ELEC-E8419 Sähkönsiirtojärjestelmät 1 Viat ja häiriöt. Kurssi syksyllä 2015 Periodit I-II, 5 opintopistettä Liisa Haarla
|
|
- Kalle Hakola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LC849 Sähkönsiirtojärjestelmät Vit j häiriöt Kurssi syksyllä 5 Periodit, 5 opintopistettä Liis Hrl
2 Luennon ydinsit Verkkojen mdoitustpoj Symmetriset komponentit Komponenttiverkkojen kytkeytyminen eri vioiss Vikvirtojen lskeminen komponenttiverkkojen vull Täydentävää tieto: viktilstoj Suomest, vlokren resistnssi lovr j Hrl: Sähköverkot : luvut , 5., 5., 6. lovr j Hrl: Sähköverkot : luku 5.
3 Häiriöt j vit Häiriö (disturbnce), vik (fult, filure) Kikki vit eivät iheut häiriöitä, usein kuitenkin verkon vik iheutt häiriön Nordelmääritelmä häiriölle: tlösning, påtvingd eller obefogt utkoppling, eller misslyckd inkoppling som följd v fel i krftsystemet, Outges, forced or unintended disconnection or filed reconnection s result of fults in the power grid ) Määritelmä ville: The inbility of component to perform its required function.,) ) Nordel filure sttistics ) ) C 5(95): nterntionl lectrotechnicl Vocbulry, Dependbility nd qulity of service
4 Rinnkkisvikoj: rilisi vikoj oiko j msulut, joiden iheuttji ovt esimerkiksi slmn iskut, pylvään ktkeminen, virtmuuntjn räjähtäminen, erottimen murtuminen, lumi ti jää, johtimen ktkeminen Srjvikoj: johtimen ktkeminen ilmn msulku, ktkisijn vjnpinen toimint 4
5 Vlokri Vikvirtlskuiss ei in tiedetä vikimpednssin suuruutt. Jos hlutn lske suurin mhdollinen vikvirt, käytetään vikimpednssin rvo noll. Vlokren lämpötil stt oll jop stett Vlokren vstus riippuu sen pituudest 5
6 Vlokren vstus Vlokren vstus on mukn vikpiirin impednssiss Vlokren vstust on mitttu. Wrringtonin kv j Terzijn j Koglinin kvt ntvt hiemn eri tulokset. Yleensä vlokren vstus ei juuri vikut vikvirrn suuruuteen Jos lsketn m viheväli j k virt, sdn Wrringtonin kvll,7 W j uudell kvll (,8,5)W usi kv (Terzij, Koglin, 4) R (8,4...5,5) L Lähde: On the modeling of long rc in still ir nd rc resistnce clcultion. Terzij, V.V.; Koglin, H.J.; Trnsctions on Power Delivery, Volume 9, ssue, July 4 Pge(s): 7 6
7 hmiset vikojen iheuttjin, esimerkkejä Koneurkoitsij oli oikisemss kv vojohdon rkennustyömll tukirkenteen pylvästä. Hän ohjsi mss seisten trktoriins kiinnitetyn nostimen puomin kiinni viereiseen, jännitteiseen kv vojohtoon. Msulkuvirt kulki ohjusvipujen j urkoitsijn kutt mhn. rkoitsij kuoli j lähistöllä ollut pumies si vmmoj. Tilnteess syttyi myös mstoplo Ongintkilpiluun osllistuneen miehen hiilikuituinen 6,8 metrin pituinen onkivp osui kv johtoon iheutten msulun. Msulkuvirt sytytti miehen vtteet tuleen j iheutti hänelle noin 7 % plovmmt. Hän kuoli viisi päivää myöhemmin. Johdon korkeus tphtumpikll oli 7,7 m. 7
8 Vikojen seuruksi Oikosulut iheuttvt suuri virtoj, Msulut iheuttvt suuri virtoj, jos verkko on mdoitettu Msulut voivt iheutt vrjännitteitä Oiko j msuluist seur läheiseen verkkoon jännitekuopp Vit lähellä suuri generttoreit voivt vrnt verkon stbiiliuden, ellei niitä kytketä irti nopesti Verkko käytetään yleensä siten, että se kestää milloin thns yhden komponentin irtomisen vin jälkeen (ennustettv vik) 8
9 SRTOKSKYTYKST 4 KV:n VOMJOHDOLL LKM Keskytysten lkm Johtovikojen lkm Yhteyksien lkm 99/99 /6 kpl Lähde: Fingrid 9 häiriöt/siirtokesk
10 4 kv:n johtojen lukemiset Suomess vuosin 98 joteltun vin keston mukn 9% Pikjälleenkytkentä, PJK 46% ikjälleenkytkentä, JK 5% Käsin kiinni kytkentä ti pysyvä vik
11 4 kv:n johtojen lukemiset Suomess vuosin 98 Msulku johdoll (66) Oikosulku johdoll (48) Suuriresistnssinen msulku johdoll () itoivottu epäselektiivinen lukisu () itoivottu spontni lukisu () Vik sähkösemll (5) Srjvik () Seklinen ()
12 Johtovist iheutuneet 4 kv:n voimjohdon lukisut Suomess vuosin Vikojen lukumäärä 5 4 Msulku Oikosulku Suuriresistnssinen msulku Tm Hel M Huh Tou Kes Hei lo Syy Lok Mr Jou
13 Oikosulku Virtpiiriin syntyy oikosulku, kun virtpiirin johtimet joutuvt keskenään johtvn yhteyteen esimerkiksi vlokren kutt. Oikosuluss virt on suuri j vikkohdn jännite pieni Oikosulku voi oll ti viheinen Tyypillinen viheinen oikosulku on ukkosen iheuttm viheinen moikosulku Voimnsiirtojohtojen j muuntjien impednssit rjoittvt oikosulkuvirt. Siis mitä kuempn johto syöttävältä semlt oikosulku sttuu, sitä pienempi on oikosulkuvirt Oikosulkusuojn voidn käyttää distnssirelettä, differentilirelettä ti ylivirtrelettä
14 Msulku Virtpiiriin syntyy msulku, kun virtpiirin johdin eristysvin ti muun vin kutt joutuu johtvn yhteyteen mn ti mhn johtvss yhteydessä olevn osn knss. Msulust iheutuu vikpikkn j sen ympäristöön hengenvr skeljännitteen j msulkuvirrn vuoksi sekä tuliplonvr msulkuvirrn vikutuksest Msulkuvirrn suuruus j sen vikutukset riippuvt vikresistnssin suuruuden lisäksi siitä onko järjestelmän tähtipisteet mdoitettu suorn, virt rjoittvn kuristimen kutt, vi onko kyseessä mst erotettu järjestelmä. Voimnsiirtojohdot j muuntjt rjoittvt mdoitetun verkon msulkuvirt smoin kuin oikosulkuvirtkin Msulkusuojn käytetään distnssirelettä, nollvirtrelettä j msulun suuntrelettä. Distnssirele hvitsee suurivirtiset msulut, käytännössä noin W:n vikresistnssiin skk. 4
15 Johtimen ktkeminen Mikäli vojohdon johtimen ktkettu johtimen päät putovt mhn, on tpus suojuksen knnlt sm kuin (yksiviheinen) msulku vikresistnssill. Jos ts johtimen pää jää roikkumn joutumtt mn knss kosketuksiin niin suojuksen toimint riippuu verkon rkenteest j kuormituksest kv:n säteisjohdoll ei johtimen ktkettu ole nollvirt kpsitnssien iheuttm pientä nollvirt lukuun ottmtt. 4 kv:n j kv:n kuormitetuill säteisjohdoill sen sijn on nollvirt, kosk niissä on tähtipisteestään mdoitettu muuntj myös säteisjohdon päässä olevll semll. Mdoitetun verkon rengsjohdoill on nollvirt, jonk suuruus riippuu villisen johdon kuormituksest. Smmutetun kv:n verkon nolljännite voi noust niin suureksi, että suojus lukisee. Nolljännitettä esiintyy ktkospikn kuormn puolell myös mdoitetuss kv:n verkoss, kosk yhden viheen puuttuess vihejännitteiden summ ei enää ole noll. Ktkoksen ikn kuormitusvirt on epäsymmetristä, eivätkä kikki kulutuslitteet kestä sitä pitkää ik vurioitumtt. Kosk verkoss ei ole msulku eikä oikosulku niin syöttävän verkon suojus ei in toimi. Tilnne on kuitenkin vrllinen kulutuslitteille, joten suojus on hoidettu kuormn puolell esimerkiksi kolmiviheisell lijännitereleellä. 5
16 Mdoitus Suomen siirtoverkoss Suomen 4 kv:n j kv:n siirtoverkot ovt on tehollisesti mdoitettuj. Tällisell mdoitustvn vlinnll hlutn pienentää msulun ikist terveiden viheiden jännitteennousu j smll iknsd mhdollisimmn nopet suojustoiminnot (suuret msulkuvirrt). Jokisell semll muuntjn tähtipiste on mdoitettu joko suorn ti kuristimen kutt. kv:n siirtoverkko ts on mdoitettu vin tietyistä kohdist joko suorn ti kuristimen kutt. kv:n verkon mdoitustvn vlint perustuu siihen, että msulkuvirt on riittävän suuri, jott distnssirele pystyisi toimimn selektiivisesti msuluiss. Toislt mdoittmll verkon muuntjien tähtipisteistä vin os, voidn msulkuvirt rjoitt, mikä puolestn pienentää msulkuvirrn vikpikkn synnyttämää mdoitusjännitettä. Mdoitusjännitteen pienentäminen msulkuvirt rjoittmll on tloudellisemp j käytännössä helpommin toteutettviss kuin mdoitusresistnssin pienentäminen. Smll pienenee myös msulun iheuttm jännitekuopp. 6
17 Muit mdoitustpoj Mst erotetuss järjestelmässä yksiviheinen msulku ei ikns suurt virt, kosk msulkuvirtpiiri sulkeutuu vin viheiden mkpsitnssien kutt. Järjestelmän etun on se, että msulun sttuess järjestelmää ei ole pkko kytkeä jännitteettömäksi vn käyttöä voidn jtk määrätyin ehdoin. Hälytys msulust vditn tässäkin tpuksess. simerkiksi rektorilitosten msulkusuojus on tehty näin, jos siellä ei ole suurjännitekpeleit. seimmt Suomen kv:n keskijännitejkeluverkoist ovt mst erotettuj. Smmutetuss järjestelmässä msulkuvirt vikpikss pienennetään tähtipisteeseen sennetull smmutuskuristimell, jok kumo mkpsitnssien kutt kulkevn kpsitiivisen msulkuvirrn lähes kokonn. Näin vlokrimsulku sdn usein smmumn itsestään. Tätä mdoitustp käytetään PohjoisSuomen kv:n verkoss sekä joisskin keskijännitejkeluverkoiss j sen käyttö on suojuksen knnlt tloudellist vin säteittäisverkoiss. Selektiivisyyden svuttmiseksi rengsverkoss trvittisiin viestiyhteys johdon kummnkin pään suojusten välille. 7
18 Mst erotettu järjestelmä dut: Pienet msulkuvirrt, vlokrimsulut voivt smmu itsestään, käyttö msuluiss on mhdollist, vrjännitteiden rjoitus on helppo Hitt: Kksoismsulku mhdollinen, jos verkko käytetään msulun ikn, msulun ikn tähtipisteeseen kohdistuu vihejännite j terveiden viheiden j mn väliin pääjännite, ktkeilevt msulut iheuttvt trnsienttiylijännitteitä, nolljännite voi indusoid puhelinjohtoihin häiriöitä, msulkusuojus ylivirtreleillä ei välttämättä onnistu pienten virtojen tki Käytössä joisskin kv:n järjestelmissä Svt s. 6 8
19 Smmutettu järjestelmä dut: Msulkujen vikutukset pieniä, vlokret smmuvt itsestään, ylijänniteriski vähäinen Hitt: Kolmiokytkentäisessä muuntjss trvitn smmutuskuristimen lisäksi mdoitusmuuntj, jott tähtipiste sdn esille, ljoiss verkoiss (useit kuristimi) resonnssivr, smmutuskuristin viritettävä verkkomuutosten mukn, rengsverkon relesuojus on kllis, mkpsitnssiepäsymmetrist voi iheutu tvllist suurempi nolljännite Käytössä PohjoisSuomess kv:n verkoss 9
20 Suorn mdoitettu järjestelmä dut: Terveiden viheiden jännitteen nousu vähäisempi msulun ikn, mdoitustp ei rjoit verkon ljuutt, relesuojus msuluiss yksinkertist (voidn käyttää distnssireleitä), virt on trpeeksi ylivirtreleille, msulkujen vikutukset pieniä, vlokret smmuvt itsestään, ylijänniteriski vähäinen Hitt: vikvirrt suuri > lyhyet lukisujt, ohimenevien vikojen jälkeen trvitn pikjälleenkytkentä jos hlutn nope käytönplutus, vrjännitteiden eliminoiminen on kllist silloin kun mdoitusolosuhteet ovt huonot. Jos kikkien muuntjien tähtipistettä ei ole mdoitettu, on huolehdittv siitä, että verkkoon ei jää häiriötilnteess mdoittmttomi srekkeit Svt s. 6465
21 Ð Ð j j j j j j Symmetriset komponentit: operttori j j osoittimell kertominen: kierto stett eteenpäin osoittimell kertominen: kierto stett tksepäin
22 Myötä vst j nolljärjestelmä C Myötäjärjestelmä Vstjärjestelmä C Nolljärjestelmä C Kikki järjestelmät pyörivät smn suuntn! Vstjärjestelmässä vihejärjestys on erilinen kuin myötäjärjestelmässä
23 Myötä vst j nolljärjestelmä é ë é ë C ù é ùé ù û ë û ë û ù é ùé ù û ë û ë C û () () () (4) (5) Nolljärjestelmä on jok viheess smnsuuntinen Myötä j vstjärjestelmä pyörivät vstpäivään. Myötäjärjestelmässä viheiden järjestys on,, C (R, S T) Vstjärjestelmässä viheiden järjestys on, C, (R, T, S) Nollvirrn syntyminen edellyttää nolljohtimen ti vstvn virttien olemss olo on viheen vihejännite Yhtälöt () ntvt kunkin komponenttiverkon viheen jännitteen. Muut sdn lskettu operttorill sivun 9 mukisesti Vin myötäverkoss on jännitelähde
24 simerkki epäsymmetrisistä jännitteistä j symmetrisistä komponenteist C päsymmetriset jännitteet C,95,8 Myötäkomponentit, pituus,95, viheen kulm,8 stett,6, 8,5 C Vstkomponentit, pituus noin,, viheen kulm 7 7 C Nollkomponentit, Pituus noin,5 4
25 C,6 8 päsymmetriset jännitteet, viheen muodostuminen symmetrisistä komponenteist,5 Cviheen muodostuminen symmetrisistä komponenteist C viheen muodostuminen symmetrisistä komponenteist C C C 5
26 Vikvirrt Vikvirrn suuruus riippuu verkon rkenteest (silmukoitu, säteittäinen), rektnsseist, verkon mdoitustvst j voimlitosten koost, sijinnist j generttoreist Vikvirtoj pitää lske mm. litteiden mitoitust vrten msulun iheuttminen mpotentilien selvittämiseksi Oikosulku j msulkuvirrn rjoittminen on optimointitehtävä. Msulkuvirrn rjoittminen joht terveiden viheiden jännitteen nousuun vin ikn, toislt suuri msulkuvirt iheutt suuri mpotentilej j vrjännitteitä, kosk Suomess on suuri mn ominisvstus. Msulkuvirtojen on oltv niin suuri että suojus toimii luotettvsti. Siis verkon X /X on oltv riittävän suuri, jott msulkuvirrt eivät ksv liin suureksi j trpeeksi pieni, että terveiden viheiden jännitteet eivät ksv liik. 6
27 Vikvirrt Oikosulkuvirtojen ksvess täytyy selliset litteet viht, jotk eivät kestä uusi oikosulkuvirtoj Oikosulkuvirt ksvttvt: uudet generttorit, uudet johdot Oikosulkuvirt voidn rjoitt hnkkimll muuntji, joiss on iso oikosulkurektnssi vähentämällä silmukoitumist jkmll verkko osiin 7
28 Poikittisvit (rinnkkisvit) Seurvss esitellään tvllisimmt rinnkkisvit, komponenttiverkkojen kytkeytyminen j vikvirtojen lskeminen symmetristen komponenttien vull Vikvirt voidn lske sijiskytkennän vull. Sijiskytkennässä (kuv ll) trvittv P lsketn symmetristen komponenttien vull. P muodostuu komponenttiverkkojen impednsseist eri tvoin riippuen vin tyypistä. Poikittisvik (shunt fult) trkoitt oiko ti msulku Viktilnne Sijiskytkentä Vikpikk P P P P Vikpikk P P P 8
29 Symmetrinen viheinen oikosulku C C vikehdot: ) vihejännite on noll jok viheess, ) virtojen summ on noll C C F on vikimpednssi C 9
30 viheinen oikosulku C Û Û () () () ) ( ) ( Û () j j ) ( ) ( Û Û C Û Û Û
31 viheinen oikosulku Komponenttiverkkojen kytkentä: Vst j nollverkko eivät ole mukn: ( ) Siis viktilnteen lskemiseen riittää myötäverkko Viktilnne on symmetrinen
32 viheinen oikosulku: sijiskytkentä F P F F v F Huom. on vikpikn vihejännite ennen vik, F on vikvirt F on vikpikn impednssi F F Sijiskytkentä viheisen oikosulun lskemiseen Jos lsketn fysiklisill rvoill, on muistettv, että on vihejännite. Yllä olevss kuvss vikvirt tulee vin yhdestä suunnst.
33 viheinen oikosulku: vihevirrt j vihejännitteet û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é C û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é Û û ù ë é û ù ë é û ù ë é C C
34 v. oikosulku, vikvirt khdest suunnst jx v L jx v Fg Fm jx g F jx m jx g F jx m g m g m ennen vik vin ikn lindeksit: g: thtigenerttori, m: thtimoottori, L: kuormvirt, F: vikvirt, v: verkko Jännite thtirektnssin tkn lsketn näin: Virt ennen vik, viktiln rektnssi g m F F ( jx jx v m L jx g ) L () () 4
35 5 m F L m F m F m m m m v F L g v F g v F g g v g g j j j j j j j j j j j j X X X X X X X X X X X X d Vin ikn generttorin j moottorin syöttämät lkutiln vikvirrt ovt: lkutiln vikvirt: ) ( ) j( missä, )j j( ) j( j j j g v m m g v TH TH F m g v g v m F L m F L g v F m g F X X X X X X X X X X X X X X X L yhtälön () mukn L yhtälön () mukn
36 Vikvirt Theveninin peritteell jx m m jx g jx v g TH j( X j( X v m X X g v )jx X m g ) F F sein on helpoint lske vikvirt Theveninin peritteell. Vikvirt voidn lske, kun tiedetään vikkohdn jännite ennen vik j verkon impednssi vikkohdss (Theveninin impednssi vikkohdn j referenssitson välillä). Voidn lske lkutiln, muutostiln ti jtkuvn tiln vikvirt. Tässä on lskettu lkutiln vikvirt. 6
37 viheinen oikosulku: vikehdot Vikehdot:, C, C C C F C Vikehtojen vull hetn komponenttiverkkojen kytkentä, siksi ei otet huomioon kuormvirt 7
38 8 viheinen oikosulku ) )( ( ) ( ) ( C Û Û Û Þ C ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Û Û Û Þ Û Û Û C ) ( ) ( Û Û Û.. Lisätty yksi välivihe j korjttu yhtälöitä, joill johdetn
39 viheinen oikosulku: sijiskytkentä F v F F Sijiskytkentä: myötä j vstverkko ovt rinnkkin, nollverkko ei ole mukn. C 9
40 4 viheinen oikosulku: vihevirrt j jännitteet F C C j j j ) ( ) ( û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é C F F C F F F û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é û ù ë é
41 Msulku Vikehdot:,, C hdoiss ei otet huomioon kuormitusvirtoj, siksi yllä oleviss ehdoiss j Cvihevirrt ovt nolli. Huom! j Cviheiden komponenttiverkkojen virrt viheen msuluss eivät ole nolli. C C Y F Komponenttiverkkojen kytkeytyminen johdetn lskuhrjoituksiss. 4
42 4 Msulku F F v F F v F Msuluss komponenttiverkot ovt srjss >. Huom. Yllä olevss kuvss vikvirt tulee vin yhdestä suunnst. Jos vikvirt tulee khdest suunnst, on sijiskytkentä sm kuin v. johdinktkoksess. 7. lisätty ylle yhtäsuuruusmerkki ennen osmäärää
43 Nollvirrn kulku viheiss j tähtipisteessä viheen msulun ikn C C C C C C Y F F viheen msulun ikn vikvirt on viheen virt, jok on myös komponenttiverkkojen virtojen summ eli. Siis vikvirt on. 4
44 viheinen moikosulku Vikehdot: C, C C Vikehdoiss ei otet huomioon kuormvirt Y F C 44
45 45 C ) ( ) ( Û Û Þ viheinen moikosulku ) ( & Û Þ.. korjttu kolmnnelle riville yhtäsuuruusmerkki (oli Plusmerkki)
46 46 ) ( ) ( ) ( ) ( Û Û û ù ë é û ù ë é Û û ù ë é Û Û Û Û Þ Virrn yhtälöstä nähdään, että vst j nollverkko ovt toistens rinnll viheinen moikosulku
47 viheinen moikosulku ( ) ( ) Virrn yhtälöstä nähdään, että vst j nollverkko ovt toistens rinnll j myötäverkko on srjss tämän rinnnkytkennän knss 47
48 48 viheinen moikosulku, lsketn vihevirt ) j( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( û ù ë é û ù ë é û ù ë é
49 viheinen moikosulku: sijiskytkentä F ( ( Y )) ) ( ( ( F Y ( P F F Y F Y ) ) ( F Y ) Huom. Yllä olevss kuvss vikvirt tulee vin yhdestä suunnst. Jos vikvirt tulee khdest suunnst, on sijiskytkentä sm kuin viheisess johdinktkoksess, joss :n knss srjss on F 49
50 5 Lähde: Tekniikn käsikirj, s. 5 verkon myötäimpednssi (joko lku, muutos ti jtkuvuusrvo,, ) verkon vstimpednssi (johdoill j muuntjill ) verkon nollimpednssi Y tähtipisteen mdoitusimpednssi Y Y R Myötäverkon Rviheen smv. (lkuoikosulkuvirt lskettess R, käyttöjännite R ) R (Rviheen) jännitteen nollkomponentti R (Rviheen) virrn nollkomponentti Jännitteiden yhtälöt Virtojen yhtälöt Viktpus R S T T Y R R S T T Y S, R S T T Y,, R S T T Y,, R T R S R R T S R j S T R S R S T R S R R R T S Y R R Y R Y Y R Y T R Y S R ) ( j ) ( j Y Y Y R Y Y R Y T R Y S R ) ( j ) ( j Y Y R T S Y Y R Y R» j 4 j Ð Ð
51 Pitkittäisvit (srjvit) Srjvit trkoittvt johdinktkoksi j muit impednssin muutoksi j viheiset johdinktkokset ovt epäsymmetrisiä vikoj j niitä voidn lske symmetrisillä komponenteill Srjvioiss komponenttiverkkojen impednsseill trkoitetn vikkohdn nvoist näkyviä verkon impednssej eikä vikkohdn j mn välisiä impednssej 5
52 viheinen johdinktkos C C C Vikehdot: CC ' ' C ' C' ' ' ' ( ( ( ' ' ' ' ' ' CC' ) CC' CC' ' ) ' ) ' ' ' ' Þ Komponenttiverkot kytkeytyvät rinnn kuten viheisess moikosuluss 5
53 viheinen johdinktkos: sijiskytkentä myötäverkko vstverkko Kuvst nähdään, että vikpikk voidn viheisell sijiskytkennällä lskettess korvt impednssill P nollverkko P Sijiskytkentä nloginen viheisen moikosulun sijiskytkennän knss. 5
54 C viheinen johdinktkos C C Vikehdot: C ' ' ( ( ( C) C) C) ' Þ ' ' ' Komponenttiverkot kytkeytyvät srjn kuten viheisess msuluss 54
55 viheinen johdinktkos: sijiskytkentä myötäverkko vstverkko Kuvst nähdään, että vikpikk voidn viheisell sijiskytkennällä lskettess korvt impednssill P nollverkko P 55
56 Generttorin komponenttiverkot " X q " X» ( X d mpinpgenerttorille " X X d " X < X d ) Jos thtigenerttori on kytketty tähteen on nollrektnssi äärellinen j se on pienempi kuin lkutiln rektnssi X d. Jos generttori on kytketty kolmioon, on nollrektnssi ääretön eli nollpiiri menee poikki. 56
57 Johtojen komponenttiverkot Suurjännitejohtojen nollverkko sulkeutuu vikpikn, muuntjien mdoitettujen tähtipisteiden j vihejohtiminen nollkpsitnssien kutt Nollimpednssiin vikutt se, onko johdoll ukkosjohtimet. Jos johdoll on ukkosjohtimet, niin koko nollpiirin virt ei kulje mt pitkin, vn os kulkee ukkosjohtimiss kkosjohtimet ovt glvnisesti kiinni pylväissä j pylväät on yleensä mdoitettu 57
58 Muuntjien nollverkot tähtitähtikytkennässä Yy: Tähtitähti kytkentä: nollvirt ei voi kulke, nollverkko on poikki molemmist suunnist eli muuntjn läpi menevä impednssi on ääretön. YNy ti Yyn: Kun vin toinen tähtipiste on mdoitettu, ei nollvirt voi kulke muuntjn läpi. Nollpiiri muuntjn läpi on poikki. Nollpiiri jtkuu muuntjst sille verkon jänniteportlle, missä mdoitettu tähti on. Jos mdoitus on tehty impednssin kutt, tämä impednssi tulee piiriin mukn kolminkertisen. YNyn: Jos molemmt tähtipisteet on mdoitettu, on nollpiiri jtkuv jännitetsost toiseen. Mhdolliset mdoitusimpednssit tulevt piiriin kolminkertisin. 58
59 jx k jx N jx NY jx N jx k jx NY jx k jx k jx N jx N 59
60 Muuntjien nollverkko tähtikolmio j kolmiokolmiokytkennässä YNd ti Dyn: kun tähtipiste on mdoitettu, nollverkon impednssi on ospuilleen yhtä suuri kuin oikosulkuimpednssi, kun muuntj ktsotn mdoitetun tähden puoleisest verkost. mpednssi suuruus riippuu muuntjn rkenteest. Nollpiiri ei jtku muuntjn läpi, vn menee mdoitetun tähden puoleisest piiristä referenssitsoon (mhn). Mhdollinen mdoitusimpednssi on kolminkertinen. Kun tähtipistettä ei ole mdoitettu, on nollpiiri poikki muuntjn kummltkin puolelt. Dd: Nollpiiri on poikki kummltkin puolelt 6
61 jx k jx N jx N jx k jx k jx k 6
62 Verkon puolelt muuntjn tultess vstss mdoittmton tähti () ti kolmio (): piiri poikki. Muuntjn puolell kolmiokäämistä kytkentä referenssimhn (4). (Tätä ei in piirretä, jos muuntj irti muust nollverkost molemmin puolin.) Verkon puolelt muuntjn tultess vstss mdoitettu tähti: verkon j muuntjn välinen piiri kiinni, (). YNyn x () k () Yyn Yd YNd () () x k x k x k () () (4) () () (4) Ydkytkennässä kytkentä kummnkin jännitteen verkost (, j ) muuntjn on poikki: () j (). Joskus piirretään pystysuor kytkentä referenssimhn, joskus ei. Ydkytkennässä lopputulos on sm, piirrettiin kytkentä ti ei. Johdonmukisuuden vuoksi voi oll hyvä piirtää kytkentä referenssimhn, jott tämä ei unohdu YNdkytkennässä, joss sitä trvitn. 6
63 Jos tähtipiste on mdoitettu impednssin kutt, niin mdoitusimpednssi tulee nollpiiriin kolminkertisen. (Tähtipisteen impednssi ole ollenkn mukn myötä j vstverkoss.) YNyn x () x k x () x x YNy () x x k () x Ynd () x x k (4) () x Dd () (4) x k (4) () 6
64 Piirrä lkutiln komponenttiverkot kuvn verkolle G r n M x n P M x n T S m m x n Generttori G: x d x, x,5 r n, Muuntj M: z k z,78 x,5 x n, Johto P: x,67 x,5 Muuntj M: x PS,7 x PT,9 x ST,8 z k z,78 x n, Moottori m: x d x,46 x,6 Moottori m: x d x,49 x, x n, Mörsky j Mörsky tehtävä 7 64
65 käämimuuntj P X S X P X T S X PS X P X S,7 X PT X P X T,9 X ST X S X T,8 X P,4 X S, X T,5 T myötäverkko Korjttu ylle X s rvo, (7..5),78,67,4, G M P,5 T, S,46,49 G m m 65
66 Vstverkko on muuten smnlinen kuin myötäverkko, mutt jännitelähteiden tilll on oikosulku,78,67,4, P,5 T, S,46,49 66
67 Nollverkko: muutetn rektnssien rvoj siltä osin kuin ne ovt erilisi kuin myötäverkoss. Muuntjn kytkentäryhmät D j Y: nollpiiri poikki, D: johdin mhn pisteestä T moottorin m nollpiirin kutt, mdoitettu tähtipiste: nollpiiri sulkeutuu,78 *,,5 *,,4 G,5 P x P x T x S,,5 *, S m T,6 m, *, 67
68 G M P X x,4 X,7 G P m T m Jos vikpikk on P j vik on v. msulku, komponenttiverkot ovt srjss kuvn mukisesti. P S T m m 68
69 Msulkukerroin Msulkukerroin k on terveiden viheiden suurin vihejännite vin ikn jettun vihejännitteellä vikkohdss ennen vik k voidn lske johtorektnssien vull Tehollisesti mdoitetuss verkoss k on lle,4. Tällöin terveiden viheiden jännitteen nousu msulun ikn on korkeintn,4. X X X X k X e 69
ELEC-E8419 syksyllä 2017 Sähkönsiirtojärjestelmät 1
LC849 syksyllä 7 Sähkönsiirtoärestelmät Verkon vit Periodit, 5 opintopistettä Liis Hrl..7 Ydinsit Luennon sisältö Verkkoen mdoitustpo Symmetriset komponentit, komponenttiverkkoen kytkeytyminen eri vioiss,
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotSATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /7 Laskuharjoitus 9: Teheveninin ja Nortonin menetelmät
SATE1140 Piirinlyysi, os 1 kevät 2018 1 /7 Tehtävä 1. Lske ortonin menetelmän vull ll olevss kuvss esitetyssä piirissä jännite U 3. 20 A, E 345 V, E 660 V, Z 130, Z 30, Z 545. 3 Z 1 Z 2 E 2 Z 3 U 3 Kuv
Lisätiedot9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Lisätiedot. P A Sähkömagnetismi, 7 op Vanhoja tenttitehtäviä
766319A Sähkömgnetismi, 7 op Vnhoj tenttitehtäviä 1. Puoliympyrän muotoon tivutettu suv on vrttu tsisesti siten, että vrus pituusyksikköä kohti on λ. Puoliympyrän säde on. Lske sähkökenttä puoliympyrän
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedot766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotMittamuuntajien yleiset ominaisuudet
Mittmuuntjien yleiset ominisuudet Eurolite Oy on vuonn 1988 perustettu sähkötekniikn tuotteiden mhntuontiin, mrkkinointiin j myyntiin erikoistunut sintuntijyritys. Keskeisenä tvoitteen on hyvä siksplvelu,
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen
LisätiedotTässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentaattorina on ollut näissä tenteissä sama henkilö kuin tänä vuonna eli Hanna Pulkkinen.
Tässä on vnhoj Sähkömgnetismin kesäkurssin tenttejä. Tentttorin on ollut näissä tenteissä sm henkilö kuin tänä vuonn eli Hnn Pulkkinen. 766319A Sähkömgnetismi, kesäkurssi 2012 Päätekoe 11.6.2012 1. Esitä
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotSATE1050 Piirianalyysi II syksy kevät / 8 Laskuharjoitus 12 / Siirtojohdot taajuusalueessa, ketjumatriisi
SAT5 Piirinlyysi syksy 6 kevät 7 / 8 Tehtävä. Lske kuvss esitetyssä piirissä sisäänmenoimpednssi siirtojohdon ketjumtriisin vull, kun ) johdon loppupää on voin ) johdon loppupää on oikosuljettu c) johto
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
Lisätiedotuusi COOLSIDE JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE C_GNR_0608 Mikroprosessori RCGROUP SpA
COOLS COOLSIDE uusi JÄÄHDYTYSYKSIKKÖ PALVELIMILLE Jäähdytysteho Kylmäine Puhllintyyppi Mikroprosessori jop 96,0 kw sroll R410A ksili MP.COM T: MONO DXA (R410A) Jäähdytysteho jop 21,9 kw Ilmluhdutteinen
LisätiedotKirjallinen teoriakoe
11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotSATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima
ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
Lisätiedot3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
Lisätiedot2.2 Automaattien minimointi
24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotSATE1040 Piirianalyysi IB kevät /6 Laskuharjoitus 5: Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä
1040 Piirianalyysi B kevät 2016 1 /6 ehtävä 1. lla olevassa kuvassa esitetyssä symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on kaksi konetta, joiden lähdejännitteet ovat vaihejännitteinä v1 ja v2. Järjestelmä
LisätiedotY56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
LisätiedotQ = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },
T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotELE-3600 Elektroniikan erikoistyö 24.05.2007 tomi.kettunen@biaspiste.fi. Putkitekniikan perusteet
Putkitekniikn perusteet 1 Sisällysluettelo 1. Historist nykypäivään...3 2. Putkitekniikn perusteet...4 3. Putken eri ost...8 4. Diodi...12 5. Triodi...18 6. Tetrodi...31 7. Pentodi...33 8. Lähdeluettelo...39
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotRTS 16:2. Tässä ohjeessa esitetään ajoneuvojen ja yleisimpien autotyyppien mittoja, massoja sekä liikenteeseen hyväksymistä koskevia rajoituksia.
RTS 16:2 RT XX-XXXXX KH XX-XXXXX Infr x-x AJONEUVOJEN MITTOJA OHJEET xxxkuu 2016 1 (8) korv RT 98-10914 Tässä ohjeess esitetään joneuvojen j yleisimpien utotyyppien mittoj, mssoj sekä liikenteeseen hyväksymistä
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotJäykän kappaleen tasokinetiikka harjoitustehtäviä
ynmiikk 1 Liite lukuun 6. Jäykän kppleen tskinetiikk - hrjitustehtäviä 6.1 vlvpkettiutn mss n 1500 kg. ut lähtee levst liikkeelle 10 % ylämäkeen j svutt vkikiihtyvyydellä npeuden 50 km / h 1 10 60 m mtkll.
LisätiedotVESIPATTERIN ASENNUS TBLA Thermo Guard-jäätymissuojalla GOLD koko 11-32, versio B
VESIPATTERIN ASENNUS TBLA -jäätymissuojll GOLD koko 11-32, versio B ASENNUS 1. Knvliitäntä on tehtävä seurvsti: ) TBLA 000-031 j 000-040 Vesiptteri voidn sent suorn kierresumttuun knvn. Ptteri on vrustettu
Lisätiedot****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
LisätiedotBL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi
BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi Vika- ja häiriötilanteita oikosulut maasulut ylikuormitus epäsymmetrinen kuorma kytkentätilanteet tehovajaus ja tehoheilahtelut Seurauksia: lämpeneminen mekaaninen
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET
TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Voimntulo Perusteet tulevt voimn 11008 Sisällysluettelo 1 LASKUPERUSTEMALLI1
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotRunkovesijohtoputket
Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist
Lisätiedotb) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli
1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotLue Tuotteen turvaohjeet ennen laitteen käyttöönottoa. Lue sitten tämä Pika-asennusopas oikeiden asetusten ja asennuksen onnistumisen takaamiseksi.
Pik-sennusops Aloit tästä ADS-2100 Lue Tuotteen turvohjeet ennen litteen käyttöönotto. Lue sitten tämä Pik-sennusops oikeiden setusten j sennuksen onnistumisen tkmiseksi. VAROITUS VAROITUS ilmisee mhdollisesti
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot