Solmuteoriaa kombinatorisesti. Kevät Vadim Kulikov 5. maaliskuuta 2009

Transkriptio

1 Solmuteoriaa kombinatorisesti. Kevät Vadim Kulikov 5. maaliskuuta 2009

2 0 Sisältö I Johdanto. 2 I.1. Solmut. 2 I.2. Historiaa. 3 I.3. Solmuteorialla on suoria sovelluksia. 4 I.4. Perusmääritelmät. 5 I.5. Reidemeisterin siirrot. 8 II Kaaviot. 13 II.1. Triviaalisolmun kaaviot ja avautuvuusluku. 13 II.2. Ristiinmenoluku ja solmujen taulukointi. 14 II.3. Peilaus, kääntäminen ja kompositio. 15 II.4. Gaussin nuolikaaviot. 19 II.5. Pitkät solmut. 22 III Ensimmäiset invariantit. 24 III.1. Mikä on invariantti. 24 III.2. Kaavioiden invariantteja: Reidemeisterin siirtojen riippumattomuus. 25 III.3. Alkusolmut: eräs tapa soveltaa invariantteja. 30 III.4. Kietoutumisluku. (Linking number) 31 III.5. Väritysinvariantti 35 IV Kauffmanin ja Jonesin polynomit. 39 IV.1. Polynomeista yleensä. 39 IV.2. Kauffmanin bracket-polynomi. 40 IV.3. Jonesin polynomi. 44 IV.4. Jonesin polynomin sovelluksia. 48 A Liite. Käyrä avaruudessa. 53 Kirjallisuutta 58

3 1 Sisältö Hakemisto 59

4 2 I Johdanto. I.1. Solmut. Jokapäiväisessä elämässä törmäämme solmuihin kengännauhoissa, korvalappustereoiden piuhoissa tai ollaan kieli tai aivot solmussa. On lukuisia kirjoja siitä miten kannattaa sitoa toimivia solmuja erilaisiin tarkoituksiin. Esimerkiksi solmuja, jotka pitäisivät veneen paikallaa mutta jotka olisi kuitenkin helppo saada auki, toisaalta solmuja joita ei ole tarkoituskaan saada koskaan auki (ilman puukkoa) tai solmuja joita käytetään vuorikiipeilyssä. Myös solmujen kauneus ovat kiinnostaneet ihmisiä. Esimerkiksi keltit ovat piirtäneet solmuja niiden esteettisyyden takia (katso kuva vasemmalla). Matemaattinen teoria solmuista keskittyy toisenlaiseen kysymykseen: mistä voimme päätellä ovatko kaksi annettua solmua sama vai eri solmu? Standardi solmuteorian kysymys on: jos vedän narun päistä eri suuntiin, niin jääkö se solmuun vai avautuuko se? (Narun kitka oletetaan olemattomaksi). Esimerkiksi jos vedetään narua molemmista päistä niin se taatusti suoristuu. Tähän on jo hieman vaikeampaa vastata tilanteessa joskin lukija pienen miettimisen jälkeen näkee miten tämäkin solmu aukeaa. 1. Tehtävä. Tee yllä oleva solmu narusta ja osoita sen avulla, että solmu todella aukeaa. Kokeile myös muita solmuja! Siispä voimme todistaa jokin solmu avautuvaksi näyttämällä miten se aukeaa. Entä jos solmu ei millään aukea? Voimmeko varmuudella sanoa, että se ei todella aukea millään

5 3 I. JOHDANTO. vai onko edessämme kenties taas avautuva solmu, mutta emme ole vain keksineet, miten se oikein aukeaa. Esimerkiksi kuvassa 1 olevassa solmukaavioiden parista luultiin monta kymmentä vuotta, että ne esittävät eri solmuja. Kun halutaan todistaa, että kaksi solmua Kuva 1. Perkon pari, tunnistettu samaksi solmuksi ovat todella eri, mukaan tulee matemaattinen päättely. I.2. Historiaa. Matemaattinen solmujen tutkimus sai ilmeisesti alkunsa 1800-luvulla kun Karl Friedrich Gauss kiinnostui punoksista (link) ja määritteli tavan laskea kietoutumisluvun (katso kappaletta III.4) integraalin avulla. Gaussin oppilas J.B. Listing jatkoi solmujen tutkimista. Vähän myöhemmin kiinnostus solmuteoria kohtaan kasvoi, kun Lord Kelvin esitti teoriassaan, että atomin ovat oikeastaan solmuja. Silloin vallitsi eetteriteoria; sen mukaan maailmankaikkeus on täynnä eetteriä, joka toimii valoaaltojen kantajana. Kelvinin uuden teorian mukaan materia oli vain solmussa olevia eetteripyörteitä. Solmujen erilaisuus selittäisi atomien erilaisuuden. Tämä sai huomiota ja nosti solmuteorian luonnollisesti mielenkiinnon kohteeksi. Aika nopeasti kuitenkin osoittautui, että eetteriä ei olekaan 1 ja fyysikoiden kiinnostus solmuteoriaan laantui. Mutta matemaatikoiden pysyi. Algebrallisen topologian isät Henri Poincaré, Max Dehn, J. W. Alexander ja Kurt Reidemeister tutkivat solmuja ja pitkään heidän teoriansa olivat ainoat työkalut solmuteoriassa luvulla solmuteoriassa tapahtui muutoksia, kun määriteltiin muun muassa Jonesin ja HOMFLY-polynomit. Louis Kauffman on edistänyt erityisesti kombinatorista lähestymistapaa solmuteoriaan. 1 Michelsonin ja Morleyn koe osoitti valon nopeuden riippumattomuuden koordinaatistosta, mikä on ristiriidassa eetterihypoteesin kanssa.

6 I.3. SOLMUTEORIALLA ON SUORIA SOVELLUKSIA. 4 I.3. Solmuteorialla on suoria sovelluksia. Kurssin aihepiiriin eivät kuulu solmuteorian sovellukset, mutta mainitaan ne kuitenkin. Kun solussa luetaan DNA:ta tai valmistetaan sitä kopioitavaksi, siitä täytyy tuoda esille tiettyjä osia. Koska DNA on tehokkaasti pakattu tumaan, tämä on epätriviaali tehtävä, jonka suorittamisessa auttavat topoisemraasientsyymit. Näitä entsyymejä on lukuisia ja ne tekevät DNA-molekyylille erilaisia muodonmuutoksia. Biologeja usein kiinnostaa, minkälaisia nämä muodonmuutokset ovat, joita tietyt topoismeraasit tekevät. Sen selvittämiseksi otetaan syklinen DNA-molekyyli (sellaisia on bakteereissa ja nykyään niitä osataan myös syntetisoida) ja sekoitetaan sen joukkoon tutkittava entsyymi. Entsyymi suorittaa muodonmuutoksen molekyyliin ja samalla muuttaa sen solmutyyppiä. Siitä, miten solmutyyppi muuttui, voi päätellä minkälaisen lokaalin muutoksen tämä topoismeraasi teki. Valaistaan tätä yksinkertaistetulla esimerkillä. Oletetaan, että topoismeraasi A tekee aina lokaalin muutoksen muotoa ja topoismeraasi B tekee lokaalin muutoksen muotoa. Jos nyt A suorittaa toiminnonsa DNA:han, jonka solmutyyppi on, niin lopputuloksena on, mutta jos B suorittaa omansa, niin tuloksena on. Huomaa, että tulokset eivät riipu siitä, mihin kolmesta risteyksestä entsyymi tekee muodonmuutoksen. Oleellista tässä on se, että entsyymi A ei muuta komponenttien (syklisten molekyylien) lukumäärää, mutta B kasvattaa sitä. Tämä on tietenkin vain kuvaileva esimerkki, todellisuudessa asiat ovat monimutkaisempia.

7 5 I. JOHDANTO. Proteiinitkin voivat olla syklisiä ja niiden aktiivisuus voi riippua niiden solmuttumisesta. Myös pienemmät molekyylit voivat asettua solmuihin. Kuva 2. Molekulaarisen apilasolmun kristallirakenne. Tämä molekyyli ei ole ekvivalentti peilikuvansa kanssa. Kuvan lähde: wikipedia, GNU-lisenssi. Ensimmäinen dokumentti onnistuneesta molekyylisynteesistä ilmestyi 1989 artikkelissa [14]. Lisää solmuteoriasta ja DNA:sta kirjassa [4] ja artikkeleissa [16], [17] ja [3]. Vaikka atomit eivät olekaan solmuja, niin kuin Lord Kelvin ehdotti, vuonna 1985 löydetty Jonesin polynomi toi solmut uudelleen fysiikan yhteyteen, kun löydettiin selkeitä yhtäläisyyksiä kvanttiteoriaan, statistisen fysiikan perusyhtälöihin, kvanttikenttäteoriaan ja kvanttigravitaatioon. Lisää tästä aiheesta ja muista solmuteorian sovelluksista kirjoissa [8] ja [9]. I.4. Perusmääritelmät. Tällä kurssilla niin kuin otsikosta voi päätellä lähestymme solmuteoriaa kombinatorisesti. Tarkastelemme solmuja tasossa olevina kaavioina soveltamalla niihin äärellisiä toimenpiteitä. Solmuteoria on luenteeltaan topologista: tutkimuskohteena on objekti, jota tarkastellaan jatkuvaa muunnosta vaille. Toisin sanoin jos otetaan solmu ja vähän käänellään ja väänellään sitä kuitenkaan katkaisematta sitä missään vaiheessa, niin lopputuloksena on alkuperäinen solmu. Topologinen lähestymistapa solmuteoriaan käyttää kuitenkin paljon algebrallisen topologian työkaluja ja sen takia on vaikeasti tavoitettavissa. Solmuteoria

8 I.4. PERUSMÄÄRITELMÄT. 6 onkin siitä harvinainen algebrallisen topologian ala, että käsityksen siitä voi hyvin saada ilman algebrallista topologiaa. I.4.1. Solmu- ja punoskaaviot Johdannossa esitetyt kysymykset palautuvat kysymyksiin solmuista, jotka muodostuvat suljetuista lenkeistä. Eli yhdistämällä narujen päät yhteen. Tällöin edellisessä esiintyneet solmukaaviot saavat muodon ja kysymys kuuluu saako nämä muutettua käyttämättä saksia ja liimaa niin kutsutuksi triviaalisolmuksi tai epäsolmuksi (unknot): Punos, kytkös tai linkki (englanniksi link) muodostuu kahdesta tai useammasta erillisestä suljetusta käyrästä. Alla on kuva Hopfin punoksesta (Hopf link), joka on nimetty saksalaisen matemaatikon Heinz Hopfin ( ) mukaan:. Punoksen erillisiä käyriä kutsutaan punoksen komponenteiksi. Punos jossa on vain yksi komponentti on solmu. Täten solmu on punoksen erikoistapaus. Solmua voidaan ajatella jatkuvana suljettuna käyränä kolmiulotteisessa avaruudessa R 3, mutta sen voi aina projisoida kaksiulotteiselle tasolle sopivasti ja piirtää se paperille solmukaavioina. Täsmällisesti sanottuna solmu on jatkuva injektio f : S 1 R 3, solmun varjo on sen yhdiste projektioon p f, missä p: R 3 P on projektio jollekin sopivalle.

9 7 I. JOHDANTO. kaksiulotteiselle tasolle P, ja solmukaavio on varjo, jonka singulariteetteihin on lisätty informaatio siitä kumpi alkukuvan jäsenistä on kauempana tasosta P (oletetaan, että solmun kuvajoukko ei leikkaa tasoa P ). Tässä S 1 on yksikköympyrä {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}. Kesy solmu on sileä injektio S 1 R 3. Niiden oleellinen piirre on se, että ne voi aina esittää kaaviona, jossa on äärellisesti risteyskohtia. Liitteessä A on mainittu villit solmut. Tässä esityksessä lähestymme solmuja kombinatorisesti, joten ajattelemme solmuja ja punoksia kaavioina, emmekä välitä topologisesta näkökulmasta. Kaikki tähän asti esiintyneet kuvat solmuista ja punoksista ovat kaavioita (knot diagram). Solmukaaviossa on kaikki tarvittava informaatio solmun rekonstruoimiseksi narusta ja yllä mainitun jatkuvan injektion S 1 R 3 rekonstruoimiseksi. Toisaalta jokaisen narusta tehdyn solmun tai punoksen voi esittää kaaviona. Hiukan formaalimmin solmu- tai punoskaavio on tasoverkko jonka kärkien aste on kaksi tai neljä (eli jokaisesta kärjestä menee kaksi tai neljä särmää), jonka neljäasteisiin kärkiin liittyy informaatio ylitys vai alitus : ( ) Verkko ilman ylitys vai alitus -informaatiota, kuten ( ), on solmun varjo. Jokaisen solmun voi piirtää siten, että piirtää ensin sen varjon ja sitten päättää jokaisesta risteyksestä onko se ylitys vai alitus. Suunnistetun solmun diagrammi saadaan käyttämällä suunnistettua verkkoa:

10 I.5. REIDEMEISTERIN SIIRROT. 8 ja Kuva 3. Saman solmun eri kaaviot. Näin jos varjossa on n risteystä, niin sitä kohti on korkeintaan 2 n mahdollista punoskaaviota. Ajattelemme kahta kaaviota samoina jos ne saa toisistaan venyttämällä ja kääntämällä alustaa johon ne on piiretty 2, eli jos oleellinen risteysten sijainti ja informaatio kuin myös yhdysjanojen sijainti pysyvät samana. Tällä tavalla mielestämme kaaviot ja. ovat kaavioina samat. Kuitenkin jos esimerkiksi risteyksien lukumäärä muuttuu, ei kaavio ole enää sama, vaikka esittäisikin samaa solmua. Siispä kuvan 3 kaaviot ovat eri kaavioita vaikka esittävätkin samaa solmua. Tällä kurssilla keskitymme kesyihin solmuihin, joiden kaavioissa on äärellisesti ristiinmenokohtia. Käytämme merkintää D(K) tarkoittamaan kaikkien kaavioden joukkoa, jotka esittävät solmua K. Tässä vaiheessa D(K) on määritelty intuitiivisesti. Määritellään se kuitenkin täsmällisesti seuraavassa kappaleessa. Kirjoittaja on pahoillaan solmukaavion ja solmun määritelmien epätäsmällisyydestä. Se johtuu siitä, että niiden täsmällinen määrittely vaatii topologisia käsitteitä ja veisi kyseisestä tekstistä ylimalkaisesti tilaa. Kiinnostunut lukija, jolla on perustopologian (Topologia I) tiedot voi lukea ne liitteestä A. I.5. Reidemeisterin siirrot. Kuten on jo havaittu kaksi solmukaaviota voivat esittää samaa solmua. Tarvitsemme määritelmän joka kertoisi mitä tämä tarkoittaa. Kun solmuteoriaa lähestytään topologisesti, määritellään ensin milloin kaksi upotusta S 1 R 3 esittävät samaa solmua ja sen jälkeen katsotaan miten tämä vaikuttaa kaavioihin. Me kuitenkin siirrymme tarkastelemaan suoraan kaavioita. Erittäin yksinkertaisen lähestymistavan esitti Reidemeister. 2 Tarkastellaan niitä avaruuden R 2 suunnan säilyttäviä diffeomorfismeja vaille.

11 9 I. JOHDANTO. I.1. Määritelmä (Reidemeister [13]). Olkoon D solmu- tai punoskaavio. Sanomme, että kaavio D on saatu kaaviosta D Reidemeisterin siirrolla, jos kaaviot yhtyvät muuten (ovat täsmälleen samat) paitsi yhden kiekon sisällä ja tämän kiekon sisällä on tapahtunut yksi seuraavista muutoksista: Ω 1 : Ω 2 : Ω 3 : Sanomme, että solmukaaviot D ja D ovat Reidemeister-ekvivalentteja, jos toinen on saatu toisesta soveltamalla äärellisen monta kertaa siirtoja Ω 1, Ω 2 ja Ω 3, eli on olemassa kaaviot D 0,..., D n siten että D 0 = D, D n = D ja D k+1 on saatu Reidemeisterin siirrolla kaaviosta D k kaikilla k {0,..., n 1}. 2. Tehtävä. Mikä on ekvivalenssirelaation määritelmä? Jos et tiedä, niin selvitä esimerkiksi Algebra I:n tai Diskreetin matematiikan oppikirjasta tai luentomonisteesta. Wikipediastakin on hyötyä. Mikä on ekvivalenssiluokka? 3. Tehtävä. Merkitään D D jos D on Reidemeister-ekvivalentti D :n kanssa. Osoita, että on ekvivalenssirelaatio kaikkien kaavioiden joukossa. Jokaista kaaviota D siis vastaa ekvivalenssiluokka D(D) = {D D on Reidemeister-ekvivalentti D :n kanssa}. I.2. Määritelmä. Olkoon D solmukaavio. Tällöin on kaavion D solmutyyppi. D(D) = {D D on Reidemeister-ekvivalentti D:n kanssa} I.3. Huomautus. Reidemeister todisti, että topologinen tapa määritellä solmujen ekvivalenssi on yhtäpitävä Reidemeister-ekvivalenssin kanssa. Toisin sanoin jos K on topologinen solmu, eli yksikköympyrän (sileä) upotus avaruuteen R 3, niin kaikki K:n projektioista tulevat kaaviot ovat keskenään Reidemeister-ekvivalentteja. Toisaalta jos D ja D ovat Reidemeister-ekvivalentteja, niin niitä vastaavat upotukset ovat topologisesti ekvivalentit.

12 I.5. REIDEMEISTERIN SIIRROT. 10 Tässä tekstissä puhumme usein solmuista ja punoksista, jolloin formaalisti tarkoitetaan jonkun kaavion solmutyyppiä. Merkitsemme solmuja tyypillisesti kirjaimella K (knot) ja punoksia (jotka eivät ole solmuja) kirjaimella L (link). Tällöin D(K) merkitsee solmun (vastaavasti punoksen) kaikkia kaavioita, eli formaalisti D(K) = D(D) jollakin K:n kaaviolla D. Tehtävät 4 6 antavat intuition siitä miksi Reidemeisterin siirtojen avulla saa todella muutettua topologisesti ekvivalentit solmut toisikseen. I.4. Esimerkki. Tässä on esimerkki miten käyttämällä Reidemeisterin siirtoja voimme todeta, että kaavio esittää triviaalisolmua: Ω 2 Ω 3 2 Ω 2 Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 1. Tarkkaavainen lukija huomaa, että yllä olevassa sarjassa käytettiin sekaisin siirtoja ja niiden peilikuvia. Itse asiassa peilikuvat voi johtaa alkuperäisistä siirroista:

13 11 I. JOHDANTO. 4. Tehtävä. Johda Reidemeisterin siirtojen peilikuvat Ω! 1 ja Ω! 3 siirroista: aidoista Reidemeisterin Ω! 1 : Ω! 2 : Ω! 3 : 5. Tehtävä. Osoita, että johdannossa esiintynyt solmukaavio esittää triviaalia solmua. 6. Tehtävä. (a) Johda yleistetyt Reidemeisterin siirrot (b) Seuraavassa kuvassa on solmu ja sen päältä menee kaari. Oletetaan, että kaaren rajaamassa alueessa on n + 1 solmun risteystä. Osoita, että kaarta voi siirtää (Reidemeisterin siirtojen avulla) niin, että sen sisälle jää n risteystä, ja että se ei vieläkään leikkaa itseään. (c) Oletetaan, että yllä olevan kuvan kaaren rajaamassa alueessa ei ole risteyksiä. Mitä siellä vielä on? Todista että senkin saa sieltä pois ja lopulta todista yleistetty

14 I.5. REIDEMEISTERIN SIIRROT. 12 Reidemeisterin siirto: 7. Tehta va. Osoita, etta solmukaavio esitta a triviaalia solmua. 8. Tehta va. Ta ma tehta va on otettu psykologian valintakokeesta Kuvassa 4 on solmutaulukko. Etsi alla olevia solmuja a d vastaavat solmut taulukosta. (a) (b) (c) Kuva 4. Taulukko (d)

15 13 II Kaaviot. II.1. Triviaalisolmun kaaviot ja avautuvuusluku. Jokainen solmukaavio voidaan muuttaa triviaalisolmun kaavioksi vaihtamalla tietyt risteykset ylityksestä alitukseksi tai toisin päin. Pienintä määrää vaihdettavia risteyksiä triviaalisolmun saamiseksi kutsutaan solmun avautuvuusluvuksi (unknotting number). Pienin luku otetaan kaikkien solmun kaavioiden yli: u(k) = min{n N D D(K)(D:n voi muuttaa :n kaavioksi vaihtamalla n risteystä.)}, missä N = {0, 1, 2,... } on luonnollisten lukujen joukko. Näin jos solmun avautuvuusluku on 0, niin se on (valmiiksi) triviaalisolmu ja jos toisaalta avautuvuusluku on positiivinen, niin solmu ei voi olla triviaali. Määritelmän nojalla jos solmulla K on kaavio, jossa riittää muuttaa n risteystä sen aukaisemiseksi, niin u(k) n. 9. Tehtävä. Osoita että (a) apilasolmun avautuvuusluku on korkeintaan 1, u( ) 1 (b) u( ) 1 (c) kuvassa 5 (i) olevan solmun avautuvuusluku on korkeintaan 1. (d) vastaavasti kuvassa 5 (ii). Jos nyt jollain tapaa osoitettaisiin, että ja kuvassa 5 olevat solmut eivät ole ekvivalentteja triviaalisolmun kanssa, niin siitä seuraisi, että niiden avautuvuus luku on 1. Apilasolmulle ja kuvan 5 (i) tämä todistetaan kappeleessa III.5. Kauffmanin ja Jonesin polynomien yhteydessä (luku IV) todistamme tämän myös muille kuvan 5 (ii) muotoa oleville solmuille ja itse asiassa osoitetaan, että ne ovat kaikki keskenään erilaisia. Tästä seuraa, että solmuja joiden avautuvuusluku on 1 on äärettömästi. 10. Tehtävä. Osoita, että solmukaavio, jossa on vähemmän kuin kolme risteystä esittää aina triviaalia solmua. Tämä on erikoistapaus seuraavasta:

16 II.2. RISTIINMENOLUKU JA SOLMUJEN TAULUKOINTI. 14 (i) (ii) Kuva 5. Onko näiden solmujen avautuvuusluku 1? 11. Tehtävä. Olkoon solmukaavio sellainen, että kun valitaan siitä sopiva piste ja lähdetään kiertämään solmua sopivaan suuntaan, niin kaikkissa risteyksissä mennään ensimmäisellä tulokerralla yli. Osoita, että tämä on aina triviaalisolmu. Vihje alaviitteessä 1. Huomaa, että tehtävä 11 (sivu 13) osoittaa että avautuvuusluku on hyvin määritelty, katso tehtävää 12 (sivu 15). Avoin ongelma. Olkoon U(n) niiden solmujen lukumäärä, joiden avautuvuusluku on n. Miten funktio U(n) käyttäytyy asymptoottisesti kun n on suuri? II.2. Ristiinmenoluku ja solmujen taulukointi. Solmun ristiinmenoluvuksi kutsutaan pienintä mahdollista solmun kaaviossa esiintyvien risteysten lukumäärää. Merkintä c(k) = min{n N D D(k)(Kaaviossa K on n risteystä)} Esimerkiksi c( ) = 3. Tämä seuraa siitä, että solmulla selvästi on kaavio, jossa on 3 risteystä, mutta toisaalta mikä tahansa kaavio, jossa on vähemmän risteyksiä esittää triviaalia solmua (tehtävä 10 sivulla 13), mutta ei ole triviaali (tätä emme kuitenkaan ole vielä todistaneet.) Määritelmän mukaan solmun ristiinmenoluku ei riipu siitä mikä kaavio solmua esittää (minimi otetaan yli kaikkien näiden kaavioiden). Ristiinmenoluvun perusteella luokitellaan solmuja. Solmutaulukossa on solmun tunnus muotoa n m, missä n on sen ristiinmenoluku ja m sen järjestys saman ristiinmenoluvun omaavien solmujen joukossa. Solmujen peilikuvia ja kompositiosolmuja (katso kappaletta II.3.3) ei yleensä taulukoida. Apilasolmun tunnus on 3 1 ja kahdeksikkosolmun tunnus on 4 1. Nämä ovat ainoat kolmen ja neljän risteyksen solmuja. Viiden risteyksen solmuja on kaksi erilaista. Olkoon C(n) niiden solmujen 1 Kokeile induktiota risteysten määrän suhteen ja käytä tehtävää 6 sivulla (sivu 11).

17 15 II. KAAVIOT. lukumäärä, joiden ristiin menoluku on n. Tällöin: n C(n) Ristiinmenolukuun liittyy samoja avoimia ongelmia kuin avautuvuuslukuunkin. Avoin ongelma. Miten C(n) käyttäyttyy asymptoottisesti kun n on suuri? 12. Tehtävä. Osoita, että u(k) 1 c(k), missä u(k) on kappaleessa II.1 määritelty 2 avautuvuusluku. Vihje alaviitteessä 2. Miten käytännössä voidaan selvittä jonkun solmun ristiinmenoluku? Esimerkiksi näyttää siltä, että c( ) = 4, mutta mistä tiedämme, ettei sitä voisi kuitenkin esittää kaaviona, jossa olisi vain kolme risteystä? Sen voi todistaa seuraavasti. Ensin näytetään, että kaikki kolmen risteyksen kaaviot esittävät joko triviaalia solmua tai jompaa kumpaa apilasolmun pielikuvasta. Sitten osoitetaan, että ja. Tästä seuraa, että c( ) = 4. Teemme tämän päättelyn ihan oikeasti sitten kun meillä on tarpeeksi työkaluja. Nyt voimme todistaa ensimmäisen askeleen. 13. Tehtävä. Osoita, että jos kaaviossa on kolme risteystä, niin se esittää joko triviaalia solmua tai jompaa kumpaa apilasolmua. (Tämä tehtiin luennolla.) II.3. Peilaus, kääntäminen ja kompositio. II.3.1. Peilaus. Solmun K peilikuva saadaan kun sen kaaviossa korvataan ylitykset alituksilla ja alitukset ylityksillä. Peilikuva saadaan myös kuvittelemalla solmun viereen peili ja katsomalla siihen. Punoksen L peilikuvaa merkitään L!. Tehtävä 4 (sivu 10) näyttää, että jos solmun kaaviot ovat ekvivalentit, niin näiden kaavioiden peilikuvatkin ovat ekvivalentit (kun sovelletaan Reidemeisterin siirtoa kaavioon, sovelletaan sen peilikuvaan vastaavan Reidemeisterin siirron peilikuva.) Solmun peilikuva on siis riippumaton kaaviosta. II.1. Määritelmä. Solmu on akiraalinen jos se on ekvivalentti peilikuvansa kanssa. Muuten se on kiraalinen. 2 Käytä tehtävää 11.

18 II.3. PEILAUS, KÄÄNTÄMINEN JA KOMPOSITIO. 16 Kuva 6. Kiraalisia solmuja. Esimerkiksi on kiraalinen solmu. Muita kiraalisia solmuja on kuvassa 6. Kuvassa on merkitty solmujen viereen numerot alaindeksien kanssa. Nämä numerot ovat näiden solmujen ristiinmenolukuja (katso kappaletta II.2), niiden mukaan solmuja luokitellaan. Alaindeksissä on luku, joka kertoo solmun paikan luettelossa saman ristiinmenoluvun omaavien solmujen joukossa. Sillä ei ole mitään matemaattista yhteyttä solmuun. Kuvassa olevista solmuista 8 20 on ainoa, jonka kaaviossa risteykset eivät ole vuorotellen ylityksiä ja alituksia. Se johtuu siitä, että se ei ole vuorotteleva. Ei-vuorottelevalla solmulla ei ole ollenkaan kaaviota, joka olisi vuorotteleva, eli jossa solmua esittävä viiva menisi vuorotellen risteyksien ali ja yli. 14. Tehtävä. Näytä, että kahdeksikkosolmu on akiraalinen, eli =. II.3.2. Suunnistuksen kääntäminen. Solmuista puhuttaessa ei aina oteta huomioon solmun omaa suunnistusta. Kuitenkin voidaan aina ajatella, että solmua kierretään johonkin tiettyyn suuntaan. Kaaviossa sitä merkitään nuolilla, jotka kertovat kumpaan suuntaan solmua kierretään (kuva 7). Kuvan 7 kuvatekstissä lukee, että siinä on saman solmun kaksi eri suunnistusta: jos otamme suunnistuksen molemmista pois, niin saamme saman solmun. Mutta entä jos yritämme saada toinen solmu toisesta pitämällä suunnistus kokoajan läsnä? onko se mahdollista? Tässä tapauksessa on: kuvan 7 vasempaan kaavioon voi soveltaa Reidemeisterin siirtoja siten, että lopputuloksena on oikeanpuoleinen ja jokaisella Reidemeisterin siirrolla suunnistus on säilytetty ilmeisesellä tavalla.

19 17 II. KAAVIOT. Kuva 7. Saman solmun kaksi eri suunnistusta. Tällaisia solmuja kutsutaan kääntyviksi. On kuitenkin olemassa solmuja, jotka eivät ole kääntyviä. Ensimmäinen tällainen solmu solmutaulukossa on 8 17, siinä on kahdeksan risteystä. 15. Tehtävä. Näytä, että on kääntyvä. II.3.3. Kompositio. II.2. Määritelmä (Schubert [15]). Olkoon K ja K suunnistettuja solmuja ja D ja D vastaavasti niiden solmukaavioita, jotka sijaitsevat suoran l eri puolilla (katso kuva 8). Katkaistaan kaavioden D ja D esittämät käyrät pisteissä x ja x. Silloin kaavioon D ilmestyy kaksi käyrän päätepistettä x ja y ja vastaavasti kaavioon D päätepisteet x ja y. Yhdistetään nyt x ja x sekä y ja y siten että suunnistukset täsmäävät. Tuloksena on uuden solmun kaavio. Tätä solmua merkitään K#K. Toistaiseksi on epäselvää onko K#K yksikäsitteinen; riippuuko se pisteiden x ja x valinnasta tai solmujen kaavioiden valinnasta. II.3. Lause. Solmujen kompositio on riippumaton kaavion ja katkaisukohtien valinnasta. Todistus. Osoitetaan, että toisessa solmussa pisteen voi valita vapaasti. Sillon symmetrian vuoksi tulos seuraa molemmille. Ensin todistetaan, että seuraavat ovat ekvivalentteja:. Tähän käytetään tehtävää 6 (sivu 11). Sitten pienennetään toisen solmun kaaviota tarpeeksi pieneksi ja kuljetetaan sitä edellisen havainnon avulla toisen solmun läpi mihin tahansa

20 II.3. PEILAUS, KÄÄNTÄMINEN JA KOMPOSITIO. 18 Kuva 8. Solmujen kompositio. sen kohtaan: II.4. Lause. Solmujen kompositio on assosiatiivinen ja vaihdannainen, eli (K 0 #K 1 )#K 2 = K 0 #(K 1 #K 2 ) ja K 0 #K 1 = K 1 #K 0. Todistus. Assosiatiivisuus on selvä ja edellisen lauseen todistuksen valossa myös vaihdannaisuus.

21 19 II. KAAVIOT. II.5. Huomautus. Suunnistus on tärkeää ottaa huomioon, koska jos niin ei tee, saattaa käydä niin, että D 0 D 1, C 0 C 1, mutta D 0 #C 0 D 1 #C 1, nimittäin jos kumpikaan solmuista ei ole kääntyvä. 16. Tehtävä. (Jatkoa tehtävälle 8.) Seuraavassa on taulukon 4 solmujen kompositioita. Tunnistatko minkä solmujen? (a) (b) (c) (d) II.6. Esimerkki. Lauseessa II.3 on olennaista, että puhutaan solmuista. Nimittäin punoksille se ei päde. Olkoon L = ja L =. Nyt riippuen yhdistämispisteestä saadaan punokseksi L#L joko tai L# 1 L = L# 2 L = II.4. Gaussin nuolikaaviot. Solmukaaviot ovat itsessään hieman epätäsmällisiä ja äärettömän tuntuisia siinä mielessä, voi mielivaltaisesti liikutella jotain kaavion osaa ja saada kokoajan vähän eri kaavioita. Vaikka sanoimmekin, että tarkastelemme niitä jatkuvaa pinnan muunnosta vaille, on hieman vaikeaa nähdä mitään helppoa keinoa, miten esimerkiksi tietokoneelle voisi helposti syöttää solmukaavioita, niin että visuaalisesti ekvivalentit tunnistettaisiin heti samoiksi.

22 II.4. GAUSSIN NUOLIKAAVIOT Kuva 9. Risteysten merkit. Tätä varten on kehitettykin monia tapoja koodata solmukaavioita äärellisiksi struktuureiksi. Tässä kappalessa määrittelemme Gaussin kaavion, joka on eräs tapa koodata solmukaavio äärelliseksi struktuuriksi. II.7. Määritelmä (Gaussin nuolikaavio). Olkoon D suunnistetun solmun kaavio. Merkitään sen jokaista risteystä omalla tunnuksella (esim. a, b, c,... ). Valitaan kaaviosta piste P ja kuljetaan siitä kaavion suunnistuksen suuntaan. Jokaisen risteyksen kohdalla alitetaan tai ylitetään ja jatketaan. Tällä tavalla tullaan lopulta takaisin pisteeseen P käytyä jokaisessa risteytyksessä kaksi kertaa. Piirretään sitten viereen ympyrä {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} ja lähdetään taas kiertämään solmua. Nyt samalla kun kierretään solmua, kierretään ympyrää. Kiertämisen aikana, kun solmussa tulee vastaan risteys, niin merkitään vastaava piste ympyrällä risteyksen tunnuksella. Sen jälkeen ympyrällä on jokaista tunnusta kohti kaksi tunnuksella merkattua pistettä. Yhdistetään samoilla tunnuksilla varustetut pisteet nuolilla, joiden suunta määräytyy vastaavan risteyksen suunnalla: nuoli osoittaa kohti ylimenevää osaa. Lisäksi merkitään jokaisen nuolen kohdalle +1 tai 1 riippuen risteyksen merkistä. Risteyksen merkki määräytyy kuvan 9 mukaisesti. II.8. Esimerkki. Piirretään solmun Gaussin nuolikaavio. Valitaan sitä varten kiertosuunta ja merkataan risteykset:

23 21 II. KAAVIOT. Kun otetaan vielä huomioon risteysten merkit, nuolikaavioksi saadaan Kaikki risteykset saattuivat olemaan +-merkkisiä. II.9. Esimerkki. Kahdeksikkosolmun kaavion Gaussin nuolikaavio on seuraava: Yksinkertaistaaksemme tilannetta, voimme ajatella että Gaussin nuolikaavio koostuu säännöllisestä monikulmiosta jonka kulmat ovat nuolien alku- ja loppupisteet. Ajattelemme, että kaksi Gaussin kaaviota ovat samat, jos kiertämällä toista vastapäivään (tai myötäpäivään, tällä ei ole merkitystä) saadaan toinen. Helposti myös nähdään, miten annetusta solmun Gaussin kaaviosta rekonstruoidaan alkuperäinen solmukaavio. 17. Tehtävä. Piirrä solmukaavio, jota esittää alla oleva Gaussin kaavio: Kun piirtää Gaussin kaavion esittämää kaaviota, huomaa, että usein on valinnan varaa: jo piirretyn kaavion osan voi kiertää kahdesta eri suunnasta. Tällä ei ole merkitystä ja sen ymmärtää jos kuvittelee kaavion piirrettynä pallon pinnalle. Sillonin mikään kaavion rajaamista alueista ei ole rajoittamaton, eikä itse asiassa ole enää mielekästä sanoa, että on kiertänyt solmun eri puolella (miksi?). Arvioidaan nyt kuinka monta erilaista Gaussin kaaviota on, joissa on n nuolta. Näin saadaan yläraja kaikkien solmujen lukumäärälle, jotka voi esittää kaaviona, jossa on n risteystä. Tasan puolet nuolien päätepisteistä ovat nuolten lähtöpisteet. Nämä voi siis valita korkeintaan ( ) 2n n monella eri tavalla. Tämän jälkeen ensimmäisestä lähtöpisteestä nuoli voi.

24 II.5. PITKÄT SOLMUT. 22 mennä mihin tahansa n:stä päätepisteestä, toinen nuoli mihin tahansa (n 1):stä jne, eli nämä päätepisteet voi valita korkeintaan n! eri tavalla. Lisäksi jokaisen nuolen kohdalla on + tai. Yhteensä kaavioita on siis korkeintaan ( ) 2n n! 2 n n kappaletta. Keksitkö paremman arvion? Huomaa, että tässä tulivat lasketuksi myös Gaussin kaaviot, jotka eivät tule mistään solmukaaviosta. Tietysti solmuja, jotka voi esittää n:n risteyksen kaavioina on vielä vähemmän ja jokainen solmu, joka voidaan esittää < n risteyksen kaaviona, voidaan esittää myös n:n risteyksen kaaviona. Tästä seuraa muun muassa, että solmuja, joiden ristiinmenoluku on n, on äärellisesti, mistä puolestaan seuraa, että kaikkia solmuja on numeroituvasti (miksi?). II.5. Pitkät solmut. Solmuja voidaan ajatella myös tehtyinä narusta, jonka päät eivät ole kiinni toisissaan, mutta jotka ovat äärettömän kaukana. Tällaisia solmuja kutsumme pitkiksi solmuiksi. Se vastaa tilannetta, jossa narun päät ovat kiinnitetty vastakkaisiin seiniin ja narun keskellä on solmu. Jokaisesta tavallisesta solmusta voidaan tehdä pitkä. Olkoon K jokin tavallinen solmu. Voimme nyt katkaista sen jostakin kohdasta ja viedä syntyneet päät äärettömyyteen. Näin saadaan siitä pitkä solmu. Katso esimerkkikuvaa 10. Käänteisellä päättelyllä voimme muuttaa pitkä solmu tavalliseksi solmuksi, katso kuvaa 11. Kahden pitkän solmun ekvivalenssi voidaan määritellä ihan samalla tavalla kuin tavallistenkin solmujen: Reidemeisterin siirroilla. Kuitenkin lopputulos on hieman erilainen, Kuva 10. Tavallinen solmu pitkäksi. Kuva 11. Pitkä solmu tavalliseksi.

25 23 II. KAAVIOT. nimittäin kaikki Reidemeisterin siirrot tekevät muutoksen jonkin rajoitetun alueen sisällä, joten rajoittamattomassa solmussa on aina osia, jotka eivät osallistu muutokseen. II.10. Määritelmä. Kaksi pitkän solmun kaaviota K ja K ovat ekvivalentteja jos ne saa toisistaan äärellisellä määrällä Reidemeisterin siirtoja. 18. Tehtävä. Osoita, että jos pitkien solmujen kaaviot D ja D ovat Reidemeisterekvivlantit, niin vastaavat tavallisten solmujen kaaviot D T ja D T ovat ekvivalentit. Käänteinen ei aina päde. Nimittäin jos otetaan solmu K, joka ei ole kääntyvä, niin pitkiä solmuja ja ei voi saada toisistaan, vaikka vastaavat tavalliset solmut ovat siirron Ω 1 päässä toisistaan.

26 24 III Ensimmäiset invariantit. III.1. Mikä on invariantti. Solmuteoriassa keskeinen tehtävä on keksiä jotain solmujen yksinkertaisia piirteitä joiden avulla niitä pystytään ymmärtämään ja erottamaan toisistaan. III.1. Määritelmä. Olkoon D kaikkien solmu- ja punoskaavioiden joukko ja olkoon F : D B kuvaus mihin tahansa joukkoon B. Olkoon n {1, 2, 3}. Oletetaan, että aina kun D on saatu kaaviosta D soveltamalla siihen kerran Reidemeisterin siirtoa Ω n, pätee F (D ) = F (D). Tällöin sanotaan, että F on invariantti siirron Ω n suhteen. Invariant on englanniksi muuttumaton. Jos F on invariantti kaikkien Reidemeisterin siirtojen suhteen, niin F on solmuinvariantti (vastaavasti punosinvariantti). Solmuinvarianttien mukava ominaisuus on se, että niiden avulla voi erottaa solmuja toisistaan. III.2. Lause. Olkoon F solmuinvariantti ja D, D D kaavioita. Silloin jos F (D) F (D ), niin kaaviot D ja D esittävät eri solmuja. Todistus. Vastaoletus: D ja D esittävät samaa solmua. Silloin on olemassa jono kaavioita D = D 0, D 1, D 2,..., D n = D siten että D k+1 eroaa D k :stä yhdellä Reidemeisterin siirrolla kaikilla k {0,... n 1}. Solmuinvariantin määritelmän nojalla tällöin pätee F (D) = F (D 0 ) = F (D 1 ) = = F (D n ) = F (D ), mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. III.3. Esimerkki. Punoksen komponenttien lukumäärä on invariantti: selvästikään mikään Reidemeisterin liike ei muuta komponenttien lukumäärää. Tästä voimme päätellä, että Hopfin punos on eri punos kuin Borromeom renkaat, katso kuva 12. Kuitenkin komponenttien määrän laskeminen solmukaaviosta saattaa toisinaan olla työlästä. Monta komponenttia on punoksessa kuvassa 13?

27 25 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. Kuva 12. Hopfin punos ja Borromeon renkaat. Kuva 13. Spagettitehtaan räjähdys by Vadim Kulikov c. III.2. Kaavioiden invariantteja: Reidemeisterin siirtojen riippumattomuus. Aikaisemmin mainittiin, että jos solmut määritellään topologisesti, niin Reidemeister siirrot riittävät muuttamaan kaksi kaaviota toisikseen jos ja vain jos kaaviot esittävät topologisesti samoja solmuja. Tässä kappaleessa vastataan toiseen kysymykseen: tarvitaanko tähän itse asiassa kaikkia Reidemeisterin siirtoja? Esimerkiksi saataisiinko Reidemeisterin siirto Ω 1 johdettua jotenkin siirroista Ω 2 ja Ω 3 samaan tapaan kuin tehtävässä 4 johdettiin Reidemeisterin siirtojen peilikuvat? Vastaus on että kaikkia siirtoja todella tarvitaan, eli niitä ei voi johtaa toisistaan. Miten sen voisi todistaa? III.4. Lause. Olkoon F : D A funktio, joka on invariantti Reidemeisterin siirtojen Ω n suhteen kun n i, n, i {1, 2, 3} ja olkoon D ja D saman solmun kaksi kaaviota. Jos F (D) F (D ), niin kaavioita D ja D on mahdotonta saada toisistaan käyttämättä siirtoa Ω i, mutta voi saada käyttämällä kaikkia Redemeisterin siirtoja. Todistus. Olkoon F, n, i, D ja D kuten tehtävän määrittelyssä. Lauseen viimeinen osa on triviaali: koska D ja D esittävät samaa solmua, niin ne toisistaan Reideimeisterin siirtojen

28 III.2. KAAVIOIDEN INVARIANTTEJA: REIDEMEISTERIN SIIRTOJEN RIIPPUMATTOMUUS. 26 avulla jos niitä kaikkia saa käyttää, eli on olemassa jono D = D 0, D 1, D 2,..., D n = D, jossa seuraava kaavio on saatu aina edellisestä yhdellä Reidemeisterin siirrolla. Tehdään vastaoletus että tämä olisi mahdollista myös käyttämättä siirtoa Ω i. Mutta silloin, koska F on invariantti kaikkien muiden siirtojen suhteen, olisi F (D) = F (D 0 ) = F (D 1 ) = = F (D n ) = F (D ), mikä on ristiriita. Siirtoa Ω i on siis pakko käyttää. Tapaus i = 1 on suhteellisen helppo: III.5. Lause. Siirtoa Ω 1 ei voi korvata siirroilla Ω 2 ja Ω 3. Todistus. Idea on se, että Ω 1 on ainoa Reidemeisterin siirto, joka muuttaa kaavion risteysten lukumäärän parillisuutta. Koska haluamme havainnollistaa invarianttipäättelyä, teemme todistuksen lauseen III.4 sovelluksena. Merkitään c(d) kaavion D risteysten lukumäärää ja määritellään funktio F : D {0, 1} seuraavasti. 1, jos c(d) on pariton F (D) = 0, jos c(d) on parillinen, Olkoot D ja D punoskaavioita, jotka eroavat vain yhdessä kohdassa siirron Ω 1 osoittamalla tavalla (esimerkiksi kuvan 3, sivulla 8, kaaviot). Todistamme, että kaaviota D ja D on mahdotonta saada toisistaan käyttämällä pelkästään siirtoja Ω 2 ja Ω 3. Kuitenkin tällaiset kaaviot saa selvästi toisistaan käyttämällä kerran siirtoa Ω 1. Näiden kaavioiden risteysten lukumäärille pätee c(d) c(d ) = 1, eli toinen luvuista on parillinen ja toinen pariton. Tästä seuraa, että F (D) F (D ). Funktio F on invariantti siirtojen Ω 2 ja Ω 3 suhteen, sillä näiden siirtojen soveltaminen kaavioon ei muuta risteysten määrän parillisuutta (Ω 3 ei muuta risteysten lukumäärää ollenkaan ja Ω 2 tuo tai poistaa kaksi risteystä). Lauseen III.4 nojalla kaavioita D ja D ei voi saada toisistaan pelkästään siirroilla Ω 2 ja Ω 3. Kaksi muuta (siirtojen Ω 2 ja Ω 3 riippumattomuus) ei ole yhtä helppoa todistaa solmuille. Punoksille on kuitenkin helppo näyttää siirron Ω 2 riippumattomuus: III.6. Lause. Siirtoa Ω 2 ei voi korvata siirroilla Ω 1 ja Ω 3 punoksissa joissa on useampi kuin yksi komponentti.

29 27 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. Todistus. Tässä käytetetään invarianttia F (D) = kaaviossa D olevien eri komponenttien välisten risteysten määrä. Se on invariantti siirtojen Ω 1 ja Ω 3 suhteen mutta ei Ω 2 :n suhteen. Ajatellaan triviaalia kahden komponentin punosta. Sillä on kaavioesitys Reidemeisterin siirto Ω 1 muuttaa ainoastaan saman komponentin keskinäisten risteysten lukumäärää ja Ω 3 ei muuta risteysten lukumäärää ollenkaan, joten niiden avulla ei voi eliminoida kahta kaavion risteystä. Toisaalta ne voi eliminoida soveltamalla kerran siirtoa Ω 2. Toisin sanoin F ( ) F ( ), mutta F on invariantti Ω 1 :n ja Ω 3 :n suhteen ja voidaan soveltaa lausetta III.4. Tämä selvästi yleistyy mihin tahansa punoksiin, joissa on enemmän kuin yksi komponentti. III.7. Esimerkki. Tämä esimerkki osoittaa, että siirron Ω 2 riippumattomuus solmuissa ei ole yhtä ilmeinen kuin punoksissa, nimittäin on monia tilanteita, joissa sen voi korvata siirroilla Ω 1 ja Ω 3. Seuraavat kaksi kaaviota saadaan toisistaan siirrolla Ω 2 : toisaalta saadaan myös ilman: Ω 2 Keksitkö muita samankaltaisia esimerkkejä? Ω 3 3 Ω 1 Ω 1. Todistetaan seuraavaksi siirron Ω 3 riippumattomuus muista siirroista. Tämä todistus on peräisin artikkelista [18]. Käytämme kappaleessa?? määriteltyä Gaussin nuolikaavion käsitettä. III.8. Määritelmä (Östlund [18]). Esitetään solmukaavio D Gaussin nuolikaaviona. Gaussin kaaviosta saadaan alikaavio poistamalla siitä yksi tai useampi nuoli. Määritellään

30 III.2. KAAVIOIDEN INVARIANTTEJA: REIDEMEISTERIN SIIRTOJEN RIIPPUMATTOMUUS. 28 luku W (D) siten että se on kaavion D muotoa ( ) olevien alikaavioiden merkkien summa. Alikaavion merkki puolestaan määritellään sen nuolten merkkien tulona. Alikaavio muotoa ( ) tarkoittaa seuraavassa kuvassa esiintyvää kaaviota. Täten jos D on esimerkissä II.8 (sivu 20) oleva kahdeksikkosolmun kaavio, niin ( ) W (D) = 1. (1) Toisaalta sen peilikuvan D! kaaviossa (nuolet vaihtavat suuntaa) ei esiinny ollenkaan muotoa ( ) olevaa alikaaviota, eli silloin W (D! ) = 0. (2) Todistetaan seuraavaksi, että W (D) = W (D ) jos D ja D ovat saatu toisistaan siirroilla Ω 1 ja Ω 2. Tästä tehtävän 14 (sivu 16) valossa seuraa että siirtoa Ω 3 ei voi korvata siirroilla Ω 1 ja Ω 2. III.9. Lause. Jos kaavio D on saatu kaaviosta D soveltamalla siirtoa Ω 1 tai Ω 2, niin W (D) = W (D ). Todistus. Siirto Ω 1 vastaa Gaussin kaaviossa yhden eristetyn nuolen lisäämistä tai positamista, eli sellaisen nuolen joka ei leikkaa muita nuolia. Tämä ei siis vaikuta muotoa ( ) olevien alikaavioiden joukkoon. Siirrossa Ω 2 Gaussin kaavioon lisätään kaksi samansuuntaista vierekkäistä nuolta, joista toisen merkki on 1 ja toisen +1. Vierekkyys tarkoittaa sitä, että niiden aloituspisteiden välissä ei ole muiden nuolien päätepisteitä eikä myöskään päätepisteiden välissä. Joten jos kaksi tällaista nuolta lisätään, niin jos toinen niistä aiheuttaa uuden muotoa ( ) alikaavion syntymisen, niin saman tekee toinenkin, mutta vastakkaisen merkin kanssa. Toisaalta jos kaksi tällaista nuolta poistetaan kaaviosta, niin jos toisen poistaminen aiheuttaa yhden muotoa ( ) olevan alikaavion katoamisen, niin saman aiheuttaa myös toinen nuoli, mutta taas vastakkaisen merkin kanssa. III.10. Lause. Siirtoa Ω 3 ei voi korvata siirroilla Ω 1 ja Ω 2. Todistus. Tehtävän 14 (sivu 16) mukaan solmut ja ovat ekvivalentit. On siis olemassa jono kaavioita = D 0, D 1,...D n =

31 29 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. siten että D n+1 saadaan jollakin Reidemeisterin siirrolla kaaviosta D n. Jos mikään näistä Reidemeisterin siirroista ei ole Ω 3, niin lauseen III.9 nojalla pitäisi olla W ( ) = W ( ). Yllä (kohdat (1) ja (2)) kuitenkin todettiin, että W ( ) W ( ). Siirtoa Ω 3 on siis pakko käyttää. III.11. Lause. Siirtoa Ω 2 ei voi korvata siirroilla Ω 1 ja Ω 3. III.12. Huomautus. Tämä todistus on peräisin artikkelista [6]. Artikkelissa myös todistetaan, että jokainen solmu K voidaan esittää kaavioina D ja D siten, että D:n muuttamiseksi D :ksi täytyy käyttää kaikkia Reidemeisterin siirtoja. Todistus. Tarkastellaan seuraavaa solmun kaaviota D: Oletetaan, että emme saa käyttää siirtoa Ω 2. Emme voi myöskään tehdä siirtoa Ω 3 ensimmäisenä. Nimittäin siirtoon Ω 3 tarvitaan alue, jonka reunalla on kolme risteystä: siten että yksi kolmesta viivasta kulkee molempien risteyksiensä päältä. Sellaista aluetta ei ole solmukaaviossa D. Kutsutaan tässä todistuksessa tästä eteenpäin kaareksi sellaista solmukaavion osaa, joka menee risteykseltä risteykselle riippumatta siitä onko se ylitys vai alitus. Täten kaaviossa D on kuusitoista kaarta. Väritetään jokainen kaari omalla värillään. Lisäksi kaaviossa D on kahdeksan risteystä, merkitään niiden joukkoa {k i i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Kaaviossa on nyt siis täsmälleen 8 sellaista risteystä jossa kohtaa enemmän kuin yksi väri (kaikki risteykset ovat sellaisia). Todistamme seuraavaksi, että jos rupeamme muokkaamaan kaaviota D siirroilla Ω 1 ja Ω 3, niin jokaisella siirrolla osallistuu vain yhden värisiä kaaria. Koska ensimmäinen siirto ei voi olla Ω 3, niin sen on oltava Ω 1. Koska kaaviossa ei ole valmiiksi lenkkejä, niin siirto Ω 1 yksinkertaisesti luo uuden lenkin jollekin kaarelle. Tehdään nyt induktio-oletus, että n siirtoa on tehty ja jokaisessa osallistui vain yhden värisiä kaaria ja tarkastellaan seuraavaa siirtoa. Jos kyseessä on Ω 1, niin väite on selvä: jos tehdään uusi lenkki, niin se tehdään varmasti johonkin kaareen, eli käytetään vain yhtä väriä. Jos taas puretaan lenkki, niin puretaan jokin aikaisemmalla siirolla tuotettu lenkki, mutta nämä riirrot induktio-oletuksen nojalla käsittelivät aina vain yhdenvärisiä kaaria. Oletetaan nyt, että kyseessä on siirto Ω 3. Kuten yllä jo todettu, se. vaatii alueen, joka on muotoa. Alkuperäisessä kaaviossa sellaisia alueita ei ole ja jos

32 III.3. ALKUSOLMUT: ERÄS TAPA SOVELTAA INVARIANTTEJA. 30 Kuva 14. Kaaviot joiden muuttamiseksi toisikseen tarvitaan kaikkia Reidemeisterin siirtoja. Lähde: [6]. muokatussa kaaviossa sellaisia on, niin ne ovat yksivärisiä, nimittäin kaikki edelliset siirrot olivat tehty yksivärisiin kaariin ja se vain kasvattaa alkuperäisten alueiden reunalla olevien risteysten määrää. Tämä todistaa, että jos kaavio D on saatu kaaviosta D siirroilla Ω 1 ja Ω 3, niin risteykset k i ovat säilyneet ja pysyneet ainoina paikkoina, missä eri värejä kohtaa. Kaavio D voisi olla esimerkiksi: Sen sijaan käyttämällä siirtoa Ω 2 päästään tilanteeseen, missä eri värejä kohtaa muuallakin kuin risteyksissä k i :.. III.3. Alkusolmut: eräs tapa soveltaa invariantteja. Voidaan pohtia seuraavaa kysymystä. Olkoon K epätriviaali solmu. Onko olemassa solmua K jolle pätisi K#K =? Onko siis olemassa käänteissolmuja? Vastaus tähän on

33 31 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. kielteinen. Sen todistamiseksi riittää löytää solmuinvariantti I, joka saa arvoja luonnollisissa luvuissa, on additiivinen ja tunnistaa triviaalisolmun, eli jos K ja K ovat solmuja niin pätee (1) I(K) N (2) I(K#K ) = I(K) + I(K ) (3) I(K) = 0 K =. Nimittäin jos nyt K ja K ovat epätriviaaleja solmuja, niin kohdan (3) mukaan I(K) + I(K ) > 0. Toisaalta kohdan (2) mukaan tästä seuraa, että I(K#K ) > 0, eli kohdan (3) mukaan kompositiosolmu ei voi olla triviaali. Eräs tällainen invariantti on olemassa, solmun genus, mutta se on hyvin topologinen invariantti. Erään version tästä invariantista voi määritellä myös vetoamalla pelkästään kaavioihin, mutta sitten additiivisuuden todistamisesta tulee vaikeaa (tai mahdotonta). Itse asiassa invariantista, joka toteuttaa kohdat (1) (3) saadaan muutakin kuin vain sen, ettei käänteissolmuja ole olemassa. III.13. Määritelmä. Solmu K on alkusolmu jos ei ole olemassa epätriviaaleja solmuja K 1 ja K 2 siten että K = K 1 #K 2. Nyt voitaisiin todistaa invariantin I avulla, seuraava lause, jota emme täällä kuitenkaan todista: III.14. Lause. Jokainen solmu K voidaan yksikäsitteisesti esittää alkusolmujen kompositiona K = K 0 # #K n. Edellisissä kappaleissa määriteltiin avautuvuusluku u ja ristiinmenoluku c. Todettiin myös, että ne tunnistavat triviaalisolmun, mutta niiden additiivisuus on avoin ongelma. Avoin ongelma. Onko avautuvuusluku additiivinen u(k#k ) = u(k) + u(k )? Avoin ongelma. Onko ristiinmenoluku additiivinen c(k#k ) = c(k) + c(k )? III.4. Kietoutumisluku. (Linking number) Seuraavaksi määrittelemme yksinkertaisen punoksien invariantin. Tämä on vanhimpia punos- ja solmuinvariantteja sen määritteli jo Gauss. Kuten aiemmin suunnistetun punoksen risteysten merkit määritellään kuten kuvassa 9 (sivu 20), eli ε( ) = +1 ja ε( ) = 1

34 III.4. KIETOUTUMISLUKU. (LINKING NUMBER) 32 III.15. Määritelmä. Suunnistetun punoksen L kietoutumisluku lk(l) on puolet sen eri komponenttien välisten risteysten r merkkien summasta. Jos merkitään tällaisten risteysten joukkoa merkillä R, voidaan kirjoittaa kaava: lk(l) = 1 ε(r). 2 III.16. Esimerkki. Hopfin punos voidaan suunnistaa kahdella eri tavalla, jolloin kietoutumisluku on joko 1 tai 1. r R Toisaalta triviaalin kahden komponentin punokselle lk( ) = 0. III.17. Esimerkki. Minkä tahansa solmun kietoutumisluku on 0, koska solmuissa ei ole eri kompontenttien välisiä risteyksiä. III.18. Lause. Kietoutumisluku on punosinvariantti. Todistus. Siirto Ω 1 ei muuta eri komponenttien välisten risteysten lukumäärää, joten lk on invariantti sen suhteen. Jos siirron Ω 2 soveltaa saman komponentin kaarille, niin pätee sama. Toisaalta jos eri komponenttien väliset kaaret muodostavat kuvion, niin näillä risteyksillä on vastakkaiset merkit ja ne kumoavat toisensa kun otetaan niiden summa. Tämä siis vaikuttaa kietoutumislukuun samalla tavalla kuin jos ne muodostaisivat kuvion. Lopuksi täytyy osoittaa, että lk on invariantti siirron Ω 3 suhteen. Tämä on helppo ja jää harjoitustehtäväksi. 19. Tehtävä. Osoita, että lk on invariantti Reidemeisterin siirron Ω 3 suhteen. III.19. Huomautus. Nyt lauseen III.18 nojalla toteamme, että esimerkin III.16 kolmea punosta (molemmat Hopfin linkit ja ) ei voi saada Reidemeisterin siirroilla toisistaan. Erityisesti saadaan, että Hopfin punos. Tämä on ensimmäinen kohta, jossa olemme todistaneet että jokin punos on epätriviaali. Punoksia siis todella on olemassa. Solmuista emme vielä tiedä! Valitettavasti kietoutumisluku on kuitenkin nolla monilla punoksilla, jotka ovat epätriviaaleja. III.20. Esimerkki. Borromeon renkaiden ja Whiteheadin punoksen (kuva 12, sivu 25 ja kuva 15 ohella) kietoutumisluvut ovat 0. Kietoutumisluku ei siis erota näitä triviaaleista punoksista.

35 33 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. Kuva 15. Whiteheadin punos. III.21. Esimerkki. Kaikki punokset muotoa ovat keskenään erilaisia: niiden kietoutumisluku on yhtäsuuri kuin ristiinmenoluvun puolikas. 20. Tehtävä. a) Onko

36 III.4. KIETOUTUMISLUKU. (LINKING NUMBER) 34 b) Osoita yleisempi tulos: jos L on mikä tahansa punos (jossa musta ja violetti ovat eri komponentteja), niin 21. Tehtävä. Osoita, että Tehtävä. Totea laskemalla, että Whiteheadin punoksen ja Borromeon renkaiden kietoutumisluvut ovat 0. Keksi vielä jokin punos, jonka kietoutumisluku on nolla. Ei tarvitse todistaa, että keksimäsi punos ei ole kumpikaan äskeisistä, riittää, että se näyttää siltä että se on eri. III.4.1. Sovellus verkkoteoriaan. Verkkoteoriassa usein puhutaan taso- tai planaariverkoista, mikä tarkoittaa sellaista verkkoa, jonka voi piirtää paperille niin, että mitkään kaksi särmää eivät risteä. Esimerkiksi kolmen ja neljän kärjen täydelliset verkot ovat planaariverkkoja: kuvassa 16 ne ovat piirrettynä vaaditulla tavalla. Täydellinen verkko tarkoittaa verkkoa, missä jokaiset kaksi eri kärkeä ovat kiinni täsmälleen yhtdellä särmällä. Kysymys: milloin annettu verkko on tasoverkko? Seuraavaksi todistamme esimerkkinä, että kuuden kärjen täydellinen verkko K 6 ei ole tasoverkko. Kuvassa 17 on eräs verkon K 6 kuva. Siinä on useita risteyksiä.

37 35 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. Kuva 16. Täydelliset tasoverkot. III.5. Väritysinvariantti Kuva 17. Verkko K 6. Kutsutaan tässä kappaleessa kaareksi mitä tajansa kaavion yhtenäistä käyrän osaa. Sellainen alkaa alituksesta ja loppuu alitukseen. III.22. Määritelmä. Kaavion D väritys on funktio v : S(D) {a, b, c}, missä S(D) on kaavion D kaarien joukko ja {a, b, c} on kolmen eri värin joukko. Väritys on hyvä jos jokaisessa risteyksessä kohtaa joko kolme eri väriä tai vain yksi väri. III.23. Esimerkki. Kaavio siten että väritys on hyvä. III.24. Esimerkki. Kaaviolla voidaan värittää joko kolmella eri värillä tai yhdellä värillä on vain yksivärisiä hyviä värityksiä. 23. Tehtävä. Olkoon p: {a, b, c} {a, b, c} permutaatio (bijektio). Osoita, että jos v on kaavion hyvä väritys, niin myös p v on. III.25. Lause. Olkoon V (K) punoksen K jonkun kaavion hyvien väritysten lukumäärä. V (K) on riippumaton kaavion valinnasta, eli on punosinvariantti.

38 III.5. VÄRITYSINVARIANTTI 36 Kuva 18. Reidemeisterin siirto Ω 2 säilyttää värityksen Todistus. Riittää todistaa, että V (K) on invariantti Reidemeisterin siirtojen suhteen. Jos D ja D ovat kaavioita, jotka eroavat yhdellä Reidemeisterin siirrolla, osoitamme, että niillä on yhtä monta väritystä rakentamalla väritysten välille bijektion. Jos kaaviossa esiintyy lenkki, joka on Reidemeisterin siirron Ω 1 mukainen, niin siinä esiintyvät kaaret (kaksi kappaletta) ovat saman väriset, koska risteyksessä kohtaa vain kaksi eri kaarta. Siis jos kaavio D on saatu kaaviosta D tällä siirrolla, niin jokainen D:n väritys vastaa yksikäsitteisesti sitä D :n väritystä, jossa lenkki on väritetty sillä värillä, jolla vastaava kaari on väritetty D:ssä. Oletetaan, että D on saatu kaaviosta D siirrolla Ω 2 siten että D :n risteyksiä on enemmän kuin D:n. Kaaviossa D on myös yksi kaari enemmän kuin kaaviossa D. Kuvassa 18 on esitetty tämä tilanne. Kaari c on uusi. Oletetaan, että D:n väritys on annettu ja yritetään määrätä D :n väritys. Väritetään kaikki muut kaaret samalla tavalla molemmissa kaavioissa, kaari a väritetään samalla värillä kuin a ja b sekä b väritetään molemmat samalla värillä kuin b. Tällöin myös c:n väri määräytyy yksikäsitteisesti. Esimerkiksi jos a ja b ovat molemmat sinisiä, niin tällöin a, b ja b ovat sinisiä. Nyt hyvän värityksen määritelmästä seuraa, että c on sininen. Toisaalta jos on annettu D :n väritys, huomataan, että väistämättä b ja b ovat saman värisiä (seuraa hyvän värityksen määritelmästä). Tällä värillä voidaan värittää b ja a :n värillä a. Näin saadaan molemminsuuntainen yksikäsitteinen vastaavuus D:n värityksien ja D :n värityksien välille. Oletetaan viimeiseksi, että kaavio D on saatu D :sta soveltamalla siirtoa Ω 3. Katso kuvaa 19 Kuvassa on toteutettu eräs väritys, mutta käytämme tätä kuvaa analysoimaan yleistä tilannetta. Ensinnäkin huomataan, että oikealla puolella a:n, b:n ja c:n värit voidaan valita vapaasti ja ne määräävät muut värit. Kuvataan c:n väri c :n väriksi, e:n väri e :n väriksi f:n väri f :n väriksi, jolloin muut värit määräytyvät tästä. Riittää tarkistaa, että ne määräytyvät niin, että v(a ) = v(a), v(b ) = v(b), v(a ) = v(a). Tällöin voidaan koko muu solmu värittää samalla tavalla molemmissa kaavioissa. Heti nähdään, että v(b ) = v(b),

39 37 III. ENSIMMÄISET INVARIANTIT. Kuva 19. Reidemeisterin siirto Ω 3 säilyttää värityksen koska D:ssä on risteys c:n, b:n ja e:n välinen risteys ja ja D :ssa on c :n, b :n ja e :n välinen risteys. Oletetaan, että värit ovat {s, p, m} (sininen, punainen ja musta). Nyt on oleellisesti (tehtävän 23 valossa) viisi eri tapausta: (1) v(f) = v(e) = v(c) = m, jolloin v(d) = v(d ) ja v(a) = v(a ). (2) v(f) = m ja v(e) = v(c) = p, jolloin v(d) = s ja v(a) = m. Mutta silloin v(c ) = p ja v(f ) = m, jolloin v(d ) = s ja tiedosta v(b ) = p seuraa v(a ) = m = v(a). (3) (Tämä on kuvassa 19) v(f) = m, v(e) = p ja v(c) = s, jolloin v(d) = s ja v(d ) = p, mikä jälleen määrää v(a) = v(a ) = s. (4) v(f) = v(e) = m ja v(c) = p, jolloin v(d) = m, v(d ) = s ja v(b ) = s. Viimeisestä saadaan v(a ) = s, mutta toisaalta, koska v(c) = p ja v(d) = m, on v(a) = s. (5) v(f) = v(c) = m ja v(e) = p: samanlainen päättely kuin edellisissä kohdissa. Tämä todistaa väitteen. III.26. Esimerkki. Palautetaan mieleen kuvan 15 (sivu 33) Whiteheadin punos, jota emme pystyneet todistamaan epätriviaaliksi käyttämällä kietoutumislukua. Kuitenkin huomataan, että triviaalilla punoksella on kaksi oleellisesti erilaista väritystä: joko molemmat komponentit ovat samanväriset, tai ne ovat keskenään eri väriset. Molemmat ovat hyviä värityksiä. Ottamalla huomioon että värejä voi permutoida tästä saadaan V ( ) = 9. Toisaalta on helppo nähdä, että Whiteheadin punoksessa kaikki komponentit ovat väistämättä saman värisiä, eli V (W ) = 3, missä W on Whiteheadin punos. Siis W. 24. Tehtävä. Osoita, että Whiteheadin punoksen hyvässä värityksessä esiintyy aina korkeintaan yksi väri. 25. Tehtävä. Osoita, että on epätriviaali solmu. Tämä on ensimmäinen kerta tällä kurssilla kun todistetaan että epätriviaaleja solmuja on olemassa. 26. Tehtävä. Osoita, että Borromeon renkaat ovat epätriviaali punos. Katso kuvaa 12.

40 III.5. VÄRITYSINVARIANTTI Tehtävä. Osoita, että. Kuten esimerkissä III.24 huomasimme, kahdeksikkosolmun väritykset ovat täsmälleen samat kuin triviaalisolmun väritykset. Emme siis vieläkään osaa todistaa, että se on epätriviaali solmu. Myöskään emme osaa todistaa, että solmu ja sen peilikuva saattavat olla eri: selvästi värityksien määrä on näillä aina yhtä suuri. Jotakin tietoa kuitenkin saamme kompositioista: 28. Tehtävä. Merkitään V (K) solmun K oleellisten väritysten määrää, eli jos toinen väritys saadaan toisesta permutoimalla värejä, niin samaistetaan nämä kaksi väritystä. Osoita, että kaikille solmuille K ja K pätee V (K#K ) V (K) V (K ). 29. Tehtävä. Osoita edellisen tehtävän avulla (tai ilman), että

41 39 IV Kauffmanin ja Jonesin polynomit. IV.1. Polynomeista yleensä. Tällä kurssilla ajattelemme polynomeja funktioina R R, jotka ovat muotoa P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, missä a 0,..., a n ovat reaalilukuja. Laurentin polynomi on funktio muotoa Q(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a m x m, missä n, m 0 ovat luonnollisia lukuja. Polynomit ovat samat jos ne ovat funktioina samat. Eli jos P ja Q ovat (Laurentin) polynomeja, niin sanotaan P = Q jos kaikilla x R pätee P (x) = Q(x). Tämä on tunnetusti yhtäpitävää sen kanssa, että polynomien kertoimet ovat samat. Tästä eteenpäin kutsumme Laurentin polynomeja polynomeiksi. Huomattakoon, että tavallinen polynomi on Laurentin polynomi tapauksessa m = 0. Joskus tulevat kysymykseen kahden tai kolmen muuttujan polynomit, jolloin kyseessä ovat funktiot R 2 R ja R 3 R. Käymme alla lyhyesti yhden muuttujan polynomien teoriaa. Nämä tulokset yleistyvät sellaisinaan kahden ja kolmen muuttujan polynmeihin. IV.1. Lause. Olkoot P (x) = n k= m a k x k ja Q(x) = n k= m b k x k polynomeja. Tällöin P (x) = Q(x) kaikilla x R jos ja vain jos n = n, m = m ja a k = b k kaikilla k { m,..., n}. Todistus. Suunta on selviö: jos polynomeilla on samat kertoimet, niin ne saavat myös samoja arvoja. Oletetaan toiseen suuntaan, että kaikilla x pätee P (x) = Q(x). Oletetaan selkeyden vuoksi, että m = m ja n = n (voimme asettaa ylimääräisiä kertoimia olemaan nollia). Silloin n P (x) Q(x) = (a k b k )x k k= m on nollapolynomi. Näytämme seuraavaksi, että Laurentin polynomi ei voi olla aina nolla, jos sillä on nollasta eroavia kertoimia. Tästä seuraa, että a k b k = 0, eli alkuperäiset

42 IV.2. KAUFFMANIN BRACKET-POLYNOMI. 40 kertoimet ovat samat. Palautamme mieleen, että tavalliselle (ei-laurentin) polynomille S pätee S(x) x ± (1) ja että mutta toisaalta x n x 0, (2) x n 0 (3) kaikilla x 0 ja n 0. Oletetaan nyt että meillä on Laurentin polynomi L, joka on aina nolla (esimerkiksi L(x) = P (x) Q(x)). Oletetaan lisäksi, että siinä on nollasta eroavia kertoimia. Kohdan (1) nojalla sillä täytyy olla nollasta eroavia kertoimia termeillä, joiden eksponentti on pienempi kuin nolla. Kohdasta (3) seuraa, että niitä täytyy olla myös termeillä, joiden eksponentti on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Nyt kohdista (1) ja (2) seuraa, että lim x L(x) > 0 (tai < 0), eli polynomin on jossain saatava positiivinen (vastaavasti negatiivinen) arvo. IV.2. Kauffmanin bracket-polynomi. Luonnollinen tapa lähteä rakentamaan polynomia punoskaaviosta on konstruoida se induktiivisesti risteysten lukumäärän suhteen. Jos otetaan mikä tahansa punoskaavio ja vaihdetaan kaikki risteykset jommalla kummalla seuraavista tavoista: tai niin tuloksena on triviaali punos, koska risteyksiä ei ole ollenkaan jäljellä. Induktion alkamiseksi voimme määritellä, mikä tällaisen triviaalipunoksen polynomi on. Sitten voimme yksi kerrallaan tuoda risteykset takaisin ja soveltaa polynomiin jotain sovittua sääntöä. Haluamme kuitenkin, että polynomista tulee invariantti Reidemeisterin siirtojen suhteen, joten määritellään nämä relaaiot ensin suhteellisen abstraktisti seuraavilla säännöillä.

43 41 IV. KAUFFMANIN JA JONESIN POLYNOMIT. Seuraavaa polynomia kutsumme Kauffmanin sulkupolynomiksi (bracket polynomial) ja punoksen L polynomia merkitään L. Valitettavasti se ei ole invariantti siirron Ω 1 suhteen. Tämä korjataan seuraavassa kappaleessa. Rakennamme polynomia, jossa on kolme muuttujaa A, B ja C. Huomaamme myöhemmin, että ne riippuvat toisistaan ja tuloksena on yhden muuttujan polynomi. Säännöt ovat: (1) = 1. (2) L = C L. (3) = A + B Viimeinen sääntö pitää tulkita niin, että punoskaaviota muutetaan täsmälleen yhden risteyksen kohdalta kuvien osoittamalla tavalla. Kääntämällä solmu 90 astetta (eli kulman π/2 verran) viimeisestä säännöstä seuraa ylimääräinen sääntö (4) = A + B Lasketaan nyt vähän mitä näistä laskusäännöistä voi johtaa. Ensimmäinen lähtökohta on se, että haluamme Reidemeister-invarianssin. Aloitetaan siirrosta Ω 2. Haluamme, että Käyttämällä sääntöjä (1) (4) lasketaan: =. (3) = A + B ( ) ( ) (4) = A A + B + B A + B ( ) ( ) (2) = A A + B + B AC + B = (A 2 + B 2 + ABC) + BA. Koska haluamme :n toteutuvan, saamme yhtälön (A 2 + B 2 + ABC) + BA =. Koska kyseessä ovat polynomit, tämä pakottaa BA = 1 ja (A 2 + B 2 + ABC) = 0, mistä seuraa A = B 1 ja sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan (A 2 +A 2 +C) = 0, eli C = A 2 A 2. Kuten lupasimmekin, saatiin kaikki muuttujat esitettyä A:n avulla. Säännöt (1) (4) muuttuvat nyt muotoon (1) = 1. (2) L = ( A 2 A 2 ) L.

44 IV.2. KAUFFMANIN BRACKET-POLYNOMI. 42 (3) = A + A 1 (4) = A + A 1 Seuraavaksi tarkastellaan siirtoa Ω 3. Laskussa käytetään sitä, että polynomimme on invariantti Ω 2 :n suhteen kohdassa ( ): (4) = A + A 1 ( ) = A + A 1 (4) =. IV.2. Esimerkki. Lasketaan Hopfin punoksen Kauffmanin polynomi. IV.3. Esimerkki. Lasketaan :n Kauffmanin polynomi. Onko Kauffmanin polynomi hyvin määritelty? Voiko olla, että lopputulos riippuu siitä, mistä risteyksestä aloittaa laskemisen tai miten päin katsso kaaviota? Ei, polynomi on hyvin määritelty. Parhaiten sen toteaa katsomalla kaavion kaikkia madollisia tiloja ja johtamalla polynomille kaavan suoraan niistä. Kaavion eräs tila (state) saadaan avaamalla kaikki risteykset joko tavalla A tai tavalla B (tapa A :. tapa B : ). Tehdään tämä hiukan täsmällisemmin: Olkoon L punoskaavio ja R(L) tämän kaavion risteysten joukko. Kaavion L tila s on pari (A s, B s ), missä A s ja B s ovat myös risteysten joukkoja, jotka muodostavat kaikkien risteysten osituksen: pätee ja R(L) = A s B s A s B s =. Määritellään S(L) olemaan kaikkien kaavion L tilojen joukko. Jos s on kaavion L tila, määritellään kaavio L s seuraavalla tavalla: jokainen risteys r R(L) avataan säännöllä ja säännöllä, jos r A s, jos r B s. Vaihdosten jälkeen tuloksena on L s. Määritellään lisäksi α(s) = A s, β(s) = B s, missä X tarkoittaa joukon X kokoa ja s = kaavion L s esittämän punoksen komponenttien lukumäärä.

45 43 IV. KAUFFMANIN JA JONESIN POLYNOMIT. Seuraavaksi määritellään polynomi: [L] = s S(L) A α(s) β(s) ( A 2 A 2 ) s 1. Tehtävänämme on nyt osoittaa, että [L] = L riippumatta siitä, missä järjestyksessä L lasketaan ja että [ ] toteuttaa ehdot (1) (3). Toinen näistä on harjoitustehtävä: 30. Tehtävä. Osoita, että [ ]-polynomi toteuttaa ehdot (1) [ ] = 1. (2) [L ] = ( A 2 A 2 )[L]. (3) [ ] = A[ ] + A 1 [ ]. Todistetaan toinen kohta induktiolla risteysten määrän suhteen. Askeisen tehtävän nojalla jos risteyksiä on nolla, niin L = [L]. Oletetaan, että väite pätee kaikille punoskaavioille, jossa on vähemmän kuin n + 1 risteystä ja L on kaavio, jossa on n + 1 risteystä. Valitaan sieltä yksi risteys r ja avataan se kahdella eri tavalla: A-tavalla ja B-tavalla ja merkitään vastaavia punoskaavioita L A ja L B. Olkoon s A mikä tahansa kaavion L A tila ja s B kaavion L B mielivaltainen tila. Määritellään tällöin kaavion L vastaavat tilat s A = (A sa {r}, B sa ) ja s B = (A sb, B sb {r}). Nyt pätee α(s A ) = α( s A ) 1 β(s A ) = β( s A ) α(s B ) = α( s B ) β(s B ) = β( s B ) 1 s A = s A s B = s B S(L A ) S(L B ) = { s A s A S(L A )} { s B s B S(L B )} = S(L). Eli nyt soveltamalla sääntöä (3) risteykseen r saadaan L = A L A + A 1 L B. Toisaalta mikä tahansa tila s S(L) on muotoa s A tai s B jollekin tilalle S(L A ) S(L B ). Induktio-oletuksen nojalla L A = [L A ] ja L B = [L B ]. Merkitään B = A 1 ja C =

46 ( A 2 A 2 ). Saadaan L = A s A S(L A ) = A = s A S(L A ) s A S(L A ) = s S(L) = [L]. IV.3. JONESIN POLYNOMI. 44 A α(s A) B β(s A) C s A 1 + B A α( s A) 1 B β( s A) C s A 1 + B A α( s A) B β( s A) C s A 1 + A α(s) B β(s) C s 1 s B S(L B ) s A S(L B ) s A S(L B ) A α(s B) B β(s B) C s B 1 A α( s B) B β( s B) 1 C s B 1 A α( s B) B β( s B) C s B 1 Kuten totesimmekin, tämä polynomi ei ole invariantti siirron Ω 1 suhteen. Huomaamme kuitenkin, että tämän siirron tekeminen kaavioon vastaa polynomin kertomista termillä A 3 tai A 3. Ehkä voimme korjata asian käyttämällä tätä havaintoa. 31. Tehtävä. Osoita, että = ( A) ± Tehtävä. Laske. IV.3. Jonesin polynomi. IV.4. Määritelmä (Writhe). Olkoon L suunnistettu punos. Määritellään risteyssumma w(l) (writhe) olemaan summa kaikkien risteysten merkeistä (kuva 9). Huomaa, että funktion w määritelmä muistuttaa kietoutumisluvun lk määritelmää. IV.5. Lause. Writhe w on invariantti Reidemeister siirtojen Ω 2 ja Ω 3 suhteen. Todistus. Täsmälleen sama todistus, kuin kietoutumisluvun tapauksessa (se, että myös saman komponentin väliset risteyksen lasketaan ei vaikuta asiaan). Kuitenkaan w ei ole invariantti siirron Ω 1 suhteen: jos D ja D eroavat tällä yhdellä siirrolla, niin w(d) = w(d ) ± 1. IV.6. Määritelmä (Jonesin polynomi). Olkoon L suunnistettu punos. Tällöin sen X- polynomi on X(L) = ( A) 3w(L) L. Jonesin polynomi saadaan X-polynomista sijoittamalla A t 1/4

47 45 IV. KAUFFMANIN JA JONESIN POLYNOMIT. IV.7. Lause. Jonesin polynomi on punosinvariantti. Todistus. Todistamme väitteen X-polynomille, mikä on ekvivalenttia. Polynomi X on tulo Kauffmanin polynomista ja termistä ( A) 3w(L). Sekä Kauffmanin polynomi että w ovat invariantteja siirtojen Ω 2 ja Ω 3 suhteen, joten niin on Jonesin polynomi. Entä siirto Ω 1? Oletetaan, että kaavio D on saatu kaaviosta D siirrolla Ω 1. Oletetaan, että siirto on tehty sellaiseen suuntaan, että risteys on syntynyt. Jos w(d ) = w(d)+1, niin D = ( A) 3 D (tarkista!), tästä seuraa, että X(D ) = ( A) 3w(D ) D = ( A) 3w(D)+1 ( A) 3 D = ( A) 3w(D) ( A) 3 ( A) 3 D = ( A) 3w(D) D = X(D). 33. Tehtävä. Laurentin polynomi P (t), on palindrominen jos P (t) = P (t 1 ) kaikilla t. Osoita, että jos X(K) ei ole palindrominen, niin solmu K on kiraalinen (epäekvivalentti peilikuvansa kanssa). 34. Tehtävä. (Jatkoa tehtävälle 32) Laske X( ). Osoita että on kiraalinen. 35. Tehtävä. Laske X( ). Osoita, että se on kiraalinen. IV.3.1. Skein relaatio Olkoon L +, L ja L 0 punoksia, jotka ovat muuten identtiset, paitsi yhden pallon sisällä eroavat kuvan osoittamalla tavalla: Tällaisen kolmen punoskaavion välistä relaatiota kutsutaan usein Skein-relaatioksi. Jonesin polynomille saadaan eräänlainen Skein-relaatio, jonka avulla se on helpompi laskea kuin laskemalla erikseen Kauffmanin polynomi ja writhe. Oletetaan tätä varten, että L +, L ja L 0 eroavat toisistaan kuten kuvassa. Kertomalla Kauffmanin polynomin määritelmässä oleva yhtälö (3) puolittain termillä A 2 ja vähentämällä se saman määritelmän yhtälöstä (4), saadaan risteyksille (tässä vaiheessa ilman suunnistusta) yhtälö: L + A 2 L = (A 1 A 3 ) L 0. ( )

48 Toisaalta nähdään eli IV.3. JONESIN POLYNOMI. 46 w(l + ) = w(l ) + 2 ja w(l + ) = w(l 0 ) + 1. ( A 3 ) w(l +) = ( A 3 ) 2 ( A 3 ) w(l ) ja ( A 3 ) w(l +) = ( A 3 )( A 3 ) w(l 0). Nyt yhtälöstä ( ) saadaan ( A 3 ) w(l +) L + A 2 ( A 3 ) w(l +) L = (A 1 A 3 )( A 3 ) w(l +) L 0. ( A 3 ) w(l +) L + A 2 ( A 3 ) 2 ( A 3 ) w(l ) L = (A 1 A 3 )( A 3 )( A 3 ) w(l 0) L 0. X(L + ) A 8 X(L ) = ( A 2 + A 6 )X(L 0 ). ( ) Yhtälö ( ) on Skein-relaatio polynomille X. Haluamme kuitenkin yksinkertaistaa sitä hieman. Kerrotaan ( ) termillä A 4. Saadaan: A 4 X(L + ) A 4 X(L ) = (A 2 A 2 )X(L 0 ). Koska Jonesin polynomi J L (t) on X L (t 1/4 ), eli X-polynomi, jossa on sijoitettu A t 1/4, tästä saadaan Jonesin polynomille: tj L+ t 1 J L = (t 1/2 t 1/2 )J L Tehtävä. Huomasin, että olin määritellyt risteysten merkit päinvastaisella tavalla kuin yleensä kirjallisuudessa. Yleensä risteys Tyyppiä L + on arvoltaan 1 ja risteys tyyppiä L on +1. Miten X-polynomin määritelmä muuttuu, jos määrittelemme ne toisin päin kuin tässä tekstissä? Millainen muutos tulee yllä olevaan Skein-relaatioon? (Tämä tehtävä on kahden arvoinen.) IV.3.2. Esimerkkejä IV.8. Esimerkki. Määritellään L 0 =, L 1 = = ja yleisesti L n punos muotoa jossa on n risteystä. Jos risteysten määrä on parillinen, kyseessä on kahden komponentin punos ja jos pariton, niin se on solmu. Esimerkiksi L 3 =. Esimerkissä III.21 todistettiin, että nämä ovat keskenään eri, mikäli n on parillinen. Osoitamme nyt että kaikilla n m, pätee L n L m. Voimme nyt laskea induktiivisen kaavan Jonesin polynomille käyttämällä Skein-relaatiota. Induktion aloittamiseksi saamme J L0 (t) = J (t) = t 1/2 t 1/2.

49 47 IV. KAUFFMANIN JA JONESIN POLYNOMIT. Tämä saadaan kun Kauffmanin polynomissa A 2 A 2 sijoitetaan A t 1/4. Lisäksi J L1 = J O = 1. Kuvasta nähdään, että jos L n = L +, niin L = L n 2 ja L 0 = L n 1. Täten tj Ln t 1 J Ln 2 = (t 1/2 t 1/2 )J Ln 1. J Ln (t) = t 2 J Ln 2 (t) + t 1/2 t 1/2 J Ln 1 (t). t Sen osoittamiseksi, että polynomit J Ln ovat keskenään eri polynomeja eri luvun n valinnoilla, riittää osoittaa, että ne saavat jossakin pisteessä eri arvoja. Valitaan pisteeksi t = 1/4. Tällöin J L0 (1/4) = 2 1 2, J L 1 (1/4) = 1 ja J Ln (1/4) = (1/4) 2 J Ln 2 (1/4) + (1/4) 1/2 (1/4) 1/2 J Ln 1 (1/4). 1/4 = 16 J Ln 2 (1/4) + 6 J Ln 1 (1/4). Merkitään a n = J Ln (1/4). Silloin a 2 = 16a 0 + 6a 1 = = 34, a 3 = 16a 1 + 6a 2 = = 224. ja selvästi a n < 0 kaikilla n > 2 ja L n (1/4) < L n 1 (1/4) kaikilla n > 1, mikä riittää todistamaan väitteen J Ln J Lm, kun n m ja n > 1. Siispä kaikki solmut ja punokset L n ovat keskenään eri. 37. Tehtävä. Kurssin alussa osoitimme, että solmujen

50 IV.4. JONESIN POLYNOMIN SOVELLUKSIA. 48 Kuva 20. Shakkilautaväritys. avautuvuusluku on 1, mutta emme osoittaneet, että nämä ovat kaikki keskenään eri solmuja. Osoita, että ne ovat. Tästä seuraa, että on olemassa äärettömästi eri solmuja, joiden avautuvuusluku on 1. IV.4. Jonesin polynomin sovelluksia. Jonesin polynomi on mielenkiintoinen solmuinvariantti, sillä se heijastaa muitakin solmujen ominaisuuksia kuin vain erilaisuutta. Todistamme seuraavaksi esimerkin tällaisesta ominaisuudesta. Solmukaavio on vuorotteleva jos solmua kiertäessä vastaantulevat risteykset ovat vuorotellen ylityksiä ja alituksia. Solmukaavio on redusoitu, jos se ei sisällä risteyksiä joilla on seuraava ominaisuus: kaksi neljästä risteyksen rajaamasta alueesta yhtyvät jossain kohtaa. IV.9. Lause. Olkoon D ja D kaksi vuorottelevaa redusoitua saman solmun (ei punoksen) kaaviota. Silloin niissä on yhtä monta risteystä. Tästä melkein suorana seurauksena melko silmiinpistävä tulos: IV.10. Lause. Olkoon D solmun K redusoitu vuorotteleva kaavio. Tällöin c(d) = c(k), eli kaavio D minimoi solmun K risteysten lukumäärän. Tämän todistamiseksi määritellään ensin lisää käsitteitä ja tehdään joitakin havaintoja. Jokainen solmukaavio jakaa tason alueisiin, joista yksi on rajaton ulkopuoli ja muut ovat rajoitettuja. Voimme aina värittää nämä alueet valkoisella ja mustalla niin, että yhteisen reunan omaavat alueet ovat aina eri värisiä. Toisin sanoin risteyksessä kohtaavista neljästä alueesta kaksi vastakkaista on valkoista ja loput mustia. Tätä valaisee kuva 20.

51 49 IV. KAUFFMANIN JA JONESIN POLYNOMIT. Huomataan, että vuorottelevassa solmussa kaikki risteykset suhtautuvat näihin väreihin samalla tavalla: ne ovat kaikki jompaa kumpaa muotoa (ei molempia samassa kaaviossa): tai. Tämän todistamiseksi kuvitellaan, että kierrämme solmua pitkin. Aina kun ylitetään risteys, niin mustan ja valkoisen paikat vaihtuvat: jos alussa musta oli oikealla ja valkea vasemmalla, niin risteyksen jälkeen musta on vasemmalla ja valkea oikealla. Toisaalta jos tämä risteys oli ylitys, niin seuraava on alitus. Oletetaan esimerkiksi, että kiertäessä ensimmäinen risteys on ylitus ja ennen sitä risteystä musta on vasemmalla. Tällöin kyseessä on risteys muotoa Seuraavaksi on tulossa alitys, mutta nyt musta onkin oikealla, joten taas on kyseessä risteys muotoa. Ja niin edelleen. Oletamme, että kaikki risteykset ovat muotoa. Jos eivät ole, vaihdetaan värien paikkaa. IV.11. Lemma. Olkoon D vuorotteleva redusoitu solmukaavio, V valkoisten alueiden lukumäärä, M mustien alueiden lukumäärä ja c kaavion risteysten lukumäärä. Tällöin polynomin D korkein potenssi on c + 2(V 1) ja matalin potenssi on c 2(M 1). Todistus. Palautetaan mieleen, että D = A α(s) A β(s) ( A 2 A 2 ) s 1. s S(K) Selvästi kiinnitetyllä tilalla s, termin A α(s) A β(s) ( A 2 A 2 ) s 1. suurin potenssi on α(s) β(s) + 2( s 1) ja matalin vastaavasti α(s) β(s) 2( s 1). Tehtävämme on löytää.

52 IV.4. JONESIN POLYNOMIN SOVELLUKSIA. 50 tilat, joilla nämä ovat vastaavasti suurimmillaan ja pienimmillään. Olkoon s tila, jossa kaikki risteykset ovat avattu tavalla A, jolloin α(s) = c ja β(s) = 0. Koska lisäksi kaikissa risteyksissä värit kohtaavat kuten kuvassa tarkoittaa tämä sitä, että mustat alueet yhtyvät kaikki toisiinsa, mutta valkoisista eivät mitkään yhdy. Siispä s = V. Tässä kohdassa käytetään sitä, että kaavio on redusoitu: se takaa sen, että jos kaksi valkoista aluetta ovat risteyksen eri puolilla, niin ne ovat eri alueita. Siispä tällä tilalla suurin eksponentti on α(s) β(s) + 2( s 1) = c + 2(V 1). Seuraavaksi osoitamme, että muita tiloja vastaavat suurimmat eksponentit ovat korkeintaan yhtäsuuria kuin tämä. Näytämme, että jos kasvatamme B-tyyppisten risteysten lukumäärää tilassa, niin tämä ei voi kuin pudottaa tilaa vastaavaa suurinta eksponenttia. Oletetaan, että vaihdamme tilassa s yhden risteyksen tilaa A:sta B:hen ja merkitään näin saatua uutta tilaa s. Tällöin α(s ) = α(s) 1 ja β(s ) = β(s) + 1. Lisäksi alueiden lukumäärä saattaa pienentyä, nimittäin B-muutos saattaa yhdistää kaksi aiemmin erillään olevaa valkeata aluetta tai vastaavasti kasvaa, mutta tämä lukumäärä pienenee tai kasvaa korkeintaan yhdellä, eli s s + 1. Tästä saadaan arvio tilaa s vastaavalle suurimmalle eksponentille: α(s ) β(s ) + 2( s 1) = α(s) β(s) 2 + 2( s 1) α(s) β(s) 2 + 2( s 1) + 2 = α(s) β(s) + 2( s 1), joka on tilaa s vastaava suurin eksponentti. B-tyyppisten muutoksien lisääminen ei siis voi kasvattaa suurinta eksponenttia. Tämä todistaa väitteen. Samalla tavalla voidaan osoittaa, että pienin eksponentti saavutetaan tilassa, missä kaikki risteykset ovat avattu tavalla B, jolloin α(s) = 0, β(s) = c ja s = M. 38. Tehtävä. Osoita, että jos kyseessä on ei-vuorotteleva solmu, niin lemma IV.11 pätee muodossa: polynomin D korkein potenssi on pienempi tai yhtä suuri kuin c + 2(V 1) ja matalin potenssi on suurempi tai yhtä suuri kuin c 2(M 1). Vihje: lemman IV.11 todistuksesta on apua. Nyt voimme lähteä todistamaan lauseita IV.9 ja IV.10.,

53 51 IV. KAUFFMANIN JA JONESIN POLYNOMIT. Lauseen IV.9 todistus. Avainjuttuna toimii se, että jos solmukaavion raajamien alueiden (mukaan lukien rajoittamaton) lukumäärä on R ja risteysten lukumäärä c, niin R = c + 2. Tämä on seuraus matemaattiseen yleissivistykseen kuuluvasta Eulerin kaavasta: jos V on äärellinen yhtenäinen tasoverkko, eli verkko, joka on piirretty tasoon ilman ylimenokohtia, r on sen rajaamien alueiden lukumäärä (mukaan lukien rajoittamaton), e särmien lukumäärä ja k kärkien lukumäärä, niin r e + k = 2. Tämä on helppo todistaa induktiolla lukujen e ja k suhteen. Solmukaaviota voi puolestaan ajatella tasoverkkona, jossa risteykset ovat kärkiä ja risteysten väliset kaaret särmiä (sallitaan kaksi särmää kahden kärjen välissä ja yhden särmän alkaminen samasta kärjestä kuin mihin se päättyy). Lisäksi tällaiselle solmusta tulevalle tasoverkolle pätee k = 2e. Tämä pätee yleisesti verkolle, jossa jokaisesta kärjestä lähtee tasan neljä särmää: jos e = 1, niin väite on selvä, jos e = n + 1, otetaan yksi kärki ja tehdään siihen muutos, jolloin kärkien määrä vähenee yhdellä ja särmien kahdella (särmä ilman kärkiä hävitetään kokonaan) ja muodostuneelle verkolle pätee induktio-oletus. Määritellään kaavion D p.e. = potenssierotus olemaan polynomin D suurimman ja pienemmän eksponentin erotus. Se on sama kuin X-polynomin vastaava erotus, sillä X- polynomin ekponentit ovat 3n+ bracket-polynomin eksponentit. Tästä seuraa, että p.e. on solmuinvariantti. Mutta lemman IV.11 nojalla p.e. = c + 2(V 1) ( c 2(M 1)) = 2c + 2(M + V 2) = 2c + 2(R 2) = 4c. Tässä käytettiin sitä, että mustien ja valkoisten alueiden yhteenlaskettu lukumäärä on kaikkien alueiden lukumäärä: V + M = R ja yllä olevaa havaintoa, että R 2 = c. Koska p.e. on kaikilla solmuilla sama ja yhtälö p.e. = 4c pätee kaikille vuorotteleville redusoiduille kaavioille, seuraa, että 4c, eli c on sama kaikilla redusoiduilla vuorottelevilla kaavioilla, mikä oli todistettavana. Lauseen IV.10 todistus. Lauseen IV.9 nojalla riittää osoittaa, että solmun redusoidulla ei-vuorottelevalla kaaviolla on enemmän tai yhtä paljon risteyksiä, kuin saman solmun redusoidulla vuorottelevalla kaaviolla. Soveltamalla tehtävää 38 ja samaa päättelyä kuin lauseen IV.9 todistuksessa, nähdään, että ei-vuorottelevan kaavion ristiinmenoluvulle c pätee p.e. 4c. Koska vuorottelevan kaavion tapauksessa pätee yhtäsuuruus ja p.e. on riippumaton kaaviosta, saadaan vaadittu tulos.

54 IV.4. JONESIN POLYNOMIN SOVELLUKSIA. 52 IV.4.1. Kiraalisuus Tehtävässä 33 osoitettiin, että solmun kiraalisuuden voi saada selville siitä, että sen polynomi ei ole palindrominen. Kuitenkin on olemassa solmuja, joiden Jonesin polynomi on palindrominen, vaikka ne eivät ole kiraalisia. Avoin ongelma. Keksi punosinvariantti, joka olisi täydellinen kiraalisuusinvariantti (siitä voisi aina päätellä onko solmu kiraalinen vai ei.) 39. Tehtävä. Osoita, että esimerkin IV.8 solmut L n ovat kaikki kiraalisia. Mitä voimme päätellä lauseiden IV.9 ja IV.10 avulla vuorottelevien solmujen kiraalisuudesta? Oletetaan, että solmu K ei ole kiraalinen, eli on ekvivalentti peilikuvansa kanssa ja oletetaan lisäksi, että D on solmun redusoitu vuorotteleva kaavio. Lauseiden IV.9 ja IV.10 todistuksissa todettiin, että p.e.=4c, missä c on solmun ristiinmenoluku. Jonesin polynomi saadaan X-polynomista sijoituksella A t 1/4, jolloin eksponentit jakautuvat neljällä. Siispä c(k) = max deg J K min deg J K, missä max deg P ja min deg P tarkoittavat polynomin vastaavasti suurinta ja pienintä eksponenttia. Koska solmu ei ole kiraalinen, sen Jonesin polynomi on palindominen, eli sen suurimman eksponentin itseisarvo on sama kuin pienimmän eksponentin itseisarvo, mistä saadaan c(k) = max deg J K min deg J K = 2 max deg J K = 2 1 (c(k) + 2(V 1)) 4 c(k) = c(k) + V 1 2 c(k) = V 1 2 c(k) = 2(V 1), eli c(k) on parillinen. Olemme todistaneet lauseen: IV.12. Lause. Jos vuorottelevan solmun ristiinmenoluku on pariton, niin se on kiraalinen.

55 53 A Liite. Käyrä avaruudessa. Solmua ajatellaan suljettuna käyränä. A.1. Määritelmä. Yksikköympyrä S 1 on joukko tason pisteitä, joiden etäisyys origosta on 1, S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}. Yksikköympyrä ei kuitenkaan vielä ole solmu. Mutta jos kuvaamme sen kolmiulotteiseen avaruuteen R 3 saamme suljetun käyrän avaruudessa, joka voi hyvinkin olla solmussa. A.2. Määritelmä. Solmu on upotus f : S 1 R 3. Punos on erillisen yhdisteen S 1 1 S1 2 S 1 n upotus avaruuteen R 3. Tässä S 1 i on yksikköympyrän kopio, esimerkiksi S 1 {i}. Yllä oleva määritelmä A.2 sallii niin kutsutut villit solmut. Seuraavan kuvan on tarkoitus valaista sitä mitä villillä solmulla tarkoitetaan: Kuvassa olevalla villillä pisteellä ei ole pienen pienintäkään ympäristöä jossa käyrä ei olisi solmussa. Villeillä solmuilla on monesti outoja ominaisuuksia ja niitä on tutkittu muun muassa artikkeleissa [2] ja [5]. Tässä keskitymme kuitenkin klassiseen solmuteoriaan ja kesyihin solmuihin. Kesyn solmun idea on se, että sen kaaviossa on vain äärellisesti ylityksiä. Topologisesti tämä tarkoittaa sitä että jokaisella solmun pisteellä täytyy olla ympäristö jossa solmu on suoristuva, eli on olemassa avaruuden R 3 homeomorfismi itselleen, joka pitää kaiken muun kuin tämän ympäristön paikallaan ja lopputuloksena siinä ympäristössä solmun käyrä kulkee suoraa viivaa. Kesyn solmun voi määritellä monella tavalla. Yksi on vaatia yllä olevan kuvauksen olevan kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Toinen tapa on hieman yksinkertaisempi: voimme ajatella solmun olevan murtoviiva avaruudessa.