Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli on pystysuora suora x = c. Vakio c vaikuttaa siihen, mikä paraabelin huipun x-koordinaatti on ja montako kertaa se leikkaa y-akselin. Paraabeli myös leikkaa x-akselin aina pisteessä (c, 0). b) Käyrä y = ax + c on myös paraabeli, mutta sen akseli on y-akselin suuntainen. Jos a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin. Jos a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin. Jos a = 0, paraabeli on vaakasuora suora y = c. Vakio c vaikuttaa siihen, mikä paraabelin huipun y-koordinaatti on ja montako kertaa se leikkaa x-akselin. Paraabeli myös leikkaa y-akselin aina pisteessä (0, c).

2 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Pisteet ovat ylöspäin aukeavalla paraabelilla. Käyrän yhtälö on y x 1.

3 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Paraabelin yhtälö YDINTEHTÄVÄT 501. A IV. Toisen asteen termissä muuttujana on x, joten paraabelin akseli on y-akselin suuntainen ja sen kerroin 1 on positiivinen, joten aukeamissuunta on ylöspäin. B I. Toisen asteen termissä muuttujana on y, joten paraabelin akseli on x- akselin suuntainen ja sen kerroin 1 on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle. C II. Toisen asteen termissä muuttujana on y, joten paraabelin akseli on x- akselin suuntainen ja sen kerroin on negatiivinen, joten aukeamissuunta on vasemmalle. D III. Toisen asteen termissä muuttujana on x, joten paraabelin akseli on y-akselin suuntainen ja sen kerroin on negatiivinen, joten aukeamissuunta on alaspäin.

4 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Toisen asteen termissä x muuttujana on x ja kerroin 1 on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. Paraabelin akseli on suora x =, koska paraabeli on ylöspäin aukeava ja huipun x-koordinaatti on. b) Toisen asteen termissä y muuttujana on y ja sen kerroin 1 on positiivinen, joten paraabeli aukeaa oikealle. Paraabelin akseli on suora y = 3, koska paraabeli on oikealle aukeava ja huipun y-koordinaatti on 3.

5 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty muuttujana on x ja sen kerroin 1 c) Toisen asteen termissä 3 x negatiivinen, joten paraabeli aukeaa alaspäin. on 3 Paraabelin akseli on suora x = 3, koska paraabeli on alaspäin aukeava ja huipun x-koordinaatti on 3. d) Toisen asteen termissä y muuttujana on y ja sen kerroin on negatiivinen, joten paraabeli aukeaa vasemmalle. Paraabelin akseli on suora y = 1, koska paraabeli on vasemmalle aukeava ja huipun y-koordinaatti on 1.

6 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Paraabelin ja y-akselin leikkauspisteissä x-koordinaatti on nolla. y 4 = 0 y = 4 y = tai y = Leikkauspisteet ovat (0, ) ja (0, ). Paraabelin huipun y-koordinaatti on y-akselin leikkauskohtien puolivälissä: y 0 0. Lasketaan huipun x-koordinaatti: x = 0 4 = 4. Huippu on pisteessä ( 4, 0). Sijoitetaan pisteen koordinaatistoon ja hahmotellaan paraabeli.

7 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Sijoitetaan paraabelin yhtälöön x-koordinaatiksi nolla. y + 6y = 0 y( y + 6) = 0 y = 0 tai y + 6 = 0 y = 6 Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja (0, 6). Paraabelin huipun y-koordinaatti on y-akselin leikkauskohtien puolivälissä: y Lasketaan huipun x-koordinaatti x = = 9. Huippu on pisteessä (9, 3). Sijoitetaan pisteen koordinaatistoon ja hahmotellaan paraabeli.

8 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrän ja x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on nolla. 0 + x 0 3 = 0 x = 3 Leikkauspiste on siis (3, 0). Käyrän ja y-akselin leikkauspisteessä x-koordinaatti on nolla. y + 0 y 3 = 0 y y 3 = 0 ( ) ( ) 41 y 16 4 y 3 tai y1 Leikkauspisteet ovat siis (0, 1) ja (0, 3).

