Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa."

Transkriptio

1 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli on pystysuora suora x = c. Vakio c vaikuttaa siihen, mikä paraabelin huipun x-koordinaatti on ja montako kertaa se leikkaa y-akselin. Paraabeli myös leikkaa x-akselin aina pisteessä (c, 0). b) Käyrä y = ax + c on myös paraabeli, mutta sen akseli on y-akselin suuntainen. Jos a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin. Jos a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin. Jos a = 0, paraabeli on vaakasuora suora y = c. Vakio c vaikuttaa siihen, mikä paraabelin huipun y-koordinaatti on ja montako kertaa se leikkaa x-akselin. Paraabeli myös leikkaa y-akselin aina pisteessä (0, c).

2 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Pisteet ovat ylöspäin aukeavalla paraabelilla. Käyrän yhtälö on y x 1.

3 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Paraabelin yhtälö YDINTEHTÄVÄT 501. A IV. Toisen asteen termissä muuttujana on x, joten paraabelin akseli on y-akselin suuntainen ja sen kerroin 1 on positiivinen, joten aukeamissuunta on ylöspäin. B I. Toisen asteen termissä muuttujana on y, joten paraabelin akseli on x- akselin suuntainen ja sen kerroin 1 on positiivinen, joten aukeamissuunta on oikealle. C II. Toisen asteen termissä muuttujana on y, joten paraabelin akseli on x- akselin suuntainen ja sen kerroin on negatiivinen, joten aukeamissuunta on vasemmalle. D III. Toisen asteen termissä muuttujana on x, joten paraabelin akseli on y-akselin suuntainen ja sen kerroin on negatiivinen, joten aukeamissuunta on alaspäin.

4 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Toisen asteen termissä x muuttujana on x ja kerroin 1 on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. Paraabelin akseli on suora x =, koska paraabeli on ylöspäin aukeava ja huipun x-koordinaatti on. b) Toisen asteen termissä y muuttujana on y ja sen kerroin 1 on positiivinen, joten paraabeli aukeaa oikealle. Paraabelin akseli on suora y = 3, koska paraabeli on oikealle aukeava ja huipun y-koordinaatti on 3.

5 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty muuttujana on x ja sen kerroin 1 c) Toisen asteen termissä 3 x negatiivinen, joten paraabeli aukeaa alaspäin. on 3 Paraabelin akseli on suora x = 3, koska paraabeli on alaspäin aukeava ja huipun x-koordinaatti on 3. d) Toisen asteen termissä y muuttujana on y ja sen kerroin on negatiivinen, joten paraabeli aukeaa vasemmalle. Paraabelin akseli on suora y = 1, koska paraabeli on vasemmalle aukeava ja huipun y-koordinaatti on 1.

6 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Paraabelin ja y-akselin leikkauspisteissä x-koordinaatti on nolla. y 4 = 0 y = 4 y = tai y = Leikkauspisteet ovat (0, ) ja (0, ). Paraabelin huipun y-koordinaatti on y-akselin leikkauskohtien puolivälissä: y 0 0. Lasketaan huipun x-koordinaatti: x = 0 4 = 4. Huippu on pisteessä ( 4, 0). Sijoitetaan pisteen koordinaatistoon ja hahmotellaan paraabeli.

7 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Sijoitetaan paraabelin yhtälöön x-koordinaatiksi nolla. y + 6y = 0 y( y + 6) = 0 y = 0 tai y + 6 = 0 y = 6 Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja (0, 6). Paraabelin huipun y-koordinaatti on y-akselin leikkauskohtien puolivälissä: y Lasketaan huipun x-koordinaatti x = = 9. Huippu on pisteessä (9, 3). Sijoitetaan pisteen koordinaatistoon ja hahmotellaan paraabeli.

8 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrän ja x-akselin leikkauspisteessä y-koordinaatti on nolla. 0 + x 0 3 = 0 x = 3 Leikkauspiste on siis (3, 0). Käyrän ja y-akselin leikkauspisteessä x-koordinaatti on nolla. y + 0 y 3 = 0 y y 3 = 0 ( ) ( ) 41 y 16 4 y 3 tai y1 Leikkauspisteet ovat siis (0, 1) ja (0, 3).

9 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suoran ja paraabelin leikkauspisteet saadaan yhtälöparin x y y x 4x ratkaisuna. Muutetaan suoran yhtälö muotoon y = x ja sijoitetaan se paraabelin yhtälöön. x = x 4x + x 3x = 0 x(x 3) = 0 x = 0 tai x 3 = 0 x = 3 Kun x = 0, saadaan y = 0 =, eli leikkauspiste on (0, ). Kun x = 3, saadaan y = 3 = 1, eli leikkauspiste on (3, 1). Paraabelin ja suoran leikkauspisteet ovat (0, ) ja (3, 1). Varmistetaan tulos vielä piirtämällä.

10 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 506. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista y x x y sijoitusmenetelmällä. x = (x ) x = x 4 x 4 x = 0 x(x 3 1) = 0 x = 0 tai x 3 1 = 0 x 3 = 1 x = 1 Kun x = 0, niin y = 0 = 0 ja kun x = 1, niin y = 1 = 1. Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja (1, 1) Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista xy 10 x y. x x y y 1 (y 1) y 4 4y 4y 1 y 4 4y 3y 10 Merkitään t = y, jolloin saadaan toisen asteen yhtälö

11 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty t t t 4 t t t 1 tai t 1 4 t = y, joten saadaan: ( 3) ( 3) 4 4 ( 1) y 1 tai y 4 y 1 tai y1 ei ratkaisua 1 Kun y = 1, x = 1 1 = 1 ja kun y = 1, x = ( 1) 1 = 1, eli leikkauspisteet ovat (1, 1) ja (1, 1).

12 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista 3x6y0 y 3x4y 0 3x6y y 3x 4y 0 y ( 6 y) 4y0 y 10y0 y( y5) 0 y 0 : tai y5 0 y 0 y 5 Kun y = 0, niin x = 0 = 0 ja kun y = 5, niin x = ( 5) = 10. Leikkauspisteet ovat (0, 0) ja (10, 5).

13 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sievennetään paraabelin yhtälö. y = (x + ) 4 y = x + 4x y = x + 4x Paraabeli on ylöspäin aukeava. Huippumuodosta y + 4 = (x + ) voidaan päätellä, että huippu on (, 4). Lasketaan muutama piste paraabelilta piirtämisen helpottamiseksi. Kun x = 0, y = (0 + ) 4 = 4 4 = 0, eli piste (0, 0). Kun x = 4, y = 0, eli piste ( 4, 0). Kun x = 1, y = 3, eli piste ( 1, 3). Kun x = 3, y = 3, eli piste ( 3, 3).

14 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Sievennetään paraabelin yhtälö. y = (x 3) + 1 y = x 6x y = x 6x + 10 Paraabeli on ylöspäin aukeava. Huippumuodosta y 1 = (x 3) voidaan päätellä, että huippu on (3, 1). Lasketaan muutama piste paraabelilta piirtämisen helpottamiseksi. Kun x =, y = ( 3) + 1 = =, eli piste (, ). Kun x = 4, y =, eli piste (4, ). Kun x = 1, y = 5, eli piste (1, 5). Kun x = 5, y = 5, eli piste (5, 5).

15 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Paraabeli x = 3(y 5) + 1 aukeaa oikealle, koska kerroin 3 > 0. Paraabelin x 1 = 3(y 5) huippu on (1, 5). b) Paraabeli y = 6(x 7) aukeaa alaspäin, koska kerroin 6 < 0. Paraabelin y + = 6(x 7) huippu on pisteessä (7, ).

16 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska paraabeli aukeaa oikealle, on paraabelin yhtälö muotoa x x 0 = a(y y 0 ), missä a > 0. Sijoitetaan yhtälöön huipun (x 0, y 0 ) = ( 4, ) koordinaatit. x x 0 = a(y y 0 ) x ( 4) = a(y ) Koska paraabeli kulkee origon kautta, toteuttaa piste (0, 0) paraabelin yhtälön. 0 ( 4) = a(0 ) 4 = 4a a = 1 Paraabelin yhtälö on siis x + 4 = 1(y ) x + 4 = 1(y 4y + 4) x = y 4y x = y 4y.

17 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska akseli on y-akselin suuntainen, on paraabelin yhtälö muotoa y y 0 = a(x x 0 ). Sijoitetaan yhtälöön huipun (x 0, y 0 ) = (1, ) koordinaatit. y y 0 = a(x x 0 ) y = a(x 1) Koska paraabeli kulkee pisteen (3, 4) kautta, toteuttaa piste (3, 4) paraabelin yhtälön. 4 = a(3 1) = 4a : 4 a = 1 Paraabelin yhtälö on siis y = 1 (x 1) y = 1 (x x + 1) y = 1 x x + 5.

18 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska paraabeli aukeaa ylöspäin, on paraabelin yhtälö muotoa y y 0 = a(x x 0 ). Sijoitetaan yhtälöön huipun (x 0, y 0 ) = (, 1) koordinaatit. y 1 = a(x ) Paraabeli kulkee pisteen (1, ) kautta, joten piste toteuttaa paraabelin yhtälön. 1 = a(1 ) 1 = a a = 1 Paraabelin yhtälö on y 1 = 1(x ) y 1 = x 4x + 4 y = x 4x + 5. b) Sijoitetaan pisteiden A, B ja C koordinaatit paraabelin yhtälöön A = (3, 3) 3 = = = epätosi Piste ei ole paraabelilla. Kun x = 3, y =, eli paraabelilla on piste (3, ). Piste A = (3, 3) on siis paraabelin yläpuolella. B = (0, 5) 5 = = 5 Piste B on paraabelilla. C = (4, 4) 4 = = = 5 Kun x = 4, y = 5, eli paraabelilla on piste (4, 5). Piste C = (4, 4) on siis paraabelin alapuolella.

19 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 5 pisteestä (, 0) ovat ympyrällä (x + ) + y = 5. Selvitetään siis paraabelin x = y + 3 ja ympyrän leikkauspisteet. xy 3 ( x) y 5 y x3 ( x) y 5 (x + ) x + 3 = 5 x + 4x + 4 x + 3 = 5 x + 3x 18 = ( 18) x x3taix6 Sijoitetaan x = 6, jolloin 6 = y + 3, josta y = 3 tai y = 3. Sijoitetaan x = 3, jolloin 3 = y + 3, josta y = 0. Kysytyt paraabelin pisteet ovat ( 6, 3), ( 6, 3) ja (3, 0).

20 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon piste (x, y) kysytyllä käyrällä. Lasketaan sen etäisyys pisteestä (0, ) sekä x-akselista, eli suorasta y = 0. ( x0) ( y) y 0 Etäisyydet ovat ei-negatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen. ( x0) ( y) y ( x0) ( y) y x y 4y4 y 4y x 4 : ( 4) y 1 x 4 1 Käyrän yhtälö on y 1 x 4 1.

21 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 516. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista y x 4x5 y x 3. x 4x + 5 = x + 3 x 4x + = 0 : x x + 1 = 0 (x 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 Kun x = 1, niin y = =. Paraabeleilla on siis yksi yhteinen piste (1, ). Koska toinen paraabeli on alaspäin aukeava ja toinen ylöspäin aukeava ja niillä on yksi yhteinen piste, niin paraabelit sivuavat toisiaan pisteessä (1, ).

22 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Laskussa on muokattu muodossa y = ax + bx + c annettu paraabelin yhtälö huippumuotoon. Laskun perusteella saadaan tulos, että paraabelin y = ax + bx + c huipun x-koordinaatti on b ja y-koordinaatti c b. a 4a b) a-kohdan tuloksen perusteella x

23 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Suoran, joka kulkee pisteen (, 1) kautta ja joka ei ole pystysuora, yhtälö on muotoa y 1 = k(x ) eli y = kx k + 1. Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y x 6x10 y kx k 1 on yksi ratkaisu. x 6x + 10 = kx k + 1 x + ( k 6)x + k + 9 = 0 Toisen asteen yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun diskriminantti D = 0. ( k 6) 4 1 (k + 9) = 0 k + 1k k 36 = 0 k + 4k = 0 k(k + 4) = 0 k = 0 tai k + 4 = 0 k = 4 Kun suoran kulmakerroin k = 0 tai k = 4, niin suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste. Suoralla ja paraabelilla on yksi yhteinen piste, kun suora on y-akselin suuntainen, mutta tällöin suoralla ei ole kulmakerrointa. b) Vastaavasti kuin a-kohdassa, mutta nyt pitää olla kaksi ratkaisua, joten diskriminantti D > 0. Epäyhtälön k + 4k > 0 ratkaisu on k < 4 tai k > 0.

24 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippumuotoiseen yhtälöön päästään muokkaamalla annettua yhtälöä binomin neliön ja luvun summaksi. y x 0x53 y53 x 0x y53 ( x 10 x) y53 ( x 10x5) 50 y53 ( x5) 50 y3( x5) Huippumuotoisesta yhtälöstä nähdään, että huippu on (5, 3). Paraabeli on ylöspäin aukeava, joten huippu on paraabelin alin piste. Huipun y-koordinaatti on pienempi kuin yhdelläkään toisella paraabelin pisteellä. 50. Kirjoitetaan paraabelin yhtälö huippumuodossa. y x 6x5c yc x 6x5 4 yc4 x 6x9 y( c4) ( x3) Huippumuotoisesta yhtälöstä nähdään huipun koordinaatit: (3, c 4). Jotta huippu olisi suoralla y = 7, tulee olla c 4 = 7 c = 11. Huippu on suoralla y = 7, kun c = 11.

25 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Paraabelin määritelmä YDINTEHTÄVÄT 51. A II, B II ja III, C I ja II, D III 5. a) Pisteen (3, 0) etäisyys johtosuorasta x = on 3 = 1. Pisteen (3, 0) etäisyys polttopisteestä (3, 1) on y-koordinaattien erotus 1 0 = 1. b) Toisenkin pisteen x-koordinaatti pitää olla 3, jotta etäisyys johtosuoraan pysyy samana. Piste on siten (3, ) eli sijaitsee symmetrisesti polttopisteen toisella puolella pisteeseen (3, 0) nähden. 53. a) Paraabelin yhtälö on y = 0,5x. b) Olkoon piste (x, y) paraabelin piste. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä (0, 1) sekä johtosuorasta y = 1 ja merkitään lasketut etäisyydet yhtä suuriksi. ( x 0) ( y 1) y ( 1) ( x0) ( y1) y1 ( x0) ( y1) y1 x y y1 y y1 4 yx : ( 4) 1 y x 4 Paraabelin yhtälö on y 1 4 x.

26 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Paraabelilla on piste (,5; 1), koska sen etäisyys polttopisteestä (, 1) ja johtosuorasta x = 3 on sama, 0,5. Samoin voidaan päätellä pisteet (, 0) ja (,), joiden etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on 1. b) Olkoon piste (x, y) paraabelin piste. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä (, 1) sekä johtosuorasta x = 3 ja ja merkitään lasketut etäisyydet yhtä suuriksi. ( x) ( y1) x3 ( x) ( y1) x3 ( x) ( y1) x3 x 4x4 y y1 x 6x9 xy y4 : 1 x y y Paraabelin yhtälö on 1. x y y

27 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Sijoitetaan paraabelin yhtälöön tien korkeus y = 10 ja lasketaan, mitkä ovat vastaavat x-koordinaatit. 10 0, 001x 0,5x 0,001x 0,5x10 0 x 479, tai x0, Sillan kaarien välissä oleva tien osuus on x-koordinaattien erotus, eli 479,18 m 0,87 m = 458,5 m 458 m.

28 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 56. a) Koska paraabeli on alaspäin aukeava, sen johtosuora on vaakasuora, eli x-akselin suuntainen. b) Paraabelin yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Sijoitetaan pisteet (, 0), (0, 3) ja (, 0) tähän yhtälöön. 0 = a ( ) + b ( ) + c, mistä saadaan 4a b + c = 0 3 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 3 0 = a + b + c, mistä saadaan 4a + b + c = 0 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä, ja ratkaistaan siitä kertoimet a, b ja c. 4abc0 c 3 4abc0 4ab30 4ab30 8a 60 8a 6 :8 a Sijoitetaan a = 3 yhtälöön 4a b + 3 = ( 3 ) b b 3 0 b 0 : ( ) b 0 a b 0 c Paraabelin yhtälö on y 3 x 4. 3

29 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska paraabelin johtosuora on y-akselin suuntainen, niin paraabeli aukeaa joko oikealle tai vasemmalle. Merkitään pisteet koordinaatistoon ja päätellään aukeamissuunta. Korkeutensa puolesta piste (1, 0) on oikean puoleisin, joten aukeamissuunnan voidaan päätellä olevan vasemmalle. b) Koska paraabeli on vasemmalle aukeava, sen yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Sijoitetaan pisteet (0, 1), (1, 0) ja ( 3, ) tähän yhtälöön. 0 = a 1 + b 1 + c, mistä saadaan a + b + c = 0 1 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 1 3 = a ( ) + b ( ) + c, mistä saadaan 4a b + c = 3 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä abc0 c 1. 4abc3 ab10 4ab13 ab 4ab4 6a 6 : 6 a 1 Kun a = 1 ja c = 1, niin 1 + b + 1 = 0, joten b = 0. Paraabelin yhtälö on siis x = y + 1.

30 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Koska paraabelin johtosuora on x-akselin suuntainen, sen yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Sijoitetaan pisteet (0, 1), (3, 4) ja (8, 1) tähän yhtälöön. 1 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 1 4 = a 3 + b 3 + c, mistä saadaan 9a + 3b + c = 4 1 = a 8 + b 8 + c, mistä saadaan 64a + 8b + c = 1 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä, ja ratkaistaan siitä kertoimet a, b ja c symbolisen laskennan ohjelmalla. Yhtälöryhmän c 1 9a3bc4 64a8bc1 ratkaisu on a 1 4 b 7 4 c 1. Paraabelin yhtälö on siis 1 7 y x x b) Koska paraabelin johtosuora on y-akselin suuntainen, sen yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Sijoitetaan pisteet (0, 1), (3, 4) ja (8, 1) tähän yhtälöön. 0 = a 1 + b 1 + c, mistä saadaan a + b + c = 0 3 = a 4 + b 4 + c, mistä saadaan 16a + 4b + c = 3 8 = a ( 1) + b ( 1) + c, mistä saadaan a b + c = 8 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä, ja ratkaistaan siitä kertoimet a, b ja c symbolisen laskennan ohjelmalla.

31 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöryhmän abc0 16a4bc3 a b c 8 ratkaisu on a 1 b 4 c 3. Paraabelin yhtälö on siis x = y 4y + 3.

32 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kun sijoittaa paraabelin yhtälöön y = ax + bx + c kuvan I pisteet, saa yhtälöryhmän c 0 64a8bc3 56a16bc0. Ja vastaavasti versiolla II saadaan yhtälöryhmä 64a8bc7 c 4 64a 8b c 7. Kun vertaa yhtälöryhmiä, niin version II yhtälöryhmä on hiukan helpompi ratkaista. b) Version I yhtälöryhmän ratkaisu on a 3 0, ,05 64 b 3 0,75 4 c 0. Silloin paraabelin yhtälö on y = 0,05x 0,75x. Version II yhtälöryhmän ratkaisu on a 3 0, ,05 64 b 0 c 4. Silloin paraabelin yhtälö on y = 0,05x + 4.

33 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska lentorata muodostaa alaspäin aukeavan paraabelin, sen yhtälö on muotoa y = ax + bx + c. Piirretään kuva. Sijoitetaan yhtälöön pisteet (0, 0), (48; 13,5) ja (7, 0). 0 = a 0 + b 0 + c, mistä saadaan c = 0 13,5 = a 48 + b 48 + c, mistä saadaan 304a + 48b + c = 13,5 0 = a 7 + b 7 + c, mistä saadaan 5 184a + 7b + c = 0 Muodostetaan näistä kolmesta yhtälöstä yhtälöryhmä c 0 304a48bc13,5 5184a7bc0. Sijoitetaan c = 0 kahteen muuhun yhtälöön, jolloin jää yhtälöpari, josta ylemmän yhtälön voi kertoa luvulla 1,5 ja laskea yhtälöt puolittain yhteen. 304a 48b 0 13,5 5184a7b a7b0,5 5184a7b0 178a 0,5 :178 3 a 56

34 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan saadut arvot alimpaan yhtälöön, jolloin b = 0 b = 7 3 Lentorataa kuvaavan paraabelin yhtälö on 3 7 y x x Huippukohta on lennon puolivälissä, joten sijoitetaan paraabelin yhtälöön x = 36 ja lasketaan huipun y-koordinaatti. y = 15, , (m). Kivi käy 15, metrin korkeudella.

35 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Lähtöpistettä voidaan merkitä koordinaatistossa pisteellä (0, 1). Sijoitetaan se paraabelin yhtälöön y = ax + bx + c, jolloin saadaan 1 = a 0 + b 0 + c, eli c = 1. Talon seinä on kymmenen metrin päässä lähtöpisteestä x = 0 ja huippu on tästä neljän metriä potkaisijaan päin, eli silloin x = 10 4 = 6. Koska huipun x-koordinaatti on x b, niin 6 b eli b = 1a. a a Yhtälö on nyt siis saatu muotoon y = ax 1ax + 1. Kun tähän sijoittaa pisteen, jossa pallo osuu seinään (10, ), niin = a 10 1a a = 1 a = Paraabelin yhtälö on y x x 1. Huipun korkeus saadaan 0 5 sijoittamalla tähän x = y 6 61,8 0 5 Pallo käy siis,8 metrin korkeudella.

36 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Suora on paraabelin yläpuolella niissä kohdissa x, joissa suoran y- koordinaatti on suurempi kuin paraabelin y-koordinaatti. Ratkaistaan suoran ja paraabelin yhtälöistä muuttuja y. x y = 0 x + 4y 8 = 0 y = 1 x y = 1 x + 4 Suora on paraabelin yläpuolella, kun epäyhtälö x 1 x 1 4 x80 x 1 x 1 4 x on tosi. Ratkaistaan epäyhtälö kuvaajan avulla. Lasketaan funktion f(x) = x + x 8 nollakohdat. x x x 1 x tai x4 Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Epäyhtälön ratkaisu on x < 4 tai x >, jolloin siis suora on paraabelin yläpuolella. Vastaavasti suora on paraabelin alapuolella, kun epäyhtälö 1 1 x x eli x x8 0 on tosi. Se toteutuu, kun 4 < x <. 4

37 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käyrä y = x + 4x + on käyrän y = x x + yläpuolella, kun epäyhtälö x + 4x + > x x + on tosi. x + 4x + > x x + x + 6x > 0 Ratkaistaan epäyhtälö kuvaajan avulla. Ratkaistaan funktion f(x) = x + 6x nollakohdat. x + 6x = 0 x( x + 6) = 0 x = 0 tai x + 6 = 0 x = 6 : ( ) x = 3 Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli Epäyhtälön x + 6x > 0 ja samalla myös x + 4x + > x x + ratkaisu on väli ]0, 3[.

38 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon piste (x, y) kysytyllä käyrällä. Lasketaan sen etäisyys pisteestä (0, ) ja x-akselista, eli suorasta y = 0. ( x0) ( y) y0 () ( x0) ( y) 4 y ( x0) ( y) 4y x y 4y44y x 3y 4y40 Käyrän yhtälö on x 3y 4y + 4 = 0.

39 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon piste (x, y) kysytyllä paraabelilla. Lasketaan sen etäisyys polttopisteestä (1, 3) ja johtosuorasta x y = 0. Etäisyydet ovat yhtä suuret, joten saadaan yhtälö. 1x1y ( x1) ( y3) 1 ( 1) ( x1) ( y3) x y () ( x1) ( y3) ( x y) ( x x1 y 6y9) x xy y x 4x y 1y18 x xy y x xy y 4x1y0 0

40 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 536. a) Neljä. Esimerkiksi: b) Koska neljän pisteen kautta voi kulkea kaksi eri paraabelia, neljä ei vielä riitä. Kuitenkin yhden lisäpisteen avulla on paraabeli yksikäsitteinen. Siis viisi pistettä on riittävä.

41 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan kaavaan a = ja b = b. Saadaan huipun x-koordinaatiksi b x yhtälöstä y = x + bx + 3 kertoimet a b b x. 4 Huipun y-koordinaatti saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön b y b b 3 b b 3 b b x. 4 Paraabelin huippu on b, b Jos huippu sijaitsee paraabelilla y = x + 3, huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön. b b b b 8 16 b b 8 8 Koska huipun koordinaatit toteuttavat paraabelin y = x + 3 yhtälön, niin huippu sijaitsee sillä riippumatta kertoimen b arvosta.

42 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään käyräparven käyriä eri a:n arvoilla. Kuvasta löydetään paraabelin pisteet (1, ), (0, 0) ja (1, ). Koska paraabeli on oikealle avautuva, sen yhtälö on muotoa x = ay + by + c. Sijoitetaan siihen löydettyjen pisteiden koordinaatit, jolloin saadaan yhtälöryhmä 4abc1 c 0 4a b c 1, joka voidaan ratkaista symbolisen laskennan ohjelmalla ja ratkaisuksi saadaan a 1 4 b 0 c 0. Paraabelin yhtälö on siis x 1 y. 4 Jos suora ei ole paraabelin akselin suuntainen ja suoralla ja paraabelilla on täsmälleen yksi yhteinen piste, on suora paraabelin tangentti. Suora olisi paraabelin akselin eli x-akselin suuntainen, jos sen kulmakerroin olisi nolla. Tämä on mahdotonta, koska a ei voi olla nolla.

43 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jotta suora olisi paraabelin tangentti, suoralla ja tangentilla on täsmälleen yksi yhteinen piste. Tutkitaan, onko yhtälöparilla axay10 1 x y 4 aina vain yksi ratkaisu sijoittamalla suoran yhtälöön muuttujan x paikalle paraabelin yhtälöstä saatu x ay 4ay40 a y ay Koska diskriminantti D = (4a) 4 a 4 = 16a 16a = 0, niin ratkaisuja on aina yksi. Siis suoraparven a x + ay + 1 = 0 suorista jokainen on paraabelin tangentti. x 1 4 y 539. a) Paraabelin jokaisen pisteen etäisyys johtosuorasta ja polttopisteestä on sama. Piirretään paraabeli y = x. Koska paraabelin huippu on origossa, tulee polttopisteen olla yhtä kaukana origosta y-akselilla kuin johtosuoran etäisyys origosta. Jos polttopiste on (0, a) on johtosuora y = a. Piirretään piste (0, a) ja suora y = a, muutetaan a:n arvoja ja tutkitaan, millä arvolla paraabelin pisteen etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on sama. Polttopiste näyttäisi olevan (0,5; 0) ja johtosuora y = 0,5.

44 Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Paraabelin akseli on y-akseli, joten polttopiste on myös y-akselilla. Polttopisteen koordinaatit ovat (0, a). Johtosuora on x-akselin suuntainen, eli muotoa y = a. Olkoon piste (x, y) paraabelilla. Pisteen etäisyys polttopisteestä ja johtosuorasta on sama. ( x0) ( ya) a y () x ( ya) ( a y) x y aya a ay y, a b 4 ay x : ( 4 a) x 1 y x 4a 4a Koska paraabelin yhtälö on y = x, tulee olla 1 1 a 0 4a 1 a 4 Johtosuora on y = 1 ja polttopiste (0, )

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET Jokaisen tehtävän perässä on pistemäärä sekä sivunumero (Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja, 2012) josta vastaus löytyy. (1) (a) Suppea raha sisältää

Lisätiedot

9. Harjoitusjakso III

9. Harjoitusjakso III 9. Harjoitusjakso III Seuraavaksi harjoitellaan kuvien ja tekstin lisäämistä piirtoalueelle. Tarjolla on aikaisempien harjoittelujaksojen tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso ja edistynyt taso.

Lisätiedot

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten? Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Kertauskirja. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA1 10 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Kertauskirja Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava TEHTÄVIÄ KURSSIEN MAA 0 YDINAIHEISTA RATKAISUINEEN Pitkä matematiikka Kertauskirja Tehtäväsarjat ja niiden ratkaisut Tehtäväsarjoja

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Vapaa matikka. Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Polynomifunktiot (MAA2)

Vapaa matikka. Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Polynomifunktiot (MAA2) Vapaa matikka Polynomifunktiot (MAA2) Määritelmä sanalle rekursio: ks. rekursio. Sisältö on lisensoitu avoimella CC BY 4.0 -lisenssillä. Versio 0.90 (22.9.2014) LISENSSI Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee

Lisätiedot

Käyttöohje Lahden Teho-Opetus Oy

Käyttöohje Lahden Teho-Opetus Oy Käyttöohje Lahden Teho-Opetus Oy Teho-Kartio opetusohjelmat Yleiskuvaus Teho-Kartio opetusohjelmat ovat Kustannusosakeyhtiö Tammen Kartio- kirjasarjaan täsmättyjä helppokäyttöisiä matematiikan opetusohjelmia.

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Kauppakorkean valintakokeen / 2009 ratkaisut (TH /Supermaster Ky)

Kauppakorkean valintakokeen / 2009 ratkaisut (TH /Supermaster Ky) Kauppakorkean valintakokeen / 2009 ratkaisut (TH /Supermaster Ky) Hallinto / 2009: 1. Osio 1 / Tosi; Yritys tarjoaa ydinsegmenttiin kuuluville muun muassa työturvan (s.47). Osio 2 / Epätosi; Ei, vaan ydinryhmä

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat

Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on

Lisätiedot

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla

AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla AVOMERINAVIGOINTI eli paikanmääritys taivaankappaleiden avulla Tähtitieteellinen merenkulkuoppi on oppi, jolla määrätään aluksen sijainti taivaankappaleiden perusteella. Paikanmääritysmenetelmänäon ristisuuntiman

Lisätiedot

x 2 1+x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = a 2 2( a 2) = a 2 +2a+4 = a 2 +2a+4 = (a+1) 2 +3 3. Edellisessä epäyhtälössä on yhtäsuuruus, kun a = 1.

x 2 1+x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = a 2 2( a 2) = a 2 +2a+4 = a 2 +2a+4 = (a+1) 2 +3 3. Edellisessä epäyhtälössä on yhtäsuuruus, kun a = 1. Pythagoraan polku 5.4.008 RATKAISUT. Määritä se a, jolla yhtälön x + ax a = 0 ratkaisujen neliöden summa on pienin. Kun. asteen termin kerroin on, niin ratkaisujen summa on. asteen termin kertoimen vastaluku

Lisätiedot

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä

3. Yhtälön numeeristen ratkaisujen etsimisestä Olkoon funktio f x jatkuva jollain välillä [a;b]. Jos on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f a f b 0, niin on olemassa sellainen luku c, että a < c < b ja f c =0. Tämän Bolzanon lauseen mukaan

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat 1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat Kun matemaattista probleemaa lähdetään ratkaisemaan yhtälöä hyväksi käyttäen, tilanne on vaikeampi kuin ratkaistaessa yhtälöä mekaanisesti. Nyt on näet itse laadittava

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Haasteita opettajalle lukion lyhyen matematiikan opetuksessa ovat havainnollistaminen ja riittämätön aika. Oppitunnin aikana opettaja joutuu usein palamaan

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Rationaaliset luvut MERKITSEMISTAPOJA YHTÄLÖITÄ

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Rationaaliset luvut MERKITSEMISTAPOJA YHTÄLÖITÄ HARJOITUSTEHTÄVIÄ I luku Rationaaliset luvut MERKITSEMISTAPOJA YHTÄLÖITÄ 1. Jos 1 kg voita maksaa 4 mk, niin paljonko maksaa a) 3 kg b) k kg? 2. Jos 1 kg voita maksaa a kg, niin paljonko maksaa a) 3 kg

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen. 4. 04 Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaiseminen Suora iterointi Kirjoitetaan yhtälö muotoon x = f(x). Ensin päätellään jollakin tavoin jokin alkuarvo x 0 ja sijoitetaan yhtälön oikealle puolelle, jolloin saadaan tarkennettu ratkaisu

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot