v π r/ v πr πr π,3 m 3,3MHz. 4. a) Kaikkien hiukkasten nopeuden suunta on aluksi alhaalta ylös. Oikean käden säännön perusteella voidaan päätellä, että α-hiukkasella on positiivinen sähkövaraus ja β-hiukkasella negatiivinen. Gammakvantti on varaukseton, koska sen rata ei kaareudu magneettikentässä. (Kyseessä ovat radioaktiivisessa hajoamisessa syntyvän säteilyn eri lajit, alfasäteily, beetasäteily ja gammasäteily. Näihin palataan kurssilla Fysiikka 8) b) Newtonin II lain mukaan hiukkasten liikeyhtälö magneettikentässä on F man. Kun suunta mv radan keskipisteeseen on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qvb. Levosta lähteneen, r jännitteellä U kiihdytetyn hiukkasen liike-energia on E mv qu, josta hiukkasen loppunopeus qu on v. m 8

81 Yhtälöstä v mv qvb ympyräradan säde on r qu, radan säteen yhtälö saadaan muotoon m m qu mu r. qb m qb mv r. Kun tähän yhtälöön sijoitetaan loppunopeus qb Jotta protonin ja α-hiukkasen ratojen säteet olisivat yhtä suuret, on oltava mu mu. qb p p α α p qb α Protonin kiihdytysjännite on U p mqu mq 4,633u U e 3kV α p α α p α mq p α mq p α,785 u e 64kV. 5. Huomaa, että kuvassa kalvo on niin ohut, että radan kaartumista ei voi piirtää oikeassa mittakaavassa. Newtonin II lain mukaan protonin liikeyhtälö on F man. Kun suunta radan keskipisteeseen on mv qbr positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qvb, josta protonin nopeus on v. r m Protonin liike-energia on ja sen muutos qbr qbr Ek mv m m m qbr qbr qb Ek Ek Ek r r m m m 9,6773 C,55T 7,6763 kg,4 m, m 4 6, J 47,5385 kev 4 kev. Liike-energia pienenee 4 kev. Kultakalvossa energian menetys kuljettua matkaa kohden on paksuus on Ek 47,5385keV x,6μm. E/ x 6 kev / μm E x 6 kev / μm, joten kalvon 6. Koska magneettivuo on = AB, protoniin magneettikentästä kohdistuvan voiman suuruus saadaan muotoon Fm qvb qv. Voiman suuruus on A 8

82 F 9 qv,6773 C8,5Mm / s 3,5μWb m 4 3, fn. A 5 m 7. Newtonin II lain mukaan α-hiukkasen liikeyhtälö on F man. Kun suunta radan keskipisteeseen on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qbr v. Toisaalta nopeus on m Yhtälöstä s πr v t T. qbr πr α-hiukkasen kiertoajaksi saadaan m T 7 πm π 6, kg 9,6773 C,4T T 93ns. qb mv qvb, josta α-hiukkasen nopeus on r 8. a) Massaspektrometria käytetään fysikaalisessa tutkimuksessa ja ionien ominaisvarauksien sekä atomien ja molekyylien massojen määrittämisessä. Massaspektrometrin toiminta perustuu siihen, että ionien radat sähkö- ja magneettikentissä riippuvat ionien ominaisvarauksesta. b) Tutkittavat atomit täytyy ionisoida, sillä sähkö- ja magneettikentän avulla voidaan ohjata vain varattuja hiukkasia. Ionit ohjataan kiihdyttävään sähkökenttään, jossa ne saavat massasta ja varauksesta riippuvan nopeuden. Ionit tulevat ns. nopeusvalitsimeen kohtisuorasti sen magneettikenttää ja sähkökenttää vastaan. Nopeusvalitsimesta tulevalla ionilla on vain tietty nopeus. Sähkö- ja magneettikentän aiheuttamat voimat ovat vastakkaissuuntaiset, jolloin tietyllä nopeudella valitsimeen tulevien ionien rata on suora. Sitten ionit ohjataan kohtisuorasti magneettikenttään, jossa ne kulkevat puoliympyrän muotoisia ratoja. Lopulta ionit osuvat esimerkiksi tietokoneeseen kytkettyihin ilmaisimiin. Ionien ratojen säteet riippuvat vain ionien massasta ja varauksesta sekä etenemisvauhdista ja magneettivuon tiheydestä. c) Kaikkien niiden ionien, joilla on sama ominaisvaraus, ratojen säteet ovat yhtä suuret. Täten saman alkuaineen eri isotoopit erottuvat toisistaan, koska niillä on eri massat. Kenttä siis jakaa hiukkaset eri radoille. Isotooppien lisäksi voidaan määrittää alkuaineiden eri isotooppien esiintymisrunsaus. 9. a) Suoraan virtajohtimeen, joka on kohtisuorasti magneettikenttää vastaan, kohdistuu magneettinen voima, jonka suuruus on F m = IlB. Magneettivuon tiheys on B F Il 55mN 4, A,45m m,3t. b) Jotta silmukka jatkaisi etenemistä tasaisella nopeudella, Newtonin II lain mukaan on oltava F. Silmukkaa on vedettävä voimalla F, joka on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen magneettisen voiman Fm kanssa. Kun liikkeen suunta on positiivinen, skalaariyhtälöstä F F m = e saadaan F = F m = IlB, jossa I on johtimessa kulkeva sähkövirta, e = lvb on silmukan R lvb etureunaan indusoitunut jännite. Näin ollen silmukassa kulkeva sähkövirta on I. R Liikkeen ylläpitämiseksi tarvittavan voiman suuruus on 83

83 lvb l vb,6m,m / s,t F IlB lb 58mN. R R 5, mω. a) Vaakakupissa olevan punnukseen kohdistuva paino pyrkii vääntämään vaa an vartta vinoon. Vaaka on tasapainoasennossa, kun varsi on vaakasuorassa asennossa. Silloin virtasilmukkaan vaikuttavan magneettisen voiman suunnan tulee olla alaspäin. (Silmukan pystysuoriin osiin vaikuttava voima ei vaikuta vaa an lukemaan.) Oikean käden säännön avulla voidaan päätellä sähkövirran suunnan olevan silmukassa myötäpäivään. b) d A d G F m N Vaakasysteemiin vaikuttavat voimat ovat punnukseen kohdistuva paino G, vaa an akselin tukivoima N ja silmukkaan kohdistuva magneettinen voima F m. Vaaka on tasapainossa pyörimisen suhteen, kun momenttien summa akselin A suhteen on nolla eli M A. Kun momentin suunta vastapäivään on positiivinen, momenttiyhtälö saadaan muotoon Gd F m d = eli Gd = BIld, josta magneettivuon tiheys on m,65kg 9,8 mg B s 9,7mT. Il V,5m 5,Ω. a) Väärin. Alumiini ei ole diamagneettinen aine. Diamagneettiset aineet kylläkin heikentävät ulkoista magneettikenttää. Alumiini on paramagneettinen aine b) Tosi. Suprajohteille resistiivisyys on (likimain) nolla. Kun suprajohteeseen synnytetään sähkövirta, se kulkee häviöttömästi virtapiirissä eikä potentiaalin alenemista tapahdu. Tällöin ei tarvita jatkuvaa energiaa virran ylläpitämiseen. (Energiaa tarvitaan kylläkin suprajohteen alhaisen lämpötilan ylläpitämiseen.) c) Tosi. Esimerkiksi meltoraudalle suhteellinen permeabiliteetti on µ r. Paramagneettisille aineille suhteellinen permeabiliteetti on suuruusluokkaa µ r.. Induktio liittyy kaikkiin muihin kohtiin paitsi kohtaan d). a) Kun kestomagneetti on putoamassa johdinsilmukan läpi, silmukka on vahvistuvassa magneettikentässä. Lenzin lain mukaan silmukkaan indusoituu jännite. Induktiovirran suunta on sellainen, että se vastustaa ulkoista (vahvistuvaa) kenttää. Induktiovirran suunta näkyy kuvassa. Kun magneetti on pudonnut silmukan läpi, induktiovirran suunta muuttuu vastakkaiseksi. 84

84 i b) Koska käämeillä on yhteinen rautasydän, ne ovat induktiivisesti kytketyt. Vaihtovirran vuoksi käämissä magneettivuo muuttuu jatkuvasti. Siksi käämiin indusoituu jatkuva (muuttuva) induktiojännite. c) Kun käämissä kulkee tasavirta, käämiin ei indusoidu jännitettä (eikä sähkövirtaa). Induktiojännite havaitaan ainoastaan sähkövirran kytkemis- ja katkaisuhetkellä. Virran kytkemishetkellä käämissä induktiovirran (i) suunta on kuvan mukainen. I i d) Homogeenisessa magneettikentässä magneettivuon tiheys on vakio. Kun silmukka on magneettikentässä paikallaan, magneettivuo sen läpi on vakio. Induktiota ei tapahdu. e) Kun magneettikenttä heikkenee, silmukkaan indusoituu jännite. Lenzin lain mukaan induktiovirran suunta on sellainen, että se pyrkii vastustamaan ulkoista (heikkenevää) kenttää. Piirroksessa on yksi esimerkkitapaus. i f) Kyseessä on käämin itseinduktio. Sen vuoksi sähkövirta ei kytkeydy virtapiiriin heti, vaan pienellä viiveellä. Samasta syystä sähkövirran katkeaminen viivästyy piirissä. 3. a) Kaksi induktiivisesti kytkettyä käämiä muodostavat muuntajan. Yhteisellä rautasydämellä saadaan aikaan suuri keskinäisinduktanssi. Primäärikäämiin syötetyn vaihtovirran synnyttämä muuttuva magneettivuo indusoi sekundäärikäämiin jännitteen, jonka suuruus riippuu käämien kierrosluvuista. b) Induktiojarru perustuu pyörrevirtojen syntymiseen. Magneetin napojen välissä pyörii metallinen pyörä. Pyörän eri osissa magneettivuo muuttuu jatkuvasti synnyttäen pyörrevirtoja. Näistä aiheutuu 85

85 Lenzin lain mukaisesti pyörän liikettä jarruttava voima, samalla mekaaninen energia muuntuu resistanssin vaikutuksesta pyörän sisäenergiaksi. c) Induktiouunissa käytetään hyväksi pyörrevirtojen lämpövaikutusta. Sähkömagneettien suurtaajuisilla magneettikentillä synnytetään sähköä johtavaan (kuumennettavaan) aineeseen pyörrevirtoja. Pyörrevirrat kuumentavat metallia Joulen lain mukaisesti teholla P = RI. 4. Yhtenäiseen johdekappaleeseen syntyy pyörrevirtoja, kun johdekappaleen läpäisevä magneettivuo muuttuu. Lenzin lain mukaisesti pyörrevirtojen suunta on sellainen, että syntyvien sähkövirtojen magneettiset vaikutukset pyrkivät kumoamaan muutoksen, joka aiheuttaa virrat. Magneettivuon vahvistuessa pyörrevirtojen synnyttämä magneettikenttä on vastakkaissuuntainen vahvistuvan kentän suunnalle. Vastaavasti magneettivuon heikentyessä pyörrevirtojen synnyttämän kentän suunta on sama kuin heikentyvän kentän suunta. Induktiovirtojen lämpövaikutuksien teknisiä sovelluksia. * Pyörrevirtojen lämpövaikutusta käytetään hyödyksi sulatettaessa induktiouuneissa metalleja. Sulatettavat metallikappaleet, esimerkiksi rautaromu, sijoitetaan lämpöä kestävään eristeastiaan. Astian ympärillä on käämi. Käämissä kulkevan vaihtovirran taajuus on noin khz. Metalleissa syntyvät pyörrevirrat nostavat lämpötilan metallin resistanssin takia sen sulamispisteeseen. * Induktioliesien keittolevyissä on käämit, joissa kulkevat vaihtovirrat synnyttävät pyörrevirtoja levyllä olevaan metallisen astian pohjaan. Kuumenevasta astiasta lämpö siirtyy astiassa olevaan veteen tai ruokaan. Induktiovirtojen voimavaikutuksien teknisiä sovelluksia. *Junissa on kiskojen molemmin puolin pareittain asennettuja sähkömagneetteja, joihin kytketään junaa jarrutettaessa sähkövirta. Tällöin magneettivuo läpäisee kiskon, joten junan liikkuessa kiskoihin indusoituu pyörrevirtoja. Kiskoissa kulkevat pyörrevirrat synnyttävät magneettisen voiman, joka jarruttaa sähkömagneettien ja samalla junan liikettä. *Kodeissa käytettävät sähkönkulutusmittarit, kilowattituntimittarit toimivat induktiokytkimillä. Mittarin herkkäliikkeiseen akseliin on kiinnitetty yhtenäinen metallilevy, joka pyörii ulkoisen muuttuvan magneettikentän aiheuttaman vääntömomentin johdosta. Sähköverkkoa kuormittava vaihtovirta synnyttää mittarin alumiinilevyyn pyörrevirtoja, jotka pyrkivät pyörittämään levyä. Alumiinilevyn akseli on kytketty kierroslaskuriin ja mittarin näyttöön. * Pyörrevirtoja hyödynnetään myös autojen ja moottoripyörien nopeusmittareissa estämään osoittimen heilahtelua. * Tarkkojen vaakojen heilahtelua vaimennetaan induktiojarruilla, jolloin ne asettuvat mahdollisimman nopeasti tasapainoasemaansa. Pyörrevirtojen teknisiä sovelluksia. * Metallinilmaisimen toiminta perustuu pyörrevirtojen syntymiseen. 86

86 Käämissä kulkee vaihtovirta. Kun metalliesine M on ilmaisimen lähellä käämin muuttuvassa magneettikentässä, metalliesineeseen M indusoituu pyörrevirtoja. Metalliesineen M pyörrevirtojen aikaansaama muuttuva magneettivuo kulkee osittain käämin läpi ja siihen indusoituu jännite. Ilmaisimen korkeataajuinen lähetin kytkeytyy induktiivisesti havaittavan metalliesineen kanssa. Metalliesine aiheuttaa ilmaisimessa energiahäviön, ja ilmaisin hälyttää. Millivolttimittari ilmaisee käämiin indusoituneen jännitteen. Kun metallinilmaisimen lähistöllä ei ole metalliesineitä, käämiin ei indusoidu jännitettä, koska käämin vaihtovirran synnyttämän magneettikentän muuttuva magneettivuo käämin läpi on nolla systeemin geometriasta johtuen. Induktiojännite käämissä on sitä suurempi, mitä voimakkaampia metalliesineeseen syntyvät pyörrevirrat ovat. Pyörrevirrat ovat taas sitä voimakkaampia, mitä parempi metallin sähkönjohtavuus on tai mitä enemmän metallia on. * Liikennevalojen vaihtumisessa ja liikennelaskennassa hyödynnetään pyörrevirtoja. Induktiosilmukka, jonka avulla liikkuva auto havaitaan, voi olla tien pinnan alla tai tien sivussa. * Metallin rakennevikojen etsimiseen käytetään pyörrevirtoja. Jos esimerkiksi suihkuturbiinin roottorin lavassa on hiushalkeamia, pyörrevirrat ovat heikompia kuin ehjässä lavassa. 5. Raketin siivenkärkien välille indusoituva jännite on elvbsin 7 m 45 m / sμtsin65,3v. 6. a) Käämit ja ovat induktiivisesti kytkettyjä. Kun kytkin suljetaan, piirin kasvava sähkövirta synnyttää kasvavan magneettivuon käämiin. Syntyy induktiojännite ja induktiovirta, jonka ampeerimittari osoittaa. b) Silmukan mennessä kenttään magneettivuon muutos ja induktiovirta ovat vakioita, samoin silmukan tullessa pois kentästä. Kun silmukka on kentässä, induktiovirtaa ei synny, koska magneettivuo ei muutu. Kuvassa on esitetty silmukassa kulkeva sähkövirta ajan funktiona. I t c) Kun sauvamagneetti putoaa kohti silmukkaa, alaspäin suuntautuva magneettivuon tiheys silmukan sisällä kasvaa. Silmukkaan syntyvä sähkövirta synnyttää vastakkaissuuntaisen, ylöspäin suuntautuvan magneettivuon tiheyden. Virran suunta silmukan etureunassa on oikealle. 7. Käämiin johdettu sähkövirta aiheuttaa käämiin itseinduktiojännitteen riippuu käämin induktanssista ja virran muutosnopeudesta. Aikavälillä, s, s jännite on I 3, ma, ma el 38 mh mv. t,s,s I el, jonka suuruus t 87

87 Aikavälillä, s,5 s jännite on I,mA,mA el 38mH mv. t,5s,s Aikavälillä,5 s,7 s jännite on I, ma 3, ma el 38mH 5,7 mv. t,7s,5s Käämiin indusoitunut jännite (t,e)-koordinaatistossa: mv 8 6 5,7 4 e 4 6 8,,4,6,8 s t 8. Indusoitunut jännite on el, joten jännite on suoraan verrannollinen magneettivuon t muutosnopeuteen. Koska vuon muutosnopeus on vakio, jännite on vakio, ja jos vuo ei muutu, jännite on nolla. Jos indusoitunut sähkövirta on i, teho on teho on positiivinen. e P ei, joten se on nolla, jos jännite on nolla. Muuten R Silmukkaan indusoitunut jännite ja teho ajan funktiona: e P t t 88

88 9. a) Kun kytkin S suljetaan, virtapiirissä alkaa kulkea sähkövirta myötäpäivään (metallitangossa ylhäältä alas). Sähkövirran suuruus on E,V I,4A. R 5,Ω Tällöin magneettikenttä vaikuttaa johtimeen voimalla Fm ILB,4A,5m,4T,84 N. Voiman suunta päätellään oikean käden säännöstä, se on kuvassa oikealle. Tangon kiihtyvyys on Fm,84 N 4,m/s a oikealle. m, kg b) Kun tanko liikkuu (kuvassa oikealle), sen rajaaman silmukan pinta-ala kasvaa ja magneettivuo Φ kasvaa. Olkoon tangon siirtymä oikealle x. Silmukkaan indusoituu jännite BA BLx e BLv, t t t joka on vastakkaissuuntainen lähdejännitteelle. Tankoon vaikuttaa vain magneettinen voima, jonka suuruus on F m = ILB, missä I on tangossa kulkeva sähkövirta. Kun tanko liikkuu vakionopeudella, Newtonin II lain perusteella tankoon vaikuttavien voimien summa on nolla: näin ollen magneettinen voima on nolla, samoin sähkövirta. Koska sähkövirta ei kulje, tangon päiden välinen jännite on myös nolla, eli induktiojännite on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin lähdejännite. Tällöin tangon nopeuden itseisarvo on e E,V v 34m/s. BL BL,4T, 5m 3. a) Induktiolieden sisällä on käämi, jossa kulkee vaihtovirta. Kun liedellä on metallipohjainen kattila, tähän indusoituu jatkuvasti muuttuvan magneettikentän vuoksi pyörrevirtoja. Pyörrevirtojen takia kattila (ja siinä oleva ruoka) kuumenee. Jos astia ei ole metallinen, pyörrevirtoja ei synny. Siksi lasisessa vuoassa olevan piirakan sulamista ei voi nopeuttaa induktioliedellä. b) Annetusta kuvaajasta voidaan päätellä seuraavaa: Ajanhetkeen t =,47 s asti sähkövirta ei kulje, eikä käämiin indusoidu jännitettä. Aikavälillä,47 s,65 s sähkövirta kasvaa, joten tällä aikavälillä käämissä havaitaan induktiojännite. Koska virta kasvaa, käämin magneettikenttä vahvistuu. Lenzin lain mukaan käämiin indusoituu jännite, joka vastustaa tätä muutosta. Siksi induktiojännite on negatiivinen. Aikavälillä,65 s,68 s sähkövirta on vakio, eikä induktiota tapahdu. Kun sähkövirta pienenee aikavälillä,68 s,8 s, käämiin indusoituu positiivinen jännite. Hetken t =,8 s jälkeen sähkövirta on nolla, eikä induktiota tapahdu. ( BA) Käämiin indusoituva jännite saadaan yhtälöstä e N N. t t Kyseisessä mittauksessa käämiin indusoituneen jännitteen muutokset johtuvat magneettivuon muutoksista, ts. sähkövirran muutoksista (käämin kierrosluku ja pinta-ala ovat vakioita). Tarkempi muoto induktiojännitteen kuvaajalle saadaan tarkastelemalla virran kuvaajan muuttumisnopeutta eli derivaattaa. Induktiojännitteellä on maksimit ajanhetkillä t =,5 s ja t =,77 s, koska tällöin sähkövirran muutosnopeus on suurin (kuvaaja on jyrkin). 89

89 Koska tehtävässä ei ole mainittu tietoja käämeistä (kierrosluvut, induktanssit ym.) induktiojännitteen arvojen laskeminen ei ole mahdollista. Induktiojännitteen kuvaaja ajan funktiona on pääpiirteissään seuraava: jännite (V),5,6,7,8 aika (s) 3. a) Käämin itseinduktio hidastaa sähkövirran kasvua. Näin sähkövirta ei heti kasva suurimpaan arvoonsa. b) Tien asfalttipinnan alle on upotettuna 3 4 johdinsilmukkaa eli käämi, jossa kulkee sähkövirta. Kun auto saapuu tienpinnan alle upotetun johdinsilmukan (käämin) päälle, käämi ikään kuin saa "rautasydämen". Tällöin käämin induktanssi muuttuu, ja induktanssin muutos voidaan mitata. 3. a) Kun käämiin kytketään jännite, sen läpi alkaa kulkea sähkövirta. Käämin läpäisevä magneettivuo kasvaa virran kasvaessa. Magneettivuon kasvu saa aikaan jännitelähteen jännitteelle vastakkaissuuntaisen jännitteen (Lenzin laki). Kyseessä on itseinduktioilmiö. Itseinduktio hidastaa sähkövirran kasvua käämissä. b) Kuvaajasta nähdään, että sähkövirran arvoksi tulee itseinduktion päätyttyä Imax, 6 A. Käytetyn virta-anturin sisäinen resistanssi on hyvin pieni. Suljetussa virtapiirissä on vastuksena vain käämi, joten Ohmin lain mukaan on E RI. Käämin resistanssi on E 7,5 V R 4,6875 4,7. I,6 A max max c) Kuvaajasta nähdään, että hetkellä t = ms sähkövirta on I =, A. Sähkövirta on kasvamassa, joten Lenzin lain mukaan käämin itseinduktiojännite vastustaa sähkövirran kasvua. Sähkövirran muutosnopeus saadaan kuvaajasta kohtaan t = ms piirretyn tangentin fysikaalisena I, A A kulmakertoimena: 55. t, s s 9

90 ,8,6,4 sähkövirta (A),,,8,6 Δt =, ss ΔI =, A,4,,,,,,3 aika (s),4,5,6 Käämin päiden välinen jännite U on käämin johtimen resistanssin aiheuttaman jännitehäviön I UR RI ja käämin induktiojännitteen UL L summa eli U UR UL. Kirchhoffin II lain t mukaan jännitelähteen lähdejännite on E U UR UL. Induktiojännite on U EU ERI 7,5 V 4,6875, A,875 V,9 V. L R I Yhtälöstä UL L käämin induktanssi on t 33. Sähkövirran muutos käämissä on I,A,6A 65 A/s. t,4s U L,875 V L 34 mh. I 55 A/s t I Käämiin indusoituva jännite on e L, josta saadaan käämin induktanssiksi t e 3,8V L 5,8465 mh. I 65 A/s t Magneettikenttään oli aluksi varastoitunut energiaa,58465 H (,6 A) LI mj. E 34. a) Käämiin indusoituu jännite aina, kun käämin läpäisevä magneettivuo muuttuu. Sauvamagneetin kenttä pysyy samanlaisena, mutta magneetin liike (pyöriminen) aiheuttaa magneettivuon muutoksen käämin sisällä. Kun magneetti pyörii keskellä käämiä, pyörimisliike on säännöllistä ja jaksollista. Samalla käämin läpäisevä magneettivuo muuttuu jaksollisesti. Pyörivän magneetin synnyttämä jännite on jaksollista ja sinimuotoista. Magneetin nostaminen ylemmäs heikentää induktiojännitettä. Magneetin siirtäminen sivuun (pois käämin keskeltä) tekee magneettivuon muutoksista epäsäännöllisiä. Käämiin indusoituu edelleen jännite, mutta se ei ole enää sinimuotoista. 9

91 u 4 V b) Jännitteen huippuarvo on u 4 V ja tehollinen arvo U 8 V. Vaihtojännitteen jaksonaika on T ms ja taajuus f Hz. T,s 35. a) Piirissä on vain käämi, jonka resistanssi on vähäinen, joten piirin impedanssi Z on likimain yhtä suuri kuin käämin induktiivinen reaktanssi: Z XL LπfLπ 5, H 6, s U b) Käämissä kulkevan sähkövirran tehollinen arvo on I. Koska piirissä on vain induktiivista Z reaktanssia, impedanssi on Z = X L. Sähkövirran tehollinen arvo on U,V I,5955 A,6 A. X 6,8385 L c) Oletetaan, että jännite on sinimuotoisesti muuttuvaa, jolloin sähkövirran huippuarvo on i I,5955 A,3A. 36. a) Ohmin lain yleinen muoto on U ZI, jossa Z on vaihtovirtapiirin impedanssi. Yleismittarit U 5 V ilmoittavat teholliset arvot U ja I. Piirin impedanssi on Z. I, A b) Kaikki kolme suuretta kuvaavat komponentin, virtapiirin tai laitteen kykyä vastustaa sähkövirran kulkua. Resistanssia R tarkoittaa vastuksen kykyä vastustaa sekä tasavirtaa että vaihtovirtaa. Impedanssi Z kuvaa virtapiirin kykyä vastustaa vaihtovirran kulkua. Jos vaihtovirtapiirissä on vain vastus (tai vastuksia), impedanssi tarkoittaa samaa kuin resistanssi. Jos kyseessä on RCL-piiri, impedanssi koostuu jokaisen komponentin sähkövirtaa vastustavasta tekijästä. Vaihe-eroista johtuen tekijöitä ei voi vain summata yhteen. Kapasitiivinen reaktanssi X C on kääntäen verrannollinen taajuuteen ja kondensaattorin πfc kapasitanssiin, ja se kuvaa kondensaattorin kykyä vastustaa vaihtovirran kulkua. Induktiivinen reaktanssi X L = fl on suoraan verrannollinen vaihtovirtapiirin taajuuteen ja käämin induktanssiin, ja se käämin kykyä vastustaa vaihtovirran kulkua. RCL-piirin impedanssin yhtälö on Z R ( X L X C ). Suuretta X L X C (= X) sanotaan reaktanssiksi. Kaikkien näiden suureiden yksikkö on Ω. 37. Käämiin indusoituva jännite on e = e sin = NABsint, ja jännitteen huippuarvo on 4 e NAB 5,3T 85 m 34,75V V. Jännitteen tehollinen arvo on s e,75v U 4V. 38. a) Kun vastus on kytketty vaihtojännitelähteeseen, jännitehäviö ja sähkövirta ovat samassa vaiheessa ja vaihe-ero φ =. 9

92 b) Käämissä tapahtuvan itseinduktion vuoksi sähkövirta jää jännitehäviöstä jälkeen. Ideaaliselle käämille vaihe-ero on +9. Ideaalisella käämillä ei ole resistanssia. c) Kondensaattorilla vaihe-ero on 9. Tämä johtuu kondensaattorin latautumisesta. Sähkövirta on suurin, kun kondensaattorin jännitehäviö on nolla. Sähkövirta pienenee, kun kondensaattorin jännitehäviö kasvaa. Siksi sähkövirta on jännitehäviötä edellä. d) Todellisilla käämeillä on johdinmateriaalista johtuen aina resistanssia. Resistanssin vuoksi käämissä vaihe-ero on < φ < Kuvaajan perusteella sähkövirran jaksonaika on 6 ms ja huippuarvo i 4 ma. Jännitehäviön huippuarvo on u Zi 75,4 A 7 V. Koska vaihe-ero on,54 rad,,54rad jännitehäviö on sähkövirtaa edellä ajallisesti 6ms 5,ms verran. Jännitehäviön π rad huippuarvo 7 V on hetkillä ms, 4 ms ja 7 ms. Jännitehäviön jaksonaika on sama kuin sähkövirran eli 6 ms. 4. a) ) Käämin induktiivinen reaktanssi on X L fl. Jos induktanssi X L muuttuu kaksinkertaiseksi, induktiivinen reaktanssi on X L = f L = fl = X L, joten induktiivinen reaktanssi kaksinkertaistuu. ) Jos vaihtovirran taajuus f kaksinkertaistuu, induktiivinen reaktanssi on X L3 = fl = fl = X L, joten induktiivinen reaktanssi kaksinkertaistuu. b) Käämin induktiivinen reaktanssi on XL πflπ 5,5H 79Ω. s U 4. Käämissä kulkeva tehollinen sähkövirta on I. Vaihtovirtapiirin impedanssi on Z Z R ( XL XC). Piirissä ei ole kondensaattoria, ja resistanssi on pieni (R ), joten impedanssi on 93

93 Z X X X fl. ( L ) L L Sähkövirran tehollinen arvo on U 5V I, A. πfl π 5,H s 4. Piirin impedanssi on Z R XL XC , Napajännitteen tehollinen arvo on U ZI 543,67,5 A 7 V. 43. a) Koska piirissä on vain käämi, jolla on resistanssia ja induktiivista reaktanssia, piirin impedanssi on Z R X X R X, josta käämin induktiivinen reaktanssi on L C L L X Z R b) Induktioilmiö vastustaa ja siten hidastaa sähkövirran muutosta käämissä, jolloin virta jää jännitehäviön jälkeen. Jos lähdejännite muuttuu niin, että käämin läpi kulkeva sähkövirta kasvaa, käämin ympärille syntyy magneettikenttä, johon varastoituu energiaa. Magneettikentän energia on maksimissaan, kun sähkövirta on saavuttanut maksimiarvonsa. Jos lähdejännite muuttuu niin, että sähkövirta pienenee, induktiojännitteen napaisuus on sama kuin lähdejännitteen napaisuus. Kun sähkövirta pienenee, käämiin varastoitunut magneettikentän energia palautuu virtapiiriin. Energian varastoituminen magneettikentän energiaksi tai sen vapautuminen vie aikaa. Näistä syistä sähkövirta jää käämissä jännitehäviön jälkeen. c) Kun varaamaton kondensaattori kytketään jännitelähteen napoihin, kondensaattorin levyt alkavat varautua. Sähköinen voima tekee työtä siirtäessään elektroneja kohti kondensaattorin negatiivista levyä. Lopulta jännitelähteen ja kondensaattorin samanmerkkiset navat ovat samassa potentiaalissa. Silloin sähkövirta on nolla ja jännitehäviö saavuttanut suurimman arvonsa. Energian varastoituminen elektronien potentiaalienergiksi eli kondensaattorin sähkökentän energiaksi vie aikaa. Samoin elektronien potentiaalienergian vapautuminen virtapiirin energiaksi vie aikaa. Näistä syistä kondensaattorissa sähkövirta on jännitehäviön edellä. 44. Veden kiehumispiste on C, joten vesi kuumenee lämpötilavälin C C = 88 C. Lämpötilaväli celsiusasteina ja kelvineinä on yhtä suuri, joten T = 88 K. Vedenkeittimen vastuksen vedelle aikavälillä t luovuttama energia on Q vastus = Pt. Veden vastaanottama energia on Q vesi = cmt. Sähkövastuksen vedelle luovuttama energia on yhtä suuri kuin veden vastaanottama energia, joten Pt = cmt. Kuumentamiseen kuluva aika on cmt 4,9 kj/(kg K),75 kg 88 K t 43,3665 s P,9, kw min s (eli,4 min). 94

94 u 45. a) Jännitteen tehollinen arvo on U, jossa u Ri. Sähkövirran tehollinen arvo on i I. Sähkövirta lämmittää vastusta keskimääräisellä teholla u i Ri i PUI Ri. 35 6,A 67 W. u b) Pistorasian tehollinen jännite on U, josta huippujännite on u U 3V 33V. c) Kolmivaihegeneraattorissa synnytetään yhtaikaisesti kolmea vaihtojännitettä. Näillä on kaikilla sama huippuarvo 3 V ja niiden väliset vaihe-erot ovat. Kuluttajalle kolmivaihevirta johdetaan yhden nollajohtimen ja kolmen vaihejohtimen avulla. Vaihejohtimien välinen tehollinen jännite on 4 V. Tähän jännitteeseen kytketyt suuritehoiset laitteet (kuten liesi ja kiuas) toimivat ns. voimavirralla. Laite kuormittaa tasaisesti kaikkia kolmea vaihejohdinta. U N 46. a) Muuntajassa ensiö- ja toisiopuolen jännitteiden suhde on, josta toisiojännite on U N U UN 3V 6,V. N N b) Toisiopuolen sähkövirta on I I I I, joten sähkövirta tulee hyvin suureksi. N 6 Energiaa muuntuu lämmöksi likimain teholla P RI. Rautanaula alkaa hehkua ja sulaa poikki. Huomaa, että sähkövirta ei todellisuudessa kasva -kertaiseksi muuntajan energiahäviöiden takia. Katso seuraava tehtävä. 47. a) Kuparihäviö on johdinmateriaalin tehohäviö, joka saadaan pieneksi, kun valitaan johdin, jonka resistanssi on pieni. Resistanssiin vaikuttavat johtimen paksuus, pituus ja materiaali. Paksun johtimen resistanssi on pienempi kuin ohuen. Esimerkiksi alumiinin ja kuparin resistiivisyys on pieni. Rautahäviö on muuntajan rautasydämessä tapahtuva tehohäviö. Rautasydämeen muodostuu pyörrevirtoja. Pyörrevirtoja saadaan pienennettyä, kun rautasydän valmistetaan ohuista liuskoista. b) Rautasydämeen indusoituvat pyörrevirrat kuumentavat sydäntä ja aiheuttavat tehohäviöitä. Ohuista liuskoista valmistettuun rautasydämeen indusoituu vähemmän pyörrevirtoja ja sydän kuumenee vähemmän. 95

95 48. a) Pitkien matkojen sähkönsiirto tapahtuu korkeajännitteellä kv tai 4 kv. Korkeajännitteen käyttö pienentää energiahäviöitä eli tekee toiminnasta kannattavampaa. Lyhyemmissä paikallisverkoissa käytetään kv tai kv jännitettä. Kuluttajalle turvallisuussyistä sopivampi jännite on 3 V tai 4 V. Lisäksi muuntajia tarvitaan vielä kotitalouksissa useiden sähkölaitteiden käyttöjännitteen alentamiseen verkkojännitteestä sopivaksi. 49. RCL-piiriin kytketään vaihtojännitelähteen kanssa sarjaan vastus, kondensaattori ja käämi sekä herkkä virtamittari. Kun jännitteen taajuutta muutetaan (napajännite pidetään vakiona), havaitaan sähkövirran muuttuminen. Tämä johtuu impedanssin muuttumisesta. Resonanssitilanteessa havaitaan sähkövirran maksimi taajuudella f. Resonanssi johtuu siitä, että piirin π LC impedanssi on pienin mahdollinen. Tällöin käämin induktiivinen reaktanssi ja kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi ovat yhtä suuret. Piirin pienin impedanssi on Z R ( X X ) R R. L C 5. Radiokanavaa kuunneltaessa värähtelypiirin resonanssitaajuus on f LC induktanssi on L,98 mh. πf C 6 5 π 89,9 3 F s, josta 5. a) Kun kondensaattori on ladattu, sen sähkökenttään on varastoitunut energiaa 7 E CU 69 F(48V) 7,949 Kun kytkimen asentoa muutetaan, syntyy suljettu värähtelypiiri. Piirissä alkaa kulkea sähkövirta ja kondensaattorin sähkökentän energiaa muuttuu käämin magneettikentän energiaksi (ja päinvastoin). b) Mikäli johtimissa ei tapahdu häviöitä, käämin magneettikenttään voi maksimissaan varastoitua energiaa E 7,949 7 J Sähkövirran suurin arvo on LI. J. I E L 7 7,949 J 6 5 H 5 ma. c) Suljetun värähtelypiirin resonanssitaajuus on 96

96 f,mhz. 6 π LC π 5 H 69 F Piiri lähettää sähkömagneettisia radioaaltoja, joiden taajuus on f. Näiden aaltojen aallonpituus on f v 8,998 m/s 5m. 6, Hz 5. a) Yksinkertainen värähtelypiiri on suora johdin, jolla on tietty induktanssi ja kapasitanssi. Suoran johtimen muodostamaa värähtelypiiriä kutsutaan dipoliantenniksi. Dipoliantennin ympärillä vuorottelevat sähkö- ja magneettikenttä. Nämä kentät etenevät antennista ympäristöön sähkömagneettisena aaltoliikkeenä valon nopeudella. Dipoliantennin päissä jännite on suurimmillaan. Dipoliantenni ottaa silloin vastaan säteilyä resonanssitaajuudellaan ulkoiselta värähtelypiiriltä ja antennissa on seisova aaltoliike. Sähkövirran kupukohta on antennin keskellä ja solmut päissä. Jännitteen solmukohta taas on antennin keskellä ja kupukohdat päissä. Antennista lähtevät radioaallot ovat poikittaista aaltoliikettä. Lähetinantennin pituus määrää lähetettävän radioaallon aallonpituuden. Radioaaltojen pituus on l, jossa l on antennin pituus. Vastaanotinantennin ihanteellinen pituus on yhtä suuri kuin puolet vastaanotettavan aallon pituudesta. Käytännössä antenni toimii tietyllä aallonpituusvälillä. Ks. tarkemmin vielä s. 56. b) Antennin pituus on v l f 8,998 m/s,6m. 6 95,7 Hz c) Radiokanavat lähettävät ohjelmaa tietyllä taajuudella. Radio voidaan virittää vastaanottamaan tiettyä lähetystä joko muuttamalla antennin pituutta sopivaksi tai muuttamalla antenniin kuuluvan säätökondensaattorin kapasitanssia siten, että antennin resonanssitaajuus vastaa lähetyksen taajuutta. 53. a) Sähkömagneettisen värähtelypiirin taajuus on f. π LC Koska taajuuden f ja jaksonajan T välillä on riippuvuus f, saadaan yhtälö T. π LC T Ratkaistaan tästä yhtälöstä kondensaattorin kapasitanssi C: ( ) π LC T 4π LC T 4π LC T : 4π L T C. 4π L 97

97 Kuvaajan perusteella jaksonaika on T,5 ms. Kondensaattorin kapasitanssi on T (,5s) C μf. 4π L 4π,7 H b) Koska piirin resistanssi on pieni, värähtelyn energia säilyy ja LI CU max, josta saadaan kondensaattorin läpilyöntijännitteen minimiarvoksi U LI C max,7h (,33A) 6,99 F 6,V. 54. Käämissä K kulkeva sähkövirta synnyttää magneettikentän, joka kulkee ainakin osittain käämin K läpi. K K Oikean käden säännön mukaisesti magneettivuon tiheys käämien sisällä suuntautuu vasemmalta oikealle ja pienenee, koska sähkövirta käämissä K pienenee. Lenzin lain mukaan käämiin K indusoituu sähkövirta. Se synnyttää magneettikentän, joka pyrkii estämään vuon pienenemistä, joten ko. indusoituneen kentän suunta on oikealle.oikean käden säännön perusteella induktiovirran suunta on vastuksessa R oikealta vasemmalle. I Induktiojännite on e M, joten induktiovirta on t I I M 3 e,5 H,3 A,8A t MI R R Rt 4,9s,7 ma. 98