9 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran ja paraabelin leikkauspisteet saadaan yhtälöparin x y y x 4x ratkaisuna. Muutetaan suoran yhtälö muotoon y = x ja sijoitetaan se paraabelin yhtälöön. x = x 4x + x 3x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 tai x 3 = 0 x = 3 Kun x = 0, saadaan y = 0 =, eli leikkauspiste on (0, ). Kun x = 3, saadaan y = 3 = 1, eli leikkauspiste on (3, 1). Paraabelin ja suoran leikkauspisteet ovat (0, ) ja (3, 1). Varmistetaan tulos vielä piirtämällä.

10 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 506. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista y x x y sijoitusmenetelmällä. x = (x ) x = x 4 x 4 x = 0 x(x 3 1) = 0 x = 0 tai x 3 1 = 0 x 3 = 1 x = 1 Kun x = 0, niin y = 0 = 0 ja kun x = 1, niin y = 1 = 1. Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja (1, 1) Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista xy 10 x y. x x y y 1 (y 1) y 4 4y 4y 1 y 4 4y 3y 10 Merkitään t = y, jolloin saadaan toisen asteen yhtälö

11 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty t t t 4 t t t 1 tai t 1 4 t = y, joten saadaan: ( 3) ( 3) 4 4 ( 1) y 1 tai y 4 y 1 tai y1 ei ratkaisua 1 Kun y = 1, x = 1 1 = 1 ja kun y = 1, x = ( 1) 1 = 1, eli leikkauspisteet ovat (1, 1) ja (1, 1).

12 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista 3x6y0 y 3x4y 0 3x6y y 3x 4y 0 y ( 6 y) 4y0 y 10y0 y( y5) 0 y 0 : tai y5 0 y 0 y 5 Kun y = 0, niin x = 0 = 0 ja kun y = 5, niin x = ( 5) = 10. Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja (10, 5).

13 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sievennetään paraabelin yhtälö. y = (x + ) 4 y = x + 4x y = x + 4x Paraabeli on ylöspäin aukeava. Huippumuodosta y + 4 = (x + ) voidaan päätellä, että huippu on (, 4). Lasketaan muutama piste paraabelilta piirtämisen helpottamiseksi. Kun x = 0, y = (0 + ) 4 = 4 4 = 0, eli piste (0, 0). Kun x = 4, y = 0, eli piste ( 4, 0). Kun x = 1, y = 3, eli piste ( 1, 3). Kun x = 3, y = 3, eli piste ( 3, 3).

14 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Sievennetään paraabelin yhtälö. y = (x 3) + 1 y = x 6x y = x 6x + 10 Paraabeli on ylöspäin aukeava. Huippumuodosta y 1 = (x 3) voidaan päätellä, että huippu on (3, 1). Lasketaan muutama piste paraabelilta piirtämisen helpottamiseksi. Kun x =, y = ( 3) + 1 = =, eli piste (, ). Kun x = 4, y =, eli piste (4, ). Kun x = 1, y = 5, eli piste (1, 5). Kun x = 5, y = 5, eli piste (5, 5).

15 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Paraabeli x = 3(y 5) + 1 aukeaa oikealle, koska kerroin 3 > 0. Paraabelin x 1 = 3(y 5) huippu on (1, 5). b) Paraabeli y = 6(x 7) aukeaa alaspäin, koska kerroin 6 < 0. Paraabelin y + = 6(x 7) huippu on pisteessä (7, ).

16 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska paraabeli aukeaa oikealle, on paraabelin yhtälö muotoa x x 0 = a(y y 0 ), missä a > 0. Sijoitetaan yhtälöön huipun (x 0, y 0 ) = ( 4, ) koordinaatit. x x 0 = a(y y 0 ) x ( 4) = a(y ) Koska paraabeli kulkee origon kautta, toteuttaa piste (0, 0) paraabelin yhtälön. 0 ( 4) = a(0 ) 4 = 4a a = 1 Paraabelin yhtälö on siis x + 4 = 1(y ) x + 4 = 1(y 4y + 4) x = y 4y x = y 4y.

17 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska akseli on y-akselin suuntainen, on paraabelin yhtälö muotoa y y 0 = a(x x 0 ). Sijoitetaan yhtälöön huipun (x 0, y 0 ) = (1, ) koordinaatit. y y 0 = a(x x 0 ) y = a(x 1) Koska paraabeli kulkee pisteen (3, 4) kautta, toteuttaa piste (3, 4) paraabelin yhtälön. 4 = a(3 1) = 4a : 4 a = 1 Paraabelin yhtälö on siis y = 1 (x 1) y = 1 (x x + 1) y = 1 x x + 5.

18 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska paraabeli aukeaa ylöspäin, on paraabelin yhtälö muotoa y y 0 = a(x x 0 ). Sijoitetaan yhtälöön huipun (x 0, y 0 ) = (, 1) koordinaatit. y 1 = a(x ) Paraabeli kulkee pisteen (1, ) kautta, joten piste toteuttaa paraabelin yhtälön. 1 = a(1 ) 1 = a a = 1 Paraabelin yhtälö on y 1 = 1(x ) y 1 = x 4x + 4 y = x 4x + 5. b) Sijoitetaan pisteiden A, B ja C koordinaatit paraabelin yhtälöön A = (3, 3) 3 = = = epätosi Piste ei ole paraabelilla. Kun x = 3, y =, eli paraabelilla on piste (3, ). Piste A = (3, 3) on siis paraabelin yläpuolella. B = (0, 5) 5 = = 5 Piste B on paraabelilla. C = (4, 4) 4 = = = 5 Kun x = 4, y = 5, eli paraabelilla on piste (4, 5). Piste C = (4, 4) on siis paraabelin alapuolella.

19 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 5 pisteestä (, 0) ovat ympyrällä (x + ) + y = 5. Selvitetään siis paraabelin x = y + 3 ja ympyrän leikkauspisteet. xy 3 ( x) y 5 y x3 ( x) y 5 (x + ) x + 3 = 5 x + 4x + 4 x + 3 = 5 x + 3x 18 = ( 18) x x3taix6 Sijoitetaan x = 6, jolloin 6 = y + 3, josta y = 3 tai y = 3. Sijoitetaan x = 3, jolloin 3 = y + 3, josta y = 0. Kysytyt paraabelin pisteet ovat ( 6, 3), ( 6, 3) ja (3, 0).

20 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon piste (x, y) kysytyllä käyrällä. Lasketaan sen etäisyys pisteestä (0, ) sekä x-akselista, eli suorasta y = 0. ( x0) ( y) y 0 Etäisyydet ovat ei-negatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen. ( x0) ( y) y ( x0) ( y) y x y 4y4 y 4y x 4 : ( 4) y 1 x 4 1 Käyrän yhtälö on y 1 x 4 1.

21 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 516. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista y x 4x5 y x 3. x 4x + 5 = x + 3 x 4x + = 0 : x x + 1 = 0 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 Kun x = 1, niin y = =. Paraabeleilla on siis yksi yhteinen piste (1, ). Koska toinen paraabeli on alaspäin aukeava ja toinen ylöspäin aukeava ja niillä on yksi yhteinen piste, niin paraabelit sivuavat toisiaan pisteessä (1, ).

22 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Laskussa on muokattu muodossa y = ax + bx + c annettu paraabelin yhtälö huippumuotoon. Laskun perusteella saadaan tulos, että paraabelin y = ax + bx + c huipun x-koordinaatti on b ja y-koordinaatti c b. a 4a b) a-kohdan tuloksen perusteella x

23 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoran, joka kulkee pisteen (, 1) kautta ja joka ei ole pystysuora, yhtälö on muotoa y 1 = k(x ) eli y = kx k + 1. Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y x 6x10 y kx k 1 on yksi ratkaisu. x 6x + 10 = kx k + 1 x + ( k 6)x + k + 9 = 0 Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun diskriminantti D = 0. ( k 6) 4 1 (k + 9) = 0 k + 1k k 36 = 0 k + 4k = 0 k(k + 4) = 0 k = 0 tai k + 4 = 0 k = 4 Kun suoran kulmakerroin k = 0 tai k = 4, niin suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste. Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun suora on y-akselin suuntainen, mutta tällöin suoralla ei ole kulmakerrointa. b) Vastaavasti kuin a-kohdassa, mutta nyt pitää olla kaksi ratkaisua, joten diskriminantti D > 0. Epäyhtälön k + 4k > 0 ratkaisu on k < 4 tai k > 0.

24 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippumuotoiseen yhtälöön päästään muokkaamalla annettua yhtälöä binomin neliön ja luvun summaksi. y x 0x53 y53 x 0x y53 ( x 10 x) y53 ( x 10x5) 50 y53 ( x5) 50 y3( x5) Huippumuotoisesta yhtälöstä nähdään, että huippu on (5, 3). Paraabeli on ylöspäin aukeava, joten huippu on paraabelin alin piste. Huipun y-koordinaatti on pienempi kuin yhdelläkään toisella paraabelin pisteellä. 50. Kirjoitetaan paraabelin yhtälö huippumuodossa. y x 6x5c yc x 6x5 4 yc4 x 6x9 y( c4) ( x3) Huippumuotoisesta yhtälöstä nähdään huipun koordinaatit: (3, c 4). Jotta huippu olisi suoralla y = 7, tulee olla c 4 = 7 c = 11. Huippu on suoralla y = 7, kun c = 11.

25 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Paraabelin määritelmä YDINTEHTÄVÄT 51. A II, B II ja III, C I ja II, D III 5. a) Pisteen (3, 0) etäisyys johtosuorasta x = on 3 = 1. Pisteen (3, 0) etäisyys polttopisteestä (3, 1) on y-koordinaattien erotus 1 0 = 1. b) Toisenkin pisteen x-koordinaatti pitää olla 3, jotta etäisyys johtosuoraan pysyy samana. Piste on siten (3, ) eli sijaitsee symmetrisesti polttopisteen toisella puolella pisteeseen (3, 0) nähden. 53. a) Paraabelin yhtälö on y = 0,5x. b) Olkoon piste (x, y) paraabelin piste. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä (0, 1) sekä johtosuorasta y = 1 ja merkitään lasketut etäisyydet yhtä suuriksi. ( x 0) ( y 1) y ( 1) ( x0) ( y1) y1 ( x0) ( y1) y1 x y y1 y y1 4 yx : ( 4) 1 y x 4 Paraabelin yhtälö on y 1 4 x.

26 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Paraabelilla on piste (,5; 1), koska sen etäisyys polttopisteestä (, 1) ja johtosuorasta x = 3 on sama, 0,5. Samoin voidaan päätellä pisteet (, 0) ja (,), joiden etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on 1. b) Olkoon piste (x, y) paraabelin piste. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä (, 1) sekä johtosuorasta x = 3 ja ja merkitään lasketut etäisyydet yhtä suuriksi. ( x) ( y1) x3 ( x) ( y1) x3 ( x) ( y1) x3 x 4x4 y y1 x 6x9 xy y4 : 1 x y y Paraabelin yhtälö on 1. x y y

27 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Sijoitetaan paraabelin yhtälöön tien korkeus y = 10 ja lasketaan, mitkä ovat vastaavat x-koordinaatit. 10 0, 001x 0,5x 0,001x 0,5x10 0 x 479, tai x0, Sillan kaarien välissä oleva tien osuus on x-koordinaattien erotus, eli 479,18 m 0,87 m = 458,5 m 458 m.

28 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 56. a) Koska paraabeli on alaspäin aukeava, sen johtosuora on vaakasuora, eli x-akselin suuntainen. b) Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Sijoitetaan pisteet (, 0), (0, 3) ja (, 0) tähän yhtälöön. 0 = a ( ) + b ( ) + c, mistä saadaan 4a b + c = 0 3 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 3 0 = a + b + c, mistä saadaan 4a + b + c = 0 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä, ja ratkaistaan siitä kertoimet a, b ja c. 4abc0 c 3 4abc0 4ab30 4ab30 8a 60 8a 6 :8 a Sijoitetaan a = 3 yhtälöön 4a b + 3 = ( 3 ) b b 3 0 b 0 : ( ) b 0 a b 0 c Paraabelin yhtälö on y 3 x 4. 3

29 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska paraabelin johtosuora on y-akselin suuntainen, niin paraabeli aukeaa joko oikealle tai vasemmalle. Merkitään pisteet koordinaatistoon ja päätellään aukeamissuunta. Korkeutensa puolesta piste (1, 0) on oikean puoleisin, joten aukeamissuunnan voidaan päätellä olevan vasemmalle. b) Koska paraabeli on vasemmalle aukeava, sen yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Sijoitetaan pisteet (0, 1), (1, 0) ja ( 3, ) tähän yhtälöön. 0 = a 1 + b 1 + c, mistä saadaan a + b + c = 0 1 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 1 3 = a ( ) + b ( ) + c, mistä saadaan 4a b + c = 3 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä abc0 c 1. 4abc3 ab10 4ab13 ab 4ab4 6a 6 : 6 a 1 Kun a = 1 ja c = 1, niin 1 + b + 1 = 0, joten b = 0. Paraabelin yhtälö on siis x = y + 1.

30 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska paraabelin johtosuora on x-akselin suuntainen, sen yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Sijoitetaan pisteet (0, 1), (3, 4) ja (8, 1) tähän yhtälöön. 1 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 1 4 = a 3 + b 3 + c, mistä saadaan 9a + 3b + c = 4 1 = a 8 + b 8 + c, mistä saadaan 64a + 8b + c = 1 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä, ja ratkaistaan siitä kertoimet a, b ja c symbolisen laskennan ohjelmalla. Yhtälöryhmän c 1 9a3bc4 64a8bc1 ratkaisu on a 1 4 b 7 4 c 1. Paraabelin yhtälö on siis 1 7 y x x b) Koska paraabelin johtosuora on y-akselin suuntainen, sen yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Sijoitetaan pisteet (0, 1), (3, 4) ja (8, 1) tähän yhtälöön. 0 = a 1 + b 1 + c, mistä saadaan a + b + c = 0 3 = a 4 + b 4 + c, mistä saadaan 16a + 4b + c = 3 8 = a ( 1) + b ( 1) + c, mistä saadaan a b + c = 8 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä, ja ratkaistaan siitä kertoimet a, b ja c symbolisen laskennan ohjelmalla.

31 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöryhmän abc0 16a4bc3 a b c 8 ratkaisu on a 1 b 4 c 3. Paraabelin yhtälö on siis x = y 4y + 3.

32 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kun sijoittaa paraabelin yhtälöön y = ax + bx + c kuvan I pisteet, saa yhtälöryhmän c 0 64a8bc3 56a16bc0. Ja vastaavasti versiolla II saadaan yhtälöryhmä 64a8bc7 c 4 64a 8b c 7. Kun vertaa yhtälöryhmiä, niin version II yhtälöryhmä on hiukan helpompi ratkaista. b) Version I yhtälöryhmän ratkaisu on a 3 0, ,05 64 b 3 0,75 4 c 0. Silloin paraabelin yhtälö on y = 0,05x 0,75x. Version II yhtälöryhmän ratkaisu on a 3 0, ,05 64 b 0 c 4. Silloin paraabelin yhtälö on y = 0,05x + 4.

33 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska lentorata muodostaa alaspäin aukeavan paraabelin, sen yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Piirretään kuva. Sijoitetaan yhtälöön pisteet (0, 0), (48; 13,5) ja (7, 0). 0 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 0 13,5 = a 48 + b 48 + c, mistä saadaan 304a + 48b + c = 13,5 0 = a 7 + b 7 + c, mistä saadaan 5 184a + 7b + c = 0 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä c 0 304a48bc13,5 5184a7bc0. Sijoitetaan c = 0 kahteen muuhun yhtälöön, jolloin jää yhtälöpari, josta ylemmän yhtälön voi kertoa luvulla 1,5 ja laskea yhtälöt puolittain yhteen. 304a 48b 0 13,5 5184a7b a7b0,5 5184a7b0 178a 0,5 :178 3 a 56

34 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan saadut arvot alimpaan yhtälöön, jolloin b = 0 b = 7 3 Lentorataa kuvaavan paraabelin yhtälö on 3 7 y x x Huippukohta on lennon puolivälissä, joten sijoitetaan paraabelin yhtälöön x = 36 ja lasketaan huipun y-koordinaatti. y = 15, , (m). Kivi käy 15, metrin korkeudella.

35 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Lähtöpistettä voidaan merkitä koordinaatistossa pisteellä (0, 1). Sijoitetaan se paraabelin yhtälöön y = ax + bx + c, jolloin saadaan 1 = a 0 + b 0 + c, eli c = 1. Talon seinä on kymmenen metrin päässä lähtöpisteestä x = 0 ja huippu on tästä neljän metriä potkaisijaan päin, eli silloin x = 10 4 = 6. Koska huipun x-koordinaatti on x b, niin 6 b eli b = 1a. a a Yhtälö on nyt siis saatu muotoon y = ax 1ax + 1. Kun tähän sijoittaa pisteen, jossa pallo osuu seinään (10, ), niin = a 10 1a a = 1 a = Paraabelin yhtälö on y x x 1. Huipun korkeus saadaan 0 5 sijoittamalla tähän x = y 6 61,8 0 5 Pallo käy siis,8 metrin korkeudella.

36 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suora on paraabelin yläpuolella niissä kohdissa x, joissa suoran y- koordinaatti on suurempi kuin paraabelin y-koordinaatti. Ratkaistaan suoran ja paraabelin yhtälöistä muuttuja y. x y = 0 x + 4y 8 = 0 y = 1 x y = 1 x + 4 Suora on paraabelin yläpuolella, kun epäyhtälö x 1 x 1 4 x80 x 1 x 1 4 x on tosi. Ratkaistaan epäyhtälö kuvaajan avulla. Lasketaan funktion f(x) = x + x 8 nollakohdat. x x x 1 x tai x4 Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälön ratkaisu on x < 4 tai x >, jolloin siis suora on paraabelin yläpuolella. Vastaavasti suora on paraabelin alapuolella, kun epäyhtälö 1 1 x x eli x x8 0 on tosi. Se toteutuu, kun 4 < x <. 4

37 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrä y = x + 4x + on käyrän y = x x + yläpuolella, kun epäyhtälö x + 4x + > x x + on tosi. x + 4x + > x x + x + 6x > 0 Ratkaistaan epäyhtälö kuvaajan avulla. Ratkaistaan funktion f(x) = x + 6x nollakohdat. x + 6x = 0 x( x + 6) = 0 x = 0 tai x + 6 = 0 x = 6 : ( ) x = 3 Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli Epäyhtälön x + 6x > 0 ja samalla myös x + 4x + > x x + ratkaisu on väli ]0, 3[.

38 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon piste (x, y) kysytyllä käyrällä. Lasketaan sen etäisyys pisteestä (0, ) ja x-akselista, eli suorasta y = 0. ( x0) ( y) y0 () ( x0) ( y) 4 y ( x0) ( y) 4y x y 4y44y x 3y 4y40 Käyrän yhtälö on x 3y 4y + 4 = 0.

39 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon piste (x, y) kysytyllä paraabelilla. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä (1, 3) ja johtosuorasta x y = 0. Etäisyydet ovat yhtä suuret, joten saadaan yhtälö. 1x1y ( x1) ( y3) 1 ( 1) ( x1) ( y3) x y () ( x1) ( y3) ( x y) ( x x1 y 6y9) x xy y x 4x y 1y18 x xy y x xy y 4x1y0 0

40 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 536. a) Neljä. Esimerkiksi: b) Koska neljän pisteen kautta voi kulkea kaksi eri paraabelia, neljä ei vielä riitä. Kuitenkin yhden lisäpisteen avulla on paraabeli yksikäsitteinen. Siis viisi pistettä on riittävä.

41 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan kaavaan a = ja b = b. Saadaan huipun x-koordinaatiksi b x yhtälöstä y = x + bx + 3 kertoimet a b b x. 4 Huipun y-koordinaatti saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön b y b b 3 b b 3 b b x. 4 Paraabelin huippu on b, b Jos huippu sijaitsee paraabelilla y = x + 3, huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön. b b b b 8 16 b b 8 8 Koska huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin y = x + 3 yhtälön, niin huippu sijaitsee sillä riippumatta kertoimen b arvosta.

42 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään käyräparven käyriä eri a:n arvoilla. Kuvasta löydetään paraabelin pisteet (1, ), (0, 0) ja (1, ). Koska paraabeli on oikealle avautuva, sen yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Sijoitetaan siihen löydettyjen pisteiden koordinaatit, jolloin saadaan yhtälöryhmä 4abc1 c 0 4a b c 1, joka voidaan ratkaista symbolisen laskennan ohjelmalla ja ratkaisuksi saadaan a 1 4 b 0 c 0. Paraabelin yhtälö on siis x 1 y. 4 Jos suora ei ole paraabelin akselin suuntainen ja suoralla ja paraabelilla on täsmälleen yksi yhteinen piste, on suora paraabelin tangentti. Suora olisi paraabelin akselin eli x-akselin suuntainen, jos sen kulmakerroin olisi nolla. Tämä on mahdotonta, koska a ei voi olla nolla.

43 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jotta suora olisi paraabelin tangentti, suoralla ja tangentilla on täsmälleen yksi yhteinen piste. Tutkitaan, onko yhtälöparilla axay10 1 x y 4 aina vain yksi ratkaisu sijoittamalla suoran yhtälöön muuttujan x paikalle paraabelin yhtälöstä saatu x ay 4ay40 a y ay Koska diskriminantti D = (4a) 4 a 4 = 16a 16a = 0, niin ratkaisuja on aina yksi. Siis suoraparven a x + ay + 1 = 0 suorista jokainen on paraabelin tangentti. x 1 4 y 539. a) Paraabelin jokaisen pisteen etäisyys johtosuorasta ja polttopisteestä on sama. Piirretään paraabeli y = x. Koska paraabelin huippu on origossa, tulee polttopisteen olla yhtä kaukana origosta y-akselilla kuin johtosuoran etäisyys origosta. Jos polttopiste on (0, a) on johtosuora y = a. Piirretään piste (0, a) ja suora y = a, muutetaan a:n arvoja ja tutkitaan, millä arvolla paraabelin pisteen etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on sama. Polttopiste näyttäisi olevan (0,5; 0) ja johtosuora y = 0,5.

44 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Paraabelin akseli on y-akseli, joten polttopiste on myös y-akselilla. Polttopisteen koordinaatit ovat (0, a). Johtosuora on x-akselin suuntainen, eli muotoa y = a. Olkoon piste (x, y) paraabelilla. Pisteen etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on sama. ( x0) ( ya) a y () x ( ya) ( a y) x y aya a ay y, a b 4 ay x : ( 4 a) x 1 y x 4a 4a Koska paraabelin yhtälö on y = x, tulee olla 1 1 a 0 4a 1 a 4 Johtosuora on y = 1 ja polttopiste (0, )

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot