Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta nousi tunnissa keskimäärin 0,55 m 0,097m 0,09m 9cm. 6 Vastaus: Merenpinta nousi keskimäärin 9 senttimetriä tunnissa. c) Merenpinta nousee nopeimmin noin kohdassa x =,5. Tuossa kohdassa käyrä nousee jyrkimmin. Merenpinta laskee nopeimmin kohdassa x = 9. Tuossa kohdassa käyrä laskee jyrkimmin. Vastaus: Merenpinta nousee nopeimmin klo :30 ja laskee nopeimmin klo 9:00. d) Ennen kohtaa x = 6 merenpinta nousee ja kohdan x = 6 jälkeen laskee. Mitä lähempänä kohtaa x = 6 ollaan, sitä loivemmin kuvaaja nousee tai laskee eli sitä lähempänä nollaa on merenpinnan korkeuden muutoksen nopeus. Kohdassa x = 6 merenpinnan korkeuden muutoksen nopeus on hetkellisesti nolla. Vastaus: Muutoksen nopeus on 0 m/h kohdassa x = 6.

2 . a) Piirretään funktion kuvaaja. Lämpötila muuttuu nopeimmin, kun kuvaaja on jyrkin. Kuvaaja näyttää jyrkimmältä kohdassa x =. Vastaus: Lämpötila muuttuu nopeimmin tuntia auringon nousun jälkeen. b) Jos lämpötila jatkaisi muuttumista samalla nopeudelle kuin kohdassa x = myös tämän kohdan jälkeen, kasvaisi lämpötila arviolta kuvaan piirretyn suoran mukaisesti. Yhdessä tunnissa lämpötila kohoaisi siis noin 3 ºC. Lämpötilan muutosnopeus tuntia auringon nousun jälkeen on noin 3 ºC/h.

3 Lämpötilan muutosnopeus voidaan arvioida myös laskemalla kuinka paljon lämpötila muuttuu jollain pienellä aikavälillä. Esimerkiksi kohdasta x = kohtaan x =,5 aika muuttuu,5 = 0,5 (h). Lämpötila muuttuu tällä välillä f(,5) f() =, Lämpötilan muutosnopeus tällä välillä on siis keskimäärin,46875 C,9375 C/h. Tämä on myös arviolta sama kuin 0,5 h lämpötilan muutosnopeus hetkellä x =. Parempi arvio saadaan, kun pienennetään väliä. Esimerkiksi välillä [;,05] lämpötilan muutosnopeus on keskimäärin f (,05) f() 0, C, C/h 3, 00 C/h.,05 0,05 h Lämpötilan muutosnopeus tuntia auringon nousun jälkeen on siis noin 3,00 ºC/h.

4 Vastaus: Lämpötilan muutosnopeus on noin 3 ºC/h.

5 3. Funktion muutosnopeus YDINTEHTÄVÄT 30. a) n. 6-6 b) ennen kuutta ja 6-4 c) n. 7, silloin kuvaaja on jyrkin nouseva d) n. 8.30, silloin kuvaaja on jyrkin laskeva e) n. 6 ja n. 6

6 30. a) Muutosnopeus on negatiivinen, kun kuvaaja on laskeva, eli väleillä x < ja 5 < x < 7. b) Muutosnopeus on nolla, kun kuvaajalle piirretty tangentti on vaakasuora, eli kohdissa x, x 5 ja x 7. c) Muutosnopeus on positiivinen, kun kuvaaja on nouseva, eli väleillä < x < 5 ja 7 < x 8. d) Muutosnopeus on suurin kun kuvaaja on jyrkin nouseva, eli kohdassa x 3. e) Muutosnopeus on pienin, kun kuvaaja on jyrkin laskeva, eli kohdassa x.

7 303. a) Kuvaaja B. b) Kuvaaja B. Kuvaaja B ei ole nouseva eikä laskeva kohdassa x =. c) Kuvaaja B. Kuvaaja B on jyrkimmin nouseva kohdassa x = 0,5 d) Kuvaaja A Esimerkiksi VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 305. a) Väkiluvun keskimääräinen muutosnopeus on ,6 0 asukasta/vuosi. 0 0 b) Matkan muutosnopeus eli auton keskinopeus oli 44 km 97,6 km/h 98 km/h.,5h

8 306. Keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 4] on f(4) f() 6,3 (,) 7,5 a), f(4) f(). 4 b) f(4) f() 3,9 0,6 4,5, f(x) = 0,035x + 3,8 (kg). Piirretään funktion kuvaaja. a) Paino hetkellä on f() = 0, ,8 = 3,835 (kg) ja paino hetkellä 0 on f(0) = 0, ,8 = 4,5 kg. Painon muutosnopeus välillä [, 0] on f(0) f() 4,5 3,835 0,035 kg/vrk. 0 9 Paino hetkellä 0 on f(0) = 0, ,8 = 4,5 kg. Painon muutosnopeus välillä [0, 0] on f(0) f(0) 4,5 4,5 0,035 kg/vrk Painon muutosnopeus on molemmissa kohdissa sama kuin painoa kuvaavan suoran kulmakerroin. b) Koska painon kuvaaja on suora, sen muutosnopeus on sama jokaisella ajanhetkellä. Muutosnopeus on 0,035 kg/vrk.

9 c) Tässä mallissa hetkellisellä ja keskimääräisellä muutosnopeudella ei ole eroa, koska kuvaaja on suora a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [, ] on f () f( ) ,75. ( ) 4 4 Keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 4] on f(4) f() 0,5 ( 3),5, Keskimääräinen muutosnopeus kuvaa paremmin funktion käyttäytymistä välillä [, 4], koska tällä välillä funktio on koko ajan kasvava, kun taas välillä [, ] funktion kulkusuunta muuttuu. b) Funktion arvo kasvaa nopeimmin välillä [ 3, ] kohdassa, jossa kuvaaja on jyrkin nouseva. Tämä kohta on x. Muutosnopeus on tällöin kuvaajaa sivuavan suoran kulmakerroin, eli noin. c) Muutosnopeus on nolla kohdissa x 3, x, x ja x 4.

10 309. a) Aivan aluksi lenkkeilijät kulkevat yhtä matkaa. Sitten A kiihdyttää ja tekee eroa B:hen. Noin hetkellä 30 min A pysähtyy, ja B ohittaa hänet. Kun A lähtee taas liikkeelle, hän etenee B:tä nopeammin ja saavuttaa B:n lopuksi. b) Keskinopeudet ovat yhtä suuret, koska molemmat kulkivat saman matkan samassa ajassa. 30. a) Aivan aluksi autot ajavat rinta rinnan. Sitten A kiihdyttää B:n edelle. Noin sekuntiin asti A:n nopeus on suurempi kuin B:n ja autojen välimatka kasvaa. Tämän jälkeen A pienentää nopeutensa hieman alle B:n nopeuden ja autojen välimatka pienenee. A jarruttaa seuraaviin valoihin aiemmin kuin B.

11 b) Kuljettu matka on 50 m ja matkaan kulunut aika on 4 s. Keskinopeus on v 50 m 0, m/s = 0,466 3,6 km/h 4 s = 37,5 km/h 40 km/h. 3. a) 0,8 c) Nopeus on suurin, kun kuvaaja on jyrkin, eli autolla A noin hetkellä 0 s ja autolla B aikavälillä noin 8-8 s. d) Autoilla A ja B on sama nopeus, kun kuvaajat ovat yhdensuuntaiset, eli alussa 0-4 s kohdalla, noin hetkellä s sekä lopussa hetkellä 4 s. b) Kohdassa x = muutosnopeus on 3 ja kohdassa x = muutosnopeus on.

12 3. a) II b) I ja II c) I, II ja III d) II e) III SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 33. a) Piirretään kuva. Kofeiinia on eniten noin hetkellä x 0,8 h 45 min alusta. b) Kofeiinipitoisuuden keskimääräinen kasvunopeus välillä [0; 0,8] on kuvaajan perusteella noin 4,4 mg/l/h.

13 c) Kofeiinipitoisuus vähenee nopeimmin, kun kuvaajaa sivuavan suoran kulmakerroin on pienin, eli noin hetkellä,7 h h 40 min alusta. Muutosnopeus on noin 0,5 mg/l tunnissa. 34. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 5] lasketaan lausekkeella f(5) f(). Muutosnopeuden arvo on,5. 5 f (5) f (),5 5 f (5),5 4 4 f (5) 5 f (5) 3 b) Arvosta f(3) ei voida sanoa mitään. c) Ei mitään. 35. Esimerkiksi:

14 36. a) n. 0/s. b) Tarkastellaan keskimääräisiä muutosnopeuksia yhä lähempää kohtaa t = s. f () t f () 5t 0t 3 3 5( t t) 5t 0(m/s) t t t t Nopeus on 0 m/s hetkellä t = s.

15 3. Derivaatan määritelmä YDINTEHTÄVÄT 37. f () 3, g ( ) 4 ja h () a), b) 0,8

16 c),3 d),0 39. a) Erotusosamäärän lauseke on ( ) (). f x f x x x x x b) ( )( ) () lim x x x f lim lim( x). x x x x x c) Tangentin kulmakerroin on erotusosamäärän raja-arvo, eli derivaatta, kohdassa x = : f () lim x. x x 30. f x f () lim lim x x f x lim x x x x x x ( ) () ( )( ) lim( x ) 4 x

17 Kuvaajaan piirretyn tangentin kulmakerroin on 4, joten tulos on oikea. 3. a) Erotusosamäärän raja-arvot: f ( x) f () 3 3 3( x f () lim lim x ) lim 3 x x x x x x b) f ( x) f (5) ( x 5 f (5) lim lim x ) lim 3 x 5 x5 x 5 x5 x 5 x 5 Muutosnopeudet ovat samat. Tangentin kulmakerroin on aina 3. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 3. Funktion f(x) = 7x + 3 kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on 7. Kaikilla muuttujan x arvoilla suoran tangentti on yhdensuuntainen suoran kuvaajan kanssa. Tangentin kulmakerroin on myös 7, joten derivaatan arvo on kaikilla muuttujan x arvoilla a) Kuvaajan perusteella funktion f(x) = x + x muutosnopeus eli derivaatta kohdassa x = on kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin, on 3.

18 b) f( x) f( ) x x(( ) ) f ( ) lim lim x x( ) x x ( x lim x x )( x ) lim lim ( x ) x x x x x 3 (Osoittaja x + x voidaan jakaa tekijöihin nollakohtien avulla.) 34. a) f ( x) x Väli Keskimääräinen muutosnopeus [,9; ] f () f (,9) 0,63...,9 [,99; ] 0,5 [,999; ] 0.50 [;,] 0.38 [;,0] 0.48 [;,00] 0.49 Muutosnopeus kohdassa, eli f () on noin 0,5. b) Lasketaan erotusosamäärän raja-arvo. ) x) x f ( x) f() f () lim lim x lim x x x x x x x x x lim x lim x : ( x ) lim x x x x x x x( x) ( x ) lim lim x x( x ) x x 4

19 35. a) Funktion g(x) = x 5 x erotusosamäärä kohdassa x = on g( x) g(). Lasketaan erotusosamäärän arvoja läheltä kohtaa x =. x x g( x) g() x 0,99,90 0,999,9900 0,9999,999,0 3,00,00 3,000,000 3,00 Erotusosamäärän arvot lähestyvät arvoa 3, joten derivaatta on noin 3. b) Lasketaan erotusosamäärän raja-arvo gx ( ) g() x x 4 3 g() lim lim lim( x x x x) x x x x x a) f( x) x, x 0 x Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [, ] on sekantin y f () f (),5 kulmakerroin 0,5. x

20 37. b) Muutosnopeus kohdassa x = on tangentin kulmakerroin, 5 = 0,75. 5 x ( ) x f( x) f() f '() lim lim x lim x x x x x x x ) x) x) 5 x 5x x ( )( lim x lim x x x ) lim x x x x x x( x ) x 4 3 lim x x 4 4 a) Kohdassa x = c derivaatta on nolla, koska tangentti on vaakasuora. Kohdan e vasemmalla puolella tangentit ovat nousevia suoria, kohdassa a tangentti on jyrkempi kuin kohdassa b, joten derivaatan arvo on kohdassa a suurempi kuin kohdassa b. Kohdan c oikealla puolella tangentit ovat laskevia suoria. Kohdassa e tangentti on jyrkempi kuin kohdassa d, joten derivaatan arvo kohdassa e on pienempi (enemmän negatiivinen) kuin kohdassa d. Järjestys on: f (e) < f (d) < f (c) < f (b) < f (a). b) Suurin kohdassa c ja pienin kohdassa a. c) Muutosnopeus on derivaatan arvo kyseisessä kohdassa. Suurin arvo on kohdassa a ja pienin kohdassa e.

21 38. Piirretään funktion 4 f( x) x x kuvaaja. 4 a) Derivaatta on positiivinen, kun funktion kuvaaja on nouseva, eli kun x < ja 0 < x <. b) Derivaatta on negatiivinen, kun kuvaaja on laskeva, eli kun < x < 0 ja x >. c) Derivaatta on nolla, kun kuvaajan tangentti on vaakasuora, eli kun x =, x = 0 ja x =. 39. a) Suorakulmion yksi kärki liikkuu paraabelin y x x 5 kuvaajalla. 5 Kun liikkuvan pisteen x-koordinaatti on x on y-koordinaatti y = 5. 5 x x Suorakulmion kanta on tällöin x ja korkeus on 5. 5 x x Pinta-alafunktio on tällöin: 3 Ax ( ) x( x x5) x x 5 x, kun 0 x

22 b) Funktion derivaatta on positiivinen, kun käyrä on nouseva, eli likimäärin välillä ]0;,7[. Derivaatta on negatiivinen, kun kuvaaja on laskeva, eli likimäärin välillä ],7; 5[. Derivaatta on nolla, kun x,7. c) Suorakulmion pinta-ala kasvaa, kun suorakulmion kanta x <,7. Suorakulmion pinta-ala saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa, eli kun x,7. Tämän jälkeen pinta-ala pienenee. SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 330. Tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden kulmakertoimien tulo on. Määritetään tangenttien kulmakertoimet eli derivaatat kohdissa x = ja x =. f ( x) f ( ) x ( ) f '( ) lim lim x x x( ) x ( x )( x ) lim x x lim ( x ) x f( x) f( ) x ( ) ( x )( x ) f ( ) lim lim lim x x x x x x lim( x ) x

23 Kulmakertoimien tulo on ( ) =, joten tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 33. a) Piirretään funktion f(x) = x + x kuvaaja. b) Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kohdassa x =. f( x) f() x x( ) x x f () lim lim lim x x x x x x ( x )( x ) lim x x lim( x ) 3 x Kulmakerroin on 3. c) Suuntakulma: tan 3 7,6.

24 33. a) Määritetään käyrien y x 3 x 3 ja y = x + leikkauskohdat. Määrittelyehto x 3 0, josta saadaan x 3. 3 x x 3 3 ( x ) 0 x x 3 x 3 ( x )(x3) 0 x3 x3 x 3 ( x )(x3) 0 x 3 x x 3 ( x )(x3) 0 x 3 ( x )(x3) x 3 x x x 3 x 4x x 0 xx ( x) xx ( ) 0 x 0 tai x 0 x 0 tai x Molemmat ratkaisut toteuttavat määrittelyehdon. Leikkauspisteiden y-koordinaatit: Kun x = 0, y = 0 + =. Leikkauspiste (0, ). Kun x =, y = + =. Leikkauspiste (, ). b) Pisteessä P käyrät leikkaavat ja pisteessä Q käyrät sivuavat toisiaan.

25 c) Piste P (0, ): x 3 Käyrän y tangentin kulmakerroin kohdassa x = 0 on funktion x 3 x 3 f ( x) derivaatan arvo kohdassa x = 0. x 3 x 3 f( x) f(0) f (0) lim lim x 3 x0 x 0 x0 x 3 Käyrän y = x + tangentin kulmakerroin kohdassa x = 0 on funktion g(x) = = x + derivaatan arvo kohdassa x = 0. g( x) g(0) g(0) lim lim x 0 x0 x 0 x0 x Tangenttien kulmakertoimet ovat erisuuret, joten myös tangentit ovat eri suorat. Piste Q (, ): Käyrän y x 3 tangentin kulmakerroin kohdassa x = on x 3 x 3 f( x) f() f '() lim lim x 3. x x x x Käyrän y = x + tangentin kulmakerroin kohdassa x = on g( x) g() g(0) lim lim x. x x x x Tangenttien kulmakertoimet ovat samat ja ne kulkevat saman pisteen kautta, joten tangentit ovat samat. Kun käyrät sivuavat toisiaan, niillä on yhteinen tangentti sivuamispisteessä.

26 333. a) Piirretään funktioiden kuvaajat. Funktio f on derivoituva kohdassa x = 3, koska sen kuvaaja kääntyy suoraksi. Funktio g ei ole jatkuva kohdassa x = 3. Funktio g ei ole derivoituva kohdassa x = 3. Funktiolla h on kärki kohdassa x = 3, joten sille ei voida piirtää yksikäsitteistä tangenttia kohtaan x = 3. Funktio h ei ole derivoituva kohdassa x = 3.

27 b) Lasketaan funktion f erotusosamäärän toispuoliset raja-arvot. f x f x x lim lim lim x x x3 x3 x3 ( ) (3) 4 ( 3 43) 4 3 x3 x3 x3 ( x 3)( x ) lim lim ( x ) x3 x 3 x3 f ( x) f (3) x9 ( 3 43) lim lim lim x 93 x3 x3 x3 x3 x3 x3 ( x 3) lim lim x3 x 3 x3 Erotusosamäärän toispuoliset raja-arvot ovat samat, joten erotusosamäärällä on raja-arvo kohdassa x = 3 ja tällöin f on derivoituva kohdassa x = 3. Funktio g: f ( x) f (3) x 4 x( 3 43) lim lim lim x 4x3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 ( x 3)( x ) lim lim ( x ) x3 x 3 x3 f x f x lim lim lim x x3 x3 x3 lim x 5 raja-arvoa ei ole määritelty x3 x 3 ( ) (3) 8 ( 3 43) 83 x3 x3 x3 0 Funktiolla g ei ole erotusosamäärän raja-arvoa kohdassa x = 3, joten funktio g ei ole derivoituva kohdassa x =3.

28 Funktio h: x3, x3 hx x 3 x 3, x 3 Määritetään erotusosamäärän raja-arvot kohdassa x = 3. f( x) f(3) x3 (3 3) lim lim lim x 3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 f( x) f(3) x3 (33) lim lim lim x 3 x3 x3 x3 x3 x3 x3 Toispuoliset raja-arvot ovat erisuuret, joten funktio h ei ole derivoituva kohdassa x = 3. ( x a 334. a) f ( a) lim x a )( x a) lim lim( ) xa x a xa x a x a a a a. xa Funktion muutosnopeus kohdassa x = a on sama kuin f (a), eli a. b) a-kohdan tuloksen perusteella derivaatta on tarkasteltavan kohdan x- koordinaatti kerrottuna luvulla kaksi. Kohdassa x = 5 muutosnopeus on f (5) = 5 = 0 ja kohdassa x =,7 muutosnopeus on f (,7) = (,7) = 3,4.

29 3.3 Derivaattafunktio YDINTEHTÄVÄT 335. f (x) = x, g (x) = 3x 6x ja h (x) = x. Koska f ( ) = ( ) =, f (0) = 0 = 0 ja f (0) = 0, on kuvaaja B mahdollinen funktion f kuvaaja, koska sille piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet kohdissa x =, x = 0 ja x = ovat samat kuin derivaatan arvo kyseisissä pisteissä. Vastaavasti g (0) = 3 (0) 6 (0) = 0 ja g () = 3 6 = 3, joten funktion g mahdollinen kuvaaja on C. Koska h ( ) = = 3, h (0) = 0 = ja h () = =, on funktion h mahdollinen kuvaaja A. Vastaus: f B, g C ja h A

30 336. a) Derivaatta eli tangentin kulmakerroin on nolla, kun tangentti on vaakasuora. Derivaattafunktiolla on nollakohta kohdassa x =. b) Derivaattafunktiolla on nollakohta kohdassa x =. Kun x <, funktio f on vähenevä, eli derivaattafunktion tulee olla negatiivinen. Kun x >, funktio f on kasvava, joten derivaattafunktion tulee olla positiivinen. Kohtaan x = 0 piirretyn tangentin kulmakerroin on noin ja kohtaan x = 4 piirretyn tangentin kulmakerroin on noin Kuvaajalla A on derivaattafunktion nollakohta kohdassa x = 0. Kuvaaja on laskeva, kun x 0, joten sen derivaattafunktion tulee olla negatiivinen, kun x < 0. Vastaavasti derivaattafunktion tulee olla positiivinen, kun x > 0. Kuvaajan A derivaattafunktion kuvaaja voi olla kuvaaja I. Kuvaajan B tangentti on aina sama kuin kuvaaja itse. Kuvaajan kulmakerroin on, joten sen derivaattafunktio on, jonka kuvaaja on vaakasuora suora, eli kuvaaja III. Kuvaajan C derivaattafunktiolla on kaksi nollakohtaa kohdissa x = ja x =. Kun x <, tulee derivaattafunktion olla positiivinen, koska kuvaaja on nouseva. Vastaavasti, kun < x <, tulee derivaattafunktion olla negatiivinen ja kun x >, tulee derivaattafunktion olla positiivinen. Kuvaajan C derivaattafunktion kuvaaja voi olla kuvaaja II. Vastaus: A I, B III ja C II a) Funktion f(x) = 3x kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on 3. Kuvaajan tangentti on yhtenevä kuvaajan kanssa, eli tangentin kulmakerroin on kaikilla muuttujan x arvoilla 3. Tällöin f (x) = 3. b) f( x) f( a) 3 3 3( x a f ( a) lim lim x a ) lim 3 xa xa xa xa xa x a

31 339. a) f (x) = 7 x 7 = 7x 6 b) f (x) = 5 x = 5x 4 c) f (x) = a) f (x) = 3x + 3 x + = 6x + 6x + b) f () = = = 34. a) D(x 5 x + 3) = 5x = 0x 4 b) D(4x + 5x) = 4 x + 5 = 8x + 5 c) D(4x 7 + x ) = 4 7x = 8x 6 + VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 34. a) 3x 3 3( x ) 3( x f () lim lim lim x x x x x )( x ) x lim3( x ) 3( ) 6 x ja 3 3 3( x a ) 3( x a f ( a) lim x a )( x a) lim lim xa xa xa xa xa x a lim3( xa) 3( aa) 6a xa b) Koska f (a) = 6a, derivaattafunktion lauseke f (x) = 6x. c) Funktion f muutosnopeus kohdassa x = on f ( ) = 6 ( ) =.

32 343. Ei voida. Derivaattafunktio voi olla nouseva suora, mutta se voi olla jotakin muutakin. Funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on, mutta muutosnopeudesta muissa kohdissa ei voida tämän perusteella sanoa mitään a) f (x) = 4x 3 b) f (x) = 3x + 0 = 3x c) f (x) = a) D(x 3 x x) = 3x x b) d ( 8x + 3) = D( 8x + 3) = = 8 dx c) D( 5x 3 7x + ) = 5 3x = 5x Määritetään funktioiden f(x) = 4x x 4 ja g(x) = x 3 3x derivaattafunktiot ja derivaattafunktioiden arvot kohdassa x = f (x) = 44x 0 44x 3 ja g (x) = 6x 6x f ( ) = 44 ( 44) = 88 ja g ( ) = 6 ( 6) = 5 Funktion f muutosnopeus on suurempi kohdassa x =. a) Funktio h kasvaa nopeimmin kun kuvaaja on jyrkin nouseva, eli kohdassa x.

33 b) Funktion h derivaattafunktiolla on nollakohta kohdissa, joissa tangentti on vaakasuora, eli kohdissa x 3 ja x. c) 348. Paraabelille y = x + x + 3 piirretty tangentti on vaakasuora, kun sen kulmakerroin on 0. Pitää siis selvittää, missä pisteessä funktion f(x) = x + x + 3 derivaattafunktion arvo on nolla. f (x) = x + = 0 x = x = Pisteen y-koordinaatti y = = 4. Pisteeseen (, 4) piirretty tangentti on vaakasuora a) Kyllä voidaan. Kohdassa x = funktion f arvojen hetkellinen muutosnopeus on 3, koska derivaattafunktion kuvaaja kulkee pisteen (, 3) kautta, eli f () = 3. b) Ei voida. Kuvaaja voi olla suora, mutta varmasti sitä ei voi annetuista tiedoista päätellä. c) Kyllä voidaan. Funktion f kuvaajalle kohtaan x = asetetun tangentin kulmakerroin on 3, koska tangentin kulmakerroin kohdassa x = on derivaatan arvo kohdassa x =, eli f () = 3.

34 350. a) Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kohdassa x =. D(x + x ) = x + Kun x =, niin k = + = 4. b) Tangentti kulkee pisteen (, ) kautta. Tangentin yhtälö on y = 4(x ) y = 4x. 35. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kysytyssä kohdassa. D(4x + 6x + 3) = 4x + 6 = 8x + 6 Kulmakertoimen pitää olla. 8x + 6 = 8x = 4 x = Pisteen y-koordinaatin arvo: y Piste on (, ). Tangentin yhtälö on: y( x( )) yx.

35 35. Koska D(x 3 + 7x) = 3x + 7 > 0 kaikilla muuttujan x arvoilla, niin funktion x 3 + 7x hetkellinen muutosnopeus eli käyrälle y = x 3 + 7x piirretyn tangentin kulmakerroin on aina positiivinen. Erityisesti tangentti ei siis voi olla vaakasuorassa, sillä kulmakerroin ei voi olla nolla, koska yhtälöllä 3x + 7 = 0 7 x = 3 ei ole ratkaisuja Ratkaistaan kaaren ja tien leikkauskohdat ja niihin piirrettyjen tangenttien ja x-akselin välinen kulma. Sillan ja x-akselin leikkauskohdat: 0,7x + 0,6 = 0 x,8787 tai x,8787. Silta on symmetrinen, joten valitaan tarkasteluun piste x,8787. Tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan avulla. D( 0,7x + 0,6) = 0,34x. Kulmakerroin kohdassa x,8787: k = 0,34,8787 0,6388. Suuntakulma: tan = 0, Sillan ja ajoradan välinen kulma on noin 33.

36 354. Tangentin suuntakulma on 45, joten tangentin kulmakerroin on k = tan 45 =. Tangentin kulmakerroin on derivaattafunktion arvo tangentin sivuamispisteessä. D(x 3 x + x ) = 3x 4x + Ratkaistaan kohdat, joissa derivaatan arvo on. 3x 4x + = 3x 4x = 0 x(3x 4) = 0 x = 0 tai x = 4 3 Sivuamispisteiden y-koordinaatit: kun x = 0, y = ja kun x = 4 3, y ( ) ( ) Sivuamispisteet ovat (0, ) ja ( 4, 3 ). 3 7

37 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 355. a) Tangentin kulmakerroin on f (4) 0,67. Suuntakulma saadaan yhtälöstä tan α = 0,67, josta α 34. (Saatu suuntakulman arvo vaihtelee hieman riippuen funktion sovituksen tarkkuudesta.) 356. Tangentit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, jos niiden kulmakertoimien tulo on. Tangenttien kulmakertoimet saadaan derivaatan avulla. D( x x3) x x 4 4 Tangenttien kulmakertoimet: kun x =, k ( ) ja kun x = 3, k 3. Kulmakertoimien tulo on.

38 00 00 x 357. a) lim x x eli f (). f (x) = 00x x lim x x 3 x 4x3 b) lim x x eli f (). f (x) = 3x 4 3 x 4x3 lim x x on funktion f(x) = x 00 derivaatta kohdassa x =, = f () = on funktion f(x) = x 3 4x derivaatta kohdassa x =, = f () = 3 4 = f ( x) f ( a) kx ka k ( x a) 358. a) lim lim lim k, joten f (x) = k, kun xa xa xa xa xa x a f(x) = kx. Tällöin derivointisääntö D(kx) = k on tosi. f ( x) f ( a) b) Koska f on derivoituva, niin lim on olemassa. Nyt x a x a kf( x) kf( a) k( f( x) f( a)) f( x) f( a) k k f( a), kun xa xa xa f '( a) x a, joten funktion kf(x) derivaatta kohdassa x = a on kf (a). Tämä voidaan kirjoittaa sääntönä Dkf(x) = kdf(x).

39 359. a) Funktion f(x) = x + x + 3 keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 3] on f (3) f () Muutosnopeus välin keskikohdassa x = on f (). f (x) = x + f () = 4 + = 6 Muutosnopeudet ovat yhtä suuria. b) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [d, e] on f() e f( d) e e3 ( d d 3) ed ed e d e d ( ed)( ed) ( ed) ed ed ( e d)(( ed) ) ed d e. e d Muutosnopeus välin [d, e] puolivälissä x e d on f( ed ) ( ed ) ed. Muutosnopeudet ovat yhtä suuria. c) Sääntö: Toisen asteen polynomifunktiolla keskimääräinen muutosnopeus millä tahansa välillä on täsmälleen sama kuin muutosnopeus kyseisen välin keskipisteessä. Kun f(x) = ax + bx + c keskimääräinen muutosnopeus välillä [d, e] on f() e f( d) ae bec( ad bd c) ed ed ae ad be bd ae ( d)( ed) be ( d) ed ed ( e d)( ae ( d) b) ae ( d) b. e d Muutosnopeus välin [d, e] puolivälissä x e d on f ( e d ). f (x) = ax + b f ( e d ) a( ed ) ba( ed) b Sääntö pätee kaikille toisen asteen polynomifunktioille.

40 Sääntö pätee myös ensimmäisen asteen polynomifunktioille, koska niillä muutosnopeus on kaikkialla sama sekä vakiofunktiolle, jolla muutosnopeus on aina 0. Sääntö ei päde kaikille funktioille. Esimerkiksi kolmannen asteen polynomifunktiolle f(x) = x 3 keskimääräinen muutosnopeus välillä 3 3 [0, ] on 0, mutta muutosnopeus f (x) = 3x välin puolivälissä 0 x = on f ( ) 3 ( ) a) Kun derivaattafunktion merkki vaihtuu, funktion kulkusuunta kääntyy. Derivaattafunktion arvo ilmoittaa funktion kuvaajan tangentin kulmakertoimen. Kun tangentin kulmakerroin on positiivinen, on tangentti ja samoin funktion kuvaajakin tässä kohdassa nouseva. Vastaavasti negatiivinen derivaatan arvo tarkoittaa laskevaa tangenttia ja samoin funktion kuvaaja on tässä kohdassa laskeva.

41 b) Funktion kuvaaja on hetkellisesti vaakasuora derivaattafunktion nollakohdassa, jossa derivaattafunktion merkki ei vaihdu. Derivaatan nollakohdassa funktion kulkusuunta muuttuu, jos derivaatta vaihtaa merkkinsä. Jos derivaatan merkki ei vaihdu, ei myöskään kulkusuunta vaihdu. c) Derivaattafunktion derivaatan nollakohdassa funktion kuvaajan kaareutumissuunta muuttuu. Derivaattafunktion derivaatan nollakohdissa derivaattafunktion kulkusuunta muuttuu, jos derivaatan merkki muuttuu. Tällaisessa kohdassa derivaattafunktio saa paikallisesti pienimmän tai suurimman arvonsa. Kun derivaattafunktiolla on paikallisesti suurin arvo, on tässä kohdassa tangentti ja myös funktion kuvaaja paikallisesti jyrkin nouseva. Ennen ja jälkeen tällaista kohtaa funktion kuvaaja on loivemmin nouseva.

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot