Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu
|
|
|
- Timo Pakarinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA5 Luento / 28
2 Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Repeated games"(luento 21, kokonaan) Kirjallisuutta: TB luku 2
3 Mekanismin suunnittelu
4 Optimaalisen myyntimekanismin suunittelu Haluat siis myydä asuntosi? Miten kannattaa tehdä? Lukemattomia erilaisia vaihtoehtoja tarjolla: kiinteä hinta ja nopein ostaa, neuvottelut, erilaiset yksinkertaiset tai monimutkaiset huutokaupat jne. Käytännössä asunnot yleensä myydään tietyllä mekanismilla, myyjä asettaa hinnan ja ostajat tekevät myyjälle tarjouksen, joista korkein voittaa... Nämä ovat mekanismin suunnittelun tutkimusongelmia. Peliteorian osa, joka auttaa käytännön soveltajia optimaalisten mekanismien sunnittelussa ottaen huomioon kulloisenkin tilanteen (normatiivinen puoli), auttaa ymmärtämään, miksi tilanteessa A käytään mekanismia a ja tilanteessa B yleensä mekansimia b (positiivinen puoli). TA5 Luento / 28
5 Suunnitellaan ekstensiivinen Bayesilainen peli Jokainen myyntimekanismi generoi tietyn pelin myyjän ja ostajien välille. Pelin säännöt määräävät, kuka saa hyödykkeen ja paljonko siitä maksetaan. Tähän asti luennoilla peli on ollut eksogeeninen, nyt se on endogeeninen. Tilanteita, jossa valitut säännöt määrittelevät pelin osanottajien kesken, on lukemattomia vaalit, julkisten tai yksityisten hankkeiden kilpailutus, patenttilait, organisaatioiden promootiokäytännöt, kansainväliset neuvotteluprotokollat jne. TA5 Luento / 28
6 Yksityinen informaatio Suunnittelijan kannalta suurin ongelma on se, että pelaajilla on yksityistä informaatiota, esim. asunnon ostajat yksin tietävät, kuinka paljon ovat valmiita maksamaan asunnosta; tämän myyjäkin haluaisi tietää. Ongelmana on suunnitella mekanismi, jossa pelaajien kannattaa tuoda esille heillä oleva päätöksenteon kannalta relevantti informaatio; tämä on välttämätöntä mekanismin asianmukaisen toiminnan kannalta. Mekanismin suunnittelu on kunnianhimoinen ohjelma, sikäli että joukko, josta sopivaa myyntimekanismia etsitään on hyvin suuri: kaikki mahdolliset ekstensiiviset Bayesilaiset pelit myyjän ja ostajien välillä. TA5 Luento / 28
7 Yksi myyjä ja yksi ostaja: ongelma
8 Yksi myyjä ja yksi ostaja Ostajan hyöty, jos saa hyödykkeen ja antaa myyjälle t u t Myyjän voitto, jos antaa hyödykkeen ja saa ostajalta t π t Tässä kuvaa ostajan tyyppiä, maksuvalmiutta. Ostajan hyötyfunktio kvasi-lineaarinen Maksuhalukkuus yksityistä informaatiota noudattaa jakaumaa F, tiheysfunktio f Välillä, t ą 0u olevat :t mahdollisia TA5 Luento / 28
9 Periaatteessa... Myyjä voisi nyt kehitellä ostajalle minkä tahansa pelin, jonka loppuhistorioihin liittyy aina tulema pq,tq P t0,1u ˆ R; tässä q kertoo, antaako myyjä lopulta hyödykkeen ostajalle (q 1, jos kyllä, ja q 0, jos ei), ja t kertoo, paljonko ostaja maksaa (riippumatta q:sta). Ostaja näkee pelin ja voi päättää sitten haluaako osallistua vai ei. Mahdollisia pelejä on paljon, "liian paljon". Erittäin tärkeä lause "paljastusperiaate"kuitenkin osoittaa, että myyjän valintajoukoksi voidaan valita niin sanotut suorat mekanismit. Tämä on selvästi pienempi joukko pelejä. TA5 Luento / 28
10 Suorat mekanismit Suora mekanismi pq, tq on funktiopari q :, Ñ t0,1u, t :, Ñ R. "Suoruus"viittaa tässä siihen, että mekanismin ajatellaan käyttävän lähtötietonaan suoraan ostajan tyyppiä eikä siis jotain muuta ostajan lähettämää epäsuoraa informaatiota m (binäärijonoja, luonnollisen kielen sanoja, elekieltä, tms.). Tulkinta on siis, että ostaja kirjaa mekanismiin jonkin tyypin 1 P,, joko omansa tai minkä vain muun 1. Ostaja voi siis myös juksata. Jos ostaja ilmoittaa tyypikseen 1, myyjä on tämän jälkeen sitoutunut toteuttamaan vastaavan lopputuleman qp 1 q ja tp 1 q. TA5 Luento / 28
11 Paljastusperiaate 1 Ostajan strategia on σ :, Ñ, (mekanismiin lähetetty tyyppi todellisen tyypin funktiona) Paljastusperiaate Jokaista mekanismia Γ ja ostajan optimaalista valintaa σ Γ:ssa vastaa suora mekanismi Γ 1 ja ostajan optimaalinen valinta σ 1 Γ 1 :ssa niin, että kaikilla P, 1. σ 1 pq (ostajalle on kannattavaa raportoida Γ 1 :ssä "rehellisesti") 2. q 1 pq qpσpqq ja t 1 pq tpσpqq. (optimaalinen "suora"raportointi Γ 1 :ssä johtaa samaan lopputulokseen kuin optimaalinen "epäsuora"raportointi Γ:ssa) Koska jokaista epäsuoraa mekanismia voidaan jäljitellä suoralla mekanismilla (funktiot σ ja pq,tq yhdistämällä pq 1,t 1 q pq,tq σ), ei menetetä mitään, jos keskitytään suoriin mekanismeihin. TA5 Luento / 28
12 Paljastusperiaate 2 Todistus. Väitetään siis, että kun määritellään Γ 1 pq 1,t 1 q seuraavasti q 1 pq qpσpqq ja t 1 pq tpσpqq kaikilla P,, ostajan kannattaa raportoida siihen todellinen tyyppinsä. Tämä osoittaa, että σ 1 pq on ostajan optimaalinen valinta Γ 1 pq 1,t 1 q:ssä aina, kun σpq on ostajan optimaalinen valinta Γ pq, tq:ssa. Vastaväite: ostajan kannattaa poiketa (suorassa mekanismissa) Γ 1 pq 1,t 1 q:ssa :stä 1 :uun. q 1 p 1 q t 1 p 1 q ą q 1 pq t 1 pq Tästä kuitenkin seuraa heti, että ostajan kannattaa poiketa myös (epäsuorassa mekansimissa) Γ pq,tq:ssa σpq:sta σp 1 q:uun qpσp 1 qq tpσp 1 qq ą qpσpqq tpσpqq Tämä ei voi pitää paikkaansa, koska lähtöoletus oli, että σ on ostajan optimaalinen valinta (epäsuorassa mekanismissa) Γ pq, tq. TA5 Luento / 28
13 Myyjän vaihtoehdot Paljastusperiaatteesta seuraa, että myyjän valintajoukko on niitten suorien mekanismien joukko Γ pq, tq, joille pätee: Insentiivirajoite (IC): oman tyypin raportointi on ostajan optimaalinen valinta qpq tpq ě qp 1 q tp 1 q kaikille 1 P,. Osallistumisrajoite (PC): peliin osallistuminen on ostajan optimaalinen valinta qpq tpq ě 0 kaikille P,. TA5 Luento / 28
14 Yksi myyjä ja yksi ostaja: ratkaisu
15 Millaisia nämä mekanismit ovat? Myyjän täytyy valita suora mekanismi, joka toteuttaa ehdot IC ja PC. Tämä asettaa tiettyjä rajoitteita valittavissa oleville mekanismeille. Monotonisuus q Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin q on kasvava :n suhteen. Todistus. Tarkastellaan mitä hyvänsä kahta tyyppiä 1 ă. IC vaatii qpq tpq ě qp 1 q tp 1 q 1 qpq tpq ď 1 qp 1 q tp 1 q miinustamalla epäyhtälöt puolittain saadaan qpq tpq 1 qpq ` tpq ě qp 1 q tp 1 q 1 qp 1 q ` tp 1 q p 1 qqpq ě p 1 qqp 1 q TA5 Luento / 28
16 Monotonisuus u Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin u on kasvava :n suhteen ja u 1 pq qpq. Todistus. Huomaa, että IC vaatii lisäksi argmax 1up, 1 q argmax 1qp 1 q tp 1 q upq max 1 up, 1 q maxqp 1 q tp 1 q 1 Maksimiarvofunktioista f paq max x f px,aq ja maksimikohtafuntioista x paq argmax x f px,aq tiedetään verhokäyrälauseen perusteella, että f 1 paq f a px paq,aq Käsillä olevassa tapauksessa, max 1 up 1,q, 1 on muuttuja (kuten yllä x) ja on parametri (kuten yllä a). Saadaan suoraan u 1 pq u p 1 pq,q qpq. TA5 Luento / 28
17 Hyötyekvivalenssi u ja tuottoekvivalenssi t Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin ż upq upq ` qpsqds ja ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds. Todistus. Osa 1: Analyysin peruslauseen mukaisesti: ż upq upq ` u 1 psqds Osa 2: Sijoitetaan upq qpq tpq ja järjestellään. TA5 Luento / 28
18 IC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), jos ja vain jos q on kasvava :n suhteen ja kaikilla ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds. Todistus. Näytimme jo, että nämä ehdot ovat välttämättömät IC:lle. Näytetään nyt, että ehdot ovat myös riittävät IC:lle. upq ě qp 1 q tp 1 q ðñ upq ě qp 1 q tp 1 q ` 1 qp 1 q 1 qp 1 q ðñ upq ě qp 1 q 1 qp 1 q tp 1 q ` 1 qp 1 q ðñ upq up 1 q ě p 1 qqp 1 q ðñ ż ż 1 qpsqds ě 1 qp1 qds Viimeisin epäyhtälö pätee, koska q on kasvava :n suhteen (huomaa, että molemmat ă 1 ja ą 1 käyvät). TA5 Luento / 28
19 PC Jos suora mekanismi toteuttaa kannustinehdon (IC), niin se toteuttaa osallistumisehdon (PC) jos ja vain jos upq ě 0. Todistus. Koska u on kasvava, niin upq ě 0 ùñ upq ě 0 TA5 Luento / 28
20 Millainen on myyjälle kannattavin mekanismi? Tuottoekvivalenssi ż tpq tpq ` pqpq qpqq qpsqds Huomio 1: myyjän ei kannata antaa ylimäärästä matalimmalle tyypille, koska se vain laskee muilta saatavia tuottoja Huomio 2: myyjä valitsee sellaisen kasvavan q:n, joka maksimoi sen odotetun tuoton ş tpqd. Se voidaan laskea ż «ż ff Eptpqq qpq qpsqds d TA5 Luento / 28
21 Keskimmäisen termin laskeminen ż «ż ff Eptpqq qpq qpsqds d Lasketaan arvo keskellä olevalle integraalille. Käytetään selkeyden vuoksi integrointivakioita x,y P, ż ż y qpxqdxf pyqdy, ż ż y qpxqf pyqdxdy, f sisäintegraaliin ż ż qpxqf pyqdydx, integrointijärjestys x ż ż qpxq f pyqdydx, q ulkointegraaliin x ż qpxqp1 Fpxqqdx, lasketaan sisäintegraali ż qpxq 1 Fpxq f pxqdx, palautetaan mukaan f f pxq TA5 Luento / 28
22 Myyjälle optimaalinen mekanismi ż Eptpqq qpq 1 Fpq j d Myyjän kannattaa valita sellainen q, että yllä oleva lauseke maksimoituu. Lisäksi q:n täytyy olla kasvava. Huom. F ja f ovat mallin osia, eli niihin myyjä ei voi vaikuttaa. Myyjä voi vaikuttaa yllä ainoastaan q:hun. Koska yllä integraali oikeastaan vain laskee yhteen lukuja 1 Fpq, joilla qpq 1, ja jättää laskematta luvut 1 Fpq, joilla qpq 0, myyjän kannattaa valita seuraavasti: $ & 0, jos 1 Fpq ă 0, qpq % 1, jos 1 Fpq ě 0, TA5 Luento / 28
23 Myyjälle optimaalinen mekanismi (1 ostaja) ż Eptpqq qpq 1 Fpq j d Yllä 1 Fpq ostajan "virtuaalityyppi"tai "virtuaalihyöty". IC ja PC rajoitteet aiheuttavat sen, että myyjä voi saada tältä ostajalta, ei tämän maksuhalukkuuden verran rahaa vaan tämän virtuaalisen maksuhalukkuuden 1 Fpq verran rahaa. Sanotaan, että 1 Fpq on "informaatiomaksu"(myyjältä ostajalle). Optimaalinen mekanismi (1 ostaja) Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & 0, jos 1 Fpq ă 0, qpq % 1, jos 1 Fpq ě 0, Implementointi, hintamekanismi: p 1 Fp 1 q, jossa f p 1 q 1 1 Fp 1 q 0. f p 1 q TA5 Luento / 28
24 Laajennuksia
25 Myyjälle optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Malli, jossa on n ostajaa, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ÿ E t i pq ÿ ż q i pq 1 Fpq j d i i Optimaalinen mekanismi (n ostajaa) Olkoon i 1 Fp iq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle f p i q suurimman odotetun voiton $ & 0, jos i 1 Fp iq ă 0, f p q i pq i q % 1, jos i 1 Fp iq ě 0 ja f p i q i 1 Fp iq f p i q ą j 1 Fp jq f p j q kaikilla j Implementointi, huutokauppa (FPA tai SPA) ja reservaatiohinta: p 1 Fp 1 q, f p 1 q jossa 1 1 Fp 1 q 0. f p 1 q TA5 Luento / 28
26 Myyjälle optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Malli, jossa ostajan hyöty on νpqq t ja myyjän voitto on t cq, käyttääytyy samoin kuin malli, jossa on 1 ostaja. ż Eptpqq " νpqp qq 1 Fpq j * cqpq d Optimaalinen mekanismi (epälineaarinen hinnoittelu) Olkoon 1 Fpq kasvava. Seuraava mekanismi tuottaa myyjälle suurimman odotetun voiton $ & jos 1 Fpq ă 0, niin qpq 0, qpq : % jos 1 Fpq ě 0, niin ν 1 pqpqq 1 Fpq c. Implementointi, epälineaarinen hinnoittelu, määräalennus. TA5 Luento / 28
27
Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu
Luento 6: Optimaalisen myyntimekanismin suunnittelu Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA6m Luento 6 2016 1 / 33 Kirjallisuutta: TB luku 2 Mekanismin suunnittelu Optimaalisen myyntimekanismin suunittelu
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli
Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies
Luento 3: Bayesiläiset pelit
Luento 3: Bayesiläiset pelit Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA5 Luento 3 2017 1 / 33 Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Nash Equilibrium"(luento 5, kokonaan) "Mixed strategies: definition"(luento
Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016
Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kymmenen tehtävää (10 pistettä ), yksi per luento (6 Saaran, 4
Luento 5: Pysäytyspelit
Luento 5: Pysäytyspelit Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA5 Luento 5 2017 1 / 24 Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Backward induction"(luento 15, kokonaan) Kirjallisuutta Weitzman, Martin (1979):
Haitallinen valikoituminen
Haitallinen valikoituminen Regulointi Verotus Vakuuttajamonopoli Kertausta Hyötyfunktiot Päämies: W(q,t) Agentti: U(q,t,ө) - q hyödykkeen määrä - t hinta (kassavirta, tms) - ө agentin tyyppi Päämies ei
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit
Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu
Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä
PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA
PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli
Luento 2: Strategiset pelit
Luento 2: Strategiset pelit Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA5 Luento 2 2017 1 / 37 Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Introduction"(luento 1, kokonaan) "Formal ingredients of a game"(luento 2.2,
A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.
HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen
Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen
Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on
Luento 2: Strategiset pelit, Nash-tasapaino, Bertrand, Cournot & Hotelling
Luento 2: Strategiset pelit, Nash-tasapaino, Bertrand, Cournot & Hotelling Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA6m Luento 2 2016 1 / 42 Esitietoja: Game Theory by Ben Polak (Open Yale) "Introduction"(luento
Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet
Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Salanién (2005) ja Gibbonsin (1992) mukaan Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Jukka Luoma 1 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen
Signalointi: autonromujen markkinat
Signalointi: autonromujen markkinat Mat-.414 Optimointiopin seminaari Klaus Mattila 1.0.008 1 Esityksen rakenne Johdanto Autonromujen markkinat: Akerlofin malli Kustannuksellinen signalointi: Spencen malli
Luento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016
Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kahdeksan tehtävää, yksi per luento (5 Saaran, 3 Benin). Katso
Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen
May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat
HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012
HUUTOKAUPPATEORIAA TTS-Kurssille/Kultti 2012 A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä: 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. Muun muassa Yhdysvaltain
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA
SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer
Luento 8. June 3, 2014
June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa
Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä
Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Viime kerralta Luento 9 Myyjän tulo ja kysynnän hintajousto
Viime kerralta Luento 9 Markkinatasapaino Markkinakysyntä kysyntöjen aggregointi Horisontaalinen summaaminen Eri kuluttajien kysynnät eri hintatasoilla Huom! Kysyntöjen summaaminen käänteiskysyntänä Jousto
Luento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
Luento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
Sopimusteoria: Salanie luku 3.2
Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Taloustieteiden kvantitatiiviset menetelmät Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 1 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat
Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1
May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.
Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu
Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)
Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Luento 5: Pysäytyspelit, Diamond, Weitzman & Wolinsky
Luento 5: Pysäytyspelit, Diamond, Weitzman & Wolinsky Saara Hämäläinen Helsingin yliopisto TA6m Luento 5 2016 1 / 28 Kirjallisuutta Weitzman, Martin (1979): Optimal search for the best alternative. Econometrica:
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
Peliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2
May 26, 2014 Pelien luokittelua Peliteoriassa pelit voidaan luokitella yhteistoiminnallisiin ja ei-yhteistoiminnallisiin. Edellisissä kiinnostuksen kohde on eri koalitioiden eli pelaajien liittoumien kyky
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa?
Luku 14 Kuluttajan ylijäämä
Luku 4 Kuluttajan ylijäämä Tähän asti johdettu kysyntä hyötyfunktioista ja preferensseistä, nyt päinvastainen ongelma: eli kuinka estimoida hyöty havaitusta kysynnästä. Mitattavat ja estimoitavat kysyntäkäyrät
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
Sopimusteoria: Salanie luku 3.2
Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Antti.Pirjeta@hse. Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008 Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat voitot Oletetaan luvun 2.2
Peliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3
May 27, 2015 Dominanssi Mitkä ovat uskottavia tulemia? Ja miksi? Yksi päätösteoreettinen periaate on dominanssi. Kuten lähes kaikkia taloustieteessä kiinnostavia käsitteitä niitä on kahta lajia. Aito ja
r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P
Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen
Kommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Kommunikaatio MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 2.11.2016 Visa Linkiö The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Laskuharjoitus 2. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016
Laskuharjoitus 2 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kymmenen tehtävää (10 pistettä ), yksi per luento (6 Saaran, 4
M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )
6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.
Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
Luento 5: Peliteoria
Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä
A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= 18 1.5P, missä q on käyntejä kuukaudessa keskimäärin. Yhden käyntikerran rajakustannus
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
Paljonko maksat eurosta -peli
Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan
Epälineaarinen hinnoittelu: Diskreetin ja jatkuvan mallin vertailu
Epälineaarinen hinnoittelu: Diskreetin ja jatkuvan mallin vertailu 11.4.2011 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Esityksen sisältö: Hinnoittelumallien esittely Menetelmät Esimerkkitehtävän
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Luento 7. June 3, 2014
June 3, 2014 Peli, jossa on kaksi Nash-tasapainoa. Yksi tasapaino on (1; 2) ja toinen (2; 1); P1:n valinta on ilmoitettu ensin. Ensimmäinen tasapaino ei vaikuta hyvältä; se perustuu epäuskottavaan uhkaukseen.
3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18
Panoskysyntä Luku 26 Marita Laukkanen November 15, 2016 Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, 2016 1 / 18 Monopolin panoskysyntä Kun yritys määrittää voitot maksimoivia panosten määriä, se haluaa
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu
Päämies-agentti-malli ja mekanismisuunnittelu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Ilkka Leppänen 22.1.2008 Esityksen rakenne Johdanto: päämies-agentti-malli ja epäsymmetrinen informaatio Haitallinen valikoituminen
δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.
42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
f (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset
KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun
Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT
TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Suhteellisen edun periaate 1. Maassa A: 1 maito ~ 3 leipää 1 leipä ~ 0,33 maitoa Maassa B: a. b. 3 maitoa ~ 5 leipää 1 maito ~ 1,67 leipää 1 leipä ~ 0,6 maitoa i. Maalla
Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat
Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Kurssiohjeita: Lue ainakin kertaalleen huolella! Vastaanotto (ECO A415): luentojen jälkeen tai sopimuksen mukaan. Sähköposti: saara.hamalainen@helsinki.fi
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)
11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu Mallivastaukset - Loppukoe 10.12. Monivalinnat: 1c 2a 3e 4a 5c 6b 7c 8e 9b 10a I (a) Sekaniputus
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017
Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C1 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 17 Mallivastaukset 7. 1. Kaupungissa on kaksi suurta taidemuseoa (pelaajat) ja 5 asukasta. Taidemuseoilla on
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla