Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on Vastaava muuttujan y arvo on y = 0, ,95 = 19,45 19 Jääpeitteen suurin pinta-ala vuonna 2030 on ennusteen mukaan noin 19 miljoonaa neliökilometriä. Vastaus: y = 0,05x + 120,95, 19 miljoonaa km 2

2 2. Piirretään appletin avulla suora, joka kuvaa vuoden pienintä jääpeitteen pinta-alaa. Suoran yhtälö on y = 0,08x + 175,71. Yhtälön 0,08x + 175,71= 0 ratkaisuksi saadaan sopivalla ohjelmalla x = 2196,375, eli meri on sula ainakin osan vuodesta vuonna Vastaus: y = 0,08x + 175,71, vuonna 2196

3 2.1 Suoran kulmakerroin ja yhtälö ALOITA PERUSTEISTA 201. a) Suoran y = 5x 2 yhtälöstä havaitaan, että kulmakerroin k = 5 ja vakiotermi b = 2. Vastaus: k = 5, b = 2 b) Suoran y = x yhtälöstä havaitaan, että kulmakerroin k = 1 ja vakiotermi b = 0. Vastaus: k = 1, b = 0 c) Suoran y = 4 yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y = 0x + 4. Havaitaan, että kulmakerroin k = 0 ja vakiotermi b = 4. Vastaus: k = 0, b = 4 d) Suoran y = 5 3x yhtälössä kulmakerroin k on muuttujan x kerroin eli k = 3. Vakiotermi on b = 5. Vastaus: k = 3, b = 5

4 202. Määritetään ensin suorien vakiotermit. Väitteen I mukaisen suoran kulmakerroin on 1. Tämä tarkoittaa, että kun kuljetaan suoraa pitkin yksi yksikkö oikealle, mennään samalla 1 yksikkö ylös eli 1 yksikkö alas. Tämä sopii suoraan b. Siis väite I ja suora b kuuluvat yhteen. Väitteen II mukaisen suoran kulmakerroin on 2. Tämä tarkoittaa, että kun kuljetaan suoraa pitkin yksi yksikkö oikealle, mennään samalla 2 yksikköä ylös eli 2 yksikköä alas. Tämä sopii suoraan e. Siis väite II ja suora e kuuluvat yhteen. Väitteen III mukaisen suoran vakiotermi on 0. Suora siis leikkaa y-akselin pisteessä (0, 0), mikä sopii suoraan c. Väite III ja suora c kuuluvat yhteen. Väitteen IV mukaisen suoran vakiotermi on 1. Suora siis leikkaa y-akselin pisteessä (0, 1), mikä sopii suoraan b. Väite IV ja suora b kuuluvat yhteen. Väitteen V mukaisen suoran kulmakerroin on 0. Tämä tarkoittaa, että kun kuljetaan suoraa pitkin yksi yksikkö oikealle, mennään samalla 0 yksikköä ylös, eli suora on x-akselin suuntainen. Tämä sopii suoraan a. Siis väite V ja suora a kuuluvat yhteen. Väitteen VI mukaisella suoralla ei ole kulmakerrointa. Suora on siis y- akselin suuntainen, mikä sopii suoraan d. Siis väite VI ja suora d kuuluvat yhteen. Vastaus: I: b, II: e, III: c, IV: b, V: a ja VI: d

5 203. a) Määritetään suoran kulmakerroin annettujen pisteiden koordinaattien avulla. Kun suoran pisteen x-koordinaatti kasvaa neljä yksikköä, suoran pisteen y-koordinaatti kasvaa kaksi yksikköä. Kulmakerroin saadaan jakamalla y-koordinaattien muutos x-koordinaattien muutoksella, joten 2 1 suoran kulmakerroin on k. Koska kulmakerroin on 4 2 positiivinen, niin suora on nouseva. b) Vastaus: 1 k, nouseva 2 Määritetään suoran kulmakerroin annettujen pisteiden koordinaattien avulla.

6 Kun suoran pisteen x-koordinaatti kasvaa yhden yksikön, suoran pisteen y-koordinaatti pienenee neljä yksikköä. Kulmakerroin saadaan jakamalla y-koordinaattien muutos x-koordinaattien muutoksella, joten 4 suoran kulmakerroin on k 4. Koska kulmakerroin on 1 negatiivinen, niin suora on laskeva. Vastaus: k = 4, laskeva c) Määritetään suoran kulmakerroin annettujen pisteiden koordinaattien avulla. Kun suoran pisteen x-koordinaatti kasvaa kolme yksikköä, suoran pisteen y-koordinaatti ei muutu ollenkaan. Kulmakerroin saadaan jakamalla y-koordinaattien muutos x-koordinaattien muutoksella, joten 0 suoran kulmakerroin on k 0. Kulmakerroin ei ole positiivinen 3 eikä negatiivinen, joten suora ei ole nouseva eikä laskeva. Vastaus: k = 0, ei nouseva eikä laskeva

7 204. a) Kulmakerroin saadaan jakamalla suoran pisteiden (1, 0) ja (3, 8) y-koordinaatin muutos x-koordinaatin muutoksella. k y y x2 x Koska kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva. Vastaus: k = 4, nouseva b) Kulmakerroin saadaan jakamalla suoran pisteiden ( 4, 3) ja (6, 2) y-koordinaatin muutos x-koordinaatin muutoksella. k y y ( 4) x2 x1 Koska kulmakerroin on negatiivinen, suora on laskeva. Vastaus: 1 k, laskeva 2 c) Kulmakerroin saadaan jakamalla suoran pisteiden (3, 6) ja ( 2, 8) y-koordinaatin muutos x-koordinaatin muutoksella. k y y 8 ( 6) x2 x1 Koska kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva. Vastaus: 2 k, nouseva 5

8 205. a) Piirretään suora pisteiden (27, 2500) ja (37, 3200) kautta. y2 y b) Suoran kulmakerroin on k 70. x2 x Kulmakerroin ilmaisee palkan vuosittaisen nousun. Vastaus: k = 70, palkka nousee vuodessa a) Kun halutaan varmistua siitä, että jokin piste on suoralla, sijoitetaan pisteen x-koordinaatti suoran yhtälöön ja lasketaan vastaava y-koordinaatti yhtälön avulla. Jos saatu luku on sama kuin pisteen, jota tutkittiin, kyseinen piste on suoralla. Muussa tapauksessa piste ei ole suoralla. Sijoitetaan pisteen (8, 16) x-koordinaatti suoran 2x + y 1 = 0 yhtälöön ( 16) 1 = 1 0, joten piste ei ole suoralla. Vastaus: ei ole

9 b) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. 2x + y 1 = 0 y = 2x + 1 Ratkaistusta muodosta nähdään, että suoran kulmakerroin on 2. Vastaus: k = 2 c) Suoran yhtälön vakiotermin perusteella suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, 1). Suoran ja x-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla suoran yhtälöön y = 0 ja ratkaisemalla saadusta yhtälöstä x. 2x + y 1 = 0 2x = 0 2x = 1 x = 1 2 Vastaus: (0, 1) ja ( 1 2, 0) d) Piirretään suora appletin avulla kirjoittamalla syöttökenttään suoran yhtälö. Piirretään myös piste (8, 16) kirjoittamalla syöttökenttään teksti (8, 16). Piste (8, 16) ei näytä olevan suoralla, joten a-kohdan tulos näyttäisi olevan oikein.

10 Määritetään suoran kulmakerroin appletin avulla. Kulmakerroin on 2, joten b-kohdan tulos on oikein. Määritetään suoran ja koordinaattiakselien leikkauspisteet appletin avulla. Leikkauspisteet ovat (0,1) ja (0,5; 0), joten c-kohdan tulokset ovat oikein.

11 VAHVISTA OSAAMISTA 207. a) Määritetään appletin avulla yhtälö suoralle, joka kulkee pisteiden ( 6, 4) ja ( 3, 3) kautta. Suoran yhtälö on y = 0,33x + 2. Kulmakerroin on siis k = 0,33. Vastaus: k = 0,33 b) Määritetään appletin avulla yhtälö suoralle, joka kulkee pisteiden ( 3, 3) ja (0, 2) kautta. Suoran yhtälö on y = 0,33x + 2. Kulmakerroin on siis k = 0,33. Vastaus: k = 0,33

12 c) Määritetään appletin avulla yhtälö suoralle, joka kulkee pisteiden (0, 2) ja (6, 0) kautta. Suoran yhtälö on y = 0,33x + 2. Kulmakerroin on siis k = 0,33. Vastaus: k = 0,33 Vastaus: Kulmakerroin on kaikille kolmelle suoralle sama. Tämä johtuu siitä, että kyseessä on yksi ja sama suora.

13 208. a) Siirretään appletissa suoran pisteitä niin, että suora kulkee pisteen (2, 3) kautta. Suoran yhtälö on esimerkiksi y = 0,5x + 2. Vastaus: esim. y = 0,5x + 2 b) Siirretään appletissa suoran pisteitä niin, että suoran kulmakerroin on 0,5 ja vakiotermi 4. Suoran yhtälö on y = 0,5x + 4. Vastaus: y = 0,5x + 4

14 c) Siirretään appletissa suoran pisteitä niin, että suora on nouseva ja leikkaa x-akselin pisteessä (3, 0). Suoran yhtälö on esimerkiksi y = 0,5x 1,5. Vastaus: esim. y = 0,5x 1,5 d) Siirretään appletissa suoran pisteitä niin, että suora on laskeva ja leikkaa y-akselin pisteessä (0, 2). Suoran yhtälö on esimerkiksi y = 3x 2. Vastaus: esim. y = 3x 2

15 209. a) Suoran yhtälöstä y = 4x 5 nähdään, että suoran kulmakerroin on 4. Suoran pisteen y-koordinaatti muuttuu siis 4 yksikköä, kun x- koordinaatti kasvaa yhdellä ja suoran pisteen y-koordinaatti muuttuu 2 4 = 8 yksikköä, kun x-koordinaatti kasvaa kahdella. Piirretään suora. Vastaus: k = 4, kasvu 8 b) Suoran yhtälöstä y = 5 nähdään, että suoran kulmakerroin on 0, joten suoran pisteen y-koordinaatti ei muutu ollenkaan. Piirretään suora. Vastaus: k = 0, kasvu 0

16 c) Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. 6x 8y = 16 8y = 6x y x 2 4 : ( 8) Ratkaistusta muodosta nähdään, että suoran kulmakerroin on 3 4, joten suoran pisteen y-koordinaatti muuttuu ( yksikköä, kun x-koordinaatti kasvaa kahdella. Piirretään suora. Vastaus: k = 3 4, kasvu 3 2

17 210. a) Kulmakerroin on 2) y2 y k. x x Koska kulmakerroin on negatiivinen, suora on laskeva. Vastaus: b) Kulmakerroin on y2 y1 k x2 x : Suora on laskeva. 4 k, laskeva 5 Vastaus: 35 k, laskeva 24

18 c) Kulmakerroin on y2 y1 k x x 2 1 3) 10) ) 3) Koska kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva. Vastaus: 49 k, nouseva 22

19 211. a) Esimerkiksi pisteet ( 5, 2) ja (5, 1) ovat suoralla. Lasketaan kulmakerroin. y2 y1 k x2 x Vastaus: 3 k 10 b) Esimerkiksi pisteet ( 10, 100) ja (15, 300) ovat suoralla. Lasketaan kulmakerroin. y2 y1 k x2 x Vastaus: k = 8

20 212. a) Sijoittamalla x = 1 suoran yhtälöön saadaan y = 5 ( 1) + 9 = 14. Piste ( 1, 4) ei siis ole suoralla, mutta piste ( 1, 14) on. Vastaus: epätosi, 14 b) Sijoittamalla suoran 3x 2y + 6 = 0 yhtälöön x = 0 saadaan 3 0 2y + 6 = 0 2y = 6 : ( 2) y = 3 Väite on siis epätosi. Suora ei leikkaa y-akselia pisteessä (0, 2) vaan pisteessä (0, 3). Vastaus: epätosi, (0, 3) c) Muuttamalla suoran yhtälö x 3y = 0 ratkaistuun muotoon 1 y x huomataan, että suorien kulmakertoimet ovat yhtä suuret, 3 joten suorat ovat yhdensuuntaiset. Vastaus: tosi d) Suora y = 2 on x-akselin suuntainen, joten se on kohtisuorassa y- akselia vastaan. Vastaus: tosi

21 213. a) Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä nollakohta x. 4x + 2 = 0 4x = 2 : ( 4) x = 1 2 Piirretään funktion f kuvaaja. Myös funktion kuvaajasta havaitaan, että nollakohta on x 0,5. Vastaus: x = 1 2 b) Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä nollakohta x. 4 x x 2 : x 2 Tarkistetaan piirtämällä funktion f kuvaaja. Myös funktion kuvaajasta havaitaan, että nollakohta on x 1,5. 3 Vastaus: x 2

22 c) Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla nollakohta x ei ratkaisua Funktiolla f ei ole nollakohtaa. Tarkistetaan piirtämällä funktion f kuvaaja. Myös funktion kuvaajasta havaitaan, että funktiolla ei ole nollakohtaa. Vastaus: ei ole 214. Esimerkiksi suoran y = 4x kulmakerroin on 4. Antamalla muuttujalle x kaksi eri arvoa ja sijoittamalla ne suoran yhtälöön saadaan kaksi suoran pistettä. x y = 4x piste 0 0 (0,0) 1 4 (1, 4) Vastaus: esim. y = 4x, (0,0) ja (1, 4)

23 215. a) Pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla, jos suoran AB kulmakerroin on yhtä suuri kuin suoran AC kulmakerroin. Lasketaan ensin suoran AB eli pisteiden A( 5, 11) ja B(1, 3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. (2 y2 y1 3 ( 11) 8 4 k x x 1 ( 5) Lasketaan sitten suoran AC eli pisteiden A( 5, 11) ja C(6,4) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y1 4 ( 11) 15 k x x 6 ( 5) Koska kulmakertoimet eivät ole samat, pisteet eivät ole samalla suoralla. Vastaus: eivät ole b) Pisteet A, B, C ja D ovat samalla suoralla, joten suorien AB, AC ja AD kulmakertoimet ovat samat. Lasketaan ensin suoran AB eli pisteiden A( 1, 1) ja B(2, 3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y k x x 2 ( 1) Muodostetaan sitten suoran AC eli pisteiden A( 1, 1) ja C(x, 5) kautta kulkevan suoran kulmakertoimen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä x x x 1 3 2x 143 2x 212 2x 122 2x 10 :2 x 5

24 Muodostetaan sitten suoran AD eli pisteiden A( 1, 1) ja D( 3, y) kautta kulkevan suoran kulmakertoimen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä y. y y y y 122 3y 34 3y 43 3y 1 :3 1 y 3 1 Vastaus: x = 5, y = 3

25 216. Piirretään koordinaatistoon pisteet (2 + a, 3) ja ( 3, 5 + a). Piirretään pisteiden kautta suora ja määritetään suoran kulmakerroin. Muutetaan lukua a liukukytkimestä, kunnes kulmakerroin on 2.

26 Tarkistetaan laskemalla. Kun a = 4, niin (2 + a, 3) = (2 4, 3) = ( 2, 3) ja ( 3, 5 + a) = ( 3, 5 4) = ( 3, 1). Kulmakerroin on y2 y k 2. x x Vastaus: a = 4

27 217. a) Valitaan x-akselin muuttujaksi vuodesta 2000 kulunut aika ja y-akselin muuttujaksi BKT tuhansina dollareina. Piirretään maailman bruttokansantuotetta kuvaava suora pisteiden (2; 5,377) ja (15; 10,437) kautta ja Suomen bruttokansantuotetta kuvaava suora pisteiden (2; 25,510) ja (15; 46,360) kautta. Kulmakertoimet ovat maailman suoralle 0,39 ja Suomen suoralle 1,6. Vastaus: maailma 0,39, Suomi 1,6

28 b) Kulmakerrointen mukaan maailman BKT henkeä kohti on noussut vuodessa keskimäärin 0,39 tuhatta dollaria eli 390 dollaria henkeä kohti. Suomen vastaava luku on 1600 dollaria henkeä kohti, eli Suomen BKT on kasvanut maailman BKT:tä nopeammin. Vastaus: Suomen BKT on kasvanut nopeammin 218. a) Videossa https://vimeo.com/ /bc29ff5170 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus: esimerkiksi y = x + 3, y = x 3 ja y = x 1. b) Videossa https://vimeo.com/ /9435bb9b41 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus: esimerkiksi x = 2 ja y = 3

29 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 219. a) x-akselin suuntaisen suoran yhtälö on muotoa y = b. Koska suora kulkee pisteen (6, 15) kautta, niin b = 15. Vastaus: y = 15 b) Origon kautta kulkevan suoran yhtälö on muotoa y = kx. Sijoitetaan tähän yhtälöön pisteen (2; 6,5) koordinaatit ja ratkaistaan kulmakerroin k. 6,5 2 k : 2 k 3, 25 Vastaus: y = 3,25x c) Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on suora y = kx + b. 6 Suora kulkee pisteiden ( 3, 0) ja 0, kautta. Määritetään suoran 5 kulmakerroin. k y y x2 x1 Koska suora kulkee pisteen 6 0, 5 kautta, on suoran vakiotermi 6 b. 5 Vastaus: 2 6 y x 5 5

30 220. Piirretään suoria vakion a eri arvoilla. Havaitaan, että kaikki suorat näyttävät kulkevan pisteen (2, 1) kautta riippumatta vakion a arvosta. Sijoitetaan pisteen (2, 1) koordinaatit suoran y = 3ax 6a 1 yhtälöön. 1 = 3a 2 6a 1 1 = 6a 6a 1 1 = 1 Huomataan, että pisteen (2, 1) koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön vakion a arvosta riippumatta. Täten kaikki suorat y = 3ax 6a 1 kulkevat pisteen (2, 1) kautta. Vastaus: (2, 1)

31 221. a) Etsitään appletin avulla suoralle t sellainen kulmakerroin, että suorat s ja t ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus: 2 k 3 b) Toisen suoran kulmakerroin näyttäisi olevan toisen suoran kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku. Jos kulmakertoimet ovat k 1 ja k 2, tämän ehdon voi kirjoittaa muodossa k 1 k 2 = 1. Vastaus: k 1 k 2 = 1 4 c) Sijoitetaan yhtälöön k 1 k 2 = 1 kulmakerroin k1 ja ratkaistaan 7 toisen suoran kulmakerroin k 2. 4 k k2 7 :4 7 k2 4 Vastaus: 7 4

32 222. a) Kun lentokone liikkuu kilometrin sivusuunnassa, on x-koordinaatin muutos 1000 m. Samaan aikaan y-koordinaatti muuttuu 300 m. Kulmakerroin on 300 k 0, Määritetään suuntakulma yhtälön tan α = k avulla. tan 0,3 17, Vastaus: 17 b) Suuntakulma on Maan pinnan ja koneen suunnan välinen kulma. Vastaus: Maan pinnan ja koneen suunnan välistä kulmaa 223. Piirretään molemmat suorat sekä laskemisen avuksi niiden leikkauspisteen kautta kulkeva x-akselin suuntainen suora. Kysytty kulma on suorien ja x-akselin välisten kulmien α ja β summa α + β. Kulmat α ja β voidaan selvittää suorakulmaisen kolmion trigonometrian avulla, jos tiedetään ensin suorien kulmakertoimet. Selvitetään kulmakertoimet muuttamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon.

33 x 2,5y + 6 = 0 2,5y = x 6 : ( 2,5) y = 0,4x + 2,4 Suoran x 2,5y + 6 = 0 kulmakerroin on siis 0,4. Kun kuljetaan suoraa pitkin yksi yksikkö oikealle, mennään 0,4 yksikköä ylös. Piirretään mallikuva. Kulma β saadaan tangentin avulla. 0,4 tan 1 21, Ratkaistaan pisteiden (1, 2) ja (6, 3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y k 1 x x Piirretään mallikuva. 1 tan 1 45 Suorien välinen kulma on α + β = ,801 = 66, Vastaus: 67

34 224. a) Tehtävän tiedoista saadaan suoran kaksi pistettä (2014, ) ja (2018, ). Sijoitetaan näiden pisteiden koordinaatit suoran yhtälöön y = a(x 2014) + b jolloin saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan a ja b a( ) b a( ) b a 0 b a4 b b sijoitetaan alempaan ab a a a : ( 4) a 5619, 25 Vakioiden arvot ovat a = 5619,25 ja b = Vastaus: a = 5619,25, b = b) Asukasluvun ilmaiseva yhtälö on y = a(x 2014) + b eli y = 5619,25(x 2014) Sijoitetaan yhtälöön vuosiluku y = 5619,25( ) = Asukasluvun kasvu aikavälillä saadaan erotuksena = Vastaus: asukkaalla

35 c) Piirretään suora y = 5619,25(x 2014) välillä 2014 x 2030.

36 2.2 Suoran yhtälön muodostaminen ALOITA PERUSTEISTA 225. a) Koska piste (2,5) on suoralla, sen koordinaatit x = 2 ja y = 5 toteuttavat suoran yhtälön. Sijoitetaan pisteen koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. y = x + b 5 = 2 + b b = 3 Vastaus: b = 3 b) Sijoitetaan pisteen koordinaatit x = 2 ja y = 5 suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. y = 3x + b 5 = b 5 = 6 + b b = 11 Vastaus: b = 11 c) Sijoitetaan pisteen koordinaatit x = 2 ja y = 5 suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. 1 y xb b 2 51b b 4 Vastaus: b = 4

37 226. a) Suoran kulmakerroin on k = 4 ja vakiotermi b = 2. Sijoitetaan nämä tiedot yhtälöön y = kx + b, jolloin suoran yhtälöksi saadaan y = 4x + 2. Vastaus: y = 4x + 2 b) Suoran kulmakerroin on k = 7. Koska suora kulkee origon eli pisteen (0, 0) kautta, niin vakiotermi on b = 0. Sijoitetaan nämä tiedot yhtälöön y = kx + b, jolloin suoran yhtälöksi saadaan y = 7x + 0 eli y = 7x. Vastaus: y = 7x c) Suoran kulmakerroin on k = 5. Suora kulkee pisteen ( 3, 4) kautta. Sijoitetaan suoran yhtälöön y = kx + b luvut k = 5, x = 3 ja y = 4, ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä vakiotermi b. y kxb 453b 415b b 415 b 19 Suoran yhtälö on siis y = 5x Vastaus: y = 5x + 19 d) Lasketaan ensin suoran kulmakerroin pisteiden (2, 3) ja (7, 18) koordinaattien avulla. k y y x2 x Suoran yhtälö on muotoa y = 3x + b. Suoran pisteen (2, 3) koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Sijoitetaan nämä koordinaatit yhtälöön y = 3x + b ja ratkaistaan vakiotermi b.

38 y 3xb 332b 36b b 36 b 3 Suoran yhtälö on y = 3x 3. Vastaus: y = 3x a) Lasketaan suoran s kulmakerroin suoran pisteiden (0,2) ja (4,5) koordinaattien avulla. y2 y k. x2 x Suoran yhtälö on muotoa y x b. Koska suora kulkee pisteen (0,2) 4 kautta, niin vakiotermi on b = 2. 3 Suoran yhtälö on y x 2. 4 Vastaus: 3 y x 2 4

39 b) Lasketaan suoran s kulmakerroin suoran pisteiden (1,4) ja (3,0) koordinaattien avulla. y2 y1 0 4 k 2. x x Suoran yhtälö on muotoa y 2x b. Sijoitetaan pisteen (3, 0) koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. 023 b 06b b 6 Suoran yhtälö on y 2x 6. Vastaus: y 2x 6 c) Suora on y-akselin suuntainen. Suoran jokaisen pisteen x-koordinaatti on 3 y-koordinaatista riippumatta, joten suoran yhtälö on x = 3. Vastaus: x = 3

40 228. Sijoitettaessa suoran x 3y = 0 yhtälöön pisteen (3,1) koordinaatit saadaan = 0, joten väite A ja yhtälö II kuuluvat yhteen. Suora x = 5 on y-akselin suuntainen, joten sillä ei ole kulmakerrointa. Väite B ja yhtälö I kuuluvat yhteen. Suora y = 12 on x-akselin suuntainen, joten väite C ja yhtälö IV kuuluvat yhteen. Kun sijoitetaan suoran y = 2x 6 yhtälöön x = 3, saadaan y = = 0. Siis piste (3, 0) on suoralla y = 2x 6, eli suora y = 2x 6 leikkaa x-akselin kohdassa x = 3. Väite D ja yhtälö III kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: I, C: IV ja D: III 229. a) Varjot ja esineen pituudet ovat suoraan verrannolliset, joten esineen korkeuden x ja varjon pituuden y välinen riippuvuus on muotoa y = kx, jossa k on kulmakerroin. Lasketaan kulmakerroin pisteiden (1,2; 2,04) ja (2,2; 3,74) koordinaattien avulla. y2 y1 3,74 2,04 1,70 k 1, 70 x x 2,20 1, Yhtälö on y = 1,70x. Vastaus: y = 1,70x b) Lasketaan varjon pituus sijoittamalla yhtälöön y = 1,70x lipputangon pituus x = 7,0. y = 1,70 7,00 = 11,9 Varjon pituus on 11,9 m. Vastaus: 11,9 m

41 c) Muodostetaan yhtälö varjon pituuden y = 20,0 avulla ja ratkaistaan siitä puun pituus x. 1,70x = 20,0 : 1,70 x = 11,764 x 11,8 Puun pituus on noin 11,8 m. Vastaus: 11,8 m 230. a) Muodostetaan annettujen tietojen avulla taulukko. aika (s) korkeus (m) Lasketaan pisteiden (0,750) ja (40,610) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y k 3,5 x x Suoran vakiotermi on b = 750, koska suora kulkee pisteen (0,750) kautta. Sijoitetaan suoran kulmakerroin k = 3,5 ja vakiotermi b = 750 suoran yhtälöön y = kx + b. Suoran yhtälö y = 3,5x Vastaus: y = 3,5x b) Kulmakerroin 3,5 tarkoittaa, että laskuvarjohyppääjän korkeus vähenee 3,5 metrillä sekunnissa, eli sitä että putoamisnopeus on 3,5 m/s. Vastaus: Putoamisnopeus on 3,5 m/s.

42 c) Hyppääjä saavuttaa maanpinnan, kun korkeus on y = 0 m. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä aika x. 0 = 3,5x ,5x = 750 : 3,5 x = 214, Aikaa kuluu noin 210 s = 3 min 30 s. Vastaus: 3 min 30 s kuluttua VAHVISTA OSAAMISTA 231. Suoran y = 2x + 1 kulmakerroin on 2 ja sijoittamalla x = 1 huomataan, että y = = 3. Vaihtoehto A ja yhtälö III kuuluvat yhteen. Muutetaan suoran y 2x = 5 yhtälö ratkaistuun muotoon y = 2x + 5. Suoran kulmakerroin on 2. Sijoittamalla x = 1 huomataan, että y = 2 ( 1) + 5 = 3. Vaihtoehto B ja yhtälö V kuuluvat yhteen. Suoran y = 2x + 5 kulmakerroin on 2 ja sijoittamalla x = 1 huomataan, että y = = 3. Vaihtoehto C ja yhtälö VI kuuluvat yhteen. Muutetaan suoran 2x + y 1 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon y = 2x + 1. Suoran kulmakerroin on 2. Sijoittamalla x = 1 huomataan, että y = 2 ( 1) + 1 = 3. Vaihtoehto D ja yhtälö IV kuuluvat yhteen. Suoran y = 3 kulmakerroin on 0. Suoran jokaisen pisteen y-koordinaatti on 3, myös silloin kun x-koordinaatti on 1. Piste (1, 3) on siis suoralla. Vaihtoehto E ja yhtälö II kuuluvat yhteen. Suoralla x = 1 ei ole kulmakerrointa ja suoran kaikkien pisteiden x- koordinaatti on 1, myös sen pisteen, jonka y-koordinaatti on 3. Piste ( 1, 3) on siis suoralla x = 1. Vaihtoehto F ja yhtälö I kuuluvat yhteen. Vastaus: A: III, B: V, C: VI, D: IV, E: II ja F: I

43 232. a) Lasketaan suoran kulmakerroin suoran pisteiden ( 1, 2) ja (1, 2) koordinaattien avulla. y2 y1 2 ( 2) 4 k 2 x x 1 ( 1) Suoran yhtälö on muotoa y 2x b. Sijoitetaan pisteen (1,2) koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. 221 b 22b b 0 Suoran yhtälö on y 2x. Vastaus: y 2x 2 7 b) Lasketaan suoran kulmakerroin suoran pisteiden, 3 2 ja 1 2, 2 koordinaattien avulla y2 y k : x x Suoran yhtälö on muotoa y x b. Sijoitetaan pisteen 2, 2 2 koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b b b 2 1 b b 2

44 Suoran yhtälö on 3 5 y x. 2 2 Vastaus: 3 5 y x 2 2 c) Lasketaan suoran kulmakerroin suoran pisteiden ( 3, 4) ja (3, 4) koordinaattien avulla. y2 y k 0 x x 3 ( 3) Suoran yhtälö on muotoa y b. Vakiotermi on b = 4, koska pisteiden ( 3,4) ja (3,4) y-koordinaatti on 4. Suoran yhtälö on y = 4. Vastaus: y = a) Suora on y-akselin suuntainen, koska sillä ei ole kulmakerrointa. Suoran yhtälö on x = 15, koska suora kulkee pisteen (15, 9) kautta. Vastaus: x = 15 b) Muutetaan suoran 4x 2y 3 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon 3 y2x. Kysytty suora on yhdensuuntainen tämän kanssa, joten sen 2 yhtälö on muotoa y 2x b. Sijoitetaan pisteen (2, 5) koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. 522 b b 9 Suoran yhtälö on y = 2x 9. Vastaus: y = 2x 9

45 234. a) Piirretään koordinaatistoon pisteet (2c + 1,4) ja ( 3c + 11, 8), mutta jätetään vakio c määrittämättä. Piirretään pisteiden kautta suora ja määritetään sen kulmakerroin. Muutetaan vakio c sellaiseksi, että suora on y-akselin suuntainen, ja selvitetään suoran yhtälö ohjelman avulla.

46 Vakio c = 2 ja suoran yhtälö on x = 5. Vastaus: c = 2, x = 5 b) y-akselin suuntaisen suoran kaikkien pisteiden x-koordinaatit ovat yhtä suuret. Muodostetaan x-koordinaattien avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä tuntematon vakio c. 2c13c11 2c3c111 5c 10 :5 c 2 Sijoitetaan c = 2 pisteen (2c + 1, 4) x-koordinaatin lausekkeeseen = 5 Koska suoran pisteiden x-koordinaatti on 5, on suoran yhtälö x = 5. Vastaus: c = 2, x = 5

47 235. a) Vaa an lukema (g) Oikea massa (g) Taulukosta havaitaan, että oikea massa on aina 12 g suurempi kuin vaa an lukema, joten funktio f(x) = x + 12 ilmaisee oikean massan, kun muuttuja x on vaa an lukema. Vastaus: f(x) = x + 12 b) Muodostetaan yhtälö funktionlausekkeen ja oikean lukemaan 100 avulla ja ratkaistaan yhtälöstä vaa an lukema x. x + 12 = 100 x = 88 Vastaus: 88 g 236. a) Olkoon x aika päivinä niin, että joulukuun 1. päivänä x = 1. Merkitään jään paksuutta kirjaimella y. Taulukoidaan annetut tiedot. x y Määritetään pisteiden (3, 7) ja (7, 15) kautta kulkevan suoran yhtälö. Lasketaan ensin kulmakerroin pisteiden koordinaattien avulla. y2 y k 2 x x Suoran yhtälö on muotoa y = 2x + b. Sijoitetaan pisteen (3, 7) koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan vakiotermi b. 723b b 1 Suoran yhtälö on y = 2x + 1. Vastaus: y = 2x + 1

48 b) Joulukuun 6. päivänä aika on x = 6. Lasketaan vastaava jään paksuuden y arvo. y = = 13 Jään paksuus oli 13 cm. Vastaus: 13 cm c) Uudenvuodenaattona olisi x = 31 ja jään paksuus olisi mallin mukaan senttimetreinä y = = 63. Jään paksuuden ennustaminen noin kauas on epävarmaa, koska jään paksuuntumisnopeus riippuu sääoloista ja tuulista. Jää saattaa jopa sulaa, jos ei ole pakkasta. Jos jäätä on jo valmiiksi paljon, se alkaa toimia eristeenä, ja paksuuntumisnopeus alkaa pienetä, vaikka olisikin kylmää. Vastaus: ei 237. a) Oletetaan, että alle kilon massaisia kalkkunoita ei paisteta. Koska kalkkunan massasta riippumatta ensimmäinen kilo vaatii paistoaikaa 45 minuuttia = 0,75 tuntia, on suoran vakiotermi b = 0,75. Merkitään kalkkunan massaa kirjaimella x. Ensimmäisen kilon ylittävältä x 1 kilolta paistoaika on 0,5 tuntia per kilo. Kokonaisaika noudattaa suoran yhtälöä y = 0,5(x 1) + 0,75. Sievennetään oikea puoli: 0,5x 0,5 + 0,75 = 0,5x + 0,25. Vastaus: y = 0,5x + 0,25 b) Sijoitetaan suoran yhtälöön kalkkunan massa x = 7,5. y = 0,5 7,5 + 0,25 = 4 Kalkkuna on kypsä 4 tunnin kuluttua. Vastaus: 4 tunnin kuluttua

49 238. Kuten tehtävänannosta käy ilmi, Salo on Helsingin ja Turun kautta kulkevalla suoralla. Merkitään annetut tiedot taulukkoon. Etäisyys Turusta (km) Lämpötila ( C) ,1 0 22,3 Lasketaan pisteiden (165; 17,1) ja (0; 22,3) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y1 22,3 17,1 k 0, x x Suoran vakiotermi b on 22,3, koska suora kulkee pisteen (0; 22,3) kautta. Suoran yhtälö on y = 0,0315 x + 22,3, missä x on etäisyys Turusta kilometreinä. Sijoitetaan suoran yhtälöön Turun ja Salon etäisyys 55 km. y = 0, ,3 = 20,566 20,6 Lämpötila Salossa on 20,6 C. Vastaus: 20,6 C 239. a) Muutetaan aikayksiköt minuuteiksi. km Iisan nopeus 15 km/h = 15 0,25 km/min 60 min m Danin nopeus 2,0 m/s = 2, m/min 0,12 km/min 1 min 60 Danin etäisyys kotoaan x minuutin kuluttua noudattaa suoran yhtälöä y = 0,12x. Iisan etäisyys Danin kotoa on alussa 5,0 km ja etäisyys pienenee 0,25 km/min, joten etäisyys x minuutin kuluttua noudattaa suoran yhtälöä y = 0,25x + 5,0. Vastaus: y = 0,25x + 5,0 ja y = 0,12x

50 b) Kohtaamisaika ja -paikka on luettavissa suorien leikkauspisteen avulla. Ratkaistaan suorien leikkauspiste yhtälöparilla. y 0, 25x5,0 y 0,12x Symbolisen laskennan ohjelma antaa yhtälöparin ratkaisuksi x , , y 1, , 6 37 Leikkauspiste on noin (13,5;1,6). Iisa ja Dan kohtaavat noin 13,5 minuutin kuluttua, Dan on kotoaan noin 1,6 km päässä ja Iisa on kotoaan noin 5,0 km 1,6 km = 3,4 km päässä. Vastaus: 13,5 min, 1,6 km Danin kotoa ja 3,4 km Iisan kotoa

51 240. a) Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa janaa vastaan. Piirretään mallikuva. Jana on y-akselin suuntainen, joten keskinormaali on x-akselin suuntainen. Janan keskipisteen y-koordinaatti on Keskinormaalin kaikkien pisteiden y-koordinaatit ovat yhtä suuria, joten keskinormaalin yhtälö on y = 4. Vastaus: y = 4 b) Videossa https://vimeo.com/ /dfcbe31d72 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus: y = 4

52 241. Tienhaara on suorien leikkauspisteessä. Ratkaistaan suorien leikkauspiste yhtälöparin avulla. 2x3y40 x 2y x3y40 2x 4y y 160 : 7 16 y 7 16 Sijoitetaan y yhtälöön 2x 3y + 4 = 0 ja ratkaistaan x x x x x 7 10 x Tiet eroavat pisteessä, 1,43;2, Pisteiden, ja (4, 1) etäisyys on , eli noin 2,9 km. 7 7

53 Tehtävä voidaan ratkaista myös sopivalla ohjelmalla seuraavasti: Piirretään suorat ja niiden leikkauspiste. Piirretään kuvaan piste (4, 1) ja määritetään suorien leikkauspisteen ja pisteen (4, 1) etäisyys. Vastaus: 1,43;2,29 ja 2,9 km

54 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 242. a) Selvitetään suoran x 3y 4 = 0 kulmakerroin muuttamalla suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x3y40 3y x4 : y x 3 3 Suoran kulmakerroin on 1. Merkitään normaalin kulmakerrointa 3 kirjaimella k. Suoran ja normaalin kulmakertoimien tulo on 1. Ratkaistaan normaalin kulmakerroin yhtälön avulla. 1 k k 3 Normaalin kulmakerroin on 3, joten normaalin yhtälö on muotoa y = 3x + b. Normaali kulkee pisteen ( 2, 3) kautta. Sijoitetaan tämän pisteen koordinaatit normaalin yhtälöön ja ratkaistaan vakiotermi b. y 3xb 332b 36b b 3 Normaalin yhtälö on y = 3x 3. Piirretään kuva. Vastaus: y = 3x 3

55 b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella d. Piirretään mallikuva. Kysytty etäisyys on pisteen (3,2; 6,4) kohtisuora etäisyys suorasta y = 6,5x Etäisyyden d laskemista varten tarvitaan suoran ja sen normaalin leikkauspiste. Muodostetaan ensin suoran normaalin yhtälö. Suoran y = 6,5x kulmakerroin on k 1 = 6,5. Ratkaistaan suoran normaalin kulmakerroin yhtälöstä k 1 k 2 = 1. 6,5 k 2 = 1 : ( 6,5) 2) 1 k2 6,5 2 k Normaalin yhtälö on muotoa y x b. Sijoitetaan pisteen (3,2; 6,4) 13 koordinaatit tähän yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b. 2 y x b 13 6,4 = ,2 + b Symbolisen laskennan ohjelmalla yhtälön ratkaisuksi saadaan b = Normaalin yhtälö on siis y x

56 Lasketaan seuraavaksi suorien y = 6,5x ja leikkauspiste yhtälöparin avulla. y 6,5x y x y x Symbolisen laskennan ohjelman avulla yhtälöparin ratkaisuksi saadaan x, y Lasketaan pisteiden (3,2; 6,4) ja, etäisyys d d x x y y 2 2 d ,2 6, , , , , Koordinaatiston yksikkö on 100 m = 0,1 km, joten kysytty etäisyys on d = 11,677 0,1 km = 1,1677 km 1,2 km. Pyynikin näkötornin etäisyys Hämeenpuistokadusta on noin 1,2 kilometriä. Tarkistetaan piirtämällä sopivalla ohjelmalla. Vastaus: 1,2 km

57 243. Oletetaan, että suoran vakiotermi on 3, jolloin suoran yhtälö on muotoa y = kx + 3. Suora kulkee pisteiden (a + 1, 2) ja (3, 2a) kautta. Muodostetaan näiden avulla yhtälöpari ja ratkaistaan siitä vakio a. 2k a1 3 2a3k3 2ka k 3 2a3k3 :2 1 ka k 3 3 a k 2 2 Sijoitetaan ylempään yhtälöön muuttujalle a lauseke 3 3 a k k 5k k k k k k k k 3k 2k Käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa k k 6 51 k k tai k

58 Lasketaan vastaavat vakion a arvot sijoittamalla kulmakertoimen arvo 3 3 yhtälöön a k Jos k, niin a Jos k = 1, niin a Siis jos a, niin suoran yhtälö on y x Vastaavasti jos a = 0, niin suoran yhtälö on y = x + 3. Vastaus: a = 0 ja y = x + 3 tai 1 a ja 2 2 y x a) Lasketaan pisteiden ( 3, 6) ja (x, y) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y1 y 6 k x x x Vastaus: k y 6 x 3 b) Muokataan yhtälö kysyttyyn muotoon. y 6 k x3 x 3 kx3 y6 y6k x3 y6kx 3 Merkitä (x 0, y 0 ) tarkoittaa mitä tahansa suoralla olevaa pistettä. Tässä se on piste ( 3, 6). Vastaus: y 6 k x 3, (x 0, y 0 ) = ( 3, 6)

59 245. Piirretään mallikuva. Lasketaan suoran y = 3 3x ja positiivisten koordinaattiakseleiden rajaaman kolmion pinta-ala. Suoran vakiotermi on 3, joten suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,3). Suorakulmaisen kolmion korkeus on 3. Lasketaan suoran ja x-akselin leikkauspiste sijoittamalla y = x = 0 x = 1 Kolmion kanta on 1 ja korkeus 3, joten pinta-ala on 13 1,5. 2

60 Koska suora y = kx kulkee origon kautta, on sen oltava nouseva, jotta se leikkaisi kolmion kahtia. Koska suora y = kx jakaa kolmion kahteen pintaalaltaan yhtä suureen osaan, on kolmion OAP pinta-ala oltava 1,5 0,75 2. Kolmion OAP kanta on 1 ja korkeus h saadaan yhtälöstä 1 h 0, h 1,5. Suorien y = kx ja y = 3x + 3 leikkauspisteen y-koordinaatti on siis 1,5. Sijoitetaan y = 1,5 suoran y = 3x + 3 yhtälöön ja ratkaistaan vastaava x-koordinaatti. 1,5 3x3 3x 31,5 3x 1,5 :3 x 0,5 Suorien leikkauspiste on siis (0,5; 1,5). Sijoitetaan sen koordinaatit suoran y = kx yhtälöön ja ratkaistaan kulmakerroin k. 1,5 0,5k k 3 Suoran y = kx kulmakerroin on k = 3. Vastaus: k = 3

61 246. a) Koska Oscar kävelee tasaisella nopeudella, kuvaajana on suora. Ajanhetkellä x = 0 min etäisyys on y = 0 m, joten suora kulkee origon kautta. Ajanhetkellä x = 10 min etäisyys on y = 750 m, joten suoran toinen piste on (10,750). Oscar on kaupassa seuraavat 10 minuuttia, jolloin etäisyys ei kasva ja kuvaaja on vaakasuora. Ajanhetkellä x = 20 min Oscar lähtee paluumatkalle, jolloin etäisyys alkaa pienetä ja ajanhetkellä x = 35 min etäisyys on y = 0 m. Piirretään kuvaaja. b) Lasketaan pisteiden (0,0) ja (10,750) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. y2 y k 75 x x Suora kulkee origon kautta, joten suoran yhtälö on y = 75x. Pisteiden (10,750) ja (20,750) kautta kulkeva suora on vaakasuora ja sen yhtälö on y = 750.

62 Pisteiden (20,750) ja (35,0) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on y2 y k 50. x x Suoran yhtälö on muotoa y 50x b 35,0 koordinaatit suoran yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakiotermi b b b 1750 Suoran yhtälö on y 50x Vastaus: y = 75x, y = 750 ja y = 50x Sijoitetaan pisteen c) Ensimmäinen yhtälö y = 75x on voimassa ajanhetkestä 0 ajanhetkeen 10 eli välillä [0,10]. Toinen yhtälö y = 750 on voimassa ajanhetkestä 10 ajanhetkeen 20 eli välillä [10,20]. Kolmas yhtälö y = 50x on voimassa ajanhetkestä 20 ajanhetkeen 35 eli välillä [20,35]. Vastaus: y = 75x, [0,10] ja y = 750, [10,20] sekä y = 50x , [20,35]

63 2.3 Aritmeettinen lukujono mallina ALOITA PERUSTEISTA 247. a) Koska lukujonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku 4, niin erotusluku on d = 4. Vastaus: d = 4 b) Luvun 2 vähentäminen on luvun 2 lisäämistä. Erotusluku on siis 2. Vastaus: d = a) Erotusluku on d = 6 1 = 5. Puuttuvat jäsenet ovat siis = 16 ja = 21. Vastaus: puuttuvat jäsenet 16 ja 21, erotusluku 5 b) Erotusluku on d = 4 2 = 6. Puuttuvat jäsenet ovat siis 20 + ( 6) = 14 ja 14 + ( 6) = 8. Vastaus: puuttuvat jäsenet 14 ja 8, erotusluku a) Lukujonon jäsen saadaan sijoittamalla jäsenen järjestysluku yleisen jäsenen lausekkeeseen a n = 7n 9 muuttujan n paikalle. a 4 = = 28 9 = 19 a 5 = = 35 9 = 26 Vastaus: a 4 = 19 ja a 5 = 26 b) Neljännen ja viidennen jäsenen laskemista varten lasketaan ensin lukujonon erotusluku d. d = a 2 a 1 = 1 4 = 5. Neljäs jäsen saadaan lisäämällä kolmanteen jäseneen erotusluku d. a 4 = a 3 + d = 6 + ( 5) = 6 5 = 11

64 Viides jäsen saadaan lisäämällä neljänteen jäseneen erotusluku d. a 5 = a 4 + d = 11 + ( 5 ) = 11 5 = 16 Vastaus: a 4 = 11 ja a 5 = 16 c) Sijoitetaan lukujonon yleisen jäsenen a n = a 1 + (n 1) d lausekkeeseen ensimmäinen jäsenen a 1 = 3 ja erotusluku d = 4. a n = a 1 + (n 1) d a n = 3 + (n 1) 4 Neljäs jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 4 muuttujan n paikalle. a 4 = 3 + (4 1) 4 = = = 15 Viides jäsen saadaan sijoittamalla järjestysluku 5 muuttujan n paikalle. a 5 = 3 + (5 1) 4 = = = 19. Vastaus: a 4 = 15 ja a 5 = 19 d) b-kohdan lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 4 ja erotusluku d = 5, joten lukujonon yleinen jäsen on a n = 4 + (n 1) ( 5) = 4 5n + 5 = 5n + 9. c-kohdan lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 3 ja erotusluku d = 4, joten lukujonon yleinen jäsen on a n = 3 + (n 1) 4 = 3 + 4n 4 = 4n 1. Vastaus: a n = 5n + 9 ja a n = 4n 1

65 250. Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen on a n = a 1 + (n 1) d, jossa a 1 on ensimmäinen jäsen ja d erotusluku. a) Koska yleinen jäsen on a n = 4 + (n 1) ( 3), niin lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 4, ja väite on väärin. Vastaus: väärin, a 1 = 4 b) Koska yleinen jäsen on an = 4 + (n 1) ( 3), niin erotusluku on d = 3. Väite on siis väärin. Vastaus: väärin, d = 3 c) Koska erotusluku on d = 3, niin lukujonon jäsen saadaan, kun edellisestä jäsenestä vähennetään luku 3. Väite on siis oikein. Vastaus: oikein d) Lasketaan, kuinka mones lukujonon jäsen luku 14 on. 4n n n 14 3n 147 3n 21 : 3 n 7 Koska luku 14 on lukujonon 7. jäsen, väite on väärin. Vastaus: väärin, seitsemäs 251. a) Lasketaan a 5. a 5 = = 69 Tulos tarkoittaa, että viidennellä harjoituskerralla osallistujia oli 69. Vastaus: a 5 = 69, viidennellä kerralla 69 osallistujaa b) Ratkaistaan yhtälö a n = 17.

66 79 2n 17 2n n 62 : 2 n 31 Tulos tarkoittaa, että 31. kerralla osallistujia oli 17. Vastaus: n = 31, 17 osallistujaa 31:nnellä kerralla 252. a) Lasketaan ensin lahjoittajien määrä helmikuussa soluviittauksen avulla. Kopioidaan soluviittaus sitten seuraaville riveille.

67 Lahjoittajia on joulukuussa 23. Vastaus: 23 lahjoittajaa b) Lasketaan ensin soluviittauksen avulla, kuinka paljon rahaa lahjoitetaan helmikuussa. Kopioidaan soluviittaus sitten seuraaville riveille.

68 Joulukuussa lahjoitetaan 115 euroa. Vastaus: 115 euroa c) Lasketaan lahjoitusten summa appletin avulla. Vastaus: 720 euroa

69 VAHVISTA OSAAMISTA 253. a) Ensimmäisen hyllyn korkeus senttimetreinä on lukujonon ensimmäinen jäsen. a 1 = = 62 Ensimmäisen hyllyn korkeus on 62 cm. Viidennen hyllyn korkeus senttimetreinä on lukujonon viides jäsen. a 5 = = 254 Viidennen hyllyn korkeus on 254 cm. Vastaus: 62 cm ja 254 cm b) Peräkkäisten hyllyjen korkeusero senttimetreinä on aritmeettisen jonon a n erotusluku d = 48. Vastaus: 48 cm c) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka mones lukujonon a n jäsen on 3,5 m eli 350 cm n n n n n 336 : 48 n 7 Seitsemäs hylly on 3,5 metrin korkeudella. Vastaus: seitsemäs

70 254. a) Kuvio saadaan edellisestä kuviosta lisäämällä kuvion vasempaan reunaan kolme laatta. Piirretään kaksi seuraavaa kuviota. Vastaus: b) Koska kuvioon lisätään aina yhtä monta laattaa seuraavan kuvion saamiseksi, niin kuvioiden laattojen määrät muodostavat aritmeettisen jonon 1, 4, 7, Jonon ensimmäinen jäsen a 1 = 1 ja erotusluku d = 3. Jonon yleinen jäsen on siis a n = 1 + (n 1) 3 = 1 + 3n 3 = 3n kuvion laattojen määrä on jonon 10. jäsen a 10. a 10 = = kuviossa on 28 laattaa. Vastaus: 28 c) Tutkitaan yhtälön avulla, onko luku 300 lukujonon a n jäsen. 3n n 302 :3 n 100, ,666 ei ole kokonaisluku, joten luku 300 ei ole lukujonon a n jäsen. Missään kuviossa ei ole tasan 300 laattaa. Vastaus: ei

71 255. a) Koska Auroran puntien määrä vähenee joka päivä saman verran, niin puntien määrien muodostama lukujono on aritmeettinen. Vastaus: koska puntien määrä vähenee joka päivä saman verran b) Koska puntien määrä vähenee joka päivä 30:llä, niin lukujonon erotusluku on d = 30. Ensimmäisen päivän jälkeen Auroralla on jäljellä = 210 puntaa, joten lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 210. Sijoitetaan aritmeettisen lukujonon yleisen jäsenen lausekkeeseen ensimmäinen jäsen a 1 = 210 ja erotusluku d = 30. a n = a 1 + (n 1) d a n = (n 1) ( 30) a n = n + 30 a n = n Vastaus: a n = n c) Lasketaan lukujonon viides jäsen a 5. a 5 = = 90 Viidennen päivän jälkeen Auroralla on jäljellä 90 puntaa. Vastaus: a 5 = 90, viidennen päivän jälkeen Auroralla on 90 puntaa d) Ratkaistaan yhtälö a n = n 0 30n 240 : 30 n 8 Auroran punnat loppuvat kahdeksantena päivänä. Vastaus: n = 8, Auroran punnat loppuvat 8. päivänä

72 256. Säännön A mukaan lukujonon ensimmäinen jäsen on 2 ja erotusluku 3. Havainnollistuksen II mukaan lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 2, 5, 8 ja 11 eli säännön A mukaiset. Sääntö A ja havainnollistus II kuuluvat yhteen. Lasketaan säännön B mukaisia lukujonon ensimmäisiä jäseniä. a 1 = = 1 a 2 = = 1 a 3 = = 3 a 4 = = 5 Havainnollistuksen I mukaan lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat 1, 1, 3 ja 5, eli säännön B mukaiset. Sääntö B ja havainnollistus I kuuluvat yhteen. Säännön C mukaan lukujonon ensimmäinen jäsen on 3, ja jäsen lasketaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku 2. Lukujonon ensimmäiset jäsenet ovat siis 3, 5, 7 ja 9, eli samat kuin havainnollistuksessa III. Sääntö C ja havainnollistus III kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: I ja C: III 257. a) Havainnollistuksen mukaan lukujonen neljäs jäsen on a4 = 2 ja viides jäsen a 5 = 4. Erotusluku on tällöin d = a 5 a 4 = 4 ( 2) = 2. Vastaus: d = 2 b) Koska lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 4 ja erotusluku d = 2, niin toinen jäsen on a 2 = 4 + ( 2) = 2 ja kolmas jäsen a 3 = 2 + ( 2) = 0. Vastaus: a 2 = 2, a 3 = 0 c) Koska lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 4 ja erotusluku d = 2, niin yleinen jäsen on a n = 4 + (n 1) ( 2) = 4 2n + 2 = 6 2n. Vastaus: a n = 6 2n

73 d) Koska lukujonon yleinen jäsen on an = 6 2n, niin 45. jäsen on a 45 = = 84. Vastaus: a 45 = a) Lukujonon ensimmäinen jäsen on 3, ja jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen 3. Viisi ensimmäistä jäsentä ovat siis 3, 6, 9, 12 ja 15. Vastaus: 3, 6, 9, 12 ja 15 b) Muodostetaan lukujonon analyyttinen sääntö. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 3. Jonon jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku 3, joten jono on aritmeettinen ja sen erotusluku on d = 3. Sijoitetaan nämä tiedot aritmeettisen jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen. a n = a 1 + (n 1) d a n = 3 + (n 1) 3 a n = 3 + 3n 3 a n = 3n Lukujonon analyyttinen sääntö on a n = 3 + (n 1) 3 = 3n. Vastaus: a n = 3n c) Merenpinnan kokonaisnousu 20 vuodessa on lukujonon 20. jäsen. a 20 = 3 20 = 60 Merenpinta nousee 20 vuodessa 60 mm. Vastaus: 60 mm

74 d) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka mones lukujonon jäsen on 10 cm = 100 mm. 3n n 3 n 33, Tulos on pyöristettävä ylöspäin, koska 33 vuotta ei vielä ihan riitä. Merenpinta on noussut 100 mm 34 vuoden kuluttua. Vastaus: 34 vuoden kuluttua 259. a) Tilannetta A kuvaa aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen jäsen on a 1 = 2500 ja erotusluku d = 100. Lukujono I on tällainen. Muokkaamalla yhtälö a n a n 1 = 100 muotoon a n = a n nähdään, että lukujonon IV jäsen saadaan lisäämällä edelliseen jäseneen luku 100. Koska lukujonon IV ensimmäinen jäsen on a 1 = 2500, niin myös lukujono IV kuvaa tilannetta A. Tilannetta B kuvaa aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen jäsen on a 1 = 2500 ja erotusluku d = 100. Muokkaamalla yhtälö a n = 2500 (n 1) 100 muotoon a n = (n 1) ( 100) nähdään, että lukujono VI kuvaa tilannetta B. Tilannetta C kuvaa aritmeettinen lukujono, jonka ensimmäinen jäsen on a 1 = 100 ja erotusluku d = Lukujono II on tällainen. Toisaalta lukujonon analyyttinen sääntö on a n = (n 1) 2500 = n 2500 = 2500n 2400, joka on lukujonon III sääntö. Siis lukujonot II ja III kuvaavat tilannetta C. Vastaus: A: I ja IV, B: VI, C: II ja III

75 b) Lukujono V jäi käyttämättä. Sen ensimmäinen jäsen on 100 ja erotusluku 2500, eli se kuvaa tilannetta, jossa kunnassa on 100 asukasta ja asukasluku vähenee vuodessa 2500:lla, mikä tietenkin on tilanteena mahdoton. Vastaus: V, asukasluku on 100 ja vähenee vuosittain 2500:lla 260. a) Muodostetaan lukujono a n, jonka jäsenen järjestysluku on tilattujen vihkojen määrä ja jäsen on tilauksen hinta. Koska vihkojen kappalehinta on vakio, lukujono on aritmeettinen. Lukujonon yleinen jäsen on siis a n = a 1 + (n 1) d. Tehtävänannon tietojen perusteella a8 = 14,5 ja a11 = 18,1. Koska a 11 = a 8 + 3d, niin saadaan yhtälö 18,1 = 14,5 + 3d. Ratkaistaan tästä yhtälöstä erotusluku d. 18,1 14,5 3d 3d 3,6 :3 d 1, 2 Koska erotusluku on 1,2, niin yhden vihkon hinta ilman toimituskuluja on 1,20 euroa. Vastaus: 1,20 b) Sijoitetaan jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen erotusluku d = 1,2, kahdeksannen jäsenen järjestysluku n = 8 ja jäsenen arvo a 8 = 14,5 ja ratkaistaan yhtälöstä ensimmäinen jäsen a 1. 1 an a1 n1 d 14,5 a ,2 14,5 a1 7 1,2 14,5 a1 8,4 a1 14,5 8,4 a 6,1

76 Lukujonon ensimmäinen jäsen on 6,1, eli yksi vihko toimituskuluineen maksaa 6,10 euroa. Vihkon hinta ilman toimituskuluja on 1,20 euroa, joten toimituskulut ovat 6,10 1,20 = 4,90. Vastaus: 4,90 c) 15 vihkon hinta toimituskuluineen on lukujonon 15. jäsen. Lukujonon yleinen jäsen on a n = a 1 + (n 1) d = 6,1 + (n 1) 1,2 ja viidestoista jäsen on a 15 = 6,1 + (15 1) 1,2 = 22,9 15 vihkoa toimituskuluineen maksaa 22,90 euroa. Vastaus: 22, a) Videossa https://vimeo.com/ /47123ac766 näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus:

77 b) Irtoherneiden kilohinta saadaan jakamalla hinta painolla. 3, ,1 kg kg Torilta ostettujen herneiden kilohinta on suurempi kuin naudan sisäfileen kilohinta 25 /kg. Vastaus: Herneiden kilohinta on 35 /kg. Se on suurempi kuin naudan sisäfileen kilohinta Kahden ensimmäisen hypyn jälkeen ollaan lähtöpisteessä. Kolmella seuraavalla hypyllä edetään 3 30 cm = 90 cm. Viidellä ensimmäisellä hypyllä edetään siis yhteensä 90 cm = 0,9 m. Lukujonon a n = 0,9n jäsen a n ilmoittaa, kuinka monen metrin päässä lähtöpisteestä ollaan, kun on tehty n kpl viiden hypyn sarjoja. Matkaa on yhteensä 15,60 metriä. Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka monta viiden hypyn sarjaa tähän matkaan tarvitaan. 0,9n = 15,6 : 0,9 n = 17,33 18 viiden hypyn sarjan jälkeen jonon ensimmäinen tanssija olisi jo ohittanut salin päädyn. 17 viiden hypyn sarjan jälkeen hän on kulkenut 17 0,9 m = 15,3 m. Matkaa on tuolloin jäljellä 0,3 m eli yhden hypyn verran. Hyppyjä tarvitaan yhteensä = 86. Vastaus: 86. hypyn

78 263. a) Muodostetaan lukujono a n, jonka jäsen on paikkojen lukumäärä rivillä, jonka järjestysluku on n. Ensimmäisellä rivillä on 30 paikkaa, joten lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 30. Koska ylöspäin mentäessä kullekin riville sopii aina viisi ihmistä enemmän kuin edelliselle, niin lukujono on aritmeettinen ja sen erotusluku on d = 5. Lukujonon 25. jäsen on a 25 = 30 + (25 1) 5 = 150, joten viimeisellä rivillä on 150 paikkaa. Vastaus: 150 b) Määritetään taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon 25 ensimmäisen jäsenen summa. Katsomossa on yhteensä 2250 paikkaa. Vastaus: 2250 c) Jos viimeistä riviä ei lasketa, niin katsomossa on paikkoja = Toiseksi viimeisen rivin viimeisen paikan paikkanumero on siis 2100, joten viimeisen rivin ensimmäisen paikan paikkanumero on Vastaus: 2101

79 264. a) Jokaisessa rivissä on kaksi kukkaa enemmän kuin edellisessä rivissä, joten rivien kukkien lukumäärät muodostavat aritmeettisen lukujonon 18, 20, 22, Lasketaan jonon 23:n ensimmäisen jäsenen summa taulukkolaskentaohjelmalla. Valmiissa asetelmassa on 920 kukkaa. Vastaus: 920 kukkaa b) Viimeisten 13:n rivin sinisten kukkien määräksi saadaan taulukkolaskentaohjelmalla 650. Vastaus: 650 sinistä kukkaa

80 265. a) Askelmien nousut ovat yhtä suuria, joten askelmien korkeudet lähtötasoon nähden muodostavat aritmeettisen lukujonon. Lukujonon erotusluku d on peräkkäisten askelmien välinen korkeusero. Ratkaistaan se 240. askelman korkeuden avulla. a d 0, Ensimmäinen askelma on siis 0,15 metrin korkeudella lähtötasosta. Muodostetaan lukujonon analyyttinen sääntö ensimmäisen jäsenen a 1 = 0,15 ja erotusluvun d = 0,15 avulla. a n = 0,15 + (n 1) 0,15 = 0,15 + 0,15n 0,15 = 0,15n Lukujonon analyyttinen sääntö on a n = 0,15n. Vastaus: a n = 0,15n b) Portaiden viimeisen askelman korkeus lähtötasoon nähden on lukujonon 310. jäsen. a 310 = 310 0,15 = 46,5 Kun urheilija juoksee portaat kerran alhaalta ylös, nousua tulee 46,5 metriä. Yhdessä harjoituksessa juoksumetrejä tulee yhteensä 10 46,5 m = 465 m. Vastaus: 465 m

81 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 266. Muodostetaan lukujono, jonka jäsenet ovat pylväiden etäisyyksiä lähtöpisteestä. Viides jäsen a 5 = 230 ja 21. jäsen a 21 = Koska pylväät ovat tasavälein, lukujono on aritmeettinen. Muodostetaan lausekkeet 5. ja 21. jäsenelle yleisen jäsenen avulla ja ratkaistaan yhtälöparista ensimmäinen jäsen a 1 ja erotusluku d. a5 a14d a21 a1 20d 230 a1 4d a1 20 d 230 a1 4d 1030 a1 20d a14d a120d d :16 d 50 Sijoitetaan erotusluku d = 50 yhtälöön 230 = a 1 + 4d ja ratkaistaan siitä lukujonon ensimmäinen jäsen a = a = a a 1 = 30 Ensimmäinen jäsen on siis 30, eli ensimmäisen pylvään etäisyys lähtöpisteestä on 30 m. Sijoitetaan a 1 = 30 ja d = 50 yleisen jäsenen lausekkeeseen. a n = 30 + (n 1) 50 = n 50 = 50n 20 Viimeisen pylvään etäisyys lähtöpisteestä metreinä on a 30 = = Viimeisen pylvään etäisyys päätepisteestä on 1500 m 1480 m = 20 m. Vastaus: ensimmäisen pylvään etäisyys lähtöpisteestä 30 m, viimeisen pylvään etäisyys päätepisteestä 20 m

82 267. Selvitetään yhtälöiden ratkaisemiseksi lukujonojen analyyttiset säännöt. Tiedetään, että a 2 = 13 ja a 5 = 28. Sijoitetaan nämä tiedot aritmeettisen jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen a n = a 1 + (n 1) d ja ratkaistaan saadusta yhtälöparista erotusluku d. 13 a1 2 1 d 28 a1 5 1d 13 a1 d 1 28 a1 4d 13 a1 d 28 a1 4d 15 3 d :3 d 5 Sijoitetaan d = 5 yhtälöön 13 = a 1 + d ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen a a1 5 a a 8 1 Lukujonon a n yleinen jäsen on a n = 8 + (n 1) 5 = 8 + 5n 5 = 5n + 3. Tiedetään, että b 2 = 8 ja b 5 = 26. Sijoitetaan nämä tiedot aritmeettisen jonon yleisen jäsenen lausekkeeseen b n = b 1 + (n 1) d ja ratkaistaan saadusta yhtälöparista erotusluku d. 8a1 21 d 26 a1 5 1d 8a1 d 1 26 a1 4d 8 a1 d 26 a1 4d 18 3 d :3 d 6

83 Sijoitetaan d = 6 yhtälöön 8 = b 1 + d ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen a 1. 8b1 6 b1 86 b 2 1 Lukujonon b n yleinen jäsen on b n = 2 + (n 1) 6 = 2 + 6n 6 = 6n 4. a) Ratkaistaan yhtälö a n = b n. 5n36n4 5n6n43 n 7 n 7 Aava ja Bertha ovat suorittaneet seitsemän jakson jälkeen yhtä monta kurssia. Vastaus: n = 7, Aava ja Bertha ovat suorittaneet seitsemän jakson jälkeen yhtä monta kurssia b) Ratkaistaan yhtälö b n a n = 5 6n45n3 5 6n45n35 n 75 n 5 7 n 12 Berta on suorittanut 12 jakson jälkeen viisi kurssia enemmän kuin Aava. Vastaus: n = 12, Berta on suorittanut 12 jakson jälkeen viisi kurssia enemmän kuin Aava

84 c) Ratkaistaan yhtälö b n 1 = a n. 6n1 45n3 6n645n3 6n105n3 6n5n310 n 13 Kun n = 13, niin n 1 = 13 1 = 12. Berta on suorittanut 12 jakson jälkeen yhtä monta kurssia kuin Aava 13 jakson jälkeen. Vastaus: n = 13, Berta on suorittanut 12 jakson jälkeen yhtä monta kurssia kuin Aava 13 jakson jälkeen 268. a) Kerroksien pylväsryhmien lukumäärät muodostavat lukujonon 4, 8, 12, Lukujonon seuraava jäsen saadaan aina lisäämällä edelliseen jäseneen luku 4, joten lukujono on aritmeettinen. Neliössä on 20 kerrosta, joten pylväsryhmien yhteismäärä saadaan laskemalla lukujonon 20 ensimmäisen jäsenen summa. Taulukoidaan taulukkolaskentaohjelmalla lukujonon 20 ensimmäistä jäsentä ja lasketaan niiden summa. Neliössä on 840 pylväsryhmää. Vastaus: 840 b) Yhdessä neliössä on 20 kerrosta, joten 20 pylvästä on korvattu 3 ketjusilmukalla. Yhdessä neliössä on 840 pylväsryhmää, joista edellä mainittuja kahtakymmentä lukuun ottamatta on kussakin 3 pylvästä. Pylväitä on siis yhdessä neliössä = 2500 ja kahdessa neliössä = Vastaus: 5000

85 269. a) Lukujonon jäsen a n on edellisen jäsenen a n 1 ja sitä edellisen jäsenen a n 2 keskiarvo. Lukujonon rekursiivinen sääntö on a 1 = 100, a 2 = 50 ja an1 an an 2, kun n = 3, 4, 5, 2 Vastaus: a 1 = 100, a 2 = 50 ja a a kun n = 3, 4, 5, 2 n1 n an 2, b) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten erotuksia. a 2 a 1 = = 50 a 3 a 2 = = 25 Erotukset eivät ole yhtä suuret, joten lukujono ei ole aritmeettinen. Vastaus: ei ole c) Lasketaan lukujonon jäseniä taulukkolaskentaohjelmalla. Seitsemäs hinta oli 67,19 euroa. Vastaus: 67,19

86 270. a) Muodostetaan lukujono, jonka jäsen a n on Elsan ratkaisemien matematiikan tehtävien lukumäärä tammikuun n:ntenä päivänä. Lukujonon ensimmäinen jäsen on a 1 = 3. Koska Elsa ratkaisee seuraavana päivänä aina yhden tehtävän enemmän kuin edellisenä, lukujono on aritmeettinen ja sen erotusluku on d = 1. Elsan tammikuun 31. päivänä ratkaisemien tehtävien määrä on a 31 = 3 + (31 1) 1 = 33. Tammikuun aikana laskettavien tehtävien määrä on lukujonon 31:n ensimmäisen jäsenen summa. Summa lasketaan kertomalla yhteenlaskettavien määrä ensimmäisen ja viimeisen yhteenlaskettavan keskiarvolla. Yhteenlaskettavia on 31. Ensimmäinen ja viimeinen 3 33 yhteenlaskettava ovat 3 ja 33, joten summa on Vastaus: 558 b) Seuraavassa tukkikerroksessa on aina yksi tukki vähemmän kuin edellisessä kerroksessa, joten tukkien lukumäärät muodostavat aritmeettisen lukujonon 31, 30, 29, Lukujonon ensimmäinen jäsen on siis a 1 = 31 ja erotusluku d = 1. Lukujonon yleinen jäsen on a n = 31 + (n 1) ( 1) = 31 n + 1 = 32 n. Pinossa on yhteensä 196 tukkia. Tämä määrä on yhtä suuri kuin lukujonon n:n ensimmäinen jäsenen summa. Summan ensimmäinen yhteenlaskettava on 31, yhteenlaskettavien lukumäärä n ja viimeinen yhteenlaskettava 32 n. Aritmeettisen jonon peräkkäisten jäsenten summa voidaan kirjoittaa a1 a muodossa n n, jossa n on yhteenlaskettavien lukumäärä, a 1 on 2 ensimmäinen yhteenlaskettava ja a n on viimeinen yhteenlaskettava. Muodostetaan tämän lausekkeen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä yhteenlaskettavien lukumäärä n.

87 31 32 n n n n n 63 n nn n 63n Sijoitetaan yhtälön kertoimet a = 1, b = 63 ja c = 392 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. 2 b b 4ac n 2a n n n n n 2 tai 2 n = 7 tai n = 56 Tukkien määrä ylimmässä kerroksessa on lukujonon 7. tai 56. jäsen. a 7 = 31 + (7 1) ( 1) = 25 a 56 = 31 + (56 1) ( 1) = 24 Tukkien lukumäärä ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisu n = 56 hylätään. Ylimmässä kerroksessa on siis 25 tukkia. Vastaus: 25

88 271. a) Spagetit ovat tasamittaisia, joten reiän pinta-ala on suoraan verrannollinen syöjien määrään. Kolmen hengen annoksen reiän pintaala on 11,4 cm 2, joten yhden hengen annoksen reiän pinta-ala on 2 11,4 cm 2 3,8 cm. n henkilön annoksen reiän pinta-ala on 3,8n cm 2. 3 Vastaus: a n = 3,8n b) Lasketaan ensin viiden hengen annoksen reiän pinta-ala: a 5 = 3,8 5 = 19. Muodostetaan yhtälö ympyrän pinta-alan avulla ja ratkaistaan siitä säde r. 2 r 19 : 2 19 r 19 r Reiän halkaisija d on Vastaus: 4,9 cm c) Reiän pinta-ala on a n = 3,8n. 19 2r 2 4, ,9. Muodostetaan yhtälö ympyrän pinta-alan avulla ja ratkaistaam siitä säde r. 2 r 3,8 n : 2 3,8n r r 3,8n Reiän halkaisija d on 2r 2 3,8n 2, n 2,2 n. Vastaus: 2,2 n cm

89 2.4 Lineaarisen mallin sovittaminen ALOITA PERUSTEISTA 272. a) Mallin mukaan sikojen määrä miljoonina on y = 11,35x 21835,09, missä x on vuosi. Vuonna 2020 sikojen määrä on mallin mukaan miljoonina 11, ,09 = 1091, Sikoja on noin 1090 miljoonaa. Vastaus: 1090 miljoonaa b) Sijoitetaan yhtälöön y = 11,35x 21835,09 sikojen määrä miljoonina y = 1200 ja ratkaistaan kulunut aika x. y11,35x21835, ,35x 21835,09 11,35x 21835, ,35x 23035,09 : 11,35 x 2029, Sikojen määrä ylittää 1200 miljoonaa noin vuonna Vastaus: vuonna 2030

90 273. Videossa https://vimeo.com/ /9c f näytetään, miten tehtävä voidaan ratkaista sopivalla ohjelmalla. Vastaus: y = 1,05x + 2, a) Sokeriruo on tuotanto mallin mukaan nähdään kuvassa olevasta suorasta. Piste (2008, 1600) on suoralla, joten sokeriruo on tuotanto oli mallin mukaan vuonna 2008 noin 1600 miljoonaa tonnia.väite on oikein. Vastaus: oikein b) Sokeriruo on todellinen tuotanto, ei siis mallin mukainen, nähdään kuvassa olevista pisteistä. Kuvassa on piste (2008, 1750), joten sokerin tuotanto vuonna 2008 oli noin 1750 miljoonaa tonnia. Väite on siis väärin. Vastaus: väärin c) Mallissa tuotanto y riippuu vuodesta x yhtälön y = 60,52x ,98 mukaisesti. Suoran kulmakerroin on 60,52, joten mallin mukaan sokeriruo on tuotanto kasvaa 60,52 miljoonalla tonnilla vuosittain. Jos luku pyöristetään kymmenien tarkkuuteen, niin saadaan vuosikasvuksi noin 60 miljoonaa tonnia, joten väitteen voidaan tulkita olevan oikein. Vastaus: oikein

91 d) Malli on ennuste, joka pitää likimain paikkansa, jos kehitys jatkuu samanlaisena kuin ennen. Ennuste ei anna varmaa tietoa. Vastaus: väärin e) Lasketaan kokeeksi mallin mukainen sokeriruo on tuotanto esimerkiksi vuonna y = 60, ,98 = 1113,02 Mallin mukaan vuonna 2000 tuotettiin sokeriruokoa noin 1100 miljoonaa tonnia, joten väite on väärin. Vastaus: väärin 275. a) Vuosien kehitystä kuvaa suora y = 4,37x 8694,13, missä x on vuosi ja y työttömyysprosentti. Vuonna 2000 työttömyysprosentti olisi mallin mukaan ollut 4, ,13 = 45,87 eli noin 46. Vastaus: 46 b) Vuosien kehitystä kuvaa suora y = 1,06x ,3, missä x on vuosi ja y työttömyysprosentti. Ratkaistaan yhtälön avulla, minä vuonna työttömyysprosentti olisi ollut nolla. 0 1,06x 2123,3 1,06x 2123,3 :1,06 x 2003, Mallin mukaan työttömyys olisi loppunut täysin vuonna Vastaus: vuonna 2003

92 276. Sovitetaan pisteisiin suorat. Naisten eliniänodotetta kuvaa suora y = 0,2022x 323,151 ja miesten eliniänodotetta suora y = 0,2679x 461,6679. Sijoittamalla vuosi x = 2030 suorien yhtälöihin saadaan mallin mukainen eliniänodote vuonna 2030 syntyville tytöille ja pojille. Naiset: y = 0, ,151 = 87,315 Miehet: y = 0, ,6679 = 82,1691

93 Vuonna 2030 syntyvän tytön eliniänodote on mallin mukaan noin 87 vuotta ja pojan noin 82 vuotta. Vastaus: naiset y = 0,2022x 323,151, miehet y = 0,2679x 461,6679, tytöt 87 vuotta, pojat 82 vuotta VAHVISTA OSAAMISTA 277. Siirretään appletin suora kulkemaan silmämääräisesti havaintopisteiden kautta. Mallin mukaan tuotanto y (miljoonina tonneina) riippuu vuodesta x yhtälön y = 2,3x 4566,19 mukaisesti. Lasketaan mallin mukainen palmuöljyn tuotanto vuonna y = 2, ,19 = 79,81 Palmuöljyn tuotanto on mallin mukaan noin 80 miljoonaa tonnia.

94 Sovitetaan appletin valmiin toiminnon avulla pisteisiin suora. Sovitetun suoran yhtälö on y = 2,28x 4544,79. Lasketaan tämän mallin mukainen palmuöljyn tuotanto vuonna y = 2, ,79 = 60,81. Mallin mukaan palmuöljyn tuotanto on vuonna 2020 noin 61 miljoonaa tonnia. Vastaus: silmämääräisesti y = 2,3x 4566,19 ja 80 miljoonaa tonnia, automaattisella toiminnolla y = 2,28x 4544,79 ja 61 miljoonaa tonnia

95 278. Sovitetaan pisteisiin suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,47x + 857,12. a) Lasketaan mallin mukainen hiilijalanjälki henkilölle, jonka kulutusmenot ovat euroa vuodessa. y = 0, ,12 = ,12 Mallin mukaan henkilön hiilijalanjälki on noin kg CO 2. Vastaus: kg CO 2 b) Ratkaistaan yhtälön avulla, kuinka suuret kulutusmenot ovat mallin mukaan henkilöllä, jonka hiilijalanjälki vastaa 5000 kg:n hiilidioksidipäästöjä ,47x 857, ,12 0,47x 0,47x 4142,88 : 0,47 x 8814, Henkilön kulutusmenot ovat noin 8800 euroa vuodessa. Vastaus: 8800

96 279. Sovitetaan suora pistejoukkoon silmämääräisesti. Suoran yhtälö on y = 0,68x + 56,31. a) Lasketaan sellaisen ihmisen pituus, jonka kärkiväli on 215 cm. y = 0, ,31 = 202,51. Jos ihmisen käsien kärkiväli on 215 cm, niin hän on mallin mukaan noin 203 cm pitkä. Vastaus: esim. 203 cm b) Lasketaan 150 cm pitkän ihmisen käsien kärkiväli , 68x 56,31 0,68x ,31 0,68x 93,69 : 0,68 x 137, cm pitkän ihmisen käsien kärkiväli on noin 138 cm. Vastaus: esim. 138 cm

97 c) Sovitetaan pistejoukkoon suora appletin automaattisella toiminnolla. Suoran yhtälö on y = 0,75x + 42,94. Lasketaan a- ja b-kohtien tulokset tämän mallin mukaan. y = 0, ,94 = 204,19 Ihminen, jonka käsien kärkiväli on 215 cm, on mallin mukaan noin 204 cm pitkä. Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin a-kohdassa ,75x 42,94 0,75x ,94 0,75x 107,06 : 0,75 x 142, cm pitkän ihmisen käsien kärkiväli on mallin mukaan noin 143 cm. Tulos on samaa suuruusluokkaa kuin b-kohdassa. Vastaus: 204 cm ja 143 cm

98 280. a) Merkitään pisteitä kuvaajalle. Sovitetaan pisteisiin suora. Suora kulkee melko hyvin pisteiden kautta vuodesta 1980 alkaen, sitä ennen epätarkemmin. Appletti antaa suoran yhtälöksi y = 1,1x 2129,02.

99 Vastaus: y = 1,1x 2129,02 b) Kirja on kirjoitettu vuonna 2016, joten lasketaan kulutus vuonna Mallin mukainen öljyn kulutus lasketaan sijoittamalla suoran yhtälöön y = 1,1x 2129,02 luvun x paikalle y = 1, ,02 = 88,58 Mallin mukaan öljyn kulutus oli vuonna 2016 noin 89 miljoonaa barrelia päivässä. Todellinen kulutus vuonna 2015 oli noin 95 miljoonaa barrelia päivässä (http://www.oil.fi/fi/ajankohtaista/ukk, luettu ), eli hieman enemmän kuin malli ennusti. Vastaus: 89 miljoonaa barrelia päivässä (2016)

100 281. a) Kopioidaan taulukon tiedot sopivaan ohjelmaan ja vähennetään jokaisesta vuosiluvusta luku Luodaan pistelista ja sovitetaan ohjelman avulla pisteisiin suora. Suoran yhtälö on y = 84,4x ,3, jossa x on vuodesta 2000 kulunut aika ja y maailman väkiluku miljoonina. Vastaus: y = 84,4x ,3

101 b) Vuonna 1980 vuoteen 2000 oli aikaa 20 vuotta, joten muuttujan x arvo on 20. Määritetään vastaava muuttujan y arvo suorien y = 84,4x ,3 ja x = 20 leikkauspisteen avulla. Ohjelman avulla saadaan leikkauspisteeksi ( 20; 4378). Mallin mukaan väkiluku oli 4378 miljoonaa eli 4,38 miljardia vuonna Mallin antama tulos on lähellä oikeaa arvoa (4,449 mrd). Vastaus: 4,38 mrd

102 c) Määritetään mallin mukainen väkiluku esimerkiksi vuodelle 2016 (kirjan kirjoittamishetki) suorien y = 84,4x ,3 ja x = 16 leikkauspisteen avulla. Mallin mukaan maailman väkiluku vuonna 2016 oli 7416,9 miljoonaa eli noin 7,4 miljardia. Maailman todellinen väkiluku oli noin 7,454 miljardia (http://www.worldometers.info/fi/, luettu ). Tuolloin vuoden puoliväli oli jo ohitettu, joten ei ole yllättävää, että väkiluku oli suurempi kuin mallin antamassa ennusteessa.

103 282. a) Siirretään pisteet kuvaajalle. Kopioidaan taulukon luvut sopivaan ohjelmaan. Muutetaan vuosi-sarake aika-sarakkeeksi niin, että muuttujaksi x tulee vuodesta 1940 kulunut aika vuosina. Luodaan pistelista ja sovitetaan pisteisiin suora.

104 Suoran yhtälöksi saadaan ohjelman avulla y = 9,1x 77,3. Vastaus: y = 9,1x 77,3 b) Vuonna 2020 on kulunut 80 vuotta vuodesta 1940, joten muuttujan x arvo on 80. Määritetään ohjelman avulla suorien y = 9,1x 77,3 ja x = 80 leikkauspiste. Leikkauspiste on (80; 651,9), joten mallin mukaan autojen määrä tuhatta asukasta kohti vuonna 2020 on 651, Pisteet ovat suurin piirtein suoralla, joten autokannan kasvu on ollut likimain lineaarista. Mallin antama arvio on järkevä, muttei kovin tarkka. Vastaus: 650 autoa tuhatta asukasta kohti

105 283. Koska juoksija eteni tasaista vauhtia, niin matkan ja ajan riippuvuus on lineaarista. Tutkitaan tilannetta koordinaatistossa. Piirtämisen helpottamiseksi muutetaan ajat sekunneiksi kertomalla minuuttien määrä luvulla 60 ja lisäämällä sekunnit. Matka (m) Aika (s) = = = = = 2322 Valitaan muuttujaksi x aika ja muuttujaksi y matka. Merkitään pisteet koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla. Koska ajan ja matkan riippuvuus on tasaista vauhtia etenevällä juoksijalla lineaarista, niin pisteiden pitäisi olla likimain samalla suoralla. Sovitetaan pisteisiin suora. Kauimpana suoralta näyttäisi olevan piste (1992, 8000), joten se voi olla väärin kirjattu piste. Sovitetaan suora uudestaan niin, että jätetään piste (1992, 8000) ottamatta huomioon.

106 Kaikki neljä muuta pistettä ovat hyvin tarkasti samalla suoralla, joten piste (1992, 8000) on väärä metrin aika on siis kirjattu väärin. Arvioidaan 8000 metrin väliaika piirtämällä kuvaan suora y = 8000 ja määrittämällä sen ja suoran y = 4,32x 24,69 leikkauspisteen x-koordinaatti ohjelman avulla. Jos juoksija on juossut koko ajan samaa vauhtia, niin oikea aika on noin s = 1860 s min 31min. Valmentajan käyttämässä 60 muodossa ilmoitettuna aika on Vastaus: 8000 metrin väliaika, Taulukoidaan lihantuotanto 10 vuoden välein lukemalla kuvaajasta pisteitä. vuosi x lihantuotanto y (milj. tonnia) Sovitetaan sopivalla ohjelmalla pisteisiin suora.

107 Ohjelma antaa suoran yhtälöksi y = 4,43x 8623,48. Lihantuotanto vuonna 2050 saadaan määrittämällä suorien y = 4,43x 8623,48 ja x = 2050 leikkauspiste ohjelman avulla. Leikkauspiste on (2050; 455,1), joten lihantuotanto vuonna 2050 on mallin mukaan noin 455 miljoonaa tonnia. Vuosi, jona lihantuotanto ylittää 500 miljoonaa tonnia, saadaan määrittämällä suorien y = 4,43x 8623,48 ja y = 500 leikkauspiste ohjelman avulla.

108 Leikkauspiste on (2060,14; 500), joten lihantuotanto ylittää 500 miljoonaa tonnia mallin mukaan vuonna Vastaus: y = 4,43x 8623,48; 455 miljoonaa tonnia; vuonna a) Kopioidaan luvut sopivaan ohjelmaan ja sovitetaan pisteisiin suora. Ohjelma antaa suoran yhtälöksi y = 81,12x ,04. Vastaus: y = 81,12x ,04

109 b) Kiivihedelmän tuotanto vuonna 2020 saadaan määrittämällä suorien y = 81,12x ,04 ja x = 2020 leikkauspiste. Leikkauspiste on (2020; 3528,62). Mallin mukaan kiivihedelmän tuotanto on vuonna 2020 on noin 3500 tuhatta tonnia. Vastaus: 3500 tuhatta tonnia c) Arvioidaan maailman väkiluvun olevan vuonna 2020 noin 8 miljardia. Kiivihedelmän tuotanto on tuolloin mallin mukaan 3528,62 tuhatta tonnia = 3528, kg = kg. Yhden kiivin massa on 100 g = 0,1 kg, joten tuotanto on kiiviä = kiiviä. Jaetaan kiivien määrä ihmisten määrällä , Vuonna 2020 ihminen syö keskimäärin noin 4 kiiviä vuodessa. Vastaus: 4 kiiviä

110 286. Taulukoidaan polkupyörien ja autojen tuotantomääriä 10 vuoden välein silmämääräisesti. Otetaan mukaan vuosia 10 vuoden välein ja lisäksi vielä vuosi vuosi polkupyöriä (miljoonaa) autoja (miljoonaa) Sovitetaan pisteisiin suorat sopivalla ohjelmalla. Suoran kulmakerroin on 2,02, joten polkupyörien tuotanto kasvaa mallin mukaan 2,02 miljoonalla vuosittain. Suoran kulmakerroin on 0,73, joten autojen tuotanto kasvaa mallin mukaan 0,73 miljoonalla vuosittain.

111 Lasketaan, kuinka monta prosenttia nopeammin polkupyörien tuotanto kasvaa kuin autojen tuotanto. 2,02 0,73 1, ,712...% 180% 0,73 Polkupyörien tuotanto kasvaa noin 180 % nopeammin kuin autojen tuotanto. Vastaus: esim. y = 2,02x 3941,26 ja y = 0,73x 1417,63; 180 % 287. Merkitään vuodesta 1900 kulunutta aikaa kirjaimella x ja merenpinnan korkeutta millimetreissä nollatasoon verrattuna kirjaimella y. Pisteet (0, 110), (10, 110), (20, 100), (30, 100), (40, 70), (50, 40), (60, 20), (70, 10), (80, 10), (90, 20), (100, 60) ja (110, 80) ovat suunnilleen mittaussarjojen keskiarvokäyrällä. Taulukoidaan ne sopivalla ohjelmalla, luodaan pistelista ja sovitetaan siihen suora. Ohjelma antaa suoran yhtälöksi y = 1,822x 132,692. Vastaus: y = 1,822x 132,692, jossa x on vuodesta 1900 kulunut aika

112 a) Vuonna 2050 on kulunut 150 vuotta vuodesta 1900, joten merenpinnan korkeus vuonna 2050 voidaan etsiä suorien y = 1,822x 132,692 ja x = 150 leikkauspiste. Määritetään leikkauspiste ohjelman avulla. Leikkauspiste on (150; 140,6), joten vuonna 2050 merenpinnan korkeus on +150 mm verrattuna vuoden 1900 tasoon. Vastaus: +150 mm b) Tehtävänannon tilanne alkaa vuodesta 2010, jolloin merenpinta oli mallin mukaan noin 68 mm vertailutason yläpuolella. On määritettävä ajankohta, jona merenpinta on 1 m = 1000 mm korkeammalla kuin vuonna Kyseinen ajankohta saadaan määrittämällä suorien y = 1,822x 132,692 ja y = 1067,692 leikkauspiste. Määritetään leikkauspiste ohjelman avulla.

113 Mallin mukaan Malediivit uppoaa 658,944 vuoden kuluttua vuodesta 1900, eli 2500-luvulla. Vastaus: 2500-luvulla

114 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 288. Kopioidaan pisteet sopivaan ohjelmaan. Lukuarvojen yksinkertaistamiseksi valitaan muuttujaksi vuodesta 2000 kulunut aika, eli vähennetään jokaisesta vuosiluvusta luku Luodaan pistelistat ja sovitetaan pisteisiin suorat. Lämpöpumppuja kuvaava suora on nouseva ja puulämmitystä kuvaava suora laskeva, joten jos kehitys jatkuu samanlaisena, niin lämpöpumput saavat puulämmityksen kiinni tulevaisuudessa. Ajankohta, jolloin molemmilla lämmitystavoilla lämmitetään yhtä paljon, saadaan määrittämällä suorien leikkauspiste sopivalla ohjelmalla.

115 Suorien leikkauspiste on (30,82; ,94). Mallin mukaan lämpöpumput saavat puulämmityksen kiinni noin vuonna Vastaus: saavuttavat, noin vuonna a) Kopioidaan luvut sopivaan ohjelmaan. Lisätään sarake, joka ilmoittaa ulkomaalaistaustaisten osuuden desimaalilukuna. Koska ulkomaalaistaustaisten osuus väestöstä näyttäisi nousseen ajanjakson viimeisen 10 vuoden aikana aiempaa nopeammin, valitaan taulukosta vain viimeiset 10 vuotta. Sovitetaan pisteisiin suora.

116 Vastaus: esim. y = 0,0034x 6,7264 b) Ajanjakson 10 ensimmäisen vuoden aikana ulkomaalaistaustaisten osuus näyttäisi kasvaneen hitaammin kuin myöhemmin. Valitaan taulukosta vain ensimmäiset 10 vuotta ja sovitetaan pisteisiin suora. Vastaus: esim. y = 0,0014x 2,7781 c) a-kohdan mallin mukaan ulkomaalaisten osuus kasvaa vuosittain noin 0,34 prosenttiyksikköä ja b-kohdan mallin mukaan noin 0,14 prosenttiyksikköä vuodessa. Vastaus: 0,34 ja 0,14 prosenttiyksiköllä

117 290. Taulukoidaan hunajayhteisöjen lukumääriä kuvasta silmämääräisesti. vuosi yhteisöjä (miljoonaa) , , , , , , , , , , , , ,5 Sovitetaan pisteisiin suora sopivalla ohjelmalla. Määritetään ohjelman avulla suoran ja x-akselin leikkauspiste.

118 Suora leikkaa x-akselin pisteessä (2046,25; 0), joten jos koko aineisto otetaan huomioon, niin lineaarisen mallin mukaan hunajayhdyskunnat loppuvat Yhdysvalloista vuonna Muodostetaan toinen ennuste ottamalla huomioon vain kolme tuoreinta mittaustulosta. Sovitetaan suora noiden kolmen mittaustuloksen mukaisiin pisteisiin. Määritetään ohjelmalla suoran ja x-akselin leikkauspiste. Leikkauspiste on (2258,67; 0), joten jos otetaan huomioon vain kolme tuoreinta mittaustulosta, niin lineaarisen mallin mukaan hunajan tuotanto loppuu Yhdysvalloista noin vuonna Vastaus: Esim. y = 0,06x + 121,45, jolloin tuotanto loppuu vuonna 2046 tai y = 0,01x + 22,59, jolloin tuotanto loppuu vuonna 2260.

119 291. a) Sovitetaan pisteisiin suora sopivalla ohjelmalla. Malliksi saadaan y = 14,62x ,83, jossa x on vuosi ja y kuolleiden määrä. Vastaus: y = 14,62x ,83 b) Lasketaan keskiarvot taulukkoon. vuodet kuolleiden määrän keskiarvo 377, , ,333 Uuden taulukon pisteiden y-koordinaatit ovat vanhan taulukon y- koordinaattien keskiarvoja. Vastaavat x-koordinaatit ovat vuosien keskiarvoja. vuosi x kuolleiden määrän keskiarvo y 377, , ,333 Sovitetaan pisteisiin suora sopivalla ohjelmalla.

120 Mallin yhtälö on y = 15,44x Yhtälö ei ole sama kuin a- kohdassa. Vastaus: y = 15,44x , ei ole 292. Sievennetään funktion f(k) = (2k 1,5) 2 + (3k 2,6) 2 + (6k 4,6) 2 lauseke f k2k 1,5 3k 2,6 6k 4,6 2k 1,5 2k 1,5 3k 2,6 3k 2,6 6k 4,6 6k 4, k 3k 3k 2,25 9k 7,8k 7,8k 6, k 27,6k 27,6k 21, k 6k 15,6k 55, 2k 30, k 76,8k 30,17 Funktion f kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saa pienimmän arvonsa kohdassa, joka on paraabelin huipun k-koordinaatti. Mikäli toisen asteen funktiolla on nollakohtia, niin huipun k-koordinaatti on niiden keskiarvo. Lasketaan siis funktion f nollakohdat.

121 2 49k 76,8k 30, ,8 76, ,17 k ,8 15,08 k 98 2 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten funktiolla f ei ole nollakohtia. Funktion kuvaaja on silti ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on huippu. Etsitään huippu siirtämällä funktion kuvaajaa alaspäin niin paljon, että kuvaaja varmasti leikkaa k-akselin. Kun muutetaan funktion vakiotermiksi 0, niin huippu siirtyy 30,17 yksikköä alaspäin, mutta ei siirry sivusuunnassa. Ratkaistaan siis funktion g(k) = 49k 2 76,8k nollakohdat. Koska vakiotermi on nolla, on nopeampaa jakaa funktion lauseke tekijöihin ja käyttää tulon nollasääntöä kuin käyttää toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. 2 49k 76,8k 0 k49k 76,80 k 0 tai 49k 76,8 0 k 0 tai 49k 76,8 : 49 k 0 tai k 1, Nollakohtien keskiarvo on 0 1, , Kysytty kerroin on siis k = 0,78367 Piirretään kuvio.

122 Vastaus: k = 0,784 ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Kopioidaan taulukko sopivaan ohjelmaan ja siirretään pisteet koordinaatistoon. Sovitetaan pisteisiin suora.

123 Suoran yhtälö on y = 24,7x ,81. Aikasarjan lopussa aikaa oli kulunut 12 kuukautta aloitushetkestä ja puolen vuoden päästä siitä 18 kuukautta. Määritetään mallin mukainen kullan hinta 18 kuukauden kuluttua aloitushetkestä suorien y = 24,7x ,81 ja x = 18 leikkauspisteen avulla. Leikkauspiste on (18; 1520,47), joten mallin mukaan hinta on 1520,47 USD/troy-unssi 1520 USD/troy-unssi. Vastaus: y = 24,7x ,81, 1520 USD/troy-unssi

124 2. Kopioidaan taulukko sopivaan ohjelmaan, siirretään pisteet koordinaatistoon ja sovitetaan niihin suora. Suoran yhtälö on y = 9,55x ,22. Puolen vuoden kuluttua aikasarjan lopusta aikaa on kulunut on kulunut = 66 kuukautta aloitushetkestä. Määritetään mallin mukainen kullan hinta 66 kuukauden kuluttua aloitushetkestä suorien y = 9,55x ,22 ja x = 66 leikkauspisteen avulla. Leikkauspiste on (66; 1021,8), joten mallin mukaan hinta on noin 1021,8 USD/troy-unssi 1020 USD/troy-unssi, eli huomattavasti vähemmän kuin tehtävän 1 tuloksen mukaan. Vastaus: y = 9,55x ,22, 1020 USD/troy-unssi.

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.

LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x. LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot