MAB kertausmateriaalia. Jere Tofferi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAB kertausmateriaalia. Jere Tofferi"

Transkriptio

1 MAB kertausmateriaalia Jere Tofferi heinäkuu 2016

2 johdanto Matematiikan opiskelu on helppoa ja vaikeaa. Matemaattiset teoriat ovat hyvin määriteltyjä ja suhteellisen lyhyitä. Kuitenkin on paljon ihmisiä, jotka eivät ymmärrä matematiikka tavallisten oppikirjojen avulla. Yksi ongelmista on se, että lukiessaan kyllä ymmärtää tekstin ja teksti tuntuu tutulta, mutta tehtävät eivät silti ratkea. Olen tähän monisteeseen hiukan yrittänyt tehdä hiukan erilaista näkökulmaa, hiukan rohkeampaa selitystä asioista. Tämän lyhyen kertausmateriaalin laatu on kuitenkin kaukana tavallisesta matematiikan oppikirjasta. Toivottavasti kuitenkin joitakin ideoita tarttuu siitä mukaan. Asioita ei tässä aina opeteta, vaan ratkaisumenetelmät yms. on esitetty tavallisissa oppikirjoissa usein hyvin ja perusteellisesti. Materiaali on jaettu kappaleisiin lyhyen matematiikan kurssien 1-6 perusteella. Läheskään kaikkia asioita ei ole käsitelty, vaan ainoastaan muutamia keskeisimpiä (jotain oleellista on toki saattanut unohtuakin). Matematiikan oppimisessa tärkeitä asioita ovat: 1. Teoriaan tutustuminen: laskusäännöt, kaavat, määritelmät yms. 2. Esimerkkeihin tutustuminen 3. Ongelmiin tutustuminen, laskeminen Kovalla työllä matematiikka tulee tutummaksi. Tuttujen asioiden kanssa hommat hoituvat paremmin kuin tuntemattomien. 0.1 MAB1 lausekkeet ja yhtälöt Kappaleessa käsiteltävät asiat: Muuttujien käyttö Yhtälöiden ratkaiseminen Toisen asteen polynomifunktiot Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen 1

3 0.1.1 Muuttuja Muuttujaa (yleensä x) käytetään laskuissa tuntemattoman tai muuttuvan luvun merkkinä. Muuttuja voi joissakin tehtävissä olla: Hyvinkin muuttuva, mikä tahansa luku ja + välillä. Esim. f(x) = x + 1 (ilman mitään muita tietoja). Joltakin väliltä oleva luku esim. 2 ja 7 välillä oleva. Esim. 2 < x < 7 (voi olla lisätietona esim. funktiolla). Jokin yksittäinen valittu luku. Esim. funktion arvo kohdassa x = 4 (muuttuja määritellään tapauskohtaisesti). Jokin tuntematon yksittäinen luku. Esim. muuttuja x voi tarkoittaa monikulmion tuntemattoman sivun pituutta. Tehtävässä usein on valmiiksi merkitty muuttuja ja siitä on jotain tietoja saatavilla. Niiden tietojen hahmottaminen on tärkeä matemaattinen taito. Saatetaan kertoa tai olla pääteltävissä mm. muuttujan kuvaama asia, onko muuttujan arvo positiivinen, mitä yksikköä se on, arvio suuruudesta, muuttujan yhteys kuvaajaan, tarvitaanko muuttujaa johonkin vai onko itse muuttujan arvo selvitettävä asia. Mm. tehtävätyypeissä, joissa täytyy käyttää yhtälöä tuntemattoman asian ratkaisemiseksi, tärkeä osa on miettiä itse tarvittava muuttuja. Yleisesti tuntemattoman asian määrä tai suuruus merkitään muuttujalla seuraavasti: Kuinka monta hiekanmurua on rannalla määritellään x = hiekanmurujen määrä rannalla. Muuttujan käsittely on yksi taito, joka erottaa taitavat laskijat muista. Parhaiten sen oppii laskemalla paljon, mutta ei ainakaan ole haitaksi erikseen pysähtyä miettimään muuttujaa eri tehtävissä. Aina muuttujan käytölle on jokin tarkoitus, voit testata ymmärrystä miettimällä miksi tehtävässä on muuttuja Yhtälön ratkaiseminen esim. x + 1 = 4, (x =?) Yhtälön ratkaisu on hyvin algoritminen tehtävä, ts. ratkaisun menetelmät ovat hyvin määriteltyjä. Niitä ovat: Lisääminen molemmille puolille yhtälöä Vähentäminen molemmilta puolilta yhtälöä 2

4 Molempien puolien kertominen Molempien puolien jakaminen Ja hiukan harvinaisempia: Molempien puolien korottaminen toiseen potenssiin Käänteisluvun ottaminen molemmista puolista Usein yhtälön ratkaisu tehdään ikää kuin siirtämällä termejä. Se on helppo tapa, jos ei ole täysin ymmärtänyt tilannetta, mutta hiukan virhealtis. Yhtälön ratkaisun oppii laskemalla paljon yhtälöitä. Todellisessa elämässä ja koulussakin esillä oleva asia on yhtälöiden käyttö arkipäivän ongelmissa. Silloin yhtälö täytyy muodostaa itse päättelemällä tilanne. Tämmöinen tehtävä alkaa useimmiten muuttujien valinnalla (katso yltä). Tämän jälkeen tilanteesta tehdään matemaattinen yhtälö päättelyn avulla (ja mm. fysiikan lakeja käyttämällä). Esimerkiksi hiekan murujen määrä rannalla (hiukan vaikea esimerkki). Miten siitä voisi tehdä yhtälön? Hiekanmurujen määrästä voisi tehdä yhtälön arvioimalla hiekanmurun massan, määrän yhdessä kuutiossa ja mittaamalla/arvioimalla sekä laskemalla hiekan tilavuuden rannalla. Yhtälö saadaan kirjoittamalla lasku ja tulos, jossa on mukana muuttuja x. Jos 1000 hiekanmurua on massaltaan 26g, yhden murun massa (m) saadaan yhtälöksi 1000 m = 26g. Saadaan ratkaisu m = 0, 026g. Jos kuutio hiekkaa on massaltaan 4200kg(= g), saadaan kuution sisältämien hiekanjyvien määrästä (= y) arvio y = g/0, 026g = Jos rannalla on hiekkaa n kuutiota (= 12000m 3 ), saadaan rannan hiekanjyvistä arvio x = = Pyöristys kahden numeron tarkkuudelle (pyöristys täytyy päätellä) Rannalla on siis 1, 9 biljoonaa hiekanmurua Toisen asteen polynomifunktio esim. f(x) = x 2 2x + 1 Funktiot joissa on lauseke, ovat yleensä 1. tai 2. astetta (aste tulee potenssin mukaan!). Siksi on tärkeä osata molemmat niistä hyvin. Molemmissa käytetään yleisesti muuttujana kirjainta x ja funktion arvona muuttujaa y. Siis muuttujaa kuvaavan lausekkeen, jossa on ainakin termi x 2, tulos on y. Esim. merkitään x 2 2x + 1 = y (tai mieluummin y = x 2 2x + 1). Usein se, että y:tä käytetään funktion tuloksena, ilmoitetaan vain f(x) = y tai ei laisinkaan! 3

5 Funktioissa on siis paljon hiukan mystisiä puolia, jotka vaativat paljon tottumista. Loppujen lopuksi funktioilla tehdään vain muutaman tyyppisiä laskuja (usein muuttujan lausekkeella): Funktion arvon laskeminen: sijoitetaan jokin luku x:n paikalle funktion lausekkeeseen. Selvitetään missä kohdassa funktio saa tietyn arvon, siis y:n paikalle laitetaan luku ja ratkaistaan x. Selvitetään funktion suurin/pienin arvo (mm. derivaatan nollakohtien avulla). Mietitään funktion kasvua/vähenemistä (derivaatta on avuksi). Piirretään funktiosta kuvaaja. Muutamia muita asioita Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen esim. x 2 + 3x = 1, x =? Tärkeä taito toisen asteen yhtälön käsittelyssä on sen nollakohtien ratkaiseminen. Menetelmä on jälleen algoritminen. Siirretään kaikki yhtälön termit vasemmalle puolelle yhtäsuuruusmerkkiä: x2 + 3x - 1 = 0 Käytetään taulukkokirjasta toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. a = 1, b = 3 ja c = 1 (Toisen asteen yhtälön kertoimille on omat kirjaimet kaavassa. Jos jokin termeistä puuttuu, on vastaava kirjain nolla.) Mietitään ratkaisu tarkasti ratkaisukaavan avulla. 0.2 MAB2 Geometria Kappaleessa käsiteltävät asiat: trigonometria pythagoraan lause 4

6 pinta-ala ja tilavuus koordinaatisto muut: viivat, kulmat, monikulmiot, yhtenevyys jne Trigonometriset funktiot. Ensiksikin, täytyy osata ratkaista trigonometristen yhtälöiden perustapaukset. Yllä on esimerkki tästä. Apuna yhtälön muodostamisessa voi käyttää taulukkokirjaa. Toiseksi, täytyy osata soveltaa trigonometrisia funktioita. Aina kun tehtävässä on pulma liittyen suorakulmaiseen kolmioon, monikulmion kulman suuruuteen tai sivun pituuteen, kannattaa miettiä voisiko tehtävässä käyttää suorakulmaisen kolmion trigonometrisia funktioita. Vaikka monikulmiossa ei olisi suorakulmaista kolmiota, se on usein mahdollista siihen?sisällyttää? (aina siitä ei tietystikään ole hyötyä)! Pythagoraan lause: a 2 + b 2 = c 2 Hyvin saman tapainen kuin edellinen kohta. On tärkeä osata ratkaista valmis yhtälö sujuvasti. Kuitenkin suurin ero laskijoiden välillä voi jälleen olla oikean laskutavan/menetelmän valitseminen meneillään olevaan tehtävään. Pythagoraan lausetta kannattaa miettiä kaikissa tehtävissä, joissa on tarkoituksena selvittää monikulmion sivujen pituus tai sivun pituus muutoin edistää tehtävää. Myöskin Pythagoraan lause on voimassa vain suorakulmaisille kolmioille. Tässäkin tapauksessa on usein mahdollista muodostaa kuvioon suorakulmainen kolmio lisäämällä janoja/suoria tilannetta edistävällä tavalla. Oikean tavan hahmottaminen nopeasti vaatii hyviä hoksottimia, mutta myös tarpeeksi paljon laskemista (=laskurutiinia) pinta-ala ja tilavuus Tärkeä matematiikan ja arkielämän aihe. Tärkeää on osata yksikönmuunnokset ja tietysti erimuotoisten pinta-alojen ja tilavuuksien laskut. Harjoittele yksikkömuunnokset ja laskut huolellisesti taulukkokirjan avulla (ja mielellään lisäksi ilmankin) koordinaatisto Tärkeitä asioita mm. Koordinaatistossa olevan pisteen koordinaattien lukeminen ja kirjoittaminen Pisteen merkitseminen koordinaatistoon koordinaattien avulla 5

7 Monikulmiot ja viivat koordinaatistossa Funktiot koordinaatistossa ja niiden merkitys Tavallisesta poikkeavat koordinaatistot Koordinaatisto on paljon käytetty matematiikassa. Arkielämässä koordinaatisto usein merkitsee sijaintia (esim. kartan koordinaattien mukaan), mutta matematiikassa merkitys on hiukan omituisempi. Koordinaatiston yksittäinen piste ilmoittaa kaksi lukua samaan aikaan (nämä luvut yleensä liittyvät toisiinsa, jolloin siinä on jotain järkeä). Toki matematiikassakin koordinaatisto voi ilmaista paikkaa ja etäisyyttä esim. kolmioille. Ensiksikin täytyy osata koordinaatiston pisteiden lisäys, tulkinta sekä monikulmioiden ja viivojen lisäys koordinaatistoon. Joskus on tarpeen muistaa, että viiva koordinaatistossa koostuu vierekkäin olevista pisteistä. Usein juuri funktiot piirretään koordinaatistoon. Syy liittyy siihen, että piste ilmoittaa kaksi lukua samaan aikaan. Mitä merkitystä sillä on? Funktiohan on juttu(?) joka ottaa jonkin luvun (yleensä merkitty aluksi muuttujalla x) ja muuttaa sen joksikin luvuksi (yleensä merkitty muuttujalla y). Funktio siis voi näyttää vaikka tältä f(x) = x + 2 ja sanotaan vielä, että y = x + 2. Nyt x voi saada jotain lukuarvoja ja samalla funktion lausekkeen mukaan y myös saa lukuarvoja. Funktiosta piirretty piste koordinaatistoon kertoo mitkä ovat toisiaan vastaavat x ja y (x katsotaan x-akselilta ja y katsotaan y-akselilta). Kuvassa 1 piste A kuvaa y:n arvoa neljä ja x:n arvoa kaksi. Juuri näinhän se on, kun yhtälö on y = x + 2. Sen voi tarkistaa laskemalla arvolla x = 2y = = 4. Kun funktiosta piirretään kuvaaja, siinä on monta tällaista pistettä peräkkäin viivana. Silloin voidaan katsoa mistä x:n kohdasta vain ja nähdään mikä on y:n arvo (tai päinvastoin). Yhdestä pisteestä näkee vain yhden kohdan, kuten yllä olevasta vain kohdan x = 2. Hiukan oudompi asia voi olla, kun koordinaatistossa käytetään muita muuttujia kuin x ja y tai koordinaatiston asteikko on epätavallinen. Tilanne ei kuitenkaan pohjimmiltaan eroa tavallisesta. Toisen muuttujan arvot (oli se sitten mikä tahansa) katsotaan mahdollisimman tarkasti sille merkitystä akselista ja toisen muuttujan arvot toisesta akselista Muut Geometria on kohtalaisen laaja matematiikan ala ja siihen liittyy paljon käsitteitä (= sanoja joilla on tietty merkitys) ja sääntöjä. Laajan kokonaisuuden oppii omaksumaan 6

8 Figure 1: Yhtälön piste koordinaatistossa vain laskemalla sitä paljon ja monipuolisesti. Toki kannattaa huolellisesti tutustua taulukkokirjan sisältämään tietoon. Harjoittele piirtämään koordinaatistoon yhtälöt x = 0, x = 4, y = 0 ja y = 3. Ne ovat hiukan epätavallisempia yhtälöitä, mutta niihin törmää silloin tällöin koordinaatistossa. 0.3 MAB 3 matemaattisia malleja Lineaarinen riippuvuus Eksponentiaalinen riippuvuus Matemaattiset ratkaisut malleille Lineaarinen riippuvuus y = k x Mitä tarkoittaa lineaarinen riippuvuus? Käytännössä kahden asian määrä, koko tai muu suure ovat riippuvaisia toisistaan. Esimerkiksi lumisateen kesto sataneen lumen 7

9 Figure 2: Tästä näkee jo useita arvoja (voit tarkistaa muutaman) määrä, auton nopeus auton kulkema matka, irtokarkkien määrä karkkien hinta, lannoitteen määrä kasvin koko jne. Riippuvuuden havaitseminen vaatii tilanteen tarkkaa miettimistä ja usein myös laskemista. Kun asiat havaitaan lineaarisesti riippuvaiseksi, ne voidaan kirjoittaa muuttujilla x ja y ja niille saadaan yhtälö y = k x. Kirjain k saa yhtälössä jonkin luvun tilanteen mukaan, riippuen siitä kuinka monta kertaa toinen on isompi/pienempi. Kun yhtälö on kirjoitettu, siitä voidaan tehdä kuvaaja tai sillä voidaan laskea haluttuja arvoja. Esim. jos tiedetään lumisateen kesto (x), voidaan laskea sataneen lumen määrä (y). Miksi näitä yhtälöitä käytetään oikeassa elämässä niin vähän? Syy on tietysti siinä, että luonnossa yhtälöt hyvin harvoin kuvaavat tarkasti tilannetta. Hyvä matematiikan taitaja osaa arvioida yhtälöiden käyttöä. Esimerkiksi lumisateesta tehty yhtälö ei välttämättä ole kovin hyvä. Jos lumisade olisi aina tasaisen voimakasta, yhtälö toimisi jo kohtalaisen hyvin. Todellisuudessa lunta saattaa sataa paljon lyhyessä ajassa tai toisaalta suhteellisen vähän pitkään kestävässä lumisateessa. Paremman yhtälön saa, jos huomioi lumisateen voimakkuuden, mutta silloin yhtälö menee jo hiukan hankalammaksi. Karkkipussien hinnassa ja ajoneuvon kulkemassa matkassa yhtälö pitää jo huomattavasti paljon paremmin paikkaansa. Täysin 100% varmoja ne eivät käytännössä ole, mutta niitä voidaan pitää tarkkoina teoriassa. Viimeinen lineaarista riippuvuutta kuvaava asia oli lannoitteen määrä kasvin koko. Jo lyhyellä mietinnällä tajuamme, että tässä tapauksessa lineaarisen mallin käyttäminen on erittäin arveluttavaa. Kasvi ei varmasti kasva aina vain isommaksi, jos lisäämme ja 8

10 Figure 3: Tässä pisteet ovat tiheästi ja näkee paljon arvoja lisäämme lannoitusta. Mahdollisesti jossakin määrin on tilanteita, joissa lannoitteen lisääminen suurentaa kasvin kokoa lähestulkoon lineaarisella riippuvuudella, mutta todennäköisesti on parempi miettiä muita malleja tähän riippuvuuteen. Mistä tietää riippuvuuden olevan lineaarista? Tekemällä mittauksia ja katsomalla noudattaako muutokset jotakin tiettyä yhtälöä (joka on muotoa y = kx). Lisäksi lineaarisessa riippuvuudessa yhtälön kuvaaja on suora! Eksponentiaalinen riippuvuus y = k e x Joskus muutos ei ole tasaista, vaan muutoksen nopeus pienenee tai kasvaa. Esim. aika ihmisten määrä. Jos asukkaan kaupungissa syntyy yhtenä päivänä 20 lasta, pitkän ajan kuluttua samassa kaupungissa voi syntyä yhdessä päivässä jo 50 lasta. Tämä on seurausta siitä, että ihmismäärän lisääntyessä myöskin ihmisten lisääntymisvauhti kasvaa. Lineaarisessa kasvussa esim. irtokarkkien (hinta 7e/kg) kokonaishinta kasvaa aina 7e kun lisätään kilo, riippumatta siitäs kuinka paljon karkkeja on jo pussissa. Tärkeää on tunnistaa tilanteet joissa kasvu saattaisi olla eksponentiaalista. Merkkinä sille on kasvun nopeutuminen/hidastuminen, se ettei lineaarinen kasvu sovi tilanteeseen tai kuvaajan muoto. Lopullisesti muutos paljastuu eksponentiaaliseksi, jos se noudattaa hyvin jotain eksponenttiyhtälöä. Myöskään eksponentiaalinen muutos luonnossa ei ole tarkasti mallin mukaista, vaan vaihtelee aiheesta ja tilanteesta riippuen. Eksponentiaalinen muutos on mm. radioak- 9

11 tiivisen aineen puoliintumisessa, bakteerien tai eläinpopulaatioiden kasvussa, tilille tallennetun rahan kasvussa jne.. Aihe on kohtalaisen tavallinen vaikeammissa tehtävissä Matemaattiset ratkaisut malleille Lineaarinen malli on helppo ratkaista, kun yhtälön ratkaisu on hallinnassa. Täytyy vain olla tarkkana. Potenssiyhtälöstä ei ollut esimerkkiä mallina, mutta lyhyesti sen ratkaisusta. Potenssiyhtälö on muotoa y = x n, missä n:n sijaan tehtävässä on jokin luku ja x täytyy selvittää. Esimerkiksi y = x 5. On tärkeää, että yhtälössä on vain yksi termi joka sisältää muuttujan x. Tehtävä ratkeaa laskemalla yhtälöstä puolittain n:s juuri. Joitakin asioita kuitenkin voi olla hyvä huomioida. Jos x:n potenssi on parillinen (x 2, x 4, x 6,?), y ei voi saada negatiivisia arvoja. Jos x:n potenssi on parillinen, on aina kaksi vastausta. Jos potenssi on pariton, kaikille y:n arvoille löytyy yksi x. Kuvaaja auttaa tilanteen hahmottamisessa! Kuvaajasta usein näet heti montako leikkauskohtaa näyttäisi funktiolla olevan. Eksponentiaalisen kasvun malli vaatii logaritmin käyttöä. Menetelmä on aika helppo, mutta ilman sen tuntemista ratkaiseminen ei onnistu. Jos laskemisen perusteet ovat hallussa, tämä on hyvä harjoitella seuraavaksi. 0.4 MAB4 Matemaattinen analyysi muutosnopeus derivaatta derivaattafunktio suurin ja pienin arvo muutosnopeus Funktion f(x) arvo kohdassa x = 3 voisi olla 5. Funktion f arvo kohdassa x = 6 on 6, 5. Huomaamme että funktion arvo on suurentunut 1, 5 yksikön verran. Funktio 10

12 vaikuttaa olevan tällä välillä kasvava. Funktion kasvu on usein mielenkiintoinen asia. Esimerkiksi säästötilin tilannetta tai osakkeiden hintaa kuvaavan funktion tulisi olla kasvava ja tietysti mahdollisimman nopeasti kasvava. Kovin paljon oikeaan elämään liittyviä derivointi- tai muutosnopeusosioita ei helpoimmissa tehtävissä ole. Usein muutosnopeutta lasketaan vähemmän mielekkäästi valmiille funktiolle kuten f(x) = x 2 4. Mikäli funktio voidaan derivoida, derivaattafunktio kertoo funktion muutoksen täydellisen tarkasti joka kohdasta. Silloin täytyy olla taito miettiä ja selvittää funktion arvojen muutos derivaattafunktiota katsomalla ja laskemalla. Kasvunopeus ilmoitetaan usein luvulla joka kertoo funktion arvon muutoksen muuttujan kasvaessa yhden yksikön verran derivaatta esim. D(2x2 + 5) = 4x Derivaatan laskeminen on yksinkertaisimmissa tapauksissa (polynomifunktio) helppo taito opetella. Monimutkaisemmat funktiot vaativat enemmän harjoittelua. Taulukkokirjasta on paljon apua derivaattafunktio Funktio, esim. f(x) = 2x 2 + 5, derivoimalla saadaan derivaattafunktio f (x) = 4x. Nyt 4x kuvaa funktion kasvamis- tai vähenemisnopeutta. Heti huomataan, että muutosnopeus on vaihteleva, sillä derivaattafunktiossa on muuttuja (x). Kohdassa x = 1 funktion kasvunopeus on 4 (1) = 4 ja kohdassa x = 2 funktio kasvaa jo nopeudella 4 (2) = 8. Derivaattafunktio voidaan piirtää kuvaajaan aivan samalla tavalla kuin alkuperäinenkin funktio. Hyvä matematiikan käyttötaito edellyttää, että derivaattafunktion kuvaajaa katsomalla nähdään mielessä funktion muutokset (ja ymmärretään mitä EI saada siitä tietoon). Kuvassa 4 olevassa koordinaatistossa näkyy derivaattafunktio f ja funktio f. Vaikka tietäisimme pelkästään derivaattafunktion, voisimme päätellä funktion f kuvaajan olevan suora, joka nousee kuvassa näkyvällä jyrkkyydellä. Derivaattafunktiosta yksinään emme voi päätellä, mistä kohdasta y-akselia funktion f kuvaaja kulkee. Kuvaaja siis saattaisi olla ylempänä tai alempana. Kuvassa 5 on hiukan monimutkaisempi kuvaaja. Siinä voimme kiinnittää ensin huomiota derivaattafunktioon f ja sitten seurata kuinka funktio f muuttuu. Alussa 11

13 Figure 4: f(x) = 2x + 2 ja f (x) = 2 f on suuri, f kasvaa nopeasti. Nopeasti f pienenee, jolloin f:n kasvu hidastuu, funktio kaartuu siten että se tulee loivemmaksi. Lopussa f on pieni ja funktio jatkaa hidasta kasvua (kuvaajassa näkyvät vain arvot x > 0). Kuvassa 6 voidaan ensin miettiä ensin derivaattafunktiota f ja sen jälkeen funktiota f. Aluksi f on negatiivinen jolloin funktio f on vähenevä. f tosin kasvaa, jolloin f kaartuu. Kohdassa x = 0, f saa arvon nolla (ts. f (0) = 0), silloin f menee hetkellisesti vaakatasossa. Nämä ovat tärkeitä kohtia funktion pienimmän ja suurimman arvon etsimisessä! Tämän jälkeen f saa positiivisia arvoja, jolloin tietysti f on kasvava. f jatkaa kasvua, joten f muoto on jälleen kaareva. On tarpeen osata hahmotus myös toisinpäin. Siis kun varsinainen funktio f on kuvaajassa, osaa ajatella minkä muotoinen derivaattafunktio f on Suurin ja pienin arvo Funktion arvot siis katsotaan y-akselilta. Suurin arvo on kohta, jossa kuvaaja on korkeimmalla ja pienin arvo kohdassa jossa kuvaaja on alimpana. Useimmiten paikka kuitenkin etsitään laskemalla, koska kohta voi olla koordinaatiston ulkopuolella tai koordinaatistosta paikkaa ei näe tarkasti. Suurimman ja pienimmän arvon päättely kohdistuu kahteen paikkaan: Funktion tai tarkastelualueen päätepisteet. Jos funktio ei ole välillä [, + ], päätepisteet on helppo huomioida laskemalla ne. Jos funktion määrittelyalue on 12

14 Figure 5: f(x) = lnx ja f (x) = 1/x ääretön (esim. reaaliluvut), täytyy päätellä (mielellään matemaattisesti) saako funktio isoja tai pieniä arvoja kun se lähestyy ääretöntä. Toinen kiinnostuksen paikka tulee siitä oivalluksesta, että huippukohdassa, samoin kuin alimmassa pohjassa, funktiossa täytyy olla tasainen kohta (vaikka vain yhden pisteen kokoinen). Tasaisessa kohdassa funktion derivaatta on nolla! Tätä voidaan hyödyntää, kun lasketaan funktion derivaattafunktio ja selvitetään kaikki kohdat, joissa se on nolla. Ne ovat mahdollisia kohtia funktion suurimmalle ja pienimmälle arvolle. Lasketaan näistä kohdista funktion arvot. Lopuksi valitaan suurin ja pienin arvo jonka funktio kohdissa a) ja b) on saanut. 0.5 MAB5 tilastot ja todennäköisyys Tunnusluvut Normaalijakauma Kombinatoriikka Todennäköisyys 13

15 Figure 6: f(x) = 2x 2 1 ja f (x) = 4x Tunnusluvut Keskiarvon, hajonnan yms. tunnuslukujen käyttö vaatii hyvää laskutaitoa ja?tilannetajua?. Tunnusluvut yksinkertaistavat kohdetta jollain tavalla, kertoen osan totuutta lyhyesti. Niiden käytössä ja käsittelyssä täytyy vain olla tarkkana. Taulukkokirjasta löytyy tarpeeksi tunnuslukuja, niitä vain pitää osata käyttää Normaalijakauma Normaalijakauma on eräänlainen matemaattinen malli. Useat luonnossa olevat asiat kuvautuvat sen mukaisesti. Esimerkiksi ihmisten pituus luultavasti noudattaa kohtalaisen hyvin normaalijakaumaa. Todella lyhyet ja todella pitkät ihmiset ovat harvinaisia,?normaalipituisia? ihmisiä on eniten ja siitä hiukan pidempiä ja lyhyempiä on aika paljon. Normaalijakaumasta tyypillinen mielikuva on taulukko, joka on kuin yksikyttyräisen kamelin selkä. Keskellä on korkea kohta, joka kuvaa keskimääräistä tasoa olevien arvojen isoa määrää. Molemmilla reunoilla taulukossa on pieniä arvoja, koska poikkeavia yksilöitä on vähemmän. Esimerkiksi nopan heitto EI mene normaalijakauman mukaisesti, vaan kaikkia tuloksia tulee tasaisesti. Ykkösiä ja kuutosia (jotka ovat ääripäätä), ei tule vähempää kuin kolmosia ja nelosia (jotka ovat keskimmäisiä arvoja). Normaalijakauma tehdään aineiston pohjalta ja ilmoitetaan siihen liittyvien tunnuslukujen avulla. Tämän jälkeen normaalijakaumaan liittyvien kaavojen avulla voidaan 14

16 käsitellä aineistoa, yleisesti mm. selvittämään kuinka todennäköistä on kuulua johonkin tiettyyn osaan normaalijakaumaa. Normaalijakauman käyttö on suhteellisen monimutkaista, koska jakauman mallintaminen ja siihen normaalijakauman käyttäminen vaatii tarkkaa kaavojen tuntemusta ja käyttöä. Usein näitä kuitenkin on hiukan haastavammissa tehtävissä Kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaan hyvin läheisesti kuuluu erilaisten vaihtoehtojen lukumäärä. Kombinatoriikassa selvitetään muutamalla perusmenetelmällä erilaiset vaihtoehdot: Kun on vain yksi valinta, vaihtoehtojen kokonaismäärä on suoraan vaihtoehtojen määrä ensimmäisessä valinnassa. Kun on kaksi tai useampia valintoja, lasketaan vaihtoehtojen määrä ensimmäisessä valinnassa, sitten toisessa valinnassa, kolmannessa valinnassa ja sitten lopuksi kerrotaan nämä vaihtoehtojen määrät keskenään. Tämä on hyvin yleinen tapaus. Esim. Halutaan korttipakasta kaksi patakorttia. Valintoja on kaksi. Ensimmäisellä kerralla vaihtoehtoja on 13 (54:stä) ja toisella valinnalla vaihtoehtoja on 12 (53:sta). Yhteensä siis on = 156 vaihtoehtoa nostaa kaksi patakorttia. Kun valinnan järjestyksellä ei ole väliä, täytyy tämä myös ottaa huomioon. Esimerkiksi puhelinnumeroa arvailtaessa täytyy numerot arvata oikeaan järjestykseen, mutta jos esim. tavoitteenasi on nostaa pallokorista sokkona punainen, sininen ja vihreä pallo, ei ole väliä minkä nostat ensimmäisenä. Tällöin voi laskea vaihtoehdot nostaa halutun värinen pallo ja jakaa tulos erilaisten järjestysten määrällä. Edellinen korttipakkaesimerkki on hankala tästä näkökulmasta. Itselleni kombinatoriikka ei ole vahvimpia alueitani. Hoidan tilanteet yleensä sillä, että mietin vaihtoehtojen lukumääriä tarkasti. Kannattaa yksinkertaistaa tilannetta mielessään. Kombinatoriikka on helppo sekoittaa todennäköisyyslaskuihin, sillä niin tiiviisti se niihin liittyy Todennäköisyys Todennäköisyys ilmoitetaan yleensä prosentteina 0%-100% tai lukuna % (tai luku 1) tarkoittaa varmaa, 0% (tai 0) mahdotonta tapahtumaa. Todennäköisyystehtävissä täytyy tarkasti miettiä tilannetta. Tärkeintä on saada selville tapahtuman luonne (onko järjestyksellä väliä, vaikuttaako ensimmäinen valinta 15

17 toiseen valintaan jne.). Todennäköisyyden perusta on siinä, että haluttujen mahdollisuuksien lukumäärä jaetaan kaikkien mahdollisuuksien lukumäärällä. Lisäksi käytetään kombinatoriikan mahdollistamia laskutapoja todennäköisyyteen liittyen Tapahtuma A TAI tapahtuma B todennäköisyys: todennäköisyydet lasketaan yhteen. Tapahtuma A JA tapahtuma B todennäköisyys: todennäköisyydet kerrotaan toisillaan. Jos mietitään tapahtuman A tai B todennäköisyyttä, yhteenlasketusta todennäköisyydestä täytyy vähentää tapahtuma jossa sekä A ja B tapahtuu (muutoin tulee laskettua kaksikertaisuuksia). 0.6 MAB6 Matemaattisia malleja yhtälöpari lineaarinen optimointi lukujono Yhtälöpari Usein merkitty y = 2x + 1 JA 2y = x + 2 { y = 2x + 12y = x + 2 Kahden muuttujan yhtälö, (esim. a + b = 4) tarvitsee ratketakseen aina yhtälöparin. Yhtälöparilla (korkein asteluku 1) voi olla äärettömästi ratkaisuja (ratkaisu on muotoa 0 = 0), ei yhtään ratkaisua (ratkaisu on muotoa 2 = 4) tai yksi ratkaisu (ratkaisu on muotoa a = 2 ja b = 2). Jos törmäät tehtävään, jossa on kahden muuttujan yhtälö ja selvitettävänä on jokin täysin tuntematon kohta, saattaa kyse olla yhtälöparitehtävästä. Vihjeitä tästä antaa tietysti myös, jos tehtävässä selkeästi on kaksi yhtälöä tai jos muuttujina on x:n ja y:n sijaan käytetty muita kirjaimia. Lisäksi jos koordinaatistossa halutaan selvittää 16

18 joidenkin suorien rajaama alue, suorien leikkauspisteet saadaan selville ratkaisemalla niistä yhtälöpari. Yhtälöparin vastaus antaa kohdan jossa yhtälöiden kuvaajat kohtaavat (tietysti, sillä niissä kohdissa yhtälöillä on sama x ja y, joten ne ovat päällekkäin). Yhtälöparin ratkaisemiseen on kaksi suosittua keinoa: sijoitusmenetelmä ja yhteenlaskumenetelmä. Voit päättää kumman harjoittelet tai harjoitella molemmat Lineaarinen optimointi Optimointi = parhaan mahdollisen tuloksen/menetelmän etsiminen. Lineaarinen optimointi = optimointi, jossa tilannetta kuvaavat yhtälöt ovat lineaarisia (suoria). Lineaarisen optimoinnin ongelma ratkaistaan selvittämällä tilannetta hahmottavien yhtälöiden rajaama-alue ja ratkaisemalla siitä kulmakohdat. Optimointitilanteessa on usein kaksi muuttujaa ja selvitetään mitkä näiden pitäisi olla, jotta tilanne olisi paras mahdollinen. Tavallinen tilanne on, että muuttujien täytyy olla positiivisia, jolloin saadaan yhtälöt x = 0 ja y = 0 rajafunktioiksi. Lisärajoja voidaan saada muuttujien avulla tehdystä yhtälöstä ja/tai muuttujille asetetuista rajoista, esimerkiksi toinen muuttujista ei voi olla yli 1000 x = Tilanne kannattaa hahmotella koordinaatistoon, mikäli mahdollista. Sen jälkeen ratkaistaan yhtälöiden risteämiskohdat. Lopuksi selvitetään millä muuttujien arvoilla (risteyskohtia käyttämällä) saadaan paras tulos kysytystä asiasta lukujonot 1, 4, 7, 10,... Lukujonoja tulee kohtalaisen usein vastaan matematiikassa. Niiden käsittelyssä on suuri hyöty säännöllisille lukujonoille soveltuvista laskukaavoista. Kun törmäät tilanteeseen, jossa täytyy käsitellä suurta määrää lukuja, mieti heti onko kyseessä säännöllinen lukujono. Usein tämmöisissä tilanteissa päästään ratkaisuun käyttämällä lukujonojen laskukaavoja. Tutustu taulukkokirjassa oleviin lukujonojen kaavoihin. Tavallisimpia lukujonoja ovat aritmeettinen ja geometrinen lukujono. Sinun tulee osata tunnistaa nämä lukujonot ja myöskin testata onko lukujono todella toinen näistä. Aritmeettisessa lukujonossa peräkkäisten lukujen erotus on aina sama (ts. lukuun lisätään tai vähennetään aina saman verran siirryttäessä seuraavaan lukuun). Geometrisessa lukujonossa peräkkäisten lukujen suhde on aina sama (ts. peräkkäisten lukujen jakolasku on aina sama, seuraavaan lukuun päästään kertomalla edellistä aina tietyllä luvulla). 17

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä 5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

A-osa (ilman laskinta)

A-osa (ilman laskinta) A-osa (ilman laskinta) 1. a) Tehtävässä käsketään ratkaista yhtälö à selvittää muuttuja x. Pieni hankaluus on siinä että funktiot ovat yhtälössä vain funktiomerkinnän avulla, niihin täytyy sijoittaa funktioiden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit

PITKÄ MATEMATIIKKA. Pakolliset kurssit 13 PITKÄ MATEMATIIKKA Suoritusohje: Pakolliset kurssit suoritetaan numerojärjestyksessä, poikkeuksena kurssi MAA6, jonka voi suorittaa jo kurssin MAA2 jälkeen. Syventävien kurssien suoritusjärjestys mainitaan

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Lyhyt, kevät 2016 Osa A Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,

Lisätiedot

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3

LUKUVUODEN E-KURSSI MAB3 1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI MAB3 Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB3 Matemaattisia malleja I Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi (MAB3-kurssin työtila on nähtävillä

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka, Lyhyt matematiikka MATEMATIIKKA, PITKÄ, LUKIO-OPETUS

Pitkä matematiikka, Lyhyt matematiikka MATEMATIIKKA, PITKÄ, LUKIO-OPETUS Pitkä matematiikka, Lyhyt matematiikka MATEMATIIKKA, PITKÄ, LUKIO-OPETUS Matematiikka tarjoaa välineitä johdonmukaisen ja täsmällisen ajattelun edistämiseen, avaruuden hahmottamiseen sekä käytännön ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot